Diseño de Escalera en Voladizo

TEMAS DE HORMIGN ARMADO Marcelo Romo Proao, M.Sc.

Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador

299

CAPTULO XIV TORSIN EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO

14.1 INTRODUCCIN:

Muchas veces, los elementos estructurales, adems de estar sometidos a flexin, cortante y cargas axiales, deben resistir solicitaciones torsionales. Por otra parte, muy rara vez se tienen elementos sometidos solamente a momentos torsores.

Las vigas extremas, que sirven de sustento para las losas; las vigas de soporte de gradas en voladizo; y las escaleras helicoidales, son casos clsicos de elementos que estn sujetos a momentos torsores.

Mientras en las escaleras en voladizo y en las escaleras helicoidales normalmente se toma en consideracin el efecto de los momentos torsores, las vigas perimetrales que sirven de sustento a losas casi nunca son diseadas para resistir solicitaciones torsionales.



300

14.2 EL FLUJO DE ESFUERZOS CORTANTES DIAGONALES:

Los momentos torsores que actan sobre los elementos estructurales son resistidos mediante el flujo de esfuerzos cortantes diagonales, de orientacin opuesta a las solicitaciones.

Existen secciones transversales sumamente eficientes resistiendo a los momentos torsores como las secciones circulares y los anillos circulares, y en menor proporcin las secciones cuadradas y los anillos cuadrados, en las que el flujo de cortante se cierra naturalmente, describiendo crculos o geometras similares a crculos, por lo que reciben el nombre de secciones cerradas.

Las secciones rectangulares alargadas, y las secciones compuestas por varios rectngulos alargados que no permiten el cierre natural del flujo de corte, son menos eficientes, recibiendo las ltimas el nombre de secciones abiertas.



301

14.3 EL COMPORTAMIENTO ANTE LA TORSIN DE LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO CON SECCIN TRANSVERSAL RECTANGULAR:

Se puede tomar una pieza de hormign, de seccin transversal rectangular (es la de uso ms frecuente), cuya dimensin mayor es d y cuya dimensin menor es b, sometida a momentos torsores T.

Los esfuerzos cortantes v provocados por los momentos torsores pueden ser descritos esquemticamente mediante los siguientes grficos:

Se puede observar que:

Los esfuerzos cortantes por torsin crecen desde el centro de la seccin hacia las caras exteriores

La capacidad resistente a la torsin de la seccin depende primordialmente de la magnitud de la dimensin ms corta b, y

Los cortantes mximos se producen en la parte central de las caras de mayor longitud.

Si se lleva el elemento estructural propuesto hasta la rotura, sta se produce mediante una superficie de falla diagonal, que tiende a formar un helicoide en tres de sus caras (una cara larga y dos caras cortas), y cierra la superficie de corte en la cuarta cara. La superficie de falla tiene ngulos caractersticos en cada una de las tres caras helicoidales, donde una de las caras (la de mayor longitud) presenta una fisura que forma un ngulo de aproximadamente 45 con el eje longitudinal, y las dos caras restantes del helicoide presentan una fisura con un ngulo f con respecto al eje longitudinal, aproximadamente igual en las dos caras. El ngulo f est comprendido entre 45 y 90 .



302

Para controlar las fisuras provocadas por las solicitaciones torsionales, adems de la capacidad resistente del hormign simple, puede ser necesario el proveer estribos cerrados transversales, y varillas longitudinales ubicadas en todas las caras de la seccin, lo que permite coser y estabilizar las fisuras. 14.4 DISEO COMBINADO A LA TORSIN Y AL CORTE:

Debido a que la torsin se transforma en esfuerzos cortantes diagonales, en el diseo de los elementos estructurales se deben tomar en consideracin simultneamente las fuerzas cortantes y los momentos torsores.

En secciones transversales genricas, el esfuerzo cortante ltimo causado por la torsin vtu se calcula mediante la siguiente expresin:

ttu W.

Tuv

f=

Donde:

vtu: esfuerzo cortante ltimo generado por la torsin Tu: momento torsor ltimo Wt: mdulo resistente a torsin f: factor de reduccin de capacidad a la torsin, cuyo valor es 0.85

En secciones circulares, el mdulo resistente a torsin Wt se calcula con la siguiente expresin:

16D.

W3

tp

=

Donde:

D: dimetro de la seccin circular



303

En anillos circulares, el mdulo resistente a torsin Wt se calcula con la siguiente expresin:

16)dD.(

W33

t-p

=

Donde:

D: dimetro exterior del anillo circular d: dimetro interior del anillo circular

La solucin al problema de las secciones rectangulares fue propuesta por Barr de Saint-Venant, pero no es descrita mediante una expresin exacta para el mdulo de torsin Wt, pudiendo emplearse la siguiente expresin aproximada, utilizada por los cdigos de diseo, la misma que presenta mejores aproximaciones cuando d/b tiene valores grandes:

3d.b

W2

t =

Donde:

b: menor dimensin de la seccin transversal rectangular d: mayor dimensin de la seccin transversal rectangular

Una expresin ms refinada, pero an as todava aproximada, para secciones transversales rectangulares, es la siguiente:

--=

8/1

8/12

td212.1

b1

db

15.213

d.bW

De acuerdo a la primera expresin para Wt, en secciones rectangulares, el esfuerzo cortante ltimo causado por la torsin vtu se puede calcular mediante la siguiente expresin, que aparece en los cdigos:



304

d.b.

Tu3v

2tu f=

Cuando una seccin transversal puede ser dividida en varias secciones rectangulares, el mdulo resistente a torsin Wt puede calcularse con la siguiente expresin:

=

3d.b

W2

t

La expresin anterior debe ser el mayor de todos los posibles valores que se obtienen al dividir la seccin transversal en rectngulos de rea positiva.

En ese caso el esfuerzo cortante ltimo vtu se calcula con la siguiente expresin:

=

f

= n

1ii

2i

tu

)d.b(.

Tu3v

Donde:

bi: menor dimensin del rectngulo i di: mayor dimensin del rectngulo i

La longitud efectiva de las alas de este tipo de secciones transversales no deben superar a tres veces el espesor de dichas alas:

22 b3d

33 b3d

Cuando el esfuerzo cortante ltimo por torsin vtu, calculado con las ecuaciones anteriores, no excede de c'f4.0 , los cdigos permiten ignorar el efecto de los momentos torsores pues el hormign se considera capaz de resistir ese nivel de solicitaciones sin necesidad de refuerzo de acero adicional al especificado para corte y para flexin.

Cuando el esfuerzo cortante ltimo por torsin vtu, sobrepasa c'f4.0 , la capacidad resistente nominal a corte por torsin del hormign simple vtc depende del nivel de esfuerzos cortantes vu, y del esfuerzo cortante por torsin vtu, y se calcula con la siguiente expresin:



305

2

tu

u

tc

vv2.1

1

c'f636.0v

+

=

Bajo esas mismas circunstancias, el esfuerzo nominal resistente a corte se calcula mediante la siguiente expresin:

2

u

tu

c

v2.1v

1

c'f53.0v

+

=

Las dos ecuaciones anteriores se interpretan como que la resistencia nominal del hormign simple a cortante puro es c'f53.0 , mientras que la resistencia nominal a cortante por torsin pura es c'f636.0 . Cualquier estado tensional combinado (fuerzas cortantes ms momentos torsores) se describe por una elipse base que tiene las dos magnitudes como radios principales, y una elipse de diseo, mltiplo de la elipse base, que superpone los dos tipos de solicitaciones.

El factor 1.2 que multiplica a vu es el resultado de que la distribucin de cortantes en una seccin transversal rectangular no es uniforme como presupone la frmula de clculo del esfuerzo nominal vu, establecida en los cdigos, sino que est descrita por una parbola. Las deformaciones producidas por la distribucin parablica son 1.2 veces mayores que las que se presentan con una distribucin constante. Este factor de 1.2 tambin se ve reflejado en que la resistencia nominal del hormign a corte por torsin c'f636.0vtc = es 1.2 veces mayor

que la resistencia nominal a corte puro c'f53.0vc = .

Las solicitaciones mximas que pueden resistir las secciones rectangulares de hormign armado, incluida la colaboracin del refuerzo de acero, tambin estn controladas por una elipse proporcional a las anteriores, en las que el esfuerzo mximo que se admite a corte puro es c'f65.2 y el esfuerzo mximo a corte por torsin es c'f18.3 . Esta nueva elipse es 5 veces mayor que la elipse base.



306

La expresin que define el mayor esfuerzo que puede resistir una seccin rectangular reforzada longitudinal y transversalmente con acero es la siguiente:

2

tu

u

tu

vv2.1

1

c'f18.3v

+

Una expresin de ms fcil manejo que incluye la combinacin de cortante y torsin es:

( ) ( ) c'f18.3vv2.1 2tu2u + La zona crtica a cortante por torsin (cercana a los apoyos en prticos espaciales) generalmente ocupa la misma posicin que la posicin crtica a cortante puro. Todas las secciones comprendidas entre la zona crtica y los apoyos se disearn para las solicitaciones que actan en la zona crtica a torsin.

Cuando el esfuerzo cortante ltimo por torsin vtu supera al esfuerzo cortante por torsin que puede resistir el hormign vtc, los elementos estructurales requerirn de refuerzo transversal en forma de estribos rectangulares cerrados, y refuerzo longitudinal en forma de varillas en las cuatro caras, para resistir el exceso de esfuerzos (vtu - vtc), simultneamente.

En secciones rectangulares, la armadura transversal (estribos cerrados) que se requiere para resistir a los momentos torsores se calcula con la siguiente expresin:



307

Fy.d.b.3d.b.s).vv(

A11t

2tctu

t a-

=

50.1bd

33.066.01

1t +=a

Donde:

At: seccin transversal de un ramal de estribo s: espaciamiento longitudinal entre estribos b: dimensin exterior menor de la seccin transversal rectangular d: dimensin exterior mayor de la seccin transversal rectangular a t: factor de forma del rectngulo b1: dimensin menor del estribo rectangular, medida centro a centro d1: dimensin mayor del estribo rectangular, medida centro a centro Fy: esfuerzo de fluencia del acero

Con el objeto de controlar la fisuracin espiral, la separacin mxima entre estribos cerrados no debe superar las siguientes expresiones:

4db

s 11+

s 30 cm

El acero longitudinal requerido est definido por la mayor de las siguientes expresiones:

sdb

A2A 11tL+

=

+

-

+

=s

dbA2

vvv

Fy)s.b(1.28

A 11tutu

tuL

Donde:

AL: seccin total de acero longitudinal (total de las cuatro caras)

La primera de las dos expresiones pretende que exista el mismo volumen de refuerzo longitudinal y de refuerzo transversal.



308

El acero longitudinal calculado con las dos frmulas anteriores no requiere superar la siguiente expresin:

+

sdb

Fys.b52.3

A 11wL

Donde:

bw: ancho del alma resistente al corte

El acero longitudinal se debe distribuir uniformemente en el permetro del rectngulo.

Cuando se tiene una seccin transversal que puede ser descompuesta en varios rectngulos, las dos expresiones que definen el acero transversal requerido en cada rectngulo son:

Fy.d.b.3

)d.b(.s).vv(

Ai,1i,1i,t

n

1ii

2itctu

i,t a

-

==

50.1b

d33.066.0

i,1

i,1i,t +=a

Donde:

At,i: seccin transversal de un ramal de estribo del rectngulo i bi: dimensin menor del rectngulo i de la seccin transversal di: dimensin mayor del rectngulo i de la seccin transversal a t,i: factor de forma del rectngulo i b1,i: dimensin menor del estribo del rectngulo i, medida centro a centro d1,i: dimensin mayor del estribo del rectngulo i, medida centro a centro

Las expresiones que definen el acero longitudinal son:

s

dbA2A i,1i,1i,ti,L

+=

+

-

+

=s

dbA2

vvv

Fy)s.b(1.28

A i,1i,1i,tutu

tui,L

sdb

Fys.b52.3

A 11wL+

Donde:

AL,i. acero longitudinal bw: ancho del alma resistente al corte EJEMPLO 14.1:

Disear la siguiente escalera con gradas en voladizo si fc = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.



309

Las gradas en voladizo tienen una longitud libre de 1.40 m; la seccin transversal de las gradas es constante y mide 30 cm de ancho x 10 cm de altura. La viga de torsin tentativamente tiene una seccin transversal cuadrada (es la ms eficiente) de 30 cm de ancho x 30 cm de altura, y se supone torsionalmente empotrada en los nudos extremos (en realidad debera realizarse un anlisis espacial de la estructura total para definir el diagrama de momentos torsores en la viga, pero por fines acadmicos se ha realizado esta simplificacin). a. Diseo de los Escalones de Hormign Armado: Cargas sobre los Escalones:

Peso propio: 0.30 x 0.10 x 1.00 x 2400 = 72 Kg/m Enlucido y masillado: 0.30 x 0.04 x 1.00 x 2200 = 26 Kg/m Revestimiento en madera: 0.30 x 0.015 x 1.00 x 1600 = 7 Kg/m Pasamanos: 5 Kg/m Carga Permanente: 110 Kg/m

Carga Viva: (0.30 x 1.00) x 500 = 150 Kg/m

Carga Ultima: (1.4 x 110) + (1.7 x 150) = 410 Kg/m



310

Diagramas de Cargas, de Cortes y Momentos Flectores:

Los diagramas de cargas, de cortes y de momentos flectores de un escaln de hormign armado son:

Diseo a Corte:

El esfuerzo cortante nominal que resiste el hormign del escaln es:

21053.0c'f53.0vc == vc = 7.68 Kg/cm2

El esfuerzo cortante ltimo es:

)cm5.5)(cm30)(85.0(Kg556

d.b.Vu

vu =f=

vu = 3.96 Kg/cm2 < vc (O.K.)

El hormign es capaz de resistir el esfuerzo cortante.

Diseo a Flexin:

El clculo de la seccin de acero requerida se lo puede realizar mediante la siguiente expresin:

f--=

2d.b.c'f.85.0

Mu211

Fyd.b.c'f85.0

As

fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 30 cm d = 5.5 cm f = 0.90 Mu = 402 Kg-m = 40200 Kg-cm



311

--=

2)5.5)(30)(210)(90.0(85.0

)40200(211

4200)5.5)(30)(210(85.0

As

As = 2.32 cm2

La cuanta mnima de armado es

rmn = 14/Fy = 14/4200 rmn = 0.003333

La cantidad mnima de acero es:

Asmn = rmn . b . d = (0.003333) (30 cm) (5.5 cm) Asmn = 0.55 cm2

La cuanta balanceada es:

003.02100000

4200003.0

4200210

)85.0(85.0003.0

EsFy

003.0Fy

c'f85.0 1b

+

=

+

b=r

0217.0b =r

La cuanta mxima de armado (las gradas en voladizo son horizontales, estticamente determinadas y no absorven fuerzas ssmicas) es:

rmx = 0.75 rb = 0.75 (0.0217) = 0.0163

La armadura mxima es:

Asmx = rmx . b . d = (0.0163) (30) (5.5) = 2.69 cm2

Dado que la armadura calculada est comprendida entre la armadura mnima y mxima, el diseo es aceptable:

As = 2.32 cm2 As = 3 varillas de 10 mm de dimetro

b. Diseo de la Viga de Torsin: Cargas Provenientes de los Escalones:

Peso de un escaln: (110 Kg/m) (1.40 m) = 154 Kg Carga viva sobre un escaln: (150 Kg/m) (1.40 m) = 210 Kg



312

Cargas Sobre la Viga de Torsin:

Peso propio de la viga: 0.30 x 0.30 x 1.00 x 2400 = 216 Kg/m Carga permanente de los escalones: (110Kg/m)(1.40m)/(0.30m) = 513 Kg/m Carga permanente de flexin: 729 Kg/m

Momento torsor permanente por escaln: (110Kg/m)(1.40m)2/2 = 108 Kg-m Carga permanente de torsin por metro: (108Kg-m)/(0.30m) = 360 Kg-m / m

Carga viva de flexin: (150 Kg/m) (1.40 m) / (0.30 m) = 700 Kg/m

Momento torsor vivo por escaln: (150 Kg/m) (1.40 m)2 / 2 = 147 Kg-m Carga viva de torsin por metro: (147 Kg-m) / (0.30 m) = 490 Kg-m / m

Carga ltima de flexin: 1.4 (729) + 1.7 (700) = 2211 Kg/m

Carga ltima de torsin: 1.4 (360) + 1.7 (490) = 1337 Kg-m/m

Modelo Estructural Idealizado y Reacciones de Apoyo:

Diagrama de Cortes:



313

Diagrama de Momentos Flectores:

Diagrama de Momentos Torsores:

Dimensiones Transversales Bsicas de la Viga de Torsin:



314

Diseo a Flexin de la Viga de Torsin:

Armadura mnima positiva y negativa:

b = 30 cm h = 30 cm d = h - 6 cm = 30 cm - 6 cm = 24 cm Fy = 4200 Kg/cm2 rmn = 14/Fy = 14/4200 = 0.003333 Asmn = rmn . b . d = (0.003333) (30) (24) = 2.40 cm2

Armadura negativa:

fc = 210 Kg/cm2 f = 0.90 (flexin) Mu(-) = 1946 Kg-m = 194600 Kg-cm

--=

2)24)(30)(210)(90.0(85.0

)194600(211

4200)24)(30)(210(85.0

As

As(-) = 2.23 cm2 < Asmn As(-) = Asmn = 2.40 cm2 As(-) = 3 f 10 mm

Armadura positiva:

Mu(+) = 973 Kg-m = 97300 Kg-cm

--=

2)24)(30)(210)(90.0(85.0

)97300(211

4200)24)(30)(210(85.0

As

As(+) = 1.09 cm2 < Asmn As(+) = Asmn = 2.40 cm2 As(+) = 3 f 10 mm



315

Clculo de Esfuerzos de Corte y Torsin para Diseo:

Clculo del esfuerzo cortante ltimo:

b = 30 cm h = 30 cm d = h - 6cm = 30 cm - 6 cm = 24 cm f = 0.85 (corte) Vu = 2737 Kg

)24)(30)(85.0(2737

d.b.V

v uu =f=

vu = 4.47 Kg/cm2

Clculo del esfuerzo cortante ltimo por torsin:

b = 30 cm d = 30 cm f = 0.85 (torsin) Tu = 1893 Kg-m = 189300 Kg-cm

)30()30)(85.0(

)189300(3

d.b.

Tu3v 22tu =f

=

vtu = 24.75 Kg/cm2

Verificacin del esfuerzo combinado mximo de corte y corte por torsin:

( ) ( ) ( )[ ] ( )222tu2u 75.2447.42.1vv2.1 +=+ ( ) ( ) 22tu2u cm/Kg32.25vv2.1 =+

2cm/Kg08.4621018.3c'f18.3 == 25.32 < 46.08 (O.K.)

El esfuerzo combinado de corte y corte por torsin no sobrepasa el lmite mximo y puede ser resistido por la seccin transversal propuesta, mediante la inclusin de armadura transversal y longitudinal.

Definicin del proceso de diseo en funcin del esfuerzo bsico de corte por torsin:

2cm/Kg80.52104.0c'f4.0 == vtu = 24.75 Kg/cm2

c'f4.0vtu debe disearse a cortante y torsin combinados

Si se hubiera cumplido la condicin opuesta ( c'f4.0vtu ) no se hubiera requerido disear a torsin, y se podra analizar el cortante como una solicitacin independiente ( c'f53.0vc = ), despreciando el efecto de cortante por torsin.



316

Esfuerzo de corte nominal del hormign para solicitaciones combinadas:

2

u

tu

c

v2.1v

1

c'f53.0v

+

=

( )

2c

47.42.175.24

1

21053.0v

+

=

vc = 1.63 Kg/cm2

Este valor es muy diferente del tradicional 2c cm/Kg 68.7c'f53.0v == cuando el efecto de torsin es inexistente o despreciable. Claramente se aprecia que, en el caso actual, la solicitacin dominante es la torsin.

Esfuerzo de corte por torsin nominal del hormign para solicitaciones combinadas:

2

tu

u

tc

vv2.1

1

c'f636.0v

+

=

2tc

75.24)47.4(2.1

1

210636.0v

+

=

vtc = 9.01 Kg/cm2

Este valor es bastante cercano al mximo cortante resistente por torsin 2

tc cm/Kg 22.9c'f636.0v == cuando el efecto de corte puro es inexistente. Se verifica que la solicitacin dominante es la torsin.

Diseo a Corte:

La seccin transversal resistente al corte Av de los estribos transversales se calcula con la siguiente expresin:

Fys.b).vv(

A wcuv-

=

Despejando el espaciamiento s de la ecuacin anterior se tiene:

wcu

v

b).vv(Fy.A

s-

=

Para la presente viga se tienen los siguientes datos en la seccin crtica:



317

vu = 4.47 Kg/cm2 vc = 1.63 Kg/cm2 bw = 30 cm Fy = 4200 Kg/cm2

Si se toman estribos cerrados de 8 mm de dimetro (es el mnimo dimetro permitido por los cdigos para regiones geogrficas afectadas por sismos), Av es la seccin transversal de dos ramales del estribo.

Av = 2 (0.50 cm2) = 1.00 cm2

El espaciamiento requerido s de los estribos de 8 mm de dimetro es:

)cm30)(cm/Kg63.1cm/Kg47.4(

)cm/Kg4200)(cm00.1(s 22

22

-=

s = 49.30 cm

El Cdigo Ecuatoriano de la Construccin establece que, en regiones geogrficas afectadas por sismos, debe guardarse el siguiente espaciamiento mnimo entre estribos, a todo lo largo de la viga:

smn = d/2 = 24/2 smn = 12 cm

De igual manera, en regiones ssmicas, el espaciamiento mnimo de los estribos en los sectores prximos a los nudos (desde el nudo hasta un cuarto de la luz) debe ser:

smn,nudo = d/4 = 24/4 smn,nudo = 6 cm

Este diseo debe combinarse con el diseo del acero transversal a torsin para obtener los resultados definitivos por lo que, por el momento, no conviene realizar ningn reajuste por espaciamientos mnimos.

Diseo del Acero Transversal de Torsin:

La seccin transversal resistente al corte por torsin At de los estribos se calcula con las siguientes expresiones:

Fy.d.b.3d.b.s).vv(

A11t

2tctu

t a-

=

50.1bd

33.066.01

1t +=a

Para la presente viga se tienen los siguientes datos en la seccin crtica:

vtu = 24.75 Kg/cm2 vtc = 9.01 Kg/cm2 b = 30 cm d = 30 cm b1 = 21 cm



318

d1 = 21 cm Fy = 4200 Kg/cm2

Se calcula a t:

99.02121

33.066.0t =+=a

De la expresin para el cclulo de At se despeja el espaciamiento s:

d.b).vv(

Fy.d.b..A3s 2

tctu

11tt

-

a=

Si se toman estribos de 8 mm de dimetro (el mismo dimetro que los estribos de cortante puro para no provocar confusiones en la etapa constructiva), At es la seccin transversal de un ramal del estribo (en esto se diferencia de la seccin transversal resistente al cortante).

At = 0.80 cm2

El espaciamiento requerido s de los estribos de 8 mm de dimetro es:

)cm30()cm30)(cm/Kg01.9cm/Kg75.24(

)cm/Kg4200)(cm21)(cm21)(99.0)(cm50.0(3s 222

22

-=

s = 6.47 cm.

El espaciamiento para controlar la fisuracin por torsin debe ser menor que las siguientes expresiones:

4db

s 11+

s 30 cm

Colocando valores a la primera expresin:

cm5.104

21214

db 11 =+

=+

El espaciamiento calculado anteriormente (6.47 cm o 6 cm si se redondea) es apropiado pues es menor que el espaciamiento mnimo. En los sectores con momentos torsores de menor magnitud (sector central) es conveniente aumentar el espaciamiento hasta los 10.5 cm (por motivos constructivos hasta 10 cm.).

Diseo del Acero Longitudinal a Torsin:

El acero longitudinal se calcula con la siguiente expresin:

sdb

A2A 11tL+

=

22L cm49.6cm47.6

cm21cm21)cm50.0(2A =

+=



319

Se requieren al menos 8 varillas distribuidas por igual en el permetro de las 4 caras. Cada varilla debera tener una seccin transversal de 0.81 cm2 (6.49/8), que aproximadamente coincide con las varillas de 10 mm (0.79 cm2)

Por el momento no se escogen los dimetros comerciales de las varillas longitudinales de torsin pues este diseo debe combinarse con el diseo a flexin realizado previamente.

Diseo del Acero Longitudinal Combinado a Flexin y Torsin:

Al combinar los diseos a flexin y a torsin se obtiene la siguiente distribucin de las 3 capas de refuerzo:

Capa Acero de Flexin

Acero de Torsin Acero Total Acero comercial requerido

(cm2) (cm2) (cm2) Inferior 2.40 3 x 0.81 = 2.43 4.83 2 f 14 mm + 1 f 16 mm Media 2 x 0.81 = 1.62 1.62 2 f 10 mm Superior 2.40 3 x 0.81 = 2.43 4.83 2 f 14 mm + 1 f 16 mm

La representacin grfica correspondiente es:



320

Diseo del Acero Transversal Combinado a Corte y Torsin:

El espaciamiento y la seccin transversal de estribos del mismo dimetro a corte y torsin combinados se calcula con la siguiente expresin:

21 s1

s1

s1

+=

Donde:

s: espaciamiento de los estribos por corte y torsin combinados s1: espaciamiento de los estribos por corte s2: espaciamiento de los estribos por torsin Armado mnimo de estribos a todo lo largo de la viga (armado mnimo

para las zonas centrales alejadas de los nudos):

Espaciamiento mnimo por corte:

s1mn = d/2 = 12 cm

Espaciamiento mnimo por torsin:

s2mn = (b1 + d1)/4 = 10.5 cm

Domina la especificacin mnima por torsin, que se redondea al valor menor por aspectos constructivos:

smn = 10 cm

Se requiere como armado mnimo 1 estribo cerrado de 10 mm cada 10 cm en las zonas centrales.

Armado mnimo de estribos en la zona prxima a los nudos:

Espaciamiento mnimo por corte:

s1mn = d/4 = 6 cm

Espaciamiento mnimo por torsin:



321

s2mn = (b1 + d1)/4 = 10.5 cm

Domina la especificacin mnima por corte

smn = 6 cm

Se requiere como armado mnimo 1 estribo cerrado de 10 mm cada 6 cm en los cuartos de luz prximos a la viga.

Diseo combinado de estribos por corte y torsin en el sector prximo a los nudos

Para el dimetro de las varillas de 8 mm, se tiene:

s1 = 49.30 cm s2 = 6.47 cm

Se emplea la ecuacin de espaciamiento para diseo combinado:

47.61

30.491

s1

+=

11059.0s1

=

s = 5.12 cm

Se requerira 1 estribo cerrado de 8 mm de dimetro cada 5 cm a todo lo largo de la viga, pero el espaciamiento mnimo especifica un estribo de 8 mm cada 6 cm, por lo que: smn = 6 cm

En el sector prximo a los nudos se requiere 1 estribo cerrado de 8 mm de dimetro cada 5 cm.

La representacin grfica de los estribos requeridos es la siguiente:

14.5 REFERENCIAS: 14.1 G. Winter y A. Nilson, Proyecto de Estructuras de Hormign, Editorial Revert,

S.A.



322

14.2 P. Jimnez, A. Garca y F. Morn, Hormign Armado, Mateu Cromo, Artes Grficas, S. A.

14.3 R. Park y T. Pauley, Estructuras de Concreto Reforzado, Editorial LIMUSA S. A. 14.4 Building Code Requirements for Reinforced Concrete, American Concrete Institute. 14.5 Cdigo Ecuatoriano de la Construccin, Instituto Ecuatoriano de Normalizacin.

Diseño de Escalera en Voladizo

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