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Senales y sistemas en tiempo discretoFiltros en tiempo discreto

Diseno de filtros IIRDiseno de filtros FIR

Laboratorio deProcesamiento de Senales yComunicaciones

Diseno de filtros en tiempo discreto

Dr. Ing. Leonardo Rey Vega

Seminario de Sistemas Embebidos

Noviembre 2010

LPSC - Facultad de Ingenierıa Seminario de Sistemas Embebidos

Resumen

1 Senales y sistemas en tiempo discreto

2 Filtros en tiempo discreto

3 Diseno de filtros IIR

4 Diseno de filtros FIR

Procesamiento de Senales en tiempo discreto

El procesamiento digital de senales es un area de sumaimportancia presente en

Aplicaciones de consumo masivo (ej: comunicaciones)

Aplicaciones especıficas (ej: ingenierıa biomedica)

Aplicaciones tecnologicas de punta (ej: aplicacionesmilitares y espaciales)

La evolucion de las tecnologıas de dispositivos electronicos y losmicroprocesadores ha permitido satisfacer la demanda creciente

de implementacion algoritmos complejos de tratamiento desenales.

Secuencias y transformadas I

En tiempo discreto las senales seran secuencias:

x(n), −∞ < n <∞

En la practica x(n) toman unconjunto discreto de valores!!

En forma equivalente las senales se pueden representar como:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n x(n) =

∮CX(z)zn−1dz

Es necesario especificar la region de convergencia:

z ∈ C :

∞∑n=−∞

∣∣x(n)z−n∣∣ <∞

x(n), −∞ < n <∞En la practica x(n) toman unconjunto discreto de valores!!

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n x(n) =

∮CX(z)zn−1dz

z ∈ C :

∞∑n=−∞

∣∣x(n)z−n∣∣ <∞

X(z) =

∞∑n=−∞

x(n)z−n

x(n) =1

∮CX(z)zn−1dz

z ∈ C :

∞∑n=−∞

∣∣x(n)z−n∣∣ <∞

X(z) =

∞∑n=−∞

x(n)z−n x(n) =1

∮CX(z)zn−1dz

z ∈ C :

∞∑n=−∞

∣∣x(n)z−n∣∣ <∞

Secuencias y transformadas II

Con z = ejω obtenemos:

X(ejω) =

∞∑n=−∞

x(n)e−jωn

x(n) =1

∫ π

−πX(ejω)ejωndω

La transformada de Fourier esta definida para secuencias en `1

(∑∞

n=−∞ |x(n)| <∞) aunque puede ser extendida a la clase `2

(∑∞

n=−∞ |x(n)|2 <∞)

Ejemplo:

x(n) =sin (ωcn)

No es `1 pero su transformada deFourier esta bien definida y es bienconocida por todos!

X(ejω) =

∞∑n=−∞

x(n)e−jωn x(n) =1

∫ π

(∑∞

n=−∞ |x(n)|2 <∞)

Ejemplo:

x(n) =sin (ωcn)

X(ejω) =

∞∑n=−∞

∫ π

(∑∞

n=−∞ |x(n)|2 <∞)

Ejemplo:

x(n) =sin (ωcn)

X(ejω) =

∞∑n=−∞

∫ π

(∑∞

n=−∞ |x(n)|2 <∞)

Ejemplo:

x(n) =sin (ωcn)

X(ejω) =

∞∑n=−∞

∫ π

(∑∞

n=−∞ |x(n)|2 <∞)

Ejemplo:

x(n) =sin (ωcn)

Sistemas lineales I

Un sistema en tiempo es discreto es un operador:

y(n) = H [x(n)]

Nos concentraremos en sistemas lineales. La accion de los mismossobre secuencias se puede escribir como:

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n, k)x(k)

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo:

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n− k)x(k) Y (z) = H(z)X(z)

Sistemas lineales I

y(n) = H [x(n)]

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n, k)x(k)

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n− k)x(k) Y (z) = H(z)X(z)

Sistemas lineales I

y(n) = H [x(n)]

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n, k)x(k)

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n− k)x(k)

Y (z) = H(z)X(z)

Sistemas lineales I

y(n) = H [x(n)]

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n, k)x(k)

y(n) =

∞∑k=−∞

h(n− k)x(k) Y (z) = H(z)X(z)

Sistemas lineales II

Es importante para nosotros el siguiente concepto de estabilidad:

Un sistema h(n) es estable si para entrada x(n) acotadas secorresponden salidas y(n) = h(n) ∗ x(n) acotadas:

∀x(n) tal que |x(n)| < B1 tenemos |y(n)| < B2 ∀n

Los siguientes son equivalentes para un sistema lineal y causal:

El sistema es estable.

Todos los polos del sistema estan dentro del cırculo unidad.

H(ejω) = H(z)cz=ejω .∑∞k=−∞ |h(k)| <∞.

H(ejω) = H(z)cz=ejω .

∑∞k=−∞ |h(k)| <∞.

H(ejω) = H(z)cz=ejω .∑∞k=−∞ |h(k)| <∞.

Sistemas lineales III

En general nos interesaran sistemas cuya transferencias son racionales:

H(z) =B(z)

∑Mi=−M biz

−i∑Ni=−N aiz

Si A(z) = z−n0 con n0 ∈ Z el sistema no tiene polos (excepto enz = 0 y z =∞) y es FIR.

Si A(z) 6= z−n0 con n0 ∈ Z el sistema es IIR.

H(z) =B(z)

∑Mi=−M biz

−i∑Ni=−N aiz

H(z) =B(z)

∑Mi=−M biz

−i∑Ni=−N aiz

H(z) =B(z)

∑Mi=−M biz

−i∑Ni=−N aiz

Los sistemas con transferencia racional son muy importantes porquela implementacion de los mismos se puede realizar mediante

ecuaciones en diferencias!

Fase lineal I

Un sistema puede caracterizarse como

H(ejω) = |H(ejω)|ejθ(ω)

Se puede pensar que el sistemadistorsiona la senal de entradatanto en amplitud como en fase!

La fase θ(ω) puede ser tan distorsiva como |H(ejω)|!!!

La distorsion introducida por la fase se mide con el retardo de grupo:

α(ω) = −dθ(ω)

Suponga que x(n) es una senal de banda muy angosta centrada en ω0:

x(n) = s(n) cos (ω0n)

Fase lineal I

H(ejω) = |H(ejω)|ejθ(ω)Se puede pensar que el sistemadistorsiona la senal de entradatanto en amplitud como en fase!

α(ω) = −dθ(ω)

Fase lineal I

α(ω) = −dθ(ω)

Fase lineal I

α(ω) = −dθ(ω)

Fase lineal I

α(ω) = −dθ(ω)

Fase lineal II

Se puede probar que si se pasa x(n) a traves del sistema H(ejω):

y(n) ≈ |H(ejω0)|s(n− α(ω0)) cos (θ0 + (n− α(ω0))ω0)

En este caso la senal se modifica con un escalaje y un simple retardodado por α(ω0)!!

Suponga que |H(ejω)| = 1, ∀ω y que la senal x(n) ahora no es bandatan angosta. Cada una de las componentes de x(n) expresadas comoa(ω)ejωn a la salida del sistema se modifica como:

a(ω)ejω(n+θ(ω)), y(n) =1

∫ π

−πa(ω)ejω(n+θ(ω))dω

Para cada componente el retardo es diferente!!

Fase lineal II

∫ π

Fase lineal II

∫ π

Fase lineal II

∫ π

Fase lineal II

∫ π

Fase lineal III

Si θ(ω) = −βω, entonces:

y(n) =1

∫ π

−πa(ω)ejω(n−β)dω = x(n− β)

La senal de salida es una copia desplazada en el tiempo del la senal deentrada!! La senal de salida conserva su forma temporal!!

El retardo de grupo α(ω) es constante para todo ω. El sistema tienefase lineal!

Muchas aplicaciones requieren que los filtros que se implemententengan fase lineal (ej: aplicaciones para medicina).

Fase lineal III

y(n) =1

∫ π

Fase lineal III

y(n) =1

∫ π

Fase lineal III

y(n) =1

∫ π

Fase lineal IV

Ejemplo: Sistema pasatodo con polos complejos conjugados ena = 0,95e±jπ/4

H(z) =z−2 − 2<(a)z−1 + |a|2

1− 2<(a)z−1 + |a|2z−2

−3 −2 −1 0 1 2 30

Frecuencia en radianes

Fase lineal IV

Ejemplo: Sistema pasatodo con polos complejos conjugados ena = 0,95e±jπ/4

H(z) =z−2 − 2<(a)z−1 + |a|2

1− 2<(a)z−1 + |a|2z−2

−3 −2 −1 0 1 2 30

Filtros en tiempo discreto

Las aplicaciones de filtros en tiempo discreto son muchısimas:

Sistemas de comunicaciones.

Aplicaciones de ingenierıa biomedicas.

Procesamiento de habla.

Procesamiento digital de audio.

Procesamiento de imagenes.

Tecnicas de procesamiento de senales avanzadas: bancos defiltros, wavelets, etc.

Tecnicas de estimacion de procesos estocasticos.

Tecnicas de beamforming y antenas inteligentes.

Etapas de diseno

Las etapas de diseno de un filtro en tiempo discreto son:

1 Especificacion de las propiedades deseadas (dependiente de laaplicacion).

2 Aproximacion de las especificaciones mediante un sistema entiempo discreto.

3 Realizacion del sistema.

Etapas de diseno

Nos ocuparemos de la etapa numero 2

Etapas de diseno

La aproximacion se hara mediante funciones transferencias racionales,estables y causales:

Filtros IIR.

Filtros FIR.

Especificaciones de filtros en tiempo discreto

1−δ−

ωp ω

Se especifican:

Frecuencia de paso: ωp.

Frecuencia de atenuacion: ωs

Ripple en la banda de paso

δp = maxδ+, δ

oAp = 20 log10

(1± δp

Ripple en la banda de atenuacion: δs o

As = −20 log10 δs

Caracterısticas de filtros IIR

Ventajas:

Las tecnicas mas populares de diseno usan filtros en tiempocontinuo como prototipos.

Formulas que dan los coeficientes de los filtros en forma cerrada.

Especificaciones exigentes llevan a filtros con un numero pequenode coeficientes lo que implica bajo costo computacional.

Caracterısticas de filtros IIR

Ventajas:

Las tecnicas de diseno usan filtros en tiempo continuo comoprototipos.

Formulas que dan los coeficientes de los filtros en forma cerrada.

Especificaciones exigentes llevan a filtros con un numero pequenode coeficientes lo que implica bajo costo computacional.

Desventajas:

Es necesario tener especial cuidado si se trabaja en precisionfinita.

No es posible tener filtros con fase lineal en forma exacta.

Metodos de diseno

Dado que la idea los metodos de diseno de filtros IIR en tiempodiscreto es usar prototipos en tiempo continuo debemos tener encuenta los siguiente:

Dado que nuestras especificaciones son para el filtro en tiempodiscreto debemos ser capaces de trasladar dichas especificacionesa tiempo continuo para disenar el prototipo.

Al pasar del filtro de tiempo continuo al filtro en tiempo discretodebemos mantener la causalidad y estabilidad.

Los metodos usuales de diseno son:

Invarianza al impulso.

Transformacion bilineal.

Metodos de diseno

Invarianza al impulso I

La idea basica es obtener la respuesta al impulso en tiempo discretomuestreando la respuesta al impulso del prototipo en tiempo continuo:

h(n) = Thc(nT )

En el campo transformado:

H(ejω) =∞∑

k=−∞

)Si el filtro en tiempo continuo es de banda limitada:

Hc(Ω) = 0, |Ω| ≥ π

H(ejω) = Hc

), |ω| ≤ π

h(n) = Thc(nT )

H(ejω) =

∞∑k=−∞

Si el filtro en tiempo continuo es de banda limitada:

Hc(Ω) = 0, |Ω| ≥ π

H(ejω) = Hc

), |ω| ≤ π

h(n) = Thc(nT )

H(ejω) =

∞∑k=−∞

)Si el filtro en tiempo continuo es de banda limitada:

Hc(Ω) = 0, |Ω| ≥ π

H(ejω) = Hc

), |ω| ≤ π

Invarianza al impulso II

Debido al aliasing inherente de la tecnica y a la imposibilidad deobtener filtros en tiempo continuo de banda limitada se debe tener

especial cuidado en el diseno.

Muchas veces se tiene que Hc (Ω) ≈ 0 si |Ω| ≥ π/T con lo se puedeasumir sin muchos problemas que:

H(ejω) ≈ Hc

), |ω| ≤ π

Es importante notar que:

Ω =ω

H(ejω) ≈ Hc

), |ω| ≤ π

Ω =ω

H(ejω) ≈ Hc

), |ω| ≤ π

Ω =ω

H(ejω) ≈ Hc

), |ω| ≤ π

Ω =ω

Esta ecuacion basica nos permite obtener lasespecificaciones del filtro prototipo en tiempo

continuo a partir de las correspondientes al filtro entiempo discreto.

H(ejω) ≈ Hc

), |ω| ≤ π

Ω =ω

Las especificaciones relacionadas con los ripples enla la banda de paso y de atenuacion permaneceninvariantes (solo si el aliasing es despreciable!).

Invarianza al impulso III

Metodo de diseno:

1 Sean las especificaciones del filtro en tiempo discreto. Para un simplepasabajos: ωs, ωp, As y Ap. Elegimos T (ej: T = 1.)

2 Obtenemos las especificaciones en tiempo discreto: Ωp = ωp/T ,Ωs = ωs/T (suponemos que el aliasing es despreciable.)

3 Generamos la transferencia racional del filtro de tiempo continuoprototipo Hc(s) y la escribimos como Hc(s) =

∑Nk=1

Aks−ak

4 Dado que hc(t) =∑Nk=1 Ake

aktu(t) (<ak < 0 ya que Hc(s) esestable):

h(n) = Thc(nT ) =

N∑k=1

TAkeakTnu(n) −→ H(z) =

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Es claro que si Hc(t) es estable H(z) tambien lo sera.

Metodo de diseno:

∑Nk=1

Aks−ak

h(n) = Thc(nT ) =

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Metodo de diseno:

∑Nk=1

Aks−ak

h(n) = Thc(nT ) =

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Metodo de diseno:

∑Nk=1

Aks−ak

h(n) = Thc(nT ) =

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Metodo de diseno:

∑Nk=1

Aks−ak

h(n) = Thc(nT ) =N∑k=1

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Metodo de diseno:

∑Nk=1

Aks−ak

h(n) = Thc(nT ) =N∑k=1

N∑k=1

TAk1− eakT z−1

Transformacion bilineal I

Esta tecnica elimina el problema del aliasing introduciendo una compresiondel eje de frecuencias. Para ello se usa la siguiente transformacion:

(1− z−1

1 + z−1

Esta es una transformacion conforme:

El semiplano izquierdo en s setransforma en el interior de |z| = 1 yviceversa.

El eje jΩ se mapea en el cırculo|z| = 1.

Se conservan la causalidad y laestabilidad!

El filtro en tiempo discreto:

H(z) = Hc

(1− z−1

1 + z−1

)] Se ve que no existe el problema delaliasing! Se puede usar este metodo para

disenar filtros pasabanda y pasaaltos!

(1− z−1

1 + z−1

)Esta es una transformacion conforme:

H(z) = Hc

(1− z−1

1 + z−1

(1− z−1

1 + z−1

H(z) = Hc

(1− z−1

1 + z−1

Se ve que no existe el problema delaliasing! Se puede usar este metodo para

(1− z−1

1 + z−1

H(z) = Hc

(1− z−1

1 + z−1

Transformacion bilineal II

Es posible probar que:

), ω = 2 arctan

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−4

ω=2arctan(Ω T/2), T=1

La compresion del eje defrecuencias puede traerproblemas para algunosdisenos particulares. Sinembargo para disenos querequieren bandas conganancias y atenuacionesconstantes no suele haberproblemas.

Transformacion bilineal II

Es posible probar que:

), ω = 2 arctan

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−4

ω=2arctan(Ω T/2), T=1

La compresion del eje defrecuencias puede traerproblemas para algunosdisenos particulares. Sinembargo para disenos querequieren bandas conganancias y atenuacionesconstantes no suele haberproblemas.

Ejemplo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−350

−300

−250

−200

−150

−100

Invarianza al imp.T. bilineal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

Frecuencia en radianesR

Invarianza al imp.T. bilineal

Filtro pasabajo con especificaciones:

0,95 ≤ |H(ejω

)| ≤ 1 0 ≤ ω ≤ 0,25π

|H(ejω

)| ≤ 0,05 0,35π ≤ ω ≤ π

Diseno usando T = 1 con un filtro prototipotipo Butterworth con N = 9 y Ωc = 0,7808.Para ambos disenos el numero decoeficientes en numerador y denominador esmenor o igual a 11.

Caracterısticas de filtros FIR

Ventajas:

Filtros que son inherentemente estables.

Es posible disenarlos con fase lineal.

Generalmente son suficientemente robustos cuando sonimplementados en precision finita.

Caracterısticas de filtros FIR

Ventajas:

Filtros que son inherentemente estables.

Es posible disenarlos con fase lineal.

Generalmente son suficientemente robustos cuando sonimplementados en precision finita.

Desventajas:

Son computacionalmente mas complejos que un filtro IIRcon las mismas especificaciones.

No siempre es posible obtener los coeficientes en formacerrada.

Filtros FIR de fase lineal I

Teorema

Un filtro h(n) real, causal, estable y con transferencia racional es defase lineal sı y solo sı es FIR y

h(n) = ±h(N − n), H(z) =

N∑n=0

h(n)z−n.

Existen 4 clases de sistemas con fase lineal:

Tipo I: h(n) = h(N − n) con N par.

Tipo II: h(n) = h(N − n) con N impar.

Tipo III: h(n) = −h(N − n) con N impar.

Tipo IV: h(n) = −h(N − n) con N par.

Filtros FIR de fase lineal I

Teorema

Un filtro h(n) real, causal, estable y con transferencia racional es defase lineal sı y solo sı es FIR y

h(n) = ±h(N − n), H(z) =

N∑n=0

h(n)z−n.

Existen 4 clases de sistemas con fase lineal:

Tipo I: h(n) = h(N − n) con N par.

Tipo II: h(n) = h(N − n) con N impar.

Tipo III: h(n) = −h(N − n) con N impar.

Tipo IV: h(n) = −h(N − n) con N par.

Filtros FIR de fase lineal II

Es posible probar que para los sistemas FIR de fase lineal:

H(z) = ±z−NH(z−1)

Si z0 es cero entonces 1/z0 escero!!

H(z) = ±z−NH(z−1) Si z0 es cero entonces 1/z0 escero!!

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

Real Part

Pole/Zero Plot

Para z = −1 y sistemas tipo I y II H(−1) = (−1)NH(−1).Entonces sistemas Tipo II no sirven para disenar pasaaltos!!

Para z = 1 y sistemas tipo III y IV H(1) = −H(1). Ningunsistema tipo III y IV sirve para disenar pasabajos!!

Tecnicas de diseno de filtros FIR

Metodos de ventaneo.

Diseno por cuadrados mınimos.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Todas estas tecnicas permiten obtener disenos con fase lineal.Todas estas tecnicas permiten obtener disenos con fase lineal.

Estas tecnicas pueden ser modificadas para obtener respuestas defiltros multibanda y otras especificaciones en lugar de fase lineal (ej:

filtros de fase mınima).

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Todas estas tecnicas permiten obtener disenos con fase lineal.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Disenos equirriple.

Eigenfilters.

Metodos de ventaneo I

El filtro pasabajo ideal:

HI(ejω) =

1 0 ≤ |ω| ≤ ωc0 ωc ≤ |ω| ≤ π

hI(n) =sinωcn

πn, −∞ < n <∞

Este filtro es IIR y nocausal!!

Este filtro se podrıa aproximar como:

h(n) =sinωc(n−N)

πn, 0 ≤ n ≤ 2N

h(n) es de fase lineal y es equivalente a multiplicar sinωc(n−N)πn por

una ventana rectangular de tamano 2N

HI(ejω) =

1 0 ≤ |ω| ≤ ωc0 ωc ≤ |ω| ≤ π

hI(n) =sinωcn

πn, −∞ < n <∞

h(n) =sinωc(n−N)

πn, 0 ≤ n ≤ 2N

HI(ejω) =

1 0 ≤ |ω| ≤ ωc0 ωc ≤ |ω| ≤ π

hI(n) =sinωcn

πn, −∞ < n <∞

h(n) =sinωc(n−N)

πn, 0 ≤ n ≤ 2N

Metodos de ventaneo II

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

N=5N=10N=20N=50

El compromisoentre ancho dellobulo principal,altura de lobulos

secundarios yorden del filtro no

es muy bueno!!

La idea es buscar ventanas que mejoren estos compromisos!!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

N=5N=10N=20N=50

es muy bueno!!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

N=5N=10N=20N=50

es muy bueno!!

Metodos de ventaneo III

Es de interes conocer como es la “mejor” ventana v(n) de tamano Ny frecuencia de corte σ:

mınv(n)

∫|ω≥σ| |V (ejω)|2dω

∫ π−π |V (ejω)|2dω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−80

Frecuencia angular

DPSSVentana regular

La solucion a este problema es lo que se conoce como Discrete prolatespheroidal sequence (DPSS). Esto es muy complejo de calcular y por eso se

buscan aproximaciones a esta ventana optima.

mınv(n)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−80

Frecuencia angular

DPSSVentana regular

mınv(n)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−80

Frecuencia angular

DPSSVentana regular

mınv(n)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−80

Frecuencia angular

DPSSVentana regular

Metodos de ventaneo IV

Una muy buena approximacion a esta ventana lo constituye la ventana deKaiser:

v(n) =

[β(1−[2n/N−1]2)1/2

]I0(β)

0 ≤ n ≤ N0 en otro caso

, I0(x) = 1+∞∑k=1

[(0,5x)k

La eleccion de los parametros en funcion de los requerimientos de un filtropasabajo (δ1 = δ2 = δ, As = −20 log10 δ, ∆ω = ωs − ωp):

0,1102(As − 8,7) As > 50

0,5842(As − 21)0,4 + 0,078(As − 21) 21 ≤ As ≤ 500 As < 21

, N =As − 7,95

2,285∆ω

Esta ventana es muy versatil y es la preferida para la mayor parte de losdisenos usando ventaneo!

v(n) =

[β(1−[2n/N−1]2)1/2

]I0(β)

, I0(x) = 1+∞∑k=1

[(0,5x)k

0,1102(As − 8,7) As > 50

0,5842(As − 21)0,4 + 0,078(As − 21) 21 ≤ As ≤ 500 As < 21

, N =As − 7,95

2,285∆ω

v(n) =

[β(1−[2n/N−1]2)1/2

]I0(β)

, I0(x) = 1+∞∑k=1

[(0,5x)k

0,1102(As − 8,7) As > 50

0,5842(As − 21)0,4 + 0,078(As − 21) 21 ≤ As ≤ 500 As < 21

, N =As − 7,95

2,285∆ω

Metodos de ventaneo V

Se tienen las siguientes especificaciones:

0,95 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,05 0 ≤ ω ≤ 0,125π

|H(ejω)| ≤ 0,05 0,175π ≤ ω ≤ πEn ambos casos el numero de coeficientes es de 26.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−100

Frecuencia angular

Diseño con ventana rect.Diseño con ventana de Kaiser

Metodos de ventaneo V

0,95 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,05 0 ≤ ω ≤ 0,125π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−100

Frecuencia angular

Diseño con ventana rect.Diseño con ventana de Kaiser

Filtros equirriple I

Si se dispone de especificaciones:

Adi (ejω)− δi ≤ |H(ejω)| ≤ Adi (ejω) + δi, ωi−1 ≤ ω ≤ ωi, i = 1, . . . , B.

Sea Ci = [ωi, ωi−1], C =⋃Bi=1 Ci. La idea de los filtros equirriple encontrar

el filtro H(ejω) tal que:

mınh(n):0≤n≤N

maxω∈C|E(ejω)|, E(ejω) = W (ejω)

[H(ejω)−Ad(ejω)

Este es un problema de aproximacion por polinomios trigonometricosde Chebyshev.

El algoritmo para resolverlo es el algoritmo de Remez.

La implementacion de dicho algoritmo para diseno de filtros digitalesmas popular es el algoritmo de Parks-McClellan.

Para unas dadas especificaciones los filtros equirriple dan el menororden posible!

Filtros equirriple I

Si se dispone de especificaciones:

Adi (ejω)− δi ≤ |H(ejω)| ≤ Adi (ejω) + δi, ωi−1 ≤ ω ≤ ωi, i = 1, . . . , B.

Sea Ci = [ωi, ωi−1], C =⋃Bi=1 Ci. La idea de los filtros equirriple encontrar

el filtro H(ejω) tal que:

mınh(n):0≤n≤N

maxω∈C|E(ejω)|, E(ejω) = W (ejω)

[H(ejω)−Ad(ejω)

]Este es un problema de aproximacion por polinomios trigonometricosde Chebyshev.

El algoritmo para resolverlo es el algoritmo de Remez.

La implementacion de dicho algoritmo para diseno de filtros digitalesmas popular es el algoritmo de Parks-McClellan.

Para unas dadas especificaciones los filtros equirriple dan el menororden posible!

Filtros equirriple II

0,95 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,05 0 ≤ ω ≤ 0,125π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

Frecuencia angular

Diseño con ventana rect.Diseño equirriple

Filtros equirriple II

0,95 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,05 0 ≤ ω ≤ 0,125π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−120

−100

Frecuencia angular

Diseño con ventana rect.Diseño equirriple

Disenos multistage I

Este metodo esta orientado para el diseno de pasabajos muy estrictos.

La idea es disenar un filtro G(z) conespecificaciones tan severas. Al hacerG(z2) generamos la respuesta quenecesitamos. Pero tambien aparece unacopia no deseada. Dicha copia se puedeeliminar con un filtro no muy estricto.

De esta forma podemos generar un filtroG(z2)A(z) cuya longitud puede ser menor

que la del filtro original H(z)!!

Disenos multistage II

Se sabe que para el filtro H(z) se tiene

NH ≈D(δ1, δ2)

∆ω, ∆ω = ωp − ωs

Claramente G(z) tiene NG = NH/2 coeficientes y A(z) tiene NAcoeficientes que satisfacen NA << NH .

Esto quiere decir que la cascada G(z2)A(z) tiene aproximadamenteNH/2 coeficientes!!. Podemos reducir la cantidad de multiplicaciones

necesarias! (El numero de elementos de memoria necesariospermanece igual).

Esto se puede generalizar al caso en que la expansion se hace con unfactor M generico!! Sin embargo si M es muy grande el filtro A(z)

puede tener muchos coeficientes y puede no haber ganancia!!

NH ≈D(δ1, δ2)

∆ω, ∆ω = ωp − ωs

NH ≈D(δ1, δ2)

∆ω, ∆ω = ωp − ωs

Disenos multistage III

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−100

Diseño equirriple simpleDiseño multistage

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1050

tiplic

Factor de expansión

Ejemplo con

0,98 ≤ |H(ejω

)| ≤ 1,02 0 ≤ ω ≤ 0,08π

|H(ejω

)| ≤ 0,001 0,1π ≤ ω ≤ π

Con M = 4 obtenemos el mınimo numero decoeficientes (94) con una reduccion de mas del 60 %de los coeficientes con respecto al caso simple (315coeficientes.)!

Tener en cuenta que el sistema debe implementarse en forma practica comola cascada de los sistemas para aprovechar la ganancia en implementacion!

Disenos multistage III

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−100

Diseño equirriple simpleDiseño multistage

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1050

tiplic

Factor de expansión

Ejemplo con

0,98 ≤ |H(ejω

)| ≤ 1,02 0 ≤ ω ≤ 0,08π

|H(ejω

)| ≤ 0,001 0,1π ≤ ω ≤ π

Con M = 4 obtenemos el mınimo numero decoeficientes (94) con una reduccion de mas del 60 %de los coeficientes con respecto al caso simple (315coeficientes.)!

Tener en cuenta que el sistema debe implementarse en forma practica comola cascada de los sistemas para aprovechar la ganancia en implementacion!

Decimadores I

Muchas veces es necesario realizar la siguiente operacion:

y(n) = w(nM),

Y (ejω) =1

M−1∑k=0

W(ejω−2πM

Se ve entonces que la funcion H(z)es preparar la senal antes de ser

decimada para minimizar el efectodel aliasing!

Esta operacion es basica en todo sistema que necesite disminuir latasa de informacion que transmite una determinada senal!

Decimadores I

y(n) = w(nM),

Y (ejω) =1

M−1∑k=0

W(ejω−2πM

) Se ve entonces que la funcion H(z)es preparar la senal antes de ser

Decimadores I

y(n) = w(nM),

Y (ejω) =1

M−1∑k=0

W(ejω−2πM

) Se ve entonces que la funcion H(z)es preparar la senal antes de ser

Decimadores II

Muchas veces H(z) tiene una banda de transicion extremadamente estrechalo que implica muchos coeficientes (multiplicaciones). Sin embargo:

El decimador se queda con una de cada M muestras! Se puede realizar elfiltrado por H(z) en una de cada M unidades de tiempo.

En una unidad de tiempo por cada M nuestro procesador va a tener unpico de actividad y en el resto no tendra ninguna! Esto puede resultar en un

pobre aprovechamiento de los recursos!

Es posible compensar esto y redistribuir las multiplicaciones que H(z) deberealizar por cada muestra util durante las M unidades de tiempo.

Decimadores II

Decimadores III

Para realizar esto vamos a recurrir a la descomposicion polifasica de ordenM para cualquier H(z):

H(z) =

∞∑n=−∞

h(n)z−n

=∞∑

n=−∞

h(nM)z−nM + z−1∞∑

n=−∞

h(nM + 1)z−nM + . . .

+z−M+1∞∑

n=−∞

h(nM +M − 1)z−nM

= E0(zM ) + z−1E1(zM ) + · · ·+ z−M+1EM−1(zM )

Ei(z) =

∞∑n=−∞

h(nM + i)z−i,

i = 0, . . . ,M − 1

Decimadores III

H(z) =

∞∑n=−∞

h(n)z−n

=∞∑

n=−∞

h(nM + 1)z−nM + . . .

+z−M+1∞∑

n=−∞

= E0(zM ) + z−1E1(zM ) + · · ·+ z−M+1EM−1(zM )

Ei(z) =

∞∑n=−∞

h(nM + i)z−i,

i = 0, . . . ,M − 1

Decimadores III

H(z) =

∞∑n=−∞

h(n)z−n

=∞∑

n=−∞

h(nM + 1)z−nM + . . .

+z−M+1∞∑

n=−∞

= E0(zM ) + z−1E1(zM ) + · · ·+ z−M+1EM−1(zM )

Ei(z) =

∞∑n=−∞

h(nM + i)z−i,

i = 0, . . . ,M − 1

Decimadores IV

Decimadores V

La estructura queda como

Cada uno de los Ei(z) tieneaproximadamente N/M

coeficientes donde N es el numerode coeficientes de H(z). Comocada Ei(z) opera a una tasa M

veces menor entonces el numero demultiplicaciones por unidad de

tiempo se reduce a N/M !!

Ahora el procesador realiza N/M multiplicaciones por unidad de tiempo enforma continua y la carga computacional se encuentra mejor balanceada!!

Decimadores V

Decimadores VI

Sea un el diseno de un decimador con factor M = 50. Las caracterısticas delfiltro H(z) cuya frecuencia de corte debe ser π/50 son:

0,98 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,02 0 ≤ ω ≤ 0,08π, |H(ejω)| ≤ 0,001 0,1π ≤ ω ≤ π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−100

El filtro H(z) tiene 3335 coeficientes. Dado queM = 50 la longitud de los filtros Ei(z) es como

maximo de 67 coeficientes.

Supongamos que la muestras de x(n) surgen demuestrear una senal a 8KHz

La implementacion del decimador directarequerirıa garantizar ≈ 27 millones demultiplicaciones por segundo.

La implementacion polifasica solo requieregarantizar ≈ 0,5 millones de multiplicacionespor segundo.

Referencias

A. Oppenheim, R. Schafer and J. Buck, Discrete-time signalprocessing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall 1999.

P. Vaidyanathan, Multirate Systems And Filter Banks. Upper SaddleRiver, N.J.: Prentice Hall 1992.

B. Porat, A Course in Digital Signal Processing. New York: JohnWiley 1997.

E. Feachor and B. Jervis, Digital Signal Processing: A practicalapproach. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall 2002.

U. Meyer-Baese, Digital Signal Processing with FPGA. Berlin,Springer-Verlag, 2001.

K. Rangarao and R. Mallik, Digital Signal Processing: A PractitionerApproach. New York: John Wiley 2005.

Papers varios de IEEE Transactions on Signal Processing.

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