Diseño de Túneles Basado en Visco- hipoplasticidad para ...

MIC 2006-II-2

Diseño de Túneles Basado en Visco-

hipoplasticidad para los Suelos Blandos de

Bogotá

por

FERNANDO ACOSTA URREA

Tesis presentada a

La Universidad de los Andes

Como requisito parcial de grado

Programa de Maestría

En Ingeniería Civil

Bogotá, Colombia, 2007

©(Fernando Acosta), 2007

MIC 2006-II-2

ii

Página del lector

La Universidad de los Andes requiere la firma de todas las personas que utilicen o fotocopien esta tesis. Favor firmar debajo dando nombre y dirección.

MIC 2006-II-2

iii

Agradecimientos

Deseo agradecer a las siguientes personas que me brindaron su apoyo para la realización de este trabajo de tesis.

A mis padres y hermanos por el apoyo que me prestaron durante todo este tiempo.

A mi asesor Prof. Arcesio Lizcano, por su colaboración y seguimiento a todo el proceso.

MIC 2006-II-2

iv

Resumen

Utilizando la plataforma ABAQUS, para simulación con elementos finitos, y a través de una

subrutina UMAT, para simular el comportamiento de la arcilla como un material definido por el

usuario que obedece a la ley visco-hipoplástica, se realizaron una serie de simulaciones para abarcar

el comportamiento de túneles desde 0.8 hasta 2.0 metros de radio y profundidades a cota clave de

entre 4.0 y 12.0 metros. Se presentan los resultados de dichas simulaciones en diferentes gráficos que

pueden ser utilizados como base para el diseño de túneles en al ciudad de Bogotá.

MIC 2006-II-2

v

Tabla de Contenido INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................. 1 OBJETIVOS........................................................................................................................................... 2 Capítulo 3 ESTADO DEL CONOCIMIENTO..................................................................................... 3

3.1 Introducción.................................................................................................................................. 3 3.2 Estabilidad del Túnel en Sección Transversal .............................................................................. 4

3.2.1 Método de Terzaghi............................................................................................................... 4 3.2.2 Método de Bierbäumer .......................................................................................................... 6 3.2.3 Método de Balla .................................................................................................................... 7 3.2.4 Método de Protodiakonov ..................................................................................................... 9 3.2.5 Mecanismos de Falla de Davis ............................................................................................ 11 3.2.6 Método de Caquot ............................................................................................................... 20

3.3 Estabilidad del Frente de Excavación......................................................................................... 26 3.3.1 Método de Proctor y White ................................................................................................. 26 3.3.2 Método de Ellstein............................................................................................................... 28 3.3.3 Método de Anagnostou y Kovári ........................................................................................ 30 3.3.4 Método de Murayama.......................................................................................................... 33

3.4 Asentamiento Superficial ........................................................................................................... 34 3.4.1 Aproximaciones Empíricas ................................................................................................. 35 3.4.2 Aproximaciones Teóricas .................................................................................................... 39

Capítulo 4 MODELOS CONSTITUTIVOS ....................................................................................... 42 4.1 Hipoplasticidad........................................................................................................................... 42 4.2 Visco-hipoplasticidad ................................................................................................................. 48 4.3 Deformación Intergranular ......................................................................................................... 55

Capítulo 5 SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS ..................................................................... 57 5.1 Modelo Básico............................................................................................................................ 57

5.1.1 Geometría y enmallado........................................................................................................ 57 5.1.2 Condiciones de Borde.......................................................................................................... 60 5.1.3 Material ............................................................................................................................... 60

5.2 Pasos de Análisis ........................................................................................................................ 60 5.2.1 Paso Geostático ................................................................................................................... 61 5.2.2 Paso de Excavación ............................................................................................................. 61

MIC 2006-II-2

vi

5.2.3 Paso de Reducción de Carga............................................................................................... 62 5.3 Presentación de Resultados........................................................................................................ 63

Capítulo 6 CONCLUSIONES ............................................................................................................. 69 Anexo A CÓDIGO DEL PROGRAMA ENMALLADOR ................................................................. 71 Anexo B ARCHIVO DE ENTRADA TÍPICO.................................................................................... 78 Bibliografía .......................................................................................................................................... 89

MIC 2006-II-2

vii

Lista de Figuras y Gráficas

Titulo Página

Figura 3.1 Superficies de falla según Terzaghi 4

Figura 3.2 Hipótesis del Método de Terzaghi 5

Figura 3.3 Hipótesis del Método de Balla 7

Figura 3.4 Hipótesis del Método de Protodyakonov 9

Figura 3.5 Figura esquemática del Mecanismo A 12

Figura 3.6 Figura esquemática del Mecanismo B 14

Figura 3.7 Figura esquemática del Mecanismo C 17

Figura 3.8 Zona de falla Método de Caquot 20

Figura 3.9 Equilibrio sobre el radio bisector 21

Figura 3.10 Modelo Elasto-perfectamente plástico y Mohr Coulomb 22

Figura 3.11 Influencia del nivel freático 26

Figura 3.12 Hipótesis del Método de Proctor y White 27

Figura 3.13 Cuña supuesta por el Método de Ellstein 28

Figura 3.14 Hipótesis del Método de Anagnostou y Kovári 30

Figura 3.15 Cuña de distribución de esfuerzos según DIN-4126 32

Figura 3.16 Hipótesis del Método de Murayama 33

Figura 3.17 Causas constructivas del asentamiento superficial 35

Figura 3.18 Esquema de los asentamientos a diferentes profundidades 37

Figura 3.19 Resultados de curvas de asentamiento según diferentes autores 39

Figura 4.1 Fronteras de la relación de vacíos para diferentes densidades 45

Figura 4.2 Ajustes en la relación de vacíos 46

Figura 4.3 Definición del vector M perpendicular a la línea ed en el plano e-p

47

Figura 4.4 Elipse de esfuerzos en el diagrama p - q 52

Figura 4.5 D11/Dr y Ko en función del ángulo crítico para diferentes λ/κ a partir de un ensayo bajo condiciones de esfuerzo isotrópico

53

Figura 4.6 D11/Dr y Ko en función del ángulo crítico para diferentes λ/κ a partir de un ensayo bajo condiciones de esfuerzo edométrico

54

Figura 4.7 Valor superior de K0 en función del ángulo crítico 55

Figura 5.1 Esquema geométrico de los modelos 57

MIC 2006-II-2

viii

Figura 5.2 Malla Típica 58

Figura 5.3 Distribución geostática de esfuerzos 61

Figura 5.4 Excavación y aplicación de cargas 62

Figura 5.5 Reducción de cargas hasta el colapso 63

Gráfico 5.1 Curvas adimensionales de esfuerzos, para una profundidad de cota clave de 4 m.

64


64


65


65


66

Gráfico 5.6 Gráfico polar de esfuerzo radial en el perímetro del túnel para una profundidad de 4 m.

66


67


67


68


68

MIC 2006-II-2

ix

Lista deTablas Inserte la lista de tabla en este sitio.

Titulo Página

Tabla 3.1 Tabla de coeficientes para el Método de Balla 8

Tabla 3.2 Tabla de factores f 11

Tabla 3.3 Soluciones empíricas de asentamientos mediante i 36

Tabla 3.4 Valores de asentamiento máximo para diferentes valores de i 38

Tabla 5.1 Dimensiones de los modelos 58

Tabla 5.2 Características geométricas de los modelos analizados 59

Tabla 5.3 Parámetros Visco-hipoplásticos 60

MIC 2006-II-2

1

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

El diseño de túneles en suelos blandos, abarca tres aspectos fundamentales; cálculo de la presión de

sostenimiento para un corte transversal, estabilidad del frente de excavación, y predicción de los

asentamientos en superficie causados por la construcción del túnel. Desde el punto de vista práctico, se

dispone para el cálculo de las presiones de sostenimiento y los asentamientos en superficies de varios

métodos que carecen en muchos casos de justificaciones teóricas y entregan resultados muy dispersos, a

menudo difíciles de interpretar y aplicar.

La creciente necesidad de construcción de túneles en la ciudad de Bogotá, principalmente para tendido de

redes de acueducto y alcantarillado (diámetros inferiores a 4 m) junto con la diversidad de métodos

constructivos que utilizan los constructores proponentes, ha generado la inquietud de proponer un método

de diseño, capaz de predecir el comportamiento mecánico del suelo basado en el método constructivo,

mediante el criterio de volumen sobre excavado, Vloss.

Sería imposible cubrir todos los aspectos del diseño en un solo trabajo de investigación, por lo tanto, este

documento se limita a presentar los resultados del cálculo de la presión de sostenimiento en sección

transversal, basados en modelos de elementos finitos, representando el material arcilloso mediante una ley

constitutiva visco-hipoplástica.

MIC 2006-II-2

2

Capítulo 2

OBJETIVOS

Se pretende orientar la investigación de los suelos propios de nuestras ciudades, en este caso de Bogotá a

casos de aplicación como lo son el diseño de túneles. Utilizando modelos constitutivos capaces de prever

el comportamiento del suelo tales como la visco-hipoplasticidad de una mejor manera que los

tradicionales.

Se pretende evaluar el comportamiento de la teoría visco-hipoplástica en el diseño de túneles, aplicando a

su vez el método de elementos finitos como puente entre el método constitutivo y la obtención de

resultados.

Se busca proponer un método de diseño de túneles que tenga en cuenta el método constructivo basándose

en la teoría visco-hipoplástica y una serie de simulaciones de elementos finitos.

MIC 2006-II-2

3

Capítulo 3

ESTADO DEL CONOCIMIENTO

3.1 Introducción

El diseño del soporte de los túneles es considerado de alta complejidad, por esto, un análisis estrictamente

cuantitativo no se empleaba, manteniéndose por mucho años técnicas empíricas las cuales han sido

satisfactorias bajo condiciones geotécnicas similares. Éstas técnicas se basan en factores cualitativos que

no están bien definidos ni se logran interpretar de manera consistente.

Los métodos analíticos comunes no entregan resultados lo suficientemente confiables para el diseño del

soporte de los túneles, lo cual obliga al uso de diferentes factores de seguridad para los diseños.

Para llegar a un adecuado diseño del soporte para túneles, se debe principalmente vencer las siguientes

dificultades:

• Conocimiento inadecuado del comportamiento del terreno bajo las condiciones asociadas a la

construcción de túneles.

• Datos insuficientes del estado natural de esfuerzos del suelo

• El hecho de que el problema es tridimensional, principalmente al analizar la interacción entre el

terreno y el soporte cerca a la cara del túnel

• La respuesta del suelo a través del tiempo, dependiente de las características reológicas del suelo

En los métodos comunes de diseño al simular interacción suelo/soporte se trabajan separadamente las

cargas sobre la estructura de los esfuerzos y deformaciones que la estructura sufre, siendo esto la razón

principal para que éstos métodos no sean suficientemente confiables.

Existen diversos métodos analíticos que permiten calcular de una manera aproximada las cargas que

deben resistir los refuerzos metálicos, estos métodos se basan en consideraciones puramente estáticas,

donde se propone una zona de falla y se determina la reacción que debe ejercer el soporte para mantener

MIC 2006-II-2

4

la zona de falla estable. Para encontrar la solución en algunos de estos métodos se requiere de iteraciones

numéricas que permitan llegar a una solución óptima.

3.2 Estabilidad del Túnel en Sección Transversal

La estabilidad de la sección transversal analíticamente se calcula a través de los métodos de equilibrio

límite. Este tipo de cálculos buscan encontrar las presiones de sostenimiento que deben aplicarse en un

túnel, de tal modo que garanticen su estabilidad. Se basan en una hipótesis de mecanismo de ruptura,

donde a priori se definen superficies de deslizamiento, y se realiza un análisis de la estabilidad del suelo

delimitado por las superficies de ruptura.

Sin embargo estos métodos pueden conducir a soluciones que son superiores a las cargas límites reales

además de resultados muy dispersos entre los métodos. Esta dispersión parece proceder de las hipótesis

hechas, por una parte, en las líneas de deslizamiento, que a menudo se alejan mucho de las observadas

experimentalmente, y, por otra parte, sobre el estado de esfuerzos en el suelo, que es normalmente muy

difícil de caracterizar.

3.2.1 Método de Terzaghi

La figuras 3.1 y 3.2 muestran las hipótesis de este método. El macizo de suelo se basa en una zona rígida,

teniendo una apertura de anchura B. Las superficies de deslizamiento simplificadas son verticales y se

desarrollan entre las extremidades de la obra y la superficie. La resistencia al cizallamiento del suelo es

caracterizada por el criterio de Mohr-Culombio, que se escribe:

ϕστ tanmax += c (3.1)

Figura 3.1 Superficies de falla según Terzaghi

MIC 2006-II-2

5

Figura 3.2 Hipótesis del método de Terzaghi

Al calcular el equilibrio de un tramo horizontal elemental de suelo de grosor dz, situado entre las líneas de ruptura, se tiene:

(3.2)

(3.3)

La solución de la ecuación diferencial es de la forma:

(3.4)

y la presión vertical a una profundidad C, es por lo tanto:

(3.5)

( ) 0tan22 =+−−−− dPcdzBd hvvv ϕσσσσ

BKc

dzd vv ϕσγσ tan22 +

−=

ϕϕσ

ϕ

γσ

tan2tan2

1tan2

2K

Bz

s

KBz

v eeK

BcB

−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

ϕϕσ

ϕ

γσ

tan2tan2

1tan2

2K

BC

s

KBC

v eeK

BcB

−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

MIC 2006-II-2

6

La expresión supone que el suelo es homogéneo. Cuando las propiedades mecánicas cambian con la

profundidad, los cálculos deben efectuarse sustituyendo, en cada capa, a la presión σS por el valor de la

presión obtenida para la capa subyacente.

El valor de K desempeña un papel importante en el comportamiento del enfoque de Terzaghi (1951).

Terzaghi y Jelinek (1954) propusieron el valor de K=1

Galczynski y Wojaszek (1989) utilizan K=(1+sinφ)/(1-sinφ)

Anagnostou y Kovári (1994) utilizan un valores entre 0,8 y 0,4.

Estos valores parecen sin embargo difíciles de justificar desde el punto de vista teórico.

3.2.2 Método de Bierbäumer

Se describe en la disertación de Sczéchy (1966) , supone la existencia de líneas de corte similares a las

tenidas en cuenta por Terzaghi. El valor de la resistencia al corte a lo largo de las superficies de

deslizamiento se toma igual a:

(3.6)

El peso del bloque situado sobre el túnel es igual a:

(3.7)

La presión que actúa efectivamente en la clave del túnel puede obtenerse tomando la diferencia entre (3.6)

y (3.7) y dividiendo el resultado por B1:

(3.8)

Para el caso de una material cohesivo, se puede replantear el razonamiento, cambiando la ecuación (3.6)

de la siguiente manera:

(3.9)

( )2

24tantan22

2 γϕπϕ CRc −=

( )[ ]24tan2 ϕπγ −+= HBCP

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−=

24tan224tantan1

2

ϕπϕπϕγσ

HBCCT

( )2

24tantan222

2 γϕπϕ CcCRc −+=

MIC 2006-II-2

7

Según Sczéchy (1966), este método da mejores resultados para valores elevados de C/B. No obstante, la

hipótesis de que la presión horizontal es igual a la presión activa parece contradictoria con la movilización

de la resistencia al corte, en la medida en que implica que las direcciones verticales y horizontales sean

direcciones principales.

3.2.3 Método de Balla

Figura 3.3 Hipótesis del método de Balla

La superficie de deslizamiento en este caso es constituida por dos mediocilindros, tangentes a los bordes

superiores del túnel. En el eje de simetría, los mediocilindros hacen un ángulo de π/4-φ/2 con la horizontal

(ver figura 3.3). El radio de estos mediocilindros es igual a:

(3.10)

El equilibrio vertical de la zona de suelo delimitada por los puntos A, D y Dsym es:

(3.11)

donde:

( )[ ]24cos12 ϕπ −−=

BR

0=+++ pvv RQKG

MIC 2006-II-2

8

peso del bloque ADDsymA

componente vertical de la fuerza de cohesión que actúa sobre la superficie de deslizamiento

componente vertical de la fuerza de fricción móvil sobre la superficie de deslizamiento

resultado de la presión que actúa sobre el techo del túnel

La expresión de la presión que permite garantizar el equilibrio del macizo es:

(3.12)

donde:

K1, K2 y K3 son coeficientes ponderadores que dependen del ángulo de rozamiento del suelo, los valores

según el autor, para diferentes ángulos de fricción se presentan en la tabla 3.1.

TABLA 3.1. TABLA DE COEFICIENTES PARA EL MÉTODO DE BALLA

φ(°) K1 K2 K3

10 0.6814 0.1502 1.8066

20 0.4145 0.2577 1.6084

30 0.2109 0.3277 1.3667

40 0.0757 0.3671 1.1016

45 0.0333 0.3774 0.9667

La superficie de deslizamiento debe incluirse en el suelo, es decir, que la altura de la zona en ruptura debe

ser inferior a C:

(3.13)

Este método presenta el inconveniente de no tener en cuenta una posible presión de superficie

G

vK

vQ

pR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 321 K

CcK

CBKCPT γ

γ

( )( ) CBh <

+−+

=24cos124cos

ϕπϕπ

MIC 2006-II-2

9

3.2.4 Método de Protodiakonov

Se basa en el análisis del efecto de arco. Este efecto es modelado por el equilibrio de una línea AB donde

los esfuerzos debidos a la carga vertical que actúa a lo largo de esta línea corresponden a esfuerzos de

compresión.

A partir del equilibrio de momentos con respecto a un punto D se deduce la ecuación del arco AB.

(3.14)

En el punto A, H, es tal que los desplazamientos horizontales en este punto son impedidos por el

componente de fricción en el plano AAsym asociado al esfuerzo vertical V:

(3.15)

Figura 3.4 Hipótesis del método de Protodyakonov

con:

(3.16)

(3.17)

H se puede escribir de la forma:

(3.18)

2

2pxTy =

VfH =

2pBV =

ϕtan=f

τhfpBH −= 2

MIC 2006-II-2

10

Al sustituir a estos valores en la ecuación general de la parábola (3.14), para x=B/2 y y=h, se obtiene:

(3.19)

La altura h de la parábola puede obtenerse derivando (3.19) con relación a h, lo que permite encontrar el

valor máximo de τ .

(3.20)

Utilizando esta expresión en (3.18), (3.19) y en la ecuación de la parábola, se obtiene la expresión del área

de la parábola:

(3.21)

El método supone que el bloque delimitado por la parábola debe ser soportado por el túnel, es decir, que

la presión uniforme que debe ejercerse en el túnel es igual a:

(3.22)

Lo anterior aplica para materiales puramente friccionantes, para el caso de materiales también cohesivos,

se debe sustituir el valor de f por:

(3.23)

dónde σc es la resistencia a la compresión simple. Los valores de este coeficiente se dan en la tabla 3.2

para distintos tipos de suelos.

( )28

4h

BfhpB −=τ

fBh

2=

BhS p 32

=

fBhT 33

2 γγσ ==

c

cfσ

ϕ += tan

MIC 2006-II-2

11

TABLA 3.2 TABLA DE FACTORES f

Tipo de Suelo Factor f

Arcilla dura 1.5

Arcilla densa 1

Loess 0.8

Arena, 0.6

Suelo orgánico, arena húmeda 0.5

Limo, suelos de consistencia líquida 0.3

El método presenta dos debilidades:

La altura del arco varía de manera lineal con la anchura de la obra, mientras que se podría esperar una

relación más compleja.

Los valores otorgados para el factor f son poco precisos y pueden, en algunas circunstancias, seleccionarse

en bandas relativamente amplias.

3.2.5 Mecanismos de Falla de Davis

Davis (1980), propone los siguientes tres mecanismos de falla basados en pruebas realizadas a modelos de

túneles en la universidad de Cambridge (Cairncross, 1973; Mair, 1979).

Para cada uno de los mecanismos se supone una geometría circular de túnel con radio R y profundidad de

clave del túnel C, y una presión en la superficie del terreno σs.

Cada uno de estos mecanismos, presenta diferentes variables, y su geometría, se define mediante ángulos

los cuales dependiendo del tipo de mecanismo, deberán ser optimizados para encontrar el valor de presión

de sostenimiento crítico σt.

3.2.5.1 Mecanismo A

Este mecanismo, que se puede ver en la figura 3.5, es el más simple de todos, supone que la falla se

presenta directamente sobre el túnel. Las fuerzas que actúan para llevar a la falla, son la generada por la

presión superficial y el peso de la cuña fallada, mientras que las fuerzas resistivas, serán la presión de

MIC 2006-II-2

12

sostenimiento y las fuerzas cortantes en los extremos de la cuña generadas por la cohesión. El diagrama

de equilibrio de fuerzas se presenta en la figura 3.5.

Figura 3.5 Figura esquemática del mecanismo A y diagrama de fuerzas

Cada uno de las variables que hacen parte del cálculo se describen a continuación:

Variables geométricas:

C Profundidad a la cota clave del túnel

R Radio del túnel

θ Angulo que define la geometría de la cuña

2B Ancho de la cuña, dependiente de θ y de R

A Área de la cuña

Variables de cargas y esfuerzos

σs Presión aplicada a la superficie del terreno

σt Presión de sostenimiento

γ Peso unitario húmedo del suelo

MIC 2006-II-2

13

Cu Cohesión no drenada del suelo

W1 Peso de la cuña de suelo

2Bσs Fuerza generada por la presión de superficie

T1 Fuerza cortante generada por la cohesión

P Fuerza resultante generada por la presión de sostenimiento

Los cálculos para obtener una solución del mecanismo de falla se basan en un equilibrio simple de fuerzas

y se presentan a continuación.

∑ = 0yF

022 11 =−−+ PTBW sσ (3.24)

Donde:

γ⋅= AW1 (3.25)

θsin⋅= RB (3.26)

( )[ ] uCRCT θcos11 −+= (3.27)

( )θθθθθ −−+= cossinsin2sin2 2RCRA (3.28)

Al despejar P de (3.24) se tiene:

( )[ ] ( )[ ] us CRCRRCRP θθσθθθθθγ cos12sin2cossinsin2sin2 2 −+−+−−+= (3.29)

Luego, la presión de sostenimiento σt se calcula a partir de la fuerza resultante P.

θσ

sin2RP

t = (3.30)

ust CR

CRC ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

θθθσ

θθθγσ

tan1

sin1

sinsin21cos

211 (3.31)

MIC 2006-II-2

14

Para encontrar una solución óptima, de la función (3.31), debe encontrarse el valor de θ que maximice a σt

para una configuración determinada de carga, resistencia y geometría.

3.2.5.2 Mecanismo B

Este mecanismo, que se puede ver en la figura 3.6, supone que la falla se presenta sobre el túnel mediante

una cuña superior y dos laterales. Las fuerzas que actúan para llevar a la falla, son la generada por la

presión superficial y el peso de las cuñas falladas, mientras que las fuerzas resistivas, serán la presión de

sostenimiento, las fuerzas cortantes en los extremos de las cuñas que genera la cohesión y la fuerza

normal que ejerce el suelo sobre las cuñas inferiores. El diagrama de equilibrio de fuerzas se realiza para

la mitad de la geometría, debido a que el problema es simétrico, y se presenta en la figura 3.6.

Figura 3.6 Figura esquemática del mecanismo B y diagrama de fuerzas




R Radio del túnel

MIC 2006-II-2

15

θ Angulo que define la geometría de las cuñas

2B Ancho de la cuña superior, dependiente de θ y de R

A2 Área de cada una de las cuñas inferiores






W1 Peso de la cuña superior

W2 Peso de cada una de las cuñas inferiores





P Fuerza resultante generada por la presión de sostenimiento para mitad del túnel



∑ = 0xF

( ) 02cossincos 32 =++− TPNT θθθ (3.32)

∑ = 0yF

( )2sincossin2 212

1 θθθσ PNTTWBW

s −−−−++ (3.33)

Donde:

γBCW 21 = (3.34)

( )θ

θsin

cos1 +=

RB (3.35)

MIC 2006-II-2

16

γ⋅= 22 AW (3.36)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+= 22sin

cos122

θπθ

θRA (3.37)

uCCT ⋅=1 (3.38)

uCBTT ⋅== 32 (3.39)

Al despejar para P de (3.32) y (3.33) se tiene:

( )( ) ( ) θθθθ

θθθσθ

sin2sincos2cos

cos1sinsinsin2 21

1

+

+−−+=

TTBW

Ps

(3.40)


( )2cos2 θσ

RP

t = (3.41)

Para encontrar una solución óptima, de la función (3.41), debe encontrarse el valor de θ que maximice a σt

para una configuración determinada de carga, resistencia y geometría.

3.2.5.3 Mecanismo C

La figura 3.7 muestra el mecanismo, presentando las variables de carga a la izquierda, y las variables

geométricas a la derecha. Al igual que en el caso del mecanismo B, supone que la falla se presenta sobre

el túnel mediante una cuña superior y dos laterales, sin embargo se hace más complejo, al permitir que la

geometría varíe considerablemente a partir de cuatro ángulos. Las fuerzas que actúan son las mismas

presentadas en el mecanismo B, sin embargo la dirección de las fuerzas puede variar dependiendo de los

ángulos. El diagrama de equilibrio de fuerzas igualmente se realiza para la mitad de la geometría, y se

presenta en la figura 3.7.

MIC 2006-II-2

17

Figura 3.7 Figura esquemática del mecanismo B y diagrama de fuerzas




R Radio del túnel

θ Angulo que define la geometría de las cuñas

α Angulo que define la geometría de las cuñas

β Angulo que define la geometría de las cuñas

δ Angulo que define la geometría de las cuñas

2B Ancho de la cuña superior, dependiente de θ y de R

K Longitud del lado superior de las cuñas inferiores

L Longitud del lado inferior de las cuñas inferiores

J Longitud de los lados de la cuña superior

A1 Área media de la cuña superior

A2 Área de cada una de las cuñas inferiores

MIC 2006-II-2

18






W1 Peso de la cuña superior

W2 Peso de cada una de las cuñas inferiores





P Fuerza resultante generada por la presión de sostenimiento para mitad del túnel

Para obtener la solución, se debe primero encontrar algunos valores geométricos que serán dependientes

de los ángulos, el radio y la profundidad de la cota clave, tales como K, L, B y J. Geométricamente se

puede llegar a las siguientes ecuaciones para cada una de estas longitudes.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )δαθπθβδαθπθβ

θδαθππαθδαθπθπαθ−−−−−−−−−

+−−−−++−−−−−+=

2cossin2tancoscos2tan22cos2tansin22sinRK (3.42)

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )δαθππαθ

δαθπθβδαθπθβθβθθβδαθππαθ

δαθπθβδαθπθβθβδαθπθθβπαθ

δαθπθ

−−−−+

−−−−−−−−−−

−+−−−−−++

−−−−−−−−−−−−−−−−+

+−−−

=

2cos22cos

2cossin2sincoscoscoscos2tan22cos

2cossin2sincoscos2tansincos22sin

2cossin

RR

RRL (3.43)

( )θβθ −+= cossin KRB (3.44)

( )[ ]θβθ −+−+= sincos KRRCJ (3.45)



∑ = 0xF

( ) ( ) ( )( ) 022cos

2sincos2cos 32

=−−+−−−−−+−−−

αθπδαθπθβδαθπ

PNTT

(3.46)

MIC 2006-II-2

19

∑ = 0yF

( ) ( )

( ) ( ) 022sin2cos

sin2sin2 3212

1

=−−−−−−−

−−−−−−−++

αθπδαθπ

θβδαθπσ

PN

TTTWBW

s (3.47)

Donde:

( ) ( )δαθππαθ −−−+−+= 2cos22cos LRB (3.48)

γ11 2AW =

( ) θθθθθ 221 2

1cossin21cos

2sin RRRJRCRBJBA −+−−+

++= (3.49)

γ⋅= 22 AW (3.50)

( ) ααβααα 222 sinsincossin RKRRA −++= (3.51)

uCJT ⋅=1 (3.52)

uCLT ⋅=2 (3.53)

uCKT ⋅=3 (3.54)

Al despejar para P de (3.46) y (3.47) se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )αθπ

δαθπαθπ

δαθπθβ

δαθπδαθπθβδαθπσ

−−+−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−++

=22sin

2tan22cos

2tan)cos(

2tan2cossin2sin

232

32121 TTTTTWBW

Ps (3.55)


( )αθσ

+=

2sin2RP

t (3.56)

Para encontrar una solución óptima, de la función (3.56), debe encontrarse los valores de θ, α, β y δ que

maximicen a σt para una configuración determinada de carga, resistencia y geometría.

MIC 2006-II-2

20

3.2.6 Método de Caquot

El método de Caquot define la zona de falla (figura 3.8) analizando la propagación de la zona plástica

alrededor del túnel de forma circular, y se basa en las siguientes hipótesis:

• El terreno se encuentra en equilibrio límite y llega a la ruptura durante la perforación del túnel.

De esta forma el terreno tiende a fluir hacia el eje del túnel formando círculos concéntrico

llamados isostáticos.

• La ruptura se propaga a partir de la clave del túnel hasta el círculo isostático tangente a la

superficie.

• El macizo de suelo se considera isotrópico y homogéneo, de esta forma las características del

suelo (γ , ϕ y cohesión) se consideran constantes.

• Se considera que el suelo tiene un comportamiento elástico perfectamente plástico.

Figura 3.8 Zona de falla Método de Caquot

Realizando un equilibrio de fuerzas sobre el diferencial de área del radio bisector como la muestra la

figura 3.9, se tiene:

MIC 2006-II-2

21

Figura 3.9 Equilibrio sobre el radio bisector

( )

02

cos

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⋅++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅⋅

θθθρργ

θρθδθ

δσσθρσθρρρ

δρδσ

σθρσ θθθ

ρρρ

ddd

dsendddsenddddd (3.57)

Suponiendo que θd es muy pequeño se tiene:

22θθ ddsen → y θθθ cos

2cos →⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

d

Y despreciando los términos de tercer orden,

02 →⋅ θρ dd y 02 →⋅ θρ dd

Se obtiene:

( )δρ

σρδθργσ ρ

θ

⋅+⋅⋅= cos (3.58)

Al realizar un equilibrio de fuerzas sobre la proyección normal al radio bisector, se obtiene:

MIC 2006-II-2

22

0cos2

cos2

cos =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅ θθρργθρθ

δθδσ

σθρσ θθθ ddddddd (3.59)

Simplificando cuando θd es muy pequeño:

12

cos →θd

y θθθ sendsen →⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

Se obtiene:

θργδθ

δσθ sen⋅⋅= (3.60)

La relación de criterio de ruptura plástica, se basa en el criterio de ruptura de Mohr-Coulomb (figura

3.10).

Figura 3.10 Modelo Elasto-perfectamente plástico y Mohr Coulomb

cpK σσσ ρθ += (3.61)

ϕϕ

sensenK p −

+=

11 (3.62)

MIC 2006-II-2

23

ϕϕσ

senc

c −⋅⋅

=1

cos2 (3.63)

Al integrar la ecuación (3.60) se tiene:

∫∫ ⋅⋅⋅= δθθργδσθ sen (3.64)

cte+⋅⋅−= θργσθ cos (3.65)

Para las condiciones de frontera 0=θ , se tiene:

( ) 00, θθ σθρσ == (3.66)

ργσθ ⋅+= 0cte (3.67)

Sumando las expresiones anteriores, se tiene:

( )θργσσ θθ cos10 −⋅⋅+= (3.68)

Deducción de 0ρσ y 0θσ

A lo largo de la vertical, se tiene un equilibrio plástico

cpK σσσ ρθ += (3.69)

Reemplazando en (3.58) para 0=θ

( )00

0 =⋅−⋅

−+⋅ ργδρ

σρδσσ ρ

ρ cpK (3.70)

Ordenando la expresión:

( ) ( ) ργσσρρδρ

σρδρ

ρ ⋅−=⋅−⋅

cpK

00 (3.71)

MIC 2006-II-2

24

Que es una ecuación diferencial de tipo ( ) ( )xQyxPdydx

=⋅+ , cuya solución es:

( ) ( ) ( )∫ +∫⋅=∫⋅ ctedxexQey

dxxPdxxP (3.72)

Para éste caso:

ρ=x (3.73)

( ) 0ρσρ ⋅=xy (3.74)

( )ρ

pKxP −= (3.75)

( ) ργσ ⋅−= cxQ (3.76)

Con lo que se tiene la solución general:

( )( )

( )( )

( ) cteKK

ppp K

p

K

p

cK +⋅−

−⋅−

=⋅ −−− 210

1

21ργρ

σσρ ρ (3.77)

Con las condiciones límites ( ) qH ==ρσ ρ 0 , donde q es la sobrecarga en la superficie, se tiene

entonces:

( )( )

( )( )

( )ppp K

p

K

p

cK HK

HK

qHcte −−− ⋅−

+⋅−

−⋅= 211

21γσ (3.78)

Reemplazando y agregando términos se tiene:

( )( )

( )( ) ( )111

0 112

−−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅

=ppp KK

p

cK

p Hq

HKHHKH ρρσρργσ ρ (3.79)

y

cpK σσσ ρθ += 00 (3.80)

MIC 2006-II-2

25

Expresiones para ρσ

( ) ( )θργσσδρ

σρδρ

ρ cos2100 −⋅⋅++⋅=

⋅cpK (3.81)

Reemplazando con la expresión para 0ρσ , integrando y aplicando las condiciones de frontera

para encontrar la constante ( 0=cte ) se encuentra la expresión para ρσ :

( )( )

( )( ) ( )

θργργρρσρργσ ρ cos112

111

⋅⋅−⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−⋅

=−−− ppp KK

p

cK

p Hq

HKHHKH

(3.82)

Que es equivalente a:

( )θργσσ ρρ cos10 −⋅⋅+= (3.83)

Para el caso de un medio sin fricción, donde 0=ϕ , Kp = 1, y 0ρσ tiende a infinito.

Retomando la ecuación

( )δρ

σρδθργσ ρ

θ

⋅+⋅⋅= cos (3.84)

Realizando el mismo análisis que para medio con fricción Kp = 1 se tiene:

( ) ( ) ργσσρρδρ

σρδρ

ρ ⋅−=⋅−⋅

c00 1 (3.85)

Al integrar y evaluar la constante de integración con los valores de frontera, se encuentra:

( ) qHH

Lnc +−⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ργρσσ ρ 0 (3.86)

Para tener en cuenta la influencia del nivel freático, se propone utilizar un peso volumétrico

equivalente, tomando en cuenta el promedio ponderado de los pesos volumétricos, como lo

muestra la figura 3.11.

MIC 2006-II-2

26

Figura 3.11 Influencia del nivel freático

( )H

HHH wwe

'γγγ

−+⋅= (3.87)

3.3 Estabilidad del Frente de Excavación

Se describen a continuación los métodos utilizados para considerar la presión de sostenimiento que debe

ejercerse sobre el frente de excavación para poder garantizar su estabilidad. Los dos primeros métodos

corresponden a materiales que obedecen a un criterio de Tresca, mientras que los siguientes consideran un

material de tipo Mohr-Coulomb.

3.3.1 Método de Proctor y White

Se puede calcular la presión del suelo sobre la superficie GEFHG como la diferencia entre el peso del

bloque subyacente y la resistencia móvil por fricción en la superficie obtenida por proyección vertical de

la línea GEFH. La presión debida al peso del suelo es entonces:

(3.88)

La resistencia móvil es para un suelo puramente cohesivo:

(3.89)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

2HBHCP πγγ

( )BHCcR u += π

MIC 2006-II-2

27

Figura 3.12 Hipótesis del método de Proctor y White

Finalmente la presión de sostenimiento del túnel es:

(3.90)

Según los autores, en función de la resistencia a la compresión simple del suelo, las siguientes medidas

deben preverse:

después de un corto plazo, se controlarán todos los movimientos en el frente y la

estabilidad estará garantizada.

podrá esperarse un movimiento (moderado), del frente, que requiere la utilización

de un sostenimiento.

se presenta inestabilidad

2

2HBH

RPp

πγ

+

−=

5.0<c

pσ

0.15.0 <<c

pσ

0.1≥c

pσ

MIC 2006-II-2

28

Siempre que el valor de de p/σc no sea satisfactorio, una presión de sostenimiento σT debe emplearse para

evitar los problemas de inestabilidad del frente de excavación, de tal forma que:

(3.91)

3.3.2 Método de Ellstein

Este método fue propuesto por Ellstein (1986) para túneles en terreno puramente cohesivo. El túnel se

supone de forma cuadrada a una profundidad C.

El valor de presión máxima que puede soportar el terreno es ( ) uc22 + puede obtenerse escribiendo el

equilibrio de la cuña presentada en la figura 3.13.

Figura 3.13 Cuña supuesta por el método de Ellstein

(3.92)

(3.93)

5.0≤−

c

Tpσ

σ

2

2DcR uL =

22DcR uC =

MIC 2006-II-2

29

Según el enfoque anterior, el esfuerzo vertical máximo en la clave del túnel disminuye hasta el valor

( ) uc22 + utilizando la expresión del criterio de ruptura de Tresca, se puede escribir:

(3.94)

(3.95)

Ellstein (1986) considera también otros dos términos: el primero tiene en cuenta el peso de la esquina de

terreno situada delante del túnel, el segundo tiene en cuenta el efecto de una masa de terreno de forma

piramidal subyacente a la esquina. El equilibrio de la esquina proporciona la expresión de la presión

admisible en la clave, que es igual a:

(3.96)

Lo que lleva a reescribir la ecuación (3.95) de la forma:

(3.97)

Así pues, el valor mínimo de la cohesión necesaria para garantizar la estabilidad de la obra es igual a:

(3.98)

Si se introduce una presión de sostenimiento uniforme en la cara del túnel , aumenta la presión vertical

máxima permitida en parte superior de la obra hasta

(3.99)

Si se tiene en cuenta este último valor en la ecuación (3.94), se obtiene:

(3.100)

El criterio de Tresca sólo puede aplicarse a esfuerzos verticales y horizontales si estos últimos

corresponden a los esfuerzos principales.

uvh c2=−σσ

( ) uu ccCK 2220 =+−γ

( ) 6222 DDcu γγ −−+

( )[ ] uu cDDcCK 262220 =−−+− γγγ

2432

0

+

+=

DCKcu

γγ

( ) Tuc σ++ 22

( )2432

0 +−+= uT cDCK γγσ

MIC 2006-II-2

30

Por otra parte, sustituir hσ por 0CKγ en la ecuación (3.94) equivale a decir que el esfuerzo vertical es

igual a Cγ , mientras que este esfuerzo se coloca igual a ( ) uc22 + en la misma ecuación.

3.3.3 Método de Anagnostou y Kovári

Este método se basa en dos ideas fundamentales: la primera es que la presión que actúa en la clave del

túnel puede deducirse de la fórmula de Terzaghi (1951), la segunda es considerar el equilibrio de una cuña

de terreno situada ante el frente de excavación, sujeta a diferentes esfuerzos

Estos cálculos se aplican también a obras situadas debajo del nivel freático.

El cálculo de la presión en la clave del túnel se obtiene a partir de la fórmula de Terzaghi (1951), adaptada

a condiciones tridimensionales. Por simplificación, el frente de excavación se asimila como un cuadrado

de lado igual al diámetro del túnel.

El esquema de deslizamiento se puede ver en la figura 3.14.

El perímetro donde se movilizan los esfuerzos resistentes sobre el túnel es igual a ( )βtan12 +D que

corresponde a la longitud de la línea CDEFC.

Figura 3.14 Hipótesis del método de Anagnostou y Kovári

MIC 2006-II-2

31

El esfuerzo vertical se ejerce sobre una superficie igual a βtan2D correspondiente a la superficie del

cuadrilátero CDEF.

La ecuación (3.5) se reescribe por lo tanto de la siguiente manera:

(3.101)

Con

(3.102)

Cuando el túnel se excava debajo del nivel freático, la presión en esta capa se calcula a partir de la

expresión:

(3.103)

y la presión en la cota clave del túnel es entonces:

(3.104)

dónde C corresponde a la cobertura total del túnel, CW la cobertura bajo el nivel freático, K y Kw la

relación entre los esfuerzos horizontales y verticales en el terreno situado sobre y debajo del nivel freático

respectivamente.

El equilibrio de la cuña se basa en las hipótesis de distribución de los esfuerzos definida por la norma

alemana DIN-4126 (1986). Donde:

ϕϕσ

ϕγσ

tantan1

tanK

RC

s

KRC

v eeK

cR −−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

( )ββ

tan12tan

+=

DR

ϕϕσ

ϕγσ

tantan1

tanK

RCC

s

KRCC

dNF

ww

eeK

cR −−

−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

ϕϕσ

ϕγσ

tan

1

tan1

tan' w

ww

w KR

CKR

C

wCT ee

KcR −−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

MIC 2006-II-2

32

Figura 3.15 Cuña de distribución de esfuerzos según DIN-4126

TRσ es la resultante de la presión de sostenimiento,

CTRσ la resultante de la presión vertical,

γR la resultante del peso volumétrico de la cuña

τ el cizallamiento sobre las paredes laterales de la cuña

El valor de τ se calcula a partir de las indicaciones de la norma DIN-4126 (1986). Su valor es igual a:

(3.105)

Con

(3.106)

lo cual da una resistencia al cizallamiento media sobre las superficies laterales de la cuña situada ante el

frente excavación de:

(3.107)

El valor de K que debe utilizarse en las distintas fórmulas plantea algunas cuestiones.

ϕστ tanHc +=

( )0Kz

DzD

CTH ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−= γσσ

ϕσγτ tan3

230 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= CT

medDKc

MIC 2006-II-2

33

A partir de los resultados de pruebas realizados por Gudehus y Melix (1986) y Melix (1987), Anagnostou

y Kovári (1994) preconizan un valor de K igual a 0,8 en los terrenos situados sobre la capa freática. Para

los terrenos debajo de la capa, el valor de K se toma igual a la mitad del valor anterior, es decir, 0,4.

El planteamiento descrito anteriormente estima la presión de sostenimiento que equilibra el sistema, para

un ángulo β dado. La presión de sostenimiento que debe aplicarse es igual a la máxima de las presiones

obtenidas haciendo variar el ángulo β .

3.3.4 Método de Murayama

El método de Murayama, descrito por Péra (1985), se basa en los mismos principios fundamentales que

los enfoques anteriores: estimación de la presión de tierras en la clave del túnel y equilibrio de la masa de

las tierras situada en el frente de excavación.

Según Péra (1985), la presión de las tierras puede calcularse en los casos de los túneles de baja

profundidad como igual al esfuerzo geostático. En caso de que profundidad sea suficiente como para

desarrollarse un efecto de arco, las fórmulas de Terzaghi (1951) o de Protodyakonov pueden utilizarse:

La superficie de deslizamiento está constituida por una espiral logarítmica, cuya tangente hace un ángulo

de 24 ϕπ + con el radio vector θr , y que se desarrolla entre la parte inferior de la obra y el nivel de la

clave del túnel, el ángulo entre los radios extremos sr y ir es igual a 24 ϕπ − .

Figura 3.16 Hipótesis del método de Murayama

MIC 2006-II-2

34

Los parámetros geométricos del espiral se deducen de la expresión del espiral

(3.108)

Se tiene entonces:

(3.109)

(3.110)

La presión de sostenimiento en el frente de excavación se obtiene escribiendo el equilibrio de los

momentos con relación al punto O. El equilibrio de los momentos se escribe de la siguiente manera:

(3.111)

dónde T

Lσ , CT

Lσ , γL son los brazos de palanca de las distintas resultantes. La solución de la ecuación

(3.111) conduce a la estimación de la presión a aplicarse sobre el frente de excavación. Este método

combina a la vez dos tipos de enfoques bidimensionales, en dos direcciones perpendiculares.

Para el cálculo de la presión en la clave del túnel utiliza las fórmulas de Terzaghi (1951) o de

Protodyakonov, y al escribir el equilibrio de la espiral, supone que se pueden tomar condiciones de

deformación plana en la dirección perpendicular al eje del túnel.

3.4 Asentamiento Superficial

Predecir el asentamiento superficial causado por la construcción de los túneles es de gran importancia, no

se puede esperar que estos asentamientos sean controlados totalmente, sin embargo, los diseños deben

enfocarse en limitarlos de tal forma que no sean causales de daños a estructuras vecinas.

Pocos se han dedicado a estudiar los aspectos teóricos de la deformación causada por los túneles, la

mayoría de los métodos para estimar los asentamientos son de naturaleza empírica y basados en

observaciones de campo.

Estos asentamientos se presentan debido a las causas presentadas a continuación e ilustradas en la figura

3.17.

( )ϕθθ tanexpsrr =

( )24coscos1 ϕπϕ +−= is rrL

( ) ( )[ ]ϕϕπ ϕπϕ sin24sin 24tan −+= +erD s

ϕσσγγσσ tan2

22si rrcLRLRLR

CTCTTT

−−+=

MIC 2006-II-2

35

Figura 3.17. Causas constructivas del asentamiento superficial

1) Deformación del suelo por delante del frente debido a la relajación de esfuerzos

2) Sobreexcavación producida por la cabeza de corte

3) Gap (holgura) entre las dovelas y la parte exterior del escudo

4) Deformación del sostenimiento debido a las cargas del terreno

5) Consolidación. Modificaciones en los esfuerzos efectivos originan asentamientos adicionales en

el terreno a largo plazo.

3.4.1 Aproximaciones Empíricas

El método más común es el de estimar el valor de i , el cuál es un parámetro utilizado para definir la

distancia al punto de inflexión del asentamiento desde la línea central del túnel. La distribución de los

asentamientos se aproxima a una curva de distribución normal de probabilidad como lo describe Peck

(1969).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 2

2

max,0 2exp

ixSS (3.112)

max,0S es el asentamiento máximo sobre la línea central del túnel e i es la distancia desde la línea central

hasta el punto de inflexión de la curva de asentamiento. Diferentes expresiones para i se han obtenido a

partir de observaciones de campo como se pueden ver en la tabla 3.3.

MIC 2006-II-2

36

Diversos estudios se han llevado a cabo sobre este tipo de aproximación, New y O`Reilly (1991), Mair et.

al. (1996), Attewell (1986), describen la aplicación de la campana de distribución Gaussiana para la

predicción de asentamientos verticales y horizontales debida a túneles individuales o múltiples.

Bracegirdle y Mair (1996) utilizan la distribución normal para evaluar el daño potencial en tuberías

vecinas inducido por la contrucción de un túnel.

Yoshida y Kusakabe (1994) estudian el comportamiento del terreno y tuberías enterradas adyacentes al

túnel.

Durand et. al. (1994) utiliza la distribución normal para predecir el asentamiento del terreno y sus efectos

en las edificaciones vecinas en los diseños de la autopista subterranea de Toulon.

TABLA 3.3 SOLUCIONES EMPÍRICAS DE ASENTAMIENTO MEDIANTE i.

Referencia i Bases del método

Peck (1969) ( )nRzRi 2// 0= ( )0.18.0 −=n Observaciones de campo

Attewel y Farmer

(1974) ( )nRzRi 2// 0= ( )0.1=n Observaciones de campo de túneles

en UK

Clough y Schmidt

(1981) ( )nRzRi 2// 0= ( )8.0=n Observaciones de campo de túneles

en UK

O`Reilly y New

(1982)

mzi 1.143.0 0 +=

(suelo cohesivo ( )mz 343 0 ≤≤ )

mzi 12.028.0 0 −=

(suelo granular ( )mz 106 0 ≤≤ )

Observaciones de campo de túneles

en UK

Atkinson y Potes

(1977) ( )Rzi += 025.0 (arena suelta)

( )Rzi 5.05.125.0 0 +=

(arena densa y arcilla SC)

Observaciones de campo y ensayos

en modelos

Leach (1985)

( ) mzi 01.145.057.0 0 ±+=

Para sitios donde los efectos de la

consolidación son insignificantes

Mair et al. (1983) 05.0 zi = Observaciones de campo y ensayos

en centrífuga

MIC 2006-II-2

37

Figura 3.18. Esquema de los asentamientos a diferentes profundidades

El valor de max,0S en la superficie o max,zS a una profundidad z bajo la superficie, se obtienen al igualar

el volumen de suelo asentado con el volumen de suelo que se pierde.

Al integrar la ecuación (3.112), se obtiene:

π2maxiSVs = (3.113)

π2max iVS s= (3.114)

MIC 2006-II-2

38

El suelo perdido debido a la construcción del túnel tiene dos fuentes principales, movimientos y pérdida

de material en la cara del túnel y el suelo que se extrae de más debido a la holgura entre el diámetro de la

tuneleadora y el del recubrimiento final del túnel. Se puede despreciar el movimiento en la cara del túnel

debido a que la cara es soportada en todo momento por la tuneleadora y los diámetros son pequeños. Por

lo tanto la única contribución significativa a la pérdida de material es el suelo excavado de más por la

tuneleadora de diámetro eD que es mayor que el diámetro externo de la tubería pD . Por lo tanto se

asume que:

( )22

4 pes DDV −=π

(3.115)

Una comparación de los diferentes aproximaciones de i , para el método de Peck, se presenta a

continuación para un túnel hipotético en suelo arcilloso de cuatro metros de diámetro localizado a una

profundidad de treinta metros con una pérdida de material del 1%.

Se tiene:

01.022

max ==RiS

VV

t

s

ππ

(3.116)

TABLA 3.4. VALORES DE ASENTAMIENTO MÁXIMO PARA DIFERENTES VALORES DE i. Método i S0,max

Clough y Schmidt (1981) 10,02 0,0050

O`Reilly y New (1982) 14,00 0,0036

Atkinson y Potes (1977) 11,50 0,0044

Leach (1985) 15,08 0,0033

Mair et al. (1983) 15,00 0,0033

MIC 2006-II-2

39

0

1

2

3

4

5

6

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Distancia al centro del túnel (m)

Ase

ntam

ient

o (m

m)

Clough y Schmidt O`Reilly y NewAtkinson y Potes LeachMair et al., Attewel y Farmer

Figura 3.19. Resultados de curvas de asentamiento según diferentes autores.

Al comparar los diferentes métodos se tienen rangos de asentamiento máximo de entre 3 y 5 mm, y

valores de i , entre 10 y 15 m. Esto muestra que hay discrepancias significativas entre las soluciones

empíricas para predecir el asentamiento superficial debido a las diferentes interpretaciones y bases de

datos de cada autor.

3.4.2 Aproximaciones Teóricas

La curva de probabilidad normal propuesta por Peck (1969) para modelar el perfil observado de

asentamiento no tiene bases teóricas y se basa solamente en el hecho de que las curvas eran parecidas en

su forma a los resultados encontrados en campo.

Pocos autores han presentado predicciones analíticas del movimiento del terreno inducido por la

construcción de túneles en suelos blandos. El modelo más significante fue propuesto por Sagaseta (1987)

el cual propone la solución mediante la obtención del campo de esfuerzos en un suelo incompresible,

combinando flujo de agua con soluciones elásticas para la mitad del espacio. Sagaseta (1987) resolvió

para una singularidad en un punto de un medio plano elástico y adicionó la imagen de la solución para la

singularidad en un punto localizado simétricamente sobre la superficie del suelo, de tal forma que los

MIC 2006-II-2

40

esfuerzos normales o de corte se neutralizan. Una imagen espejo negativa del punto con respecto al punto

en la superficie produce esfuerzos normales opuestos y esfuerzos de corte iguales al punto real.

Inversamente, una imagen negativa produce el mismo esfuerzo normal y esfuerzos de corte inversos. Sin

embargo, estas soluciones elásticas no son efectivas en suelos blandos debido a que las soluciones

elásticas son más aplicables en rocas. Verruijt y Booker (1996) modificaron las soluciones elásticas de

Sagaseta (1987) y aplicaron varios valores de relación de Poisson e indujeron el efecto de la ovalización

de la abertura del túnel. Sin embargo, las soluciones condujeron a perfiles levemente más amplios de

deformaciones laterales que los realmente inducidos por la construcción de un túnel.

Por lo tanto, Loganathan y Poulos (1998) redefinieron el parámetro de pérdida de tierra con respecto al

parámetro de holgura y lo utilizaron en las soluciones propuestas por Verruijt y Booker (1996). Sus

resultados rindieron perfiles más exactos de la superficie, las deformaciones superficiales y laterales

secundarias según lo ilustrado en cinco estudios proporcionados por Loganathan y Poulos (1998).

El parámetro de holgura puede ser estimado basado en el método teórico desarrollado por Lee et al.

(1992) como se muestra a continuación:

SUGg Dp ++= *3 (3.117)

Donde:

pG = holgura física = diferencia entre el diámetro máximo externo de la tuneleadora y

el diámetro externo del soporte, para un túnel circular δ+∆= 2

∆ = ancho de las salientes del soporte

δ = separación para insertar el soporte *

3DU = deformación elastoplástica en la cara del túnel = ( ) xk δ2/

k = resistencia al cortador del suelo ( 9.07.0 −=k para suelo arcilloso rígido, 0.1=k para suelo

arcilloso muy blando)

xδ = intrusión de suelo en la cara del túnel = ERP /0Ω

Ω = factor de desplazamiento adimensional (Lee et al. 1992)

0P = iwv PPPK ++0

0K = coeficiente de presión de tierras en reposo

MIC 2006-II-2

41

vP = esfuerzo vertical efectivo en la línea media de túnel

wP = presión de poros en la línea media de túnel

iP = presión en el soporte del túnel

w = factor de ejecución = menor que pG6.0 y iU , donde iU se define como el desplazamiento debido

a la deformación del plano elastoplástico en la corona del túnel (Lo et al. 1984).

Las ecuaciones analíticas generales modificadas y basadas en Verruijt y Booker (1996) para estimar el

asentamiento superficial ( 0=zU ), el asentamiento sub superficial ( zU ) y la deformación lateral ( xU ) son:

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

== 2

2

222

00 cot38.1exp14

RHx

xHHRU z β

υε (3.118)

( )( )[ ]

( )( )( )[ ]

( )[ ]( )[ ] ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+−−

+++−

+−+

−−= 2

2

2

2

222

22

22222

069.0

cot38.1exp243

Hz

RHx

Hzx

HzxzHzx

HzHzx

HzRU z βυε

(3.119)

( )[ ]( )

( )[ ]( )( )[ ] ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+−

++−

+−+

−= 2

2

2

2

22222222

069.0

cot38.1exp4431

Hz

RHx

zHx

HzzzHxzHx

RU x βυε

(3.120)

Donde:

R = radio del túnel

z = profundidad bajo la superficie del terreno

H = profundidad hasta el eje del túnel

υ = relación de Poisson del suelo

0ε = relación promedio de pérdida de material

x = distancia lateral desde la línea central de túnel

β = ,2/º45 ϕ+ donde ϕ es el ángulo de fricción

MIC 2006-II-2

42

Capítulo 4

MODELOS CONSTITUTIVOS

4.1 Hipoplasticidad

La ley constitutiva hipoplástica es una relación tensorial, incremental, no lineal que describe el

comportamiento de esfuerzo-deformación de un medio granular. Los esfuerzos utilizados son siempre

efectivos, por lo tanto en las expresiones siguientes, éstos no llevan una simbología especial.

Bauer, 1996 y Wolfferdsdorff, 1996, mediante una modificación a una versión anterior de la ecuación

hypoplastica lograron que ésta incluyera la superficie de fluencia de Matsuoka Nakai dando como

resultado la siguiente forma a la ecuación.

( ) ( ) DeNDeL ,:, Τ+Τ=Τo

(4.1)

con

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΤΤ+Ι

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΤΤ

=∧∧

∧∧22

:

1 aFffL eb

def (4.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ+Τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΤΤ

=∧∧

∧∧

*

:

FaffN ds

def (4.3)

con ( )jkiljlikijklI δδδδ +==Ι 21 y ∧∧∧∧

ΤΤ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΤΤ klij

ijkl

MIC 2006-II-2

43

De esto se tiene

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ+Τ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ΤΤ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΤΤ

=Τ∧∧∧∧

∧∧DaFfDtraDFf ds

*22

:

1o

(4.4)

Por lo tanto, por definición

ΤΤ=Τ∧

trdef

, Idef

31*

−Τ=Τ∧∧

La constante del material a depende del ángulo de fricción crítica cϕ :

( )c

cdef

aϕϕ

sin22sin33 −

= (4.5)

El factor escalar F dependiente de la presión, viene del criterio de Matsuoka Nakai.

ψθψ

ψψ tan22

13costan22

tan2tan81 2

2 −+

−+=

defF (4.6)

con

*

3tan∧

Τ=def

ψ (4.7) y, 23**

***

:

63cos

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΤΤ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ⋅Τ⋅Τ

−=∧∧

∧∧∧

trdef

θ (4.8)

Los factores escalares df , ef y bf , que consideran la dependencia en la presión, y densidad del material,

se definen de la siguiente manera:

MIC 2006-II-2

44

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=dc

ddef

d eeee

f (4.9)

β

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ee

f cdef

c (4.10)

1

00

0021

0

0 3331

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

αβ

dc

di

n

s

s

i

i

c

isdef

b eeee

aahp

ee

ee

nh

f (4.11)

La siguiente función matemática, describe la dependencia de las fronteras de la relación de vacíos con la

presión isotrópica:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−===

n

s

s

d

d

c

c

i

i

hp

ee

ee

ee 3

exp000

(4.12)

Donde de es la relación de vacíos mínima, ce la relación de vacíos crítica y ie la relación de vacíos

máxima para una condición de esfuerzo isotrópico determinada. El subíndice 0 , corresponde a la

relación de vacíos para un esfuerzo isotrópico nulo. sp es la presión media, sh la dureza granular y el

exponente n . El proceso de caída de relación de vacíos desde la máxima hasta la mínima se puede ver

representada en la figura 4.1. El achurado representa valores de relación de vacíos que no son físicamente

posibles mientras exista un esqueleto granular.

MIC 2006-II-2

45

Figura 4.1 Fronteras de la relación de vacíos para diferentes densidades.

Las fronteras de la relación de vacíos las definen ie y de encerrando el rango de valores válido para la

ley del material. Según la definición de df (ecuación 4.9), los problemas numéricos se presentan en el

caso en que el valor de relación de vacíos alcanza valores menores a de y no cuando se tienen valores

mayores a ie .

La frontera inferior de , para unos parámetros dentro del rango adecuado no podrá ser sobrepasada

mediante una compresión isotrópica. Sin embargo, en el caso de una extensión isotrópica, se puede llegar

computacionalmente a valores de dee < . La figura 4.2a), muestra como la relación de vacíos se va

ajustando a través de un proceso de compresión y extensión isotrópica. La línea punteada representa la

línea límite inferior de la relación de vacíos de , para el proceso.

MIC 2006-II-2

46

a) b)

Figura 4.2. Ajustes en la relación de vacíos a): Frontera inferior de la relación de vacíos es sobrepasada mediante extension isotrópica sin modificar fd. b): Frontera inferior de la relación de vacíos no es sobrepasada mediante extension isotrópica al modificar fd.

Cuando la relación de vacíos alcanza valores por debajo de la línea de , el factor df toma valores

complejos y el cálculo computacional se cae. Al utilizar un número considerable de elementos durante

una simulación, la posibilidad de que esto suceda es cada vez mayor. Al ser esto algo indeseable para el

usuario, Niemunis et al. 1996, sugiere una condición consistente, la cual modificando la definición de df

previene que se llegue a valores de relación de vacíos menores a de . La línea de frontera inferior de

relación de vacíos, se describe entonces de la siguiente manera.

( ) 03

exp. 0 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=Τ

n

s

sdd h

peetreF (4.13)

Un vector perpendicular a la línea de frontera con sus componentes en la dirección e y p , se presenta en

la figura 4.3.

( )( ) ( ) ( )[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Τ∂∂

∂∂

==ΤtrF

eF

MMetrM dddT

de

d ,,, (4.14)

MIC 2006-II-2

47

Las componentes de M son por lo tanto:

( )

( )1

,1

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Τ−−=

Τ∂∂

=

=∂

∂=

n

ss

dddT

dde

htrn

he

trF

M

eF

M

(4.15)

Figura 4.3 Definición del vector M perpendicular a la línea de , en el plano e - p .

Al ser la extensión isotrópica el camino más desfavorable con una contractancia máxima de

rsrsD δ3/1= ( D : Tensor de rata de deformación). El valor de df se modifica mediante el factor df .

( ) ( ) ( ) ( )( ) affM

affMeMf

ebd

T

ebd

Td

e

d 3

33

313 2+++−= (4.16)

Finalmente la función para df se presenta a continuación:

d

z

dc

d

dc

dd f

eeee

eeee

f⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=αα

1 (4.17)

MIC 2006-II-2

48

Para mantener el signo, se debe utilizar un número impar para z .

El efecto causado por la modificación a df , se representa en la figura 4.3b).

Esta modificación, evita que se presenten valores de relación de vacíos menores a la frontera de , sin

embargo, causa problemas para cuando se trabajan deformaciones cíclicas.

4.2 Visco-hipoplasticidad

Para describir el comportamiento de los suelos blandos se requiere de una ley constitutiva capaz de tener

en cuenta las características viscosas de éste tipo de materiales. La ley constitutiva visco-hipoplástica

puede describir comportamientos de creep, relajación y dependencia de la velocidad. Fue desarrollada

por Niemunis, mediante una modificación de la ley hipoplástica.

La diferencia substancial que presenta la visco-hipoplasticidad con respecto a la hipoplasticidad se debe a

que se cambia el término no lineal de la hipoplasticidad por un termino de relajación. El factor de

picnotropía y de densidad, se reemplazan por un factor dependiente del grado de sobreconsolidación

OCR. Adicionalmente, el factor de barotropía bf , se modifica y utiliza en lugar de la deformación lineal

logarítmica.

La primera versión de la ley visco-hipoplástica se publicó en 1996 por Niemunis. La extensión para casos

tridimesionales, se publicó el mismo año y se describe en Niemunis, 1996b. La implementación de la ley

visco-hipoplástica con deformación intergranular en un programa de Fortran, la realizó Niemunis en 1996.

Una descripción detallada puede verse en Niemunis, 2002. Debido a que la tendencia al creep del

material presenta gran sensitividad al grado de sobre consolidación, un algoritmo numérico especial fue

desarrollado por Niemunis 1996b.

La parte lineal y la no lineal de la ecuación (4.1) puede ser escrita de la siguiente manera:

∧∧∧

ΤΤ+= 22 aIFL y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ+Τ=∧∧∧ *

FaN

MIC 2006-II-2

49

La parte lineal de la ecuación principal de la hipoplasticidad (ecuación 4.1) queda entonces de la siguiente

manera:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Τ

∧−∧∧

||||::1

DNLDLfb

o

(4.18)

El inverso de la parte lineal es:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΤΤ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΤΤ−=

∧∧

∧∧−∧

:

122

1

aF

IF

L (4.19)

El término de la ecuación 4.18 ||||:1

DNL∧−∧

− se reemplaza por un término viscoso visD , de tal forma

que la ecuación principal de la visco-hipoplasticidad queda:

( )visb DDLf −=Τ

∧

:o

(4.20)

El factor de barotropía bf considera la influencia de la presión media en el comportamiento mecánico.

En suelos no cohesivos, esta influencia es considerada como un comportamiento hipoplástico en la

ecuación 4.11. Para suelos cohesivos, en el caso visco-hipoplástico el comportamiento con bf se

considera diferente durante la carga y la descarga, de la siguiente manera:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

0

0 ln11

lnpp

ee

λ (carga) (4.21)

MIC 2006-II-2

50

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

0

0 ln11

lnppk

ee

(recarga) (4.22)

Donde, λ corresponde a la pendiente de la línea de carga, y k a la de recarga o descarga. p

corresponde a la presión media y los subíndices 0 se refieren a los valores de referencia.

La función de barotropía para la ley visco-hipoplástica se presenta en la ecuación 4.23, para el caso de

condiciones isotróícas, y mediante la ecuación 4.24, para el caso de condiciones edométricas con

coeficiente de presión de tierras constante.

Τ−=+

Τ−= tr

katrf bb β

]3/1[ 2 (4.23)

Τ−=++Τ

−= trkKa

trf bb β00

2 )]21/(1[ (4.24)

k y 0k , son los gradientes de la línea de descarga en el diagrama doble logarítmico de relación de vacíos

vs. presión. La diferencia corresponde a que k se obtiene mediante un ensayo de compresión isotrópica,

y 0k , mediante compresión edométrica. Debido a que se determina más fácilmente en el laboratorio,

mediante un ensayo de compresión edométrica el valor de 0k , de las ecuaciones del factor bf , para trT

constantes se puede encontrar una relación entre k y 0k , presentada en la ecuación 4.25.

( ) ( )[ ] 00

22 2111

311

kKakab ++=

+=β (4.25)

La intensidad del creep depende en la ley visco-hipoplástica de la relación de vacíos y el grado de

esfuerzos. La deformación por creep descrita por Norton, que se puede ver en Niemunis, 2002, queda de

la siguiente manera.

vI

rvis

OCRbDD

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (4.26)

MIC 2006-II-2

51

En la formula, el tensor normal ∧−∧

⋅= NLb1

determina la dirección del creep. rD es la rata de

deformación de referencia. vI es el índice de viscosidad de Leinenkugel, 1976. La expresión del OCR,

corresponde a la definida por Horslev basada en la presión equivalente ep . La dependencia de la

velocidad hace necesaria una relación de referencia entre la presión para una determinada relación de

vacíos y una velocidad de deformación. Adicionalmente la ecuación para compresión isotrópica en la ley

visco-hiplástica queda de la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

0

0

11

lne

ee

pp

ee

λ (4.27)

0ee y 0ep son valores de referencia para una velocidad de deformación constante. Todos los valore de

p y e quedan ubicados dentro de una línea recta (isotaca de referencia), para la cual se cumple que

1=OCR . En casos de estados de esfuerzo no isotrópicos, se utiliza la condición de la teoría del Cam

Clay modificado. En el diagrama p vs. q resultan por lo tanto elipses tal como se puede ver en la figura

4.4, la línea punteada corresponde a un suelo normalmente consolidado 1=OCR .

( ) ( ) ( )ccTFTM ϕϕ sin3sin6 −= , es el gradiente superior de la línea del estado crítico (Critical State

Line = CSL) y depende junto con F (ecuación 4.6) del ángulo de Lode. Sobre la línea del estado crítico

es posible que se presente un flujo viscoso ante deformación y esfuerzo constante. Para una velocidad de

deformación el tamaño de la elipse depende de la relación de vacíos y aunque la velocidad se varíe, la

forma sin embargo se mantiene constante. En relación a la elipse de referencia, aquellas elipses que

contengan un menor diámetro corresponden a suelos sobre-consolidados, ( )1>OCR .

MIC 2006-II-2

52

Figura 4.4 Elipse de esfuerzos en el diagrama p - q .

En general, el grado de sobre-consolidación se define:

+= ee ppOCR (4.28)

ep resulta de la ecuación 4.27. Para +ep se tiene:

( )[ ]1111

22 −−+−

=+ βηββ

ppe para 1<η y (4.29)

( )2

11 βη ++=+ ppe para 1>η (4.30)

( )10 << ββ es un parámetro del material, que especifica la forma de la elipse. Para η se aplica

( )Mpq=η .

La rata de deformación de referencia rD se obtiene de la velocidad de deformación, con la cual se

realizaron los ensayos de laboratorio. La ecuación 4.31 describe la relación entre la velocidad de

deformación y la deformación viscosa bajo condiciones de esfuerzo isotrópico y .1=OCR

MIC 2006-II-2

53

visr DDD =

−−=

31

κλλ

(4.31)

Esto significa que la velocidad del creep en cada punto de la curva es la misma. En Niemunis, 2002, se

prueba que la ecuación 4.31 también aplica para suelos sobre-consolidados 1>OCR .

En condiciones edométricas, el cálculo de rD , se hace complicado debido a que la velocidad de

deformación en la prueba del laboratorio no es proporcional a la velocidad de deformación viscosa. En

Niemunis, 2002, se presentan diagramas de los cuales se puede ver la relación entre 11D y rD para

1=OCR , como función del ángulo de fricción crítico. Debido a que la inclinación de las líneas de

descarga son diferentes en caso isotrópico ( )κ y edométrico ( )0κ , también se consideran estos casos en

los diagramas. En la figura 4.6a) se representa la dependencia de rDD11 frente a cϕ en condiciones

edométricas, y la figura 4.5a) presenta la misma relación para condiciones isotrópicas. Adicionalmente

los factores de presión de tierra en reposo se presentan en ambas figuras en la parte b) en función del

ángulo de fricción crítica cϕ , para una condición de normal consolidación.

a) b)

Figura 4.5 rDD11 y 0K en función del ángulo crítico para diferentes κλ a partir de un ensayo bajo

condiciones de esfuerzo isotrópico. (Tomado de Niemunis, 2002)

MIC 2006-II-2

54

La ecuación 4.32 corresponde al valor de frontera superior de 0K en función de cϕ para el caso en que

∞→κλ , la gráfica 4.7, muestra gráficamente la ecuación. (el parámetro a viene de la ecuación 4.5).

1636362 422

sup0

aaaK +++−−= (4.32)

a) b)

Figura 4.6 rDD11 y 0K en función del ángulo crítico para diferentes κλ a partir de un ensayo bajo

condiciones de esfuerzo edométrico. (Tomado de Niemunis, 2002)

El parámetro vI considera el grado de viscosidad del material, y puede ser determinado de una de las

siguientes maneras: compresión isotrópica con diferentes velocidades de deformación, compresión

edométrica con diferentes velocidades de deformación, ensayos de corte no drenado a diferentes

velocidades de deformación, ensayos de creep bajo condiciones isotrópicas, ensayos de creep bajo

condiciones edométricas, y ensayos de relajación.

En [10] se presentan las relaciones matemáticas para determinar vI en cada tipo de ensayo nombrado.

MIC 2006-II-2

55

Figura 4.7 Valor superior de 0K en función del ángulo crítico

4.3 Deformación Intergranular

Si el suelo es sometido a pequeños cilclos de carga, su reacción es aproximadamente elástica. Durante la

simulación numérica convencional con hipoplasticidad las deformaciones se acumulan ante los ciclos de

carga, y en caso de condiciones no drenadas, se presenta un incremento extremado en la presión de poros.

Para corregir estas desventajas, a las leyes hipoplásticas del material de Niemunis y Herle, 1997, se les

agregó la deformación intergranular.

La relación esfuerzo-deformación puede por lo tanto ser descrita de la siguiente manera:

DM :=Τo

(4.33)

La rata de esfuerzos, se calcula mediante el cálculo del tensor de cuarto orden M y el tensor de

deformación D . La filosofía de la extensión matemática consiste en modificar los términos L y Ν de

MIC 2006-II-2

56

tal forma que se escale la rigidez, cuando las direcciones de aplicación de carga varían. Esto se hace a

través de los multiplicadores escalares Tm y Rm , dependientes del ángulo entre la dirección de la

deformación intergranular h y la rata de deformación D .

La rigidez se define según la deformación intergranular de la siguiente manera:

( )[ ] ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−

Ν+−+−+= ∧∧

∧∧∧

hhLmm

hhhLmLmmMTR

TRT

:

:11χ

χχχχ

ρ

ρρρρ parapara

0:0:

≤>

∧

∧

DhDh (4.34)

Los parámetros χ y R son constantes del material. La dirección de las deformaciones intergranulares

presenta cambios dependientes de la historia de carga. La velocidad de deformación intergranular se

describe como:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∧∧

D

DhhIhr :βρo

parapara

0:0:

≤>

∧

∧

DhDh (4.35)

El parámetro rβ dirige el desarrollo de o

h para 0: >∧

Dh . Con la ley visco-hipoplástica se considera que

se desarrolla la deformación intergranular únicamente para D y no para visD .

MIC 2006-II-2

57

Capítulo 5

SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS

Un total de 35 simulaciones fueron realizadas, para cubrir rangos de túneles con diámetros de entre 1.6 m

y 4 m y profundidades a cota clave entre 4 m y 12 m.

5.1 Modelo Básico

Las simulaciones numéricas se llevaron a cabo utilizando la plataforma ABAQUS, y una subrutina

UMAT desarrollada por Niemunis (1996b), para incluir la ley visco-hipoplástica como material definido

por el usuario.

Para lograr una densidad de malla adecuada y hacer el modelo computacionalmente posible se optó por

utilizar simulaciones en 2D. Un total de 35 simulaciones fueron realizadas, para cubrir rangos de túneles

con diámetros de entre 1.6 m y 4 m y profundidades a cota clave entre 4 m y 12 m.

5.1.1 Geometría y enmallado

La Figura 5.1, muestra un esquema genérico de los modelos, y la Tabla 5.1, las dimensiones utilizadas

para las diferentes simulaciones realizadas.

Figura 5.1. Esquema geométrico de los modelos.

C

DD5~

D5~

x

y

C

DD5~

D5~

C

DD5~

D5~

x

y

MIC 2006-II-2

58

Se utilizaron las posibles combinaciones de las dimensiones presentadas en la Tabla 5.1, de tal forma que

se elaboraron un total de 35 modelos.

TABLA 5.1. DIMENSIONES DE LOS MODELOS

D [m] C [m]

1.6 4.0

2.0 6.0

2.4 8.0

2.8 10.0

3.2 12.0

3.6

4.0

La Figura 5.2, corresponde a la malla utilizada para el caso de C = 4m, y D = 1.6 m. Los elementos utilizados son cuadriláteros de 4 nodos.

Figura 5.2. Malla Típica.

La tabla 5.2 Presenta las características geométricas de cada uno de los modelos empleados, incluyendo

número de nodos y de elementos.

H

L

H

L

MIC 2006-II-2

59

TABLA 5.2. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LOS MODELO ANALIZADOS. Malla No.

C [m]

D [m]

L [m]

H [m]

No. Nodos

No. Elementos

1 4.0 1,6 42 25,8 8432 8290 2 4.0 2,0 42 26,0 8543 8400 3 4.0 2,4 42 26,2 8463 8320 4 4.0 2,8 42 26,4 8494 8350 5 4.0 3,2 42 26,6 8605 8460 6 4.0 3,6 42 26,8 8525 8380 7 4.0 4,0 42 27,0 8556 8410 8 6.0 1,6 42 27,8 9209 9060 9 6.0 2,0 42 28,0 9209 9060

10 6.0 2,4 42 28,2 9240 9090 11 6.0 2,8 42 28,4 9271 9120 12 6.0 3,2 42 28,6 9271 9120 13 6.0 3,6 42 28,8 9302 9150 14 6.0 4,0 42 29,0 9333 9180 15 8.0 1,6 42 29,8 9875 9720 16 8.0 2,0 42 30,0 9875 9720 17 8.0 2,4 42 30,2 10017 9860 18 8.0 2,8 42 30,4 10048 9890 19 8.0 3,2 42 30,6 10048 9890 20 8.0 3,6 42 30,8 10079 9920 21 8.0 4,0 42 31,0 9999 9840 22 10.0 1,6 42 31,8 10652 10490 23 10.0 2,0 42 32,0 10652 10490 24 10.0 2,4 42 32,2 10683 10520 25 10.0 2,8 42 32,4 10714 10550 26 10.0 3,2 42 32,6 10714 10550 27 10.0 3,6 42 32,8 10745 10580 28 10.0 4,0 42 33,0 10776 10610 29 12.0 1,6 42 33,8 11429 11260 30 12.0 2,0 42 34,0 11429 11260 31 12.0 2,4 42 34,2 11460 11290 32 12.0 2,8 42 34,4 11491 11320 33 12.0 3,2 42 34,6 11491 11320 34 12.0 3,6 42 34,8 11522 11350 35 12.0 4,0 42 35,0 11553 11380

Para la elaboración de las mallas, se realizó un programa en Fortran, del cuál se puede ver el código en el

anexo A.

MIC 2006-II-2

60

5.1.2 Condiciones de Borde

El modelo es simétrico con respecto al eje vertical que pasa por el centro del túnel, como se puede ver en

la Figura 5.1. Para evitar cualquier tipo de influencia de las fronteras en los resultados de las

simulaciones, éstas se ubicaron aproximadamente a 5 diámetros del túnel, con algunas variaciones

dependiendo de las dimensiones empleadas (ver tabla 5.2).

En las fronteras laterales, se restringió el movimiento en la dirección horizontal, y en la frontera inferior

se restringió el movimiento tanto horizontal como verticalmente

5.1.3 Material

Los siguientes parámetros visco-hipoplásticos fueron estimados a través de diferentes ensayos de

laboratorio, realizados a muestras de suelo, con profundidades de entre 4 y 12 metros en la ciudad de

Bogotá y se presentan en la tabla siguiente.

TABLA 5.3. PARÁMETROS VISCO-HIPOPLÁSTICOS

λ = 0.288

κ = 0.052

e100 = 3.00

β = 0.95

Iv = 0.062

Dr = 1E-5 [-/s]

OCR = 1

ϕc = 22º

mR = 5.0

mT = 2.0

χ = 1.0

βχ = 0.05

Rmax = 1.0E-4

γ = 12.7 kN/m3

5.2 Pasos de Análisis

El modelo pretende simular el efecto que tiene la construcción del túnel en el suelo, utilizando fuerzas

puntuales alrededor del perímetro del túnel, para representar el trabajo del recubrimiento.

El modelo consta de 3 pasos fundamentales que se describen a continuación.

MIC 2006-II-2

61

5.2.1 Paso Geostático

En éste paso se definen las condiciones iniciales del medio. Se plantea una distribución inicial de

esfuerzos geostáticos, y luego se aplica la gravedad como carga a todo el medio, de tal forma

que los esfuerzos quedan distribuidos linealmente con la profundidad con γ como pendiente ver

(figura 5.3).

Figura 5.3. Distribución geostática de esfuerzos

5.2.2 Paso de Excavación

Una vez las condiciones iniciales quedan definidas, se prosigue a realizar el proceso de

excavación. Para esto, se remueven los elementos que corresponden al interior del túnel, e

inmediatamente se fijan cargas puntuales alrededor de cada uno de los nodos del perímetro del

túnel para evitar cualquier tipo de desplazamiento en las paredes (ver figura 5.4).

Estas cargas, deben ser lo suficientemente altas para evitar el cerramiento del túnel, pero no

deben en ningún caso expandir el túnel, por lo que deben ser calculadas previamente mediante

otra simulación.

MIC 2006-II-2

62

Figura 5.4. Excavación y aplicación de cargas

5.2.3 Paso de Reducción de Carga

En el paso final, se reducen cada una de las cargas puntuales ubicadas en el perímetro del túnel

lentamente. Dicha reducción se hace linealmente, y se leen los resultados de desplazamiento tanto en la

superficie como en el perímetro del túnel cada vez que las cargas se reducen en 1%.

La simulación termina cuando los desplazamientos se hacen tan grandes que el modelo no logra

converger, lo que podría ser interpretado como el colapso de la obra.

La Figura 5.5, muestra el comportamiento del modelo a través de los pasos de simulación, para una zona

cercana al túnel.

La misma simulación se realizó para todas las dimensiones propuestas, encontrando variaciones en la

magnitud porcentual de la reducción de las cargas, dependiendo de la profundidad y el diámetro

utilizados.

MIC 2006-II-2

63

Figura 5.5. Reducción de cargas hasta el colapso

5.3 Presentación de Resultados

Las gráficas siguientes presentan los resultados obtenidos, mediante curvas adimensionales de esfuerzo

radial σR/σR0, contra porcentaje del volumen sobre excavado, Vloss./Vo. Donde σR0 corresponde al esfuerzo

radial ejercido por las cargas que se fijan al final del paso de excavación. Cinco gráficos diferentes de este

tipo muestran en las Gráficas 5.1 a 5.5, donde se varía la profundidad a cota clave.

Adicionalmente, se presentan en las Gráficas 5.6 a 5.10, los valores de σR0 para cada una de los modelos

simulados.

La presión radial σR0, corresponde a la presión que debe ejercer el recubrimiento para evitar cualquier tipo

de cerramiento del túnel, debido a que esto es constructivamente imposible, se presenta este valor

hipotético en las gráficas polares para las diferentes profundidades y diámetros simulados

Mediante estas gráficas se puede entonces calcular la presión real a la que se verá sometido el

recubrimiento utilizando la geometría y el porcentaje de volumen sobre excavado como datos de entrada.

Se hace entonces importante para el cálculo mediante el método presentado, la determinación del volumen

de sobre excavación.

MIC 2006-II-2

64

Gráfica 5.1. Curvas adimensionales de esfuerzos, para una profundidad de cota clave de 4 m

Gráfica 5.2. Curvas adimensionales de esfuerzos, para una profundidad de cota clave de 6 m.

1 0.96 0.92 0.88 0.84

σR/σR0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

%V

loss

CurvasD = 1.6 mD = 2.0 mD = 2.4 mD = 2.8 mD = 3.2 mD = 3.6 mD = 4.0 m

C = 6 m

1 0.96 0.92 0.88

σR/σR0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

%V

loss


C = 4 m

MIC 2006-II-2

65


Gráfica 5.4. Curvas adimensionales de esfuerzos, para una profundidad de cota clave de 10 m.

1 0.95 0.9 0.85 0.8

σR/σR0

0

0.04

0.08

0.12

0.16

%V

loss


C = 10 m

1 0.96 0.92 0.88 0.84 0.8

σR/σR0

0

0.04

0.08

0.12

0.16

%V

loss


C = 8 m

MIC 2006-II-2

66


Gráfica 5.6. Gráfico Polar de esfuerzo radial en el perímetro del túnel para una profundidad de 4 m. Unidades de esfuerzo en kPa

0

45

90

135

180

225

270

315

σR0

0 40 80

EsfuerzosD = 1.6 mD = 2.0 mD = 2.4 mD = 2.8 mD = 3.2 mD = 3.6 mD = 4.0 m

C = 4 m

1 0.95 0.9 0.85 0.8

σR/σR0

0

0.1

0.2

0.3

%V

loss


C = 12 m

MIC 2006-II-2

67



0

45

90

135

180

225

270

315

σR0

0 40 80 120


C = 8 m

0

45

90

135

180

225

270

315

σR0

0 40 80 120


C = 6 m

MIC 2006-II-2

68



0

45

90

135

180

225

270

315

σR0

0 40 80 120 160 200


C = 12 m

0

45

90

135

180

225

270

315

σR0

0 40 80 120 160

Esfuerzos

D = 1.6 mD = 2.0 mD = 2.4 mD = 2.8 mD = 3.2 mD = 3.6 mD = 4.0 m

C = 10 m

MIC 2006-II-2

69

Capítulo 6

CONCLUSIONES

Se presentaron los resultados de diferentes simulaciones numéricas para ser aplicables al diseño de túneles

de manera sencilla.

El material utilizado limita los resultados a un solo tipo de suelo, con una capa única, sin embargo al

utilizar un modelo visco-hipoplástico, la resistencia y comportamiento del material dependen del estado

inicial de esfuerzos, por lo cual se tienen diferentes valores de esfuerzo dependiendo de la profundidad a

la que se encuentre el material.

Las gráficas 6 a 10, muestran los esfuerzos radiales iniciales, dichos esfuerzos al impedir completamente

el cerramiento de la sección, son dependientes de las condiciones iniciales, por lo tanto corresponden a los

esfuerzos geostáticos. Las fórmulas tradicionales analíticas para calcular el esfuerzo que debe resistir el

refuerzo para garantizar la estabilidad del túnel, tienen en cuenta un efecto de arco el cual lleva a valores

menores de esfuerzo.

Mediante el método de elementos finitos, al simular el medio como un continuo, no es posible generar

dicho efecto de arco o relajación de los esfuerzos sin permitir algún tipo de desplazamiento del medio. Es

por eso que se hace importante tener en cuenta el volumen sobre-excavado para permitir que en la

simulación, el túnel se cierre en cierta medida, antes de instalar el refuerzo de tal manera que se hace una

mejor representación de lo que realmente ocurre durante el proceso de construcción.

En las gráficas adimensionales de esfuerzo vs. %Vloss (Gráf. 1 a 5), se puede observar un comportamiento

no lineal entre la relajación de los esfuerzos y el cerramiento de túnel. Dicho comportamiento se debe a la

plastificación que sufren los elementos cercanos al perímetro del túnel. En un principio las curvas

muestran un comportamiento lineal, pero a medida que el cerramiento se hace mayor, dicha linealidad se

pierde.

Los puntos de máximo cerramiento que se presentan en las gráficas 1 a 5, corresponden en todos los casos

al valor del colapso. Se puede concluir entonces, que para cerramientos mayores, los esfuerzos que debe

resistir el refuerzo serán de nuevo σR0, ya que luego del colapso, la relajación que puede ser interpretada

como una ayuda que ofrece el suelo al refuerzo, se pierde.

Un siguiente paso en la investigación presentada correspondería en validar los resultados mediante datos

medidos en campo o mediante simulaciones de modelos a escala.

MIC 2006-II-2

70

Aunque los parámetros visco-hipoplásticos utilizados son representativos del suelo de Bogotá, para una

utilización determinante en diseño del método presentado, debe hacerse una investigación de campo y

laboratorio que entregue los parámetros exactos en el lugar donde se realizará la obra.

MIC 2006-II-2

71

Anexo A

CÓDIGO DEL PROGRAMA ENMALLADOR C ****************************************************************** C * * C * * C * ENMALLADOR PARA TUNELES ABAQUS * C * * C * * C ****************************************************************** PARAMETER (IPO=2500000,JPO=2500000) C C DIMENSION DE COMMON C C JPO=(NUANILL+1)*NUDIV C IPO=2*NUANILL*NUDIV C ****************************************************************** C COMMON/LIST1/NELEM,NPOINT,DIAM,NANILL,NUDIV,ANG,CUALONG,NDIVRAY, 1 ZQUIERDA,ARRIBA,ABAJO,DERECHA,DIVIZQ,DIVARR,DIVABA,DIVDER COMMON/LIST2/X(IPO),Y(IPO),ESP(IPO),DIA(IPO),LAC(IPO),LEC(IPO), 1 LIC(IPO),ELX(IPO),ELY(IPO),RAYDIV(IPO),LUC(IPO),DIMEN(5) C ================================================================= C C DIMENSION FX(IPO),FY(IPO),DEPTX(IPO),DEPTY(IPO) C C ================================================================= IP=5 IW=6 NPOINT=0 NELEM=0 C ************************************************************** C C DATOS DE ENTRADA C C ************************************************************** WRITE(*,260) OPEN(IW,FILE='MALLA.TXT') WRITE(*,*)'RADIO INTERNO_:' READ(*,*)DIAM WRITE(*,*)'NUMERO DE ANILLOS_:' READ(*,*)NANILL DIA(1)=DIAM DO 10 J=1,NANILL WRITE(*,219)J 219 FORMAT('ESPESOR ANILLO:=',I5) READ(*,*)ESP(J) DIA(J+1)=DIA(J)+ESP(J)

MIC 2006-II-2

72

10 CONTINUE WRITE(*,*)'DIVISIONES DE CADA RAYO_:' READ(*,*)NDIVRAY WRITE(*,*)'LONGITUD DEL CUADRO_:' READ(*,*)CUALONG WRITE(*,*)'NUMERO DE DIVISIONES DE LA CIRCUNFERENCIA_:' READ(*,*)NUDIV WRITE(*,*)'HACIA LA DERECHA_:' READ(*,*)DERECHA WRITE(*,*)'DIVISIONES A LA DERECHA_:' READ(*,*)DIVDER WRITE(*,*)'HACIA LA IZQUIERDA_:' READ(*,*)ZQUIERDA WRITE(*,*)'DIVISIONES A LA IZQUIERDA_:' READ(*,*)DIVIZQ WRITE(*,*)'HACIA ARRIBA_:' READ(*,*)ARRIBA WRITE(*,*)'DIVISIONES ARRIBA_:' READ(*,*)DIVARR WRITE(*,*)'HACIA A ABAJO_:' READ(*,*)ABAJO WRITE(*,*)'DIVISIONES ABAJO_:' READ(*,*)DIVABA C ************************************************************** C C COORDENADAS X,Y DE LOS NODOS C C ************************************************************** ANG=360./NUDIV ANG=ANG*3.1416/180. L=1 DO 20 I=1,NANILL+1 ANGUL=0.0 DO 30 J=1,NUDIV X(L)=DIA(I)*COS(ANGUL) Y(L)=DIA(I)*SIN(ANGUL) WRITE(IW,101)L,X(L),Y(L) 101 FORMAT(I7,',',F15.8,',',F15.8) L=L+1 ANGUL=ANGUL+ANG 30 CONTINUE 20 CONTINUE C ANGUL=0.0 CLO=COS(ANGUL) DO 60 J=1,NUDIV/4 RAYDIV(J)=ABS(((CUALONG/2.)/CLO-DIA(NANILL+1))/NDIVRAY) ANGUL=ANGUL+ANG CLO=COS(ANGUL) IF(ANGUL.GT.3.1417/4.) CLO=SIN(ANGUL) K=J 60 CONTINUE C

MIC 2006-II-2

73

K=K+1 DO 70 J=1,3 DO 80 I=1,NUDIV/4 RAYDIV(K)=RAYDIV(K-NUDIV/4) K=K+1 80 CONTINUE 70 CONTINUE C C C ANGUL=0.0 DO 40 I=1,NDIVRAY DO 50 J=1,NUDIV X(L)=(DIA(NANILL+1)+RAYDIV(J)*I)*COS(ANGUL) Y(L)=(DIA(NANILL+1)+RAYDIV(J)*I)*SIN(ANGUL) WRITE(IW,101)L,X(L),Y(L) ANGUL=ANGUL+ANG L=L+1 50 CONTINUE 40 CONTINUE C DIMEN(1)=DERECHA/DIVDER DIMEN(2)=ARRIBA/DIVARR DIMEN(3)=ZQUIERDA/DIVIZQ DIMEN(4)=ABAJO/DIVABA DIMEN(5)=CUALONG/(NUDIV/4.) NMAS=(NUDIV/4.+1.)*(DIVDER+DIVARR+DIVIZQ+DIVABA) NMAS=NMAS+DIVDER*DIVARR+DIVARR*DIVIZQ+DIVIZQ*DIVABA NMAS=NMAS+DIVABA*DIVDER ELMAS=(NUDIV/4.)*(DIVDER+DIVARR+DIVIZQ+DIVABA) ELMAS=ELMAS+DIVDER*DIVARR+DIVARR*DIVIZQ+DIVIZQ*DIVABA ELMAS=ELMAS+DIVABA*DIVDER I=L K=NUDIV/4+DIVDER+DIVIZQ+1 DO 5 M=1,DIVARR X(I)=-1.*CUALONG/2.-ZQUIERDA Y(I)=CUALONG/2.+ARRIBA-(M-1)*DIMEN(2) DO 15 J=1,K X(I+1)=X(I)+DIMEN(3) Y(I+1)=Y(I) IF(J+1.GT.DIVIZQ+1) X(I+1)=X(I)+DIMEN(5) IF(J+1.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) X(I+1)=X(I)+DIMEN(1) WRITE(IW,101)I,X(I),Y(I) I=I+1 15 CONTINUE 5 CONTINUE C K=DIVDER+DIVIZQ DO 25 M=1,NUDIV/4+1 X(I)=-1.*CUALONG/2.-ZQUIERDA Y(I)=CUALONG/2.-(M-1)*DIMEN(5) DO 35 J=1,K X(I+1)=X(I)+DIMEN(3)

MIC 2006-II-2

74

Y(I+1)=Y(I) IF(J+1.GT.DIVIZQ) X(I+1)=X(I)+DIMEN(3)+CUALONG+DIMEN(1) IF(J+1.GT.DIVIZQ+1) X(I+1)=X(I)+DIMEN(1) WRITE(IW,101)I,X(I),Y(I) I=I+1 35 CONTINUE 25 CONTINUE C K=NUDIV/4+DIVDER+DIVIZQ+1 DO 45 M=1,DIVABA X(I)=-1.*CUALONG/2.-ZQUIERDA Y(I)=-CUALONG/2.-(M)*DIMEN(4) DO 55 J=1,K X(I+1)=X(I)+DIMEN(3) Y(I+1)=Y(I) IF(J+1.GT.DIVIZQ+1) X(I+1)=X(I)+DIMEN(5) IF(J+1.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) X(I+1)=X(I)+DIMEN(1) WRITE(IW,101)I,X(I),Y(I) I=I+1 55 CONTINUE 45 CONTINUE C NODTOT=I-1 C ANG=360./NUDIV ANG=ANG*3.1416/180. DO 21 K=1,2 ANGUL=0.0 DO 31 J=1,NUDIV X(I)=(DIAM/(K+1))*COS(ANGUL) Y(I)=(DIAM/(K+1))*SIN(ANGUL) WRITE(IW,101)I,X(I),Y(I) I=I+1 ANGUL=ANGUL+ANG 31 CONTINUE 21 CONTINUE C X(I)=0.0 Y(I)=0.0 WRITE(IW,101)I,X(I),Y(I) C C ************************************************************** C C CONFIGURACION DE LOS ELEMENTOS C C ************************************************************** C C 102 FORMAT(I7,',',I7,','I7,','I7,','I7) 103 FORMAT(I7,',',I7,','I7,','I7) LOL=(NANILL+NDIVRAY)*NUDIV I=1

MIC 2006-II-2

75

DO 100 N=1,NANILL+NDIVRAY DO 110 J=1,NUDIV LAC(I)=I LEC(I)=LAC(I)+NUDIV LIC(I)=LEC(I)+1 LUC(I)=LAC(I)+1 IF(J.EQ.NUDIV) LIC(I)=LIC(I)-NUDIV IF(J.EQ.NUDIV) LUC(I)=LUC(I)-NUDIV LIC(1)=NUDIV+2 LUC(1)=2 WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 110 CONTINUE 100 CONTINUE C K=I+NUDIV-1 DO 105 L=1,DIVARR-1 K=K+1 DO 115 J=1,DIVDER+DIVIZQ+NUDIV/4 LAC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ+NUDIV/4+1 LEC(I)=LAC(I)+1 LIC(I)=K+1 LUC(I)=K WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 K=K+1 115 CONTINUE 105 CONTINUE C K=K+1 DO 125 J=1,DIVIZQ+NUDIV/4+DIVDER LAC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ+NUDIV/4+1 LEC(I)=LAC(I)+1 LIC(I)=K+1 LUC(I)=K IF(J.EQ.DIVIZQ) LEC(I)=(NANILL+NDIVRAY)*NUDIV+NUDIV*3/8+1 IF(J.GT.DIVIZQ) LEC(I)=LEC(I-1)-1 IF(J.GT.DIVIZQ) LAC(I)=LEC(I)+1 IF(J.EQ.DIVIZQ) L=LAC(I) IF(J.EQ.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LEC(I)=L+1 IF(J.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LEC(I)=LEC(I-1)+1 IF(J.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LAC(I)=LEC(I-1) WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 K=K+1 125 CONTINUE C KOL=(NANILL+NDIVRAY+1)*NUDIV DO 135 J=1,NUDIV/4 K=K+1 DO 145 L=1,DIVDER+DIVIZQ IF(L.EQ.DIVIZQ+1) K=K-1 LAC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ

MIC 2006-II-2

76

LEC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ+1 LIC(I)=K+1 LUC(I)=K IF(L.EQ.DIVIZQ) LEC(I)=(NANILL+NDIVRAY)*NUDIV+NUDIV*3/8+1+J IF(L.EQ.DIVIZQ) LIC(I)=LEC(I)-1 IF(L.EQ.DIVIZQ+1) LAC(I)=LEC(I-1)-NUDIV/4-2*J IF(L.EQ.DIVIZQ+1) LUC(I)=LAC(I)+1 IF(L.EQ.DIVIZQ+1.AND.J.EQ.NUDIV/8+1) LAC(I)=KOL IF(L.EQ.DIVIZQ+1.AND.J.GT.NUDIV/8+1) LAC(I)=KOL-(J-NUDIV/8-1) IF(L.EQ.DIVIZQ+1.AND.J.GT.NUDIV/8+1) LUC(I)=LAC(I)+1 WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 K=K+1 145 CONTINUE 135 CONTINUE C K=K+1 DO 155 J=1,DIVIZQ+NUDIV/4+DIVDER LAC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ LEC(I)=LAC(I)+1 LIC(I)=K+1 LUC(I)=K IF(J.EQ.DIVIZQ) LIC(I)=(NANILL+NDIVRAY)*NUDIV+NUDIV*5/8+1 IF(J.GT.DIVIZQ) LIC(I)=LIC(I-1)+1 IF(J.GT.DIVIZQ) LUC(I)=LIC(I)-1 IF(J.EQ.DIVIZQ) L=LUC(I) IF(J.EQ.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LIC(I)=L+1 IF(J.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LIC(I)=LIC(I-1)+1 IF(J.GT.DIVIZQ+NUDIV/4+1) LUC(I)=LIC(I-1) WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 K=K+1 155 CONTINUE C K=K-NUDIV/4-1 DO 165 L=1,DIVABA-1 K=K+1 DO 175 J=1,DIVDER+DIVIZQ+NUDIV/4 LAC(I)=K+DIVDER+DIVIZQ+NUDIV/4+1 LEC(I)=LAC(I)+1 LIC(I)=K+1 LUC(I)=K WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 K=K+1 175 CONTINUE 165 CONTINUE C WRITE(IW,262) C WRITE(IW,265) DO 112 L=1,NUDIV LAC(I)=NODTOT+L

MIC 2006-II-2

77

LEC(I)=L LIC(I)=LEC(I)+1 LUC(I)=LAC(I)+1 IF(L.EQ.NUDIV) LIC(I)=1 IF(L.EQ.NUDIV) LUC(I)=NODTOT+1 WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 112 CONTINUE C DO 114 L=1,NUDIV LAC(I)=NODTOT+L+NUDIV LEC(I)=NODTOT+L LIC(I)=LEC(I)+1 LUC(I)=LAC(I)+1 IF(L.EQ.NUDIV) LIC(I)=NODTOT+1 IF(L.EQ.NUDIV) LUC(I)=NODTOT+1+NUDIV WRITE(IW,102)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I),LUC(I) I=I+1 114 CONTINUE C WRITE(IW,266) C DO 119 L=1,NUDIV LAC(I)=NODTOT+(NUDIV*2)+1 LEC(I)=NODTOT+L+NUDIV LIC(I)=LEC(I)+1 IF(L.EQ.NUDIV) LIC(I)=NODTOT+1+NUDIV WRITE(IW,103)I,LAC(I),LEC(I),LIC(I) I=I+1 119 CONTINUE C 266 FORMAT(//10X,'**********************************************' 1 ,/25X,'RELLENO INTERIOR TRIANGULOS' 2 ,/10X,'**********************************************',//) 265 FORMAT(//10X,'**********************************************' 1 ,/25X,'RELLENO INTERIOR CUADRADOS' 2 ,/10X,'**********************************************',//) 262 FORMAT(//10X,'**********************************************' 1 ,/25X,'CENTRO DEL TUNEL' 2 ,/10X,'**********************************************',//) 260 FORMAT(10X,'**********************************************' 1 ,/10X,'* *' 2 ,/10X,'* E N M A L L A D O R *' 3 ,/10X,'* *' 4 ,/10X,'* ENMALLADOR PARA TUNELES EN ABAQUS *' 5 ,/10X,'* *' 6 ,/10X,'* ELEMENTOS CUADRADOS *' 7 ,/10X,'* *' 8 ,/10X,'**********************************************',//) C STOP END

MIC 2006-II-2

78

Anexo B

ARCHIVO DE ENTRADA TÍPICO

A continuación se presenta el archivo de entrada para una simulación típica de las realizadas en Abaqus.

Las listas de nodos y elementos se omiten, para hacer posible la presentación del input en este documento.

*HEADING

TUNEL

*********************************************************************************

** I. NODE: -------------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

*NODE

1, 0.80000001, 0.00000000

2, 0.79753387, 0.06276742

3, 0.79015064, 0.12514786

**___ lista completa de nodos

**---------------------------------------

*NSET, NSET=TODO, GENERATE

1,8432, 1

*NSET, NSET=IZQ, GENERATE

721, 1387, 111

1477, 3277, 90

3388, 8161, 111

*NSET, NSET=DER, GENERATE

831, 1386, 111

1476, 3276, 90

3387, 8271, 111

*NSET, NSET=ARR, GENERATE

721, 831, 1

*NSET, NSET=ABA, GENERATE

8161, 8271, 1

*NSET, NSET=INTERIOR, GENERATE

MIC 2006-II-2

79

1, 80, 1

*NSET, NSET=POROS, GENERATE

795, 906, 111

1440, 3240, 90

3351, 8235, 111

*NSET, NSET=GRAF, GENERATE

1,8271,1

*********************************************************************************

** II. ELEMENTS ---------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

** EL-CUERPO_TUNEL: ----------------------------------------------------ELEMENT**

*ELEMENT, TYPE= CPE4

1, 1, 81, 82, 2

2, 2, 82, 83, 3

3, 3, 83, 84, 4

4, 4, 84, 85, 5

**___ lista completa de elementos externos

**---------------------------------------

**-----------------------------------------------------------------------------**

** EL-RELL_CUADRA: -----------------------------------------------------ELEMENT**


8051, 8272, 1, 2, 8273

8052, 8273, 2, 3, 8274

8053, 8274, 3, 4, 8275

**___ lista completa de elementos internos

**---------------------------------------

**-----------------------------------------------------------------------------**

** EL-RELL_TRIANG: -----------------------------------------------------ELEMENT**


8211, 8432, 8352, 8353

8212, 8432, 8353, 8354

8213, 8432, 8354, 8355

8214, 8432, 8355, 8356

8215, 8432, 8356, 8357

**___ lista completa de elementos triangulares

MIC 2006-II-2

80

**---------------------------------------

**-----------------------------------------------------------------------------**

** SET DE ELEMENTOS:

*ELSET, ELSET=SUELO, GENERATE

1, 8050, 1

*ELSET, ELSET=EXCAV, GENERATE

8051, 8290, 1

*ELSET, ELSET=TODO, GENERATE

1, 8290, 1

*ELSET, ELSET=POROS, GENERATE

720,1270,110

1360,3070,90

3180,8020,110

**-----------------------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

** III. MATERIAL: -------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

*SOLID SECTION, ELSET=TODO, MATERIAL=NE2-SUELO

**-----------------------------------------------------------------------------**

** PROPIEDADES DEL MATERIAL:

*Material, NAME=NE2-SUELO

*Density

1.27

*DEPVAR

100

*USER MATERIAL,CONSTANTS=15

3.00, 0.0, 0.288, 0.052, 0.95, 0.062, 1.10E-5, 0.384

1.0, 2.0, 5.0, 1E-4, 0.05, 1.0,2000000

********************** With the characteristic values: ************************

** epor_100, kapill_u, C_c, C_s, beta, I_v, gamma [--/sec], phi_c

** ocr, m_2, m_5, R_max, beta_x, Chi, K_water

**-----------------------------------------------------------------------------**

**-----------------------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

***************

MIC 2006-II-2

81

** V. BOUNDARY: ---------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

**-----------------------------------------------------------------------------**

** 1. BOUNDARY FIXED:

**

**---------------------------------------------------------------------BOUNDARY**

*BOUNDARY

IZQ, 1

DER, 1

ABA, 1, 2

**-----------------------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

*********************************************************************************

** VI. INITIAL CONDITIONS -----------------------------------------------------**

*********************************************************************************

*********************************************************************************

*INITIAL CONDITIONS,TYPE=STRESS,GEOSTATIC

TODO,-.01,4.8,-69.66,-21,.6254

**INITIAL CONDITIONS,TYPE=SOLUTION,USER

*AMPLITUDE,NAME=RELAX,TIME=TOTAL TIME

1.0, 1.0, 2.0, 1.0, 82.0, .2

*********************************************************************************

** ------------------- BEGIN ANALYSIS -----------------------------------------**

*********************************************************************************

**-----------------------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

** STEP 1 ---------------------------------------------------------------------**

** GEOSTATIC STEP -------------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

** Step 1.-------------------------------------------------------------- Step 1**

** ------------------------------------------------------------ Geostatic Step **

*STEP,UNSYMM=YES,INC=30000000

GEOSTATIC STEP

*GEOSTATIC

*DLOAD, OP=NEW

MIC 2006-II-2

82

TODO, GRAV,10,0,-1

**-----------------------------------------------------------------------------**

** --------------------------------------------------------------------------- **

*OUTPUT,FIELD, FREQUENCY=1000

*NODE OUTPUT,NSET=TODO

U

*ELEMENT OUTPUT,ELSET=TODO

S

**EL PRINT,ELSET=POROS,FREQ=5000

**,,POSITION=CENTROIDAL

**COORD,SDV77

*OUTPUT,HISTORY,FREQUENCY=10

*NODE PRINT,FREQUENCY=1000,NSET=ARR

COORD, U

*END STEP

*********************************************************************************

** STEP 2 ---------------------------------------------------------------------**

** REMOCION DE MATERIAL--------------------------------------------------------**

*********************************************************************************

** Step 2.-------------------------------------------------------------- Step 2**

** ------------------------------------------------------------ Remocion ------**

*STEP,UNSYMM=YES,INC=30000000

REMOVIENDO PARA INICIAR-CARGA 100%

*STATIC

**.5,1,.5,.5

*MODEL CHANGE, REMOVE

EXCAV

*CLOAD,AMPLITUDE=RELAX

1 , 1 , 3.521

2 , 1 , 3.466

3 , 1 , 3.39

4 , 1 , 3.294

5 , 1 , 3.181

6 , 1 , 3.051

7 , 1 , 2.907

MIC 2006-II-2

83

8 , 1 , 2.748

9 , 1 , 2.577

10 , 1 , 2.398

11 , 1 , 2.206

12 , 1 , 2.004

13 , 1 , 1.802

14 , 1 , 1.586

15 , 1 , 1.369

16 , 1 , 1.147

17 , 1 , 0.9214

18 , 1 , 0.6931

19 , 1 , 0.4631

20 , 1 , 0.2319

21 , 1 , -9.71E-06

22 , 1 , -0.2319

23 , 1 , -0.4632

24 , 1 , -0.6932

25 , 1 , -0.9214

26 , 1 , -1.147

27 , 1 , -1.369

28 , 1 , -1.586

29 , 1 , -1.802

30 , 1 , -2.004

31 , 1 , -2.206

32 , 1 , -2.398

33 , 1 , -2.577

34 , 1 , -2.748

35 , 1 , -2.907

36 , 1 , -3.051

37 , 1 , -3.181

38 , 1 , -3.294

39 , 1 , -3.39

40 , 1 , -3.466

41 , 1 , -3.522

42 , 1 , -3.556

MIC 2006-II-2

84

43 , 1 , -3.567

44 , 1 , -3.555

45 , 1 , -3.517

46 , 1 , -3.456

47 , 1 , -3.369

48 , 1 , -3.258

49 , 1 , -3.121

50 , 1 , -2.958

51 , 1 , -2.776

52 , 1 , -2.569

53 , 1 , -2.34

54 , 1 , -2.093

55 , 1 , -1.831

56 , 1 , -1.548

57 , 1 , -1.256

58 , 1 , -0.9509

59 , 1 , -0.6393

60 , 1 , -0.3207

61 , 1 , 5.41E-05

62 , 1 , 0.3208

63 , 1 , 0.6395

64 , 1 , 0.951

65 , 1 , 1.257

66 , 1 , 1.548

67 , 1 , 1.831

68 , 1 , 2.093

69 , 1 , 2.34

70 , 1 , 2.569

71 , 1 , 2.776

72 , 1 , 2.958

73 , 1 , 3.121

74 , 1 , 3.258

75 , 1 , 3.369

76 , 1 , 3.456

77 , 1 , 3.517

MIC 2006-II-2

85

78 , 1 , 3.555

79 , 1 , 3.567

80 , 1 , 3.555

1 , 2 , -1.04E-02

2 , 2 , 0.2876

3 , 2 , 0.5735

4 , 2 , 0.8514

5 , 2 , 1.114

6 , 2 , 1.366

7 , 2 , 1.601

8 , 2 , 1.824

9 , 2 , 2.031

10 , 2 , 2.217

11 , 2 , 2.388

12 , 2 , 2.548

13 , 2 , 2.683

14 , 2 , 2.805

15 , 2 , 2.91

16 , 2 , 2.998

17 , 2 , 3.069

18 , 2 , 3.124

19 , 2 , 3.164

20 , 2 , 3.187

21 , 2 , 3.195

22 , 2 , 3.187

23 , 2 , 3.164

24 , 2 , 3.124

25 , 2 , 3.069

26 , 2 , 2.998

27 , 2 , 2.91

28 , 2 , 2.805

29 , 2 , 2.683

30 , 2 , 2.548

31 , 2 , 2.388

32 , 2 , 2.217

MIC 2006-II-2

86

33 , 2 , 2.031

34 , 2 , 1.824

35 , 2 , 1.601

36 , 2 , 1.366

37 , 2 , 1.114

38 , 2 , 0.8514

39 , 2 , 0.5735

40 , 2 , 0.2875

41 , 2 , -1.05E-02

42 , 2 , -0.3131

43 , 2 , -0.6241

44 , 2 , -0.9357

45 , 2 , -1.251

46 , 2 , -1.563

47 , 2 , -1.874

48 , 2 , -2.176

49 , 2 , -2.469

50 , 2 , -2.755

51 , 2 , -3.023

52 , 2 , -3.275

53 , 2 , -3.509

54 , 2 , -3.723

55 , 2 , -3.911

56 , 2 , -4.075

57 , 2 , -4.212

58 , 2 , -4.32

59 , 2 , -4.398

60 , 2 , -4.445

61 , 2 , -4.461

62 , 2 , -4.445

63 , 2 , -4.398

64 , 2 , -4.32

65 , 2 , -4.212

66 , 2 , -4.075

67 , 2 , -3.911

MIC 2006-II-2

87

68 , 2 , -3.723

69 , 2 , -3.509

70 , 2 , -3.275

71 , 2 , -3.023

72 , 2 , -2.755

73 , 2 , -2.469

74 , 2 , -2.176

75 , 2 , -1.874

76 , 2 , -1.563

77 , 2 , -1.251

78 , 2 , -0.9356

79 , 2 , -0.624

80 , 2 , -0.313

*OUTPUT, FIELD, FREQUENCY=1

*NODE OUTPUT

U

**ELEMENT OUTPUT

**SDV,E

*ELEMENT OUTPUT

S

*NODE PRINT, FREQUENCY=500,NSET=ARR

COORD, U

*NODE PRINT, FREQUENCY=500,NSET=INTERIOR

COORD, U

*END STEP

***************************************************

******************************************************

** STEP 3 --------------------------------------------

** DISMINUCION DE CARGA 20% ----------------------

******************************************************

*STEP, UNSYMM=YES, INC=30000000

DISMINUCION DE CARGA 20%

*STATIC

1,80,1,1

*OUTPUT, FIELD, FREQUENCY=1

MIC 2006-II-2

88

*NODE OUTPUT

U

*ELEMENT OUTPUT

S

*OUTPUT, HISTORY, FREQUENCY=100

*NODE OUTPUT, NSET=ARR

U2

*NODE OUTPUT, NSET=INTERIOR

U2

*NODE PRINT, FREQUENCY=1,NSET=ARR

COORD, U

*NODE PRINT, FREQUENCY=1,NSET=INTERIOR

COORD, U

*END STEP

MIC 2006-II-2

89

Bibliografía

Alonso, E., Josa, A., and Ledesma, A. (1984). Negative skin frinction on piles: a simplified analysis and prediction procedure. Geotechnique 34(3): 341-357

Atkinson, J.H. and Potts, D. M., 1977. Subsidence above shallow circular tunnels in soft ground. Journal

of Geotechnical Engineering Division. ASCE, Vol 103, G.T.4, P. 301-325. Bauer, E. 1996. Calibration of a comprehensive hypoplastic model for granular materials. Soils and

Foundations 36, Nr. 1, P. 13 – 26. Bauer, E. : Conditions for embedding Casagrande`s critical states into hypoplasticity. Mechanics of

Cohesive-Frictional Materials 5 Davis E. Gunn M. Mair R. and Seneviratne. H. (1980). The stability of shallow tunnels and underground

openings in cohesive material. Geotechnique 30(4): 394-419 Gunn M. (1981). Dicussion on Pender. (Geotechnique, 1980. 216-222), Geotechnique 31(3): 434-438 Harrs, D. Mair, R. Love. J. Taylor R. and Henderson T. (1993). Observations of ground and structure

movements for compensation grouting during tunnel construction at Waterloo station. Geotechnique 44(4): 691-713

Jardine, R. J., Potts, D.M., Fourie, A.B. and Burland, J.B. (1986). Studies of the influence of non-linear

stress-strain characteristics in soil-structure interaction, Geotechnique, 36(3): 377-396. Kerisel. J. (1975) Old structures in relation to soil conditions. Geotechnique 25(3): 433-483 Leca, E. and Dormieux, L., (1990). Upper and lower bounds solutions for the face stability of shallow

circular tunnels in frictional material. Geotechnique 40(4): 581-606 Lee. K. and Rowe. R. (1989a). Deformations caused by surface loading and tunnelling: the role of elastic

anisotropy. Geotechnique 39(1): 125-140 Lee. K. and Rowe. R (1990a). Finite element modelling of the three-dimensional ground deformations

due to tunnelling in soft cohesive soils: part I – method of analysis. Computers and Geotechnics 10: 87-109.

Lee. K. and Rowe. R (1990b). Finite element modelling of the three-dimensional ground deformations

due to tunnelling in soft cohesive soils: part II – results. Computers and Geotechnics 10: 87-109. Leinenkugel, H. J., 1976, Deformations- und Festigkeitsverhalten bindiger Erdstoffe, Experimentelle

Ergebnisse und ihre physikalische Deutung. Geotechnique, Vol.37, pp.301-320. Mair. R. Taylor. R. and Bracegirdle. A. (1993). Subsurface settlements above tunnels in clays.

Geotechnique 43(2): 315-320 Muir Wood. A. (1975). The circular tunnel in elastic ground. Geotechnique 25(1): 115-127 Niemunis, A. & Krieg, S. 1996. Viscous Behavior of Soil Under Oedometric Conditions. Canadian

Geotechnical Journal 33, P. 159 – 168.

MIC 2006-II-2

90

Niemunis, A. 1996b. A visco – plastic model for clays and its FE implementation. Resultats recents en mechanique de sols et des roches XI Colloque Franco-Polonais. Gdansk.

Niemunis, Nübel K. Karcher C.: The consistency conditions for density limits of hypoplastic constitutive

law. Niemunis, A. Herle, I., 1997, Hypoplastic model for cohesionless soils with elastic strain range. Mech.

Cohes. Frict. Mater. 4 Nr. 2. Niemunis, A. Habilitation in preparation. (2002). Ng. C. Lings. M. Simpson. B. and Nash. D. (1995). An approximate analysis of the three-dimensional

effects of diaphragm wall installation. Geotechnique 45(3): 497-507 Pender. M. (1980). Elastic solutions for a circular tunnel. Geotechnique 30: 216-222 Sagaseta, C., 1987, Analysis of undrained soil deformation due to ground loss. Geotechnique, Vol.37,

pp.301-320. Simpson, B. O’Riordan. N. and Croft. D. (1979). A computer model for the analysis of ground

movements in London Clay. Geotechnique 29(2): 149-175 Simpson. B. (1968). Retaining structures: displacement and design. 32nd Rankine Lecture. Geotechnique

18(1): 56-66 Schofield, A.N., (1980). Cambridge Geotechnical centrifuge operations. Geotechnique 30(3): 227-268 Tedd, P., Chard, B.M., Charlwes, J.A. and Symons, I.F. (1984). Behaviour of a propped embedded

retaining wall in stiff clay at Bell Common Tunnel. Geotechnique 34(4): 513-532 Verruijt, A. and Booker, J.R., (1996). Surface settlement due to deformation of a tunnel in an elastic half

plane. Geotechnique 46: 753-756 Wolffersdorff, P.A 1996 A hypoplastic relation for granular materials with a predefined limit state

surface. Mech. Cohes.-Frict. Mater. 1, P. 251-271

Diseño de Túneles Basado en Visco- hipoplasticidad para ...

Documents

Transcript of Diseño de Túneles Basado en Visco- hipoplasticidad para ...