Diseño de Elementos de Hormigón - Universidad Nacional de Colombia

FUNDAMENTOS DEL DISEÑO ESTRUSTURAS DE HORMIGÓN 1 ______________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

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1 FUNDAMENTOS DEL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON 1.1 DEFINICIONES 1.1.1 Hormigón Con el nombre genérico de hormigón se denominan a todos aquellos materiales de construcción que se obtienen de mezclar convenientemente y bajo condiciones controladas ( así lo indican las normas y códigos de construcción) un material ligante y un material llenante. El material ligante debe ser física y químicamente estable y el llenante debe ser compatible con las características del ligante. El producto asi formado debe ser resistente a las cargas externas, durable y económico. De acuerdo al ligante se conocen tres tipos de hormigones: El hormigón de cemento calcáreo, el de cemento epoxi y el de cemento asfáltico. En estos tres hormigones el llenante generalmente lo conforman materiales pétreos granulares del tipo de arenas y gravas provenientes de lechos naturales o de molienda y trituración. En la figura 1.1 se indican esquemáticamente los tres tipos de hormigones y se dan algunas propiedades relativas de su comportamiento.

Epoxi Calcáreo Asfáltico

Figura 1.1 Tipos de hormigones según la naturaleza del ligante

En la ingeniería estructural el hormigón mas utilizado en la construcción de obras es el de cemento calcáreo. Es a este al que se le van a dedicar todas las aplicaciones en este texto. El hormigón de cemento calcáreo se fabrica industrialmente a partir de un cementante del cual el mas conocido es el Pórtland, agua, aditivos, agregados pétreos y adiciones finamente divididas. El material ligante lo constituye el cemento Pórtland, el agua, los aditivos y las adiciones activas. El llenante lo conforman arenas, gravas y adiciones inactivas. El proceso de dosificación, preparación, transporte, colocación y conservación hace parte de una amplia tecnología que es tema de otro campo de la tecnología. En la literatura técnica se le conoce a esta con el nombre de “ tecnología del hormigón”. Su estudio se trata también el campo de los materiales compuestos.

Alta resistencia Alto costo

Resistencia media Bajo costo

Baja resistencia Costo Medio



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Las propiedades que hacen del hormigón un material estructural son: a) Alta facilidad para moldear un gran numero de formas estructurales, mientras mantiene su configuración de fluido. Esta propiedad se le conoce como TRABAJABILIDAD ; b) La mayor parte de sus constituyentes, a excepción del cemento y los aditivos, están cerca de la obra son económicos y de fácil consecución; c) La resistencia a la compresión es relativamente alta en comparación con la de tracción lo que permite un uso adecuado cuando el material se le solicita para atender grandes cargas de compresión como en el caso de columnas y muros de edificios. Sin embargo la debilidad que muestra para atender las tensiones de tracción limita drásticamente el uso generalizado del material en la ingeniería. Este ultimo punto es importante porque en la practica es difícil, por no decir imposible, encontrar un elemento sometido a una solicitación simple, generalmente las estructuras están bajo un estado general de tensiones donde interactúan la flexión, la cortante, la carga axial y la torsión. Este panorama muestra la gran limitación que tiene el hormigón sin refuerzo como material estructural. 1.1.2 Hormigón armado Para solucionar en parte el problema anterior y utilizar eficientemente el hormigón como material estructural, desde mediados del siglo XIX se han venido utilizando barras metálicas embebidas en el hormigón y colocadas en aquellas zonas donde el material este solicitado a tracción. Registros antiguos de las catedrales y domos de los imperios Griegos y Romanos muestran el uso de cadenas de hierro y bronce reforzando el material pétreo. Además en algunas ciudades Egipcias, Incas y Aztecas los Arqueólogos han encontrado llaves metálicas que conectan grandes bloques de piedra y les impide su desplazamiento relativo. Sin embargo, como se dijo anteriormente, el uso de barras metálicas es mas reciente siendo este el verdadero origen del hormigón armado. El resultado de esta combinación de materiales diferentes se denomina HORMIGÓN ARMADO otros nombres conocidos en América para designar el material son: concreto reforzado, hormigón reforzado, concreto armado. Todos son validos mientras se identifique correctamente lo que se quiere indicar con el nombre. Con el uso de este nuevo material se superponen una serie de ventajas logrando un mejor comportamiento y una alta capacidad mecánica. Por ejemplo para el hormigón bajo costo, buen comportamiento a altas y bajas temperaturas, buena resistencia a la compresión y excelente moldeabilidad. Para el refuerzo metálico, alta resistencia a la tracción, mejor ductilidad y alta tenacidad. Es esta combinación de materiales la que permite un amplio espectro de usos y posibilidades del material. Se encuentran aplicaciones en edificios, puentes, carreteras, represas, canales, tanques de almacenamiento y túneles. En la figura 1.3 se ilustran gráficamente algunas de esta estas aplicaciones. En los últimos años la industria de materiales ha logrado producir acero de refuerzo de cuatro a cinco veces la resistencia convencional a tracción del material a un relativo bajo costo. Igualmente el hormigón a logrado resistencias a compresión de cinco a seis veces la resistencia convencional del material ( la resistencia a tracción del acero a pasado de fy =150 MPa a 750 MPa y la del hormigón de f´c = 21 MPa a 120 MPa). Estos materiales



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mejorados ofrecen varias ventajas incluyendo el uso de elementos estructurales de pequeñas dimensiones ( esbeltos), menor carga muerta y uso de grandes luces. Sin embargo las grandes deflexiones que resultan al aumentar las tensiones por efecto de las luces y los espesores superan los valores admisibles e inducen grandes fisuras en el hormigón exponiendo el acero a los ataques ambientales. Esto obliga a limitar la resistencia a la tracción del refuerzo a valores de fy = 560 MPa. 1.1.3 Hormigón pretensado Para usar eficientemente los materiales de alta resistencia indicados anteriormente, solo después de las primeras décadas del siglo XX se puso a disposición de la ingeniería lo que se conoce como el HORMIGÓN PRETENSADO. En este material el refuerzo metálico, en forma de alambres de acero trenzado de varios hilos llamado toron, es colocado ya sea antes o después de vaciado el hormigón y traccionado con equipos especiales para lograr un efecto de compresión en el hormigón después de soltar los cables. Si el refuerzo se tracciona antes de fraguar y endurecer el hormigón el material se conoce como HORMIGÓN PRETENSADO PRETRACCIONADO. Este es poco usado en la practica normal de ingeniería y su uso es mas amplio en el campo de los prefabricados aquí la compresión del hormigón se logra por adherencia. De otra parte si el refuerzo se tracciona después de fraguar y endurecer el hormigón y luego se suelta y ancla para comprimir el hormigón el nombre es de HORMIGÓN PRETENSADO POSTRACCIONADO. Este es el mas utilizado en la construcción y la ingeniería y la compresión del hormigón se logra por anclaje. Debido a esta compresión previa del hormigón, antes de aplicar las cargas, el problema de la fisuracion esta prácticamente resuelto lo mismo que el de las deflexiones. Una comparación simple del comportamiento de los tres materiales bajo carga se da en la figura 1.2. 1.2 HISTORIA 1.2.1 Época antigua Al igual que el origen de los primeros pegantes en la construcción ( arcillas, betunes, yeso, cales) el hormigón armado también tiene un inicio histórico. En varias partes del mundo se han encontrado, en estructuras antiguas, abrazaderas de hierro y bronce sujetando los elementos portantes. Los Romanos las usaron frecuentemente cuando se tenia que atender cargas que producen tracción en la edificación. Su uso fue particularmente importante en bóvedas y arcos. Si los bloques de piedra en la cara de tracción son amarrados con ganchos metálicos en forma de U, las uniones no pueden abrirse y se incrementa la capacidad de carga de la estructura. La técnica anterior fue utilizada en la construcción de los famosos domos Romanos ( por ejemplo el Panteón). El famoso domo de Brunelleschi en Florencia es un ejemplo típico de la utilización de abrazaderas de hierro para sujetar los bloques de piedra que conforman la estructura.



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Figura 1.2 Comparación entre hormigón, hormigón armado y hormigón pretensado

1.2.2 Siglo XIX La primera idea de aumentar la resistencia a la flexión del hormigón utilizando refuerzo metálico nació simultáneamente en al mente de varias personas entre las que pueden destacarse las siguientes: Willian B. Wilkinson ( Inglaterra 1854), Joseph Louis Lambot ( Francia 1855), Francois Coignet ( Francia 1861) y Joseph Monier ( Francia 1867). Inicialmente se utilizo el hierro como refuerzo y así lo manifiestan las publicaciones del E. Gillmore (1871) y Thadeus Hyatt ( 1877). Mas adelante Ernest Leslie Ransone en Estados Unidos desarrollo la técnica para la construcción de pórticos de hormigón armado usando las barras de hierro (1902). Simultáneamente Francois Hennebique introdujo este procedimiento en Europa. Este ultimo fue el primer ingeniero en utilizar el acero en lugar del hierro como refuerzo del hormigón (1898).



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Las primeras bases teóricas para estudiar el comportamiento del material bajo carga fueron propuestas por el Ingeniero Alemán Mattias Köenen. Este propuso aplicar la ley de Hooke en el análisis de las secciones, asumiendo que la tracción fuera resistida por el refuerzo. Köenen sin embargo coloco el eje neutro en la mitad de la viga con lo cual ignoro la diferencia entre el modulo de elasticidad del hormigón y del refuerzo. Este error fue corregido posteriormente por Coignet y Tedesco ( 1894 ). El primer curso de diseño de estructuras de hormigón armado lo dicto Charles Rabut en la escuela de puentes y caminos de Paris en el año 1887. En 1899 en Liege, Paul Cristophe publicó el libro “ Le Beton arme et ses applications”, el cual estaba basado en la teoría de la línea recta propuesta por Coignet y tedesco. El primer libro en ingles de diseño del hormigón armado fue escrito por Charles F. Marsh y en este menciona la teoría de Cristophe. Las bases del diseño del hormigón armado fueron ajustadas y simplificadas por Emil Mörsh en su libro “ Der Eisenbeton bau” (1902). Mörsh fue profesor del Instituto Tecnológico Federal de Zurich desde 1904 y su método de diseño se conservo hasta 1970 cuando se generalizo el uso del diseño por resistencia del hormigón armado. 1.2.3 Siglo XX A finales del siglo XIX F. Hennebique era llamado “ El Napoleón del hormigón armado” por sus aportes y excepcional capacidad para usar el material en trabajos de ingeniería. Sin embargo en 1901 la estructura de cinco pisos del hotel “ Zum Goldenen Baren “ en Basilea Suiza , calculada y construida por él, fallo durante su construcción con perdida de vidas en el colapso. La comisión investigadora bajo la dirección del profesor Ritter de la Universidad técnica de Zurich, encontró fallas en el diseño estructural y una pobre calidad en la mano de obra. En particular se critico el uso de materiales sucios y la falta de control de calidad en el cemento y el hormigón. Este acontecimiento fijo las bases para que en 1903 se introdujera en Suiza el primer reglamento de construcción de hormigón armado, ejemplo que fue seguido rápidamente por otras regiones del mundo. En los Estados Unidos un comité conjunto dirigido por la Sociedad Americana de ingenieros Civiles publicó el primer código en 1908. El colapso del edificio de Hennebique tuvo otras repercusiones mas importantes que las del diseño estructural. Por ejemplo durante las dos primeras décadas del siglo XX se realizo un amplio estudio para la dosificación y fabricación del hormigón lo mismo que para su control de producción. Hasta 1919 el diseño del hormigón armado era controlado por una gran cantidad de patentes. Mörsh enuncio en 1904 alrededor de 43 patentes diferentes distribuidas así: 15 en Francia, 14 en Alemania, Austria y Hungría, 8 en Estados Unidos, 3 en Inglaterra y 3 en otros sitios. Las teorías por resistencia ultima fueron propuestas inicialmente por los códigos Rusos desde 1938 y en los códigos Ingleses y Americanos en 1956. Las teorías de diseño limite también se han formulado en los últimos veinte años del siglo XX y hacen parte de algunos códigos principalmente Europeos. Adicionalmente desde inicios de los años 1980 se han



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incrementado las investigaciones y el uso de nuevos materiales estructurales. El uso de los reductores de agua de alto poder para lograr altas resistencias del hormigón, el uso de los polímeros el látex y el refuerzo con plásticos reforzados con fibra han abierto una nueva puerta al uso de los plásticos reforzados en la construcción de obras en las cuales el hormigón tradicionalmente fue protagonista. En definitiva todas estas investigaciones y desarrollos experimentales han conducido a mejores refinamientos de las teorías de diseño y reglamentos de construcción actualizados sobre el uso eficiente del material en la ingeniería. 1.3 VISION ESTRUCTURAL 1.3.1 Hipótesis básica del hormigón armado Tal como se ha indicado en las definiciones el hormigón sin refuerzo es un material fuerte en compresión pero débil cuando se somete a tracción. De acuerdo a esta característica se propone:

“ En las zonas donde el hormigón este sometido a tracción o a cortante se debe colocar un refuerzo para compensar las deficiencias del material y constituir finalmente un producto

apto para resistir las diferentes solicitaciones externas.”

A diferencia de las secciones de un solo material como las de madera, acero y aluminio las cuales se consideran homogéneas para propósitos de diseño, el hormigón armado requiere la utilización de una teoría modificada que explique realmente el comportamiento estructural del material. 1.3.2 Mecánica del hormigón armado Una consecuencia directa de la debilidad del hormigón sometido a tracción es la presencia de fisuras en estas zonas cuando las cargas externas ( también las acciones internas tales como las deformaciones por retracción y por cambios de temperatura) superan la capacidad del material a esta solicitación. Una vez se alcance esta resistencia el material falla inmediatamente presentándose la primera fisura.

“En un elemento de hormigón armado las barras de acero colocadas convenientemente dentro del hormigón, es decir atendiendo las solicitaciones que producen tracción en el

material, equilibran las fuerzas internas y el resultado es que esta podrá soportar cargas adicionales después de la fisuracion hasta que se produzca un agotamiento general ya sea

del hormigón a compresión o del refuerzo a tracción”.



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1.3.3 Tipos y formas estructurales de hormigón armado Se puede afirmar en general que no hay limitaciones de aplicación del hormigón armado en la construcción. El rango practico de usos es amplio lo que indica la versatilidad y la adaptabilidad del material. Se pueden ilustrar una gran variedad de estructuras tridimensionales como por ejemplo: a) Sistemas de piso únicos de hormigón armado: losa plana, placa plana, losa en dos direcciones, losa nervada en una y en dos direcciones; b) Cubiertas del tipo: placa plegada, laminas cilíndricas, paraboloides hiperbólicos, domos esféricos; c) Puentes: en forma de arco, atirantado, con vigas cajón y con aletas; d) Depósitos de almacenamiento y tanques. La figura 1.3 ilustra esquemáticamente varios tipos de estructuras que se pueden realizar con el material. La selección de cualquier tipo y forma estructural depende de los requisitos funcionales, estéticos, relaciones costo/ beneficio, cargas, luces y alturas que son característicos de cada proyecto constructivo. 1.3.4 Elementos estructurales Las estructuras continuas de hormigón armado se puede decir que están compuestas por una serie de “ elementos” que interactúan para soportar y transferir las cargas internas y externas. En el diseño por conveniencia y facilidad de trabajo cada elemento se estudia separadamente para al final considerar la interacción con el resto de la estructura. Esta consideración se debe tener en cuenta cuando se analiza estructuralmente una edificación con el fin de evaluar el comportamiento de las uniones y las conexiones. Los elementos mas importantes desde este punto de vista se ilustran en las figuras 1.4 y 1.5. En la figura 1.4 se muestra una edificación típica de hormigón armado de varios niveles. Se puede apreciar como el segundo piso es una losa nervada en una dirección. En esta una serie de nervios o viguetas soportan la carga colocada en la parte superior de la losa.

a su vez son soportadas por las columnas. En este sistema la parte superior de la losa, llamada recubrimiento, tiene dos funciones: a) recibir la carga vertical aplicada sobre la losa y transferirla a los nervios los cuales actúan como vigas T paralelas que llevan la carga a la vigas principales que van en sentido perpenticular a los nervios, b) transferir las cargas laterales externas a los nervios y luego al sistema estructural vertical ( fenómeno que se conoce como efecto de diafragma ). El primer piso de la edificación muestra un sistema de losa maciza apoyada perimetralmente sobre vigas cargueras las cuales llevan la carga a las columnas y muros. Las cargas son llevadas por las columnas y muros a la fundación constituida por zapatas continuas de muro y zapatas aisladas bajo las columnas. Esta fundación distribuye las cargas sobre el terreno de tal forma que el área de contacto sea suficiente para impedir sobrecarga y falla del suelo. En algunos casos las características del terreno superficial obligan a utilizar fundaciones profundas del tipo de pilas o pilotes, en estos casos el veredicto lo define un correcto estudio del suelo.



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a) Sistema de piso en dos direcciones con vigas perimetrales de gran rigidez b) Sistema de piso nervado en una dirección c) Construcción típica de hormigón armado: Losa plana d) Cubierta de hormigón armado en forma de bóveda e) Cubierta en forma de membranas cilíndricas f) Cubierta en laminas plegadas g) Puente en arco de varios tramos

Figura 1.3 Principales tipos y formas estructurales de hormigón armado1



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h) Cubierta en forma de domo cilíndrico usado para cubrir grandes luces i) Deposito cilíndrico para almacenamiento de líquidos j) Puente hiperestatico de un tramo central k) Muro de contención de contrafuerte l) Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico m) Cubierta en forma de domo esférico

Figura 1.3 Continuación

Las reacciones en los apoyos de los nervios son las cargas aplicadas en las vigas las cuales En el perímetro del edificio las cargas son soportadas por muros como indica la figura 1.4 o por columnas como en la figura 1.5. La selección de muros exteriores o columnas se basa generalmente en consideraciones económicas y arquitectónicas. En el caso de los muros de cerramiento exterior es conveniente indicar, a diferencia de los muros estructurales, que estos se ensamblan posterior a la construcción de los pórticos.



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Figura 1.4 Elementos típicos de estructuras de hormigón armado7. Caso general

La habilidad del hormigón para construir diferentes tipos de losas hace posible la fabricación de la placa o losa de la figura 1.5. Este tipo de sistema es único en el hormigón armado. En este caso las cargas aplicadas en el piso, incluyendo el peso propio, se transmiten en dos direcciones directamente a las columnas por la conocida “ acción de placa”. Estas estructuras se conocen en la literatura técnica con el nombre de sistemas de piso en dos direcciones. El primer piso de la figura 1.5 es una losa plana cuya característica mas importante es la presencia de ensanchamientos en las zonas de contacto con las columnas en forma de ábacos y capiteles. Estos espesores adicionales en estas regiones incrementan la resistencia a flexión y cortante y reduce las deflexiones de la losa. El segundo piso de la figura 1.5 es una placa plana. Esta tiene espesor uniforme sin ábacos ni capitel en las zonas de contacto con las columnas. Este tipo especial de losa de hormigón armado se usa frecuentemente en edificios destinados a vivienda en donde las cargas externas no son altas y se aprovecha el acabado de la losa para que sirva de piso y techo entre dos niveles consecutivos.



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Por ultimo el uso frecuente de los sistemas prefabricados en la construcción ha permitido el ensamble rápido y el mas eficiente uso de los materiales en edificios y bodegas industriales. Una edificación en estos sistemas pude ahorrar hasta el 80% del tiempo requerido en la construcción convencional.

Figura 1.5 Elementos típicos en estructuras de hormigón armado7. Caso especial

1.4 CARGAS Y ACCIONES EN LAS ESTRUCTURAS 1.4.1 Introducción Una acción es algo que produce tensiones en una estructura. El termino acción directa o carga se refiere a las fuerzas concentradas o distribuidas resultantes del peso de la estructura y su contenido, la presión debida al viento, al agua o al empuje de tierras. Una acción indirecta o deformación impuesta es un desplazamiento o movimiento sin presencia de carga que lo origine pero que produce tensiones en la estructura. Algunos ejemplos de las acciones indirectas son los movimientos del terreno por la acción sísmica, los asentamientos diferenciales en los apoyos por falta de capacidad de carga, la retracción del hormigón en estructuras continuas y el fenómeno de calentamiento y enfriamiento en pavimentos de carreteras puentes y aeropuertos.



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Ya que las deformaciones impuestas producen tensiones que no se deben a cargas externas es evidente que estas se equilibran por la redistribución interna de tensiones. Por ejemplo al considerar un prisma de hormigón con una barra de acero embebida a lo largo de su eje como lo indica la figura 1.6 se detecta que cuando el hormigón se contrae por efecto de sus reacciones químicas el refuerzo resiste esta deformación y el resultado es una fuerza de compresión en el acero y una fuerza de tracción igual en el hormigón. Si el hormigón se fisura, desaparecen las tensiones en los materiales. Hormigón Acero de refuerzo Tensiones de tracción = σ t Tensiones de compresión =σc

Figura 1.6 Tensiones inducidas por la retracción del hormigón7

1.4.2 Clasificación de las cargas La clasificación mas conocida para las cargas que actúan en una estructura es la que considera tres categorías o grupos : a) Las cargas permanentes o muertas, b) las cargas variables o vivas y c) las cargas ambientales. Sin embargo otras clasificaciones son igualmente importantes como las que consideran el tiempo de aplicación y su localización. En este caso las cargas pueden ser de corta o larga duración, pueden ser estáticas o dinámicas. Con este enfoque es importante que el ingeniero considere, con aceptable certeza, que tipo de cargas debe considerar en un determinado diseño estructural. En el caso de cargas dinámicas es imprescindible utilizar un análisis dinámico para establecer los valores máximos que controlan el diseño.



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1.4.2.1 Cargas permanentes o muertas Son aquellas que permanecen constantes en magnitud y posición en toda la vida útil de la estructura. Se puede afirmar que el peso propio constituye el ejemplo típico de este tipo de cargas. La determinación de su valor es simple y solo se requiere conocer las dimensiones y la densidad de los materiales que constituyen la estructura. El procedimiento es determinar primero la masa de la estructura y luego calcular el peso o fuerza de gravedad. Como en el sistema métrico, que es el tradicional en nuestra región, existe el inconveniente de que la masa es numéricamente igual al peso ( fuerza ) ya que 1kgf = 9.8 kg*m/s2 es decir un kilogramo fuerza ( en Europa le dice kilopondio) es igual a un kilogramo masa acelerado a la gravedad, es fundamental utilizar el sistema internacional de unidades para obviar esta coincidencia. En el sistema internacional la situación es diferente y la unidad de fuerza es el Newton que equivale a un kilogramo masa acelerado a un metro por segundo cuadrado ( 1 N = 1 kg*m/s2). Ejemplo 1.1 Determinar la masa y el peso de los siguientes elementos de hormigón armado: Losas, vigas y columnas. Utilizar las siguientes características: § Losa maciza de espesor igual a 150 mm :

ð Masa losa : ML = 2.40 Mg/m3 * 0.150 m = 0.360 Mg/m2 ð ML = 0.36 Mg/m2

§ Losa aligerada de igual espesor y casetones 400*400*100 mm cada 100 mm:

=> Masa losa : ML = 2.40 * [( 0.150-0.100)+(0.100* 0.100)/0.500]=0.168 Mg/m2 => ML = 0.168 Mg/m2 Se puede notar claramente que la determinación es sencilla y solo se requiere conocer el espesor del elemento. En estos casos no es necesario usar cálculos complicados para estimar La masa de la estructura. En el caso de vigas el procedimiento es mas sencillo y solo se requieren conocer las dimensiones de la sección. § La masa de una viga de sección 300*500 mm es:

ð MV = 2.40 Mg/m3 * 0.300*0.500= 0.360 Mg/m

=> MV = 0.36 Mg/m2 § La masa de una viga de sección 500*500 mm es:

ð MV = 2.40 Mg/m3 * 0.500*0.500= 0.600 Mg/m ð MV = 0.60 Mg/m2

En las columnas la masa se determina conociendo el volumen del elemento:



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§ La masa de una columna de dimensiones 300*300* 3000 mm es:

ð MC = 2.40 Mg/m3 * 0.300*0.300*3.000 = 0.648 Mg ð MC = 0.648 Mg/m2

En los cálculos anteriores es importante que el lector considere que cada vez que se determine la masa en losas y cubiertas esta se debe especificar en términos de masa por unidad de superficie . En vigas, masa por unidad de longitud y en columnas en unidades de masa. Al convertir las masas a pesos, usando la gravedad, se obtienen los siguientes valores: § Losa maciza qm = 3.6 kN/m2 § Losa aligerada qm = 1.7 kN/m2 § Viga de 300*500 qm = 3.6 kN/m § Viga de 500*500 qm = 6.0 kN/m § Columna de 300*300*3000 qm = 6.5 kN

Obsérvese como en lugar de usar el Newton (N) como unidad de fuerza se usa el kilonewton (kN) que equivale a 1000 N. En la determinación de las cargas en las estructuras el kN es la unidad mas conveniente (recuerde que 1 kN = 100 kgf ). En los edificios se debe considerar también como carga permanente los materiales usados en la terminación de los pisos, los muros divisorios y sus acabados, las instalaciones eléctricas, hidrosanitarias y las redes contra incendios. En el caso de los puentes las cargas permanentes por lo general varían durante el servicio de la estructura. Por ejemplo la carpeta de rodadura de la losa del puente puede sufrir múltiples reparaciones aumentado su espesor con el tiempo. La tabla 1.1 indica la densidad de los materiales de construcción mas usados en la ingeniería. Adicionalmente la tabla 1.2 da el peso de algunos elementos de construcción para propósitos de diseño estructural. 1.4.2.2 Cargas vivas o variables Este tipo de cargas puede actuar total o parcialmente en un determinado sitio o no estar presentes, además pueden cambiar de posición y su magnitud y distribución en cualquier momento es desconocida. Mas aun su valor máximo a través de la vida útil de la estructura no se conoce con precisión. Este efecto complica el diseño estructural porque el ingeniero debe considerar los posibles casos de variación de esta carga en la estructura y prever el comportamiento bajo estas solicitaciones. El ejemplo típico de estas cargas en los edificios es el peso de los ocupantes y sus enseres, por esto también se le denomina carga por uso y ocupación. En la mayoría de códigos y reglamentos de construcción se especifican unos valores mínimos a usar en los diseños obtenidos de mediciones estadísticas en edificios de oficinas, viviendas, comerciales,



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centros educativos y otros mas. En la tabla 1.3 se indican los recomendados por el instituto de normas de los Estados Unidos ( ANSI), por la normativa Colombiana ( NSR-98) y por las normas Españolas ( MV-101). Los estudios que llevan a estimas estos valores son extensos y complejos. Adicionalmente los valores dados en las tablas no son definitivos y varían de acuerdo a las circunstancias culturales de cada región. Los valores indicados son cargas uniformente distribuidas para varios tipos de ocupación, incluyendo las recomendaciones de impacto donde sea necesario. Estas cargas son las máximas esperadas en servicio y exceden considerablemente los valores promedio esperados. Se recomienda que los pisos de los edificios consideren en los diseños posibles cargas concentradas que aumenten las tensiones en partes localizadas de la estructura. Algunos códigos recomiendan que los pisos de oficina deben diseñarse para transmitir una carga de 9.0 kN distribuida en una superficie de 0.25 m2 ( es decir una carga de 36 kN/m2) para soportar el peso de un posible equipo pesado. Además las escaleras deben diseñarse para soportar una carga concentrada adicional de 1.5 kN aplicada en el centro de la huella. Los códigos recomiendan de igual forma reducir la carga viva cuando esta se aplica en lugares con grandes superficies, ya que es poco probable que toda el área este completamente cargada en un determinado momento. Esta reducción solo se aplica a cargas por uso y ocupación y no se debe realizar en áreas publicas ( graderías, coliseos, teatros, terrazas). La reducción no debe ser mayor al 50% del valor inicial con la restricción de que la carga viva no sea mayor de 5 kN/m2, en caso contrario se recomienda no reducir su valor. 1.4.2.3 Cargas ambientales Consisten principalmente de acciones directas de la naturaleza como por ejemplo la caída de nieve sobre las estructuras, el efecto del viento, los sismos, presiones del suelo y los cambios de temperatura. Al igual que las cargas vivas las cargas ambientales en cualquier momento varían en magnitud, posición y distribución. a) Cargas por nieve. La acumulación de hielo en cubiertas, puentes y carreteras en aquellas regiones que tienen estaciones es un factor a considerar en los diseños. La magnitud de la carga depende de factores climáticos, geometría y exposición de la estructura al hielo. Alguna regiones han elaborado mapas donde se especifican las máximas cargas de nieve esperadas en periodos de diseño de 25, 50 y 100 años. El código ACI considera esta carga como viva cuando se utilizan los factores de mayoracion para el diseño estructural. En Colombia no se tienen antecedentes de caída de nieve sobre las estructuras y el problema no es considerado en los cálculos estructurales.



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Tabla 1.1 Densidad de algunos materiales de construcción3

GRUPO MATERIAL DENSIDAD (Mg/m3) Metales Acero 7.85 Aluminio 2.70 Bronce 8.50 Cobre 8.90 Maderas Abarco 0.69 Laurel 0.66 Pino Ciprés 0.40 Pino Patula 0.43 Roble 0.55 Prefabricados Bloque de hormigón 1.60 Asbesto cemento 2.00 Cerámica. Baldosa 1.80 Ladrillo hueco 1.40 Ladrillo macizo 1.80 Hormigón 2.30 Mortero 2.10 Rocas Arenisca 2.70 Caliza 2.70 Basalto 3.00 Diorita 3.00 Cuarcita 2.60 Granito 2.70 Otros Asfalto 1.30 Plástico 2.10 Vidrio 2.60 Caucho 1.70 b) Cargas de viento. La presión ejercida por el viento sobre las edificaciones es proporcional al cuadrado de su velocidad. Debido a la rugosidad de la superficie de la tierra, la velocidad del viento en un determinado momento se compone de la velocidad promedio mas el efecto de la turbulencia generada (ráfagas).



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Tabla 1.2 Peso de algunos elementos de construcción3

ELEMENTO CARACTERISTICAS PESO ( kN/m2) Muros sin revoque Ladrillo hueco de 100 mm 1.00 Ladrillo hueco de 150 mm 1.80 Revoques Mortero de cemento 0.20 Estuco y cal 0.16 Yeso 0.12 Pisos Baldosa de 30 mm 0.50 Baldosa de 50 mm 0.80 Baldosa de 70 mm 1.10 Cubiertas Una capa de cartón y brea 0.05 Dos capas de cartón y brea 0.15 Placa ondulada de cemento 0.15 Lamina zinc de 1 a 1.2 mm 0.10 Teja curva liviana 0.40 Teja curva corriente 0.50 Teja curva pesada 0.60 Como resultado de esto una estructura sometida al viento responde deformándose en una determinada forma que varia según esta velocidad promedio y las vibraciones producidas por la presión dinámica de ráfaga. Estas vibraciones son función de: a) las relaciones entre la energía natural de la ráfaga y la energía necesaria para desplazar el edificio, b) las relaciones entre la frecuencia de vibración de la ráfaga y la frecuencia natural de vibración del edificio, c) el amortiguamiento de la edificación. Existen en la literatura técnica varios procedimientos para calcular la presión de diseño del viento. La metodología propuesta por la NSR-98 en el numeral B.6.4 es útil en muchos proyectos estructurales. Este procedimiento es comparativamente similar al propuesto por la ASCE de los estados Unidos. El procedimiento resumido se presenta en el diagrama de la figura 1.7 y la forma de trabajar se explicara con el ejemplo 1.2.



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Tabla 1.3 Valores recomendados de cargas vivas por uso y ocupación en edificaciones1,3 TIPO DE OCUPACIÓN Y USO CARGA VIVA EN ( kN/m2)

OCUPACION CARÁCTER. ANSI A58.1 MV-101 NSR-98 Vivienda Alcobas 1.5 1.5 1.8 Oficinas 2.5 3.0 2.0 Escaleras Vivienda 4.0 3.0 3.0 Oficina 4.0 4.0 3.0 Salones de reunión Sillas fijas 3.0 3.0 3.0 Sillas móviles 5.0 5.0 5.0 Hospitales Cuartos 2.0 2.0 2.0 Quirófanos 3.0 3.0 4.0 Coliseos y estadios Graderías 5.0 3.0 4.0 Escaleras 5.0 5.0 5.0 Garajes Automóvil 2.5 4.0 2.5 Vehículo pesado AASHTO 10.0 Según uso Hoteles Dormitorios 2.0 2.0 2.0 Escuelas, colegios Salones 2.0 3.0 2.0 Bibliot.- lectura 3.0 ----- 2.0 Bibliot.- libros 7.5 ----- 5.0 Terrazas Según uso Según uso Igual resto Edif. Cubiertas Según tipo Según tipo Según inclinac. Fabricas Livianas 6.0 ----- 5.0 Pesadas 12.0 ----- 10.0 Bodegas Liviano 6.0 ----- 5.0 Pesado 12.0 ----- 10.0 Almacenes Al detal 4.0 Según uso 3.5 Por mayor 6.0 ----- 5.0

Tabla 1.4 Valores de la velocidad básica del viento por ciudades ( NSR-98)

Ciudad o región geográfica Velocidad básica del viento,V ( k.p.h ) Costa pacifica 60 Uraba antioqueño y de Córdoba 80 Piedemonte llanero 100 Región central del país 100 Valle de aburra 120 Caldas 80 Risaralda 100 Quindío 100 Tolima 80 Atlántico 130



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Figura 1.7 Procedimiento para estimar las cargas de viento

DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS DE VIENTO EN ESTRUCTURAS

DATOS INICIALES 1. Localización geográfica de la estructura 2. Uso y utilización de la edificación 3. Alturas de pisos desde nivel del terreno 4. Geometría en planta y altura de la edificación

Con la información anterior se determina: 1. la velocidad básica del viento, V (tabla 1.4) 2. El factor de importancia, I = (0.95-1.11) 3. El factor de respuesta por ráfaga, Gh=1.0

Determinación de la presión del viento según su velocidad : q

q = 0.0000489*Kz*(I*V) 2 ( kN/m2)

Determinar la presión de diseño equivalente, p:

p = q*Gh*Cp (kN/m2)

Se determina el coeficiente de exposición, Kz:

Kz = ( h/10 ) (2/7)

Determinar los coeficientes de forma, Cp, de acuerdo a las tablas

1.5 y 1.6

Realizar tabla de resultados



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Tabla 1.5 Valores del coeficiente de forma, Cp, para superficies prismáticas

Disposición del viento Valor de Cp Cara a barlovento 0.8 Cara a sotavento -0.5 Caras laterales a dirección del viento -0.7 Nota: Los valores negativos indican que la acción del viento es de succión.

Tabla 1.6 Valores del coeficiente de forma, Cp, para superficies inclinadas

Inclinación superficie Viento a barlovento Viento a sotavento 0-10 -0.8 -0.5 10-20 -0.7 “ 20-30 -0.4 “ 30-40 -0.1 “ 40-50 0.2 “ 50-60 0.5 “ 60-70 0.7 “ 70-80 0.8 “ > 80 Tabla 1.5 Tabla 1.5

Ejemplo 1.2 Para la edificación mostrada en la figura 1.8 que representa un edificio de apartamentos de cinco pisos ubicado en la ciudad de Medellín, se requiere estimar las cargas de viento para su diseño estructural. Solución: El primer paso es identificar las variables para la determinación de las cargas : § De acuerdo a la localización geográfica de la estructura la velocidad básica del

viento es de V = 120 k.p.h. Este dato se obtiene de la tabla 1.4. (B.6.5.1. de la NSR-98). El valor de V = 120 k.p.h es el máximo esperado en un periodo de retorno de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 2%.

§ La edificación es de uso normal por tanto su coeficiente de importancia I = 1.0 § La altura de pisos es constante e igual a 3 m. La altura total es de 15 m. § La estructura es prismática tanto en planta como en altura y h > 2 b § No se van a considerar efectos de ráfaga por tanto Gh =1.0



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3 m 3 m H = 15 m Direccion del viento 3 m 3 m 3 m L = 20 m 7 m 6 m 7 m Dirección del viento B = 7 m

Figura 1.8 Elevación y planta del edificio indicado en el ejemplo 1.2



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TABLA 1.7 CALCULO DE FUERZAS DE VIENTO EN ESTRUCTURAS

DATOS b(m)= 7,0 Frente del edificio Constante de calculo por piso h(m)= 15,0 Altura total edificio 0,0000489*(I*V) 2 = 0,704 Cp= 0,8 Coeficiente de forma a barlovento Cp= -0,5 Coeficiente de forma a sotavento

V(k.p.h)= 120 Velocidad básica del viento I= 1,0 Factor de importancia

Gh= 1,0 Coeficiente de ráfaga CALCULOS PARA UNA DIRECCION DEL VIENTO

CARA AB (BARLOVENTO) CARA DC (SOTAVENTO) Altura Kz q Cp p q Cp p RESULTANTE (m) ( kN/m2) (kN/m2) ( kN/m2) (kN/m2) ( kN/m2) kN 0 0,00 0,00 0,8 0,00 0,00 -0,5 0,00 0,00 0,0 3 0,71 0,50 0,8 0,40 0,50 -0,5 -0,25 0,65 13,6 6 0,86 0,61 0,8 0,49 0,61 -0,5 -0,30 0,79 16,6 9 0,97 0,68 0,8 0,55 0,68 -0,5 -0,34 0,89 18,7 12 1,05 0,74 0,8 0,59 0,74 -0,5 -0,37 0,96 20,3 15 1,12 0,79 0,8 0,63 0,79 -0,5 -0,40 1,03 10,8

Nota : Las fuerzas resultantes obtenidas se aplican en el centro de presión de cada piso del edificio Succión B C Compres. Succión A D Succión

Figura 1.9 Distribución en planta de las cargas de viento

P = 0.704*Cp * (h/10) (2/7) kN/m2



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Presión (kN/m2) Fuerza (kN) 10.8 1.03 20.3 0.96 18.7 0.89 16.6 0.79 13.6 0.65

Figura 1.10 Distribución Vertical de las cargas de viento Los resultados anteriores se basan en una determinada dirección del viento. En general se deben estudiar todas las direcciones posibles con el fin de tener en cuenta las combinaciones de carga mas desfavorables para el diseño. Es necesario indicar que las fuerzas de viento, que hacen parte de las cargas laterales en los edificios de hormigón armado, pocas veces controlan el diseño ya que el peso de la edificación neutraliza su efecto. Sin embargo en las estructuras metálicas del tipo de torres de transmisión, cubiertas, coliseos y luminarias, cuyo peso es relativamente bajo comparativamente a las de hormigón, es fundamental esta carga en el diseño y se debe calcular con bastante detalle. Existen en el hormigón armado otros efectos laterales mas drásticos que los del viento y cuyo diseño prácticamente cubre las cargas del viento. Este es el tema del próximo numeral y en definitiva el mas critico cuando se trabaja con cargas laterales en las edificaciones.



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c) Efectos sísmicos. Los sismos son movimientos ondulatorios de carácter aleatorio originados en el interior de la tierra y que propagándose a través de ella producen graves daños a la población en cualquier región del planeta. Es necesario entender que ante estas enormes fuerzas naturales, las cuales mueven continentes y generan islas no hay diseños totalmente seguros y la filosofía actual del proyecto estructural es:

“Una estructura afectada por un sismo fuerte al menos debe proteger la vida evitando su colapso total y ante un sismo moderado debe comportarse adecuadamente disminuyendo al

máximo los daños en la edificación”. Este tema es generador de muchas investigaciones sobre las metodologías de diseño y dada la importancia para la comunidad internacional requiere de la participación de expertos reconocidos en el estudio de estos eventos. En este texto se presentara una metodología básica para estimar los efectos de los sismos en los edificios. Sin embargo se debe recordar que el uso de métodos mas elaborados, actualmente disponibles, le permiten al ingeniero realizar un diseño ajustado a las características particulares del caso, lo que anteriormente era imposible. Los efectos sísmicos en las estructuras se pueden evaluar, como se dijo, usando un análisis dinámico elástico o inelástico o utilizando un procedimiento aproximado denominado el método cuasi estático (carga horizontal equivalente). En el primer caso el ingeniero utiliza como parámetros de diseño la máxima aceleración esperada del terreno, la masa, la rigidez y las características de amortiguamiento de la estructura y mediante el calculo matricial resuelve la ecuación dinámica para hallar las formas o modos de vibrar de la estructura, las frecuencias de vibración y finalmente los máximos desplazamientos esperados en la edificación. Por el contrario el método cuasi estático es simple, practico y en muchos casos certero al estimar los probables desplazamientos laterales de la edificación. Los códigos de construcción son cuidadosos al recomendar este método porque su uso requiere el cumplimiento de algunas características especiales de la edificación como por ejemplo: estructura simétrica tanto en planta como en altura, forma regular, presencia de pórticos y muros resistentes a momento. Adicionalmente reflexionan al justificar su uso, ya que las incertidumbres asociadas con el mismo fenómeno sísmico y con las hipótesis en que se fundamentan los métodos dinámicos contrastan con la simplicidad de los cuasi estáticos. Es por este motivo que frecuentemente el diseño sísmico se fundamenta en fuerzas estáticas equivalente ( es decir fuerzas laterales que actúan en los pisos de la edificación y que producen un efecto similar al del sismo). La NSR-98 presenta en el numeral A.4 el procedimiento a seguir para obtener las fuerzas horizontales equivalentes. El diagrama de flujo de la figura 1.11 presenta una versión paso a paso del proceso y del cual se realizara un ejemplo numérico. En resumen este método lo que hace es estimar primero la magnitud de la fuerza cortante que actúa en la base del



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edificio ( Cortante basal ) y luego la distribuye a nivel de los pisos los cuales actúan como diafragmas que llevan la carga a las columnas y muros. Finalmente sobre el tema sísmico se ha escrito demasiado y en la literatura técnica se encuentran documentos, libros e investigaciones de gran ayuda para el ingeniero. En este texto se pretende mostrar al lector un recurso general de como se puede atacar preliminarmente el problema y un procedimiento sencillo para estimar los resultados. En el siguiente ejemplo se presenta el calculo de las fuerzas horizontales equivalentes para la edificación del ejemplo 1.2 usando el procedimiento de la NSR-98 y el del UBC-97 con el fin de comparar resultados.

Tabla 1.8 Valores de Ct para hallar el periodo de vibración de una estructura

Tipo de sistema estructural Valor de Ct Pórticos de hormigón armado resistentes a momento o de acero con diagonales

0.08

Pórticos de acero resistentes a momento 0.09 Otros sistemas de resistencia sísmica 0.05 Mampostería estructural y edificios con muros estructurales de hormigón armado

0.075/ ( Ac) 0.5

Nota: El valor de Ac de la tabla anterior tiene como significado el área efectiva de muros en el primer piso considerando la dirección particular en estudio. Ecuación 1.1.

∑

+=

2

2.0n

eec h

DAA (m2) (1.1)

Donde las otras variables de la ecuación significan: Ae: Área efectiva en planta de la sección transversal del muro en estudio ( m2) De: Longitud en planta de un muro estructural en la dirección bajo estudio (m) hn: Altura total del muro, desde la base hasta el nivel mas alto (m). Nota: Se debe controlar el valor de la relación (De/hn) para que esta no exceda 0.9.



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Figura 1.11 Procedimiento para estimar las fuerzas horizontales según NSR-983

DETERMINACIÓN DE LOS EFECTOS SISMICOS EN LAS ESTRUCTURAS

METODO CUASIESTATICO NSR-98

RECOGER DATOS GENERALES: 1. Tipo se sistema estructural 2. Alturas por piso y total de la edificación 3. Mapas de amenaza sísmica, locales o regionales 4. Pesos del edificio por piso y total 5. Características del terreno de fundación 6. Uso y ocupación del edificio

Determinar el coeficiente de calculo del periodo de vibración de la estructura, Ct:

Ct = Función ( Tipo de sistema estructural) Usar tabla 1.8

Calcular el periodo de vibración de la estructura con la siguiente ecuación:

Ta = Ct h(3/4 ) Donde h: Altura total edificación

Hallar los coeficientes de aceleración pico de los mapas de zonificación Figuras 1.12 y 1.13 o tablas 1.10 y 1.11

Aa: Coef. con base en la acel. Pico esperada

Determinar el coeficiente de sitio de acuerdo a la tabla 1.9

S= Función ( Tipo de suelo)

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Continuación de la figura 1.11

Hallar el coeficiente de importancia de la estructura, I, de acuerdo a tabla 1.12

I : Función ( Uso y ocupación estructura)

Calcular el valor de la aceleración de acuerdo al espectro de diseño disponible estadísticamente:

Sa = (1.2*Aa*S*I ) / T

Determinar los valores máximos de Sa de acuerdo al periodo T.

Si T < 0.48* S => Sa max.= 2.50*Aa*I Si T > 2.40* S => Sa max.= 0.50*Aa*I

Calcular la cortante basal de la estructura, Va: Vs = Sa*W

Donde W: Peso de la edificación

Hallar el coeficiente basal por piso para la distribución vertical de Vs :

Cvx= ( Wx hxk ) / (ΣWi hi

k) Donde K se obtiene de tabla 1.13

Calcular las fuerzas horizontales por piso, Fx:

Fx = Cvx Vs

Entregar tabla de resultados Analizar los valores

obtenidos



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Tabla 1.9 Coeficientes de sitio según tipo de suelo

Características del suelo Clasificación NSR-98 Valor de S Rocas con Vc > 750 m/s Depósitos de arenas y

gravas de menos de 60 m de profundidad con Vc >400

m/s

S1

1.0

Arcillas duras con espesores > de 60 m y Vc >400 m/s.

Suelos duros Con espesores < 60m y con Vc entre 270 y

400 m/s

S2

1.2

Depósitos de Arcillas de dureza intermedia con

espesores >20 m hasta la roca y Vc entre 150 y 270

m/s

S3

1.5

Arcillas blandas de mas de 12 m de espesor con Vc <

150 m/s

S4

2.0

Nota: Cuando el estudio de suelos entregue un perfil de suelo que no se ajuste a las características mencionadas en la tabla anterior, se recomienda determinar el periodo de vibración del terreno, Ts, y estimar el valor del coeficiente de sitio así: S = 0.70 + 0.80 Ts. Este valor debe ser mayor o igual a 1.0 La norma sismo resistente NSR-98 en el numeral A.2.9 recomienda adicionalmente realizar estudios de micro zonificación sísmica en las regiones ubicadas en zonas de intermedia y alta amenaza sísmica y con mas de 100.000 habitantes. Estos estudios deben tener en cuenta las reglamentaciones locales de ordenamiento y uso de la tierra y el efecto que sobre las edificaciones tenga el sismo. Además debe ser aprobado por las autoridades legalmente establecidas en la región y cubrir como mínimo los temas indicados en el numeral A.2.9.3 de la NSR-98. Bajo estas consideraciones varias ciudades capitales han iniciado estos trabajos locales. Las pioneras en estos estudios son Manizales, Bogota, Medellín, Cali, Pereira y Armenia. Como se puede notar regiones de intermedio y alto amenaza sísmica. En Medellín el estudio lo viene realizando un comité conjunto compuesto por universidades, empresas de ingeniería y organismos gubernamentales el grupo se denomina : GRUPO DE SISMOLOGIA DE MEDELLÍN14 ( Universidad Nacional de Colombia, Universidad EAFIT, Integral S.A., Alcaldía de Medellín. Este grupo entrego el primer informe de su estudio en el año 1999. En la tabla 1.11 se presentan los resultados obtenidos en este primer documento.



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Tabla 1.10 Valores de Aa para diferentes capitales del país3

Ciudad Nombre Aa Zona 1 Arauca 0.15 Intermedia 2 Armenia 0.25 Alta 3 Barranquilla 0.10 Baja 4 Bogota 0.20 Intermedia 5 Bucaramanga 0.25 Alta 6 Cali 0.25 Alta 7 Cartagena 0.10 Baja 8 Cúcuta 0.30 Alta 9 Florencia 0.20 Intermedia

10 Ibagué 0.20 Intermedia 11 Leticia 0.05 Baja 12 Manizales 0.25 Alta 13 Medellín 0.20 Intermedia 14 Mitu 0.05 Baja 15 Mocoa 0.30 Alta 16 Montería 0.15 Intermedia 17 Neiva 0.30 Alta 18 Pasto 0.30 Alta 19 Pereira 0.25 Alta 20 Popayán 0.25 Alta 21 Puerto Carreño 0.05 Baja 22 Puerto inirida 0.05 Baja 23 Quibdo 0.30 Alta 24 Riohacha 0.15 Baja 25 San Andrés islas 0.10 Baja 26 Santa marta 0.15 Baja 27 San José del Guaviare 0.10 Baja 27 Sincelejo 0.15 Baja 28 Tunja 0.20 Intermedia 29 Valledupar 0.10 Baja 30 Villavicencio 0.30 Alta 31 Yopal 0.20 Intermedia

Nota: Esta tabla es tomada directamente de la NSR-98 y corresponde a la A.2.2



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Tabla 1.11 Valores de Aa obtenidos para varias zonas de la ciudad de Medellín14

Zona Nombre Aa 1 Noroccidental 0.27 2 Cuenca Iguaná 0.34 3 Belencito 0.30 4 La América 0.23 5 Laureles 0.18 6 Rió Medellín 0.18 7 Minorista 0.18 8 Campo Valdez 0.23 9 Alta Aranjuez 0.26 10 Villa Hermosa 0.38 11 Santa Helena 0.26 12 Alta San Diego 0.26 13 Poblado 0.26 14 Cristo Rey 0.20

Nota: Los valores de Aa se obtienen a partir de los espectros de diseño entregados en el informe indicado anteriormente.

Tabla 1.12 Valores de los coeficientes de importancia I

Grupo de uso Significado Coeficiente de importancia I

1 Ocupación normal 1.0 2 Ocupación especial 1.1 3 Edificios de atención a la comunidad 1.2 4 Edificaciones indispensables 1.3

Nota : Esta tabla es tomada directamente de la NSR-98 donde es definida como A.2-4

Tabla 1.13 Valores del coeficiente K para determinar el Cvx

Valor del periodo de vibración T Valor de K Si T < 0.5 segundos 1.0 Si 0.5 < T < 2.5 segundos 0.75 + 0.50 * T Si T > 2.5 segundos 2.0



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Figura 1.12 Mapa de zonificación de amenaza sísmica de Colombia. NSR-98



32

Figura 1.13 Mapa de valores de la aceleración pico esperada, Aa, en Colombia



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Ejemplo 1.3 Para la edificación indicada en el ejemplo 1.2 y que representa un edificio de apartamentos de cinco pisos ubicado en la ciudad de Medellín se requiere estimar las cargas horizontales equivalentes por efectos del sismo usando las siguientes variantes: a) Las aceleraciones dadas para el sismo de diseño de la NSR-98, b) Las aceleraciones dadas para el sismo de diseño de la zona dos (2) de la zonificación sísmica de Medellín y c) Usando El UBC-97 en zona de amenaza sísmica intermedia. Usar además los siguientes datos: Vigas de 400*400 mm Columnas de 400*400 mm La planta típica de las losas es la siguiente: 7 m 6 m 7 m VA Area= 43.56 m2 Area = 36.96 m2 Area = 43.56 m2 7 m VB V1 V2 V3 V4 La sección típica de losa es la siguiente: ..t = 50 mm hn=300 mm ..bw = 100 mm ln=800 mm

Figura 1.14 Dimensiones estructura del ejemplo 1.2 a) Solución para el sismo de diseño NSR-98 Se identifican los datos generales del problema: § Sistema estructural: Pórticos de hormigón armado resistentes a momento § Alturas de piso hi =3.0 m y la altura total es de hn =15.0 m



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§ Se usa el mapa de la figura 1.12 y la tabla 1.10 § El peso concentrado en cada piso se puede estimar y también el peso total § El terreno de fundación se asumirá tipo S2 § El edificio es de ocupación normal: apartamentos

De la tabla 1.8 se obtiene un valor de Ct = 0.08 El periodo aproximado del edificio es de T = 0.08 x ( 15 ) 0.75 = 0.61 segundos Nota: Es importante en este punto indicar que existen formulas aproximadas para revisar rápidamente este resultado. Por ejemplo una muy conocida dice que el periodo de una edificación se puede asumir igual a la décima parte del numero de pisos. En este caso se obtiene : T= 0.1*5= 0.5 segundos, valor cercano al obtenido. Para Medellín el valor de Aa = 0.20 tomado de figura 1.10 o tabla 1.9 El coeficiente de sitio en este caso se obtiene de tabla 1.12 => S = 1.2 El coeficiente de importancia de tabla 1.13 => I = 1.0 Aceleración espectral: Sa = (1.2 x 0.20 x 1.2 x 1.0) / 0.61 = 0.472 Como Tc = 0.48 x 1.2 = 0.576 y TL = 2.4 x 1.2= 2.88 => no hay limitación en Sa El peso total del edificio se estima considerando lo que aporta cada piso: Primer piso: No aporta peso al edificio porque esta directamente sobre el suelo Pisos Intermedios => losa aligerada => Peso =1.95 kN/m2 Aligerante del tipo caseton de madera => Peso =0.30 “ Acabados cielo raso y pisos => Peso =1.20 “ Muros divisorios y sus acabados> Peso =1.50 “ _________________ Peso total de losa por piso => 4.95 kN/m2 Vigas de 400*400 mm => Peso =3.84 kN/m Columnas de 400*400 mm => Peso =3.84 kN/m Cubierta: Se asumirá una cubierta en losa aligerada solo con impermeabilizante El peso total de la edificación es estima así: Peso de cada losa con acabados = 4.95 x [ 43.56 + 36.96 + 43.56 ]= 614 kN Peso de cubierta = 2.25 x [ 43.56 + 36.96 + 43.56 ]= 279 kN

Peso de vigas en losas = 3.84 x [ 2 x 20.4 + 4 x 6.6 ]= 258 kN



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Peso de columnas niveles 1,2,3 y 4 = 3.84 x 8 x ( 3.0 - 0.40 ) = 80 kN Peso de columnas ultimo piso = 3.84 x 8 x (1.5 - 0.4 ) = 34 kN Peso columnas primer piso = 3.84 x 8 x 1.5 = 46 kN Peso total edificio: W = 4 x [ 614 + 258 ] + [ 279 + 258 ] + 4 x 80 + 34 + 46 = 4425 kN La cortante basal se determina como: Vs = 0.472 x 4425 = 2089 kN El calculo de las fuerzas horizontales por piso se realiza en forma tabular. Para esto se estima primero el coeficiente K de acuerdo al periodo de vibración de la estructura => Como T = 0.61 segundos => K = 0.75 + 0.50 T = 0.75 + 0.50 x 0.61 = 1.06

Tabla 1.14 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso a)

Nivel altura Wx (kN) Wx hxk Cvx Fx (kN)

Cubierta 15 571 10076 0.24 501 4 12 952 13261 0.31 648 3 9 952 9775 0.23 481 2 6 952 6360 0.15 313 1 3 952 3051 0.07 146

Piso 0 46 0 0.00 0.00 Suma ---- 4425 42523 1.00 2089

494 kN 651 kN 481 kN 313 kN 151 kN

Figura 1.15 Valores de la carga horizontal del ejemplo 1.3 a)



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Las cargas indicadas en la tabla 1.14 son para una determinada dirección del sismo. En este caso estas cargas se pueden analizar en el mismo sentido del viento por lo tanto se puede notar claramente que bajo los efectos combinados ( viento- sismo) las cargas equivalentes por sismo superan las cargas por viento. La relación en este ejemplo indica cargas por sismo del orden de 15 a 20 veces las de viento. En los diseños de estructuras de hormigón armado solo se trabaja con las cargas laterales equivalentes obtenidas del estudio sísmico ya que la probabilidad de que se presenten los dos fenómenos simultáneamente es muy baja. La carga lateral para cada piso se reparte proporcionalmente a la rigidez lateral de cada sistema estructural ( en este caso cada pórtico). En el caso de pórticos de igual rigidez y el sismo en dirección normal al ancho del edificio, las cargas laterales en cada pórtico equivalen a la mitad de las del piso ( En este sentido solo hay dos pórticos). b) Solución para el sismo de la zona dos (2) de la ciudad de Medellín. Para esta zona se tiene un Aa = 0.34 y un suelo tipo S2 de acuerdo a NSR-98 => S =1.2 Las demás condiciones del diseño permanecen constantes por tanto solo se indicaran los resultados obtenidos.

Ct T I Tc TL 0.08 0.61 1.0 0.576 2.88

Ahora el valor de Sa = 1.2 x 0.34 x 1.2 x 1.0 / 0.61 = 0.803 Como T = 0.61 > 0.576 => no hay limitación para Sa Cortante basal Vs = 0.803 x 4425 = 3553 kN Este resultado significa un aumento del 70% en la cortante basal. Este incremento se traduce en mayores cargas horizontales equivalentes que para el sistema estructural del ejemplo se traduce en mayores desplazamientos relativos de piso y en definitiva en mayores daños en la edificación por efectos del sismo.

Tabla 1.15 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso b)

Nivel altura Wx Cvxhxk Fx

m kN kN kN Cubierta 15 571 9937 840

4 12 952 13095 1107 3 9 952 9667 817 2 6 952 6303 533 1 3 952 3034 256

Piso 0 46 0.00 0.00 Suma ---- 4425 42036 3553



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c) Usando El UBC-97 en zona de amenaza sísmica intermedia17 Para resolver el problema usando esta metodología se deben primero trasladar los datos al caso particular de esta norma.

Tabla 1.16 Datos para solucionar ejemplo 1.2 método UBC-97

DATO NSR-98 UBC-97 Localización Amenaza intermedia Zona 2B Tipo suelo S2 SC

Sistema estructural 1 3 Importancia 1 1

Tipo fuente sísmica ----- B Distancia a fuente ----- 40 km

Con los datos anteriores se procede en la determinación de los parámetros necesarios para la determinación de la cortante basal y las fuerzas horizontales equivalentes. § Dirección a considerar: Según el largo de la edificación. Para este caso el X § Sistema estructural: Pórticos de hormigón armado resistentes a momento: 1 § Localización geográfica: La ciudad de Medellín. Zona sísmica 2B § Tipo de suelo: Consistencia dura con Vs> 200 m/s. Es tipo Sc § Tipo de fuente sísmica: Falla Cauca-Romeral. Tipo B § Distancia a fuente: Aprox. 40 km § Los datos para estimar el peso son iguales a los usados en los numerales a) y b). § No se considera ningún porcentaje de carga viva como carga permanente.

Con estas primeras consideraciones y usando el código UBC-97 se obtiene: § Factor de importancia, I=1.0 § Factor de zonificación sísmica, Z= 0.30 § Coeficiente para calculo del periodo de vibración, Ct = 0.03 § Periodo aproximado de vibración de la estructura, T= 0.56 s § Coeficiente de aceleración de cercanía de la fuente sísmica, Na = 1.0 § Coeficiente de velocidad de cercanía de la fuente sísmica, Nv = 1.0 § Coeficiente sísmico de aceleración, Ca = 0.24 § Coeficiente sísmico de velocidad, Cv = 0.32 § Factor de modificación de respuesta, R = 8.5 ( Se usara 1.0 para comparar con NSR-

98) es decir las fuerzas calculadas no se disminuirán por efecto inelástico. § Peso propio de la edificación, W = 4426 kN ( calculado en numeral a) § Cortante basal, V = 2541 kN § Cortante basal máximo, Vs max. = 2655 kN § Cortante basal mínimo, Vs min. = 117 kN



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Tabla 1.17 valores de la fuerza horizontal equivalente ejemplo 1.2 caso c)

Nivel altura Wx Cvxhx Fx m kN kN kN

Cubierta 15 571 8565 586 4 12 952 11424 782 3 9 952 8568 586 2 6 952 5712 391 1 3 952 2856 195

Piso 0 46 0.00 0.00 Suma ---- 4425 37125 2540

Estas fuerzas son aproximadamente un 20 % mas altas que las obtenidas con el procedimiento recomendado por la NSR-98. Se considera para efectos prácticos que los resultados obtenidos son comparables y se pueden usar para efectos de diseño estructural. Es importante anotar que el UBC-97 recomienda calcular las fuerzas horizontales equivalentes usando el valor de R correspondiente al tipo de sistema estructural. Estas fuerzas obtenidas son apreciablemente menores que las aquí calculadas para un R =1.0. Sin embargo después de realizar el análisis estructural elástico, para las cargas laterales indicadas, los desplazamientos laterales obtenidos en cada piso se deben incrementar un 70% de R para hallar las derivas inelásticas ( Deriva inelast. = 0.70*R*Deriva elast.). Alternativamente se puede usar un análisis no lineal función del tiempo para hallar estas derivas inelásticas ( este procedimiento se conoce como análisis de segundo orden). Por el contrario en el caso de las fuerzas halladas por la NSR-98 los valores dados por el análisis estructural son directamente los desplazamientos inelásticos del sistema y con ellos se determina directamente las derivas de piso. Para observar resultados comparativos con los entregados con el procedimiento del UBC-97 es necesario usar unos valores del coeficiente de modificación de respuesta, R consistentes con el método. 1.5 SEGURIDAD Y FUNCIONABILIDAD ESTRUCTURAL 1.5.1 Generalidades El tema de la seguridad estructural es tan amplio y complejo que sin lugar a dudas se tendría que presentar separadamente en otro texto universitario. Sin embargo por ser fundamental para adquirir unos principios sólidos de diseño se requiere al menos conocer las bases elementales en que se apoya toda esta tecnología. Con estos conceptos se logra comprender mejor la filosofía actual del diseño en ingeniería siendo este ultimo punto el objetivo final que se pretende para incluirlo en este numeral. Por definición una estructura ofrece seguridad y funcionabilidad cuando:



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“Esta en condiciones de soportar, sin alcanzar un estado limite, todas las intensidades de carga, en las posiciones y combinaciones mas desfavorables, que puedan actuar a lo largo

de la vida útil para la cual fue proyectada la estructura”.

La funcionabilidad requiere: a) que las deflexiones sean adecuadamente pequeñas para que no se altere el funcionamiento de la edificación, b) que las fisuras en el hormigón se mantengan dentro de los limites tolerables y c) que las vibraciones y efectos de corrosión exterior sean minimizados satisfactoriamente. Si la resistencia de una estructura, construida como se diseña, se pudiera predecir con exactitud y si las cargas con sus efectos internos ( Momentos, cortantes, torsiones y fuerzas axiales) fueran igualmente conocidos, la seguridad podría lograrse suministrando una capacidad resistente justo por encima de la requerida por las cargas externas. Sin embargo la existencia de un gran numero de factores asociados con el análisis y diseño estructural obligan al ingeniero a utilizar un enfoque no deterministico en la solución de estos problemas. Un ejemplo de algunos factores se ilustran a continuación: § Las cargas reales pueden diferir de las utilizadas en el diseño § Las cargas reales pueden distribuirse en forma diferente a la usada en el diseño § Las hipótesis y simplificaciones en que se basan los métodos de análisis y diseño

pueden producir resultados teóricos diferentes a los observados realmente en la estructura.

§ El comportamiento real de la estructura puede diferir del asumido en los cálculos por la falta de conocimientos al respecto.

§ Las dimensiones reales de la estructura pueden diferir de las indicadas en los diseños, por practicas inadecuadas de construcción.

§ La posición del refuerzo puede variar de la indicada en los diseños. § La resistencia real de los materiales puede diferir de la indicada en los diseños.

Estas consideraciones sumadas a las consecuencias de falla de una estructura nos indican la importancia de realizar un riguroso estudio de la seguridad estructural. En algunos casos una falla podría solo ser un inconveniente fácilmente superable con algunas herramientas de rehabilitación estructural. En otros casos la perdida de vidas y de patrimonio son realmente irrecuperables para la comunidad. En este ultimo punto hay consenso general de que en estos casos lo mas importante es el estudio de la naturaleza de la falla y la forma como ella ocurre. Una falla gradual se caracteriza por manifestaciones visibles y evidentes de un colapso, por lo que permite realizar las medidas necesarias para eliminar las perdidas. Por el contrario una falla súbita es mas catastrófica y se debe tratar de evitar en la medida de lo posible. Los técnicos y científicos continúan trabajando en estos temas y en la búsqueda de mejores alternativas de diseño estructural. Históricamente el enfoque de diseño utilizado fue deterministico como lo manifiestan los documentos técnicos de la época. Es así como durante aproximadamente ochenta años ( desde 1870 hasta 1950) el conocido método de las tensiones admisibles permitía asegurar la confiabilidad de una estructura usando solo un porcentaje limitado de la resistencia de los materiales estructurales. Estos porcentajes se obtenían de pruebas de laboratorio y se



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denominaban coeficientes de seguridad. Entre mas se desconocía del comportamiento del material y de su naturaleza y resistencia el valor era mas bajo, por lo que algunos autores también los denominaron coeficientes de ignorancia. En la actualidad el enfoque de diseño es semi-probabilistico y tiene en cuenta tanto la naturaleza variable de la resistencia de los materiales como la de las cargas y sus efectos en las estructuras. Este método se denomina diseño por resistencia y es el que prácticamente utiliza la ingeniería estructural. En el caso ideal se debe utilizar un enfoque completamente probabilistico, sin embargo para ello es necesario conocer con exactitud las variaciones estadísticas tanto de las cargas como de la resistencia de los materiales durante la vida útil de una estructura. Ya que esto aun no esta disponible ( en algunas regiones altamente desarrolladas se esta recogiendo información al respecto) el problema se resuelve con el uso de unos coeficientes parciales de seguridad obtenidos estadísticamente ( Coeficientes de minoración de resistencia,Φ y coeficientes de mayoracion de cargas, γ ). 1.5.2 Variabilidad de la resistencia de los materiales La resistencia de una estructura depende de las propiedades mecánicas de los materiales usados en su construcción. La propiedad mas importante desde el punto de vista estructural es su resistencia ( tracción, compresión, flexión, cortante, torsión) por lo que en el diseño el ingeniero especifica unos valores lo suficientemente adecuados (mínimos) para que se garantice su posterior cumplimiento. Estos valores mínimos se conocen como resistencias de diseño o resistencias características del material; generalmente la tecnología los normaliza definiendo lo que se conoce como materiales de baja, media y alta resistencia. En el caso del hormigón y del acero de refuerzo la tabla 1.16 ilustra ejemplos. F(R) Rd : Resistencia de diseño Rd < R prom. Rn : Resistencia nominal Rd Rn Rprom. R

Figura 1.16 Función de densidad de probabilidad de la resistencia estructural



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Al estudiar la resistencia real de los materiales usados estructuralmente se encuentra que en realidad estos no pueden conocerse con certeza y que su estudio requiere la participación de los métodos estadísticos para estimar datos de diseño consistentes. Adicionalmente para conocer la resistencia de una estructura también se debe tener en cuenta el nivel de supervisión y control usado en su construcción ya que el tamaño y forma de los elementos estructurales pueden diferir de los exigidos en los planos, el refuerzo mal colocado, el hormigón mal compactado, mal curado y mal conservado. Es este el panorama que se vislumbra para el ingeniero proyectista por lo que no queda mas alternativa definir la resistencia de una estructura como una variable aleatoria caracterizada por una determinada función de densidad de probabilidad, figura 1.16. Aunque la forma exacta de la función no puede conocerse si puede aproximarse a una forma conocida a partir de los datos observados o mediciones experimentales de la resistencia de los materiales. En los últimos años se ha recopilado bastante información al respecto obteniendo cada vez mejor estimación estadística de las propiedades de los materiales. La figura 1.18 muestra un histograma de frecuencias de la relación entre la resistencia a la flexión teórica y real de vigas de hormigón armado obtenida en mediciones de laboratorio. Se aprecia como los métodos actuales en promedio garantizan un diseño seguro ya que el momento flector real promedio es 1.05 veces el momento flector teórico promedio. Sin embargo existe una probabilidad apreciable de que una determinada viga quede tenga resistencia inferior a la especificada. Numero de ensayos 60 50 40 30 20 10 Z= Mt / Mr

Figura 1.17 Histograma de frecuencias de la resistencia a flexión de vigas de hormigón armado. Mt: momento teórico, Mr: momento real



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Tabla 1.18 Resistencia de materiales usados en el hormigón armado

MATERIAL TIPO DE RESISTENCIA

BAJA MEDIA ALTA

Acero Tracción < 420 MPa 420-560 MPa >560 MPa

Hormigón Compresión < 21 MPa 21-42 MPa > 42 MPa

1.5.3 Variabilidad de las cargas externas Ya que las cargas externas máximas que se pueden presentar durante el periodo en servicio de la estructura no son conocidas, estas pueden considerarse como variables estadísticas de carácter aleatorio. Algunas cargas se pueden predecir con buena precisión como en el caso del peso propio, sin embargo las cargas por uso y ocupación, las de viento, las sísmicas, explosiones y hundimientos son prácticamente desconocidas. A pesar de esto la comunidad exige al ingeniero proyectar una estructura adecuadamente segura contra cualquier eventual sobrecarga. Un modelo estadístico para las cargas máximas podría aplicarse si se conociera la función de densidad de probabilidades de la respectiva carga. La forma exacta de esta distribución solo puede obtenerse a partir de registros experimentales u observaciones de campo en las estructuras reales. La figura 1.18 ilustra las características principales de un modelo de este tipo. Numerosas investigaciones se han realizado y muchas otras están en curso. Para algunas cargas existen pocos datos y estos no son completamente confiables, para otras la experiencia, juicio y observación del problema son fundamentales a la hora de tomar alguna decisión al respecto. Existen modelos bien fundamentados para las cargas por uso y ocupación y las cargas de viento. Para las sísmicas falta mas información y conocimientos. En la figura 1.18 el área bajo la curva entre las abscisas Q1 y Q2 representa la probabilidad de ocurrencia de una carga Q i de tal forma que Q1< Qi < Q2. En el diseño estructural se selecciona una carga Q d que cumpla la condición de que la probabilidad de que se presenten cargas mayores al valor seleccionado sea mínimo. Esto significa que Qd es mayor que Qprom. En realidad el valor de Qprom. Es mas representativo de las condiciones reales de carga en la estructura, pero si se diseñara con este valor no se garantizaría un adecuado margen de seguridad en la edificación. En la figura 1.19 se compara la carga viva sostenida en oficinas con áreas de 14 m2; como se aprecia esta carga en promedio es de 0.64 kN/m2 y solo el 1% de esta carga tiene una intensidad mayor de 2.15 kN/m2. Para este tipo de edificación los códigos de construcción ( ACI-318 o NSR-98 ) especifican una carga mínima para el diseño de 2.5 kN/m2. En áreas mayores la carga viva promedio se mantiene en 0.64 kN/m2 pero la variabilidad disminuye



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como se indica en la figura 1.20. Esto indica la excelente aproximación que tienen las tablas actualmente usadas para estimar las cargas vivas. F (Q) Q d : Carga de diseño Qd > Qprom. Qprom. Q1 Q2 Qd

Figura 1.18 Función de densidad de probabilidades para las cargas en una estructura 1.5.4 Cálculos probabilisticos y factores de seguridad La forma como se puede determinar la probabilidad de falla de una estructura con unos determinados materiales y frente a unas determinadas cargas se puede visualizar primero mediante la figura 1.21. En esta se ilustra en el eje horizontal la distribución estadística de la resistencia, R de los materiales y en el eje vertical la de las cargas, Q para un determinado tiempo de servicio. Con el fin de tener resultados comparativos tanto la resistencia, R, como las cargas, Q, se deben expresar en relación a una misma propiedad ( por ejemplo flexión, fuerza axial). La línea a 45° corresponde a iguales efectos de resistencia y carga. Cuando la combinación de Q y R esta por encima de esta línea, es decir Q > R se presenta la falla. Por ejemplo los efectos que produce la carga Q1 actuando sobre una estructura de resistencia R1 podrían causar la falla de la estructura, mientras que los efectos que produce la carga Q2 en una estructura de resistencia R2 representa una combinación segura.



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0.10 Frecuencia relativa 0.08 0.06 0.04 0.02 0.5 1.0 1.5 2.0 Carga ( kN/m2)

Figura 1.19 Distribución de la carga viva en oficinas1 con áreas de 14 m2 Para una determinada distribución de efectos de carga, la probabilidad de falla puede reducirse aumentando la resistencia de la estructura. Esto se podría lograr si desplazáramos a la derecha la distribución de resistencia de la figura 1.20. Adicionalmente la probabilidad de falla puede reducirse disminuyendo al dispersión de las resistencias en la estructura. Frecuencia relativa 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.5 1.0 1.5 2.0 Carga ( kN/m2)

Figura 1.20 Distribución de la carga viva en oficinas1 con áreas de 192 m2



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Efectos de las cargas, Q Q = R Q > R => Hay probabilidad de falla Q < R => Hay seguridad R1 R2 Resistencia, R

Figura 1.21 Combinaciones de carga y resistencia para efectos de seguridad estructural 7 A manera de definición se denomina margen de seguridad, M a la diferencia entre la resistencia de una estructura y los efectos de las cargas, Q.

QRM −= (1.2) Si M > 0 la estructura tiene un determinado margen de seguridad, en caso contrario cuando M < 0 la estructura es insegura. La figura 1.22 muestra la distribución de probabilidades de M, la probabilidad de falla ( Pf ) esta representada por el área sombreada en la distribución estadística.

( ) ( ) 00 ≤−=≤= QRPMPPf (1.3)

La función de M tiene un valor promedio de Mm y una desviación estándar σM. De la

figura 1.22 se puede concluir que Mm = 0 + βσM, donde β = Mm / σM . Si la distribución se desplaza a la derecha, aumentando el valor de Mm, el valor de β aumentara y el área sombreada disminuirá, por lo que se concluye que Pf es función de β. El valor β se denomina índice de seguridad.

Rm

Q2

Q1

Qm



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Si M sigue una determinada función de densidad de probabilidades (FDP) y si Mm y σM son conocidas, la probabilidad de falla puede calcularse u obtenerse de tablas como una función del tipo de distribución y del valor de β. Si por ejemplo la FDP es normal o

Gaussiana y β es 3.5 se obtiene un Mm = 3.5σM . De las tablas de integración de la función normal para un Z = 3.50 la probabilidad de tener un valor igual o menor de cero es de (1- 0.99977). Es decir la probabilidad de falla es de 0.00023 que equivale a decir que 23 estructuras de 100.000 fallan cuando β =3.5. Entre mas alto sea el valor de ß menos probabilidad de falla tiene la estructura. Por ejemplo si B = 4 la probabilidad de falla es solo de (1-0.9999683)= 0.0000317 que equivale a decir que 3 estructuras de 100.000 fallan. Los valores apropiados para Pf y β se seleccionan de acuerdo a las consecuencias de la falla. Algunos códigos y normas de diseño han propuesto los siguientes valores de β : § En fallas dúctiles donde las consecuencias de falla no son graves: β = 3.0 – 3.5 § En fallas súbitas donde hay serias consecuencias de falla : β = 3.5 – 4.0

Frecuencia relativa

β∗σM Mi = 0.0 Mm M = R - Q Área sombreada = Prob. Falla ( Pf ) = P ( M< 0) = P [ ( R - Q) < 0 ]

Figura 1.22 Significado de probabilidad de falla , margen e índice de seguridad



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En la practica es mas conveniente introducir coeficientes parciales de seguridad tanto para las resistencias estructurales como para las cargas aplicadas. Bajo este criterio se puede indicar que una estructura es segura cuando:

dn QR .. γφ ≥ (1.4)

En la que Φ es un factor de reducción de resistencia ( aplicado a la resistencia nominal del material, Rn ) y γ es un factor de mayoracion de las cargas. Si se reconocen las diferencias de variabilidad entre las capacidades resistentes de los materiales y las cargas aplicadas, es razonable y practico definir diferentes magnitudes para Φ y para γ . Por ejemplo si se consideran los efectos a flexión de las cargas muertas y las cargas vivas se debe cumplir:

( ) LDFlexionR ldn ... γγφ +≥ (1.5)

En la cual γd es un factor mayor que la unidad para la carga muerta y γl igualmente para carga viva. Cuando se consideran cargas adicionales como las del viento (W), las de sismos ( E), las de empuje de tierras ( H) se deben usar los factores adecuados para su mayoracion. De la misma forma cuando hay simultaneidad de acciones verticales mas laterales se debe utilizar un factor de reducción α que tenga en cuenta la baja probabilidad de que se presenten varios efectos al mismo tiempo en la estructura.

( ).............. ++++≥ EWLDR ewldn γγγγαφ (1.6) El formato actual de seguridad de los códigos nacionales e internacionales sigue la ecuación 1.6 como en el caso ACI-318-02, NSR-98 y del IBC-200016. 1.6 CODIGOS DE DISEÑO Y NORMAS DE CONSTRUCCIÓN 1.6.1 Marco histórico El primer compendio de normas sobre el uso del hormigón armado para la construcción de edificaciones fue realizado bajo la dirección del profesor Emil Morsch de la Universidad de Sttugard ( Alemania) y fue impreso y editado en Prusia en el año 1904. Estas regulaciones fueron utilizadas en varios países Europeos Inglaterra, Francia, Austria y Suiza durante los años 1907 y 1909. En el caso de América para el año de 1890 la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles nombro un comité sobre mampostería y en 1903 este presento las primeras especificaciones para la construcción con hormigón de cemento Pórtland. En el año de 1910 la Asociación Nacional de Usuarios del Cemento ( NACU) de los Estados Unidos presento unas regulaciones estándar para el uso del hormigón armado en la construcción. En 1913 esta asociación se conoció como el Instituto Americano del Hormigón ( ACI).



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En 1904 se estableció un comité conjunto conformado por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ASCE), la Sociedad Americana para Ensayo de Materiales (ASTM), la Asociación Americana de Ingenieros de Ferrocarriles (AREA) y la Asociación de Cemento Pórtland (PCA), para el estudio del hormigón y del hormigón armado. Este equipo de trabajo realizo entre 1904 y 1910 varias investigaciones y consultas sobre libros y artículos publicados sobre el material. El informe final de esta comisión fue publicado en 1916. A partir de esa fecha la historia de los códigos de hormigón armado en nuestro continente es liderada por el ACI. En la tabla 1.18 se muestra el desarrollo histórico de los códigos de hormigón armado en América. 1.6.2 Generalidades de los códigos de construcción El diseño y construcción de las estructuras de hormigón armado esta generalmente enmarcado dentro de ciertas restricciones y rangos de trabajo que se indican en los conocidos códigos de construcción. Estos especifican una serie de requisitos mínimos para los materiales, el análisis y diseño estructural, la construcción, el mantenimiento y control y actualmente la reparación y rehabilitación. La existencia de estos documentos es primordial para la protección y seguridad publica. No es de extrañar que la civilización ha reconocido lo anterior desde hace muchos siglos. En la antigua Babilonia un decreto promulgado por el Rey HAMMURABI y grabado en una columna de diorita, actualmente conservado en el museo de LOUVRE, en el siglo XVIII a de C. Indica lo siguiente:

“Si un constructor construye una casa, pero su obra no es lo bastante resistente y luego resulta que la casa se derrumba causando la muerte del propietario de la misma, el

constructor será condenado a muerte, si el derrumbamiento causa la muerte del hijo del dueño, se condenara a muerte el hijo del constructor.....”

Es inquietante para la humanidad saber que el primer registro histórico del que se tenga evidencia ya regulaba la vida en comunidad y penalizaba los delitos de la construcción. Esto por consiguiente debió dar origen a una cuidadosa aplicación de los conocimientos del constructor en el desempeño de sus oficios. En la actualidad cada ciudad, país o continente esta en libertad de escribir o adoptar su propio código de construcción y tener estatus legal para motivar su aplicación. En el caso por ejemplo de los Estados Unidos, hasta 1998, existían cuatro modelos de códigos generales de construcción el Uniform Building Code (UBC) el Basic Building Code ( BBC), el Southern Standard Building Code (SSBC) y el National Building Code ( NBC). Estos códigos destacan diferentes temas en su contenido tales como: § Requisitos de uso y ocupación de las estructuras § Resistencia al fuego § Requisitos de ventilación § Diseño estructural § Consideraciones especiales para cargas de viento § Aspectos sísmicos



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Tabla 1.19 Historia del código ACI para hormigón armado

FECHA PUBLICACION 1910 Primeras regulaciones oficiales para la construcción NACU 1925 Primeras regulaciones del ACI 1936 Informe ACI-501-36 1941 Informe ACI-318-41 1947 Informe ACI-318-47 1951 “ ACI-318-51 1956 “ ACI-318-56 1963 “ ACI-318-63 1971 “ ACI-318-71 1977 “ ACI-318-77 1983 “ ACI-318-83 En Colombia se Publica CSR-1400-84 1989 “ ACI-318-89 1995 “ ACI-318-95 En Colombia se Publica NSR-98 1999 “ ACI-318-99 2002 “ ACI-318-02

Como se puede notar, a diferencia de otras naciones, los Estados Unidos no tiene un código nacional que regule el diseño y construcción de las edificaciones. Sin embargo a mediados del año 1998 se publica el primer borrador de un código modelo general para los Estados Unidos que se conoce como el International Building Code (IBC). Este documento revisado y actualizado por la Building Officials and Code Administrators International, Inc (BOCA) se publica oficialmente iniciando el siglo XXI y se conoce como el IBC-2000. En el tema especifico del diseño y construcción de edificios de hormigón armado tanto los codigos modelo regionales como el código internacional hacen referencia a las regulaciones del Instituto Americano del Hormigón (ACI) específicamente al documento “ Requisitos de construcción para un código de hormigón armado ACI-318-99”. Este documento en si no tiene estatus legal pero al incorporarlo a un código general de construcción adquiere la categoría de reglamento oficial. Es importante para el ingeniero estructural tener presente que:

“ Un código de construcción, legalmente adoptado, previene a la población de los daños y perjuicios ocasionados por la aplicación de practicas inadecuadas de construcción.

Este desde luego especifica unos requisitos mínimos que están de acuerdo con una seguridad adecuada de la estructura. Es necesario aclarar que un código de

construcción no es manual de practicas, ni un libro de diseño ni tampoco es su objetivo reemplazar el conocimiento juicio y experiencia del ingeniero en su actividad

profesional. Este por lo consiguiente no debe relevar al diseñador de la responsabilidad de que su estructura sea segura, confiable y económica”.



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1.6.3 El código ACI y sus requisitos de diseño. En los numerales 1.6.1 y 1.6.2 se explicaron los antecedentes y el soporte investigativo que se realizo para la implantación de los diferentes codigos de construcción y particularmente para el código ACI-318 que ha servido de modelo para el caso del diseño y construcción de estructuras de hormigón armado. El ACI permite actualmente dos procedimientos de diseño: El diseño por resistencia y el diseño unificado (apéndice B). El método mas usado para dimensionar y reforzar las estructuras de hormigón armado es el

denominado por resistencia. Este se fundamente en los factores de resistencia Φ y los de

carga γ. Este procedimiento es esencialmente un diseño por estados limites. El capitulo 9 del código ACI-318- (02) presenta la filosofía básica del diseño por resistencia. El termino

resistencia de diseño se refiere al valor Φ Rn y el termino resistencia requerida se refiere a

los efectos internos que se producen en la estructura por acción de las cargas : γD D + γL L

+ γW W + γE E ...... . Hasta la versión ACI-318-99 se disponía del método alternativo del apéndice A el cual era un procedimiento por tensiones admisibles ( o de trabajo). En este el diseño se fundamenta en las cargas de servicio ( sin mayorar) y en la resistencia admisible de los materiales. En el caso de diseño a flexión este método recomienda que las máximas tensiones en los materiales hormigón y acero no excedan los limites admisibles de 0.45 la resistencia a compresión del hormigón ( f´c) y 170 MPa para la resistencia a tracción del acero ( fy = 420 MPa). El diseño plástico, también conocido como diseño limite ( no se debe confundir con el diseño por estados limites) o diseño por capacidad es un procedimiento que considera la posibilidad de la redistribución de tensiones en secciones criticas ( zonas de concentración de fuerzas internas como por ejemplo nudos, mensulas, codos, regiones bajo cargas concentradas, vigas pared ) en donde se forman articulaciones plásticas que llevan a la estructura a un mecanismo de colapso plástico. Este concepto es fundamental en el diseño por efectos sísmicos en donde la posibilidad de la estructura a la formación de articulaciones plásticas es alta y se requieren por tanto diseño mas complejos como el diseño dúctil ( mas allá del rango elástico). 1.6.4 Factores de carga y de resistencia del ACI Los requisitos de seguridad dados en el código ACI se dan en forma de ecuaciones como las 1.5 y 1.6 utilizando los factores de reducción de resistencia y los de mayoracion de carga. Adicionalmente la sección 9.2 del ACI-318-02 presenta los factores de carga con sus combinaciones mas frecuentes que se deben utilizar en el calculo de los efectos de las cargas en las estructuras.



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En el código el símbolo “u” se refiere a la combinación de cargas mayoradas y los símbolos Mu, Vu, Nu y Tu se refieren a los efectos por cargas mayoradas ( Flexión, cortante, Axial y torsión respectivamente). El código ACI usa el termino resistencia requerida al hablar de los efectos de las cargas mayoradas.

( )FDU += .4.1 (1.7.a)

( ) ( ) ( )RSLHLTFDU r ,,.5.0.6.1.2.1 +++++= (1.7.b)

( ) ( )WLRSLDU r .8.0,.0.1,,.6.1.2.1 ++= (1.7.c)

( )RSLLWDU r ,,.0.1.5.0.6.1.2.1 +++= (1.7.d)

SLEDU .2.0.0.1.0.1.2.1 +++= (1.7.e)

HWDU .6.1.6.1.9.0 ++= (1.7.f)

HEDU .6.1.0.1.9.0 ++= (1.7.g) En Donde: D: Carga muerta F: Carga debida al presión lateral de fluidos, se considera la altura máxima. T: Fuerzas internas debidas a la fluencia, retracción y temperatura L: Carga viva H: Carga debida al peso y presión lateral del suelo. Incluye la presión del agua en el suelo. Lr: Carga en el techo o cubierta S: Carga de nieve R: Carga de lluvia W: Carga debida al viento E: Carga por sismo Los factores de carga para “ L “ en la ecuaciones 1.7.c, 1.7.d y 1.7.e se pueden reducir a 0.5 excepto en garajes, áreas publicas y en general cuando “ L “ es mayor de 5.0 kN/m2. Cuando la carga de viento “ W “ no se ha reducido por el factor de dirección, el código permite usar un factor de 1.3 en lugar del 1.6. Si la carga por sismo “ E “ se basa en fuerzas sísmicas a nivel de servicio, se debe usar el factor de 1.4 en lugar de 1.0 en las ecuaciones 1.7.d y 1.7.g.



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El factor de carga para “ H “ en la ecuación 1.7.f y 1.7.g es igual a cero si la acción estructural debida a “ H “ contrarresta la debida a “ W “ o “ E “. Cuando la presión lateral de tierra suministra resistencia contra la acción de otras cargas, esto no se debe incluir en “ H “ pero si tenerlo en cuenta en la resistencia de diseño. De otra parte el numeral 9.3 del codigo ACI-318 especifica los factores de reducción de resistencia, Φ para diferentes efectos en las estructuras. La tabla 1.20 ilustra los valores recomendados en el diseño. En regiones de alta sismicidad se pueden usar factores Φ mas bajos que los anteriores para el caso de esfuerzos cortantes y en columnas por la falta de conocimientos experimentales en este campo ( ver ACI 9.3.4). Todo lo expuesto en este numeral se fundamenta en una amplia información experimental y en el análisis estadístico, juicio y experiencia de importantes organizaciones profesionales. El compromiso entre seguridad y economía es la plataforma en que se basan los adelantos en este campo. El ingeniero debe recordar que si cumple la relación dada en la ecuación 1.4 la probabilidad de falla es muy baja.

Tabla 1.20 Factores de reducción de resistencia4

TIPO DE RESISTENCIA FACTOR DE REDUCCIÓN,

Φ Flexión sin carga axial 0.90 Tracción o flexión mas tracción 0.90 Compresión y compresión mas flexión con refuerzo en espiral 0.70 “ “ “ “ en otros casos 0.65 Cortante y torsión 0.75 Apoyo sobre el hormigón ( Excepto en pretensado) 0.70 Zonas de anclaje en pretensado 0.85 La aplicación conjunta de los valores ? y F indicados anteriormente en el diseño definen una probabilidad de subresistencia de 1/100 y una probabilidad de sobrecarga de 1/1000. La probabilidad conjunta, que es la probabilidad de falla es :

Prob. De falla = (1/100)*(1/1000) = 1/100000 = 10-4

Es decir el margen de seguridad es de 4 [ o sea el cologaritmo de 10-4 ]que significa que de 100.000 estructuras o elementos estructurales diseñados con estos coeficientes solo uno fallara. Por lo general las probabilidades de falla en las construcciones debe ser baja sin embargo es importante considerar los efectos económicos que con llevan a proyectos inalcanzables cuando se usan mayores coeficientes de amplificación de las cargas y menores factores de reducción de resistencia.



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1.6.5 Códigos Colombianos de construcción 1.6.5.1 Primera época. Hasta 1983 Históricamente la ingeniería Colombiana utilizo los códigos Americanos fundamentalmente el ACI-318 para el hormigón armado y el UBC para propósitos generales aplicando estas prescripciones directamente en los proyectos de ingeniería. Se tenían traducciones del ACI-318-77 realizadas por ingenieros Colombianos y publicadas por el Instituto colombiano de Productores de Cemento Estructurales en el año de 1978. Además se trabajaba en la parte sísmica con traducciones de los documentos ATC-3 , SEAOC y UBC. El primer mapa sísmico de Colombia fue realizado en un proyecto de grado dirigido por el profesor Alberto Sarriá de la Universidad de los Andes en 1972 y presentado por J.M. Atuesta. En 1978 el profesor Sarriá presento algunas modificaciones al primer documento. Otros mapas como los del Ingeniero Gabriel Estrada Uribe, Interconexión Eléctrica S.A. también estaban disponibles para fines de la década del 70. Los sismos ocurridos a finales de 1979 y que representaron grandes perdidas en varias regiones del territorio nacional fueron los que motivaron el inicio para la redacción de unas normas de diseño y construcción de carácter obligatorio. A fines del año 1981 se publica la norma ICONTEC-2000 para la construcción de estructuras de hormigón armado y la norma ACIS-100 para el diseño sísmico. El sismo de Popayán de Marzo 31 de 1983 marco una nueva etapa en la normalización del diseño y construcción en Colombia. Las primeras estimaciones de daños indicaban perdidas por mas de cuatrocientos millones de dólares. 1.6.5.2 Decreto ley 1400-84 “Código Colombiano de Construcciones sismoresistentes” Después del sismo de Popayán el gobierno nacional encargo, de manera urgente, al ministerio de obras publicas la tarea de implementar un compendio de normas para el diseño y construcción considerando el lamentable suceso presentado en Popayán. El ministerio con la ayuda de la Sociedad Colombiana de Ingenieros (SCI) decidió encomendar a la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (AIS) la elaboración de la parte técnica del documento. La asociación disponía del trabajo realizado por la Norma AIS-100 en la parte sísmica, la norma ICONTEC-2000 en el hormigón armado y el codigo de estructuras metálicas de Fedestructuras. El decreto ley por el cual se establecía el primer codigo Colombiano de construcciones fue firmado por el Sr. presidente de la Republica Dr. Belisario Betancurt Cuartas y se conoció también como el MOP-1400-84. El Gobierno Nacional consciente de que un documento como tal debe ser actualizado periódicamente con el avance del conocimiento creo la comisión permanente del codigo por decreto 2170 de 1984. Esta comisión debía al menos actualizar el documento cada ocho años en forma similar a la actualización del codigo ACI-318.



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El codigo 1400 contiene seis títulos así: A: requisitos para el diseño sísmico, B: las cargas aplicadas, C: la construcción de hormigón armado, D: la mampostería, E: las casas de uno y dos pisos y la F: las estructura metálicas. 1.6.5.3 Norma Sismo Resistente Colombiana. NSR-98 Posterior a la publicación del decreto 1400 se incremento a nivel mundial la investigación en el diseño sísmico. Las normas UBC se actualizan, lo mismo que las disposiciones ATC con los resultados obtenidos de los sismos de México, Loma Prieta, Kobe, Northridge, Turquía. Aparecen nuevas disposiciones con mas criterio para el diseño. Se proscriben algunas practicas de diseño inseguras y se le da gran importancia al diseño dúctil en rango inelástico de las estructuras. Para reflejar estas tendencias en Colombia la ACIS comienza a inicios de la década del 90 una labor de actualización de las normas sísmicas con el apoyo del Fondo Nacional de Calamidades. Los primeros resultados se dan para el año de 1994 con el documento AIS-100-94 el que posteriormente es denominado decreto ley 400 del 19 de agosto de 1997. El decreto definitivo que le da estatus legal a las disposiciones es # 33 del 9 de enero de 1998. La NSR-98 describe el panorama sísmico actualizado para el país. Presenta estrategias de diseño estructural que deben adaptarse para minimizar la vulnerabilidad de las edificaciones ante la ocurrencia de futuros sismos. Esta compuesta por cinco títulos adicionales a los del decreto 1400. Cada uno de los títulos fue actualizado, ampliado y referenciado correctamente. Sin lugar a dudas es un documento excepcional que permite mejorar sustancialmente la correcta practica de la ingeniería estructural. En el numeral B.2.4 se presentan las combinaciones de carga que se deben usar en el diseño estructural. Estas difieren ligeramente de las recomendadas por el ACI-318-02 y es importante nuevamente enumerarlas: § U = 1.4 D + 1.7 L § U = 1.05 D + 1.28 L + 1.28 W § U = 0.9 D + 1.3 W § U = 1.05 D + 1.28 L +1.0 E § U = 0.9 D + 1.0 E § U = 1.4 D + 1.7 L + 1.7 H § U = 1.05 D + 1.28 L + 1.05 T § U = 1.4 D + 1.4 T

1.6.5.4 Estado Actual de los códigos de construcción A nivel mundial la tendencia es la de unificar, mediante códigos generales que agrupan varios países, las recomendaciones generales para el diseño y construcción de edificaciones. Esta es la dirección que han tomado tanto los países Europeos como los Norteamericanos. En Europa se tiene el conocido Eurocódigo y en estados Unidos el recién Código Internacional de Construcción (CIB-2000).



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1.7 OBJETIVOS Y PROCEDIMIENTOS DEL DISEÑO ESTRUCTURAL Una estructura diseñada correctamente debe cumplir los siguientes objetivos: § Apropiada según necesidades del propietario: Arquitectura § Económica: Arquitectura + Ingeniería § Segura: Ingeniería § Durable: Ingeniería

Con el fin de cumplir los objetivos planteados, se debe seguir durante todo el proyecto un procedimiento ajustado y coordinado a las características particulares del trabajo. En general son varias las fases operativas: § Definición de necesidades y prioridades del propietario. Grupo de

profesionales que gerencia el proyecto ( Arquitectos, Ingenieros, abogados, administradores ).

§ Realización de anteproyectos. Se busca la solución optima. Arquitectos e Ingenieros ( Estructurales, geotécnicos, Hidráulicos, mecánicos, eléctricos).

§ Ejecución Proyecto definitivo. Diseños, Planos, Licitación o adjudicación directa ( Grupo de diseñadores, propietario y gerencia proyecto).

§ Construcción de obras e instalación de elementos. Trabajo de campo ensamble, verificaciones y controles.( Ingenieros y Arquitectos)

§ Puesta en servicio, mantenimiento y reparación. Durante el tiempo de uso. Propietario y equipo técnico asesor).



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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La viga dintel de la figura es de hormigón armado con un b = 400 mm y un h = 500 mm tiene una luz libre de 3.50 m y soporta además de su propio peso un muro de ladrillo de 150 mm de ancho y altura de 3.0 m. En la parte superior el muro recibe una losa de 1.50 m de ancha y de 100 mm de espesor que soporta una carga viva de 2 kN/m2. Determinar a) la carga viva y muerta que actúan sobre la viga, b) la carga ultima según la NSR-98. L = 3.50 m 2. Para la edificación de 7 pisos indicada en el grafico y localizada en la ciudad de Medellín con planta rectangular de ancho 15 m y largo 30 m, destinada a vivienda, se requiere determinar las cargas laterales por viento y por sismo en las direcciones dadas usando las recomendaciones de la NSR-98. Utilizar una altura de piso constante e igual a 3.0 m. Indicar al menos cinco combinaciones de carga para el diseño estructural de la edificación. Viento Viento 15.0 m 30.0 m 8.0 m 7.0 m Usar : Losa maciza de 125 mm de espesor Vigas de b = 400 mm h = 500 mm Sismo Columnas de 400*400 mm



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3. En un estudio experimental de resistencias a flexión en vigas de hormigón armado se encontró un valor promedio de Mr = 45 kN*m con una desviación típica de 8.0 kN*m. Si se asume una distribución Gaussiana determinar cual es la resistencia mínima que garantiza un : a) 95 %, b) 99% y c) 99.9% de valores superiores. F(Mr) 8 8 Mr.min 45 Mr ( kN*m) 4. En el ejemplo anterior determinar cual es la probabilidad de subresistencia si el valor asumido para la resistencia de la viga es de a) 35 kN*m, b) 30 kN*m y c) 20 kN*m. Analizar los resultados. 5. En un estudio de campo sobre la magnitud de las cargas por uso y ocupación en edificios destinados a vivienda se encuentra un valor promedio de 1.2 kN/m2 con una desviación típica de 0.85 kN/m2. Considerando una distribución Gaussiana determinar cual es la carga máxima que garantiza un : a) 80%, b) 90% , c) 99.9% de valores inferiores a ella. F(qv) 0.85 0.85 1.2 Carga viva ( kN/m2)



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6. Si la carga viva máxima especificada para una edificación destinada a vivienda es de 2.0 kN/m2 y los resultados observados en el campo reflejan un comportamiento similar al de la distribución indicada en el ejemplo 5 determinar cual es la probabilidad de sobrecarga. Cual debe ser la carga viva máxima que garantiza una probabilidad de excedencia igual a 0.001.

7. Las vigas de un edificio de hormigón armado se diseñan para las siguientes

combinaciones de carga ( qd ) y resistencia ( Rd ): a) qd = 70 kN*m Rd = 125 kN*m, b) qd = 32 kN*m Rd = 135 kN*m . Determinar la probabilidad de falla y el margen de seguridad para las siguientes estadísticas:

§ Resistencia media= 175 kN*m § Desviación típica de la Resistencia= 35 kN*m § Carga de diseño media= 135 kN*m § Desviación típica de la carga= 55 kN*m Para una resistencia de diseño Rd= 125 kN*m hallar la cargas de diseño que garantiza una probabilidad de falla de 10-4. Usar distribución Normal.

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1

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ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA.2003

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2 PROPIEDADES DE LOS COMPONENTES DEL HORMIGÓN ARMADO 2.1 GENERALIDADES Para un correcto manejo e interpretación de los procedimientos de diseño estructural del hormigón armado, es fundamental para el ingeniero adquirir un adecuado conocimiento no solo de las propiedades individuales del hormigón sino las del acero de refuerzo. Solo de esta forma se puede garantizar un diseño práctico, seguro y económico. Las propiedades que hacen del hormigón un material estructural eficiente son: su capacidad para resistir cargas de compresión, facilidad de fabricación e instalación, relativo bajo costo. Otras propiedades tales como: su resistencia al intemperismo, la retracción, la fluencia y las deformaciones bajo cargas de servicio están prácticamente relacionadas con su resistencia a la compresión. Es por esto que la mayoría de las normas y códigos de construcción especifican como característica fundamental del material su resistencia a la compresión. En el caso del acero su uso esta completamente justificado por su alta capacidad para resistir cargas que producen compresión o tracción. En el caso del hormigón armado el acero es el material que le brinda al hormigón la capacidad para atender otras tensiones diferentes a las de compresión. Es el caso de la flexión, la cortante y la torsión. La propiedad que identifica al acero en el diseño estructural es su resistencia a la tracción. Al igual que en el hormigón, otras propiedades están relacionadas con esta y facilitan considerablemente las tareas de calculo estructural. 2.2 EL HORMIGÓN Y SUS PROPIEDADES En la construcción se reconocen básicamente dos tipos generales de materiales: los que están en capacidad de resistir y transmitir cargas con alta seguridad y aquellos que solo soportan su propio peso y ocasionalmente una pequeña fracción de carga adicional sin seguridad. A los primeros se les reconoce como materiales estructurales y el hormigón es un prototipo o ejemplo de estos. A los segundos se les denomina elementos decorativos o arquitectónicos y no son tema de estudio en este texto. El hormigón por naturaleza es un material heterogéneo, anisotropico e inelástico lo que complica su modelación numérica. Presenta en su proceso de formación dos etapas claramente definidas y de gran importancia para el ingeniero estructural: el periodo de fraguado que tiene una duración normal entre una y seis horas. Y el periodo de endurecimiento el cual se inicia simultáneamente con el fraguado y continua en el tiempo mientras se mantengan condiciones adecuadas para la hidratación del cemento. Las características de la primera etapa se relacionan con su capacidad para dejarse mezclar, transportar y colocar en el sitio final y con su comportamiento durante estas primeras horas de fabricado. Tales propiedades están afectadas en gran medida por la composición y homogenización del material, y por los cambios físicos, térmicos y volumétricos que se manifiestan a esta edad. Entre los aspectos principales se tienen: la trabajabilidad, plasticidad, consistencia, exudación, segregación, fraguado, contenido de


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aire, contracción y expansión. De todas estas las mas representativas para el estudio del hormigón son: la trabajabilidad y el contenido de aire. La trabajabilidad se puede definir como la cantidad de energía requerida para compactar el material en las formaletas. Esta estrechamente ligada a su composición y consistencia. Un hormigón de consistencia fluida requiere menos energía que uno seco. La medida indirecta mas utilizada para evaluar esta propiedad es el ensayo de asentamiento. Este mide el nivel de consistencia del hormigón con una prueba simple y practica (Norma NTC-396). El aire en el hormigón esta presente en dos formas, el aire atrapado durante su fabricación y colocación y se denomina AIRE OCLUIDO y el aire adicionado intencionalmente para mejorar algunas características del material AIRE INCLUIDO. En ambos casos el contenido de aire modifica las propiedades del hormigón principalmente la resistencia y durabilidad. Existen métodos normalizados para su estimación como los presentados en las normas NTC- 1028 y 1032 En la segunda etapa el material adquiere gradualmente las características de un sólido capaz de resistir cargas externas. En esta fase es importante estudiar sus propiedades mecánicas, su durabilidad y su reología. Es este el periodo fundamental para la ingeniería estructural porque de su estudio se obtienen los parámetros básicos para el diseño como son: La resistencia a compresión, a tracción, módulos de deformación, la retracción, la fluencia y el comportamiento tensión-deformación. El proceso de endurecimiento del hormigón con el tiempo es gradual y la velocidad de reacción depende principalmente de los tipos de aglomerantes. En el caso del hormigón de cemento calcáreo tipo Pórtland ordinario, que es el mas frecuente, los primeros siete días la resistencia crece rápidamente hasta alcanzar un alto porcentaje de la resistencia posterior. (Con fines prácticos la resistencia posterior se ha estandarizado arbitrariamente a los veinte y ocho días . En algunos proyectos especiales como represas y pavimentos se ha utilizado como resistencia posterior los noventa días y algunas veces los ciento ochenta días. En estos últimos casos los cementantes usados tienen características puzolanicas o son cementos adicionados de reacción lenta). Estadísticamente se ha establecido que a los siete días se tiene entre un 60 y un 80% de la resistencia a los 28 días. Después de esta edad la rata de crecimiento es cada vez mas lenta y estudios experimentales indican que a los noventa días solo se ha aumentado la resistencia entre un 10 y 15%. Para un año entre el 15 y 20 % y finalmente entre 5 y 10 años la resistencia solo se ha incrementado máximo un 25%. Estos incrementos después de 28 días por lo general no son considerados en los diseños y cualquier aumento posterior solo mejora la confiabilidad de la estructura. Algunas formulas empíricas se han propuesto para modelar matemáticamente el proceso de endurecimiento del hormigón con el tiempo. Sin embargo estas son solo ecuaciones ilustrativas porque su aplicación esta restringida a las características particulares de cada proceso de modelación. Es recomendable que cada industria productora del material realice periódicamente estudios para obtener, actualizar o modificar las ecuaciones de proyección de resistencia. Es mediante este procedimiento como se puede confiar en los valores obtenidos de estas ecuaciones.


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§ Formula de Ros:

)(

´)´(

32

32

tb

ftaf c

tc

+

××= ( 2.1 )

En donde: (fć)t : Resistencia a compresión del hormigón a los t días. a y b : Constantes empíricas obtenidas estadísticamente. Ver tabla 2.1 t : edad en días del hormigón fć : Resistencia a compresión del hormigón a los veinte y ocho días.

Tabla 2.1 Valores de las constantes empíricas de la ecuación de Ros

Consist encia del hormigón

a b

Plástica 1.50 4.61 Semi-seca 1.40 3.69

Seca 1.36 3.91

RESISTENCIA SEGUN EL MODELO DE ROS

0.00

0.50

1.00

1.50

0 100 200 300 400

TIEMPO ( DIAS)

fć(

t)/ f

ć

Figura 2.1 Resistencia del hormigón con el tiempo según Ros


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§ Instrucción española del hormigón (H.A.)

)20(´)1035.1(

)´(t

ftf c

tc +×+×

= ( 2.2 )

§ Normas Japonesas del hormigón armado (JIP): Para t < 28 días

( ) [ ] ( )tff ctc +××= 1log´685.0´ ( 2.3 )

§ Normas venezolanas (COVENIN)

)16(´)8285.1(

)´(t

ftf c

tc +×+×

= ( 2.4 )

§ En Estados Unidos: t < 28 días

05.1409.0

]81.4

´[)´( c

tcft

f×

= ( 2.5 )

§ Comité 209 del ACI:

)85.04(´

)´(t

ftf c

tc ×+×

= ( 2.6 )

En las figuras 2.1 , 2.2 y 2.3 se muestran gráficamente los modelos matemáticos de las ecuaciones 2.1 a 2.6 en estas se puede apreciar visualmente las características de crecimiento de la resistencia del hormigón indicada por varios autores. La tabla 2.2 indica las relaciones relativas de resistencia con el tiempo resaltando las edades de 1, 3, 7, 14, 21, 28, 56 y 90 días como las mas representativas en la medición de esta propiedad del material.


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RESISTENCIA SEGUN VARIOS MODELOS

0.00

0.200.40

0.600.80

1.001.20

0 10 20 30

EDAD ( DIAS)

f´c

( t

) / f

´c ESPAÑAVENEZUELAJAPON USA

Figura 2.2 Resistencia del hormigón con el tiempo según varios países

Se puede notar como a un día la resistencia del hormigón ha alcanzado entre un 20 a 30% de la de 28 días, a 3 días entre un 40 y 50%, a 7 días entre 60 y 70%, a 14 días entre un 80 y 90% y a 21 días entre un 90 a 95%. Lo anterior significa que un hormigón cuya resistencia especificada a 28 días es de 35 MPa tiene las siguientes resistencias a diferentes edades: § Si t =1 día => 7.0 y 10.5 MPa § Si t = 3 días => 14.0 y 17.5 MPa § Si t = 7 días => 21.0 y 24.5 MPa § Si t = 14 días => 28.0 y 31.5 MPa § Si t = 21 días => 31.5 y 33.2 MPa

Estudios realizados en trabajos de grado ( Referencia ..) indican porcentajes similares a los indicados en los párrafos anteriores. La tabla 2.3 muestra los resultados obtenidos usando cementos calcáreos y agregados pétreos de industrias locales. En estos hormigones no se han usado ni aditivos ni adiciones. Además los valores representan los mínimos y máximos estadísticos con un intervalo de confiabilidad del 95 % a partir de una distribución t-student-Gosset.


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RESISTENCIA DEL HORMIGON DESPUES DE 28 DIAS

0.000.501.001.502.002.503.00

0 1000 2000 3000 4000

EDAD ( DIAS)

fć

( t

) / f

ć

JAPON USA

Figura 2.3 Resistencia después de 28 días del hormigón según JIP y ACI

Tabla 2.2 Valores relativos fćt / fć del hormigón respecto al tiempo

EDAD ESPAÑA VENEZUELA JAPON USA

1 0.54 0.55 0.21 0.21

3 0.61 0.62 0.41 0.46

7 0.72 0.74 0.62 0.70

14 0.85 0.87 0.81 0.88

21 0.94 0.95 0.92 0.96

28 1.00 1.00 1.00 1.01

Tabla 2.3 Valores relativos de la resistencia del hormigón con materiales locales

Edad ( días )

1 3 7 14 21 28

fćt / fć 0.10 - 0.20 0.30 - 0.45 0.55 - 0.65 0.70 - 0.85 0.80 - 0.95 1.0 Se recomienda usar los valores mínimos de cada rango cuando se trabaja con hormigones cuya relación agua / cementante es menor de 0.45.


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Ejemplo 2.1 Para la construcción de un puente con vigas pretensadas postraccionadas se requiere un hormigón que a los 3 días tenga una resistencia a la compresión de fć 3d = 21 MPa. Determinar cual debe ser la resistencia de calculo estructural especificada en los planos para lograr esta capacidad mecánica. Utilizando la tabla 2.3 => 21 / fć = ( 0.30 – 0.45) Con el mínimo del rango ( A / C) < 0.45 => f c = 21 / 0.30 = 70 MPa Con el máximo del rango ( A / C) > 0.45 => fć = 21 / 0.45 = 47 MPa En ambos casos están dando hormigones de fć > 42 MPa es decir de alta resistencia. En estos casos se deben usar cementos de alta resistencia, agregados limpios y bien gradados, aditivos de alto poder reductor de agua y adiciones activas que aumenten la capacidad mecánica del material. En otras palabras se requiere un hormigón de altas prestaciones o de alto desempeño en este proyecto. Al igual que la resistencia a la compresión se podría también haber especificado la resistencia a tracción, el modulo de deformación longitudinal o transversal, la resistencia al desgaste, la fluencia o la retracción. Todos estos aspectos se deben estudiar para lograr el máximo aprovechamiento del material. El estudio de las propiedades del hormigón que mas influyen en el diseño son las que se refieren a su estado sólido es decir después de fraguar y durante el proceso de endurecimiento. En esta fase adquiere las características deseables para comportarse como un material estructural, con capacidad para soportar o transmitir cargas. Las propiedades a describir son : Resistencia a compresión, a tracción, a cortante, a torsión, comportamiento tensión deformación en compresión, modulo de deformación longitudinal y transversal, retracción, fluencia, durabilidad y fatiga. 2.2.1 Resistencia a compresión Se define como la capacidad mecánica que tiene el material para soportar cargas en la misma dirección y en el mismo sentido. Es bajo estas solicitaciones donde se registra el mejor comportamiento del material y efectivamente donde se puede aprovechar eficientemente en la ingeniería estructural. La figura 2.4 muestra esquemáticamente la acción de estas cargas en diferentes estados uniaxial, biaxial y triaxial, usando una forma cúbica y otra cilíndrica como prototipos de las probetas estándar. 2.2.1.1 Resistencia a compresión simple, uniaxial Esta es la representación mas simple para evaluar las propiedades a compresión del material pero a su vez la mas alejada de cómo este trabaja en realidad. Sin embargo es este el método que se ha normalizado como representativo del material y todas las formulaciones de diseño se fundamentan en esta medida. La resistencia al igual que las otras propiedades mecánicas dependen de muchos factores entre los cuales se destacan: La forma de la probeta, la edad de medición, la relación de componentes, el método de fabricación, almacenamiento y finalmente el procedimiento de prueba.


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a. Compresión uniaxial: f c o s cu

b. Compresión biaxial

c. Compresión triaxial

Figura 2.4 Medición de la resistencia a compresión en probeta cilíndrica y cúbica


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El uso de métodos estándar se hace obligatorio para cuantificar esta propiedad fijando entre otros los siguientes aspectos: forma de la probeta, dimensiones, la fabricación el almacenamiento y los métodos de prueba. En este sentido la resistencia queda dependiendo solo de la composición del material y de la edad de ensayo. Las probetas que se han universalizado para este fin han sido la cúbica y la cilíndrica La cúbica es muy usada por la normas Británicas (B.S) y la cilíndrica por las normas ASTM. En nuestra normativa (ICONTEC) se ha seguido tradicionalmente las normas Americanas y se conserva con muy pocas variaciones los métodos ASTM para evaluar las características del material. En el caso de la resistencia a compresión uniaxial el ICONTEC sugiere los procedimientos: § NTC-454 : Muestreo del hormigón fresco § NTC-550 : Toma de probetas cilíndricas en la obra § NTC-673 : Ensayo de compresión simple § NTC-1377: Toma de cilindros en el laboratorio § NTC-1513: Ensayos acelerados para estimar la resistencia a compresión

En resumen el cilindro normalizado debe tener una relación altura-diámetro de 2 a 1 es decir con esbeltez dos (2). El diámetro de la probeta cilíndrica (Φ) depende del tamaño máximo del agregado (TM) utilizado indicando que: Φ ≥ 5*TM. En la mayoría de los casos el tamaño del agregado no supera los 30 mm por lo que el diámetro mas recomendable para la formaleta es de Φ = 150 mm. De otra parte con hormigones de agregados mas finos se pueden usar probetas con diámetros de 100 mm, 75 mm y aun de 50 mm. Varios estudios estadísticos se han realizado para comparar los resultados obtenidos en estos casos ( Referencia tesis de Juan Carlos). Considerando las probetas estándar de 150x300 mm como los testigos mas utilizados en la evaluación de la resistencia del hormigón se ha cimentado toda una ciencia estadístico-experimental que se denomina “ TECNOLOGÍA DEL HORMIGÓN”. En realidad la resistencia de los cilindros no representa la resistencia del hormigón en la estructura. Estos son valores estadísticos que pertenecen a una propiedad intrínseca del material y que se deben analizar y representar mediante las herramientas numéricas adecuadas. El comité ACI-214 presenta un compendio de métodos recomendados para realizar este trabajo. Por definición la máxima carga de compresión que resiste el cilindro estándar dividida por el área transversal es la resistencia cilíndrica del hormigón y se ha representado en la literatura técnica por la sigla : “ f´c ”. La edad de falla se ha fijado arbitrariamente en los 28 días ya que como se menciono en el numeral anterior a esta edad prácticamente se ha logrado mas del 80 % de la resistencia final del material. Aunque como se ha dicho anteriormente se pueden fijar otras edades para esta evaluación es importante mencionar que con cementos rápidos Pórtland tipo 3 a los siete días ya adquiere prácticamente la resistencia final y con cementos lentos Pórtland tipo 4 o puzolanicos se debe esperar hasta mas de 180 días. En un proceso continuo de fabricación del hormigón usando la misma procedencia de los materiales e iguales métodos de fabricación y transporte (caso frecuente en


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instalaciones de obra o en plantas de mezclas) la toma de probetas cilíndricas para evaluar la resistencia del material es continua. Al menos diariamente se debe extraer una muestra del hormigón producido, cada una compuesta de al menos un par o una terna de probetas cilíndricas. Cada muestra se puede organizar por edades de falla de acuerdo al numero de parejas o ternas muestreadas. Obligatoriamente se debe ensayar una pareja a los 28 días y dejar una pareja testigo almacenada durante el tiempo que dure la obra y luego a solicitud del dueño el tiempo que él defina. Es frecuente tomar probetas adicionales por muestreo para evaluar a 1, 3 o 7 días la resistencia. Con la información anterior se tienen los primeros datos de la resistencia del hormigón producido. La herramienta utilizada para realizar este análisis son los procedimientos de control de calidad. Lo anterior con el fin de conocer el comportamiento de la variable y definir ajustes a la composición del material. La tabla 2.4 ilustra la forma de obtener los datos para un hormigón de f´c = 21 MPa. Tabla 2.4 Resultados de ensayos de cilindros con un hormigón f´c = 21 MPa

Muestra Resistencia a 7 días Resistencia a 28 días # Cil1 Cil2 Prom. Cil1 Cil2 Prom. R.movil D.S. V % 1 247 258 253 323 351 337 2 146 168 157 241 247 244 3 157 191 174 247 247 247 276 52.6 19.1 4 185 219 202 232 252 242 267 46.1 17.3 5 202 213 208 280 292 286 271 40.8 15.1 6 191 191 191 291 291 291 274 37.4 13.6 7 173 184 179 258 291 275 274 34.1 12.4 8 146 157 152 213 258 236 270 34.5 12.8 9 157 168 163 213 213 213 263 37.4 14.2 10 132 221 177 196 213 205 257 39.8 15.5 11 157 168 163 224 242 233 255 38.5 15.1 12 101 101 101 202 213 208 251 39.2 15.6 13 168 179 174 219 252 236 250 37.8 15.1 14 202 224 213 191 205 198 246 38.9 15.8 15 179 193 186 241 264 253 247 37.5 15.2 16 157 168 163 280 303 292 250 37.9 15.2 17 162 167 165 213 215 214 247 37.7 15.2 18 169 169 169 278 278 285 249 37.6 15.1 19 179 191 185 241 247 244 249 36.6 14.7 20 235 263 249 302 314 308 252 37.9 15.0 21 168 170 169 217 226 222 251 37.6 15.0 22 146 157 152 213 224 219 249 37.3 15.0 23 191 195 193 218 252 235 249 36.6 14.7 24 233 241 237 300 303 302 251 37.4 14.9 25 202 202 202 247 258 252 251 36.6 14.6 26 157 168 162 246 251 249 251 35.8 14.3 27 302 335 319 260 291 276 252 35.5 14.1 28 224 237 230 224 297 260 252 34.9 13.8 29 185 201 193 241 258 250 252 34.2 13.6 30 202 202 202 207 224 215 251 34.3 13.7


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Histograma de frecuencias de f´c en tabla 2.4

0

2

4

6

8

10

12

14

198

225.

7

253.

4

281.

1

308.

8

y m

ayor

...Clase

Frec

uenc

ia

Frecuencia

Figura 2.5 Distribuciones de frecuencia de la resistencia cilíndrica del hormigón Como se puede apreciar en la tabla 2.4 y en la figura 2.5 la resistencia cilíndrica del hormigón, f c, no es un valor absoluto sino mas bien una variable estadística con una determinada función de probabilidades. Esta, en producción controlada, se ajusta muy bien a una distribución de Gauss, línea continua ( Cuando los coeficientes de variación son menores del 25%). En otros casos el uso de las distribuciones Log-normal y Weibull han demostrado buenos resultados, línea punteada. Si se recuerda que la filosofía del diseño indica que la resistencia definida estructuralmente para un proyecto es aquella que garantiza un alto porcentaje de cumplimiento ( Se habla de mas del 95%), es claro que solo mediante la fabricación de un hormigón de resistencia promedio mayor que la especificada y con un plan correcto de control de producción que garantice un coeficiente de variación menor del 15% se puede lograr el cumplimiento de esta exigencia estructural. Desde este punto de vista las normas de construcción NSR-98 y los comités técnicos del hormigón ACI-318 recomiendan al respecto las siguientes cláusulas: § La probabilidad de tener muestreos con resultados de resistencia cilíndrica

del hormigón menor que (f c-3.5) MPa debe ser inferior al 1%. § La probabilidad de tener promedios de tres muestreos consecutivos con

resultados menores que f´c debe ser inferior del 1%.


______________________________________________________________________


70

Se deben cumplir simultáneamente ambos criterios para ajustar el proyecto a los niveles de seguridad exigidos en las normas. 2.2.1.2 Comportamiento tensión-deformación a compresión uniaxial Cuando se carga el hormigón a compresión simple y simultáneamente se monitorea mediante deformimetros mecánicos o eléctricos sus movimientos relativos, se puede apreciar un comportamiento particular del material. El método utilizado para esta prueba se encuentra descrito en la norma NTC- 4025 y el dispositivo de laboratorio se indica en la figura 2.6. La tabla 2.5 muestra las lecturas carga vs. acortamiento en un ensayo típico de laboratorio y la figura 2.7 presenta el diagrama tensión vs. deformación para el material. Se puede apreciar como hasta aproximadamente un 40% de la máxima carga a compresión la relación se puede considerar lineal para propósitos prácticos ( realmente el comportamiento es no lineal tipo parabólico o exponencial). Una vez se alcanza el 70% de la carga máxima el hormigón comienza un proceso gradual de falla que hace aumentar la curvatura del diagrama carga-acortamiento hasta llegar a la máxima carga en donde se hacen visibles las fisuras en el material y al perder rigidez la carga disminuye y finalmente se desintegra el material. P Refrentado superior Anillo superior 200 mm Medidor de acortamiento milésimas de milímetro Anillo inferior Refrentado inferior Figura 2.6 Dispositivo que mide el comportamiento tensión-deformación del hormigón


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71

Tabla 2.5 Resultados de medición del comportamiento a compresión del hormigón

Carga ( N )

Acortamiento (centésimas mm)

Tensión ( N / mm2 )

Deformación ( mm / mm)

20000 0.5 1.1 0.000025 40000 2.0 2.2 0.000100 60000 3.5 3.3 0.000175 80000 5.0 4.4 0.000250 100000 6.5 5.5 0.000325 120000 7.5 6.6 0.000375 140000 8.5 7.7 0.000425 160000 9.0 8.8 0.000450 180000 10 9.9 0.000500 200000 11.5 10.9 0.000575 220000 13 12.1 0.000650 240000 14 13.2 0.000700 260000 15.5 14.2 0.000775 280000 16.5 15.3 0.000825 300000 18 16.4 0.000900 320000 20 17.5 0.001000 340000 22.5 18.6 0.001125 360000 26.0 19.7 0.001300 380000 30.0 20.8 0.001500 400000 35.0 21.9 0.001750 420000 42.0 23.0 0.002100

fc f c 0.40 f c Ec =Tan a ec eco ecu

Figura 2.7 Diagrama típico tensión-deformación del hormigón a compresión


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72

La figura 2.8 ilustra las curvas tensión-deformación para hormigones de diferentes resistencias a compresión. En ellas puede observarse como a mayor resistencia del material menor es su deformación a carga máxima, hay un trayecto lineal mas extenso en el diagrama y una disminución gradual de la máxima deformación en la falla. fc 100 MPa 700 MPa 420 MPa 280 MPa 210 MPa ec 0.002

Figura 2.8 Gráficos tensión-deformación según la resistencia del hormigón Varios investigadores han tratado de modelar matemáticamente este comportamiento utilizando ajustes estadísticos de los resultados de pruebas de laboratorio. Ejemplos de estas curvas son: Hognestad, Smith y Young, Desayi y Krishman, Kabaila, Saenz, Tulin y Gerstle, Todeschini. § Parábola de Hognestad (1955). Es la combinación de una parábola de segundo

grado para la parte ascendente de la curva y una línea recta en la parte descendente. La ecuación de la parte ascendente es:

−

××=

2

00

´ 2εε

εε cc

cc ff (2.7)

En donde: fc: Resistencia a compresión del hormigón para una deformación ec f c: Resistencia máxima a compresión del hormigón e0 : Deformación unitaria para resistencia máxima = 2 ( f c) / Eo


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73

ec : Deformación unitaria para una tensión de compresión fc. Eo: Modulo tangente inicial del hormigón. La figura 2.9 muestra la grafica para hormigones de f´c = 28 MPa y 42 MPa.

MODELOS SEGUN HOGNESTAD

05

1015202530354045

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025

DEFORMACION

TE

NS

ION

( M

Pa)

Figura 2.9 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Hognestad

§ Modelo de Smith y Young ( 1956): Esta representación es de forma

exponencial para todo el rango de deformaciones figura 2.10. La ecuación es:

−

=

00

´ 1expεε

εε cc

cc ff (2.8)

§ Ecuación de Desayi y Krishman ( 1964): Presenta una formulación de tipo potencial. Figura 2.11:

+

×=2

0

0´

1

2

εε

εε

c

c

cc ff (2.9)


______________________________________________________________________


74

MODELOS SEGUN SMITH-YOUNG

05

10152025303540

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACION

TE

NS

ION

(M

Pa)

Figura 2.10 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Smith y Young

MODELOS SEGÚN DESAYI-KRISHMAN

05

10152025303540

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACION

TE

NS

ION

(M

Pa)

Figura 2.11 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Desayi y Krishman


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75

§ Ecuación de Kabaila ( 1964): Propone un polinomio de cuarto grado, figura 2.12, de la siguiente forma:

×+

×+

×−

××=

4

0

3

0

2

00

´ 0027.01763.0189.12εε

εε

εε

εε cccc

cc ff (2.10)

MODELOS SEGUN KABAILA

05

10152025303540

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACION

TE

NS

ION

(M

Pa)

Figura 2.12 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Kabaila § Modelo de Luis P. Saenz ( 1964): Es un modelo mas complejo

matemáticamente pero con excelentes resultados numéricamente ya que se ajustan mas acertadamente a los resultados experimentales. Figura 2.13

( ) ( )

+

−−

−++

=3

0

2

00

0

1221εε

εε

εε

ε

CCCE

cc

RRRR

Ef (2.11)

En donde:

( )

( ) EE

FE

RRRR

R1

112 −

−−

=


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76

S

E EE

R 0= c

cF f

fR

´

= 0ε

εε

MAXR = ( )´

´

0026.01

26519

C

C

f

fE

×+

×=

2

:sec 0EanteModuloES =

( )25.0´25.0´50 22.161077.3 cc ff −×××= −ε

Tabla 2.6 Valores de los parámetros para la ecuación de Sáenz f´c ( MPa) eo Es (MPa) Eo (MPa) RE ff ef

21 0.00178 11814 29044 2.46 190 0.0030 31 0.00191 16385 33474 2.05 295 0.0025 50 0.00205 24613 39522 1.61 480 0.0025

MODELOS SEGUN SAENZ

0

10

20

30

40

50

60

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACIONES

TE

NS

ION

( M

Pa)

Figura 2.13 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Saenz § Ecuación de Tulin y Gerstle ( 1964): Estos autores presentan una ecuación

similar a la de Desayi y Krishman, figura 2.14 con la siguiente forma:


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77

+

×=3

0

0´

2

3

εε

εε

c

c

cc ff (2.12)

MODELO SEGUN TULIN-GERSTLE

05

10152025303540

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACION

TE

NS

ION

( M

Pa)

Figura 2.14 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Tulin y Gerstle § Modelo de Todeschini ( 1964): esta formulación representada en la figura 2.15

tiene la siguiente formula matemática:

+

×=2

0

0´

1

8.1

εε

εε

c

c

cc ff (2.13)


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78

MODELO SEGUN TODESCHINI

0

5

10

15

2025

30

35

0 0.001 0.002 0.003 0.004

DEFORMACION

TE

NS

ION

( M

Pa)

Figura 2.15 Diagrama tensión-deformación del hormigón según Todeschini

Se han presentado siete modelos matemáticos con el fin de que el lector considere la importancia que ha tenido este tema en el diseño del hormigón armado. Recientemente se han propuesto modificaciones a los modelos planteados para tener en cuenta los hormigones de alta resistencia y desempeño. En este texto se trabajara fundamentalmente con las expresiones anteriores. Un estudio detallado de las curvas experimentales tensión-deformación del hormigón permite concluir que la máxima tensión se logra cuando la deformación alcaza una magnitud de 2000 micro deformaciones ( e0=0.002) para hormigón de resistencia entre 21 y 42 MPa. Adicionalmente la falla del material se da para unas 3000 micro deformaciones (eu=0.003). El comportamiento del hormigón muestra que después de que se logre la máxima resistencia la capacidad de carga del material disminuye y su descenso depende significativamente del tipo de maquina de carga. En la figura 2.16 se muestra como en una maquina con placas de carga flexibles no se manifiesta la rama descendente contrario a lo que indica la falla en una maquina de placas rígidas. Es importante indicar que la velocidad de aplicación de la carga a los especimenes de prueba afecta la capacidad resistente del hormigón. La figura 2.17 indica la influencia que tiene esta variable en la resistencia del hormigón. Se puede apreciar que a mayor velocidad de carga mayor es la resistencia y menor deformación. La prueba estándar recomienda una velocidad de carga de 2500 Newton por segundo por lo que un hormigón de resistencia entre ( 21-42 MPa) falla en tres o cinco minutos.


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79

fc Placa rígida Placa flexible ec Placa rígida Placa flexible Deformada Tensiones

Figura 2.16 Influencia de la placa de carga en el comportamiento del hormigón fc 100 días 1 día 1 hora 1-3 min. ec 0.002

Figura 2.17 Influencia de la velocidad de carga en la resistencia del hormigón


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80

Rush encontró experimentalmente que la resistencia a compresión del hormigón bajo carga lenta ( sostenida) es aproximadamente un 80% de la resistencia obtenida en pruebas estándar de cilindros emmoldados. Este resultado es importante para definir realmente la capacidad resistente del hormigón en las estructuras ya que en estas el material esta sometido a cargas de duración prolongada ( Cargas sostenidas). 2.2.1.3 Comportamiento del hormigón a compresión bajo cargas cíclicas Cuando el hormigón se somete a ciclos repetidos carga-descarga en compresión simple se produce el conocido efecto histeretico del material. En la figura 2.18 los autores Sinha, Tulin y Gerstle muestran los resultados obtenidos en ensayos de cilindros a compresión fallados a velocidad lenta. Estos resultados y los de Karsan y Jirsa indica que la curva envolvente es prácticamente idéntica que la obtenida en un ensayo de compresión simple. fc 35 28 21 14 7 0.001 0.003 0.005 0.007 ec

Figura 2.18 Diagrama cíclico tensión-deformación del hormigón En la practica del diseño estructural se ha estandarizado esta propiedad como aquella que identifica el material en un proyecto. Particularmente se habla de hormigones de resistencia normal cuando f´c esta entre 21 y 42 MPa, hormigones de alta resistencia cuando f´c esta entre 42 y 84 MPa y los hormigones de súper alta resistencia que van hasta 160 MPa. Estos últimos solo se han utilizado en trabajos experimentales y su uso en la practica aun es muy reducido. Estudios de micro estructura del material y optimización de la relación gel espacio indican la posibilidad de lograr bajo condiciones especiales hormigones hasta de 1800 MPa.


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81

2.2.1.4 Módulo de deformación longitudinal del hormigón A partir del ensayo a compresión simple, indicado en el numeral anterior, se puede calcular el modulo de deformación longitudinal o modulo elástico del material ( Ec). Su determinación debe ser convenientemente definida ya que la metodología dada por la resistencia de materiales para su calculo, parte de un comportamiento tensión-deformación linealmente elástico. En la literatura técnica se han definido prácticamente cuatro formas para hallar el modulo elástico del hormigón, siendo el modulo cuerda del ASTM el mas utilizado por la reglamentación Americana. La figura 2.19 indica los diferentes módulos de deformación longitudinal del hormigón y como el modulo ASTM promedia los valores numéricos de las diferentes definiciones. § Modulo Tangente inicial ( Ecto): Se define como la pendiente de la parte inicial

del diagrama tensión-deformación del material. Se puede considerar como tramo inicial los puntos observados hasta una deformación de 50x10-6. Este es el valor numérico mas alto para el modulo ya que a este nivel de cargas las deformaciones por microfisuracion no son importantes.

§ Modulo Secante ( Ecsec): Se define como la pendiente de la línea entre el origen y una tensión correspondiente al 40% de fć. Este modulo considera un rango de tensiones para el hormigón similar al rango de cargas de servicio por lo que su valor numérico es mas aceptado en el diseño estructural. El problema en su determinación es identificar el cero del diagrama noval del material.

§ Modulo tangente al 50% ( Ect i): Es la pendiente de la tangente trazada por un punto equivalente al 50% de fć. Su valor numérico es relativamente bajo comparado con las restantes definiciones.

§ Modulo cuerda ASTM ( Ec): Su definición es similar a la del modulo secante pero en lugar de considerar el cero del diagrama tensión-deformación, se parte de una deformación de 50x10-6.

fc tangente por el origen => Et i Tangente por el 0.5 fć => Etm 0.50 f c Cuerda entre una ec = 0.00005 y fc = 0.5 fć => Ec Cuerda entre origen y el 0.5 fć => Ec ec

Figura 2.19 Módulos de deformación longitudinales del hormigón


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82

Tanto la reglamentación Americana del hormigón armado ACI-318 como la nuestra NSR consideran el modulo cuerda ASTM como el valor numérico a utilizar para el diseño estructural. Su utilización esta respaldada por una amplia información experimental en donde se correlacionan las variables que afectan su valor. Hasta 1956 el ACI utilizo una formula empírica aproximada, ecuación (2.14), para estimar el modulo elástico del hormigón con base solo en la resistencia cilíndrica del material.

´1000 cfEc ×= (2.14) Para 1960 el ACI disponía ya de una base experimental para estimar mas certeramente el modulo elástico del hormigón de la investigación de Adrián Pauw y otros, figura 2.20. En la ecuación (2.15) se indica como no solo la resistencia a compresión afecta su valor sino también el peso unitario del hormigón.

´23

1350 cfEc ××= ω (MPa) (2.15)

En donde: ? = Peso unitario del hormigón en Mega-gramos / metro cúbico ( Mg/m3) f´c = Resistencia cilíndrica del hormigón en MPa. Ec = Modulo elástico del hormigón en MPa

Figura 2.20 Relación entre el modulo elástico con el peso unitario y la resistencia del hormigón a compresión. Según Adrián Pauw.


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83

La ecuación 2.15 se puede utilizar tanto para hormigones de peso normal como para los de peso liviano. Una expresión practica muy utilizada para hormigón de peso normal ( entre 2.2 y 2.6 Mg/m3) es la ecuación 2.16.

´4790 cfEc ×= (MPa) (2.16)

En los últimos 30 años del siglo veinte la ingeniería pudo aprovechar lo que a nivel de laboratorio se conocía como hormigón de alta resistencia. En la construcción de edificios y puentes se comienzan a usar hormigones de 56, 70, 100 MPa. Y mas recientemente los hormigones de ultra alta resistencia los que alcanzan 160 MPa. En estos casos las ecuaciones 2.15 y 2.16 no se deben utilizar. En su lugar se pueden usar expresiones similares obtenidas experimentalmente como la indicada en la ecuación 2.17 la cual fue obtenida en la universidad de Cornell ( New York) en 1995.

( ) 23

´

3.270323354

×+×=

ωcfEc (MPa) (2.17)

Donde w: Peso unitario del hormigón en Mg/m3 La ecuación (2.17) se puede aplicar en el rango de resistencias de 21 a 85 MPa. Sin embargo la expresión 2.15 o 2.16 para hormigones de resistencia normal ( 21 a 42 MPa) producen resultados mas conservadores que los entregados por la ecuación 2.17. La NSR-98 en el numeral C.8.5.4 recomienda utilizar, a diferencia del ACI, un modulo elástico en función no solo de la resistencia cilíndrica del material y del peso unitario sino también del tipo de roca de donde procede el agregado. Los antecedentes experimentales que soportan esta propuesta no están bien referenciados y la literatura técnica Estadounidense afirma que independiente del tipo de agregado los factores que afectan realmente la variación del modulo son la resistencia y el peso unitario del hormigón. La expresión que recomienda el NSR-98 se da en 2.18 y 2.19.

´23

cfKEc ××= ω (MPa) (2.18)

En donde K es función del origen del agregado. Si la roca es Ígnea K=1486, si es metamórfica K= 1296 y si es sedimentaria K=980. Se sugiere asi mismo utilizar un valor promedio independiente del origen del agregado de K=1075 el cual es un 25% mas bajo que el valor recomendado en el ACI. Adicionalmente la NSR-98 indica que cuando se desconoce el peso unitario del hormigón se puede usar la expresión 1.13.

´cfKEc ×= (MPa) (2.19)

Donde la constante K es función del origen del agregado. Para roca ígnea K=5500, metamórfica K=4700 y roca sedimentaria K=3600. En promedio se recomienda usar un


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K=3900. Se puede notar como este ultimo valor promedio es un 20% menor que el dado por el ACI en la expresión 2.16. Estadísticamente los valores representados por las ecuaciones anteriores representan aproximaciones matemáticas para designar la rigidez del hormigón. Utilizar un valor ligeramente mayor o menor que el real obliga a disminuir o aumentar las dimensiones de las secciones estructurales para mantener constante la rigidez, EI, del material. En varias aplicaciones académicas realizadas tanto en los cursos de hormigón armado como en trabajos de grado de la Facultad de Minas se han obtenido resultados del modulo ASTM similares a los propuestos por el ACI-318. La ecuación 2.20 muestra la formula promedio ajustada para los resultados experimentales. En estos trabajos el peso unitario del hormigón se mantiene entre 2.3 y 2.4 Mg/m3.

´5395 cfEc ×= (MPa) (2.20)

Algunas expresiones similares a la ecuación 2.20 se han obtenido en otras regiones. Por ejemplo en Europa el comité Europeo del hormigón, CEB, recomienda estimar el modulo con la expresión 2.21 y en México el reglamento del distrito Federal da la ecuación 2.22. Otros investigadores como S. Klink utilizando técnicas diferentes a las del ASTM C-469 (NTC-4025), proponen valores del modulo un 55% mas altos que los propuestos por el ACI ecuación 2.23. Sin embargo la mayor parte de la información técnica al respecto esta de acuerdo en afirmar que el modulo propuesto por el ACI en las expresiones 2.15 y 2.16 reflejan un valor suficientemente conservador para propósitos de diseño estructural.

´6406 cfEc ×= (MPa) (2.21)

´3100 cfEc ×= (MPa) (2.22)

´7450 cfEc ×= (MPa) (2.23)

2.2.1.5 Modulo de deformación transversal del hormigón, ?. Este es el otro modulo de diseño del hormigón armado y se conoce también como modulo de Poisson, ? . Se define igual a la resistencia de materiales como la relación, en valor absoluto, de las deformaciones transversales, et y las longitudinales, el.

l

t

εε

υ = (2.24)

Para su determinación también se utiliza el procedimiento NTC-4025. Para propósitos de diseño su valor se puede estimar entre 0.10 y 0.30 con un valor promedio aceptable


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85

de 0.15. Experimentalmente se ha concluido que su valor es independiente de la composición del hormigón pero los ensayos muestran una tendencia de que a mayor resistencia a compresión menor es el modulo de Poisson. En la figura 2.21 se puede apreciar el comportamiento de la deformaciones tanto transversales como longitudinales a medida que aumentan las tensiones en el material. Para un 50% de la resistencia a compresión se tiene un modulo 0.11, cuando se logra el 75% de la resistencia el modulo esta en 0.18 y finalmente al 90% el modulo se incrementa a 0.30. Además se puede visualizar la disminución del volumen del material en un amplio rango de tensiones y solo en la etapa final de carga comienza un ligero aumento de este valor. Una explicación razonable de este comportamiento nos indica que en tensiones cercanas a la rotura las deformaciones transversales comienzan a aumentar mas rápidamente debido al agrietamiento interno del material en sentido paralelo a la aplicación de la carga, esto produce un desgarramiento delo hormigón y por ende un aumento en su volumen. fc / f c e v 1.00 0.75 e t 0.50 el 0.25 4 2 2 4 6 8 10 12 e tx10-4 ec x 10-4

Figura 2.21 Relación entre las deformaciones del hormigón y el nivel de carga

2.2.1.6 Resistencia y comportamiento bajo carga biaxial y triaxial En la practica la excepción es solicitar el hormigón en una sola dirección, por lo general este se encuentra sometido simultáneamente a todo tipo de tensiones que actúan en dirección y sentido diferente. Por ejemplo en vigas el hormigón esta sometido principalmente a flexo-cortante. En losas y zapatas a flexión bidireccional mas cortante y en soportes a flexo-compresión y cortante. Es bien conocido de la mecánica de materiales que cualquier estado combinado de tensiones se puede reducir a tres


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tensiones principales que actúan perpendicularmente. Si alguna de ellas es nula se tiene el estado biaxial y si dos de ellas se anulan se tiene el estado uniaxial de tensiones estudiado en el numeral anterior. La figura 2.22 ilustra el estado biaxial a compresión del hormigón en donde las tensiones normales son tales que producen la falla del material. Con base en los resultados experimentales se concluye que la resistencia a compresión biaxial del hormigón puede alcanzar hasta un valor del 27% mayor que la resistencia uniaxial cuando f1 = fć y f2 es un 70% de fć. Otras combinaciones importantes mostradas en la grafica son: cuando f1 = fć y f2 = 0 la resistencia biaxial es igual a la uniaxial; cuando f1= fć y f2=0.20 x fć la resistencia biaxial del hormigón es el 18% mayor que la uniaxial; cuando f1 = fć y f2 = 0.50 x fć la resistencia biaxial del hormigón es 25% mayor que la uniaxial. f1 / f c ( compresión) 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 ( compresión) ( tracción) -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 f2 / f c

Figura 2.22 Resistencia a compresión biaxial del hormigón En la figura 2.23 se muestra una familia de círculos de Mohr que representan la combinación de tensiones normales y cortantes originan una curva envolvente de tal forma que cualquier combinación de tensiones que tengan un circulo de Mohr tangente a esta curva o la corte se puede considerar como una condición de falla.

f1 f2 f2 f1


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Tensiones cortante envolvente de falla Resistencia a compresión uniaxial tensiones axiales Resistencia Tracción uniaxial

Figura 2.23 Resistencia del hormigón en un estado plano de tensiones

En otros casos experimentales se han confirmado que la resistencia a compresión del hormigón se reduce drásticamente cuando se presentan simultáneamente tensiones cortantes. La figura 2.24 representa gráficamente estos resultados. Tensiones cortante: v v fc fcomp. fracción Tensiones axiales: f

Figura 2.24 Curva de falla del hormigón sometido a tensiones normales y cortante En el caso de tensiones triaxiales, se puede afirmar y así lo confirman los resultados experimentales, que la resistencia y ductilidad del hormigón se incrementan en forma apreciable. Los estudios iniciales de Richard, Brandtzaeg y Brown permitieron estimar una ecuación matemática que relacionaba la resistencia uniaxial del hormigón, f c, con su resistencia triaxial, f´cc, y la presión de confinamiento lateral, flat, usando probetas cilíndricas estándar y utilizando una cámara de ensayos triaxiales similar a la utilizada en al mecánica de suelos, ecuación 2.25. En la figura 2.25 se muestran las curvas tensión deformación del hormigón en pruebas a compresión triaxial sobre cilindros estándar. En cada curva se mantiene constante la presión de confinamiento lateral aumentando solo la carga axial hasta lograr la falla de la probeta. Se aprecia como un aumento en la presión de confinamiento produce aumentos significativos en la resistencia y ductilidad del material. Este efecto se debe a la reducción de la fisuracion interna por efecto de la presión lateral fenómeno que produce un aumento en el volumen hasta poco antes de la falla.


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88

.´´ 1.4 latccc fff ×+= (2.25)

Las ultimas investigaciones realizadas para mejorar el conocimiento del comportamiento del hormigón bajo tensiones combinadas esta basado en las teorías de los campos de tensiones a compresión, tracción y el uso de la mecánica de la fractura. Estos modelos se están gradualmente proponiendo en la literatura técnica para explicar mas científicamente el problema, sin embargo aun faltan mas herramientas de análisis para disponer de una teoría completa que este disponible en la practica de la ingeniería. Es por ello que el actual diseño estructural continúa basándose más en una amplia información experimental la cual va modelando analíticamente el estado complejo de tensiones que tiene el hormigón en las estructuras. f cc (MPa) 150 120 fl = 29.0 MPa 90 fl = 14.0 MPa 60 fl = 7.5 MPa fl = 4.0 MPa 30 fl = 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 ec

Figura 2.25 Curvas tensión-deformación del hormigón a carga triaxial, f´c = 25 MPa 2.2.2 Resistencia a tracción del hormigón La hipótesis básica en que se fundamenta el diseño estructural del hormigón armado es considerar nula su resistencia a tracción y aprovechar al máximo la resistencia a


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compresión del material. Sin embargo la tracción es importante cuando se trata de evaluar la resistencia a cortante, las deflexiones y fisuracion del material en servicio y al estimar las cuantías mínimas de refuerzo a flexión. De otra parte la determinación experimental de la resistencia a tracción directa del hormigón no es sencilla ya que la prueba requiere de complejos montajes y accesorios. El ensayo consiste en someter una probeta cilíndrica a tracción directa en una maquina universal soldando con resina epoxica en cada extremo de la probeta un dispositivo de agarre que permita la sujeción de esta a las mordazas de la maquina. Los resultados presentan el inconveniente de que muchas veces falla la resina epoxica por mal preparada la superficie o porque se presenta concentración de tensiones en las zonas de agarre del dispositivo, Figura 2.26. El valor obtenido de esta prueba es conocido como el f t y estadísticamente se ha correlacionado con el f c con la ecuación 2.26. En general la mejor relación estadística entre estas dos variables es de forma potencial colocando la variable independiente ( f c) en raíz cuadrada.

´´ 33.0 ct ff ×= (MPa) (2.26)

ft ( MPa) 4.0 Placas de sujeción unidas con epoxi 3.0 lo 2.0 1.0 50 100 150 200 ec x 10-6

Figura 2.26 Ensayo de tracción directa con curva tensión-deformación La forma indicada del diagrama tensión-deformación del hormigón a tracción difiere considerablemente de la de compresión. En esta la linealidad de la relación es perfecta hasta un 50% de la máxima resistencia del material, presentándose una falla de tipo mas frágil que la compresión. La deformación en la falla alcanza unas 100 micro deformaciones en tracción directa y entre 140 y 200 micro deformaciones en tracción por flexión. El diagrama puede aproximarse a una línea recta de pendiente E1 y tensión máxima f t o a una parábola con una deformación máxima de 1.8 x f t / E1.


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90

Alternativamente se han propuesto otros procedimientos para determinar esta característica del hormigón. El ensayo a flexión de una viga estándar de hormigón sometida a cargas concentradas en los tercios medios ha sido muy utilizado con este fin. La prueba no se encuentra normalizada en la NTC pero se puede consultar en la ASTM C-78 y C-293. Para hormigones con agregados de tamaños máximos hasta de 40 mm la viga tiene dimensiones de b=h=150 mm con una longitud de L= 600 mm. La luz libre es de L=450 mm es decir tres veces la dimensión de la sección, la figura 2.27 indica el montaje de la prueba. La máxima tensión de tracción que soporta la viga se define como el MODULO DE ROTURA del hormigón, fr. De la resistencia de materiales se puede obtener la expresión 2.27 la cual considera el hormigón homogéneo, elástico e isotropico lo que realmente no es cierto. Para tener en cuenta el no cumplimiento de estas propiedades se puede asumir el factor de 0.6 en la ecuación 2.27 logrando así una mejor estimación experimental.

IYM

f r×

= (2.27)

P P a a a a

Figura 2.27 Ensayo de tracción por flexión ASTM. Montaje de prueba Si el momento es P x L / 6 , Y = h / 2 , I = (b x h3) /12 con b = h = L/3 se obtiene:

2

3h

Pf r

×= (2.28)

Que se convierte con el factor de 0.6 en la ecuación:

2

8.1h

Pf r

×= (2.29)


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91

Experimentalmente se han obtenido relaciones entre fr y fć las cuales facilitan el diseño estructural. Estas expresiones tienen la forma de la ecuación 2.30 donde K es una constante varia entre 0.6 y 1.1 de acuerdo a las características particulares del hormigón.

ćr fKf ×= (MPa) (2.30)

La NSR-98 y el ACI-318 recomiendan utilizar un valor de K = 0.63 el cual garantiza una alta probabilidad de cumplimiento. El comité Europeo del hormigón, CEB, recomienda usar un valor de K = 0.78 el cual es un 20% mayor que el del ACI. La grafica 2.28 representa los resultados estadísticos de otras investigaciones en donde se relaciona el modulo de rotura con la resistencia a compresión del hormigón. La otra prueba para determinar la resistencia a tracción del hormigón se conoce como el ensayo del cilindro hendido o tracción por compresión, fct. Esta indicado en la norma NTC-722 o ASTM C-496 y consiste en someter un cilindro estándar, del ensayo a compresión, a una carga diametral a lo largo de sus dos generatrices opuestas, como lo indica la figura 2.29. De la teoría de elasticidad se puede demostrar que la falla del hormigón es principalmente a tracción y se puede estimar con la ecuación 2.31.

´56.0 cct ff ×= (MPa) (2.31)

RELACIONES EXPERIMENTALES ENTRE fr Y fć

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

0 20 40 60

fć ( MPa)

fr (

MP

a)

Figura 2.28 Relaciones experimentales entre fr y fć realizadas por varios autores

HUMMEL CEB

ACI


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La figura 2.30 muestra las relaciones experimentales obtenidas por varios autores con un limite superior e inferior de resultados de ensayos. La figura 2.31 indica algunos resultados locales. Todos los estudios estadísticos concluyen que la resistencia a tracción del hormigón puede estimarse a partir de la prueba a compresión. Además los resultados reflejan que el fct es un valor mas acertado que el fr.

Figura 2.29 Ensayo de tracción por compresión del hormigón

LIMITES EXPERIMENTALES DE LAS RELACIONES ENTRE fć Y fct

0102030405060708090

0 1 2 3 4 5

fct (MPa)

fć

( M

Pa)

Figura 2.30 Resultados experimentales entre fct y fć por varios autores


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93

RELACIONES ENTRE fć Y fct

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

15.0 25.0 35.0 45.0 55.0 65.0

fć ( MPa)

fct

( M

Pa)

U.N.1988Winter-NilsonUniv. AndesU.N. 1981

Figura 2.31 Relaciones entre fct y fć obtenidas regionalmente 2.2.3 Resistencia a cortante del hormigón Esta propiedad es mucho mas compleja de obtener experimentalmente que la tracción y la compresión. La dificultad, en un ensayo, radica en como aislar la cortante de las otras tensiones que actúan simultáneamente en el material. Los diferentes resultados que presenta la literatura técnica al respecto muestran grandes diferencias en los valores encontrados para la resistencia al cortante en el hormigón. Por ejemplo cuando la compresión se combina con la cortante (compresión diagonal) el valor puede alcanzar hasta un 85% de fć mientras que cuando la tracción se combina con la cortante ( tracción diagonal ) se presentan valores mas bajos que la resistencia a tracción del hormigón. Los códigos y normas de construcción recomiendan con seguridad asumir que la resistencia al cortante del hormigón en estructuras de relación de esbeltez entre 2.5 y 6.0 puede estimarse conservadoramente como aproximadamente un 50% de la resistencia a tracción del hormigón, ver ecuación 2.32.

´17.0 cfVcr ×= (MPa) (2.32) Para evitar una falla estructural por cortante los elementos se deben dimensionar de tal forma que estas tensiones se limiten siempre a valores bajos. El termino tensiones


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cortantes no es apropiado en el diseño estructural ya que realmente lo que controla la falla son las tensiones por tracción diagonal. Si se entiende que realmente la resistencia a cortante pura es raras veces un problema estructural se logra asimilar la solución usando la teoría de la tracción diagonal. 2.2.4 Resistencia a torsión del hormigón Al igual que la propiedad anterior, la resistencia a torsión tiene iguales o mayores dificultades de evaluación experimental que la cortante. Afortunadamente esta se puede asociar con la resistencia a cortante y los códigos de construcción presentan dos teorías para su consideración estructural. La teoría clásica que asume una resistencia a torsión del hormigón igual a una fracción de la resistencia a cortante, ecuación 2.33 y la teoría de la cercha espacial que asume nula la resistencia a torsión del hormigón.

)2(33.0 ´ tAfT occr ××⋅×= (N*mm) (2.33) Donde f´c: Resistencia a compresión del hormigón ( MPa); Ao: Área en mm2 de la sección encerrada por los estribos y t: espesor de la pared (mm) 2.2.5 Fluencia o flujo plástico del hormigón Esta propiedad, característica de algunos materiales en ingeniería, se define como la continua deformación en el tiempo sin el efecto de ningún incremento de carga. Para que este fenómeno se presente las cargas deben producir tensiones que no superen el 50% de la capacidad resistente del hormigón a compresión. La naturaleza del proceso se muestra esquemáticamente en la figura 2.32. Este hormigón en particular se cargó a los 28 días produciendo una deformación instantánea, ei . La carga total se sostuvo durante 230 días observándose un aumento de la deformación de aproximadamente tres veces la deformación instantánea. Si la carga permaneciera actuando la deformación seguiría la línea continua. Si la carga desaparece, como se muestra en la línea punteada, la deformación elástica instantánea se recupera totalmente lo mismo que un porcentaje de la deformación por fluencia. Si el hormigón se carga nuevamente se producen deformaciones elásticas y por fluencia en la forma indicada en la figura. La naturaleza interna del fenómeno puede explicarse por una o varias de las siguientes causas: a) El flujo cristalino ya sea de los agregados o de la matriz cementante, b) El flujo plástico de la pasta de cemento que rodea el agregado, c) el cierre de los vacíos internos y d) el flujo de agua del gel de cemento debido a las cargas externas y al secado del material. De las anteriores causas la primera es mas acertada para explicar la fluencia cuando se trabaja a altos niveles de carga. Los factores que afectan la magnitud de la fluencia se pueden resumir en los siguientes: a) los componentes del hormigón, se habla de la finura y composición del cemento, el uso de aditivos, el tamaño y absorción de los agregados; b) La dosificación de los componentes, en este caso el contenido de agua y cemento la relación agua cemento, c) la temperatura y la humedad ambiente, d) La edad de aplicación de la carga, e) la duración de la carga, f) la magnitud de las tensiones aplicadas, g) la relación área volumen de la estructura y h) el nivel de consistencia del hormigón fresco.


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De lo anterior se desprende que el calculo de la fluencia es complejo por la gran cantidad de variables que inciden en su estimación. Sin embargo existen métodos aproximados que permiten una cuantificación aceptable de la medida para propósitos de ingeniería. El método propuesto por el comité 209 del ACI y el del comité europeo del Hormigón son ejemplos ilustrativos. e x 10-3 1.0 0.8 0.6 ei ef 0.4 ei 0.2 100 200 300 400 500 600 700 Edad (dias)

Figura 2.32 Curva típica de fluencia en un hormigón sometido a 4.2 MPa 2.2.5.1 Método del comité 209 del ACI En este se determina un coeficiente de fluencia, Ct , a partir del cual se obtiene la deformación por fluencia, ef , conociendo previamente la deformación instantánea, ei. Se utilizan las ecuaciones 2.34 y 2.35.

itf C εε ×= (2.34)

uefsthhatt CKKKKKKKC ×××××××= )( (2.35) Kt : Coeficiente de duración de carga

)10( 60.0

60.0

tt

Kt += (2.36)

t: duración de la carga en días Ka : Coeficiente de edad al aplicar la carga

ei = 4.2 / 20000 = 0.21 x 10-3


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96

Curado húmedo => 118.0125.1 −×= tK a (2.37)

Curado con vapor => 095.0

113.1 −×= tK a (2.38) t1: Edad del hormigón, días, cuando se aplica la carga Kh : Coeficiente de humedad relativa ( H: humedad relativa ).

Cuando H > 40% => HKh ×−= 0067.027.1 (2.39)

En caso contrario => 00.1=hK (2.40) Kth : Coeficiente de espesor del elemento [ e : espesor elemento (mm) ]

0.1=thK Si: e = 150 mm

eKth ∗−= 0009.014.1 Si: e > 150 mm y t < 1 año (2.41)

eKth ∗−= 0007.010.1 Si: e > 150 mm y t > 1 año Ks : Coeficiente de asentamiento del hormigón [ s : asentamiento del hormigón (mm) ]

Tabla 2.4 Valores del coeficiente Ks en diferentes hormigones

s ( mm) 50 75 100 125 Ks 0.95 1.00 1.09 1.16

Kf : coeficiente de contenido de agregados finos [ f : Cantidad de finos ( %) ]

Tabla 2.5 Valores de Kf para varias cantidades de finos en el hormigón

.f ( %) 30 50 75 Kf 0.95 1.00 1.05

Ke : Coeficiente de contenido de aire en el hormigón [ e : contenido de aire ( %)]

Tabla 2.6 Valores de Ke para diferentes cantidades de aire

. e ( %) < 6 6 - 7 7 - 8 Ke 1.00 1.09 1.17


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97

Cu : Coeficiente ultimo de fluencia. Se obtiene experimentalmente con los procedimientos NTC- 3707. Su valor oscila entre 1.30 y 4.15 con un valor promedio aceptable de 2.35. El contenido de cemento, que afecta igualmente la fluencia del hormigón, no es necesario considerarlo en los cálculos mientras este se mantenga en los valores normales de 250 Kg. a 550 Kg. por metro cúbico de hormigón. Ejemplo 2.1 Determinar la deformación por fluencia esperada en un muro de hormigón cuyo espesor es de 300 mm, la carga se aplicara a una edad de 10 días y se mantendrá durante un periodo de cinco años. La humedad relativa es del 60 % y el hormigón tendrá un asentamiento promedio de 80 mm. El contenido de agregados finos es del 35 %, el contenido de aire es del 5 % . Se utilizara un curado húmedo continuo. Solución: De acuerdo a los datos del problema se tiene: § Cu = 2.35 ( valor promedio recomendado a falta de datos experimentales) § Kt = [ ( 5 x 365 – 10)0.60 ]/ [ 10 + ( 5 x 365 – 10)0.60 ]= 0.90 § Ka = 1.25 x 10 –0.118 = 0.95 § Kh = 1.27 – 0.0067 x 60 = 0.87 § Kth = 1.10 – 0.0007 x 300 = 0.89 § Ks = ( Por interpolación lineal en tabla 2.4 ) 1.02 § Kf = ( Interpolación lineal tabla 2.5 ) 0.96 § Ke = ( De tabla 2.6 ) 1.00

Para determinar el coeficiente de fluencia se utiliza la ecuación 2.35 Ct = ( 0.90 x 0.95 x 0.87 x 0.89 x 1.02 x 0.96 x 1.00) x 2.35 = 1.52 Se llega a que la deformación por fluencia de este hormigón es 1.52 veces la deformación instantánea, de la ecuación 2.34.

if εε ×= 52.1 Si la deformación instantánea es conocida el valor numérico de la fluencia es inmediato. Por ejemplo si al muro se le aplica una carga sostenida de 2000 kN por metro lineal la tensión de compresión aplicada es de: (2000 x 1000) / (300 x 1000) = 6.7 MPa. Si la resistencia de este hormigón es de f´c = 28 MPa, el nivel de tensión sostenida es:

fcsost. = 6.7 x 100 / 28 = 24 %. El modulo elástico es según la ecuación (2.16) :

Ec = 4790 x 28 0.5 = 25346 MPa. La deformación instantánea esperada para el muro es:


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98

ei = ( 6.7 / 25346 ) = 0.000264

La deformación por fluencia es:

ef = 1.52 x 0.000264 = 0.000401

Un procedimiento mas corto para esta determinación y sugerido por Branson para pruebas rápidas del valor de la fluencia es usando solo la ecuación 2.36.

if tt

εε ××

+

= 35.210 60.0

60.0

Aplicando esta ecuación el valor de ?f = 2.11 x ?i es decir un 40 % mayor que la formula mas elaborada. En muchos casos es suficiente predecir, con esta ultima expresión, la fluencia del hormigón por la dispersión en los valores obtenidos experimentalmente.

2.2.5.2 Método del CEB Se utiliza preferiblemente cuando los niveles de tensión en la estructura producidos por las cargas externas no superan el 50% de f´c y cuando el periodo de carga es mayor de 90 días. El procedimiento consiste en determinar inicialmente el coeficiente básico de fluencia, F f, para luego estimar la fluencia del hormigón, F te,to , usando los factores apropiados de calculo.

( ) ( )[ ].4.0, ocecscftote tt ββαφφ −×+= (2.42) En donde F f se determina experimentalmente o con la ecuación 2.43

afsf CCC ×××= φφ (2.43) El significado de las otras variables es: F : Factor de humedad relativa [ H : Humedad relativa ( % ) ]

0.3036.047.4 ≤×−= Hφ (2.44) Cs : Factor de asentamiento del hormigón [ s : asentamiento (mm)]

SC s ×+= 0026.082.0 (2.45) Cf : Factor de cantidad de agregados finos [ f : cantidad de finos (%)]

fC f ×+= 0025.088.0 (2.46) Ca : Factor de contenido de aire [ a : contenido de aire (%) ]


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99

aCa ×+= 090.046.0 (2.47) Si no se conocen Cf , Cs y Ca se pueden asumir como valores apropiados la unidad. asc : Factor de corrección por tamaño. Se determina con la ecuación 2.49 a partir del espesor efectivo, ho, el cual se determina la ecuación 2.48

µλ c

oA

h×

×=2

(mm) (2.48)

142.025.3 −×= osc hα (2.49)

? : factor adimensional que depende de la humedad relativa (h). Se determina a partir de la tabla 2.7 o con la figura 2.33 Ac : Área de la sección transversal del hormigón (mm2) µ : Perímetro del elemento en contacto con la atmósfera ( mm)

Tabla 2.7 Valores del factor ? para calcular el espesor efectivo ho

Humedad relativa (%) 40 50 60 80 100 ? 1.00 1.10 1.25 2.30 30.00

? 20.0 10.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.5 20 40 60 80 100 Humedad relativa ( % )

Figura 2.33 Determinación del factor de espesor ?


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100

ßc (te) y ßc (to) : Fracciones de la fluencia final del hormigón a las edades de te y to. Se determinan con la tabla 2.8 o la figura 2.34. Para estimar el tiempo efectivo se utiliza la ecuación 2.50

( ) iie tTt ×+= ∑ 1030α

(2.50)

te: Edad efectiva en días Ti : Temperatura promedio durante el periodo i (°C) ti : Numero de días del periodo i a : Constante que es función de la velocidad de hidratación del cemento. Para cemento rápido a=2.0 en otros casos a = 1.0

Tabla 2.8 Valores de ßc en función del tiempo y el espesor del elemento Espesor del elemento (mm) Tiempo (días) 50 100 200 400 800 1600

10 0.29 0.26 0.23 0.22 0.21 0.20 100 0.64 0.60 0.55 0.48 0.40 0.34 1000 0.90 0.88 0.85 0.79 0.70 0.62 10000 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Figura 2.34 Determinación de las fracciones ßc en función del tiempo


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101

Ejemplo 2.2 Un bloque de hormigón de sección cuadrada con 600 mm de lado y 3.3 m de altura se somete a una tensión de compresión promedio de 7.0 MPa. Determinar la deformación total en cinco años, si la carga se aplica un mes después de fraguado el hormigón. Utilizar para los cálculos los siguientes datos adicionales para un metro cúbico del material: cemento 400 kg, Arena: 500 kg , Grava: 1250 kg, Agua: 230 kg, aire: 4%. La resistencia cilíndrica es f´c = 21 MPa. El asentamiento es de 75 mm, la humedad relativa es del 50% con una temperatura promedio diaria de 20°C. Solución: se calcularan inicialmente todos los factores experimentales. § F = 4.47 – 0.0367 x 50 = 2.63 § Cs = 0.82 + 0.0027 x 75 = 1.02 § Cf = 0.88 + 0.0025 x ( 500 / 2380) x 100 = 0.93 § Ca = 1.0

Se obtiene un F f = 2.63 x 1.02 x 0.93 x 1.0 = 2.50 Para determinar el espesor efectivo, ho se tiene: § De tabla 2.7 => ? = 1.10 § Ac = 600 x 600 = 360000 mm2 § µ = 4 x 600 = 2400 mm

De donde el espesor efectivo es: ho = 1.10 x 2 x ( 360000 / 2400 ) = 330 mm El factor asc = 3.25 x 330-0.142 = 1.45 Para determinar las funciones ßc se utiliza la tabla 2.8 o la figura 2.34 § te = (1.0 / 30 ) x ( 20 +10 ) x 1825 = 1825 § Para un espesor de 330 mm => ßc (1825) = 0.90 y ßc (30) = 0.40

Se tiene finalmente que el coeficiente de fluencia es: F 1825,30 = 0.40 + 2.50 x 1.45 x ( 0.9 – 0.4 ) = 2.21 Si el modulo de elasticidad es : Ec = 4790 x 210.5 = 21950 MPa => Deformación inicial : ei = 7 / 21950 = 0.000319 La deformación total es : et = 0.000319 x ( 1 + 2.21 ) = 0.001024 Que significa que por cada metro longitudinal el bloque se acorta 1.02 mm. En 3.30 m de altura este se acorta por deformación inicial mas fluencia 3.4 mm. En la mayoría de los casos prácticos esto no representa ningún problema estructural.


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102

2.2.6 Retracción del hormigón Cuando se realiza la dosificación de una mezcla de hormigón, la cantidad de agua estimada por lo general es mayor que la requerida por la hidratación del cemento la cual es del orden de un 36 a un 42% del peso de este. En consecuencia al exponerse la estructura al ambiente parte del agua en exceso se evapora dependiendo de la temperatura y la humedad relativa. La perdida de agua del hormigón produce contracción volumétrica que se manifiesta mediante unas pequeñas fisuras superficiales en el elemento. Es mediante esta sencilla explicación como se pone en evidencia el problema de la retracción del hormigón y se identifica la principal variable que influencia su magnitud: la cantidad de agua en la mezcla. En la figura 2.35 se ilustra el problema utilizando como ejemplo un hormigón en donde solo se varia la cantidad de agua en la mezcla manteniendo constante las otras variables. Se concluye de esta grafica que para lograr reducir al mínimo la retracción del hormigón se debe utilizar la mínima cantidad de agua compatible con la trabajabilidad deseada. El uso de aditivos reductores de agua y prolongados periodos de curado son beneficiosos para lograr disminuir esta característica del material. esh x 10-6 1400 1200 Limite superior 1000 800 600 Limite inferior 400 150 180 210 240 270 Contenido de agua en kg / m3 de hormigón

Figura 2.35 Efectos del contenido de agua en la retracción del hormigón En hormigones de composición normal los valores estimados de la deformación por retracción, esh, son del orden de 400 a 800 micro deformaciones. Si el hormigón utiliza


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103

agregados con altos porcentajes de absorción ( mayores al 3.5% ) estos valores se incrementan al doble. Experimentalmente se ha comprobado que la retracción no es un fenómeno reversible. Si el hormigón se humedece nuevamente después de su contracción este no recuperara su volumen inicial. La figura 2.36 muestra el comportamiento de la retracción con el tiempo para un hormigón que fue mantenido en curado húmedo por siete días, su asentamiento se mantuvo menor o igual a 100 mm, el espesor era de 150 mm y la humedad relativa era del 40%. Se nota como su valor aumenta rápidamente los primeros 100 días alcanzando un 70% de la retracción final ; al cabo de un año la retracción a alcanzado un 90% de la final. esh x 10-6 eshu 0.91 eshu 0.72 eshu 90 365 100 200 300 400 t ( dias)

Figura 2.36 Variación de la retracción del hormigón con el tiempo

En la figura 2.37 se visualiza como un alto porcentaje en el contenido de agregados en la mezcla ( mayor del 70% en volumen ) para una misma relación agua-cemento permite una reducción apreciable en la retracción del hormigón. Por ejemplo si el hormigón tiene una relación A/C de 0.50 y el contenido de agregados es del 60% se presenta una retracción de 0.001500. Si el contenido de agregados aumenta al 70% la retracción disminuye a 0.000800 es decir una reducción del 47% en esta propiedad. Como recomendación general se ha propuesto que un hormigón que manifieste una alta deformación por fluencia también mostrara una alta retracción, ya que ambos fenómenos están influenciados prácticamente por las mismas variables. Desde el punto de vista del diseño estructural se han propuesto métodos empíricos, similares a los de la fluencia, para su estimación. Ejemplos de ello son los del ACI y del CEB.


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104

esh x 10-6 1.60 60 % 1.20 70% 0.80 0.40 80% 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 A/C

Figura 2.37 Efecto del % de agregados y la relación agua cemento en la retracción

2.2.6.1 Método del comité 209 del ACI. En este procedimiento se determina la deformación por retracción utilizando la expresión 2.51 la cual es una combinación lineal de variables independientes.

( ) shucefsthhtsh SSSSSSS εε ×××××××= (2.51) En donde: esh : Deformación por retracción del hormigón eshu : Deformación por retracción ultima obtenida experimentalmente. Se asume como 0.000800 para curado húmedo y 0.000730 para curado al vapor. St : Coeficiente de edad de la retracción

tKt

St += (2.52)

Con K = 35 para t > 7 días (curado húmedo) y K =55 para t > 1 día (curado al vapor) Sh : Coeficiente de humedad relativa [ H : humedad relativa (%)]

10080...........03.00.38040...........01.04.1

≤<⇒×−=≤≤⇒×−=

HHSHHS

h

h (2.53)

Sth : Coeficiente de espesor mínimo [ e: espesor del elemento (mm)]


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105

mmeSmmeS

th

th

⋅>⇒=⋅≤⇒=

150......84.0150.......00.1

(2.54)

Ss : Coeficiente de asentamiento del hormigón [ s : asentamiento (mm)]

Tabla 2.9 Valores de Ss en la retracción del hormigón

Asentamiento (mm) 50 75 100 125 Ss 0.97 1.01 1.05 1.09

Sf : Coeficiente de porcentaje de finos en la mezcla de hormigón ( f : % de finos)

Tabla 2.10 Valores de Sf en la retracción del hormigón

f (%) 40 50 60 70 Sf 0.86 1.00 1.02 1.04

Se : Coeficiente de contenido de aire [ a : contenido de aire (%)]

Tabla 2.11 Valores de Se en la retracción del hormigón

a (%) 4.0 6.0 8.0 10.0 Se 0.98 1.00 1.01 1.03

Sc : Coeficiente de contenido de cemento [ C: contenido de cemento (kg) ]

Tabla 2.12 Valores de Sc en la retracción del hormigón

C (kg) 250 350 450 550 Sc 0.90 0.97 1.04 1.11

El método de Branson es un caso particular de la ecuación general (2.51) y permite estimar en forma conservadora la retracción de un hormigón típico ( asentamiento menor de 100 mm, curado húmedo después de 7 días, humedad relativa del 40% espesor menor de 150 mm) en función solo de la edad . Se puede utilizar para chequeos rápidos en el diseño estructural.

shush tt

εε ×

+=

35 (2.55)

Ejemplo 2.3: Determinar la deformación por retracción que sufre un muro de hormigón de espesor 250 mm, expuesto después de los 7 días a una humedad relativa promedio del 60% durante 5 años. La mezcla de hormigón presenta un contenido de finos del 34%, un asentamiento de 75 mm, un contenido de cemento de 356 kg por metro cúbico


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y un contenido de aire del 5%. El hormigón se conservara húmedo durante 5 días después de vaciado. La velocidad del aire promedio en el sitio es de 35 km/h. Solución: La deformación por retracción se determina a partir de la ecuación 2.51 de acuerdo a los siguientes datos: § eshu = 0.0008 (hormigón con curado húmedo) § St = ( 5 x 365 ) / ( 35 + 5 x 365 ) = 0.98 § Sh = 1.4 – 0.01 x 60 = 0.80 ( ecuación 2.53) § Sth = 0.84 ( ecuación 2.54) § Ss = 1.01 ( Tabla 2.9 ) § Sf = 0.78 ( tabla 2.10 ) § Ss = 0.99 ( tabla 2.11) § Sc = 0.97 ( tabla 2.12)

esh = ( 0.98 x 0.80 x 0.84 x 1.01 x 0.78 x 0.99 x 0.97 ) x 0.0008 esh = 0.498 x 0.0008 = 0.000399 Lo anterior equivale a decir que este hormigón se contrae 0.400 mm por cada metro longitudinal de muro. En el numeral 2.1.2 se indico que la deformación máxima a tracción directa del hormigón es de 100 micro deformaciones se entiende inmediatamente que este muro se encuentra fisurado por efectos de la retracción a no ser que se diseñe correctamente su refuerzo y se detallen convenientemente las juntas. Si se aplica la formula aproximada de Branson se obtienen los siguientes resultados: esh =[ ( 5 x 365 ) / ( 35 + 5 x 365 ) ]x 0.0008 = 0.98 x 0.0008 = 0.000784 Esta deformación es un 95% mayor que la obtenida usando la formula completa. Se puede notar como sobre estima la retracción dando valores exageradamente altos. 2.6.2.2 Método del CEB. En este caso la deformación por retracción se determina con la expresión 2.56 considerando un intervalo de tiempo desde to hasta te.

( ) ( ) shuoeSBLRHSSoesh tttt εβαααε ××××= ,, (2.56) En donde: ass : Factor de tamaño del elemento y depende del espesor efectivo ho. Figura 2.38 aRH : Factor de humedad relativa ambiente. Figura 2.39 aSL: Factor de asentamiento y contenido de cemento. Figura 2.40 ßS: Factor de velocidad de retracción. Figura 2.41


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te y to son las edades final e inicial en la determinación de la retracción En forma similar a la determinación de la fluencia se debe inicialmente estimar el espesor efectivo del elemento con la ecuación 2.48 y la tabla 2.7. ass 1.6 1.2 0.8 0.4 50 100 200 400 600 800 1500 ho ( mm)

Figura 2.38 Determinación del factor de tamaño ass

aRH 1.00 0.75 0.50 0.25 25 50 75 100 % humedad relativa

Figura 2.39 Estimación del factor de humedad relativa, aRH


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aSL 1.2 1.1 C =530 kg C = 415 kg 1.0 C = 300 kg 0.9 50 100 150 Asentamiento ( mm)

Figura 2.40 Valores del factor de asentamiento y contenido de cemento, aSL

Figura 2.41 Determinación de los valores de velocidad de retracción, ßS

Ejemplo 2.4 Una losa de piso de hormigón de 150 mm de espesor esta perimetralmente apoyada en un muro carguero de 400 mm de espesor. La losa presenta un patrón de fisuras perpendiculares a la dirección de los muros cargueros. La losa tiene 12 meses de vaciada y los muros 14 meses. La temperatura promedio en el sitio es de 20°C. El hormigón tiene un contenido de cemento de 400 kg por metro cúbico y un asentamiento de 75 mm. Se utilizo un curado húmedo por 5 días para ambas estructuras. La humedad

C: Contenido de cemento


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relativa es de 50%. Determinar el ancho de las fisuras suponiendo que estas se deben a la retracción por efecto de la restricción que hacen los muros al movimiento de la losa.

Figura 2.42 Grafica de la losa del ejemplo 2.4 Solución:

a) Para la losa Se determinara inicialmente el espesor efectivo de la losa, ho = ? (2 x Ac) / µ ? = 1.10 Para una humedad relativa del 50%. Tabla 2.7 Ac = 150 mm x 300 mm = 45000 mm2 ( Franja unitaria de losa) µ = 2 x 300 = 600 mm (dos bordes de cada franja en contacto con la atmósfera) ho = 1.1 x ( 2 x 45000) / 600 = 165 mm La retracción se iniciara cuando termine el curado húmedo de la estructura. Es

decir después de cinco días. En un año el tiempo de retracción es t = 365 – 5 = 360 días. La edad efectiva se determina con la ecuación 2.50 así:

360)1020(30

0.1×+=et = 360 días

aSS = 0.95 , aRH = 0.90 , aSL=1.00 de las figuras 2.38, 2.39 y 2.40 ßs(te,to) = ßs(365-5) = 0.75 de la figura 2.41 La retracción en la losa es : esh= ( 0.95 x 0.90x 1.00 x 0.75 ) x 0.0008 = 0.000513

b) Para el muro carguero: El espesor efectivo es: ho = 1.1 x ( 2 x 400 x 300) / ( 1000)= 264 mm / m aSS = 0.75 , aRH = 0.90 , aSL=1.00 de las figuras 2.38, 2.39 y 2.40 La retracción puede dividirse en dos etapas: La retracción total a los 14 meses y la retracción del muro antes de que la losa inicie la retracción.


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Al final del curado de la losa: ßs(te,to) = ßs(65-5) = 0.02 de la figura 2.41 Cuando la losa tiene 1 año: ßs(te,to) = ßs(420-5) = 0.13 de la figura 2.41 La retracción del muro es: esh= [ 0.75 x 0.90x 1.00 x (0.13-.02)] x 0.0008 = 0.000059 La deformación relativa losa-muro es : 0.000513 – 0.000059 = 0.000454 Si la distancia promedio entre fisuras esta entre 1.8 y 2.4 m el ancho de fisura por retracción varia entre: 0.454 x 1.80 = 0.81 mm y 0.454 x 2.40 = 1.09 mm. Las cuales son fisuras que se pueden apreciar fácilmente con la vista. 2.2.7 Deformación por cambios de temperatura Los efectos por cambios de temperatura son similares a los que se presentan por la retracción del hormigón. Las deformaciones por cambios de temperatura se determinan con la ecuación 2.57 en donde aT h es el coeficiente de expansión térmica del hormigón el cual varia dependiendo fundamentalmente del tipo y cantidad de agregados y del contenido de humedad. La tabla 2.13 muestra los valores típicos de aTa para los agregados y sus valores oscilan entre 7.0x10-6/°C a 13x10-6/°C para temperaturas comprendidas entre –15°C y 50°C. Un valor promedio de aTa es 10x10-6/°C.

ThThT ∆×= αε (2.57) En general los agregados de origen calizo proporcionan valores de aT mas bajos que los agregados siliceos. En el hormigón los valores de aTa para los agregados y aTc para las pastas de cemento no son iguales lo que produce movimientos térmicos internos en el material al modificarse la temperatura ambiente.

Tabla 2.13 Valores del coeficiente de expansión térmica, aTa , con diferentes agregados

Tipo de agregado Coeficiente aTa x (10-6)/°C Chert 7.4 – 13.0

Cuarcita 7.0 – 13.2 Cuarzo 11.1

Arenisca 4.3 – 12.1 Caliza silícea 3.6 – 9.7

Granito 1.8 – 11.9 Basalto 4.0 – 9.7 Caliza 1.8 – 11.7

Los coeficientes de expansión térmica del hormigón, aT h , se determinan con el método ASTM C-531. En ausencia de resultados experimentales la ecuación 2.58 se puede usar para estimar su valor.

TaTsTh ααα ×++= 72.01.3 (2.58)


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En donde aTs son los valores del coeficiente térmico de acuerdo al grado de saturación del hormigón. Se determinan con la tabla 2.14. El valor de 3.1 corresponde a la participación de la pasta de cemento. Tabla 2.14 Valores sugeridos para estimar el coeficiente por grado de saturación, aT s

Estructura y condiciones

ambientales Grado de saturación aTs x 10-6 / °C

Sumergidas o sometidas a alta humedad

Saturado 0

Masivas, muros, vigas, columnas y losas con superficie cubierta.

Entre parcialmente saturado y saturado

1.3

Losas, muros, vigas, columnas y techos no

cubiertos.

Parcialmente saturado y con el tiempo alcanzan condiciones secas

1.5 a 2.0

2.2.8 Resistencia al fuego Una de las principales razones por las cuales el hormigón es ampliamente usado en la construcción es que este puede mantener una integridad razonable para la seguridad publica cuando se presenta una amenaza de fuego. El hormigón es incombustible y un razonable aislante contra la transmisión del calor. Estas cualidades ayudan a controlar el fuego y limitan la extensión del daño. Sin embargo el principal papel del hormigón en presencia del fuego es proteger el refuerzo de las altas temperaturas que producen disminución de sus propiedades mecánicas lo que repercute finalmente en la falla. Existen pruebas normalizadas para determinar la capacidad resistente del hormigón al fuego. El método ASTM E-119 es una prueba donde se define la curva tiempo- temperatura del material llevando el ensayo a 1260°C en 8 horas. Igualmente el lector puede consultar el informe del comité 216 del ACI para ampliar el conocimiento y detalles de las pruebas experimentales. Las propiedades térmicas relacionadas con el comportamiento del hormigón a altas temperaturas son: conductibilidad térmica (capacidad del material para conducir el calor, es una relación del flujo de calor al gradiente de temperatura), difusividad térmica ( la rata para la cual toma lugar un cambio en la temperatura) y los dos parámetros mas ampliamente utilizados en la ingeniería: el calor especifico y el coeficiente de expansión térmica explicado en el numeral anterior. El coeficiente de conductibilidad térmica del hormigón es mucho mas bajo que el del acero, los valores respectivos están entre 1.1 a 4.5 Kcal x h x °C / m2. 2.2.9 Resistencia a la fatiga Cuando el hormigón se somete a ciclos de carga y descarga en lugar de una carga sostenida, su resistencia mecánica disminuye considerablemente. Experimentalmente se


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ha comprobado que cuando el hormigón se carga de cero a su máxima capacidad, la fatiga limita su resistencia estática en un 50% a 60% para dos millones de ciclos. La figura 2.43 ilustra gráficamente esta característica del hormigón y fue obtenida en ensayos de vigas de hormigón sin refuerzo a diferentes relaciones y ciclos de carga.

Figura 2.43 Resistencia a la fatiga del hormigón En el caso de tensiones producidas por la compresión, tracción, cortante y torsión la fatiga limita la resistencia del material a un 55% de la resistencia estática. En general estas recomendaciones son generales ya que se ha comprobado que la resistencia a la fatiga no solo depende de la resistencia estática sino también de la humedad relativa, la edad y la velocidad de aplicación de las cargas. 2.2.10 Durabilidad del hormigón Este al igual que la resistencia mecánica este es uno de los aspectos fundamentales del diseño estructural. El termino durabilidad se refiere a la capacidad que debe tener el material para resistir los ataque externos sin perdida apreciable de su capacidad mecánica inicial. El comité 201 del ACI presenta un informe amplio sobre el tema denominado “ Guía del hormigón durable” el cual se recomienda al lector su lectura para complementar la información de este texto. Los ataques externos que afectan el hormigón son: el congelamiento y deshielo, la exposición a compuestos químicos agresivos, la abrasión, la corrosión del refuerzo y las reacciones químicas entre los componentes del material. Las recomendaciones generales indican que con una adecuada selección, uso y dosificación de los componentes del hormigón y en algunos casos la ayuda de adiciones y recubrimientos especiales del material se pueden lograr excelentes resultados.


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2.3 EL ACERO DE REFUERZO Y SUS PROPIEDADES El acero es principalmente una aleación de mineral de hierro mas carbono con adición de otros componentes que pueden ser o no metálicos y que resultan aptos para ser trabajados a altas temperaturas ( mayores a 1500°C). Su componente principal, el mineral de hierro, no se utiliza con fines industriales por ser demasiado dúctil y de fácil oxidación al ambiente; sin embargo resulta ser el cuarto material mas abundante en la naturaleza después del oxigeno, silicio y aluminio. Los minerales de hierro mas importantes desde el punto de vista industrial son los óxidos hidratados y los carbonatos; se destacan en orden decreciente la hematita, limonita, magnetita, siderita y algunos residuos ferrosos resultantes de la obtención de ácido sulfúrico de la pirita. El acero tiene una densidad promedio de 7.85 Mg/m3 y se encuentra dividido en dos grandes grupos: Los aceros al bajo carbono ( dulces) y los aceros al alto carbono ( duros). Los aceros dulces tienen menos del 0.6% de carbono y pueden forjarse y soldarse fácilmente pero su temple es difícil de realizar. Los aceros duros tienen entre el 0.6 y el 1.5% de carbono son difíciles de soldar pero su temple es fuerte. Algunos componentes químicos tienen efectos indeseables en el comportamiento mecánico del material. El silicio por ejemplo en proporción mayor al 0.1% lo vuelve frágil y quebradizo, el azufre produce efectos similares al silicio, el oxigeno produce burbujas interiores que afectan adversamente la resistencia. De otra parte otros componentes son benéficos para el material: el manganeso le da plasticidad al acero, mayor dureza y elasticidad; el níquel y el cromo aumentan la dureza sin volverlo quebradizo; el nitrógeno facilita el temple; el fósforo facilita el moldeo proporcionando mayor elasticidad y menos fragilidad en contenidos menores al 0.4%, en contenidos mayores se debe agregar manganeso para garantizar que el efecto del fósforo perjudique las características adquiridas en el material. Industrialmente se producen algunos aceros especiales destinados a determinadas aplicaciones particulares, se tienen por ejemplo: § Aceros al cromo: De gran dureza y tenacidad § Aceros al níquel: De gran dureza § Aceros al manganeso: De alta dureza § Aceros al tungsteno: Con capacidad magnética

En la tabla 2.15 se presentan resumidamente las características mas importantes de varios tipos de aceros usados industrialmente. 2.3.1 El acero como refuerzo del hormigón El uso de refuerzo metálico para el hormigón se inicio con la utilización de ganchos y barras de hierro colocadas en las zonas de mayor tracción del material. F. Hennebique fue el primer ingeniero que reemplazo el hierro por acero en el año de 1897. El desarrollo técnico de la industria del acero de refuerzo tanto en Europa como en los Estados Unidos, a pesar de seguir caminos diferentes, empezó de manera similar. En ambas partes se emplearon varillas o redondos lisas de resistencia a la tracción relativamente baja ( menor a 140 MPa). Particularmente en los Estados Unidos el


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desarrollo industrial del refuerzo comenzó con la introducción de corrugaciones superficiales a las barras para facilitar la adherencia con el hormigón.

Tabla 2.15 Clases de aceros industriales y aplicaciones

Clase de acero

Resistencia a tracción en

rotura (MPa)

Proceso de horno

metalúrgico

Aplicaciones industriales

Aceros Extraduros § Carbono 1.0-1.5% § Cromo 0.1-0.2% § Manganeso 0.1-0.2% § Titanio 0.1-0.2%

> 800

Martin

Bessemer Pernot

Imanes al tungsteno, herramientas, material bélico

Aceros muy duros § Carbono 0.8-1.0% § Manganeso 0.5-0.8%

700 - 800

Martín –Siemens Bessemer

Pernot

Herramientas, rieles proyectiles balísticos

Aceros duros § Carbono 0.6-0.8% § Manganeso 0.5-1.0% § Fósforo 0.3-0.4%

600 – 700

Martin Bessemer

Pernot

Materiales industriales,

cuchillos, sierras

Aceros dulces comunes § Carbono 0.4-0.7% § Manganeso < 0.8% § Fósforo 0.06-0.4%

500 - 600

Martín- Siemens Bessemer

Arco eléctrico

Rieles de ferrocarril, bielas de maquinas

Aceros muy dulces § Carbono < 0.4% § Manganeso < 0.8% § Silicio < 0.06% § Fósforo < 0.06%

400 - 500

Martín-Siemens Arco eléctrico

Herramienta agrícola, partes de vehículos, alambres y barras de refuerzo.

En Europa la industria del acero se dirigió mas a aumentar la resistencia a la tracción del material. Las propiedades de adherencia fueron modificadas con el uso de barras rectangulares sometidas a torsión para formar una hélice. Ejemplo de estas barras son los aceros Isteg, Tor, Boxor, Drillwulst con resistencias a tracción en fluencia mayores e iguales a 420 MPa. Solo después de finalizada la segunda guerra mundial se comienza la gran producción industrial del acero de alta resistencia corrugado para refuerzo del hormigón. Las primeras estructuras construidas con este refuerzo en los Estados Unidos son de finales de la década de los año cincuenta. Actualmente la industria del refuerzo utiliza barras de acero con resistencias a la tracción de 420, 530 MPa en su punto de fluencia. Comparado con el hormigón el acero es un material de alta resistencia. Solo en compresión lo supera 10 a 15 veces y en tracción de 100 a 130 veces. De otra parte el acero es un material de mas costo que el hormigón ( la relación costo acero / costo hormigón > 10 ). De lo anterior se concluye que si se usan convenientemente los dos


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materiales de tal forma que el hormigón atienda la compresión y el acero la tracción se pueden lograr estructuras seguras y económicas. Para garantizar que la acción conjunta del hormigón y del acero sea efectiva es esencial que ambos materiales se deformen igualmente, lo que significa adherencia perfecta. Esta se logra mediante la acción de la adherencia química de ambos materiales mas el efecto de las corrugaciones que actúan como adherentes físicos. Adicionalmente se deben tener en cuenta las siguientes características de los dos materiales: § Similitud en los coeficientes de dilatación térmica . Mientras que en el hormigón

el valor es de 10 x 10-6/°C en el acero es de 12 x 10-6/°C; esto impide el agrietamiento y las deformaciones por gradientes térmicos.

§ La excelente resistencia del hormigón al ataque externo permite proteger el refuerzo de la corrosión evitando costosas reparaciones.

§ El buen comportamiento del hormigón al fuego protege igualmente al acero de refuerzo de un calentamiento excesivo en caso de incendios.

2.3.2 Clasificación del acero de refuerzo Comercialmente se conocen tres tipos de acero de refuerzo del hormigón; el acero al bajo, medio carbono para el hormigón armado y el acero al alto carbono para el hormigón pretensado. En los últimos años se ha descontinuado el uso del acero al bajo carbono por su limitada resistencia mecánica (menor que 280 MPa) y se ha aumentado el uso del acero al medio y alto carbono. El acero de refuerzo del hormigón armado, conocido como acero al medio carbono, se distribuye en alambres, mallas electrosoldadas y barras o varillas redondas de diámetros que van desde 6.3 mm hasta 35 mm. La nomenclatura comercial aun continua utilizando los diámetros en octavos de pulgada por facilidad nemotécnica y de representación numérica. En esta clasificación las barras frecuentemente usadas van desde 1/ 8 hasta 11/8 de pulgada y la designación estándar es el numerador de la fracción indicada . Por ejemplo la barra # 6 tiene un diámetro de 6/8 de pulgada que equivale a 19.05 mm. Las barras deben traer de fabrica unas corrugaciones superficiales que se ajustan a los requerimientos geométricos indicados en las normas. Por ejemplo se especifica que la altura, hc, ancho, bc y espaciamiento, Sc de las corrugas lo mismo que el ancho de las venas longitudinales, bv debe ser: hc > 0.05 db; bc > 0.10 db ; Sc < 1.50 db y bv > 0.10 db. Donde db es el diámetro de la barra. La figura 2.44 indica algunos tipos de corrugas en barras comerciales. La tabla 2.16 muestra las propiedades geométricas, diámetro, sección, peso y perímetro de las barras de refuerzo del hormigón armado. La determinación de la sección real de una barra no es inmediata por la presencia de las corrugas superficiales, en estos casos se utiliza el concepto de sección equivalente definida en la ecuación 2.59 y el diámetro equivalente con la ecuación 2.60.


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( )00785.0

/ mkgMasaArea = (mm2) (2.59)

πArea

Diametro×

=4

(mm) (2.60)

El acero para el hormigón pretensado, conocido como al alto carbono, se comercializa en forma de alambres trenzados generalmente de siete hilos en donde un hilo central esta rodeado por los otros seis en forma helicoidal con un paso de hélice de 12 a 16 veces el diámetro nominal del cordón. El diámetro del hilo varia entre 2 y 8 mm.

Figura 2.44 tipos de barras de refuerzo para el hormigón armado


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Tabla 2.16 Propiedades geométricas de las barras de refuerzo

Barra # Diámetro Área Perímetro Masa # mm mm2 mm Kg / m 3 9.5 71 29.9 0.56 4 12.7 129 39.9 1.00 5 15.9 200 49.9 1.56 6 19.1 284 59.8 2.25 7 22.2 387 69.8 3.06 8 25.4 510 79.8 4.00 9 28.7 645 90 5.06 10 32.3 819 101.4 6.35 11 35.8 100.6 112.5 8.04

2.3.3 Propiedades mecánicas del acero Las características mecánicas mas importantes del acero de refuerzo son: la resistencia a la tracción tanto ultima ( fsu) como en fluencia (fy), el modulo de elasticidad (Es), el porcentaje de alargamiento en rotura (% alarg.) y su aptitud al doblado. Tanto las normas NTC como ASTM especifican procedimientos normalizados para evaluar estas propiedades ( NTC-161, 2289 y ASTM A-706, 496 y 497). El modulo de elasticidad del acero, Es, es constante para todas las barras de refuerzo independiente de su composición química como lo indica la grafica de la figura 2.45 y 2.46 inclusive su variación es mínima para aceros de ultra alta resistencia ( > 1700 MPa) figura 2.47. Su valor se puede asumir como Es = 204000 MPa para todos los diseños estructurales. La forma de la curva tensión deformación del acero de refuerzo, principalmente su zona elástica, tiene una incidencia significativa en el comportamiento estructural del hormigón armado. La figura 2.45 indica como entre mas alta sea la resistencia a tracción del acero menor es tanto su plataforma de fluencia como su deformación ultima. Los aceros al bajo carbono ( fy < 280 MPa) muestran una bien diferenciada zona de fluencia con altos alargamientos antes de la falla [ valores mayores del 20% ( esu = 0.20) ]. Los aceros al medio carbono ( fy entre 420 y 630 MPa) tienen por el contrario una zona de fluencia mucho mas corta y generalmente no bien diferenciada. En estos casos se especifica que la tensión de fluencia es la correspondiente a una deformación de es = 0.0035 ( el 0.35%); estos aceros presentan alargamientos menores del 12%. Desde un punto de vista comparativo se muestran en la figura 2.47 las curvas tensión deformación para aceros en hormigón pretensado. En ellas se puede apreciar como en este material se pueden lograr resistencias hasta de cinco veces la de un acero normal.


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fs ( MPa) 900 fs = 630 MPa 800 700 fs = 530 MPa 600 500 fs = 420 MPa 400 300 fs = 280 MPa 200 100 0.05 0.10 0.15 es

Figura 2.45 Curvas típicas tensión deformación de aceros de refuerzo G90 600 G75 500 G60 400 300 G40 200 100 Es = tan (a) = 20400 MPa 0.005 0.010 0.015 es

Figura 2.46 Modulo de elasticidad y tensión de fluencia de varios aceros de refuerzo


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Además no presenta una plataforma de fluencia por lo que es necesario definir arbitrariamente un valor para fy. Algunas especificaciones fijan el fy para una deformación del 1% para cordones y 0.7% para alambres. Estos aceros presentan una característica especial en su etapa de servicio conocida como la relajación la cual se define como la perdida de tensión a deformación constante. Experimentalmente se ha logrado obtener una expresión para estimar la tensión final de un acero, fp, sometido a una tensión inicial, fp1, durante un tiempo t en horas ( ecuación 2.61).

( )

−×−×= 55.0

10log

1 11

y

ppp f

ftff (2.61)

fs ( MPa) Cable de 1900 MPa Cable de 1760 MPa 2000 Alambre de 1760 MPa 1500 Barra de 1125 MPa 1000 Barra de 1020 MPa 500 Barra de 420 MPa 0.05 0.10 0.15 es

Figura 2.47 Curvas tensión deformación para aceros de pretensado 2.3.4 Resistencia a la fatiga En la ingeniería son muchas las estructuras sometidas repetidamente a ciclos de carga y descarga en edificios, puentes, silos, represas es un fenómeno rutinario. Bajo estas circunstancias el acero, al igual que el hormigón, esta sometido a la fatiga. El fenómeno estudiado desde el punto de vista micro estructural es complejo y su tratamiento esta fuera del enfoque nuestro, sin embargo es vital su conocimiento para evitar futuras fallas catastróficas. La falla por fatiga esta precedida por la formación de una gran cantidad de micro fisuras que se han formado después de la aplicación de un


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determinado numero de ciclos de carga. Estas fisuras se forman en los puntos de máxima tensión o en las discontinuidades del material y aumentan gradualmente a medida que se incrementa la fluctuación de las cargas. Al cabo de un determinado tiempo se ha reducido el área efectiva del material, pierde por tanto capacidad y la falla es inminente ( generalmente sin mostrar signos previos al colapso). Experimentalmente se han encontrado relaciones matemáticas entre el rango seguro de tensiones que minimiza la falla por fatiga, fr, la tensión mínima de carga , fmin y la relación entre el radio y la altura de las corrugas superficiales del acero, r/h. La ecuación 2.62 es un ejemplo de esta relación.

×+×−=hr

ff r 833.0162 min (MPa) (2.62)

Otros resultados experimentales muestran la relación entre fr y el numero de ciclos de carga, figura 2.48, donde se nota que existe un umbral de fatiga o limite de resistencia, bajo el cual la falla por fatiga no se presenta. Para barras de acero con resistencias entre 280 y 420 MPa el umbral de resistencia es 170 MPa. fr ( MPa) : Rango de tensiones 350 300 250 200 fr = 170 MPa 150 100 50 105 106 107 N

Figura 2.48 Ensayos de fatiga en aceros de refuerzo

Algunas conclusiones importantes respecto a la fatiga de los aceros de refuerzo del hormigón armado es importante recordarlas en los proyectos estructurales: § Las variables que mas influyen en el fenómeno son: el rango de tensiones de

carga, el valor mínimo de la tensión y las características geométricas del refuerzo.

§ Cuando el rango de tensiones de carga, fr, es menor que 180 MPa no se presentan fallas por fatiga con aceros de limites elásticos menores que 500 MPa.

Log N = 6.97 - 0.0056*fr

Limites con el 95% de confiabilidad


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§ No se debe considerar los efectos de fatiga en barras a tracción con aceros de tensión de fluencia, fy, menor que 420 MPa.

§ Igualmente no se debe considerar la fatiga con aceros a compresión de fy menor que 500 MPa.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se requiere determinar que resistencia alcanza un hormigón a los siete días de

edad si la resistencia de diseño estructural es de f´c = 28 MPa y es elaborado con cemento Pórtland tipo 1 agregados calcáreos y una relación agua- cemento de 0.48.

2. Determinar cual es el modulo de elasticidad de un hormigón cuyo f´c = 35 MPa. Cual es el modulo de rotura y su resistencia a tracción directa.

3. En un ensayo de compresión simple de una probeta de hormigón se obtienen las siguientes medidas de la relación carga vs acortamiento. Determinar el modulo de elasticidad ASTM y compararlo con el valor del ACI-318 o ( NSR-98 ). Comparar el modulo ASTM con el modulo tangente inicial, el modulo secante al 40% y el modulo tangente al 40 %. Analizar resultados.

Carga (kN) Acortamiento (milímetro x 10-3)

2.5 3 5.0 7 7.5 9 10.0 11 15.0 15 20.0 20 30.0 26 40.0 31 50.0 37 100.0 71 150.0 115 200.0 162 250.0 201 300.0 256

DISEÑO A FLEXIÓN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1

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ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

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3 DISEÑO A FLEXION DEL HORMIGÓN ARMADO 3.1 INTRODUCCION El principal objetivo del ingeniero estructural es el diseño de edificaciones. Se entiende por diseño la determinación de la forma general ( configuración) , las dimensiones ( dimensionamiento), el refuerzo y las condiciones de servicio de la estructura. Lo anterior con el fin de garantizar una adecuada estabilidad y comportamiento cuando actúen sobre ella las diferentes acciones llámense cargas directas, indirectas, medio ambiente o asentamientos del terreno. La herramienta básica del proceso de diseño es la mecánica estructural la cual se puede definir como el conjunto de conocimientos técnicos que permiten predecir con cierta confiabilidad como se comportara una estructura de una determinada configuración, dimensiones y refuerzo cuando esta sometida a las diferentes acciones consideradas. Los aspectos mas importantes que se deben considerar en la mecánica estructural se pueden resumir en los siguientes dos puntos: § La resistencia estructural, es decir cuales son las magnitudes y la

distribución de las cargas que pueden producir en un momento dado el colapso o falla estructural.

§ Las condiciones de servicio, es decir su estado de fisuracion y deflexión bajo la acción de las cargas externas.

3.2 HIPOTESIS FUNDAMENTALES El diseño del hormigón armado se fundamenta en las siguientes bases teóricas o hipótesis fundamentales que facilitan la modelación numérica sin perdida de precisión en los resultados finales: § Las fuerzas internas en cualquier sección de una estructura deben estar en

equilibrio con los efectos de las cargas externas. Esta se conoce también como la hipótesis de equilibrio y es realmente un hecho, ya que un cuerpo o parte de él solo puede estar en reposo si todas las fuerzas que actúan están en equilibrio.

§ Se debe garantizar una unión perfecta entre el hormigón y el acero de refuerzo. Esta se conoce como la hipótesis de adherencia y significa que bajo carga ambos materiales deben tener la misma deformación. Esta compatibilidad de deformaciones se incrementa con el uso de barras de refuerzo de adherencia mejorada ( barras corrugadas).

§ Las secciones planas antes de la aplicación de las cargas continúan planas después de la aplicación de estas. Esto significa que hay una distribución lineal de deformaciones en el material que aunque no es totalmente cierta, particularmente en rangos cercanos a la falla, es una excelente aproximación matemática confirmada por numerosas evaluaciones experimentales.

§ Se considera que la resistencia a la tracción del hormigón es despreciable. Lo anterior se basa en el hecho de que la resistencia a la tracción del hormigón es una pequeña fracción de la resistencia a compresión por lo que


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en zonas donde el material este traccionado por lo general estará fisurado y no esta en capacidad de resistir tensiones de tracción. Realmente se ha confirmado el hecho de que el hormigón antes de fisurarse resiste tensiones de tracción bajas las cuales es importante considerarlas por ejemplo en el diseño a cortante del material.

§ El diseño se basa en el comportamiento real tensión-deformación tanto del hormigón como del acero de refuerzo y en las propiedades resistentes de cada uno, en lugar de utilizar supuestos teóricos sobre el comportamiento de ambos materiales. Este método reemplaza el tradicional o clásico en donde se asumía que tanto el hormigón como el acero se comportaban elásticamente. Aunque esta hipótesis elástica conduce a cálculos relativamente sencillos es importante aclarar que se aleja mucho de la realidad. Los métodos de diseño actuales reconocen la no elasticidad de los materiales en zonas de altas tensiones y se acercan mas estrechamente al comportamiento real de las estructuras.

Estas cinco hipótesis permiten predecir el comportamiento del hormigón armado en muchos casos sencillos, sin embargo para problemas mas complejos como los presentados en estructuras especiales tipo mensulas, vigas profundas, nudos, combinación de tensiones se requieren consideraciones adicionales como por ejemplo los modelos de los campos de tensiones, el puntal y el tirante, la cercha espacial. En realidad la acción conjunta de estos dos materiales es de tal complejidad que no se tiene aun una teoría analítica completa para el diseño estructural, los métodos continúan basándose en los resultados de las investigaciones experimentales los cuales se van modificando a medida que se disponen de nuevos datos de laboratorio. 3.3 SECCIONES SOMETIDAS A CARGA AXIAL El estudio del comportamiento del hormigón armado a través de todo el amplio rango de cargas, desde cero hasta la falla, puede presentarse mas claramente si se estudia el caso mas simple de todos: los elementos sometidos a carga axial ya sea tracción o compresión. En realidad existe una muy baja probabilidad de que un elemento de una estructura de hormigón armado este sometido a carga axial y el procedimiento que se presentara solo sirve académicamente para presentar una teoría introductoria al diseño estructural. En las estructuras reales donde se presenta continuidad y transmisión de tensiones y aun en las isostaticas la carga axial por lo general esta acompañada de momentos flectores, cortantes y momentos torsores que afectan considerablemente las tareas del diseño. Los códigos y normas de construcción reconocen este hecho y recomiendan considerar en cualquier diseño estructural la presencia de la carga axial aun cuando el análisis indique que no existen. La principal razón de esta especificación es la existencia de excentricidades accidentales en las cargas aplicadas debido a defectos en la construcción ( desalineamientos en la formaleteria, problemas de montaje y ensamble de elementos ) y movimiento relativo de las cargas en la estructura.


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3.3.1 Compresión Los elementos estructurales sometidos fundamentalmente a carga axial son las columnas y muros de los edificios. En estos es económico hacer que el hormigón soporte la mayor proporción de la carga axial mientras que el acero permite absorber tanto las excentricidades accidentales de la carga axial como los momentos flectores originados por las cargas. Adicionalmente el refuerzo permite disminuir considerablemente las dimensiones de las secciones de hormigón debido a su mayor capacidad en resistencia mecánica. En la figura 3.1 se muestran los dos tipos básicos de columnas de hormigón armado utilizadas preferiblemente en edificaciones: la columna rectangular y la columna circular. La columna rectangular presenta siempre al menos cuatro (4) barras de refuerzo perimetrales las cuales se mantienen en posición por la acción de amarres rectangulares de diámetro 9.50 o 12.70 mm. La función del amarre transversal es fundamental porque facilita el armado durante las construcción de la estructura y evitan el pandeo de las barras longitudinales cuando se someten a carga. En la columna circular el refuerzo perimetral esta conformado por al menos seis (6) barras las cuales se mantienen en su posición por el uso de amarres en espiral que las envuelve cumpliendo la misma función que los amarres en la columna rectangular.

Columna circular con amarres Columna rectangular con amarres

en espiral rectangulares

Figura 3.1 Tipos de columnas de hormigón armado1


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Experimentalmente se ha podido comparar el comportamiento estructural de ambas columnas llegando a la conclusión de que la columna circular es de mayor resistencia y deformación que la rectangular. La razón de esto es que el amarre en espiral produce un excelente confinamiento al hormigón aumentando no solo su capacidad resistente sino sus deformaciones ultimas. La figura 3.2 muestra comparativamente el comportamiento bajo carga axial mediante las curvas carga deformación para los dos tipos de columnas indicadas y una columna de hormigón sin refuerzo. La curva A representa una columna de hormigón sin refuerzo, en ella se aprecia como tanto su capacidad mecánica como su deformación ultima son relativamente bajas respecto a las otras dos columnas; la curva B es la columna rectangular esta presenta una alta capacidad mecánica pero un bajo incremento en la deformación y la curva C para columna circular muestra tres tendencias similares indicando una mayor deformación ultima sin perdida de capacidad de carga. Carga Acortamiento

Figura 3.2 Curvas carga-acortamiento en columnas de hormigón armado1

El comportamiento de la columna de hormigón sin refuerzo es similar al presentado en los ensayos sobre probetas cilíndricas en la determinación del parámetro f´c. La carga máxima se logra cuando la deformación alcanza un valor de 0.002, es decir 2000 micro deformaciones y su resistencia a compresión decrece con el aumento de la esbeltez de la columna indicando perdidas de capacidad entre un 5 y 30%. Como promedio se ha propuesto utilizar en estos casos el valor del 15% que indica una resistencia a compresión de 0.85 x f´c. En el caso de columnas con refuerzo y convenientemente amarradas se obtiene una curva similar a la anterior pero la carga máxima, aunque muy superior a la columna sin refuerzo, se presenta a la misma deformación. La falla es este caso se presenta en forma distinta de acuerdo al tipo de columna. Si se analiza la rectangular se

Falla de columnas con amarres o con

poca espiral

Cuantía alta de espiral

Cuantía recomendada por el ACI

Cuantía baja de espiral


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encuentra que la falla se presenta a unas deformaciones entre 0.003 y 0.005, se caracteriza por la presencia de fisuras que siguen ya sea direcciones paralelas a la carga o planos inclinados 45° según las condiciones de restricción de los apoyos. En estas columnas una vez se logra la capacidad máxima de carga el hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero al quedar totalmente expuesto pierde confinamiento y se pandea por lo general entre dos amarres consecutivos tal como se ilustra en la figura 3.3. En el caso de la columna circular la situación es similar hasta la perdida del hormigón que recubre el acero sin embargo después de esto el amarre en espiral actúa como elemento de confinamiento que no solo impide el pandeo del refuerzo sino que aumenta significativamente la deformación de la columna antes de la falla. De acuerdo con las características geométricas de la espiral la capacidad de carga será mayor o menor que la presentada al momento de desprenderse el recubrimiento de hormigón.

Figura 3.3 Falla típica de una columna con amarres rectangulares1 Si la cuantía de la espiral es alta, produciendo un mayor confinamiento, la columna puede alcanzar una segunda carga máxima mayor que la inicial como se ilustra en la curva C2 de la figura 3.2. De otra parte si la cuantía de la espiral es baja, indicando un menor confinamiento, la capacidad de carga disminuirá gradualmente como lo indica la curva C3. Finalmente la curva C1 muestra el comportamiento sugerido por las normas y códigos de diseño proponiendo una cuantía promedio que garantice el mantenimiento de la capacidad de carga en la columna.


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3.3.1.1 Columnas con amarres rectangulares El comportamiento bajo carga axial de compresión en estructuras de hormigón se puede introducir en forma simple usando como modelo la columna con amarres rectangulares. En este caso cuando se aplica carga las hipótesis dos y tres indican que al existir una adherencia perfecta entre el hormigón y el acero las deformaciones son las mismas en los dos materiales. La figura 3.4 es el punto de partida del análisis y muestra las curvas tensión deformación de un hormigón con f´c = 28 MPa ( líneas b y c) y de un acero con fy = 420 MPa (línea a). La curva b es la forma típica obtenida en un ensayo a compresión sobre probetas cilíndricas. La curva c representa el comportamiento tensión deformación del hormigón cuando la velocidad de carga es lenta simulando las condiciones reales de carga en las estructuras. En estos casos se concluye que la resistencia a la compresión confiable del hormigón es de ochenta y cinco por ciento de la resistencia cilíndrica ( 0.85f´c) como se observa en la figura 3.4. Es importante recordar que el factor de 0.85 para modificar la resistencia del hormigón no se debe solamente a las consideraciones de esbeltez y velocidad de aplicación de la carga mencionadas anteriormente. Existen otros factores que sumados a los anteriores se deben tener en cuenta al considerar este valor; entre otros las condiciones de fabricación y compactación de las probetas cilíndricas las cuales difieren considerablemente de las usadas en las estructuras reales. fs ( MPa) fc ( MPa) 500 50 400 40 a d 300 30 b 200 20 c 100 10 0.001 0.002 0.003 es o ec

Figura 3.4 Curvas tensión deformación para hormigón y acero1


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a) Análisis en rango elástico. Cuando las tensiones producidas por las cargas externas no superan el 50% del valor f´c se puede asumir que tanto el hormigón como el acero tienen un comportamiento acertadamente lineal como lo ilustra la figura 3.4. Lo anterior se traduce en una proporcionalidad entre tensiones de compresión ( f ) y deformaciones (e) en esta fase. En el hormigón el rango aproximadamente elástico se prolonga hasta unas deformaciones de 0.0005 y en el acero hasta lograr la tensión de fluencia (fy) a una deformación de 0.002. Si la deformación a compresión en el hormigón (ec) es la misma que la del acero (es), para una determinada carga, se tiene por el principio de Hooke:

ccc Ef ε= y sss Ef ε= En donde: fc y fs : Tensiones en el hormigón y el acero Ec y Es : Módulos elásticos del hormigón y del acero ec y es : deformaciones en el hormigón y en el acero Si se aplica el principio de igual deformación en ambos materiales cuando la estructura esta sometida a cargas se tiene:

s

ss

c

cc E

fEf

=== εε

De donde se obtiene la conocida relación entre fs y fc:

ccc

ss fnf

EE

f .== (3.1)

n: Relación modular en el hormigón armado = Es/Ec Si se considera que Ac es el área neta de la sección de hormigón ( es decir el área bruta Ag menos el área ocupada por el refuerzo As) y P la carga axial aplicada:

( )sccscccssccsc nAAfAnfAfAfAfPPP +=+=+=+= (3.2) En donde Pc: carga que resiste el hormigón y Ps: Carga que resiste el acero El termino ( Ac + nAs) es conocido como área transformada y puede interpretarse como un área ficticia de solo hormigón que resiste la carga axial “ P “ en forma similar a la sección compuesta de hormigón y acero. Esta sección transformada esta compuesta de la sección real de hormigón mas n veces el área de acero. En la figura 3.5 se representa gráficamente el concepto anterior en una sección de hormigón armado compuesto de seis barras de refuerzo colocadas en dos capas. Si el refuerzo se elimina y este se reemplaza por una sección imaginaria de hormigón el área


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adicional será nAs, como lo muestra la figura 3.5.b. Alternativamente si el área que ocupan las barras se sustituye por hormigón hay que agregar al área total el valor de (n-1)As para obtener la misma sección transformada.

( ) ( ) ( )[ ]sgcssgcscc AnAfnAAAfnAAfP 1−+=+−=+= (3.3) Si se conocen las dimensiones de la sección transversal de la estructura y el nivel de carga aplicado, se pueden encontrar las tensiones tanto en el hormigón como en el acero utilizando las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.3. Las anteriores relaciones son validas siempre y cuando los materiales estén en el dominio del rango elástico. Por razones de seguridad y servicio las tensiones en las estructuras reales bajo condiciones de carga típicas se mantienen en este campo. Por lo que las anteriores ecuaciones son utilizadas para estudiar el comportamiento del material bajo condiciones normales de servicio. Sección Real At = Ac + n As At = Ag + ( n-1) As

Figura 3.5 Sección transformada de hormigón armado

Ejemplo 3.1 Una columna de hormigón armado de dimensiones b = 400 mm y h = 500 mm esta reforzada con seis barras de acero # 9 como se indica en la figura. Si los materiales de la columna son los indicados en la figura 3.4 determinar el nivel de carga axial “ P “ que produce una tensión en el hormigón de 8.5 MPa. 3 barras # 9 3#9 h = 500 mm 3 barras # 9 b = 400 mm

Figura 3.6 Sección de columna para el ejemplo 3.1


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Solución: Ag = 400 x 500 = 200000 mm2

El área de una barra # 9 es = 642 mm2

Por lo tanto As = 6 x 642 = 3852 mm2

Ec = 4790 x 280.5 = 25346 MPa y Es = 204000 MPa De donde n = 204000 / 25346 = 8.05 ˜ 8 ( En general esta relación se redondea el entero mas cercano ya que no se justifica mayor precisión dadas las variaciones propias de los valores de los módulos).

P = 8.5 x [ 200000 + (8 –1) x 6 x 642]=1929194 N = 1929 kN La carga axial que produce una tensión en el hormigón de 8.5 MPa es de 1929 kN. Para determinar la carga que resiste independientemente el hormigón y el acero se procede así:

Pc = 8.5 x ( 200000 – 6 x 642)= 1667258 N = 1667 kN

Ps = 8 x 8.5 x 6 x 642 = 261936 N = 262 kN En otras palabras el hormigón resiste el 86% de la carga axial y el acero el 14%. b) Análisis en rango inelástico. Cuando las cargas externas producen tensiones en el hormigón que se traducen en deformaciones mayores que 0.0005 se concluye que el material esta en zona inelástica y las relaciones obtenidas en el numeral anterior no son adecuadas para analizar su comportamiento estructural. En estos casos se debe utilizar la información experimental de la curva tensión deformación de cada material en forma similar a la ilustrada en la figura 3.4 como se podrá ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2 Utilizando la columna del ejemplo 3.1 determinar la magnitud de la carga axial que produce una deformación de 0.001. Solución: Analizando el grafico 3.4 se puede ver como a esta deformación todavía el acero esta en rango elástico por lo que se tiene:

fs = 204000 x 0.001 = 204 MPa Por el contrario el hormigón esta en rango inelástico de tal forma que las tensiones no pueden calcularse directamente con la expresión fc = Ec ec sino que debe utilizarse la grafica 3.4 o la ecuación del modelo matemático seleccionada para este hormigón. Lo anterior permite resolver el problema tanto para carga lenta ( situación real ) como rápida ( ensayos de laboratorio ).


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Carga rápida. Si la carga se aplica en un periodo corto de tiempo ( similar a los ensayos de laboratorio entre 3 y 5 minutos) la curva b de la figura 3.4 es la que se debe utilizar. De ella puede leerse una tensión fc = 22 MPa para la ec=0.001. En este caso se tiene: P = 22 x ( 200000 - 6 x 642 ) + 204 ( 6 x 642 ) = 4315256 + 785808 = 5101064 N La carga axial que resiste la columna es de P = 5101 kN. De esta el 15% lo resiste el acero y el 85% el hormigón. Estos porcentajes son prácticamente similares a los obtenidos en el ejemplo 3.1 para rango elástico. Carga lenta. En este caso la curva c de la figura 3.4 representa el comportamiento del hormigón. Para una deformación de 0.001 se lee un fc = 18 MPa, por tanto: P = 18 x ( 200000 – 6 x 642) + 204 x 6 x 642 = 3530664 + 785808 = 4316472 N La columna resiste una carga axial de P = 4316 kN y en este caso el acero aporta una capacidad resistente del 18% mientras el hormigón esta en el 82%. Comparando las tensiones en el acero para ambas velocidades de carga se nota como para carga lenta este resiste mas que para carga rápida. Los resultados obtenidos tanto para carga lenta como rápida reflejan algunas conclusiones importantes en el comportamiento estructural de la columna. Por ejemplo debido a la fluencia del hormigón una carga aplicada lentamente produce un acortamiento mayor que una carga rápida. Además cuanto mas alta es la relación fc / f´c o mas lentamente se aplique la carga o mas tiempo se mantenga, menor es la proporción de carga resistida por el hormigón y mayor la del acero. c) Análisis por resistencia. Realmente desde el punto de vista de la seguridad estructural esta es la etapa decisiva del diseño. En esta se obtiene la carga máxima que la estructura o elemento puede soportar antes de la falla. Para determinar esta capacidad de carga se requiere el conocimiento previo de las relaciones entre tensiones y deformaciones deducidas experimentalmente para ambos materiales. De los ejemplos 3.1 y 3.2 se deduce que: 1) en el rango de grandes tensiones y deformaciones, que preceden la resistencia ultima y la posterior falla, no se deben utilizar relaciones elásticas, 2) El comportamiento estructural difiere de acuerdo a si la carga se aplica lenta o rápidamente mostrando la lenta mayor resistencia. En las edificaciones muchos tipos de carga se mantienen durante un periodo prolongado y otras se aplican lentamente como en el caso del peso propio, las instalaciones, los acabados, las cargas por uso y ocupación. Por esta razón se debe utilizar la curva c de la figura 3.4 en la determinación de la resistencia del hormigón. El acero por el contrario alcanza su resistencia ultima a una deformación relativamente alta respecto al hormigón, es = 0.08 ( es decir 40 veces la deformación para resistencia máxima del hormigón, ec = 0.002).


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La falla del hormigón a compresión se presenta a deformaciones entre el 0.002 y 0.003 como se aprecia en la figura 3.4 considerando que a mayor f c menor es la deformación en la falla. Al considerar que las deformaciones de la estructura a compresión son las mismas para el hormigón y el acero, se puede concluir que la carga para la cual el acero inicia la fluencia se puede obtener de la figura 3.4. Si se desprecia la pequeña curva de transición entre la zona elástica del acero y su etapa de fluencia, curva a de la figura 3.4 se puede determinar la deformación para la tensión de fluencia con la ecuación 3.6. Si el acero es de fy = 420 MPa se obtiene una deformación de ey = 0.00206.

s

yy E

f=ε (3.4)

De la curva c, fig. 3.4 se obtiene para esta deformación una tensión en el hormigón de fc = 23.5 MPa. En definitiva la carga axial para la cual el acero comienza a fluir y el hormigón alcanza su máxima resistencia es:

Py = 23.5 x ( 200000 – 6 x 642 ) + 420 x 6 x 642 = 6227318 N = 6227 kN A esta carga el hormigón esta próximo a la falla la cual se logra cuando la resistencia a compresión fc = 0.85 ( 28 ) = 23.8 MPa. En este estado el acero se deforma a tensión constante hasta que el hormigón se agota totalmente y se produce la falla estructural. La carga axial así lograda se conoce como la capacidad nominal a carga axial del hormigón armado, Pn y se da en al ecuación 3.7.

ysccn fAAfP += ´85.0 (3.5) La precisión de la ecuación 3.7 ha sido comprobada en pruebas de laboratorio usando columnas cortas cargadas concentricamente con resultados satisfactorios. Resumidamente se puede decir que en el rango de bajas tensiones el acero soporta una fracción pequeña de la carga axial respecto al hormigón. A medida que se aumentan las cargas y la estructura se acerca a su capacidad resistente se presenta una redistribución de tensiones que se traduce en una mayor participación del acero en la resistencia estructural. En la carga ultima la resistencia estructural es la contribución del acero a su tensión de fluencia mas la del hormigón tensionado al 85% de su resistencia a compresión. Ejemplo 3.3 Determinar para la columna del ejemplo 3.1 la capacidad máxima a carga axial y la contribución del acero y del hormigón a esta resistencia. Comparar los resultados numéricos con los obtenidos en los ejemplos 3.1 y 3.2. Solución: Los materiales tienen las siguientes resistencias: Hormigón de f c = 28 MPa Acero de fy = 420 MPa


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Pn = 0.85 x 28 x ( 200000 – 6 x 642) + ( 6 x 642 ) x 420 = 4668322 + 1617840

Pn = 6286162 N = 6286 kN

La columna tiene una resistencia a carga axial de Pn = 6286 kN de los cuales el 75% es la participación del hormigón y el 25 % del acero. En un cuadro comparativo la evolución de la capacidad de carga de la columna se puede fácilmente resumir así:

Zona Capacidad total (kN)

Aporte hormigón (kN) (%)

Aporte Acero (kN) (%)

Elástica 1929 1667 ( 86 ) 262 ( 14 ) Inelástica- Carga rápida 5101 4315 ( 85 ) 785 ( 15 ) Inelástica – Carga lenta 4316 3530 ( 82 ) 785 ( 15 )

Resistencia 6286 4668 ( 75 ) 1618 ( 25 ) 3.3.2 Tracción Ya que la resistencia a tracción del hormigón es solo una pequeña fracción de la compresión se concluye que el hormigón armado no es un material adecuado para usar en estos casos ya que el hormigón contribuirá muy poco a la resistencia estructural de la sección o elemento. Sin embargo en la practica se presentan algunos casos en donde el hormigón queda sometido a tracción como por ejemplo en vigas de amarre de estructuras en arco en donde el acero de refuerzo perimetralmente dispuesto esta rodeado por hormigón en forma similar a las columnas de edificios. Cuando la fuerza de tracción es pequeña de tal forma que las tensiones resultantes no superan la resistencia a tracción del hormigón ( ft, fct, fr) tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente. En este caso las ecuaciones utilizadas para determinar la carga axial de compresión, P, se aplican en forma similar a la tracción axial en especial la ecuación 3.2.

( )scct nAAfP += (3.6) En donde fct es la resistencia a la tracción del hormigón determinada por el ensayo de tracción por compresión NTC-722. Cuando se incrementa la carga el hormigón llega rápidamente a su resistencia a tracción, la cual se logra para unas deformaciones del orden de una décima parte de las de compresión. En este estado el hormigón esta fisurado y deja de resistir cargas, por lo que el acero debe resistir toda la carga axial. En este caso la ecuación 3.7 da la capacidad de tracción axial del hormigón armado.

ss fAP .= (3.7) Para cargas cercanas a la que produce la fluencia del acero de refuerzo la estructura sufre grandes deformaciones manteniendo la misma capacidad de carga, pero estas


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altas deformaciones lo hacen inutilizable desde el punto de vista estructural. En este caso la resistencia máxima a tracción esta dada por la ecuación 3.8.

ysn fAP .= (3.8) Para garantizar una seguridad apropiada en el diseño estructural, la máxima carga axial permitida en un elemento de hormigón armado sometido a tracción debe ser el 50% de la determinada con la ecuación 3.8. Ya que el hormigón se fisura para cargas axiales considerablemente menores que este valor, en la etapa de servicio este no contribuirá a la capacidad de carga axial. Sin embargo su presencia permite proteger el acero de la corrosión debido al ataque de sales y ácidos, el fuego y los agentes atmosféricos. Cuando se utiliza el hormigón armado en la construcción de tanques circulares de almacenamiento de agua, es importante garantizar que la estructura no presente fisuras a tracción. Para ello se recomienda utilizar la ecuación 3.6 determinando experimentalmente el valor de fct o asumiendo un valor estadísticamente adecuado para el diseño. 3.4 SECCIONES SOMETIDAS A FLEXION 3.4.1 Generalidades El estudio de la flexión en el hormigón armado permite considerar mas elementos teóricos y experimentales que los presentados en la carga axial. La estática y la resistencia de materiales son la herramientas básicas para trabajar estos temas cuyo objetivo final es el diseño estructural a flexión del hormigón armado. Los elementos típicos que se estudian en este caso son las vigas y las losas de los edificios. Estos están controlados por el comportamiento a flexión y aunque también están sometidos a otras tensiones como la cortante y la torsión, en un alto porcentaje es la flexión la que ejerce la mayor influencia en el diseño. La filosofía es que en el elemento de hormigón armado se agote primero la capacidad a flexión que a cortante o torsión para evitar fallas o colapsos súbitos y catastróficos. 3.4.2 La flexión desde el punto de vista de la resistencia de materiales El elemento típico estructural sometido a flexión se conoce como viga y en este las tensiones producidas por las cargas externas son equilibradas por momentos y cortantes internos. La figura 3.7 permite visualizar una viga sometida a la acción de su propio peso,W, y a una carga adicional concentrada de magnitud P. Si la carga axial es nula ( P = 0 ) el elemento se conoce como VIGA. Si la carga axial es diferente de cero y somete a compresión el elemento este se conoce como VIGA-COLUMNA. Si la carga axial es de tracción el elemento es un TIRANTE. Las cargas externas ( q y p ) producen una distribución de momentos flectores como lo indica la figura 3.7 Estos momentos se determinan directamente de las leyes de


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equilibrio dadas por la estática. Además estos son independientes de la composición y las dimensiones de la sección. P = 0 M V C jd T

Figura 3.7 Cargas y tensiones internas en una viga7 En cualquier sección de la viga existen tensiones internas que pueden dividirse en tensiones normales ( tracción y compresión) y tensiones tangenciales ( cortante). La tensiones normales se deben a los momentos internos que se producen por efecto de las cargas y las resultantes a tracción y a compresión deben estar en equilibrio. Las tensiones cortantes se deben al deslizamiento horizontal que se produce entre capas imaginarias de hormigón cuando la viga deflecta por acción de las cargas.

jd

q


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El estudio de la flexión, desde el punto de vista de la resistencia de materiales, se inicia con la postulación de las hipótesis básicas de comportamiento. Estas se pueden resumir en los siguientes apartes: § Las secciones planas antes de la aplicación de las cargas continúan planas

bajo la acción de estas. § Las tensiones normales ( f ) que genera la flexión en cualquier punto de la

viga dependen de la deformación en ese punto según el diagrama tensión deformación del material. La figura 3.7 ilustra esta hipótesis.

§ La distribución de las tensiones cortantes ( v ) en una sección de viga dependen de la forma de la sección y del diagrama tensión deformación del material. Ver la figura 3.8.

§ Debido a la acción simultanea de f y v en una viga se producen tensiones inclinadas que definen los campos de tensiones principales en la estructura.

§ Las tensiones principales en el eje neutro forman un ángulo de 45° con la horizontal y su magnitud es igual al valor de la cortante en ese punto.

§ Cuando las tensiones por flexión, f, son menores que el limite de proporcionalidad, fp, la viga se comporta elásticamente.

Una explicación mas detallada de las anteriores hipótesis permite aclarar los fundamentos matemáticos de la teoría general a flexión en los materiales. Para la primera hipótesis se tiene en resumen que las deformaciones por encima y por debajo del eje neutro son proporcionales a la distancia a este eje. Esta linealidad del perfil de deformaciones facilita los cálculos numéricos y para la mayoría de las aplicaciones es valida durante toda la fase de carga. Tensiones: f e < ep f < fp e1 f1 f2 fp f1 - ep e1 ep e2 Deformaciones : e e > ep f > fp -fp ep fp

Figura 3.8 Distribución de tensiones y deformaciones en vigas homogéneas7


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En la segunda hipótesis se puede utilizar la figura 3.8. En esta se presenta el grafico tensión deformación de un material elasto plástico ( caso típico del acero) tanto en tracción como en compresión. Se puede notar que si la deformación máxima, en el borde mas comprimido o traccionado de la sección, no supera la deformación máxima elástica del material, ep , se concluye que las tensiones y deformaciones son realmente proporcionales. Cuando las deformaciones son mayores que ep se debe utilizar el diagrama tensión deformación del material. Para la tercera hipótesis la figura 3.9 muestra como la forma y magnitud de las tensiones cortantes dependen de la forma de la sección transversal. Las tensiones cortantes son máximas en el eje neutro y nulas en los bordes de la sección. H tprom. = ( V / A) b tmax = 1.5 ( V / A) tmax = 1.33 ( V / A) Y t zy tyz Z

Figura 3.9 distribución de tensiones cortantes en vigas7 La magnitud de las tensiones principales, t , esta dada por la expresión 3.9 la cual es tomada directamente de la resistencia de materiales y con la única diferencia de cambio de nomenclatura. En este caso las tensiones normales se denominan con f y las cortantes como v.

+

±= 22

22v

fft (3.9)

El ángulo que hacen las tensiones principales con la horizontal es a y se determina con la expresión: tan 2 a = (2v)/f.


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De la sexta hipótesis se concluye que : a) El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal y b) la magnitud de las tensiones normales se puede expresar con la ecuación 3.10 en donde las tensiones por flexión ( f ) dependen del momento interno (M), el momento de inercia de la sección ( I ) y de la distancia del punto considerado al eje neutro (y).

SM

IyM

f ==.

(3.10)

La máxima tensión normal por flexión se presenta en cada borde extremo de la sección, es decir cuando y=h/2. Si la relación S entre la inercia y la distancia al eje neutro de maximiza se obtiene la mejor sección resistente a flexión. La relación S se conoce como el modulo de la sección transversal y es una medida de la resistencia relativa a la flexión de un elemento estructural. En la viga de la figura 3.7 el momento producido por la carga externa en cualquier punto de la viga (Me) se equilibra con el momento interno (Mi) y una fuerza cortante Vi. El momento interno es el resultado de la acción simultanea de una fuerza interna de compresión (C) y una interna de tracción (T) separadas una distancia Jd denominada brazo de palanca. Como las fuerzas axiales son nulas por equilibrio horizontal se tiene:

TCTCFx =∴=−⇒=∑ 00 Si se toman momentos alrededor de un eje que pasa por el punto de aplicación de la resultante a compresión (C) el momento interno es:

JdTM ∗=.int De la misma forma al tomar momentos respecto a un eje que pasa por el punto de aplicación de la resultante a tracción (T) el momento interno es:

JdCM ∗=.int Las ecuaciones anteriores son obtenidas del equilibrio estático y se pueden utilizar en el estudio de la flexión en vigas de madera, acero, aluminio u hormigón armado. De la teoría de elasticidad se obtiene que la distribución de tensiones producidas por la flexión en una viga homogénea y de sección rectangular es similar a la indicada en la figura 3.10. Se puede notar que esta distribución representa un volumen que se conoce como el bloque de tensiones tanto a tracción como a compresión. De lo anterior se concluye que C : Volumen de tensiones a compresión

bfh

TC c ××==22max


______________________________________________________________________


140

M s c,max. C T s t,max.

Figura 3.10 Tensiones en vigas elásticas y bloque de tensiones Como C y T actúan en el centroide de cada uno de los bloques de tensiones la distancia Jd se puede determinar como:

3.2

33hhh

Jd =+=

Reemplazando en la ecuación del momento interno se tiene:

2max3

max .612

.

2

bhfbh

hf

Mi cc == (3.11)

Las tensiones cortantes internas (v) en cualquier punto de la viga están dadas por la expresión 3.12 en donde V: es la fuerza cortante interna, Q: primer momento estático del área, b: ancho de la sección y I: momento de inercia.

IbQV

v..

= (3.12)

El valor máximo para estas tensiones cortantes se presenta en los bordes de la sección y en el caso de vigas rectangulares es:

hbV

v.2

3max =

3.4.3 Comportamiento a flexión en secciones simplemente reforzadas Como se ha mencionado previamente, debido a la baja resistencia del hormigón a tracción, una viga fabricada solo con este material será un elemento poco eficiente

IyM ×

=σ


______________________________________________________________________


141

en flexión. La falla se presentara rápidamente en la zona traccionada para cargas muy inferiores a las necesarias para alcanzar la falla a compresión del material. Es en definitiva esta la razón fundamental por la que se colocan barras de acero en las zonas mas traccionadas de las vigas e igualmente, en lo posible, lo mas alejadas del eje neutro garantizando al menos un recubrimiento mínimo de hormigón que proteja el refuerzo del ataque externo y el fuego. En una viga de hormigón armado la tracción producida por los momentos flectores es resistida principalmente por el refuerzo mientras que el hormigón solo es capaz de resistir las fuerzas a compresión en la sección. Esta acción conjunta de los dos materiales se garantiza si se previene el deslizamiento relativo del acero en el hormigón la cual de logra con el uso de barras corrugadas y anclajes de punta en el refuerzo. El siguiente análisis del comportamiento a flexión de las vigas de hormigón armado se basara en la figura 3.11 donde se muestra una viga de sección rectangular constante sometida a dos cargas concentradas en los tercios medios de la luz. Sin embargo este mismo tipo de análisis se puede realizar para otros tipos de sección, condiciones de apoyo y cargas. Cuando se incrementa la carga externa desde cero hasta alcanzar la falla del modelo estructural se pueden visualizar claramente varios estados de comportamiento que reflejan algunas particularidades especiales. § Por ejemplo para cargas externas bajas, es decir aquellas que produzcan

tensiones internas de tracción menores que el modulo de rotura del hormigón ( ft < fr ) se concluye que la sección total de la viga es efectiva para resistir la tracción y la compresión producida por las cargas externas. El refuerzo se deforma la misma cantidad que el hormigón y debido a la baja magnitud de las tensiones internas estas son proporcionales a las deformaciones. La figura 3.9.a ilustra la distribución de tensiones y deformaciones en este estado de carga. Este estado se denominara el estado elástico no fisurado.

§ A medida que se aumenta la carga se alcanza rápidamente la resistencia a la

tracción del hormigón ( ft = fr ) y comienza un proceso de fisuracion capilar en las zonas mas traccionadas del elemento. Al inicio las fisura son imperceptibles a la vista y se propagan de los bordes a tracción hacia el eje neutro, mientras este se va desplazando a la zona comprimida por la perdida del hormigón a tracción. La forma general de estas fisuras se muestra en la figura 3.11.b lo mismo que el perfil de tensiones y deformaciones. Este segundo estado se conoce como el estado elástico fisurado. En vigas diseñadas correctamente el ancho de estas fisuras es tan pequeño que estas ni son perjudiciales para el deterioro del refuerzo ni afectan la estética de la estructura. Su presencia, sin embargo, afecta considerablemente el comportamiento estructural ya que en una sección fisurada el hormigón no transmite ninguna tensión al acero y es este el que debe absorber toda la tracción solicitada. Este estado se prolonga hasta que el hormigón alcance aproximadamente una tensión de compresión del 50% de la resistencia ultima del material ( fc = 0.50f´c ) y en este estado aun se puede considerar que hay proporcionalidad entre las tensiones y deformaciones.


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142

P P ec fc es fs et ft a) Comportamiento antes de la fisuración a tracción del hormigón P+ ?P P+ ?P ec fc es fs < fy

b) Comportamiento después de fisurar el hormigón y antes de la fluencia del acero P+ ?P P+ ?P ec fc es fs

c) Comportamiento antes de alcanzar la resistencia a flexion Figura 3.11 Comportamiento a flexión de una viga de hormigón armado7 § Cuando la carga externa se incrementa aun mas, las tensiones y

deformaciones aumentan y dejan de ser proporcionales. La correspondiente relación no lineal entre tensiones y deformaciones esta dada por el diagrama fc – ec del hormigón en la zona comprimida. Es por ello que la distribución de tensiones en esta zona es la misma que para secciones homogéneas siguiendo la forma del diagrama s – e del material. La figura 3.11.c muestra la viga y su distribución de tensiones y deformaciones próximas a la falla. Al llegar a la capacidad máxima de la estructura se puede presentar una de las dos siguientes formas típicas de falla : a) Falla por fluencia del acero a tracción y b) falla por rotura del hormigón a compresión. La falla por fluencia del acero se presenta en vigas con cantidades de refuerzo relativamente bajas de tal forma que para un cierto valor de la carga el acero alcanza primero la tensión de fluencia que el hormigón su resistencia máxima. En este estado el acero se alarga considerablemente aumentando


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143

tanto el ancho de las fisuras como las deflexiones. Mientras tanto el hormigón en la zona comprimida alcanza secundariamente su resistencia a compresión para una carga ligeramente mayor a la que produce la fluencia del acero. En estas vigas, moderadamente reforzadas, la capacidad de carga esta determinada por la fluencia del acero de refuerzo. En conclusión, este modo de falla es gradual y esta precedido por signos visibles de agotamiento de la estructura indicado por el crecimiento de la fisuracion y las deflexiones. La falla por agotamiento del hormigón a compresión se presenta cuando se utilizan o muy bajas o muy altas cantidades de acero de refuerzo por lo que la resistencia del hormigón se alcanza primero antes del acero lograr su tensión de fluencia. La falla del hormigón se presenta cuando las deformaciones son de tal magnitud que producen la desintegración del material. Experimentalmente se ha logrado obtener un rango de deformaciones para lo cual se presenta este fenómeno y sus valores varían entre 0.003 y 0.004. La rotura del hormigón es súbita, de naturaleza explosiva y lo que es mas importante sin ningún signo visible de falla. Es por esta razón que se recomienda diseñar a flexión el hormigón armado asegurando siempre la falla por fluencia del acero.

3.4.3.1 Comportamiento en el estado elástico no fisurado Cuando las tensiones de tracción en el hormigón ( ft ) producidas por las cargas externas no superan el modulo de rotura del material ( fr ) en la sección o elemento estructural no se presenta ningún tipo de fisuras y la distribución de tensiones y deformaciones es la indicada en la figura 3.9.a. Como se puede apreciar en la grafica estas distribuciones son idénticas a las presentadas en el numeral 3.4.2 para secciones homogéneas. La única diferencia es la presencia del acero en la sección problema similar al presentado para la carga axial en el numeral 3.3 en el cual para tensiones en el rango elástico y cualquier valor de la deformación la tensión en el acero es n veces la tensión en el hormigón ( ecuación 3.1). Igualmente se estableció, en ese mismo numeral, que para facilitar los cálculos la sección compuesta de hormigón y acero se podía reemplazar por una sección ficticia homogénea solo de hormigón. En esta sección transformada, figura 3.12, el área de acero (As) es reemplazada por el valor (nAs) o [(n-1)As] según se considere área neta o bruta de hormigón respectivamente. Sección inicial At = Ac + n As At = Ag + ( n-1) As

Figura 3.12 Concepto de sección transformada en el hormigón armado


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144

Una vez se ha obtenido la sección transformada, se aplica el método usado para el análisis del comportamiento en vigas elásticas y homogéneas calculando primero las propiedades geométricas de la sección, posición del eje neutro, momento de inercia y finalmente las tensiones internas producidas por las cargas con la ecuación 3.10. Ejemplo 3.3 Determinar las tensiones internas producidas en la sección de viga indicada si las cargas externas producen un momento flector Mext. = 62 kNxm. Utilizar los siguientes datos adicionales: b = 250 mm, h = 650 mm, d = 600 mm, As = 3 # 8, f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa. Usar las curvas tensión deformación indicadas en la figura 3.4. h = 650mm d= 600 mm b = 250 mm

Figura 3.13 Sección de viga para el ejemplo 3.3 Solución: La barra # 8 tiene un diámetro: db = 25.4 mm y área: Asb= 508 mm2 El área de refuerzo en la sección es de As = 3 x 508 = 1524 mm2

n = 204000 / ( 4790 x 280.5) = 8.05 Se asume por tanto n = 8 El área transformada es : At = ( 8 – 1 ) x 1524 = 10668 mm2 Y (n-1)As/2= 5334 mm2 (n-1)As/2= 5334 mm2 yc X

Figura 3.14 Sección transformada del ejemplo 3.3

3 # 8


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145

Si se considera que el espesor del área equivalente es igual al diámetro de la barra se tiene el grafico de la figura 3.14. La sección esta transformada en homogénea ( solo de hormigón) y esta en rango elástico. Se puede utilizar la teoría básica de materiales para determinar las propiedades geométricas: Posición del eje neutro: Se definen inicialmente los ejes de referencia para los cálculos: El eje X pasa por el borde inferior de la sección ( borde mas traccionado) y el eje Y pasa por el eje neutro. Sea Yc la distancia desde el borde mas traccionado al eje neutro de la sección. Tomando momentos estáticos de área:

( ) ( )( ) ( )

mmxxx

xxxxxYc .308

17316853345900

4.252102650250504.252102325650250

==++

=

El eje neutro pasa a 308 mm del borde inferior de la sección. Aplicando el teorema de ejes paralelos se obtiene el momento de inercia:

Para el área mayor: ( ) ( ) 4623

1 10576830832565025012

650250mmxx

xI ×=−+=

Para las aletas : ( ) ( ) 4623

32 10355503084.2521012

4.25210mmxx

xII ×=−+==

El momento de inercia total es : I = I1 + I2 + I3 = 6479 x 106 mm4 = 0.0065 m4 Las tensiones tanto en el hormigón como en el acero se obtienen mediante la ecuación 3.5.

A tracción : MPax

ft 9.21064793081062

6

6

=×

×=

A compresión : ( )

MPax

f c 3.3106479

30865010626

6

=×

−×=

El modulo de rotura del hormigón de esta viga es de fr = 3.3 MPa el cual es superior al valor obtenido de 2.9 MPa . Por lo tanto para el momento aplicado la viga no esta fisurada en tracción y los cálculos realizados para zona elástica no fisurada y utilizando la sección transformada son totalmente adecuados. El hormigón a compresión esta ligeramente tensionado indicando que solo se ha alcanzado un 12% de la capacidad máxima a compresión. Las tensiones en el acero se determinan usando las expresiones 3.3 y 3.12 así:


______________________________________________________________________


146

( )MPa

xxI

yMnf s 20

1064795030810628.

.6

6

=×

−×==

El acero esta tensionado a un 4.7% de la capacidad en fluencia del material. En resumen para esta carga, la viga del ejemplo muestra un rango muy bajo de tensiones en los dos materiales. En la practica este estado concuerda con el que se presenta al actuar solo el peso propio de los elementos estructurales. 3.4.3.2 Comportamiento en el estado elástico fisurado. Cuando las tensiones de tracción producidas por las cargas externas superan el modulo de rotura del hormigón ( fr ) se inicia un proceso de fisuracion tal como se indico en al inicio de este numeral y en la figura 3.9.b. Si al mismo tiempo las tensiones a compresión en el hormigón no superan el 50% de f´c y las tensiones a tracción en el acero están por debajo de la tensión de fluencia se puede concluir que el comportamiento de la sección es elástico y las tensiones son proporcionales a las deformaciones. Esta situación se presenta en la practica cuando las estructuras se ven sometidas a las cargas permanentes y por uso y ocupación ( cargas de servicio) y puede en este caso suponerse que las fisuras a tracción se han propagado hasta el eje neutro manteniendo un ancho lo suficientemente pequeño para evitar perdida de uso. En este caso las secciones continúan planas y el perfil de deformaciones es el indicado en la figura 3.11.c. Para la determinación de las tensiones y deformaciones de la sección se puede utilizar el concepto de la sección transformada. Para ello puede asumirse que todo el hormigón localizado en la zona traccionada esta fisurado y por lo tanto no contribuye a dar resistencia a la sección ( esto es una aproximación conservadora ya que en realidad aun para cargas cercanas a la máxima elástica parte del hormigón contribuye a la resistencia estructural). En la figura 3.15 se indica gráficamente los conceptos enunciados y puede verse como la sección transformada esta compuesta por todo el hormigón a compresión y n veces el área de acero en la zona a tracción. kd/3 fc kd C h d jd n As T b Sección real Sección transformada tensiones

Figura 3.15 Concepto de la sección transformada en zona elástica fisurada


______________________________________________________________________


147

La posición en este caso del eje neutro se mide con respecto al borde comprimido y se define como K veces la altura efectiva de la sección ( es decir Kd ). El hormigón que recubre el refuerzo ya es ineficiente y no es considerado en los cálculos. Tomando momentos de área respecto al eje neutro se tiene: Momento de área a compresión = Momento de área a tracción

[ ( b x Kd )x Kd / 2 ] = [ n As x ( d – Kd ) ] Resolviendo esta ecuación para Kd se obtiene la posición del eje neutro:

( ) ( ) 0......2

2 =−+ dAsnKdAsnKdb

Despejando Kd de la ecuación anterior:

( ) ( )

+±−

=

2.2

...2

.4.. 2

b

dAsnb

AsnAsnKd (3.13)

Para el siguiente análisis se puede utilizar la distribución de tensiones de la figura 3.15 en la que en el hormigón las tensiones están distribuidas linealmente desde una tensión fc < 0.50 f´c en el borde mas comprimido hasta cero en el eje neutro con una fuerza resultante a compresión denominada C. En el acero toda el área esta sometida a una tensión uniforme fs con una fuerza de tracción denominada T. Estas fuerzas se determinan por el concepto de volúmenes de presiones así:

bKdf

C c .2.

= (3.14)

ss fAT .= (3.15)

Para que estas dos fuerzas sean numéricamente iguales y la sección este en equilibrio estático se debe cumplir la ecuación 3.21. El momento que produce el par de fuerzas C y T debe estar en equilibrio con el momento externo. Si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de C se obtiene:

JdfAJdTM ss ... == (3.16) Donde Jd es el brazo de palanca entre las fuerzas internas resultantes C y T de la sección. La tensión en el acero a tracción se obtiene de 3.24


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148

JdAM

fs

s .= (3.17)

Análogamente si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de la resultante a tracción T se obtiene:

2....2

..2

. dbJKf

Kdbf

JdCM cc === (3.18)

En donde la tensión en el hormigón es:

2....2

dbJKM

f c = (3.19)

Las ecuaciones 3.17 y 3.19 permiten determinar las tensiones en el hormigón y en el acero en el caso de vigas en rango elástico fisurado. El uso de programas u hojas de calculo facilitan la solución de estos problemas para una diversidad de casos prácticos. Algunas simplicaciones se pueden lograr si se define el parámetro cuantía del refuerzo como ? = As / (b.d). El valor de K y J se pueden determinar así:

( ) ρρρ ..2.. 2 nnnK ++−= (3.20)

31

KJ −= (3.21)

Ejemplo 3.4 Utilizando la viga del ejemplo 3.3 determinar las tensiones en el hormigón y en el acero cuando el momento aplicado es de M = 124 kN.m. Solución: Un calculo rápido para determinar si bajo este momento la viga se encuentra en estado fisurado o no fisurado indica que las tensiones a tracción y a compresión se han duplicado lo que demuestra que la sección esta en rango elástico fisurado. Las tensiones tanto en el hormigón como en el acero se obtienen mediante la ecuación 3.3.

A tracción : MPax

ft 0.6106479

308101246

6

=×

×=

A compresión : ( )

MPaf c 5.6106479

308650101246

6

=×

−××=

El modulo de rotura del hormigón de esta viga es de fr = 3.3 MPa el cual es inferior al valor obtenido de 6.0 MPa que confirma lo enunciado anteriormente. La cuantía del refuerzo a tracción es : ? = ( 3 x 508 ) / ( 250 x 600 ) = 0.0102 valor que se recomienda redondear siempre a la cuarta cifra decimal.


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149

Si la relación modular es n = 8 ( del ejemplo 3.3) los valores de K y J son:

( ) ( ) 330.00102.0820102.080102.08 2 =××+×+×−=K

890.03330.0

1 =−=J

Esta por tanto definida la posición del eje neutro con Kd = 0.330 x 600 = 198 mm y el brazo de palanca de las resultantes a tracción y a compresión de la sección tiene un valor de Jd = 0.890 x 600 = 534 mm. Las tensiones en el hormigón y en el acero se determinan con las ecuaciones 3.17 y 3.19 para rango elástico fisurado:

MPammmm

mmNf s 152

5341524.10124

2

6

=×

×=

MPaf c 4.9600250890.0330.0

1012422

6

=×××

××=

Los resultados indican que el acero esta en un 36% de su tensión de fluencia ( fy = 420 MPa) y el hormigón en un 34% de su capacidad en compresión ( fc = 28 MPa). Ambos materiales aun están en zona elástica de su diagrama tensión deformación como se puede comprobar en la figura 3.4. Algunas conclusiones importantes se pueden obtener de los resultados obtenidos en los ejemplos 3.3 y 3.4: § La distancia desde el borde mas comprimido al eje neutro ha disminuido de

342 mm en la sección no fisurada a 198 mm en la fisurada, lo que explica el desplazamiento de este eje hacia la zona comprimida una vez aumenten las tensiones internas en los materiales.

§ Con un incremento del doble del momento flector las tensiones en el acero y en el hormigón se aumentaron mostrando los siguientes resultados: en el acero las tensiones a tracción pasaron de 19.8 MPa a 152.4 MPa es decir un aumento de aproximadamente 8 veces. En el hormigón fue de 3.3 MPa a 9.4 MPa es decir un aumento de 3 veces.

§ El momento de inercia de la sección fisurada se puede obtener fácilmente con las ecuaciones de la estática y su valor es de 0.0026 m4 el cual comparado con el de la no fisurada que es de 0.0065 m4 indica una disminución del 60% en su magnitud. Este efecto se manifiesta en las deflexiones de la estructura bajo condiciones de servicio.

Estas primeras conclusiones indican como la presencia de fisuras a tracción en los elementos de hormigón armado modifican apreciablemente el comportamiento del material cuando esta sometido a cargas externas.


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150

3.4.3.4 Comportamiento a nivel de resistencia. Caso general utilizando las relaciones experimentales tensión deformación de los materiales. Desde un punto de vista práctico es importante para el ingeniero conocer el campo de tensiones cuando el hormigón armado se somete a cargas que agoten la resistencia estructural. Sin embargo mucho mas importante es poder predecir con una adecuada precisión la resistencia de una estructura. Este análisis se puede realizar en forma similar a los dos precedentes es decir considerando un comportamiento elástico de los materiales y así se realizo por mas de 70 años en los proyectos de ingeniería. Solo después de principios de la década de 1950 se reconoció, en los procedimientos de diseño, que para cargas cercanas a la falla las tensiones no son proporcionales a las deformaciones y la hipótesis de linealidad esta lejos de explicar el comportamiento real de las estructuras. En el numeral 3.3.3 el problema se planteo para cargas axiales, análogamente para flexión en el régimen de altas cargas el calculo se debe basar en la distribución real de tensiones y deformaciones de cada material tal como lo ilustra la figura 3.11. Los métodos actuales se basan en el comportamiento real de los materiales y en estudios experimentales que permiten correlacionar los valores estadísticos obtenidos en las pruebas con los deducidos de los análisis teóricos. Con el fin de plantear una teoría completamente racional de la resistencia a flexión del hormigón armado de manera similar a la propuesta en secciones elásticas, en donde la distribución de tensiones es lineal, se debe conocer la distribución real de tensiones del hormigón a compresión en cargas cercanas a la falla del material, figura 3.11.c. Si se analiza por ejemplo la figura 3.4 y en general cualquier curva tensión deformación del material, se puede concluir que la forma de la distribución de tensiones varia y en general depende de factores tales como: la resistencia del hormigón (f´c), la velocidad y duración de la carga, la forma y tipo de probetas, las propiedades de los materiales. Esta es una de las razones por las cuales una teoría exacta de diseño todavía no esta propuesta y los métodos siguen basándose en aproximaciones adecuadas del comportamiento bajo carga de las estructuras. ecu ßc C = ( a f c ) b c c h d Z T = As fs es b

Figura 3.16 Distribución de tensiones y deformaciones en la falla por flexión


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151

La figura 3.16 representa la distribución de tensiones y deformaciones en una sección de hormigón armado próxima a la falla. En este caso el problema es encontrar cual es el momento máximo que resiste la sección antes de su agotamiento, este valor se denominara momento nominal (Mn). El criterio de falla puede ser, como se dijo anteriormente, o fluencia del acero a tracción o rotura del hormigón a compresión; si en el primer caso se asume que fs = fy y en el segundo ec = 0.003 se puede predecir de una manera exacta y segura la resistencia estructural de la sección. Teniendo en cuenta estos criterios no es necesario realmente conocer la forma exacta de la curva de tensiones del hormigón para determinar la resistencia. Lo que se requiere conocer para una determinada profundidad del eje neutro es : a) la resultante, C, de las fuerzas a compresión en el hormigón y b) el punto de aplicación de C en la altura de la sección. De la figura 3.16 se obtiene lo siguiente: El área de la zona comprimida es ( b x c ) la fuerza total a compresión es C = fprom. (b x c ). Donde el fprom indica la media de las tensiones a compresión. Inmediatamente se comprueba que el fprom depende el fć y entre mas alta es la resistencia del hormigón mayor será fprom. Por lo tanto:

ćprom ff ×= α

Despejando el valor de a se obtiene:

ć

prom

f

f=α (3.22)

La fuerza a compresión resultante es :

cbfC c ... ´α= (3.23) Para una profundidad conocida del eje neutro, c, la posición de la resultante, C, puede definirse como una fracción ß de la profundidad del eje neutro. Por lo tanto para un determinado hormigón de resistencia fć solo es necesario conocer los valores de a y ß para definir completamente el estado de tensiones en el material. Por muchos años la investigación experimental en Estados Unidos se centro en la determinación de los parámetros a y ß. El trabajo mas reconocido fue realizado por Hognestad y otros ingenieros de la P.C.A. e independientemente por Rüsh en Alemania. Los resultados obtenidos no solo permitieron conocer los valores de a y ß sino también las curvas tensión deformación del hormigón a compresión y su deformación máxima antes de la falla. La tabla 3.1 y la figura 3.17 resumen los resultados presentados por Hognestad sobre este trabajo experimental. Como resultado de estas investigaciones el ACI recomienda utilizar los siguientes valores para a y ß en diseños estructurales:


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152

§ El valor de a es igual a 0.72 para hormigones con fć menor o igual a 28 MPa y disminuye en 0.04 por cada 7 MPa por encima de 28 MPa. Para hormigones de fć mayor de 56 MPa se debe usar un a constante de 0.56.

§ El valor de ß es igual a 0.425 para hormigones de fć menor o igual a 28 MPa y disminuye en 0.025 por cada 7 MPa por encima de 28 MPa. Para hormigones de fć mayor de 56 MPa se debe usar un ß constante de 0.325.

Tabla 3.1 Valores experimentales de a , ß y ecu obtenidos por Hognestad

f c ( MPa) ? ß ecu 21 0.795 0.460 0.0035 28 0.743 0.450 0.0034 35 0.690 0.440 0.0032 42 0.653 0.420 0.0031 49 0.623 0.410 0.0029

La disminución de a y ß a medida que aumenta la resistencia del hormigón refleja el hecho de que en estos casos el hormigón es mas frágil y su rotura se presenta a menores deformaciones. Con base en esta información las hipótesis presentadas y el uso de la estática se puede determinar la resistencia a la flexión de la sección.

14 28 42 56 70 fć ( MPa)

Figura 3.17 Valores de a y ß obtenidos experimentalmente por Hognestad7


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153

Del equilibrio interno de fuerzas:

sssc fdbfAcbfTC ....... ´ ρα ==∴= El momento interno generado por C y T se determina como:

( ) ( )cdcbfcdfAM cssn ........ ´ βαβ −=−=

Los modos de falla dependen de la relación “ c / dt “ cuando se alcanza la resistencia de la sección; “ dt ” es igual a “ d “ para refuerzo en una capa, en otros casos el “ dt ” es la altura efectiva respecto a la capa de refuerzo mas traccionado. § Modo de falla por fluencia del acero a tracción: En este caso la falla se inicia

cuando la deformación en el acero es = 0.005. De la figura 3.16 por semejanza de triángulos:

( )

005.0.003.0 ≥−

=c

cdtsε (3.24)

Despejando de la ecuación 3.24 la relación “ c / dt “ se obtiene que cuando

375.0≤td

c la sección garantiza falla dúctil. De la ecuación de equilibrio de

fuerzas horizontales se tiene:

´.

.

c

y

t f

f

dc

α

ρ= (3.25)

La relación “ c / dt “ es la distancia al eje neutro respecto a la altura efectiva de la sección cuando se alcanza la resistencia a flexión. El momento nominal, Mn, se obtiene en forma similar:

−= ´

2 .59.01....

c

yyn f

fdbfM

ρρ (3.26)

La ecuación 3.26 es de amplio uso en el diseño a flexión del hormigón armado por lo que es importante que el ingeniero la recuerde constantemente para revisiones rápidas de la capacidad de elementos estructurales. Si se define la variable w: cuantía mecánica = ( ? fy / f´c ), la ecuación 3.26 queda así:

( )ωω .59.01.... 2´ −= dbfM cn (3.27)

• Modo de falla por rotura del hormigón a compresión. En este caso el criterio que define la falla es que la relación “ c / dt “ es mayor que 0.375. Se comprueba que en estas circunstancias el acero esta en rango elástico y es < 0.002.


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154

( )

st

s Ec

cdf ×

−=

.003.0 (3.28)

La ecuación de equilibrio se representa así:

( )c

cdEAcbf scusc

−= ...... ´ εα

Lo cual da una ecuación cuadrática para resolver la profundidad del eje neutro. Si se realiza un cambio de variable haciendo:

A = a f´c b B = As ecu Es y D = As ecu Es d Se obtiene la siguiente solución para c:

AADBB

c2

42 +±−=

Conocida la relación “ c / dt “ y la tensión en el acero en el momento de la falla se puede determinar inmediatamente el valor del momento nominal de la sección con la ecuación 3.27 colocando en lugar de fy el valor obtenido para fs. Es importante anotar que la falla a compresión se presenta súbitamente y de manera explosiva y es por esta razón que las normas y códigos de diseño recomiendan mantener un estado limite de deformaciones en el refuerzo a tracción que sea determinante en la medida de la ductilidad del elemento estructural, sea este de hormigón armado o pretensado. La cantidad de refuerzo a tracción debe controlar la deformación y definir el tipo de falla sea esta por fluencia del acero ( falla dúctil ) o por agotamiento del hormigón ( falla frágil). Si eventualmente la falla se manifiesta por la acción simultanea de la fluencia del acero y el agotamiento del hormigón en su fibra extrema a compresión tal modo se denomina “ falla balanceada”. En este caso la deformación limite en el acero, ey, se alcanza en el mismo instante que el hormigón tiene una deformación de ec = 0.003. Este es el caso de aquellas secciones donde se presentan relaciones “ c / dt “ en el rango de 0.375 y 0.600. Esta región se denomina también zona de transición entre la falla a tracción y la falla a compresión. En el diseño es necesario prevenir este estado de comportamiento en flexión por lo que se requiere garantizar una deformación del acero a tracción mayor que el limite ey. Por ejemplo si se usa acero de fy = 420 MPa è ey = ( fy / Es) = ( 420 / 204000) = 0.002 mm / mm. El diseño se debe basar en una deformación, es suficientemente mayor que 0.002 tal que se garantice comportamiento dúctil. Para lograr este objetivo, la cuantía de refuerzo debe estar en el rango del 50 al 60% de la requerida para el limite balanceado. Este porcentaje de refuerzo


______________________________________________________________________


155

permite prevenir también problemas de congestión del acero en la estructura que dificulta las tareas durante la etapa de construcción.

• Condición balanceada. En este caso se presenta simultáneamente la fluencia del acero a tracción fs = fy y la rotura del hormigón a compresión ecu = 0.003.

Del perfil de deformaciones de la sección, figura 3.18 se obtiene: 0.003 cb d As ey

Figura 3.18 Perfil de deformaciones en condición balanceada a flexión

( ) ( )003.0003.0003.0

+=⇒=

− yt

b

bb

y

dc

ccd ε

ε (3.29)

Si se usa refuerzo de Es = 204000 MPa è

( )612612+

=yt

b

fdc

(3.30)

En una sección de hormigón armado bien diseñada, la relación ( c / dt ) debe mantenerse por debajo de 0.375. con esto se asegura la falla por fluencia del acero a tracción.

Ejemplo 3.5 Utilizando la viga de los ejemplos 3.3 y 3.4 determinar el comportamiento y modo de falla cuando se alcanza la resistencia a flexión.

Solución: Lo primero que se debe revisar es que tipo de comportamiento presenta la viga cuando esta próxima a alcanzar su capacidad en flexión. Esto se logra comparando la relación (c / dt) con ( cb / dt).

( )593.0

420612612

=+

=t

b

dc

Del ejemplo 3.4 se tiene que ? = 0.0102


______________________________________________________________________


156

212.02872.04200102.0

=××

=td

c

Según este resultado c / dt < 0.593 lo que asegura un modo de falla por fluencia del acero a tracción, inclusive la relación es menor que 0.375.

153.028

4200102.0=

×=w

( ) mmNM n .10351153.059.0160025028153.0 62 ×=×−××××=

Los resultados indican que en el umbral de la falla el eje neutro se encuentra a 127 mm del borde comprimido, es decir aproximadamente a “ d / 5 “, y el momento nominal es de Mn = 351 kN.m el cual es 2.8 veces el momento aplicado en el ejemplo 3.4. Otras características importantes de los ejemplos 3.3, 3.4 y 3.5 son: a) Cuando las tensiones a tracción en el hormigón, ft, son menores que el modulo de rotura del material el eje neutro se encuentra muy cercano al centro de gravedad de la sección bruta de hormigón ( yc = 350 mm). b) con el aumento de las cargas el hormigón a tracción se fisura y el eje neutro se desplaza a la zona comprimida localizándose aproximadamente a un tercio de la altura efectiva ( Kd = d / 3 = 200 mm ). c) En las zonas próximas a la falla el eje neutro se localiza en un punto muy cercano al borde mas comprimido de la sección equivalente a la quinta parte de la altura efectiva ( c = d / 5 = 120 mm). Este desplazamiento del eje neutro indican los cambios en el comportamiento de una sección a flexión de hormigón armado durante la fase de carga. El ejemplo 3.5 muestra en forma similar que los momentos máximos no pueden determinarse en forma precisa usando los métodos clásicos de la teoría elástica. Ejemplo 3.6 Determinar la capacidad resistente a flexión de la sección de viga del ejemplo 3.5 considerando ahora una cantidad de refuerzo a tracción igual a seis barras numero diez ( As = 6 # 10) colocadas en dos capas. Usar d = 550 mm y dt = 600 mm. Solución: La barra # 10 tiene un área de 819 mm2. è

( )0357.0

5502508196

=×

×=ρ

Si se asume fluencia del acero a tracción è 744.02872.04200357.0

=××

=td

c

Se concluye que ( c / dt ) > (cb / dt ) è la falla se inicia por agotamiento del hormigón a compresión. Ahora se requiere determinar mas exactamente la relación ( c / dt ) usando la verdadera tensión del acero a tracción. A =0.72 x 28 x 250 = 5040

B = 6 x 819 x 0.003 x 204000 = 3007368


______________________________________________________________________


157

D = 6 x 819 x 0.003 x 204000 x 550 =1654052400

mmc .34750402

16540524005040430073683007368 2

=×

××++−=

( )

0022.0347

347600003.0 =

−×=tε 578.0

600347

==td

c

Se comprueba que el acero mas traccionado esta en fluencia pero no se cumple que su deformación sea mayor o igual a 0.005è la falla por compresión es importante como lo indica también la relación c / dt la cual es aproximadamente igual a la balanceada. De la ecuación 3.28 è

( )

MPaf s .446347

347600204000003.0 =

−××= 535.0

284200357.0

=×

=ω

Este valor es superior a fy =420 MPa por lo tanto el acero de la capa mas traccionada de la sección esta en fluencia en el momento en que el hormigón esta próximo a la rotura. De la ecuación 3.27:

( ) mmNxM n ..10775535.059.0155025028535.0 62 =×−××××=

En este caso la sección fallara súbitamente para un momento flector igual a 775 kN.m sin mostrar signos visibles de falla. Se puede apreciar como un aumento exagerado en la cantidad de refuerzo a flexión a pesar de aumentar la capacidad resistente de la viga la hace mas insegura desde el punto de vista del diseño estructural. Ejemplo 3.7 Una viga de hormigón armado de sección rectangular ancho b = 250 mm y altura h = 500 mm esta reforzada con acero de fy = 280 MPa. Si el hormigón tiene una resistencia de f´c = 21 MPa determinar la capacidad resistente en flexión si el refuerzo a tracción es : a) As = 4 # 9 con d = dt = 450 mm , b) As = 8 # 9 con d = 400 mm y dt = 450 mm, c) Acero correspondiente a la relación “cb / dt “ de la sección con d = 400 mm y dt = 450 mm.

Solución: La relación balanceada es : ( )686.0

280612612

=+

=t

b

dc

a) Si el refuerzo es As = 4 # 9 = 4 x 645 = 2580 mm2 => La cuantía es:

? = 2580 / ( 250 x 450 ) = 0.0229

La profundidad relativa del eje neutro es:


______________________________________________________________________


158

424.02172.02800229.0

=××

=td

c 305.0

212800229.0

=×

=w

La relación indica que el acero esta en fluencia pero la falla se localiza en la zona de transición [ 0.375 < ( c / dt ) < 0.686 ] donde hay peligro de una falla por compresión.

( ) mmNxM n ..10266305.059.0145025021305.0 62 =×−××××= La sección tiene una capacidad en flexión de Mn = 266 kN.m b) Si el refuerzo es de As = 8 # 9 = 8 x 645 = 5160 mm2

? = 5160 / ( 250 x 400 ) = 0.0516

Un primer tanteo es asumir fs = fy è 956.02172.02800516.0

=××

=td

c>> 0.686 por tanto

controla la falla por compresión. Para determinar mas correctamente la profundidad del eje neutro se hallan primero las siguientes constantes: A =0.72 x 21 x 250 = 3780

B = 5160 x 0.003 x 204000 = 3157920

D = 5160 x 0.003 x 204000 x 400 =1263168000

mmc .29537802

12631680003780431579203157920 2

=×

××++−=

656.0450295

==td

c< 0.686 è Falla en zona de transición

( )

MPaf s .321295

295450204000003.0 =

−××= 688.0

212800516.0

=×

=w

Este valor es superior a fy = 280 MPa por lo tanto la capa de acero mas traccionada esta en fluencia en el momento en que el hormigón esta próximo a la rotura.

( ) mkNmmNxM n ..343..10343688.059.0140025021688.0 62 ==×−××××=

Se puede nuevamente concluir que a pesar de que la cantidad de refuerzo se duplico la ganancia de resistencia fue de un 30% de la sección inicial con el inconveniente de que la falla de la viga es frágil.


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159

c) Si la relación c / dt es igual a la cb / dt è?b = 0.0370

El eje neutro se encuentra en: 686.0=t

b

dc

è cb = 309 mm y wb = 0.493

( ) mmNxM n ..10294493.059.0140025021493.0 62 =×−××××=

Inmediatamente se nota como la capacidad a flexión balanceada es solo un 15% menor que la del caso b) lo que explica porque prácticamente un exceso de refuerzo por encima de la cuantía balanceada solo trae problemas estructurales. En la figura 3.19 se muestra un resumen grafico de la variación de la resistencia a flexión en función de la cuantía del refuerzo para el ejemplo 3.7. La grafica se dibujo utilizando los resultados indicados en los cálculos numéricos realizados. Mn ( kN.m) C 400 B Región donde controla 300 la resistencia del hormigón 200 450 mm Región donde 100 controla la resistencia del acero 250 mm A 2000 4000 6000 8000 As ( mm2) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Cuantía : ?

Figura 3.19 Resistencia a flexión en función de la cuantía del refuerzo a tracción7

De la figura 3.19 se concluye que en la zona de falla por fluencia del acero el momento resistente, Mn, aumenta con la cuantía pero no linealmente. En la región de falla a compresión no se percibe ningún aumento de la resistencia debido a que tanto las tensiones en el acero como el brazo de palanca disminuyen al aumentar la cantidad de refuerzo. En consecuencia la ganancia de resistencia a flexión es muy poca cuando las cuantías superan el valor balanceado. 3.4.3.5 Comportamiento a nivel de resistencia: bloque de Whitney. En el numeral anterior se explico el comportamiento a nivel de resistencia a flexión del hormigón armado con base en la mecánica estructural y la información experimental recogida al respecto. El método presentado se puede aplicar a cualquier forma de sección y a la acción simultanea de la flexión con otras tensiones externas. Sin embargo cuando se realizan estudios de comportamiento en estos últimos casos se generan largas y complicadas ecuaciones que le hacen perder al diseñador la idea física del problema y


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160

lo que es mas grave aun es que crea una confianza ciega en las formulas con consiguiente perdida de comprensión del fenómeno. Lo anterior implicaría una alta probabilidad de cometer errores numéricos que por lo general no se presentarían cuando el ingeniero tiene una clara visión física de lo que esta analizando. Afortunadamente es posible, mediante un artificio conceptual, formular el estudio del comportamiento a flexión del hormigón armado en forma diferente tal que los resultados sean los mismos que los obtenidos en el análisis general del numeral anterior. Este procedimiento es mucho mas fácil de visualizar y aplicar en secciones de cualquier forma y al efecto simultaneo de diferentes tipos de tensiones internas. Se ha indicado que la forma de la distribución real de tensiones a compresión en secciones de hormigón armado sometidas a flexión varia considerablemente dependiendo de los materiales y los métodos de prueba. Además se puede intuir que en realidad no se requiere conocer la forma exacta de la distribución sino:

• La magnitud de la fuerza resultante a compresión del hormigón ( C ) • La posición de esta resultante respecto al borde comprimido de la sección ( c )

Experimentalmente se han obtenido resultados sobre estas variables expresándolas en función de dos parámetros definidos como a y ß. Para iniciar se puede pensar que la distribución real de tensiones del hormigón a compresión se reemplace por una distribución geométrica ficticia de forma sencilla y que produzca una fuerza resultante a compresión similar a la obtenida con la forma exacta y que adicionalmente este aplicada en la misma posición cuando el elemento este próximo a la falla. Las formas propuestas han variado de acuerdo al pensamiento de cada investigador desde triángulos, rectángulos y trapecios hasta polinomios de segundo y tercer grado. La figura 3.20 muestra un resumen de estas distribuciones. Sin embargo en 1940 el ingeniero C.S. Whitney propuso una forma rectangular como distribución equivalente que revoluciono prácticamente el diseño estructural. La figura 3.21 ilustra comparativamente la distribución real y la equivalente en una sección rectangular simplemente reforzada de hormigón armado. La magnitud ?.fć es la tensión promedia a compresión en el bloque rectangular y su profundidad se indica como “ a “. La determinación de estos parámetros se realiza comparando los bloques de tensiones. En la distribución real: C = (a fć) b. c En la equivalente: C = ( ? fć) b. a

En la igualdad : (a fć) b. c = ( ? fć) b. a => ac

.αγ =

Como a = ß1 c => 1β

αγ =

De la misma forma se debe cumplir que: ß. c = a / 2 => ß. c = (ß1. c) / 2 ; ß1 = 2.ß


______________________________________________________________________


161

fc fc fc ½ h C = ¼ fc bh c C = ½ fc bc h ¾ h d fs = n fc ( d-c) / c T = As fs T = As fs 1/12 h f t 1. Köenen ( 1886) 2. Coignet y Tedesco ( 1894) 3. Melan ( 1896) C = 2/3 fć bc a C = fć ab c d fs = 2n fć ( d-c) / c d z = d – a/2 T = As fs T = As fs

Figura 3.20 Tipos de distribución equivalente de tensiones

ßc a / 2 a c C C h d T T b

Figura 3.21 Distribución de tensiones real y equivalente en el hormigón

La tabla 3.2 presenta los resultados numéricos de los valores de ? y ß1 para hormigones con resistencias a compresión entre 21 y 56 MPa los cuales son los mas utilizados en los diseños convencionales. Se puede concluir que el parámetro ? es prácticamente independiente de la resistencia del hormigón y se puede asumir como 0.85 para el rango


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162

considerado. La ecuación 3.41 representa la fuerza a compresión resultante utilizando el bloque equivalente de tensiones.

abfC c ...85.0 ´= (3.31) Igualmente se puede concluir que para hormigones con fć menor o igual a 28 MPa la altura del bloque a compresión del hormigón es 0.85 veces la profundidad del eje neutro y su valor disminuye en 0.05 por cada 7 MPa por encima de fć = 28 MPa. En ningún caso ß1 debe ser menor que 0.65 es decir: 0.65 < ß1< 0.85. La ecuación 3.42 representa la expresión matemática de esta relación.

( )7

28.05.085.0

´

1−

−= cfβ (3.32)

De igual manera que el método general del numeral anterior se pueden derivar las ecuaciones de comportamiento a flexión del hormigón armado considerando los dos modos de falla: a) por fluencia del acero y b) por rotura del hormigón. Del equilibrio de fuerzas internas, utilizando la figura 3.18 se tiene:

ssc fAbafTC ....85.0 ´ =⇒= (3.33) El momento interno resistente es :

−=

−=2

..2

....85.0 ´ adfA

adbafM sscn (3.34)

Análogamente el estudio del comportamiento de la sección plantea los mismos tipos de falla estudiados en el método general dependiendo de las deformaciones de la sección: 0.85 fć ec a a/2 c C = 0.85 fć a b d es T = As fs fs

Figura 3.22 Perfil de tensiones y deformaciones bloque equivalente de Whitney


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163

Tabla 3.2 Parámetros del bloque equivalente de tensiones del hormigón f´c ( MPa) < 28 35 42 49 > 56

α 0,72 0,68 0,64 0,6 0,56

β 0,425 0,4 0,375 0,35 0,325

β1 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65

γ 0,85 0,85 0,85 0,86 0,86 Caso a) Cuando la falla se inicia por la fluencia del acero a tracción: La hipótesis es que el acero a tracción esta en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión. Lo anterior equivale a que es = et = 0.005 o ( c / dt ) < 0.375. De la ecuación de equilibrio despejando “ a “è

bf

fAa

c

ys

.85.0 ´= (3.35)

−=2a

dfAM ysn (3.36)

Reemplazando 3.45 en 3.46, organizando términos y considerando la definición de cuantía: p = As / (bd) y w = p.f´c / fy se tiene una expresión similar a la 3.27.

( )ωω 59.01... 2´ −= dbfM cn (3.37) Caso b) Cuando la falla se inicia por agotamiento del hormigón. El criterio es: et < 0.002 del perfil de deformaciones de la sección, figura 3.18 se tiene:

ccd

ccd

sc

s −×=⇒

−= 003.0ε

εε

Si se reemplaza es en la ecuación fs = Es es considerando a = ß1 c se tiene:

( )ss E

aad

f ..

.003.0 1 −=

β (3.38)

Reemplazando el valor de fs de la ecuación 3.48 en la ecuación 3.43 =>

( )ssc E

aad

Abaf ×−

××=.

003.0.85.0 1´ β

Reorganizando términos se obtiene la ecuación cuadrática para a:


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164

0.....003.0

.85.0 21

2´

=−+

ddaa

Ef

s

c βρ

(3.39)

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene la altura del bloque equivalente a compresión. Finalmente se halla Mn aplicando la ecuación 3.34. c) condición balanceada: Cuando simultáneamente ec= 0.003 y fs = fy De la figura 3.18 se concluye que la profundidad del eje neutro en esta condición es:

( )ys

s

t

b

b

bs

fEE

dc

ccd

+=⇒

−=

.003.0.003.0

003.0ε

Y la altura del bloque comprimido en condición balanceada es: bb ca .1β=

( )yt

b

fdc

+=

612612

En general, se recuerda nuevamente que el tipo de falla a flexión del hormigón armado depende de la cuantía ?. Si este valor es mayor que la cuantía balanceada la falla se inicia por el hormigón, en caso contrario la falla se inicia por el acero. La figura 3.20 indica las diferentes posiciones del eje neutro en un perfil típico de deformaciones para tres cantidades diferentes de cuantías. ec = 0.003 cb d es > ey es = ey es < ey

Figura 3.23 Perfiles de deformaciones a flexión y posición del eje neutro

La figura 3.23 es muy clara al indicar que la posición del eje neutro depende de la cuantía del acero como lo indica también la ecuación 3.35. Por ejemplo si la cuantía de una sección es menor que la balanceada la profundidad del eje neutro es menor que la profundidad balanceada y en consecuencia las deformaciones en el acero son altas al inicio de la falla. Análogamente se presenta lo contrario cuando las cuantías son mayores que la balanceada.

Falla a tracción fs = fy

Condición balanceada

Falla a compresión ec = 0.003


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165

Ejemplo 3.8 Utilizando los datos del ejemplo 3.5 determinar las características geométricas y mecánicas de la sección considerando el bloque equivalente de tensiones. Comparar los resultados obtenidos en los dos ejemplos.

b = 250 mm, h = 650 mm, d = dt = 600 mm, As = 3 # 8, f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa Es = 204000 MPa

3 # 8 h = 650mm d= 600 mm b = 250 mm

Figura 3.24 Sección de hormigón armado ejemplo 3.8

Solución: Se determina inicialmente la cuantías de la sección:

( )0102.0

6002501524

=×

=ρ mma .1082502885.0

4201524=

×××

=

mmc .12785.0

6.107== 212.0

600127

==td

c< 0.375

( )

005.00112.0127

127600003.0 >=

−×=tε

Se cumplen los requisitos para la fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcance la resistencia a flexión è

153.028

4200102.0 =×=ω

( ) mmNM n ..10351153.059.0160025028153.0 62 ×=×−××××=

Es decir la sección resiste una flexión de 351 kNx m valor que concuerda exactamente con el resultado obtenido en el ejemplo 3.5. Ejemplo 3.9 Determinar la resistencia a flexión de la siguiente sección de hormigón armado: b = 250 mm, h = 550 mm, d = 500 mm As = 3 # 8 Es = 204000 MPa.


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166

a) fć = 21 MPa y fy = 420 MPa b) fć = 42 MPa y fy = 420 MPa c) fć = 21 MPa y fy = 280 MPa 3 # 8 h = 550mm dt = 500 mm b = 250 mm

Figura 3.25 Grafico de la sección del ejemplo 3.9

En los tres casos se tiene la misma cuantía de acero:

( )0122.0

5002501524

=×

=ρ

a) Materiales con las siguientes propiedades: fć = 21 MPa ; fy = 420 MPa

( )593.0

420612612

=+

=t

b

dc

mma .1432502185.0

4201524=

×××

=

mmc .16885.0

143== 336.0

500168

==td

c< 0.375

( )

005.00059.0168

168500003.0 >=

−×=tε


244.021

4200122.0 =×=ω

( ) mmNM n ..10274244.059.0150025021244.0 62 ×=×−××××=

b) Materiales : fć =42 MPa y fy = 420 MPa


______________________________________________________________________


167

( )593.0

420612612

=+

=t

b

dc

mma .722504285.0

4201524=

×××

=

mmc .8585.0

72== 144.0

50072

==td

c< 0.375

( )

005.00146.085

85500003.0 >=

−×=tε


122.042

4200122.0 =×=ω

( ) mmNM n ..10297122.059.0150025042122.0 62 ×=×−××××=

Los resultados indican que un aumento del 100% en la resistencia a la compresión del hormigón solo incrementa la capacidad resistente a flexión en menos de un 10% lo que realmente es considerado como insignificante. c) Materiales : f´c =21 MPa y fy = 280 MPa

( )686.0

280612612

=+

=t

b

dc

mma .962502185.0

2801524=

×××

=

mmc .11385.0

96== 226.0

500113

==td

c< 0.375

( )

005.00103.0113

113500003.0 >=

−×=tε


163.021

2800122.0 =×=ω

( ) mmNM n ..10193163.059.0150025021163.0 62 ×=×−××××=

Finalmente en este caso una reducción del 33% en la resistencia a fluencia del acero afecta en un 30% la capacidad resistente a flexión de la sección. Ejemplo 3.10 Determinar la capacidad resistente a flexión de una sección rectangular de hormigón armado de b = 250 mm, h = 600 mm y d = 500 mm. La sección esta reforzada con seis barras de acero distribuidas en dos capas como se indica en la figura.


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168

Los materiales tienen las siguientes propiedades mecánicas: hormigón de f´c = 21 MPa y acero de fy = 420 MPa con Es = 204000 MPa. Solución: El procedimiento de trabajo es similar al realizado en los ejemplos anteriores. Se determina inicialmente la cuantía del refuerzo para definir el tipo de falla y luego se entra a determinar la resistencia de la sección. a C c h = 600 mm dt = 550 mm T b = 250 mm As = 6 # 8 = 3040 mm2

Figura 3.26 Sección del ejemplo 3.10

( )0243.0

5002503040

=×

=ρ

( )593.0

420612612

=+

=t

b

dc

mma .2862502185.0

4203040=

×××

=

mmc .33685.0

286== 611.0

550336

==td

c> 0.375

( )

005.00019.0336

336550003.0 <=

−×=tε

No se cumplen los requisitos para la fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcance la resistencia a flexión è Hay peligro de falla frágil. Se debe calcular nuevamente el valor de “ c “ para determinar cual es la tensión del acero a tracción. De la ecuación 3.39:


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169

050085.05000243.0204000003.0

2185.0 22 =×−×+×

×××

aa

simplificando y resolviendo términos:

02125005002.1 2 =−×+× aa

mma .2612.12

2125002.14500500 2

=×

××++−=

mmc .30785.0

2.261== 558.0

550307

==td

c> 0.375

( )

005.00024.0307

307550003.0 <=

−×=tε

La sección no cumple los requisitos para garantizar fluencia del refuerzo a tracción cuando se alcanza la resistencia a flexión.

486.021

4200243.0 =×=ω

( ) mmNM n ..10455486.059.0150025021486.0 62 ×=×−××××=

Se encuentra que la cuantía de la sección es mayor que la balanceada, en consecuencia la falla se inicia por agotamiento del hormigón a compresión. Las ecuaciones para resolver este caso son:

Otra forma de estimar Mn es hallando el valor de fs con la ecuación 3.38 y utilizando la segunda parte de la ecuación 3.34 [ Mn = As.fs (d – a / 2 ) ]. Las figuras 3.27 y 3.28 muestran los diagramas de flujo o algoritmos de trabajo para el estudio del comportamiento a flexión de secciones rectangulares de hormigón armado con refuerzo solo a tracción. Esta ayuda le permite al lector facilitar la programación del método para realizar numerosos ejercicios en corto tiempo. Se puede utilizar también para su programación una hoja de calculo tal como se muestra en los anexos. 3.4.4 Diseño a flexión de secciones rectangulares simplemente reforzadas Los aspectos básicos del diseño se fundamentan en el hecho de que una estructura es segura si esta tiene la suficiente capacidad resistente para soportar las diferentes intensidades y combinaciones de carga que posiblemente puedan actuar sobre ella. En otras palabras esto significa que la capacidad resistente Mn, obtenida a partir de las características de los materiales y del comportamiento bajo carga, modificada por un factor de reducción de resistencia obtenido estadísticamente, F, debe ser mayor que la


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170

b, h, As, d, dt , f´c, fy, Mext.

´4790 cc fE = : ´63.0 cr ff =

c

s

EE

n = : ( ) st AnA 1−=

rt ff < si La sección esta en rango elástico no fisurado

NO

La sección se debe analizar En rango elástico fisurado

Figura 3.27 Comportamiento a flexión de secciones de hormigón armado

Determinar por estática la posición del centroide de

la sección : yc

Determinar igualmente el momento de inercia respecto al

centroide de la sección : Ic

c

cextt I

yMf .=

( )wdbfwM cn 59.01.... 2´ −=

( )[ ]c

cexts I

dhyMnf

−−= .

FIN

A


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171

no El hormigón esta en rango

inelástico si

La sección esta en rango Elástico fisurado

no si


A

bdAs=ρ ( ) ρρρ nnnk 22 ++−=

31

kj −=

djAM

fs

exts ..

.=

2.

....2

dbjkM

f extc =

´5.0 cc ff <

FIN

La sección se debe analizar bajo estado de

resistencia

Método general: diagrama tensión-deformación real

del hormigón

612612+

=yt

b

fdc

´.

.

c

y

t f

f

dc

α

ρ=

t

b

t dc

dc

<

Falla por agotamiento del hormigón a compresión

Falla por fluencia del acero a tracción

C

B


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172


B

´

.

c

y

ff

Wρ

=

( )wdbfwM cn 59.01.... 2´ −=

C

FIN

Determinar el verdadero valor de c

Usar solución de ecuación cuadrática

( )c

cdtt

−= 003.0ε

tss Ef ε.=

´

.

c

s

ffρ

ω =

( )wdbfwM cn 59.01.... 2´ −=

FIN


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173

NO NO

si SI SI

Figura 3.28 Revisión de secciones de hormigón armado por bloque de Whitney

b, d, dt , As, f´c, fy

( )7

2805.085.0

´

1−

−= cfβ

Como primera aproximación se asume falla por fluencia del

acero a tracción

bf

fAa

c

ys´85.0

=

1βa

c =

375.0<td

c

Se comprueba que la falla es por fluencia

del acero

Falla por agotamiento del

hormigón a compresión

´

.

c

y

f

fw

ρ=

( )wdbfwM cn 59.01.... 2´ −=

FIN

Hallar nuevamente el valor de “ c “ por

cuadrática

Determinar “ c / dt “ y et

fs = Es. et w = ?.fs / f c

( )c

cdtt

−= 003.0ε

005.0>tε

E

E


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174

resistencia requerida, Mu, que se obtiene a partir de las cargas aplicadas mayoradas por un factor de amplificación también obtenido estadísticamente, ?. De esta forma se llega a la ecuación básica del diseño a flexión:

unsu MMMM ≥⇔≥ ... φγφ (3.40) Los subíndices n, s y u denotan respectivamente: valor nominal, en servicio y ultimo. El valor de F para flexión se asume como 0.90 siempre y cuando la relación ( c / dt ) sea menor que 0.375 o que et > 0.005; en caso contrario este valor se debe determinar utilizando el criterio de diseño de columnas. El valor de ? depende del tipo y combinación de cargas y del margen de seguridad. Por ejemplo para la combinación básica el factor por carga muerta es ?m=1.2 y por carga viva es ?v = 1.6. Experimentalmente se ha comprobado que una estructura diseñada sobre las anteriores bases tiene un comportamiento satisfactorio para las condiciones normales de servicio. Es decir las deflexiones están convenientemente controladas o se mantienen en los limites tolerables y las fisuras en las zonas traccionadas, que inevitablemente surgirán, se mantienen con un ancho controlado y adecuadamente distribuidas. Este método de diseño por resistencia contrasta con su predecesor, el método de diseño por tensiones admisibles, el cual consistía en limitar las deflexiones y ancho de fisuras indirectamente limitando las tensiones en los materiales cuando se sometían a las cargas de servicio. El procedimiento de diseño actual consiste en dimensionar y reforzar la estructura para soportar adecuadamente las cargas ultimas esperadas y posteriormente revisar las deflexiones y la fisuración para comprobar así las condiciones de servicio. Este enfoque de diseño, llamado en Europa diseño por estados limites, es la base fundamental del diseño a flexión a presentar en este texto. 3.4.4.1 Factores a considerar en el diseño a flexión. En el diseño a flexión de estructuras de hormigón armado se debe tener en cuenta: la posición, selección, separación y recubrimiento del refuerzo y las limitaciones tanto constructivas como dimensiónales de las secciones. a) Posición del refuerzo: Debido a la fisuración del hormigón en las zonas traccionadas de los elementos estructurales, cuando las tensiones externas superan el modulo de rotura del hormigón, es necesario colocar en estas regiones barras de refuerzo que resistan estas tensiones evitando así fallas súbitas por incapacidad resistente del hormigón. La figura 3.29 muestra una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida q, cuando el momento generado por la carga ( M ) produce tensiones ( f ) cercanas al modulo de rotura del hormigón se inicia el proceso de fisuración indicado en la figura. En la zona de momento máximo son mayores las tensiones y por tanto se requiere allí mas acero que en los apoyos. De la misma forma en la figura 3.30 se muestra una viga en voladizo sometida a una carga distribuida q. En este caso se presenta una característica importante respecto a la viga de la figura 3.23 y es que la zona traccionada esta en el borde superior y es por tanto allí donde se presenta la fisuración de la estructura y donde realmente se debe ubicar el refuerzo.


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175

Adicionalmente como en el voladizo se presenta el momento máximo en el apoyo se debe colocar en esta zona la mayor cantidad de acero. q Viga deflectada y fisurada Mmax.= q l2 / 8 Diagrama de momentos As Posición del refuerzo

Figura 3.29 Colocación del refuerzo en vigas simplemente apoyadas

En la practica la situación típica es la viga continua es decir aquella que presenta longitudinalmente varios apoyos consecutivos tal como lo ilustra la figura 3.31. Cuando estas vigas se someten a cargas externas se generan momentos y cortantes con algunas particularidades especiales respecto a los dos casos anteriores. Los momentos por ejemplo cambian de sentido entre la mitad de la luz y los apoyos lo que implica el desplazamiento de las zonas a tracción de la parte inferior a la superior y en consecuencia la posición del refuerzo. En las regiones centrales de estas vigas el refuerzo esta localizado cerca al borde inferior mientras que en las zonas cercanas a los apoyos se ubica cerca al borde superior. Por ahora el lector debe asumir que este refuerzo se requiere solo hasta los puntos de inflexión del diagrama de momentos. Sin embargo el tema es de tanta importancia y aplicación practica que en un próximo capitulo se explicaran detalladamente las bases de este detallado del refuerzo. Además de este refuerzo longitudinal por flexión, las secciones de hormigón armado deben reforzarse con barras de acero perimetrales que no solo mantienen en posición las

As


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barras de flexión sino que brindan seguridad contra la eventual falla por cortante. Estos amarres perimetrales se conocen con el nombre de estribos y su estudio y detallado también se explicara en un próximo capitulo. Solo la practica y experiencia en el diseño le permitirán al lector adquirir la destreza y capacidad suficientes para definir y localizar en forma correcta aquellas zonas de hormigón que requieren de un determinado tipo de refuerzo y esto se logra manejando convenientemente los conceptos de fisuración y deflexiones en las estructuras. Carga: q Estructura deflectada y fisurada Diagrama de momento flector As Colocación correcta del refuerzo

Figura 3.30 Colocación del refuerzo en vigas en voladizo


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177

q

a) Viga continua con carga uniformemente distribuida

b) Esquema de la estructura fisurada y deflectada bajo la acción de las cargas Vi1 Vi2 Vin Vj1 Vj2

b) Diagrama de cortante

Mmax.(+)2 Mmax.(+)n

Mmax.(+)1 Mmax.(-)1 Mmax.(-)2 Mmax.(-)n

d) Diagrama de momentos

d) Colocación del refuerzo

Figura 3.31 Patrón de fisuración y posición del refuerzo en vigas continuas


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178

b) Requisitos constructivos: El proceso constructivo es la etapa siguiente a la del diseño y en esta se lleva a cabo la erección, el montaje y la instalación real en el sitio de todos las partes de la edificación. Sin embargo el ingeniero de diseño debe prever convenientemente algunas limitaciones propias de esta etapa las cuales eventualmente podrían aumentar el costo o interrumpir el proyecto si no se solucionan a tiempo. El primer requisito se refiere a la selección adecuada de los materiales a utilizar tanto de las características del hormigón como del acero verificando su disponibilidad comercial y capacidad de fabricación. El segundo es la correcta selección de las dimensiones de todas las partes de la estructura teniendo en cuenta no solo las dimensiones de las formaletas disponibles sino también la congestión y posición del refuerzo. El tercero es la capacidad técnica para el montaje e instalación de los diferentes sistemas de refuerzo con los accesorios y elementos adecuados. Solo mediante un correcto cumplimiento de los anteriores requisitos se logra optimizar el costo del proyecto. Se tiene evidencia de casos donde por desconocimiento de estos puntos el costo de la obra se ha incrementado entre un 35 y 60% del costo esperado. El costo de la formaleteria es un ítem critico en el proyecto. c) Relaciones dimensiónales: Se refieren a las características geométricas que deben cumplir las dimensiones de las secciones y las luces del proyecto. En el caso de vigas y losas unidireccionales se sabe que al aumentar la rigidez de las secciones (E.I) se disminuyen las deflexiones (d). En los curso básicos de mecánica estructural se aprende a manejar expresiones matemáticas que relacionan estas variables, por ejemplo la ecuación 3.55 indica la relación entre deflexiones (d), luces (l) y condiciones de apoyo (C1) contra la rigidez de la sección (E.I) para cargas uniformemente distribuidas.

IElq

C..

.4

1max =δ (3.41)

la deducción de los valores de la constante C1 se pueden consultar en los textos de mecánica estructural sin embargo como referencia general la tabla 3.3 indica los mas típicos en el diseño.

Tabla 3.3 Valores del coeficiente numérico C1 en la ecuación 3.41

Apoyos Articulados Empotrados Artic.- Empot. Voladizo C1 5 / 384 1 / 384 1 / 185 1 / 8

La ecuación 3.55 indica que para una determinada condición de carga (q), material (E), luz (l) y características de los apoyos (C1) la deflexión (d) depende solo del momento de inercia de la sección (I). Ya que el parámetro que mas altera la inercia es la altura de la sección ( h ) se puede fácilmente obtener una expresión para representar la deflexión en función de esta altura. Si en la practica se limitan las deflexiones por razones arquitectónicas y de funcionabilidad de los sistemas estructurales indirectamente se están limitando también las alturas de las secciones (h). Estas recomendaciones están indicadas no solo en los manuales de diseño sino en todas las normas y códigos de construcción. Por ejemplo la tabla C.9.1 de la NSR-98 así como la equivalente en el


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179

ACI-318-02 la 9.5.(a). recomiendan unos espesores mínimos en vigas y losas unidireccionales para no tener que calcular las deflexiones. Si se conocen estos espesores mínimos quedan prácticamente definidas las dimensiones de las secciones.

Tabla 3.4 Espesores mínimos en vigas y losas unidireccionales NSR-98 ( ACI-318-02)

Estructura Simple/ . Apoyada

Un apoyo continuo

Ambos apoyos continuos

En voladizo

Losa maciza l / 20 l / 24 l /28 l / 10

Vigas o losas aligeradas

l / 16 l / 18.5 l /21 l / 8

d) Recubrimiento y separación de las barras de refuerzo: Es necesario proteger el acero de refuerzo del medio ambiente con un recubrimiento mínimo de hormigón en primer lugar para mantener una adecuada adherencia entre los dos materiales; en segundo termino para proteger el refuerzo del ataque corrosivo producido en algunos ambientes agresivos y finalmente protegerlo del fuego y las cargas abrasivas que desgastan la superficie del hormigón. Al respecto las normas y códigos recomiendan unos recubrimientos mínimos para hormigones vaciados en el sitio de acuerdo al tipo de sección y medio externo: se indica que para exposición directa al suelo o a la intemperie los muros y losas deben tener un recubrimiento mínimo de 20 mm y las vigas y columnas de 40 mm. En otros casos el recubrimiento es de 50 mm excepto cuando el hormigón es de baja resistencia ( f c < 21 MPa) donde se especifican 75 mm de recubrimiento. En relación con la disposición de las barras de refuerzo en una misma sección se indica que su distribución debe ser simétrica y que cuando se colocan en varias capas las barras superiores deben quedar exactamente sobre las inferiores conservando un arreglo regular. Se recomienda colocar siempre las barras de mayor diámetro en las capas inferiores y en los bordes de la sección. La figura 3.32 representa un ejemplo típico de refuerzo mostrando las formas correctas e incorrectas de realizar este proceso. El espaciamiento del refuerzo debe cumplir los siguientes requisitos: ninguna barra debe quedar separada menos de 25 mm de las barras adyacentes, ni menos del diámetro de la barra ni menos de un tercio el tamaño máximo del agregado del hormigón. En el caso de columnas la separación mínima es de 40 mm o 1.5 veces el diámetro del refuerzo. Cada capa de refuerzo debe estar separada 25 mm de las capas adyacentes. Figura 3.26. e) Dimensiones de la sección: en el hormigón armado la sección típica es la rectangular, aunque la forma T y L lo mismo que la circular son igualmente útiles. En el caso de la rectangular se prefieren generalmente formas cuadradas, sin embargo por consideraciones económicas ( en el caso de la inercia o el modulo de la sección ) es mejor que la altura de las secciones sea de 2 a 3 veces su ancho ( 2.b < h < 3.b). Algunas limitaciones arquitectónicas y constructivas obligan algunas veces a utilizar secciones fuera de los limites indicados es decir secciones esbeltas ( h > 4.b) caso de las vigas profundas o secciones planas ( h < b) en estos casos se deben considerar los


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180

problemas adicionales que se generan por estos efectos dimensiónales. Las secciones de losas, vigas, muros y columnas se deben dimensionar en múltiplos de 50 o 100 mm iniciando siempre con 200 mm. Incorrecta Correcta

Figura 3.32 Disposición y separación del refuerzo f) Selección de las barras de refuerzo: Los diámetros del refuerzo comercial para el hormigón están disponibles desde 9.5 mm ( 3/8”) hasta 35.8 mm (11/8”). Por lo general las barras #3, #4 y #5 se utilizan como refuerzo a flexión en losas y para retracción y temperatura, el #3 y #4 es el refuerzo usado en cortante y las barras #6 hasta #11 se utilizan como refuerzo a flexión y compresión en vigas y columnas de hormigón armado. Algunas siderurgicas producen barras de diámetros extra grandes como la #14 (43 mm) y la #18 (57.3 mm) estas ultimas si están comercialmente disponibles se recomienda usarlas en secciones grandes sometidas a compresión ( columnas, pilas de fundación). Cuando por razones de calculo se requieran mezclar diferentes barras de refuerzo para optimizar el área de acero requerida en la sección se recomienda usar solo dos tamaños de barras de tres consecutivas ( por ejemplo #6 y #8).

Mayor que: • 4 / 3 el T.M.

del agregado • 25 mm

Mayor que: • Diámetro de

la barra • 25 mm • 4 /3 el T.M.

del agregado Mayor que 40 mm

Mayor que 40 mm


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181

3.4.4.2 Numero máximo y mínimo de barras en una sección. La cantidad de barras de refuerzo que se deben colocar en una sección de hormigón armado esta limitada por razones dimensiónales y los requisitos de separación y recubrimiento del refuerzo enunciados en el numeral anterior. La tabla 3.5 da el numero máximo de barras que pueden colocarse en una sola capa considerando un recubrimiento del refuerzo de 40 mm y usando estribos #4. Igualmente existen también restricciones sobre el numero mínimo de barras a colocar en una sola capa con base en el control de fisuracion del elemento. La tabla 3.6 indica este numero mínimo de barras. Ejemplo 3.11 Determinar para la sección de hormigón armado de la figura 3.27 la altura efectiva (d) y el ancho mínimo requerido si el tamaño máximo del agregado es de 20 mm y la altura total de la sección es de 600 mm. 2 de 2 # 8 12.7 mm 3 # 9 25.4 mm 0.5 db 28.7 mm 9.5 mm 40 mm 40.0 mm 40 28.7 x 28.7 x 28.7 40

Figura 3.33 Sección de hormigón armado del ejemplo 3.11 Solución: La sección cumple con los requisitos de refuerzo enunciados: tiene dos tamaños de barras diferentes ( #8 y #9) y las barras #9 están ubicadas en la capa inferior del refuerzo y en los bordes de la sección con el fin de mantener el mayor brazo de palanca de las fuerzas internas. Además la disposición del refuerzo es simétrica alrededor del eje vertical de la sección y las barras de la capa superior están exactamente sobre las barras inferiores amarradas perimetralmente por estribos que las mantienen en su posición y evitan el desalineamiento longitudinal.


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Tabla 3.5 Numero máximo de barras en una capa de refuerzo en secciones de hormigón armado con estribos #4 y tamaño máximo de 20 mm.

Ancho de la sección, b en ( mm ) # barra db(mm) 200 250 300 350 400 450 500

5 15,9 2 4 5 6 7 8 10 6 19,1 2 3 4 6 7 8 9 7 22,2 2 3 4 5 6 7 8 8 25,4 2 3 4 5 6 7 8 9 28,7 2 3 3 4 5 6 7

10 32,3 1 2 3 4 5 5 6 11 35,8 1 2 3 3 4 5 6

Tabla 3.6 Numero mínimo de barras en una capa de refuerzo de acuerdo a requisitos de control de fisuras en secciones de hormigón armado expuestas al ambiente.

Ancho de la sección, b en (mm) # barra db ( mm) 200 250 300 350 400 450 500

5 15,9 2 2 2 3 3 3 4 6 19,1 2 2 3 3 3 4 4 7 22,2 2 2 3 3 3 4 4 8 25,4 2 2 3 3 4 4 4 9 28,7 2 2 3 3 4 4 5

10 32,3 2 3 3 3 4 4 5 11 35,8 2 3 3 4 4 5 5

El recubrimiento mínimo del refuerzo es de 40 mm medido desde el borde exterior de los estribos lo que indica el cumplimiento de las recomendaciones del NSR-98 numeral C.7.7. La distancia mínima entre capas de refuerzo es la mayor entre 25 mm y 1.33 veces el tamaño máximo del agregado es decir 1.33 x 20 mm = 26.6 mm. Lo anterior confirma la correcta disposición de este refuerzo en la sección. Determinación de la altura efectiva ( d ): Si se ubica inicialmente el centroide del acero de refuerzo queda prácticamente definida la altura efectiva de la sección. El centroide se determina por el teorema de área de momentos:

Tabla 3.7 Determinación del centroide del refuerzo a tracción

Capa Refuerzo Diámetro área distancia al borde momento de área

(mm) (mm2) (mm) (mm3)

inferior 3 # 9 28,7 1935 63,85 123550

superior 2 # 8 25,4 1020 116,3 118626

2955 242176


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El centroide del refuerzo esta localizado a una distancia del borde inferior de:

mmyc .95.812955

242176==

La altura efectiva es por tanto d = 600 – 81.95 mm = 518 mm Determinación del ancho mínimo de la sección ( bmin): Este se determina sumando el recubrimiento mínimo exigido para el refuerzo con los diámetros y separación de las barras y las dimensiones del estribo. Se debe tener en cuenta que el diámetro mínimo de doblado del estribo es de dos veces del diámetro del estribo, es decir 2*9.5 = 19 mm. Para barras menores que la # 11 la separación entre el refuerzo a flexión y el estribo es : 2*de – 0.5*db = 2 * 9.5 – 0.5 * 28.7 = 4.65 mm. El espaciamiento entre las barras a flexión debe ser mayor que 25 mm o 1.33 veces el tamaño máximo del agregado o el diámetro de la barra, controlando la mayor. En este caso controla el diámetro de las barras de refuerzo 28.7 mm.

mmb .8.251405.965.47.2827.28365.45.940min =+++×+×+++= Es decir la sección debe tener un ancho mayor o igual a 250 mm con una altura efectiva de 518 mm. En algunos casos se considera satisfactorio estimas la altura efectiva de las secciones de acuerdo al numero de capas:

Para refuerzo en una capa asumir un d = h – 65 (mm)

Para refuerzo en dos capas asumir un d = h – 90 (mm) Por seguridad se recomienda que el valor de la altura efectiva no se sobreestime ya que en el momento de la construcción por lo general este valor se modifica colocando el refuerzo en posiciones diferentes a las indicadas en los planos. En losas el recubrimiento mínimo es de 20 mm y siempre se utiliza una capa de refuerzo con diámetros #3 o #4. Para estos casos la altura efectiva se puede asumir así:

En losas unidireccionales con luces menores o iguales a 3.7 m d = h – 25 (mm)

En losas unidireccionales con luces mayores a 3.7 m d = h – 28 (mm) En general el ancho de las secciones no debe ser menor que 200 mm y preferiblemente mayor que 300 mm en vigas y columnas. Lo anterior se debe a que solo con dos barras el ancho mínimo es de 200 mm y estas secciones en la practica se refuerzan con cantidades de refuerzo considerables ( las vigas con cuantías mayores o iguales al 1% y las columnas entre el 2 y 3%). El incumplimiento de los requisitos anteriores de separación del refuerzo y colocación conducen a las fallas típicas por hendimiento que se presentan en dirección paralela a la posición de las barras. Ya que una falla de este tipo puede ocasionar la perdida de


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adherencia y anclaje del refuerzo y la exposición al ataque ambiente es recomendable respetar los espaciamientos mínimos indicados en las normas. 3.4.4.3 Cuantía mínima de refuerzo. Como previamente se indico en el numeral 3.4.3.1 una falla por agotamiento del hormigón es no solo indeseable sino peligrosa porque la estructura colapsa sin mostrar evidencias de falla. Por el contrario una falla por fluencia del acero a tracción es la ideal porque gradualmente se manifiestan signos de agotamiento de la estructura que indican la proximidad del colapso ( amplias fisuras y grandes deflexiones). Adicionalmente en aquellas estructuras donde la falla se inicia por fluencia del acero a tracción se dispone de una reserva importante de resistencia ( alrededor de un 30%) debido al endurecimiento por deformación plástica que sufre el acero después de la etapa de fluencia, la cual no se tiene en cuenta en el diseño convencional. En definitiva resulta conveniente desde todo punto de vista que el diseño a flexión se base en la premisa de que si se presenta la falla esta sea por fluencia del acero y no por rotura del hormigón. Esto se puede garantizar teóricamente suministrando una cuantía de refuerzo, ?, tal que se cumpla que ( c / dt ) < 0.375 o que et > 0.0075. En la practica lo que se hace es asumir en el diseño un valor de cuantía tal que se cumplan los dos criterios anteriores y luego proceder por ajustes sucesivos hasta encontrar el verdadero valor del refuerzo. Existen razones importantes para no utilizar valores de ( c / dt) o de et diferentes a los intervalos indicados. En primer lugar en una sección estructural con una ( c / dt) = ( cb / dt) la máxima capacidad en flexión se logra cuando simultáneamente el acero entra en fluencia y el hormigón inicia su rotura. Esto evidentemente no es aconsejable porque no hay manifestaciones previas de la falla. En segundo lugar las propiedades de los materiales varían estadísticamente y en realidad no se conocen con precisión. Como tercer punto el endurecimiento por deformación del acero de refuerzo, el cual no se ha tenido en cuenta en el diseño, puede ocasionar una falla frágil del hormigón a pesar de que se cumplan las relaciones indicadas y finalmente el área de acero colocada realmente en una sección es siempre mayor que la realmente requerida en los cálculos tendiendo a sobre reforzar las estructuras. Por estas razones las normas y códigos de construcción recomiendan usar los criterios indicados. La practica Estadounidense y la nuestra recomiendan:

375.0≤td

c o 005.0≥tε (3.42)

Si se utilizan estos criterios se asegura un modo de falla dúctil del elemento sometido a flexión. Estas limitaciones permiten de controlar la forma del perfil de deformaciones de la sección cuando se llega a su capacidad máxima. En estos casos la posición del eje neutro es una fracción de la posición en condición balanceada. Cuantía mínima: Al igual que el caso anterior existe una cuantía mínima que garantiza un modo de falla dúctil de la estructura. Cuando una sección de un elemento estructural esta ligeramente reforzada ( poca cantidad de acero) debido a las bajas tensiones que producen las cargas externas es probable que su comportamiento sea similar al del


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estado elástico no fisurado ( es decir tensiones inferiores al modulo de rotura del hormigón). Sin embargo el procedimiento de diseño esta basado en la determinación de la capacidad resistente de la sección en estado fisurado. Por tanto si se calcula la capacidad resistente de la sección en condición fisurada se concluye que su magnitud es inferior a la capacidad resistente de la viga sin reforzar. Ya que una de las exigencias del diseño es garantizar una falla dúctil ( por fluencia del refuerzo) la cantidad mínima de acero permitida debe ser igual a la cantidad de acero que asegure una resistencia igual a la sección solo de hormigón. En otras palabras: Mn > Mcr. En donde Mn es la resistencia a flexión de una sección de hormigón armado y Mcr es la resistencia a flexión de una viga de hormigón y se conoce como el momento de fisuracion. Si se asume para la sección de hormigón sin refuerzo las siguientes características: sección rectangular, homogénea, elástica e isotropica se cumple:

2´3´

.105.0

2.12

.632.0bhf

hbhf

M cc

cr ==

Y para la sección de hormigón armado la expresión 3.46 se concluye:

2´ .105.02

.. bhfa

dfA cys ≥

−

Organizando términos y asumiendo a = 0.05 d ; d = 0.90 h se obtiene:

y

c

ff ´13.0

≥ρ

Para hormigones de diferentes resistencias el valor de ? varia incrementándose a medida que f´c aumenta. Por razones normativas y de confiabilidad tanto en el ACI-318 como en la NSR-98 se incrementa en un 90% el valor dado en la ecuación anterior para recomendar una cuantía mínima de secciones a flexión del hormigón armado. La ecuación 3.43 es el valor indicado en los códigos recomendando además que en ningún caso la cuantía debe ser inferior al valor dado en la ecuación 3.44.

y

c

ff ´

min

25.0=ρ (3.43)

yf4.1

min =ρ (3.44)

En las ecuaciones 3.43 y 3.44 el valor de la resistencia de los materiales esta dado en N/mm2 ( MPa). La ecuación 3.44 es altamente conservadora en el caso de secciones rectangulares. Aun en losas delgadas donde la relación h/d puede alcanzar un valor de 1.25 el coeficiente solo aumentaría un 25%. Ya que la ecuación 3.43 es similarmente


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186

conservadora para losas, los códigos recomiendan en estos casos utilizar el refuerzo de retracción y temperatura como el mínimo de flexión. El refuerzo de retracción y temperatura indicado en NSR-98 y ACI-318 es el siguiente: En losas reforzadas con acero de 280 o 350 MPa la cuantía de acero es de 0.0020 respecto a la sección bruta ( b.h). En losas reforzadas con malla electrosoldada o acero de 420 MPa la cuantía de acero debe ser 0.0018 En losas reforzadas con acero de resistencia en fluencia mayor a 420 MPa medida a una deformación de 0.35% la cuantía es: 0.0018 x 420 / fy. Los códigos también recomiendan que si la cuantía de acero obtenida de los cálculos es menor que la cuantía mínima su valor se puede incrementar en un 33% y verificar si este valor incrementado es mayor que la cuantía mínima. En caso afirmativo se coloca esta cuantía incrementada y en el otro caso la cuantía mínima. Para secciones con aletas ( T y L) cuando el alma esta en tracción se debe usar para la determinación de la cuantía el ancho del alma, bw.

Tabla 3.8 Cuantía mínima del refuerzo en secciones a flexión

fy (MPa) f´c(MPa) pmin

280 21 0,0050

" 28 0,0050

" 35 0,0053

" 42 0,0058

420 21 0,0033

" 28 0,0033

" 35 0,0035

" 42 0,0039

3.4.4.4 Procedimiento practico de diseño. El problema del diseño consiste en hallar las dimensiones de la sección y el refuerzo requerido para unas determinadas condiciones de carga, apoyos y luces. Evidentemente se puede ver que no existe una solución única al problema ya que se pueden disponer de varias secciones y refuerzos con una misma capacidad resistente. Por lo general lo que realiza el ingeniero es asumir inicialmente una variable y determinar luego la otra comprobando si la solución es acertada. Los pasos a seguir son:

• Seleccionar un valor adecuado para la altura de la sección “h”. Si se conoce la luz libre y las condiciones de apoyo se puede usar como guía la tabla 3.4.


______________________________________________________________________


187

• Escoger un valor adecuado para el recubrimiento del refuerzo. Como criterio inicial se asume acero en una capa. Queda por tanto definido “d”

• Seleccionar el ancho de la sección considerando que debe ser mayor que 200 mm y la relación d / b entre 1.5 y 4.0.

• Estimar las cargas que actúan sobre la estructura y hallar el momento mayorado para cada sección critica de diseño ( mitad de la luz y apoyos).

• Determinar la cantidad de acero requerido en cada sección de diseño y detallarlo correctamente en un plano

• Revisar la capacidad de carga de la sección diseñada para comprobar si esta se ajusta a la ecuación f.Mn > Mu.

Para determinar la cantidad de acero se pueden seguir varios algoritmos de trabajo con resultados similares. En las figuras 3.34 y 3.35 se ilustran estos procedimientos. Ejemplo 3.12 Se requiere diseñar una viga rectangular de hormigón armado para soportar una carga muerta de 18.9 kN/m la cual incluye el peso propio y una carga viva de 36.4 kN/m. La viga esta simplemente apoyada en dos muros cargueros y la luz libre es de 4.6 m. Los materiales recomendados son f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. qu luz = 4.60 m

Figura 3.30 Estructura del ejemplo 3.12 Solución: En este caso solo existen dos hipótesis de carga, la muerta y la viva por lo tanto la combinación de diseño que controla es:

mkNqqq vmu /.92.804.366.19.182.16.12.1 =×+×=+= En este ejemplo la única sección critica a flexión se presenta en la mitad de la luz en donde el momento flector alcanza su máximo valor:

mkNlq

M uu ..214

86.492.80

8. 22

=×

==

De acuerdo a la tabla 3.4 el espesor mínimo de la viga es: mmh .28816

4600min ==


______________________________________________________________________


188

Entre: b, h, f c, fy, Mu SI NO

Figura 3.34 Algoritmos A para determinar el refuerzo en secciones a flexión

( )7

2805.085.0

´

1−

−= cfβ

Asumir una capa de acero a tracción => dt = d = (h – 65) mm

2

´

2

..

7.1

dbM

C

f

fA

u

c

y

φ=

=

A

CAff yy

.2

..42 ++−=ρ

´85.0

..

c

y

f

fda

ρ=

1βa

c =

375.0≤td

c

Modificar las propiedades de la sección

FIN

El diseño es correcto As => fy

Detallar el refuerzo en la sección

dbAs ..ρ=

Detallar el refuerzo en la seccion

Revisar según figura

3.28


______________________________________________________________________


189

Entre: b, h, f c, fy, Mu

Figura 3.35 Algoritmos B para determinar el refuerzo en secciones a flexión

( )7

2805.085.0

´

1−

−= cfβ

Asumir una capa de acero a tracción => dt = d = (h – 65) mm

y

c

fdaf

..85.0 ´

=ρ

FIN


dbAs ..ρ=


Revisar según figura

3.28

Suponer:

300.0≤td

c

ca .1β=


______________________________________________________________________


190

Si se asume b = 250 mm y una relación d / b = 2.0 è d = 500 mm. Se puede iniciar el diseño con una sección de tanteo b = 250 mm h = 500 mm para un d =dt = 435 mm. Se puede iniciar el diseño determinando la cuantía del refuerzo “ ? “ a partir de la ecuación del diseño f.Mn > Mu así:

uy Ma

dbdf ≥

−2

..ρφ pero se tiene :bf

fdba

c

y

.85.0

...´

ρ=

Resolviendo para “ ? “ se obtiene la solución de una ecuación cuadrática donde:

´

2

7.1 c

y

f

fA = = 4941; yfB = = 420 y 2.. db

MC u

φ= = 5.0 è

0106.09882

52542049412

549414420420 2

=±−

=×

××+±−=ρ

En la ecuación siempre se selecciona el valor positivo. Pero este procedimiento consume tiempo de calculo innecesario por lo que en muchos casos se obvia asumiendo mejor una posición del eje neutro y por comprobaciones sucesivas que convergen rápidamente se logra una solución practica y acertada. Sea ( c / dt ) = 0.30 è c = 435 x 0.30 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm

2.1179420

1112502185.0mmAs =

×××=

Seleccionando como refuerzo 3 # 7 è As = 3 x 387 = 1161 mm2 è

mma .1092502185.0

4201161=

×××

= mmc .12885.0

109==

( )

0072.0128

128435003.0 =

−×=tε

mmNM n ..101672

1094351092502185.090.0. 6×=

−×××××=φ

A pesar de que ( c / dt ) < 0.375 y et > 0.005, no se cumple el requisito de resistencia f.Mn > Mu è se deben aumentar las dimensiones de la sección o usar una mayor relación ( c / dt ), considerándose mejor la primera opción. Sea b = 300 mm y d = 485 mm è c = 145.5 y a = 124 mm

2.1581420

1243002185.0mmAs =

×××=


______________________________________________________________________


191

Seleccionando como refuerzo 3 # 8 è As = 3 x 510 = 1530 mm2 è

mma .1203002185.0

4201530=

×××

= mmc .14185.0

120==

( )

0073.0141

141485003.0 =

−×=tε

mmNM n ..102462

1204851203002185.090.0. 6×=

−×××××=φ

Se cumple satisfactoriamente la relación de diseño porque f.Mn = 246 x 106 N.mm > Mu = 214 x 106 N.mm. Otras combinaciones de refuerzo que garantizan el cumplimiento de los requisitos del diseño dúctil y seguro se presentan en la tabla 3.9. La selección de la mejor opción debe también considerar requisitos económicos y constructivos.

Tabla 3.9 Combinación de barras de refuerzo del ejemplo 3.12

# Barras Area (mm2) p a (mm) c (mm)

et F.Mn (kN.m)

3 # 8 1530 0.0105 120 141

0.0073 246

2 # 10 1638 0.0113 128 151

0.0066 261

2#9+1#7 1677 0.0115 132 155

0.0064 266

2#8+2#7 1794 0.0123 141 166

0.0058 281 De igual forma se puede revisar el refuerzo de las combinaciones 2, 3 y 4. El mejor diseño es el que garantiza un mayor et. La selección que cumple la ecuación de diseño es la primera con tres barras # 8. b = 300 mm d = 485 mm As = 3 # 8

Figura 3.36 Sección de hormigón armado para el ejemplo 3.12


______________________________________________________________________


192

Ejercicio 3.13 Determinar el área de acero requerida en la viga del ejemplo 3.12 si se usan las siguientes dimensiones b = 250 mm y h = 500 mm. Considerar un momento flector externo mayorado en la sección critica de Mu = 187 kN.m. Solución: En este caso se conocen las dimensiones y por tanto para acero en una capa el valor de la altura efectiva es d = dt = 435 mm. Del ejemplo anterior se sabe que para un valor de ( c / dt ) = 0.30 la capacidad en flexión es de 167 kN.m è no se cumple el requisito de resistencia exigido.

Sea ( c / dt ) = 0.35

c = 435 x 0.35 = 152 mm y a = 152 x 0.85 = 129 mm

2.1371420

1292502185.0mmAs =

×××=

Se puede seleccionar como refuerzo 2 # 8 + 1 # 7 è As = 1407 mm2

mma .1322502185.0

4201407=

×××

= mmc .15585.0

132==

( )

0054.0155

155435003.0 =

−×=tε

mmNM n ..101962

1324351322502185.090.0. 6×=

−×××××=φ

Se cumple f.Mn > Mu è las dimensiones de la sección y el porcentaje de refuerzo son correctos para la exigencia de momento indicada. La tabla 3.10 da otros refuerzos.



et F.Mn (kN.m)

2 # 8 + 1 # 6 1304 0.0120 123 144

0.0060 184

2 # 8 + 1 # 7 1407 0.0129 132 156

0.0054 196

3 # 8 1530 0.0141 144 169

0.0047 210

2 # 8 +1 # 9 1665 0.0153 157 184

0.0041 224

El refuerzo a seleccionar es 2 # 8 + 1 # 7 en donde se cumplen los criterios de ( c / dt ) < 0.375 y f.Mn > Mu. En este diseño, a pesar de que la deformación del acero a tracción no es mayor que 0.0075 que es lo ideal, se cumple que si es mayor que 0.005.


______________________________________________________________________


193

Como esta sección tiene un b = 250 mm el numero máximo de barras por capa es de tres lo que restringe aun mas la selección de una combinación acertada de barras. Ejemplo 3.14 Se requiere diseñar una viga rectangular de hormigón armado la cual esta simplemente apoyada en dos muros cargueros con una luz libre de 10 m. La estructura soporta una carga muerta de 15 kN/m, sin incluir el peso propio, y una carga viva de 26 kN/m. Los materiales a utilizar son : f c = 25 MPa y fy = 420 MPa. qu luz = 10 m

Figura 3.37 Estructura del ejemplo 3.14 Solución: Se debe estimar inicialmente el peso propio de la estructura el cual se puede asumir porque no se conocen las dimensiones de la sección o se puede determinar dimensionando la estructura de acuerdo a los requisitos estudiados en 3.4.4.1. En el primer caso el peso propio generalmente esta entre un 10 y 20% de las cargas externas aplicadas es decir entre 0.4 y 0.8 kN/m. En el segundo método se deben estimar las dimensiones de la sección: h = ( 10000 / 16 ) = 625 mm è Sea h = 650 mm. Varios tanteos preliminares sugieren que h = 800 mm considerando la magnitud de las cargas externas. El ancho de la sección se puede asumir como b = h / 2 = 400 mm. Si: b = 400 mm h = 800 mm è qpp = ( 2350 kg/m3 x 0.4 m x 0.8 m ) x 9.8 m/s2

qpp = 752 kg/m x 9.8 m/s2 = 7370 N/m =7.4 kN/m Se puede notar como la carga por peso propio es el 18% de la carga externa. Determinación de la carga y el momento mayorados sobre la estructura: qu y Mu

( ) mkNqu /.5.68266.14.7152.1 =×++×=


______________________________________________________________________


194

mkNMu ..8568

105.68 2

=×

=

Antes de calcular la cantidad de acero de esta viga es importante revisar las dimensiones considerando una cuantía típica en vigas del 1% è ? = 0.010

366

2 .10251

25420010.0

59.01420010.090.0

.10856. mm

mmNdb ×=

×

×−×××

×=

Si se mantiene el ancho de la sección en: b = 400 mm è d = 792 mm que significa para refuerzo en una capa una altura total de h = 900 mm. Se concluye que para mantener una cuantía razonable en la estructura es necesario aumentar la altura de la sección de 800 mm a 900 mm. Para iniciar se puede asumir è d = dt = 835 mm. Con las anteriores dimensiones se deben revisar los valores de qu y Mu :

qpp = ( 2350 kg/m3 x 0.4 m x 0.9 m ) x 9.8 m/s2 = 8.3 kN/m

( ) mkNqu /.70266.13.8152.1 =×++×= mkNMu ..87581070 2

=×

=

Inicialmente se tenia un momento mayorado de 856 kN.m el cual es solo un 2% diferente del nuevo valor de 875 kN.m por lo que no se justificaba repetir los cálculos. Cuando la diferencia es mayor del 10% si se recomienda repetir los pasos anteriores.

Sea ( c / dt ) = 0.300

c = 835 x 0.30 = 250.5 mm y a = 250.5 x 0.85 = 213 mm

2.4311420

2134002585.0mmAs =

×××=

La cantidad de barras para cumplir esta exigencia puede ser: 5 # 10 è As = 4095 mm2

mma .2024002585.0

4204095=

×××

= mmc .23885.0

202==

( )

0075.0238

238835003.0 =

−×=tε

mmNM n ..1011342

2028352024002585.090.0. 6×=

−×××××=φ


______________________________________________________________________


195



et F.Mn (kN.m)

5 # 10 (1C) 4095 0.0123 202 238

0.0075 1136

4 # 11 (1C) 4024 0.0120 199 234

0.0077 1119

6 # 8 3060 0.0092 151 178

0.0111 878

5 # 9 (1C) 3225 0.0097 159 187

0.0104 921

El mejor refuerzo es 6 # 8 donde ( c / dt ) < 0.375, et > 0.0075 y f.Mn > Mu. d = 835 mm Barra # 3 6 # 8 b = 400 mm

Figura 3.38 Sección y refuerzo de la viga del ejemplo 3.14

Ejemplo 3.15 Se requiere determinar el refuerzo en la sección critica de una viga de hormigón armado simplemente apoyada con una luz libre de 8 m para soportar una carga muerta de qm = 15 kN/m, sin incluir el peso propio, y una carga viva de qv = 37 kN/m. Por limitaciones arquitectónicas se sugiere que la viga sea cuadrada de 600 mm en su dimensión transversal. Se deben usar materiales con las siguientes propiedades mecánicas: f´c = 21 MPa y fy= 420 MPa. Solución: Se determinara primero el peso de la viga, luego la carga mayorada y el momento en la sección critica para finalmente calcular el refuerzo y distribuirlo correctamente en la sección.

qpp = ( 2350 kg/m3 x 0.6 m x 0.6 m ) x 9.8 m/s2 = 8.3 kN/m


______________________________________________________________________


196

( ) mkNqu /.87376.13.8152.1 =×++×=

El momento en la sección critica es:

mkNMu ..6968

887 2

=×

=

La altura efectiva se determina considerando una sola capa de acero en la zona traccionada ya que el ancho de la sección es lo suficientemente amplio para ubicar una alta cantidad de barras. Sea d = dt = 600 – 65 = 535 mm qu =95.5 kN/m 8 m Mmax.= 696 kN.m

Figura 3.39 Estructura del ejemplo 3.15

Sea ( c / dt ) = 0.30

c = 535 x 0.30 = 160.5 mm y a = 160.5 x 0.85 = 136 mm

2.3468

4201366002185.0

mmAs =×××

=


______________________________________________________________________


197

La cantidad de barras para cumplir esta exigencia puede ser: 4 # 10 è As = 3276 mm2

mma .1286002185.0

4203276=

×××

= mmc .15185.0

128==

( )

0076.0151

151535003.0 =

−×=tε

mmNM n ..105812

1285351286002185.090.0. 6×=

−×××××=φ



et F.Mn (kN.m)

4 # 10 3276 0.0102 128 151

0.0076 583

6 # 9 3870 0.0121 152 179

0.0060 672

8 # 8 4080 0.0127 160 188

0.0055 702

5 # 10 4095 0.0128 161 189

0.0055 704 h = 600 mm Barra # 3 5 # 10 b = 600 mm

Figura 3.40 Sección y refuerzo de la viga del ejemplo 3.15


______________________________________________________________________


198

3.4.5 Diseño a flexión de secciones rectangulares doblemente reforzadas 3.4.5.1 Generalidades Según los códigos de diseño ( NSR-98 y ACI-318-02) toda sección de hormigón armado debe diseñarse para una condición de falla por fluencia del refuerzo a tracción, es decir comportamiento dúctil, con una posición del eje neutro tal que permita deformaciones en el acero a tracción mayores o iguales a 0.005. Sin embargo por limitaciones arquitectónicas, constructivas o económicas, se puede presentar en una sección la falla por agotamiento del hormigón a compresión sin una previa fluencia del refuerzo a tracción. En estos casos se recomienda colocar un refuerzo adicional en la zona comprimida dando lugar a la conocida sección doblemente reforzada ( SDR ). El uso generalizado que se le dio a este tipo de sección durante los primeros 50 años del siglo XX (diseños por tensiones admisibles) disminuyo considerablemente cuando se impuso en la practica de la ingeniería el diseño por resistencia. Sin embargo los estudios experimentales y la observación del comportamiento en servicio de las estructuras diseñadas con doble refuerzo mostraban novedosas ventajas respecto a las secciones simplemente reforzadas. En principio se pudo comprobar como las deflexiones se reducían considerablemente, además estas barras a compresión servían para controlar posibles inversiones de momento por efecto de altas cargas laterales ( caso de sismos), inclusive su presencia facilitaba el ensamble de las barras de refuerzo transversal ( amarres y estribos) y un aspecto nuevo fue que su presencia aumentaba la capacidad de deformación plástica de la sección situación principalmente útil en los diseños por cargas sísmicas ( secciones confinadas de alta ductilidad). 3.4.5.2 Mecánica y comportamiento del refuerzo a compresión En la figura 3.35 se comparan las fuerzas internas que se generan cuando una sección de hormigón armado simple y doblemente reforzada alcanza su resistencia a flexión. La diferencia en ambas secciones es la presencia de un refuerzo a compresión en 3.35.b de magnitud A´s localizado a una distancia d del borde mas comprimido. Sin embargo el área de refuerzo a tracción, As, es la misma en ambos casos. Del equilibrio horizontal se debe cumplir que la resultante a compresión, C, debe ser igual a la resultante a tracción, T, en donde T = As fy. En la sección simplemente reforzada C es resistida por el hormigón a compresión, mientras que en la doblemente reforzada C debe ser resistida por la contribución del hormigón, Cc y la del acero, Cs. Como parte de la resultante a compresión en 3.35.b es resistida por el acero Cc es menor que C indicando que la altura del bloque comprimido de hormigón es menor en la SDR. Si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de C =>

En SSR è Mn = As fy (J1d)

En SDRè Mn = As fy (J2d) El brazo de palanca J2d es la distancia entre la fuerza de tracción, T y la resultante a compresión entre Cs y Cc; en este sentido se puede comprobar rápidamente que J2d es ligeramente mayor que J1d ya que a2 es mayor que a1. En resumen para una determinada


______________________________________________________________________


199

cantidad de refuerzo a tracción la adición de acero a compresión tiene poco efecto sobre la capacidad de momento de la sección ya que el refuerzo a tracción entra en fluencia este o no el acero a compresión

A´s a1 C a2

C d j1d j2d T T As As

d´ ec=0.003 e´s

S.S.R.

S.D.R. es

Figura 3.41 Secciones simple y doblemente reforzadas

Mn´ / Mn 1.2 1.1 1.0 0.9 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ?´ / ?

Figura 3.42 Variación de la resistencia a flexión con el acero a compresión. Mn es la resistencia a flexión con acero a compresión

? = 0.021 d / d = 0.10

? = 0.015 d / d = 0.10

? = 0.015 d / d = 0.20

f´c = 21 MPa fy = 420 MPa

J2.d

C

a

T

C1

d J1.d

T

C c2

Sección simple/ reforzada Sección doble/ reforzada


______________________________________________________________________


200

Este concepto se ilustra en la figura 3.42 en la cual se presentan las variaciones de la resistencia a momento en función de las cuantías de refuerzo a tracción y a compresión. De esta figura se concluye que para cuantías típicas de refuerzo ( ? < 0.015) en donde el aumento en capacidad a flexión es insignificante a medida que aumenta ?, la efectividad del refuerzo a compresión disminuye a medida que aumenta d . 3.4.5.3 Factores que justifican el uso del refuerzo a compresión

• Se reducen las deflexiones de la estructura bajo cargas de servicio. En primer lugar las deflexiones en las estructuras de hormigón armado son las respuestas a la acción de las cargas y naturalmente son inevitables. En la practica lo que se hace es controlarlas y mantenerlas en los limites tolerables.

Deflexión ( mm) 150 100 50 60 120 180 240 2 años Edad ( días)

Figura 3.43 Efecto del refuerzo a compresión en la deflexión de las estructuras

Experimentalmente se ha comprobado, y así lo ilustra la figura 3.43, que la presencia del acero a compresión reduce considerablemente la magnitud de estas deflexiones. Por ejemplo en la figura indicada se muestra como en el momento de la aplicación de la carga la deflexión es similar en las vigas independiente de si tienen o no refuerzo a compresión. Sin embargo después de varios meses la deflexión en las vigas con acero a compresión es menor dependiendo de la cuantía de este refuerzo. A los dos años la viga con una ?´= 0.50 ? ha aumentado la deflexión inicial en un 120%, mientras que si ?= ? el aumento es de un 60%. Las vigas sin refuerzo a compresión muestran aumentos de la deflexión en un 300%. • Se aumenta la ductilidad de la sección. Como se indico en la figura 3.41, el

refuerzo a compresión produce una reducción en la altura del bloque a compresión del hormigón. Esto hace aumentar la deformación del refuerzo a tracción en la falla produciendo un comportamiento mas dúctil de la sección.

?´ = 0.00

?´ = ?

?´ = 0.5 ?


______________________________________________________________________


201

La figura 3.44 compara los diagramas momento-curvatura ( M vs F) para tres vigas con diferentes cantidades de refuerzo a compresión (?´). Se puede apreciar como el momento flector al inicio de la fluencia del acero a tracción es el mismo para las tres vigas independiente de la presencia del acero a compresión. El aumento de la curvatura si es importante en las vigas con mayor cantidad de acero a compresión en donde se puede llegar a duplicar la curvatura de las secciones simplemente reforzadas. Lo anterior es particularmente importante en diseños sísmicos donde se presenta redistribución de momentos. Mn / ( f´c.b.h2) 0.2 0.1 Momento de fluencia 2 4 6 8 f .h ( %)

Figura 3.44 Efecto del refuerzo a compresión en la ductilidad

Se modifica el modo de falla de la sección. Cuando las cuantías de refuerzo a tracción están próximas a la cuantía balanceada siempre existe la posibilidad de presentarse una falla por agotamiento del hormigón a compresión sin una fluencia previa del acero a tracción. La figura 3.45 muestra el diagrama momento-curvatura para vigas con y sin acero a compresión. En la viga sin acero a compresión el porcentaje de ductilidad es ligeramente mayor al 1% mientras que en los otros dos casos se llegan a valores del 3 y 5%. Esto significa que cuando se refuerza el hormigón a compresión se garantiza una falla por fluencia del acero a tracción. En conclusión la sección modifica su condición en la falla de súbita a dúctil. Si el acero a compresión entra en fluencia al llegar la sección a su resistencia a flexión, las deformaciones y la curvatura serán prácticamente las mismas que las que se presentan en una sección simplemente reforzada con una cuantía igual a ( ?- ?´). Generalmente se diseñan las secciones doblemente reforzadas con la premisa de que ( ?- ? ) = 0.50 ?b.

?´ =0.00

?´ =0.5?

?´ =?

? =0.010


______________________________________________________________________


202

Mn / ( f´c b.h2) 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3 4 f .h ( %)

Figura 3.45 Diagramas momento-curvatura para varias cuantías de A´s • Por facilidad de armado del refuerzo en la construcción. Cuando se llega a la

etapa de construcción de la estructura las tareas de ensamble y montaje del refuerzo se facilitan si el refuerzo se puede amarrar y asegurar firmemente antes de que el hormigón cubra totalmente la estructura. La colocación del refuerzo transversal requiere obligatoriamente la presencia de barras en los bordes o vértices de las secciones con el fin de confinar y amarrar eficientemente este refuerzo con el longitudinal. Si este refuerzo no se coloca en los planos seguramente habrá que colocarlo en la construcción para realizar estas tareas.

3.4.5.4 Capacidad Resistente de secciones doblemente reforzadas En la figura 3.46 se muestra la distribución de tensiones y deformaciones internas en una SDR de hormigón armado. Solo con propósitos de análisis y utilizando un artificio mental la SDR se reemplazara por dos secciones imaginarias simplemente reforzadas. La sección # 1 estará compuesta por igual acero a tracción y a compresión ( As1 = As´) y la sección # 2 se compondrá de hormigón a compresión y del resto de acero a tracción ( Ast -As´). Se puede concluir que la capacidad total resistente de la sección, Mn, es la suma de Mn1 + Mn2. es decir la suma de los momentos de cada sección imaginaria. Del equilibrio de fuerzas en la sección # 1 è 1

´1

´1 .. ssysyss AAfAfATC =∴=⇒=

El primer momento resistente es:

( )´´1 .. ddfAM ysn −= (3.45)

En la sección imaginaria # 2: Cc = T2 è ysc fAabf ..85.0 2

´ =

?´= 0.00

?´= 0.5?

?´= ?


? = 0.030


______________________________________________________________________


203

Pero As2 = As – As1 è ( ) yssc fAAabf ..85.0 1´ −=

Despejando la altura del bloque comprimido:

( )bf

fAAa

c

yss

.85.0

).(´

´−= (3.46)

Y el momento resistente de esta sección es:

( )

−−=2

..´2

adfAAM yssn (3.47)

La capacidad total de la sección se obtiene sumando 3.45 y 3.47 è

( ) ( )

−−+−=2

... ´´´ adfAAddfAM yssysn (3.48)

d ec = 0.003 0.85 f´c e s C´s = A´s . f s c a Cc = 0.85 f´c a.b T = As . fs es C´s = A´s.f s a Cc d – d´ + T1 = As1.fs T2 = As2 . fs Viga imaginaria 1 Viga imaginaria 2

Figura 3.46 Tensiones y deformaciones en SDR


______________________________________________________________________


204

En la deducción de la ecuación 3.48 la resultante a compresión del hormigón, Cc, se determina usando todo el volumen del bloque de tensiones ( 0.85 fć a b) incluyendo el área de hormigón desplazada por el refuerzo a compresión, A´s. Como resultado el acero en la zona comprimida de la viga dos esta comprimido una cantidad equivalente a 0.85 fć. Por acción y reacción en la viga uno el acero debe estar traccionado la misma cantidad y su tensión a compresión debe ser: ( fy – 0.85 fć). Con el fin de considerar esta corrección se modificaran las ecuaciones anteriores.

( ) yscys fAffA .85.0. 1´´ =×− ó

−=

y

css f

fAA

´´

185.0

1.

( )bf

fff

AA

ac

yy

css

.85.0

..85.01.

´

´´

−−

= (3.49)

Y el momento resistente de esta sección se obtiene con la ecuación 3.48 El principal efecto del termino [ 1 – 0.85 (fć / fy)] es reducir el primer termino de la ecuación 3.48 y aumentar su segundo termino. Esta modificación algunas veces afecta los cálculos sin embargo solo se justifica su utilización cuando se trabaje con hormigones de alta resistencia fć > 42 MPa. La ecuación 3.48 es valida siempre y cuando el acero a compresión este en fluencia. Si lo anterior no se cumple la sección se debe analizar como simplemente reforzada despreciando el refuerzo a compresión o calcular la tensión f s del acero para obtener por condiciones de equilibrio el valor del momento. Una forma de comprobar si el refuerzo a compresión esta en fluencia cuando la sección alcanza su resistencia es asegurando una falla controlada por tracción, donde la relación (c / dt ) < 0.375 preferiblemente menor que 0.30. De esta manera se controla que la deformación et > 0.005 y se pueda utilizar la ecuación 3.48 para determinar la capacidad resistente de la sección. Para que el acero a compresión, A´s, entre en fluencia la deformación e s debe ser mayor o igual a la deformación en fluencia del acero, fy / Es. La deformación e s se puede determinar por solución de triángulos de la figura 3.40.b:

( )( )

−=∴

−=⇒=

− cd

cdc

cdc sss

´´

´´

´

´

1.003.0.003.0003.0

εεε

Ya que ( ) ( )

´1

´

´1

´

1 .85.0.

..

.85.0.

.

c

y

c

yss

f

df

bf

fAAac

β

ρρ

ββ

−=

−==


______________________________________________________________________


205

( )

−−=

y

cs fd

df.....85.0

1.003.0´

´´1´

ρρβ

ε (3.50)

Como se menciono inicialmente, para que el refuerzo a compresión entre en fluencia es necesario que se cumpla:

s

ys E

f≥´ε o ( )MPa

f ys 204000´ ≥ε

El refuerzo a compresión entra en fluencia si:

( ) 204000.

..85.0

1003.0´

´

´1 y

y

cf

dd

ff

≥

−−×

ρρβ

( ) 612

612

...85.0

´

´´1

−≥

−− y

y

cf

dfdf

ρρβ

è ( )yy

c

fdfdf

−≥−

612612

...85.0 ´´

1´ βρρ

Si e s es menor que ey las tensiones en el acero a compresión, f´s, se pueden calcular así:

´´´ .204000. ssss Ef εε == (3.51)

Combinando las ecuaciones 3.50 y 3.51 è

( )

−−××=

dfdf

fy

cs ..

..85.01003.0204000

´

´´1´

ρρβ

(3.52)

Este valor de f´s se puede utilizar como primera aproximación para comprobar si hay compatibilidad de deformaciones en la sección. Se debe notar que cuando se llega a la resistencia a flexión y el acero a compresión no esta en fluencia, la profundidad del bloque rectangular “ a “ se debe calcular usando la tensión real a que esta sometido el acero a compresión usando la deformación correspondiente a la e s.

bf

fAfAa

c

ssys

.85.0 ´

´´−= (3.53)

La ecuación 3.52 se puede utilizar para calcular el valor de f´s en un primer ensayo al estimar el valor de “ a “, con esto se obtiene la primera posición del eje neutro “ c “. Una vez se conoce “ c “, e s puede estimarse de la solución de triángulos en la figura 3.40.b obteniendo la primera aproximación para f´s a usarse en un nuevo refinamiento


______________________________________________________________________


206

de los cálculos. En realidad no mas de dos tanteos se requieren para calcular f´s ya que desde un punto de vista practico el efecto es despreciable en el valor del momento Mn.

( ) ( )´´´´´ .2

. ddfAa

dfAfAM ssssysn −+

−−= (3.54)

Ejemplo 3.20 Determinar para la sección rectangular doblemente reforzada de la figura 3.41 la capacidad resistente en flexión, Mn , considerando los siguientes datos: b = 300 mm, h = 550 mm, As = 6 # 10, A´s = 2 # 9, f c = 35 MPa y fy = 350 MPa. Solución: Para determinar la posición de los centroides del refuerzo a tracción y a compresión se asumirá un amarre transversal de diámetro 9.5 mm con un recubrimiento mínimo de 40 mm è d = 550 – 40 – 9.5 – 32.3 – (25.4 / 2) = 455.5 mm

d = 40 + 9.5 + (28.7 / 2 ) = 63.85 mm Se determinaran inicialmente las cuantías del refuerzo para comprobar el estado del refuerzo tanto a tracción como a compresión de la sección.

0360.0455300

4914=

×=ρ 0094.0

4553001290´ =

×=ρ

0042.0350

3525.0min =

×=ρ

d´= 64 mm A´s = 2 # 9 A s = 1290 mm2 d = 455 mm As = 6 # 10 As = 4914 mm2 b = 300 mm

Figura 3.47 Sección definida para el ejemplo 3.20


______________________________________________________________________


207

La cuantía del refuerzo a tracción cumple los requisitos de refuerzo mínimo y no es necesario modificar las dimensiones de la sección. A continuación se debe revisar si el acero a compresión esta en fluencia es decir si se cumple la desigualdad:

( )yy

c

fdfdf

−×

××××

≥−612

61285.0 ´´1´ β

ρρ

( ) 0266.00094.00360.0 =− y ( )0223.0

350612612

455350643580.085.0

=−

××

×××

Se concluye que 0.0266 > 0.0223 è el acero a compresión esta en fluencia. Otra forma de obtener este resultado es hallando la deformación del acero a compresión:

( ) 00192.03504550266.0

643580.085.01003.0

85.01003.0

´

´´1´ =

×××××

−×=

××−×××

−×=y

cs fd

dfρρβ

ε

Se cumple que 0.00192 > ( 350 / 204000) = 0.00171 è el acero a compresión esta en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión de la sección. La profundidad del eje neutro se determina por las ecuaciones de equilibrio:

( )mma .142

3003585.035012904914

=××

×−= mmc .5.177

80.0142

==

0047.015.177

455003.0 =

−×=tε

A pesar de que el acero a tracción esta en fluencia porque et > 0.0017, no se cumple la exigencia de diseño dúctil la cual indica que et > 0.005 por lo que es necesario aumentar las dimensiones de la sección. Desde un punto de vista académico se puede continuar el ejercicio determinando su capacidad en flexión con la salvedad antes indicada.

( ) ( ) mmNM n ..106646445535012902

14245535012904914 6×=−××+

−××−=

En resumen la sección indicada presenta una resistencia a flexión de 664 kN.m con ambos aceros en fluencia cuando se alcanza esta resistencia pero sin cumplir los requisitos de ductilidad exigidos para el refuerzo a tracción por lo que no se considera una sección segura en un diseño estructural. Si se analiza la misma sección sin el refuerzo a compresión è ( c / dt ) = 0.496 la cual es mayor que 0.375 lo cual es inaceptable. Además et = 0.003 menor que 0.005 que implica alto riesgo de falla a compresión.


______________________________________________________________________


208

Ejemplo 3.21 En la figura 3.42 se muestra la sección de una viga de hormigón armado doblemente reforzada en la cual f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. Determinar su capacidad a flexión y analizar el comportamiento en la falla. d´= 65 mm A´s = 2 # 7 A s = 774 mm2 d = 560 mm As = 6 # 8 As = 3060 mm2 b = 300 mm

Figura 3.48 Sección definida para el ejemplo 3.21 Solución: Inicialmente se revisa si el refuerzo a tracción y a compresión en la sección entran en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión.

0182.0560300

3060=

×=ρ 0046.0

560300774´ =×

=ρ

0033.00033.00027.0420

2125.0minmin =⇒<=

×= ρρ

( ) 0136.00046.00182.0 =− y ( )0134.0

420612612

560420652185.085.0

=−

××

×××

Se concluye que ( ? – ? ) = 0.0136 > 0.0134 è el acero a compresión esta en fluencia.

00207.04205600136.0

652185.085.01003.0´ =

×××××

−×=sε



______________________________________________________________________


209

( )mma .179

3002185.04207743060

=××

×−= mmc .211

85.0179

==

0050.01211560

003.0 =

−×=tε

Se cumple, en el limite, la exigencia de diseño dúctil la cual indica que et = 0.005.

( ) ( ) mmNM n ..10613655604207742

1795604207743060 6×=−××+

−××−=

Si la sección fuera simplemente reforzada Mn = 565 kN.m la cual es solo un 8% menor que la obtenida de 613 kN.m para la doblemente reforzada. Se confirma por tanto que la presencia del acero a compresión no mejora sustancialmente la capacidad en flexión de un elemento estructural pero si su ductilidad en la falla. Ejemplo 3.22 Resolver el ejemplo 3.21 considerando un A´s = 3 # 8. Comparar y analizar los resultados. Solución: A s = 3 x 510 = 1530 mm2 è ?´= 1530 / ( 300 x 560) = 0.0091

( ) 0091.00091.00182.0 =− y ( )0134.0

420612612

560420652185.085.0

=−

××

×××

Se concluye que ( ? – ? ) = 0.0091 < 0.0134 è A´s no esta en fluencia.

00162.04205600091.0

652185.085.01003.0´ =

×××××

−×=sε

Se confirma que el refuerzo a compresión no esta en fluencia. El procedimiento en este caso es determinar iterativamente la posición del eje neutro:

MPaMPaEf sss .420.5.33020400000162.0´´ <=×=×= ε

mma .1463002185.0

33015304203060=

×××−×

= mmc .17285.0

146==

Del perfil de deformaciones de la sección por semejanza de triángulos è

0019.0172

65172003.0´ =

−×=sε MPaf s .3882040000019.0´ =×=

1ra iteración: mma .1293002185.0

38815304203060=

×××−×

= ; mmc .15285.0

129==


______________________________________________________________________


210

( )MPaf s .350

15265152

612 =−

×= è %10100388

350388=×

−=diferencia

2da iteración: a = 140 mm ; c = 165 mm y f s = 371 MPa è diferencia (f´s) = 6% 3ra iteración: a = 134 mm ; c = 158 mm y f s = 360 MPa è diferencia (f´s) = 3% 4ta iteración: a = 137 mm ; c = 161 mm y f s = 365 MPa è diferencia (f´s) = 1% 5ta iteración: a = 136 mm ; c = 160 mm y f s = 364 MPa è diferencia (f´s) = 0% Por ilustración se indica todo el proceso de iteración hasta lograr una mínima diferencia, sin embargo valores menores del 5% son aceptables para la convergencia del problema.

!005.00075.01160560

003.0 cumplet ⇒>=

−×=ε

( ) ( ) mmNM n ..106346556036415302

13656036415304203060 6×=−××+

−××−×=

La sección resiste un momento Mn = 634 kN.m es decir solo un 3% mas de capacidad en flexión que el ejemplo 3.21 ( Mn = 613 kN.m) que comparado con el aumento en la cantidad de acero a compresión del 98% permite concluir que aumentar la cantidad de este acero no implica incrementar la capacidad resistente de la seccion ya que esta permanece prácticamente constante. 3.4.5.5 Diseño de secciones doblemente reforzadas El refuerzo a compresión en una sección de hormigón armado se utiliza no para aumentar la capacidad mecánica del material sino para modificar y transformar el comportamiento en la zona de falla. Esto ha quedado claro desde el inicio del estudio de las SDR cuando se explicaron las razones por las cuales se debe colocar algún refuerzo en la zona a compresión en secciones sometidas a flexión. En el diseño de las SDR se debe procurar que tanto el refuerzo a tracción como a compresión entren en fluencia cuando se logre la resistencia de la sección para lo cual

se requiere que ( )yy

c

fdfdf

−≥−

612612

..

..85.0 ´´1´ β

ρρ y además se evite la falla por

agotamiento del hormigón a compresión logrando un 005.01.003.0 ≥

−=cd

tε

En la practica el procedimiento mas recomendado para el diseño de estas secciones es determinar el refuerzo requerido a compresión comparando el momento mayorado externo con la capacidad a momentos de la sección simplemente reforzada y considerando un et = 0.005 . Finalmente se debe revisar si se cumplen los requisitos de refuerzo mínimo y el detallado de la sección.


______________________________________________________________________


211

SI NO

Figura 3.49 Diagrama de flujo del diseño y revisión de SDR

b, h, f c, fy, Mu

Se diseña inicialmente como SSR, figura 3.29 se obtiene: As y FMn

FMn > Mu La sección es simplemente

reforzada

As1 = As F Mn1 = F Mn

La sección es doblemente reforzada

FIN

d´= 65mm

F Mn2 = Mu - FMn1

( )cdc

s

´´ 003.0

−×=ε

e´s > ey f´s = fy f´s = Es.e s

( )´..2

2 ddfM

Ay

ns −

=φ

As = As1 + As2 A´s = As2

Seleccionar refuerzo y detallar

Revisar sección A


______________________________________________________________________


212

Figura 3.49 Continuación. Diagrama de flujo del diseño y revisión de SDR

A

dbA

dbA ss

..

´´ == ρρ

y

c

ff ´

min

25.0 ×=ρ

( )

−

≥−

yy

c

ffddf

612612

..

...85.0 ´´1´ β

ρρ f s < fy

f´s = fy

( )bffAfA

ac

ssss

.85.0.

´

´´−=

( )

−−=

dfdf

y

cs .

85.01.003.0

´

´´1´

ρρβ

ε

´´ . sss Ef ε=

1βa

c =

−= 1.003.0cd

sε( ) ( )

−+

−−= ´´´´

2... ddfA

adfAfAM ysssssn φφ

un MM ≥.φFIN


______________________________________________________________________


213

Ejemplo 3.23 La viga de la figura 3.50 simplemente apoyada y con una luz de 5.5 m es de sección rectangular con limitación en sus dimensiones por razones arquitectónicas y constructivas. El ancho exigido debe ser b≤ 250 mm y la altura total h 500≤ mm. La carga muerta incluyendo el peso propio es de 15 kN/m y la carga viva es 37 kN/m. Los materiales son: f´c = 21 MPa fy = 280 MPa. Diseñar la sección en la mitad de la luz. l = 5.5 m

Figura 3.50 Vista longitudinal de la viga del ejemplo 3.23 Solución: Inicialmente se determina la carga y el momento de diseño.

mkNqu /.2.77376.1152.1 =×+×=

mkNMu ..2928

5.52.77 2

=×

=

Si se asume la sección como simplemente reforzada con b = 250 mm y d = dt = 435 mm se tiene la siguiente capacidad a flexión: Sea c / dt = 0.30 è c = 130.5 mm y a = 0.85 x 130.5 = 111 mm

2.1769280

1112502185.0mmAs =

×××= ó As = 2 # 9 + 1 # 8 = 1800 mm2

mma .1132502185.0

2801800=

×××

= mmc .13385.0

113==

( )

0068.0133

133435003.0 =

−×=tε > 0.005 => Controla la falla por tracción y F = 0.90

mmNM n ..101722

1134351132502185.090.0. 6

1 ×=

−×××××=φ

El valor FMn requerido es mínimo 292 kN.m por lo que se requiere refuerzo adicional a compresión para aprovechar al máximo la sección.

mkNMMM nnn ..120172292... 12 =−=−= φφφ


______________________________________________________________________


214

Se asumirá una altura del refuerzo a compresión d´= 65 mm . Este valor se logra respetando los 40 mm de recubrimiento perimetral del refuerzo y considerando amarres transversales de diámetro 9.5 mm y refuerzo de F = 25 mm.

( )fluenciaAss →⇒>=

−×= ´´ 00137.000153.0

13365133

003.0ε

El refuerzo a compresión adicional debe absorber el momento faltante entre la viga simplemente reforzada con la cuantía máxima y el momento externo mayorado.

mkNM n ..13390.0

1202 == ( )

26

2 .128465435280

..10133mm

mmNAs =

−××

=

En definitiva la sección queda con As = 1769 + 1284 = 3053 mm2 y A s = 1284 mm2. El refuerzo a tracción se puede cubrir con 6 # 8 = 3060 mm2 colocándolas en paquetes de dos barras. El refuerzo a compresión puede cubrirse con 2 # 8 + 1 # 6 = 1304 mm2. d´= 65 mm A´s = 2 # 8 + 1 # 6 A s = 1304 mm2 d = 435 mm As = 6 # 8 As = 3060 mm2 b = 250 mm

Figura 3.51 Sección definida para el ejemplo 3.23 Revisando la capacidad mecánica de esta sección y considerando amarres transversales # 3 con un recubrimiento de 40 mm se tiene:

0281.0435250

3060=

×=ρ 0120.0

4352501304´ =

×=ρ

0041.0280

2125.0min =

×=ρ

( ) 0161.00120.00281.0 =− y ( )0149.0

280612612

435280652185.085.0

=−

××

×××


______________________________________________________________________


215

Se concluye que ( ? – ?´) = 0.0161 > 0.0149 è el acero a compresión esta en fluencia.

00149.02804350161.0

652185.085.01003.0´ =

×××××

−×=sε

Se cumple que 0.00149 > ( 280 / 204000) = 0.00137 è se confirma que el acero a compresión esta en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión de la sección. La profundidad del eje neutro se determina por las ecuaciones de equilibrio:

( )mma .110

2502185.028013043060

=××

×−= mmc .129

85.0110

==

!005.00071.01129435

003.0 cumplet →>=

−×=ε

Se cumple la exigencia de diseño dúctil et = 0.005 por lo que el diseño garantiza un excelente comportamiento cuando se alcanza la resistencia a flexión.

( ) ( ) mmNM n ..103226543528013042

11043528013043060 6×=−××+

−××−=

!..292..29032290.0. CumplemkNMmkNM un ⇒=≅=×=φ

Ejemplo 3.24 La sección rectangular de una estructura de hormigón armado presenta las siguientes dimensiones estándar b = 350 mm y h = 700 mm. Si el momento externo mayorado en la sección critica es de Mu = 1085 kN.m, incluyendo el peso propio, determinar el refuerzo requerido y detallarlo si: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa Solución: Considerando inicialmente la sección como simplemente reforzada:

Sea d = dt = 635 mm y ( c / dt ) = 0.30 => c = 635 x 0.30 = 190.5 mm

a = 190.5 x 0.85 = 162 mm y 2.3213420

1623502885.0mmAs =

×××=

El refuerzo puede ser 4 # 10 => As = 4 x 819 = 3276 mm2

mma .1653502885.0

4203276=

×××

= mmc .19485.0

165==

( )

aceptablet →>=−

×= 005.00068.0194

194635003.0ε


______________________________________________________________________


216

mkNmmNM n ..683..106832

1656351653502885.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

Si la sección fuese simplemente reforzada solo se lograría una capacidad en flexión de aproximadamente un 60 % de la solicitada por las cargas externas. Se intentara ahora el diseño con una sección doblemente reforzada, sea d´= 65 mm è

mkNMMM nnn ..4026831085... 12 =−=−= φφφ

( )fluencianoAss .00206.000199.0

19465194

003.0 ´´ →⇒<=−

×=ε

=> f s = 0.00199 x 204000 = 406 MPa. El momento faltante entre la viga simplemente reforzada y el momento externo mayorado se obtiene así:

mkNM n ..44790.0

4022 == ( )

26

2 .193165635406

..10447mm

mmNAs =

−××

=

En definitiva la sección queda con As = 3276 + 1931 = 5207 mm2 y A s = 1931 mm2. d´= 65 mm A´s = 3 # 9 A s = 1935 mm2 d = 635 mm As = 8 # 9 As = 5160 mm2 b = 250 mm


0232.0635350

5160=

×=ρ 0087.0

6353501935´ =

×=ρ

0033.00033.00031.0420

2825.0minmin =→<=

×= ρρ

( ) 0145.00087.00232.0 =− y ( )0157.0

420612612

635420652885.085.0

=−

××

×××


______________________________________________________________________


217

Se concluye que ( ? – ? ) = 0.0145 < 0.0157 è A´s no esta en fluencia

00198.04206350145.0

652885.085.01.003.0´ =

×××××

−=sε

Se cumple que 0.00198 < ( 420 / 204000) = 0.00206 è se confirma que el acero a compresión no esta en fluencia cuando se alcanza la resistencia a flexión de la sección.

MPaMPaEf sss .420.40420400000198.0.´´ <=×== ε

mma .1663502885.0

40419354205160=

×××−×

= mmc .19585.0

166==

0020.0195

65195003.0´ =

−×=sε MPaf s .4082040000020.0´ =×=

1ra iteración: con el nuevo f´s =408 MPa è mma .1653502885.0

40819354205160=

×××−×

=

mmc .19485.0

165== =>

( )MPaf s .407

19465194

612´ =−

×= è diferencia (f´s) = 0%

!005.00068.01194635

003.0 cumplet ⇒>=

−×=ε

( ) ( ) mmNM n ..1011916563540819352

19463540819354205160 6×=−××+

−××−×=

mkNmmNmmNM n ×=×=××= ..1072..101072..10119190.0. 66φ

Nota: El valor de 1072 kN.m cumple con el momento externo mayorado de Mu =1085 kN.m porque la diferencia obtenida entre Mu y FMn es de solo el 1% del valor del momento ultimo exigido. Como regla general se pueden aceptar valores menores del 2% sin afectar la seguridad estructural. Ejemplo 3.25 Una viga de sección rectangular con dimensiones fijas de b = 300 mm y h = 600 mm requiere transmitir un momento flector por carga muerta de 165 kN.m y simultáneamente por carga viva de 215 kN.m. Determinar el refuerzo requerido utilizando un f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa. Se requiere por requisitos de diseño sísmico una sección con la máxima ductilidad posible.


______________________________________________________________________


218

Solución: La sección debe tener una relación (c / dt ) < 0.375 El momento mayorado es: mkNMu ..5422156.11652.1 =×+×= Si la sección es simplemente reforzada è Sea d = dt = 535 mm y ( c / dt ) = 0.25

=> c = 535 x 0.25 = 134 mm

a = 134 x 0.85 = 114 mm y 2.2180280

1143002185.0mmAs =

×××=

El refuerzo puede ser 2 # 10 + 1 # 9 => As = 2283 mm2

mma .1193002185.0

2802283=

×××

= mmc .14085.0

119==

( )Cumplet →>=

−×= 005.00085.0

140140535

003.0ε

mkNmmNM n ..273..102732

1195351193002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

El FMn = 273 kN.m < Mu = 542 kN.m è La sección es inadecuada y se debe proceder a revisarla como doblemente reforzada. Si la relación (FMn / Mu ) es menor de 0.50 se debe aumentar la relación ( c / dt). En este caso la relación es: ( 237 / 542 ) =0.50. Se intentara ahora el diseño con una sección doblemente reforzada, sea d = 65 mm è

mkNMMM nnn ..269273542... 12 =−=−= φφφ

( )fluenciaAss →⇒=

≅=−

×= ´´ 00137.0204000

28000136.0

11965119

003.0ε

mkNM n ..29990.0

2692 == ( )

26

2 .227265535280

..10299mm

mmNAs =

−××

=

En definitiva la sección queda con As = 2283 + 2272 = 4555 mm2 y A´s = 2272 mm2. El refuerzo es: As = 3 # 10 + 3 # 9 = 4452 mm2 y A´s = 2 # 10 + 1 # 9 = 2323 mm2


______________________________________________________________________


219

d´= 65 mm A´s = 2 # 10 + 1 # 9 A´s = 2323 mm2 d = 535 mm As = 3 # 10 + 3 # 9 As = 4452 mm2 b = 300 mm


0277.0535300

4452=

×=ρ 0145.0

5353002323´ =

×=ρ

0041.00033.00041.0280

2125.0minmin =→>=

×= ρρ

( ) 0132.00145.00277.0 =− y ( )0121.0

280612612

535280652185.085.0

=−

××

×××

Se concluye que ( ? – ? ) = 0.0132 > 0.0121 è A´s esta en fluencia

00150.02805350132.0

652185.085.01003.0´ =

×××××

−×=sε > 0.00137 è A´s en fluencia

( )

mma .1113002185.0

28023234452=

×××−

= mmc .13185.0

111==

!005.00092.01131535

003.0 cumplet →>=

−×=ε

Se cumple el criterio de diseño dúctil et = 0.005 por lo que el diseño garantiza altas deformaciones del acero a tracción cuando se alcanza la resistencia a flexión.

( ) ( ) mmNM n ..105916553528023232

11153528023234452 6×=−××+

−××−=

!..542..53259190.0. CumplemkNMmkNM un ⇒=≅=×=φ


______________________________________________________________________


220

3.4.6 Flexión en secciones no rectangulares ( T y L ) 3.4.6.1 Generalidades Las secciones no rectangulares mas utilizadas en las estructuras de hormigón armado son las de forma T y L. Su aplicación mas inmediata es la construcción de losas aligeradas de edificaciones en donde los nervios o viguetas son vaciados monolíticamente ( a diferencia de los sistemas prefabricados) con la losa de recubrimiento constituyendo las formas típicas no rectangulares indicadas. De la misma forma los métodos constructivos convencionales permiten que las vigas principales del sistema estructural resistente a momentos sean vaciadas monolíticamente con las losas constituyendo así las secciones con aletas. Las figuras 3.54 y 3.55 ilustran los dos ejemplos anteriores y como se generan estas dos secciones.

Figura 3.54 Secciones no rectangulares en losas de hormigón armado7

Figura 3.55 Secciones no rectangulares en sistemas vigas-losas de edificios7


______________________________________________________________________


221

En la practica constructiva es frecuente aprovechar la aleta de la sección no solo para prolongar el refuerzo transversal o estribos sino para aumentar el brazo de palanca de la sección y por supuesto su capacidad mecánica. En todos estos casos la losa superior constituye las aletas o patín de la sección y la viga o vigueta el alma o nervio. Experimentalmente se ha comprobado que la aleta esta sometida a tensiones laterales debido a la acción de placa que se genera en estas zonas y que en definitiva produce en estado biaxial de tensiones. En la parte inferior de la aleta se produce una combinación de tensiones a compresión en las dos direcciones que influye positivamente en la capacidad resistente a flexión aumentándola hasta en un 15%. En la parte superior de la aleta se presenta una combinación de tracción en un sentido y compresión en el otro que influyen negativamente en la resistencia de la sección disminuyéndola en aproximadamente un 15%. Por lo anterior en general el diseño no tiene en cuenta este efecto y las secciones T y L se calculan con resistencia unidireccional. La figura 3.56 muestra las tensiones biaxiales en estas secciones.

Figura 3.56 Fuerzas internas que se generan en secciones T7 3.4.6.2 Ancho efectivo de aleta ( b ) El primer problema que se debe resolver en el estudio de las secciones con aletas es la determinación de su ancho efectivo para propósitos de capacidad en flexión. Para lograr este objetivo es necesario analizar el campo de tensiones que se produce cuando una viga de sección T simplemente apoyada es sometida a cargas. La figura 3.54 indica como en los apoyos no hay tensiones de compresión en las aletas mientras que en la mitad de la luz las aletas si están totalmente comprimidas. Esto confirma la hipótesis de que en los apoyos las aletas son ineficientes y la sección trabaja como si fuera una rectangular con ancho uniforme e igual a bw. En las zonas de contacto entre las aletas y el alma se desarrollan tensiones por cortante que tienen como efecto aumentar las tensiones de compresión disminuyendo su efecto a


______________________________________________________________________


222

medida que nos alejamos del alma tal como lo ilustra la figura 3.57. Adicionalmente estas tensiones de corte pueden llegar a fisurar la aleta perdiendo la sección su excelente capacidad resistente a compresión.

Figura 3.57 Ancho efectivo en una sección con aletas (T , L) La figura 3.57 muestra como la sección transversal de un sistema de piso, compuesto por un conjunto de secciones T paralelas y en un punto cercano al centro de la luz, distribuye las tensiones de compresión transversalmente indicando que son máximas en las regiones de la aleta sobre el alma y disminuyen gradualmente a medida que se alejan del eje de las vigas. En los apoyos se presenta una mayor variación entre los valores máximos y mínimos de estas tensiones. Cuando se dimensionan las secciones T o L en las zonas de momento positivo, es decir cuando la aleta esta en compresión, se recomienda usar, por facilidad de calculo, un determinado ancho de aleta ( b ) que garantice una fuerza resultante a compresión equivalente a la obtenida con el valor real de este ancho ( bo ). Algunos autores, utilizando la elasticidad, han determinado este ancho y concluyen que su valor depende de factores tales como: el tipo de cargas y apoyos, el espaciamiento entre vigas paralelas y la rigidez del sistema viga-losa. Comprobaciones experimentales concluyen que cuando la sección alcanza su máxima resistencia la distribución de las tensiones a compresión es mas uniforme que lo indicado por la elasticidad en parte debido al comportamiento del hormigón antes de su rotura y al hecho de que transversalmente la zona de contacto viga-losa a altas tensiones se fisura dejando solo al refuerzo de la losa la transferencia de la compresión longitudinal en la aleta. Hay por tanto suficientes razones que justifican el uso de un ancho de aleta mínimo que garantice el buen desempeño bajo carga de la sección.


______________________________________________________________________


223

Con el nombre de ancho efectivo de aleta ( b ) se define aquel ancho mínimo que garantiza en forma aproximada que la resultante del bloque rectangular de tensiones a compresión sometido al valor de 0.85 f´c sea equivalente a la resultante usando la distribución real de tensiones. Los códigos ACI-318 y NSR-98 sugieren las siguientes recomendaciones para la determinación del ancho efectivo de aleta “ b “ :

• En vigas T paralelas transversalmente el ancho efectivo de aleta ( b ) no debe exceder la cuarta parte de la luz libre de la viga. Además el ancho de aleta a cada lado del alma no debe exceder de ocho veces el espesor de la aleta ni la mitad de la separación libre entre vigas paralelas. Ver figura 3.53. Al expresar lo anterior matemáticamente resultan las siguientes ecuaciones:

4luz

b ≤ fw h

bb×≤

−

82

22nw lbb

≤

−

• En vigas con una sola aleta, L, el ancho de la aleta por fuera del alma no debe

exceder la doceava parte de la luz, ni seis veces el espesor de la aleta, ni la mitad de la distancia libre entre vigas paralelas. Matemáticamente:

122luzbb w ≤

−

( ) fw hbb ×≤− 6 ( )2n

wl

bb ≤−

• En vigas T aisladas, en las cuales la aleta solo se utiliza para suministrar área

adicional a compresión, el espesor de aleta no debe ser inferior a la mitad del ancho del alma y el ancho total de aleta no debe ser mayor que cuatro veces el ancho del alma.

2w

fb

h ≥ wbb ×≤ 4

Cuando la viga esta sometida a momento negativo, cerca de los apoyos en estructuras continuas, parte del refuerzo por flexión localizado en toda la aleta actúa como refuerzo a tracción en el alma, figura 3.58, transfiriendo la tensión del hormigón al acero. En estos casos los códigos no especifican anchos efectivos de aleta, sin embargo algunos autores, como R. Park, recomiendan incluir como refuerzo a tracción el localizado dentro de una longitud del ancho del alma mas ocho veces el espesor de la aleta. b hf 4hf 4hf bw

Figura 3.58 Ancho efectivo de aleta para momento negativo

b = bw + 8hf


______________________________________________________________________


224

3.4.6.3 Comportamiento a flexión de secciones con aletas Las secciones T y L son consideradas inicialmente optimas en zonas de momento positivo debido a su mayor área de compresión, lo cual se traduce en una mayor capacidad resistente. En contraste estas secciones en los apoyos son ineficientes porque la aleta esta en tracción y su influencia no se tiene en cuenta en los diseños estructurales analizándola como si fuera rectangular de ancho igual a bw. Considerando las zonas de momento positivo se estudiara el comportamiento de estas secciones bajo carga de diseño. En primer lugar cuando se alcanza la resistencia de la sección el eje neutro puede localizarse en la aleta o en el alma dependiendo de factores tales como: dimensiones, cantidad de refuerzo a tracción, resistencia del hormigón y del acero. Si al calcular la profundidad del eje neutro ( c ) esta es menor o igual al espesor de la aleta ( hf ) se concluye que la sección se puede estudiar como rectangular de ancho igual al ancho efectivo de aleta. La razón de esto se puede visualizar en la figura 3.59.a en donde se muestra como el eje neutro en la aleta indica que la zona comprimida de la sección ( parte sombreada ) es rectangular de ancho igual a b ( ancho efectivo de aleta). Si por ejemplo se adicionara hormigón en las zonas 1 y 2 la sección seria rectangular de ancho igual a b. Como las áreas 1 y 2 esta localizadas por debajo del eje neutro ( tracción) en donde se desprecia la resistencia del hormigón, se concluye que estas áreas no contribuyen al aumento de capacidad en flexión y la sección con aletas tiene la misma resistencia que la rectangular, figura 3.59. b b

hf c c d 1 2 bw bw

a) Eje neutro en la aleta b) Eje neutro en el alma

Figura 3.59 Sección T con el eje neutro en la aleta y en el alma Si el eje neutro esta en el alma, figura 3.59.b la zona comprimida no es rectangular y la sección debe analizarse considerando su forma real. Si se asume que al igual que en secciones rectangulares la tensión promedio uniforme a compresión del hormigón es del 85% de su tensión de rotura ( 0.85 f´c) se puede obtener la capacidad resistente de la sección por equilibrio y compatibilidad de deformaciones.


______________________________________________________________________


225

Figura 3.60 Distribución de tensiones y deformaciones en secciones T La figura 3.60 indica que si c > hf la altura del bloque comprimido “ a “ puede ser mayor o menor que el espesor de la aleta “ hf “. Si c > hf y a < hf la sección podría aun considerarse como rectangular para propósitos de diseño y en este caso se puede utilizar el procedimiento explicado para secciones rectangulares. Si tanto “ c “ como “ a “ son mayores que “ hf “ la sección debe ser considerada con aletas. Para realizar el análisis se utiliza un artificio similar al de las secciones doblemente reforzadas ( SDR ) el cual consiste en dividir la sección inicial en dos secciones imaginarias tal que una de ellas tenga igual cantidad de acero a tracción y a compresión ( Asf ) equivalente a la resultante a compresión que producen las aletas y la otra es una SSR de ancho bw con una cantidad de acero igual al total menos el equivalente de las aletas. Del equilibrio de la primera sección imaginaria se tiene: Cn = Tn

( ) ( )wfccfwn bbhffhbbC −=−= ..85.085.0.. ´´ y ysfn fAT .=

( ) ysfwfc fAbbhf ...85.0 ´ =−∴


______________________________________________________________________


226

( )y

wfcsf f

bbhfA

−=

..85.0 ´

(3.55)

El momento resistente es:

−=2

..1h

dfAM ysfn (3.56)

El área restante de acero ( As – Asf ) tensionado a fy equilibra la zona comprimida de la viga rectangular de ancho bw. Para esta segunda sección imaginaria se tiene:

( ) ysfswc fAAbaf ...85.0 ´ −=

( )wc

ysfs

bf

fAAa

.85.0

.´

−=∴ (3.57)

( )

−−=2

.2a

dAAM sfsn (3.58)

La capacidad total Mn es la contribución de ambas secciones Mn1 + Mn2

( )

−−+

−=

2..

2..

adfAA

hdfAM ysfs

fysfn (3.59)

Al igual que en vigas rectangulares es necesario asegurar que el refuerzo a tracción inicie la fluencia antes de que el hormigón a compresión llegue a rotura. Lo anterior se logra si la relación ( c / dt ) es menor o igual a 0.375 y preferiblemente menor que 0.30. De esta manera la deformación en la capa mas externa de refuerzo a tracción “ et “ es

mayor que 0.005. El valor de “et “ se determina con la ecuación:

−= 1.003.0cd t

tε .

Una vez se verifique “et “ se determina la capacidad en flexión de la sección con la expresión 3.59. La revisión de la compatibilidad no es necesaria en este caso porque el área de refuerzo imaginario “ Asf “ siempre se asume en fluencia para todos los casos. Para satisfacer los requisitos de refuerzo mínimo, tal que se garantice que la sección no se comporte como sin refuerzo, el acero positivo debe cumplir:

y

c

yw

sw f

ffdb

A ´25.04.1≥≥=ρ (3.60)

Para refuerzo negativo y la aleta trabajando en tracción el refuerzo mínimo es:


______________________________________________________________________


227

yy

c

fff 4.150.0 ´

min ≥≥ρ (3.61)

Ejemplo 3.26 La figura 3.61muestra la sección típica de una viga T utilizada como superestructura de un puente peatonal. Si el refuerzo a tracción lo constituyen seis barras de acero # 10 distribuidas simétricamente en dos capas y las dimensiones de la sección son: h = 750 mm, hf = 150 mm, b = 700 mm, bw = 300 mm, determinar la capacidad en flexión de la estructura usando f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. b = 700 mm hf = 150 mm h = 750 mm d = 650 mm 6 # 10 bw = 300 mm Amarres # 3

Figura 3.61 Sección para el ejemplo 3.26

Solución: Inicialmente se procede a verificar las dimensiones de la sección de acuerdo a las recomendaciones indicadas en 3.4.6.2. para el caso de viga T aislada:

mmbbbb w .12003004.4 ≤∴×≤⇒≤ Cumple!

mmhhb

h ffw

f .1502

3002

≥∴≥⇒≥ Cumple!

La sección esta correctamente dimensionada y se puede continuar con los cálculos. En caso contrario se recomienda modificar las dimensiones para cumplir los requerimientos indicados en los códigos de construcción. As = 6 # 10 = 6 x 819 mm2 = 4914 mm2

0033.00027.0420

2125.0minmin =⇒== ρρ ( )

0252.0650300

4914=

×=wρ

Se cumple que .minρρ >w y las dimensiones de la sección son correctas. Ahora considerando inicialmente sección rectangular è


______________________________________________________________________


228

mmbf

fAc

c

ys .19485.07002185.0

4204914..85.0

.

1´

=×××

×==

β > 150 mm è

La profundidad del eje neutro es mayor que hf è Sección con aletas

( ) 2.2550

4201503007002185.0

mmAsf =×−××

=

( )

mma .1853002185.0

42025504914=

×××−

= mmc .21885.0

185==

0064.0218

218685003.0 =

−

×=tε > 0.005 => Cumple

( ) mmNM n ..105532

18565042025504914 6

1 ×=

−××−=

mmNM n ..106162

1506504202550 6

2 ×=

−××=

mkNM n ..1169616553 =+=

La capacidad en flexión de la sección es de Mn = 1169 kN.m. La relación ( c / dt ) es de 0.318 la cual es menor que 0.375 y la deformación del acero a tracción es de 0.0064, lo cual corresponde a un comportamiento dúctil de la sección cuando se alcanza su resistencia a flexión. Ejemplo 3.27 El sistema de piso de la figura 3.62 representa un conjunto de vigas T paralelas con una luz libre entre caras de apoyos de 6 m. Si la sección transversal tiene las dimensiones indicadas en la figura determinar la capacidad en flexión para la zona de momento positivo. Usar un f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa Solución: Se determinara inicialmente el ancho efectivo de aleta siguiendo nuevamente las recomendaciones dadas en 3.4.6.2 para vigas T paralelas.

mmbbluz

b .15004

60004

≤⇒≤⇒≤

( )

mmbbhbb

fw .270030015016.8

2≤⇒+×≤⇒≤

−

( )

mmbbblblbb

wnnw .3000300270022

≤∴+≤⇒+≤⇒≤−

Se concluye que : b = 1500 mm. As = 6 # 7 = 6 x 387 mm2 = 2322 mm2


______________________________________________________________________


229

0041.00041.0280

2125.0minmin =⇒== ρρ ( )

0189.0410300

2322=

×=wρ

Se cumple que .minρρ >w . Considerando inicialmente sección rectangular è

mmc .2985.015002185.0

2802322=

××××

= < hf = 150 mm è

Figura 3.62 Sistema estructural para el ejemplo 3.27 La profundidad del eje neutro es menor que hf è Sección rectangular

mma .2415002185.0

2802322=

×××

= mmc .2885.0

24==

!005.0044.028

28435003.0 Cumplet ⇒>>>=

−

×=ε


______________________________________________________________________


230

mkNmmNM n ..259..102592

244102802322 6 =×=

−××=

Nota: En el caso de que la viga trabajara independientemente de la losa ( caso típico del sistema de viga prefabricada y losa vaciada en el sitio) se tendría una sección rectangular con una capacidad en flexión solo de Mn = 129 kN.m es decir apenas un 50% de la capacidad cuando el sistema viga-losa es monolítico. Ejemplo 3.28 Resolver el ejemplo anterior en la zona de momento negativo si el refuerzo esta constituido por 8 # 7 localizadas a 65 mm de la cara superior de la losa. b = 600 mm hf = 150 mm h = 500 mm d = 410 mm 6 # 7 8 # 7 bw = 300 mm

Figura 3.63 Sección de viga del ejemplo 3.28

Solución: En caso de momento negativo la sección trabaja como rectangular con un ancho de bw = 300 mm y dt = 445 mm ( Refuerzo en una capa). La cantidad de refuerzo a tracción a considerar, y que esta localizado en la aleta, debe ser menor o igual al ancho del alma mas ocho veces el espesor de aleta o la décima parte de la luz libre de la viga, controlando la menor. Se tiene para el primer caso: bw + 8 hf = 300 + 8 x 150 = 1500 mm y para el segundo 6000/ 10 = 600 mm. De donde el valor considerado de 600 mm es el adecuado para la sección.

As = 8 # 7 = 8 x 387 mm2 = 3096 mm2 ( )0232.0

4453003096

=×

=ρ

mma .1623002185.0

2803096=

×××

= mmc .19185.0

162==

=><=

−

×= 0050.00040.0191

191445003.0tε No cumple


______________________________________________________________________


231

La sección indicada no cumple los requisitos de ductilidad exigidos por tanto se debe dimensionar nuevamente o modificar la cantidad de refuerzo. Si se modifica el refuerzo por 8 # 6 => As = 8 x 284 = 2272 mm2. a = 119 mm y c = 140 mm (c / dt ) = 0.314

!0050.00065.0140

140445003.0 Cumplet =>>=

−

×=ε

mkNmmNM n ...246..102462

1194453001192185.0 6 =×=

−××××=

Ejemplo 3.29 Determinar para la sección de viga de la figura 3.64 la capacidad en flexión si los materiales tienen las siguientes propiedades: f´c = 21 MPa fy = 420 MPa. Solución: En primer lugar se recomienda revisar las dimensiones de la sección para asegurar su buen comportamiento estructural. a) El espesor de la aleta debe ser mayor o igual que la mitad del ancho del alma è 150 > ( 300 / 2 ) : Cumple. b) El ancho efectivo de aleta debe ser menor que cuatro veces el ancho del alma è 450 < 4 x 300: Cumple. En resumen la sección esta correctamente dimensionada. b = 450 mm hf = 150 mm h = 700 mm d = 610 mm As = 6 # 8 bw = 300 mm

Figura 3.64 Sección de viga del ejemplo 3.29 As = 6 # 8 = 6 x 510 mm2 = 3060 mm2

0033.0min =ρ ( )0167.0

6103003060

=×

=wρ > 0.0033 => bien!

mmc .18885.04502185.0

4203060=

××××

= > hf = 150 mm èSección T


______________________________________________________________________


232

( ) 2.956420

1503004502185.0mmAsf =

×−××=

( )

mma .1653002185.0

4209563060=

×××−

= mmc .19485.0

165==

0085.0165

165635003.0 =

−

×=tε > 0.005 => Cumple

( ) mmNM n ..104662

1656104209563060 6

1 ×=

−××−=

mmNM n ..102152

150610420956 6

2 ×=

−××=

mkNM n ..681215466 =+=

Ejemplo 3.30 Resolver el ejemplo anterior si el refuerzo en el alma lo constituyen seis barras numero diez ( 6 # 10 ) colocadas en dos capas. Figura 3.65 Solución: En este caso la cuantía del refuerzo a tracción As = 6 x 819 = 4914 mm2. La altura efectiva de la sección es d = 618 mm ( al centroide del acero a tracción).

( )0265.0

6183004914

=×

=wρ >> 0.0033 => cumple!

mmc .30285.04502185.0

4204914=

××××

= > hf = 150 mm èSección T

( ) 2.956420

1503004502185.0mmAsf =

×−××=

( )mma .310

3002185.04209564914

=××

×−= mmc .365

85.0310

==

0022.0365

365635003.0 =

−

×=tε < 0.005 => No cumple


______________________________________________________________________


233

La sección y el refuerzo indicados son inadecuados desde el punto de vista estructural. Se recomienda dimensionar nuevamente o modificar la cantidad de refuerzo. b = 450 mm hf = 150 mm h = 700 mm d = 618 mm As = 6 # 10 bw = 300 mm

Figura 3.65 Sección de viga del ejemplo 3.30 Ejemplo 3.31 La sección con aletas de la figura 3.66 es prefabricada y se utiliza como superestructura de un puente. Si el refuerzo en el alma es a) 4 # 9 ; b) 5 # 9 y c) 6 # 9, determinar la capacidad en flexión de la sección y comparar los resultados obtenidos. Utilizar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. b = 1000 mm hf = 50 mm h = 500 mm d = 410 mm 4 # 9 Amarres # 3 bw = 250 mm

Figura 3.66 Sección para el ejemplo 3.31.a Solución: Para cada refuerzo se determinara la capacidad en flexión de la sección:


______________________________________________________________________


234

a) As = 4 # 9 = 4 x 645 = 2580 mm2

0033.00031.0420

2825.0minmin =⇒== ρρ ( )

0252.0410250

2580=

×=wρ

mmc .5485.010002885.0

4202580=

××××

= ⇒<=×= mmmma .50.465485.0

A pesar de que c < hf el valor de a es menor que 50 mm y la sección es rectangular.

mma .4510002885.0

4202580=

×××

= mmc .5385.0

45==

!005.0022.053

53435003.0 Cumplet ⇒>>>=

−

×=ε

mkNmmNM n ..420..104202

454104202580 6 =×=

−××=

R/ La sección indicada en la figura 3.66 trabaja como rectangular, tiene una capacidad nominal en flexión de 420 kN.m y garantiza un comportamiento dúctil cuando llega a su resistencia máxima. La relación ( c / dt ) es ( 53 / 435 ) = 0.122 << 0.375.

b) As = 5 # 9 = 5 x 645 = 3225 mm2 b = 1000 mm hf = 50 mm h = 500 mm d = 410 mm 5 # 9 Amarres # 3 bw = 250 mm

Figura 3.67 Sección para el ejemplo 3.31.b

( )!0033.00315.0

4102503225

Cumplew ⇒>=×

=ρ


______________________________________________________________________


235

mmc .6985.010002885.0

4203225=

××××

= ⇒>=×= mmmma .50.596985.0

La sección trabaja como T:

( ) 2.2125420

5025010002885.0mmAsf =

×−××=

( )

mma .782502885.0

42021253225=

×××−

= mmc .9285.0

78==

0112.092

92435003.0 =

−

×=tε > 0.005 => Cumple

( ) mmNM n ..101712

7841042021253225 6

1 ×=

−××−=

mmNM n ..103442

504104202125 6

2 ×=

−××=

mkNM n ..515344171 =+=

R / La capacidad de la sección con As = 5 # 9 es de Mn = 515 kN.m c) As = 6 # 9 = 6 x 645 = 3870 mm2 b = 1000 mm hf = 50 mm h = 500 mm d = 410 mm 6 # 9 Amarres # 3 bw = 250 mm

Figura 3.68 Sección para el ejemplo 3.31.c


______________________________________________________________________


236

( )0378.0

4102503870

=×

=wρ > 0.0033 èCumple refuerzo mínimo!

mmc .8085.010002885.0

4203870=

××××

= ⇒>=×= mmmma .50.688085.0 Secc.T

( ) 2.2125420

5025010002885.0mmAsf =

×−××=

( )

mma .1232502885.0

42021253870=

×××−

= mmc .14585.0

123==

006.0145

145435003.0 =

−

×=tε > 0.005 => Cumple

( ) mmNM n ..102552

12341042021253870 6

1 ×=

−××−=

mmNM n ..103442

504104202125 6

2 ×=

−××=

mkNM n ..599344255 =+=

R / La capacidad de la sección con As = 6 # 9 es de Mn = 599 kN.m Ejemplo 3.32 Para la sección T aislada de la figura 3.69 determinar la capacidad en flexión e indicar su comportamiento en la falla cuando a) hf = 100 mm y b) hf = 50 mm. f´c = 21 MPa fy = 420 MPa b = 800 mm hf = 100 mm h = 400 mm d = 310 mm 2 # 7 2 # 9 Amarres # 3 bw = 200 mm

Figura 3.69 Sección para el ejemplo 3.32.a


______________________________________________________________________


237

Solución: a) Cuando hf = 100 mm As = 2 # 9 + 2 # 7 = 2 x 645 + 2 x 387 = 2064 mm2

( )0333.0

3102002064

=×

=wρ > 0.0033 => Cumple!

mmc .7185.08002185.0

4202064=

××××

= < 100 mm => Sección rectangular

mma .618002185.0

4202064=

×××

= mmc .7285.0

61==

!005.00110.072

72335003.0 Cumplet ⇒>=

−

×=ε

mkNmmNM n ..242..10242261

3104202064 6 =×=

−××=

b) Cuando hf = 50 mm èAs = 2064 mm2

mmc .7185.08002185.0

4202064=

××××

= > 50 mm => Sección T

El valor de la altura del bloque comprimido es a = 60 mm > 50 mm => Sección T b = 800 mm c hf = 50 mm h = 400 mm d = 310 mm 2 # 7 2 # 9 Amarres # 3 bw = 200 mm

Figura 3.70 Sección para el ejemplo 3.32.b


______________________________________________________________________


238

( ) 2.1275420

502008002185.0mmAsf =

×−××=

( )

mma .932002185.0

42012752064=

×××−

= mmc .10985.0

93==

0062.0109

109335003.0 =

−

×=tε > 0.005 => Cumple

( ) mmNM n ..10872

9331042012752064 6

1 ×=

−××−=

mmNM n ..101532

503104201275 6

2 ×=

−××=

mkNM n ..24015387 =+= Se concluye en este ejemplo que aumentar el espesor de la aleta en una sección T no tiene ningún beneficio desde el punto de vista de la capacidad resistente a flexión. Los datos numéricos indican que un aumento del 100% en el espesor hf solo produce un incremento en la capacidad del 0.8% lo cual desde el punto de vista practico es insignificante si se tiene en cuenta que variaciones menores o iguales al 5% son frecuentemente aceptadas en los diseños. 3.4.6.4 Diseño a flexión de secciones con aletas Al dimensionar y determinar el refuerzo de una sección con aletas se debe tener en cuenta que estas pueden ser aisladas o paralelas (continuas transversalmente). En el primer caso el diseño debe estimar todas las dimensiones de la estructura y el refuerzo requerido. En las segundas se deben tener en cuenta las dimensiones que previamente se le han dado a las losas como su espesor y la separación entre vigas paralelas. Las dimensiones del alma no se deben estimar con base en la capacidad resistente del hormigón a compresión ya que se obtendrían dimensiones muy pequeñas para bw y h que representarían entre otras las siguientes consecuencias: a) Altas cantidades de refuerzo a tracción que no se podrían acomodar en el ancho del alma seleccionado, b) excesiva cantidad de refuerzo a cortante y c) debido a la esbeltez de la sección se producirían altas deflexiones en servicio. Algunos criterios prácticos para dimensionar el alma de las secciones con aletas se pueden resumir en los siguientes: a) mantener cuantías relativamente bajas de refuerzo en el alma ( ?w è?min ), b) garantizar unas bajas tensiones por cortante en la sección


______________________________________________________________________


239

manejando unas dimensiones adecuadas y c) En tramos continuos seleccionar el ancho del alma con base en los requisitos de momento negativo en los apoyos. Adicionalmente es necesario garantizar que en servicio las aletas aporten capacidad a flexión de la sección efecto que se logra manteniendo su integridad con un determinado refuerzo transversal. En losas de edificios el refuerzo en la losa sirve para este propósito, en otros casos se deben colocar barras que permitan que las aletas absorban las cargas aplicadas tal como si fueran vigas en voladizo. El espaciamiento de este refuerzo no debe ser mayor de cinco veces el espesor de la losa ( s < 5 x hf ) o 450 mm. Para suministrar un margen de seguridad contra la falla frágil es necesario en el diseño asegurar que la relación ( c / dt ) < 0.375 o que la deformación de la capa de refuerzo mas traccionada sea mayor a 0.0050 garantizando así una sección dúctil cuando se alcanza su resistencia a flexión. Adicionalmente la cuantía mínima a flexión en estas secciones debe cumplir con los requisitos enunciados para SSR es decir:

y

cw f

f ´

min, 25.0=ρ (3.62)

El procedimiento practico de diseño se puede resumir en los siguientes pasos indicados también en el diagrama de la figura 3.71. Primero: Determinar el ancho efectivo de aleta de acuerdo a los criterios indicados en el numeral 3.4.6.2 de este texto. En secciones T aisladas este valor se conoce con anticipación mientras que en secciones T paralelas se debe estimar correctamente. Segundo: Seleccionar los valores adecuados para el espesor de aleta y el ancho del alma de acuerdo al tipo de sección y consideraciones estructurales como continuidad, luces, apoyos y magnitud de las cargas. Tercero: Revisar si las dimensiones seleccionadas anteriormente cumplen las relaciones luz / altura necesarias para no controlar deflexiones. Por lo general esta relación debe estar entre 12 y 18. Cuarto: Seleccionar una relación ( c / dt ) < 0.375 para asegurar que la deformación del refuerzo a tracción sea mayor de 0.005. Quinto: Determinar si el eje neutro esta dentro o fuera de la aleta. La profundidad del eje neutro se determina con la siguiente relación:

11´

1´

1´ .18.1

85.0..

.85.0

..

..85.0

.

βω

βρ

ββd

df

f

f

df

dbA

bf

fAc

c

y

c

ys

c

ys =

=

×==


______________________________________________________________________


240

SI NO

NO

SI

Figura 3.71 Diagrama del procedimiento de diseño y revisión de secciones T o L.

b, h, bw, hf, f c, fy, Mu

728

05.085.0´

1−

×−= cfβAsumir sección

rectangular => c < hf

ca .1β=

−

=

2..

adf

MA

y

us

φColocar

refuerzo As

dbAs

.=ρ

´85.0

..

c

y

f

dfa

ρ=

1βa

c =

c < hf La sección es rectangular FIN

La sección es T

( )y

fwcsf f

hbbfA

−=

.85.0 ´

−=

2.... 2

fysfn

hdfAM φφ21 .. nun MMM φφ −=

Asumir :

300.0<td

c

ca .1β=( )

−

=−

2..

. 2

adf

MAA

y

nsfs

φ

φ

( )bf

fAAa

c

ysfs

.85.0 ´* −

=aa =*

Colocar refuerzo y detallar

A

*aa =


______________________________________________________________________


241

NO

SI

NO


A

y

c

ff ´

.min

25.0=ρ

dbA

w

sw .

=ρ

minρρ >wModificar seccion

FIN

1´ ..85.0 βbf

fAc

c

ys=

c > hf La sección es rectangular FIN

Sección T ( )

y

fwcsf f

hbbfA

−=

.85.0 ´

( )bf

fAAa

c

ysfs

.85.0

.´

−=

1βa

c =c

cdt

−= .003.0ε

005.0≥tεfs < fy tss Ef ε.=

fs = fy ( )

−−+

−=

2.

2....

adfAA

hdfAM ssfs

fssfn φφ

FIN


______________________________________________________________________


242

Sexto: Si c < hf => la sección se debe tratar como simplemente reforzada con un ancho “ b “ igual al ancho efectivo de aleta. Séptimo: Si c > hf y a > hf la sección se debe diseñar como T o L. Octavo: Determinar el refuerzo equivalente a compresión “ Asf “ que suministran las aletas. Hallar Mn1 y Mn2. Noveno: Verificar que se cumpla la relación F Mn = Mu Décimo: En caso de no cumplir el paso 9) se debe ir al paso 4) y repetir los cálculos usando una nueva relación ( c/ dt ) < 0.375. Ejemplo 3.33 La losa de hormigón armado de un edificio, indicada en la figura 3.72, es monolítica con las vigas de apoyo y su espesor hf =75 mm. La luz libre de las vigas es de L =7.3 m y su separación lateral de centro a centro es 1.2 m; las dimensiones del alma, seleccionadas de acuerdo a los requisitos de momento negativo, son bw = 300 mm y h = 600 mm. Determinar el refuerzo requerido en la mitad de la luz de la viga donde el momento externo mayorado producido por las cargas externas es de Mu = 739 kN.m. Usar f´c = 21 MPa fy = 420 MPa Solución: El ancho efectivo de aleta es:

a) mmbmbb .1825.825.143.7

≤⇒≤⇒≤

b)( )

mmbb

.15007582300

≤⇒×≤−

c) ( ) ( )

mmbb

.12002

30012002300

≤⇒−

≤−

El ancho es de b = 1200 mm el cual controla los tres criterios de diseño. Las dimensiones del ancho y espesor del alma son adecuadas a las características de la sección en las zonas de momento negativo. Se asume un d = 510 mm. Para el momento externo indicado se comprobara como trabaja la sección cuando alcanza la resistencia a flexión. Se inicia el procedimiento asumiendo que la sección es rectangular con el eje neutro en la aleta è c = hf ó c / dt = (75 / 535 ) => c / dt = 0.140

c = 0.140 x 535 =75 mm y a = 0.85 x 75 = 64 mm

26

.4090

264

51042090.0

..10739mm

mmNAs =

−××

×= ó 5 # 10 => As = 4095 mm2


______________________________________________________________________


243

Figura 3.72 Sistema viga - losa del ejemplo 3.33

( )0067.0

51012004095

=×

=ρ

mma .802185.0

5104200067.0=

×××

= è mmc .9485.0

80==

Se comprueba que la hipótesis inicial es incorrecta y que el eje neutro esta realmente en el alma, por lo tanto la sección trabaja como T.

( ) 2.2869420

7530012002185.0mmAsf =

×−××=

De la ecuación 3.56 considerando el factor de minoración de resistencia, F = 0.90 :

mkNmmNM n ..512..105122

75510420286990.0. 6

1 =×=

−×××=φ


______________________________________________________________________


244

De la ecuación 3.59 despejando el F.Mn1 Se tiene:

mkNM n ..227512739. 2 =−=φ Esta es la capacidad de momentos que debe atender la sección imaginaria uno constituida por una SSR de dimensiones bw y h y reforzada con ( As – Asf). Para determinar la posición del eje neutro de esta sección se puede proceder por iteración considerando un valor inicial para c y luego comprobando si se cumple el equilibrio estático de las fuerzas internas. Sea (c / dt ) = 0.250 => c = 134 mm è a = 114 mm

26

.1326

2114

51042090.0

10227mmAA sfs =

−××

×=−

mma .1043002185.0

4201326=

×××

=

El error en la aproximación es de (114-104)/104 = 0.096 es decir del 10 %. Se puede aproximar mas la posición logrando mejor certeza en los cálculos ( En general se puede buscar un error menor que el 2%). Sea a = 104 mm

26

.1311

2104

51042090.0

10227mmAA sfs =

−××

×=−

mma .1033002185.0

4201311=

×××

=

En esta segunda iteración se logra una aproximación aceptable. De donde el acero a tracción requerido es de As = 2869 + 1311 = 4180 mm2. Este refuerzo se puede atender con 2 # 10 + 4 # 9 en dos capas para un As real = 4218 mm2. Usando amarres transversales # 3 y un recubrimiento de 40 mm se obtiene: Al revisar la capacidad de carga de la sección de la figura 3.73 se obtiene:

?w Asf (mm2)

a (mm)

c (mm)

et Mn1

(kN.m) Mn2

(kN.m) F.Mn

(kN.m) 0.0276 2869 106 124 0.0099 259 569 745

mkNMmkNM un ..739..745. =≥=φ La sección cumple satisfactoriamente los requisitos de seguridad y ductilidad exigidos por los códigos ( NSR-98 y ACI-318-02)


______________________________________________________________________


245

b = 1200 mm hf = 75 mm h = 600 mm d = 510 mm 4 # 9 2 # 10 Amarres # 3 bw = 300 mm


Ejemplo 3.34 La sección T aislada de la figura 3.74 esta sometida a un momento mayorado externo de Mu = 320 kN.m. Determinar el refuerzo necesario en el alma si se usan los siguientes materiales: f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. Solución: Sea d = 410 mm ( dos capas de acero de refuerzo en la sección ). Considerando inicialmente sección rectangular => c = hf = 150 mm ; a = 127.5 mm

b = 1500 mm hf = 150 mm h = 500 mm d = 410 mm bw = 300 mm



______________________________________________________________________


246

26

.2445

25.127

41042090.0

10320mmAs =

−××

×= ó 4 # 9 => As = 2580 mm2

( )0042.0

41015002580

=×

=ρ

mma .402185.0

4104200042.0=

×××

= è mmc .4785.0

40==

Se concluye que la profundidad del eje neutro es menor que el espesor de la aleta por lo que la hipótesis de sección rectangular es correcta. Ahora se pueden perfeccionar mas los cálculos y asumir una relación ( c / dt ) = 47 / 435 = 0.108 => Sea c = 0.100 x 435 = 43.5 mm y a =37 mm

2.2358420

3715002185.0mmAs =

×××= ó As = 6 # 7 = 2322 mm2

mma .3615002185.0

4202322=

×××

= mmc .4285.0

36==

!005.00262.042

42410003.0 Cumplet ⇒>>>=

−

×=ε

mkNmmNM n ..340.103402

364103615002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

Se cumple que F.Mn = 340 kN.m > Mu = 320 kN.m => el refuerzo y las dimensiones seleccionadas son correctas y la sección es dúctil (c / dt = 0.097 ) << 0.375. b = 1500 mm hf = 150 mm h = 500 mm d = 410 mm 3 # 7 3 # 7 Amarres # 3 bw = 300 mm

Figura 3.75 Sección diseñada para el ejemplo 3.34


______________________________________________________________________


247

Ejemplo 3.35 La figura 3.76 muestra la sección de una viga de cubierta de una edificación la cual esta sometida a un momento externo mayorado de 810 kN.m. Determinar el refuerzo a flexión requerido si f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. Solución: Al revisar las dimensiones de la sección de acuerdo a los criterios indicados en las ecuaciones 3.75 se tiene: b < 6 x 100 + 300 = 900 mm è cumple. Considerando que la sección trabaja como rectangular con c = 100 mm, a = 85 mm, ancho b = 750 mm y altura efectiva d = 585 mm =>

226

39878#310#3.3950

285

58542090.0

10810mmAsmmAs =+=⇒=

−××

×=

( )0091.0

5857503987

=×

=ρ mma .1252185.0

5854200091.0=

×××

=

b = 750 mm hf = 100 mm h = 650 mm bw = 300 mm

Figura 3.76 Sección para el ejemplo 3.35 Se concluye que la profundidad del eje neutro es mayor que el espesor de aleta y la sección trabaja como T.

( ) 2.1912420

1003007502185.0mmAsf =

×−××=

De la ecuación 3.56 considerando el factor de minoración de resistencia, F = 0.90 :

mkNmmNM n ..387..103872

100585420191290.0. 6

1 =×=

−×××=φ


______________________________________________________________________


248

De la ecuación 3.59 despejando el F.Mn2 Se tiene: mkNM n ..423387810. 2 =−=φ Sea (c / dt ) = 0.250 => c = 146 mm è a = 124 mm

26

.2140

2124

58542090.0

10423mmAA sfs =

−××

×=−

mma .1683002185.0

4202140=

×××

=

El error en la aproximación es de (168-124)/168 = 0.26 es decir del 26 %. Se debe realizar otro ciclo de iteración: Sea a = 168 mm

26

.2234

2168

58542090.0

10423mmAA sfs =

−××

×=−

mma .1753002185.0

4202234=

×××

= ( )

%4100175

168175=×

−=Error

Sea a = 175 mm => ( ) 22249mmAA sfs =− mma .176= Error = 0.6% => Cumple! De donde el acero a tracción requerido es de As = 2249 + 1912 = 4161 mm2. Para una capa de acero se pueden colocar 5 # 10 o 4 # 11 las cuales no se acomodan en el ancho de la sección. Para dos capas de refuerzo. è d = 560 mm. Si se asume As = 3 # 10 + 3 # 9 se tiene un As real = 4392 mm2 y usando amarres transversales # 3 y un recubrimiento de 40 mm se obtiene: b = 750 mm hf = 100 mm h = 650 mm Amarres transversales # 3 As = 3 # 10 + 3 # 9 bw = 300 mm

Figura 3.77 Primera solución de refuerzo para el ejemplo 3.35


______________________________________________________________________


249

Al revisar la capacidad a flexión de esta sección se obtiene:

?w Asf (mm2)

a (mm)

c (mm)

et Mn1

(kN.m) Mn2

(kN.m) F.Mn

(kN.m) 0.0261 1912 194 229 0.0047 410 483 804

mkNM n ..804. =φ valor que cumple ajustadamente con el Mu = 810 kN.m. Sin embargo la relación ( c / dt) > 0.375 y et < 0.005 => la sección no cumple los requisitos de ductilidad exigidos por lo que se recomienda dimensionar nuevamente o considerar el uso de materiales mejorados. 3.4.7 Flexión en secciones poligonales, huecas y con refuerzo en varias capas 3.4.7.1 Generalidades En los numerales precedentes se estudiaron las formas típicas de secciones macizas a flexión de hormigón armado iniciando con la rectangular simple y doblemente reforzada para continuar luego con las formas T y L. Sin embargo el uso de otras secciones poligonales macizas y huecas diferentes a las anteriores como las trapezoidales y hexagonales es frecuente en productos prefabricados ya sea en postes de energía o en viguetas de losas. Igualmente el refuerzo en varias capas permite una mejor disposición de las barras para atender solicitaciones especiales como por ejemplo los efectos sísmicos y movimientos vibratorios.

Figura 3.78 Secciones poligonales de hormigón armado

El método a utilizar es el diseño por resistencia en donde se considera la distribución equivalente de tensiones del hormigón a compresión y las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de deformación presentadas en los temas anteriores. A diferencia de los casos presentados el problema particular al hallar la capacidad resistente de la sección es la determinación del área comprimida de hormigón y la posición del eje neutro esta ultima procediendo por iteraciones sucesivas.


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250

3.4.7.2 Determinación de la capacidad a flexión, Mn De acuerdo al numero de capas de refuerzo en la sección y la forma de la zona comprimida que resiste el hormigón se plantea la ecuación de equilibrio de fuerzas internas así:

∑∑∑ =+⇒= sisicH TCCF 0 Donde Cc es la resultante del hormigón a compresión; Csi son las fuerzas a compresión del acero localizado en la zona comprimida y Tsi las fuerzas internas del acero localizado en la zona a tracción de la sección.

( )dxxFCh

c .2/

0∫= Donde F(x) es la función que describe el diagrama tensión-

deformación del hormigón a compresión.

´. sisisi fAC = Asi y f si son área y tensión del acero en la capa i comprimida.

sisisi fAT .= Asi y f si son área y tensión del acero en la capa i traccionada. Para una determinada posición del eje neutro, c, el equilibrio de la sección permite obtener la capacidad a flexión tomando momentos respecto al centroide del área comprimida de la sección.

sisisisin dTdCM .. ∑∑ −= Donde los dsi son las distancias de cada capa de refuerzo respecto al centroide del área comprimida de hormigón. Si se considera la aproximación de whitney del bloque rectangular de tensiones se facilitan nuevamente los cálculos porque la resultante a compresión esta a una distancia de a / 2 del borde mas comprimido.

−−

−= ∑∑ 2..

2.. ´ a

dfAa

dfAM sisisisisisin (3.64)

Si se comprueba que un MM ≥.φ la posición del eje neutro es la correcta, en caso contrario se debe proceder a realizar otro tanteo. Ejemplo 3.36 Determinar para la sección indicada en la figura 3.79 la capacidad en flexión utilizando el bloque rectangular equivalente de tensiones para el hormigón y un f´c = 21 MPa fy = 420 MPa.


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251

600 mm 50 mm 150 mm As1 = 4 # 6 200 mm 150 mm As2 = 2 # 8 500 mm 200 mm As3 = 2 # 8 50 mm As4 = 2 # 10 300 mm

Figura 3.79 Sección para el ejemplo 3.36 Solución: Sea c / dt = 0.324 => c = 0.324 x 500 = 162 mm è a = 138 mm.

( )MPaf ss .423204000002074.0002074.0

16250162003.0

11 =×=⇒=−×

=ε (C)

( )

MPaf ss .332204000001630.0001630.0162

162250003.022 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss 899204000004407.0004407.0162

162400003.033 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss .1655204000008111.0008111.0162

162600003.014 =×=⇒=

−×=ε (T)

c = 162 mm es1 es2 es3 es4

Figura 3.80 Posición del eje neutro para iniciar ciclos de iteración Del perfil de deformaciones se tiene: La resultante a compresión es: kNCc .14786001382185.0 =×××=


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252

Del equilibrio de fuerzas horizontales è A compresión: kN.19551000/11364201478 =×+ A tracción: kN.14551000/)163842010204201020332( =×+×+× No se cumple el equilibrio de fuerzas internas por tanto se debe modificar la posición del eje neutro. Ya que las fuerzas a tracción son menores que las de compresión se debe disminuir la altura del eje neutro. Sea c / dt = 0.240 => c = 120 mm è a = 102 mm

( )MPaf ss .357204000001750.0001750.0

12050120003.0

11 =×=⇒=−×

=ε (C)

( )

MPaf ss .663204000003250.0003250.0120

120250003.022 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss 1428204000007000.0007000.0120

120400003.033 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPaf ss .2448204000012000.0012000.0120

120600003.014 =×=⇒=

−×=ε (T)

La resultante a compresión es: kNCc .10926001022185.0 =×××= Del equilibrio è A compresión: kN.14981000/11363571092 =×+ A tracción: kN.15451000/)163842010204201020420( =×+×+× Se puede realizar otra aproximación para lograr una mejor precisión en los cálculos: Sea c / dt = 0.250 => c = 125 mm è a = 106 mm

( )MPafss .367204000001800.0001800.0

12550125003.0

11 =×=⇒=−×

=ε (C)

( )

MPaf ss .612204000003000.0003000.0125

125250003.022 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPaf ss .1346204000006600.0006600.0125

125400003.023 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss .23252040000114.00114.0125

125600003.014 =×=⇒=

−×=ε (T)

La resultante a compresión es: kNCc .11356001062185.0 =×××=


______________________________________________________________________


253

Del equilibrio è A compresión: kN.15521000/11363671135 =×+ A tracción: kN.15451000/)163842010204201020420( =×+×+× El error en la aproximación es menor del 1% el cual se puede aceptar como un resultado satisfactorio del método. En general se puede programar para lograr errores menores del 2 %. La capacidad de la sección es:

mkNmmN

M n

..611..106112

106501136367

2106

25010204202

1064001020420)

2106

600(1638420

6 =×=

−××−

−××+

−××+−××=

R / La capacidad en flexión de esta sección es de 611 kN.m. Se comprueba que las capas de refuerzo a tracción entran en fluencia cuando se alcanza la resistencia de la sección. El acero a compresión no esta en fluencia. Ejemplo 3.37 La figura 3.79 muestra una sección hueca de forma similar a la del ejemplo anterior. Utilizando los datos dimensiónales de la figura y f´c = 21 MPa fy = 420 MPa determinar la capacidad en flexión si el espesor de la pared es de 100 mm. Solución: Inicialmente se asume la posición del eje neutroè

Sea c / dt = 0.30 => c = 150 mm a = 150 x 0.85 = 128 mm

Acomp.= 600 x 100 + 2 x ( 100 x 28 ) = 65600 mm2.

( )MPaf ss .4082040000020.00020.0

15015050003.0

11 −=×−=⇒−=−×

=ε (C)

( )

MPaf ss .4082040000020.00020.0150

150250003.022 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss 10202040000050.00050.0150

150400003.033 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPaf ss .18362040000090.00090.0150

150600003.014 =×=⇒=

−×=ε (T)

La resultante a compresión es: kNCc .1171656002185.0 =××= Del equilibrio de fuerzas horizontales è A compresión: kN.16341000/11364081171 =×+


______________________________________________________________________


254

A tracción: kN.15321000/)163842010204201020408( =×+×+× 600 mm 50 mm 150 mm As1 = 4 # 6 200 mm 150 mm As2 = 2 # 8 500 mm 200 mm As3 = 2 # 8 50 mm As4 = 2 # 10 300 mm


La diferencia es ahora solo del 6.5% sin embargo se puede realizar una ultima iteración para lograr una mejor estimación del eje neutro. Sea c / dt = 0.280 => c = 140 mm è a = 119 mm y el área comprimida es de Acomp.= 600 x 100 + 2 x 100 x 19 = 63800 mm2.

( )MPaf ss .393204000001929.0001929.0

14014050003.0

11 −=×−=⇒−=−×

=ε (C)

( )

MPafss .481204000002357.0002357.0140

140250003.022 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss 1137204000005571.0005571.0140

140400003.033 =×=⇒=

−×=ε (T)

( )

MPafss .2011204000009857.0009857.0140

140600003.014 =×=⇒=

−×=ε (T)

La resultante a compresión es: kNCc .1139638002185.0 =××= Del equilibrio de fuerzas horizontales è A compresión: kN.15851000/11363931139 =×+ A tracción: kN.15451000/)163842010204201020420( =×+×+× La diferencia es menor del 2.6% por tanto se acepta el resultado y se concluye que el eje neutro se encuentra a una profundidad de 140 mm. El momento resistente es:


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255

mkNmmN

M n

..604..106042

119501136393

2119

25010204202

1194001020420)

2119

600(1638420

6 =×=

−××−

−××+

−××+−××=

R / La capacidad en flexión de esta sección es de 604 kN.m la cual es prácticamente igual a la obtenida con la sección maciza con la diferencia de que la sección hueca presenta una disminución del 30% en el volumen del hormigón. Ejemplo 3.38 La figura 3.80 representa la sección de una de las vigas longitudinales de un puente en un proyecto vial. El hormigón de la estructura es de f´c = 28 MPa y el acero de refuerzo de fy = 420 MPa. Determinar la capacidad en flexión de esta sección cuando: a) cuando la relación c / dt < 0.300. b) cuando la relación c / dt es tal que el refuerzo mas traccionado alcanza su punto de fluencia. Solución: Para ambos casos se procede por iteración sucesiva asumiendo inicialmente una posición del eje neutro y comprobando el equilibrio de fuerzas internas. a) Capacidad de la sección cuando c / dt < 0.300 => El valor dt = 700 mm Sea c / dt = 0.250 => c = 0.250 x 700 = 175 mm è a = 0.85 x 175 = 149 mm 600 mm 6#6 50 mm 50 mm 150 mm 4#6 2#6 100 mm 2#6 100 mm 100 mm 400 mm 2#6 100 mm 2#6 100 mm 6#6 100 mm 200 mm 7#8 50 mm 400 mm



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256

Tabla 3.15 Resumen resultados para c = 175 mm . Ejemplo 3.38.a

Capa As As ( mm2) di (mm) es fs ( MPa) F (kN) 1 1704 50 -0.002143 -420 -716 2 1136 100 -0.001286 -262 -298 3 568 200 0.000429 87 50 4 568 300 0.002143 420 239 5 568 400 0.003857 420 239 6 568 500 0.005571 420 239 7 1704 600 0.007286 420 716 8 3570 700 0.009000 420 1499

Área de hormigón a comp.= 600 x 149 = 89400 mm2 En la tabla 3.15 se resumen los resultados del calculo para cada posición del eje neutro. La resultante a compresión del hormigón es : Cc = 0.85 x 28 x 89400 = 2128 kN. Resultante total a compresión: R comp.= 2128 + 716 + 298 = 3142 kN Resultante a tracción: Rtracc. = 50 + 239 + 239 + 239 +716 + 1499 = 2982 kN. El error es: ( 3142 – 2982 ) / 2982 x100 = 5 % Se debe realizar otra iteración. Ya que la resultante a compresión es mayor que la de tracción, la profundidad del eje neutro debe disminuir. Sea c = 165 mm è a = 140 mm ec = 0.003 es1 es2 c = 175 mm es3 700 mm es4 es5 es6 es7 es8

Figura 3.83 Perfil de deformaciones cuando el hormigón inicia la falla


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257

è Área comprimida de hormigón: 600 x 140 = 84000 mm2

Tabla 3.16 Resumen resultados para c = 150 mm . Ejemplo 3.38.a

Capa As As (mm2) es fs (MPa) F (kN) 1 1704 -0.002091 -420 -716 2 1136 -0.001182 -241 -274 3 568 -0.000636 130 74 4 568 0.002454 420 239 5 568 0.004273 420 239 6 568 0.006091 420 239 7 1704 0.007909 420 716 8 dt = 3570 et = 0.009727 420 1499

La resultante a compresión del hormigón es : Cc = 0.85 x 28 x 84000 = 1999 kN. Resultante total a compresión: R comp.= 1999 + 716 + 274 = 2989 kN Resultante a tracción: Rtracc. = 74 + 239 + 239 + 239 +716 + 1499 = 3006 kN. El error es del 0.5 % el cual se considera aceptable para propósitos prácticos.

mkNmmkN

M n

..1576..1015762

14050716

2140

1002742

14020074

2140

300239

2140

4002392

140500239

2140

6007162

1407001499

3 =×=

−×−

−×−

−×+

−×+

−×+

−×+

−×+

−×=

R/ La capacidad a flexión de la sección es de Mn = 1576 kN.m para c / dt = 0.236 b) Capacidad de la sección cuando et ˜ 0.005. Cuando el acero mas traccionado tiene una deformación de es8 ˜ 0.005, tiene un 51 % de la deformación obtenida en el numeral a) de este ejemplo. Utilizando un procedimiento iterativo se puede lograr la posición del eje neutro cuando la deformación de la capa de refuerzo mas traccionada alcanza un valor ˜ 0.005.


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258

ec = 0.003 es1 es2 c es3 700 mm es4 es5 es6 es7 es8 ˜ 0.005

Figura 3.84 Perfil de deformaciones cuando et ˜ 0.005

Tabla 3.18 Resumen resultados para c = 225 mm y ec = 0.003 . Ejemplo 3.38.b

Capa As As (mm2) es fs (MPa) F (kN) 1 1704 -0.002333 -420 -716 2 1136 -0.001666 -340 -386 3 568 -0.000333 -68 -39 4 568 0.001000 204 116 5 568 0.002333 420 239 6 568 0.003667 420 239 7 1704 0.005000 420 716 8 3570 0.006333 420 1499

R comp.= 2863 kN; Rtracc. = 2808 kN. Error = 2 %. Considerando otra iteración para c = 220 mm se logra obtener un et = 0.0064 para un valor de a = 144.5 mm. El Acomp.= 71100 mm2.


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259

Tabla 3.19 Resumen resultados para c = 222 mm ec = 0.003. Ejemplo 3.38.b

Capa As As (mm2) es fs (MPa) F (kN) 1 1704 -0.002318 -420 -716 2 1136 -0.001636 -334 -379 3 568 -0.000273 -56 -32 4 568 0.001091 222 126 5 568 0.002454 420 239 6 568 0.003818 420 239 7 1704 0.005182 420 716 8 3570 0.006545 420 1499

R comp.= 2819 kN; Rtracc. = 2819 kN. Error = 0.0 %. La capacidad en flexión es de Mn = 1431 kN.m es decir solo un 10% menor que la obtenida cuando la relación c / dt < 0.300.


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260

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar para las secciones de hormigón armado que se indican en la figura el momento de fisuración si la resistencia del hormigón es f´c = 28 MPa. 2. Determinar para las siguientes dos secciones de hormigón armado cual es la carga uniformemente distribuida ( adicional al peso de la viga ) que se para la fisuración si la viga es simplemente apoyada de 8.50 m de luz. Utilizar f´c = 28 MPa y una densidad del hormigón de 2.43 Mg / m3.

300 mm

400 mm d = 325 mm

350 mm

475 mm

75 mm

3 # 8 2 # 9

710 mm

375 mm

100 mm

75 mm

1 # 11

150 mm

450 mm

150 mm

585 mm

75 mm

200 mm

200 mm

200 mm

125 mm 125 mm

4 # 83 # 8

400 mm

4 # 7

350 mm

600 mm 535 mm

100 mm

100 mm

600 mm

300 mm

100 mm

75 mm

3 # 8


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261

3. Determinar las tensiones en el hormigón y en el acero que producen los momentos indicados en las tres secciones indicadas considerando rango elástico fisurado. 4. Determinar las tensiones en el hormigón y en el acero que producen los momentos máximos de las siguientes dos vigas considerando rango elástico fisurado.

350 mm

500 mm 425 mm

a) M = 85 kN.m n = 9

4 # 8

700 mm

75 mm

75 mm

550 mm

400 mm

8 # 8

b ) M = 170 kN.m n = 8

600 mm

400 mm

75 mm

75 mm

450 mm

c ) M = 180 kN.m n = 10

22 kN / m ( incluye el peso propio)

7.3 m

300 mm

500 mm

445 mm

Usar n = 10

4 # 8

6 # 10


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262

5. Determinar para la siguiente sección las tensiones en los materiales si esta sometida a un momento flector de M = 95 kN.m. Usar una relación modular n = 9 6. Determinar el momento resistente de la viga del problema 3b si los materiales tienen las siguientes resistencias: fs = 170 MPa y fc = 9.5 MPa. 7. Determinar el momento resistente para la viga del problema 4.b si se usan 8 # 9 y n = 10. Los materiales son: fs = 140 MPa y fc = 8.0 MPa. 8. Usando el método de la sección transformada determinar para la siguiente sección cual es la carga admisible uniformemente distribuida que puede soportar, además de su propio peso si la viga esta simplemente apoyada con una luz de 8.5 m. Utilizar un hormigón cuya densidad es 2.4 Mg / m3, fc = 9.5 MPa y fs = 170 MPa. n = 9

15 kN / m ( incluye el peso propio)

9.3 m

400 mm

700 mm

600 mm

Usar n = 10

3.3 m

140 kN

6 # 9

125 mm 125 mm

400 mm

100 mm

585 mm

75 mm

4 # 9


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263

9. Para las siguientes cuatro secciones de hormigón armado determinar las tensiones a flexión para los momentos y relaciones modulares indicadas usando el método del área transformada.

450 mm

150 mm 150 mm

100 mm

200 mm

425 mm

75 mm

800 mm

1200 mm

300 mm

100 mm

385 mm

65 mm

3 # 9

250 mm 250 mm

2 # 8 375 mm

75 mm

150 mm

310 mm

75 mm

50 mm

65 mm

125 mm

700 mm

125 mm

a) M = 140 kN.m y n = 10 b) M = 125 kN.m y n = 9

c) M = 170 kN.m y n = 9

5 # 11


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264

10. Determinar para la siguiente sección de viga cual es la capacidad nominal a momento si fy = 420 MPa y f´c = 28 MPa. 11. Determinar para las siguientes dos secciones su capacidad nominal de resistencia a flexión si fy = 420 MPa y f´c = 28 MPa.

75 mm

610 mm

65 mm

450 mm

4 # 9

4 # 10

d) M = 420 kN.m n = 10

750 mm

400 mm

75 mm

75 mm

600 mm

c ) M = 180 kN.m n = 10

6 # 9

600 mm

250 mm 350 mm 250 mm

4 # 9

100 mm

250 mm

175 mm

75 mm


______________________________________________________________________


265

12. Determinar la carga uniforme que puede soportar la siguiente viga, incluyendo su propio peso si fy = 420 MPa y f´c = 28 MPa. 13. Diseñar el refuerzo a flexión de las siguientes vigas. Estimar el peso propio ya que este no se incluye en las cargas. Asumir f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. a)

4 # 9

450 mm

75 75 150

75 75

75 mm

75 mm

575 mm

75 mm

350 mm

585 mm

65 mm

5.5 m

qn = ....

10 m

qm = 20 kN/m qv = 10 kN/m


______________________________________________________________________


266

b) c) d) 14. Determinar para las siguientes secciones de hormigón armado doblemente reforzadas cual es su capacidad en flexión. Revisar en cada caso los limites de las deformaciones para garantizar la ductilidad. Usar f c = 21 MPa y fy = 420 MPa. 15. La sección de hormigón armado que se indica a continuación esta sometida a un momento mayorado de Mu = 1300 kN.m y sus dimensiones están limitadas por razones

qm = 20 kN/m

PL = 80 kN

6 m 6 m

5 m


12 m


3 m

4 # 11

3 # 9

70 mm

630 mm

2 # 9

5 # 11

350 mm 500 mm

200 mm

70 mm

400 mm

100 mm

100 mm


______________________________________________________________________


267

arquitectónicas a b = 350 mm y h = 700 mm. Determinar la cantidad de refuerzo requerido si fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. 16. Determinar la resistencia nominal de la siguiente sección T reforzada como se indica en la figura. Usar fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. 17. Determinar el refuerzo requerido para las vigas T de la figura si fy = 420 MPa y fć = 28 MPa. La estructura esta simplemente apoyada con una luz libre de 6.0 m. El sistema soporta un Mm = 280 kN.m ( incluyendo el peso propio) Mv = 700 kN.m.

h < 650 mm

b < 350 mm

As

A s

100 mm

800 mm

65 mm

750 mm

8 # 11

1.20 m 1.20 m

300 mm

75 mm

750 mm

LOSAS EN UNA DIRECCIÓN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1 __________________________________________________________________________________________________________


4 DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCION 4.1 GENERALIDADES La aplicación mas inmediata de la teoría del diseño a flexión del hormigón armado es cuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa que trabajan en una dirección, figura 4.1. Estos tipos de estructuras son únicas en el hormigón armado ya que a diferencia de otros materiales los ensambles son monolíticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de tensiones se realiza por continuidad estructural. P1 P2 P3 P4 Pi Pn L1 L2 Li Ln

Figura 4.1.a. Viga continua y modelo de análisis estructural N! L1 Li LN

Figura 4.1.b. Losa en una dirección apoyada en vigas o muros cargueros.

N1 N2



A diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que producen las cargas externas en toda la longitud del elemento. El momento flector varia considerablemente desde el centro de la luz hasta los apoyos donde cambia de signo, es decir la tracción es en la parte superior de la sección. Igualmente cambia con la presencia de las cargas vivas, situación que se debe considerar en el diseño para tener en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La variación del momento en la longitud de los elementos se puede determinar usando el método aproximado de los coeficientes del ACI para revisiones o diseños preliminares de estructuras o mediante el uso de algoritmos matemáticos mas o menos complejos que requieren por lo general la ayuda de una calculadora programable o un computador. Todos estos procedimientos utilizan por lo general el análisis estructural elástico o de primer orden. En la practica existen procedimientos disponibles de análisis plástico que consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inelástica de tensiones pero estos no se van a considerar en este texto. 4.2 PATRON DE COLOCACIÓN DE LAS CARGAS El primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la estructura y en los elementos que siempre permanecerán sobre ella, esta carga es constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia continuamente de posición y el ingeniero debe considerar una disposición acertada de esta variación en la estructura. Con el fin de obtener las envolventes de los momentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas en los cursos básicos del análisis estructural. Un método simple es colocar la carga viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables de momento flector en las mitades de la luces y en los apoyos. Para las mitades de las luces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedrez, con esto se logran los mayores momentos positivos, figura 4.2.a y b. Los mayores momentos negativos en cada apoyo se logran colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y alternándola en el resto de la estructura, figura 4.2.c. El diseño se realiza para las condiciones mas exigentes de los momentos negativos y positivos encontrados anteriormente. 4.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL Cuando se requieran realizar comprobaciones rápidas y dimensionamientos preliminares de los elementos estructurales antes de proceder a utilizar métodos complejos, es practico y sencillo utilizar los coeficientes de momento recomendados por el ACI los cuales fueron obtenidos por comprobaciones elásticas considerando entre otros aspectos la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los máximos momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los momentos tiene la forma de M = coef. q L2 donde q es la carga uniformemente distribuida y “ L ” la luz libre. El método permite hallar igualmente las fuerzas cortantes en cada tramo de la estructura continua con la expresión V = coef. q L / 2.



Para la aplicación adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes limitaciones geométricas y de carga en la estructura. Cuando no se cumple alguno de estos requisitos se debe utilizar un método de análisis hiperestatico como el de rigidez, matricial, solución de ecuaciones simultaneas.

• Se tengan mínimo dos luces • Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes no

debe exceder a la menor en mas del 20%. • Las cargas sean uniformemente distribuidas • La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta • Las secciones sean prismáticas.

qm : Carga muerta qv : Carga viva A B C D E F

a) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en AB, CD y EF.

b) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en BC y DE.

c) Patrón de carga viva con el máximo momento negativo en B. Figura 4.2 Patrón de colocación de las cargas muertas y vivas en vigas continuas Comprobaciones realizadas con otros métodos de análisis indican que los valores de momento hallados por los coeficientes del ACI son conservadores mientras se mantenga el cumplimiento de las restricciones indicadas anteriormente. Es importante mencionar que los coeficientes propuestos tienen en cuenta la redistribución de momentos por efectos inelásticos y el ancho de los apoyos. Para el diseño cada coeficiente entrega dos diagramas de momento para cada luz, uno para los máximos momentos negativos y otro para los máximos positivos. Sin embargo el método no permite entregar para una



determinada luz los máximos momentos negativos que se presentan simultáneamente bajo la acción de las cargas. Tabla 4.1 Coeficientes ACI para el diseño de vigas continuas y losas en una dirección Momento positivo Luces de borde Si el borde es discontinuo sin restricción 11

2nu lq ×

Si el borde es discontinuo e integral con el apoyo 14

2nu lq ×

Luces interiores 16

2nu lq ×

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior Cuando se tienen dos luces 9

2nu lq ×

Para mas de dos luces 10

2nu lq ×

Momento negativo en las otras caras de los apoyos interiores

11

2nu lq ×

Momento negativo en la cara de todos los apoyos para a) losas con luces que no excedan de 3.0 m y b) Vigas en donde la relación de suma de las rigidezes de columnas a suma de rigidezes de vigas no exceda de ocho en cada extremo de la luz.

11

2nu lq ×

Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para aquellos elementos vaciados monolíticamente con sus apoyos

Cuando el apoyo es una viga de borde o de respaldo 24

2nu lq ×

Cuando el apoyo es una columna 16

2nu lq ×

Cortante en al cara interna del primer apoyo interior 2

15.1 nu lq ××

Cortante en las otras caras de los apoyos 2

nu lq ×

ln para momento positivo es la luz libre entre apoyos y para momento negativo es el promedio de las dos luces adyacentes. qu es la carga mayorada que actúa sobre la estructura. El valor de la fuerza cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces simplemente apoyadas a excepción de la cara exterior del primer apoyo interior en donde el valor se incrementa en un 15% debido al efecto del balance de los momentos



Sin restricciónè 0 111

Viga de bordeè 241

141

101

111

161

111

111

Columnaè 161

141

a) Vigas con mas de dos luces

Sin restricciónè 0 111

111

0

Viga de bordeè 241

141

91

91

141

241

Columnaè 161

141

141

161

b) Vigas con dos luces

121

141

121

121

161

121

121

c) Losas con luces menores de 3.0 m

Columnaè 121

141

121

121

161

121

121

d) Vigas en donde S Rigidez de columnas > 8 x S Rigidez de vigas en el nudo

Figura 4.3 Coeficientes de momento en vigas continuas y losas en una dirección



en vigas continuas ( 2

15.1 nu lq ×× ). La cortante en el apoyo exterior por lo general da

ligeramente inferior a la obtenida por análisis elástico pero el método

conservadoramente asume el valor indicado para luces simplemente apoyadas (2

nu lq ×).

4.4 LOSAS EN UNA DIRECCIÓN En las estructuras de hormigón armado la losa es el típico sistema estructural horizontal que permite recibir directamente las cargas verticales, debidas al peso de los elementos y al uso y ocupación de la edificación y llevarlas al sistema vertical de soporte estructural seleccionado para la edificación tal como el pórtico resistente a momentos, los muros estructurales, la mampostería y los sistemas mixtos. La losa puede estar o no apoyada perimetralmente, en el primer caso descansa directamente sobre columnas generando la conocida placa plana y la losa plana las cuales se estudiaran mas adelante como losas bidireccionales. En el segundo caso la losa puede apoyarse en vigas o muros los cuales pueden estar en todo el perímetro o no. Cuando la losa se apoya en dos lados únicamente se tiene la losa unidireccional y las cargas van en sentido perpendicular a las vigas o muros de apoyo, figura 4.4. Viga A Viga B Viga C Dirección Losa Losa Vigas

Figura 4.4 Losa en una dirección apoyada sobre vigas



Cuando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la acción estructural es en dos direcciones. Sin embargo en este caso la acción depende de la relación luz larga, lb, a luz corta, la, la cual indica que para relaciones la / lb > 2 la losa bidireccional se puede analizar como unidireccional porque mas del 90% de la carga se dirige a las vigas en la dirección corta de la losa. Las losas de hormigón armado pueden también ser macizas o aligeradas. El sistema de losa maciza es muy utilizado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios por las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losas aligeradas son bastante utilizadas en la construcción de edificios por las ventajas que genera en ahorro de materiales, disminución del peso y mejora en aislamientos térmicos y acústicos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran patentados por el instituto del acero para el hormigón armado de los Estados Unidos ( CRSI) y se les conoce comercialmente como los sistemas nervados ( Joist System) en una y en dos direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el CRSI # 42 dan los criterios de diseño para diferentes configuraciones de losa lo mismo que las características de los aligerantes, recubrimientos y detallado del refuerzo. Un sistema típico aligerado en una dirección se indica en la figura 4.5. Nervios o viguetas Viga A Viga B Viga C Losa nervada Vigas

Figura 4.5 Losa nervada en una dirección apoyada sobre vigas Ya que las cargas en las losas unidireccionales van en la dirección corta del modulo o panel de losa, esta se puede analizar estructuralmente como una viga continua de ancho



unitario si es maciza o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. Se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI si se cumplen las hipótesis u otro método de análisis elástico. El refuerzo esta constituido en general por dos capas de acero en forma de malla que atienden las solicitaciones externas ( refuerzo principal) y los problemas de retracción y cambios de temperatura (refuerzo secundario). El acero principal va en dirección perpendicular a las vigas de apoyo y el secundario es normal al refuerzo principal. En general las losas de edificios no requieren refuerzo por cortante por las altas áreas de carga que se manejan pero en los sistemas nervados hay casos donde la cortante es critica y se debe atender convenientemente. Los espesores de losa y vigas se pueden seleccionar inicialmente de la tabla 3.4 y los anchos unitarios utilizados para los diseños de losas macizas unidireccionales pueden ser 0.25, 0.50 y 1.00 m. En la practica se prefiere el ancho de 1.0 m y los diseños se refieren por tanto a esta franja típica. 4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO A FLEXIÓN 4.5.1 Dimensionamiento estructural Con el fin de evitar grandes deflexiones y cumplir los requisitos exigidos para atender la flexión y la cortante se define inicialmente el espesor de la losa y las vigas usando los valores recomendados en la tabla 3.4. Si se trata de una losa maciza de define un ancho de franja unitario b, si es losa aligerada la franja queda definida al seleccionar el ancho del nervio, bw, y las dimensiones del aligerante ( largo, ancho y alto) y si es viga se define un ancho mayor o igual a 250 mm. Ejemplo 4.1 Para la losa unidireccional de la figura 4.6 definir cuales pueden ser las dimensiones estructurales iniciales considerando solo los requisitos geométricos. A A´ A” B B B” C C C” D D D” E 1 8m 2 8m 8. 3 8m 4 3 @ 4.0 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.0m

Figura 4.6 Planta típica para el ejemplo 4.1



Solución: La edificación esta compuesta de pórticos viga - columna que conforman el sistema estructural resistente a momento y losas en una dirección que se apoyan en vigas cargueras intermedias. Las vigas principales 1,2 ,3 y 4 reciben además de su propio peso las cargas de las vigas intermedias A , A”, B , B”, C , C”, D , D” y las vigas de amarre espacial A, B, C y D soportan su propio peso. a) Dimensionamiento de la losa maciza. Utilizando la tabla 3.4 para losas macizas en una dirección los espesores mínimos son:

Luz AB è mmh .16724

400=≥ Para el tramo de borde

mmh .14328

400=≥ Para el tramo central

Luz BC è mmh .16128

450=≥ en todos los tramos

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 167 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 150 mm. Se asume una ancho de franja para el análisis estructural y el diseño de b = 500 mm. La sección de franja se muestra en la figura 4.7. Franja típica h =150 mm b

Figura 4.7 Sección de losa maciza y franja típica del ejemplo 4.1 b) Dimensionamiento de la losa aligerada. Inicialmente se definen las características del nervio y el tipo de aligerante de acuerdo al numeral 8.11 del código del ACI. En resumen se debe cumplir que:

• el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 100 mm y su altura menor o igual a tres y medio veces el ancho.

• El espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 0.75 m • Cuando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormigón huecos como

aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormigón de los nervios, el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo de la separación libre entre nervios o 40 mm.

• Si se utilizan otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de la separación de los nervios o 50 mm.



El espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla 3.4:

Luz AB è mmh .2165.18

400=≥ Para el tramo de borde

mmh .19021

400=≥ Para el tramo central

Luz BC è mmh .21421

450=≥ en todos los tramos

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 216 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 200 mm. La selección del aligerante depende de criterios económicos y constructivos disponibles en el sitio de la construcción. El uso de cajas de madera, bloques de poron ( icopor ), bloque prefabricados de hormigón, ladrillos de arcilla y formaletas recuperables en metal, fibra o madera constituyen solo algunos ejemplos de las posibilidades en este campo. En este ejemplo se puede usar como aligerante ladrillos de arcilla de seis huecos con dimensiones 200 x 150 x 400 mm con resistencia a compresión menor que la del hormigón del nervio. La sección de losa dimensionada se indica en la figura 4.8. b = 500 mm 50 mm h = 200 mm 100 mm 400 mm 100 mm Ladrillos de arcilla

Figura 4.8 Sección típica de losa aligerada en una dirección del ejemplo 4.1 El ancho de franja queda definido como b = 400 + 100 = 500 mm. c ) Dimensiones de las vigas principales. Las vigas 1, 2, 3 y 4 tienen luces de 12.0 m y soportan las vigas intermedias que reciben la losa. Utilizando la tabla 3.4:

Para el tramo AB y DE è mmh .6495.18

1200=≥

Para el tramo BC y CD è mmh .64321

1350=≥



La altura se puede asumir como h = 700 mm con el fin de tener alguna reserva de sección para atender la flexión y la cortante. El ancho de la viga por lo general se define con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. En general este ancho debe ser al menos 100 mm menor que el de las columnas (por refuerzo del nudo) o igual al de los muros. Si las columnas se asumen de b = h =500 mm se puede utilizar un ancho de viga de b = 400 mm. Ver sección de vigas principales en figura 4.9.a. d) Dimensiones de las vigas intermedias. Estas vigas tienen luces de 8.0 m y se apoyan en las vigas principales. De la tabla 3.4:

Para los tramos 1-2 y 2-3 è mmh .4325.18

800=≥

Para el tramo 2-3 è mmh .38121

800=≥

Se puede asumir un espesor de h = 500 mm y un ancho de b = 300 mm. La sección de las vigas intermedias se puede ver en la figura 4.9.b. h=500 mm h = 700 mm b = 300 mm b = 400 mm a) Sección vigas principales b) Sección vigas intermedias

Figura 4.9 Secciones de vigas del ejemplo 4.1 4.5.2 Determinación de las cargas en losa y vigas Las cargas que actúan en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivas definidas de acuerdo al tipo de uso y ocupación de la edificación. El peso propio para la losa se determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para las divisiones interiores, acabados y las instalaciones. El peso propio de las vigas se determina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a los valores establecidos localmente por estudios estadísticos y se presentan en un código o norma de construcción ( NSR-98).



Ejemplo 4.2 Determinar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.1. Considerar hormigón armado con una densidad de 2.4 Mg /m3. En la losa aligerada usar un peso de ladrillos de 1.0 kN/ m2. En general usar un peso de divisiones de 1.5 kN/ m2 y acabados e instalaciones de 1.2 kN/ m2. Solución: Se determinaran las cargas para el diseño de: a) losa maciza b) la losa aligerada c) las vigas intermedias y d) las vigas principales. a) Cargas de diseño de la losa maciza.

Peso de la losa: 2

, /.5.38.915.04.2 mkNq ppm =××=

Peso de divisiones, acabados e instalaciones: 2

., /7.22.15.1 mkNq adicm =+=

Carga muerta total en losa: 2

.,, /2.67.25.3 mkNqqq adicmppmm =+=+= R / La carga muerta en la losa es de 6.2 kN/ m2. R/ La carga viva es de acuerdo al NSR-98 para vivienda de 1.8 kN/ m2. Para una franja de diseño de 0.50 m la carga muerta es de qm = 6.2 x 0.5 = 3.1 kN/m y la carga viva es de qv = 1.8 x 0.5 = 0.9 kN/m. qm = 3.1 kN/m qv = 0.9 kN/m A A A” B B B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

Figura 4.10 Cargas de diseño para la losa maciza del ejemplo 4.2 b) Cargas de diseño de la losa aligerada.

Peso losa de recubrimiento: 2

., /18.18.905.04.2 mkNq recm =××=

Peso nervio: 2., /71.08.94.2

50.015.010.0

mkNq nervm =××

×

=



Peso aligerante: =.,aligmq 1.0 kN/m2

Peso divisiones, acabados e instalaciones: 2

., /7.22.15.1 mkNq adicm =+= R/ Carga muerta total: 2/6.57.20.171.018.1 mkNqm =+++= es decir una disminución del 10% del peso de la losa maciza para las mismas condiciones geométricas. Si se requiere disminuir el peso propio se puede utilizar otro aligerante o una formaleta recuperable. Por ejemplo con cajas de madera común no recuperable de dimensiones 150 x 750 x 1000 mm se tiene:

qm,rec. = 1.18 kN/m2 qm,alig.= 0.15 kN/m2 2

., /7.2 mkNq adicm =

2., /47.08.94.2

75.015.010.0

mkNq nervm =××

×

=

2

, /47.08.94.202.0 mkNq tortam =××= R/ La carga muerta total es de qm = 4.97 kN/m2 que equivale a una disminución del peso propio en 20% respecto a la losa maciza equivalente. Se puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. En este ultimo caso la carga por peso propio es de qm = 1.18 + 2.70 + 0.47 = 4.35 kN/m2 con una disminución del 30% del peso propio de la losa maciza. En este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga por peso propio de qm = 4.97 kN/m2. R/ La carga viva es igual al caso de losa maciza: qv = 1.8 kN/m2 Con franjas de ancho 0.75 m è qm = 4.97 x 0.75 = 3.7 kN/m qv = 1.80 x 0.75 = 1.4 kN/m qm = 3.7 kN/m qv = 1.4 kN/m A A A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

Figura 4.11 Cargas de diseño para la losa aligerada del ejemplo 4.2



c) Cargas de diseño de las vigas intermedias. Estas vigas reciben como carga las reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. Utilizando el método aproximado de los coeficientes del ACI se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa maciza y luego la losa aligerada.

Vigas A y E : mkNqm /9.155.34.128.94.25.03.05.020.41.3

=+=×××+××

=

mkNqv /6.35.020.49.0

=××

=

Vigas A y D” : mkNqm /2.308.94.25.03.05.020.41.3

5.020.41.3

15.1 =×××+××

+××

×=

mkNqv /7.75.020.49.0

5.020.49.0

15.1 =××

+××

×=

Vigas A” y D : mkNqm /3.288.94.25.03.05.020.41.3

2 =×××+××

×=

mkNqv /2.75.020.49.0

2 =××

×=

Viga B : mkNqm /9.398.94.25.03.05.025.41.3

5.020.41.3

=×××+××

+××

=

mkNqv /7.75.025.49.0

5.020.49.0

=××

+××

=

Viga B y C” : mkNqm /4.318.94.25.03.05.025.41.3

2 =×××+××

×=

mkNqv /1.85.025.49.0

2 =××

×=

Por simetría ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.2 presenta el resumen.

Tabla 4.2 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa maciza método coeficientes ACI

Carga (kN/m)

A A A” B B B” C

qm 15.9 30.2 28.3 39.9 31.4 31.4 31.4

qv 3.6 7.7 7.2 7.7 8.1 8.1 8.1

qt 19.5 37.9 35.5 47.6 39.5 39.5 39.5



qm = (15.9 => 39.9 ) kN/m qv = (3.6 => 8.1) kN/m 1 2 3 4 8.0 m 8.0 m 8.0 m

Figura 4.12 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2

Tabla 4.3 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa aligerada VIGA

Carga (kN/m)

A A A” B B B” C

qm 13.4 24.7 23.3 24.5 25.7 25.7 25.7

qv 3.7 8.0 7.5 7.9 8.4 8.4 8.4

qt 17.1 32.7 30.8 32.4 34.1 34.1 34.1

d) Cargas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso propio mas las reacciones de las vigas intermedias. Las vigas principales llevan la carga a las columnas o muros respectivos. Utilizando el método de los coeficientes del ACI: Vigas 1 y 4: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=

kNp Am 8.1202

0.82.30´, =

×= kNp Am 2.113

20.83.28

", =×

=

kNp Av 8.302

0.87.7´, =

×= kNp Av 8.28

20.82.7

", =×

=

kNp Bm 6.1252

0.84.31´, =

×= kNp Bm 6.125

20.84.31

", =×

=

kNp Bv 4.322

0.81.8´, =

×= kNp Bv 4.32

20.81.8

", =×

=

Las otras cargas se obtienen por simetría:



121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN 113 kN 121 kN 31 kN 29 kN 32 kN 32 kN 32 kN 32 kN 29 kN 31 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.13 Cargas de diseño en viga principal # 1 del ejemplo 4.2

121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN 31 kN 29 kN 32 kN 32 kN 32 kN 32 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D 12 m 12 m 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2 Vigas 2 y 3: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=

kNp Am 2602

0.82.3015.2´, =

××= kNp Am 243

20.83.28

15.2", =×

×=

kNp Av 662

0.87.715.2´, =

××= kNp Av 62

20.82.7

15.2", =×

×=

kNp Bm 2702

0.84.3115.2´, =

××= kNp Bm 270

20.84.31

15.2", =×

×=



kNp Bv 702

0.81.815.2´, =

××= kNp Bv 70

20.81.8

15.2", =×

×=

Las otras cargas se obtienen por simetría: 260 kN 243 kN 270 kN 270 kN 270 kN 270 kN 243 kN 260 kN 66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 62kN 66 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 2 del ejemplo 4.2 260 kN 243 kN 270 kN 270 kN 270 kN 270 kN 113 kN 121 kN 66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 29kN 31 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.15 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2 4.5.3 Momentos y cortantes en losa y vigas La determinación de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes secciones criticas de la estructura se realiza utilizando el análisis estructural elástico. Si se cumplen las hipótesis, el método de los coeficientes del ACI es una excelente herramienta para iniciar el proceso de calculo. Si se dispone de un procedimiento de análisis estructural mas elaborado es conveniente utilizarlo en lugar del método



aproximado. Es importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos métodos para juzgar la bondad del procedimiento aproximado. a) Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas típicas o nervios, con geometría similar, los cuales se deben analizar combinando adecuadamente las cargas muertas y vivas de tal forma que se obtengan los máximos momentos positivos y negativos en las diferentes secciones de la estructura. b) Vigas. Se utiliza igualmente el procedimiento de análisis disponible y combinando adecuadamente las cargas se obtienen los máximos momentos y cortantes en la estructura. Ejemplo 4.3 Para la losa del ejemplo 4.1 determinar los momentos flectores y las fuerzas cortantes para el diseño de la losa y las vigas. Solución: La losa solo tiene una franja típica la cual se analizara por el método de rigidez y por el método de los coeficientes del ACI. Aprovechando la simetría solo se dan los resultados de momento para la mitad de la franja típica de losa. a) Momentos y cortantes en la losa. Considerando las posibles combinaciones de carga viva y muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos primeros para obtener los máximos momentos positivos en cada tramo de franja y los seis restantes para lograr los máximos momentos negativos, figura 4.16. En la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga propuestas. Igualmente la tabla 4.5 presenta los momentos utilizando el método aproximado de los coeficientes del ACI. Se puede notar como la diferencia entre ambos procedimientos varia entre el 0.5% y 33% que en muchos casos prácticos es aceptable dada la variabilidad en la estimación de las cargas y en el cumplimiento en obra de la resistencia del hormigón y del acero.

Tabla 4.4 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método de rigidez

Momentos en kNx m / (ancho de franja) Comb.

# MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC

1 0.00 6.89 7.53 0.00 5.37 4.37 6.53 2.28 7.75 5.47 7.42 1.95 7.52

2 0.00 4.11 7.58 3.94 5.19 1.25 7.19 5.68 7.57 1.90 7.47 5.57 7.52

3 0.00 6.26 9.12 3.39 4.78 1.40 7.29 5.64 7.55 1.91 7.47 5.57 7.51

4 0.00 4.29 7.12 3.25 7.01 3.76 6.11 2.43 7.86 5.43 7.39 1.96 7.52

5 0.00 6.83 7.68 1.21 4.78 3.56 8.75 5.11 7.16 2.05 7.58 5.53 7.49

6 0.00 4.13 7.54 3.88 5.35 1.47 6.59 4.92 9.68 4.77 6.91 2.14 7.65

7 0.00 6.89 7.54 1.01 5.32 4.31 6.69 2.48 7.19 4.71 9.52 4.82 6.97

8 0.00 4.11 7.57 3.93 5.20 1.27 7.15 5.63 7.72 2.10 6.91 4.80 9.61

Los valores en negrilla y sombreados son los máximos obtenidos en todas las combinaciones de carga y son los que controlan el diseño.



1.2 qm + 1.6 qv = 5.16 kN / m 1.2 qm = 3.72 kN/m A A A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

a) Combinación # 1 : Máximos momentos positivos en luces 1,3 y 5. 5.16 kN/m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

b) Combinación # 2 : Máximos momentos positivos en luces 2,4 y 6. 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

c) Combinación # 3 : Máximo momento negativo en A 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

d) Combinación # 4 : Máximo momento negativo en A”

Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3



5.16 kN / m 3.72 kN/m A A A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

e) Combinación # 5 : Máximo momento negativo en B 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

f) Combinación # 6 : Máximo momento negativo en B 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

g) Combinación # 7 : Máximo momento negativo en B” 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A A” B B B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

h) Combinación # 8 : Máximo momento negativo en C

Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3. Continuación



Tabla 4.5 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método coeficientes ACI Momentos en kNx m / ( ancho de franja) Comb. MA M1/2 MA´ MA´ M1/2 MA” MA” M1/2 MB MB M1/2 MB´

Unica 3.44 5.90 8.25 7.51 5.16 7.51 7.51 5.16 7.51 9.50 6.53 9.50

Momentos en kNx m / (ancho de franja)

Comb. MB´ M1/2 MB” MB” M1/2 MC

Unica 9.50 6.53 9.50 9.50 6.53 9.50

Tabla 4.6 Comparación de los momentos de diseño en losa maciza del ejemplo 4.3 Momentos en kNx m / ( ancho de nervio) Metodo MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC

Rigidez 0.00 6.89 9.12 3.94 7.01 4.37 8.75 5.68 9.68 5.47 9.52 5.57 9.61

Aprox. 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50

Dif. % --- 14 13 31 7 18 3 15 2 19 0.2 17 1.0

Por simetría no se colocan los valores para las otras luces. El momento MA no se puede comparar por la diferencia de hipótesis en cada método. b) Momentos y cortantes en vigas intermedias. En la tabla 4.2 y la figura 4.12 se indicaron las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utilizando los coeficientes del ACI (si se dispone de métodos mas elaborados se pueden precisar mas estos valores, utilizando por ejemplo el método de rigidez). Para este ejemplo se continuara utilizando los coeficientes del ACI indicado en la figura 4.3 caso a) cuando existe viga de borde. La tabla 4.6 entrega los valores obtenidos de los momentos de diseño para las vigas intermedias. 1.2 qm + 1.6 qv 1 2 3 4 8.0 m 8.0 m 8.0 m

Figura 4.17 Caso único carga de diseño en vigas intermedias, ejemplo 4.3



Tabla 4.7 Momentos Mayorados en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI

Momentos en kN x m Viga M1 M1-2 M2 M2 M2-3 M3 M3 M3-4 M4

A 66 114 159 145 99 145 159 114 66 A´ 129 222 311 283 194 283 311 222 129 A” 121 208 291 265 182 265 291 208 121 B 161 275 385 350 241 350 385 275 161 B´, B”, C, C´, C” 135 231 324 295 203 295 324 231 135 D 161 275 385 350 241 350 206 147 86 D´ 121 208 323 323 208 121 ---- ---- ---- D” 129 222 345 345 222 129 ---- ---- ---- E 66 114 177 177 114 66 ---- ---- ----

Tabla 4.8 Cortantes Mayoradas en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI Cortantes en kN

Viga V1-2 V2-1 V2-3 V3-2 V3-4 V4-3 A 99 114 99 99 114 99 A´ 194 223 194 194 223 194 A” 182 209 182 182 209 182 B 241 277 241 241 277 241 B´, B” , C, C´, C” 203 233 203 203 233 203 D 241 277 241 241 148 129 D´ 182 209 209 182 ----- ----- D” 194 223 223 194 ----- ----- E 99 114 114 99 ----- ----- c) Momentos y cortantes en vigas principales. Estas vigas soportan, además de su peso, las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la tabla 4.8. Los momentos y cortantes se deben obtener con un método hiperestatico de análisis estructural. En este ejemplo ya no se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI por la presencia de cargas concentradas en las luces. 99 kN 182 kN 203 kN 203 kN 203 kN 182 kN 99 kN 194 kN 241 kN 203 kN 203 kN 241 kN 194 kN qm = 7.9 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.18 Cargas Mayoradas en viga principal # 1 del ejemplo 4.2



Para resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de 3.5 m y columnas de b = h = 500 mm. Las vigas son de 400 x 700 mm. El análisis estructural se realiza solo para carga vertical utilizando el método matricial de rigidez y los resultados de los momentos y cortantes de diseño se muestran en las tablas 4.9 y 4.10 para todos los pórticos de la edificación. Además el ejemplo se resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.19 sin realizar ninguna combinación ya que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo varia la magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva. Como la relación qv / qm es baja ( < 0.30) se puede indicar que el efecto de la carga viva, en este caso, es leve en la alteración de los esfuerzos internos de vigas y columnas. Port.1 99 194 182 241 203 203 203 203 203 241 182 194 99 Port.2 213 417 391 518 436 436 436 436 436 518 418 446 228 Port.3 213 417 391 518 436 436 436 436 436 369 182 194 99 Port.4 99 194 182 241 203 203 203 203 203 129 ----- ----- ---- A B C D E 3.5 m qm = 7.9 kN / m 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.19 Cargas en Pórticos del ejemplo 4.3. Método de rigidez

Tabla 4.9 Momentos en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez Momentos en kN x m Pórtico MA MAB MB MB MBC MC MC MCD MD MD MDE ME

1 358 400 696 655 313 627 628 313 655 696 400 358 2 704 792 1369 1294 621 1236 1233 615 1315 1436 849 754 3 693 797 1375 1273 611 1276 1303 693 1111 858 364 311 4 363 409 688 643 301 662 729 433 386 ---- ---- ----



Tabla 4.10 Cortantes en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez Cortantes en kN

Pórtico VA-B VB-A VB-C VC-B VC-D VD-C VD-E VE-D 1 209 262 253 248 248 253 262 209 2 400 502 488 479 476 490 531 427

3 399 504 483 484 499 467 279 192 4 210 260 249 252 279 221 ---- ----

4.5.4 Determinación y selección del refuerzo a flexión en losa y vigas La determinación del refuerzo a flexión tanto en la losa como en las vigas se inicia colocando en cada elemento el refuerzo mínimo necesario para cada sección y comprobando si con este refuerzo se cumple la exigencia de momento solicitada por las cargas externas. En caso afirmativo se coloca este refuerzo mínimo en caso negativo se debe determinar una cantidad de refuerzo mayor por alguno de los procedimientos explicados en la teoría del diseño a flexión del hormigón armado. En todos los casos se debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de F.Mn = Mu . a) Refuerzo en la losa. El refuerzo mínimo a flexión en losas se define como el equivalente al de retracción y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia del acero utilizado. Si fy = 280 MPa o 350 MPa è ?min = 0.0020 Si fy = 420 MPa o malla electrosoldada è ?min = 0.0018 Si fy > 420 MPa è ?min = (0.0018 x 420 ) / fy En ningún caso la cantidad de refuerzo en losas debe ser menor que 0.0014 ( b x h ). Este refuerzo no debe separarse mas de tres veces el espesor de la losa ni 450 mm. En general el refuerzo practico de losas lo constituyen las barras # 3 , 4 y # 5. Ejemplo 4.4 Determinar el refuerzo de la losa maciza del ejemplo 4.1 considerando un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 25 mm Solución: El refuerzo mínimo para esta losa es:

2min, 1351505000018.0 mmAs =××=

Es decir se deben colocar 135 mm2 de acero en cada franja de b = 500 mm. Si se asume acero # 4 ( As = 129 mm2) la separación de barras es de 129 / 135 x 500 = 478 mm. Sin embargo como la separación máxima es de 450 mm la cantidad de acero # 4 que se podría colocar como refuerzo mínimo en la losa es: barras # 4 cada 450 mm que equivalen a 129 / 0.45 = 287 mm2 / m ( 287 x 0.5 = 143.5 mm2 / franja). La cuantía de refuerzo ? = 287 / ( 1000 x 125) =0.0023 (? = 143.5 / ( 500 x 125) = 0.0023 ). Para esta cuantía ( ? = 0.0023 ) la capacidad en flexión de la losa es:



mmNM n .102.1321

4200023.059.0112510004200023.090.0 62 ×=

×

×−×××××=φ

El resultado indica que con barras # 4 cada 0.45 m la capacidad supera a la requerida por las cargas externas ( tabla 4.5 ). Si se usan barras de menor diámetro por ejemplo la # 3 (As = 71 mm2) è la separación de barras es (71 / 135) x 500 = 263 mm è Si se colocan # 3 @ 0.30 m la cuantía es ? = (71 / 0.30) / ( 1000 x 125) = 0.0019 y el valor del momento es: Φ Mn = 11.0 kN.m que aun es alto en esta losa. Los códigos ACI y NSR recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad de refuerzo siempre mayor que 0.0014 x b x h = 210 mm2 / m ( ó # 3 @ 0.35 ). La tabla 4.11 resume las cantidades de refuerzo por flexión que se deben colocar en la losa.

Tabla 4.11 Momentos y refuerzo en la losa maciza del ejemplo 4.4

Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B

Mu (kN.m) 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51

As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35

Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4

Nudo B Centro B Centro B” Centro C

Mu (kN.m) 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50

As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30

Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 10.93 9.4 10.93 9.4 10.93

Perpendicular al refuerzo de flexión se debe colocar el acero de retracción y temperatura que equivale a # 3 @ 0.40 m. La figura 4.20 ilustra la disposición en planta y en corte de la colocación del refuerzo en la losa. Un valor importante para comparar la economía en el diseño estructural de una losa es la cantidad de refuerzo por metro cuadrado. Este índice o factor por lo general varia entre 5 kg y 10 kg en losas típicas de edificios comerciales y de vivienda. Para este ejemplo el valor se obtiene así:

2/4.6/560.0/).35.00.1

235.00.1

35.00.1

( mkgmkgmbarrasFr =××++=

R/ La cantidad de refuerzo por metro cuadrado de losa es de 6.4 kg.



A A´ A” B 1 2 # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.30 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m

Figura 4.20 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.4

Ejemplo 4.5 Determinar el refuerzo de la losa aligerada del ejemplo 4.1 considerando un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 250 mm Solución: En la figura 4.11 se indicaron las cargas de diseño para analizar los nervios de la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuerzo. En la tabla 4.12 se muestran los momentos (método de los coeficientes) y el refuerzo requerido en cada nervio utilizando la metodología del diseño de secciones no rectangulares. La figura 4.22 muestra así mismo el detallado del refuerzo en la losa. La sección de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad a flexión de la sección se indican en la figura 4.21. El refuerzo mínimo para cada nervio es 0.0018 x 500 x 200 = 180 mm2 que se puede cubrir con una barra # 5 ( As = 200 mm2). Con este refuerzo la capacidad en flexión en la mitad de la luz es de φ Mn (+) = 12.9 kN.m y en el apoyo es de φ Mn (-) = 11.4 kN.m. Con otras barras la capacidad es:

• As = 2 # 4 (As = 258 mm2) è φ Mn (+) = 16.5 kN.m è φ Mn (-) = 14.1 kN.m • As = 1 # 6 (As = 284 mm2) è φ Mn (+) = 18.1 kN.m è φ Mn (-) = 15.2 kN.m • As = 2 # 5 (As = 400 mm2) è φ Mn (+) = 25.0 kN.m è φ Mn (-) = 19.3 kN.m

As flexión # 3 @ 0.35 m Arriba # 3 @ 0.35 m Abajo

As retracc.

y Temp. # 3 @ 0.35 m



b = 500 mm c εc hf = 50 mm h = 200 mm As d = 175 mm εs = ε t bw = 100 mm

Figura 4.21 Sección típica de los nervios de la losa aligerada

Tabla 4.12 Momentos y refuerzo en losa aligerada del ejemplo 4.5.

Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B

Mu (kN.m) 4.45 7.63 10.20 6.68 9.72 6.68 11.01

As 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5

Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4

Nudo B Centro B Centro B” Centro C

Mu (kN.m) 11.01 8.45 12.30 8.45 12.30 8.45 12.30

As 1 # 5 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4

Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 14.1 12.9 14.1 12.9 14.1

El refuerzo por retracción y temperatura, que va perpenticular al de flexión, y esta localizado a 25 mm del borde superior de la losa, tiene una cuantía de 0.0018 x 1000 x 50 = 90 mm2 que equivalen a una barra # 3 @ 71 / 90 = 0.79 m. Como el espaciamiento de este refuerzo debe ser menor o igual a 5 x hf = 5 x 50 = 250 mm => se debe colocar una barra # 3 @ 0.25 m para un Asrt = 71 / 0.25 = 284 mm2 y cuantía ? = 0.0057. b) Refuerzo en vigas . Ya que las vigas son vaciadas monolíticamente con la losa ellas deben analizarse como secciones T y L para momento positivo y como sección rectangular para momento negativo ( si se analizan para cualquier momento como rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga efecto que produce una disminución en la capacidad en flexión de la sección ).



A A´ A” B 1 Fr = 6.3 kg 2 # 3 @ 0.25 m 1 # 5 1 # 5 Aligerante

Figura 4.22 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.5

Ejemplo 4.6 Diseñar a flexión las vigas intermedias del ejemplo 4.1. è Con una capa de refuerzo a tracción la cuantía de refuerzo mínimo es 0.0033 x 300 x 435 = 431 mm2 la cual se puede cubrir con 2 barras # 6 ( As = 2 x 284 = 568 mm2). Con este refuerzo la cuantía es de ρ = 0.0043 y la sección se analiza así: Ancho efectivo de aleta. Para vigas T paralelas se tiene:

mmbbluz

b .20004

80004

≤⇒≤⇒≤

( )

mmbbhbb

fw .110030050168

2≤⇒+×≤⇒×≤

−

( )

mmbbblblbb

wnnw .4000300370022

≤∴+≤⇒+≤⇒≤−

El valor de diseño es b = 1100 mm. Considerando la viga B que es la mas solicitada => Sea c = hf = 50 mm => c / dt =0.115 < 0.300 y a = 42.5 mm



26

.1758

25.42

43542090.0

..10275mm

mmNAs =

−××

×= ó 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm2

( )0037.0

43511001794

=×

=ρ

mma .382185.0

4354200037.0=

×××

= è mmc .4585.0

38==

Se comprueba que la hipótesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aleta por lo tanto la sección es rectangular. Se pueden perfeccionar mas los cálculos y asumir una relación ( c / dt ) = 45 / 435 = 0.103 =>

c = 0.103 x 435 = 45 mm y a =38 mm

2.1777420

3811002185.0mmAs =

×××= ó As = 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm2

mma .3811002185.0

4201794=

×××

= mmc .4585.0

38==

!005.00260.045

45435003.0 Cumplet ⇒>=

−

×=ε

mkNmmNM n ..279.102792

384353811002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

El requerimiento es Mu = 275 kN.m el cual se cumple satisfactoriamente. Para momento negativo la sección es rectangular y el mayor momento se encuentra en la viga B apoyo # 2 con un valor de ( 385 + 350) / 2 = 368 kN.m. Sea c / dt = 0.300 => c = 0.300 x 435 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm.

22 .14077#18#2.1415420

1113002185.0mmAmmA ss =+=⇔=

×××=

mma .1103002185.0

4201407=

×××

= mmc .12985.0

110==

!005.00071.0129

129435003.0 cumplet ⇒>=

−×=ε



mkNmmNM n ..201..102012

1104351103002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

Se concluye que la capacidad mecánica de la viga es un 55% de la exigida por las cargas externas, y se debe modificar la sección. Una primera alternativa es considerar el refuerzo a compresión y aumentar al máximo admisible la relación c / dt => Sea c / dt = 0.375 => c = 163 mm y a = 139 mm

21 .1772

4201393002185.0

mmAs =×××

=

mmNM n ..102722

1394354201772 6

1 ×=

−××=

El Mu = 368 kN.m > 0.90 x 272 = 245 kN.m => sección con A´s: Sea d´= 65 mm

mkNM ..123245368. 2 =−=φ

yss ff =⇒>=

−

×= ´´ 0020.00045.065

65163003.0ε

( )2

6´ .879

6543542090.010123

mmAs =−××

×= ó Usar 2 # 8 = 1020 mm2

2.26518791772 mmAs =+= ó Usar 2 # 11 + 1 # 9 = 2685 mm2

Sin embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuerzo positivo de la mitad de la luz constituido por 2 # 8 + 2 # 7 que se puede utilizar como refuerzo a compresión en la zona de momento negativo. En este caso las dos barras # 8 se deben llevar hasta el apoyo para garantizar el trabajo del doble refuerzo. Revisando la sección doblemente reforzada se tiene: 0033.0.min =ρ

0206.0435300

2685=

×=ρ 0078.0

4353001020´ =

×=ρ

( ) ( ) 0128.00078.00206.0´ =−=− ρρ

( )0172.0

420612612

435420652185.085.0

=−

××

×××

Se cumple que ( ) ys ff <⇒<− ´´ 0172.0ρρ

MPaMPaf s 420.3544354200128.0

652185.085.01612´ <=

×××××

−×=



mma .1433002185.0

35410204202685=

×××−×

= mmc .16885.0

143==

( )

0050.00048.0168

168435003.0 ≅=

−×=tε

( ) ( ) mmNM n .104126543535410202

14343535410204202685 6×=−××+

−××−×=

La capacidad de la sección es 0.90 x 412 = 371 kN.m > 368 kN.m => Se acepta. Revisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.6, se puede concluir que las dimensiones de 300 x 500 son adecuadas para las vigas intermedias ya que las cantidades de refuerzo permiten obtener un comportamiento dúctil de la estructura. Procediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.13 se presentan las cantidades de acero requeridas en todas las vigas intermedias indicadas.

Tabla 4.13 Refuerzo a flexión en vigas intermedias. f´c = 21 MPa

Viga

Apoyo1 Centro

1-2 Apoyo2 Centro

2-3 Apoyo3 Centro

3-4 Apoyo4

A 2 # 6 3 # 6

4 # 6 2 # 6

4 # 6 3 # 6

2 # 6

A y A” 2 # 8 3 # 8

4 # 8 2 # 8

3 # 8

4 # 8 2 # 8

3 # 8

2 # 8

B

2 # 8 + 1 # 6

4 # 8

2 # 10 + 1 # 11 3 # 8

3 # 8

2 # 10 + 1 # 11 3 # 8

4 # 8

2 # 8 + 1 # 6

B´, B”, C, C´, C” 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 8

D 2 # 8 4 # 8

3 # 10 3 # 8

4 # 8

3 # 8 4 # 6

2 # 6

D´ 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 6 ---- ----

D” 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 6 ---- ----

E 2 # 6 3 # 6

4 # 8 3 # 6

3 # 6

2 # 6 ---- ----



1.9 m 5.0 m A 2 # 6 4 # 6 4 # 6 2 # 6 3 # 6 2 # 6 3 # 6 1 8.0 m 2 A 3 8.0 m 4 4 # 6 450 mm Losa 3 3 # 6 Sección A-A 300 mm

Figura 4.23.a Refuerzo para la viga intermedia A A 2 # 8 4 # 8 4 # 8 2 # 8 3 # 8 3 # 8 3 # 8 1 2 A 3 4 4 # 8 450 mm Losa 3 3 # 8 Sección A-A 300 mm

Figura 4.23.b Refuerzo para las vigas intermedias A , A”



A 2 # 8 + 1 # 6 2 # 10 + 1 # 11 2 # 10 + 1 # 11 2 # 8 + 1 # 6 4 # 8 3 # 8 4 # 8 1 3 # 8 2 A 3 4 3 # 8 Losa 2 # 10 + 1 # 11 450 mm 3 4 # 8 Sección A-A 300 mm

Figura 4.23.c Refuerzo para la viga intermedia B A 2 # 8 3 # 10 3 # 10 2 # 8 4 # 8 3 # 8 4 # 8 1 3 # 8 2 A 3 4 3 # 8 3 # 10 450 mm Losa 3 3 # 8 Sección A-A 300 mm

Figura 4.23.d Refuerzo para las vigas intermedias B , B”, C, C y C”.



Ejemplo 4.7 Diseñar a flexión las vigas principales del ejemplo 4.1. Utilizar un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Solución: La sección de estas vigas es de b = 400 mm y h = 700 mm con una altura efectiva d = 635 mm para refuerzo en una capa y d = 65 mm para el refuerzo a compresión. Las cantidades de refuerzo limite son:

• As min. = 0.0033 x 400 x 635 = 838 mm2 ó 2 # 8 => ΦMn = 233 kN.m Para una relación c / dt = 0.300 => As = 2752 mm2 ó 4 # 10 => ΦMn = 667 kN.m Se puede apreciar en la tabla 4.9 que las vigas 1 y 4 quedan cubiertas por las estas cantidades de acero pero las vigas 2 y 3 requieren cantidades muy superiores. Si se utiliza el doble refuerzo solo se logra aumentar hasta un 30% la capacidad en flexión por lo que es necesario aumentar las dimensiones de la sección. Sea b = 500 mm y h = 800 mm =>

• As min. = 0.0033 x 500 x 735 = 1213 mm2 ó3 # 8 => ΦMn = 404 kN.m Para una relación c / dt = 0.300 => As = 3983 mm2 ó 8 # 8 => ΦMn = 985 kN.m En el limite admisible cuando c / dt = 0.370 y et = 0.0051 ΦMn = 1150 kN.m para sección simplemente reforzada. Se concluye que la sección 500 x 800 mm para las vigas 2 y 3 es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas. A pesar de que al modificar las dimensiones de la sección varia la carga muerta por el aumento del peso propio, es necesario revisar los cálculos anteriores para hacer las modificaciones respectivas. En este ejercicio se continuara el diseño sin esta revisión con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseño adecuado. La tabla 4.14 ilustra el refuerzo de las vigas principales y la figura 4.24 muestra la posición y el detallado para cada una.

Tabla 4.14 Refuerzo en las vigas principales del ejemplo 4.1

Viga A A-B B B-C C C-D D D-E E

1 ( 400 x 700 )

4 # 8

4 # 8

4 # 10

3 # 8

6 # 8

3 # 8

4 # 10

4 # 8

4 # 8

2 ( 500 x 800 )

3# 11

4 # 11

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 11

3 # 11

3 ( 500 x 800 )

3 # 11

4 # 11

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

6 # 11

2 # 11

2 # 11

4 ( 400 x 700 )

4 # 8

4 # 8

4 # 10

3 # 8

6 # 8

4 # 8

4 # 8 ----

----



3 m 8 m 8 m 8 m 3 m 4 # 8 4 # 10 6 # 8 4 # 10 4 # 8 4 # 8 3 # 8 3 # 8 4 # 8 12 m 12 m 12 m 12 m A B C D E 4 # 10 ( 4 # 8 ) 700 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4 # 8 ( 3 # 8 ) 400 mm

Figura 4.24 Refuerzo requerido en las vigas 1 y 4 del ejemplo 4.1

3 m 8 m 8 m 8 m 3 m 3 # 11 6 # 11 5 # 11 6# 11 3 # 11 4 # 10 3 # 10 3 # 10 4 # 10 12 m 12 m 12 m 12 m A B C D E



6 # 11 ( 3 # 11) 800 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4 # 10 500 mm

Figura 4.25 Refuerzo requerido en las vigas 2 y 3 del ejemplo 4.1 4.5.5 Planos y detalles del sistema estructural diseñado Los esquemas del detallado del refuerzo, colocación, recubrimientos, ganchos, anclajes y conexiones de los diferentes elementos del sistema estructural se deben presentar en formatos adecuados a las oficinas de planeación locales para su legalización y oficialización ante las autoridades competentes. Los esquemas junto con las memorias de calculo deben estar firmadas por el ingeniero estructural quien es el responsable de la estabilidad y confiabilidad de la estructura. Igualmente deben estar convenientemente revisadas por un perito antes de someter a la aprobación de la oficina estatal. Los dibujos, planos e instructivos de campo deben realizarse en hojas de papel Albanene de tamaño 700 x 500 mm ( media hoja de plano) o de 1000 x 1400 ( hoja completa). En general en una hoja se acomodan la planta y sección típica de losa, los nervios o viguetas y las vigas. En otra hoja se pueden acomodar las columnas, muros, escaleras y detalles especiales de nudos y por lo general la fundación, vigas de amarre y muros de contención van en una hoja aparte. Como ilustración se presenta en la figura 4.26 los planos de una edificación en donde se puede apreciar la forma general como estos se pueden distribuir en cada una de la hojas. Es importante anotar que cada plano debe contener recomendaciones generales sobre materiales, procesos constructivos, cargas y características de obra.

DISEÑO A CORTANTE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1 _________________________________________________________________________________________________________


5 DISEÑO A CORTANTE DEL HORMIGÓN ARMADO 5.1 GENERALIDADES Igual que la flexión, es fundamental para la formación del ingeniero, adquirir unos prácticos, seguros y confiables procedimientos para el diseño estructural a cortante. Lo anterior porque a diferencia del punto de vista académico, donde se pueden aislar cada una de las tensiones para su tratamiento y estudio, en la practica el problema es de mayor complejidad al encontrar siempre un campo de tensiones donde interactúan simultáneamente la flexión ( M ), la cortante ( V ), la torsión ( T ) y la fuerza axial ( N ). Históricamente el problema de la flexión se ha entendido perfectamente hasta el punto de que los modelos teóricos de comportamiento, al comprobarlos con pruebas reales en estructuras, presentan excelentes ajustes estadísticos generando el reconocimiento que le otorgan la colocación directa de estos resultados en normas y códigos de diseño y construcción. En contraste la cortante igual que la torsión han tropezado con toda serie de obstáculos teóricos y experimentales que han impedido un correcto entendimiento del problema. A pesar de lo anterior en las tres ultimas décadas se ha realizado un gran esfuerzo por encontrar modelos matemáticos que se ajusten al comportamiento real de las estructuras hasta el punto de llegar a reconocer en los últimos reglamentos Americanos del hormigón armado ( CIB-2000, ACI 318-02 ) estas nuevas teorías que explican mejor el problema y se ajustan a las pruebas experimentales. La falla a cortante, mejor conocida como falla por tracción diagonal, tiene las siguientes características: a) no es única b) es difícil de predecir c ) es súbita y catastrófica d) el estudio de su comportamiento es completamente diferente al de flexión e ) se manifiesta por medio de fisuras inclinadas de mayor abertura que las de flexión. Debido a esto el diseño debe garantizar que en el momento de agotamiento de una estructura la falla se inicie por un mecanismo diferente al de la cortante por ejemplo obligando primero a la falla por flexión y secundariamente la cortante. Para lograr este ultimo objetivo el ingeniero debe asegurar un diseño confiable a flexión y proporcionar donde se requiera el refuerzo necesario para atender la cortante. La figura 5.1 ilustra una falla típica a cortante en vigas simplemente apoyadas y con cargas en los tercios medios. Se puede apreciar como las fisuras se propagan desde la cara mas traccionada del elemento al eje neutro, en la zona central tienen dirección paralela a la carga y en los tercios extremos se inclinan buscando el punto de aplicación de la carga. La capacidad de estas vigas esta controlada por la flexión ya que tienen un refuerzo a cortante adecuado en las zonas requeridas. Para evitar ambigüedades el problema real a tratar en este texto no es el diseño a cortante pura ni el de la cortante por fricción. Estos temas requieren enfoques diferentes a los que aquí se propondrán por lo que solo se hará mención y referencia a ellos. Se trata de la cortante combinada con la flexión que produce ya sea compresión o tracción diagonal esta ultima constituyéndose en el factor principal de la fisuracion inclinada en las estructuras de hormigón armado.



En resumen se tratara primero la teoría de la cortante desde el punto de vista de la mecánica estructural, luego se estudiaran la resistencia a cortante en estructuras sin refuerzo transversal ( en el alma) para localizar y orientar las fisuras. Posteriormente se analizaran las estructuras con refuerzo transversal logrando así una metodología para el diseño a cortante que se puede programar fácilmente para su posterior uso. P / 2 P / 2 R1 R2 L / 3 L / 3 L / 3

Figura 5.1 Fisuracion en una estructura de hormigón armado sometida M-V 5.2 MARCO HISTÓRICO Los primeros estudios sobre la cortante se realizaron a finales del siglo XIX propiamente para el año de 1899 cuando el profesor Wilhem Ritter del Politécnico de Zurich publico en su libro “ Die Bauweise Hennebique” el modelo de la analogía de la cercha como metodología adecuada para tratar el diseño a cortante. Numerosos ensayos continuaron a principios del siglo XX para tratar de explicar y dar pautas claras al trabajo de Ritter y en este sentido Emil Mörsh en Alemania y Richart Talbot en Estados Unidos logran los primeros avances al respecto. En esta época se presenta la gran discusión de si la falla es a cortante horizontal, tensiones inclinadas o tracción diagonal. En 1904 la comisión alemana del hormigón armado presenta las primeras especificaciones sobre el diseño a cortante basadas en el trabajo de Mörsh y se propone la ecuación 5.1 como formula general para evaluar la cortante por tracción diagonal . Esta expresión por su sencillez fue utilizada ampliamente por mas de 50 años.

zbV

v.

= (5.1)

Las investigaciones de Talbot en la Universidad de Illinois concluyeron que la cortante no solo dependía de la resistencia del hormigón sino de factores tales como: a) la esbeltez del elemento y b) la cuantía del refuerzo en tracción. Estas conclusiones



quedaron archivadas por mas de medio siglo por el amplio uso adquirido por la teoría del diseño elástico del hormigón. En el año de 1954 varios ensayos de laboratorio concluyeron que la falla típica de los elementos de hormigón armado diseñados por teoría elástica, los cuales se suponían fallaban por flexión, era la falla por tracción diagonal inclusive para cargas inferiores a las del rango elástico. Lo anterior quedo completamente comprobado con el sismo de 1954 cuando por su efecto colapsaron varios hangares de la fuerza aérea de los Estados Unidos. En los estudios de las ruinas se detecto que la falla en vigas y columnas era por tracción diagonal. En consecuencia se conformaron varios comités técnicos liderados por los profesores McGregor y Bresler los cuales posteriormente redactaron el documento base del estudio de la cortante por teoría de resistencia conocido como el ACI-ASCE-426. Recientemente los trabajos de Mitchell y Collins, Lampert y Thurliman han propuesto nuevas tendencias al diseño unificado ( hormigón armado y pretensado) a cortante con la actualizada teoría de la cercha espacial inicialmente propuesta por Ritter, el modelo matemático del campo modificado de tensiones a compresión y la poderosa herramienta de análisis conocida como el modelo del puntal y el tirante ( strut and tie). Los últimos documentos versión año 2000 indican una amplia experimentación en este sentido. 5.3 TEORÍA DE LA CORTANTE EN LA MECÁNICA DE MATERIALES Para Iniciar nuestro estudio es importante recordar algunos conceptos básicos tratados en los cursos elementales de resistencia de materiales. Esto permite formar una idea del comportamiento del hormigón armado cuando esta sometido a bajos niveles de carga donde aun esta sin fisurar y el material compuesto se puede modelar como un sólido homogéneo, elástico e isotrópico. Adicionalmente el estudio se limita al estado plano de tensiones donde solo actúan la cortante y la fuerza axial. La figura 5.2.a representa una viga simplemente apoyada y compuesta por una serie de franjas o laminas superpuestas una sobre otra. Cuando se aplica una carga externa las franjas deslizan una sobre otra a medida que la carga aumenta como muestra la figura 5.2.b. Si por el contrario se unen las franjas con un pegante adecuado de tal forma que se impida el deslizamiento de las franjas se podrá notar la presencia de las llamadas tensiones rasantes u horizontales o de desgarramiento horizontal figura 5.2.c. Este es un ejemplo ilustrativo porque realmente las vigas a considerar no están compuestas por franjas sino que son de una sola lamina. Para determinar la expresión clásica general de las tensiones cortantes se hará referencia a las hipótesis de la teoría de la flexión ya conocida. En la figura 5.3 se muestra una viga simplemente apoyada a la cual se le aísla un elemento diferencial efectuando dos cortes en los puntos A-A y B-B separados una distancia “ dx ” y a una distancia “ y1 “ del eje neutro. Si se efectúa otro corte de tal forma que se aislé el bloque “ abcd ” se pueden observar las siguientes fuerzas exteriores: una fuerza tangencial “ H “ en la cara inferior del bloque, una fuerza normal de compresión “ R1 “ en la cara A-A y una fuerza normal de compresión “ R2 “ en la cara B-B. La fuerza tangencial “ H” es igual a la tensión cortante por el área de aplicación: H = τ. ( b.dx ). De la teoría de la flexión se deduce que:



P P ( a ) ( b )

( c )

Figura 5.2 Cortante en vigas homogéneas

Las tensiones normales en caras A-A y B-B son:

IyM ×

=σ (5.2)

La fuerza normal en un elemento diferencial es: dAI

yMdAdF ×

×=×= σ

La resultante en cada cara comprimida es:

dAI

yMdFR

y

y

××

== ∫ ∫.max

1

1 ( )

dAI

ydMMR

y

y

××+

= ∫.max

1

2

Del equilibrio horizontal de la sección è H + R1 – R2 = 0

( )dA

IyM

dAI

ydMMdxb

y

y

y

y

××

−××+

= ∫∫.max

1

.max

1

..τ

Reagrupando términos ordenando y simplificando:

∫ ××=.max

1

..y

y

dAyI

dMdxbτ

El termino que aparece en la integral es el conocido primer momento estático de área respecto al eje neutro y tiene como símbolo Q è Organizando y reemplazando:

IbQV

IbQ

dxdM

IdxbQdM

××

=×

×=××

×=τ (5.3)



La ecuación 5.2 es presentada en la resistencia de materiales como la ecuación que determina las tensiones cortantes en materiales homogéneos, elásticos e isotrópicos. La fuerza cortante “ V “ es igual a la cortante horizontal “ H “ por equilibrio rotacional de la sección. Ya que H = V è ∫ ×= dAV τ . La variación de la tensión cortante “ V “ en una sección es parabólica como se puede demostrar al resolver la integral anterior y el valor máximo depende de la forma de la sección transversal. Por ejemplo para una rectangular de dimensiones b y h se tiene:

]

−×=×=××=×= ∫∫ 2

1

22/2

42.

2 1

.max

1

.max

1

yhb

yb

dybydAyQ hy

y

y

y

y

−×

×= 2

1

2

42y

hI

Vτ (5.4)

De la ecuación 5.3 se tiene que: Si 21h

y ±= è 0=τ Si 01 =y è hb

V×

×=23

.maxτ

Se demuestra que la cortante es máxima en el eje neutro y nula en las caras exteriores. La variación es parabólica, figura 5.3, indicando que la tensión cortante promedio se puede asumir como la fuerza cortante sobre el área transversal. y1 E.N. h τmax. b

Figura 5.3 Variación de la tensión cortante en una sección. Se considerara ahora la situación de la figura 5.4 en donde se presenta una viga simplemente apoyada de sección rectangular sometida a una carga uniforme de magnitud “ q “. Para estudiar el campo de tensiones cortantes se puede realizar el siguiente análisis: en una sección transversal a la distancia “ x “ del apoyo la fuerza cortante y el momento flector están definidos por las expresiones:



xqlq

Vx ×−×

=2

y 2

22x

qx

lqM x ×−×

×=

En donde “ x “ es el punto en consideración y varia desde x = 0.0 en los apoyos hasta x = l / 2 en la mitad de la luz. La tensión normal “ σx “y la tensión cortante “ τxy “ producidas por las cargas externas, se determinan con las expresiones 5.2 y 5.3. En cada punto de coordenadas ( x , y ) de la viga hay una pareja de valores (σx , τxy ). Considerando un elemento diferencial en los puntos 1 y 3 de la sección a-a de la figura 5.4 se concluye que la cortante es nula y solo existen tensiones normales ( tracción en el punto 3 y compresión en el punto 1). Para el elemento 2 localizado en el eje neutro la tensión normal es nula y solo se presenta cortante por lo que las tensiones principales están inclinadas un ángulo de 45° con respecto al eje X. Para aquellos elementos diferenciales entre los bordes y el eje neutro hay que considerar tensiones cortantes y normales como se indica en la figura 5.4.c generando el estado biaxial en donde las tensiones principales ( Tracción y compresión ) se pueden obtener con las ecuaciones del circulo de Mhor 5.5 o 5.6. q σxcomp. τxy σxtracc. b L / 2

a) Tensiones por cortante y flexión en una viga a Compresión simple τxy Cortante pura σx Tracción simple τxy x a b) Tensiones en una sección a-a c) Tensiones entre 2-3

Figura 5.4 Estado biaxial de tensiones en vigas ( flexión mas cortante )

1

2

3



2

2

2,1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

+±

+= (5.5)

Cuando la tensión en la dirección “ y “ es nula se tiene σy = 0 è

22

2,1 42 xyxx τ

σσσ +±= (5.6)

Se puede notar que σ1 es la tensión principal máxima positiva ( tracción) y σ2 es la máxima negativa ( compresión). Las direcciones se determinan con la expresión 5.7.

( )x

xy

σ

τφ

×−=

2.2tan (5.7)

Para determinados valores de (σx , τxy ) se obtienen los ángulos “ φ “ que indican las direcciones principales de σ1 y σ2 como se aprecia en la figura 5.4.c. Aplicando la ecuación 5.4 a los elementos diferenciales 1 y 3 se tiene que τxy = 0.0 è tan ( 2.φ ) = 0.0 que da φ1 = 0° y φ2 = 90°. Se concluye que los bordes superior e inferior de la viga la dirección de las tensiones principales coinciden con los ejes X, Y. Para el elemento 2 en el eje neutro σx = 0.0 y la ecuación 5.7 da tan ( 2.φ ) = 8 lo que significa que φ1 = φ2 = 45°. Para los elementos localizados en el eje neutro las direcciones principales cortan al eje X con una inclinación de 45°. Si se determina el ángulo F para varios puntos definidos por sus coordenadas ( x , y ) es posible trazar dos familias de curvas ortogonales cuyas tangentes en cada punto coinciden con las direcciones de las tensiones principales. La figura 5.5 muestra la representación grafica de dichas curvas para una viga simplemente apoyada y con carga uniforme. Las curvas se conocen como “ las trayectorias o isostaticas de tensiones principales ”, las líneas punteadas representan las isostaticas de compresión y las continuas las de tracción. Ambos juegos de curvas cortan al eje X con una inclinación de 45° y siempre se cruzan perpenticularmente entre si terminando la trayectoria en cada uno de los bordes superior e inferior de la viga. Lo enunciado en los párrafos anteriores evidencia el siguiente postulado: “ Ya que la resistencia del hormigón a tracción es baja en relación a la de compresión, un elemento de este material tiende a fallar en dirección perpendicular a las trayectorias de tracción indicadas es decir siguen teóricamente las isosistas de compresión como se ilustra en la figura 5.6.a. En conclusión se hace necesario colocar algún tipo de refuerzo figura 5.6.b que contribuya a mejorar la resistencia del material a estas solicitaciones”. El objetivo de este estudio es presentar la metodología adecuada para determinar este refuerzo y detallarlo correctamente en las secciones de hormigón armado.



Como previamente se ha mencionado no se debe hablar de falla por cortante ya que el patrón de fisuras no es realmente horizontal como teóricamente se debía esperar sino inclinado debido a la combinación de la cortante mas flexión. La fisuración diagonal es la característica típica del agotamiento por “ tracción diagonal ” mas conocida en el hormigón armado ( con frecuencia en la practica se usa la palabra cortante para indicar la falla por tracción diagonal, sin embargo es importante reconocer que el termino no es el mas adecuado y en lo posible se debe evitar). La falla exacta por cortante se presenta por ejemplo en las caras de contacto de estructuras compuestas en donde un elemento prefabricado soporta otro elemento vaciado en el sitio. Este sistema constructivo es frecuentemente utilizado en losas de piso de edificios y en puentes. En estos casos se deben diseñar conectores que absorban las tensiones horizontales que se generan en la interfase de contacto de los elementos. . . . . Isosistas a compresión Isosistas a tracción

Figura 5.5 Tensiones principales en vigas homogéneas, elásticas e isotrópicas

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5



. .

a) Formación de fisuras según trayectorias de tensiones principales . .

b) Patrón de fisuracion por cortante y detalle del refuerzo transversal requerido . . Hormigón a compresión Refuerzo a tracción

c) Modelo de la analogía de la cercha propuesto inicialmente por Ritter.

Figura 5.6 Detalles de la fisuracion y refuerzo a cortante del hormigón armado



5.4 LA CORTANTE EN EL HORMIGÓN ARMADO. RANGO ELÁSTICO Si se Considera el equilibrio del campo de fuerzas internas que actúan sobre un elemento diferencial a compresión “ abcd” de la figura 5.7.a se tiene:

( ) 021 =−+×× CCdxbvy En donde “ vy “ es la tensión cortante horizontal a una distancia “ y “ del eje neutro. C1 y C2 son las resultantes del campo de fuerzas internas que actúan en el elemento. Por definición su valor es igual al volumen del bloque comprimido:

( ) ( ) byKdff

C ycc ×−×+

=2

111

Además el valor de la tensión normal a compresión es:

Kdyf

f cyc

×= 1

1

Reemplazando y organizando términos se obtiene para C1 el valor de :

( )

−×

××=×−×

+×=

211

1 12

12 Kd

yKdbfbyKd

Kdyf

C cc

El momento flector que se produce en la sección 1-1 es :

brazoKdbf

M c ×

××

=2

11

Reemplazando el valor de M1 en la ecuación de C1 se obtiene:

−×=

21

1 1Kdy

brazoM

C

En forma similar se obtiene para la sección 2-2 è

−×=

22

2 1Kdy

brazoM

C

Sustituyendo C1 y C2 en la ecuación del equilibrio horizontal:

( )

−×−

−×=××

21

22 11

Kdy

brazoM

Kdy

brazoM

dxbvy



Despejando y simplificando términos:

××

−

×

−=

brazobdxMM

Kdy

vy

11 12

2

2

Por definición: dx

MMdx

dMV 12 −

== è

( )

−×

×= 2

2

1Kdy

brazobV

vy (5.8)

1 2 a b

. c d y . . e f g h dx 1 2

a) Elementos diferenciales a compresión y tracción qu v (b.dx) fc1 fc2 a b e f C1 C2 T1 T 2 c d Kd g h fc1y fc2y y c) Fuerzas a tracción dx b) Fuerzas a compresión

Figura 5.7 Tensiones cortantes en vigas de hormigón armado La ecuación 5.8 es valida para valores de “ y “ entre 0 y Kd. Se puede concluir que vy

aumenta en forma parabólica desde cero en la cara mas comprimida hasta un máximo en el eje neutro. Si y = Kd se obtiene la tensión cortante máxima è



( )brazobV

vy ×=.max (5.9)

En forma similar se deduce que la cortante vertical es igual al valor indicado en la ecuación 5.9 ya que las tensiones cortantes en dos planos perpenticulares deben estar en equilibrio. El campo de tensiones obtenido con la ecuación 5.9 no reflejan en realidad tensiones de tracción, sin embargo la magnitud relativa de los valores obtenidos es una medida del patrón potencial de fisuracion inclinada de la estructura. El código ACI-318 define en forma aproximada al brazo como igual a la altura efectiva de la viga “ d “, y la ecuación 5.9 se conoce como:

dbV

v×

= (5.10)

La teoría expuesta es el conocido enfoque clásico del diseño a cortante cuya base esta en la resistencia de materiales. Se considera importante su conocimiento porque, desde un punto de vista académico, permite aclarar algunas situaciones elementales del diseño. Los actuales enfoques permiten con mas elegancia y generalidad cubrir situaciones que la teoría clásica no permite estudiar ( la cortante en vigas profundas, mensulas y uniones viga-columna); el modelo de la analogía de la cercha y el campo de tensiones a compresión son ejemplos típicos de estos métodos. Cuando se presenta la cortante en secciones no rectangulares es necesario definir un nuevo concepto que permite facilitar el análisis de la sección. Este concepto se denomina “ flujo de cortante: q “ y se define como el producto de la tensión cortante por el ancho de la sección:

bvq ×= (5.11) qmax = V/z vmax bw q = v.b v = V/ (b.z)

Figura 5.11 Concepto de flujo de cortante en vigas de hormigón armado

Es evidente que si la sección es rectangular el flujo de cortante varia en la misma forma que la tensión cortante, pero si la sección es diferente se debe tener en cuenta la variación vertical de su ancho para la determinación del campo de tensiones cortantes. En general para secciones con aletas la ecuación 5.10 toma la siguiente forma:



dbV

vw ×

= (5.12)

5.5 CORTANTE EN SECCIONES SIN REFUERZO TRANSVERSAL 5.5.1 Generalidades En estructuras de hormigón en las cuales solo existe refuerzo para atender la flexión experimentalmente se comprueba que para cargas bajas tales que las tensiones a tracción no superan el modulo de rotura del hormigón, fr , el enfoque presentado en la resistencia de materiales es adecuado para estudiar el campo de tensiones a cortante. Con algunas pocas modificaciones la teoría también se puede utilizar en el caso de que las cargas se incrementen de tal forma que se produzca la fisuración del elemento teniendo en cuenta que la tracción la comienza a resistir el acero de refuerzo. En este estado fisurado al aumentar la capacidad estructural de carga, se aumentan las tensiones cortantes y rápidamente se comienzan a formar fisuras inclinadas cerca de los apoyos y bajo cargas concentradas. Es un hecho por lo tanto que el refuerzo por flexión solo sirve para atender las fuerzas de tracción que se generan en el interior de los elementos pero tiene poca efectividad para absorber las tensiones cortantes. 5.5.2 Criterios para definir la formación de fisuras diagonales Cuando la flexión interactúa con la cortante se crea un estado biaxial de tensiones que genera un campo de tensiones diagonal de tracción similar al representado en las figuras 5.5 y 5.6. Estas tensiones inclinadas son proporcionales a la intensidad tanto de la fuerza cortante “ V “ como del momento flector “ M “. De otra parte la mecánica estructural permite definir aquellas regiones en donde se combinan altas y bajas fuerzas cortantes con bajos y altos momentos flectores permitiendo de esta manera definir la magnitud y dirección de la tensiones diagonales. Para ilustrar en forma clara este criterio se presenta la figura 5.12 que muestra las zonas donde potencialmente se formaran las fisuras inclinadas. En primer lugar en las zonas donde la flexión es baja y la cortante es alta la fisuración de la sección estará controlada por la cortante y prácticamente no se presentaran fisuras verticales ( cerca de los apoyos y bajo altas cargas concentradas). En consecuencia la tensión cortante promedia antes de la formación de las fisuras diagonales es la indicada en la ecuación 5.10 o 5.12. La distribución exacta de estas tensiones en la altura de la sección no esta bien definida pero su valor numérico es una conservadora aproximación de la intensidad media en la sección considerada. Por lo general la carga de fisuración diagonal que se origina por los efectos combinados de cortante mas flexión es menor que la obtenida de un análisis de tensiones principales y es también menor que la resistencia a la tracción directa del hormigón. La causa de este fenómeno es: a) la presencia de tensiones de contracción en el hormigón, b) la redistribución de tensiones cortantes entre fisuras y c) el debilitamiento de la sección por el efecto del refuerzo por cortante el cual produce discontinuidades longitudinales.



P q M alto y V alto M alto y V bajo M bajo V alto a) Carga concentrada en la ½ de la luz b) Carga uniformemente distribuida V bajo V alto V bajo M alto M alto M alto

c) Viga continua con carga uniforme

Figura 5.12 Zonas típicas que definen la formación de fisuras diagonales Si en una determinada zona de una viga las tensiones por flexión son bajas mientras la cortante es alta, las tensiones diagonales se inclinaran un ángulo aproximado de 45° y su magnitud es igual a la tensión cortante con un máximo en el eje neutro. En consecuencia las fisuras diagonales se forman cerca al eje neutro, como se ilustra en la figura 5.13.a, y



reciben el nombre de “ fisuras en el alma “; se presentan cuando las tensiones diagonales son iguales a la resistencia a tracción directa del hormigón, f t. Las tensiones diagonales pueden ser mayores o iguales que la tensión cortante “ v “ y la resistencia a tracción del hormigón variar entre 0.25 y 0.42 la raíz cuadrada de la resistencia a compresión en ( MPa) con un valor promedio de 0.35. Numerosos ensayos respaldan el uso de los anteriores valores para f t llegando a la conclusión de que en regiones donde el momento es bajo y la cortante es alta las fisuras diagonales se forman para una tensiones cortante promedio “vc” un 15% inferiores a la resistencia a tracción directa del hormigón:

´´ 30.035.085.0 ccc

c ffdb

Vv ×=××=

×= ( MPa) (5.13)

El valor de “ Vc “ de la ecuación 5.13 es la fuerza cortante para la cual se observa la formación de las fisuras diagonales. La fisuración en el alma por cortante pura es poco frecuente y se presenta principalmente en vigas profundas o en zonas de inflexión de vigas continuas.

a) Fisuras en el alma por cortante pura n i 4 3 2 1

b) Fisuras diagonales por combinación de cortante mas flexión

Figura 5.13 Tipos de fisuras por flexo-cortante en vigas de hormigón armado

Cuando se consideran aquellas zonas donde tanto la cortante como el momento son altos, la situación es completamente diferente. En estas regiones el criterio es que, si la estructura esta correctamente diseñada a flexión, primero se forman las fisuras de tracción por flexión que se propagan verticalmente desde la cara mas traccionada hasta el refuerzo longitudinal. El ancho de estas fisuras y su longitud deben estar bien controlados por el diseño a flexión ya que cuando las tensiones diagonales alcanzan el valor de la resistencia a la tracción del hormigón estas fisuras se inclinan buscando el



centro de la viga y crecen mas rápidamente aumentando su ancho y longitud, figura 5.13.b. Estas fisuras se conocen como “ fisuras por flexo-cortante ” y son las mas comunes en los elementos estructurales de hormigón armado. Experimentalmente se ha comprobado que cuando se forman las fisuras por flexo-cortante las tensiones cortantes promedio son mayores que los valores indicados por la ecuación 5.10. Una explicación razonable del hecho es que en etapas previas a la formación de estas fisuras se ha disminuido el área efectiva de cortante “ b.d “ por efecto de la baja resistencia a flexo-tracción del hormigón. La magnitud de esta reducción varia considerablemente y conservadoramente el comité 326 del ACI y ASCE recomienda calcular la resistencia a cortante en estos casos con la ecuación 5.14.

´16.0. cc

c fdb

Vv ×== (MPa) (5.14)

Al comparar las ecuaciones 5.13 y 5.14 se concluye que la resistencia a cortante del hormigón armado se reduce en cerca del 50% cuando la cortante se combina valores altos del momento flector. Esto concuerda satisfactoriamente con lo observado en las pruebas experimentales. En este punto se pone en evidencia que la tensión cortante para la cual se forman las primeras fisuras diagonales en las partes superiores de las fisuras por flexión depende de la relación entre la fuerza cortante “ V “ y el momento flector “ M “ o mejor entre las tensiones cortantes “ v “ y las tensiones por flexión “ f “. Si v = K1 ( V/ b.d) en donde K1 es función de la posición donde se presenta la fisura por flexión y f = K2 ( M / b.d2) en donde K2 depende de la forma de las fisuras è

( )( ) dV

MK

dbVK

dbMK

vf

××=

×

×= 3

1

22

.

.

La expresión anterior permite en forma mas elegante indicar que la formación de las primeras fisuras diagonales dependen de la relación M / ( V.d). Si esta relación es alta se utiliza la ecuación 5.13 en caso contrario la ecuación 5.14. 5.5.3 El concepto de luz de cortante y su relación con la falla de cortante Para la definición considérese la figura 5.14 donde se muestra una viga simplemente apoyada con cargas puntuales en los tercios medios ( caso de flexión pura ), la relación M / V puede imaginarse como aquella longitud de viga “ a “ sobre la cual la cortante es constante. En el caso general, cuando la cortante varia continuamente, se determina su valor con la ecuación 5.15.

VM

a = (5.15)



Como f / v = K3 ( M / V ) è f / v = K3 ( a / d ). La relación luz de cortante “ a “ altura efectiva “ d “ ha sido también determinada experimentalmente encontrándose que esta relación es un factor que influye en forma apreciable en la resistencia a cortante de las estructuras. Al variar la relación “ a / d “ manteniendo constante las otras características se puede apreciar el modo de falla a cortante de los elementos estructurales. La figura 5.14 representa esta variación. Un análisis mas detallado de los resultados indicados en la figura 5.14 permite concluir que existen al menos cuatro tipo de fallas a cortante de acuerdo a la relación a / d:

• 0.0 < ( a / d ) < 1.0 : Viga profunda è falla a cortante pura ( v ) • 1.0 < ( a / d ) < 2.5 : Viga corta è Falla combinada ( f + v ) controla ( v ) • 2.5 < ( a / d ) < 6.0 : Viga intermedia è falla diagonal ( f + v ) • 6.0 < ( a / d ) : Viga larga è falla a flexión ( f )

Momento de falla ( V x a) Resistencia a cortante + compresión Momento resistente a flexión Resistencia a cortante + tracción 1 2 3 4 5 6 a / d Falla Fallas a tracción diagonal Fallas a cortante flexión Fallas a Tracc.+ cortante compr.+ cortante

Figura 5.14 Variación de la resistencia a cortante en función de a / d



5.5.3.1 Comportamiento a cortante de vigas profundas Cuando la relación ( a / d ) < 1.0 controla el efecto de las tensiones cortantes. Después de que se presenta la fisuración transversal, estas vigas tienden a comportarse como un arco atirantado, mientras la carga se transmite por compresión directa alrededor del área sombreada de la figura 5.15 y por la tracción del refuerzo longitudinal. Una vez se desarrollen las fisuras de cortante la viga se transforma en un arco atirantado el cual muestra una gran reserva en capacidad resistente. En este caso se pueden tener varios modos de falla como se muestra en la figura 5.15.b. Arco a Compresión Tirante a tracción

a) Acción de arco del refuerzo 3 4 5 3 2 1

b) Tipos de falla: 1=> por anclaje 2=> de apoyo 3=> de flexión 4=> borde de arco

Figura 5.15 Modos de falla en vigas profundas

• Falla de anclaje: es decir desprendimiento del refuerzo en los apoyos • Falla de apoyo: por agotamiento del hormigón en las zonas próximas al apoyo • Falla de flexión: se presenta tanto cerca de los apoyos como en las zonas

superiores del arco a compresión y donde el refuerzo entra en fluencia.



• Falla de arco por efecto de la excentricidad de la fuerza de empuje del arco que da como resultado una falla a tracción sobre el apoyo y aplastamiento del hormigón en la región inclinada.

5.5.3.2 Comportamiento a cortante de viga corta Similar al caso de vigas profundas en las vigas cortas se tiene una resistencia a cortante que excede a las tensiones que producen la fisuración diagonal. Una vez se forman las fisuras por flexión estas se propagan a la zona comprimida con el aumento de la carga externa y paralelamente se inicia la formación de una fisura por debajo del refuerzo a tracción que se prolonga horizontalmente a lo largo del refuerzo. La falla estructural es el resultado de: a) una falla de anclaje en el refuerzo a tracción llamada “ falla a tracción mas cortante” figura 5.16.a , b) una falla por aplastamiento del hormigón cerca de la cara de compresión llamada “ falla de compresión mas cortante” figura 5.16.b. Perdida de adherencia Agotamiento del por efecto de la fisura hormigón a compresión a) Falla cortante + tracción b) Falla cortante + compresión

Figura 5.16 tipos de falla a cortante en vigas cortas 5.5.3.3 Comportamiento a cortante de las vigas intermedias En este caso se forman inicialmente las fisuras verticales por flexión y posteriormente las fisuras inclinadas por cortante mas flexión. Una vez se inicia la fisuración vertical cada fisura tiende a doblarse formando una serie de segmentos o bloques de hormigón entre fisuras como se indica en la figura 5.17. Cuando el ancho superior del segmento se reduce debido al aumento en el numero de fisuras se llega al desprendimiento del segmento por efecto de la fisuración diagonal. En el instante de la falla la viga no transmite ninguna carga indicando en este caso que la formación de la fisura diagonal representa la resistencia a cortante de este tipo de vigas. Esta es la categoría de falla mas frecuente en las estructuras de hormigón armado. 5.5.3.4 Comportamiento a cortante de las vigas largas La falla se inicia por la fluencia del refuerzo a tracción y termina con el agotamiento del hormigón a compresión en aquellas regiones donde la flexión es alta. Las fisuras se



extienden verticalmente, a veces con una ligera inclinación, en toda la longitud desde los apoyos hasta las regiones de momento máximo. La resistencia de estas vigas depende completamente de su capacidad de absorber tensiones de flexión y no esta afectada por la magnitud de la fuerza cortante ( caso típico de la cortante en losas y cimentaciones de hormigón armado). T T + dT Segmento entre fisuras

Figura 5.17 Falla en vigas intermedias por tracción diagonal 5.5.4 Resistencia a cortante en vigas intermedias y largas Según el ACI la resistencia a la cual se forma la primera fisura diagonal es realmente la resistencia a cortante de la viga. Esta resistencia solo se ha podido establecer mediante el análisis estadístico de numerosas investigaciones experimentales en donde se analizan detalladamente las diferentes relaciones entre las variables que intervienen en el problema. Partiendo de la hipótesis de que la capacidad de carga de la viga se alcanza cuando las tensiones principales a tracción dadas por la ecuación 5.6 son iguales a la resistencia a la traccion del hormigón la cual a su vez es función de f´c. Se puede asumir: a) la tensión de tracción en el hormigón, ft , varia con n veces la tensión de tracción en el refuerzo ( con n = Es / Ec ), b) El modulo elástico del hormigón, Ec, varia con la raíz de f´c, c) Las tensiones promedias a cortante varían con K1 ( V / b.d) y d) las tensiones promedias a flexión varían con K2 ( M / b.d2) è

dbV

Kvdb

Vv

××=⇒

×∝ 1

2

´4

dbMf

EK

ffEE

f c

sts

s

ct ×

××=⇒×∝ρ

´

5 ct fKf ×= Reemplazando las ecuaciones anteriores en 5.6 se obtienen las tensiones principales a tracción cuando la cortante se combina con la flexión.



21

2

2

´4

2

´4´

5 22

××

+

××××××

+×

×××

=×dbVK

dbEfMK

dbMf

EK

fKs

cc

sc ρρ

Despejado la tensión cortante y organizando términos:

+

××××××

+

××××××

=××

21

2´

4´

4

5´

22K

dVEfMK

dVEfMK

K

fdb

V

s

c

s

cc

ρρ

En la ecuación anterior las variables dependientes e independientes son las siguientes:

Y = [ V / ( b.d.vf´c )] X = [ M.vf´c / (?.V.d)]

Reemplazando estos valores la ecuación resumida queda expresada así:

( ) ( )[ ]21

266

5

KXKXK

KY

+×+×=

En el estudio estadístico la cortante fue definida como aquella fuerza causante de la fisura critica diagonal de la viga y el momento “M” el correspondiente al punto superior de la fisura. Sobre la base de aproximadamente 440 ensayos, como se muestran en la figura 5.18 se pudo establecer la relación matemática entre estas dos variables utilizando los ajustes por mínimos cuadrados y usando el valor correcto del modulo elástico del acero de refuerzo ( Es = 204.000 MPa). Los resultados estadísticos de la figura 5.18 se presentan en las unidades originales en que fueron obtenidos ( libras fuerza por pulgada al cuadrado ) sin embargo su uso en el diseño debe ajustarse al sistema internacional de unidades que actualmente se esta usando. La ecuación 5.16 presenta la relación experimental para determinar la resistencia a cortante en vigas intermedias. Un punto importante en la ecuación 5.16 es la presencia de la cuantía del refuerzo a tracción como variable en la determinación de la resistencia a cortante. Las pruebas indicaban que al aumentar la cuantía se aumentaba la tensión cortante para la cual se formaba la primera fisura diagonal lo que beneficia satisfactoriamente el comportamiento del elemento. Una explicación mas razonable de esto es que a mayor cantidad de refuerzo a tracción se obtienen fisuras mas pequeñas y delgadas antes de la formación de las fisuras diagonales, dejando por tanto una mayor área de hormigón sin fisurar disponible para resistir las tensiones cortantes.

´´ 30.01716.0 cc fM

dVf

dbV

×≤

××

×+×=×

ρ ( MPa) (5.16)



´

´cw fdb

V

×× ( psi)

6.0 (psi) 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 [ 1000 (?.V.d)/ (M.vf c) ]

Figura 5.18 Resultados experimentales sobre resistencia a cortante en vigas intermedias Algunas pruebas experimentales indican que las tensiones para las cuales se forman las fisuras diagonales en zonas de alta flexión solo dependen de la cuantía del refuerzo longitudinal y de la raíz de f´c. La ecuación 5.17 es propuesta por varios investigadores de la Universidad de Cornell con mejor aproximación que la ecuación 5.14.

( ) ´3.807.0 cw

cc f

dbV

v ××+=×

= ρ (MPa) (5.17)

El intervalo de valores en la ecuación 5.17 es: è ´´ 19.008.0 ccc fvf ×≤≤× . Para cuantías de acero menores que el 1% la ecuación 5.17 da valores mas pequeños que los obtenidos con la ecuación 5.14 mientras que para valores mayores que el 1.2% es todo lo contrario. La ecuación 5.17 se considera suficientemente precisa para determinar la resistencia a cortante por fisuración diagonal en vigas con relación ( a / d ) entre 2.5 y 6.0 con resultados conservadores para valores bajos de ( a / d ) en el rango indicado. Algunos efectos favorables para la resistencia a cortante en vigas sin refuerzo transversal son : a)

5.325009.1´´

≤×

×××+=

×× ccw fM

dV

fdb

V ρ

5.3´

´

=×× cw fdb

V

0.2´

´

=×× cw fdb

V



un alto porcentaje de refuerzo a tracción y b) una lata relación ( a / d ). Desde el código ACI-318-63 se ha aceptado la ecuación 5.16 como la resistencia a cortante de vigas sin refuerzo transversal. Si se define Vc como la fuerza cortante que resiste una sección de hormigón armado sin refuerzo transversal se obtiene la ecuación 5.18.

dbfdbM

dVfV wcw

u

uwcc ×××≤××

×××+×= ´´ 30.01716.0

ρ (MPa) (5.18)

Esta es la ecuación 11.5 del código ACI y difiere de la equivalente en la NSR-98 porque esta ultima la trabaja a nivel de tensiones y no de fuerzas como debe ser. El uso de la cortante y el momento mayorados, Vu - Mu , en lugar de los valores nominales, Vn - Mn , introduce pequeñas diferencias ya que ( Vu / Mu ) no es exactamente igual a la ( Vn / Mn ) por la diferencia en los coeficientes de minoración de resistencia en flexión y cortante. Se puede notar como en la formula 5.18 se usa la cuantía del refuerzo en el alma, ?w , para considerar las secciones con aletas. El valor de ( Vu d / Mu ) no debe ser mayor que 1.0 excepto cuando la sección este adicionalmente sometida a fuerza axial. El uso de la ecuación 5.18 en el diseño a cortante de vigas continuas, figura 5.19, no es realmente claro a la luz de los resultados experimentales. La acción de riostra que se ejerce en las zonas donde hay cambio de momento de positivo a negativo modifican sustancialmente la relación entre el momento y la cortante por lo que algunos investigadores recomiendan conservadoramente utilizar en estas zonas la ecuación 5.14 o 5.17. Riostra a2 a1 M (+) M (-)

Figura 5.18 Fisuración y formación de riostra a compresión en vigas continuas



5.5.5 Equilibrio de fuerzas en secciones fisuradas diagonalmente Comparadas con las fisuras por flexión, que normalmente se aceptan en el diseño ya que no afectan la resistencia estructural, las de tracción diagonal se deben controlar eficazmente ya que afectan el comportamiento de la estructura y su modo de falla. Los estudios experimentales han concluido que:

• Una vez se formen las fisuras diagonales estas se propagan inmediatamente en toda la sección transversal dividiendo el elemento en dos partes cuando se presenta la falla. El colapso es por lo tanto súbito y ocurre principalmente en elementos esbeltos cuando la relación luz / altura es mayor o igual a 8.0. La ausencia del refuerzo transversal en estos casos evidencia la falla catastrófica, por lo que es buena practica colocar un refuerzo transversal mínimo, aunque los cálculos indiquen que no se requiere ( similar al diseño a flexión ), en aquellas zonas donde potencialmente se espera la formación de fisuras diagonales logrando así una mayor confiabilidad y garantizando un aviso previo de falla. Los códigos admiten que solo en aquellas estructuras con altos factores de seguridad contra la falla por cortante como en el caso de losas y cimentaciones se puede omitir este refuerzo.

• Alternativamente, las fisuras diagonales pueden propagarse hasta la zona comprimida produciendo una falla de características menos criticas que las del caso anterior. Este fenómeno es frecuente en vigas cortas y profundas donde se tienen bajas relaciones luz / altura.

En la figura 5.19 se muestra la falla típica diagonal del hormigón armado. El propósito ahora es analizar el campo de fuerzas que actúan en esta sección fisurada. X1 P1 Vcz y a C Va Vay z Vax As b T Vd R1 m p xa

Figura 5.19 campo de fuerzas en elementos fisurados diagonalmente



De la figura 5.19 la cortante externa en cualquier punto interior es: Vext = (R1 – P1) en donde R1 es la reacción en el apoyo y P1 la carga aplicada. Esta cortante se debe equilibrar con las fuerzas internas que resisten esta solicitación y las cuales se pueden clasificar en las siguientes:

• Vcz: Cortante que resiste el hormigón sin fisurar • Va: Cortante debida a la trabazón entre agregados en la zona fisurada • Vd: Cortante de dovela por la acción del acero de refuerzo • Dependiendo de la relación l / h se tiene al acción de arco

Cada una de estas fuerzas contribuye independientemente a la resistencia a cortante de la estructura. Experimentalmente se ha comprobado que: Vcz aporta del 20 al 40 % de resistencia, Va aporta entre un 33 y 50 % y Vd entre un 15 y 25 %. La fuerza cortante interna es: Vint = Vcz + Vay + Vd. Del equilibrio de fuerzas verticales se tiene: Vext. = V int. è Vext. = Vcz + Vay + Vd. Si se toman momentos con respecto al punto “ a ” en la intersección de “Vcz” con “C” los momentos interno y externo son:

( )111., xxPxRM aaexta −×−×= mVpVzTM ada ×−×+×=int, En donde “p” es la proyección horizontal de la fisura diagonal y “m” es la distancia entre el eje de “Va” y el punto “a”. En el equilibrio èMext. = Mint.

mVpVzTM adexta ×−×+×=., Si se desprecian las fuerzas “Vd” y “Va” las cuales disminuyen a medida que aumenta el ancho de las fisuras se comete un error pequeño y se obtiene:

z

M

z

mVpVMT extaadexta .,., ≅

×+×−=

En definitiva la formación de la fisura diagonal produce una redistribución de tensiones internas que tienen las siguientes características:

• Antes de la fisuración, las tensiones cortantes promedias de la sección por el punto “a” tienen un valor de [Vext. / (bw.d)]. Después de la fisuración la cortante externa es resistida por la acción conjunta de Va, Vd y Vcz. A medida que se aumentan la tensiones externas tanto Vd como Va disminuyen lo que hace aumentar la cortante en la zona de hormigón sin fisurar.

• La fisura diagonal descrita anteriormente llega al eje neutro y se propaga a la zona comprimida antes de ser detenida por el campo de tensiones a compresión. En consecuencia la resultante “C” de las tensiones normales de compresión actúa sobre una área mas pequeña “b.y” respecto al área inicial. Se concluye por tanto que la formación de la fisura diagonal ha hecho aumentar las tensiones de compresión del hormigón.



• Antes de la fisuración diagonal, la fuerza de tracción del refuerzo,”T”, en el punto “b” se debe solo al momento flector en el punto “b” y es proporcional a su valor. Con la fisuración diagonal el valor de “T” se debe al momento en el punto “a” y también es proporcional a el. Como el momento en “a” evidentemente es mayor que el momento en “b”, la formación de la fisura ha producido un aumento súbito de las tensiones en “b”.

Si tanto el acero como el hormigón están en capacidad de resistir el aumento de tensiones, el equilibrio de la sección establecerá una redistribución interna de estas y el elemento soportara una mayor carga antes de la falla. Existen varias situaciones que se deben analizar en el instante de la falla: a) Cuando la cantidad de acero a tracción es apenas la requerida para atender la flexión, cuando se aumenten las tensiones en el refuerzo por efecto de la fisuración produciendo la fluencia y finalmente la falla; b) si el diseño tuviera en cuenta este efecto el hormigón en la zona comprimida fallaría por aplastamiento al aumentar la cortante y al flexión. En vigas profundas, a diferencia de las vigas intermedias, después de la formación de las fisuras, la estructura sigue tomando carga. Sin embargo esta reserva de resistencia es errática y no es recomendable tenerla en cuenta. Las pruebas de laboratorio indican e estos casos situaciones con alto grado de variabilidad mostrando unas veces alta reserva de resistencia y en otros casos valores menores a los esperados. 5.6 CORTANTE EN SECCIONES CON REFUERZO TRANSVERSAL 5.6.1 Generalidades Una de las principales exigencias en el diseño estructural es garantizar que una sección desarrolle toda su capacidad resistente en flexión y esta no se vea limitada por una eventual falla prematura por cortante. Análogamente el diseñador debe procurar que su estructura en caso de ser sobrecargada no colapse en forma súbita, como en el caso de la rotura por cortante, sino que muestre una adecuada deformación antes del colapso o derrumbe total. Cuando una falla estructural se inicia por flexión es síntoma de que se realizo un buen diseño ya que el acero de refuerzo comienza a fluir y gradualmente se incrementan las deformaciones y el ancho de fisuras. Si por el contrario esta no es la característica el riesgo es alto en el instante de una sobrecarga porque el agotamiento por cortante no da signos visibles de alarma. El uso del refuerzo por cortante o transversal es el mecanismo actual para aumentar la reserva de resistencia de una estructura ante una eventual falla por cortante. 5.6.2 Tipos de refuerzo a cortante La forma típica de atender las tensiones cortantes en el hormigón es colocando acero en forma de aros rectangulares que corten las potenciales fisuras diagonales que se formen por efecto del campo de tensiones a flexotraccion como se muestra en la figura 5.20.a. Este refuerzo conocido como “estribos” se amarra adecuadamente con el acero de



flexión conformando una cercha espacial ( canasta o jaula es la palabra mas utilizada en la practica) en donde las barras superiores e inferiores atienden la flexión y los aros o amarres transversales la cortante. a) Estructura con estribos verticales b) Estructura con estribos inclinados

c) Tipos de estribos en U de dos ramas

d) Estribos en U de varias ramas

e) Barras longitudinales dobladas

Figura 5.20 Diferentes tipos de refuerzo transversal



Los estribos pueden colocarse en posición normal o inclinada respecto a la dirección del refuerzo por flexión y deben separarse entre si una distancia conveniente. Se utilizan barras corrugadas # 3 cuando el refuerzo por flexión es menor que la # 11 y barras # 4 en caso contrario. El estribo típico a cortante es en forma de U y puede tener mas de dos ramas de acuerdo a la capacidad requerida, el estribo cerrado se utiliza para atender la cortante mas la torsión y es también utilizado frecuentemente en los diseños estructurales. Alternativamente se puede utilizar como refuerzo transversal parte del refuerzo longitudinal, doblando este un ángulo mayor o igual 30° con la horizontal en aquellos puntos donde no se requiera para atender las tensiones por flexión, figura 5.20.d. Esta aplicación es frecuente en vigas continuas donde parte del refuerzo positivo se puede doblar buscando el refuerzo negativo conformando este sistema de refuerzo transversal. Sin embargo su utilización es bastante restringida, solo se conocen aplicaciones en vigas y losas de puentes, por los altos costos en figuración y detallado que obligan a continuar utilizando los aros rectangulares convencionales. El uso de mallas electrosoldadas como refuerzo transversal es utilizado en muros y vigas profundas, elementos prefabricados y estructuras pretensadas. 5.6.3 Función del refuerzo transversal. Analogía de la cercha El comportamiento de las estructuras que fallan a cortante, cuando estas tienen refuerzo transversal, puede representarse y explicarse mediante el modelo matemático de la analogía de la cercha propuesto por Ritter a fines del siglo XIX. En la figura 5.21.a y d se muestra dos tipos de cerchas clásicas: Warren y Prandtl cuya característica principal bajo carga es que las cuerda superior está a compresión y la inferiores a tracción mientras que los elementos que conectan estas cuerdas ( los puntales y las diagonales) están alternadamente sometidos a compresión y a tracción. En el caso de las estructuras de hormigón armado, figuras 5.21.c y f, la resistencia a cortante se aumenta con el uso del refuerzo transversal en forma similar al comportamiento de los elementos en la cercha. El refuerzo a cortante debe quedar adecuadamente anclado y doblado en al zona a compresión para garantizar su eficiencia mecánica. La acción del refuerzo transversal, sea este vertical o inclinado, puede visualizarse mejor con las graficas 5.21.b y e. Aunque la analogía de la cercha ha sido tradicionalmente la mejor interpretación de la importancia del refuerzo transversal en el hormigón armado, es claro que realmente este modelo no explica exactamente la forma como se transmite la fuerza cortante en los elementos. Efectivamente el refuerzo transversal aumenta la capacidad a cortante pero tal refuerzo contribuye muy poco a la resistencia a cortante antes de la formación de las fisuras diagonales. Experimentalmente se ha comprobado que para suministrar una resistencia a cortante adecuada, de tal forma que haya una redistribución de fuerzas internas en la sección en donde eventualmente se formen las fisuras diagonales, es necesario que los estribos cumplan tres requisitos básicos:



Cuerda a compresión C T C T C T T C T C T C Cuerda a traccion

a) Cercha metálica tipo Warren Hormigón a compresión Refuerzo a tracción

b) Analogía de cercha. Estribos inclinados

c) Estructura de hormigón armado con estribos inclinados

Figura 5.21 Modelo de la analogía de la cercha para explicar el refuerzo transversal



Cuerdas a compresión Cuerda a tracción

d) Cercha metálica tipo Prandtl Hormigón a compresión Refuerzo a tracción

e) Analogía de cercha. Estribos verticales

f) Estructura de hormigón armado con estribos verticales

Figura 5.21 Modelo de la analogía de la cercha. Continuación



• Resistir aquella parte de la cortante externa ( Vext.), que no esta en capacidad de soportar el hormigón ( Vc). El mecanismo se explicara mas adelante.

• Detener o impedir el crecimiento de las fisuras diagonales y mantener el aporte de la trabazón de agregados ( Va), en la resistencia a cortante. Esto permite también mantener mas área a compresión de hormigón sin fisurar para resistir la combinación de la cortante mas la compresión (Vcz).

• Sujetar adecuadamente las barras de refuerzo por flexión ( longitudinales) y desde luego aumentar la capacidad de la acción de dovela (Vd).

Además de estas tres funciones principales, la acción de dovela en los estribos puede transferir una pequeña fuerza de tracción a través de la sección fisurada y el efecto de confinamiento del estribo sobre el hormigón a compresión aumenta ligeramente la resistencia estructural del elemento. Si la cantidad de refuerzo transversal es baja ( valores cercanos a la cuantía mínima) este acero entrara en fluencia una vez se forme la primera fisura diagonal y la estructura fallara inmediatamente. Si por el contrario es relativamente alta se presentara una falla por la combinación de cortante mas compresión antes de la fluencia de los estribos. La cantidad optima de acero a cortante debe ser tal que a máxima exigencia tanto el refuerzo transversal como el hormigón en la zona a compresión continúen transmitiendo la cortante inclusive después de la formación de la primera fisura diagonal hasta que el acero transversal entre en fluencia con el fin de asegurar una falla gradual del elemento. Como se puede notar de lo indicado anteriormente, una vez se forme la primera fisura diagonal el comportamiento estructural es complejo y depende mucho de las características principales del campo de fisuras ( longitud, inclinación, localización, ancho). Esto para reconocer la naturaleza variable del problema y la dificultad que ha tenido en la formulación de unas bases racionales para predecir el comportamiento. Algunos trabajos recientes ( 1999) han mostrado como los modelos del puntal y del tirante, el campo modificado de tensiones a compresión, el análisis limite y la mecánica de la fractura permiten dimensionar y detallar correctamente las estructuras sometidas a cortante demostrando mayor elegancia y claridad conceptual en los diseños. 5.6.4 Enfoque clásico de la resistencia a cortante En principio el problema que se plantea es como lograr determinar la resistencia a cortante ( Vn: cortante nominal ) de una sección de hormigón armado con refuerzo transversal. La aproximación clásica propuesta por el ACI representa en primera instancia una solución practica y razonable. Según este instituto la cortante nominal se puede considerar como la suma de la cortante que resiste el hormigón sin refuerzo transversal ( Vc) mas la cortante que aportan los estribos ( Vs). La expresión 5.19 representa esta conocida formula de diseño.

scn VVV += (5.19)

Experimentalmente se ha comprobado que antes de la formación de las primeras fisuras diagonales el acero transversal es inefectivo y el comportamiento de la sección es similar al del hormigón armado sin refuerzo transversal. Una vez se formen las fisuras



diagonales los estribos absorben las fuerzas de tracción que se generan a cada lado de la fisura y el comportamiento de la sección cambia sustancialmente. Para iniciar se analizara el campo de fuerzas internas de la figura 5.22 donde se representa el caso general de una estructura reforzada transversalmente. Los estribos se arman con barras inclinadas un ángulo “ a ” respecto a la horizontal y la fisura diagonal se inclinada un ángulo “ ? “ también respecto a la horizontal. s Vcz C a Vsi z a Va T Vd R1 ? i p

Figura 5.22 Fuerzas internas en una estructura de hormigón armado con estribos Cada estribo que corta la fisura diagonal ejerce una fuerza de magnitud “Vsi = Av . fv ”, en donde “ Av “ es el área de acero que corta la sección fisurada ( en el caso de estribos de dos ramas en U è Av = 2 x Área de la barra), y “ fv “ es la tensión de tracción en cada barra que cruza la fisura. Del equilibrio vertical se obtiene: Vext. = V int. è

( )αsenVVVVV sdyaczext ×+++= ,. En donde Vs = ? Vsi = n ( Vsi ) = n [ Av.fv.sen (a) ]: es la fuerza de tracción que ejercen los estribos que cortan la fisura y “ n “ es el numero de estribos que atraviesan la zona fisurada. Si se define “ i “ como la longitud diagonal de la fisura y “ a “ es la separación entre estribos se cumple que : n = ( i / a ) La figura 5.23 muestra cualitativamente el efecto del refuerzo transversal en la redistribución de las fuerzas internas en la estructura. Como se puede ver, antes de la formación de las fisuras a flexión, solo la cortante que aporta el hormigón a compresión (Vcz) es la responsable de la resistencia de la sección. Si se aumenta la carga gradualmente comienzan los aportes de la acción de dovela (Vd), la trabazón de agregados (Vay) y finalmente la cortante que aportan los estribos (Vs). En resumen, solo después de la fisuración diagonal comienzan a trabajar los estribos con una cortante



igual a Vs = n Av fv, mientras las otras cortantes internas permanecen constantes. Cuando el acero de los estribos inicia la fluencia: fv = fy èVs = n Av fy. Sin embargo debido a la ampliación de las fisuras con las cargas y al efecto de hendimiento del hormigón que rodea el refuerzo Vd y Vay decrecen precipitándose la falla. Vint. Vcz + Vd + Vay + Vs Vcz Vd Vcz + Vd + Vay Vay Vcz Vs Vext. Fisuración en Fluencia Flexión de estribos Fisuración diagonal Falla

Figura 5.23 Redistribución de las fuerzas internas en secciones con estribos Mientras que la cortante absorbida por el refuerzo cuando entra en fluencia se puede conocer en forma precisa ( Vs = n Av fy), la cortante que aportan los otros componentes no es fácil de estimar. Los resultados de muchos ensayos de laboratorio han confirmado que antes de la falla se puede asumir conservadoramente que (Vcz + Vd + Vay) es igual a la cortante de fisuración del hormigón sin refuerzo transversal (Vc) obtenida experimentalmente por la ecuación 5.14 o 5.16. Si en la ecuación 5.19 se conoce ya el valor de “Vc” el procedimiento a seguir para determinar la resistencia nominal a cortante con refuerzo transversal es obtener una expresión para “Vs”. De la figura 5.22 se deduce que “ i =[ p / cos(?) ]”, además el valor de “ a “ depende de “ s “ y los ángulos “ a “ y “ ? “. Para su determinación obsérvese la figura 5.24 que muestra la región fisurada entre dos estribos consecutivos.



Estribo (i+1) Estribo i a B x ? a A O C s1 s2 s

Figura 5.24 Región encerrada por dos estribos consecutivos Considerando el triangulo ABC y trazando una línea BO perpenticular a la recta AC è

( ) ( )θθ cot11

∗=⇒= xssx

Tan y ( ) ( )αα cot22

∗=⇒= xssx

Tan

( ) ( )[ ]αθ cotcot21 +∗=+= xsss

Si se aplica la ley de senos al triangulo ABC:

( ) ( )[ ]θαα +−=

180sens

sena

è ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]αθθθαα

cotcot +∗=

+∗

=sen

ssen

sensa

Reemplazando el valor de “ a “ en la ecuación “ n = i / a” se obtiene:

( )

( ) ( ) ( )[ ]{ }

( )( )

( ) ( )[ ]αθθθ

αθθ

θ cotcotcos

cotcot

cos +∗∗=

+∗

=sen

sp

sens

p

n

( ) ( )[ ]θα tancot1 ∗+∗=∴sp

n

Finalmente se sabe que “ Vs = n Av fv sen(a)” è

( ) ( ) ( )[ ]θαα tancos ∗+∗∗∗= sensp

fAV vvs



La falla a cortante se presenta cuando el acero de los estribos alcanza el punto de fluencia, fv = fy. Si se asume que “p = d” es decir que la longitud de la proyección horizontal de la fisura es igual a la altura efectiva, se obtiene la expresión general para determinar la resistencia a cortante suministrada por el refuerzo transversal.

( ) ( ) ( )[ ]θαα tancos ∗+∗∗∗= sensd

fAV yvs (N) (5.20)

Tradicionalmente se ha supuesto que el ángulo “?” de inclinación de la fisura es de 45°. Sin embargo experimentalmente se ha observado que su valor varia en lo largo de los elementos estructurales. Algunos estudios recomiendan usar un valor de 38° pero fácilmente se comprueba que usar un valor menor del ángulo significa tener mas estribos por fisura lo que se traduce en menos refuerzo transversal. Por esta razón es seguro mantener el valor de 45° en la inclinación de la fisura.

( ) ( )[ ]αα cos+∗∗∗

= sends

fAV yv

s (N) (5.21)

En el caso especial de estribos verticales, donde a = 90° la ecuación 5.21 se reduce a:

s

dfAV yv

s

∗∗= (N) (5.22)

La expresión 5.21 esta respaldada por una amplia base experimental en donde se ha comprobado que tal ecuación predice conservadoramente el aporte del refuerzo transversal en la resistencia a cortante del hormigón armado. Los valores obtenidos en los ensayos son en promedio un 45% mas altos que los indicados en la ecuaciones y muy pocos dan por debajo. Además es de anotar que en la deducción de la ecuación 5.21 se parte del hecho de que los estribos deben estar separados una distancia “ s ” tal que al menos uno corte la fisura diagonal. La presencia de los estribos no significa un aumento en la resistencia a cortante de la sección, esto se demuestra fácilmente ya que la carga externa que produce la fisura diagonal es la misma con y sin refuerzo transversal. Lo que básicamente se debe controlar en el diseño es la separación máxima de estribos a lo largo de la estructura fijando unos limites superiores para “ s “ de tal manera que se asegure su efectividad. 5.6.5 Enfoques modernos para el diseño a cortante 5.6.5.1 Generalidades El método del numeral anterior es esencialmente empírico y a pesar de que es un procedimiento seguro, la aproximación “ Vn = Vc + Vs” carece de un modelo físico apropiado para estudiar el comportamiento de aquellas estructuras sujetas a cortante mas flexión. Adicionalmente se ha reconocido que no es aplicable en todos los casos prácticos por lo que el ACI recomienda rutinas diferentes para “ vigas profundas”, “ vigas con carga axial”, “ mensulas”, “ regiones bajo altas cargas concentradas”. 5.6.5.2 Modelo de la cercha



Aplicado al caso de vigas sometidas a flexión y cortante, este modelo permite una visión clara del campo de fuerzas que actúan en al sección y suministra unas excelentes bases para el detallado del refuerzo. La figura 5.25.a ilustra el patrón de fisuras inclinadas que se presentan cuando la cortante se combina con la flexión en una estructura de hormigón armado. q C T R1

a) Patrón de fisuras inclinadas por flexión + cortante a b C T R1 a b

b) Modelo de cercha aplicado a la combinación flexión + cortante

Figura 5.25 Modelo de cercha aplicado a la falla flexión + cortante

La figura 5.25.b representa la acción de cercha en donde la cuerda superior y las cuerdas diagonales es el hormigón a compresión, la cuerda inferior y las verticales el acero a tracción tanto en el alma como en los bordes. La cercha esta formada por pedazos de estribos cortados por la sección “ a-a “ y fajas diagonales de hormigón a compresión cortadas por la sección “ b-b “. La figura 5.26 muestra una representación mas realista pero mas compleja de la cercha de la figura 5.25.b. En esta se pueden apreciar los cinco componentes básicos del modelo: a) Los puntales, b) Los tirantes, c) los nudos, d) el abanico a compresión y c) el campo a compresión diagonal. Los puntales son las diagonales que representan los elementos de hormigón a compresión que transmiten la carga axial. Los tirantes son los elementos que transmiten las fuerzas de tracción. Los nudos son los elementos de intersección y que continuidad a la transferencia de la carga. El abanico a compresión, es aquella zona cercana al apoyo



en donde hay transferencia de tensiones de compresión y el campo a compresión diagonal es la zona donde los puntales transfieren las fuerzas entre estribos. Nudos Campo a compresión diagonal C ? T R1 Tirantes verticales Puntales a compresión a tracción Abanico a compresión

Figura 5.26 Modelo real de la cercha El ángulo ? de los puntales no necesariamente es de 45° como se asume en la practica corriente del ACI para el diseño de los estribos, por le contrario varia en un rango de 25° a 65° dependiendo de la prolongación del refuerzo. Se asume en este modelo que todos los estribos entran en fluencia cuando se alcanza la falla del elemento. Conocidas las fuerzas en todos los elementos verticales, la cual es “ Av fy “ la cercha de la figura 5.26 es estáticamente determinada. Las ecuaciones de diseño deducidas en este modelo son de aplicación general en contraste con el enfoque clásico. 5.6.5.3 Teoría del campo a compresión Este es un método general de diseño a cortante donde a partir de las relaciones reales tensión vs deformación de los materiales y las consideraciones de equilibrio y compatibilidad, es posible predecir no solo la carga de falla sino también la respuesta completa carga vs deformación del elemento. Los componentes básicos de la teoría del campo a compresión, aplicado a elementos que soportan flexión y cortante, se puede ilustrar en la figura 5.27.a. En esta, se presenta el patrón de fisuras inclinadas en una viga de hormigón armado con estribos verticales simplemente apoyada y sometida a una carga uniforme “ q “. En la figura 5.27.b se muestra como la cortante “ V “ en una sección a una distancia “ x “ del apoyo es equilibrada por la componente vertical de las fuerzas a compresión diagonal en las fajas inclinadas de hormigón. La componente horizontal de las fuerzas a compresión debe equilibrarse por la fuerza de tracción total en el acero de refuerzo por flexión. En la figura 5.27.c se muestra el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan vertical y horizontalmente. El ángulo “ ? “ es la inclinación de las fajas diagonales a compresión y “ dv “ es la altura efectiva de la sección. Se puede notar, de la figura 5.27.e, que el refuerzo



transversal en la longitud “ dv / tan (?) “ debe estar diseñado para resistir la cortante mas baja en el tramo, es decir la cortante en el extremo derecho. T

a) Patrón de fisuración a cortante + flexión ?N / 2 V / sen ( ?) V T ? ?N / 2 V / tan (?) x b) Fuerzas de tracción c ) Equilibrio fuerzas cortantes dv cos(?) dv T Av fy ? dv / tan(?) x d) Fuerzas de compresión diagonal e) Diagrama de cuerpo libre

Figura 5.27 Teoría del campo a compresión diagonal



Del equilibrio horizontal en la figura 5.27.c se tiene:

( )θtanV

N =∆ (N) (5.23)

De la figura 5.27.d la fuerza que equilibra la tensión a compresión diagonal es:

( )( ) ( ) ( ) ( )θθθ

θcoscos ∗∗∗

=∗∗

=sendb

Vdb

senV

fvv

d

Si los estribos están separados uniformemente una distancia “ s “ è la fuerza en cada estribo es la cortante en la sección sobre el numero de estribos:

( )

( )vv

yv dsV

s

dV

fAθ

θ

tan

tan

∗∗=

=∗ (N) (5.24)

Al igual que la hipótesis del ACI, si se asume conservadoramente que el ángulo de inclinación de la fisura es de 45° y si “ dv = d “ se obtiene una ecuación similar a la deducida en el enfoque clásico ( ecuación 5.22). Se ha reconocido en general que el ángulo de inclinación de los puntales diagonales no necesariamente es 45° y según varios investigadores este puede ser elegido por el diseñador en un rango de 15° a 75° asegurando utilizar el mismo valor en todos los cálculos de la sección. Es evidente al observar la ecuación 5.23 y 5.24 que si se utiliza un ángulo bajo hay menos refuerzo vertical y mas refuerzo horizontal, adicionalmente la fuerza de compresión diagonal aumenta. Por el contrario si se usa un ángulo grande se obtiene mas acero vertical que horizontal y las diagonales estarán menos tensionadas. Desde un punto de vista económico es recomendable usar un valor ligeramente inferior a 45° considerando siempre no ir a sobretensionar las diagonales a compresión. Los requisitos para usar una cantidad adicional de acero longitudinal debido a la compresión diagonal no son explícitamente reconocidos en el ACI. Sin embargo este si recomienda prolongar el acero a flexión una distancia “ d “ o “ 12*d “ mas allá del punto en el cual no se requiere para atender la flexión. Una de las razones que se dan para utilizar este criterio es la redistribución de tensiones que se producen en el momento en que se presenta la fisuración diagonal. 5.6.6 Procedimiento del ACI para el diseño a cortante 5.6.6.1 Generalidades El diseño a cortante, al igual que el diseño a flexión, de cualquier sección de hormigón armado debe cumplir la ecuación general de seguridad 5.25:



un VV ≥∗φ (5.25)

El valor de “ F “ es de 0.75 para cortante y torsión, “ Vn” es la resistencia nominal a cortante del hormigón armado, ecuación 5.19 y “ Vu” es la cortante externa producida por las cargas mayoradas. La cortante nominal de la ecuación 5.19 contiene la contribución del hormigón “ Vc “ mas el estribo “ Vs”. La contribución del hormigón esta representada por la ecuación 5.18 en su forma general. Sin embargo existen razones técnicas y experimentales suficientes que cuestionan su uso por un lado por las dificultades practicas cuando se requieren revisiones rápidas estructurales ya que se amplían innecesariamente los cálculos sin lograr mayor precisión y por otro lado están los antecedentes experimentales que indican la baja correlación de la ecuación con el problema. El ACI consciente de este hecho recomienda el uso de expresiones mas sencillas y practicas con resultados satisfactorios como la 5.26. ( )dbfV wcc ∗∗∗= ´17.0 (N) (5.26) Esta expresión es ligeramente superior a la ecuación 5.14 para evaluar la resistencia a cortante del hormigón armado en zonas de alta cortante y flexión. Algunos investigadores han encontrado bajas correlaciones de la ecuación 5.26 con los valores de la resistencia real a cortante para cuantías de refuerzo a flexión ?w<0.012 recomendando en estos casos usar la ecuación 5.17. Por ejemplo para cuantías mínimas en flexión, donde ?w= 0.0033, se obtienen valores de “ Vc = 0.10*v f´c ( bw*d)” el cual es solo el 60% del valor dado en la ecuación 5.26. 5.6.6.2 Cuantías limites de refuerzo transversal Con el fin de garantizar que el acero del refuerzo transversal entre en fluencia cuando se alcanza la resistencia de la sección es necesario que la cantidad de refuerzo no sea ni inferior ni superior a unos valores previamente establecidos por la practica. El código ACI recomienda que cualquier sección de hormigón armado sometida a cortante debe tener como mínimo la cantidad de acero indicada en 5.27.

y

wv f

sbA

∗∗= 35.0.min, (mm2) (5.27)

En donde Av min : Área mínima de refuerzo transversal ( mm2) s: espaciamiento del acero transversal ( mm) fy: Resistencia en fluencia del acero transversal ( MPa) bw: Ancho de la sección transversal ( mm) Si se despeja de la ecuación 5.22 el valor de “ Av “ y se iguala al de la ecuación 5.27 se obtiene la cortante que aportan los estribos mínimos:



sbV ws ∗∗= 35.0min, (N) (5.28) Si se expresa 5.28 en función de la tensión cortante se obtiene:

35.0min, =sv (MPa) (5.29) De igual forma para garantizar que la cantidad de refuerzo transversal no sea demasiado alta para congestionarlo en la sección è

´.max, 66.0 cs fv ∗= (MPa) (5.30)

Por lo general se recomienda dimensionar las secciones de hormigón armado sometidas a cortante de tal forma que la cuantía de refuerzo transversal mantenga un valor promedio de vs entre 0.20 y 0.30vf´c. Cuando la cortante externa es baja y su valor no supera la cantidad “ F.Vc “ teóricamente la sección no requiere refuerzo transversal. Sin embargo, por las características variables de la cortante los códigos son cautelosos y recomiendan colocar el refuerzo mínimo dado en la ecuación 5.27. Esta recomendación se puede obviar si la cortante externa es inferior a “ F.Vc / 2 “. Algunas excepciones a esta regla son las losas y zapatas, pisos nervados y vigas anchas. 5.6.6.3 Secciones criticas a cortante En todos los trabajos experimentales en que se ha fundamentado el diseño a cortante es frecuente encontrar como sección critica, para el calculo de la resistencia nominal, aquella donde se inicia la primera fisura diagonal. Como muchas pruebas se realizaron sobre vigas simplemente apoyadas y condiciones típicas de carga era poco realista extrapolar directamente estos resultados a la practica común. Al analizar los resultados obtenidos para proponer la ecuación 5.18 se logro proponer lo siguiente:

• Para relaciones (a / d ) > 2.0 se espera que la fisura diagonal se inicie a una distancia “ d “ del punto de máximo momento.

• Para relaciones ( a / d ) < 2.0 se espera que la fisura diagonal se presente en la mitad de la luz.

Para una variación gradual de la cortante ( similar al caso de carga uniformemente distribuida) el ACI permite asignar como sección critica el punto correspondiente a una distancia “ d “ de la cara del apoyo, reconociendo el hecho que la reacción en el apoyo la cual esta en la misma dirección de la cortante aplicada introduce compresión en los extremos del elemento. Esta compresión se presenta cuando la viga, sometida a las cargas verticales externas, se apoya en muros o columnas. Sin embargo se debe colocar refuerzo por cortante entre la cara del apoyo y la distancia “ d “ usando los mismos requisitos que en la sección critica. La sección critica se puede considerar en la cara del apoyo cuando se presente uno de los siguientes casos:



• La cortante mayorada “ Vu “ disminuye gradualmente desde la cara del apoyo, pero el apoyo es en si mismo una viga la cual no genera compresión en el extremo del elemento.

• Cuando se tiene una carga concentrada entre la cara del apoyo y la distancia “d” • Cuando un determinado tipo de carga puede producir una potencial fisuración

inclinada en la cara del apoyo y prolongarse diagonalmente dentro de este tal como lo ilustra la figura 5.28

Figura 5.28 Fisuración inclinada por efecto de la reacción del elemento 5.6.6.4 Requisitos y categorías del diseño a cortante Es requisito previo del diseño a cortante disponer del diagrama envolvente de fuerzas cortantes “ Vu “ que actúan en el elemento estructural. Desde un punto de vista practico es mejor dibujar el diagrama de “ Vu “ en lugar del de “ Vn “ porque se evitan errores debido al manejo del coeficiente F. El elemento a diseñar se puede dividir en tramos que pueden variar entre la cuarta y la sexta parte de la luz. Para cada tramo se analiza el mayor valor de “ Vu “ concluyendo lo siguiente:

• Si “ Vu < F .Vc / 2 “è el tramo no requiere refuerzo a cortante. • Si “F .Vc / 2 < Vu < F .Vc “ è Se requiere refuerzo mínimo a cortante excepto

en los casos indicados en 5.6.6.2. En este caso el Av requerido es el Av mínimo dado en la ecuación 5.27. El espaciamiento máximo en este tramo debe ser menor que “ d / 2 “ o 600 mm.

• Si “F .Vc < Vu < F .(Vc + Vs min) “ èSe requiere el mismo refuerzo a cortante de la anterior categoría, excepto cuando se presentan situaciones especiales como las indicadas en 5.6.6.3.

• Si “F .(Vc + Vs min.) < Vu < F .[ Vc + 0.33 * vf c *( bw*d)] “ è Se requiere un refuerzo por cortante mayor que el mínimo de magnitud Av y separado una distancia menor que “ d / 2 “ o 600 mm.

• Si “F .[ Vc + 0.33 * vf c *( bw*d)] < Vu < F .[ Vc + 0.66 * vf c *( bw*d)] èSe requiere refuerzo por cortante de magnitud Av y el espaciamiento no debe superar “ d / 4 “ o 300 mm.

En ningún caso la cortante externa mayorada debe exceder el valor de la ecuación 5.30.



5.6.6.5 Diseño practico a cortante El diseño del refuerzo transversal bajo las condiciones dadas por el ACI se basa en la aplicación correcta de las ecuaciones 5.18, 5.19 y 5.21. Con frecuencia el diseño se inicia seleccionando el tipo y área de estribos a colocar en la estructura ( # 3 o # 4). Luego se determina el espaciamiento entre ellos “ s “ a lo largo del tramo considerado usando las siguientes expresiones:

( )cu

yv

VV

dfAs

∗−

∗∗∗=

φφ En caso de estribos verticales

( )( ) ( )[ ]αα

φφ cos

.+∗

−

∗∗∗= sen

VV

dfAs

cu

yv Estribos inclinados un ángulo a

Es importante recordar que cuando se usan estribos tipo U el área “Av “ es dos veces el área de la sección transversal de la barra. Análogamente para estribos de tres, cuatro o “ n “ ramas el Av es tres, cuatro o n veces el área de la barra. Adicionalmente por razones constructivas se recomienda no colocar estribos con separaciones menores a 100 mm. En casos donde s < 100 mm se debe procurar aumentar el numero de ramas o el diámetro de los estribos. Es practico colocar, para una determinada zona, los estribos a una misma separación. Los códigos especifican que cuando se requiere refuerzo transversal el espaciamiento de este, debe ser tal, que al menos un estribo corte cada fisura diagonal que potencialmente se forme en la longitud total del elemento. Se especifica además un espaciamiento máximo de 600 mm. Cuando “ Vs > 0.33 * vfć *( bw*d) “ el espaciamiento máximo se reduce a 300 mm. Cuando “ Vs < 0.33 * vfć *( bw*d) “ el espaciamiento máximo se puede calcular como el menor de:

• s = ( Av*fy)/ (3.5*bw) • s = d / 2 • s = 600 mm

En el caso de usar el refuerzo longitudinal como parte del refuerzo transversal doblándolo a 45° en los sitios adecuados el segundo criterio de los tres anteriores se reemplaza por: s = 0.75*d. Para evitar un excesivo ancho de fisuras en el alma de las secciones, los códigos limitan las tensiones de fluencia del refuerzo a fy = 420 MPa. En ningún caso el valor de “ Vs “ debe exceder a: “ 0.66 * vfć *( bw*d) “. Las anteriores especificaciones se aplican siempre y cuando los hormigones tengan densidades en el rango de: 2.2 Mg/m3 < d < 2.6 Mg/m3. Para hormigones livianos, en donde se presenta una menor resistencia a tracción, se deben modificar las ecuaciones anteriores reemplazando el valor de vfć por “ 0.75*vfć “ si se usan agregados livianos o por “ 0.85*vfć “ si solo el agregado fino es liviano.



b, h, d, f c, fy, Vu

dbfV wcc ××××= ´17.075.0.φ

( ) dbfV wcs ×××= ´.max 66.0.φ

SI

2. c

uV

Vφ

< La sección no requiere

estribos

NO

NO SI

cu VV .φ<

SI

NO

Figura 5.29 Diagrama de flujo para el diseño a cortante

Seleccionar forma, diámetro y numero de ramas del estribo:

w

yv

b

fAs

×

×=

35.01

21d

s >Colocar estribos Av @ s = d / 2

Colocar estribos Av @ s = s1

s

dfAV yv

s

××=

..

φφ scn VVV ... φφφ +=

Colocar Av desde FVc/2 hasta FVn

2

.. .max,s

cu

VVV

φφ +>

smax. = d / 4 o 300 mm

smax. = d / 2 o 600 mm

A

A

Seleccionar el estribo: Av

( )cu

yv

VV

dfAs

.

.

φ

φ

−

××=

mms .100>

Colocar Av @ s

Modificar Av para que

s > 100 mm



5.6.6.6 Procedimiento paso a paso de diseño a cortante La figura 5.29 ilustra el diagrama de flujo del procedimiento anteriormente explicado para el diseño a cortante de estructuras de hormigón armado. Este se puede programar fácilmente para su correcto manejo e interpretación. El algoritmo se presenta resumido en los siguientes cinco pasos: Primero: Determinar la fuerza cortante producida por las cargas externas “ Vu “ en toda la longitud del elemento. El diagrama de cortante es la herramienta mas utilizada con este fin. Definir para las condiciones particulares las regiones o tramos de diseño a cortante. Seleccionar el tipo, diámetro y resistencia del refuerzo. Segundo: Revisar si el tramo con la mayor fuerza cortante externa cumple el criterio de cortante máxima, es decir: si “ Vu > F.[ Vc + 0.66 * vf c *( bw*d)] “. En caso afirmativo se deben modificar las dimensiones de la sección. El valor de “ Vc “ se determina con la ecuación 5.26 en forma aproximada o con la ecuación 5.18 en forma mas elaborada. Tercero: Revisar para cada tramo si se cumple “Vu < FVc / 2 “. En caso afirmativo se recomienda no utilizar estribos en el tramo correspondiente. Cuarto: Revisar para cada tramo si “ Vu > F Vc “. En caso afirmativo se deben colocar estribos de área Av . Quinto: Revisar si se cumplen los limites de espaciamiento recomendados de acuerdo al nivel de fuerza cortante en cada tramo. Una forma practica, bastante utilizada, para el diseño a cortante es seleccionar los espaciamientos en cada tramo en múltiplos de 50 mm. Luego se hallan las abscisas en donde controla cada espaciamiento seleccionado. Ejemplo 5.1 Una estructura de hormigón armado de sección rectangular esta sometida a una fuerza cortante externa de Vu = 140 kN. Determinar las dimensiones requeridas para los siguientes casos: a) La sección no debe llevar refuerzo transversal, b) Se le va a colocar la cantidad mínima de estribos, c) La sección tendrá la cantidad máxima de estribos y d) la sección debe llevar el 50% de la cantidad máxima de estribos. Los materiales a usar son : f´c = 28 MPa, fye = 280 MPa. Solución: Como la sección es rectangular bw = b. a) La sección no lleva estribos: En este caso se debe cumplir que “ Vu = F Vc / 2 “ è

217.0

.´ dbf

V cu

∗∗∗≤ φ è

2.4150202817.075.0

1400002mmdb =

∗∗∗

=∗



Asignando un b = 300 mm è d = 415020 / 300 = 1383 mm la cual es una sección exageradamente grande con una relación d / b > 4 . Si b = 450 mm è d = 922 mm es mas efectiva porque d / b = 2.05. b) La sección lleva refuerzo mínimo: Se cumple que “ Av,min = 0.35 *( b s / fy ) “ è

( ) ( )dbdbVVV scu *35.02817.075.0140000. ∗+∗∗∗∗≤⇒+≤ φ

2.14933325.175.0

140000mmdbdb ≥∗⇒

∗≥∗

Si se asume b = 300 mm è d = 498 mm. En conclusión la sección se ha reducido respecto al caso a) en un 65% con la presencia del refuerzo mínimo. Por ejemplo si se asume un espaciamiento s = d / 2 = 250 mm de la ecuación 5.27 el Av,min = 93.75 mm2, el cual se puede cubrir con estribos # 3 de dos ramas ( Av = 142 mm2 ) cada 250 mm. Como este estribo es mayor que la cantidad mínima indicada, esta en capacidad de absorber mas fuerza cortante ( FVs = 59401 N) con lo que se logra una mayor cortante nominal: FVn = 100795 + 59401 = 160196 N, la cual es un 15% superior a la cortante externa Vu = 140000 N. En resumen la presencia de una cantidad mínima de estribos ha logrado disminuir en un 65% las dimensiones de la sección transversal y al mismo tiempo con el refuerzo seleccionado se ha aumentado la capacidad de la sección en un 15%. c) Si se utiliza la máxima cantidad de estribos permitidos è

( ) dbfVV ccu ∗∗∗+≤ ´66.0.φ

( ) db ∗∗∗+∗∗≤ 2866.02817.075.0140000

( )2.42553

39.475.0140000

mmdbdb ≥∗⇒∗

≥∗∴

Si se asume b = 300 mm è d = 141 mm. Esta relación d / b no es conveniente por lo que se disminuye “ b” para lograr mayor altura. Si b = 200 mm è d = 213 mm que se ajusta a una sección de dimensiones b = 200 y h = 300 mm. Si los estribos son # 3 de dos ramas è Av = 142 mm2 el espaciamiento entre ellos es:

mms .6542279

75.0140000

235280142=

−

∗∗=

d) Cuando se utiliza el 50% de la capacidad máxima de refuerzo transversal è



( ) dbfVV ccu ∗∗∗+≤ ´33.0.φ

( ) db ∗∗∗+∗∗≤ 2833.02817.075.0140000

( )2.70440

65.275.0140000

mmdbdb ≥∗⇒∗

≥∗∴

Si b = 250 mm è d = 285 mm, que representa una viga de 250 x 350 mm. Si se consideran estribos # 3 de dos ramas la separación entre ellos es:

mms .9264093

75.0140000

285280142=

−

∗∗=

La tabla 5.1 presenta un resumen del ejemplo 5.1 y permite analizar y cuantificar el efecto de la presencia del refuerzo cortante en el hormigón armado.

Tabla 5.1 Resumen de los resultados del ejemplo 5.1

Característica b x d ( mm) Av F Vn ( MPa) Sin estribos 450 x 922 -------- 280

Estribos mínimos 300 x 500 # 3 @ 250 mm 160 Estribos máximos 200 x 235 # 3 @ 65 mm 140

50% de estrib.max. 250 x 285 # 3 @ 92 mm 140 Ejemplo 5.2 Las dimensiones de la sección rectangular de una viga de hormigón armado son: b = 400 mm y h = 650 mm. La altura efectiva es d = 560 mm. Si la viga simplemente apoyada de luz l = 6.0 m sometida a una carga uniforme de q = 118 kN / m, determinar que parte de la viga requiere refuerzo transversal. Considerar un refuerzo por flexión de As = 6 # 8 y f´c = 21 MPa. Solución: La variación longitudinal de la fuerza cortante esta dada por la ecuación:

20

2lq

VxSixqlq

V xx∗

=⇒=⇒∗−∗

= K

La cortante en el apoyo producida por la carga qu = 118 kN / m es :

kNVu .3542

6118=

∗=

La cortante a una distancia “ d “ de la cara del apoyo es:

( )kNVud .288

0.356.00.3354

=−∗

=



qu = 118 kN / m L = 6.0 m Vu Vud d = 0.56 m

Figura 5.30 Estructura del ejemplo 5.1 Se concluye que a partir de la cara del apoyo hasta una distancia igual a “ d “ se puede considerar que la fuerza cortante es constante y de magnitud Vud = 288 kN. a) Solución con la ecuación aproximada: Vc = 0.17 * vf´c *( bw*d).

kNNVc .151.1511255604002817.075.0. ==∗∗∗∗=φ Ya que Vud es mayor que FVc se concluye que la viga requiere refuerzo transversal. Para hallar el punto a partir del cual se deben colocar los estribos se superponen los valores de FVc y FVc / 2 en el diagrama de la figura 5.30. Si se dibuja solo la mitad del diagrama de la figura 5.30 se pueden apreciar fácilmente los cálculos realizados para obtener las regiones que requieren estribos, figura 5.31. Utilizando la semejanza de triángulos en la figura 5.31 se obtienen: x1 y x2

mx .89.0354

0.3751 =

∗= mx .28.1

3540.3151

2 =∗

=

Conocidas las abscisas x1 y x2 se tienen identificadas las zonas de refuerzo por cortante.



Zona 1: 2.11 < X < 3.00 m è No colocar estribos. Zona “ Vx < FVc / 2 “ Zona 2: 1.72 < X < 2.11 m è Colocar estribos mínimos. Zona “ FVc / 2 < Vx < FVc “ Zona 3: 0.00 < X < 1.72 m è Colocar estribos Av. Zona “ Vx > FVc “. Vx ( kN) Vu = 354 Zona 3 Vud = 288 Zona 2 FVc = 151 Zona 1 F Vc / 2 = 75 0.56 X (m) x1 x2 2.44 3.0

Figura 5.31 Regiones para el diseño a cortante del ejemplo 5.2. Método Aproximado

b) Utilizando la ecuación mas elaborada: dbM

dVfV

u

ucc ∗∗

×××+×=

ρ1716.0 ´

En este caso la cortante que aporta el hormigón “ Vc “ depende, además de f´c, de la cuantía del refuerzo por flexión [ ? = (6 * 510 ) / ( 400 * 560) = 0.0137 ] y de la relación (Vu x d / Mu). Para utilizar esta solución se divide la viga en tramos unitarios imaginarios de igual distancia y se realizan los cálculos como se indica en la tabla 5.2 Utilizando la tabla de calculo 5.2 se obtiene x1 = 0.55 m y x2 = 1.10 m Zona 1: 2.45 < X < 3.00 m è No colocar estribos. Zona “ Vx < FVc / 2 “ Zona 2: 1.90 < X < 2.45 m è Colocar estribos mínimos. Zona “ FVc / 2 < Vx < FVc “ Zona 3: 0.00 < X < 1.90 m è Colocar estribos Av. Zona “ Vx > FVc “.



En conclusión se nota como el método utilizando la ecuación ampliada disminuye la zona sin estribos y aumenta ligeramente la zona con estribos respecto al método aproximado. Desde un punto de vista practico la zona con estribos tiene en ambos casos una longitud similar.

Tabla 5.2 Determinación de la resistencia a cortante “ Vc “. Ecuación ampliada

TABLA 5.2 Solución ampliada para el ejemplo 5.2 X Mu Vu Vu d / Mu Vc Φ.Vc Φ.Vc / 2

(m) ( kN*m) ( kN) ( < 1.0) ( kN) ( kN) ( kN) 0.25 85 325 1.00 216 162 81 0.50 162 295 1.00 216 162 81 0.75 232 266 0.64 197 148 74 1.00 295 236 0.45 187 141 70 1.25 350 207 0.33 181 136 68 1.50 398 177 0.25 177 133 66 1.75 439 148 0.19 174 130 65 2.00 472 118 0.14 171 129 64 2.25 498 89 0.10 169 127 64 2.50 516 59 0.06 168 126 63 2.75 527 30 0.03 166 124 62 3.00 531 0 0.00 164 123 62

Vx ( kN) Vu = 354 Zona 3 Vud = 288 Zona 2 FVc = 162 Zona 1 FVc / 2 = 81 0.56 X (m) 0.65 1.10 2.44 3.00

Figura 5.32 Regiones para el diseño a cortante del ejemplo 5.2. Método ampliado



Ejemplo 5.3 Diseñar el refuerzo transversal para la estructura del ejemplo anterior. Utilizar el método aproximado y estribos en U con fye = 280 MPa. Solución: El diseño se realizara para cada zona definida en el ejemplo 5.2. En la zona 1 no se requiere estribos. Zona 2: En esta zona se utiliza la cantidad mínima de estribos ( Avmin = 0.35*bw*s/fy ) espaciados a una distancia menor que 600 mm o d / 2= 280 mm, controlando 280 mm.

2min, .140

28028040035.0

mmAv =∗∗

=

Esta cantidad de refuerzo se puede cubrir con barras # 3 de dos ramas ( Av = 142 mm2) que aportan una cortante de:

kNNVs .60.59640280

56028014275.0. ==

∗∗∗=φ

kNVn 21160151. =+=∴φ

La distancia hasta la cual se deben colocar los estribos mínimos es:

mx .79.1354

0.32113 =

∗=

Los estribos mínimos se comienzan a colocar en x = 2.11 m y se prolongan hasta x = 1.21 m. Se colocaran estribos en los puntos: x = ( 2.11, 1.83, 1.55 y 1.27) m. Zona 3: En esta zona se deben colocar estribos en una cuantía mayor que el mínimo dependiendo del valor de la cortante externa mayorada. Adicionalmente se debe revisar si el valor de Vu cumple los requisitos indicados en 5.6.6.4.

( ) kNNVn .659.659116560400*2166.075.0151000. .max ==∗∗∗+=φ Se cumple que Vud < 659 kN è Las dimensiones son adecuadas

( ) kNNV ermn .405.4050575604002133.075.0151000. .int ==∗∗∗∗+=φ Vud < 405 kN è El espaciamiento máximo para toda la viga es de: 280 mm Un procedimiento sencillo es continuar con el mismo tipo de estribos de la zona 2 con la diferencia de ir disminuyendo la separación de acuerdo a la magnitud de Vu. En este caso como la zona con Av > Av min tiene poca longitud: 1.21 m èEs conveniente asumir un mismo espaciamiento è FVs = 288 – 151 = 137 kN.



mms .121137000

56028014275.0 =

∗∗∗=

Que significa colocar estribos # 3 @ 0.12 m desde x = 1.27 m hasta el apoyo. Esto equivale a colocar estribos en x = (1.15, 1.03, 0.91, 0.79, 0.67, 0.55, 0.43, 0.31, 0.19 y 0.07) m. Vx ( kN) 354 Zona estribos 288 mínimos # 3 @ 0.28 m FVn = 211 151 75 X (m) 1.21 m x3 2.11 m 0.89 m 3.00 m

Figura 5.33 Zona de refuerzo mínimo a cortante ejemplo 5.3 Un procedimiento alternativo consiste en definir varios espaciamientos en la zona 3 y determinar las abscisas respectivas. Sean los espaciamientos: s1 = 0.25 m , s2 = 0.20 m, s3 = 0.15 m y s4 = 0.12 m.

• Cuando s = 0.25 m

kNNVNV ns .218.21779766797151000..66797250

56028014275.0. ==+=⇒=

∗∗∗= φφ

mx .85.1354

00.3218=

∗=

Colocar # 3 @ 0.25 desde x = 1.27 m hasta x = (3.00 – 1.85) = 1.15 m è Es decir no se alcanza a colocar ningún estribo de este espaciamiento.




kNNVNV ns .234.23449683496151000..83496200

56028014275.0. ==+=⇒=

∗∗∗= φφ

mx .98.1354

00.3234=

∗=

Colocar # 3 @ 0.20 desde x = 1.27 m hasta x = (3.00 – 1.98) = 1.02 m è Es decir solo se coloca un estribo en x = 1.07 m


kNNVNV ns .262.262328111328151000..111328150

56028014275.0. ==+=⇒=

∗∗∗= φφ

mx .22.2354

00.3262=

∗=

Colocar # 3 @ 0.15 desde x = 1.07 m hasta x = (3.00 - 2.22) = 0.78 m è Colocar estribos en x = ( 0.92 y 0.77 ) m.


kNNVNV ns .290.290160139160151000..139160120

56028014275.0. ==+=⇒=

∗∗∗= φφ

mx .46.2354

00.3290=

∗=

Colocar # 3 @ 0.12 desde x = 0.77 m hasta la cara del apoyo è Colocar estribos # 3 en x = ( 0.65, 0.53, 0.41, 0.29, 0.17 y 0.05 ) m. # 3 @ 0.12 m # 3 @ 0.28 m 3.00 m

Figura 5.34 Refuerzo a cortante del ejemplo 5.3



Comparando los dos procedimientos se puede notar como al aumentar el numero de espaciamientos en la zona 3 solo se disminuye un estribo. En conclusión el considerar un solo espaciamiento para la zona 3 simplifica y ahorra tiempo de caculo sin perdida de seguridad y confiabilidad del diseño. Ejemplo 5.4 Una viga de sección rectangular con b = 350 mm y h = 800 mm, con refuerzo a flexión de As = 4 # 10 y d = 710 mm, esta simplemente apoyada con una luz libre de l = 7.60 m y soporta además de su propio peso una sobrecarga por uso y ocupación de 120 kN / m. Diseñar el refuerzo transversal utilizando a ) el método con la ecuación aproximada para Vc y b) El procedimiento con la ecuación ampliada. Los materiales tienen las siguientes propiedades: f´c = 28 MPa y fye = 420 MPa.

Solución: mkNmNmsmMg

q pp /.58.6/.658058.68.94.280.035.02

==∗∗

=∗∗∗=

Ahora la carga ultima en la viga es: mkNqu /.2001206.158.62.1 =∗+∗= Del análisis estructural de la viga se obtiene que la cortante máxima se presenta en el apoyo y disminuye linealmente hasta el centro de la luz donde es nula. La cortante en cualquier punto de la viga es: “ Vx = (qu * L / 2 )- qu * x “.

Para x = 0 è kNVx .7600.02002

6.7200=∗−

∗=

Para x = 3.80 m è 00.0=xV

qu = 200 kN / m 4 # 10 L = 7.60 m Vu = 760 kN Vud = 618 kN d = 0.71 m 3.80 m

Figura 5.35 Diagrama de cortante para la viga del ejemplo 5.4



La fuerza cortante a una distancia “ d “ de la cara del apoyo es :

( )kNVud .618

80.371.080.3760

=−∗

=

a) Determinación del refuerzo transversal por el método aproximado

kNNVc .168.1676547103502817.075.0. ==∗∗∗∗=φ

Se concluye que Vud > FVc y la viga requiere refuerzo transversal. La máxima cortante que pueden aportar los estribos es FVs max. = 0.66 x 280.5 x 350 x 710 = 868 kN la cual es mayor que (Vud – F Vc) = 618 – 168 = 450 kN por lo que no es necesario modificar las dimensiones de la sección.

Para hallar el punto a partir del cual se deben colocar los estribos se superponen los valores de FVc y FVc / 2 en el diagrama de la figura 5.30. Si se dibuja solo la mitad del diagrama de la figura 5.30 se pueden apreciar fácilmente los cálculos realizados para obtener las regiones que requieren estribos, figura 5.31. Vx ( kN) Vu = 760 Zona 3 Vud = 618 Zona 2 F Vc = 168 Zona 1 F Vc / 2 = 84 0.71 X (m) x1 x2 2.90 3.80

Figura 5.36 Regiones para el diseño a cortante del ejemplo 5.4. Método Aproximado



Utilizando la semejanza de triángulos en la figura 5.36 se obtienen: x1 y x2

mx .42.0760

80.3841 =

∗= mx .84.0

76080.3168

2 =∗

=

Zona 1: 3.38 < X < 3.80 m è No colocar estribos. Zona “ Vx < FVc / 2 “ Zona 2: 2.96 < X < 3.38 m è Colocar estribos mínimos. Zona “ FVc / 2 < Vx < FVc “ Zona 3: 0.00 < X < 2.96 m è Colocar estribos Av. Zona “ Vx > FVc “ El diseño se realizara para cada una de las zonas definidas. Zona 1 sin estribos. Zona 2: En esta zona se utiliza la cantidad mínima de estribos espaciados a una distancia menor que 600 mm o (710 / 2)= 355 mm => s = 355 mm.

2min, .155

28035535035.0

mmAv =∗∗

=

Esta cantidad de refuerzo se puede cubrir con barras # 3 de dos ramas ( Av = 142 mm2) colocadas cada [ 142 x 280 / (0.35 x 350)]= 325 mm que aportan una cortante de:

kNNVs .65.65145325

71028014275.0. ==

∗∗∗=φ kNVn .23365168. =+=∴φ

Vx ( kN) 760 Zona estribos 618 mínimos # 3 @ 0.325 m FVn = 233 168 84 X (m) 2.63 m x3 3.38 m 0.42 m 3.80 m

Figura 5.37 Zona de refuerzo mínimo a cortante ejemplo 5.3



La distancia hasta la cual se deben colocar los estribos mínimos es:

mx 17.1760

8.32333 =

∗=

Los estribos mínimos se comienzan a colocar en x = 3.38 m y se prolongan hasta x = 2.63 m. Se colocaran estribos en los puntos: x = ( 3.38, 3.055 y 2.73 ) m. Zona 3: En esta zona se deben colocar estribos en una cuantía mayor que el mínimo dependiendo del valor de la cortante externa mayorada.

( ) kNNV ermn .4934934477103502833.075.0168000. .int ==∗∗∗∗+=φ Vud = 618 kN > 493 kN è El espaciamiento máximo para la zona 3 es de: 178 mm Para este espaciamiento la cortante que aportan los estribos # 3 de dos ramas es:

kNNVs .119118945178

71028014275.0. ==

∗∗∗=φ

kNVn 287119168. =+=∴φ

Con un espaciamiento de s = d / 4 = 178 mm se cubre solo un 46% de la cortante exigida por las cargas externas. En la zona de máxima cortante los estribos deben aportar una capacidad de : è FVs = 618 – 168 = 450 kN el cual requiere un espaciamiento de:

mms .47450000

71028014275.0 =

∗∗∗=

Que significa colocar estribos # 3 @ 0.047 m lo cual crea inconvenientes por congestión del refuerzo. Una posible solución es utilizar refuerzo de fye = 420 MPa e iniciar nuevamente el problema. Sin embargo, desde un punto de vista académico, es importante continuar el ejercicio con el fin de ilustrar los cálculos respectivos. Para optimizar el diseño es conveniente dividir esta zona en regiones para los siguientes espaciamientos : s1 = 0.15 m , s2 = 0.10 m, y s3 = 0.047 m =>


kNVNV ns .309..141148150

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 1.545 m

Colocar # 3 @ 0.15 desde x = 2.63 m hasta x = (3.80 – 1.545) = 2.255 m è Es decir en los puntos 2.48 y 2.33.




kNVNV ns .380..211722100

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 1.90 m

Colocar # 3 @ 0.10 desde x = 2.33 m hasta x = (3.80 – 1.90) = 1.90 m è Es decir en los puntos: 2.23, 2.13, 2.03 y 1.93.


kNVNV ns .618..45047247

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 3.09 m

Colocar # 3 @ 0.047 desde x = 1.93 m hasta x = (3.80 – 3.09) = 0.71 m è Es decir (1.93 – 0.71)/ 0.047 = 25 estribos # 3 @ 0.10 m # 3 @ # 3 @ 0.047 m 0.325 m

Figura 5.38 Refuerzo a cortante del ejemplo 5.4. Método aproximado

b) Utilizando la ecuación mas elaborada: dbM

dVfV

u

ucc ∗∗

×××+×=

ρ1716.0 ´

? = (4 * 819 ) / ( 350 * 710) = 0.0132

Utilizando la tabla de calculo 5.3 se obtiene x1 = 0.40 m y x2 = 1.10 m Zona 1: 3.40 < X < 3.80 m è No colocar estribos. Zona “ Vx < FVc / 2 “ Zona 2: 2.66 < X < 3.40 m è Colocar estribos mínimos. Zona “ FVc / 2 < Vx < FVc “ Zona 3: 0.00 < X < 1.90 m è Colocar estribos Av. Zona “ Vx > FVc “.



Tabla 5.3 Determinación de la resistencia a cortante “ Vc “. Ecuación ampliada

TABLA 5.2 Solución ampliada para el ejemplo 5.2 X Mu Vu Vu d / Mu Vc Φ.Vc Φ.Vc / 2

(m) ( kN*m) ( kN) ( < 1.0) ( kN) ( kN) ( kN) 0.38 274 684 1.00 266 200 100 0.76 520 608 0.83 257 192 96 1.14 736 532 0.51 239 179 90 1.52 924 456 0.35 230 172 86 1.90 1083 380 0.25 224 168 84 2.28 1213 304 0.18 220 165 83 2.66 1314 228 0.12 217 163 81 3.04 1386 152 0.08 215 161 81 3.42 1430 76 0.04 212 159 80 3.80 1444 0.00 0.00 210 158 79

Vx ( kN) Vu = 760 Zona 3 Vud = 618 Zona 2 FVc = 200 Zona 1 F Vc / 2 = 100 0.71 X (m) 0.40 1.14 3.09 m 3.80 m

Figura 5.39 Regiones para el diseño a cortante del ejemplo 5.4. Método ampliado Zona 2: En esta zona se utiliza la cantidad mínima de estribos espaciados a una distancia s = 355 mm. ó # 3 @ 325 mm y FVs = 65 kN para un FVn = 233 kN



Vx ( kN) 760 Zona estribos 618 mínimos # 3 @ 0.325 m FVn = 233 X (m) 2.63 m x3 3.38 m 0.42 m 3.80 m

Figura 5.37 Zona de refuerzo mínimo a cortante ejemplo 5.3 La distancia hasta la cual se deben colocar los estribos mínimos es:

mx 17.1760

8.32333 =

∗=

Los estribos mínimos se comienzan a colocar en x = 3.38 m y se prolongan hasta x = 2.63 m. Se colocaran estribos en los puntos: x = ( 3.38, 3.055 y 2.73 ) m. Zona 3: En esta zona se deben colocar estribos en una cuantía mayor que el mínimo dependiendo del valor de la cortante externa mayorada.

( ) kNNV ermn .5255254477103502833.075.0200000. .int ==∗∗∗∗+=φ Vud = 618 kN > 525 kN è El espaciamiento máximo para la zona 3 es de: 178 mm Para este espaciamiento la cortante que aportan los estribos # 3 de dos ramas es:

kNNVs .119118945178

71028014275.0. ==

∗∗∗=φ

kNVn 319119200. =+=∴φ



Con un espaciamiento de s = d / 4 = 178 mm se cubre un 52% de la cortante exigida por las cargas externas. En la zona de máxima cortante los estribos deben aportar una capacidad de : è FVs = 618 – 200 = 418 kN el cual requiere un espaciamiento de:

mms .51418000

71028014275.0 =

∗∗∗=

Que significa colocar estribos # 3 @ 0.051 m. Si se divide esta zona en las mismas regiones usadas en el método aproximado: s1 = 0.15 m , s2 = 0.10 m, y s3 = 0.051 m =>


kNVNV ns .309..141148150

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 1.545 m

Colocar # 3 @ 0.15 desde x = 2.63 m hasta x = (3.80 – 1.545) = 2.255 m è Es decir en los puntos 2.48 y 2.33.


kNVNV ns .380..211722100

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 1.90 m

Colocar # 3 @ 0.10 desde x = 2.33 m hasta x = (3.80 – 1.90) = 1.90 m è Es decir en los puntos: 2.23, 2.13, 2.03 y 1.93.


kNVNV ns .615..41514151

71028014275.0. =⇒=

∗∗∗= φφ y x = 3.09 m

Colocar # 3 @ 0.051 desde x = 1.93 m hasta x = (3.80 – 3.09) = 0.71 m è Es decir (1.93 – 0.71)/ 0.047 = 25 estribos # 3 @ 0.10 m # 3 @ # 3 @ 0.051 m 0.325 m

Figura 5.38 Refuerzo a cortante del ejemplo 5.4. Método ampliado



5.7 INTERACCION DE CORTANTE, FLEXIÓN Y CARGA AXIAL 5.7.1 Generalidades En los numerales anteriores se considero la acción simultanea de la cortante y la flexión lo cual es la solicitación típica en el estudio de vigas y losas de hormigón armado. Sin embargo existen aplicaciones practicas donde la presencia de la carga axial es importante y se debe considerar en el diseño. Es el caso de:

• Utilización de fuerzas de pretensado en vigas y losas • Presencia de fuerzas internas por retracción y cambios térmicos • Efectos de cargas verticales en muros y columnas.

La presencia de estas cargas axiales afecta la resistencia estructural a cortante modificando la carga que produce la fisuración diagonal del elemento. Previamente se indico que cuando las tensiones principales de tracción superan la capacidad mecánica del hormigón a esta solicitación se produce la fisuración de la sección. La presencia de la carga axial evidentemente modificara la magnitud y dirección de las tensiones principales y modificara en ultima instancia la carga de fisuración diagonal de la estructura aumentándola si la carga axial es compresión y disminuyéndola si es tracción. 5.7.2 Carga axial de compresión Al deducir la ecuación 5.18 se especificó que la carga de fisuración diagonal es función de la relación entre las tensiones por flexión “ f “ y la tensiones por cortante “ v ” en las partes superiores de las fisuras por flexión. Mientras que estas tensiones no estén realmente calculadas se puede asumir en forma aproximada las expresiones:

××=

dbV

K1υ ( a )

××= 22 db

MKf ( b )

La ecuación (a) relaciona las tensiones cortantes en el hormigón en la parte superior de las fisuras a flexión y las tensiones cortantes promedio. La ecuación (b) relaciona la tensión de tracción por flexión en el hormigón en la parte superior de la fisura, a la tensión de tracción en el acero de flexión. Si la relación modular “ n = ( Es / Ec ) ” =>

( )200 dbJn

MK

nJdA

MKf

nf

f ss

×××××=

×

×=⇒∞ρ

( c )

De la ecuación ( c ) y ( b ) se encuentra que el valor de la constante Ko = K2 ( n J p ). Ahora en la figura 5.39 se indica un elemento estructural sometido a la acción simultanea de carga axial “ N”, flexión “ M” y cortante “ V”.



P1 P2 PI PN N N dx As d´ N e M V C e V C N d Jd V V T T dx dx

Figura 5.39 Viga sometida a la interacción axial, cortante momento En la figura 5.39 se muestran las fuerzas que actúan en un elemento diferencial de viga de longitud “ dx ” sometida a la acción de M,V,N. Las acciones externas deben estar en equilibrio con las resultantes internas C, V y T. Para propósitos de análisis se remplazara la carga axial “ N “ y el momento “ M “ por una carga equivalente “ N “ localizada a una distancia “ e = M / N “ del punto medio de la viga. El brazo de palanca de la carga excéntrica “ N “ con respecto a la fuerza de compresión “ C “ se define cono “ e ” y se determina así:

Jddd −=´ y 2

´´ hede −=− Jdd

hee −+−=∴

2´ ( d )

Si se toman momentos con respecto al punto de aplicación de “ C “ se halla “ fs “:

JdfAJdTeN ss ××=×=× ´ è JdAeN

fs

s ××

=´

( e )

Reemplazando ( d ) en ( e ) y haciendo M = N x e =>

JdA

Jdh

dNMf

ss ×

−−×+

= 2



Asumiendo que “ J “ es aproximadamente 0.875 para cargas que produzcan la fisuración diagonal, se tiene que el termino “ (d – h/2 – Jd ) “ es igual a “ ( d – 4h ) / 8 “. Ahora como f = Ko fs / n, las tensiones de tracción en el hormigón en la parte superior de las fisuras a flexión =>

( ) ( )

×××××−×−

×=

××

×−×+×= 2

8/48/4dbJnhdNM

KJdAn

hdNMKf o

so ρ

( )

×−××−

×= 228/4

dbdhNM

Kf ( f )

Comparando las ecuaciones ( f ) y ( b) es evidente que la presencia de la carga axial modifica el valor del momento y la expresión “ [ M – N x ( 4 h – d ) / 8 ] ” sustituye el valor de “ M “ en la ecuación inicial ( b ). Igual modificación se debe utilizar para evaluar la cortante “ Vc “ con la ecuación 5.18 sustituyendo “ M “ por su valor equivalente cuando hay carga axial de compresión.

( )[ ] dbdhNM

dVfV w

uu

uwcc ×

−×−

×××+×=

8/41716.0 ´ ρ

(5.31)

En este caso la relación u

u

MdV ×

no necesita limitarse a 1.0 como se había explicado

antes. La carga axial “ Nu ” se asume positiva para compresión y negativa para tracción. El limite superior de Vc se indica en la ecuación 5.32 en donde Ag es el área bruta de la sección en mm2 y “ Nu “ la fuerza axial en N. El ACI permite utilizar la expresión indicada en la ecuación 5.33 para la determinación de “ Vc “ en elementos sometidos a carga axial. Esta es mas simple y fácil de manejar que las indicadas por las ecuaciones 5.18, 5.31 y 5.32.

g

uwcc A

NdbfV

×+×××=

5.3129.0 ´ (5.32)

×+×××=

g

uwcc A

NdbfV

1.14117.0 ´ (5.33)

En la figura 5.40 se comparan gráficamente las ecuaciones 5.31 y 5.33 utilizadas para el calculo de “ Vc “ en elementos a flexión sometidos a cortante mas carga axial. Se puede apreciar como el uso de la expresión 5.33 la cual es mas simple y practica da resultados mas conservadores que la 5.31 principalmente cuando la relación “ Nu / Ag “ es alta.



5.7.3 Carga axial de tracción El análisis utilizado en el numeral anterior para elementos sometidos a compresión no se puede utilizar para la tracción por la falta de concordancia de las expresiones numéricas con los resultados experimentales. Por lo general los valores obtenidos con las ecuaciones para “ Vc “ son mas altos que los entregados por los ensayos evidenciando la inseguridad en utilizar tales expresiones. Por esta razón el ACI especifica que en elementos sometidos a la acción conjunta de flexión, cortante y tracción axial la cortante absorbida por el hormigón sea la indicada por la expresión 5.34. En estos casos la carga axial “ Nu “ es de signo negativo. Alternativamente el ACI permite diseñar en estos casos con Vc = 0 de tal forma que toda la resistencia a cortante sea suministrada por el acero de refuerzo transversal.

×+×××=

g

uwcc A

NdbfV

5.3117.0 ´ (5.34)

En la figura 5.40 se muestra también la variación de “ Vc “ con respecto “ Nu / Ag ” para elementos sometidos a flexión, cortante y tracción axial. Ejemplo 5.5 Una viga de sección rectangular de hormigón armado simplemente apoyada con una luz de 8.5 m y dimensiones bw = 300 mm, h = 700 mm, soporta en la mitad de la luz una carga concentrada de 450 kN. Si el hormigón tiene una resistencia a compresión de f´c = 21 MPa determinar la resistencia a cortante “ Vc “ cuando:

• No existe carga axial: Nu = 0 • La carga axial es de compresión y tiene un valor de: Nu = 270 kN, y • La carga axial es de tracción y su magnitud es de Nu = 270 kN.

En cada caso determinar el valor de “ Vc “ usando la ecuación aproximada y la mas elaborada. Despreciar el peso propio para el análisis y considerar que el refuerzo por flexión en la mitad de la luz es de 3 barras # 10 para un As = 2457 mm2. Solución: La magnitud de la cortante en la viga es constante: Vu = 450 / 2 = 225 kN. Este valor es igual a Vud. El momento varia linealmente con la longitud y su valor es Mu = Vu .X => el momento Mud = 225 x 0.635 = 143 kN. a) Cuando no hay carga axial => Nu = 0.0 Método aproximado: NVc .1713656353002817.0 =×××=

Método mas elaborado: 013.0635300

2457=

×=ρ



NVc .203349635300]143000

635.0225000013.0172816.0[ =××

×××+×=

En cualquier caso la cortante absorbida por le hormigón debe ser menor que:

NVc .2923296353002829.0 =×××= Se cumple la condición de que “ Vc < Vc max.” En este caso la capacidad a cortante del hormigón con la expresión aproximada es alrededor de un 16 % inferior que la obtenida con la ecuación ampliada confirmando así la seguridad en el uso de la expresión 5.33. COMPRESIÓN TRACCION 1.5 1.0 0.5 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30

Figura 5.40 Comparación de las ecuaciones para la determinación de “ Vc “ en elementos sometidos a carga axial, flexión y cortante.

Ecuación 5.32

Ecuación 5.33

Ecuación 5.34

Variación aprox. De ecuación 5.18



b) Cuando la carga axial es de compresión con Nu = 270 kN.

Método aproximado: NVc .1869917003001.14

27000016353002817.0 =

∗∗+∗∗∗×=

Método ampliado:

( )NVc .247300635300]

8/635.07.04270000143000635.0225000013.017

2816.0[ =∗∗−∗∗−

∗∗∗+∗=

Este ultimo valor no debe exceder a :

NVc .3418307003005.3

27000016353002829.0 =

∗∗+∗∗∗∗=

Se concluye que “ Vc < Vc max. “ y la cortante que absorbe el hormigón en presencia de la carga axial se incrementa en este caso en mas de un 20%. c) Cuando la carga axial es de tracción con Nu = -270 kN. Se utiliza solo la expresión 5.34:

NVc .1084157003005.3

27000016353002817.0 =

∗∗−

+∗∗∗∗=

Es decir la capacidad a cortante del hormigón en presencia de carga axial de tracción disminuye en este ejemplo mas de un 40% de la capacidad cuando no hay carga axial. El ACI recomienda en estos casos asumir alternativamente “ Vc = 0.0 ”. Ejemplo 5.6 Una columna de un edificio tiene dimensiones b = h = 300 mm y longitud libre de 3.0 m. El hormigón es de f´c = 21 MPa y el acero de refuerzo tanto longitudinal como transversal es de fy = 420 MPa. Esta sometida a las siguientes acciones:

Mui = 58 kN.m Muj = 28 kN.m y Nu = 640 kN. Determinar si se requiere refuerzo transversal y calcularlo en caso afirmativo. Solución : La cortante se determina por sumatoria de momentos respecto a un extremo

de la columna: => kNl

MMVV ujui

ujui .290.32958

=

+

=

−==

La cortante nominal es: kNVn .3975.0

29==

La cortante que aporta el hormigón por el método aproximado es:



kNNVc .88.87895250300213003001.14

640000117.0 ==×××

××+×=

Nu = 640 kN Mui = 58 kN.m Vui L = 3.0 m h = 300 mm A A Muj = 29 kN.m b = 300 mm Vuj

Figura 5.41 Columna del ejemplo 5.6 Según el ACI si “ Vn < Vc / 2 “ el elemento no requiere refuerzo transversal. En este ejemplo Vn = 39 kN < 44 kN y la columna no requiere de estribos. En caso contrario los amarres que generalmente están espaciados cada d / 2 se pueden usar como refuerzo a cortante. Ejemplo 5.7 En la figura 5.42 se muestra una viga de hormigón armado simplemente apoyada de luz libre 7.0 m. Si la relación carga viva sobre carga muerta es de 1.5 y el hormigón es de f´c = 28 MPa con fy = 420 MPa, determinar:

• Las cargas de servicio vivas y muertas uniformemente distribuidas que soporta la viga utilizando el método de diseño por resistencia.

• El refuerzo transversal requerido usando el método aproximado para “ Vc “ • Analítica y gráficamente el efecto de la carga axial sobre la resistencia a cortante

de esta viga, cuando no tiene refuerzo transversal. Solución: a) Utilizando el procedimiento para el diseño de secciones rectangulares de hormigón armado doblemente reforzadas indicado en el capitulo 3.3 se obtiene:



0263.0560350

5160=

×=ρ 0080.0

5603501548´ =

×=ρ

A´s = 4 # 7 A 650 mm 0.30 m As = 8 # 9 A 7.0 m 350 mm Sección A-A

Figura 5.42 Viga del ejemplo 5.7

0033.00031.0420

2825.0minmin =⇒=

×= ρρ

( )yy

c

fdfdf

−×

××××

≥−612

61285.0 ´´1´ β

ρρ

( ) 0183.00080.00263.0 =− y ( )0174.0

420612612

5604205.632885.085.0

=−

××

×××

Se concluye que 0.0183 > 0.0174 è el acero a compresión esta en fluencia. La deformación del acero a compresión es:

( ) 00210.04205600183.0

5.632885.085.01003.0

85.01003.0

´

´´1´ =

×××××

−×=

××−×××

−×=y

cs fd

dfρρβ

ε


( )mma .182

3502885.042015485160

=××

×−= mmc .214

85.0182

==



0052.01214585

003.0 =

−×=tε > 0.005 => cumple!

( ) ( ) mmNM n ..1010345.6356042015482

18256042015485160 6×=−××+

−××−=

El momento de diseño es FMn = 0.90 x 1034 kN.m = 930 kN.m = Mu Para cargas uniformes y vigas simplemente apoyadas se tiene un momento máximo de:

mkNqlq

M uu

u /.1403.79308

8 2

2

=×

=⇒×

=

Ya que la carga ultima se obtiene de la combinación de cargas vivas y muertas y además se da como dato del problema que la relación qmu / q vu = 1.5 => qmu = 1.5 x qvu

vv

mvm qq

qqq ×=×

=⇒××=× 0.22.1

4.26.15.12.1

( ) mkNqqqqq vvvmu /.1406.10.22.16.12.1 =×+××=×+×=

R/ mkNqv /.350.4

140==∴ y mkNqm /.70350.2 =×=

b) La cortante máxima se encuentra en el centro del apoyo y se obtiene cuando actúan simultáneamente la carga muerta y la carga viva =>

kNlq

V uu .511

23.7140

2=

×=

×=

( )kNVud .412

65.356.015.065.3511

=−−×

=

kNNVc .132.1322355603502817.075.0. ==××××=φ

Se concluye que Vud > F.Vc => se requiere refuerzo por cortante. Es conveniente ahora verificar si las dimensiones de la sección son adecuadas =>

kNNVn .646.6456165603502866.075.0132235. max, ==××××+=φ Se cumple que Vud < Vu.max y las dimensiones de la sección son adecuadas.

kNkNVn .389.3889265603502833.075.0132235. 2max/, ==××××+=φ De acuerdo a los resultados anteriores “ 389 kN < Vud < 646 kN “ el espaciamiento máximo en la zona de mayor cortante es “ s = d / 2 = 280 mm”. Considerando estribos # 3 de dos ramas con fy = 420 MPa se obtiene un espaciamiento:



( )mms .90

13200041200056042014275.0

=−

×××=

Entre la cara del apoyo y “ x = 0.56 m ” el máximo espaciamiento es “ s = 90 mm “. La zona sin estribos de determina a partir de la figura 5.43. Vu = 511 kN Vud = 412 kN F .Vn = 251 kN F .Vc = 132 kN F.Vc / 2 = 66 kN x1 0.56 m x2 x3 3.65 m

Figura 5.43 Diagrama de cortante para el ejemplo 5.7.b

mx .47.0412

94.2661 =

×= mx .94.0

41294.2132

2 =×

=

Desde “ x = 3.65 – 0.47 = 3.18 m “ hasta el centro de la luz la viga no requiere estribos. Con un espaciamiento de “ s = 280 mm “ la cortante que aportan los estribos es:

kNNVs .119.119280280

560420142==

××=

La cortante total aportada es: kNVn .22111975.0132. =×+=φ la cual esta ubicada a una distancia x3 del centro de la viga.



mx .58.1412

94.22213 =

×=

Se deben colocar estribos # 3 de dos ramas cada 280 mm desde “ x = 1.92 m hasta x = 3.18 m “. Para el tramo restante “ desde x = 0.56 m hasta x = 1.92 m “ se puede utilizar el espaciamiento obtenido con la máxima cortante, es decir “ s = 90 mm “ o definir varios espaciamientos intermedios. En el primer caso seria colocar # 3 @ 0.09 m desde x = 0.56 m hasta x = 1.92 m ( es decir 16 estribos hasta x = 1.91 m). En el otro caso se pueden definir s1 = 250 mm, s2 = 200 mm y s3 = 150 mm =>

Para s1 = 250 mm => NVs .100195250

56042014275.0. =

×××=φ è kNVn .232. =φ

mx .66.1412

94.2232=

×= è Colocar # 3 @ 0.25 m desde x = 1.84 m hasta x = 3.18 m.

Para s2 = 200 mm => NVs .125244200

56042014275.0. =

×××=φ è kNVn .257. =φ

mx .83.1412

94.2257=


Para s1 = 150 mm => NVs .166992150

56042014275.0. =

×××=φ è kNVn .299. =φ

mx .13.2412

94.2299=


Colocar el tramo restante a “ s = 0.09 m “. Ver dibujo en la figura 5.44. 10 # 3 @ 0.09m d 2 # 3 6 # 3 @ 0.25 m @ 0.15 m 0.0 x = 0.56 m 1.37 m 1.67 m 3.17 m 3.50 m

Figura 5.44 Colocación del refuerzo a cortante del ejemplo 5.7



c) Efecto de la fuerza axial de compresión en esta viga.

De la ecuación 5.31 se tiene: ( )[ ] dbdhNM

dVfV w

uu

uwcc ×

−×−

×××+×=

8/41716.0 ´ ρ

Organizando términos y despejando la relación “ Vc / ( b x d x vfć) “ se tiene:

×−

×+=××

g

uu

u

cw

c

AN

M

V

fdb

V

227500

3.4716.0´

En donde para diferentes valores de Nu / Ag se obtiene el correspondiente valor de la resistencia a la cortante “ Vc / ( b x d x vfć) “.

Tabla 5.1 Valor de la resistencia a cortante en viga del ejemplo 5.7

x Mu Vu Nult. Mm ( )ćw

c

fdb

V

×× g

u

AN×

+×5.3

129.0

(m) (N.m) (N) (N/mm2) (N.m) 0.71 32796750 412159 0.50 298961 0.225 0.310 0.71 32796750 412159 1.00 269955 0.232 0.329 0.71 32796750 412159 1.50 240949 0.241 0.347 0.71 32796750 412159 2.00 211942 0.252 0.364 0.71 32796750 412159 2.50 182936 0.267 0.380 0.71 32796750 412159 3.00 153930 0.287 0.395 0.71 32796750 412159 3.50 124924 0.316 0.410 0.71 32796750 412159 4.00 95917 0.363 0.425 0.71 32796750 412159 4.50 66911 0.451 0.438 0.71 32796750 412159 5.00 37905 0.674 0.452 0.71 32796750 412159 5.50 8899 2.351 0.465

DETALLADO DEL REFUERZO ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1 _________________________________________________________________________________________________________


6. DETALLADO DEL REFUERZO 6.1 Introducción El diseño estructural del hormigón armado se fundamenta en varias hipótesis y condiciones de equilibrio y compatibilidad enunciadas en capítulos precedentes. De todas estas merece especial atención la siguiente: “ entre el hormigón y el acero debe existir una perfecta adherencia tal que se garanticen iguales deformaciones en los dos materiales bajo la acción de las cargas ”. La adherencia es sin lugar a dudas el proceso mas importante en que se fundamenta el comportamiento del hormigón armado. Para explicarlo sencillamente imagínese la viga de hormigón de la figura 6.1 la cual esta reforzada con barras de acero lisas en la zona traccionada.

a. Antes de la aplicación de las cargas Deslizamiento P P

b. Deslizamiento entre acero y hormigón por efecto de las cargas

c. Fuerzas de adherencia en el hormigón: Compresión

d. Fuerzas de adherencia en el acero: Tracción

Figura 6.1 Tensiones de adherencia por flexión



Para hacer mas drástica la situación se asumirá además que este refuerzo se ha impregnado superficialmente con aceite o grasa con el fin de evitar que se adhiera al hormigón circundante. Bajo estas consideraciones al aplicar la carga de magnitud “ P “ se comprueba que la resistencia de la viga es similar a la que se obtendría si no tuviera refuerzo. Se concluye por tanto que la falta de adherencia entre los dos materiales permite que no exista transmisión de tensiones y el hormigón absorbe toda la tracción que se origina por efecto de las cargas. El refuerzo desliza y no se presenta la acción conjunta que es la base del comportamiento estructural del material. La figura 6.1.c muestra las fuerzas internas de adherencia que actúan en el hormigón mientras la figura 6.1.d las fuerzas iguales y opuestas que actúan en el acero de refuerzo. La existencia de estas fuerzas de adherencia garantiza que el refuerzo no deslice en el interior del hormigón bajo condiciones de carga en servicio. En un diagrama de cuerpo libre como el indicado en la figura 6.2 se puede ilustrar mejor la situación antes planteada. Bajo la acción de las cargas externas cualquier sección de la estructura presenta un par de fuerzas “ C “ y “ T “ separadas una distancia “ z “. Para que se pueda dar el equilibrio estático C = T, donde C es la resultante que resiste el hormigón a compresión y T la resultante que resiste el acero a tracción. C V z T T R a) Fuerzas internas en la viga b) Tensiones de adherencia

Figura 6.2 Importancia de las tensiones de adherencia

Para que exista transferencia de tensiones es fundamental que exista adherencia entre el hormigón y el acero. Si por alguna circunstancia estas fuerzas internas de adherencia desaparecen el refuerzo deslizaría dentro del hormigón y la resultante a tracción “ T “ desaparece produciendo la falla de la estructura. La adherencia es el resultado de la combinación de los siguientes procesos generados después de la solificación del hormigón en las formaletas: a) presencia de fuerzas de contacto en la interfase de los dos materiales, b) la presión que ejerce el hormigón contra el refuerzo debido a la retracción hidráulica, c) las fuerzas de trabazón entre las imperfecciones superficiales de las barras ( corrugas) y el hormigón.



Históricamente las primeras construcciones de hormigón armado utilizaron barras lisas como refuerzo convencional. En estas la adherencia dependía solo de las fuerzas de contacto entre los dos materiales la cual se consideraba muy baja y era necesario suministrar anclajes extremos adicionales en forma de ganchos para evitar el deslizamiento. Para un anclaje bien diseñado la estructura se comporta eficientemente aunque se supere la resistencia a la adherencia del material. La razón es que el gancho actúa como un arco atirantado como se muestra en la figura 6.3 en donde el hormigón a compresión representa el arco y el acero a tracción el tirante. Brazo de palanca = z Arco a compresión z Tirante Zona de mínima o nula adherencia

Figura 6.3 Acción de arco en una viga de hormigón armado

En toda la longitud fisurada las tensiones de adherencia son tan bajas que por lo general se pueden considerar nulas. Esto significa que en el tramo sin adherencia la fuerza en el acero es constante e igual a “ T = M / z “. En consecuencia el alargamiento del acero en estos casos es mayor que el obtenido en otros ensayos en donde se mantiene una alta adherencia de los materiales, generando mayores deflexiones y anchos de fisuras. Con el fin de solucionar este problema se ha propuesto a nivel internacional el uso de las barras de adherencia mejorada o “ barras corrugadas”. Experimentalmente se ha comprobado que la sola presencia de las corrugas aumenta en forma apreciable la adherencia del material y es posible prescindir del uso de los ganchos en los extremos de las barras logrando así menores anchos de fisuras y deflexiones controladas. En los siguientes numerales se presentara en forma resumida los conceptos básicos necesarios para el estudio de la transferencia de fuerzas internas entre el hormigón y el acero. Lo anterior con el fin de ilustrar el uso de las “ longitudes de desarrollo “ y de los “ anclajes mecánicos “ en el material. 6.2 Estudio de las tensiones de adherencia 6.2.1 Desarrollo experimental Las tensiones de adherencia se deben principalmente a la presencia de una fuerza cortante en la interfase de contacto entre el hormigón y el acero. Su origen fue brevemente explicado en le numeral anterior ( fuerzas de adhesión, rozamiento y algunas veces acuñamiento si la barra es corrugada). Estas tensiones de adherencia



pueden describirse como unas tensiones cortantes por unidad de área superficial de la barra y se transfieren del hormigón a la interfase de contacto según el cambio en las tensiones de tracción en toda la longitud del refuerzo. Históricamente se han utilizado varios métodos para determinar estas tensiones. Sin embargo los resultados experimentales no han podido ser claramente admitidos en los códigos de construcción por:

a) La poca confiabilidad de los resultados por utilizar modelos a escala reducida. En estos casos es posible encontrar tensiones de adherencia mas altos que los obtenidos a escala real ya que se ha comprobado que a menor tamaño de las barras mayor es la tensión de adherencia. Por otro lado el patrón de fisuras en el modelo sometido a cargas no guarda mucha relación con el del prototipo. En otras palabras el comportamiento del modelo no es una buena indicación del comportamiento de la estructura a escala real.

b) La interacción de la cortante con la adherencia. Esta combinación de tensiones puede dar lugar a bajas resistencias a cortante principalmente cuando los ensayos son en modelos a escala reducida.

c) La presencia de una respuesta no lineal en los ensayos. Esto se debe a diferencias en el tamaño de las barras, las tensiones en el refuerzo y las longitudes de desarrollo. Experimentalmente se han encontrado tensiones promedio de adherencia, en la falla del elemento, menores a medida que aumenta la longitud de las barras. Adicionalmente una barra con fy = 280 MPa requiere aproximadamente unos dos tercios ( 2/3) de la longitud de desarrollo que requiere una barra de fy = 420 MPa.

d) Se presenta un amplio rango de modos de falla durante los ensayos. Por ejemplo se presentan fallas por: agotamiento del hormigón a compresión, hendimiento en la zona de contacto hormigón-acero, deslizamiento del refuerzo. Las tensiones de tracción por hendimiento y la influencia del espesor del recubrimiento de hormigón sobre el refuerzo dificultan aun mas las generalizaciones que se pueden hacer sobre el comportamiento en la falla de los elementos.

En conclusión, el único ensayo confiable es el realizado a escala real combinando todas las variables que afectan el fenómeno. Sin embargo este procedimiento es costoso y difícil de normalizar por la gran cantidad de variables a considerar. A pesar de todo lo dicho anteriormente la literatura técnica hace referencia a tres tipos de ensayos de adherencia: “el ensayo de extracción o desprendimiento“, “ el ensayo de la viga”, y “ el ensayo de la media-viga”. Ensayo de extracción o desprendimiento: Las primeras tensiones admisibles de adherencia se establecieron con estos ensayos los cuales paralelamente fueron confirmados por pruebas en vigas. En este ensayo se introduce una barra de refuerzo en un cilindro o cubo de hormigón de tal forma que uno de sus extremos quede libre sobresaliendo una determinada longitud para la sujeción en la prensa, ver figura 6.4. Una vez se alcance la edad de prueba ( generalmente entre 7 y 28 días), se mide la fuerza necesaria para extraer una determinada longitud de la barra del bloque de hormigón. De la figura 6.4 se puede concluir que: para cargas bajas se producen pequeños desplazamientos de la barra y al mismo tiempo se desarrollan altas tensiones



de adherencia en las regiones cercanas al punto donde se plica la carga, mientras el resto de la barra no esta tensionada. A mayor carga se incrementa el deslizamiento y este se propaga en una mayor longitud de la barra. Cuando el extremo descargado desliza se alcanza la máxima resistencia de adherencia y la falla se presenta por: a) hendimiento longitudinal del hormigón en el caso de barras corrugadas; b) desprendimiento de la barra del hormigón en el caso de refuerzo de menor diámetro u hormigón liviano; c) rotura de la barra si el empotramiento es perfecto. d3 d2 d1 µ µ P bajas P altas P

Figura 6.4 Ensayo de desprendimiento y tensiones de adherencia, µ.

Ensayos en vigas: Estos son considerados como los de mayor confiabilidad porque se incluyen las fisuras por flexión en las zonas traccionadas de la estructura. Se han usado normalmente dos tipos de vigas: la propuesta por la NBS de los USA, figura 6.5 y la recomendada por la universidad de Texas, figura 6.6. ld ld Zona de estribos L = 2.25 m

Corte

Planta

Figura 6.5 Ensayo de adherencia propuesto por la NBS de los USA.

d: Deslizamiento barra µ: Tensiones de adherencia P: Carga de tracción

Barra de acero



En la viga de la figura 6.5 la falla típica es una fisura diagonal cerca al apoyo que produce un aumento en las tensiones del acero en estos puntos dando como resultado una concentración de tensiones de adherencia cerca al extremo de la viga. ld

Figura 6.6 Ensayo de la viga de la Universidad de Texas

En la viga de la figura 6.6 las barras se colocan en una zona de momento negativo para evitar la restricción contra el hendimiento. La falla típica de estas vigas es por hendimiento y fisuración diagonal. Ensayos con media-viga: Se conoce también como ensayos en voladizo o de pedazos de viga. En este caso la barra de refuerzo se carga directamente y la longitud total de prueba puede modificarse libremente. Los resultados obtenidos indican que existe un poco relación entre adherencia y cortante. En conclusión, a pesar de la existencia de varios tipos de ensayos de adherencia entre el hormigón y el acero de refuerzo, puede afirmarse que en realidad el problema no esta completamente resuelto. En muchos laboratorios avanzados de ingeniería estructural como en el Building Research Station de Londres se han evaluado hasta nueve métodos

Corte

Planta

Diagrama de momentos

M(-)

M(+)



diferentes para medir la propiedad sin llegar a resultados confiables, por lo que aun se siguen utilizando propuestas semi-empíricas para resolver analíticamente el problema. 6.2.2 Desarrollo teórico 6.2.2.1 Adherencia por anclaje. Sea “ld” la longitud de una barra de acero empotrada en el hormigón y sometida a una fuerza neta de extracción de magnitud “ dT”. Si “ db” es el diámetro de la barra, “µ” son las tensiones promedio de adherencia y “ fs” las tensiones de tracción en el refuerzo debido a la fuerza de extracción, o en el caso de vigas a las tensiones por flexión, se tiene de la figura 6.7: Tensiones de adherencia : µ T T + dT ld

Figura 6.7 Tensiones de adherencia por anclaje El incremento de fuerza resistente de extracción por anclaje = dT La Tensión de adherencia x area de contacto µ. ( p.db.ld) Del equilibrio estático: ( )db lddT ..πµ ×=

La fuerza de extracción aplicada = Tensión barra x area transversal = 4. 2

bs

df

π×

De donde se obtiene: ( )4.

..2b

sdbd

fldπ

πµ ×=× despejando términos =>

d

bs

ldf

.4

.=µ (6.1)

µ.4. bs

ddf

l = (6.2)

6.2.2.2 Adherencia por flexión: En la figura 6.8.a se muestra un tramo de longitud “dx ” de una viga de hormigón armado en donde se visualiza esquemáticamente la



variación del momento a lo largo de la luz. Si se asume que después de la fisuración el hormigón no resiste ninguna tracción, la distribución de fuerzas internas en la sección será la indicada en la figura 5.8.b. La variación en el momento flector produce un cambio en la fuerza de tracción en la barra igual a: “ dT = dM / z”. Como la barra debe estar en equilibrio este cambio en la fuerza de tracción se contrarresta por la presencia de una fuerza igual y opuesta en la zona de contacto hormigón-acero llamada fuerza de adherencia, “ U”, la cual es una fuerza por unidad de longitud es decir “ U = dT / dx”. dx Luz

a) Viga simplemente apoyada con carga q(x) C C + dC V V z T T + dT dx

b) Tensiones en la sección dx

T T + dT

c) Tensiones de adherencia en el refuerzo

Figura 6.8 Tensiones y fuerzas internas por adherencia en vigas a flexión De las dos formulas anteriores se tiene “ U.z = dM / dx” de donde “ U = V / z” . Considerando que esta fuerza de adherencia por unidad de longitud, es la resultante de



las tensiones de adherencia tipo cortante, µ, figura 6.8.c uniformemente distribuidas sobre el area de contacto, las tensiones de adherencia nominales están dadas por:

∑=

dxdT

o

µ (6.3)

En donde So es la suma de los perímetros de todas las barras. Alternativamente se puede expresar la ecuación 6.3 en función de la fuerza cortante:

∑=

ZV

o

µ (6.4)

Estas tensiones de adherencia se producen por el cambio en el momento flector a lo largo de la estructura por lo que se denominan “ tensiones de adherencia por flexión”. Sin embargo en estructuras reales estas tensiones son mucho mas complejas que las indicadas por las ecuaciones 6.3 y 6.4. M M

a) Tensiones de adherencia en el hormigón

b) Tensiones de adherencia en el acero

c) Distribución de la magnitud de las tensiones de adherencia en el acero

d) Distribución de la magnitud de las tensiones de adherencia en el hormigón

Figura 6.9 Fuerzas y tensiones de adherencia por flexión



La figura 6.9 muestra un trozo de viga sometido a flexión pura. En las zonas fisuradas no existe resistencia a la tracción del hormigón y por lo tanto en esos puntos la tracción en el acero es máxima y esta dada por “ dT = ( M / z )”. En las zonas ubicadas entre fisuras el hormigón aun resiste pequeñas fuerzas de tracción originadas por las tensiones de adherencia que actúan a lo largo de la interfase de contacto lo que reduce las tensiones en el acero, como lo ilustra la figura 6.9. De la ecuación 6.3 se deduce que las tensiones de adherencia “ µ “son proporcionales a la variación de la fuerza en las barras de refuerzo. Las tensiones de adherencia son máximas en las zonas donde son mayores la pendiente de la curva de fuerza de tracción en la barra y nulas cuando la pendiente es cero. En la Universidad de Cornell ( N.Y.) se han obtenido altas tensiones de adherencia en los puntos adyacentes a las fisuras. Estas tensiones son de tal magnitud que inevitablemente el refuerzo termina deslizándose dentro del hormigón produciendo la falla por adherencia. En la practica en raras ocasiones las estructuras están sometidas a flexión pura, por el contrario existen momentos, cortantes y fuerzas axiales que varían a lo largo de los elementos.

Figura 6.10 Efecto de la fisuración en flexión sobre las tensiones de adherencia

Variación teórica de la fuerza de tracción, T

Variación real de T

Variación real de µ

Variación teórica de µ



La figura 6.10 ilustra el estado típico de fisuración de una viga sometida a una carga uniformemente distribuida. La fuerza de tracción “ T “ deducida del análisis de la sección fisurada es proporcional al diagrama de momentos de la viga, sin embargo su valor real es inferior al obtenido del análisis excepto en los puntos donde se forman las fisuras. De igual forma las tensiones de adherencia “ µ “ teóricas solo son iguales a las reales en aquellos puntos donde la pendiente del diagrama de fuerzas es igual a la pendiente del diagrama teórico. De otro lado si la pendiente real es mayor que la asumida las tensiones de adherencia son mayores y viceversa. En el ejemplo de la figura 6.10 en las zonas próximas a la izquierda de la fisura las tensiones de adherencia reales son mayores que las obtenidas con la ecuación 6.4, mientras que en las zonas próximas a la derecha de las fisuras se presenta el caso contrario. En resumen se esta de acuerdo en afirmar que la magnitud de las tensiones de adherencia reales tienen poca relación con los valores obtenidos con la ecuación 6.4 y que en las zonas de máxima cortante los valores reales son mayores que los indicados por esta ecuación. 6.2.3 Resistencia ultima de adherencia y longitud de desarrollo La falla típica de adherencia es por hendimiento del hormigón a lo largo del refuerzo, ya sea sobre planos verticales u horizontales como se indica en la figura 6.11. Estas fallas se deben a la acción de cuña que ejercen las corrugas cuando se apoyan en el hormigón circundante. ( a ) Cara inferior ( b ) Cara lateral

Figura 6.11 Falla por hendimiento del hormigón a lo largo del refuerzo

Las fisuras por hendimiento en las caras laterales se inician generalmente por las fisuras diagonales. En estos casos la acción de dovela aumenta la tendencia al hendimiento y se comprueba aquí la estrecha relación entre la falla por tracción diagonal y el

Fisuras por hendimiento



hendimiento. La falla completa por adherencia se presenta cuando la fisura por hendimiento se ha propagado en todas las direcciones y hay perdida del anclaje del refuerzo produciéndose un deslizamiento relativo del acero dentro del hormigón previo al colapso de la estructura. En los ensayos realizados tanto en la Universidad de Texas como en NBS ( National Bureau Standars), usando barras corrugadas, se encontró que la falla por hendimiento se presentaba cuando la fuerza de adherencia total “ U “, por unidad de longitud de la barra, alcanzaba un determinado valor critico. Esta fuerza de adherencia, dada en kilo newton por milímetro es completamente independiente del tamaño o perímetro de la barra. El concepto de acción de cuña esta muy relacionado con esta propiedad, ya que los efectos de la cuña dependen mas de la fuerza aplicada que de la forma y tamaño de las barras.

´74 cn fU ×= (N / mm) (6.5) Experimentalmente se ha encontrado que la fuerza promedio ultima de adherencia por unidad de longitud de barra de refuerzo se puede expresar según la ecuación 6.5. Cuando se alcanzo esta magnitud la falla obtenida era: por hendimiento, por deslizamiento excesivo o por altas deformaciones del refuerzo. La mayoría de las pruebas se realizaron sobre vigas similares a la indicada en la figura 6.11, es decir con una sola barra de refuerzo produciendo hendimiento vertical. En el caso de varias barras colocadas en una capa y separadas lateralmente máximo 150 mm la fuerza ultima de adherencia es un 80% de la obtenida con la ecuación 6.5.

´59 cn fU ×= (N / mm) (6.6)

El hecho de que los resultados experimentales indiquen que la resistencia de adherencia esta en función directa de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del hormigón indica la alta correlación entre la falla por hendimiento y la resistencia a la tracción del material. Si se consideran las grandes variaciones locales de las tensiones de adherencia, causadas por la flexión y las fisuras diagonales, es evidente suponer que las fallas locales por adherencia en las zonas cercanas a las fisuras se presentan frecuentemente para cargas considerablemente mas bajas que la carga de falla de la estructura. Como consecuencia de ello se inician pequeños deslizamientos del refuerzo con aumento en el ancho de las fisuras y en las deflexiones que al principio son tolerables pero que en una etapa posterior, cuando se propagan en toda la longitud, producen la falla estructural. Por ejemplo cuando el anclaje extremo de una barra es confiable se puede perder la adherencia en toda la longitud interior sin peligro de perdida de carga de la viga o elemento estructural. En la figura 6.12 se muestra como el momento y las tensiones en el refuerzo son nulas en los apoyos y máximas en el punto “ a “. Si se designa con “ fs” las tensiones en acero en el punto “ a” la fuerza total de tracción en un punto cualquiera de la barra de área Ab es: “ T = Ab fs “, mientras que en extremo de la barra es cero. Es lógico que esta fuerza ha sido transferida del hormigón al acero en una longitud “ l “ por medio de las tensiones de adherencia superficiales. La fuerza de adherencia promedio



por unidad de longitud se indica en al ecuación 6.7. Si esta de adherencia “ U “ es menor que la fuerza de adherencia ultima “ Un “ no se presenta la falla por hendimiento en la longitud “ l “ de la estructura.

lfA

lT

U sbs == (6.7)

P P Punto “ a “ l

Figura 6.12 Concepto de longitud de desarrollo

De la ecuación 6.7 despejando la longitud “ l “ y definiendo esta en función de “ Un ” se obtiene la longitud de desarrollo “ ld “.

n

sbd U

fAl = (6.8)

En particular para asegurar que una barra de refuerzo este lo suficientemente anclada en el hormigón y así pueda desarrollar su máxima resistencia ( la tensión de fluencia: fy ) se recomienda que esta longitud sea la indicada en 6.9. Para barras colocadas en una capa y separadas entre si mas de 150 mm

´´0135.0

74 c

yb

c

ybd

f

fA

f

fAl ×== (mm) (6.9)

Cuando se tienen barras en una capa separadas entre si menos de 150 mm se recomienda utilizar el 80% ( ecuación 6.10) del valor obtenido con la expresión 6.9.

´017.0

c

ybd

f

fAl ×= (mm) (6.10)

En conclusión, si en la estructura de la figura 6.12 la longitud “ l “ es mayor o igual a la longitud de desarrollo “ ld “ no se presentara la falla por adherencia y la viga alcanzara



su máxima resistencia presentando una falla a flexión o una a cortante de acuerdo a las características particulares de la estructura. En definitiva, el principal requisito de seguridad contra la falla por adherencia es “ suministrar siempre una longitud de refuerzo ( l ) mayor o igual a la longitud de desarrollo( ld ) la cual se debe prolongar desde el punto considerado hasta el extremo libre de la barra”. Si se cumple este requisito las tensiones de adherencia por flexión, dadas por la ecuación 6.4, son de importancia secundaria ya que la integridad de la estructura queda asegurada contra las fallas locales de adherencia. Por el contrario si la longitud real disponible es menor que la longitud de desarrollo, deben colocarse anclajes especiales como ganchos para garantizar la resistencia adecuada de la estructura. Ya que “ Un “ es independiente del diámetro de la barra, lo que indica que las fuerzas de adherencia por unidad de longitud son las mismas sean barras grandes o pequeñas, se debe reconocer que para una determinada tensión en el acero “ fs ” las fuerzas en la

barra, dadas por “ sb

sb fd

fA .4.

.2

=

π” son proporcionales al cuadrado del diámetro. Si

este valor se reemplaza en la ecuación 6.8 el resultado es sn

bd f

Ud

l ..4. 2

=

π demostrando

que la longitud de desarrollo aumenta con el cuadrado del diámetro. En consecuencia una sección reforzada con varias barras pequeñas requiere una longitud de desarrollo menor que otra reforzada con barras grandes con igual área de acero. Se demuestra así la mayor eficiencia de las barras pequeñas respecto a la falla por adherencia. Investigaciones adicionales han reconocido la influencia de otros tres factores en la resistencia de adherencia o longitud de empotramiento requerida: a) el recubrimiento de hormigón sobre el refuerzo, b) el espaciamiento lateral de las barras y c) la presencia del refuerzo transversal. En la figura 6.11.a se puede apreciar como a medida que se incrementa el recubrimiento de hormigón se presenta mayor resistencia a tracción del material con un beneficio notable para postergar la falla por hendimiento vertical. En la figura 6.11.b se muestra que a medida que aumenta el espaciamiento lateral del refuerzo ( por ejemplo usando solo dos barras en una sección en lugar de tres) se tendrá mas hormigón para resistir el hendimiento horizontal. Finalmente si se usan estribos abiertos o cerrados para absorber la cortante estos aportaran resistencia para evitar el hendimiento vertical u horizontal. Estos tres factores adicionales permiten reducir la longitud de empotramiento en el hormigón armado. Otras investigaciones han propuesto que la falla por hendimiento proviene de una condición de tensiones análoga a la que se presenta cuando se somete un cilindro de hormigón con una barra de acero embebida a cargas radiales como se indica en la figura 6.13. Las cargas radiales son la fuerzas de apoyo de las barras. El cilindro debe tener un diámetro interior igual al diámetro de la barra “ db “ y un espesor “ C “ igual al valor mas pequeño entre “ Cb “ ( recubrimiento libre en la base) y “ Cs “ ( la mitad del espaciamiento libre entre barras paralelas). La resistencia a la tracción de estos cilindros de hormigón determinan la resistencia contra el hendimiento. Si Cs < Cb se presenta una



falla por hendimiento en un plano horizontal, figura 6.11.b. Cuando Cs > Cb se forman primero las fisuras verticales en la base de la viga, figura 6.11.a. De los resultados de mas de 250 ensayos realizados en USA para verificar las longitudes de desarrollo del refuerzo y usando el análisis estadístico se llego a una expresión en la cual las tensiones de adherencia “ µ “ se expresan en función de la resistencia a la compresión del hormigón “ f c “, el diámetro del refuerzo “ db “, la longitud de anclaje de las barras “ ld “, el espesor del cilindro de hormigón que recubre las barras “ C “ y el efecto del refuerzo transversal medido como “ Av fy / s “. S Cs db Cs Cs Cs1 db Cs2 Cs2 db Cs1 Plano falla Cb Cb Cb > Cs y C = Cs Cs1 > Cb Cs2 > Cb C = Cb ( a ) ( b )

Figura 6.13 Hipótesis del cilindro de hormigón para la falla por hendimiento La expresión deducida estadísticamente para obtener la resistencia de adherencia se indica en la ecuación 6.11. El área de refuerzo transversal es el de las barras que son cortadas por el plano de hendimiento horizontal; la resistencia del refuerzo es “ fye “ y su espaciamiento “ s “. En la figura 6.14 se indican las todas las variables.

b

yev

d

b

bc

calc

ds

fA

ld

dC

f ..500

..50.32.1

´. +++=

µ (6.11)

En donde las unidades están en sistema ingles es decir: µ ( psi), fc (psi), C ( pulg.), db ( pulg.), ld ( pulg.), Av ( pulg.2), fye ( psi) y s ( pulg.). De igual forma el ACI ha utilizado una expresión mas condensada que la 6.11 para obtener las tensiones de adherencia. La ecuación 6.12 es la propuesta por el ACI.

bc

ACI

df

8´

=µ

( unidades inglesas) (6.12)

Cilindro de hormigón que rodea la barra



Cb Cb Cs Cb Cs Cb < Cs / 2 Cb > Cs / 2

Figura 6.14 Variables que afectan las tensiones de adherencia

Para verificar la bondad de las ecuaciones 6.11 y 6.12 con los valores medidos realmente en las pruebas “ µensayo “ usando la ecuación 6.2 se realizo un estudio estadístico graficando las relaciones: “ µensayo / µcalc. “ y “ µensayo / µACI. “ contra numero de ensayos. Los resultados se presentan en la figura 6.15. # de ensayos 50 40 30 20 10 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Relación de tensiones “µ “

Figura 6.15 Relación estadística entre tensiones de adherencia

Ab Ab

Fisuras por hendimiento

µensayo / µcalc. : µensayo / µACI. :



De la figura 6.15 se puede concluir que al usar la ecuación 6.11 “ µensayo / µcalc. “ la distribución de las relaciones de adherencia muestra un valor promedio de 1.0 con una baja desviación estándar. Por el contrario usando la ecuación 6.12 “µensayo / µACI. “ el resultado es una amplio rango de relaciones de adherencia con una alta desviación estándar y un alto numero de relaciones menores que 1.0 ( es decir con una alta probabilidad de que µensayo < µACI. ). El histograma muestra también la posibilidad de usar valores de longitud de desarrollo poco conservadores si se usan los recomendados por el ACI especialmente cuando el recubrimiento y espaciamiento del refuerzo es bajo. Las altas desviaciones estándar obtenidas experimentalmente indican que la aproximación del ACI no considera todas las variables para estimar en forma mas fidedigna la resistencia de adherencia. El ACI establece las tensiones de adherencia con base en el ensayo de desprendimiento en donde se prevenía la falla por hendimiento. Finalmente se han propuesto varias teorías para modificar las longitudes de desarrollo recomendadas por el ACI. El comité 408 ha propuesto una revisión con base en los trabajos por Oragun y sus colaboradores. Algunos cambios ya han sido verificados en los códigos de Suiza y Alemania y gradualmente en otros códigos de construcción internacionales. 6.3 Recomendaciones del código ACI respecto a las longitudes de desarrollo 6.3.1 Generalidades Las practicas actuales de diseño se fundamentan en los principios básicos enunciados en el numeral anterior en lo que tiene que ver con la adherencia por flexión. El principal requisito es que las fuerzas calculadas en el refuerzo en cada sección estructural se desarrollen convenientemente a cada lado ya sea mediante una longitud de empotramiento, gancho, anclaje mecánico o combinación de estos sistemas. Las altas tensiones de adherencia que se localizan localmente cerca de las fisuras por flexión por lo general no son consideradas significativas en el diseño. Aunque en estas zonas se puede presentar algún deslizamiento local este no será progresivo ni conducirá a la falla del elemento siempre y cuando se disponga de anclajes adecuados. Las fuerzas en las barras se deben calcular con base en la tensión de fluencia del acero “ fy “ que es en definitiva la resistencia que debe desarrollar el refuerzo. Las actuales recomendaciones internacionales sobre el tema, fundamentadas en el diseño por resistencia, permiten utilizar una longitud adecuada de anclaje o longitud de desarrollo en lugar del laborioso y aproximado procedimiento de calculo de las tensiones de adherencia por flexión, las cuales no reflejan el comportamiento real de los elementos. Se puede intuir porque razón los siete últimos códigos americanos de edificios de hormigón eliminaron totalmente la determinación de las tensiones de adherencia y en su lugar recomiendan el uso de las longitudes de desarrollo. 6.3.2 Longitud de desarrollo básica ( ldb) Con base en la teoría expuesta en 6.2 y la evidencia experimental se puede concluir como la longitud de desarrollo ( ld ) es función del tamaño y la resistencia en fluencia



del refuerzo y determina la resistencia de las barras al deslizamiento suministrando así la magnitud de la capacidad de falla de la viga. De igual manera se ha confirmado con ensayos de resistencia de adherencia que “ µ “ es función de la raíz cuadrada de “ f c”:

´. cfk=µ (6.13) Donde “ k “ es una constante. Si la resistencia de adherencia iguala o excede la tensión de fluencia de una barra cuya sección transversal es : “ Ab = p.db

2/4 “ se tiene:

ybdb fAld .... ≥µπ

De la ecuación 6.2, 6.13 y la desigualdad anterior y considerando “ ldb “ como la longitud básica de desarrollo =>

´1

c

ybdb

f

fAkl = (6.14)

´2

c

yb

b

db

f

fdk

dl

= (6.15)

Donde las constantes k1 o k2 son función de las propiedades geométricas del refuerzo y las relaciones entre las resistencia de adherencia y la resistencia a compresión del hormigón. La ecuación 6.15 es en consecuencia el modelo básico para definir las longitudes de desarrollo mínimas en elementos estructurales, con el factor k2 como constante experimental que cubre los diferentes factores que afectan la longitud de desarrollo. Esos factores incluyen el tamaño, espaciamiento y recubrimiento de las barras, el tipo de hormigón, el espaciamiento y cantidad de refuerzo transversal, el efecto del uso de cantidades excesivas de refuerzo por flexión, el uso de barras con recubrimientos superficiales y el efecto del deslizamiento de las barras. Estos factores han sido ampliamente investigados en los últimos 30 años particularmente por el equipo de investigadores de la Universidad de Texas en Austin. 6.3.3 Longitud de desarrollo para barras corrugadas en tracción La ecuación 6.15 es transformada por el código ACI-318 reemplazando los coeficientes k2db por multiplicadores que reflejen los efectos del espaciamiento de las barras, recubrimiento, confinamiento del refuerzo transversal, tipo de hormigón y características de recubrimiento superficial de las barras. La longitud total de desarrollo “ ld “ para barras o alambres corrugados obtenida al utilizar estos multiplicadores sobre la longitud de desarrollo básica “ ldb ” es:



b

b

trc

yd d

dkcf

fl .

109

´

+=

αβγλ (6.16)

Donde el termino “ ( c+kt r)/ db “ no debe exceder de 2.5 ni ser menor que 1.5. Para los

valores usuales de resistencia del hormigón ´cf no debe exceder de 8.4 MPa.

6.3.4 Coeficientes multiplicadores de la longitud de desarrollo en barras a tracción § a : Factor de localización de las barras

a Características

1.3 Bajo el refuerzo hay una capa de hormigón de mas de 300 mm de espesor 1.0 En otros casos

§ ß : Factor de recubrimiento superficial del refuerzo

ß Características

1.5 Barras recubiertas con epoxi con recubrimiento menor que 3db o con un espaciamiento libre menor que 6db

1.2 Todas las barras y alambres con recubrimiento epoxi 1.0 Refuerzo sin recubrimiento superficial

Nota: En cualquier caso el producto “ a ß “ no debe ser superior a 1.7 § ? : Factor de tamaño de las barras

? Características

0.8 Para barras # 6 y menores ( Alambres # 20 y menores) 1.0 Con barras # 7 y mayores ( Alambres # 25 y mayores)

§ ? : factor de hormigón con agregado liviano

? Características

1.3 Cuando se usa hormigón con agregado liviano 1.0 Cuando se especifica fct , ? se puede tomar como: 0.18.1´ ≥ctc ff 1.0 Para hormigón con agregado de peso normal

§ c : Espaciamiento o recubrimiento del refuerzo (mm)

Usar el valor mas pequeño de la distancia del centro de la barra o alambre a la superficie mas cercana de hormigón o la mitad del espaciamiento centro a centro de las barras o alambres que se van a desarrollar.



§ kt r : Índice de refuerzo transversal =sn

fA yttr

10

Donde At r: Área total de refuerzo transversal en la sección considerada que espaciado cada “ s “ corta el plano de falla con el refuerzo a desarrollar (mm2) fyt : Resistencia en fluencia del refuerzo transversal ( MPa) s : Espaciamiento del refuerzo transversal en la longitud “ ld “( mm) n : Numero de barras o alambres que se van a desarrollar en el plano de falla. El ACI permite usar como simplificación un valor de kt r = 0 para diseños conservadores aun si la sección tiene refuerzo transversal. La longitud de desarrollo mínima para todos los casos es de 300 mm. § ?s : Factor de exceso de refuerzo

El ACI permite la reducción de ld si el refuerzo longitudinal de flexión esta en exceso de la cantidad requerida por el análisis, excepto cuando se requiera específicamente una longitud de anclaje o desarrollo para fy o el refuerzo considere efectos sísmicos.

( )( )colocadoArequeridoA

s

ss =λ y

4202y

s

f=λ para aquellos casos donde fy > 420 MPa.

En algunos casos prácticos se pueden simplificar los cálculos y en lugar de usar la expresión 6.16 se puede utilizar la tabla 6.1 usando un valor de “ ( c+kt r)/ db = 1.5 “ y una resistencia del hormigón de f´c = 28 MPa. Igualmente la tabla 6.2 es una guía general para estimar las longitudes de desarrollo de barras desde la # 3 hasta la # 11 en condiciones típicas de construcción. 6.3.5 Longitud de desarrollo y factores modificadores de barras a compresión, ldc El refuerzo a compresión requiere una menor longitud de desarrollo que las barras a tracción. esto se debe a la ausencia del efecto de fragilidad por la presencia de fisuras de tracción. En este caso la expresión para estimar la longitud de desarrollo es:

´24.0

c

ybcd

f

fdl = (6.17)

Su valor debe cumplir la condición: ybdc fdl 043.0≥ donde la constante de 0.043 tiene las unidades de mm2 / N. Además esta longitud no puede ser inferior a 200 mm. Los factores multiplicadores son los siguientes:

§ Para exceso de refuerzo: ( )( )colocadoArequeridoA

s

ss =λ

§ Si se usa refuerzo transversal en espiral: 75.01 =sλ



Tabla 6.1 Determinación simplificada de las longitudes de desarrollo

Características Barras # 6 y menores

Barras # 7 y mayores

El espaciamiento libre entre barras a desarrollar o empalmar debe ser mayor que db, el recubrimiento mayor que db, y la cantidad de estribos o amarres transversales mayores a los mínimos especificados.

o Espaciamiento libre de barras a desarrollar o empalmar debe ser mayor que 2db y el recubrimiento libre mayor que el db Si fć = 28 MPa, fy = 420 MPa a ,ß ,? = 1.0

´25

12

c

y

b

d

f

f

dl αβγλ

=

bd dl 38=

´5

3

c

y

b

d

f

f

dl αβγλ

=

bd dl 48=

Otros casos ( 1.5 veces los valores anteriores). Si fć = 28 MPa, fy = 420 MPa a ,ß ,? = 1.0

´25

18

c

y

b

d

f

f

dl αβγλ

=

bd dl 57=

´10

9

c

y

b

d

f

f

dl αβγλ

=

bd dl 72=

Tabla 6.2 Longitud de desarrollo del refuerzo a tracción. fć = 28 MPa, fy =420 MPa Longitud de desarrollo, ld ( mm) s>2db o db recubrimiento libre>db Otros casos # de barra Area Diametro <= # 6 : ld = 40 db <= # 6 : ld = 60 db

# (mm2) (mm) >= # 7 : ld = 50 db >= # 7 : ld = 74 db 3 71 9.50 361 542 4 129 12.70 483 724 5 200 15.90 604 906 6 284 19.05 724 1086 7 387 22.22 1067 1600 8 509 25.40 1219 1829 9 645 28.65 1375 2063

10 819 32.26 1548 2323 11 1017 35.81 1719 2578

a ,ß ,? = 1.0 y ? = 0.8 para barras menores o iguales a la # 6. ? = 1.0 para # 7 y mayores

Para fć diferentes de 28 MPa multiplicar los valores de la tabla por ( ´28 cf ).

Para fy = 280 MPa multiplicar por 2/3. la ćf no debe exceder de 8.4 MPa.



6.3.6 Longitud de desarrollo de barras en paquete a tracción y a compresión Si se utilizan barras en paquete ya sea a tracción o a compresión ld se debe incrementar en un 20% para paquetes de tres barras y un 33% para paquetes de cuatro barras. La

´cf no debe ser mayor que 8.4 MPa. Con el fin de determinar los factores de

modificación un paquete de barras es considerado como una sola barra cuyo diámetro se obtiene del área total equivalente de barras. Sin embargo, debido a que tanto las longitudes de desarrollo como los empalmes de basan en el diámetro de una barra, los valores obtenidos se deben aumentar en un 20 o 33% según el caso. Es importante reconocer que se debe usar un diámetro equivalente del paquete de barras, obtenido del área total de refuerzo, cuando se determinan los factores de modificación tanto para el recubrimiento como para el espaciamiento libre y representan la tendencia del hormigón a sufrir falla por hendimiento. Ejemplo 6.1 Determinar la longitud de empotramiento requerida en barras corrugadas para los siguientes casos: § Barras # 7 colocadas en una capa como refuerzo superior en una viga con

refuerzo transversal # 3. Espaciamiento entre barras 2db; recubrimiento libre 38.1 mm en cada extremo y las barras no están empalmadas.

§ Igual al caso anterior pero el espaciamiento libre entre barras es el mínimo de db o 25 mm. Las barras tienen recubrimiento epoxi.

§ Igual al primer caso excepto que el espaciamiento libre entre barras es 3db y el refuerzo no esta en la parte superior.

§ Considerar que las barras # 7 del primer caso están en compresión y el hormigón es liviano. Asumir que el refuerzo colocado es un 10% mayor que el requerido.

Considerar además: f c = 28 MPa, fy = 420 MPa y hormigón de peso normal. Solución: Utilizando las expresiones y factores de modificación en cada caso se tiene: § Primer caso. La longitud de desarrollo se obtiene con la expresión 6.16 y los

siguientes factores de modificación: a = 1.3 ( barras superiores); ß = 1.0 ( refuerzo sin recubrimiento superficial); ? = 1.0 ( La barra es # 7 ); ? = 1.0 ( hormigón de peso normal); db = 22.2 mm y c = menor distancia entre la barra y

la superficie mas cercana de hormigón ( mmc .2.492

2.221.38 =+= ) o la mitad

del espaciamiento centro a centro de barras ( ( )

mmc .3.332

2.222.222=

+= );

controlando la menor es decir c = 33.3 mm.

Kt r se puede asumir igual a cero para un diseño simplificado ( no se considera el refuerzo transversal). El termino: ( c + kt r)/ db = ( 33.3 + 0 ) / 22.2 = 1.5

´cf = CumpleMPaMPa ⇒<= 4.8.3.528



mmddl bbd .13728.615.1

0.10.10.13.13.5

420109

==××××

××=

Si se utiliza la tabla 6.1 ( kt r = 1.5 ) => ld = 48 a db =48 x 1.3 x 22.2=1385 mm. Análogamente con la tabla 6.2 => ld = 1067 x 1.3 = 1387 mm.

§ Segundo caso. Los factores son: a = 1.3 ( barras superiores); ß = 1.5 ; ? = 1.0 y ? = 1.0. Usando la tabla 6.1: a ß = 1.3 x 1.5 = 1.95 > 1.70 => se debe usar el menor : a ß = 1.7

mmdl bd .18112.2270.14848 =××== αβ

§ Tercer caso. a = 1.0 ( barras inferiores); ß = 1.0 ; ? = 1.0 y ? = 1.0. De la tabla

6.1

mmdl bd .10662.224848 =×==

§ Cuarto caso. ? = 1.3 ( hormigón de agregado liviano). Para refuerzo a compresión se utiliza la expresión 6.17

mmldc .42328

4202.2224.0 =

××=

Se debe cumplir que ldc > 0.043x420x22.2 = 401 mm => Controla ldc = 423 mm ?s2 = 1 / 1.1 = 0.91 ( Factor de exceso de refuerzo)

mmld .50091.03.1423 =××=

Ejemplo 6.2 Determinar la longitud de desarrollo requerida para las barras # 8 inferiores y sin recubrimiento superficial indicadas en la figura 6.16. Considerar los siguientes casos: a) kt r = 0.0 y b) calcular el valor de kt r

Solución: Consultando los correspondientes factores de modificación se tiene: § a = 1.0 para barras inferiores § ß = 1.0 para barras sin recubrimiento epoxi § ? = 1.0 para barras # 8 § ? = 1.0 para hormigón de peso normal § c : recubrimiento del refuerzo ( 75 mm) o ½ espaciamiento de barras ( 37.5 mm).



375 mm 450 mm 75 mm 75 2 @75=150 75 mm 300 mm


a) Utilizando kt r = 0.0 =>

mmddl bbd .14204.259.559.55

4.250.05.37

0.10.10.10.121

420109

=×==×

+

×××××=

b) Usando el valor calculado de kt r =>

94.9320010

420712=

××××

=trk biend

kc

b

tr →<=+

=+

5.287.14.25

94.95.37

mmldl

db

d .11184.25444487.1

0.10.10.10.121

420109

=×=⇒=×××

×

×

=

Ejemplo 6.3 Las barras inferiores # 7 indicadas en la figura 6.17 tienen recubrimiento epoxi. Si se asume que el hormigón es de peso normal, fy = 420 MPa y f´c = 25 MPa, determinar las longitudes de desarrollo cuando: a) Se utiliza el método simplificado del ACI, b) Cuando se usa el método con el calculo de kt r y c) Cuando se asume kt r = 0.0. Solución: Determinando los factores de modificación => § a = 1.0 para barras inferiores § ß = 1.5 para barras con recubrimiento epoxi con separación libre < 6db § a ß = 1.0 x 1.5 = 1.5 < 1.7 => cumple § ? = 1.0 para barras mayores que la # 7

Estribos # 3 @ 200 mm


3 # 8



§ ? = 1.0 para hormigón de peso normal § c : recubrimiento del refuerzo ( 80 mm) o ½ espaciamiento de barras ( 40 mm).

520 mm 600 mm 80 mm 80 3 @80=150 80 mm 400 mm


a) Utilizando la expresión simplificada de tabla 6.1:

mmlf

f

dl

d

c

y

b

d .16872.22767625

0.10.15.142053

53

´=×=⇒=

××××==

αβγλ

b) Usando la expresión 6.16 con el valor real de kt r:

94.9415010

420712=

××××

=trk Cumpled

kc

b

tr ⇒<=+

=+

50.225.22.2294.940

mmldl

db

d .11102.22505025.2

0.10.15.125

420109

=×=⇒=××

××=

c) Utilizando la expresión 6.16 con kt r = 0.0

Cumpled

kc

b

tr ⇒<=+

=+

50.280.12.22

0.040

mmldl

db

d .13992.22636380.1

0.10.15.125

420109

=×=⇒=××

××=



4 # 7



Ejemplo 6.4 La figura 6.18 muestra el refuerzo superior de una viga de hormigón armado donde el refuerzo requerido por flexión es de As = 1860 mm2. El acero colocado lo constituyen 4 barras # 8 ( As real = 4 x 509 = 2036 mm2). Las barras no tienen recubrimiento epoxi. Determinar las longitudes de desarrollo considerando un fy = 420 MPa y un f´c = 25 MPa para las siguientes condiciones: a) Usando las ecuaciones simplificadas, b) Usando la ecuación completa 6.16 y c) Considerando kt r = 0.00 75 3 @ 100 75 mm 75 mm 575 mm 650 mm 450 mm


Solución: Con referencia a los factores de modificación se tiene: § a = 1.3 para barras superiores § ß = 1.0 para barras sin recubrimiento epoxi § a ß = 1.0 x 1.3 = 1.3 < 1.7 => cumple § ? = 1.0 para barras mayores que la # 7 § ? = 1.3 para hormigón de agregado liviano § c : recubrimiento del refuerzo ( 75 mm) o ½ espaciamiento de barras ( 50 mm)

a) Usando la expresión simplificada

mmlf

f

dl

d

c

y

b

d .21594.25858525

3.10.13.142053

53

´=×=⇒=

××××==

αβγλ

Este valor se puede reducir en:

( )( )

mmlcolocadoArequeridoA

ds

ss .1965215991.091.0

20361860

=×=⇒===λ

b) Usando la ecuación completa 6.16 con el valor real de kt r:


4 # 8 = 2036 mm2



45.7420010

420712=

××××

=trk Cumpled

kc

b

tr ⇒<=+

=+

50.226.24.25

45.750

mmldl

db

d .13184.2591.0575726.2

3.10.13.125

420109

=××=⇒=××

××=

c) Usando la ecuación 6.16 con kt r = 0.0

Cumpled

kc

b

tr ⇒<=+

=+

50.297.14.25

0.050

mmldl

db

d .15024.2591.0656597.1

3.10.13.125

420109

=××=⇒=××

××=

Ejemplo 6.5 Para la sección de viga de la figura 6.19 determinar la longitud de desarrollo de las barras en paquete indicadas considerando los siguientes datos: las barras no tienen recubrimiento epoxi, el valor de ktr = 0.0, f´c = 21 MPa, fy = 420 MPa y el hormigón es de peso normal. 350 mm 500 mm 550 mm 50 mm 50 250 50 mm

Figura 6.19 Sección de viga del ejemplo 6.5 Solución: Con referencia a los factores de modificación => 0.1==== λγβα

Área paquete ( 3 # 8 ) = 1527 mm2 Diámetro paquete: mmdb .4415274

=×

=π

Espaciamiento libre entre paquetes : ( )( ) ( )( ) mm.1434425.92250 =−−

3#8 3#8 Estribos # 3



El valor de “ c “ se toma como el menor de:

El recubrimiento de las barras : ( ) mmc .5.812

445.950 =++= o

½ de la separación de barras c.a.c. : ( )( )

mmc .5.932

445.92250=

−−=

Utilizando la ecuación 6.16 con un kt r = 0.0 => 85.144

0.05.81=

+=

+

b

tr

dkc

( )( )( )( )

mmdldl

bdb

d .20244446464685.1

0.10.10.10.121

420109

=×==⇒=

=

Según el ACI este valor se debe aumentar en un 20% para paquetes de tres barras:

bdd dlmml 55.2429202420.1 =⇔=×=

Ejemplo 6.6 La figura 6.20 muestra la unión viga-columna de un edificio de hormigón armado. El análisis de la estructura indica que el refuerzo negativo requerido en el extremo de la viga es 1871 mm2 los cuales se cubren con 2 # 11 ( As = 2012 mm2). Las dimensiones de la viga son b = 250 mm , h = 550 mm , d = 475 mm. El diseño recomienda estribos # 3 cada 75 mm y sobre el apoyo estribos # 3 cada 125 mm con un recubrimiento libre de 40 mm. El hormigón es de peso normal con un f´c = 28 MPa y el refuerzo es de fy = 420 MPa. Determinar la distancia mínima, ld , para la cual las barras negativas pueden cortarse, utilizando la longitud de desarrollo requerida por el refuerzo en la zona de contacto con la columna. Considerar a) El procedimiento con la ecuación simplificada de la tabla 6.1, b) Usando la tabla 6.2 y c) Usando la ecuación 6.16. 550 mm Barras # 10 ld 2 # 11 75 mm 40mm d 50 mm Barras # 11 b = 250 mm Sección de viga

Figura 6.20 Unión viga-columna del 6.6



Solución: Se revisaran inicialmente los espaciamientos y recubrimientos del refuerzo para aplicar la tabla 6.1. § Espaciamiento libre de barras # 11 = ( ) mm.4.798.355.9402250 =++×− es

decir que su valor es ( 79.4 / 35.8) = 2.22 veces el db. § El recubrimiento lateral libre de las barras # 11 en la viga es:

mm.5.495.940 =+ que significa ( 49.5 / 35.8 ) = 1.38 veces el db. § El recubrimiento en el borde superior de la viga es: mm.1.5728.3575 =− es

decir ( 57.1 / 35.8 ) = 1.59 veces el db. a) Las anteriores dimensiones cumplen las restricciones establecidas en la tabla 6.1 para aplicar las ecuaciones simplificadas correspondientes. Los factores son: § a = 1.3 para barras superiores § ß = 1.0 para barras sin recubrimiento epoxi § a ß = 1.0 x 1.3 = 1.3 < 1.7 => cumple § ? = 1.0 para barras mayores que la # 7 § ? = 1.0 para hormigón de peso normal ( 2.35 Mg/m3)

mmldl

db

d .22208.35626228

0.10.13.142053

=×=⇒=×××

×=

Esta longitud puede reducirse en un ?s:

( )( )

mmlcolocadoArequeridoA

ds

ss .2065222093.093.0

20121871

=×=⇒===λ

b) Alternativamente usando la tabla 6.2 se tiene: mmld .207893.03.11719 =××= valor prácticamente igual al obtenido de la tabla 6.1. c) Si se utiliza la expresión 6.16 se debe calcular el valor de “ c “ como el menor de:

El recubrimiento de las barras : ( ) mmc 75.682

5.385.940 =++= o

½ de la separación de barras c.a.c. : ( )

mmc 6.572

28.355.9402250=

++−=

La falla potencial por hendimiento se presenta en el plano horizontal de las barras y el valor de At r es dos veces el área del estribo. Con base en estribos # 3 @ 125 mm:

9.23212510

420712=

××××

=trK y 28.28.35

9.236.57=

+=

+

b

tr

dKc

Este valor es menor que el limite de 2.5 => aplicando la ecuación 6.16:



( )( )( )( )mmdl

dl

bdb

d .14688.3541414128.2

0.10.10.13.128

420109

=×==⇒=

=

Aplicando el factor de exceso de refuerzo a flexión ?s => mmld .136593.01468 =×= Este valor es muy inferior al obtenido en a) y b) lo que explica como el uso de la expresión completa para la determinación de la longitud de desarrollo permite obtener valores razonablemente seguros y económicos que los obtenidos con las tablas y formulas aproximadas. Ejemplo 6.7 La figura 6.21 muestra el refuerzo en forma de dovelas que requiere la unión columna-zapata de una estructura de hormigón armado. Este refuerzo esta constituido por barras # 9 para las cuales se requiere determinar la longitud de desarrollo a) del tramo que entra a la zapata y b) el tramo que entra a la columna. ld ld

Figura 6.21 Unión columna-zapata del ejemplo 6.7 a) Para el tramo que entra a la zapata:

mmf

fdl

c

ybcd .631

214207.28

24.024.0´

=×

×==

mmldc .5184207.28043.0 =××≥ => el valor anterior controla

Por lo tanto se debe utilizar una longitud dentro de la zapata de ldc = 630 mm. En este caso no se utiliza ningún factor de modificación y por ningún motivo esta longitud debe ser menor que 200 mm. b) tramo en la columna:

mmf

fdl

c

ybcd .489

354207.28

24.024.0´

=×

×==


f´c = 21 MPa

Dovelas # 9



mmldc .5184207.28043.0 =××≥ => controla este valor La longitud del tramo de dovela por encima de la zapata es de ldc = 520 mm. R / Las dovelas se deben prolongar 630 mm dentro de la zapata y 520 mm dentro de la columna. 6.4 Anclajes mecánicos y ganchos 6.4.1 Generalidades Una característica típica de los ejemplos anteriores es que las longitudes de desarrollo se podían colocar sin limitaciones geométricas en los elementos estructurales. Sin embargo esta no es la practica general y en ocasiones no se dispone de espacio suficiente para ubicar toda la longitud recta de empotramiento requerida en el refuerzo como por ejemplo en uniones exteriores viga-columna, mensulas y voladizos. Como consecuencia el diseñador se ve obligado a utilizar anclajes especiales en los extremos de las barras en forma de ganchos ya sea a 90° o 180°. Estos ganchos son considerados poco efectivos para barras a compresión. Los ganchos son colocados relativamente cerca de la superficie exterior del elemento y su capacidad mecánica se puede estimar con base en las fuerzas de hendimiento que son proporcionales a la fuerzas totales en las barras. Por lo general los ganchos estándar no desarrollan la tensión total de fluencia del refuerzo. Si “ lhb “ es la longitud básica de desarrollo para un gancho estándar en tracción, se debe cumplir que la longitud de empotramiento total que se debe colocar para lograr una “ ldh “ es igual a “ lhb “ veces cualquier factor modificador aplicable “ ? “ y no debe ser menor que 8db ni 150 mm, controlando la mayor. 6.4.2 Longitud de desarrollo para barras con extremos terminados en ganchos La figura 6.22 muestra la longitud de desarrollo “ ldh “ de los ganchos mas frecuentes utilizados en los diseños estructurales. Experimentalmente se concluye que “ ldb “ depende del tamaño de las barras “ db “, la resistencia del refuerzo en fluencia “ fy “ y de la resistencia a compresión del hormigón “ f c “ . Cuando se utiliza acero de fy = 420 MPa se cumple:

´

100

c

bhb

f

dl

×= (6.18)

Donde el diámetro de la barra del gancho esta mm. Tanto el gancho a 90° con una prolongación de 12db en su extremo como el gancho de 180° con una prolongación de 4db (pero no menor que 65 mm) se pueden utilizar indistintamente. Sin embargo cuando las secciones son de poca altura ( caso típico de losas planas o vigas de poco espesor) el gancho preferido es el de 180°. Los radios de doblado y los diámetros se miden en la cara interior de los ganchos.



db 12db ldh db 4db o 65 mm ldh

Figura 6.22 Detalles de los ganchos estándar

Sección critica

Sección critica

Para # 3 a # 8 => 4db Para # 8 a # 11 => 5db

Para # 3 a # 8 => 4db Para # 8 a # 11 => 5db



6.4.3 Factores de modificación para ganchos en tracción Los siguientes factores de modificación afectan a la longitud “ lhb “ con el fin de estimar correctamente “ ldh “. La NSR-98 los define en C.12.5.3 y el ACI en 12.5.3. Como resumen de las disposiciones al respecto se presentaran aquí sus valores con la advertencia de que solo se pueden aplicar a los ganchos estándar mencionados. El uso de otros radios de giro no están cubiertos por estos factores. Para el diseño de ganchos no hay distinción entre barras superiores o inferiores. § Tensión de fluencia del refuerzo. Si las barras de refuerzo tienen un “ fy “

diferente de 420 MPa el valor de “ lhb “ se debe multiplicar por ?s2 = ( fy / 420 ). § Recubrimiento. Cuando el gancho es de diámetro menor o igual a la # 11, el

recubrimiento respecto a la superficie perpenticular al gancho es mayor o igual a 65 mm y para gancho a 90° con recubrimiento de 50 mm en la longitud después del gancho => ?d = 0.7

§ Amarres o estribos. Para ganchos con barras menores o iguales a la # 11 los cuales están sujetos vertical y horizontalmente por amarres y estribos a lo largo de toda la longitud “ ldh “ y el espaciamiento no es mayor que 3db ( donde db es el diámetro del gancho) => ?d = 0.8

§ Exceso de refuerzo. Cuando la cantidad de refuerzo a flexión colocada excede de la realmente requerida en los cálculos y las especificaciones utilizadas indiquen que la longitud de desarrollo no depende de “ fy “ el valor de “ lhb “ puede multiplicarse por: ?d = ( As requerido / As colocado)

§ Agregado liviano. Cuando el hormigón se fabrique con agregado liviano se debe usar un factor de modificación ? = 1.3

§ Refuerzo con recubrimiento epoxi. Cuando las barras que constituyen el gancho tienen recubrimiento epoxi se debe usar un ? = 1.2

§ Ganchos en bordes discontinuos. Si el recubrimiento de hormigón es menor que 65 mm, las barras deben estar confinadas por amarres o estribos a lo largo de la longitud total de desarrollo “ ldh “ espaciados a no mas de 3db; para este caso el factor de 0.8 no será aplicable.

Ce 65 mm ldh Cs Sección de viga

Figura 6.23 Detalle típico de ganchos cuando se tienen bajos recubrimientos

mm.65≥

mm.65≤



Ejemplo 6.8 Determinar la longitud de empotramiento o desarrollo para el refuerzo indicado en la figura 6.24. Considerar los siguientes casos: a) Las barras son rectas con Kt r = 0.0, b) Se utilizaran ganchos a 180° y c) Se usaran ganchos a 90°. Las 6 # 9 indicadas tienen recubrimiento epoxi y se consideran barras superiores . f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. 65 2 @ 110 65 mm 65 mm 115 mm 500 mm 320 mm 350 mm

Figura 6.24 Sección y corte de la viga del ejemplo 6.8 Solución:

a) Cuando se usan barras rectas

§ a = 1.3 => barras superiores § ß = 1.5 => barras con recubrimiento epoxi < 3db o separación libre < 6db § a ß = 1.3 x 1.5 = 1.95 > 1.7 => usar 1.7 § ? = 1.0 => barras # 9 § ? = 1.0 => hormigón de peso normal § c = recubrimiento lateral de las barras = 65 mm § c = ½ de la separación c.a.c de las barras = 55 mm => Controla

Cumpled

Kc

b

tr ⇒<=+

=+

5.292.17.28

0.055

mmldl

db

d .18087.28636392.1

0.10.17.128

420109

=×=⇒=××

×

×

=

b) Si se usan ganchos a 180°

mmf

dl

c

bhb .542

287.28100100

´=

×=

×=

6 # 9



El factor de modificación es = 1.5 para refuerzo con recubrimiento epoxi

( )mmdmml bdh .2307.2888.8135425.1 =×>=×= => Cumple

ldh = 813 mm 5db 4db

c) Si se usan ganchos a 90°

mmldh .813= Cuando el recubrimiento no es mayor que 65 mm

ldh = 813 mm 12db = 345 mm

6.4.4 Soporte experimental de la ecuación 6.18 La resistencia al desprendimiento de una barra terminada en gancho depende de la acción combinada de las fuerzas de adherencia en la longitud recta que precede al gancho mas el anclaje que este ejerce. Las pruebas indican que la causa principal que produce la falla en estos casos es el hendimiento del hormigón en el plano del gancho. Esta falla se debe a las altas tensiones que se generan en el hormigón localizado en el interior del gancho. Las tensiones de hendimiento, para una determinada fuerza de tracción en la barra, dependen principalmente de su diámetro y de su radio de doblado. La resistencia del hormigón al hendimiento dependen del espesor del recubrimiento en estas zonas, si este es pequeño la resistencia al desprendimiento se debe aumentar colocando refuerzo de confinamiento en forma de estribos cerrados. Por ejemplo un gancho a tracción de 90° desarrolla las fuerzas de adherencia indicadas en al figura 6.25. Las tensiones en las barras se transmiten tanto por adherencia como por apoyo del

Sección critica

Sección critica Punto de tangencia



A B C

a) tensiones y deslizamientos en un gancho a 90° A B C

b) tensiones y deslizamientos en un gancho a 180°

Figura 6.25 Comportamiento experimental de los ganchos

s = 530 MPa

s = 400 MPa

s = 90 MPa

s = 315 MPa

d = 0.91 mm d = 0.30 mm

d = 0.05 mm

Cola del gancho

Codo

s = 315 MPa

d = 1.60 mm d = 0.56 mm

d = 0.15 mm

s = 205 MPa



refuerzo en el hormigón. El proceso de falla es el siguiente: “ el gancho se desplaza hacia afuera por la acción de la fuerza de tracción y trata de abrir un boquete expulsando al hormigón que esta en su interior. Como las fuerzas de compresión radiales en el codo interior del gancho no son colineales con las fuerzas de tracción, la barra trata de enderezarse produciendo tensiones de compresión en la zona externa de la cola del gancho y la falla es generalmente por rotura del hormigón al interior del gancho. Si el gancho trata de cerrarse lateralmente la rotura del hormigón se extiende a la superficie de la estructura desprendiendo el recubrimiento. Ocasionalmente se fisura el hormigón que rodea la cola en dirección del desplazamiento” . La figura 6.25 ilustra este proceso y muestra las tensiones y los desplazamientos que se generan para los dos tipos de ganchos estudiados. Las tensiones axiales disminuyen debido a la adherencia de la parte recta de la barra antes del gancho y a la fricción en la zona interior de la barra. La magnitud y dirección de los desplazamientos en los puntos A, B y C se indican por medio de flechas. El deslizamiento “ d “ en el punto A es un 75% mayor en el gancho a 180° que en el de 90°. La magnitud del desplazamiento depende básicamente del ángulo de doblado y de la orientación del gancho respecto a la dirección de vaciado del hormigón. El efecto del deslizamiento del gancho es mas notable en las barras superiores o altas; en varios ensayos se midieron deslizamientos entre un 50% y un 100% mayores que en barras inferiores para una misma tensión axial. En al figura 6.26 se muestran las curvas típicas “ carga-deslizamiento” para ganchos a 180° en distintas posiciones respecto a la dirección del vaciado del hormigón. La carga se expresa en función de la relación “ fs / f´c”. Se comprueba como los ganchos orientados en dirección 2 y 4 evidencian un rendimiento menor comparado con los otros casos. Se ha demostrado igualmente que una barra doblada un ángulo entre 90° y 180° no es mas eficiente que otra doblada a 90°, esto debido a la concentración de tensiones que genera el gancho en estos tipos de doblado. En la figura 6.27 se comparan varios ángulos de doblados utilizando la misma longitud de empotramiento “ 10db”. Se muestra el comportamiento cuando el gancho va en el mismo sentido del vaciado del hormigón y cuando va en sentido contrario. Las recomendaciones actuales del capitulo 12 y C12 de los códigos ACI y NSR para el calculo de las longitudes de desarrollo del refuerzo terminado en ganchos se fundamentan en estas investigaciones, teniendo en cuenta tanto el aporte de la adherencia del tramo recto de la barra como el anclaje que realiza el gancho en su extremo libre. 6.4.5 Longitud de desarrollo del refuerzo transversal: estribos El refuerzo transversal debe anclarse convenientemente en la sección para que desarrolle toda su tensión de fluencia cuando sea solicitado por las cargas externas. Por obvias limitaciones geométricas esto es imposible de lograr con tramos rectos y para la zonas superiores se recurre a ganchos de 90° y 135° mientras que en las partes inferiores se dobla a 90° bordeando el refuerzo inferior. La figura 6.28 muestra las características típicas del gancho. En el caso de vigas simplemente apoyadas o en regiones de momento positivo de vigas continuas, donde generalmente no hay refuerzo superior, se deben colocar barras longitudinales de apoyo para anclar así los estribos.



Figura 6.26 Comportamiento de ganchos a 180° en tracción

Figura 6.27 Comportamiento de diferentes tipos de ganchos a) Gancho contrario al vaciado, b) Gancho en sentido del vaciado.



Estas barras superiores son por lo general del mismo diámetro que los estribos y no solo suministran un buen anclaje sino que facilitan las tareas de ensamble y armado del refuerzo y evitando movimientos del refuerzo durante el vaciado del hormigón. 6db 12db 45° 6db

Figura 6.28 Detalles de ganchos para estribos

El código ACI ( y la norma NSR) define unos requisitos especiales para el anclaje de los estribos. En el caso de estribos de una rama, dos ramas en forma de U, o varias ramas en forma de U, se deben usar las siguientes recomendaciones: § Si se usan barras menores o iguales a la # 5 y barras # 6, # 7 o # 8 con fy menor

o igual a 280 MPa se debe utilizar un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal como se muestra en la figura 6.29.a.

§ Para estribos # 6 , # 7 o # 8 con fy mayor de 280 MPa se debe usar un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal mas una longitud de empotramiento, medida desde el punto medio de la sección hasta el borde

donde dobla el estribo, mayor o igual a ´17.0 cyb ffd . Se especifica además que cuando se tienen estribos de varias ramas cada gancho debe quedar amarrado con una barra longitudinal como se indica en la figura 6.29.c. Las barras longitudinales dobladas pueden actuar como refuerzo a cortante si estas se prolongan: a) en una región a tracción con el refuerzo longitudinal o b) en una región a compresión una longitud d/2 . Cuando se utilizan pares de estribos abiertos para completar el estribo estos se deben empalmar una longitud mínima igual a 1.3ld como se indica en la figura 6.29.d.

Barras menores o iguales a la # 5

Barras # 6, # 7 y # 8

Barras < # 8



db a) b) c) d)

Figura 6.29 Requisitos generales para anclaje de los estribos

6.5 Puntos de corte o doblado del refuerzo 6.5.1 Generalidades En estructura continuas el refuerzo colocado en las zonas traccionadas permite mantener en equilibrio las fuerzas internas producidas en la sección por efecto del proceso cíclico carga-descarga de la estructura. En el caso típico de vigas continuas sometidas a cargas distribuidas uniformemente, como se muestra en la figura 6.30, este refuerzo se alterna ya que en la mitad de las luces se presenta una alta tracción en la parte inferior de las vigas mientras que en los apoyos se presenta la tracción en la parte superior. Por esta razón y por economía y optimización del refuerzo a flexión la practica de la ingeniería prefiere usar uno de los siguientes dos procedimientos para cubrir las exigencias de refuerzo en la estructura: a) doblar parte del acero a tracción de la mitad de la luz para cubrir el refuerzo requerido en los apoyos, o b) cortar aquel refuerzo que ya no se requiere para atender la flexión de tal manera que no se afecte la seguridad ni la funcionabilidad de la estructura. En edificios es frecuente usar la practica b) mientras que en puentes y estructuras prefabricadas se usa la practica a).

´

17.0

c

yb

f

fd≥

dl.3.1≥



Independiente del método preferido para reforzar las estructuras continuas es evidente la existencia de zonas donde el refuerzo se debe modificar para atender la flexión generada por las cargas externas; estas regiones se conocen como “ puntos de corte o doblado del refuerzo” y estos pueden verse afectados por los siguientes factores: a) la magnitud de las tensiones por flexión y los efectos de la cortante en estas tensiones, b) las longitudes de desarrollo que se deben suministrar a cada lado de una sección para garantizar la transmisión de tensiones, c) la posible falla por tracción diagonal debido a una alta concentración de tensiones producida por un corte de barras inadecuado ( es decir en zonas de momento bajo y cortante alto) y d) el uso de algunos requisitos incorrectos de construcción considerados empíricamente como aceptables. (+) (+) (+) (-) (-) (-) (-) (-)

Figura 6.30 Características de flexión en vigas continuas En términos generales y por simplicidad en los diseños, los códigos de construcción tratan de evitar en lo posible, aunque esto sea permitido bajo estrictas normas de trabajo, el corte o doblado de las barras de refuerzo longitudinal. 6.5.2 Determinación de los puntos teóricos de corte o doblado del refuerzo En cualquier sección de una viga la fuerza de tracción aplicada al refuerzo esta dada por la expresión “ T = As fs = M / z”, en donde “ M “ es el valor del momento en la sección y “ z “ es el brazo de palanca entre la resultante a compresión y a tracción. El rango de variación de “ z “ en la longitud de la viga es mínimo y en ningún punto su valor es menor que el obtenido en la región de máximo momento. En consecuencia se puede asumir que la fuerza a tracción “ T “ solo depende directamente del momento “ M ”.

Puntos de inflexión

a) tramo de viga continua

b) diagrama de momentos



Adicionalmente el diseño estructural exige que el refuerzo, en cualquier sección de la viga, este sometido a tensiones cercanas a la máxima se concluye que “ As ” depende directamente de “ M “. luz 100 0 70 30 30 70

Figura 6.31 Puntos teóricos de corte de barras en vigas simplemente apoyadas 6.5.2.1 Vigas simplemente apoyadas Para una mejor explicación de lo anterior sea la viga simplemente apoyada y con carga uniformemente distribuida de la figura 6.31. Al obtener el diagrama de momentos se tienen prácticamente los requisitos de acero de refuerzo. En la región de momento máximo se requiere el 100% del refuerzo a tracción ( es decir que no se puede cortar ni doblar en este punto el acero), mientras que en los apoyos teóricamente no se requiere refuerzo y este se puede cortar o doblar en un 100%. Para facilitar los cálculos se puede concluir que el porcentaje de acero a cortar o doblar a lo largo de la viga se obtiene directamente del dibujo a escala del diagrama de momentos. Como ayuda de diseño se pueden usar graficas como la de la figura 6.32 para determinar los puntos de corte y doblado de barras de refuerzo. Cada grafica es para unas determinadas condiciones de carga y apoyos. El siguiente ejemplo ilustra claramente el procedimiento anterior.

q

As

% As requerido

% As a cortar

Puntos teóricos de corte para 1/3 del As

Puntos teóricos de corte para 2/3 de As



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figura 6.32 Puntos de corte o doblado del refuerzo en vigas simplemente apoyadas sometidas a carga uniformemente distribuida

Ejemplo 6.9 La figura 6.33 muestra una viga simplemente apoyada y sometida a una carga distribuida de “ qu = 100 kN/m “ esta reforzada con 5 # 8 en la mitad de la luz, en los puntos c y c dos de la cinco barras se cortan quedando 3 # 8 las cuales se llevan hasta los apoyos. El hormigón es de f´c = 21 MPa y el refuerzo es de fy = 420 MPa. Determinar los puntos de corte correspondientes. Solución: El diagrama de momentos se obtiene aplicando la ecuación de la teoría clásica de la resistencia de materiales:

( ) ( )xx

xlxq

M uu −×=−×= 0.6

2100

2

x ( m) 0 0.75 1.50 2.25 3.00 3.75 4.5 5.25 6.0

Mu ( kN.m) 0 197 338 422 450 422 338 197 0 En cada sección de la viga el momento resistente “F.Mn” debe ser mayor o igual al momento requerido por las cargas externas “ Mu” dado por la tabla anterior.

Fracción de la luz de la viga

% de As que se puede doblar o cortar

8

2qlM =



x = 1.22 m x = 1.22 m C C´ ld ld


5 # 8

qu = 100 kN.m

5 # 8 3 # 8

Mu = 458 kN.m

Mu = 292 kN.m

A B C D E


requerido Mu Diagrama de capacidad de momentos F.Mn

A

BC

F .Mn = 458 kN.m 292 kN.m



La capacidad de momentos de la viga con 5 # 8 es de: F.Mn = 458 kN.m con una relación c / dt = 0.321 < 0.350 => se cumple que en la mitad de la luz F.Mn > Mu y la cantidad de refuerzo colocada es correcta. En los otros puntos de la viga la capacidad de momento supera ampliamente los valores requeridos externamente por lo que es lógico disminuir la cantidad de refuerzo en estas zonas. Esto se puede lograr cortando acero en aquellos puntos donde este no se requiera, por ejemplo si arbitrariamente se cortan dos barras de las 5 # 8, la capacidad de la viga así obtenida es F.Mn = 292 kN.m lo que significa que las dos barras # 8 se pueden cortar a partir de Mu < 292 kN.m. Si se reemplaza el valor de Mu = 292 kN.m en la ecuación general de momentos de la viga se obtiene el valor de las absisas correspondientes:

( ) ( ) ( ) ( )mm

qMqlqlq

xu

uuuu

.78.4

.22.1200

29224006006002

24 22

=×−±

=−±

=

En conclusión las dos barras # 8 no se requieren mas desde los 1.22 m de cada apoyo y teóricamente se pueden cortar en esos puntos. En la figura 6.33 se puede apreciar como la viga en la mitad de la luz tiene 5 # 8 “ punto E “ y su capacidad de momentos de 458 kN.m. En el punto C la viga tiene 3 # 8 y una capacidad de 292 kN.m. La distancia CD es la longitud de desarrollo para la dos barras # 8 cortadas en C. Las tres barras # 8 que llegan a los apoyos se cortan en los puntos A y A y no tienen ninguna longitud de desarrollo ya que F.Mn = 0.0. En los puntos B y B las barras si se desarrollan completamente y F.Mn = 292 kN.m. Igualmente se puede ver en la figura 6.33 como el diagrama de capacidad de momentos de la viga es exterior al diagrama de momentos requerido por lo que la estructura tiene una adecuada resistencia en flexión, teniendo en cuenta que hasta este punto no se ha tenido en cuenta los efectos de la cortante. 6.5.2.2 Vigas continuas En este caso, en forma similar a las vigas simples, se dibujan los diagramas envolventes de momento tanto en la mitad de las luces como en los apoyos. Como resultado se obtienen los máximos momentos para punto de la estructura y con un procedimiento similar al utilizado en el numeral anterior se obtienen los puntos de corte. La figura 6.34 muestra por ejemplo un tramo de una viga continua con la correspondiente envolvente de momentos obtenida al aplicar las cargas externas alternadamente con el fin de obtener los efectos máximos tanto en la mitad de la luz como en los apoyos. Se puede apreciar en la grafica los puntos donde se puede cortar el 50% del acero para momento positivo y el 50% del refuerzo para momento negativo. La figura 6.34 ilustra la forma de obtener rápidamente los puntos de corte o doblado del refuerzo en vigas continuas utilizando el método aproximado de análisis estructural del ACI. La grafica fue obtenida para vigas con carga uniformemente distribuida con algunas combinaciones de carga en los tramos respectivos.



Figura 6.35 Puntos teóricos de corte en vigas continuas 6.5.3 Consideraciones practicas y requisitos del ACI-318 y NSR-98 Las especificaciones actuales de diseño indican que por ninguna circunstancia se puede cortar el refuerzo a tracción en los puntos teóricos descritos en el numeral anterior. La explicación de esto es que cuando se forman las fisuras por tracción diagonal se presenta una redistribución interna de tensiones en la viga; antes de la fisuración la tracción en el acero en cualquier punto de la viga es proporcional al momento que actúa en la sección, sin embargo después de la fisuración las fuerzas a tracción en el acero, en una sección fisurada, están controladas por el momento en la sección mas cercana a la mitad de la luz. En consecuencia el diagrama real de momentos difiere del usado en el diseño y razonablemente el ACI recomienda que:

“ Toda barra debe prolongarse al menos una distancia igual a la altura efectiva de la viga, d, o 12db ( controlando la mayor) mas allá del punto donde teóricamente no se

requiere refuerzo para resistir las tensiones externas”. Un aspecto adicional es la necesidad de que las tensiones en el refuerzo, a cada lado de la sección considerada, estén convenientemente desarrolladas ya sea mediante una longitud de empotramiento, anclaje o por combinación se sistemas. En el caso mas frecuente se debe colocar una longitud “ ld “ después de la sección critica en donde se presentan las máximas tensiones en las barras. Las secciones criticas están localizadas en los puntos de momento máximo y en los puntos donde se corta parte del refuerzo no requerido por flexión.

Diagrama de momentos máximos en los apoyos


máximo en la mitad de la luz

0%

25%

50%

75%

100%

75%

50%

25%

0%

Punto teórico de corte del 50% del As ( +)

Punto teórico de corte del 50% del As ( -)

% de As a cortar o doblar



Figura 6.34 Puntos teóricos de corte o doblado en vigas continuas

Fracción de la luz

% de refuerzo que se puede cortar o doblar



Los requisitos del ACI respecto a la longitud de desarrollo del refuerzo en puntos de corte o doblado no son específicamente claros con respecto a si se debe adicionar o no a la longitud de desarrollo “ ld ” la distancia “ d ” o “ 12db ”. Los comentarios indican que estos requisitos no deben superponerse y para ello presentan la grafica de la figura 6.35. Sin embargo el análisis de un posible cambio del diagrama de momentos o de la curva de tensiones del acero conduce a la conclusión de que estos requisitos si deben adicionarse y en tal caso cada barra debe continuarse una distancia “ld “ mas el mayor valor de “ d “ o “ 12db “ después del punto de máxima tensión.

Figura 6.35 Requisitos de corte de barras en vigas continuas según el ACI-318-02

dl≥

dl≥

Para al menos 1/3 de As El mayor valor entre: “d”, “12db”, “ln/16”

Barras N

Barras O

150 mm para al menos ¼ de As ( 1/3 si la luz es simple)

Barras M

Barras L

( )bb dd 12∧≥

dl≥

( )bb dd 12∧≥dl≥

Momento resistente

de barras M

Momento resistente

de barras O



Para reflejar el posible cambio en la posición de las tensiones pico, el código ACI especifica que al menos 1/3 del As requerido para momento positivo ( ¼ en luces continuas) debe prolongarse sin interrupciones hasta los apoyos, entrando en ellos una longitud mínima de 150 mm. Para momento negativo al menos 1/3 del refuerzo total debe prolongarse mas allá del punto de inflexión una distancia mayor o igual a un sexto de la luz libre de la viga “ ln/6 “ , la altura efectiva “ d “ o “12db “. La figura 6.35 muestra detalladamente los puntos de corte y doblado de barras tanto para momento positivo como negativo. Por ejemplo si se cortan las barras negativas “L” en el punto de inflexión, estas se deben prolongar una distancia “ d o 12db “ desde este punto de tal forma que la distancia total desde la cara del apoyo al extremo de la barra sea mayor o igual a “ld “. Las barras negativas restantes “ M “ ( al menos 1/3 de As) debe prolongarse al menos una distancia “ld” mas allá del punto teórico de corte de las barras L y adicionalmente deben continuar una distancia “ d, 12db o ln/6 “ a partir del punto de inflexión del diagrama de momento negativo. En el caso de cortar las barras positivas “N” estas se deben prolongar una distancia “ld” a partir del punto teórico de momento máximo, así como también “d o 12 db” mas allá del punto de corte definido por el diagrama de momentos. Las barras positivas restantes “ O “ deben prolongarse una longitud “ld” a partir del punto teórico de corte de las barras “N” y continuarse al menos una longitud de 150 mm dentro del apoyo. Cuando se cortan las barras en una zona traccionada se debe tener en cuenta que cerca de los puntos de corte hay una mayor tendencia a la formación prematura de fisuras a flexión y a tracción diagonal. Como resultado de esto se presenta una reducción en la capacidad portante de la viga y una fuerte disminución de su ductilidad. El código ACI recomienda, para estos casos, no cortar el refuerzo a flexión cuando se encuentre en una zona traccionada a menos que se cumplan los siguientes requisitos: § La cortante en el punto de corte no excede en mas de 2/3 la cortante permitida

en la sección => ( )scux VVV +≤ φ32

§ Se coloquen estribos adicionales a los requeridos en una longitud de “ ¾ d ” a partir del punto de corte. Estos estribos deben tener un área “ Av ” tal que se

cumpla la relación: MPasb

fA

w

yv .42.0≥ . Adicionalmente el espaciamiento de los

estribos “s “ debe ser tal que: d

ds

β8≤ donde ßd es la relación entre el área de

refuerzo cortada y la cantidad total de acero. § Si las barras que continúan, siempre y cuando sean menores que la #11,

suministran el doble de acero requerido por flexión y la cortante es menor que ¾ la cortante permitida.

Alternativamente al corte, las barras también pueden doblarse de tal forma que se continúen sin interrupción llevándolas a la cara opuesta de la sección donde aportan capacidad mecánica. Aunque esto complica el detallado y la colocación del refuerzo y aumenta los costos en la construcción en la practica se prefiere este procedimiento



porque la evidencia indica que en servicio la estructura se disminuyen las fisuras por tracción diagonal hecho que implica una mayor confiabilidad y seguridad. Con el fin de reducir el trabajo laborioso en la determinación de los puntos de corte y doblado del refuerzo, en edificaciones típicas de hormigón armado analizadas por métodos elásticos convencionales, se han propuesto procedimientos sencillos para condiciones típicas en la ingeniería estructural como por ejemplo luces aproximadamente iguales, cargas uniformemente distribuidas, máximo se corta el 50% del refuerzo. Bajo estas restricciones la figura 6.36 es una guía aceptable para detallar el refuerzo rápidamente. Es importante notar que cuando no se cumplen las hipótesis de aplicabilidad indicadas es arriesgado utilizar estas herramientas de trabajo. Por ejemplo el detalle indicado del refuerzo en el apoyo de borde de la viga de la figura 6.36 se puede aplicar cuando se tiene apoyo simple. Si la viga es monolítica con el apoyo se deben utilizar otros criterios.

Figura 6.36 Puntos de corte y doblado en vigas continuas. Método simplificado

6.5.4 Requisitos especiales cerca a los puntos de inflexión El requisito básico del refuerzo a flexión es que las barras de refuerzo dispongan de una adecuada longitud de desarrollo a partir del punto donde se asume que el acero entra en fluencia ( región de máxima tensión). Sin embargo aun así no se garantiza una alta confiabilidad contra la probable falla por adherencia. En la figura 6.37 se muestra el diagrama típico de momento y cortante de una viga continua con carga uniformemente distribuida. En este caso las barras positivas suministran una adecuada resistencia contra el momento máximo en “ c “ siempre y cuando tengan una adecuada longitud de

150 mm 150 mm



desarrollo a cada lado de “ c “. Esto es que “ ld ”, en el caso limite, debe ser igual a la distancia entre “ c “ y el punto de inflexión. Sin embargo si este requisito se cumple exactamente, en el punto intermedio “ b “ las barras deberían tener la mitad de la longitud de desarrollo, mientras que el momento podría ser las ¾ partes del momento en “ c “ y por lo tanto se debe desarrollar las ¾ partes de la fuerza en la barra. Esta situación se presenta cuando los momentos, a lo largo de la longitud de desarrollo, son mayores a aquellos obtenidos cuando se asume una reducción lineal del momento hasta cero. Este problema se presenta frecuentemente en las zonas positivas de luces continuas sometidas a cargas uniformes y es poco frecuente en las zonas negativas. Mn a a ld Vu

Figura 6.37 longitud de desarrollo en zonas cercanas a los puntos de inflexión En el numeral 6.2.2 se indico que la fuerza de adherencia “ U “ esta dada por la expresión “ U = dT / dx “ es decir el cambio en la fuerza a tracción de la barra por unidad de longitud. Si “ dT = dM / z “ se llega a que “ U = (1 / z) dM / dx “ concluyendo que la fuerza de adherencia es proporcional a la pendiente del diagrama de momentos. De la figura 6.37 la máxima fuerza de adherencia esta en la zona de momento positivo y se localiza en el punto de inflexión, disminuyendo gradualmente hasta el punto “ c “. Una solución conservadora para evaluar la adherencia del refuerzo que llega al punto de inflexión es suministrar una resistencia al desprendimiento

Mu max.

Punto de inflexión

a

b

la

c



equivalente al la pendiente máxima del diagrama de momentos, situación que en muchos casos es segura pero costosa. De la resistencia de materiales se obtiene que la pendiente, en cualquier punto, del diagrama de momentos equivale a la fuerza cortante “ V “ indicando de este modo que la pendiente “ dM / dx ” en el punto de inflexión es “ Vu ” ( la figura 6.37 muestra esta línea tangente al diagrama de momentos pasando por el punto de inflexión). Si Mn es la resistencia a flexión nominal de la sección en el punto de inflexión y si se considera una variación lineal del diagrama de momentos en esta zona se obtiene la relación:

u

nu

n

VM

aVdx

dMa

M=⇒===αtan

En conclusión, si las barras a tracción se tensionan completamente en una distancia “ a “ medida desde el punto de inflexión hacia el centro de la luz, y si se asume una variación lineal del diagrama de momentos en este tramo la falla por desprendimiento se evitaría ya que la longitud de desarrollo “ ld “ es mayor que “ a “. Adicionalmente en este tramo los momentos reales son inferiores a los obtenidos con la línea tangente garantizando seguridad en la aplicación de estos requisitos. Si las barras que llegan hasta el punto de inflexión se prolongan hasta el apoyo, lo cual es la practica general, esta longitud adicional se debe considerar para tener en cuenta los requisitos de longitud de empotramiento especificados. Arbitrariamente el ACI recomienda que la longitud de la barra que pasa por el punto de inflexión no debe superar el mayor valor de “ d o 12db “. Estos requisitos se pueden expresar numéricamente con la ecuación 6.19 en donde “ Mn ” es la resistencia nominal a momentos considerando fluencia del refuerzo a tracción; “ Vu “ es la fuerza cortante mayorada en la sección y “ la “ es la longitud de la barra mas allá del punto de inflexión en dirección al apoyo, este valor debe ser mayor a “ d o 12db”.

au

nd l

VM

l +≤ (6.19)

Estos mismos requisitos se pueden aplicar en regiones cercanas a los apoyos cuando se tienen luces simples sometidas a cargas uniformes. Sin embargo debido al efecto benéfico de la compresión vertical, la cual trata de prevenir la falla por hendimiento, se puede aumentar en un 30% la relación “ Mn / Vu “ obteniendo la expresión 6.20 para vigas simplemente apoyadas.

au

nd l

VM

l +≥ 3.1 (6.20)

La consecuencia inmediata de estos requisitos especiales en los puntos de inflexión, es que en algunos casos el uso de barras de diámetros menores tiene mayores ventajas porque permite disminuir los valores de “ ld “ aunque se cumpla los requisitos de empotramiento del refuerzo que pasa por el punto de inflexión.



6.5.6 Resumen del procedimiento de calculo de los puntos de corte del refuerzo Este resumen presenta tres pasos generales para obtener los puntos de corte del refuerzo: a) determinar los puntos de corte del refuerzo de acuerdo al diagrama de momentos, b) Prolongar adecuadamente las barras para dar cumplimiento a las espeficaciones indicadas obteniendo así los puntos de corte reales y c) diseñar los estribos adicionales en aquellos puntos de corte localizados en zonas a tracción de las vigas. El ACI resume los anteriores tres pasos generales en seis reglas básicas que regulan el detallado del refuerzo en el hormigón estructural: Para todas las barras: Regla 1: Las barras de refuerzo deben prolongarse una longitud “ d o 12db “, la que sea mayor, a partir de los puntos de corte por flexión excepto en los apoyos y en los bordes de los voladizos. Regla 2: Las barras deben prolongarse al menos una longitud “ ld ” a partir del punto de máxima tensión en la barra o a partir de los puntos de corte reales de barras adyacentes. Para barras en zonas de momento positivo: Regla 3: Al menos un tercio del refuerzo para momento positivo en luces simples y un cuarto en luces continuas, debe prolongarse 150 mm dentro del apoyo. Si la viga pertenece a un sistema estructural continuo resistente adicionalmente a cargas laterales como por ejemplo un pórtico, el refuerzo debe anclarse adecuadamente para garantizar que en la cara del apoyo se desarrolle la resistencia a fluencia “fy” del refuerzo. Regla 4: En los puntos de inflexión de momento positivo y en apoyos simples el refuerzo positivo debe cumplir las ecuaciones 6.19 y 6.20. Para barras en zonas de momento negativo: Regla 5: El refuerzo para momento negativo debe anclarse convenientemente dentro de los apoyos sean columnas, muros u otros elementos. Regla 6: Al menos un tercio del refuerzo para momento negativo debe prolongarse, a partir del punto de inflexión, una longitud “ d, 12db o ln / 16 “ la que sea mayor. Ejemplo 6.10 El sistema monolítico de piso de la figura 6.38 esta constituido por una losa maciza de espesor 125 mm y una serie de vigas T paralelas simplemente apoyadas separadas lateralmente 2.50 m entre ejes. La luz libre de las vigas T es de 7.60 m y los apoyos exteriores son muros cargueros de 300 mm de ancho. El sistema soporta una carga viva de 8 kN / m2 y una carga muerta equivalente al peso propio mas dos cargas concentradas de 73 kN localizadas a 0.90 m a cada lado del centro de la viga. Diseñar la viga y localizar los puntos de corte y doblado de las barras usando los siguientes materiales: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.



a) Vista longitudinal del sistema

b) Sección transversal a-a

Figura 6.38 Sistema de piso del ejemplo 6.10 Solución: a) Estimación de las cargas de diseño: Para su determinación se requiere inicialmente dimensionar las vigas => Sea bw = 300 mm Peso de la losa: 2/94.28.94.2125.0 mkN=×× o ( ) mkN /47.630.050.294.2 =−× El espesor mínimo de la viga T para evitar el control de las deflexiones es:

mhh 49.01690.7

≥⇔≥

Si el recubrimiento del refuerzo es de 65 mm ( para una capa de acero) y si d / b varia entre 1.5 y 3.0 en vigas típicas => Sea h = 600 mm con d = 600 - 65 = 535 mm lo que implica que la relación d / b = 535 / 300 = 1.78.

Peso de la viga: mkN /23.48.94.260.030.0 =×××

Peso total del sistema = 6.47 + 4.23 = 10.7 kN/ m

Carga muerta mayorada = 10.7 x 1.2 = 12.84 kN/m

Carga viva mayorada = 8.0 x 2.50 x 1.5 = 30.00 kN/m

Carga concentrada mayorada = 73 x 1.5 = 109.5 kN

l = 7.60 m

73 kN 73 kN

1.80 m 300 mm

a

a

125 mm

2.50 m

losa

Vigas

Muros



b) Determinación de las tensiones por flexión y cortante: El sistema estructural se puede modelar como una viga simplemente apoyada sometida a las cargas concentradas y distribuidas indicadas en la figura 6.39. 1.80 m

Figura 6.39 Sistema estructural del ejemplo 6.10

La única combinación de carga en este sistema es => mkNqu /433013 =+= y la carga concentrada de 110 kN. b.1) Análisis por cortante: La variación de la cortante en la estructura se representa por

la ecuación: uuu

u Pxqlq

V +

−=2

. Cuando x = 0.0 m => se tiene la máxima cortante

con un valor de Vumax. = 280 kN. En x = 3.05 m => Vu = 149 kN.

( ) kNRR BA 280110290.74321

=×+××== , lo que significa que la cortante en el

apoyo es de Vu = 280 kN. La máxima capacidad a cortante en una sección de hormigón armado es:

( ) ( ) kNNVn .529.5286815353002866.02817.075.0. .max ==××+×=φ

Se cumple que (F.Vn)máx. > Vu y las dimensiones de la sección son adecuadas para atender la cortante. Adicionalmente se debe revisar si la cortante externa es mayor del 50% de la máxima cortante anterior, con el fin de evitar definitivamente la eventual falla por cortante =>

7.90 m

3.05 m 3.05

110 kN 110 kN qv = 30 kN / m

qm = 13 kN / m



( ) ( ) kNNVn .318.3184825353002833.02817.075.0.2

max ==××+×=φ

Se concluye que Vu = 280 kN < (F.Vn)máx./2 = 318 kN y se garantiza seguridad contra una probable falla por cortante. Ya que la cortante externa mayorada es inferior al 50% de la cortante máxima permitida en la sección se pueden reducir las dimensiones con el fin de optimizar el diseño => despejando bw.d de la ecuación anterior se tiene:

( ) mmdbSimmdb ww .470300...1411072833.02817.075.0

280000. 2 ≥∴=⇒=

+×≥

Las nuevas dimensiones de la sección son: bw = 300 mm ; d = 485 mm y h = 550 mm. No se requiere modificar las cargas iniciales porque la variación en el peso es mínima. b.2) Análisis por flexión: Se debe determinar primero el ancho efectivo de aleta “ b “ como el menor valor de: § la cuarta parte de la luz: 7.90 / 4 = 1.98 m § 16 x hf + bw = 16 x 0.125 + 0.300 = 2.30 m § ln + bw = 2.15 + 0.30 = 2.45 m

Luego b = 1.98 m. Este valor difiere del inicialmente supuesto para la estimación de las cargas en la estructura ( b = 2.50 m ) lo que implica refinar los cálculos previos, procedimiento que por lo general no mejora sustancialmente los resultados por lo que se continuara sin modificar las cargas iniciales. La variación del momento en la estructura se representa por la expresión:

( ) ( ) xxx

xPxlxq

M uu

u 11090.72

432

+−×=+−×=

El momento máximo se presenta cuando x = 3.05 m y su valor es de:

mkNM ..67105.31108

90.743 2

.max =×+×

=

c) Diseño a flexión de la estructura. Se asume inicialmente sección rectangular es decir que “ c ≤ hf “ ó “ c/ dt ≤ hf / dt “ è mmca .10612585.085.0 =×=×=

2.4109

2106

48542090.0

.671000000mm

mmNAs =

−××

= è As = 8 # 8 = 4080 mm2( en dos capas )

0045.04601975

4080=

×=ρ



Cumplehmmcmma f →<==⇒=×

××= .9.42

85.05.36

.5.362885.0

4604200045.0

Se concluye que la sección trabaja como rectangular y el acero que se requiere es:

2.4018

25.36

46042090.0

671000000mmAs =

−××

= que se cubren efectivamente con 8 # 8

un MmkNmmNM >==

−×××= ..681.520.284.6812

5.36460420408090.0.φ

Cumpledc

t

==><== 375.00884.0485

9.42y se garantiza falla por fluencia del acero.

Figura 6.40 Sección transversal de la viga del ejemplo 6.10 d) longitud de desarrollo y puntos de corte del refuerzo a flexión. Tanto el ACI como la NSR recomiendan que la máxima cantidad de refuerzo a tracción que se puede interrumpir en luces simples es el equivalente a las dos terceras partes del calculado, es decir aproximadamente un 67% de As. En este caso esto corresponde a 5 # 8, sin embargo solo se cortara el refuerzo de la capa superior el cual corresponde al 50% de As. La capacidad de momentos con solo el 50% del refuerzo es:

mma .2.1828197585.0

4202040=

×××

= =>

mkNmmNM n ..348..008.698.3472

2.18460420204090.0. ==

−×××=φ

125 mm

550 mm 460 mm

300 mm

8 # 8



El punto del diagrama de momentos correspondiente a este valor se halla despejando “ x “ de la ecuación general de momentos:

( ) 0161311090.72

43348 2 =+−⇒+−×= xxxx

x

( )mx .4.16.112

2.10132

1641313 2

∧=±

=×−±

=

Las barras de la capa superior deben llevarse hasta un punto situado a 1.40 m del apoyo y prolongarse a partir de allí una distancia “ d o 12db “ la que sea mayor => como 12db = 305 mm controla d = 460 mm. Además se debe cumplir que a partir del punto de máximas tensiones y hasta el extremo de la barra a cortar se tenga una longitud al menos igual a la longitud de desarrollo “ ld “=> § a = 1.0 para barras inferiores § ß = 1.0 para barras sin recubrimiento epoxi § ? = 1.0 para barras # 8 § ? = 1.0 para hormigón de peso normal § Recubrimiento lateral del refuerzo: 40 + 9.5 =49.5 mm ó1.95db § Espaciamiento: [ 300 – 2 x ( 40 + 9.5 + 25.4 + 25.4 )] / 3 = 33 mm ó1.30db

Se puede utilizar el procedimiento simplificado de la tabla 6.1 considerando además que se cumplirán estrictamente los requisitos de estribos mínimos en el diseño a cortante =>

mmddl bbd .12194.25484828

0.10.10.10.142053

=×==×××××

×=

En conclusión las 4 # 8 de la capa superior de refuerzo deben extenderse a partir del centro de la viga una distancia total de 0.90 + 1.22 = 2.12 m o prolongarse hasta un punto situado a una distancia de 1.40 – 0.46 = 0.94 m del centro del apoyo lo que significa una distancia desde el centro de la viga de 3.95 – 0.94 = 3.01 m controlando este ultimo criterio. Las barras de la capa inferior deben llevarse mas allá del centro del apoyo garantizando 75 mm de recubrimiento respecto a la cara lateral de la viga. Con esto se suministra una longitud de empotramiento a partir del punto de corte del refuerzo de la capa superior de 1.40 + 0.075 = 1.475 m. Este exceso en la longitud de desarrollo de la capa de refuerzo inferior permite asegurar el cumplimiento de los requisitos exigidos para el corte y anclaje de barras. Falta por revisar si el diámetro de las barras que llegan al apoyo es lo suficientemente pequeño para garantizar la longitud de desarrollo correspondiente. De la ecuación 6.20:

mll dd .87.1075.02809.0

3483.1 ≤→+

×≤ Se tiene un ld = 1.219 m èCumple



Un aspecto final al corte de barras es que este se realizo en una zona a tracción de la estructura lo que obliga a usar estribos especiales en esta zona para el control de la fisuración. Este calculo se realizara en el numeral siguiente.

Figura 6.41 Diagramas de cortante, momento y puntos de corte del ejemplo 6.10 e) Diseño a cortante de la estructura. Del diagrama a cortante de la estructura, indicado en la figura 6.41, se tiene “ Vu ( cara apoyo ) = 273 kN “ y a una “ d = 0.46 m “ de la cara interior del apoyo el valor es “ Vud = 254 kN.m “ . La cortante que aporta el hormigón es: F.Vc = 93 kN que obviamente es mucho menor que Vud => se requieren estribos Av en la estructura.

3.05 m

0.90

Mu = 348 kN.m

1.40 m 1.40 m

3.01 m

1.48 m

3 2 1

Mumax.=671 kN.m

Punto 1 => Carga concentrada Punto 2 => Corte teórico As Punto 3 => Corte real As

Punto de inflexión

Vu = 280 kN



Ahora como el (F.Vs )máx. = 482 kN => el F.Vs ( obtenido) = 238 - 93 = 145 kN es menor que “ ½ (F.Vs )máx. “ de donde el espaciamiento máximo que controla el diseño de los estribos en la viga es el menor de: § 600 mm § d / 2 = ( 460 / 2 ) = 230 mm § ( 142 x 420) / ( 0.35 x 300) = 568 mm

Se concluye que el máximo espaciamiento de los estribos es 230 mm. Colocando estribos # 3 @ 230 mm la cortante nominal que resiste la sección es:

kNNVn .172.172138260

46042014275.093000. ==

×××+=φ

Figura 6.42 Diagrama detallado de cortante para el ejemplo 6.10 Utilizando la ecuación del diagrama de cortante se encuentra el valor de “ x “ para prolongar los estribos mínimos desde “ x = 0.90 m “. El resto de los estribos se pueden espaciar a intervalos de 50 mm definidos de acuerdo a la zona de máxima cortante la cual requiere un espaciamiento de:

( )mms .128

1000*9325446042014275.0

=−

×××=

3.95 m

Vu = 273 kN Vud = 254 kN

Vu (P) = 149 kN

172 kN

2.51 m

Zona de estribos mínimos

# 3 @ 260 mm

0.46 m

Vu = 39 kN

0.54 m

0.90

0.61 m



Por lo tanto se pueden definir varias zonas de separación de estribos entre valores de 130 mm y 230 mm. Sea s0 = 200 mm, s1 = 150 mm y s2 = 100 mm =>

Para s0 = 200 mm => kNNVV cu .103.102879200

46042014275.0. ==

×××=−φ

=⇒=+= xkNVu .19693103 1.95 m Usar # 3 @ 200 desde x = 2.51m => x = 1.95 m

Para s0 = 150 mm => kNNVV cu .137.137172150

46042014275.0. ==

×××=−φ

=⇒=+= xkNVu .23093137 1.15 m Usar # 3 @ 150 desde x = 1.95 m => x = 1.15 m

Para s0 = 100 mm => kNNVV cu .206.205758100

46042014275.0. ==

×××=−φ

=⇒=+= xkNVu .29993206 0.0 m Usar # 3 @ 100 desde x = 1.15 m => x = 0.00 m

Figura 6.43 Estribos indicados para la viga del ejemplo 6.10 f) Diseño del refuerzo transversal adicional por corte de barras. Este acero se debe colocar en una distancia equivalente a “ ¾ d = 345 mm “ desde el punto de corte al centro de la viga. El espaciamiento es “ s = d / ( 8 ßb ) “ donde “ ßb = ( As cortado / As total ) = 0.50 “ è s = 460 / ( 8 * 0.50 ) = 115 mm. Además el área de este acero debe ser mayor que “ Av = ( 0.4 bw s / fy ) = ( 0.4*300*115 / 420) = 33 mm2. En definitiva se usaran estribos # 3 @ 100 mm en una distancia igual a 350 mm.

Figura 6.44 Detalle de los estribos adicionales por corte de barras. Ejemplo 6.10

12 # 3 @ 100 mm 5 # 3 @ 150 mm 2 # 3 @ 200 mm 3 # 3 @ 230 mm

0.90 m 1.44 m 2.00 m 2.80 m

3 # 3 de 4 ramas @ 100 mm

350 mm



6.6 Empalmes del refuerzo 6.6.1 Generalidades Los fabricantes del refuerzo convencional para el hormigón armado han normalizado ciertas longitudes típicas que facilitan tanto los procesos productivos como las operaciones de transporte y almacenamiento en obra del producto. Las longitudes mas utilizadas están en módulos de 6.0 m ( en USA de 20 pies) siendo la mas comercial la barra de 12 m ( 40 pies). En muchos casos prácticos, en especial en estructuras continuas, se requiere empatar estos módulos para lograr las longitudes de refuerzo requeridas, estas uniones o empates son los denominados “ traslapos “ y es el objetivo primordial de este numeral estudiar tanto los requisitos de su diseño como el detallado sugerido en estas zonas. El ingeniero estructural debe evitar localizar los empalmes en zonas de altas tensiones ( regiones cerca de los apoyos y en las mitades de las luces de vigas continuas) y cuando por alguna circunstancia se tenga que empalmar en estas zonas se deben escalonar estas uniones. Se especifica que ninguna de las dos recomendaciones anteriores es valida en empalmes a compresión típicos de columnas y muros. Aparentemente el modo mas efectivo para lograr la continuidad del refuerzo es utilizando soldadura, sin embargo la experiencia de este proceso no ha sido totalmente satisfactoria y la perdida de resistencia del refuerzo en los puntos cercanos a los sitios de unión ha sido uno de los grandes problemas de este procedimiento. Las otras alternativas de uniones son los empalmes y los conectores mecánicos. Los empalmes son uniones que permiten dar continuidad al refuerzo por efecto de la trasferencia de tensiones entre el acero y el hormigón. Se utiliza preferiblemente para barras menores o iguales a la # 11 y se realizan montando una barra sobre la otra una determinada longitud y sujetándolas con alambre quemado para evitar el movimiento cuando se coloca el hormigón. Para barras mayores a la # 11 es obligatorio el uso de técnicas especiales de soldadura o conectores mecánicos. Los conectores mecánicos son dispositivos diseñados para sujetar a tope y dar continuidad al refuerzo sin perdida de capacidad resistente. Su uso esta restringido a garantizar que en un ensayo a tracción la barra con el conector deben alcanzar una resistencia en fluencia de un 125% de la resistencia nominal especificada para el material “ fy “. Su uso es amplio en barras con diámetros mayores a la # 11. La figura 6.45 indica los diferentes tipos de uniones explicadas en los párrafos anteriores. En los empalmes por traslapo la eficiencia de la unión depende exclusivamente de las fuerzas de adherencia entre los materiales y su uso esta restringido para barras < # 11. En los empalmes con soldadura, dadas las exigencias técnicas solo son económicos en trabajos con barras > # 11. Finalmente los conectores mecánicos son alternativas útiles en los casos de barras de gran diámetro y un excelente soporte experimental de la bondad del conector.



Figura 6.45 diferentes tipos de empalmes del refuerzo 6.6.2 Empalmes a tracción Cuando un empalme se localiza en una zona a tracción hay una mayor probabilidad de que el hormigón se fisure prematuramente en estas regiones generando zonas con limitadas condiciones de servicio. La figura 6.46 muestra la distribución de fuerzas y tensiones que se presentan a lo largo de un empalme especificando que en el momento de la falla se origina una fisura en el extremo discontinuo que se propaga longitudinalmente la cual es denominada “ falla por hendimiento “ y es causada por el deslizamiento de una barra respecto a la otra. Si se asume una distribución lineal de tensiones a lo largo del empalme, figura 6.46, se puede notar como en el extremo donde se inicia la unión la tensión en el acero es nula “ fs = 0.0 “ mientras que en el otro borde logra la tensión de fluencia “ fs = fy “. Obviamente en un punto intermedio de obtiene una tensión del 50 % de fy. La magnitud esperada del deslizamiento de las barras es la deformación en el punto medio del empalme “ ( )sy Ef5.0=ε “ por la longitud del empalme “ ls”. Experimentalmente se ha podido establecer que las longitudes de empalme “ ls “ se pueden estimar con base en las longitudes de desarrollo del refuerzo a tracción “ ld “.

0.0 mm

Longitud de traslapo

Soldadura a tope

3 mm

Conector mecánico



Figura 6.46 Fuerzas, tensiones y fisuras en empalmes a tracción Tanto el ACI como la NSR definen dos tipos de empalmes a tracción los cuales dependen del exceso de refuerzo en la sección y el % máximo de refuerzo a empalmar. Empalme “ clase A: ls = 1.0 ld ” y “ clase B: ls = 1.3 ld “. Ver resumen en tabla 6.3

Tabla 6.3 Longitud de empalme para barras a tracción % máximo de As a empalmar en

la longitud de empalme

As (colocado) / As (requerido)* 50 % 100% Mayor o igual a 2.0 Clase A Clase B

Menor que 2.0 Clase B Clase B *: Se refiere a la relación de la cantidad de refuerzo a flexión colocado sobre la obtenida en el diseño.

0.0 mm

Longitud de traslapo: ls

fy fy/2

fy

Barra A

Barra B

fs = 0.0

fs = fy

fs = 0.0

fs = fy

T = Abfy

T = Abfy

Se asume lineal

S = espaciamiento barras

s

s/2 s/2

s

s/2 s/2



Algunas recomendaciones adicionales indicadas en todas las especificaciones de diseño es evitar realizar los empalmes de las barras en una misma sección procurando así alternar estas regiones a lo largo de la estructura. Además, en lo posible en la zona de empalme garantizar que el área de refuerzo colocada a flexión sea al menos el doble de la requerida por el análisis. Finalmente la longitud de empalme debe ser = 300 mm. 6.6.3 Empalmes de barras a compresión En estos casos los empalmes de localizan preferiblemente cerca de las intercepciones de las columnas con las losas de piso, con el fin de facilitar por una parte el ensamble del refuerzo y evitar en lo posible el uso de barras de grandes longitudes. Además se facilita también la reducción del refuerzo de las columnas a medida que se gana altura en el edificio. Las barras a compresión pueden unirse por empalme a tope o al traslapo. Según las especificaciones ACI-NSR se recomienda que si el empalme es al traslapo su longitud “ ls “ debe ser igual a la longitud de desarrollo de la barra a compresión dadas en la ecuación 6.17 numeral 6.3.5. “ ls ” debe cumplir los siguientes requisitos, pero en ningún caso su longitud debe ser menor que 300 mm: § Si fy = 420 MPa è ls = 0.073fydb § Si fy > 420 MPa è ls = ( 0.13fy-24)db

Si la resistencia del hormigón, f´c, es menor que 21 MPa la longitud de empalme se debe aumentar en un 33%. Cuando se van a empalmar barras a compresión de diámetros diferentes se recomienda que la longitud de empalme sea la mayor entre la longitud de desarrollo de la barra mayor o la longitud de empalme de la barra menor. Experimentalmente se ha comprobado que el empalme a tope es un medio efectivo para conectar barras a compresión, sin embargo se debe vigilar que las barras se mantengan en la posición correcta mediante el uso de conectores adecuados que eviten posibles desalineamientos entre barras. Se recomienda que las puntas de las barras se corten perpenticularmente a su eje longitudinal para garantizar superficies planas con una tolerancia de 1.5° del ángulo recto. Se deben usar amarres adicionales cerca de los punto de empate de barras a compresión. 6.6.4 Empalmes en columnas En columnas se pueden usar tanto los empalmes al traslapo como a tope, las uniones con soldadura y los conectores mecánicos siempre y cuando su uso cumpla ciertas restricciones técnicas. Ya que el refuerzo en columnas puede estar sometido a tracción o a compresión o, de acuerdo a la combinación de cargas del diseño, puede la sección estar sometida a ambas tensiones se deben cumplir las exigencias indicadas en los empalmes a tracción y a compresión estudiados en los numerales anteriores. Por ejemplo el ACI ( NSR) especifica que aunque una sección este totalmente sometida a compresión se debe considerar un mínimo de resistencia a tracción en cada una de sus caras laterales. Un empalme al traslapo típico a compresión provee la suficiente resistencia a tracción mientras que uno a tope requiere barras adicionales a tracción a menos que estos se escalonen.



Para empalmes al traslapo y barras de refuerzo sometidas a las tensiones de compresión impuestas por las cargas mayoradas externas se especifica que la longitud del empalme sea la misma que la indicada en el numeral 6.6.3. De otra parte cuando las tensiones son de tracción y menores que 0.5fy el empalme debe ser 1.3ld si se empalman mas de la mitad de las barras por sección y 1.0ld si se empalman menos del 50% de las barras o se escalonan los traslapos una distancias ld. Si de otra parte la tracción en la barra es mayor que 0.5fy los empalmes deben ser 1.3ld.

Si se utilizan amarres transversales a través del empalme con una área de al menos 0.0015hs, donde “ s “ es el espaciamiento del amarre y “ h “ el espesor del elemento la longitud de empalme requerido se puede multiplicar por 0.83. Si el empalme se confina con amarres en espiral la longitud requerida se puede multiplicar por 0.75 pero en ninguno de los dos casos su valor debe ser mayor a 300 mm. Los empalmes a tope, descritos anteriormente, se pueden usar en barras de columnas sometidas a compresión si se escalonan los empalmes o se proveen barras adicionales en estos sitios. Las barras que continúan en cada cara deben tener una resistencia a tracción de al menos 0.25fy veces el área de refuerzo en cada cara. Ejemplo 6.11 Se requiere determinar la longitud de empalme “ ls “ del refuerzo a tracción # 7 para las siguientes condiciones a) As colocado / As requerido es > que 2.0 y b) As colocado / As requerido es < que 2.0. Datos adicionales de diseño: el espaciamiento lateral de barras es 2.5db; el porcentaje máximo de refuerzo a empalmar es del 75%; el hormigón tiene un f´c = 35 MPa y el acero de fy = 420 MPa. Solución: La barra # 7 tiene un diámetro db = 22.2 mm y para este caso los factores que modifican la longitud de desarrollo son: 0.1==== λγβα

CumpleMPaMPa ⇒<= 4.89.535

439.5

0.142053

53

´=

××==

c

y

b

d

f

f

dl αβγλ

a) Cuando As colocado / As requerido > 2.0 => ls = 1.0 ld =1.0x 43x 22.2 = 955 mm

b) Cuando As colocado / As requerido < 2.0 => ls = 1.3 ld =1.3x 43x 22.2 = 1241 mm

Ejemplo 6.12 Determinar la longitud de empalme de las barras # 9 a compresión de una viga si el espaciamiento libre es de 3db y se cumplen además las siguientes condiciones: el hormigón es de peso normal, f´c = 49 MPa y fy = 560 MPa. Solución: Para barras # 9 è db = 28.7 mm CumpleMPa =><= 4.80.749 Los factores de modificación son: 0.1==== λγβα



Para barras a compresión “ls “ debe cumplir los requisitos indicados en 6.6.3 => § Para fy > 420 MPa => ( ) mmddl bbs 14067.2849492456013.0 =×==−×≥

Usar una longitud de empalme de ls = 1.4 m.

Ejemplo 6.13 La figura 6.47 muestra la unión típica viga-columna de una estructura continua de hormigón armado. El acero del tramo inferior de columna lo constituyen 4 # 11 mientras que el del tramo superior 4 # 10. El refuerzo de confinamiento o amarres esta constituido por # 4 @ 400 mm. La sección de columna es de 300 x 500 mm y para todas las combinaciones de carga la solicitación que controla es la compresión. Si el empalme se realizara exactamente en el nudo donde también se encuentra la losa de piso, determinar su longitud considerando que el refuerzo esta tensionado a su máxima capacidad y f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa. 2 # 11 40mm 500 300 Sección de columna

Figura 6.47 Unión viga-columna del ejemplo 6.13 Solución: Los diámetros de las barras son => db # 11 = 35.8 mm y db # 10 = 32.3 mm. La longitud de empalme del refuerzo es la mayor entre la longitud de desarrollo de las barras # 11 ” ld # 11 “ y la longitud de empalme de las barras “ ls # 10 “. Para las barras # 11 la longitud de desarrollo es:

mmf

fdl

c

ybcd .682

284208.35

24.024.0´

=×

×== > mmfd yb .646043.0 =×× è Cumple

Como se indico previamente no se aplica ningún factor de modificación.

500 mm

4 # 10

4 # 11

50 mm

2 # 10



Para las barras # 10 la longitud de empalme a compresión es:

ls = 0.073fydb= 0.0073 x 420 x 32.3 = 990 mm Al revisar los factores de modificación de “ ls “ de acuerdo a las características estructurales se tiene: El área efectiva de amarres requeridos es 0.0015hs = 0.0015 x 500 x 400 = 300 mm2. Si se tienen amarres # 4 => Área = 2 x 129 = 258 mm2 valor menor que el requerido por lo que no se puede reducir “ ls “. En definitiva la longitud de empalme de las barras # 10 es 990 mm. En conclusión ls # 10 = 990 mm ( el cual es mayor que ld # 11 = 682 mm ) es la longitud de empalme requerida para el refuerzo. Se puede notar que si el espaciamiento de los amarres en la zona de empalme se reduce a “ s = 258 / ( 0.0015 x 500) = 344 mm o menos, la longitud de empalme es => ls = 0.83 x 990 = 822 mm que significa ahorrar acero longitudinal contra un ligero aumento en el costo de las operaciones de colocación del refuerzo, siendo esta ultima alternativa la mas económica.

CONDICIONES DE SERVICIO ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1 _________________________________________________________________________________________________________


7. CONDICIONES DE SERVICIO. FISURACIÓN Y DEFLEXIONES 7.1 Introducción En el diseño de las estructuras de hormigón armado el tema de las condiciones de servicio representa la clave para garantizar que una edificación dimensionada y reforzada correctamente se comporte, bajo condiciones normales de uso, en forma optima y confiable es decir sin que los usuarios teman no solo por su seguridad sino por la perdida de su patrimonio. En forma amplia se puede decir que una estructura manifiesta inseguridad y desconfianza cuando en ella se detecta uno o varios de los siguientes síntomas: altas deflexiones, fisuración intensiva, vibraciones, corrosión del refuerzo y descascaramiento del hormigón. En el caso del descascaramiento superficial del hormigón los registros históricos y la experiencia de laboratorio indican que este efecto se puede minimizar si se realiza primero un correcto control en la selección, manejo y fabricación del hormigón y sus componentes y luego unos procedimientos acertados de mezclado, colocación, compactación y curado del material. En el caso especifico de una estructura sometida al ataque de compuestos químicos ( ejemplo en plantas industriales) se recomienda el uso de cementos especiales ( Pórtland tipo 2, 5 o adicionados con cenizas), aditivos reductores de agua y recubrimientos superficiales del hormigón ( Polímeros, resinas sintéticas, cuarzo molido o limaduras de acero). Para la corrosión del refuerzo se han propuesto con excelentes resultados el uso de barras de acero inoxidable o con recubrimiento epoxi. Igualmente algunos aditivos químicos agregados al hormigón forman películas protectoras alrededor del refuerzo y lo protegen de la acción de los agentes corrosivos. Varias marcas están disponibles en el mercado como: DCI, Rheocrete y Cortec MCI. El tema de las deflexiones, fisuración y vibraciones se trataran separadamente por la amplitud de su contenido y por la importancia que han tenido en el diseño estructural convencional. Sin embargo todos los síntomas mencionados son igualmente importantes cuando se considera la estabilidad y confianza de una edificación. En el estudio de la seguridad estructural es necesario definir el concepto de : “ Estados limites ”. Un estado limite es aquel umbral que precede al momento donde la estructura deja de cumplir la función para la cual fue proyectada. Este estado puede ser ultimo, si se presenta el colapso total o parcial de la estructura, o en servicio si se manifiestan fisuras y deflexiones en uno o varios sitios de la edificación. Para conocer en forma segura el comportamiento de una estructura cuando alcance el estado limite se han propuesto varios enfoques de diseño de los cuales el mas utilizado en nuestro medio es el propuesto por los reglamentos americanos. En este la estructura primero se diseña para atender una carga superior hipotética a la realmente impuesta y luego se revisa si su comportamiento en servicio se ajusta a las limitaciones de fisuración y deflexiones indicadas en los códigos.



En conclusión, se pretende en este tema presentar los mas recientes enfoques para el control de la fisuración y las deflexiones en las estructuras de hormigón armado. Con este propósito el estudio se iniciara dando los requisitos básicos para entender el efecto de la fisuración en la rigidez de la estructura luego el de las deflexiones sobre el comportamiento a corto y largo plazo del sistema. Se insiste igualmente que una estructura correctamente diseñada debe presentar bajo cargas de servicio unas condiciones de fisuración controladas y unas deflexiones aceptables. 7.2 Revisión y definición de conceptos básicos Este tema, presentado en el diseño a flexión, es necesario considerarlo aquí nuevamente con el fin de lograr la mejor coherencia del proceso. En primer lugar se recuerda que una sección fisurada presenta una distribución lineal de tensiones en el hormigón de la zona comprimida y una resultante en el refuerzo a tracción en el rango elástico. Esto simplemente significa que bajo cargas de servicio el análisis de una sección se puede realizar utilizando las ecuaciones del diseño elástico. Con esta hipótesis se determinara el valor de la rigidez “ EI “ necesario en todos los cálculos posteriores. 7.2.1 Determinación de la rigidez a flexión “ EI “ Este valor considera tanto el modulo de elasticidad del hormigón como el momento de inercia de la sección elástica fisurada. El modulo elástico del hormigón se estima con base en la aproximación estadística recomendada tanto por el ACI como por la NSR con

la expresión: )(4790 ´ MPafE cc = . El valor del momento de inercia se estima con base en las ecuaciones de la estática para la sección fisurada. Una aproximación frecuentemente usada en los diseños es considerar que la inercia fisurada es un 40% de la inercia bruta de la sección => gcr II ×= 40.0 . 7.2.2 El concepto de área trasformada “ At ” Por teoría de elasticidad cuando una sección compuesta, por materiales con diferentes módulos elásticos, se somete a cargas se puede realizar el análisis con una sección ficticia de un solo material utilizando algunas transformaciones geométricas. En el caso del hormigón armado se puede realizar el cambio transformando todo el refuerzo de la sección por hormigón siempre y cuando se obtenga la misma rigidez axial “AE”. Ya que se debe cumplir por equilibrio axial que cs nEE = => el área de acero transformada en hormigón es: snA y se concentra en el mismo punto donde esta localizado el refuerzo original. Como el refuerzo desplaza parte del hormigón de la sección el área de refuerzo transformado es de: ( ) sAn 1− . El eje neutro de la sección fisurada se encuentra a una distancia: kdc = del borde mas comprimido de la sección. El siguiente ejemplo ilustra la forma como se determinan los parámetros básicos de una sección de hormigón armado para la revisión posterior de las condiciones de servicio.



Ejemplo 7.1 Para la sección doblemente reforzada de hormigón armado que se muestra en la figura 7.1 determinar el centroide y el momento de inercia si: a ) la sección se considera en rango elástico no fisurado, b) la sección esta fisurada. Utilizar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Solución: El modulo de elasticidad del hormigón es: Ec = 4790 x 280.5 = 25346 MPa La relación de módulos elásticos es : n = 204000 / 25346 = 8.05 è n = 8 a) Sección elástica sin fisurar Yc = 306 mm d = 535 mm h = 600 mm b = 300 mm Sección transversal Sección transformada no fisurada

Figura 7.1 Sección del ejemplo 7.1 Ya que todo el refuerzo esta en una sección sin fisurar, las áreas transformadas son: Para A´s = 2 # 7 = 2 x 387 = 774 mm2 è ( ) 2.541877418 mmAt =×−= Para As = 4 # 7 = 4 x 387 = 1548 mm2 è ( ) 2.10836154818 mmAt =×−= El centroide del área transformada se determina por estática:

Componente Area ( mm2) = A Distancia ( mm) = Y AxY ( mm3) Hormigón 300 x 600 = 180000 300 54000000

Refuerzo superior 5418 65 352170 Refuerzo inferior 10836 535 5797260

Suma 196254 60149430 El centroide se localiza a una distancia Yc = ( 60149430 / 196254 ) = 306 mm del borde superior de la sección como lo indica la figura 7.1

At = 10836 mm2

At = 5418 mm2

A´s = 2 # 7

As = 4 # 7

d´= 65 mm



El momento de inercia de la sección se determina así: Componente Área (mm2) = A Yc ( mm) Ic ( mm4) A x Yc

2 ( mm4) Hormigón 180000 (300-306)=-6 5400x106 6.5x106

A s 5418 (294-65)=235 ---------- 299x106 As 10836 (306-535)=-229 ---------- 568x106 5400x106 873x106

El momento de inercia es: Igt = (5400+873)x106 = 6273x106 mm4 Se concluye que el momento de inercia de la sección transformada es ligeramente mayor que el momento de inercia de la sección solo de hormigón ( en este caso un 16 % mayor ) è 6273 / 5400 = 1.16 Es importante aclarar que los momentos de inercia de las aletas respecto a sus propios centroides no se han considerado porque realmente su valor no afecta los resultados. b) Sección elástica fisurada c d = 535 mm h = 600 mm b = 300 mm Sección transversal Sección transformada fisurada

Figura 7.2 Sección del ejemplo 7.1 Inicialmente se asume que el eje neutro se localiza por debajo del refuerzo superior => Para A´s = 2 # 7 = 2 x 387 = 774 mm2 è ( ) 2.541877418 mmAt =×−= Para As = 4 # 7 = 4 x 387 = 1548 mm2 è ( ) 2.1238415488 mmAt =×= El centroide del área transformada se determina por estática, sea “ c “ su valor:

Componente Área ( mm2) = A Distancia ( mm) = Y AxY ( mm3) Hormigón 300 x c c / 2 150 c2

Refuerzo superior 5418 (c – 65) (5418c – 352170) Refuerzo inferior 12384 (c – 535) (12384c – 6625440)

At = 10836 mm2

At = 5418 mm2

A´s = 2 # 7

As = 4 # 7

d´= 65 mm



Por definición “ c “ es la distancia al centroide cuando se cumple : ? A.Y = 0 è

06625440123843521705418150 2 =−+−+ ccc

0465171192 =−+ cc è mmc .1642

4471192

465174119119 2

=+−

=×++−

=

De acuerdo a este resultado es cierta la hipótesis inicial y el eje neutro se localiza a una distancia de 164 mm del borde superior de la sección por debajo del refuerzo superior. El momento de inercia de la sección se determina así: Componente Área (mm2) = A Yc ( mm) Ic ( mm4) A x Yc

2 ( mm4) Hormigón 49200 164 / 2 = 82 110x106 331x106

A s 5418 (164 - 65) = 99 ---------- 53x106 As 12384 (535-164)=371 ---------- 1704x106 110x106 2088x106

El momento de inercia es: Icr = (110+2088)x106 = 2198x106 mm4 En resumen se concluye que la inercia de la sección transformada fisurada “ Icr ” es aproximadamente un 35% de la inercia de la sección sin fisurar “ Igt “ y un 40% de la inercia de la sección bruta “ Ig “ ( 2088 / 6273 = 0.33 y 2088 / 5400 = 0.39 ). Ejemplo 7.2 La figura 7.3 muestra una sección simplemente reforzada de hormigón armado de b = 250 mm, h = 550 mm y d = 500 mm reforzada con As = 3 # 8. Determinar las tensiones en el hormigón y en el acero si los momentos bajo cargas de servicio son: Mcv ( carga viva) = 69 kN.m, Mcm(carga muerta) = 97 kN.m Los materiales tienen las siguientes resistencias: f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa b kd C d jd T Solución: Se determinan primero los parámetros de diseño: § Ec = 4790 x 210.5 = 21950 MPa § n = 204000 / 21950 = 9.29 ˜ 9 § ? = (3 x 510) / ( 250 x 500) = 0.0122

fc

fs

kd/3

As



§ ?n = 9 x 0.0122 = 0.1098

§ 371.01098.021098.01098.0 2 =×++−=k § j = 1- (0.371 / 3) = 0.876

Conocido el momento de servicio se determinan las tensiones por las ecuaciones básicas de la teoría de la flexión en el hormigón armado: § Mt( serv.) = 69 + 97 = 166 kN.m = 166000000 N.mm

§ ( )MPaf s .248

500876.01530166000000

=××

=

§ ( ) MPaf c .16500250876.0371.0

16600000022

=×××

×=

El resultado indica que bajo cargas de servicio las tensiones en los materiales se mantienen por debajo de las tensiones de diseño indicadas en el proyecto. El acero esta en un nivel del 60% de su tensión de fluencia y el hormigón esta en un 75% de su tensión de rotura. 7.3 Fisuración en el hormigón armado 7.3.1 Tipos de fisuras Las tensiones producidas por las cargas externas dan origen a diferentes patrones de fisuras como se indican en la figura 7.4. Por ejemplo las cargas axiales de tracción producen fisuras perpenticulares a la dirección de la carga cuyas características dependen de las dimensiones del elemento. Si el elemento es delgado la fisura se propaga en toda la sección con una separación entre 0.75 a 2.0 veces la dimensión mínima del elemento. Si es ancho y reforzado se desarrollan pequeñas fisuras en la capa de hormigón que protege el refuerzo algunas de las cuales se prolongan y se unen en el centro del elemento como se muestra en la figura 7.4.a. Los elementos sometidos a flexión pura tienen un patrón de fisuras similar al indicado en la figura 7.4.b. En este caso las fisuras originadas en las zonas mas traccionadas del elemento se propagan verticalmente hasta alcanzar el eje neutro. Este tipo de fisuración es el típicamente estudiado en el diseño a flexión del hormigón armado. En el caso de la cortante la fisuración típica es la generada por la combinación de la tracción mas la cortante la cual genera una grieta diagonal que se propaga desde las zonas mas traccionadas de los elementos hasta alcanzar el eje neutro y en algunos casos hasta alcanzar las regiones comprimidas, figura 7.4.c. Cuando se genera torsión en los elementos se presenta una fisura cuya forma es la de espiral, iniciándose en una de las caras laterales y propagándose diagonalmente alrededor de las otras caras hasta completar un giro completo de 360° , figura 7.4.d. La fisuración por tensiones de hendimiento se ilustra en la figura 7.4.e y tienen la característica de propagarse longitudinalmente en sentido paralelo a la dirección del refuerzo por flexión. Análogamente las cargas concentradas producen fisuras similares a las de hendimiento como se indica en 7.4.f.



Sección delgada Sección gruesa

a) Fisuración por tracción diagonal

b) Fisuración por flexión con o sin carga axial c) Fisuración por cortante d ) fisuración por torsión e) fisuración por hendimiento f ) fisuración por carga concentrada

Figura 7.4 Tipos de fisuras producidas por las cargas externas



Alternativamente no solo las cargas producen fisuras en las estructuras, las deformaciones impuestas ya sea por asentamientos diferenciales, retracción o cambios de temperatura producen también efectos similares. Por ejemplo la fisuración superficial en losas de edificios debido a la retracción y los cambios de temperatura. La figura 7.5 muestra la forma típica de fisuras por calor de hidratación en un muro construido varios días después de vaciada la fundación de la estructura. En este caso en particular las fisuras se producen en la etapa de enfriamiento del muro ya que al estar restringido de movimiento por la fundación se fisura en toda la superficie. Para controlar la rata de enfriamiento del muro y su calor de hidratación se pueden seguir varias recomendaciones: a) Construir el muro en longitudes cortas, b) utilizar cementos de bajo calor de hidratación como los Pórtland tipo IV o los adicionados, c) colocar refuerzo adicional por retracción. La retracción plástica y la contracción por secado del hormigón que se presentan en superficies recién terminadas debido a un secado rápido producen fisuras a lo largo del refuerzo, figura 7.6.a en forma mas o menos aleatoria constituyendo una fisuración similar a un mapa geográfico. Estos tipos de fisuras se pueden evitar si se realiza un correcto diseño de la mezcla y se previene el secado rápido de la superficie por medio de tratamientos superficiales y protección ambiental. La fisuración en forma de mapas puede también producirse por reacciones químicas entre el cemento y algunos agregados reactivos como sílices o carbonatos. Este fenómeno se conoce con el nombre general de reacciones álcali- agregado. El proceso es complejo y para su tratamiento y solución se requieren estudios especializados en el tema que están fuera del alcance de este libro. Finalmente, otra causa de fisuración en el hormigón es la corrosión del refuerzo. En este caso se produce un moho en la superficie del acero que ocupa unas dos o tres veces el volumen del metal inicial produciéndose tensiones internas que terminan por fisurar el hormigón en forma similar a las fisuras por hendimiento. Se han utilizado para la solución de este problemas aceros inoxidables, aceros con recubrimiento epoxi y superficies de hormigón inhibidoras de la corrosión.

Figura 7.5 Fisuras por calor de hidratación en un muro de hormigón



Figura 7.6 Otros tipos de fisuras 7.3.2 Fisuración por cargas externas La figura 7.7 muestra un prisma de hormigón armado sometido a una carga de tracción directa la cual se incrementa gradualmente desde cero hasta alcanzar la falla. La fisuración se inicia cuando en un determinado punto del prisma las tensiones a tracción en el hormigón impuestas por la carga externa igualan la resistencia a la tracción del material, f t, originando la primera fisura, figura 7.7.c. En la sección fisurada la fuerza resistente es aportada solo por el refuerzo. Para una carga mayor se alcanza la resistencia a tracción en otra sección del elemento produciendo otra fisura, este proceso se continua con el aumento de la carga hasta que la distancia entre fisuras no es lo suficientemente grande para que las tensiones de tracción en el hormigón alcancen la resistencia a tracción del material figura 7.7.d. Una vez se alcance este estado el patrón de fisuras se ha estabilizado y por lo tanto el aumento de la carga lo que hace es incrementar el ancho de las fisuras existentes. La distancia entre fisuras estabilizadas es función entre otras variables del espesor total del elemento, de la dimensión del recubrimiento y de las tensiones de adherencia. Sin embargo en forma aproximada se puede decir que este es del orden de dos a tres veces el espesor del elemento. La figura 7.8.b y c muestra la variación de las tensiones a tracción en el acero y en el hormigón después de que se alcanza un patrón de fisuras estable. En la sección fisurada las tensiones y las deformaciones en el acero alcanzan un valor máximo el cual se puede calcular a partir del análisis de esta sección. En las zonas entre fisuras todavía existen tensiones en el hormigón que alcanzan un valor máximo en el punto medio de la distancia entre fisuras. El ancho total “ w “ de una determinada fisura es la diferencia entre el alargamiento del acero y el hormigón en una longitud A-B igual al espaciamiento entre fisuras y su valor se puede expresar como:

( )dxB

A cs .∫ −= εεω ( 7.1 )

Fisuras por contracción del hormigón en las

formaletas

Fisuras en forma de mapas

Fisuras por corrosión del

refuerzo



a. Prisma de hormigón armado b. Resistencia y tensiones c. Tensiones después de 1ra fisura d. Tensiones después de varias fisuras 2da fisura 1ra fisura 3ra fisura

e. Prisma fisurado

Figura 7.7 Fisuración a tracción directa del hormigón armado

En donde “ es y ec “ son las deformaciones en el acero y en el hormigón entre los puntos “ A – B “ y “ x ” es la longitud de medida a lo largo del prisma. El espaciamiento “ s “ entre fisuras y la variación de “ es y ec “ son difíciles de estimar en la practica por lo que normalmente se recurre al uso de formulaciones empíricas para calcular el ancho de las fisuras. Los dos métodos mas conocidos son: el utilizado por el comité Euro-internacional del hormigón “ C.E.B. “ el cual se basa en la ecuación 7.1 y la aproximación estadística de Gergely y Lutz el cual representa la base fundamental para el control de fisuras en el reglamento Americano del hormigón armado A.C.I.

Tensiones de tracción

Resistencia a tracción

Punto de origen de la primera fisura

f´t ft



Las tensiones de adherencia se transfieren del acero al hormigón por medio de fuerzas que actúan en la superficie de las corrugas de las barras de refuerzo. Estas producen un patrón de fisuras en el hormigón similar al que se presenta cuando se analiza el comportamiento de los empalmes traslapados a tracción. Adicionalmente las tensiones de tracción en el hormigón disminuyen a medida que la barra se alarga, produciendo una diferencia entre las deformaciones del hormigón que recubre la barra y el que esta en la superficie de la estructura que se traduce en una mayor deformación en la superficie que en interior. P P

Figura 7.8 Tensiones en el acero y el hormigón en un elemento fisurado a tracción 7.3.3 Importancia del control del ancho de las fisuras En general son tres las razones que obligan al ingeniero ha realizar un correcto control en el ancho de las fisuras: Por apariencia estética, por estanqueidad y por corrosión del refuerzo. La presencia de fisuras en las edificaciones en principio es desagradable para los usuarios y los predispone a dudar de la confiabilidad y seguridad de la estructura problema que se traduce en continuos reclamos y pleitos. Varias investigaciones sugieren que el ancho máximo de fisura que no afecta la apariencia de la edificación y por lo tanto no genera alarma publica oscila entre 0.25 y 0.38 mm. Sin embargo este ancho máximo depende de la posición, longitud, altura, iluminación y textura superficial de la fisura. De ahí la dificultad en definir unos criterios estándar para el ancho de fisuras que agrupen las diferentes opiniones al respecto.

?fs

w

ft,ma

Variación de las tensiones en el acero

Variación de las tensiones en el hormigón



Cuando se consideran estructuras que contengan líquidos la principal característica en servicio es la estanqueidad. La evidencia experimental indica que esta propiedad se puede controlar si se realiza un correcto manejo del ancho de las fisuras. La corrosión del refuerzo tradicionalmente se ha relacionado con el ancho de fisuras. Varias investigaciones sugieren que los factores que eventualmente controlan el desarrollo de la corrosión son independientes del ancho de las fisuras aunque este ancho si afectara críticamente el periodo de tiempo requerido para el inicio de la corrosión. El refuerzo, protegido interiormente por el hormigón circundante, no sufrirá corrosión alguna hasta tanto no se establezca en su exterior un ambiente electrolítico, esto se puede explicar mejor así: la protección del hormigón contra el ataque químico externo se debe principalmente a su alta alcalinidad ( PH > 12 ) que inhibe la acción de los ácidos carbónicos que puedan entrar en contacto con el acero. En resumen el tiempo requerido para que se presente la corrosión depende de si el hormigón esta o no fisurado, de las condiciones ambientales, del espesor del recubrimiento y de la permeabilidad del material. Si el hormigón esta fisurado el tiempo requerido para que se inicie la corrosión dependerá del ancho de las fisuras. Sin embargo lo indicado anteriormente aun esta sujeto a revisión ya que para algunos experimentos anchos de fisuras hasta de 0.41 mm no tienen efectos perjudiciales en la corrosión mientras que en otros si. El enfoque de diseño actual define unos anchos máximos de fisuras para diferentes condiciones externas y el proceso de diseño lo que hace es ajustar las características geométricas de la estructura para garantizar el cumplimiento de estas exigencias. 7.3.4 Fisuración a Flexión. Ecuaciones de diseño De los principios básicos del diseño a flexión queda claro que la fisuración de un elemento se presenta básicamente en al zona traccionada donde se presentan por lo general dos tipos de fisuras: las verticales debidas a flexión pura y las inclinadas por la combinación de cortante mas flexión. La fisuración inclinada o por tracción diagonal es generalmente controlada por el refuerzo transversal y el mecanismo precursor es mas o menos el siguiente: para cargas relativamente pequeñas se forman las primeras fisuras en la cara mas traccionada del elemento las cuales rápidamente se prolongan verticalmente buscando el eje neutro como se muestra en la figura 7.9 con el numero 1.

Figura 7.9 Forma general de la fisuración de un elemento a flexión

# 1 # 1 # 4

# 2 # 3

# 5 # 6



Gradualmente y con el aumento de la carga se van formando las fisuras secundarias las cuales se hacen visibles en las caras laterales y se dirigen también al eje neutro, estas se indican con el # 2. Algunas veces se generan fisuras cortas secundarias que solo se prolongan hasta el refuerzo, las # 3. Las fisuras longitudinales, # 4 , se forman para cargas cercanas a la resistencia del elemento y a la altura del refuerzo a flexión. En algunos casos se ha notado que las fisuras primarias se dividen en dos ramas horizontales, las # 5, o que se forman fisuras horizontales a la altura del refuerzo, # 6 , las cuales se presentan cuando se alcanza la resistencia del elemento. 7.3.4.1 Teoría clásica Con base en la teoría de la fisuración de elementos prismáticos sometidos a tracción axial presentada en 7.3.2 los investigadores Watstein y Parsons formularon en el año de 1943 las primeras aproximaciones analíticas para interpretar el fenómeno. Sin embargo Hognestad en un articulo del Journal de la PCA de enero de 1962 titulado “ control de la fisuración a flexión del hormigón reforzado con barras de alta resistencia “ deduce las ecuaciones básicas de la fisuración de la siguiente forma. Considérese un elemento de hormigón armado sometido a tracción axial, figura 7.10.a, se puede suponer que las fisuras iniciales a tracción se forman cuando se supera la resistencia a tracción del hormigón en las diferentes secciones del elemento considerando que la distancia “ a “ entre estas fisuras es irregular en la longitud del espécimen. Si se aumentan las cargas de tracción se forman fisuras adicionales entre las ya formadas con la limitación de que el espaciamiento entre estas fisuras no debe ser inferior a un valor limite definido como “ amin. “. Este limite se logra cuando ya no se puede transferir por adherencia las tensiones del acero al hormigón que originen una fisura adicional entre las dos existentes. Por ejemplo si la distancia inicial entre las fisuras del elemento de la figura 7.10 es “ a “, la formación de una nueva fisura entre las secciones “ A “ y “ C “ dependerá de las fuerzas de adherencia entre el posible punto donde se forme la fisura intermedia “ B “ y el punto “ A “ o “ C “. La fuerza de adherencia necesaria para fisurar el hormigón es: ( Ae. f t ) en donde Ae es el área efectiva de hormigón a tracción y f´t es la resistencia a tracción directa del hormigón. Si “ µ “ es la tensión máxima de adherencia, “ ? “ es un factor que depende de la distribución de las tensiones de adherencia y “ So “ es la suma de los perímetros de las barras del elemento, se puede concluir que la fuerza de tracción transferida al hormigón en la longitud “ amin “ es: oa ∑... minµγ . Igualando la fuerza de tracción necesaria para fisurar el hormigón con la fuerza de tracción transferida por el refuerzo se tiene: oafA te ∑= .... min

´ µγ è Despejando y organizando términos:

ofA

a te

∑=

... ´

min µγ ( 7.2 )

Como el espaciamiento inicial entre fisuras es “ a “ se concluye que si “ a > 2amin “ es probable que se forme una fisura adicional entre A-C lo que no ocurre si “ a < 2amin. “.



No es difícil deducir que el espaciamiento entre fisuras oscile entre amin y 2amin con un valor promedio de 1.5amin. En la practica, debido a la naturaleza aleatoria del fenómeno se presentan altas dispersiones en el espaciamiento entre fisuras que teóricamente varían entre 0.67 y 1.33 del valor promedio. A B C

Figura 7.10 Fisuración de elementos a tracción y a flexión El perímetro de una barra es “ o = 2.p.r = 2.As / r = 4.As / Db “ si son varias barras del mismo diámetro “ So = 4. Ast / Db “ donde “ Ast “ es el área total de acero y “ Db “ es el diámetro de la barra. Si se define “ ?e = As / Ae “ se puede determinar a partir de la ecuación 7.2 el valor de “ amax. “ así:

st

btete

ADfA

ofA

aa.4.....2

....2

.2´´

minmax µγµγ=

∑==

e

bt Dfa

ρµγ ...2.´

max = ( 7.3 )

a

amin

A B C

2 (h-d)

a

amin

Ae = 2 ( h-d ) b

b



El alargamiento del acero entre dos fisuras, menos el alargamiento del hormigón determinan el ancho de la fisura. Si se desprecia el alargamiento del hormigón ( el cual realmente es muy pequeño ) el ancho máximo de la fisura es “ ss Efaw /.maxmax = ” en donde “ fs “ es la tensión a tracción en el acero y “ Es “ su modulo de elasticidad. Sustituyendo el valor de “ amax “ en la ecuación 7.3 se tiene:

e

sb

se

sbt

kfD

EfDf

wρρµγ ..

....2..

1

´

max == ( 7.4 )

En donde la constante ( )

´1...2

t

sf

Ek µγ=

La ecuación 7.4 ha sido modificada por varios investigadores a la luz de nuevos razonamientos teórico-experimentales. Es importante resaltar que esta ecuación se fundamenta en las siguientes hipótesis: a ) La distribución de tensiones a tracción en el hormigón de la sección “ B “ se considera uniforme lo que implica que el área efectiva de hormigón a tracción es toda la sección transversal del elemento. Esta premisa es cuestionable ya que la distribución real de tensiones no es uniforme b) La abertura de las fisuras se debe al deslizamiento del acero respecto al hormigón, c ) El espaciamiento entre fisuras se debe a la transmisión de las tensiones de adherencia entre los dos materiales d) El ancho de la fisura es constante en todo el espesor del elemento. Igual que en el caso de fisuración por tracción axial, la aplicación de la ecuación 7.4 requiere de la adopción de nuevas hipótesis. En principio, el área efectiva de hormigón a tracción “ Ae “ debe quedar apropiadamente definida. Por lo general se considera que “ Ae “ es el área de hormigón que tiene el ancho total de la sección y el mismo centroide que el refuerzo principal como se muestra en la figura 7.10. Además al aplicar la ecuación 7.4 en elementos a flexión se ha demostrado la necesidad de reducir el efecto de “ Db “ y “?e “. Con base en lo anterior se han sugerido ecuaciones modificadas como la inicialmente propuesta por el CEB para la determinación del ancho máximo de las fisuras en la superficie del hormigón:

2max

.4.05.4

kfD

w sb

e

×

+=

ρ (mm) ( 7.5 )

Donde: Db ( mm), fs ( MPa) y k2 = 334037 MPa ( para barras corrugadas). Kaar y Mattock de la PCA ( Asociación del cemento Pórtland en USA) modificaron la ecuación 7.5 para expresar mas condensadamente el ancho máximo de fisuras así:



54max 102.8 −×××= sfAw (mm) ( 7.6 )

Donde “A” es el área efectiva de hormigón que rodea cada barra ( A = Ae / n y “ n “ es el numero de barras ) en mm2 y “ fs “ es la tensión de tracción en el acero en MPa. Los anchos máximos de fisuras medidos en los experimentos en los cuales se baso la ecuación 7.6 mostraron una dispersión de mas o menos un 40% la cual es relativamente alta para un modelo de predicción pero muy útil para el trabajo practico de la ingeniería. Para obtener el ancho máximo de fisuras en el borde extremo a tracción Kaar y Hognestad proponen la siguiente expresión:

5

1

24max 102.8 −××××=

hh

fAw s (mm) ( 7.7 )

En donde h1 es la distancia del eje neutro al centroide del acero a tracción ( mm ) y h2 es la distancia del eje neutro al borde extremo a tracción de la sección ( mm). La tensión “ fs “ del acero a tracción puede estimarse con la ecuación aproximada “ fs = M / ( As.z) “ en donde “ z ˜ 7/8 d “. Las ecuaciones 7.6 y 7.7 pueden aplicarse siempre y cuando se cumpla: a) fs < fy , b) 2000 < A < 32000 mm2 y c) con barras corrugadas. 7.3.4.2 Teoría del no deslizamiento Con base en la teoría de elasticidad y en la hipótesis de que en los intervalos permitidos entre fisuras no hay deslizamiento del acero con relación al hormigón, algunos investigadores de la CCA ( Asociación del cemento y del hormigón de USA) formularon la expresión 7.8 la cual estima el ancho máximo de las fisuras en secciones de hormigón armado sometidas a flexión.

1

2max h

hEf

cws

s ×××= η (mm) ( 7.8 )

En donde “ ? “ es una constante experimental cuyo valor es de 3.3 para barras corrugadas y 4.0 para barras lisas, “ c “ es la distancia (mm) desde el punto en que se debe determinar el ancho de las fisuras a la superficie de la barra de refuerzo mas cercana. “ fs “ es la tensión en el acero de refuerzo ( MPa ), “ Es “ es el modulo de elasticidad del acero y “ h1, h2 “ tienen el mismo significado que el de la ecuación 7.7. La figura 7.11 ilustra gráficamente el significado de estos parámetros. Los ensayos de la CCA revelaron que el tipo de barra ( lisa o corrugada) tenia un efecto mucho menor de lo que se pensaba anteriormente con respecto al ancho de las fisuras. Realmente las secciones reforzadas con barras lisas presentaban aproximadamente un 20% mas de ancho de fisuras que las reforzadas con barras corrugadas para las mismas condiciones de ensayo. El ancho máximo de fisura a la altura del refuerzo es el indicado en la expresión 7.9.

s

s

Ef

cw ××= ηmax (mm) ( 7.9 )



Figura 7.11 Definición de parámetros para la determinación del ancho de fisuras 7.3.4.3 Aproximación estadística Los investigadores Gergely – Lutz en el año de 1968 recopilaron toda la información experimental obtenida hasta la fecha y la sometieron a un riguroso análisis estadístico que les revelara la importancia de las variables observadas en el fenómeno. Se evaluaron muchas combinaciones de variables y fue bastante difícil establecer una ecuación general que se ajustara en forma adecuada a todos los datos observados. Sin embargo se encontró que las variables mas importantes que controlan el problema son: a) el área efectiva de hormigón a tracción “ Ae ”, b) el numero de barras de refuerzo “ n “, b) el recubrimiento lateral o del fondo del refuerzo, “ tb, tc “, c) el gradiente de deformación desde el nivel del acero a la cara mas traccionada y la que en definitiva resulto ser la mas importante, d) la tensión del acero de refuerzo “ fs “. Se propusieron por tanto las ecuaciones 7.9 y 7.10 para predecir los anchos máximos de fisuras en la cara mas traccionada del elemento y a nivel de las barras de refuerzo respectivamente.

53

1

2max 1008.1 −×××××= Atf

hh

w bs (mm) ( 7.9 )

5

1

3

max 10

32

1

08.1 −××

×+

××= s

s

b f

ht

Atw (mm) ( 7.10 )

La constante numérica “ 1.08 ” depende del sistema de unidades utilizado, en las ecuaciones originales deducidas por Gergely-Lutz usando el sistema de unidades ingles el valor de la constante fue de “ 0.076 ”. El significado de las otras variables es:

h1 h2

c

h1

tb

tc

h2

Eje neutro

Punto de medición real

del ancho de la fisura



§ tb: distancia de la cara extrema a tracción al centro de la barra adyacente ( mm ) § ts: Distancia desde el borde lateral al centro de la barra adyacente ( mm ) § A: Area de hormigón a tracción alrededor de cada barra = Ae / n (mm2 ) § fs: Tensión a tracción del acero de refuerzo ( MPa ) § h1: Distancia desde el centroide del acero a tracción al eje neutro ( mm ) § h2: Distancia desde la cara mas traccionada al eje neutro ( mm )

En la figura 7.11 se puede apreciar gráficamente el significado de algunas de las variables antes enunciadas. Las expresiones 7.9 y 7.10 se conocen en la ingeniería técnica como las ecuaciones de Gergely- Lutz y estas han sido confirmadas, verificadas y modificadas por muchos investigadores, sin embargo la conclusión general a que se ha llegado es que las formulaciones matemáticas están sometidas agrandes desviaciones cuando se trata de verificarlas mediante programas experimentales. Las figuras 7.12 y 7.13 resumen básicamente lo expresado en los párrafos anteriores. 7.3.4.4 Enfoque general De lo indicado en los numerales anteriores se concluye que a la fecha no existe una teoría satisfactoria que permita predecir en forma exacta la fisuración de los elementos de hormigón armado. En años recientes los esfuerzos se han centrado en explicar mas analíticamente los mecanismos de la fisuración y en esta tarea Beeby en 1970 llevo a cabo una investigación para la CCA donde midió los anchos y espaciamientos de las fisuras en diferentes puntos de sistemas de losas unidireccionales de hormigón armado. Los primeros resultados indicaron que el espaciamiento y el ancho de las fisuras aumenta con la distancia desde la barra hasta el punto de medición de la fisura y a cierta distancia desde la barra se aproxima valores constantes que dependen de la altura de la fisura en vez de la distancia de la barra. En definitiva Beeby llego a concluir que “ el patrón de fisuras en cualquier punto era el resultado de la interacción de dos formas básicas de fisuras que son: el debido a la altura de la fisura, ho y el debido a la distancia desde el punto de medición de la fisura a la superficie de la barra mas cercana, c ”. Las expresiones propuestas por Beeby que se ajustan mejor a los resultados experimentales se indican en 7.11 para “ wmax ” sobre la barra, 7.12 para “ wmax “ a cierta distancia de la barra y 7.13 para “ wmax “ en puntos intermedios.

−+×=

o

o

bomo h

Ck

DA

kCkw .exp... 321max, ε ( mm ) (7.11 )

[ ]oml hkw .. 1max, ε= ( mm ) (7.12 )

( )( )oolo

ol

wCCwCwwC

wmax,max,

max,max,max ..

..−+

= ( mm ) ( 7.13 )



Figura 7.12 wmax a nivel del refuerzo en secciones con fy =280 MPa

Figura 7.13 wmax a nivel del refuerzo en losas unidireccionales



En donde “ Co “ es el recubrimiento mínimo del refuerzo, “ Db “ es el diámetro de las barras, “ A “ es el área efectiva de hormigón que rodea la barra, “ ho “ es la altura inicial de la fisura, “ em “ es la deformación longitudinal promedio al nivel donde se esta considerando la fisuración y “ k1, k2 y k3 “ son constantes que dependen de la probabilidad de que se exceda el ancho de la fisura. Desde un punto de vista practico las ecuaciones 7.11 a 7.13 son demasiado complejas para su uso continuo por lo que Beeby las simplifico en una expresión sencilla que estima el “ wmax “ con una probabilidad de excedencia del 20%.

( ) ( )kdhCCC

wo

m

−−+=

/.21..3

maxε

( mm ) ( 7.14 )

En donde “ h “ es la altura total de la sección, “ kd “ es la profundidad del eje neutro, “em “ es la deformación promedio en la cara extrema a tracción del elemento la cual se determina restándole a la deformación del acero en una fisura un termino empírico que se debe al efecto endurecedor del hormigón a tracción entre fisuras y modificando la expresión por el gradiente de deformación.

−−

×

×−= −

kddkdh

Abh

ssm

6105.2

εε ( 7.15 )

“ es “ es la deformación del acero en una fisura, “ b, h “ las dimensiones de la sección, “ As “ es el área de refuerzo a tracción, “ d “ la altura efectiva de la sección. Es importante mencionar que la ecuación 7.11 tiene algunas similitudes con la expresión 7.16 desarrollada por Ferry Borges en 1966 en Zurich para el estudio de las condiciones de servicio en vigas de hormigón reforzadas con barras corrugadas.

−×

+×=

ws

w

b

s

fD

CE

wρρ52.7

066.05.21

max ( mm ) ( 7.16 )

En donde “ Es “ es el modulo de elasticidad del acero ( MPa ), “ C “ es el espesor de hormigón sobre la barra ( mm ), “ Db “ es el diámetro de la barra ( mm ), “ ?w “ es la cuantía del refuerzo = As / ( bw.d), “ As “ es el área de acero ( mm2 ), “ bw, d “ el ancho y altura efectiva de la sección ( mm ) y “ fs “ la tensión en el acero ( MPa ). 7.3.5 Valores limites para los anchos de fisuras Realmente no hay consenso general sobre los anchos máximos de fisuras en parte por la naturaleza aleatoria del problema y por la influencia que ejerce el medio ambiente alrededor de la estructura y las características de corrosión del acero de refuerzo. En la practica lo que se hace es definir unos valores admisibles como lo hace el comité 224 del ACI con base en la experiencia y los registros de estructuras evaluadas. La tabla 7.1



resume lo indicado en el ACI pero el criterio y juicio del ingeniero es importante al momento de evaluar los valores para cada caso en particular.

Tabla 7.1 Ancho máximo de fisuras según el ACI-224

Condiciones de Exposición

Ancho máximo de fisura ( mm )

Al aire seco o estructura con membrana protectora

0.40

En humedad continua, aire húmedo o dentro del suelo

0.30

Ataque continuo de sales descongelantes

0.20

En agua de mar o ambiente marino y efecto cíclico humedad-secado

0.15

Estructuras hidráulicas que retienen aguas excepto tuberías de presión

0.10

Se debe anotar que los valores de ancho de fisura entregados por la ecuación 7.9 son indicativos de los máximos probables que realmente se pueden obtener, es evidente que algunas fisuras pueden presentar anchos mayores que los dados por esta expresión por lo que el ingeniero al definir su punto de vista debe entender completamente estas limitaciones. Ya que el ancho de la fisura es menor a nivel del refuerzo que en la cara traccionada se sugiere utilizar los mayores recubrimientos de hormigón aceptables para tipo de estructura y condiciones de exposición. El comité Euro-internacional del hormigón ( CEB ) define los siguientes criterios para limitar el ancho de las fisuras principales ( es decir el 60% de las fisuras máximas ): a) las condiciones de exposición externas, b) la sensibilidad del refuerzo a la corrosión y c) la duración de la carga. Para este ultimo aspecto se tiene muy poca información experimental. Illston y Stevens encontraron que bajo carga permanente el espaciamiento entre fisuras no cambia con el tiempo pero el ancho promedio si a una tasa decreciente, obteniendo en las pruebas efectuadas una duplicación del ancho de la fisura en dos años. El aumento en los anchos de fisuras se debe a la contracción del hormigón y al cambio de curvatura dependiente del tiempo.



Tabla 7.2 Resumen de ecuaciones para la determinación de wmax Método o enfoque Autor ( es) Ecuación

Teoría clásica ( tracción )

Watstein-Parsons-Hognestad

e

sb

se

sbt

kfD

EfDf

wρρµγ ..

....2..

1

´

max ==

Teoría clásica ( flexión )

CEB

2max

.4.05.4

kfD

w sb

e

×

+=

ρ

Teoría clásica ( flexión )

Kaar-Mattock ( PCA )

54max 102.8 −×××= sfAw

Teoría del no deslizamiento

Base et al ( CCA )

1

2max h

hEf

cws

s ×××= η

Aproximación estadística

Gergely- Lutz 53

1

2max 1008.1 −×××××= Atf

hh

w bs

General probabilística

Beeby et al ( CCA ) ( ) ( )kdhCC

Cw

o

m

−−+=

/.21..3

maxε

Otros

F. Borges

−×

+×=

ws

w

b

s

fD

CE

wρρ52.7

066.05.21

max

7.3.6 Requisitos del ACI y el NSR para el control de fisuración Con base en la hipótesis de que el fenómeno de la fisuración del hormigón armado bajo carga es un proceso aleatorio y de las diferencias obtenidas al comparar el wmax medido vs el wmax estimado por las diferentes expresiones resumidas en la tabla 7.2 se puede concluir que no se justifica realizar un calculo muy preciso al determinar el ancho de las fisuras del hormigón. Es por ello que el código ACI recomendaba hasta la edición de 1995 controlar las fisuras en forma indirecta definiendo reglas adecuadas para la distribución del refuerzo tanto en vigas como en losas en una dirección y basándose en la expresión propuesta por Gergely-Lutz. Utilizando la notación del ACI la expresión 7.9 se puede escribir de la siguiente forma:

33max 10...0108.0 −×= Adfw csβ ( mm ) (7.17)

En donde: § “wmax” : Ancho máximo de fisura en ( mm ) § “ ß “ : Relación de distancias al eje neutro = h2 / h1 § “ fs “ : Tensión a tracción del refuerzo bajo carga de servicio ( MPa) § “ dc “ : Distancia de cara mas traccionada a centro de barra mas cercana ( mm ) § “ A “ : Área efectiva a tracción del hormigón sobre numero de barras ( mm2 )

Experimentalmente se comprueba que para vigas el valor de “ ß “ es de aproximadamente 1.2 è definiendo una nueva variable “ z “ como:



3 .Adfz cs ×= (N/mm) (7.18 ) se tiene: max

33max 771601001296.0102.10108.0 wzzzw ×=⇒××=×××= −− por lo

que se puede realizar el control de fisuras controlando “ z “. El ACI recomienda : § Para condiciones de exposición interior è z < 31000 N / mm § Para condiciones de exposición exterior è z < 26000 N / mm

Estos limites corresponden a anchos máximos de fisuras de 0.40 mm para interior y 0.35 mm para exterior. Además el ACI indica que: § Solo se debe usar como refuerzo barras corrugadas las cuales deben quedar

perfectamente distribuidas en las zonas de máxima tracción del material. § Se recomienda también que en los diseños estructurales no se utilice refuerzo

con fy > 560 MPa ya que estos inducen grandes tensiones en el hormigón aumentando la probabilidad de fisuras en el material.

§ Cuando se usan barras de refuerzo de diferentes diámetros en una misma

sección, el área a tracción del hormigón por barra debe calcularse usando un numero equivalente de barras determinado dividiendo el área total de refuerzo por el área de la barra de mayor tamaño. Por ejemplo si el refuerzo de una sección esta representado por 2 # 9 + 1 # 10 el numero equivalente de barras es n = ( 2 x 645 + 819 ) / 819 = 2.6.

§ Para barras en paquete se recomienda que “ A “ sea contabilizada como el

equivalente a 1.4 barras, reconociendo así que las barras en paquete aumentan el perímetro de adherencia comparándolo con una sola barra de la misma área del paquete.

Las ecuaciones 7.17 y 7.18 pueden también utilizarse en losas unidireccionales considerando en estos casos un valor de ß = 1.35 en lugar de 1.2 para vigas. Esto se debe a que en losas la altura efectiva del refuerzo es menor que en vigas y el recubrimiento del refuerzo por lo general es menor o igual a 25 mm. Para un valor determinado de ancho limite de fisura, los valores limites de “ z “ deben multiplicarse por la relación “ 1.20 / 1.35 “. Por lo tanto para losas con anchos limites de 0.40 mm en ambientes interiores y 0.35 mm en exteriores ==> § Para exposición interior ==> z < 27700 N / mm, § Para exposición exterior ==> z < 23200 N / mm

En secciones T con aletas en tracción ( Zonas de momento negativo), la concentración del refuerzo en la parte de aleta sobre el alma puede llevar a una excesiva fisuración en las aletas y aunque las fisuras allí formadas sean de poco ancho y bien distribuidas es necesario prevenirlas distribuyendo el refuerzo a tracción en toda la aleta. Sin embargo debido a la cortante estática las barras fuera del alma están menos tensionadas que las restantes produciendo un diseño anti-económico. El ACI reconoce que en estos casos



se debe distribuir el refuerzo en un ancho igual al menor de: el ancho efectivo de aleta “ b “ o un 1/10 de la luz del elemento. En caso de que le ancho efectivo de aleta sea mayor que 1/10 de la luz se debe colocar un refuerzo longitudinal adicional en las partes salientes de las aletas. La cuantía de este refuerzo es a criterio del diseñador y como sugerencia general se puede utilizar el valor de la cuantía por retracción y temperatura “ Ast “ usada para losas. Un valor frecuentemente usado es el doble de “ Ast “. En secciones T con almas relativamente profundas, se recomienda colocar algún refuerzo en las caras verticales del alma y en la zona a tracción de la sección para control del ancho de fisuras. Según el ACI si la profundidad del alma es mayor de 900 mm se debe colocar un refuerzo adicional en las caras laterales de la sección y en la zona a tracción de la sección en una cuantía del 10% de la del refuerzo principal y espaciado una distancia menor o igual “ bw “ o 300 mm. La contribución de este refuerzo a la resistencia a flexión de la sección es usualmente despreciada. Para determinar las tensiones de tracción en estas barras cuando se alcanza la resistencia a flexión de la sección se puede utilizar la compatibilidad de deformaciones y el equilibrio estático de fuerzas. En secciones con refuerzo principal a flexión en una capa, se puede diseñar una ayuda de diseño con base en la ecuación 7.18 que permita tabular el numero mínimo de barras a colocar en un determinado ancho de sección de acuerdo con los requisitos del ACI para el control de fisuras en elementos a flexión.

Figura 7.14 Numero mínimo de barras en una capa para control de fisuras De la figura 7.14 se tiene que el área total de hormigón a tracción es igual a “ 2.dc.bw ”, por lo tanto el área a tracción por barra es: “ A = ( 2.dc.bw ) / n “ donde “ n “ es el numero de barras en la capa de refuerzo. De la ecuación 7.18 se cumple que:

3

3..2..2

=⇒=

s

wcwc

sf

z

bdn

nbd

fz

Estribos # 3 o # 4

2dc dc

bw

40 mm



Para aceros con fy = 420 MPa è se tiene una tensión de trabajo fs = 0.60.fy = 0.60 x 420 = 252 MPa. Si se utilizan estribos # 3 o # 4 con recubrimientos de 40 mm el valor “ dc “ es de aproximadamente: “ dc = 40 + 10 + 0.5.db “ por lo tanto se cumple que:

( )( )3

2

252

5.050.2z

bdn wb+

= (7.19 )

Donde “ n “ es el numero mínimo de barras que se pueden acomodar en “ bw “ para cumplir con los requisitos de control de fisuras. En el diseño a flexión se dan tablas guías que entregan los valores de “ n “ para diferentes condiciones de trabajo. En las ediciones del código ACI de los años 1999 y 2002 se modificaron las especificaciones para el control de fisuras. Se propone que el factor mas importante en el control de la fisuración a flexión es la separación de las barras de refuerzo y se propone realizar el control de fisuración con la expresión 7.20

( )scs

fcf

s 2523005.295000

×≤×−= ( 7.20 )

En donde: “ s “ es la separación c.a.c en mm del refuerzo en la cara a tracción, “ fs “ es la tensión a que esta sometido el refuerzo y “ cc “ es el recubrimiento libre del refuerzo en la zona a tracción de la sección. Bajo estas consideraciones el espaciamiento máximo para acero de “ fy = 420 MPa “ es: 300 x [252 / (0.60 x 420 )]= 300 mm. Si se tiene una viga con refuerzo de “ fy = 420 MPa “ y “ cc = 50 mm “ el espaciamiento máximo es:

mms .252125377505.24206.0

95000=−=×−

×=

Ejemplo 7.3 Determinar el ancho máximo de fisura “ wmax “ de la viga indicada en la figura 7.15 considerando una carga externa que incluye el peso propio de 15 kN / m. Utilizar un f c = 28 MPa y fy = 420 MPa.


Luz = 9.0 m

qs = 15 kN / m

b = 300 mm

h = 550 mm 3 # 8



Solución: La estructura indicada en la figura esta sometida a un momento flector máximo bajo cargas externas “ Mext. “ de:

mkNM ext ..1528

915 2

. =×

=

Como primera revisión del problema lo que se hace es verificar si bajo el momento flector externo la sección esta o no fisurada. Esto se logra comparando el momento de fisuración de la sección “ Mcr “ con el momento externo “ Mext.”. Del estudio del comportamiento a flexión del hormigón armado y aplicando el concepto de sección transformada fisurada se tiene que el momento de fisuración de esta sección

de viga “ Mcr “ es: c

rgcr y

fIM = en donde “ Ig “ es el momento de inercia de la sección

transformada no fisurada, “ fr “ es el modulo de rotura del hormigón y “ yc “ es la distancia de la cara mas traccionada al centroide de la sección.

2.153051038#3 mmAs =×== y la relación modular es: 805.8284790

204000≈==n

El área transformada es: ( ) 210710153018 mmAt =×−= El valor de: mmdc 634.255.050 =×+=

( ) ( )( )

mmyc .26210710550300

6310710275550300=

+××+××

=

Conocida la posición del centroide de la sección se puede determinar “ Ig “:

( ) ( ) ( ) =

−×+

××+

−××+

×= 2

32

3

63262535512

4.252102262275550300

12550300

gI

4666 10461210425104187 mmI g ×=×+×=

Nota 1: Una aproximación bastante utilizada en la practica es suponer que Ig es el momento de inercia de la sección bruta de hormigón è Ig = ( 300 x 5503 ) / 12 = 4160 x 106 mm4 que indica un 90% del valor estimado anteriormente. Sin embargo se aconseja no variar mucho los cálculos para un mejor beneficio y comprensión del problema. El modulo de rotura del hormigón es: MPaf r 33.32863.0 =×=

mkNmmNM cr ..59..1059262

33.3104612 66

=×=××

=∴



Ya que Mext. = 152 kN.m es mayor que Mcr = 59 kN.m la sección esta en rango elástico fisurado y se deben utilizar las ecuaciones respectivas. Nota 2. El ejercicio se pudo haber iniciado considerando la sección en estado elástico fisurado sin necesidad de los cálculos anteriores. Sin embargo por claridad y a modo explicativo se realizo el procedimiento anterior. § ? = (3 x 510) / ( 300 x 487) = 0.0105 § ?n = 8 x 0.0105 = 0.084 § 334.0084.02084.0084.0 2 =×++−=k § j = 1- (0.334 / 3) = 0.889

Conocido el momento de servicio se determinan las tensiones por las ecuaciones básicas de la teoría de la flexión en el hormigón armado:

§ ( )MPa

mmNf s .230

487889.01530..152000000

=××

=

Se cumple que fs = 230 MPa es menor que 0.6fy = 252 MPa.

Aplicando la ecuación 7.17 è 33max 100108.0 −×××××= Adfw csβ (mm)

§ 19.1163487163550

487334..0487487334.0550

1

2 =−−

=×−×−

==hh

β

§ mmdc .63487550 =−=

§ 2.126003

300632mmA =

××=

mmmmw .27.0)(1027410126006323019.10108.0 333

max =×=×××××= −−

El ancho máximo obtenido para esta viga es de 0.27 mm el cual es aceptable para cualquier condición de exposición externa. Si se determinara el valor de z è mmNz /.212961260063230 3 =××= el cual es menor que 26000 N / mm especificado por ACI y NSR. Ejemplo 7.4 Una viga de sección T esta reforzada con 6 # 9 como se indica en la figura 7.16. La altura total de la sección es “ h = 700 mm “ y el eje neutro esta localizado a “ kd = 133 mm “. Si la tensión a que esta sometido el acero en la zona traccionada es de “ fs = 211 MPa “ determinar: a ) si la disposición del refuerzo es adecuada según los requisitos de fisuración especificados y b ) el ancho máximo de fisuras por todos los métodos estudiados. Solución: a ) Verificación de la disposición del refuerzo



Se debe comprobar para la sección indicada que z < 31300 N / mm è

( ) 2.76836

4.1842506

8.507.284.257.288.50250mmA =

×=

++++×=

El centro de gravedad del refuerzo a tracción se localiza a una distancia:

x = 50.8 + 28.7 + 25.4 / 2 = 92 mm del borde mas traccionado de la sección.

Figura 7.16 Sección de viga del ejemplo 7.4

mmdc .6527.288.50 =+= mmNz /.16740768365211 3 =××=∴ El valor de z = 16740 N /mm es inferior al limite de 31000 N / mm y la disposición del refuerzo es aceptable. Si por ejemplo “ z > 31000 N / mm “ se debe aumentar el numero de barras de refuerzo disminuyendo su diámetro para de esta forma disminuir “ A “ y lograr menor “ z “. b) Para esta sección se cumple: h2 = 700 – 133 = 567 mm h1 = 608 - 133 = 475 mm b.1) Kaar- Hognestad

En la zona mas traccionada: mmw .19.010475567

21176832.8 54max =××××= −

b.2) Base y otros

1

2max h

hEf

cws

s ×××= η ( mm ) En donde ?= 3.3

25.4 mm

50.8 mm

6 # 9

h = 700 mm kd = 133 mm

bw = 250 mm



El valor de “ c “ se estimara en un punto localizado en la esquina del borde mas traccionado de la sección donde se obtiene el “ c máximo ”:

mmw .32.0475567

204000211

783.3max =×××=

Nota: Si se determina el “ wmax “ directamente bajo la barra è “ co = 50.8 mm “

mmw .21.0475567

204000211

8.503.3max =×××=

Valor que es aproximadamente igual al obtenido en b.1). b.3) Gergely-Lutz

En el borde mas traccionado: mmw .22.010475567

7683652110108.0 33max =×××××= −

b.4) Beeby y otros En el borde mas traccionado y en la esquina inferior de la sección donde el valor de “ c “ es máximo se tiene: c = 78 mm y co = 50.8 mm

0012.0133567133700

106456

7002505.2204000

211 6 =

−−

×

××

××−= −

mε

mmw .26.0

1337008.5078

21

0012.0783max =

−−

×+

××=

Nota: Si se determina “ wmax “ directamente bajo la barra è c = 50.8 mm

mmw .18.0

1337008.508.50

21

0012.08.503max =

−−

×+

××=

x

50.8 mm

( ) ( ) mmx .9227.288.5027.288.50 22 =+++=

mmc .782

7.2892 =−=∴



b.5 ) F. Borges En la cara mas traccionada y en la esquina donde “ c “ es máximo se tiene:

0255.0608250

3870=

×=wρ

mmw .24.00255.0752.0

2110255.0

7.28066.0785.2

2040001

max =

−×

×+××=

Nota: El ancho de fisura directamente bajo la barra “ co = 50.8 mm “ è

mmw .18.00255.0752.0

2110255.0

7.28066.08.505.2

2040001

max =

−×

×+××=

Un análisis de los resultados indica que a excepción del método Gergely- Lutz la ecuación de Base proporciona el valor mas alto para la estimación del ancho máximo de fisuras en elementos de hormigón armado sometidos a flexión. Sin embargo la ecuación de Base es un caso particular de la de Beeby por lo que solo es necesario considerar esta ultima en los diseños. Las ecuaciones de Kaar-Hognestad, Beeby y Borges reflejan resultados similares al método de Gergely- Lutz Sin embargo todos los métodos ensayados producen resultados similares reflejando una baja desviación estándar y en definitiva una excelente aproximación de los procedimientos evaluados. El valor promedio del ancho de fisura para todos los resultados es de 0.20 mm con una desviación de 0.02 y un coeficiente de variación estadístico del 10%.

Tabla 7.3 resumen de resultados del ejemplo 7.4

Método wmax (mm ) Kaar-Hognestad 0.19

Base 0.21 Gergely-Lutz 0.22

Beeby 0.18 Borges 0.18

Ejemplo 7.5 Determinar el ancho máximo de fisura para la estructura de hormigón armado que se indica en la figura 7.17. Usar f c = 31 MPa y fy = 420 MPa




Solución: Para resolver el problema se puede utilizar cualquier procedimiento de los explicados. Se aplicaran los métodos: Kaar- Mattock, Base y Gergely-Lutz. § Criterio de Kaar- Mattock

Para determinar el ancho de fisura es necesario obtener primero “ A “ y “ fs “ è Para la carga externa aplicada se tiene un momento en la mitad de la luz de:

mNmkNM ext /.90000..908

620 2

. ==×

=

Nota: Para esta carga externa se puede considerar que la sección esta en rango elástico fisurado y no es necesario revisar si “ Mext

“ es mayor que “ Mcr “. Sin embargo por lo general se debe realizar este chequeo y definir como se encuentra la sección. Una revisión rápida es la siguiente:

Luz = 6.0 m b = 250 mm

h = 500 mm 3 # 6

20 kN / m

60 mm

60 mm

40 mm

Estribo # 3

250 mm

Ae = 250 x 120 = 30000 mm2

A =25000 / 3 = 10000 mm2

d = 500 – 60 = 440 mm

As = 3 x 284 = 852 mm2



mkNmmNM cr ..37..1037250012

5002503163.0 63

=×=×

×××= < Mext. = 90 kN.m

Para el momento externo aplicado la tensión en el acero se puede estimar en forma aproximada considerando que “ jd = 0.875 d “ con “ d = 500 –60 = 450 mm “

MPaf s .262460875.0852

1090 6

=××

×= ˜ 0.60 x fy = 252 MPa

A pesar de que fs no cumple la especificación de que sea menor o igual a 0.60fy, este se puede aceptar por las aproximaciones en la determinación de “ j “.

mmw .21.010262100002.8 54max =×××= −

§ Criterio de Base

mmc .705.495.49 22 =+= fs = 262 MPa

? = 852 / ( 250 x 440) = 0.0077

n = 204000 / ( 4790 x 310.5) = 7.65 ˜ 8

295.0062.02062.0062.0 2 =×++−=k è kd = 130 mm

j = 1- 0.295 / 3 = 0.902 è jd = 397 mm

h2 = 500 – 130 = 370 mm h1 = 440 – 130 = 310 mm

mmw .35.0310370

204000262

703.3max =×××=

y el ancho de la fisura a nivel del refuerzo es:

mmw .21.0204000

2625.493.3max =××=

§ Criterio de Gergely-Lutz

mmw .28.010310370

26210000600108.0 33max =×××××= −

A nivel del refuerzo es:



mmw .21.0

31060

32

1

1026210000600108.0 33

max =

×+

××××=

−

En resumen se tienen los siguientes resultados:

wmax Kaar-Mattock Base Gergely-Lutz En cara mas tracc. ------ 0.35 0.28 A nivel del refuerzo 0.21 0.21 0.21

Ejemplo 7.6 La viga de sección T de la figura 7.18 esta sometida a un momento externo de Mext. = 675 kN.m. Determinar el ancho máximo de fisura en la cara mas traccionada de la sección y verificar si la disposición del refuerzo es adecuada para condiciones de exposición externa. Solución: Para resolver este problema se plantea primero la determinación de la tensión de tracción del acero bajo cargas de servicio, fs. Se pueden utilizar por ejemplo tres procedimientos: a) Utilizando el concepto de la sección transformada fisurada, b) utilizando la ecuación aproximada fs = Ms / ( As jd), c) usando fs = 0.60 fy. El primer procedimiento es largo y laborioso con la desventaja adicional de que no se gana precisión en los resultados debido a la naturaleza aleatoria del proceso. Se utilizara por tanto el procedimiento b) o c) para resolver este problema.

Figura 7.18 Sección de la estructura del ejemplo 7.6

250 mm

700 mm

150 mm

30 mm

30 mm

70 mm

100 mm

650 mm

Est.# 3



Sea jd = ( d – hs / 2 ) = ( 650 – 150 / 2 ) = 575 mm

As = 6 # 10 = 6 x 819 = 4914 mm2

è MPaf s .239575491410675 6

=××

=

La distancia del centroide del acero al borde mas traccionado de la sección es 100 mm, por tanto el área efectiva de hormigón a tracción por barra es:

2.83336

2501002mmA =

××= dc = 70 mm y ß = 1.2

mmw .26.0102.18333702390108.0 33

max =×××××= − Verificando la disposición del refuerzo con la ecuación 7.18 se tiene:

mmNz /.19969833370239 3 =××= Se concluye que “ z < 26000 N / mm “ y la sección cumple para exposición exterior. Si el resultado indicara que z > 26000 N / mm è se debe considerar el uso de un mayor numero de barras en la sección lo cual se logra disminuyendo el diámetro del refuerzo. Lo anterior permite reducir “ A “ y por lo tanto “ z “. 7.4 Deflexiones. Comportamiento y Análisis 7.4.1 Generalidades Durante el periodo de 1910 a 1956 el diseño estructural del hormigón armado se realizaba exclusivamente utilizando el método de las tensiones de trabajo o método elástico ( WSD por sus iniciales en ingles ) con las siguientes características de los materiales: a) resistencia del hormigón entre 10 y 20 MPa, b) resistencia del acero entre 230 y 280 MPa. El uso de estos materiales junto con unas tensiones admisibles conservadoras y la aplicación del método de la línea recta al diseño dieron como resultado secciones demasiado grandes y rígidas que en consecuencia tenían pocas deflexiones y por lo tanto no representaban problema alguno en servicio de las edificaciones así proyectadas. Este panorama cambio repentinamente cuando se comenzó a utilizar el método de diseño por resistencia para el diseño estructural. En este ya se presenta una visión mas amplia del comportamiento tensión-deformación de los materiales lo cual permite usar mayores resistencias y por ende lograr secciones mas esbeltas. La consecuencia fue inmediata, estas nuevas secciones permitían unas mayores deflexiones de los elementos que el método anterior problema que debía ser atendido convenientemente. A lo anterior se le suma el hecho de que en los últimos años la tecnología ha propuesto el uso de



materiales de alta resistencia logrando así hormigones de f c > 42 MPa y barras de refuerzo hechas de aceros de fy > 420 MPa. Bajo este marco general el diseño actual se rige por un correcto control de las deflexiones en servicio de las estructuras comparando los valores estimados teóricamente con los definidos como aceptables por las normas y reglamentos de diseño y construcción legalmente adoptados en la región. En la determinación de las deflexiones se debe considerar tanto las que se presentan inmediatamente se cargue la estructura ( deflexiones inmediatas ) sino también aquellas que se manifiestan después de algunos años de uso de la edificación ( deflexiones diferidas ). Las deflexiones admisibles dependen de muchos factores entre los cuales se pueden mencionar: el tipo de uso de la edificación, características de los acabados, características de las divisiones arquitectónicas interiores, la sensibilidad de las instalaciones mecánicas y eléctricas a las deflexiones y la magnitud y duración de la carga viva. Es evidente que de acuerdo a lo anterior las deflexiones representan una variable aleatoria cuyo estudio requiere de los mas rigurosos métodos estadísticos que enfoquen en forma mas real la solución del problema. Desafortunadamente tal método aun no esta disponible por lo que se continúan utilizando algunas aproximaciones que han comprobado resultados satisfactorios en muchos casos. En la tabla 7.4 ( tomada directamente del ACI-318 ) se especifican las deflexiones máximas inmediatas “ ? mi “ debidas a la carga viva actuando sobre cubiertas o pisos planos que no estén conectados a elementos arquitectónicos que puedan afectarse por grandes deflexiones. Del análisis de la tabla 7.4 se aprecia:

a) En cubiertas planas è ? mi = luz / 180 b) En pisos planos è ? mi = luz / 360

Para reconocer el efecto diferido de aumento de la deflexión con el tiempo, la tabla 7.4 especifica los limites para la suma de las deflexiones por fluencia y retracción debida a la carga total sostenida y aquella parte de la carga viva que continua actuando. Los criterios en estos casos son:

a) Cuando se afectan los elementos arquitectónicos è ? mi = luz / 480 b) Cuando no se afectan los elementos arquitectónicos è ? mi = luz / 240

Las limitaciones en las deflexiones son en muchas veces arbitrarias. Históricamente el limite aceptado para prevenir la fisuración de los cielos rasos de las edificaciones era de luz / 360. Como guía general se pueden considerar otros limites en donde el diseñador tenga la responsabilidad de evaluar los posibles efectos adversos de las deflexiones excesivas en cualquier situación practica. En definitiva, los conceptos generales que se aplicaran en este numeral son útiles para el diseño de vigas y losas uni y bidireccionales. Algunos ejemplos solo se realizaran para losas en una dirección dejando el caso en dos direcciones para estudiar posteriormente.



Tabla 7.5 Deflexiones máximas admisibles según ACI-318 ( NSR-98 )

Tipo de estructura Tipo de Deflexión “ ? max “ Cubiertas planas que no soportan ni

están conectadas a elementos arquitectónicos que puedan

afectarse por grandes deflexiones.

Inmediata por carga viva

Luz / 180 a

Losas que no soportan ni están conectados a elementos

arquitectónicos que puedan afectarse por grandes deflexiones.

Inmediata por carga viva

Luz / 360

Cubiertas o losas en construcción que estén soportando a conectados a

elementos arquitectónicos que puedan afectarse por grandes

deflexiones

Fracción de la deflexión total que se presenta después de la conexión de los elementos

arquitectónicos c

Luz / 480 b

Cubiertas o losas en construcción que estén soportando o conectados a elementos arquitectónicos que no se

afectan por grandes deflexiones

Fracción de la deflexión total que se presenta después de la conexión de los elementos

arquitectónicos c

Luz / 240 d

“ a “ : Este limite no pretende cubrir problemas de encharcamiento; este se debe revisar con unos calculaos adecuados de la deflexión incluyendo las deflexiones adicionales debidas a la formación de charcos de agua, los efectos a largo plazo de la carga sostenida, la concavidad, tolerancias de construcción y tipos de drenaje. “ b “ : Este limite se puede exceder si se toman medidas especiales para prevenir el deterioro de los elementos de apoyo y las conexiones. “ c “ : Es la suma de la deflexión a largo plazo por carga sostenida y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional. Las deflexiones a largo plazo se pueden determinar según lo recomendado en los numerales 9.5 del ACI; pero además pueden reducirse de acuerdo a la deflexión calculada antes de la conexión de los elementos no estructurales. Esta cantidad debe determinarse sobre las bases de la aceptación por parte de los registros de ingeniería relativos a las características tiempo-deflexión de elementos similares a los que se están considerando. “ d “ : Pero no mayor que la tolerancia suministrada para elementos no estructurales. El limite se puede exceder si se suministra una contraflecha tal que la deflexión menos la contraflecha no excedan el limite indicado.

7.4.2 Deflexiones en secciones elásticas Tanto en los cursos básicos de resistencia de materiales como en los de análisis estructural se dan las herramientas necesarias para calcular las deflexiones en estructuras isostaticas como hiperestaticas con inercia constante o variable y utilizando varios métodos alternativos como los de : integración directa, área de momentos, viga conjugada. Por lo general si se usa cualquier método se llega a demostrar que la deflexión máxima elástica de un elemento estructural se puede representar mediante la ecuación 7.20.

IElM.. 2

.max ×=∆ α (7.20 )

En donde: “ M “ : momento flector que actúa en la sección considerada.



“ l “ : Luz libre del elemento “ E “ : Modulo de elasticidad del material “ I “ : Momento de inercia de la sección considerada “ a “ : coeficiente numérico que depende de varios factores así: a) el grado de restricción de los apoyos, b) la variación longitudinal del momento de inercia, c) la distribución de la carga. Por ejemplo para una viga de inercia constante, simplemente apoyada y con carga distribuida uniformemente el valor es a = 5 / 348. Si la viga esta en voladizo a = 1 / 4. Los valores de “a “ para una gran cantidad de casos prácticos se encuentran tabulados en textos y manuales de diseño estructural. La tabla 7.6 reproduce esta información como guía de trabajo. El siguiente ejemplo ilustra la forma como se pueden obtener las expresiones usadas para el calculo de las deflexiones siguiendo el procedimiento de la viga conjugada. Ejemplo 7.7 se requiere deducir la expresión general para el calculo de la deflexión máxima de una viga de sección prismática constante sometida a una carga distribuida uniformemente y actuando en sus dos extremos momentos flectores de diferente magnitud tal como se ilustra en la figura 7.19.


Solución: En el método de la viga conjugada la deflexión en cualquier punto de la viga es igual al momento flector que se obtiene en ese punto al cargar la viga con el diagrama “ M / EI “. Por lo tanto la estructura de la figura 7.19 se puede considerar como la superposición de tres vigas diferentes como se indica en la figura 7.20.

l = luz

I : cte.

q: carga Ma Mb



Tabla 7.6 Valores de “a “ y “ ?max “ para diferentes casos de vigas

Condiciones de apoyo y carga Valor de “a “

Valor de “ ? max “

q

485

IE

lq..

3845 4

×

P

121

IE

lP..48

. 3

P P a a

−

2

61

81

la

( )22 .4.3..24

.al

IEqP

−

101

≈

IElP..

38419 3

×

161

IE

lq..384

. 4

P

241

IE

lP..192

. 3

P P

725

IElP..

6845 3

×

1665128

IE

lq..185

. 4

41

IE

lq..8

. 4

31

IE

lP.3

. 3

-----

( )

−−

la

la

alIE

aP.62

1..3

.. 2

l

l

l/2

l

l

a a a a

l

l

l/2

l

a a

l

l

l

l

b a



a ) Viga 1=> simplemente apoyada con carga uniforme

b ) Viga 2 => simplemente apoyada con “ Ma “ en apoyo izquierdo

c ) Viga 3 => simplemente apoyada con “ Mb “ en apoyo derecho

Figura 7.20 Vigas conjugadas del ejemplo 7.7

Luz = l

q M / EI

M ( + )

Luz = l

M / EI

M ( - )

Ma

Luz = l

M / EI Mb

M ( - )

Ra1 Rb1

Ra2 Rb2

Ra3

Rb3



Para la viga 1:

( ) ( )( )IE

centroidealapoyodelciadisconjugadavigalademomentosdediagramadelArea.

....tan........1

×=∆

IElMl

IEMlll

IEM ooo

..

485

285

..3283

22.32 2

1 ×=××=

×−×

××=∆

Para la viga 2: 32 lMR aa ×−=

EIlM

EIlM

EIlM

EIlM

EIlM aaaaa

16.

121

81

31

2.

24.

16.

6. 22222

2 −=

++−×=++−=∆

Para la viga 3: se procede de igual forma que la viga 2 =>

EIlM b

16. 2

3 −=∆

La deflexión total en la mitad de la luz es la suma de las deflexiones de cada viga:

( )baobao

t MMMEI

lEIlM

EIlM

EIlM

3354816

.16

..485 2222

321 −−×=−−×=∆+∆+∆=∆

Ahora el momento positivo en la mitad de la luz es:

( )2

baos

MMMM

+−= è

( )2

baso

MMMM

++=

Sustituyendo “ Mo “ en la ecuación de la deflexión y resolviendo términos se obtiene:

( )

+×−×=∆ bast MMM

EIl

101

48.5 2

( 7.21 )

Esta expresión se puede utilizar con buenos resultados prácticos en el caso de vigas prismáticas ( EI constante ) con carga uniforme y sometida a momentos extremos iguales. Como generalmente “ Ma “ y “ Mb “ son negativos la ecuación 7.21 tiene en cuenta los signos y solo se deben reemplazar los valores numéricos. 7.4.3 Deflexiones en el hormigón armado 7.4.3.1 Comportamiento bajo carga Cuando un elemento de hormigón se somete a carga su comportamiento puede visualizarse fácilmente en un diagrama carga-deflexión ( P vs ? ) como el indicado en



la figura 7.21. Se puede observar que el grafico es aproximadamente tri-lineal, es decir se definen básicamente tres regiones antes de alcanzar el agotamiento estructural: C B A O

Figura 7.21 Relación carga-deflexión en elementos a flexión de hormigón armado § Región I : El elemento se encuentra sin fisurar. Estado de pre-fisuración § Región II : Se presenta una fisuración controlada. Estado de post-fisuración § Región III : Estado de fisuración bajo cargas de servicio.

Inicialmente la estructura tiene la mayor rigidez a flexión disponible ya que esta sin fisurar, como lo indica la pendiente del tramo “ OA”. Con el aumento de la carga “ P “ se llega al punto “ A “ que es la carga de fisuración ( representada también por el momento de fisuración, Mcr ) en donde se disminuye apreciablemente la rigidez al disminuir el momento de inercia por el efecto de la fisuración, región “ AB ”. Posteriormente el refuerzo inicia la fluencia aumentando apreciablemente las deflexiones con bajos incrementos de la carga, región “ BC ”. En resumen el problema en particular en la estimación de las deflexiones es el valor de la rigidez a flexión “ E.I “ que se debe utilizar de acuerdo a unos materiales y condiciones externas especificas. En un material elástico la curvatura “ F “ esta dada por la relación “ M / (E.I ) “ en donde “ E.I “ es la rigidez a flexión de la sección transversal. Si “ E.I “ es constante el procedimiento de calculo es relativamente sencillo, pero en el caso del hormigón armado la situación es diferente ya que experimentalmente se han considerado que existen al menos tres rangos o regiones donde “ E.I “ tiene unos determinados valores cuya variación depende de:

P

?

R. II

R. III

R.I

l

P / 2 P / 2



a) El modulo de elasticidad del hormigón “ Ec “, el cual siendo aproximadamente el mismo a tracción como a compresión, se reduce apreciablemente cuando el elemento llega al punto de fisuración. En otras palabras el modulo “ Ec “ varia tanto longitudinalmente como con la magnitud de las tensiones aplicadas. Además la fluencia y la retracción reducen el modulo e incrementan las deflexiones en un 200 a 300%. De otra parte como el modulo depende de “ f c “ este debe aumentar con la edad, pero las fuertes oscilaciones que tiene la resistencia del hormigón con el tiempo indican que para propósitos de diseño se puede asumir constante el valor de “ Ec “ después de 28 días.

b) El momento de inercia “ I “, aun para secciones constantes, varia considerablemente a lo largo de la estructura, por ejemplo en una viga continua de sección T se encuentra que en los apoyos la aleta esta fisurada mientras que en las zonas cercanas a las mitades de las luces el alma esta fisurada y en las zonas entre los apoyos y el centro de la luz la sección esta sin fisurar como se muestra en la figura 7.22. En definitiva la rigidez a flexión “ Ec. I “ es mayor para bajos niveles de carga ya que la sección sin fisurar suministra el mayor momento efectivo de inercia.

Figura 7.22 Variación longitudinal de “ E. I “

La hipótesis de utilizar un momento efectivo de inercia para el calculo de las deflexiones debidas a cargas de corta duración ha sido estudiada por investigadores como “ Yu- Winter y Branson “. Se sabe que la rigidez a flexión “ Ec.I “ varia con la magnitud del momento flector aplicado como se ilustra en la figura 7.23. de otra parte el momento de inercia de la sección transformada fisurada “ Icr “ aumenta ligeramente con el aumento de la cuantía del refuerzo en la sección. Las secciones con mayor porcentaje de refuerzo exhiben menos cambio de rigidez con el aumento de las cargas que las secciones ligeramente reforzadas.

Apoyo i Centro de la luz Apoyo j

E.I ( E.I ) sin fisurar

( E.I ) fisurado



Para cargas inferiores a la carga de fisuración , figura 7.24, las deflexiones se pueden calcular con base en la sección bruta de hormigón con dos variantes: incluir o no el área transformada de refuerzo. Sin embargo una vez se alcance y se supere la carga de fisuración el momento de inercia se aproxima al de la sección transformada fisurada aunque en la región entre fisuras este puede ser mayor.

Figura 7.23 Variación de “ Ec.I “ con la magnitud del momento externo Ps Pcr

Figura 7.24 Curva típica carga-deflexión en vigas de hormigón armado

Ec I

Momento

“Ec.I “ de sección bruta mas el área transformada del refuerzo

“Ec.I “ de la sección transformada fisurada

0.20 Mext Mext

Carga

Deflexión

Deflexión calculada a partir de la sección bruta

Deflexión real

Deflexión calculada con la sección transformada fisurada

Carga de servicio

Carga de fisuración



En definitiva, como se muestra en la curva típica carga-deflexión de la figura 7.24, el uso de la sección bruta de hormigón subestima la deflexión mientras que si se utiliza la sección transformada fisurada se presenta el caso contrario. Lo anterior unido a la variación de otros parámetros tales como la magnitud de la carga viva afectan la precisión de los resultados obtenidos que obliga usar aproximaciones aceptables para la estimación del momento de inercia de la sección bajo cargas de servicio. 7.4.3.2 Momento efectivo de inercia “ Ie ” De lo explicado en el numeral anterior se concluye que es imprescindible proveer una transición adecuada entre el momento de inercia de la sección bruta de hormigón sin fisurar “ Ig “ y el momento de inercia de la sección transformada fisurada “ Icr “. El trabajo lo llevo a cabo el investigador Dan E. Branson el cual expreso la transición entre “ Ig “ y “ Icr “ mediante la ecuación 7.22 obtenida de ajustes experimentales.

gcr

a

a

crg

a

a

cre II

MM

IMM

I ≤

−+

= .1 ( 7.22 )

En donde: Mcr : Momento de fisuración = ( fr.Ig ) / yc Ma : Momento máximo para la carga a la cual se obtiene el momento de inercia Ig : Momento de inercia de la sección bruta de hormigón sin tener en cuenta el refuerzo Icr : Momento de inercia de la sección transformada fisurada fr : Modulo de rotura del hormigón yc : Distancia del borde mas traccionado al eje neutro Para regiones en donde el momento es constante, Branson encontró que “ a “ se puede aproximar a “ 4.0 “. Este valor tiene en cuenta el efecto rigidizador del refuerzo en la zona de tracción. para vigas simplemente apoyadas, Branson sugiere que tanto la rigidizacion en la zona a tracción como la variación de “ E.I “ a lo largo de la viga se puede contabilizar asumiendo un valor de “ a = 3.0 “. Por simplicidad la ecuación del código ACI ( NSR ) considera la sección bruta de hormigón para determinar la inercia despreciando el efecto del refuerzo. Por tanto la ecuación 7.22 se puede escribir así:

gcra

crg

a

cre II

MM

IMM

I ≤

−+

= .1

33

( 7.23 )

la cual se puede reorganizar de la siguiente forma:



( ) ga

crcrgcre I

MM

IIII ≤

−+= . ( 7.24 )

La ecuación 7.23 o 7.24 fue desarrollada a partir del estudio estadístico de 54 especimenes de ensayo en los cuales la relación ( Ma / Mcr ) tenia valores entre 2.2 y 4.0 lo mismo que la relación ( Ig / Icr ) cuyos valores oscilaron entre 1.3 y 3.5. El estudio considero vigas rectangulares simplemente apoyadas, secciones T y vigas continuas de dos luces. En vigas continuas los valores de “ Ie “ pueden variar ligeramente entre las regiones de momento positivo y negativo. En estos casos los valores para momento positivo se pueden aplicar en los puntos de la contraflecha y los valores para momento negativo en los extremos del elemento. El código ACI sugiere utilizar un valor promedio de “ Ie “ en estos casos. Sin embargo en los comentarios del código se recomienda: § Para vigas con los dos extremos continuos =>

( ) ( )2,1,, 15.0.70.0 eemee IIIpromedioI ++= ( 7.25 )

§ Para vigas con un extremo continuo =>

( ) ( )1,, 15.0.85.0 emee IIpromedioI += ( 7.26 )

En donde “ Ie,m “ , “ Ie,1 “ y “ Ie,2 “ son los valores de “ Ie “ en la mitad de la luz y en los dos extremos de la viga respectivamente. 7.4.3.3 Calculo de las deflexiones instantáneas Debido a la naturaleza compleja del comportamiento a flexión del hormigón armado y a la necesidad de disponer de métodos simplificados para el calculo de las deflexiones inmediatas se han propuesto históricamente varios procedimientos que utilizan ya sea la sección transformada fisurada o la sección bruta de hormigón. Entre los métodos propuestos sobre el tema se destacan: a) Maney ( 1914 ), b) el de Swany ( 1924 ), c) Myrlea ( 1931 ), d) Murashev ( 1940 ), e) Pórtland Cement Association ( 1947), f ) Yu- Winter ( 1960 ), g) European Concrete Committee ( 1961 ) y h ) Branson ( 1963 ). Un estudio del trabajo de cada investigador no solo es laborioso sino que esta fuera del alcance de este texto. Sin embargo en el informe del comité 435.2R-9 del ACI hay una amplia información al respecto que puede utilizar el lector como referencia. En resumen la utilización de la ecuación 7.20 en el calculo de las deflexiones instantáneas en el hormigón armado es suficientemente precisa siempre y cuando se reemplacen “ E por Ec “ y “ I por Ie “ quedando la expresión así:

ec IElM.. 2

.max ×=∆ α ( 7.27 )



Para el calculo de la deflexión a diferentes niveles de carga, como por ejemplo carga muerta o carga muerta mas carga viva, el momento efectivo de inercia “ Ie “ se debe calcular usando la ecuación 7.23 para el nivel de carga total en cada caso. Los incrementos en la deflexión, como los debidos a la carga viva, se calcularan como la diferencia entre las deflexiones debidas a la carga muerta mas la carga viva y las debidas únicamente a la carga muerta ya que se asume que la carga viva no actúa sola. El calculo de la deflexión por carga viva, ( )[ ]DLDL ∆−∆=∆ + , da la deflexión producida durante la primera aplicación de esta carga. La figura 7.25 muestra las relaciones ideales de carga ( momento ) vs deflexión para diferentes estados de carga. En el caso de cargas cíclicas la envolvente superior de las curvas es aproximadamente la misma que para cargas simples tanto para hormigón armado como pretensado, aun teniendo en cuenta el aumento residual de la deflexión debido a la fluencia y a los efectos de fisuración. De todas formas se nota que es razonable calcular las deflexiones inmediatas usando el valor de “ Ie “ como se indico previamente y la deflexión residual se debe calcular separadamente como se explicara mas adelante. 1.0

Figura 7.25 Diagrama típico idealizado momento- deflexión para cargas instantáneas

Ma / Mcr

? / ? cr ? D / ? cr ? L / ? cr

MD+L / Mcr

MD / Mcr Depende de ( Ig / Icr )

Depende de ( Ie (D+L) / Ig )

Depende de ( Ie, D / Ig )



Figura 7.26 Comparación entre las deflexiones medidas y calculadas en vigas En la figura 7.26 se muestra la comparación entre las deflexiones instantáneas medidas y calculadas usando el método de Branson que es el recomendado por el ACI. Del análisis de la grafica se concluye que si se utilizan los criterios para el caculo de la deflexión recomendados por el ACI en vigas simplemente apoyadas y para condiciones de laboratorio “ hay aproximadamente un 90% de probabilidades de que las deflexiones medidas de una viga en particular estén alejadas un 20 o 30 % del valor calculado “. Ejemplo 7.8 Determinar la deflexión instantánea para la estructura de la figura 7.27. Asumir que el diseño se realizo por el método de resistencia con las siguientes propiedades de los materiales: f c = 28 MPa y un fy = 420 MPa. Solución: Una comprobación rápida de la geometría de la sección indica que la altura “h = 600 mm “ no cumple con el requisito de espesor mínimo recomendado para este tipo de estructura el cual es: hmin = 12000 / 16 = 750 mm mayor que el valor asumido. Por lo tanto se deben verificar las deflexiones de la estructura. a) Deflexión instantánea por carga muerta, “ (? i)D “

El momento de inercia de la sección bruta es: 463

.10810012

600450mmI g ×=

×=



Momento flector máximo es: mkNmNM D ..119..1191110081.0

127.6 2

max, ==×

=

Figura 7.27 Estructura del ejemplo 7.8 La posición del eje neutro en la sección transformada fisurada es:

Pviva = 114 kN qm = 6.7 kN / m

MD,max = 119 kN.m

Mmax,p = 342 kN.m

450 mm

600 mm

4 # 9

4 # 8

Luz = 12.0 m

450 mm

x

n.As

( ) ( )xx

x −= 513.369602

..450

( 513-x )

804.828.4790

204000≈==n

As = 4 # 9 + 4 # 8

As = 4 x 645 + 4 x 510 = 4620 mm2

n .As = 8 x 4620 = 36960 mm2

# 3

La posición del centroide del refuerzo a tracción es:

258020406425801162040

+×+×

=cy

mmyc .87=

mmd .51387600 =−=



084269.164.36960189604802.450 2

2

=−+⇒−= xxxx

mmx .2202

842694164164 2

=×++−

=

De donde el eje neutro se encuentra a una distancia x = 220 mm del borde comprimido de la sección es decir al 43% de la altura efectiva “ d “. El momento de inercia de la sección transformada fisurada respecto al centroide es:

( ) 4623

.104770220513369603220450

mmIcr ×=−×+×

=

Se comprueba en este caso que la relación “ Icr / Ig “ es de 0.59 que significa una perdida de rigidez por efecto de la fisuración de un 40% respecto a la sección bruta. El momento efectivo de inercia “ Ie “ depende de la relación del momento de fisuración “ Mcr “ y el momento aplicado “ MD,max. “.

mkNmmNMMPaf crr ..89..101.89300

1081003.3.3.32863.0 6

6

=×=××

=⇒=×=

Debe aclararse que en la ecuación anterior se toma “ yt = h / 2 = 300 mm “ para efectos prácticos cuando no se considera el aporte del refuerzo a tracción.

Ahora la relación de momentos es: 75.011989

max,

==D

cr

MM

( Solo para carga muerta).

De la ecuación 7.23 se obtiene è

[ ] 466363 .10617510477075.0110810075.0 mmIe ×=××−+××=

El modulo de elasticidad del hormigón es: MPaEc .25346284790 =×= La deflexión instantánea por carga muerta es:

( ) mmIElM

ecDi .4.11

1075.01055.8

106175253461200010119

485

..

485

16

16

6

262max =

××

=××

×××=×=∆

Esta deflexión equivalente a “ luz / 1050 “ no representa problema alguno estructural ya que se puede solucionar durante la construcción utilizando una contraflecha de igual magnitud que la deflexión obtenida. Mas aun, sino se utiliza la contraflecha, esta deflexión no afectara el cielo raso ni cualquier otra instalación colocada en la estructura. En este sentido el principal problema lo representa la deflexión instantánea por carga viva y las deflexiones a largo plazo por fluencia , retracción.



b) Deflexión instantánea por carga muerta mas carga viva “ (? i)D+L “ El momento máximo por carga muerta mas carga viva es:

( ) mkNM LD ..4614

12114119,max =

×+=+

19.046189

max

==MM cr

[ ] 466363 .10479310477019.0110810019.0 mmIe ×=××−+××=

Se comprueba que a este nivel de carga el valor de “ Ie “ es aproximadamente igual al valor de “ Icr “ la diferencia por ejemplo en este caso es de solo el 0.5%. Utilizando en lugar de “ Ie = 4793 x 106 mm4

“ el valor de “ Icr =4770 x 106 mm4 “ se obtiene:

( ) mmDi .8.141047702534648

120001011956

26

=×××

×××=∆

( ) mmLi .9.331047702534648

12000101146

33

=×××

××=∆

( ) mmLDi .7.489.338.14 =+=∆∴ +

En este caso la deflexión total se ha cuadriplicado respecto a la deflexión por carga muerta, efecto que será importante en el comportamiento en servicio de la estructura. c) Deflexión instantánea por carga viva “ (? i)L “

( ) ( ) ( ) mmDiLDiLi .3.374.117.48 =−=∆−∆=∆ +

Se ha considerado como hipótesis de trabajo que la carga viva no puede actuar en ausencia de la carga muerta, por lo que si el momento efectivo de inercia por carga muerta es considerablemente diferente del obtenido por carga muerta mas carga viva, se concluye que la expresión ( ) ( ) ( )DiLDiLi ∆−∆=∆ + esta correctamente utilizada. Además si durante la construcción se han aplicado cargas vivas similares a la de servicio el procedimiento utilizado es igualmente valido. Desde un punto de vista practico “ Ie = Icr “ puede utilizarse siempre y cuando la relación “ ( Mcr / Mmax )3 sea menor que 0.1. Si se asume en este caso que la estructura analizada no soporta muros divisorios, la deflexión limite admisible por carga viva es:

( ) ( ) mmluz

admisibleLi .3.33360

12000360

===∆



Se comprueba que la deflexión instantánea por carga viva obtenida es mayor que el valor limite admisible ( 37.3 mm > 33.3 mm ) y la viga no cumple los requisitos exigidos para control de las deflexiones bajo cargas de servicio. Si la viga del ejemplo soportara acabados arquitectónicos frágiles ( estucos, mármol, yesos), la deflexión a largo plazo debida a la fluencia y retracción se debe adicionar a la producida por las cargas vivas. En estos casos el limite exigido es de “ luz / 480 “ el cual es mas exigente que el anterior. Ejemplo 7.9 La viga de la figura 7.28 tiene una altura efectiva “ d = 330 mm “ y esta sometida a un momento por carga muerta de “ MD = 24 kN.m “ y un momento por carga viva de “ ML = 27 kN.m “. Determinar si la viga cumple con los requisitos de deflexión instantánea exigidos en las normas ACI, NSR. f c = 35 MPa fy = 420 MPa.

Figura 7.28 Estructura del ejemplo 7.9 Solución: a) Revisión geometría de la sección La altura mínima de la sección según requisitos de deflexión es:

mmh .51216

8200min == > “ h = 400 mm “ => se debe realizar control de deflexiones.

b) Propiedades de la sección en rango no fisurado

MD,max = 24 kN.m

ML ,max = 27 kN.m

250 mm

400 mm

3 # 6 Luz = 8.2 m

qD qL # 3



463

.10133312

400250mmI g ×=

×= mmyt .200

2400

==

MPaf r .7.33563.0 =×= mmNM cr ..107.24200

1013337.3 66

×=××

=

MPaEc .28338354790 =×= MPaEs .204000=

72.728338

204000≈===

c

s

EE

n

c) Propiedades de la sección en rango fisurado

Posición del eje neutro: ( )cc

c −××=×× 33085272

250

Resolviendo la cuadrática: mmc .1042

1574547.477.47 2

=×++−

=

( ) 4623 .10398104330852710425031

mmIcr ×=−××+××=

d) Deflexión instantánea por carga muerta “ (? i)D “

0.103.1..24..7.24

max

>==mkNmkN

MM cr è Se puede asumir que “ Ie = Ig “ es decir la viga no

esta fisurada cuando actúa la carga muerta.

( ) mmDi .45.41013332833848

8200102456

26

=×××

×××=∆

e) Deflexión instantánea por carga muerta mas viva “ (? i)D+L “

( ) mkNM LD ..512724,max =+=+

5.00.517.24

max

==MM cr

[ ] 466363 .10515103985.011013335.0 mmIe ×=××−+××=

( ) mmLDi .5.24105152833848

8200105156

26

=×××

×××=∆ +



f) Deflexión instantánea por carga viva “ (? i)L “

( ) ( ) ( ) mmDiLDiLi .1.204.45.24 =−=∆−∆=∆ + Esta deflexión representa “ luz / 410 “, la cual es lo suficientemente baja para concluir que no se afectan las condiciones de servicio de la estructura. Ejemplo 7.10 Se requiere determinar la deflexión instantánea de la viga continua indicada en la figura 7.29. Usar un f c = 21 MPa y fy = 280 MPa. Considerar las especificaciones dadas tanto por el ACI-318 como por el NSR-98.


4 # 10

2 # 10 + 2 # 9 6 # 10 + 6 # 9

2 # 10 + 2 # 9

Luz = 12 m

Pmuerta = 111 kN Pviva = 145 kN

Pmuerta = 111 kN Pviva = 145 kN

qmuerta =10 kN/m qviva = 2 kN/m

4 m 4 m Ma Mb

B

B



Los valores de los momentos en los extremos a y b son:

Tipo de carga Momento ( kN.m) (-) a (+) a-b (-) b

Muerta 124 258 444 Muerta + Viva 278 318 696

Solución: La estructura indicada en la figura se puede visualizar espacialmente como una viga carguera principal que recibe perpenticularmente dos vigas secundarias en los tercios medios representadas por las dos cargas concentradas. En estos casos se recomienda que el valor de “ Ie “ puede estimarse como el promedio entre las regiones de momento positivo y negativo. a) Sección en el apoyo “ a “. Momento (-) => Tracción arriba: compresión abajo a.1) Si se considera sección bruta y se desprecia el refuerzo =>

( )( )

mmyc .6631252300900450

21259001252300450900450=

×+×+××+××

=

4102

32

3

.1018.75.299125230012

1252300213900450

12900450

mmI g ×=××+×

+××+×

=

Cuando se considera sección transformada no fisurada colocando el refuerzo =>

2.292864528192 mmAs =×+×= 2´ .32768194 mmAs =×=

( ) 9214790204000 ≈×=n

( ) 2.23424292819 mmAT =×−= ( ) 2´ .26208327619 mmAT =×−=

yc = 651 mm 410.1053.8 mmI g ×=

2300 mm

450 mm

125 mm

900 mm yc

As =2#10 + 2#9

A´s = 4#10



Por lo general y mas por seguridad se recomienda despreciar este efecto y los cálculos se realizan con el valor de “ Ig “ para sección bruta sin incluir el refuerzo. a.2) Sección transformada fisurada Realizando suma de momentos de área respecto a la posición del eje neutro =>

( ) ( )ccc

c yyy

y −×=−×+×× 9602635265262082

450

mmyyy ccc .2492

12000646.2336.23301200066.233

22 =

×++−=⇒=−+

( ) ( ) 410223

.1065.12499602635265249262083249450

mmIcr ×=−×+−×+×

=

MPaf r .9.22163.0 =×=

( ) mkNmmNM cr ..575..105756631025

1018.79.2 610

=×=−

××=

Para carga muerta => 0.16.4124575

max

>==

MMcr è Usar “ Ie = Ig “

Para carga muerta mas viva => 0.107.2278575

max

>==

MMcr è Usar “ Ie = Ig “

b) Sección en la mitad de la luz

2.62049#210#6 mmAs =+= 2.5583662049 mmAt =×=

2300 mm

450 mm

125 mm

900 mm

yc

As =2928 mm2

A´s = 3276 mm2

2.2635229289 mmAt =×=

2´ .2620832768 mmAT =×=

65 mm

65 mm



En este caso, a diferencia del anterior, se debe determinar primero si el eje neutro esta en la aleta o en el alma. Una forma rápida de verificarlo es comprobar si el momento de área a compresión es mayor o menor que el de tracción, si es mayor => el eje neutro esta en la aleta en caso contrario en el alma.

26.101821251252300.)( mmcomprM aa ×=××=∑ − ( ) 26.10476590055836.)( mmtraccM aa ×=−×=∑ −

Se concluye que el eje neutro esta en el alma. La posición exacta del eje neutro es:

( ) ( ) ( ) ( )yyyy −×=−×−×+−×× 9605583612521

12545021251252300

mmyyy .2042

30247041276127603024701276

22 =

×++−=⇒=−+

2300 mm

450 mm

900 mm

a a

At = 55836 mm2

450 mm

900 mm

E.N

At = 55836 mm2

230 mm

y 125 mm



( ) 41023

23

.1081.3204960558363204450

5.14123125012

1251850mmIcr ×=−×+

×+×+

×=

mkNmmNM cr ..314..10314663

1018.79.2 610

=×=××

=

Para carga muerta => 0.12.1258314

max

>==

MM cr è Usar “ Ie = Ig “

Para carga muerta mas viva => 0.15.0576314

max

<==

MM cr è Determinar “ Ie “ con 7.23

410103

103

.1035.41081.3.576314

11018.7576314

mmIe ×=××

−+××

= < Ig è cumple

c) Sección en el apoyo derecho Usando nuevamente la sección transformada fisurada =>

( ) ( )yyy

y −×=−×+×× 9107905665262082

450

mmyyy .3842

32730944684680327309468

22 =

×++−=⇒=−+

( ) ( ) 410223

.1030.36538426208384910790563384450

mmIcr ×=−×+−×+×

=

El momento de fisuración es igual al del apoyo izquierdo => Mcr = 575 kN.m

2300 mm

450 mm

910 mm

At =(9-1) x 3276= 26208 mm2

At= 9 x ( 4914 + 3870) = 79056 mm2

y

65 mm



0.13.1444575

)(max

>==

muerta

MM cr è Usar “ Ie = Ig “

( ) 0.183.0696575

max

<==+

vivamuerta

MMcr è Usar “ Ie “ de la ecuación 7.23

410103

103

.1049.51030.3.696575

11018.7696575

mmIe ×=××

−+××

= < Ig è cumple

d) Resumen de los valores obtenidos para “ Ie “

Sección considerada Ie (muerta) x1010 mm4 Ie ( muerta + viva ) x 1010 mm4 Apoyo izquierdo 7.18 7.18 Mitad de la luz 7.18 4.35 Apoyo derecho 7.18 5.49

En la practica se prefiere seleccionar aquel valor de “ Ie “ que se considera mas ajustado a las características del proyecto para todos los calculos posteriores. e) Determinación de los diferentes valores ajustados de “ Ie “ § Método 1: en este se considera que el valor de “ Ie “ a utilizar en el diseño es

igual al obtenido en la mitad de la luz.

( ) 410.1018.7 mmmuertaIe ×=

410.1035.4)( mmvivamuertaIe ×=+ § Método 2: Se recomienda utilizar un promedio ponderado de los valores

obtenidos en los apoyos y en la mitad de la luz.

410.1018.7)( mmmuertaIe ×=

( ) ( ) ( ) 410101010 .1094.41049.51018.715.01035.470.0 mmvivamuertaIe ×=×+××+××=+

§ Método 3 : Se utiliza un promedio simple de “ Ie “

410.1018.7)( mmmuertaIe ×=

( ) ( ) ( ) 410101010 .1034.51049.51018.725.01035.450.0 mmvivamuertaIe ×=×+××+××=+

Nota: Se debe aclarar que siendo rigurosos en el tema se debe utilizar en el calculo de las deflexiones un análisis estructural con elementos de inercia variable. Sin embargo tal



procedimiento no es practico ni justificable ya que en el mejor de los casos los resultados varían un 20% respecto a los valores experimentalmente obtenidos. f) Deflexión instantánea por carga muerta Para se determinación se calcula el aporte de las cargas y los momentos hiperestaticos.

El modulo de elasticidad es: MPaEc .21950214790 ==

§ Carga concentrada: ( ) mmIE

Pl

ecpDi .3.4

1018.721950648120001011123

.64823

10

333

, =×××

×××=×=∆

§ Carga distribuida: ( ) mmIE

ql

ecqDi .7.1

1018.72195038412000105

.3845

10

44

, =×××

××=×=∆

§ Momento “ a “: ( ) mmIE

lM

ec

aMaDi .7.0

1018.721950161200010124

.16 10

262

, −=×××

××−=−=∆

§ Momento “ b “: ( ) mmIE

lM

ec

aMbDi .5.2

1018.721950161200010444

.16 10

262

. −=×××

××−=−=∆

( ) mmDi .8.25.27.07.13.4 =−−+=∆

Como previamente se ha indicado, la deflexión instantánea por carga muerta no es alta y frecuentemente puede ser compensada durante la construcción de la estructura. Sin embargo su cuantificación es importante ya que entra como dato en las deflexiones a largo plazo debidas a la fluencia y retracción del hormigón. g) Deflexión instantánea por carga viva g.1) Usando el valor de “ Ie “ obtenido en la mitad de la luz

§ Carga “ P ” : ( ) mmIE

Pl

ecLDi .4.16

1035.421950648120001025623

.64823

10

333

=×××

×××=×=∆ +

§ Carga “ q “ : ( ) mmIE

ql

ecLDi .4.3

1035.42195038412000125

.3845

10

44

=×××

××=×=∆ +

§ Momento “ a “: ( ) mmIE

lM

ec

aLDi .6.2

1035.421950161200010278

.16 10

262

−=×××

××−=−=∆ +

§ Momento “ b “: ( ) mmIE

lM

ec

aLDi .6.6

1035.421950161200010696

.16 10

262

−=×××

××−=−=∆ +



( ) mmLDi .6.106.66.24.34.16 =−−+=∆ +

( ) mmLi .8.78.26.10 =−=∆ g.2) Usando el valor de “ Ie “ obtenido con el promedio ponderado se obtiene:

( ) mmLDi .3.98.53.20.34.14 =−−+=∆ +

( ) mmLi .5.68.23.9 =−=∆ g.3) Usando el valor de “ Ie “ obtenido con el promedio simple se obtiene:

( ) mmLDi .6.84.51.28.23.13 =−−+=∆ +

( ) mmLi .8.58.26.8 =−=∆ En resumen, las deflexiones instantáneas por carga viva calculadas con los diferentes “ Ie “ producen resultados similares con variaciones menores del 20% . El valor obtenido con la inercia en la mitad de la luz es el mas apropiado en la practica por ser el que garantiza una menor probabilidad de excedencia respecto a los otros valores. Si esta viga pertenece a un sistema de piso que no soporta ni esta conectado a divisiones modulares ( arquitectónicas) que puedan afectarse por grandes deflexiones el limite en la deflexión es: luz / 360 = 12000 / 360 = 33 mm >> 7.8 mm obtenido. Una forma indirecta de controlar las deflexiones en los elementos estructurales es limitando la relación “ c / dt “ a valores inferiores de 0.375. Este criterio tiene el mismo efecto que el utilizado por los métodos de las cuantías mecánicas del refuerzo. 7.4.3.4 Deflexiones a largo plazo. Fluencia y retracción del hormigón Tanto el código ACI-318 como el NSR-98 indican al respecto: “ A menos que las deflexiones a largo plazo( ?LT ) debidas a la fluencia( ?cp ) y retracción( ?Sh ) sean obtenidas de un análisis comprehensivo riguroso estas se pueden estimar multiplicando la deflexión instantánea( ? i ) por un factor de carga sostenida “ ? “ el cual depende del tiempo y la cuantía de refuerzo a compresión de la sección”. Los factores que amplifican la deflexión con el tiempo son producidos por los efectos combinados de la fluencia, la retracción y las deformaciones por temperatura. El efecto total es producir un cambio en la distribución de tensiones entre el hormigón y el acero que dan como resultado un aumento en la curvatura del elemento estructural para la misma carga externa aplicada. La ecuación 7.25 indica la forma numérica de estimar la deflexión a largo plazo en el hormigón armado. ( ) ( ) ( ) ( )LSitDiLiLT ∆+∆+∆=∆ ∞ λλ ( 7.25 ) En donde:



( ? LT ) : Es la deflexión a largo plazo ( ? i )L : Es la deflexión instantánea por carga viva ?8 : Factor de tiempo para una duración infinita de carga sostenida ( ? i )D : Deflexión instantánea por carga muerta ?t : Factor de tiempo para una determinada duración de carga ( ? i )LS : Deflexión instantánea para carga viva sostenida ( un % de ( ? i )L determinada para la duración esperada de carga sostenida) La determinación de los factores “ ? “ utiliza una aproximación derivada empíricamente la cual se representa por la ecuación 7.26.

/501 ρξ

λ+

= ( 7.26 )

El valor de “ ? “ es un factor función del tiempo que puede obtenerse de la figura 7.30 o la tabla 7.7 para diferentes condiciones de prueba. El efecto del refuerzo a compresión esta representado por la cuantía “ ?1 “ en la mitad de la luz para vigas simples y continuas y en los apoyos para voladizos.

Figura 7.30 factores “ ? “ para determinar la deflexión a largo plazo

Duración de la carga en meses



Tabla 7.7 Valores del factor “ ? “ para deflexiones a largo plazo

Tiempo de carga “ ? “ 5 años o mas 2.0

1 año 1.4 6 meses 1.2 3 meses 1.0

Los valores de “ ? “ dados anteriormente son los recomendados por el ACI y son adecuados para vigas y losas en una dirección pero su uso en losas bidireccionales subestima las deflexiones por lo que en estos casos “ Branson “ sugiere utilizar un factor “ ? = 3.0 “ para 5 o mas años. Cuando se trabaja con hormigones de alta resistencia ( f´c > 42 MPa ) la ecuación 7.26 se debe modificar ya que los fenómenos de fluencia y retracción se reducen drásticamente. Se sugiere por tanto modificar el factor “ ? “ multiplicándolo por un factor “ µ “ que tenga en cuenta la resistencia del hormigón. Basados en una gran cantidad de ensayos realizados en la universidad de Cornell ( NY. ) se propuso la ecuación 7.27 como la mas adecuada en estos casos.

/501.µρ

ξµλ

+= ( 7.27 )

En donde 704.1 ´

cf−=µ con 0.14.0 ≤≤ µ Los pasos a seguir para la determinación de las deflexiones instantáneas y a largo plazo se pueden resumir en los siguientes:

a) Determinar la deflexión instantánea por carga muerta => ( ? i)D b) Determinar la deflexión instantánea por carga muerta mas viva =>( ? i)D+L c) Determinar la deflexión instantánea por carga viva =>( ? i)L d) Calcular la deflexión debida a la carga muerta mas aquella parte de la carga viva

que permanece sostenida =>( ? LS )D+L e) Determinar la deflexión instantánea de la carga viva sostenida =>( ? LS)L f) Determinar la deflexión a largo plazo por carga muerta y carga viva sostenida

=> ( ? LT ) Ejemplo 7.11 La viga de la figura 7.31 esta simplemente apoyada con una luz de 6.0 m y soporta una carga muerta incluyendo su propio peso de 15 kN/m y una carga viva de 11 kN/m. Si el hormigón es de f c = 21 MPa, determinar:

a) La deflexión instantánea por carga muerta mas viva b) La deflexión total a los 3 años asumiendo que el 30% de la carga viva esta

continuamente actuando en este lapso de tiempo.



Figura 7.31 Sección de la viga del ejemplo 7.11 Solución: a) Deflexión instantánea por carga muerta ( ? i)D

463

.10312512

500300mmI g ×=

×= MPaf r .9.22163.0 =×=

mkNmmNM cr ..36..1036250

1031259.2 66

=×=××

=

mkNM D ..688

615 2

max, =×

=

Para usar el valor de “ Ie = Ig “ debe cumplirse que Mcr > MDmax , como esto no se cumple hay que determinar las propiedades de la sección fisurada.

4663

63

.1018471016246836

11031256836

mmIe ×=××

−+××

=

300 mm

425 mm

75 mm

500 mm

3 # 9

E.N x

425 mm

n.As

300 mm

( )

46

2

2

2

.101624

.17242517415150

.1741519359

.19356453

9214790

204000

mmI

mmxxx

mmnA

mmA

n

cr

s

s

×=

=−×=

=×=

=×=

==



( ) mmDi .2.610184721950384

60001556

4

=×××

××=∆

b) Deflexión instantánea por carga muerta mas 100% carga viva ( ? i)D+L

( )mkNM LD ..117

861115

)(2

max =×+

=+

Ya que le valor de “ Ie “ se modifica cuando varia el momento =>

4663

63

.10166810162411736

110312511736

mmIe ×=××

++××

=

( ) mmLDi .9.1110166821950384

60002656

4

=×××

××=∆ +

c) Deflexión instantánea por el 100% de la carga viva ( ? i)L

( ) ( ) ( ) mmDiLDiLi .7.52.69.11 =−=∆−∆=∆ + d) Deflexión instantánea por la carga muerta mas el 30% de la carga viva ( ? i)D+SL

( )mkNM SLD ..82

86113.015

)(2

max =××+

=+

4663

63

.1017511016248236

11031258236

mmIe ×=××

++××

=

( ) mmSLDi .9.710175121950384

60001856

4

=×××

××=∆ +

e) Deflexión instantánea debida al 30% de la carga viva ( ? i)SL

( ) ( ) ( ) mmDiSLDiSLi .7.12.69.7 =−=∆−∆=∆ + f) Deflexión a largo plazo por carga muerta mas tres años del 30% de carga viva

0.201

0.2501

0.2/

=+

=+

=∞ ρλ 80.1

0180.1

3 =+

=añosλ

( ) ( ) ( ) ( ) mmSLiañosDiLiSLDLT .2.217.18.12.60.27.53 =×+×+=∆+∆+∆=∆ ∞+ λλ



Ejemplo 7.12 Para la viga del ejemplo 7.9 determinar las deflexiones a largo plazo. Asumir que el 60% de la carga viva se aplica continuamente por dos años. Solución: Recordando los valores calculados en el ejemplo 7.9 se tiene: a) Propiedades de la sección en rango no fisurado

46.101333 mmI g ×= mmyt .200= MPaf r .7.3= n = 7

mmNM cr ..107.24 6×= MPaEc .28338= MPaEs .204000= c) Propiedades de la sección en rango fisurado

mmc .104= 46.10398 mmIcr ×= d) Deflexión instantánea por carga muerta “ (? i)D “

( ) mmDi .45.4=∆ e) Deflexión instantánea por carga muerta mas viva “ (? i)D+L “

46.10515 mmIe ×=

( ) mmLDi .5.24=∆ +

f) Deflexión instantánea por carga viva “ (? i)L “

( ) mmLi .1.20=∆ g) Deflexión instantánea por carga muerta mas el 60% de carga viva

( ) mkNM SLD ..40276.024,max =×+=+

62.040

7.24

max

==MM cr

[ ] 466363 .106211039862.0110133362.0 mmIe ×=××−+××=

( ) mmSLDi .9.15106212833848

8200104056

26

=×××

×××=∆ +

h) Deflexión instantánea por carga viva sostenida



( ) mmSLi .5.114.49.15 =−=∆ i) Deflexión a largo plazo

0.2=∞λ 65.1=tλ

( ) mmSLDLT .485.1165.14.40.21.20 =×+×+=∆ +

Conclusión: De acuerdo a los requisitos indicados en la tabla 7.5 se tiene: § 20.1 mm es < que 8000 / 180 = 44.4 mm è Cumple! § 20.1 mm es < que 8000 / 360 = 22.2 mm è Cumple! § 48.0 mm es > que 8000 / 480 = 16.7 mm è No cumple! § 48.0 mm es > que 8000 / 240 = 33.3 mm è No cumple!

La estructura solo se puede utilizar cuando no soporte ni este conectada a elementos no estructurales ( arquitectónicos) que puedan afectarse por grandes deflexiones. 7.5 Diagrama momento curvatura en secciones de hormigón armado 7.5.1 Generalidades En el diseño por ductilidad, utilizado en regiones con probable amenaza sísmica, es importante conocer como se comporta una determinada estructura bajo carga para definir la formación de las rotulas plásticas ( puntos donde se presenta una articulación al agotarse la capacidad mecánica ) y la redistribución de los momentos elásticos antes de la falla. Esto se puede lograr construyendo inicialmente el diagrama momento- curvatura ( M vs ? ) de la sección . Las razones que obligan a realizar este procedimiento se pueden resumir en las siguientes: § En el momento en que se presente un sismo fuerte, la estructura no debe

colapsar en forma frágil, colapso total, sino que debe ser capaz de desarrollar grandes deflexiones advirtiendo la falla y protegiendo la vida.

§ Si se utiliza la ductilidad en el diseño estructural las tensiones externas son menores a las obtenidas del análisis estructural elástico aprovechando la redistribución de momentos. Lo anterior permite descongestionar aquellas regiones donde se concentra la mayor cantidad de refuerzo.

§ En diseño sísmico se considera que si la estructura esta en capacidad de absorber y disipar la energía generada por el sismo se garantiza la supervivencia de la misma. Lo anterior se logra con el diseño dúctil el cual utiliza un mejor detallado y distribución del refuerzo con unas menores fuerzas sísmicas.

7.5.2 Diagrama momento- curvatura de un elemento Con referencia a la figura 7.32 en donde se muestra un tramo inicialmente recto de un elemento de hormigón armado sometido a momentos extremos y fuerzas axiales iguales



se define la curvatura “ ? “ como el cambio del ángulo de rotación “ d? “ por unidad de longitud “ r “ ( radio de curvatura que se mide hasta el eje neutro). El radio de curvatura “ r “, la profundidad del eje neutro “ kd “, la deformación del hormigón en el borde mas comprimido “ ec “ y la deformación del acero a tracción “ es “ varían a lo largo del elemento por la presencia de fisuras que inciden en la distribución de tensiones en cada región. Considerando un elemento diferencial de longitud “ dx “ del elemento se pueden realizar las siguientes relaciones geométricas:

( ) ( )kdkdrkddx

kddx

rdx scsc

−==⇒

−==

11

1εεεε

En donde “ 1 / r “ es la curvatura en el elemento y esta representada por el símbolo “ ? “

( )( )

dkdkdscsc εεεε

ψ+

=−

==1

( 7.28 )

La curvatura “ ? “ varia a lo largo del elemento debido al movimiento del eje neutro y a las deformaciones entre fisuras. Si la longitud del elemento es pequeña y contiene al menos una fisura, la ecuación 7.28 se puede utilizar con “ ec , es “ como las deformaciones en la sección fisurada. En una prueba de una viga a flexión se pueden medir las deformaciones “ ec , es “ y luego calcular con la expresión 7.28 la curvatura para realizar la representación grafica de la relación M vs ? de la sección.

Figura 7.28 Perfil de deformaciones de un elemento a flexión

M

P

ec

eS

r kd

As

E.N.

?



En la figura 7.29 se muestran dos curvas típicas “ M vs ? “ obtenidas en ensayos de vigas para casos donde controla la falla a tracción y a compresión. Ambas curvas son lineales en la primera etapa de carga y la relación clásica de la teoría de elasticidad entre el momento y la curvatura proporciona una solución razonable “ E.I = M.r = M/ ? “. Al aumentar el momento la fisuración reduce la rigidez “ E.I “ y el comportamiento de la curva depende en gran medida de la cuantía de refuerzo de la sección.

Figura 7.29 Gráficos “ M vs ? “ en vigas con bajo y alto refuerzo La figura 7.29.a se puede idealizar como un diagrama trilineal en donde la primera etapa termina con el inicio de la fisuración, la segunda con el inicio de la fluencia del acero y la tercera con la deformación máxima del hormigón a compresión. En algunos casos se puede idealizar mas la curvas 7.29 usando diagramas bilineales que representan aproximaciones aceptables en la practica para secciones previamente fisuradas. 7.5.3 Determinación teórica de la curva momento-curvatura “ M vs ? “ Se parte inicialmente de las mismas hipótesis en que se fundamenta el diseño a flexión y que se conocen las relaciones tensión- deformación del hormigón y del acero. Utilizando la compatibilidad de deformaciones y el equilibrio se obtienen las curvaturas para un amplio rango de combinaciones momento, carga axial. La figura 7.30 muestra las relaciones típicas para el hormigón y el acero, fy= resistencia en fluencia del refuerzo y f ”c es la resistencia a compresión del hormigón en un elemento estructural. f “c puede ser inferior a f´c donde f “c / f c = k3 La figura 7.31 ilustra una sección de hormigón armado con refuerzo a tracción y a compresión sometida a una combinación de flexión mas carga axial ( caso típico en columnas). Para una determinada deformación del hormigón en el borde extremo a compresión “ ecm “ y una profundidad “ kd “ del eje neutro se pueden determinar las deformaciones en el acero “ esi “ por semejanza de triángulos en el perfil de deformaciones de la sección.

? ?

M M Agotamiento del hormigón antes de la

fluencia del acero

Primera fisura

Fluencia del acero

Primera fisura

a) Cuando controla la fluencia del acero

b) Cuando controla el hormigón a compresión



Figura 7.30 Curvas tensión deformación para el acero y el hormigón Por ejemplo la barra “ i “ localizada a una altura “ di “ presenta una deformación de :

kddkd i

cmsi−

= εε ( 7.29)

Figura 7.31 Perfil de tensiones y deformaciones en una sección de hormigón armado

ec

fc

ecm

f “c

d ec

fy

es1 es2

fy

fs2

es

fs3

es3 es4

fs

kd ecm ec1

ec2

ec3

ec4

h

b

fs1

fs2

fs3

fs4

S1

Cc

S2

S3

S4



Conocidas las deformaciones de determinan las tensiones “ fsi “ a partir de la grafica tensión-deformación del refuerzo. A continuación se pueden encontrar las fuerzas en el acero “ Si = fsi Así “. La fuerza de compresión en el hormigón “ Cc “ se determina a partir del perfil de deformaciones de la sección y del diagrama tensión-deformación respectivo. Para cualquier deformación dada del hormigón “ eci ” en el borde a compresión se puede encontrar “ Cc “ y su posición en términos de los parámetros “ a “ y “ ? “ en donde: bkdfC cc

´.α= actúa a una distancia “ ?.kd “ del borde mas comprimido de la sección. Los valores de “ a y ? “ se pueden obtener para cualquier deformación a partir de la curva “ fc vs ec “ del hormigón en forma similar al método general utilizado en el diseño a flexión.

cmc

cc

f

dfcm

ε

εα

ε

´0∫

= ( 7.30 )

∫∫

−=cm

cm

o cccm

ccc

df

dfε

ε

εε

εεγ 01 ( 7.31 )

Si se conoce la ecuación de la curva tensión deformación del hormigón con las expresiones anteriores se puede determinar la resultante a compresión “ Cc “ y su posición. Por equilibrio estático en al sección se obtiene la fuerza axial y el momento:

si

n

isic AfbkdfN ∑

=

+=1

´α ( 7.32 )

−+

−= ∑=

isi

n

isic d

hAfkd

hbkdfM

22 1

´ γα ( 7.33 )

La curvatura se expresa en la misma forma que la definida en 7.28 :

kdcmε

ψ = ( 7.34 )

Se puede calcular teóricamente y dibujar la curva completa “ momento-curvatura “ de una determinada sección de hormigón armado incrementado gradualmente la deformación en el hormigón “ ecm “, en cada caso se encuentra “ kd “ que satisface la ecuación de equilibrio 7.32 o 7.33. Si solo hay flexión “ N=0 “ y se reducen notablemente el tiempo de calculo. Este ejercicio se facilita con una hoja de calculo o un programa de computador. Ejemplo 7.13 La figura 7.33 representa la sección de una viga de hormigón armado elaborada con un hormigón de resistencia cilíndrica f c = 21 MPa y acero de resistencia a tracción fy = 280 MPa. Determinar la relación teórica momento curvatura para a ) Momentos antes de la fisuración del hormigón, b) al iniciar la fluencia el acero a



tracción y c) cuando el hormigón a compresión alcanza una deformación de 0.004. Dibujar la curva correspondiente.

Figura 7.33 Sección de la viga del ejemplo 7.13 Solución: Las cuantías de refuerzo para la sección de viga son è

0140.0146250

2040585250

5104==

××

=ρ 0070.0146250

1020585250

5102´ ==×

×=ρ

a) Antes de la fisuración del hormigón: La sección esta en rango elástico y se puede utilizar la sección transformada no fisurada è Punto 1

MPaEc .21950214790 == 93.921950

204000≈==n

( ) ( ) ( ) 2.186980306081625001020204019650250 mmAt =×+=+×−+×=

mmyc .314186980

585102086520408325162500=

××+××+×=

El centroide se encuentra a una distancia “ yc = 314 mm “ del borde inferior de la sección ( el punto donde se presenta la mayor tracción en el material). El momento de inercia de la sección es la contribución del hormigón “ I1 “ mas el acero a tracción “ I2 “ y el acero a compresión “ I3 “ è I = I1 + I2 + I3

h = 650 mm

b = 250 mm

As = 4 # 8

A´s = 2 # 8

d = 585 mm

65 mm

65 mm

yc



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

46666

4623

4622

4623

1

.10735210599101012105741

.105996533610208

.1010126531420408

.10574131432565025012

650250

mmI

mmI

mmI

mmI

×=×+×+×=

×=−××=

×=−××=

×=−××+×

=

La fisuración se presenta cuando el hormigón alcanza una tensión a tracción equivalente numéricamente al valor del modulo de rotura del material: MPaf r .9.22163.0 =×= El momento de fisuración “ Mcr “ es por tanto:

mkNmmNM cr ..68..1068314

1073529.2 66

=×=××

=

La deformación máxima del hormigón en este instante es: 61013221950

9.2 −×==cmε

La curvatura de la sección es : mmradcr /.10420.0314

10132 66

1−

−

×=×

=ψ

Las coordenadas del punto 1 son: ( 0.42x10-3 rad/m , 68 kN.m ) b) Después de la fisuración del hormigón. Punto 2 Una vez se fisura la sección la rigidez cae inmediatamente al disminuir el momento de inercia y la curvatura aumenta sin ningún incremento del momento. El análisis se realiza con la sección transformada fisurada è

( ) ( ) 360.09585

650070.00140.0290070.0140.090070.00140.0 22 =×

×

+×+×++×+−=k

mmkd .211585360.0 =×=

( ) ( ) 46223

.103525211585183606521181603

211250mmIcr ×=−×+−×+

×=

La rigidez ha disminuido aproximadamente en un 50% lo que afecta el comportamiento de la estructura =>



Cuando el hormigón a compresión alcanza la deformación correspondiente al limite de proporcionalidad es decir cuando fc = 21 / 2 MPa = 10.5 MPa se tiene:

000478.021950

5.10==cε

El acero esta en rango elástico porque: MPaMPaf s 28098204000000478.0 <=×=

El momento en este punto es: mmNM .10142585250880.0360.02

5.10 623 ×=××××=

La curvatura en este punto es:

mradmmrad /102265/.10265.2211

10478 666

3−−

−

×=×=×

=ψ

El punto 3 tiene coordenadas: ( 2.27x10-3 rad/m , 142 kN.m) Utilizando la relación “ Mcr / M3 “ se puede encontrar la curvatura en el punto 2 =>

mradcr /10108510226514268 66

2−− ×=××=ψ

El punto 2 tiene coordenadas: ( 1.09x10-3 rad/m , 68 kN.m ) A partir del punto 3 la relación tensión-deformación en el hormigón a compresión deja de ser lineal y se debe adoptar un modelo adecuado para determinar la posición del eje neutro y las coordenadas del diagrama “ M vs ? “. Se considerara en este caso el punto cuando el refuerzo a tracción alcanza la fluencia =>

001372.0204000

280==sε

Del perfil de deformaciones de la sección se encuentra:

( )000774.0

211585211

001372.0 =−

×=cε

Para determinar la resistencia a compresión del hormigón cuando el acero inicia la fluencia se debe utilizar un modelo no lineal para estimar las tensiones correspondientes. Un modelo podría ser el de Todeschini =>

001636.021950

2171.10 =×=ε 473.0

001636.0000774.0

==oε

ε



MPaf c 6.14473.01

473.0219.022

=+

×××=

Del perfil de deformaciones también se deduce: 000536.0211

65211000774.0´ =

−×=sε

MPaf s .109204000000536.0´ =×=

( )

NCc .42556452750219.0427.0211250219.0473.0

473.01ln 2

=×××=××××+

=

Esta resultante a compresión se localiza a la siguiente distancia del borde comprimido:

( ) ( )mmkd .73211347.0211]

427.0473.0473.0tan473.02

1[2

1

=×=××

−×−=

−

β

kNNfAC sss .111.1111801091020´´ ==×==

La resultante a compresión en la sección es : C = 426 +111 = 537 kN. El punto de aplicación se encuentra tomando momentos respecto al borde superior =>

( ) ( )( )

mmy .71537

7342665111=

×+×=

−

mmjd .51471585 =−=

mkNmmNjdfAM ysy ..294..102945142802040 6 =×=××==

( )mmrady /.1067.3

211585001372.0 6−×=

−=ψ = 3670x10-6 rad/m

Las coordenadas de este punto son: ( 3.67x10-3 rad/m , 294 kN.m) Entre el punto 3 y este punto se puede encontrar otros puntos adicionales variando la deformación del hormigón a compresión entre ( 0.000478 : 0.000774 ) y utilizando el mismo procedimiento anterior. Por ejemplo para ec = ( 0.000478 + 0.000774 ) / 2 = 0.000626 se tiene => fs = 0.001110 x 204000 = 226 MPa

383.0001636.0000626.0

==oε

ε MPaf c 6.12

383.01383.0219.02

2=

+×××

=

000433.0211

65211000626.0´ =

−×=sε

MPaf s .88204000000433.0´ =×=



( )

kNNCc .356.355920211250219.0383.0

383.01ln 2

==××××+

=

( ) ( )mmkd .72211342.0211]

357.0383.0383.0tan383.02

1[2

1

=×=××

−×−=

−

β

kNNfAC sss .90.89760881020´´ ==×==

La resultante a compresión en la sección es : C = 356 + 90 = 446 kN.

( ) ( )( )

mmy .71446

723566590=

×+×=

−

mmjd .51471585 =−=

mkNmmNjdfAM ss ..237..102375142262040 6

4 =×=××==

( )mmrad /.1096.2

211585001110.0 6

4−×=

−=ψ = 2960x10-6 rad/m

Las coordenadas de este punto son: ( 2.96x10-3 rad/m , 237 kN.m) c) Cuando se alcanza la máxima resistencia el hormigón. Utilizando el bloque rectangular de tensiones para facilitar los cálculos numéricos y considerando como primera hipótesis que las dos capas de acero de refuerzo de la sección están en fluencia => fs = f s = 280 MPa

( )mmcmma .75

85.064

.642502185.010202040280

==⇒=××−×

=

Del perfil de deformaciones se obtiene:

yss ff <⇒<=−

×= ´´ 001372.0000533.075

6575004.0ε

Se concluye que el refuerzo a compresión no esta en fluencia cuándo la sección alcanza su máxima resistencia. Para calcular la posición del eje neutro se puede proceder por ensayo y error asumiendo un valor de “ f s “ hasta lograr la convergencia deseada => Si se programa las tres ecuaciones anteriores y se tantean varios valores de f´s se llega rápidamente a encontrar que f s = 226 MPa es el valor buscado:

mmcmma .8985.0

76.76

2502185.022610202802040

==⇒=××

×−×=



MPaf ss .22020400000108.000108.089

6589004.0´ =×=⇒=

−×=ε ˜ 226 MPa

El cual es adecuado para la precisión buscada ( error menor al 5% ).

( ) mmNM n ..103026558522010202

76585250762185.0 6×=−××+

−××××=

La curvatura es: mradmmradu /.1045/.104589004.0 36 −− ×=×==ψ

Las coordenadas de este punto son: ( 45 x 10-3 rad/m , 302 kN.m ) La relación de ductilidad de esta sección es:

3.121067.3

10453

3

=×

×==

−

−

y

udR

ψψ

La relación de ductilidad es una buena medida de la capacidad de rotación inelástica de una sección de hormigón armado. Las exigencias de los códigos respecto a las cantidades de refuerzo en una sección lo que controlan realmente es la relación de ductilidad. En general relaciones superiores a 10 son aceptables en diseño estructural.

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50

CURVATURA ( rad / m ) x 10-3

MO

ME

NT

O (

kN.m

)

Figura 7.34 Relación momento curvatura del ejemplo 7.13

? u , Mn

? cr , Mcr

? y , My

Diseño de Elementos de Hormigón - Universidad Nacional de Colombia

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