31 de mayo 201501Guadalajara Sur 1Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos ContenidoIntroduccin......................................................................................................25-1 Definiciones y principios bsicos...........................................................35.2 La ventaja de los diseos factoriales....................................................85-2 Diseo factorial de dos factores...........................................................105-3-1 n eje!plo...........................................................................................10"#"$%L& 5-1................................................................................................16'o!paraciones !(ltiples.........................................................................17)alida de co!putadora.............................................................................195-3.3 *erificacin de la adecuacin del !odelo.......................................195-3-+ "sti!acin de los par!etros de !odelo.......................................205-3.5 "leccin del ta!ao de la !uestra..................................................245-3.,na observacin por celda...............................................................27"#"$%L& 5-2................................................................................................29'onclusin......................................................................................................31-iblio.raf/a......................................................................................................32i!"io#ra$a......................................................................................................32 2Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos Introduccin "n el si.uiente apartado del Libro 0diseo y anlisis de e1peri!entos 0por$ont.o!ery2 3ablare acerca deldiseo factorialde !anera .eneral. %ero antesco!en4are co!entando 5ue los diseos e1peri!entales son i!portantes ya 5uenos per!ite!ejorar un proceso osiste!apor !ediode la observacindeca!bios a trav6sde un e1peri!ento. %or lo tanto2 nosotros co!o investi.adoresnecesita!os3erra!ientasestad/sticasparae1peri!entar yobtener resultados5ue si.nifican una solucin de !ejora en nuestro proceso. "7 esta ocasin citar6 aldiseo factorial2 por5ue en elpode!os encontrar 2 o!s factores2 los cuales cuentan con dos o !s niveles2 y se tiene 5ue investi.artodas las posibilidades de los niveles de los factores en cada ensayo o r6plica dele1peri!ento. "l efecto5uetieneunfactorseleconoceco!oel ca!bioenlarespuesta producido por un ca!bio en el nivel del factor2 este efecto ta!bi6n se leconoceco!o0efectoprincipal8 ya5ueserefierealosfactoresprioritariosdele1peri!ento.$s adelante2 durante el desarrollo deeste apartado2 se e1plicara !s a detalle2con ayudas visuales2 tablas2 for!ulas y conceptos2 c!ofuncionael diseofactorial. 3Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos Capitulo 5-1 Definiciones y principios bsicos "n!uc3ose1peri!entosintervieneel estudiodelosefectosdedoso!sfactores. "n .eneral2 losdiseos factoriales son los !s eficientes para estetipodee1peri!entos. %or diseofactorial seentiende5ueencadaensayooreplica co!pleta del e1peri!ento se investi.an todas las co!binaciones posiblesde los niveles de los factores. %or eje!plo2 si el factor A tiene a niveles y el factorBtienebniveles2 cadareplicacontienetodaslasabco!binaciones delostrata!ientos. 'uando los factores estn incluidos en un diseo factorial2 es co!(ndecir 5ue estn cruzados. "l efecto de un valor se define co!o el ca!bio en la respuesta producido por unca!bio en el nivel del factor. 'on frecuencia se le lla!a efecto principal por 5uese refiere al inter6s pri!ario en el e1peri!ento. %or eje!plo2 considere ele1peri!ento sencillo de la fi.ura 5-1. )e trata de un e1peri!ento factorial de dosfactores en el 5ue los dos factores del diseo tienen dos niveles. 9 estos nivelesse les 3a deno!inado 0bajo8 y 0alto8 y se denotan co!o 0-0y 0:82respectiva!ente."l efecto principal del factorA de este diseo de dos niveles puede visuali4arseco!oladiferenciaentrelasrespuestaspro!edioconel nivel bajodeAylarespuesta pro!edio con el nivel alto de A. 7u!6rica!ente esto es; 9 : E1F1 : E2F2 : E12F1F2 : Donde y es la respuesta2 las E son par!etros cuyos valores deben deter!inarse2F1es una variable 5ue representa al factor "#$% es una variable 5ue representa alvalor - y es un t6r!ino del error aleatorio. Las variables $1$%# se definen en unaescala codificada de -1 a :1=los niveles bajo y alto de 9 y -A2 y F1F2representala interaccinentre F1F2Las esti!aciones de los par!etros en este !odelo de re.resin resultan estarrelacionadas con las esti!aciones de los efectos. %ara el e1peri!ento ilustrad enla fi.ura 5-1 se encuentra 5ue los efectos principales de 9 y - son; 9 seesti!a con el pro!edio de las cuatro respuestas2 o E> < =2>:+>:3>:52AB+ < 35.5.%or lo tanto2 el !odelo de re.resin ajustado es;^ y .5F1 : 1>.5F2 : >.5F1F2 6Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos Lasesti!acionesdelospar!etrosobtenidasdeesta!aneraparael diseofactorial en el 5ue todos los factores tienen 2 niveles =-y :A resultan serestimaciones de m&nimos cuadrados=se abundara sobre el te!a !sadelanteA. "l coeficiente de la interaccin = ^ 12< >.5A es pe5ueo en co!paracin conlos coeficientes de los efectos principales ^ 1 y ^ 2. La interpretacin 5ue se3ar de este 3ec3o es 5ue la interaccin es pe5uea y puede i.norarse. %or lotanto2 al eli!inar el t6r!ino >.51112 se obtiene el !odelo;^ y .5F1 : 5.5F2 : @F1F2 7Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos &bserve 5ue el efecto si.nificativo de la interaccin provoca el 0torci!iento8 delplanodelafi.ura5-Ia."stetorci!ientodelasuperficiederespuestaproducel/neas de contorno curvas para las respuestas constantes en el plano F1F22co!ose!uestraenlafi.ura5-Ib. %orlotanto2 unainteraccinesunaformadecuratura en el !odelo de superficie de respuesta funda!ental del e1peri!ento."l !odelo de superficie de respuesta de un e1peri!ento es de .ran i!portancia yutilidad. "l te!a se a!pliara en la seccin 5-5 y en cap/tulos posteriores."n .eneral2 cuando una interaccin2 es .rande2 los efectos principalescorrespondientes tienen escaso si.nificado prctico. "n el e1peri!ento de la fi.ura5-2 la esti!acin del efecto principal de 9 seria;9oMA. )e supone 5ue la !ejor esti!acin de la varian4a delerror es MSE de la tabla del anlisis de varian4a2 utili4ando el supuesto de 5ue lavarian4adel error e1peri!ental esla!is!aparatodaslasco!binacionesdetrata!ientos.Los pro!edios de los tres tipos de naterial a ,>o Mdispuestos en orden ascendente son;y12 < 5,.25 y22 < 11C.,5y32 < 1+5.,5 T>.>5 < 5>.>5 =322,A MSEn< 3.5> 675.214< +5.+,Donde 5>.>5=322,A se obtiene por interpolacin en la tabla *III delap6ndice. Lasco!paraciones por pares dan co!o resultado3 vs 1; 1+5.,5 - 5,.25 < @@.5> 4 T0.05< +5.+,3 vs 1; 1+5.,5 - 11C.,5 < 2I.>> 5 T0.05< +5.+,2 vs 1; 11C.,5 [ 5,.25 < I2.5> 4 T>.>5< +5.+, 20Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos "ste anlisis indica 5ue con el nivel de te!peratura de ,>oM2 la vida !edia de labater/aesla!is!aparalos!ateriales tipos2 y32y5uelavida!ediade labater/a para el !aterial tipo 1 es si.nificativa!ente !enor.)ilainteraccines si.nificativa2 ele1peri!entopodr/aco!pararlas !ediasdetodaslasabceldasparadeter!inarculesdifierensi.nificativa!ente. "nesteanlisis2 las diferencias entra las !edias y las celdas incluyen los efectos de lainteraccin2 as/ co!o a!bos efectos principales. "n el eje!plo 5-12 esto dar/a 3Ico!paraciones entre todos los pares de las nueve !edias de las celdas.Salida de computadora"n la fi.ura 5-1> se presenta la salida de co!putadora de Design-Expert para losdatos de la vida de la bater/a del eje!plo 5-1. &bserve 5ue ))!odelo .,I52"s decir2 cerca de ,,^ de la variabilidad de la vida de la bater/a es e1plicada porel !aterial de la placa de la bater/a2 la te!peratura y la interaccin entre el tipo de!aterial y la te!peratura. "n la salida de co!putadora se !uestran ta!bi6n losresiduales del !odelo ajustado. 9continuacin se indica c!o usar estosresiduales para verificar la adecuacin del !odelo.5-)') .,5B 675.21 < -2.3+2 y es el (nico residualcuyo valor absoluto es !ayor 5ue 2."n la fi.ura 5-12 se .rafican los residuales contra los valores ajustados ^yijP. "sta.rafica indica una li.era tendencia de la varian4a de los residuales aincre!entarse cuando la vida de la bater/a se incre!enta. "n las fi.uras 5-13 y 5-1+ se .raficanlos residuales contralos tipos del !aterial y la te!peratura2respectiva!ente.9!bas .raficas indicanuna li.era desi.ualdaddela varian4a2con la co!binacin del trata!iento 15oM y !aterial tipo 12 teniendo posible!enteuna varian4a !ayor 5ue los de!s. "n la tabla 5-I se observa 5ue la celda 15oM-!aterial tipo 1 contiene los dos residuales e1tre!os =-I>.,5 y +2.25A. "stos dosresidualessonlosprincipalesresponsablesdeladesi.ualdaddelavarian4adetectada en las fi.uras 5-12 a 5-1+. 9l e1a!inarse nueva!ente los datos no seobserva nin.(n proble!a obvio2 tal co!o un error al re.istrar los datos2 por lo 5ueestas respuestas se aceptan co!o le.iti!as. "s posible 5ue esta co!binacin detrata!ientos particular produ4ca una vida de la bater/a li.era!ente !s errtica5ue las de!s. )in e!bar.o2 elproble!a no es lo suficiente!ente .rave co!opara tener un i!pacto dra!tico en el anlisis y las conclusiones.5-)-. 4stimacin de los parmetros de modeloLos par!etros del !odelo de los efectos para el diseo factorial de dos factorespuedenesti!arsepor!/ni!oscuadrados.%uesto5ueel !odelotiene1=a=abpar!etros5ue deben esti!arse2 3ay 1=a=b=ab ecuaciones nor!ales. 9l utili4arel !6todo de seccin 3-C2 no es dif/cil de !oestrar 5ye las ecuaciones nor!alesson; ?ijP < Q : 7i :Ej : = EA 7ij % 8i&'+5-1), 22Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos Q; abn ^ : bn : i=1a+anj=1bn i=1aj=1b( ) ij=yU +5-1., 23Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos 7i; bn ^ : bn 7i : n j=1bn+ j=1b( ) ij=yU i < 1222..2a +5-1.b, j : an ^ : n i=1a i+an j +n i=1a( ) ij=y . j . j < 1222..2a+5-1.c,

( ) ij ( n ^ % ni % nj % n( ) ij) *ii=1,2,. ., a +5-1.d, 24Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos j=1,2,. . , b k=1,2,.. , n"l !odelo de los efectos =ecuacin 5-13Aest sobre para!etri4ado. &bserve 5ue la su!a de las a ecuaciones de la ecuacin 5-1+b es i.ual a la ecuacin 5-1+ a y 5ue la su!a de las b ecuaciones de la ecuacin 5-1+c es i.ual a la ecuacin 5-1+_. 9s/ !is!o2 la operacin5-1+dsobre j para una i particular dar la ecuacin 5-1+ b2 y la operacin su!a de la ecuacin 5-1+d sobre i para una j particular dara la ecuacin 5-1+c. %or lo tanto 3ay a:b:1 dependencias lineales en este siste!a de ecuaciones y no e1istir nin.una solucin (nica. 9 fin de obtener una solucin2 se i!ponen las restriccionesno e1istir nin.una solucin (nica. 9 fin de obtener una solucin2 se i!ponen las restricciones;i=1ati=0 +5-1.d,i=1a j=0 +5-15b,i=1a( t ) ij=0 jA. 'o!o ya se seal2 los dos efectos principales son si.nificativos. )ine!bar.o tan pronto co!o se efect(a el anlisis residual de estos datos2 se ponede !anifiesto 5ue el !odelo sin interaccin es inadecuado. %ara el !odelo de dosfactores sin interaccin2 los valores ajustados son ^yijk < yiU :y.j. - yU"n la fi.ura 5-15 se presenta la .rfica de yij -^yijk=los pro!edios de lasceldas!enosel valor ajustadodeesaceldaA contrael valor ajustado^yijk.93oralascantidades yij -^yijkpuedenconsiderarseco!olasdiferenciasentra las !edias de las celdas observadas y las !edias de las celdas esti!adassuponiendo 5ue no 3ay interaccin. 'ual5uierpatrn en estas cantidades su.ierelapresenciadeunainteraccin. "nlafi.ura5-15seobservaunpatrnclarocuandolascantidadesyij.-^yijkpasandepositivoane.ativo2 ydespu6snuevo a positivo y a ne.ativo2 y despu6s de nuevo a positivo y a ne.ativo. "staestructura es el resultado de la interaccin entre los tipos de !aterial y late!peratura.fuente de variacinSuma decuadradosGrados delibertad cuadrado medio F0Ti#o de material10%-.3/02 2 5%311/.- 5/25tem#erat3ra32% 11./02 2 12%552/3- 21/0.interaccin 20%.11/52 31 .2./21total 00%-1-/2- 35 29Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos 5-)'0*na obseracin por celda"n ocasiones se encuentran e1peri!entos de dos factores con una sola r6plica2 esdecir en los 5ue solo 3ay una observacin por celda. 'uando 3ay dos factores y una sola observacin por celda2 el !odelo de los efectos esi=1,2,. . ayij < +ti+( t) ij

: ijj=1,2,.. b +5-%1,k=1,2,.. n"l anlisis de varian4a para esta situacin se presenta en la tabla 5-C2 5ue a!bosfactores son fijos.9l e1a!inar los cuadrados !edios esperados2 se observa 5ue la varian4a del errora2es no esti!ableG es decir 5ue elefecto de la interaccin de los dos factores=tEAijy elerror e1peri!entalno pueden separarse de al.una !anera obvia. %orconsi.uiente2no se cuenta con pruebas para los efectos principales a !enos 5ueel efecto de la interaccin sea cero. )i no 3ay una interaccin presente2 entonces=tEAijpara toda i y j2 y un !odelo plausible es i=1,2,. . +5-%%,yij < +ti+j

: ijj=1,2,. . bk=1,2,.. n)iel !odelo =ecuacin 5-22A es apropiado2 entonces elcuadrado!edio delosresiduales de la tabla 5-C es un esti!ador inses.ado de a22y los efectosprincipales pueden probarse co!parando MSA ? $)- con MS "esi#ual. 30Juan de Dios Garca TorresDiseo de experimentos na prueba desarrollada por TuPey \111_W es (til para deter!inar si est presenteuna interaccin. "n el procedi!iento se supone 5ue el t6r!ino de la interaccintieneunafor!aparticular!entesi!pleasaber2 =tEAij