DISEOS FACTORIALES 3Un diseo factorial 3 es un arreglo de k factores que tienen tres niveles cada uno. Se har referencia a los tres niveles de los factores como bajo, medio y alto. Existen varias notaciones para representar estos niveles de los factores como bajo, medio y alto. Existen varias notaciones para representar los niveles de los factores; una posibilidad es representar los niveles de los factores con los dgitos 0 (bajo), 1 (medio) y 2 (alto). Cada combinacin de tratamientos del diseo 3 se denotara por k dgitos, donde el primer digito indica el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B,, y el digito k-simo indica el nivel de factor K.

Por ejemplo en un diseo factorial 3, se tiene:

donde (0,0) denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A y B ambos en el nivel bajo, y (0.1)denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel intermedio.

Cuando los niveles de un factor, por ejemplo A son tres, el efecto de ese factor estar reflejado en la variabilidad de tres totales de tratamientos, (A), (A) y (A); donde (A) representa el total de los tratamientos con nivel i del factor A. Tambin el efecto del factor A se puede estudiar con dos contrastes ortogonales entre esos tres totales. As al efecto principal de un factor con tres niveles se le asocian dos grados de libertad.De acuerdo al modelo lineal, se tienen dos comparaciones independientes para A, dados por las filas:

El efecto de B tiene dos comparaciones independientes entre columnas:

En el sistema de los diseos 3, cuando los factores son cuantitativos, es comn denotar los niveles bajo, intermedio y alto con -1, 0 y +1 respectivamente. Este diseo es una de las alternativas experimentales que permite estudiar efectos de curvatura, adems de efectos lineales y de interaccin.El diseo mas simple del sistema 3 es el diseo 3, el cual tiene dos factores, cada uno con tres niveles obteniendo un total de 9 tratamientos diferentes. Los nueve tratamientos se pueden escribir de varias maneras, algunas de las cuales se muestra en la tabla 9.10

El modelo estadstico para el diseo 3 se puede escribir considerando el efecto individual de cada factor y de la interaccin entre ambos, como se presenta a continuacin:

Con i, j = 0, 1, 2 y k =1,, r, y donde; i es el efecto del factor A, j representa el efecto de B y ()ij es la interaccin entre los dos factores.En consecuencia, se contrasta la hiptesis H : ()ij = 0 (no hay interaccin de los factores A y B sobre la variable respuesta), Al igual que en los diseos 2, si esta hiptesis no se rechaza entonces se contrastan las hiptesis: i. H : i = 0 (no hay efecto significativo del factor A son la variable respuesta) y ii. H : j = 0 (no hay efecto significativo del factor B sobre variable respuesta). Estas hiptesis se juzgaran en ANOVA, pare ello las sumas de cuadrados para los tres efectos incluidos en el modelo 9.5 se calculan mediante los mtodos usuales al utilizar diagramas de estructuras. En este caso dichas sumas estn dadas por:

La suma de cuadrados total se obtiene de forma usual,

y la de error se calcula con la diferenciaLos grados de libertad asociados con cada suma de cuadrados de esta ltima relacin son, respectivamente:

Con base en los resultados en la tabla 9.11 se presenta el anlisis de varianza para el diseo 3.

La particin de la interaccin de dos factores AB puede hacerse de dos maneras.

El primer mtodo consiste en subdividir AB en dos cuadrados latinos ortogonales y el segundo mtodo divide esta interaccin en cuatro componentes con un solo grado de libertad que corresponden a ALBL; ALBC; ACBL y ACBC, este mtodo tiene sentido siempre y cuando los factores involucrados sean cuantitativos.

Los dos cuadrados latinos ortogonales que se obtienen mediante el primer mtodo, se muestran en la figura 9.5, los cuales se obtienen al realizar la descomposicin en las componentes AB y AB de la interaccin. Cada una de estas componentes tiene dos grados de libertad. Se usa la terminologa de grupos, como se muestra en el anexo de este captulo, porque si los niveles (0; 1; 2) de A y B se denotan por x1 y x2, respectivamente, entonces se encuentra que las letras ocupan una celda de acuerdo con el siguiente patrn:En la figura 9.5, los dos factores A y B corresponden a las y las columnas, respectivamente, de un cuadrado latino 3 x 3. Adems, estos dos cuadrados latinos son ortogonales, es decir, si uno de los cuadrados se superpone sobre el otro, cada letra del primer cuadrado aparecera exactamente una vez con cada letra del segundo cuadrado.

Por ejemplo, en el cuadrado A1B2 se observa que la celda inferior derecha corresponde a x1 = 2 y x2 = 2; por lo tanto, x1 + 2x2 = 2 + 2(2) = 6 = 0 (mod 3), y Q ocupara dicha celda.

Las sumas de cuadrados, usando teora de grupos, asociadas a AB y AB son, respectivamente:

Los componentes AB y AB de la interaccin AB no tienen significado real y por lo general no se incluyen en la tabla de anlisis de varianza. Sin embargo, esta particin, en gran medida arbitraria, es muy til para construir diseos ms complejos. Adems no hay relacin entre los componentes AB y AB de la interaccin y las componentes ALBL; ALBC; ACBL y ACBC.EJEMPLO 1En Kuehl (2001) se presenta un experimento en donde un entomlogo realiz un experimento sobre la energa consumida por las abejas al beber, para determinar el efecto de la temperatura del ambiente y la viscosidad del lquido en el consumo de energa. Los niveles de temperatura (T) fueron 20, 30 y 40 C, la viscosidad del lquido se control por las concentraciones de sacarosa (S), que eran de 20, 40 y 60% del total de slidos disueltos en el lquido que beban las abejas. El entomlogo registr la energa gastada por las abejas en joules/segundo. Los datos que se presentan en la tabla 9.12 corresponden a tres rplicas de cada uno de los nueve tratamientos en DCA.

El modelo propuesto para este conjunto de datos es:

con i, j = 0, 1,2 y k =1, 2, 3 y, donde; yijk es la energa gastada en la i-sima temperatura j-sima concentracin de sacarosa y k-sima rplica, i es el efecto de la i-sima temperatura, j es el efecto de la j-sima concentracin de sacarosa y ()ij es el efecto de interaccin entre la i-sima temperatura y j-sima concentracin de sacarosa.

Las sumas de cuadrados de los efectos estn dadas por:

Los grados de libertad de SC(T), SC(S) y SC(TS) son 2, 2 y 4, respectivamente. En total el experimento tiene (3) - 1 = 26 grados de libertad, y entonces quedan 26 - 2 - 2 - 4 = 18 grados de libertad para la SCE.Al particionar la suma de cuadrados de la interaccin TS, los dos cuadrados latinos ortogonales que se obtienen se muestran en la figura 9.6, los cuales se obtienen al realizar la descomposicin en las componentes TS y TS de la interaccin. Cada una de estas componentes tiene dos grados de libertad.

Las sumas de cuadrados asociadas a TS y TS son, respectivamente:

Entonces obsrvese que

Las expresiones usuales para la suma de cuadrados de los contrastes se obtienen a partir de la expresin (9.1). En particular, al hacer uso de la tabla 9.14, la suma de cuadrados asociada al efecto AL es:

En la expresion anterior los simbolos (20); : : : ; (02) denotan los totales de los tratamientos con esos niveles de los factores en el orden indicado. De forma semejante se obtienen todas las SC de los ocho contrastes, dos de ellas son: EJEMPLO 2.Considere los datos del ejemplo 9.4, suponga que se desea investigar el efecto de curvatura de la temperatura del ambiente y viscosidad del lquido sobre la energa gastada por las abejas.

En la tabla 9.15 se presentan las diferentes sumas de cuadrados, algunas de las sumas presentadas en dicha tabla son:

A partir de los resultados de la tabla 9.15, observese que:

De la tabla 9.16, se concluye que el efecto lineal de la temperatura del ambiente cambia linealmente al cambiar los niveles del % de sacarosa, ya que F = 25; 37 > F(1;18;0;05) = 4; 41. Los dems efectos en los que se descompone la interaccin no son significativos.