Diseño-Cálculo eje-prob shigley

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Universidad Nacional de Trujillo Ing. Mecánica Diseño de Elem. de Máq. I

http://adrenalinaforex.eu/acc.phpProblema para reforzar lo aprendido del cálculo en el análisis por deflexión y por velocidad crítica

PROBLEMA 7-10

Un eje de acero AISI 1020 estirado en frió con la configuración geométrica que se muestra en la figura, soporta una carga transversal de 7 kN y un momento de torsión de 107 N.m. Revise el eje por resistencia y deflexión. Si la pendiente, máxima permisible en los cojinetes es de 0.001, ¿Cuál es el factor de seguridad que previene contra una distorsión grave? ¿Cuál es el factor de seguridad que previene contra una falla por fatiga? Si el eje resulta ser insatisfactorio, ¿Qué recomendaría para corregir el problema? Se pide desarrollar el análisis por deflexión y por vida crítica

Análisis por deflexión:

Se tiene las condiciones de: o Inclinación mayor permisible en los cojinetes mide 0.001 rad

o Inclinación mayor permisible en el acoplamiento del engrane 0.0005 rad

Para poder realizar el cálculo de las deflexiones emplearemos el método de integración grafica de SIMPSON dado que las secciones transversales del eje no son constantes y la inercia cambia para los diámetros respectivos de cada parte del eje. Por lo tanto describiremos las estaciones de trabajo que emplearemos para realizar este cálculo, las cuales serán:

o Donde se aplique la carga y pares de tensiones puntuales.

o Donde ocurran las reacciones.

o Donde cambie la geometría del eje.

Diseño de Eje Análisis de Deflexión y velocidad crítica Rodríguez Yengle

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Previamente calculamos reaciones y momentos, con ayuda de un software computacional:

Con los valores encontrados de momentos, hacemos nuestra hoja de cálculo de EXCEL en la cual determinaremos los valores de las deflexiones y de las pendientes por el método de integración grafica.


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Estación, i x (m) M (N.m) d (m) E (Pa) I (m^4) M/EI ∫M/(EI) dx ∫∫M/(EI) dxdx y (m) dy/dx (rad)

1 0

0,000 0,03

2,07E+11

3,98E-08 0,00E+00

0,00E+00 0,00E+00 0,00000000 -0,0020540,000 0,03 3,98E-08 0,00E+00

0,0075

30,861 0,03

2,07E+11

3,98E-08 3,75E-03

1,41E-05 0,00E+00 -0,00001541-

0,0020399430,861 0,03 3,98E-08 3,75E-03

2 0,015

61,723 0,03

2,07E+11

3,98E-08 7,50E-03

5,62E-05 2,81E-07 -0,00003053-

0,0019977661,723 0,035 7,37E-08 4,05E-03

0,0275

113,158 0,035

2,07E+11

7,37E-08 7,42E-03

1,49E-04 1,30E-06 -0,00005519 -0,0019045113,158 0,035 7,37E-08 7,42E-03

3 0,04

164,594 0,035

2,07E+11

7,37E-08 1,08E-02

2,63E-04 4,10E-06 -0,00007806-

0,00179065164,594 0,04 1,26E-07 6,33E-03

0,07

288,040 0,04

2,07E+11

1,26E-07 1,11E-02

5,91E-04 1,40E-05 -0,00012978-

0,00146264288,040 0,04 1,26E-07 1,11E-02

4 0,1

411,485 0,04

2,07E+11

1,26E-07 1,58E-02

9,95E-04 4,03E-05 -0,00016506-

0,00105926411,485 0,055 4,49E-07 4,43E-03

0,105

432,059 0,055

2,07E+11

4,49E-07 4,65E-03

1,05E-03 4,68E-05 -0,00016890 -0,0010081432,059 0,055 4,49E-07 4,65E-03

5 0,11

452,634 0,055

2,07E+11

4,49E-07 4,87E-03

1,07E-03 5,08E-05 -0,00017519-

0,00098431452,634 0,045 2,01E-07 1,09E-02

0,125

514,357 0,045

2,07E+11

2,01E-07 1,23E-02

1,20E-03 6,85E-05 -0,00018824-

0,00085521514,357 0,045 2,01E-07 1,23E-02

6 0,14

576,079 0,045

2,07E+11

2,01E-07 1,38E-02

1,40E-03 8,71E-05 -0,00020051-

0,00065894576,079 0,045 2,01E-07 1,38E-02

0,175

459,529 0,045

2,07E+11

2,01E-07 1,10E-02

1,83E-03 1,40E-04 -0,00021920-

0,00022398459,529 0,045 2,01E-07 1,10E-02

7 0,21

342,978 0,045

2,07E+11

2,01E-07 8,23E-03

2,17E-03 2,14E-04 -0,00021733 0,00011307342,978 0,04 1,26E-07 1,32E-02

0,2425

234,753 0,04

2,07E+11

1,26E-07 9,02E-03

2,45E-03 2,86E-04 -0,00021220 0,00039348234,753 0,04 1,26E-07 9,02E-03


4


8 0,275

126,528 0,04

2,07E+11

1,26E-07 4,86E-03

2,67E-03 3,73E-04 -0,00019234 0,00061917126,528 0,035 7,37E-08 8,30E-03

0,2875

84,902 0,035

2,07E+11

7,37E-08 5,57E-03

2,74E-03 4,05E-04 -0,00018554 0,0006843884,902 0,035 7,37E-08 5,57E-03

9 0,3

43,277 0,035

2,07E+11

7,37E-08 2,84E-03

2,79E-03 4,41E-04 -0,00017529 0,0007369143,277 0,03 3,98E-08 5,26E-03

0,3075

18,302 0,03

2,07E+11

3,98E-08 2,22E-03

2,81E-03 4,61E-04 -0,00017092 0,000755918,302 0,03 3,98E-08 2,22E-03

10 0,315

-6,673 0,03

2,07E+11

3,98E-08 -8,11E-04

2,82E-03 4,83E-04 -0,00016398 0,0007612-6,673 0,03 3,98E-08 -8,11E-04

0,3225

-5,005 0,03

2,07E+11

3,98E-08 -6,08E-04

2,81E-03 5,03E-04 -0,00015953 0,00075587-5,005 0,03 3,98E-08 -6,08E-04

11 0,33

-3,337 0,03

2,07E+11

3,98E-08 -4,05E-04

2,81E-03 5,25E-04 -0,00015264 0,00075207-3,337 0,02 7,85E-09 -2,05E-03

0,3375

-1,668 0,02

2,07E+11

7,85E-09 -1,03E-03

2,80E-03 5,45E-04 -0,00014825 0,00074671-1,668 0,02 7,85E-09 -1,03E-03

12 0,345

0,000 0,02

2,07E+11

7,85E-09 0,00E+00

2,80E-03 5,67E-04 -0,00014144 0,000742860,000 0,02 7,85E-09 0,00E+00


5


Las ecuaciones para la integración numérica que se usaran serán:

o Para la pendiente:

dydx

=∫0

x MEI

dx−C 1

o Para la deformación:y=∫0

x (∫0

x MEI

dx )dx−C1 x−C2

oC1=

∫0

xa(∫0

x aMEI

dx)dx−∫0

xb (∫0

x bMEI

dx)dx

xa−xb

−

oC2=

xb∫0

xa (∫0

x aMEI

dx)dx−xa∫0

xb(∫0

x bMEI

dx )dx

xa−xb

−

Luego para el cálculo de las constantes C1 y C2 procedemos como sigue:

En la “Estación 1” donde está el apoyo izquierdo: Condiciones de frontera; Deflexión =0

x=0 ; y=0 ;∫(∫ MEI

dx )dx=0

210 0CxCdxdx

EI

My

x x

∫ ∫

0= 0 + C1 + C2 ……. (1) C2 = 0

En la “Estación 10 ” donde está el apoyo derecho, se tienen las siguientes condiciones de frontera:

Deflexión=0

x=0 .315 ; y=0 ; ∫(∫MEI

dx) =6 . 47 x10−4

y=∫0

x

(∫0

xMEI

dx)dx+C1 x + C2

0 = 6 . 47 x 10−4 + C1(0 . 315) ⇒ C1=−2 .054 x 10−3


6


De los resultados de la tabla los que interesan son los 1,6,10 y 12.

o La estación 1 corresponde al apoyo del cojinete izquierdo y da como resultado:

Deflexión : 0 mPendiente : -0.002054 rad

o La estación 6 corresponde al punto de aplicación de la carga y da como resultado:

Deflexión : -0,00020051 m (Signo indica el sentido)Pendiente : -0,00065894 rad

o La estación 10 corresponde al apoyo del cojinete derecho y da como resultado:

Deflexión : -0,00016398m (Signo indica el sentido)Pendiente : 0,0007612 rad

o La estación 12 corresponde al apoyo del cojinete derecho y da como resultado:

Deflexión : -0,00014144m (Signo indica el sentido)Pendiente : 0,00074286rad

Analizando lo que el problema requiere:En el apoyo del cojinete izquierdo y del derecho se requiere una pendiente de máximo valor igual a 0.001 rad, el eje tiene una pendiente de 0.002054 rad en el cojinete izquierdo este valor excede los límites y 0,0007612rad en el cojinete derecho este valor esta dentro del límite.

En el acoplamiento del engrane la inclinación máxima permisible es 0.0005 rad, el eje tiene una inclinación de -0,00065894rad, por lo que no cumple los requerimientos según deflexión y se tendrían que adoptar nuevas medidas

Se recomienda aumentar los diámetros, una de las posibles dimensiones puede ser:


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Se muestran los diagramas:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-1.8E-03

-1.3E-03

-8.0E-04

-3.0E-04

2.0E-04

7.0E-04

1.2E-03

1.7E-03

Pendiente vs. X

x


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-1.5E-04

-1.0E-04

-5.0E-05

0.0E+00

5.0E-05

1.0E-04

Deflexión vs. X

x

y

8


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-5.0E-041.5E-033.5E-035.5E-037.5E-039.5E-031.2E-021.4E-021.6E-02

M/EI vs X

x

M/E

I

Cálculo del ángulo de torsión

θi=TLi

GJ i

tramo T (Nm) d (m) G (Pa) L (m) J (m^4) θ (rad)6 – 7 107 0.045 79300000000 0.07 4.02578E-07 0.000234627 - 8 107 0.04 79300000000 0.065 2.51327E-07 0.000348978 – 9 107 0.035 79300000000 0.025 1.47324E-07 0.000228979 – 11 107 0.03 79300000000 0.03 7.95216E-08 0.0005090311 - 12 107 0.2 79300000000 0.015 0.00015708 1.2885E-07

∑ θ i= 0.0001235


9


CALCULO DE LA VELOCIDAD CRÍTICALa velocidad crítica para un eje es aquella velocidad a la que el sistema se hace inestable y tiende a fallar, pues las deflexiones cade vez son mayores sin poder alcanzar un límite superior.

DEBIDO A LA PROPIA MASA:Calcularemos por el método de RAYLEIGH que estableció:

ϖ1=√ g∑W i y i

∑W i yi2

Y utilizaremos los coeficientes de influencia para calcular las deformaciones transversales en un eje.

δij =

b j x i

6 EIl(l2−b j

2−x i2) x i≤a

a j (l−xi)6 EIl (2 xi−a j

2−x i2) xi>a

Con procedimiento similar al anterior calculamos los momentos:Posteriormente se hace el cuadro de la integración numérica


10


(m) x (m) NM

(N.m) I (m4) M/EI (m-1) (m) y (m) (rad) 0 0 A 0 1 0 0 0 0 7.12058E-08 -4.74705E-06 2 0 0.0075 3 0 0 0 4 0 B 0.0150 5 0 0 0 0 0 -4.74705E-06 6 1.33650E-05 0.0225 7 0.11 1.33650E-05 50.119E-9 8 2.67299E-05

0.030 C 0.0300 9 0.22 3.97608E-08 1.44281E-05 200.4743E-9 1.002E-9 -7.02034E-08 -4.54658E-06 10 2.09864E-05 0.03625 11 0.32 2.09864E-05 311.1447E-9 12 2.68888E-05 D 0.0425 13 0.41 2.68888E-05 460.7546E-9 4.973E-9 -1.25571E-07 -4.28630E-06 14 3.21354E-05 0.04875 15 0.49 3.21354E-05 645.2052E-9 16 3.73820E-05

0.035 E 0.055 17 0.57 7.36618E-08 2.19126E-05 862.4471E-9 13.106E-9 -1.76776E-07 -3.88460E-06 18 2.96013E-05 0.07 19 0.77 2.96013E-05 1.2488E-6 20 3.69055E-05 F 0.085 21 0.96 3.69055E-05 1.7476E-6 51.132E-9 -2.81161E-07 -2.99945E-06 22 4.11342E-05 0.1 23 1.07 4.11342E-05 2.3329E-6 24 4.53630E-05

0.040 G 0.115 25 1.18 1.25664E-07 1.26909E-05 2.9816E-6 121.437E-9 -3.53269E-07 -1.76542E-06 26 1.29060E-05 0.1175 27 1.2 1.29060E-05 3.0136E-6 28 1.31211E-05 H 0.12 29 1.22 1.31211E-05 3.046E-6 136.505E-9 -3.61935E-07 -1.70089E-06 30 1.32286E-05 0.1225 31 1.23 1.32286E-05 3.079E-6 32 1.34437E-05

0.055 I 0.125 33 1.25 4.4918E-07 2.99999E-05 3.1124E-6 151.901E-9 -3.70275E-07 -1.63462E-06 34 3.31199E-05


11


0.15 35 1.38 3.31199E-05 3.9014E-6 36 3.64799E-05 J 0.175 37 1.52 3.64799E-05 4.7714E-6 347.648E-9 -4.11881E-07 2.43791E-08 38 3.23999E-05 0.2 39 1.35 3.23999E-05 5.6324E-6 40 2.85599E-05

0.045 K 0.225 41 1.19 2.01289E-07 4.57474E-05 6.3944E-6 628.444E-9 -3.68437E-07 1.64737E-06 42 4.15187E-05 0.24125 43 1.08 4.15187E-05 7.1035E-6 44 3.72899E-05 L 0.2575 45 0.97 3.72899E-05 7.7438E-6 858.934E-9 -2.92226E-07 2.99673E-06 46 2.92168E-05 0.27375 47 0.76 2.92168E-05 8.2842E-6 48 2.11438E-05

0.040 M 0.29 49 0.55 1.25664E-07 3.60703E-05 8.6933E-6 1.127E-6 -1.77981E-07 3.94628E-06 50 3.08237E-05 0.29625 51 0.47 3.08237E-05 8.9024E-6 52 2.55772E-05 N 0.3025 53 0.39 2.55772E-05 9.0786E-6 1.239E-6 -1.26107E-07 4.33157E-06 54 1.90189E-05 0.30875 55 0.29 1.90189E-05 9.2180E-6 56 1.31165E-05

0.035 Ñ 0.315 57 0.2 7.36618E-08 2.42999E-05 9.3184E-6 1.354E-6 -7.03018E-08 4.57136E-06 58 1.09350E-05 0.3225 59 0.09 1.09350E-05 9.4505E-6 60 -2.42999E-06 O 0.33 61 -0.02 -2.42999E-06 9.4824E-6 1.495E-6 0 4.73539E-06 62 -2.42999E-06 0.3375 63 -0.02 -2.42999E-06 9.4642E-6 64 -1.21500E-06

0.030 P 0.345 65 -0.01 3.97608E-08 -6.15092E-06 9.4505E-6 1.637E-6 7.07688E-08 4.70349E-06 66 -6.15092E-06 0.3525 67 -0.01 -6.15092E-06 9.4044E-6 68 0 Q 0.36 69 0 0 9.3813E-6 1.778E-6 1.40687E-07 4.63429E-06 70 0 0.3675 71 0 0 9.3813E-6


12


72 0 0.020 R 0.375 73 0 7.85398E-09 0 9.3813E-6 1.919E-6 2.10201E-07 4.63429E-06

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-5.0E-07

-4.0E-07

-3.0E-07

-2.0E-07

-1.0E-07

0.0E+00

1.0E-07

2.0E-07

3.0E-07

Deflexión vs. X

x

y

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-5.0E-06

0.0E+00

5.0E-06

Pendiente vs. X

x


13


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-1.0E-05

0.0E+00

1.0E-05

2.0E-05

3.0E-05

4.0E-05

5.0E-05

M/EI vs x

x

M/E

I

CUADRO RESUMEN

W (N) y (m) Wy (N.m) Wy2 (N.m2)1.622239906 0 0 01.840040635 -1.25571E-07 -2.31056E-07 2.9014E-145.767964112 -2.81161E-07 -1.62173E-06 4.5597E-131.817509525 -3.61935E-07 -6.57821E-07 2.3809E-13

12.166799299 -4.11881E-07 -5.01127E-06 2.064E-126.248627788 -2.92226E-07 -1.82601E-06 5.3361E-131.840040635 -1.26107E-07 -2.32043E-07 2.9262E-141.622239906 0 -1.71761E-22 1.8186E-440.720995514 1.40687E-07 1.01435E-07 1.4271E-14

-9.47849E-06 3.3643E-12

Calculamos finalmente la velocidad critica para un valor de g0=9 . 81 m / s2

nc=30π √ g0

∑ W y

∑W y2=30

π √( 9. 81 )( 9. 478 x 10−7 )(3 .36 x10−12 )

=50203 .1691∴ nc=50203 rpm


Diseño-Cálculo eje-prob shigley

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