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Diseno de un control estabilizante para un vehıculo dedespegue vertical tipo cuatrirrotor

Oscar Leonardo Bustos Angarita

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingenierıa, Departamento de Ingenierıa Electrica y Electronica

Bogota, Colombia

2014

Diseno de un control estabilizante para un vehıculo dedespegue vertical tipo cuatrirrotor

Oscar Leonardo Bustos Angarita

Trabajo final de Maestrıa presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ingenierıa - Automatizacion Industrial

Director:

MSc. Ing. Leonardo Bermeo

Lınea de Investigacion:

Control y Robotica

Grupo de Investigacion:

Unrobot-grupo de plataformas roboticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingenierıa, Departamento de Ingenierıa Electrica y Electronica

Bogota, Colombia

2014

Lema

El desarrollo del hombre depende fundamen-

talmente de la invencion. Es el producto mas

importante de su cerebro creativo. Su obje-

tivo final es el dominio completo de la mente

sobre el mundo material y el aprovechamien-

to de las fuerzas de la naturaleza a favor de

las necesidades humanas.

Nikola Tesla

Agradecimientos

Al Ing. Leonardo Bermeo, por su direccion paciente en la realizacion de este trabajo de grado

ix

Resumen

Un cuatrirrotor es una clase de helicoptero con un diseno mecanico simple. Tienen cua-

tro rotores de inclinacion fija, las cuales le permiten despegar y aterrizar verticalmente. El

control de este tipo de aeronaves es complejo debido a su inestabilidad inherente, su com-

portamiento cambiante en el tiepo, y su naturaleza de tipo no lineal multivariable. En este

trabajo se compararan tecnicas de control tradicionales como el control PID y LQR, y se

compararan con otras tecnicas mas modernas, como son el control H∞ and µ syntesis.

Palabras clave: Control H∞ , PID, LQR, Cuatrirrotor, VTOL, UAV.

Abstract

A Quadrotor is a kind of helicopter with a simple mechanical design. It has four fixed

pitch blades, allowing aircraft to take off and land vertically. Control of this ship is complex

due to inherent instability, varying time parameters and non-linear MIMO behavior. In this

article we are going to study traditional control techniques as PID and LQR and modern

techniques as H∞ and µ syntesis.

Keywords: H∞ Control, PID, LQR, Quadrotor, VTOL, UAV.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

Lista de sımbolos XIII

1. Marco Teorico 3

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Tipos de plataformas aereas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Laboratorios de Quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Stanford University . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2. Pennsylvania State University . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3. University of Pennsylvania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4. Universite de Technologie de Compiegne . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5. MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.6. Universitat Karlsruhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.7. Swiss Federal Institute of Technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.8. The Australian National University . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.9. University of Wollongong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.10. Cornell University . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Aportes de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Modelamiento del Quadrotor 17

2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Modelo dinamico Teorico del Cuatrirrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Fuerzas externas y Aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1. Fuerzas en Altitud (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2. Momentos que afectan al Cabeceo (φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.3. Momentos que afectan al Alabeo (θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.4. Momentos que afectan a Guinado (ψ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Contenido xi

2.5. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Modelo linealizado y puntos de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Modelamiento de la incertidumbre de la planta y analisis de robustez . . . . 25

2.8. Sensores del Cuatrirrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.1. Acelerometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.2. Sensor Giroscopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9. Modelamiento de los Actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Sıntesis de Controladores Tradicionales 30

3.1. Modelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Controlador PD Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Controlador Algebraico de 2 parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Controladores H∞ 38

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Controlador Sıntesis de Lazo (Loop Shaping) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1. Parametros de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.2. Restricciones de Desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.3. Sıntesis del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.4. Respuesta del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Controlador Sensibilidad Mixta (Mixed Sensibility) . . . . . . . . . . . . . . 44


4.3.2. Restricciones de Desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3. Restricciones Energeticas y de Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.4. Sıntesis del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.5. Respuesta del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Sıntesis µ 51

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Controlador µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


5.2.2. Sıntesis del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.3. Respuesta del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Analisis de Resultados 56

6.1. Indicadores de Desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2. caracterısticas de Desempeno descritos en el dominio del Tiempo SISO . . . 56

6.3. Caracterısticas de Desempeno descritos en el dominio frecuencial SISO . . . 58

6.4. Restricciones del esfuerzo del Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5. Indicadores de Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.6. Respuesta en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

xii Contenido

6.7. Indice de desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7. Conclusiones y Recomendaciones 65

8. Anexo 1 - Modelo y algoritmos en Matlab 66

Bibliografıa 71

Lista de sımbolos

Sımbolo Termino Unidad SI

p Cantidad de Movimiento kg·ms

H Cantidad de Movimiento Angular kg·m2

s

Icg Matriz de Inercias con respecto al Centro de Giro kg·ms2

Fs Fuerzas sobre el cuatrirrotor N

ω Velocidad Angular rads

a Aceleracion del Cuatrirrotor ms2

v Velocidad Lineal ms

b Coeficiente aerodinamico de empuje 1

d Coeficiente aerodinamico de arrastre 1

l Distancia del centro a los propulsores m

m Masa total del cuatrirrotor kg

φ Angulo de Alabeo (Roll) rad

θ Angulo de Cabeceo (Pitch) rad

ψ Angulo de Guino (Yaw) rad

τ Torque sobre el Cuatrirrotor N ·mT Fuerza de empuje de un Rotor N

R Radio de la helice de un Rotor m

CT Factor de Correccion de Empuje del Rotor m

ρ Densidad del Aire kgm3

A Area barrida por la helice m2

Ω Velocidad angular de la helice, rads

Introduccion

Aunque el concepto de navegacion aerea no tripulada viene desde los tiempos de Nikola Tesla

y fue materializado por Elmer Sperry en 1914, el control autonomo era bastante complicado

y el campo de la aviacion tripulada avanzo primero.

Los vehıculos aereos no tripulados o UAVs (Unmanned Air Vehicles) han estado desa-

rrollandose de una manera impresionante en los ultimos anos, dado el avance en la sensorica

electronica y el desarrollo en los computadores para control. Ası, permitio dar una progra-

macion a cualquier automata, facil de cambiar y ajustar. Dada la disminucion del tamano

de los sensores y procesadores, ası como su disminucion en costos, se comenzo a investigar

en vehıculos aereos no tripulados pequenos o MAVs (Micro UAVs).

El disenar sistemas de control para aeronaves pequenas no es facil. Deben ser tolerantes

a fallos, contemplar los problemas de no linealidad y varianzas del comportamiento en el

tiempo, entre otras. El hecho que la planta sea aerea implica que cualquier imprecision en

las leyes de control pueden provocar la destruccion parcial o total de la aeronave. Luego es

muy pertinente la investigacion en este campo y puede servir como base para una futura

construccion de un prototipo.

En la ultima decada, la investigacion en MAVs ha estado en auge a nivel industrial como

academico. Varias configuraciones y disenos aerodinamicos, ası como estrategias de control

distintas, son planteadas para resolver el problema del desarrollo de Cuatrirrotores que pue-

dan estabilizarse y desplazarse con cierto nivel de autonomıa.

En el presente trabajo se retomara el trabajo que se ha venido realizando en la Universidad

Nacional de Colombia por Pena[18] y Vivas [18] en el equipo de Control y Robotica UNRo-

bot, pero se avanzara hacia el control robusto del Cuatrirrotor.

En el segundo capıtulo se retomara el modelo matematico realizado por Pena[18], con la

diferencia en que en el presente se estudiara el acoplamiento entre los diferentes angulos de

actitud y la posicion de la aeronave. Adicionalmente se aumentara el modelamiento teniendo

en cuenta el ruido electrico que pueden presentar los sensores y las posibles perturbaciones

del viento a las cuales estara sometido el Cuatrirrotor.

2 Contenido

Figura 0-1: Proceso de Diseno

En el tercer capıtulo se haran comparaciones con los controles comunmente usados en la

industria de los MAVs, entre los cuales se encuentra el control PID y el control por estados.

Estos con el fin de comparar si estos controladores sencillos pueden resolver el problema de

control para esta aeronave.

En el cuarto capıtulo se disenaran los controladores robustos H∞. Para ello se hara un mo-

delo de incertidumbres basado en la linealizacion del modelo matematico y se encontraran

las diferencias cuantitativas de estos modelos expresadas en una matriz de pesos. Adicional-

mente, se usara el toolbox de Control Robusto de Matlab para sintetizar estos controladores.

En el quinto capıtulo se hara el diseno de un controlador aplicando la tecnica de Sıntesis µ,

la cual tiene una aproximacion mejor a la incertidumbre parametica.

El sexto capıtulo se destinara para hacer una comparacion numerica de todos estos con-

troladores, usando como indicadores de desempeno y robustez indicadores frecuenciales y

respuestas en tiempo.

Finalmente, en ultimo capıtulo de conclusiones, se analizaran los datos obtenidos en la com-

paracion numerica y se hara el analisis de datos correspondiente. Tambien se daran reco-

mendaciones para futuros trabajos.

1 Marco Teorico

1.1. Motivacion

Aunque el concepto de navegacion aerea no tripulada viene desde los tiempos de Nikola

Tesla y fue materializado por Elmer Sperry [11] en 1914, el control autonomo era bastante

complicado y el campo de la aviacion tripulada avanzo primero.

Los primeros fines de los vehıculos aereos sin piloto humano fueron militares. Elmer Sperry y

Charles Kettering trabajaron en el desarrollo de torpedos aereos, construyendo los Curtiss-

Sperry Aerial Torpedo y el Kettering Bug. En la segunda guerra mundial se utilizaron para

entrenar armas tierra-aire, dada la capacidad tan grande de maniobrabilidad que presenta-

ban. Y durante la guerra fria, la guerra en Vietnam y la guerra del golfo, fueron ampliamente

usados para espionaje e incluso con fines belicos.

Los vehıculos aereos no tripulados o UAVs (Unmanned Air Vehicles) han estado desarro-

llandose de una manera impresionante en los ultimos anos, dado el avance en la sensorica

electronica y el desarrollo en los computadores para control. Ası, permitio dar una progra-

macion a cualquier automata, facil de cambiar y ajustar. Dada la disminucion del tamano

de los sensores y procesadores, ası como su disminucion en costos, se comenzo a investigar

en vehıculos aereos no tripulados pequenos o MAVs (Micro UAVs).

El disenar sistemas de control para aeronaves pequenas no es facil. Deben ser tolerantes

a fallos, contemplar los problemas de no linealidad y varianzas del comportamiento en el

tiempo, entre otras. El hecho que la planta sea aerea implica que cualquier imprecision en

las leyes de control pueden provocar la destruccion parcial o total de la aeronave. Luego es

muy pertinente la investigacion en este campo y puede servir como base para una futura

construccion de un prototipo.

1.1.1. Aplicaciones

Los UAV son vehıculos programables, usualmente comandados desde una unidad base en

tierra, aunque pueden ser completamente autonomos. Dependiendo de su capacidad de carga,

pueden incluirse sensores adicionales tan complejos como sea necesario, para realizar distintas

tareas. Por lo general son camaras de alta resolucion, sensores termicos, infrarrojos, antenas

para comunicacion, entre otras. Son infinidad de usos que pueden tener estos UAV.

4 1 Marco Teorico

Vigilancia

La principal aplicacion de los UAV, y la mas ampliamente conocida es la de vigilancia. Estas

aeronaves pueden llevar camaras con capacidades de acercamiento enormes y con una calidad

de imagen fotografica de alta resolucion. Como se menciono anteriormente se pueden utilizar

para espionaje, pero tambien se han usado para inspeccion del estado de estructuras civiles

como puentes [16].

Para el caso colombiano hay muchas posibles aplicaciones de un UAV, como la de vigilancia

de actividades ilıcitas. Una en particular que ha sido planteada para la universidad es la de

encontrar fallas en el sistema de transmision electrica. Otra es el uso de estos sistemas para

el sector de vigilancia privado, donde se podrıa preprogramar una rutina y tener una camara

movil en el lugar que sea necesario.

Se plantean otras aplicaciones como vigilancia de fronteras, vigilancia de trafico, operaciones

de busqueda y rescate, persecucion de vehıculos o personas, patrullaje, deteccion y busqueda

de metales, deteccion de material biologico o quımico peligroso, entre otras [9]. Estas con

el proposito de dotar a los cuerpos de bomberos, policıa, entre otros con artefactos de alta

tecnologıa y bajo costo que permitan salvar vidas en situaciones difıciles.

Agricultura

Se ha utilizado un UAV para asistir la toma de decisiones en la agricultura. Herwitz, de la

Clark University, trabaja en conjunto con la NASA en un proyecto de vigilancia y soporte de

decisiones para la agricultura, y han hecho pruebas en el sur de Hawaii para tomar fotografıas

aereas en un campo de cafe y calcular el porcentaje del cultivo listo para regojer.

Geologıa

Un UAV puede recorrer grandes distancias, desde varios kilometros hasta ir de un continen-

te a otro. Con las camaras adecuadas, se pueden tomar fotografıas aereas para levantar los

planos topograficos de algun terreno. Con otras camaras especiales se puede detectar carac-

terısticas incluso debajo de la superficie, para identificar petroleo u otras materias primas.

Biologıa

Para propositos cientıficos, un UAV puede rastrear animales salvajes, incluso peces y otras

especies de difıcil visibilidad. Esta informacion es fundamental para entender las migraciones

de estos y poder identificar comportamientos interesantes desde el punto de vista cientıfico.

Comunicaciones

Hay varias empresas produciendo UAVs capaces de hacer transmisiones en vivo y tomar

fotografıas aereas, las cuales son utilizadas para uso en la prensa, cine y television (tabla

1.2 Tipos de plataformas aereas 5

1-1). Pueden ser utilizados para la toma de imagenes de deportes, donde varios angulos de

vision pueden captar escenas importantes y proveer a los espectadores una percepcion mucho

mas completa del juego.

Tabla 1-1: Empresas productoras de UAVs

Empresa Sitio Web

Helimetrex Pty. Ltd. http://www.helimetrex.com.au/

Schiebel Corporation http://www.schiebel.net/

BAI Aerosystems http://www.baiaerosystems.com/

SURVEY-COPTER http://perso.orange.fr/survey-copter/

No obstante la aplicacion mas interesante de estos es como repetidores o comunicadores

de senales satelitales. Estos podrıan llevar informacion a practicamente cualquier sitio del

mundo. En el caso colombiano, podrıan facilitar la conexion a internet en sitios remotos,

en poblaciones de escasos recursos. Entonces, estos UAV deberıan llevar antenas de alta

ganancia para poder comunicarse con el satelite o con tierra. Han sido exitosamente probados

para fines militares, y se espera sus usos civiles por ejemplo en redes celulares o transmision

de internet.

1.2. Tipos de plataformas aereas

Se define una plataforma aerea o aeronave como un vehıculo capaz de volar por medio del

aire. Es decir, los cohetes no son considerados como aeronaves porque no estan soportados

por el aire circundante.

Figura 1-1: Principios de Vuelo

Se puede hacer una clasificacion de las plataformas aereas mirando su principio de funcio-

namiento. Hay unas, como los dirigibles y los globos, que como son mas livianas que el aire,

6 1 Marco Teorico

permanecen en suspension. Funcionan bajo el principio de Arquımedes de diferencia de den-

sidad del aire y del material que vuela. El globo utiliza un calentador de aire para cambiar

la densidad del aire y ası ascender o descender, y las corrientes de viento para navegar. En

cambio, el dirigible utiliza propulsores para ajustar su direccion de vuelo.

Figura 1-2: Dirigible de Goodyear

Los que son mas pesados que el aire no funcionan bajo el principio de densidad sino ba-

jo principios aerodinamicos con las alas o helices. El planeador no usa motores, sino que

aprovecha las corrientes de viento y su velocidad para suspenderse en el aire y navegar.

Figura 1-3: Planeador DG Flugzeugbau DG-1000

Pero la aeronave mas famosa y mas utilizada no solo para aviacion comercial sino para

aplicaciones en UAV son los aviones, que se caracterizan por tener sus alas fijas y propulsores

para el avance. Utilizan superficies de control para cambiar sus angulos de orientacion y

velocidades. Pueden volar a velocidades mas rapidas que el sonido, y se han construido

enormes aviones para carga.

Si se emula el vuelo de las aves, se tiene que la sustentacion se hace por el aleteo. Estas

se estan desarrollando hasta ahora dada la complejidad de los materiales y actuadores para

obtener aleteos rapidos y fuertes.

1.2 Tipos de plataformas aereas 7

Figura 1-4: Aviones de pruebas, NASA

Figura 1-5: Vehıculo aereo aleteador Agent Johnson, National Institute of Aerospace

8 1 Marco Teorico

Otro principio de vuelo es el de ala rotatoria o helicopteros. En esta, una o mas helices son

dirigidas hacia abajo, para tener una fuerza de sustentacion. El autogiro tiene un propulsor

orientado horizontalmente y una helice orientada hacia abajo que se mueve a medida que

el aire la impulse. La desventaja del autogiro, ası como de los aviones, es que necesitan

de una pista para despegar. Las aeronaves VTOL (Vertical Take Off and Landing), como

el helicoptero, cuatrirrotor, trirrotor entre otros, pueden despegar verticalmente y pueden

tener un vuelo estacionario. Aunque el globo tambien puede hacerlo, sus movimientos son

muy lentos y costosos energeticamente.

Figura 1-6: Autogiro C.19 Mk IV / Avro 620, Espana

1.3. Quadrotor

Como se pudo apreciar anteriormente, hay varios tipos de vehıculos de despegue vertical. Las

ventajas del cuatrirrotor con respecto al helicoptero tradicional es su facil diseno mecanico,

dada su simetrıa. Ademas, toda la potencia de los motores se traducen en fuerza de sus-

pension, cosa que no pasa con los disenos de helicoptero con rotor de cola. No obstante, la

desventaja es su amplio tamano y su alto consumo energetico.

Para cancelar el momento total y mantener estatico a esta aeronave, el Quadrotor tiene sus

propulsores configurados por parejas (figura 1-7), donde los motores 1 y 3 giran en sentido

antihorario y los 2 y 4 horario.

Si se desea elevar el cuatrirrotor, se aumenta la velocidad de los propulsores simultaneamente.

Si se desea moverse en alguna direccion, se debe inclinar la aeronave hacia esa direccion

(cabecear o alabear). Para ello se debe cambiar la diferencia velocidad de los propulsores de

a parejas. Y si se desea cambiar la orientacion, se debe mantener la misma velocidad por

parejas, pero unas parejas girando mas rapido que las otras.

Hay aeromodelos comerciales que usan la configuracion de cuatrirrotor. Y dado que los

laboratorios de investigacion buscan desarrollar aplicaciones de bajo costo, muchas de ellas

eligen como cama de pruebas uno de estos. En la tabla 1-2 se muestran algunos de los

1.4 Laboratorios de Quadrotor 9

Figura 1-7: Esquema del cuatrirrotor

aeromodelos comerciales mas populares.

1.4. Laboratorios de Quadrotor

En la ultima decada, la investigacion en MAVs ha estado en auge a nivel industrial como

academico. Varias configuraciones y disenos aerodinamicos, ası como estrategias de control

distintas, son planteadas para resolver el problema del desarrollo de Quadrotores que puedan

estabilizarse y desplazarse con cierto nivel de autonomıa. En la tabla 1-3 se muestran algunas

Tabla 1-2: Aeromodelos comerciales de Quadrotor

Producto Sitio Web

Silverlit X-UFO www.silverlit-flyingclub.com

Draganflyer V Ti www.rctoys.com/

Atair aerospace Quadcopter www.atairaerospace.com/dev/quad-copter/

Hammacher Schlemmer Four-Motor UFO www.hammacher.com

Keyence Engager and GyroSaucer hobby.keyence.co.jp/english/saucer.html

Microdrones GmbH MD4-200 www.microdrones.com

10 1 Marco Teorico

Tabla 1-3: Laboratorios de Quadrotor

Universidad Laboratorio

Stanford University Aircraft Aerodynamics and Design Group [14]

Stanford University Hybrid Systems Lab [21][13]

Pennsylvania State University Rotorcraft Center of Excellence[12]

University of Pennsylvania GRASP Laboratory[1][2]

Universite de Technologie de Compiegne CNRS Heudiasyc [5]

MIT Aerospace Control Laboratory[20],[?]

Universitat Karlsruhe ITE [22]

Swiss Federal Institute of Technology Measurement and Control Laboratory [4]

The Australian National University X4-flyer [17]

University of Wollongong School of Information [15]

Cornell University Unmanned Aerial Vehicle Team [10]

de las universidades en el mundo que estan o han realizado proyectos con la configuracion

de cuatro rotores.

1.4.1. Stanford University

En la universidad de Stanford (EE.UU.), en el laboratorio de Aircraft Aerodynamics and

Design Group se desarrollo un proyecto denominado Mesicopter. La idea era desarrollar un

Quadrotor lo mas pequeno posible. El reto esta en desarrollar los motores, helices, la parte

electronica y demas, que fueran posibles de fabricar y permitieran el vuelo de este. Disenaron

varios prototipos y lograron hacer funcionar uno en la segunda fase de su proyecto.

Figura 1-8: Mesicopter

En esta misma universidad, pero en el Hybrid Systems Lab se lleva a cabo un proyecto

con el nombre de STARMAC (Stanford Testbed of Autonomous Rotorcraft for Multi-Agent

Control). La idea de este proyecto es analizar algoritmos de control para sistemas multiagente


y poder ası tener modelos y sistemas de decision descentralizadas para el control de trafico

aereo.

1.4.2. Pennsylvania State University

Como proyecto de maestrıa, en el grupo de Rotorcraft Center of Excellence se diseno y

construyo un Quadrotor de bajo costo. Se implemento un sistema de control a bordo, con

un controlador PID embebido. Segun las pruebas, el control es exitoso para estabilizacion de

los angulos de orientacion. Se propone dotar al Quadrotor con sensorica mas avanzada para

permitir su navegacion autonoma.

Figura 1-9: Quadrotor de PSU

1.4.3. University of Pennsylvania

En este proyecto se trata de estimar los 6 grados de libertad del Quadrotor por medio de

realimentacion visual. Ademas, con los estados estimados, utilizan control de tipo Backstep-

ping para estabilizar y comandar el Quadrotor remotamente. Su primer experimento es con

una camara por fuera de la aeronave, y el segundo es con dos camaras, una externa y una

interna. Logran estimar las coordenadas XYZ con una baja desviacion estandar, y lo hacen

con una precision mayor que otros metodos de estimacion.

1.4.4. Universite de Technologie de Compiegne

En esta universidad se trata de probar la tecnica no lineal de control Backstepping incluyen-

do las caracterısticas de saturacion en el sistema. Se hace analisis de estabilidad mediante

funciones de Lyapunov y se compara el desempeno con un controlador PD agresivo sobre un

prototipo Quanser comercial, y un Draganflyer modificado.

12 1 Marco Teorico

Figura 1-10: Estimacion de la posicion y orientacion del Quadrotor por medio de camaras

Figura 1-11: Sistema 3d hover Quanser


1.4.5. MIT

En el MIT existe el proyecto SWARM del Aerospace Control Laboratory. Se trata de desarro-

llar algoritmos multiagente colaborativos para la persecucion de un objetivo. Se ha avanzado

en la recarga automatica de los vehıculos, evasion de obstaculos y persecucion colaborativa.

Para la estimacion de estados de cada Quadrotor se utiliza estimadores por video usando

patrones de Moire y giroscopios. Se emplean tecnicas de PID para estabilizar la aeronave.

Figura 1-12: Plataforma multiagente del MIT

1.4.6. Universitat Karlsruhe

En el Institut fur Theoretische Elektrotechnik und Systemoptimierung de esta universidad

tambien se plantea el desarrollo de un prototipo de Quadrotor de bajo costo. Se utilizan

sensores giroscopicos, acelerometros y magnetometros, ademas de GPS. Se realizan varias

pruebas de integracion entre estos sensores, introduciendo la tecnica de estimacion del vector

de gravedad.

Figura 1-13: Sistema Quadrotor volando autonomamente

14 1 Marco Teorico

1.4.7. Swiss Federal Institute of Technology

Samir Bouabdallah desarrolla como tesis de doctorado el diseno y control de un Quadrotor.

En esta tesis se hace el desarrollo de un modelo matematico lo mas completo posible, tanto

por metodos de energıa como de fuerzas. Se disena un Quadrotor de forma que la mayor

parte de la masa sea la baterıa, y que tenga la mejor relacion entre capacidad de sustentacion

y autonomıa.

Figura 1-14: Plataforma Quadrotor disenada

Se construye el Quadrotor en dos etapas. En la primera se mantiene fijo a un marco, y se

adaptan todos los sensores pertinentes. Y en la segunda se hace vuelo autonomo, integrando

mas sensores y dispositivos de comunicacion inalambrica.

En la parte de control, se prueban y comparar varias tecnicas no lineales como Modo desli-

zante, Backstepping y teorıa de Lyapunov. Ademas se prueban tecnicas clasicas como PD y

LQR. Finalmente se propone una tecnica de Integral Backstepping donde se elimina el error

de estado estacionario dejado por la tecnica original.

Finalmente en la parte de navegacion se implementan sensores de ultrasonido para evitar

colisiones. Se hace una generacion de trayectoria por puntos clave, los cuales el vehıculo debe

seguir con alguna tolerancia.

1.4.8. The Australian National University

X4-flyer es el nombre del Quadrotor desarrollado en esta universidad. Primero se desarrolla

un modelo matematico del Quadrotor utilizando matrices Skew. No obstante, el modelo para

control se reduce a un sistema de doble integrador y un retardo. Se propone como tecnica

de control dos redes de adelanto para cumplir unas restricciones de diseno determinadas.

1.4.9. University of Wollongong

Phillip McKerrow, de la School of Information Technology and Computer Science en esta

universidad, desarrolla un modelo matematico detallado del cuatrirrotor. Contempla la iner-

1.5 Aportes de la tesis 15

Figura 1-15: X4-flyer

cia y rotacion de las helices, entre otras. Propone un simulador realizado en Java4GL que

permite una visualizacion de este en tres dimensiones.

Figura 1-16: Simulador de un Quadrotor

1.4.10. Cornell University

En esta universidad se trabajo en integracion de sensores tanto giroscopicos, como acelerome-

tros y camaras de video. Se utilizan filtros de Kalman para la estimacion de los estados del

Quadrotor en tiempo real.

1.5. Aportes de la tesis

Como se percibio en los antecedentes, hay varios equipos de trabajo en todo el mundo

probando tecnicas de control sobre los Quadrotor. Se comprueba la eficiencia del controlador

bajo ambientes conocidos, y se mira la respuesta con los cambios arbitrarios en los parametros

y referencias. No obstante, ninguno de los investigadores referidos hacen una comparacion

16 1 Marco Teorico

cuantitativa del desempeno de sus controladores. Ademas de esto, hay muy poco trabajo en

el campo del control robusto como el H2, H∞, Sıntesis µ y loop shaping.

Luego el aporte de esta tesis es introducir el uso de los controladores mencionados antes,

y generar un ındice de desempeno que permita calificar el rendimiento de cada uno de los

anteriores controladores sobre el Quadrotor en estado de suspension o Hover.

2 Modelamiento del Quadrotor

2.1. Generalidades

Hay varias aproximaciones de modelamiento del Quadrotor. Bouabdalah [3] propone dos

metodologıas para determinar la dinamica de la aeronave: el metodo de Newton-Euler (Ley

de Newton) y el metodo de Euler-Lagrange (Conservacion de la energıa). Con ambas meto-

dologıas utiliza un marco de referencia inercial y en el cuerpo de la aeronave. Pero su modelo

final supone que los las velocidades angulares del marco de referencia inercial son las mismas

que en el marco de referencia.

Castillo [5] utiliza metodos energeticos y de fuerzas para determinar el modelo. Reduce la

dinamica a unas ecuaciones sencillas mediante el uso de una matriz matrices de Coriolis.

Tambien desarrolla una matriz de inercia variable, la cual en terminos de los angulos de

Euler. El problema es que al disenar controladores lineales no se tienen en cuenta desviaciones

importantes y por ende no logran estabilizar el Quadrotor .

En el presente capıtulo se mostrara el trabajo de modelamiento trabajado por Pena[18] como

parte del grupo de investigacion, y se adicionara al modelo planteado el ruido de los sensores

giroscopicos y acelerometros.

2.2. Consideraciones

El modelamiento de una aeronave puede ser tan compleja como se desee. Parametros cam-

biantes en el tiempo, ruido, no linealidades entre otras, hacen que se deba estimar cuales

dinamicas son mas importantes que otras. Es por eso que se haran las siguientes suposiciones:

El centro de masa y el marco de referencia en el cuatrirrotor coinciden

No se tiene en cuenta el aumento de empuje producido por proximidad a la superficie

de la tierra

Se supone el sistema rıgido

Se aproximan el arrastre y el empuje proporcionales al cuadrado de la velocidad del

propulsor

18 2 Modelamiento del Quadrotor

2.3. Modelo dinamico Teorico del Cuatrirrotor

Para analizar el modelo dinamico del Cuatrirrotor, se puede usar la forma estandar de las

ecuacion de Newton-Euler para 6 grados de libertad, como se puede encontrar en Pena[18]

y Craig [8].

[ ∑ii=0

~Fi∑ii=0~τi

]=

[mI3×3 0

0 Icdg

][B~vIB ~ωI

]+

[B~ωI ×mB~vIB~ωI × IcdgB~ωI

](2-1)

Figura 2-1: Marcos de referencia en el Cuatrirrotor

Dado que ser asume que el marco de referencia (B) es solidario al marco de referencia (I)

tal que los movimientos de traslacion de B con respecto a I sean nulos, entonces el modelo

queda simplificado de la siguiente forma:

∑i

i=0~Fxi∑i

i=0~Fyi∑i

i=0~Fzi

=

mx

my

mz

(2-2)

∑ii=0τxi∑ii=0τyi∑ii=0τzi

=

Ixxφ

Iyyθ

Izzψ

+

0 −ψ θ

ψ 0 −φ−θ φ 0

Ixx 0 0

0 Iyy 0

0 0 Izz

φ

θ

ψ

(2-3)

Ahora, dado que en el modelo a trabajar para la presente tesis esta limitado unicamente a

la estabilizacion de la actitud del Cuatrirrotor, se desprecian los efectos en los ejes X y Y de

aquı en adelante. De esta forma, el modelo Newton-Euler resulta de la siguiente forma:

2.4 Fuerzas externas y Aerodinamica 19

∑i

i=0~Fxi∑i

i=0τxi∑ii=0τyi∑ii=0τzi

=

mx

Ixxφ+ θψ(Izz − Iyy)Iyyθ + φψ(Ixx − Izz)Izzψ + φθ(Iyy − Ixx)

(2-4)

2.4. Fuerzas externas y Aerodinamica

En la ecuacion de fuerzas y momentos 2-4 se encuentran descritas las dinamicas del Cuatri-

rrotor para los angulos de Euler y la altitud. Ahora se analizaran los efectos aerodinamicos y

gravitacionales que rigen el comportamiento de estas ecuaciones como sigue a continuacion:

∑i

i=0~Fzi∑i

i=0τxi∑ii=0τyi∑ii=0τzi

=

mg − cosφcosθ

∑4i=1 Ti −

12CzAcρz|z|

L(T4 − T2) + JrθΩr

L(T1 − T3)− JrφΩr

(−1)i∑4

i=1Qi + JrΩr

(2-5)

2.4.1. Fuerzas en Altitud (Z)

A continuacion se detallan las fuerzas en el eje Z

Gravedad (mg): Efecto debido a la fuerza gravitacional sobre el Cuatrirrotor ejercida

por la tierra

Propulsion (cosφcosθ∑4

i=1 Ti): Efecto debido a la sumatoria de los efectos de propul-

sion de cada una de las propelas. Cada una de estas fuerzas se calculan como Ti = bΩ2i ,

donde Ωi es la velocidad de rotacion de las propelas y b es la constante de propulsion

experimental.

Friccion (12CzAcρz|z|): Efecto debido a la resistencia del aire para el desplazamien-

to vertical. Esta fuerza depende del coeficiente de friccion aerodinamico Cz, el area

horizontal de Cuatrirrotor Ac y la densidad del aire ρ.

2.4.2. Momentos que afectan al Cabeceo (φ)

A continuacion se detallan los momentos que afectan al estado φ:


Figura 2-2: Momentos L(T4 − T2)

Torque de Propulsion (L(T4−T2)): Efecto debido a la diferencia de fuerza de propulsion

entre las propelas 4 y 2, multiplicadas por la distancia de estas al centro de masa L

(Ver figura 2-2) .

Efecto Giroscopico de las propelas (JrθΩr): Efecto debido al efecto giroscopico produ-

cido por la rotacion de las propelas. Se calcula con la velocidad de rotacion residual

Ωr, la cual se calcula como Ω1 + Ω3 − (Ω2 + Ω4 y la constante giroscopica Jr.

2.4.3. Momentos que afectan al Alabeo (θ)

Figura 2-3: Momentos L(T1 − T3)

A continuacion se detallan los momentos que afectan al estado θ:

2.5 Modelo no lineal 21

Torque de Propulsion (L(T1−T3)): Efecto debido a la diferencia de fuerza de propulsion

entre las propelas 1 y 3, multiplicadas por la distancia de estas al centro de masa L

(Ver figura 2-3).

Efecto Giroscopico de las propelas (JrφΩr): Efecto debido al efecto giroscopico produ-

cido por la rotacion de las propelas. Se calcula con la velocidad de rotacion residual

Ωr y la constante giroscopica Jr.

2.4.4. Momentos que afectan a Guinado (ψ)

A continuacion se detallan los momentos que afectan al estado ψ:

Figura 2-4: Momentos Qi

Momento de Arrastre ((−1)i∑4

i=1Qi): Efecto debido a las fuerzas aerodinamicas ho-

rizontales a las propelas e integradas a lo largo del rotor. Esta fuerza aerodinamica

se opone al movimiento de las propelas y se calcula como Qi = dΩ2i , donde Ωi es la

velocidad de rotacion de las propelas y d es la constante de arrastre experimental (Ver

figura 2-4).

Efecto Giroscopico de las propelas (JrΩr): Efecto debido al efecto giroscopico producido

por la rotacion de las propelas. Se calcula con la velocidad de rotacion residual Ωr y

la constante giroscopica Jr.

2.5. Modelo no lineal

Las ecuaciones diferenciales no lineales usadas para determinar el comportamiento del cua-

trirrotor son las siguientes:


z

φ

θ

ψ

=

1m

[mg − cosφcosθ

∑4i=1 Ti − Cz

12Acρz|z|

]1Ixx

[θψ(Iyy − Izz) + L(T4 − T2) + JrθΩr

]1Iyy

[φψ(Izz − Ixx) + L(T1 − T3)− JrφΩr

]1Izz

[φθ(Ixx − Iyy) + (−1)i

∑4i=1Qi + JrΩr

]

(2-6)

En resumen, se puede encontrar en la siguiente tabla los efectos no lineales incluidos en el

modelo:

Tabla 2-1: Efectos no lineales

Definicion Ecuacion Tipo de No Linealidad

Efecto Giroscopico del Cuatrirrotor en X θψ(Iyy − Izz) Acople de Estados

Efecto Giroscopico del Cuatrirrotor en Y φψ(Izz − Ixx) Acople de Estados

Efecto Giroscopico del Cuatrirrotor en Z φθ(Ixx − Iyy) Acople de Estados

Efecto Giroscopico de las propelas en X Jr θΩr Acople de Control

Efecto Giroscopico de las propelas en Y JrφΩr Acople de Control

Efecto Giroscopico de las propelas en Z JrΩr Acople de Control

Fuerza de Propulsion cosφcosψ∑4

i=1 Ti Relacion Trigonometrica

Friccion de Desplazamiento en Z Cz12Acρz|z| Valor Absoluto de Estado

Saturacion de la senal de Control Tmax ≥ T ≥ Tmin, τmax ≥ τ ≥ τmin, Saturacion

Cada uno de esos efectos causa diferencias entre el modelo linealizado y el modelo no lineal,

dependiendo del valor de los estados del Cuatrirrotor. En primer lugar, el acoplamiento de

estados indica que en el modelo no lineal dos estados se estan multiplicando (o cualquier otra

relacion exceptuando la suma y la resta), lo que ejerce una relacion fuerte entre estos sobre

todo para valores grandes. En segundo lugar, el acoplamiento de control indica que una senal

de control se esta multiplicando por un estado, haciendo que el modelo linealizado difiera

para valores grandes de la senal de control o del estado. En tercer lugar, hay una relacion

trigonometrica entre dos estados y la senal de control. Este efecto es uno de los que hacen

mas difıcil el control de Cuatrirrotor, haciendolo incontrolable si alguno de estos valores

es cercano a π/2. En cuarto lugar, el valor absoluto y multiplicacion de estados introduce

un efecto de friccion sobre el cuatrirrotor, haciendolo mas difıcil de maniobrar entre mas

rapido se desplace. Y finalmente, la saturacion de la senal de control, la cual produce lımites

maximos en el ancho de banda realizable en lazo cerrado.

Finalmente, el sistema se pondra en la forma canonica:

X = f(X,U)

Donde

2.6 Modelo linealizado y puntos de operacion 23

X =

z

z

φ

φ

θ

θ

ψ

ψ

, U =

∑4

i=1 TiL(T4 − T2)

L(T1 − T3)

(−1)i∑4

i=1 Qi

=

b(Ω2

1 + Ω22 + Ω2

3 + Ω24)

Lb(Ω24 − Ω2

2)

Lb(Ω21 − Ω2

3)

d(−Ω21 + Ω2

2 − Ω23 + Ω2

4)

Y el modelo no lineal en variables de estado es el siguiente

X =

˙

z

z

φ

φ

θ

θ

ψ

ψ

=

1m

[mg − cosφcosθU1 − 1

2Acρz|z|

]z

1Ixx

[θψ(Iyy − Izz) + U2 + JrθΩr

]φ

1Iyy

[φψ(Izz − Ixx) + U3 − JrφΩr

]θ

1Izz

[φθ(Ixx − Iyy) + U4 + JrΩr

]ψ

(2-7)

2.6. Modelo linealizado y puntos de operacion

Para determinar el conjunto de puntos de operacion validos para el control, se deben en-

contrar los valores de los estados y las entradas para los cuales la matriz de gradiente de

los estados X 2-7 sea cero . Adicionalmente, para esta simplificacion se omiten los efectos

giroscopicos y los efectos de friccion, los cuales se tomaran como perturbaciones al sistema

linealizado.

0

0

0

0

0

0

0

0

=

1m

[mg − (cosφcosθ)U1]

z1Ixx

[θψ(Iyy − Izz) + U2

]φ

1Iyy

[φψ(Izz − Ixx) + U3

]θ

1Izz

[φθ(Ixx − Iyy + U4)

]ψ


La solucion de este sistema de ecuaciones se da para los siguientes angulos y velocidades:

z

z

φ

θ

ψ

ψ

=

0

0

0

0

0

0

,

U1

U2

U3

U4

=

mg/(cosφcosθ)

0

0

0

Lo anterior indica que es posible linealizar el modelo no lineal siempre y cuando todas las

velocidades angulares y tangenciales sean iguales a cero, y los cosenos del cabeceo y alabeo (φ

y θ) divididos entre el peso de la aeronave (mg) sean iguales a la fuerza de propulsion. Esto da

un numero infinito de posibles puntos de operacion sobre los cuales se puede determinar un

modelo linealizado, y por tanto infinitos modelos lineales que describen al Cuatrirrotor. Para

acotar el problema de linealizacion, se limitara el maximo rango permitido de los angulos

de cabeceo y alabeo a π/12, lo que permite generar controladores que tengan estabilidad y

desempeno robusto.

Ahora, para encontrar el modelo no lineal se determina el jacobiano del sistema de ecuaciones

no lineales, usando el conjunto infinito de puntos de operacion determinados en la ecuacion

anterior, para obtener un modelo en ecuaciones de estado de la siguiente forma:

X = A ∗X +B ∗ U

Y = C ∗X +D ∗ U

Las matrices C y D se seleccionaran de forma que todos los estados del sistema sean obser-

vables. Esto se limita en el modelo no lineal con el uso del bloque de sensores.

A =∂f

∂x

∣∣∣∣x=x,u=u

B =∂f

∂u

∣∣∣∣x=x,u=u

C = I6x6

D = 06x6

De esta forma se obtiene el siguiente modelo lineal, para cualquier pareja de angulos φ y θ,

menores a π/12.

2.7 Modelamiento de la incertidumbre de la planta y analisis de robustez 25

X =

0 0 0 g ∗ tanφ 0 g ∗ tanθ 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

X +

−cosφ∗cosθm

0 0 0

0 0 0 0

0 1Ixx

0 0

0 0 0 0

0 0 1Iyy

0

0 0 0 0

0 0 0 1Izz

0 0 0 0

U (2-8)

2.7. Modelamiento de la incertidumbre de la planta y

analisis de robustez

Como se puede apreciar en el modelo linealizado, hay 3 entradas en las matrices A y B que

son inciertas, dado que varıan dependiendo de los angulos de alabeo y cabeceo que sean

seleccionados como referencia (estado estacionario). Entonces, cada una de estas entradas se

sustituye por 3 parametros δi como sigue a continuacion:

δ1 = g ∗ tanφ

δ2 = g ∗ tanθ

δ1 = (cosφ ∗ cosθ)/m

Sustituyendo las delta de la ecuacion 2-8, se puede expresar el modelo linealizado como

X =

0 0 0 δ1 0 δ2 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

X +

−δ3 0 0 0

0 0 0 0

0 1Ixx

0 0

0 0 0 0

0 0 1Iyy

0

0 0 0 0

0 0 0 1Izz

0 0 0 0

U (2-9)

Luego es posible representar este modelo incierto en la forma canonica usando la transforma-

cion lineal fraccional, para quedar unicamente con una planta M generalizada y un bloque

de incertidumbre diagonal ∆. Este procedimiento se realiza con las funciones de Matlab ureal

y lft, en los cuales se definen los maximos y mınimos de los valores de δi y se generaliza el

modelo matematico del cuatrirrotor.


Figura 2-5: Esquema generalizado del modelo incierto

2.8. Sensores del Cuatrirrotor

Para la navegacion del Cuatrirrotor se pueden usar varios sensores, como acelerometros,

giroscopios, GPS, barometro, altımetro, ultrasonido, camaras, entre otros. No obstante, para

el presente trabajo solo se analizaran los acelerometros y giroscopios con el fin de estabilizar la

aeronave. En el caso de ambos sensores, se trabajaran con MEMS (Micro-Electro-Mechanical

Systems), los cuales son comunmente usados para este tipo de aplicaciones.

2.8.1. Acelerometro

Para los fines de este trabajo, se simplificara el modelo del sensor giroscopico eliminando

las no linealidades como saturacion, bias e histeresis, entre otras. Tambien se modelara el

sensor sin la conversion analogo digital, suponiendo que estos sensores tienen una resolucion

tal que este efecto es despreciable. Solo se tomara el sensor con un modelo de primer orden

y ruido blanco dependiendo de las especificaciones del fabricante.

El fabricante proporciona los siguientes datos:

Densidad de ruido en µg/√Hz RMS, que corresponde a la raız cuadrada de la densidad

espectrad de la salida de ruido.

Ancho de Banda en en Hz, que corresponde a la senal frecuencial donde la respuesta

cae a -3db de la respuesta para baja frecuencia.

Sensibilidad del acelerometro en mV/g, que corresponde al voltaje de salida comparado

con la aceleracion detectada.

Voltaje a 0g en V , que corresponde al voltaje de salida para una aceleracion de 0.

Luego los sensores relacionan a la variable del Cuatrirrotor az = z con las variables de salida

de voltaje V az, con la siguiente funcion de transferencia:

az(s) =Saz

1 + s/bwz∗ Vz(s)

2.8 Sensores del Cuatrirrotor 27

donde bwz es el anchos de banda del sensor, Saz es la sensibilidad del acelerometro.

Para la salida se suma una fuente de ruido blanco con una potencia calculada como especifica

el fabricante de la siguiente forma:

Npow = Nden ∗√bw ∗ 1,6

Tambien, para cada una de las salidas se suma el voltaje a 0g, el cual es el offset del sensor

V = V + V0

Finalmente, cabe recordar que la entrada de este sensor es la aceleracion medida en terminos

de gravedades g y la salida es en voltios.

2.8.2. Sensor Giroscopo

Al igual que el acelerometro , el giroscopo se modelara sin tener en cuenta la mayorıa de las

no linealidades.

El fabricante proporciona los siguientes datos:

Densidad de ruido en /s/√Hz RMS, que corresponde a la raız cuadrada de la densidad

espectral de la salida de ruido.

Ancho de Banda en en Hz, que corresponde a la senal frecuencial donde la respuesta

cae a -3db de la respuesta para baja frecuencia.

Sensibilidad del giroscopo en mV//s, que corresponde al voltaje de salida comparado

con la aceleracion detectada.

Voltaje a 0/s en V , que corresponde al voltaje de salida para una velocidad angular

de 0.

Luego los sensores relacionan las variables del Cuatrirrotor φ, θ, ψ con las variables de salida

de voltaje Vφ, Vθ, Vψ, con la siguiente funcion de transferencia:

φ(s) =Sφ

1 + s/bwφ∗ Vφ(s)

θ(s) =Sθ

1 + s/bwθ∗ Vθ(s)

ψ(s) =Sψ

1 + s/bwψ∗ Vψ(s)


donde bwφ, bwθ, bwψ son los anchos de banda de los sensores, Sφ, Sθ, Sψ son las sensibilidades

del giroscopo para cada velocidad angular.

Para cada una de las salidas se suma una fuente de ruido blanco con una potencia calculada

como especifica el fabricante de la siguiente forma:

Npow = Nden ∗√bw ∗ 1,6

Tambien, para cada una de las salidas se suma el voltaje a 0/s , el cual es el offset del sensor

V = V + V0

Finalmente, cabe recordar que la entrada de este sensor es la velocidad medida en terminos

de gravedades 0/s y la salida es en voltios.

2.9. Modelamiento de los Actuadores

El modelamiento de los actuadores del Cuatririrotor fue trabajado extensivamente en la

tesis de Cotte y Moreno [7]. La entrada a los actuadores es un tren de pulsos de tipo PWM

(Pulse-width modulation). En este trabajo se identificaron varios tipos de motores y varios

tipos de propela. Adicionalmente se propone un control de tipo PID cuya referencia es la

velocidad deseada, y se mide la velocidad real usando la Fuerza Contra Electro Motriz o

Back EMF.

Figura 2-6: Identificacion de la curva Velocidad/Empuje

2.9 Modelamiento de los Actuadores 29

De este experimento se determino, para cada tipo de propela, cual era la relacion entre la

velocidad (en RPM) y la fuerza de empuje (en g).

Adicionalmente, Pena[18] hace la identificacion de un motor excitando el sistema con una

senal de entrada Chirp en voltaje y se midio la velocidad angular mediante un encoder y un

conversor frecuencia voltaje.

Figura 2-7: Identificacion del modelo dinamico del motor

De estos dos experimentos se determina entonces la funcion de transferencia del voltaje

(medida en Voltios) a la velocidad angular del motor (medida en rad/s), la cual segun

Bouabdallah[3] es:

M(s) =0,936

(0,178s+ 1)

Adicionalmente se incluye una saturacion de los motores, dado que estos solo pueden rotar

a una velocidad maxima permitida Ωm determinada.

3 Sıntesis de Controladores Tradicionales

En el presente capıtulo se detectaran las restricciones tanto de desempeno como de robustez

que debe cumplir el controlador. Esta lista de requerimientos se basa en el libro de Stephen

Boyd y Craig Barratt [19]. Posteriormente se procedera a mostrar el diseno de cada uno de

los controladores tradicionales realizados.

3.1. Modelamiento

Para la sıntesis de los siguientes controladores se va a tomar el caso mas simplificado del

modelo del Quadrotor. Se linealiza el modelo alrededor del origen, y se obtiene un sistema

desacoplado de cuatro entradas y cuatro salidas.

El Quadrotor puede ser modelado como cuatro sistemas SISO desacoplados para el estado

de suspension. Cada sistema muestra el comportamiento de la aeronave para los angulos

de Cabeceo (Pitch), Alabeo (Roll), Guinada (Yaw) y elevacion. Cabe resaltar que en este

modelo se desprecian efectos giroscopicos y aceleraciones de Coriolis, las cuales hacen que

nuestro modelo no se pueda tomar como desacoplado. No obstante, es claro que para angulos

y velocidades pequenas, esta suposicion es valida.

El modelo puede ser escrito como se muestra en las ecuaciones [3-1]. Un cambio de variables

permite que se tenga un desacople en las entradas, para permitir un control en multiples

lazos.

z = (U1)/m (3-1)

φ = (U2)/Ixx (3-2)

θ = (U3)/Iyy (3-3)

ψ = (U4)/Izz (3-4)

3.2. Controlador PD Algebraico

Para la sintonizacion de los parametros del PD se determino analıticamente los polos del

sistema en lazo cerrado. Igualando estos con unos polos optimos ITAE de ancho de banda

3.2 Controlador PD Algebraico 31

Figura 3-1: Diagrama de bloques del control PD

variable ωPD se disena el controlador. Se determina el valor maximo de ωPD para el cual el

sistema no se satura. Este procedimiento se realiza para cada lazo de realimentacion.

G(s) = k/s2

PD(s) = p(s+ d)

Go(s) = G(s)PD(s)/1 +G(s)PD(s)

D(s) = s2 + 1,505ω + ω2 = s2 + dks+ kp

Al resolver las ecuaciones anteriores se puede solucionar el sistema de segundo orden y

ası determinar el valor de los parametros del controlador.

Una vez sintonizado el PD, se simula con el modelo incierto para la respuesta a un escalon

de π/12 (Figuras 3-2 y 3-3). Para ello se hacen variar aleatoriamente los delta del modelo

incierto para ver el comportamiento en varios puntos de operacion. Adicionalmente, las

caracterısticas de este controlador si se analiza como cuatro sistemas SISO independientes,

se obtienen las caracterısticas mostradas en la tabla 3-1.

Tabla 3-1: Caracterısticas del sistema de control

φ θ ψ z

Tr 0.81303 0.10649 0.10649 0.81303

Ts 4.9418 0.68037 0.68037 4.9418

OS 19.6192 21.625 21.625 19.6192

GM Inf Inf Inf Inf

PM 128.689 121.7628 121.7628 128.689

Bw 2.1464 16.324 16.324 2.1464

32 3 Sıntesis de Controladores Tradicionales

Figura 3-2: Respuesta al sistema en lazo cerrado con control PD

3.2 Controlador PD Algebraico 33

Figura 3-3: Senales de control al sistema en lazo cerrado con control PD


Adicionalmente, se hace el analisis de los lımites µ para verificar si el sistema en lazo cerrado

es estable incluso para la variacion de los parametros δi del modelo incierto planteado en las

ecuaciones 2-9. Como se puede apreciar, el controlador no logra el desempeno robusto dado

que los lımites µ deben ir hasta 1.

Figura 3-4: Lımites µ para el analisis del desempeno robusto del control PD

3.3. Controlador Algebraico de 2 parametros

De forma similar que en el diseno del PID, se va a disenar un controlador de dos grados de

libertad de tipo algebraico. Los controladores algebraicos se realizan resolviendo las ecua-

ciones de Diofanto [6] y son capaces de hacer que la planta en lazo cerrado se comporte

igual que una funcion prototipo. Para ello se toma como comportamiento deseado el de una

funcion ITAE optima generica de orden 3, con funcion de transferencia como sigue:

GITAE(s) =ω3

s3 + 1,783ωs2 + 2,171ω2s+ ω3(3-5)

Entonces, el parametro de diseno ω se modifica de forma tal que el sistema no se sature

para la perturbacion planteada para los demas controladores. La senal de control se estima

dividiendo la respuesta deseado del sistema (ITAE) con respecto al la respuesta del sistema

modelado.

Una vez seleccionado el comportamiento deseado modificando el parametro ω, se procede a

encontrar el controlador capaz de lograr esa respuesta en la planta. Esto se hace mediante la

solucion de las ecuaciones de Diofanto ??. Tambien se hace el analisis de los lımites µ para

verificar si el sistema en lazo cerrado es estable usando perturbaciones del modelo incierto.

Como se puede apreciar, el controlador no logra el desempeno robusto dado que los lımites

µ superan la unidad.

3.3 Controlador Algebraico de 2 parametros 35

Figura 3-5: Respuesta al sistema en lazo cerrado con control de dos parametros


Figura 3-6: Senales de control al sistema en lazo cerrado con control de dos parametros

3.3 Controlador Algebraico de 2 parametros 37

Figura 3-7: Lımites µ para el analisis del desempeno robusto del control de dos parametros

Las caracterısticas de este controlador se muestran en la tabla [3-2]


φ θ ψ z

Tr 2.3671 0.33816 0.33816 2.3671

Ts 7.3479 1.0497 1.0497 7.3479

OS 1.5705 1.5705 1.5705 1.5705

GM 2.8714 2.8714 2.8714 2.8714

PM 180 180 180 180

Bw 1.0028 7.0193 7.0193 1.0028

4 Controladores H∞

4.1. Introduccion

Para el desarrollo de un controlador moldeando la funcion de lazo se deben definir algunas

restricciones que debe tener la funcion de lazo en la frecuencia. Las restricciones se pueden

representar como funciones de peso, y se puede utilizar un algoritmo para calcular un con-

trolador optimo que minimice alguna norma y cumpla las restricciones.

Se utiliza la norma H∞ dado el amplio uso que ha tenido en el diseno de controladores, y

porque tiene representacion inmediata en el campo frecuencial, el maximo pico de los valores

propios de una matriz de transferencia en la frecuencia. En el caso SISO simplemente es el

mayor pico en la frecuencia.

Para el desarrollo de un controlador moldeando la funcion de lazo se deben definir algunas

restricciones que debe tener la funcion de lazo en la frecuencia. Las restricciones se pueden

representar como funciones de peso, y se puede utilizar un algoritmo para calcular un con-

trolador optimo que minimice alguna norma y cumpla las restricciones.

Se utiliza la norma H∞ dado el amplio uso que ha tenido en el diseno de controladores, y

porque tiene representacion inmediata en el campo frecuencial, el maximo pico de los valores

propios de una matriz de transferencia en la frecuencia. En el caso SISO simplemente es el

mayor pico en la frecuencia.

La norma H∞ se define como

‖x(t)‖∞ = supt∈<|x(t)|

Donde x(t), t ∈ < es una funcion lineal continua en el tiempo (puede ser definida a trozos).

La tecnica de control H infinito se basa en encontrar un controlador K, para la planta G,

dada una incertidumbre ∆ (por ejemplo de tipo aditivo), de forma tal que el control en lazo

cerrado sea estable para la incertidumbre dada

El control H∞ se basa en el teorema de baja ganancia, el cual plantea que para dos sistemas

G1(s) y G2(s), si ambos son estables, entonces el sistema en lazo cerrado es internamente

estable si y solo sı se cumplen las siguientes dos condiciones:

4.1 Introduccion 39

Figura 4-1: Arquitectura del Control H infinito

‖G1(s)G2(s)‖∞ < 1

‖G2(s)G1(s)‖∞ < 1

En el caso del controlador H∞, se debe cumplir que

∥∥∆K(I +GK)−1∥∥∞ < 1∥∥∆(I +GK)−1K∥∥∞ < 1

O de forma simplificada

∥∥(I +GK)−1K∥∥∞ <

1

∆

Ahora, si se tiene un sistema W de forma que cumpla la restriccion

σ(∆(jw)) ≤ σ(W (jw))

Donde σ(∆(jw)) es la cota superior de los valores singulares de la funcion ∆ y σ(W (jw))

es la cota superior de los valores singulares de la funcion W (jw). Entonces el problema se

puede cambiar a encontrar un K que cumpla

∥∥W (I +GK)−1K∥∥∞ < 1

Luego el problema de optimizacion se plantea como:

minimizarK

∥∥W (I +GK)−1K∥∥∞

40 4 Controladores H∞

o tomando el sistema en lazo cerrado y aplicando la transformacion lineal fraccional

minimizarK

‖Fl(P,K)‖∞

Dado que este problema es muy complejo de resolver, se relaja el problema encontrando la

solucion de optimizacion incluyendo una cota superior γ de la siguiente forma:

Fl(P,K) < γ

Entonces, el problema de encontrar el control se resuelve en un problema iterativo, donde

se puede encontrar si para un valor de γ dado es posible encontrar un controlador que es-

tabilice la planta. Si existe, entonces el valor de γ se reduce. Si no existe, entonces se aumenta.

Dado que esta planta linealizada en el origen tiene dos polos en el eje jω, no es posible

sintetizar un controlador H∞. No obstante, se procede a hacer una transformacion bilinear

para correr esos polos a unos estables, y despues en el controlador retornarlos a su estado

inicial. Se eligio correrlos un valor mınimo de 0,001.

λ(G∆) = λ(G)− ε (4-1)

λ(C∆) = λ(C) + ε (4-2)

4.2. Controlador Sıntesis de Lazo (Loop Shaping)

4.2.1. Parametros de diseno

En este diseno se busca que la funcion de lazo sea lo mas proxima a una plantilla preesta-

blecida.

Para ello, el controlador debe actuar de forma que los valores singulares de la funcion de

lazo esten dentro de un rango de error maximo y mınimo aceptable.

4.2.2. Restricciones de Desempeno

La respuesta frecuencial de los valores singulares de la funcion de lazo nos indica varias cosas

del desempeno del sistema. En esta funcion de lazo se puede predefinir el ancho de banda

del sistema en lazo cerrado y la atenuacion de ruido.

4.2 Controlador Sıntesis de Lazo (Loop Shaping) 41

Se elige una funcion de lazo de segundo orden, la cual tiene un parametro ajustable para

aumentar o disminuir el ancho de banda del sistema.

Wl =ω2b

s2(4-3)

4.2.3. Sıntesis del Controlador

Para la sıntesis del controlador se utiliza el Toolbox de Control Robusto de Matlab. El

comando loopsyn permite buscar un controlador, que en conjunto con la planta, produzcan

un comportamiento aproximado a la funcion de lazo cerrada.

σ(G(jω) ∗K(jω) ≥ 1

γσ(Gd(jω))σ(G(jω) ∗K(jω) ≥ 1

γσ(Gd(jω)) (4-4)

Si el valor de γ es proximo a 1, la funcion de lazo resultante sera muy parecida a la deseada.

Si es mayor, el sistema sera distinto y la sıntesis de lazo no sera fiel a lo deseado.

4.2.4. Respuesta del Controlador

El controlador cumple las restricciones, pero tampoco presenta desempeno robusto, como se

puede apreciar en la grafica de los lımites µ 4-5.



φ θ ψ z

Tr 1.0802 0.40841 0.40841 1.0802

Ts 6.1686 2.3326 2.3326 6.1686

OS 33.6004 33.5994 33.5994 33.6004

GM 0.13964 0.68022 0.47778 0.24894

PM 30.6726 60.7195 82.3669 44.2935

Bw 1.6897 4.469 4.469 1.6897


Figura 4-2: Respuesta al sistema en lazo cerrado con control de sıntesis de lazo

4.2 Controlador Sıntesis de Lazo (Loop Shaping) 43

Figura 4-3: Senales de control al sistema en lazo cerrado con control de sıntesis de lazo


Figura 4-4: Funcion de Lazo del sistema y Restriccion de Desempeno

Figura 4-5: Lımites µ para el analisis del desempeno robusto del control de sıntesis de lazo

4.3. Controlador Sensibilidad Mixta (Mixed Sensibility)


En este diseno de controladores se utilizan dos funciones de peso, una para el controlador y

otra para la senal de error. Ası se pueden imponer restricciones en el desempeno si se tiene

en cuenta las limitaciones energeticas.

4.3.2. Restricciones de Desempeno

El peso de la senal de error va a caracterizar al sistema en lazo en su desempeno. Se puede

definir el ancho de banda deseado, el maximo pico de sensibilidad esperado y el mınimo error

4.3 Controlador Sensibilidad Mixta (Mixed Sensibility) 45

Figura 4-6: Diagrama de bloques del control H∞

Figura 4-7: Funcion de sensibilidad y Restricciones de desempeno

en estado estacionario.

Se elige un filtro de primer orden dado que es el mas sencillo de usar y permite plantear las

restricciones deseadas.

We =s1/Ms + ωbs+ εωb

En el filtro planteado en la ecuacion 4-5 se encuentran tres parametros relacionados con

las restricciones. Ms es un parametro relacionado con el maximo pico de sensibilidad, entre

mayor sea este parametro mayor sera el pico de sensibilidad. El parametro ωb esta relacionado

con el ancho de banda del sistema, proporcional al ancho de banda del sistema deseado. Y

finalmente el parametro e, que entre menor sea, menor sera el error en estado estacionario.

4.3.3. Restricciones Energeticas y de Actuador

Si solo se tuvieran en cuenta las restricciones de desempeno, la sıntesis del controlador

podrıa generar un controlador muy agresivo, que posiblemente se saturara inmediatamente


y generara incluso la inestabilidad del sistema. La senal de control debe estar controlada en

sus rangos maximos dependiendo la maxima salida de los actuadores y su maximo ancho de

banda.

Se elige tambien un filtro de primer orden que contiene los parametros ωbc, Umax y e. ωbc se

utiliza para limitar el ancho de banda del actuador. Umax se usa para modelar la maxima

senal de control que soporta este actuador y e se elige como un valor pequeno (1ω10−6).

Wu =s+ ωbc/Umaxεs+ ωbc

(4-5)

4.3.4. Sıntesis del controlador

Para la sıntesis del controlador se utiliza el Toolbox de Control Robusto de Matlab. El coman-

do mixsyn permite introducir los anteriores pesos y la planta para sintetizar un controlador

que minimice el factor γ para las restricciones de la ecuacion 4-6. La planta generalizada se

mostro en la figura 4-6.

σ(S(jω)) ≤ γσ(W−1e (jω)) σ(R(jω)) ≤ γσ(W−1

u (jω)) (4-6)

S = (I +GK)−1R = K(I +GK)−1 (4-7)

Dado que esta planta tiene dos polos en el eje jω, no es posible sintetizar un controlador

H∞. No obstante, se procede a hacer una transformacion bilinear para correr esos polos a

unos estables, y despues en el controlador retornarlos a su estado inicial. Se eligio correrlos

un valor mınimo de 0,001.

λ(G∆) = λ(G)− ε (4-8)

λ(C∆) = λ(C) + ε (4-9)

4.3.5. Respuesta del controlador

El controlador cumplio satisfactoriamente las restricciones de diseno pero no presenta desem-

peno robusto, como se puede ver en la grafica 4-11. Las caracterısticas de este controlador

se muestran en la tabla [4-2]



φ θ ψ z

Tr 0.88702 0.26419 0.26419 0.923

Ts 10.3562 4.0951 4.0951 10.2695

OS 16.7312 5.1028 5.1028 16.2417

GM 3.9778 22.4322 22.4322 5.7507

PM 116.4745 149.2476 149.2476 119.7188

Bw 2.0881 7.6918 7.6918 2.0248


Figura 4-8: Respuesta al sistema en lazo cerrado con control de sensibilidad mixta


Figura 4-9: Senales de control al sistema en lazo cerrado con control de sensibilidad mixta


Figura 4-10: Funcion de Sensibilidad del sistema y Restriccion de Desempeno

Figura 4-11: Lımites µ para el analisis del desempeno robusto del control de sıntesis de lazo

5 Sıntesis µ

5.1. Introduccion

Cuando un sistema presenta incertidumbres en su dinamica, puede ser traducido a la repre-

sentacion estandar M −∆. Si se utiliza la incertidumbre y se disena con las tecnicas vistas

en el capıtulo anterior, los resultados pueden ser bastante conservadores, sobre todo cuando

la matrız de incertidumbre tiene valores en todas sus filas y columnas.

El valor singular estructurado se define como

µ−1∆ (M) = min∆∈∆ σ(∆) : det(I −M∆) = 0 (5-1)

donde ∆ es una matrız de incertidumbre de la forma

∆ =diag [δ1Ir1 , · · · , δsIrs , · · · ,∆1, · · · ,∆f ] : δi ∈ C,∆j ∈ Cmj×mj

(5-2)

5.2. Controlador µ


Los parametros de diseno utilizados en la sıntesis del controlador H∞, en la Seccion del

capıtulo 4, se utilizan en este mismo diseno.

5.2.2. Sıntesis del controlador

Para la sıntesis del controlador se utiliza el Toolbox de Control Robusto de Matlab. El

comando dksyn ejecuta un procedimiento llamado Iteracion DK. En primera instancia man-

tiene la variable D (Relacionada con el maximo lımite encontrado de µ escalado) y encuentra

un controlador K optimo. Despues, manteniendo K fijo optimiza la variable D.

En esta sıntesis, tambien se utiliza la trasnformacion bilineal mostrada en el capıtulo anterior

4-8.

52 5 Sıntesis µ

5.2.3. Respuesta del controlador

En primer lugar, se puede visualizar que el controlador logra efectivamente estabilizar la

planta para todos sus estados,

El controlador cumplio satisfactoriamente las restricciones de diseno y presenta una respuesta

agil pero mesurada dependiendo de las caracterısticas de los motores.

Al sintetizar el controlador, se puede verificar si las condiciones de diseno se cumplen, mos-

trando la respuesta del valor singular estructurado en el dominio de la frecuencia. Si se

cumple, el valor de µ no debe superar la unidad. Al ejecutar el programa de Matlab, se

obtuvo el resultado mostrado en la figura 5-4.



φ θ ψ z

Tr 0.43914 0.2963 0.29673 0.95677

Ts 5.3736 5.3977 5.3862 10.6073

OS 64.8511 6.3602 6.2919 18.4864

GM 2.0311 4.2508 4.3222 4.2648

PM 36.6434 140.8149 141.5713 108.5422

Bw 4.0448 6.8066 6.7792 2.0215

5.2 Controlador µ 53

Figura 5-1: Respuesta al sistema en lazo cerrado con control de sıntesis µ

54 5 Sıntesis µ

Figura 5-2: Senales de control al sistema en lazo cerrado con control de sıntesis µ

5.2 Controlador µ 55

Figura 5-3: Funcion de Sensibilidad del sistema y Restriccion de Desempeno

Figura 5-4: Lımites µ para el analisis del desempeno robusto del control de sıntesis µ

6 Analisis de Resultados

En el presente capıtulo se compararan los indica tanto de desempeno como de robustez con

los cuales se puede comparar un controlador. Esta lista de requerimientos se basa en el libro

de Stephen Boyd y Craig Barratt [19]

6.1. Indicadores de Desempeno

Las caracterısticas de desempeno de la aeronave pueden ser descritos tanto en el tiempo

como frecuencialmente. No obstante, las caracterısticas de desempeno en la frecuencia no

pueden ser medidos para sistemas no lineales.

Para hacer el analisis mas realista, todas las tecnicas de control a comparar seran simuladas

con el modelo no lineal, para poder apreciar problemas como saturacion del control y aco-

plamiento.

6.2. caracterısticas de Desempeno descritos en el dominio

del Tiempo SISO

La forma mas comun de examinar el desempeno de un controlador en el dominio del tiempo

es probando su respuesta a la senal escalon. Para este sistema multivariado, se medira esta

respuesta para todas las parejas entrada salida Cuando un sistema dinamico es excitado con

esta senal, se pueden medir tres variables con los datos obtenidos a la salida del sistema.

La primera caracterıstica a analizar es el tiempo de subida tr, que corresponde al tiempo

en el que el sistema toma en subir del 10 % al 90 % de su respuesta final. La idea para el

control de la actitud del Cuatrirrotor es minimizar este tiempo dependiendo de la energıa

disponible. La comparacion se puede apreciar en la figura 6-3, donde se puede apreciar que

el controlador mas agresivo es el µ y el mas lento el de dos parametros.

La segunda caracterıstica a analizar en el tiempo es el sobrepico OS, que corresponde al valor

porcentual de dividir el valor maximo de la respuesta al escalon con su respuesta final. La

idea para el control de la actitud del Cuatrirrotor es minimizar este sobrepico. Usualmente

cuando se disminuye el tiempo de subida se aumenta el sobrepico, luego hay un tradeoff entre

6.2 caracterısticas de Desempeno descritos en el dominio del Tiempo SISO 57

Figura 6-1: Comparacion de tiempos de subida de los de los sistemas controlados en lazo

cerrado

estos dos parametros. El sobrepico es posible relacionarlo con la robustez del sistema, dado

que entre mas sobrepico mas inestable es el sistema. La comparacion se puede apreciar en

la figura 6-2, donde se puede apreciar que el controlador mas inestable segun esta metrica

es el µ y el mas estable el de dos parametros.

Figura 6-2: Comparacion de los sobrepicos de los sistemas controlados en lazo cerrado

La tercera caracterıstica a analizar es el tiempo de asentamiento ts, que corresponde al tiem-

po que tarda el sistema en alcanzar y quedarse en un rango de proximidad del 5 % del valor

58 6 Analisis de Resultados

final. La comparacion se puede apreciar en la figura 6-2, donde se ve que la velocidad de

respuesta el controlador mas agresivo es el PD.

Figura 6-3: Comparacion de tiempos de asentamiento de los sistemas controlados en lazo

cerrado

6.3. Caracterısticas de Desempeno descritos en el

dominio frecuencial SISO

Si se realiza un analisis de sistemas dinamicos de tipo lineal sobre indicadores anteriores,

estos tienen su equivalente en el dominio frecuencial. Pero por esta misma restriccion, los

indicadores frecuenciales solo podran ser analizados para un el cuatrirrotor linealizado sobre

algun punto.

La primera caracterıstica a analizar es el ancho de banda en lazo cerrado para cada pareja

entrada salida ωbw. Esta caracterıstica corresponde a la primera frecuencia donde la ganancia

del sistema cae a menos de 70,79 % o a -3dB de su valor DC. Esta caracterıstica se puede

equiparar al tiempo de subida en el dominio del tiempo. En esta comparacion, el controlador

loop es el que muestra mayor ancho de banda para todos los estados.

La segunda caracterıstica frecuencial a analizar es el margen de fase PM , la cual corresponde

a la diferencia entre la fase del sistema y 180° cuando la ganancia del lazo es 1. Usualmente

esta caracterıstica se puede compara con el tiempo de asentamiento, donde entre mas sea

6.3 Caracterısticas de Desempeno descritos en el dominio frecuencial SISO 59

Figura 6-4: Comparacion de los anchos de banda de los sistemas controlados en lazo cerrado

el margen de fase menos oscilatorio sera el sistema y mas rapido se estabilizara. Como se

puede apreciar en la figura 6-2, el mejor controlador es el de dos parametros.

Figura 6-5: Comparacion de los margenes de fase de los sistemas controlados en lazo cerrado


Tabla 6-1: Valores Maximos y Mınimos de senales de Control

Senal Valor Mınimo Valor Maximo Unidad

U(1) -6.37 4.8 N

U(2) -0.14 0.14 Nm

U(3) -5.63 5.63 N

U(4) -5.63 5.63 N

φ −π/12 π/12 rad

θ −π/12 π/12 rad

6.4. Restricciones del esfuerzo del Actuador

Los actuadores, que en este caso es la combinacion entre los motores electricos del Cuatri-

rrotor, los circuitos de potencia y las propelas, pueden tener muchas limitaciones a la hora

del diseno del control. Entre estas caracterısticas puede estar el sobrecalentamiento de los

motores por el uso, la saturacion por sobrecarga, el lımite energetico de las baterıas y el

desgaste mecanico.

Para simplificar el problema de control, se asume unicamente la saturacion en la velocidad

maxima de rotacion de las propelas, la cual esta especificada acotada de la siguiente forma:

0 ≤ Ωi ≤ Ωmax∀i ∈ 1, 2, 3, 4

No obstante, dado que el modelo de la planta esta en terminos de las fuerzas y momentos

ejercidos por las propelas sobre el Cuatrirrotor, se debe tambien hacer la traduccion de

los maximos y mınimos de las senales de control. Dado que no es posible dar un intervalo

separable para cada senal Ui, se puede calcular el intervalo reemplazando cada Ωi por su

valor mınimo y maximo, y ası poder estimar un intervalo inicial.

−mg ≤ U1 ≤ 4b(Ω2max)−mg

− b(Ω2max) ≤ U2 ≤ b(Ω2

max)

− b(Ω2max) ≤ U3 ≤ b(Ω2

max)

− 2d(Ω2max) ≤ U4 ≤ 2 ∗ d(Ω2

max)

Hay que tener en cuenta que esta aproximacion es optimista, y para algunos valores lımites

de Ui se pueden estar teniendo valores de Ωi superiores a Ωmax.

Como se puede ver en la grafica 6-6, todos los controladores excepto el de dos parametros

tienen una senal de control acotada en los limites propuestos.

6.5 Indicadores de Robustez 61

6.5. Indicadores de Robustez

Algunos de los indicadores ya vistos como el sobrepico y el margen de fase pueden ser

catalogados como valores que indican que tanto podrıa cambiar el modelo antes de que el

sistema sea inestable. Pero para ser mas rigurosos en el analisis de la robustez del sistema,

se examinara con la herramienta de Robustness Analysis del Toolbox de Robust Control de

Matlab y comparar el comportamiento con el sistema nominal.

Ahora, para cada uno de los controladores (sobre todo para el de µ) se hizo un analisis de ro-

bustez usando las funciones de Matlab robustperf y robuststab, donde podemos analizar que

tan robustos son los controladores ante la variacion de los parametros descritos previamente.

El resultado se encuentra en la siguiente tabla:

Tabla 6-2: Robustez de los controladores

Controlador Margen de Estabilidad Robusta Margen de Desempeno Robusto

PD 2.0822 0.0226

P2 2.0822 0.3599

Loop 1.8916 0.0087

H∞ 2.0822 0.2038

µ 2.0739 0.3874

Como se encuentra en la tabla, todos los controladores resultaron tener un margen de estabi-

lidad robusta mayor a 1, lo cual indica que permanecen estables para cualquier combinacion

de las perturbaciones, incluso hasta de 200 % su valor original. No obstante, el que tiene el

mejor desempeno robusto es el controlador µ, aunque no alcanza a el desempeno superior a

1.

6.6. Respuesta en el tiempo

Al comparar las respuestas se concluyo que las mejores respuestas las dieron los controladores

de Sensibilidad Mixta, Sıntesis µ y PD. El controlador de dos parametros no pudo controlar

el modelo no lineal, y los controladores de Loop y H∞ no controlan robustamente la altitud

del cuatrirrotor. La respuesta en el tiempo se puede apreciar en la figura 6-7.

6.7. Indice de desempeno

Hay muchas formas distintas de medir el desempeno de los controladores cuantitativamente.

En el dominio del tiempo, se pueden seleccionar indicadores de desempeno como tiempo

de respuesta tr, tiempo de asentamiento ts, sobrepico OS, entre otros. Y en el dominio

frecuencial se pueden seleccionar los indicadores como ancho de banda ωb, margen de fase

PM , margen de ganancia GM , entre otros.


No obstante, dado que la medicion se desea hacer sobre el modelo no lineal, la informa-

cion mas fiable del desempeno es la respuesta en el tiempo. Para ello se pueden usar los

indicadores de rapidez de la respuesta (ts) como de robustez (OS). No obstante, los indi-

cadores de desempeno normalmente usados para comparar controladores resumen estas dos

caracterısticas en un mismo valor. Se tienen las siguientes opciones:

ISE =

∫e2(t) ∗ dt

IAE =

∫e(t) ∗ dt

ITAE =

∫e(t) ∗ t ∗ dt

Normalmente la evaluacion de estos ındices se hace sobre un experimento en un tiempo

finito, luego para el caso del cuatrirrotor se hara para el tiempo de simulacion de 40s. En el

presente caso se selecciona la medida ISE, dado que penaliza los errores grandes mas que los

pequenos, y hace que el cuatrirrotor se mantenga en la posicion deseada mas rapidamente.

La idea entonces es someter al cuatrirrotor a una serie de referencias deseadas sobre los

angulos de actitud (alabeo, cabeceo y guinada) mientras se mantiene la misma altitud.

El peor y mas difıcil comportamiento para controlar, es cuando la referencia angular para

el alabeo y cabeceo es la maxima permitida de π/12. Entonces para probar el sistema se

generaran senales de control cuadradas, con un periodo de 40s y con una fase distintas unas

de otras para mostrar el efecto de acoplamiento entre los estados de velocidad. Los resultados

de la simulacion no lineal fueron los siguientes:

Tabla 6-3: Indicador de desempeno ISE

Controlador z φ θ ψ

PD 77.4974 0.3936 0.4355 0.4320

P2 1 ∗ 107 2 ∗ 1049 2 ∗ 1049 3 ∗ 104

Loop 2 ∗ 105 3.6 5.64 7.31

H∞ 675.1941 0.3800 0.3575 0.7570

µ 9.5369 0.3965 0.3592 0.8671

Esta informacion nos hace concluir que el mejor controlador tanto en robustez como en

desempeno es el µ, dado que tuvo la menor calificacion ISE, ademas de tener el mayor

margen de desempeno robustos entre todos los controladores. El controlador PD tuvo un

buen desempeno en la simulacion no lineal, pero segun el analisis de robustez, hay varios tipos

de entrada que lo pueden hacer desestabilizar. El control loop fallo al seguir la referencia de

Z, lo cual lo penaliza fuertemente en el indicador ISE. El controlador H∞ tuvo un desempeno

bueno en los angulos de φ ,θ y ψ, pero no soporto los acoples entre los distintos estados que

afectan el control en Z.

6.7 Indice de desempeno 63

Figura 6-6: Comparacion de las respuestas de los controladores en lazo cerrado


Figura 6-7: Comparacion de las respuestas de los controladores en lazo cerrado

7 Conclusiones y Recomendaciones

Como se pudo apreciar en el capıtulo de analisis de resultados, el controlador P2 demostro ser

un controlador agresivo pero muy poco robusto. Tiene problemas sobre todo con las pertur-

baciones al alejarse del punto de linealizacion, y presenta grandes sobrepicos e inestabilidad

en el modelo no lineal. Por ello tuvo

El controlador de PD mostro ser un control facil de implementar y con buen desempeno,

aunque no tiene tan buen desempeno como el controlado µ.

El controlador de Loop Shaping mostro un buen desempeno excepto en el control de la

altitud. En esta perdio la referencia cuando hubo una perturbacion en Guinado, lo cual

mostro que no es un controlador robusto para este caso en particular.

Los controladores H∞ y µ mostraron resultados similares, tanto en desempeno como en ro-

bustez. Esto viene de que ambos fueron disenados con los mismos pesos y dado que se lleva

a la planta al lımite de la senal de control, no se puede mejorar mucho mas el desempeno.

No obstante, el µ, dado que incorpora las variaciones del modelo no lineal en los distintos

puntos de operacion, tiene un desempeno mejor.

Usando el ındice de desempeno ISE, el mejor controlador indiscutible es el µ sıntesis, el cual

logra los menores valores para todos los estados del cuatrirrotor que se analizaron.

Se recomienda fuertemente probar estas estrategias de control en una planta fısica, para

validar el modelo no lineal y probar los controladores recomendados. Puede que estos con-

troladores fallen por alguna variable no tenida en cuenta en el modelamiento, o que hayan

mas prioridades a la hora de disenar el control como ahorrar energıa.

Tambien se recomienda comparar, mediante los ındices de desempeno planteados, estos con-

troladores frente a otras estrategias no lineales o de control adaptativo. Como se pudo apre-

ciar, las referencias del control fueron aplicadas cerca al punto de linealizacion, pero se

podrıan disenar estrategias mas agresivas aun con control no lineal.

8 Anexo 1 - Modelo y algoritmos en

Matlab

El modelo usado en el presente trabajo incluye la fuerza de friccion para los desplazamientos

en altitud y los efectos giroscopicos generados por la rotacion de las propelas. Dado que

el modelo no lineal fue desarrollado en Simulink de Matlab, a continuacion se explicara el

funcionamiento de cada uno de los bloques. El modelo de Simulink consta de 3 bloques

principales: El controlador K, la planta G y los sensores H.

Figura 8-1: Bloque del Controlador

El controlador es modelado un un bloque de sistema LTI (Linear Time-Invariant). Dado

que se usa el toolbox de control y de control robusto de Matlab para la sıntesis de los

controladores, este bloque es compatible con todas las tecnicas de control presentadas. De

esta forma, los controladores se ponen en la forma canonica de dos parametros. Y dado que

el controlador linealizado debe cumplir con la restriccion en estado estacionario U(1)ss =

mg/(cosφcosθ), se adiciona esta restriccion en la senal de control.

67

Figura 8-2: Modelo de bloques

Ahora, el bloque G se divide en tres sistemas a su vez. El primer sistema toma la senal del

controlador y la transforma en las velocidades angulares de las propelas. Para ello calcula la

inversa de la relacion entre los torques y fuerzas ejercidos por los propulsores y sus respectivas

velocidades de rotacion. Adicionalmente tiene el modelo identificado por experimentacion de

primer orden de los motores (en lazo cerrado) y las restricciones de saturacion.

Figura 8-3: Bloque del modelo del Cuatrirrotor

U1 = b(Ω12 + Ω2

2 + Ω32 + Ω4

2)

U2 = Lb(Ω42 − Ω1

2)

U3 = Lb(Ω12 − Ω3

2)

U4 = d(Ω12 + Ω3

2 − (Ω22 + Ω4

2))

68 8 Anexo 1 - Modelo y algoritmos en Matlab

function [Omega] = CambioVariable(U)

%#Funcion para realizar el cambio de variable del control.

%Trata de estimar los valores de velocidad de las propelas que

%producen las fuerzas de propulsion deseadas

global QR;

%Matriz de transformacion

mapmat=[ QR.b QR.b QR.b QR.b;

0 -QR.b 0 QR.b;

-QR.b 0 QR.b 0;

QR.d -QR.d QR.d -QR.d];

Omega=sqrt(max((mapmat\U),0));

end

Figura 8-4: Bloque del modelo de los motores

En segundo lugar, el modelo contiene las ecuaciones aerodinamicas, las cuales convierten de

la velocidad de rotacion de las propelas en las fuerzas y torques ejercidas por estas sobre el

cuatrirrotor. Estas se calculan con las mismas restricciones planteadas previamente.

function [ out ] = Aerodinamica( in )

%AERODINAMICA Funcion para calcular las fuerzas aerodinamicas

global QR;

69

%Vector de velocidada de los motores

Omega=in(1:4);

%Vectores de fuerzas y momentos

T_i=zeros(1,4);

Q_i=zeros(1,4);

for i = 1:4

% ********* Fueza de Empuje *********

T_i(i)=QR.b*Omega(i)^2; % Thrust [N]

% ********* Momento de Arrastre *********

Q_i(i)=QR.d*Omega(i)^2; % [Nm]

end

% *************** Fuerzas y momentos ***************

T = T_i(1)+T_i(2)+T_i(3)+T_i(4);

Q = +Q_i(1)-Q_i(2)+Q_i(3)-Q_i(4);

tau_pitch = QR.L*(-T_i(1)+T_i(3));

tau_roll = QR.L*(-T_i(2)+T_i(4));

out=[T,tau_roll,tau_pitch,Q];

end

En tercer lugar, se tiene el modelo dinamico que recibe las fuerzas, momentos y adicional-

mente la velocidad y aceleracion angular residual (Ωr y Ωr), con la cual se calculan los efectos

giroscopicos sobre el cuatrirrotor. Para ello se uso un bloque de Ecuaciones Diferenciales de

simulink, con la siguiente matriz de ecuaciones:

1/QR.m*(QR.m*QR.g-cos(x(4))*cos(x(6))*u(1)...

-0.5*QR.Cx*QR.Ac*QR.rho*x(1)*abs(x(1)))

x(1)

1/QR.Ixx *(x(5)*x(7)*(QR.Iyy-QR.Izz)+QR.jr*x(5)*u(5)+u(2))

x(3)

1/QR.Iyy *(x(3)*x(7)*(QR.Iyy-QR.Izz)-QR.jr*x(3)*u(5)+u(3))

x(5)

1/QR.Izz *(x(3)*x(5)*(QR.Ixx-QR.Iyy)+QR.jr*u(6)+u(4))

x(7)

La ultima seccion del modelo corresponde al modelamiento de los sensores giroscopicos y

acelerometros. Estas fueron modeladas como un ruido blanco con varianza relacionada con

la potencia de ruido especificada por el fabricante de los sensores.

70 8 Anexo 1 - Modelo y algoritmos en Matlab

Figura 8-5: Bloque del modelo de los sensores

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