DISEO DE EJES26

A causa del desarrollo simultaneo de los esfuerzos cortantes torsionales y los esfuerzos flexionantes, el anlisis de esfuerzo en un eje implica casi siempre emplear un mtodo de esfuerzos combinados. El mtodo recomendado para disear y analizar ejes es el de la teora de falla por energa de distorsin.PROCEDIMIENTO PARA DISEAR UN EJE1. Determine la velocidad de giro del eje.2. Determine la potencia o par torsional que debe transmitir el eje.3. Determine el diseo de los componentes transmisores de potencia, u otras piezas que se montaran sobre el eje, y especificar el lugar requerido para cada uno.4. Especifique la ubicacin de los cojinetes a soportar en el eje, lo comn es suponer que se usan solo dos cojinetes para soportar un eje. Se supone que las reacciones en los ejes que soportan cargas radiales actan en el punto medio de los cojinetes. Si en el eje existen cargas de empujes (axiales), se debe especificar el cojinete que reaccionara contra el empuje.5. Determine la magnitud del par torsional que se desarrolla en cada punto del eje. Se recomienda preparar un diagrama de par torsional.6. Determine las fuerzas que obran sobre el eje, en direccin radial y axial.7. Descomponga las fuerzas radiales en direcciones perpendiculares, las cuales sern, en general, vertical y horizontal.8. Calcule las reacciones en cada plano sobre todos los cojinetes de soporte.9. Genere los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes completos, para determinar la distribucin de momentos flexionantes en el eje.10. Seleccione el material con el que fabricara el eje y especifique su condicin: estirado en frio y con tratamiento trmico, entre otras. Los ms comunes son los aceros comunes o aleados, con contenido medio de carbn, como los AISI 1040, 4140,4340, 4640, 5150, 6150 y 8650. Se recomienda que la ductilidad se buena, y que el porcentaje de elongacin sea mayor que 12% aproximadamente. Adems determine la resistencia ltima, la resistencia de fluencia y el porcentaje de elongacin del material.11. Analice cada punto crtico del eje, para determinar el dimetro mnimo aceptable del mismo, en ese punto, para garantizar la seguridad frente a las cargas en ese punto. En general hay varios puntos crticos, e incluyen aquellos donde se da un cambio de dimetro, donde se presentan los valores mximos de par torsional y de momento flexionante, y donde halla concentraciones de esfuerzos.12. Especifique las dimensiones finales para cada punto en el eje. Por lo comn, los resultados del paso 11 sirven como gua, y entonces se escogen los valores adecuados. Tambin se deben especificar los detalles del diseo, como las tolerancias, los radios del chafln, la altura de los escalones y las dimensiones del cuero.

FUERZAS QUE EJERCEN LOS ELEMENTOS DE MAQUINAS SOBRE LOS EJESLos engranes, las poleas, las catarinas y otros elementos sostenidos comnmente por los ejes, ejercen fuerzas sobre el eje, y causan momentos flexionantes. Es por ello que deber emplear los principios de esttica y dinmica para calcular dichas fuerzas sobre determinado elemento en particular.

ENGRANES RECTOSLa fuerza ejercida sobre un diente de engrane, durante la transmisin de potencia, acta en direccin normal (perpendicular) al perfil de involuta del diente, como observamos debajo en la imagen. Conviene para el diseo de los ejes, calcular los componentes rectangulares de esta fuerza, los cuales actan en direccin radial y tangencial.

FIGURA 1.1

Lo ideal es calcular la fuerza tangencial, Wt en forma directa con el par torsional conocido que va a transmitir el engrane, Para unidades inglesas tenemos que:T = 63000 (P)/n EC 1.1 (Par torsional)Wt = T/(D/2) EC 1.2 (Fuerza tangencial)

En donde:P = potencia que se transmite, HPn = velocidad de giro, rpmT = Par torsional sobre el engrane, lb*inD = diametro de paso del engrane, in

El ngulo entre la fuerza total y la componente tangencial es igual al ngulo de presin,, del perfil del diente.Wr = Wt*tan() EC 1.3 (Fuerza radial)Paralos engranes, el ngulo de presintpicoes de 14,5, 20 y 25.DIRECCCIONES DE FUERZAS SOBRE ENGRANES RECTOS ENGRANADOSFIGURA 1.2

La figura 1.2a representa la accin del engrane impulsor A sobre el engrane impulsado B. La fuerza tangencial Wt empuja en direccin perpendicular a la lnea radial, lo cual causa que gire el engrane impulsado. La fuerza radial Wr, que ejerce el engrane impulsor A acta a lo largo de la lnea radial y tiende a alejar el engrane impulsado B.La figura 1.2b nos describe que para toda accin existe una reaccin igual y opuesta, por lo tanto, el engrane impulsado devuelve el empuje al engrane impulsor, con una fuerza tangencial que se opone a la de este, y una fuerza radial que tiende a alejarlo.Siempre que se necesite determinar la direccin de las fuerzas que actan sobre determinado engrane, primero vea si se trata de un impulsor o impulsado. Despus, visualice las fuerzas de accin del impulsor. Si el engrane de inters es el impulsado, son las fuerzas que actan sobre el. Si el engrane de inters es el impulsor, las fuerzas que actan sobre el en direcciones opuestas a las de la fuerzas de accin. ENGRANES HELICOIDALESAdems de las fuerzas tangenciales y radiales que se producen en los engranes rectos, los engranes helicoidales producen una fuerza axial, primero debemos calcular la fuerza tangencial y luego si es el ngulo de hlice del engrane, y si el ngulo de presin normal es n , la carga radial se expresa:Wr = Wt*tan (n)/cos() EC 1.4 (Fuerza radial)Wx = Wt * tan () EC 1.5 (Fuerza axial) CATARINASLa parte superior de la cadena esta a tensin, y produce el par torsional a cada Catarina. El tramo inferior de la cadena, llamado lado flojo, no ejerce fuerzas sobre las catarinas. Por lo tanto, la fuerza flexionante total sobre el eje que sostiene la Catarina es igual a la tensin en el lado tenso de la cadena. Si se conoce el par torsional en una Catarina, la fuerza en la cadena nos queda:Fc = T/ (D/2) EC 1.6 (Fuerza en la cadena)

FIGURA 1.3

La fuerza Fc acta en direccin del lado tenso de la cadena. Debido a la diferencias de tamao entre las 2 catarinas, esa direccin forma cierto ngulo con la lnea entre los centros de ejes. Se debe descompone la fuerza Fc en componentes paralelas a la lnea entre centros, perpendicular a ella. Entonces:

Fcx = Fc* Cos y Fcy = Fc* Sen

Si el ngulo es pequeo, se causa mnimo error si se supone que toda la fuerza Fcacta en la direccin de x.

POLEAS PARA BANDAS EN VEn general el sistema de bandas en V se parece al de cadenas por transmisin. Solo difieren en un aspecto destacable: Los dos lados de la banda estn en tensin. La tensin F1 en el lado tenso es mayor que la tensin F2 en el lado flojo, y por ello hay una fuerza impulsora netasobre las poleas, igual aFN =F1 -F2 EC 1.7 (Fuerza impulsora neta)La magnitud de la fuerza impulsora neta se puede calcular con el par torsional transmitidoFN =T/ (D/2) EC 1.8 (Fuerza impulsora neta)FIGURA 1.4

FB = 1,5 FN = 1,5 T/(D/2) EC 1.9 (Fuerza flexionante sobre el eje, para bandas en V) POLEAS PARA BANDAS PLANASEl anlisis de la fuerza flexionante que ejercen las poleas para bandas planas es idntico al de las poleas para bandas en V, solo se observa una ligera variacin en la relacin de fuerzas y se expresa de la siguiente formaFB = 2 FN = 2 T/(D/2) EC 1.10 (Fuerza flexionante sobre el eje, para bandas planas)

CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS EN LOS EJESEn general un diseo final de ejes contiene varios dimetros, cueros, ranuras para anillos y otras discontinuidades geomtricas que producen concentraciones de esfuerzos, dichas concentraciones deben ser contempladas durante el anlisis del diseo.Pero existe un problema, porque al iniciar el proceso de diseo se desconocen los valores reales de los factores de concentracin de esfuerzos, kt. La mayor parte de los valores dependen de los dimetros del eje y las geometras de los chaflanes y ranuras, que son los objetivos del diseo.Este dilema se supera al establecer un conjunto de valores preliminares de diseo para los factores de concentracin de esfuerzos encontrados con ms frecuencia, dichos valores se pueden emplear para llegar a estimaciones iniciales de los dimetros mnimos aceptables para los ejes. VALORES PRELIMINARES DE DISEO PARA ktSe consideran las discontinuidades geomtricas encontradas con ms frecuencia en ejes de transmisin de potencia: cueros, escalones y ranuras para anillos de retencin. En cada caso el valor sugerido es relativamente alto, para alcanzar a un resultado conservador en la primera aproximacin del diseo.a) CUEROS

Un cuero o chavetero es una ranura longitudinal que se corta en un eje, para montar una cua o chaveta que permita la transferencia de par torsional del eje al elemento transmisor de potencia, o viceversa. Son dos los tipos de cueros que se usan con ms frecuencia.1. Cuero de perfil: se corta en el eje con una fresa lateral de espiga, cuyo dimetro es igual al ancho de la cua, la ranura que resulta es de fondo plano y tiene un vrtice agudo a escuadra.2. Cuero de trineo: se obtiene con una fresa circular cuyo ancho es igual al de la cua, cuando el cortador comienza o termina el cuero, produce un dimetro uniforme. Por esta razn, el factor de concentracin de esfuerzos para el cuero de trineo es menor que el de cuero de perfil.

FIGURA 1.5

Los valores usuales manejados en el diseo son:Kt= 2 (perfil)Kt= 1,6 (trineo)b) CHAFLANES EN ESCALONES

Cuando en un eje se presenta un cambio de dimetro, para formar un escaln contra el cual localizar un elemento de maquina, se produce una concentracin de esfuerzos que depende de la relacin entre los dimetros y del radio del chafln. Se recomienda que el dimetro del chafln(o radio de tangencia) sea el mayor posible para minimizar la concentracin de esfuerzos, pero a veces el diseo del engrane, cojinete u otro elemento es el que afecta el radio que se puede usar. Por lo tanto, se clasificaran los chaflanes en dos categoras: agudas y bien redondeadas.

FIGURA 1.5

c) RANURAS PARA ANILLOS DE RETENCIN

Estos anillos se instalan en ranuras en el eje, despus de colocar en su lugar el elemento que se va a retener. La geometra de la ranura queda determinada por el fabricante del anillo. Su configuracin normal es una ranura superficial con paredes y fondos rectos, y un pequeo chafln en la base de la ranura. Para un diseo preliminar, se aplicara Kt =3 al esfuerzo flexionante en una ranura para anillos de retencin, para considerar los radios de chaflanes bastante agudos.

ESFUERZOS PARA DISEOS DE EJESEn un eje pueden existir varias condiciones distintas de esfuerzo al mismo tiempo. Para cualquier parte del eje que transmita potencia, habr un esfuerzo cortante torsional, mientras que en el caso normal habr esfuerzo flexionante sobre esa misma parte. Algunos podrn no estar sometidos a flexin ni torsin, pero experimentaran esfuerzo cortante vertical. Podrn estar expuestos esfuerzos axiales, de tensin o de compresin sobre los dems esfuerzos, y haber puntos donde no se desarrolle esfuerzo alguno significante.

Entonces, la decisin sobre que esfuerzo usar para el diseo depende de la situacin particular en el punto de inters. Se supondr que los esfuerzos flexionantes son totalmente invertidos y repetidos, por la rotacin del eje. Debido a que los materiales dctiles funcionan mejor bajo esas cargas, se supondr que el material del eje es dctil. Tambin se supondr que la carga torsional es relativamente constante, y que solo acta en una direccin.

Manejaremos el smbolo d para representar el esfuerzo de diseo cuando un esfuerzo cortante sea la base del diseo.Manejaremos el smbolodcuando un esfuerzo normal sea la base del diseo.

1. Esfuerzo cortante de diseo-par torsional constanteEl mejor indicador de la falla en materiales dctiles, debido al esfuerzo cortante y constante, es la teora de energa de distorsin, donde el esfuerzo cortante se calcula con

EC 1.11 Se usara este valor para el esfuerzo cortante por torsin continua, el esfuerzo cortante vertical o el esfuerzo cortante directo en un eje.2. Esfuerzo cortante de diseo-esfuerzo cortante vertical invertidoLos puntos sobre un eje donde no se aplica par torsional, y donde los momentos flexionantes son igual a cero o muy bajos, con frecuencia estn sujetos a fuerzas cortantes verticales importantes, que entonces son las que gobiernan el anlisis del diseo. El esfuerzo cortante vertical mximo para el caso de una seccin transversal circular solida se puede calcular con

Donde V = Fuerza cortante vertical. A = rea de la seccin transversal.Cuando se deben considerar factores de concentracin de esfuerzos,

Segn la teora de la energa de distorsin

Donde

Si despejamos N (Factor de diseo) de las ecuaciones anteriores nos quedaEC 1.12Si se despeja el rea de la ecuacin anterior obtenemos

Sin embargo, el objetivo es el diseo del eje para determinar el dimetro requerido. Por sustitucin de

Se despeja D y tenemos que

EC 1.13 (Dimetro requerido del eje)Esta ecuacin debe emplearse para calcular el dimetro necesario de un eje cuando una fuerza cortante vertical V sea la nica carga importante presente. En la mayora de los ejes, el dimetro que resulte ser mucho menor que el que se requiera en otras partes del eje, donde haya valores importantes de momento de par torsional y flexionante.3. Esfuerzo normal de diseo-carga por fatigaPara la flexin repetida e invertida en un eje, causada por cargas transversales aplicadas al eje giratorio, el esfuerzo de diseo se relaciona con la resistencia del material del eje a la fatiga. Para las partes del eje sometidas solo a flexin invertida, el esfuerzo de diseo ser

EC 1.14 (Esfuerzo normal de diseo-carga por fatiga)

4. Factor de diseo, NSe usara N = 2 en diseo de ejes tpicos, donde hay una confianza promedio en los datos de resistencia del material y de las cargas. Se deben manejar valores mayores para cargad de choque e impacto.

EJES SOLO SOMETIDOS A FLEXIN Y TORSINComo ejemplos de ejes solo sometidos a torsin y flexin estn los que sostienen engranes rectos, poleas para bandas V o ruedas para cadenas. La potencia transmitida causa la torsin, y las fuerzas transversales sobre los elementos causan la flexin. De forma general, las fuerzas transversales no actan todas en el mismo plano. En dichos casos, se preparan primero los diagramas de momento flexionante para dos planos perpendiculares, luego se determina el momento flexionante resultante en cada punto de inters.

EC 1.15 (Ecuacin de diseo para ejes)Puede ser usada para flexin pura o torsin pura.

EJEMPLODisee el eje mostrado en las figuras 1.6 y 1.7. Se va a maquinar en acero AISI 1144 OQT 1000 (Templado en Aceite). El eje es parte de la transmisin para un sistema de soplador grande, que suministra aire a un horno. El engrane A recibe 200 HP del engrane PN. El engrane C entrega la potencia al engrane Q. El eje gira a 600 rpm.FIGURA 1.6

FIGURA 1.7

Solucin: primero se determinaran las propiedades del acero para el eje. De la figura A 4-2, Sy= 83000 psi, Su= 118000 psi y el porcentaje de elongacin es del 19%. Mediante la figura 5-8 se puede estimar que Sn= 42000 psi.Se debe aplicar un factor por tamao a la resistencia de fatiga, porque el eje ser bastante grande, para trasmitir los 200 HP. Aunque no se conoce el tamao real en este momento, podramos seleccionar Cs= 0,75 de la figura 5-9 como una estimacin.

FIGURA A 4-2

FIGURA 5-8

FIGURA 5-9

Tambin se debe especificar un factor de confiabilidad, lo cual es una decisin de diseo. Para este problema, se diseara una confiabilidad de 0,99 y se manejara CR= 0,81. Por lo tanto podemos calcular la resistencia a la fatiga modificada:

Se supondr que el valor de diseo es N=2. No se espera que el soplador tenga choque o impacto inusual.Ahora se calcular el par torsional en el eje, con la EC 1.1

Observe que solo la parte del eje que va de A a C es la parte sometida a este par torsional. A la derecha del engrane C hasta el rodamiento D existe par torsional igual a cero.Fuerzas sobre los engranes:la figura 1.8 muestra los dos pares de engranes con las fuerzas que actan sobre los engranes A y Cindicadas. Observe que el engrane A se impulsa por el engrane P, y que C impulsa a Q. Es muy importante que las direcciones de esas fuerzas sean correctas. Los valores de ellas se calculan con las ecuaciones 1.2 y 1.3.

Fuerzas sobre el eje: El siguiente paso es indicar esas fuerzas sobre el eje, en sus planos de accin correctos y en la direccin correcta. Se calculan las reacciones en los rodamientos, y se preparan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Los resultados se muestran en la figura 1.9.FIGURA 1.8

FIGURA 1.9

Continuando con el diseo, se calcula el dimetro mnimo aceptable del eje, en varios puntos del mismo. En cada punto se observara la magnitud del par torsional y del momento flexionante que existan all, y se estimara el valor de los factores de concentracin de esfuerzos. Si en la cercana del punto de inters existe ms de una concentracin de esfuerzos, para el diseo se empleara el mayor. Con esto se asegura que las discontinuidades geomtricas mismas no interactan, lo cual es una buena prctica. Por ejemplo, en el punto A el cuero debe terminar mucho antes de que comience el chafln de escaln.1. Punto A:El engrane A produce torsin en el eje, desde A hacia la derecha. A la izquierda de A, donde hay un anillo de retencin, no hay fuerzas, ni flexin ni torsin.El momento flexionante en A es cero, porque es un extremo libre. Por lo tanto podremos emplear la Ec1.15 para calcular el dimetro requerido del eje en A, mediante solo el trmino de la torsin.

2. Punto B:es el lugar de un rodamiento, y tiene un chafln agudo a la derecha de B y uno bien redondeado a su izquierda. Es recomendable hacer que D2 sea cuando menos un poco menor que D3 en el asiento del rodamiento, para permitir que el rodamiento se deslice sobre el eje y llegue al lugar donde entre con prensa a su posicin final.

A la izquierda de B (dimetro D2)T= 21000 lb*inEl momento flexionante en B es la resultante del momento en los planos X y Y, de acuerdo con la figura 1.9

Kt = 1.5 (Chafln bien redondeado)

Empleamos la Ec 1.15, a causa de los esfuerzos combinados

En B y a la derecha de B(dimetro D3) todo es igual, excepto el valor Kt =2,5 debido al chafln agudo, entonces:

Observe que D4 ser mayor que D3, para poder tener un escaln en el rodamiento. Por consiguiente ser seguro. Su dimetro real se especificar despus de haber terminado el anlisis de esfuerzos, y seleccionado el rodamiento en B. El catalogo del fabricante de rodamientos especificar el dimetro mnimo aceptable a la derecha del rodamiento, para tener un escaln adecuado contra el cual asentarlo. 3. Punto C: es el lugar del engrane C, con un chafln bien redondeado a la izquierda, un cuero de perfil en el engrane y una ranura para anillo de retencin a la derecha. El momento de flexin en C es:

A la izquierda de C existe el par torsional de 21000 lb*in y con el cuero de perfil Kt = 2 tenemos:

A la derecha de C no hay par, pero la ranura para el anillo sugiere que Kt = 3 para diseo. Y all la flexin es invertida. Se puede aplicar la Ec 1.15 y nos queda:

Si el factor por ranura de anillo es de 1,06 el dimetro sube a 3,90 in este valor es mayor que el calculado a las izquierda de C, por lo cual es el que gobierna el diseo en el punto C.

4. Punto D: el punto D es el asiento del rodamiento D, y all no hay momentos torsionales o flexionantes. Sin embargo, se hay una fuerza cortante vertical, igual a la reaccin en el rodamiento. Se emplear la resultante la resultante de las reacciones en los planos X y Y para calcular la fuerza cortante:

Podemos usar la Ec 1.13 para calcular el dimetro requerido en el eje:

Este dimetro es muy pequeo, en comparacin con los dems dimetros calculados, y en general eso es lo que sucede. En la realidad, es probable que el dimetro sea mucho mayor que este valor calculado, por el tamao de un rodamiento razonable que soporte la carga radial de 2078 lb.

Los dimetros mnimos requeridos, calculados para las diversas partes del eje son los siguientes:D1= 1,65 inD2= 3,30 inD3= 3,55 inD5= 3,90 inD6= 1,094 inTambin D4 debe ser un poco mayor que 3,90 para tener escalones adecuados en el engrane C y el rodamiento B.El eje de la figura recibe 110 HP de una turbina hidrulica, a travs de una rueda cadena en el punto C. El par de engranes en E entrega 80 HP a un generador elctrico. La polea para bandas V en A entrega 30 HP a un elevador de cangilones, que sube grano a un silo elevado. El eje gira a 1700 rpm. La catarina, la polea y el engrane se posicionan axialmente mediante anillos de retencin. La polea y el engrane tienen cuas, con cueros de trineo y en la catarina se usa un cuero de embutir. Use acero AISI 1040 estirado en frio para el eje. Calcule los dimetros mnimos aceptables D1 a D7 como se muestra en la figura.

Segn apndice 3 Sy= 71.000 psi, Su= 80.000 psi.En figura 5-8 Sn= 30.000 psi. Se disea para un Cs= 0,85 de la figura 5-9 y un CR= 0,81 por lo que la resistencia a la fatiga modificada ser:

Usaremos un factor de diseo N=2.Distribucin del par torsional en el eje:

1. Fuerzas en la polea A:

La fuerza de flexin acta hacia arriba y hacia la izquierda, formando un ngulo de 60 con la horizontal.

2. Fuerzas sobre la catarina C:

3. Fuerzas sobre el engrane E:

Diagramas de carga, cortante y flexionante:

1. Punto A: la polea se instala con anillos de retencin. Por lo que se calculara el dimetro nominal en la ranura, al aumentar 6% el resultado calculado.

2. A la izquierda del Punto B: es el dimetro de desahogo que llega hasta el asiento del rodamiento. Se especificara una transicin bien redondeada en el lugar donde D2 se une a D3.

3. A la derecha del punto B: es el asiento del rodamiento, con un escaln a su derecha donde se requiere un chafln agudo.

4. En el punto C: se pretende que el dimetro sea igual, desde la derecha del rodamiento B hasta la izquierda del rodamiento D. La peor condicin esta a la derecha de C, donde hay una ranura para anillo, y el valor del par torsional es mayor.

5. A la izquierda de D: es un asiento de rodamiento parecido al que hay en B.

6. A la derecha de D: es un dimetro de desahogo parecido a D2.

7. En el punto E: el engrane esta montado con anillos de retencin en ambos lados.