Anexo

CTEMA C:ASPECTOS TEÓRICOS Y DISEÑODE PROYECTOS HIDROELECTRICOS

1.   Fundamentos de la Hidráulica Una breve revisión de sus aspectos fundamentales y sus principios...

En este anexo revisamos, a manera de repaso, los conceptos fundamentales y los

principios en los que se sustenta la hidráulica aplicada particularmente a los circuitos presurizados. La re visión pretende tener una cobertura tal que sea lo suficientemente completa para que los lectores, que habiendo cursado con anterioridad un curso de mecánica de fluidos, puedan recordar y hasta en algún caso actualizar algunos fundamentos conceptuales que son al mismo tiempo las fundaciones de la estructura de conocimiento que se imparte en la materia Centrales Eléctrica I (ELT-274) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andrés, o en su caso del Libro al que acompaña este Anexo.

Vamos a empezar con una introducción a las ecuaciones fundamentales que son la base para abordar la teoría aplicada a las plantas hidroeléctricas. Considerando que el concepto de la línea de energía total (LE) y la línea piezométrica (LP) son muy usuales, vamos a abordarlas de manera separada. Posteriormente con una adecuada extensión abordaremos las formulas de pérdida de carga. Así mismo nos detendremos a recordar como funcionan las turbomáquinas, con sus partes móviles, particularmente las turbinas, su teoría de operación y sus características principales.

1.1   Principios Fundamentales

1.1.1   Ecuaciones Básicas

El principio más básico es el de la conservación de la masa. De manera general, la densidad del fluido     puede variar en respuesta a los cambios de la temperatura del

fluido y/o a la presión. Para un volumen de control fijo     envuelto por una superficie

  , una expresión general de la conservación de la masa esta dada por

Definición de Flujo

Para comprender el significado de flujo, debemos inicialmente abordar la temática desde el punto de vista de su comportamiento mecánico, entonces un fluido es una sustancia que no puede resistir esfuerzos cortantes. En el caso que esta situación se presente, el fluido se deforma y continua deformándose mientras el esfuerzo exista.  Ahora bien, en este proceso de deformación continua las diferentes partes del fluido cambian de posición relativa en forma permanente; precisamente a este movimiento relativo se conoce como flujo.

       (C.1)

en la que    es la velocidad en un punto y     es un vector unitario exterior y

normal a la superficie    , y     es el tiempo.  El primer termino representa la acumulación de la masa en el tiempo sobre el volumen de control, para flujo estable

es cero. En un punto en la superficie el producto vectorial     le da el componente de velocidad que cruza la superficie, así el segundo término calcula el flujo neto de salida a través de toda la superficie de control.  Para flujos estables incompresibles de un líquido en una tubería, la conservación de la masa generalmente se refiere al principio de continuidad o simplemente a la continuidad, y se escribe como

  (C.2)

en la que    es la descarga volumétrica a través de una sección trasversal de la tubería,

la que también puede ser escrita como el producto de la velocidad media     y un área de sección transversal     de la tubería.

El segundo, igualmente importante, principio es el de energía - trabajo, algunas veces llamado simplemente el principio de la energía. Algunos también lo denominan la ecuación de Bernoulli, pero en general es algo más diferente que eso. Para un flujo estable unidimensional de un líquido confinado en una tubería, por unidad de peso del fluido, el principio puede escribirse entre dos secciones o estaciones como

 (C.3)

Tipos de Flujo

El flujo, ya sea en una conducción a superficie libre o en una presurizada puede determinarse mediante las siguientes cantidades físicas:

 En esta ecuación el miembro     es la carga de

velocidad o también la energía cinética,     es la carga de presión o el trabajo del flujo, y     la carga de posición o energía potencial, todas por la unidad de

Desplazamiento de una partícula de fluido.

Velocidad de una partícula de fluido en  un punto del campo de flujo.

Aceleración de una partícula en un punto del campo de flujo.

(continua en la página siguiente)

peso. Si los dos últimos miembros a la derecha estuvieran ausentes, la ecuación seria la clásica ecuación de Bernoulli. Los dos últimos términos, sin embargo, son extremadamente importantes en el estudio de la hidráulica de tuberías. El término de la pérdida de carga, o la pérdida de energía acumulada por unidad de peso

  , es la suma, entre las secciones 1 y 2, de las pérdidas de carga individuales en su alcance ocasionado

por los efectos de la fricción. El último miembro     es la energía mecánica por unidad de peso añadida al flujo por la turbomaquinaria. Una bomba añade energía al

fluido, entonces     es positiva y se la denomina     ;

una turbina extrae energía del fluido entonces     será

entonces negativa y se denomina     .

Tipos de Flujo  (continuación)

Las cantidades anteriores pueden permanecer constantes o variar con el espacio y/o con el tiempo.  Con repecto al espacio, los flujos se clasifican en uniformes (si las cantidades físicas permanecen constantes en el espacio) y no uniformes.  Con respecto al tiempo se clasifican en permanentes o estacionarios (si las cantidades de flujo permanecen constantes en el tiempo) y no permanentes.

 La potencia del fluido, algunas veces escrita por     , es el producto de la energía ganada o perdida por

unidad de peso     y la cantidad del peso del flujo

  , o     . Un factor de conversión de unidades se puede aplicar al resultado para expresar la potencia en, digamos, caballos de fuerza (hp) o kilowats. Dependiendo del propósito de este calculo, un factor de eficiencia     se puede usar como multiplicador o divisor de la potencia.

El último de los más importantes principios considera el momentum lineal, el que está gobernado por la ecuación del momentum de impulso

  (C.4)

 Flujo Uniforme

En este tipo de flujo las características del flujo (presión y velocidad) permanecen constantes en el espacio y en el tiempo. Por consiguiente , es el tipo de fujo más fáacil de analizar y sus ecuaciones se utilizan para el diseño de sistemas de tuberías. Como la velocidad no está cambiando, el fluido no está siendo acelerado. Si no hay aceleración, según la segunda ley de Newton para el movimiento, la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un volumen de control debe ser cero. Es decir, existe un equilibrio de fuerzas.

 en la que la fuerza neta del contenido del volumen de control, fluido y sólido, la que puede ser dividida en fuerzas de superficie y fuerzas de cuerpo, es igual a la cantidad de acumulación del momentum con el volumen de control mas el flujo neto del momentun a través de la superficie del volumen de control. En un flujo estable el primer término es nuevamente cero. Para flujos estables, incompresibles, unidimensionales a través de tuberías, el componente de la ecuación del momentum a lo largo de la dirección del flujo es

   (C.5)

en la que asumimos flujo hacia la tubería en la sección de la izquierda, sección 1, y flujo desde la tubería en la sección de la derecha, sección 2. Si el área de la sección transversal de la tubería es constante entre las secciones finales y la tubería es recta,

entonces las velocidades son iguales, y la ecuación se simplifica aún más a . Ya que la ecuación B.5 es una ecuación vectorial, puede ser siempre escrita en forma de componentes; para flujos bidimensionales en el plano x-y, los componentes de dicha ecuación son

  (C.5 .a)

(C.5..b)

1.1.2   Líneas de Gradiente de Energía e Hidráulica

La línea de gradiente de energía, también llamada Línea de energía o simplemente LE, es la representación gráfica de la suma de tres términos de la ecuación trabajo – energía, la que es también la suma de Bernoulli:

  (C.6)

Ya que cada término tiene unidades de longitud, nosotros podemos por conveniencia súperimponer el diagrama del comportamiento de cada término de la energía, y su suma, en un dibujo del problema físico del flujo. Por ejemplo, un tubo Pitot, insertado en un flujo para causar localmente en su punta un punto de velocidad cero, de manera que la carga de velocidad se convierte en una carga de presión adicional, lo que ocasionará que el líquido se eleve hasta la LE para este punto en el flujo.

La línea de gradiente hidráulica, o LGH, es la suma de solo la carga de presión y elevación. La suma de estos dos términos se llama también la carga piezométrica, la que puede ser convenientemente medida por un tubo piezométrico insertado en el flujo, en un costado de la tubería. Es importante también reconocer que cualquier LGH puede ser rápidamente localizada en el diagrama si la LE ya ha sido localizada; medimos de manera simple aguas abajo por la magnitud de la carga de velocidad local desde la LE par ubicar la LGH.

La Figura C.1 muestra la relación de los términos particulares de la carga respecto a la LE y la LGH y la carga que se pierde entre las secciones 1 y 2

Flujo Uniforme, fuerzas actuantes

En el caso del flujo en tuberías, conducciones hidráulicas presurizadas, actúan tres fuerzas: fuerza de presión, fuerzas gravitacionales y fuerzas de fricción. Las dos primeras tratan de acelerar el flujo y las últimas tratan de frenarlo. En el caso de flujo uniforme existe un equilibrio entre las fuerzas de fricción, por un lado, y las fuerzas gravitacionales y de presión, por el otro. Dada la importancia de las fuerzas de fricción en el problema del flujo uniforme, el cual es básico para el diseño de

sistemas de tuberías.

 Figura C.1La LE y la LGH en relación a las distintas cargas y las pérdidas de carga

 

1.2   Formulas de Pérdidas de Carga

 El término de pérdida de carga en la Ec. C.3 es responsable por representación cuidadosamente dos tipos de fenómenos de los fluidos reales, pérdidas de carga debido a la resistencia al fluido por las paredes de la tubería, y una pérdida de carga adicional ocasionada por perturbaciones locales de la corriente del fluido. La pérdida de carga debido a la fricción esta siempre presente a lo largo de la tubería. Las perturbaciones locales, llamadas pérdidas concentradas o locales, son caudas por válvulas, codos (cambios de dirección) y otros tipos de singularidades. Las pérdidas locales también son llamadas pérdidas menores, si sus efectos, individualmente y/o colectivamente, no van a contribuir significativamente en la determinación del flujo; por ello, algunas veces estas pérdidas menores se espera que no tengan consecuencias y por tanto son despreciadas. En un estudio preliminar de alternativas de diseño se puede ignorar las pérdidas locales o menores, considerándose sólo en una etapa posterior de diseño. Cada tipo de pérdida de carga será considerada a continuación

1.2.1   Fricción en las Tuberías

Si seleccionamos un volumen de control cilíndrico y pequeño en una sección circular de una tubería, con coordenadas     en la dirección del flujo y     radialmente, en un flujo estable y éste volumen sujeto a un análisis mediante la ecuación de momentum, Ec. B.4, encontraríamos que la resistencia de corte del flujo medio     , es una función del radio

  del eje de la tubería, siendo

  (C.7)

de la que aprendemos dos hechos importantes:

1. La resistencia de corte al fluido     varía linealmente en la sección trasversal de

una tubería, desde cero en su eje a un máximo, llamado     , en la pared de la

conducción, donde   .

2. En ausencia de una línea de gradiente de la carga piezométrica     , la resistencia de corte del fluido será cero, y consecuentemente no existirá flujo en esta sección.

Si ahora expandimos el volumen de control para llenar la sección transversal de la tubería e integramos la ecuación C.7 sobre la longitud     de la tubería de diámetro

constante, aprenderemos con poco de esfuerzo que la pérdida de carga por fricción     a lo largo de la longitud esta directamente relacionada con la resistencia de corte de la

pared     a través de

 (C.8)

Empero esta ecuación no relaciona la perdida de carga a la velocidad media     o al

caudal     .

1.2.2     Ecuación de Darcy – Weisbach

La totalidad de la relación funcional general     entre la

resistencia de corte en la pared     y la velocidad media     , el diámetro de la tubería     , la densidad del fluido     , y la viscosidad     , y la rugosidad relativa (grano de arena)     puede ser reducida por análisis dimensional a

 (C.9)

La combinación de las Ec. C.8 y C.9 para eliminar la resistencia al corte en la pared produce la ecuación fundamental mas conocida y versátil para la pérdida de carga por fricción en una tubería, la ecuación de Darcy – Weibach:

(C.10)

En la Ec. C.9 se introduce el factor de fricción     (y el factor 8 para coincidir con el desarrollo histórico de la materia) como una notación simplificada de la función     .

Es una función del número de Reynolds par la tubería     y el

factor de la rugosidad relativa     . Se ha establecido para cada material de la tubería

cada uno como un valor simple o un rango de valores de ; la Tabla C.1 presenta valores comunes para distintos tipos de materiales.

Tabla C.1       Rugosidad en Tuberías

Material  (mm)  (pulg) Acero ribeteado  0.9 – 9.0  0.035 – 0.35

 Concreto  0.30 – 3.0  0.012 – 0.12

 Fierro fundido  0.26  0.010

 Fierro Galvanizado 0.15 0.006

 Fierro fundido asfaltado 0.045 0.0018

 PVC, Tubos usados, vidrio 0.0015 0.000 06

Debido a que las tuberías comercialmente disponibles de cualquier tipo de material presentan cierta heterogenidad o disparidad en cuanto a su rugosidad, cualquier factor de fricción o su equivalente empírico no se puede conocer con una presición de varios

dígitos. El comportamiento funcional de     se muestra totalmente en el diagrama de Moody en la Fig. C.2.

 Figura C.2  Diagrama de Moody para el factor de fricción     de Darcy–Weisbach

Tomado de L. F. Moody, “Friction factor for Pipe Flow”, Trans. A.S.M.E.,  Vol. 66, 1944.

En el diagrama de Moody, Fig. C.2, podemos varias zonas que caracterizan diferentes tipos de flujos en tuberías. Primero notemos que la gráfica es logaritmica a lo largo de

ambos ejes. Debajo de numero Reynolds   ;  (algunos autores prefieren 2300) sólo hay una línea, la que puede ser derivada de las ecuaciones para flujo laminar viscoso sin información experimental; el factor de fricción resultante para flujo laminar

es   . Debido a que en esta región solo hay una línea, se dice todas las tuberías son lisas en flujo laminar. Entonces para números Reynolds superiores, digamos 4000, es la así llamada zona “crítica” en la que el flujo cambia de laminar a un flujo débilmente turbulento. Para números Reynolds aún mayores encontramos tres zonas de flujo que merecen comentarios::

1. Una linea punteada bordea una porción superior derecha de la gráfica. En esta zona, llamada flujo totalmente rugoso o la región de completa turbulencia para

tuberías rugosas, el factor de fricción    es función sólo de la rugosidad    

y no de    . Para tuberías relativamente rugosas y/o elevados caudales esta es de un tipo común de flujo. De esta manera, si el material es conocido entonces

  también es conocido, entonces el valor de     se conoce inmediatamente. 2. La línea mas baja es llamada tubería suave y es descrita por la fórmula empírica

  (C.11)

3. Esta línea incrementa continuamente su pendiente y nunca se vuelve horizontal,

y es francamente una zona de flujo rugoso, entonces     siempre depende de

  . Desde que el flujo en tuberías de PVC es descrito por esta línea, esta se ha vuelto incrementalmente mas importante en algunos campos, en los últimos años.

4. Entre las zonas 1 y 2 es una banda de transición importante, llamada la zona de

transición turbulenta, en la que     depende de ambos; el número de Reynolds y

de     . La ecuación de Colebrook – White

 (C.12)

5. se usa, especialmente en códigos de computadora, para replicar numéricamente los datos en esta zona del diagrama de Moody. A pesar de la precaución anteriormente señalada acerca de los límites de precisión en los factores de fricción, algunas veces tenemos que permitir más cifras significativas en el cómputo para asegurar que el algoritmo computacional logre converger. Unas cifras significativas adicionales en los valores calculados es también una ayuda en la verificación del éxito en los ejemplos computacionales, entonces algunas veces presentaremos resultados en este documento con más dígitos por dichas razones, a pesar de que las consideraciones prácticas nos apunten a pensar que no hay ninguna garantía.

La Tabla C.2 resume la relación que describe el factor de fricción     de Darcy – Weisbach

Mas adelante, en otro Anexo, describiremos la solución computacional de las ecuaciones de Colebrook – White y Darcy – Weisbach como una alternativa al uso mismo del diagrama de Moody. Los lectores que tienen una calculadora de bolsillo, pero con la posibilidad de resolver ecuaciones implícitas deberían considerara seriamente escribir la ecuación de Colebrook – White, Ec. C.12 en la memoria de la calculador para usar una rutinariamente para cálculos de valores del factor de fricción.

1.2.3     Ecuaciones Empíricas

Las ecuaciones empíricas de pérdida de carga tiene una larga y honorable data de uso en problemas de tuberías. Su uso inicial preceden en décadas el desarrollo del diagrama de Moody, y aún actualmente están en uso en la práctica profesional. Algunos continúan prefiriendo su uso debido fundamentalmente a una razón de habito, mientras que otros prefieren evitar algunas de las dificultades en determinar el factor de fricción de la ecuación de Darcy – Weisbach.

Como es común con las ecuaciones empíricas, cada una contiene una constante que depende del sistema de unidades escogido. Posiblemente la más difundida de estas ecuaciones es la ecuación de Hazen – Williams.

Tabla C.2      Ecuaciones de Darcy Weibach para la fricción

 Tipo de Flujo  Ecuación para    Rango

 Laminar    

 Tuberías lisas 

    y

 Ecuación Colebrook-White Transición  

 Wholly Tuberías rugosas  

Para calcular el caudal la ecuación toma la forma

   unidades ES  (C.13)

   unidades SI  (C.14)

En las que     es el coeficiente de rugosidad de Hazen – Williams,     es la

pendiente de la línea de energía,     es el radio hidráulico.     es el area transversal, y     es el perímetro húmedo, de manera que la tubería fluyendo llena va a

tener siempre     . La Tabla C.4 presenta valores para     ,para algunos materiales comunes de tubería.

Otra ecuación empírica, que fue originalmente y principalmente desarrollada para flujo en canales abiertos, es la ecuación de Manning

unidades ES  (C.15)

unidades SI   (C.16)

El límite de la rugosidad en la tubería es descrita por     de Manning, para el que listamos algunos valores en la Tabla C.3.

Tabla C.3     Rugosidad de Hazen – Wiliams y de Manning

 Material de la Tubería   PVC  150  0..009 Muy liso  140  0.010 Cemento forrado con hierro dúctil  140  0.012 Hierro nuevo, acero soldado  130  0.014 Madera, concreto  120  0.016 Arcilla, acero nuevo remachado  110  0.017 Hierro viejo, ladrillo  100  0.020 Hierro malo corroído  80  0.035

Una comparación de las ecuaciones de Hazen – Williams y Manning con la ecuación de Darcy – Weisbach nos mostrará de manera concluyente que las ecuaciones empíricas son mucho mas limitadas en sus rangos de aplicabilidad. Cada una es aplicable solo al flujo turbulento de agua. La ecuación de Manning solamente es válida para flujos que corresponden a regímenes de flujos totalmente rugosos en tuberías. Si la ecuación de Hazen – Williams se trazara en el diagrama de Moody, de doble entrada logarítmica, aparecería como una familia de pendientes rectas (la pendiente es -0.15) a lo largo de la porción de flujo de transición turbulento del diagrama de Moody; ahora cada selección del coeficiente de Hazen – Williams puede como máximo replicar una parte de las

líneas individuales     del diagrama de Moody.