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5/13/2018 disenio experimentos - slidepdf.com

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DISEÑO DE EXPERIMENTOS.

1. Introducción.(2 hrs).

2. Diseño completamente al azar. (6)

3. Diseño en bloques completos al azar.(4)4. Diseño en cuadro latino.(4)

5. Arreglo de tratamientos en dos factores.(10)

6. Arreglos de tratamientos multifactorial.(4)

7. Arreglos factoriales dos a la k.(6)

8. Confusión en los arreglos factoriales dos a la k.(6)

9. Bloques incompletos.(4)

10. Factoriales fraccionados.(4)11. Arreglos Ortogonales de Taguchi.(6)

12. Metodología de superficie de respuesta.(8).

INTRODUCCION

1. Relación entre investigación y estadística.

2. Objetivo general de la experimentación.

3. Objetivo de un diseño experimental.

4. Ingredientes de un diseño experimental.

5. Variables y sus relaciones en un diseño experimental.

6. Modelos estadísticos para establecer las relaciones entre

variables en un diseño experimental.

Relación entre investigación y estadística:

La investigación es una actividad inherente a todo ser humano. En

mayor o menor grado desde pequeños se nota la inquietud por investigar

ciertos aspectos de interés. Por ejemplo, una de las formas de

aprendizaje más rudimentarias es la prueba y error, en donde la prueba

realmente consiste en un experimento para investigar un cierto

resultado. Las herramientas de investigación en algunos casos se van



mejorando e incrementando, en otros no evolucionan y permanecen con

las mismas técnicas rudimentarias de investigación.

A nivel de actividad profesional, en todos los campos, debe ser una

actividad de primordial importancia. Por ejemplo, para los médicos, cada

paciente es un sujeto de investigación, cuyo objetivo es llegar a resolver

un problema. Por otro lado, a nivel del campo de la medicina se lleva a

cabo una labor muy intensa de investigación para el desarrollo de

nuevos fármacos, nuevas técnicas quirúrgicas, nuevos equipos en el

diagnostico y tratamiento de enfermedades, etc. El desarrollo en todos

los campos de actividad profesional se atribuyen en gran medida a la

aplicación de los resultados obtenidos a través de la investigación.

La gran mayoría de las investigaciones se llevan a cabo a través de la

aplicación del método científico que incluye los siguientes pasos:

1. Establecer el problema.

2. Formular la hipótesis.

3. Diseñar el experimento o muestreo.

4. Tomar las observaciones.

5. Interpretar los datos.

6. Concluir.

Este proceso lleva implícitos algunos pasos que son de naturaleza

estadística.

Empezando por la formulación de la hipótesis, punto de primordial

importancia para el desarrollo de la investigación. Una hipótesis

estadística debe incluir el juego de hipótesis que incluye:

La hipótesis nula (Ho).

La hipótesis alternativa (Ha).

La hipótesis alternativa es la correspondiente a la hipótesis de trabajo

del investigador, aplicada a una variable de interés, y por ello es la que

direcciona el proceso de investigación en lo referente a las evidencias

que el investigador debe colectar y mostrar debidamente procesadas

para apoyar su hipótesis.



La hipótesis alternativa es un enunciado en forma de una desigualdad

que indica el conjunto de valores que el parámetro, correspondiente a la

variable de interés, debe tomar para ser consistente con la hipótesis de

trabajo. En base a la desigualdad, las hipótesis alternativas se

clasifican como:

1. Ensayos bilaterales o de dos colas, cuando el signo de la

desigualdad es diferente de (≠) lo cual implica que la hipótesis

alternativa va a ser apoyada en cualquiera de los dos extremos de

los valores del parámetro. Este tipo de alternativa se establece

siempre que no se tiene una clara idea de la dirección de cambio

en el valor del parámetro.

2. Ensayos unilaterales o de una cola, que corresponden a una

hipótesis de trabajo unidireccional, de tal manera que pueden ser

de cola izquierda (<) o de cola derecha (>). La hipótesis de cola

izquierda implica que el extremo izquierdo de los valores del

parámetro apoyan a la hipótesis de trabajo; esto es, entre mas

pequeño el valor del parámetro mas consistentes son los

resultados con la hipótesis de trabajo. De manera equivalente, en

un ensayo de cola derecha, implicaría que entre mas alto el valor

del parámetro mas se favorece a la hipótesis de trabajo.

Hay que hacer notar que la hipótesis alternativa siempre es establecida

como una desigualdad, en la que como tal, nunca debe aparecer el

signo de la igualdad, y debe ser establecida en términos de la hipótesis

de trabajo.

La hipótesis nula es lo contrario a la hipótesis alternativa, por lo

que siempre incluye el signo de la igualdad. De esta manera

corresponde a la negación de lo que el investigador desea probar en su

investigación, por lo que esta se considera como verdadera, hasta que

se muestran suficientes evidencias que apoyan a la hipótesis de trabajo.

La hipótesis nula es una hipótesis de consecuencias estadísticas

definidas, es decir, es posible llegar a determinar que se espera del valor

del parámetro si la hipótesis nula es verdadera.

El mecanismo de una prueba de hipótesis puede ser descritocomo una comparación entre las evidencias colectadas y lo que se



espera bajo la hipótesis nula. Este mecanismo siempre conduce a una

toma de decisión basada en probabilidades de riesgos de equivocarse.

Para establecer los diferentes escenarios a que puede conducir una

toma de decisión considere el siguiente cuadro, en donde las entradas

son el estado de naturaleza, es decir lo que realmente es en relación a la

hipótesis nula, y por otro lado, la toma de decisión a que conduce la

evidencia colectada:

DECISION Ho Verdadera Ho Falsa=Ha VerdaderaRechazar Ho Error tipo I Poder de la pruebaNo Rechazar Ho. Confiabilidad Error tipo II

Las posibles decisiones a que puede conducir el mecanismo de una

prueba de hipótesis son:

1. Rechazar Ho, cuando se tienen suficientes evidencias que apoyan

a la hipótesis alternativa. Este tipo de decisión se considera el

mas fuerte, ya que lleva a la implícito el hecho de que el

investigador ha logrado confirmar su sospecha original mediante

su trabajo de investigación. El error tipo I esta relacionado con

esta decisión al definirlo como: Rechazar Ho cuando Ho es

verdadera. A la probabilidad de este error se le denota por la letra

α (alfa) y para propósitos de toma de decisión, el alfa de la prueba

se establece a niveles muy bajos, tales como 0.10, 0.05 o 0.01. A

este nivel de error tipo I fijado en la prueba se le llama nivel de

significancia de la prueba.

2. No Rechazar Ho, cuando el investigador no ha logrado reunir los

suficientes elementos que confirmen su hipótesis de trabajo. Es

una decisión en la que la sospecha queda como tal, y si es

razonable, queda abierta la posibilidad de seguirla investigando,

con técnicas mejoradas o de manera mas minuciosa que lleve a la

colección de evidencias requeridas. El error tipo II esta

relacionado con esta decisión al definirlo como: No Rechazar Ho

cuando Ho es falsa. La probabilidad asociada a este error se le

denota por β (beta).



El mecanismo para llevar a cabo una prueba de hipótesis consiste de los

siguientes pasos:

1. Establecer el juego de hipótesis.

2. Establecer la estadística de prueba.

3. Determinar la distribución de la estadística de prueba bajo la

hipótesis nula.

4. Determinar el nivel de significancia y zona de rechazo.

5. Calculo de la estadística de prueba en base a la evidencia

colectada.

6. Toma de decisión-

7. Conclusión-

Diseñar el experimento o muestreo:

En estadística se tienen dos metodologías para la colección de

evidencias para probar una hipótesis, que son:

1. Diseño experimental.

2. Diseño de muestreo.

La colección de datos bajo un diseño experimental implica un proceso de

control por parte del investigador con la finalidad de asociar datos a

condiciones experimentales. El objetivo es determinar la relación causa

– efecto.

La colección de datos por muestreo es un examen de un sistema en

operación en el que el investigador no tiene oportunidad de asignar

diferentes condiciones a los objetos de estudio. El objetivo básico es la

caracterización del sistema en base a las variables evaluadas.

Entonces, el diseño experimental es una herramienta de metodología

estadística para colectar los datos bajo condiciones controladas y a la

vez construir, en base a la metodología de colección, los modelos

necesarios para analizar e interpretar los resultados.

La interpretación de resultados se lleva a cabo una vez que los

datos colectados son procesados y sometidos al mecanismo de una

prueba de hipótesis. La interpretación comprende básicamente la toma



de decisión y la conclusión, incluidas en el mecanismo de la prueba de

hipótesis.

De esta manera, en gran medida, el método científico esta

apoyado fuertemente por la metodología estadística, desde el

planteamiento de las hipótesis, colección de los datos, procesamiento,

interpretación y conclusión.

Objetivo general de la experimentación:

En términos muy sencillos un experimento es una prueba o ensayo que

conduce a un resultado cuantificable.

En términos prácticos es una manipulación deliberada de un proceso

con el propósito de medir el impacto del cambio en una o mas variables

de entrada sobre una o mas variables de salida.

Formalmente, el experimento es definido como una operación llevada a

cabo bajo condiciones controladas para descubrir un efecto

desconocido, probar una hipótesis o ilustrar una ley conocida.

En general, los experimentos son llevados a cabo para explorar, estimar

o confirmar.

Objetivo de un diseño experimental:

El diseño de experimentos o diseño estadístico de experimentos es una

disciplina basada en principios estadísticos, y construida a través de

años de experiencia en la ciencia y la ingeniería. Implica el proceso de

diseño y planeacion del experimento, de tal forma que datos apropiados

puedan ser colectados y posteriormente ser analizados por métodos

estadísticos para llegar a conclusiones validas y objetivas.

Los principales beneficios de la experimentación diseñada es que la

información critica es obtenida mas rápido, económica y confiable de lo

que seria si se aplicara un enfoque no planeado.

El DOE o SDE permite al investigador entender un proceso y determinar

como las variables de entrada (factores) afectan a las variables de salida



(respuesta). Es un enfoque sistemático para la optimización de

procesos. En general el DOE puede ser usado para:

1. Estudiar el efecto de varios factores sobre el comportamiento del

producto o proceso.

2. Entender la relación entre las variables de entrada y las variables

de salida.

3. Identificar las condiciones optimas de un proceso que maximizan

o minimizan la respuesta.

4. Reducir la variabilidad en las características de un producto.

5. Mejorar la confiabilidad del producto.

6. Reducir costos de manufactura.

7. Acortar el tiempo de desarrollo de productos o procesos.

Variables y sus relaciones en un diseño experimental:

En todo experimento debemos definir la unidad experimental, como el

material mínimo requerido para aplicar los tratamientos (las causas) y

evaluar las respuestas (los efectos).

También debemos definir los tratamientos como cada una de las

diferentes condiciones experimentales que van a ser evaluadas en el

experimento.

Las variables en un diseño experimental se clasifican fundamentalmente

en dos grandes grupos de acuerdo su rol en la unidad experimental:

1. Variables de entrada.

2. Variables de salida.

Las variables de entrada son todas aquellas variables a las que esta

expuesta la unidad experimental. Comprende los siguientes grupos de

variables:

1. Factores experimentales.

2. Factores de bloqueo.

3. Factores de ruido.

4. Variables deliberadamente controladas.

5. Variables no controladas.

Factores experimentales:



Los factores experimentales son aquellas variables del proceso que

deliberadamente son manipuladas en un experimento para investigar su

impacto sobre las variables de respuesta. Cada uno de los valores de

estas variables incluidos en un experimento se denomina los niveles del

factor. Si el experimento incluye solo un factor (experimento unifactorial),

entonces cada uno de los niveles se constituye en un tratamiento. Si el

experimento incluye varios factores (experimento multifactorial),

entonces la combinación de los niveles de todos y cada uno de los

factores incluidos será lo que se constituya como un tratamiento.

Los factores experimentales se clasifican de acuerdo a varios criterios:

De acuerdo a la naturaleza de los niveles los factores se clasifican en:

1. Cualitativos o categóricos.

2. Cuantitativos o continuos.

Los cualitativos o categóricos son aquellos factores donde la escala de

los niveles es puramente nominal. Para este tipo de factores el interés se

centra en la comparación de los promedios, para seleccionar el mas

adecuado. Al graficar estos promedios no existe un orden único de los

niveles y por lo tanto nunca deben usarse líneas continuas o de puntos

en su representación, siendo lo mas conveniente una grafica de barras.

Los factores cuantitativos son aquellos cuyos niveles se expresan en

una escala numérica, siendo el principal objetivo del análisis el describir

un modelo de respuesta de acuerdo a los niveles de este factor. Su

representación grafica mas adecuada es a través de puntos o líneas.

De acuerdo a la forma de selección de los niveles del factor, se clasifican

como:

1. Factores fijos.

2. Factores aleatorios.

Los factores fijos son aquellos en los que la selección de los niveles esta

basada en el interés del investigador, quien decide cuales son los que

deben incluirse en el experimento. Para este tipo de factores las

conclusiones están restringidas al rango de niveles seleccionados, para

factores continuos, o estrictamente para los niveles seleccionados en

caso de los factores cualitativos.



Los factores aleatorios son aquellos en donde los niveles del factor se

seleccionan de una población de niveles de una manera aleatoria. Para

este tipo de factores el interés esta centrado en investigar la variabilidad

que genera el cambio en los niveles de este factor.

Para los experimentos multifactoriales, los factores se clasifican de

acuerdo a la relación que guardan los niveles de los factores en:

1. Factores cruzados, en los que los niveles de dos factores son

independientes, es decir, los niveles de un factor se pueden

combinar sin ninguna restricción con los niveles del segundo

factor, generando así una estructura factorial de tratamientos.

2. Factores anidados, en los que los niveles de un factor de jerarquía

inferior depende de los niveles de un factor de jerarquía superior,

generando así una estructura jerárquica.

Factores de bloqueo: Cuando fuentes de variación extrañas e

indeseables pueden ser identificadas, podemos diseñar el experimento

de tal forma que eliminemos su influencia. La idea es arreglar las

unidades experimentales en grupos o bloques de unidades uniformes en

los valores de la variable de bloqueo, asignando luego, al azar, los

tratamientos dentro de cada bloque. La variabilidad entre bloques es

considerada en el análisis, lo que conduce a una mejora en la precisión

del experimento. Cuatro criterios son frecuentemente usados para

bloquear unidades experimentales: Proximidad de unidades

experimentales; características físicas de las unidades experimentales

que tengan un impacto fuerte en las variables de respuesta; tiempo;

administración de tareas en el experimento.

Factores de Ruido: Son las variables que solo pueden controlarse

durante la fase experimental, ya que resulta difícil o costoso tratar de

controlarlas durante la etapa de producción normal.

Variables deliberadamente controladas: Conjunto de variables en un

experimento que se caracterizan por tomar un valor constante durante la etapaexperimental, debido al control que ejerce el investigador sobre estas.



Variables no controladas: Conjunto muy grande de variables que se les

permite variar sin control durante un experimento. Algunas pueden ser

monitoreadas y llegar a convertirse en covariables. Otras puede ser que no

sean medibles o accidentalmente ignoradas y este grupo es el que origina el

error experimental. En cualquier caso, el impacto que tienen sobre las variables

de respuesta debe ser mínimo. Si sucede que una variable de este grupo

cambia a la par con los niveles de un factor experimental, esto ocasiona una

confusión, ya que el análisis no puede separar el efecto en el cambio

simultaneo de ambas variables. Si el investigador no esta consciente de este

cambio simultaneo de variables, entonces la variable no controlada va a

enmascarar el efecto del factor experimental.

Las covariables deben reunir dos características: Guardar una relación lineal

con las variables de respuesta y que no deben ser impactadas por los

tratamientos. Estas variables, que pueden ser del ambiente físico o de las

mismas unidades experimentales, son analizadas conjuntamente con la

respuesta para mejorar la precisión del experimento.

Las variables de salida es el conjunto de variables que se van a evaluar

en la unidad experimental, una vez que el tratamiento haya impactado, para

determinar los efectos de tratamiento. Las respuestas se seleccionan en base a

dos criterios: Las respuestas que son sensibles a los factores experimentales

que se están investigando y las respuestas que son de importancia económica.

Componentes de un diseño experimental:

Dos características de todo diseño experimental son:

1. Repetición.

2. Aleatorizacion.

La repetición se refiere a que cada condición experimental debe ser aplicada

de manera independiente, al menos a dos unidades experimentales. A través

de las repeticiones en un tratamiento se evalúa la consistencia del tratamiento

en lo que se refiere a su efecto. Si los resultados en una variable de interés

son muy similares entre si, entonces el efecto del tratamiento es muyconsistente. Una medida de esta consistencia es el grado de dispersión que



tienen las repeticiones de un tratamiento con respecto a su media de

tratamiento, medida de variabilidad dentro de tratamiento que es conocida

como el error experimental. Además, el número de repeticiones repercute en la

estimación de la varianza de la media de tratamiento.

La aleatorización se refiere al proceso de asignación de tratamientos a las

unidades experimentales. El objetivo de este mecanismo de asignación es

distribuir en forma aleatoria las diferencias entre unidades experimentales, de

tal manera que ninguno de los tratamientos se favorezca o se perjudique con

alguna asignación tendenciosa generada a base del juicio del investigador.

A través de un diseño experimental se pretende entonces probar una hipótesis

acerca del efecto de los tratamientos bajo condiciones controladas. Para tal fin

todo diseño experimental consta de dos componentes:

1. Arreglo geométrico de las unidades experimentales. Este componente se

enfoca a mejorar la precisión de las estimaciones reduciendo variabilidad

de unidades experimentales dentro de tratamientos. El mecanismo para

definir arreglos geométricos es el manejo de las variables de bloqueo y

el sistema de aleatorizacion. Los principales arreglos geométricos son:

El diseño completamente al azar, el diseño en bloques al azar y el

diseño en cuadro latino.

2. Arreglo de tratamientos. Este componente se enfoca a generar la

estructura de los tratamientos adecuada a la hipótesis que se desea

probar. Las estructuras básicas son: Estructuras unifactoriales y

estructuras multifactoriales. En las multifactoriales podemos distinguir las

estructuras factoriales, estructuras jerárquicas y en parcelas divididas.

Modelos para establecer las relaciones entre variables en un diseño

experimental:

En diseño de experimentos todo el análisis de resultados se lleva a cabo

mediante el ajuste de modelos. Estos modelos, en general se establecen como:

RESPUESTA = INDEPENDIENTES + ERROR

En Las variables independientes deben distinguirse aquellas que son fijas de

las que son aleatorias. Las fijas se agrupan dentro de la parte sistemática del

modelo y las aleatorias en lo que se considera la parte aleatoria del modelo,



dentro de la cual se puede ubicar el error, por lo que la estructura del modelo

quedaría como:

RESPUESTA = SISTEMÁTICA + ALEATORIA

En la parte sistemática se incluiría entonces los factores experimentales y los

factores de bloqueo, en tanto que en la parte aleatoria se incluirían los efectos

aleatorios y el error experimental.

EL DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR

Es el arreglo geométrico más simple, en el que se supone que tanto las

unidades experimentales como el ambiente físico en el que se lleva a cabo el

experimento son totalmente homogéneos, uniformes, sin cambio, lo cual

representaría un ambiente controlado y un material experimental estable. Bajo

estas condiciones ideales solo quedaría por definir los factores experimentales

y sus niveles para determinar los tratamientos o condiciones experimentales

que van a ser investigadas. Por esta razón, el único efecto incluido en el

modelo bajo este diseño, es precisamente el efecto de los tratamientos, que

sería la única fuente de variación identificable en este experimento.

Como puede ser sospechado, difícilmente se van a cubrir los requisitos para

poder aplicar este diseño, por lo que en la práctica solo se recomienda para

condiciones muy controladas, como es el caso de experimentos de laboratorio.

Aleatorizacion: Ya que las unidades experimentales y las condiciones físicas

en las que se va a llevar a cabo el experimento son muy homogéneas,

entonces el mecanismo de asignación de tratamientos a las unidades

experimentales es completamente al azar, lo cual se puede lograr mediante la

aplicación de cualquier método de sorteo aleatorio. Puede ser mediante el uso

de números aleatorios, mediante selección aleatoria de números asociados a

unidades experimentales y aplicación secuencial de tratamientos. Si en

realidad las unidades experimentales son muy homogéneas, entonces

cualquier número de subgrupos generados al azar van a ser también muy

similares, lo cual asegura una comparación muy justa de los tratamientos. Este

diseño, es una generalización, para comparar más de dos tratamientos, de la



comparación de dos medias mediante la prueba de t para muestras

independientes.

Datos en el diseño completamente al azar: Los datos en un diseño

completamente al azar solo tienen un criterio de clasificación, correspondiente

a los tratamientos. Para identificar a cada una de las observaciones, se

requieren entonces de dos subíndices ligados a la letra que representa la

variable de respuesta; de acuerdo al modelo estadístico

Yij = μ + τi + εij

El subíndice i esta asociado al tratamiento y el subíndice j esta asociada a la

repetición dentro de cada tratamiento.

Yij corresponde al valor de la variable de respuesta en la repetición j del

tratamiento i.

μ es la media general del experimento.

τi es el efecto del tratamiento i.

εij es el error experimental en la repetición j del tratamiento i.

i=1,2,…,t; j=1,2,…,r

Lo cual indica que en el experimento hay t tratamientos, y en cada tratamiento r

es el numero de repeticiones, cuando el numero de repeticiones es el mismo

en cada tratamiento; entonces el experimento esta balanceado. Cuando el

numero de repeticiones varia de tratamiento a tratamiento, el diseño

experimental será desbalanceado y el subíndice j llegara a un numero diferente

para cada tratamiento, lo cual puede ser indicado con j=1,2,…,r i .

Hipótesis que se desea probar: La hipótesis que se desea probar es la

referente al efecto de los tratamientos. La hipótesis estadística es:

Ho: Todos los efectos de tratamientos son iguales a cero.

Ho: τ1=τ2=…=τt=0

Ha: Al menos uno de los efectos de tratamiento es diferente de cero.

Para expresarla en términos de los parámetros del modelo tendría que ser una

hipótesis múltiple, que por el momento no es de interés llegar a detallar.

Lo importante en este punto es recordar que la hipótesis nula es de

consecuencias estadísticas definidas. En este caso la consecuencia de la

hipótesis nula, es que el modelo estadístico se reduce a:



Yij = μ + εij

Al que se le llama el modelo reducido. Para probar esta hipótesis el

razonamiento que se sigue es evaluar la magnitud de los errores en ambos

modelos y determinar que tanto impacto tienen los efectos de tratamiento. Si lareducción en los errores es importante, entonces el efecto de los tratamientos

se declara significativo. Por el contrario, si la magnitud de los errores

prácticamente es la misma en ambos modelos, esto significa que los efectos de

tratamiento no contribuyen a explicar la respuesta, y por lo tanto son

declarados no significativos.

Análisis de los datos: El análisis de los datos de un diseño experimental

siempre se lleva a cabo mediante la técnica del análisis de varianza. Para

aplicar esta técnica se requiere del ajuste de los dos modelos al mismo

conjunto de observaciones, el completo y el reducido bajo la hipótesis nula,

para después comparar la magnitud de los errores obtenida en ambos

modelos.

El ajuste de un modelo consiste en estimar sus parámetros, es decir todos

aquellos componentes del modelo que no incluyan la secuencia completa de

subíndices usada en la variable de respuesta. En otras palabras, el único

componente que no se estima en el ajuste del modelo es el que corresponde al

error experimental.

En el ajuste del modelo se deben tener en cuenta las siguientes características

tanto del conjunto de observaciones como del modelo que se desea ajustar:

1. Numero total de observaciones: Corresponde al numero total de

valores en el diseño experimental. Vamos a denotar este numero con

la letra n.

2. Numero de parámetros independientes en el modelo que se ajusta:

Parámetros independientes son aquellos que no están sujetos a las

restricciones impuestas por la definición de los parámetros. Por

ejemplo el modelo reducido solo tiene un parámetro, que es

independiente; en el modelo completo del diseño completamente al

azar se impone la restricción de Σi=1τi = 0, por lo que el numero de

parámetros independientes seria t-1. A estos faltaría sumar el

parámetro μ, por lo que entonces serian t parámetros independientes.



3. Grados de libertad para el modelo ajustado: Se refiere al numero de

componentes independientes en el conjunto de datos después de

haber ajustado un modelo. Los grados de libertad se van reduciendo

a medida que se introducen mas componentes en un modelo. Estos

grados de libertad son los que permiten estimar la varianza del error,

por lo que se recomienda en general que no deben ser inferiores de

10 a 12 en el modelo completo. Se estiman como:

G.L. = n – parámetros independientes en el modelo.

Para el modelo completo de un diseño completamente al azar se tiene:

G.L. = n – t

Para el modelo reducido se tienen:

G.L.= n – 1

Al revisar la estructura del modelo reducido y el modelo completo se puede

deducir que los resultados de las diferencias entre el modelo reducido

menos el modelo completo se pueden atribuir al termino que corresponde al

efecto de los tratamientos. Entonces:

G.L.Trat = t – 1

Estos grados de libertad son de particular importancia, ya que indican el

numero de parámetros independientes en un modelo ajustado al conjunto

de datos, tomando como variables independientes los tratamientos. Si el

factor es cuantitativo, entonces los grados de libertad indican el grado

máximo de polinomio en el modelo de regresión; si se trata de un factor

cualitativo, entonces los grados de libertad en los tratamientos indica el

numero máximo de comparaciones independientes entre los niveles del

factor.

Con esta información podemos empezar a generar la tabla de análisis de

varianza, que resume el ajuste de modelos y sus comparaciones. Para el

diseño completamente al azar, las fuentes de variación básicas que se

incluyen son:

Tratamientos

Error

Total.



El total corresponde al ajuste del modelo reducido. De esta manera cuando

requiramos los grados de libertad del total, serán los grados de libertad al

ajustar el modelo reducido, esto es n-1.

El error corresponde al ajuste del modelo completo. Cuando hablemos de

los grados de libertado en un diseño completamente al zar, entonces se

calcularan como n – t.

Hasta aquí el análisis de varianza solo requiere de la información de

cuantas observaciones comprende el conjunto de datos y cuantos

tratamientos van a ser incluidos. Para el resto del análisis se requiere ya del

procesamiento de los datos y ajuste de los modelos.

Ajuste de modelos por mínimos cuadrados ordinarios: Los modelos de

anova se ajustan por mínimos cuadrados ordinarios, llamados así porque el

ajuste se lleva a cabo bajo las suposiciones convencionales de análisis,

esto es, suponiendo normalidad, independencia y homogeneidad de

varianzas en el componente de error. Una supocisión adicional es la

aditividad de los componentes del modelo. Los pasos para llevar a cabo el

ajuste son los siguientes:

1. Definir el modelo que se va a ajustar.

2. Definir las restricciones que se imponen en los parámetros del modelo.

3. Obtener la expresión para el error experimental despejando este termino

del modelo que se vaya a ajustar.

4. Obtener la expresión para la suma de cuadrados de los errores.

5. Derivar la expresión de la suma de cuadrados de los errores con

respecto a cada uno de los parámetros del modelo.

6. Igualar a cero las derivadas, para generar las ecuaciones normales de

mínimos cuadrados.

7. De las ecuaciones normales de mínimos cuadrados se despejan los

estimadores de los parámetros.

Vamos a considerar el modelo reducido del diseño completamente al azar

para ejemplificar los pasos del ajuste de un modelo:1. Modelo que se va a ajustar: Yij = μ + εij



2. Restricciones en los parámetros: No hay restricciones.

3. Error experimental: εij = Yij - μ

4. S.C.E. = ΣiΣ jεij2 = ΣiΣ j(Yij – μ)2

5. Derivada de la S.C.E. con respecto al parámetro μ: 2 ΣiΣ j(Yij – μ)(-1).6. Ecuación normal de mínimos cuadrados: -2 ΣiΣ j(Yij – μ) = 0

7. Estimador del parámetro: Media general de las observaciones.

Este proceso de estimación es para obtener las expresiones algebraicas de los

estimadores de mínimos cuadrados ordinarios y solo es necesario desarrollarlo

cuando estas se desconozcan, ya que si se tienen a la mano, pues solo

restaría aplicarlas al conjunto particular de observaciones. Por otro lado si se

tiene un paquete estadístico disponible, lo único que haría falta es cargar adecuadamente los datos y darle correctamente las instrucciones para que

genere los estimadores y todo el análisis completo. Por estas razones vamos a

enfocar la atención al manejo del paquete para captura y análisis de resultados

mas que a la teoría para generar estimaciones.

Sumas de cuadrados en la tabla de análisis de varianza: Una vez que los

estimadores de los parámetros del modelo han sido obtenidos, pueden

obtenerse los valores ajustados para cada una de las observaciones, a los que

se les denominan los valores predichos. Por diferencia de los observados

menos los predichos se obtienen los residuales o errores estimados para cada

una de las observaciones. Al elevar al cuadrado cada uno de los residuales se

obtienen solo cantidades positivas, que al sumarlas generan las sumas de

cuadrados de los errores para el modelo ajustado.

En cuanto a las sumas de cuadrados de los errores de un modelo ajustado se

deben hacer las siguientes observaciones:

a). Mientras mas reducido sea el modelo ajustado, esto es, mientras menor

sea el numero de parámetros que contiene, la suma de cuadrados de los

errores tendera a ser mayor.

b). Cada suma de cuadrados de los errores tiene asociados un cierto

numero de grados de libertad, que como ya se discutió, se calculan por la

diferencia del numero de observaciones menos el numero de parámetros

independientes que se van a estimar



c). La suma de cuadrados de los errores refleja, en general, que tan

separados están los valores observados de los valores ajustados por el

modelo.

d). Al comparar las sumas de cuadrados de los errores de un modelo

reducido contra un modelo completo, la diferencia puede ser atribuida a los

componentes que aparecen en el modelo completo pero que no aparecen en el

modelo reducido. Así entonces en el diseño completamente al azar, la

diferencia entre el modelo reducido Yij=μ + εij y el modelo completo Yij=μ+τi + εij

se puede atribuir al efecto de los tratamientos, y esta suma de cuadrados tiene

asociados t-1 grados de libertad.

Hasta aquí podemos construir la tabla de análisis de varianza para un diseño

completamente al azar, con las siguientes columnas:

Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadradosTratamientos t-1 Diferencia.Error n-t S.C.E. modelo completoTotal n-1 S.C.E. modelo reducido

Estadística de prueba en el análisis de varianza: A partir de estas columnas

en el análisis de varianza, que fueron generadas en base a la información

colectada de los datos y del ajuste de los modelos, se calcula otra columna

encabezada por el titulo de cuadrados medios, que contiene el estimador de

varianza para cada fuente de variación. Como cualquier varianza, estas

cantidades se calculan como el cociente de la suma de cuadrados entre sus

grados de libertad.

Finalmente, la estadística de prueba que se utiliza en el análisis de varianza es

una F, el cociente de dos varianzas, a partir de la cual se va a poder tomar unadecisión acerca de la hipótesis planteada en términos de los efectos de

tratamientos. La F calculada es el cociente del cuadrado medio de tratamientos

entre el cuadrado medio del error.

En los paquetes estadísticos una columna adicional es agregada a la tabla de

análisis de varianza para mostrar el valor de probabilidad, es decir, la

probabilidad de obtener un valor de F mayor o igual a la F calculada. Con este

único valor es posible llegar a una decisión acerca de la hipótesis, al



compararlo con el nivel de significancia de la prueba. Las decisiones basadas

en este criterio son:

Rechazar Ho si el valor de probabilidad es menor o igual al nivel de


No rechazar Ho si el valor de probabilidad es mayor que el nivel de


Ejemplo numérico 1: Observaciones de la producción de una reacción química

tomada a diferentes temperaturas fue registrada como sigue:

150 77.4150 76.7150 78.2200 84.1200 84.5200 83.7250 88.9250 89.2250 89.7300 94.8300 94.7300 95.9

La primer columna representa los niveles de temperatura que se incluyeron enel experimento y la segunda columna los valores correspondientes a la

producción de la reacción química. Como puede ser observado, se realizaron

tres repeticiones por cada uno de los cuatro niveles de temperatura.

Para empezar un análisis exploratorio del comportamiento de los datos,

siempre es recomendable graficar las observaciones contra los niveles del

factor bajo estudio. En este caso la grafica resulta ser



75

80

85

90

95

100

100 150 200 250 300 350

Serie1

Dos patrones son los que deben ser observados en una grafica exploratoria:

1. La tendencia o patrón general de las observaciones. Debe ser

identificado el comportamiento de los datos de acuerdo a los niveles

del factor bajo estudio. Aquí observamos que a medida que aumenta

la temperatura la producción de la reacción también aumenta de

manera muy consistente, esto es, que se tiene un comportamientolineal de la producción con respecto a los niveles de temperatura.

2. Observaciones que se salen del patrón general de tendencia: En

estas graficas exploratorias también pueden ser identificadas

aquellas observaciones que no siguen el patrón de comportamiento.

Estas observaciones deben ser cuidadosamente tratadas y

checadas, pues en la gran mayoría de las ocasiones son resultado

de un error, ya sea en el experimento, a la hora de registrar, oinclusive capturar la información. En este ejemplo, como puede ser

observado en la grafica, todas las observaciones siguen el mismo

comportamiento de tendencia lineal.

El análisis de los datos consiste de los siguientes puntos, que corresponden

a los de una prueba de hipótesis:



1. Establecer las hipótesis: Ho: Todos los efectos de tratamiento son

iguales a cero. Ha: al menos uno de los efectos de tratamiento es

diferente de cero.

2. Llevar a cabo la tabla de análisis de varianza.

Análisis de varianza de un factor ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de lasvariaciones

Suma decuadrados

Grados delibertad

Promedio de loscuadrados F Probabilidad

Valor crítico para F

Entre grupos 510.456667 3 170.152222 511.736007 1.7736E-09 4.06618056Dentro de losgrupos 2.66 8 0.3325

Total 513.116667 11

3. Cantidades básicas del anova:3.1 Coeficiente de determinación R-cuadrado:

3.2 Desviación estándar del error:

3.3 Probabilidad de un valor mayor de F:

El coeficiente de determinación R-cuadrado es el porcentaje de variación

explicado por el efecto de los tratamientos. Se calcula como una regla de

tres directa, en la que la suma de cuadrados del total es al 100 % como la

suma de cuadrados de tratamientos es al coeficiente de determinación.Para nuestro ejemplo:

513.116667 100%510.456667 Coeficiente de determinación

R-Cuadrado = 510.456667×100 = 99.4816

513.116667

Lo que significa que el 99.48 % de la variación en el conjunto de observaciones

esta siendo explicado por la variación en la temperatura y solo el 0.52 % sedebe a los factores de error.

La varianza del error lo constituye el cuadrado medio del error y la desviación

del error se calcula como la raíz cuadrada de la varianza, siendo en este caso

S = 0.5679

La probabilidad mayor de un valor de F es lo que se denomina el valor de P o

nivel de significancia observado, valor que nos permite tomar una decisión

sobre la hipótesis acerca del efecto de los tratamientos. En este caso el valor es



P = 1.7736E-09

Aun cuando parece mayor que uno, el componente E-09 indica que hay ocho

cero antes de la parte entera, lo que representa un valor muy inferior al 0.05

que consideramos como nivel de significancia de la prueba, por lo cual la

hipótesis nula es rechazada, y por lo tanto se concluye que los tratamientos si

tienen un efecto significativo sobre la respuesta.

Ya que se trata de un factor cuantitativo, la mejor manera de investigar el

efecto de los tratamientos es a través de una regresión polinomial, checando

hasta que nivel de tendencia llega a ser significativa.

Ejemplo numérico 2: Los datos siguientes se refieren a las perdidas de peso

de ciertas piezas mecánicas (en miligramos) debidas a la fricción cuando tres

diferentes lubricantes se utilizaron en condiciones controladas. El lubricante C

es el que se ha estado usando en el proceso, y ahora se desea evaluar dos

nuevas posibilidades, el lubricante A y el lubricante B.

Lubricante Desgaste A 12.2 A 11.8 A 13.1

A 11 A 3.9 A 4.1 A 10.3 A 8.4B 10.9B 5.7B 13.5B 9.4B 11.4B 15.7B 10.8

B 14C 12.7C 19.9C 13.6C 11.7C 18.3C 14.3C 22.8C 20.4

Análisis exploratorio:



Mediante una grafica de barras con su error estándar, podemos determinar el

comportamiento de desgaste y la variabilidad en el conjunto de observaciones.

Promedios de desgaste

02

4

6

8

10

12

14

16

18

20

A B C

Tipo de lubricante

D e s g a s t e ( m g s )

Como puede observarse en la grafica, los patrones de dispersión dentro de

cada lubricante son muy parecidos (por la similitud en las barras de error

estándar). Puede observarse también que el lubricante de mayor valor en la

respuesta es el C, seguido en orden decreciente por el lubricante B y el de masbaja respuesta en promedio el lubricante A.

Planteamiento de la hipótesis:

Ho: Las medias de desgaste por fricción bajo los tres lubricantes empleados

son iguales.

Ha: Al menos una media de desgaste asociada a un lubricante es diferente.

Modelo estadístico para este conjunto de datos:

Bajo la Ha el modelo es el correspondiente a un diseño completamente al azar:

Yij = μ + τi + εij

Yij corresponde al valor del desgaste en la repetición j del tratamiento i.

μ es la media general del desgaste.

τi es el efecto del lubricante i.

εij es el error experimental en la repetición j del lubricante i.

i=1,2,3 j=1,2,…,8



Análisis de varianza para probar la hipótesis:

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de lasvariaciones

Suma decuadrados

Grados delibertad



Entre grupos 230.585833 2 115.292917 8.74681521 0.00172472 3.46680011

Dentro de losgrupos 276.80375 21 13.181131

Total 507.389583 23

R-Cuadrado = 0.4544

Lo que significa que los lubricantes explican el 45 % de la variación en el

conjunto de datos. El 55 % se debe a factares no considerados en la

investigación.

Desviación estándar = 3.6306 que es el promedio del error en nuestro conjunto

de datos bajo el modelo completo.

Error estándar del la media = 1.2836

Lo que viene a confirmar el patrón de similitud en la variación de desgaste

dentro de cada lubricante, al obtener un error estándar muy similar a partir del

análisis de varianza, con los ya obtenidos para cada lubricante por separado.

Valor de P = 0.0017

Que por ser menor al nivel de significancia de la prueba (0.05) se toma la

decisión de rechazar Ho y concluir que las medias de desgaste en los tres

lubricantes no son iguales. Esto implica que el lubricante entonces si tiene un

impacto en el nivel de desgaste, por lo cual debemos investigar el patrón de

variación entre lubricantes y poder llegar a tomar una decisión acerca de cual

lubricante es el mas conveniente para conservar las piezas de la maquinaria.

MÉTODOS PARA IDENTIFICAR PATRONES DE VARIACIÓN PORTRATAMIENTOS

El método para factores cuantitativos es la regresión y para factores cualitativos

es la comparación de medias. Ambos procedimientos se pueden llevar a cabo

por sus métodos muy particulares o bien, bajo condiciones muy especificas,

ambos se pueden llevar a cabo por medio de los contrastes ortogonales.

Vamos a revisar primero los métodos específicos para cada tipo de factor yposteriormente se discutirá el enfoque general de contrastes ortogonales.



REGRESIÓN:

La regresión es una metodología de análisis estadístico muy general,

que aplica cuando se quiere investigar la relación que guardan una variable

dependiente con una o mas variables independientes. La regresión es muy

extensa, y aquí solo nos limitaremos, en este punto, a la regresión lineal de tipo

polinomial en una variable independiente.

Los modelos de regresión polinomial se caracterizan por la potencia en

la variable independiente. Como se muestra en la siguiente tabla los modelos

de mas importancia son:

Grado Modelo Descripción

Lineal Yij=βo + β1Xij + εij LíneaCuadrático Yij = βo + β1 Xij + β2 X2

ij + εij Parábola

La estructura general del modelo polinomial consiste en que la variable

de respuesta se describe a través de un intercepto (βo) valor en la variable de

respuesta cuando la variable independiente es igual a cero y una serie de

términos aditivos que consisten en el producto de la pendiente (βi) multiplicada

por la variable independiente elevada a la potencia i. La pendiente o tasa de

cambio es el cambio en la variable de respuesta por unidad de cambio en la

variable independiente. De esta manera, estos polinomios pueden ser

generalizados a cualquier grado. Es conveniente, aclarar desde aquí, que el

ajuste de estos modelos va a estar limitado por el número de niveles en la

variable independiente en el conjunto de datos. El gado de polinomio máximo

va a estar dado por el numero de grados de libertad en los tratamientos, que

corresponde exactamente a los parámetros, quitando el intercepto, que se

incluyen en el modelo- Así un modelo lineal puede ajustarse a un conjunto de

datos con dos niveles en la variable independiente, un cuadrático requiere

mínimo tres niveles en la variable independiente para poder ser ajustado, etc.

Esto implica, que un modelo mas allá de ese grado no podrá ser ajustado, con

lo que no es posible llegar a determinar si en realidad dicho modelo ajusta bien

al conjunto de datos. Por esta razón se recomienda que cuando sospechemos

de un modelo polinomial de grado p, el numero de niveles en la variable

independiente sea al menos p+2, para que de esta manera tengamos



posibilidad de llevar a cabo un prueba de falta de ajuste. Esta prueba consiste

en comparar que tan bien se ajusta el modelo propuesto contra un modelo de

grado más alto. Cada grado que aumenta la ecuación polinomial de regresión,

se le asocia un grado de libertad, de los correspondientes a los tratamientos.

De esta manera, los grados de libertad que quedan después de ajustar una

ecuación polinomial de un cierto grado, se asocian a lo que se conoce como

falta de ajuste, con la que se prueba si alguna de las tendencias incluidas en

esta podría llegar a ser significativa, con lo cual se anularía el modelo

propuesto. Esta es la forma de checar si el modelo requiere de mas

parámetros de los que se están considerando.

Ejemplo numérico 3. Continuando con el ejemplo numérico 1, podemos

investigar el efecto de los tratamientos al ajustar una regresión lineal al

conjunto de datos:

CoeficientesError

Estandar Estadístico

t Probabilidad Inferior 95%

Superior 95%

Intercepto 60.2633333 0.74439685 80.9559223 2.0211E-15 58.6047138 61.9219529Temperatur 0.11653333 0.00321082 36.2940036 5.9937E-12 0.10937919 0.12368748

En este ajuste podemos observar que ambos parámetros son estadísticamentediferentes de cero, ya que al probar:

Ho: β1 = 0 vs. Ha β1 ≠ 0 P = 5.99 E-12, que para todo propósito practico es

igual a cero, y por lo tanto se rechaza Ho, y se concluye que la pendiente es

diferente de cero. Su valor estimado es de 0.1165 con un error estándar de

0.0032, lo que indica que la producción aumenta 0.1165 unidades por cada

grado de incremento en la temperatura. Por cada 100 grados de aumento, la

producción aumenta 11.65 unidades. Con este valor ya tenemos evaluado el

cambio que sufre la variable dependiente por un cambio en la independiente.

Ya no es necesario establecer comparaciones de medias para saber si son

estadísticamente diferentes, pues esto de antemano y se sabe.

Ho: β0 = 0 vs. Ha β0 ≠ 0 P = 2.02 E-15, que también es menor del nivel de

significancia de la prueba, y por lo tanto se rechaza Ho, concluyendo que el

intercepto es diferente de cero, con un valor estimado de 60.26 con un error

estándar de 0.74444, lo que debería interpretarse como el valor de la

producción cuando la temperatura fuera igual a cero. Aprovechando el ejemplo,



debemos comentar que esta interpretación seria correcta siempre y cuando la

tendencia en la producción se mantuviera constante como la que se encontró

de 150 a 350 grados, lo cual es poco creíble, y en todo caso, no se tiene la

evidencia suficiente de que así sea. Entonces, queda en entredicho la

interpretación que se pueda dar a este valor.

Al aplicar la formula encontrada de la ecuación de regresión dada por

Producción = 60.26 + 0.1165*Temperatura

Se determinan los valores esperados bajo el modelo de regresión ajustado, y al

graficarlos sobrepuestos contra la temperatura, resulta la curva ajustada.

Curva ajustada

75

80

85

90

95

100

100 150 200 250 300 350

Temperatura

P r o d u c c i o n

Observados

Esperados

Junto con la ecuación de regresión ajustada, los paquetes también

proporcionan el análisis de varianza de la regresión, como a continuación se

muestra

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de

libertad Suma de

cuadradosPromedio de los

cuadrados F Valor crítico

de F

Regresión 1 509.250667 509.250667 1317.2547 5.9937E-12Residuos 10 3.866 0.3866Total 11 513.116667

Si se observa el valor de P coincide con el que ya se había calculado para el

parámetro de la pendiente, debido a que la hipótesis que se prueba con este

abalisis de varianza es exactamente la misma, acerca de la pendiente.

Entonces lo importante de este análisis de varianza es conectarlo con el



análisis de varianza para probar el efecto de los tratamientos. Para tal fin

debemos considerar los siguientes cálculos:

G.L.Trat – G.L.Reg.Lin = 3 – 1 = 2 que representan los grados de libertad

asociados a la tendencia cuadrática y cúbica que pueden ser ajustados a este

conjunto de datos por haber 4 niveles en la variable independiente.

S.C.Trat – S.C.Reg.Lin = 510.4566 – 509.2507 = 1.2059 que corresponde a la

suma de cuadrados debida a la tendencia cuadrática mas la suma de

cuadrados debida a la tendencia cúbica. Esta suma de cuadrados con los dos

grados de libertad asociados, se le conoce como falta de ajuste.

Esta información puede ser anexada en una tabla de anova con separacion de

tendencias por efecto de los tratamientos.


Suma decuadrados

Grados delibertad



Entre grupos 510.456667 3 170.152222 511.736007 1.7736E-09 4.06618056SeparacionTendenciaLineal 509.2507 1 509.2507 1531.581053 0.000000 5.3176Falta de Ajuste 1.2059 2 0.6029 1.813230 0.224166 4.4589

Dentro de losgrupos 2.66 8 0.3325

Total 513.116667 11

Con la prueba acerca de la falta de ajuste se concluye que el modelo ajustado

a los datos no requiere de mas parámetros. Por lo que finalmente se puede

sugerir el modelo lineal encontrado es el que mejor ajusta a este conjunto de

observaciones.

Prueba de separación de medias:Es un método que se aplica después de que el análisis de varianza detecta

diferencias entre tratamientos, con la finalidad de llegar a determinar,

específicamente, cuales son las medias de tratamientos que son diferentes,

hasta llegar a formar grupos de tratamientos con medias iguales. Se han

propuesto una variedad de pruebas con este fin, algunas mas sensibles, otras

mas estrictas, generando conclusiones diferentes y que en algunas ocasiones

no se pueden explicar de manera sencilla, mucho menos interpretar.



En este punto vamos a considerar solo uno de los métodos, que es el de uso

mas frecuente en la literatura científica, conocido como la prueba honesta de

Tukey. Este procedimiento fue diseñado para experimentos balanceados,

donde cada tratamiento tiene un numero de repeticiones igual a r.

El procedimiento para aplicar la prueba de Tukey consiste de los siguientes

pasos:

1. Calcular el error estándar de las medias. Recordar que se calcula

como la raíz cuadrada del cociente del cuadrado medio del error

entre el numero de repeticiones. Por ser balanceado el experimento,

este error estándar es el mismo para todas las medias de los

tratamientos.

2. Obtener el valor critico del rango estudentizado de acuerdo al nivel

de significancia (α), numero de tratamientos (t) y grados de libertad

en el error ( ν), representado por q(α, t, ν). Este valor es obtenido de

la tabla de rangos estudentizados que se localiza en los apéndices

de la mayoría de los libros de diseño de experimentos.

3. Obtener el valor HSD (diferencia significativa honesta) como el

producto del error estándar por el rango estdentizado.

4. Calcular la diferencia entre todas las posibles parejas de medias de

tratamientos.

5. Declarar diferencia significativa entre las medias de los tratamientos

cuando el valor absoluto de la diferencia sea estrictamente mayor

que el valor del HSD. De otro modo, las medias de los tratamientos

se declaran estadísticamente iguales.

Para facilitar el calculo e interpretación de las comparaciones, las medias se

ordenan de menor a mayor; se arma una tabla de doble entrada donde el

criterio de clasificación tanto por hileras como por columnas van a ser las

medias ordenadas de los tratamientos. En cada cuadro de la tabla se

calcula la diferencia entre la media de hilera y la de columna, y se establece

la decisión. Finalmente se hacen los grupos de medias iguales y sus

interconexiones, a través de superíndices alfabéticos o líneas verticales

uniendo las medias de los tratamientos que corresponden a cada grupo.

Cuando el experimento esta desbalanceado, entonces se calcula la mediaarmónica del número de repeticiones por tratamiento y esta se usa para



calcular el error estándar de las medias de los tratamientos. La media

armónica del numero de repeticiones se calcula por

r h = t/Σi(1/r i)

Ejemplo numérico 4. Llevar a cabo el procedimiento de la prueba honestade Tukey en los datos del ejemplo numerico2, referente a las marcas de

lubricantes.

A continuación se muestra una tabla con la media y varianza de cada uno

de los tratamientos.

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

A 8 74.8 9.35 12.8542857B 8 91.4 11.425 9.53642857C 8 133.7 16.7125 17.1526786

Llevando a cabo el procedimiento de la prueba honesta de Tukey,

encontramos:

1. Error estándar de las medias de tratamiento = 1.2836

2. Rango estudentizado = q(.05,3,21) = 3.58

3. HSD(.05,3) = 4.5953

4. Parejas de medias:

A=74.8 B=91.4 C=133-7 A=74.8 A-A=0 B-A=16.6 * C-A=58.9 *B=91.4 B-B=0 C-B=42.3 *C=133.7 C-C=0

Conclusión: Estadísticamente las tres medias son diferentes entre si, por lo

que la selección optima del lubricante esta basada en aquella que genera el

menor desgaste de piezas de la maquinaria; de esta manera se

seleccionaría el lubricante A.

Contrastes ortogonales:

Un contraste en estadística es una combinación lineal de las medias de los

tratamientos definida por la suma de productos de las medias de

tratamiento por un coeficiente. Estos coeficientes deben cumplir con la

característica de que su suma es igual a cero, de tal manera que para

algunas medias sus coeficientes asociados son positivos y para otras son

negativos. Las reglas de asignación de los coeficientes va a depender de la

tendencia que se desee encontrar o de la comparación de medias que se



desee hacer. Cada contraste tendrá asociado un grado de libertad, debido

a que la comparación que se lleva a cabo es entre dos grupos de

tratamientos, lo que llevan el signo positivo contra los que llevan el signo

negativo. De esta manera el numero de posibles contrastes ortogonales en

un conjunto de datos corresponde exactamente a los grados de libertad

para los tratamientos.

Dos contrastes serán ortogonales si la suma de los productos de sus

correspondientes coeficientes es igual a cero. Esto implica que la

covarianza entre los dos contrastes es igual a cero, y por lo tanto los

contrastes van a ser independientes. En este sentido la ortogonalidad

implica independencia. Si todos los contrastes formulados son ortogonales

entre si, entonces esto llevara a que la suma de cuadrados acumulada en

todos los contrastes ortogonales corresponda exactamente a la suma de

cuadrados de los tratamientos. La suma de cuadrados asociada a un

contraste se calcula por el cuadrado de la combinación lineal de las medias

multiplicada por el numero de repeticiones y dividida por la suma de los

cuadrados de los coeficientes de la combinación lineal. Esta suma de

cuadraos siempre lleva asociada un solo grado de libertad.

Si se aplican contrastes no ortogonales, entonces existirá covarianza entre

ellos y esto implica que la información contenida en ellos esta relacionada

en un cierto grado, con lo cual se considera que la información contenida en

los datos esta siendo sobreutilizada. Esto se va a reflejar en el hecho de

que el acumulado de la suma de cuadrados de los contrastes no

ortogonales no cerrara a la suma de cuadrados de los tratamientos.

Contrastes ortogonales para el calculo de tendencias: Los contrastes

ortogonales pueden ser usados para estimar las sumas de cuadrados

asociadas a los diferentes componentes de un modelo polinomial, siempre y

cuando los datos experimentales tengan las siguientes dos características:

1. Experimento balanceado, lo que es un requisito general para aplicar

contrastes.

2. Los niveles del factor deben estar igualmente espaciados

Si alguna de estas características no se da en el conjunto de datos, serecomienda aplicar la técnica de la regresión para llevar a cabo la



separación de la suma de cuadrados de tratamientos en las diferentes

tendencias.

La siguiente tabla muestra los coeficientes de las combinaciones lineales

para cada una de las diferentes tendencias que se pueden ajustar a un

conjunto de datos de acuerdo al número de niveles del factor. Los

coeficientes están en orden creciente del factor.

NumeroTrats Tendencia

Primer Nivel

SegndoNivel Tercer Nivel

CuartoNivel Quinto Nivel

2 Lineal -1 13 Lineal -1 0 1

Cuadrática 1 -2 14 Lineal -3 -1 1 3

Cuadrática 1 -1 -1 1Cúbica -1 3 -3 1

5 Lineal -2 -1 0 1 2Cuadrática 2 -1 -2 -1 2Cúbica -1 2 0 -2 1Cuarto 1 -4 6 -4 1

Ejemplo numérico 5. Aplicar contrastes ortogonales al ejemplo numérico 1.

Vamos a llevar a cabo los cálculos en Excel y mostrarlos en la siguiente tabla.

Como puede ser observado los niveles se acomodan en orden creciente y asítambién las medias por nivel. De la tabla de coeficientes se seleccionan los

correspondientes a 4 tratamientos.

Nivel 150 200 250 300medias 77.4333333 84.1 89.2666667 95.1333333Lineal -3 -1 1 3Cuadrática 1 -1 -1 1Cúbica -1 3 -3 1Contr Lin -232.3 -84.1 89.2666667 285.4 58.2666667

Contr Cuadr 77.4333333 -84.1

-

89.2666667 95.1333333 -0.8Contr Cubico

-77.4333333 252.3 -267.8 95.1333333 2.2

En la tabla están contenidos los cálculos del coeficiente por la media y en la

ultima columna su correspondiente suma. A partir de estos cálculos podemos

determinar la suma de cuadrados correspondientes a cada uno de los

contrastes:

Para la tendencia lineal: S.C.Tend. Lineal = 3*(58.2666667)2/20 = 509.250667

Para la tendencia cuadrática: S.C.Tend Cuadr = 3*(-0.8)2/4 = 0.48



Para la tendencia Cúbica: S.C.Tend Cubica = 3*(2.2)2/20 = 0.726

Como puede ser comprobado, las sumas de cuadros para la tendencia lineal

coincide con la suma de cuadrados de la regresión lineal, y el acumulado de la

suma de cuadrados de la regresión cuadrática y cúbica coincide con la suma

de cuadrados de la falta de ajuste.

Se pudiera hacer el cuestionamiento acerca de la importancia de tener

diferentes métodos para realizar un mismo calculo. Aparte de la simplicidad de

los contrastes, otra gran ventaja es que puede ser utilizado para analizar los

arreglos factoriales de tratamientos que se verán posteriormente. Mediante la

técnica de contrastes ortogonales van a poder ser separadas las sumas de

cuadrados en componentes con un solo grado de libertad, sin importar la

naturaleza de los factores que se están investigando.

Contrastes ortogonales para comparación de medias: Para factores

cualitativos, la aplicación de los contrastes ortogonales es mas especifica para

cada problema. Se requiere de un conocimiento mas o menos profundo de lo

que son los tratamientos para poderlos agrupar. La idea de los contrastes para

factores cualitativos es ir formando dos grupos de comparación, cada uno de

los cuales va estar formado por uno o más tratamientos con alguna

característica común. Cada uno de los grupos se irán separando en otros dos

grupos de comparación, en base a otra característica de los tratamientos, y

este proceso continuara hasta que al final los contrastes comparen un

tratamiento contra otro.

Ejemplo de aplicación conceptual 1: Suponga que se esta llevando a cabo una

investigación para seleccionar un ingrediente proteico en la elaboración de un

alimento para mascotas. Se prueban tres fuentes de proteína: Carne de res,

carne de cerdo y soya. Lleve a cabo la comparación de los tratamientos por

contrastes ortogonales:

Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estas tres fuentes son:

1. Proteína de origen animal (cerdo y res) contra proteína de origen

vegetal (soya).

2. Proteína de origen animal (res) contra proteína de origen animal

(cerdo).



Ejemplo de aplicación conceptual 2: Supóngase que se esta llevando a cabo

una investigación en la que se desea evaluar diferentes fuentes de carnes no

convencionales en la elaboración de un producto carnico de bajo costo. El

producto tradicional se elabora con carne de cerdo, y se desea investigar

fuentes no convencionales que incluyen: Caballo, burro, gallina y pavo. Planear

las comparaciones demedias por contrastes ortogonales.

Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estos tratamientos son:

1. Testigo (cerdo) contra el promedio de los tratamientos (caballo,

burro, gallina y pavo).

2. Carnes de mamíferos (caballo y burro) contra carnes de aves (gallina

y pavo).

3. Caballo contra burro.

4. Gallina contra pavo.

Una vez que los contrastes ortogonales han sido planeados, debemos checar

el requisito de que el experimento este balanceado, y si es así debemos

obtener los coeficientes para cada uno de los contrastes. La mecánica para el

calculo de los coeficientes es la siguiente:

1. Los coeficientes de un grupo llevaran signo positivo y los del grupo

contrastante llevaran signo negativo. Esta es una selección

completamente arbitraria.

2. El valor del coeficiente de un grupo será igual al numero de

tratamientos que tiene el grupo contrastante.

Ejemplo numérico 6. Analice el ejemplo numérico 2 usando contrastes

ortogonales.

El ejemplo de los lubricantes y desgaste de las piezas consiste de tres

tratamientos, cada uno con 8 repeticiones. El A y B son lubricantes nuevos

y disponibles que se pueden usar en el proceso, y el lubricante C que es el

que convencionalmente se utiliza en el proceso. Entonces podemos generar

los siguientes contrastes con sus coeficientes y cálculos requeridos para

determinar las pruebas de significancia:

Lubricante A B CMedia 9.35 11.425 16.7125 SumaC vs (A B) 1 1 -2 -12.65

A vs. B 1 -1 0 -2.075

C vs (A B) 9.35 11.425 -33.425



A vs. B 9.35 -11.425 0

A partir de las cantidades en la tabla podemos calcular las sumas de

cuadrados correspondientes a cada contraste:

Contraste convencional vs. Nuevas alternativas:

S.C. = 8*(-12.65)2/6 = 213.3633

Contraste alternativa A vs. Alternativa B:

S.C. = 8*(-2.075)2/2 = 17.2225

Estas sumas de cuadrados pueden ser agregadas a la tabla de análisis de

varianza para completar las pruebas de significancia:


Suma decuadrados

Grados delibertad

Promedio de loscuadrados F

Entre grupos 230.585833 2 115.292917 8.74681521C vs. A B 213.363333 1 213.363333 16.1872773 A vs. B 17.222500 1 17.222500 1.3066026Dentro de los grupos 276.80375 21 13.181131

Total 507.389583 23

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.00061447 que es menor

del 0.05, por lo que se concluye que este contraste es significativo, es decir,

existe diferencia entre el lubricante convencional y las nuevas alternativas.

El valor de P para el contraste C vs. A B resulto en 0.26587522 que es mayor

del 0.05, por lo que se concluye que este contraste no es significativo, es decir,

no existe diferencia entre el lubricante las nuevas alternativas. Para la

selección del aceite entre las nuevas alternativas, se requiere de un criterio

adicional, pues en cuanto a la variable medida, el desgaste de las piezas, no

existe una diferencia. El criterio adicional puede ser el económico, ecológico, o

algún otro en el que uno de ellos tuviera ventaja.

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR

Cuando las unidades experimentales no son homogéneas en alguna de las

variables identificadas como de impacto importante sobre la respuesta, o bien,

las condiciones físicas en que se lleva a cabo el experimento no son totalmente



uniformes, entonces se puede emplear un diseño en bloques para asegurar

comparaciones mas justas entre los tratamientos.

La idea de un bloque en diseño de experimentos se refiere a un conjunto de

unidades experimentales que tienen valores muy similares en cuanto a la

variable de bloqueo, o bien que están bajo condiciones experimentales muy

similares.

Una variable de bloqueo es una característica de las unidades experimentales

o del ambiente físico donde se lleva a cabo el experimento, que se ha

identificado como de impacto importante en la variable de respuesta. Esto es,

valores diferentes en la variable de bloqueo, tienen efecto sobre la variable de

respuesta. Por esto, si no se controlan a través del diseño de experimentos,

puede enmascarar el efecto de los tratamientos.

Una variable de bloqueo debe ser seleccionada de acuerdo al tipo de

experimento que se este llevando a cabo y a las variables de respuesta que se

estén evaluando. A menudo las unidades de equipo de prueba o maquinas son

diferentes en sus características de operación y constituyen un factor típico que

es necesario controlar. Lotes de materia prima, personas o tiempo son posibles

fuentes de variación que pueden ser controladas mediante un arreglo

geométrico en bloques al azar.

Por ejemplo, si se desea evaluar las características organolépticas en pasta de

manzana para pasteles, elaborados con diferentes edulcorantes; se debe

considerar como variables importantes que las impactan, a la variedad de la

manzana, el nivel de madurez del fruto, o inclusive la región de donde se

cosecho. Todas estas variables pudieran ser controladas como variables de

bloqueo, para obtener una estimación más pura del efecto de los tratamientos.

Una condición que debe conservarse para que este diseño sea valido, es que

no debe haber un efecto cruzado entre las variables de bloqueo y las variables

de respuesta. Esto implica que el efecto de un tratamiento se modifica por los

bloques de manera proporcional en todos los tratamientos. Esto permite

identificar diferencias de tratamientos, independientemente del bloque.

En un diseño en bloques completos al azar cada bloque generado debe

contener un numero de unidades experimentales igual al numero de

tratamientos, ya que cada bloque debe contener a todos los tratamientos. Losbloques en este diseño constituyen las repeticiones del experimento.



Para poder llevar a cabo el arreglo geométrico en bloques al azar, es necesario

conocer el valor de la variable de bloqueo en cada una de las unidades

experimentales, para poder agruparlas en base a esta información y construir

los bloques, que deben quedar con valores muy similares en la variable(s) de

bloqueo. Es necesario también saber que la variable de bloqueo no tiene un

efecto cruzado con la variable de respuesta que se esta evaluando, esto es, el

valor de la variable de bloque no modifica el efecto de los tratamientos.

Ventajas del diseño en bloques con respecto al diseño completamente al

azar:

1. Con un agrupamiento efectivo, el diseño en bloques puede generar

resultados sustancialmente mas precisos de los que arrojaría un

diseño completamente al azar de tamaño comparable. En otras

palabras, el error experimental se puede controlar a niveles mas

bajos con el diseño en bloques.

2. La variabilidad de las unidades experimentales, o de las condiciones

físicas donde se lleva a cabo el experimento, puede ser

deliberadamente introducida para ampliar el rango de validez de los

resultados experimentales sin sacrificar precisión.

Desventajas del diseño en bloques comparado con el diseño

completamente al azar:

1. Los grados de libertad para el error experimental no son tan

grandes como en un diseño completamente al azar. Un grado de

libertad es perdido para cada bloque después del primero.

2. Mas suposiciones son requeridas para el modelo (varianza

constante de bloque a bloque y no efecto cruzado de bloque y

tratamiento) que para un diseño completamente al azar.

Aleatorizacion: Una vez que los bloques han sido formados, con unidades

experimentales lo mas parecido posible en cuanto a la variable de bloqueo,

cada bloque se considera como un grupo muy homogéneo de unidades

experimentales, pero con un alto grado de variación entre bloques. La forma de

asignar tratamientos a las unidades experimentales es al azar eindependientemente dentro de cada bloque.



Modelo estadístico: El modelo completo de un diseño en bloques al azar

contiene los efectos de tratamiento (como en el completamente al azar) y el de

los bloques, dado por

Yij = μ + τi + β j + εij

I=1,2,…,t; j=1,2,…,b

Yij Es la variable de repuesta en el bloque j y el tratamiento i.

μ Es la media general del experimento.

τi Es el efecto del tratamiento i.

β j Es el efecto del bloque j.

εij es el error experimental en el bloque j y el tratamiento i.

Hipótesis del investigador: La hipótesis que se desea probar bajo este arreglo

experimental es:

Ho: No hay efecto de tratamientos (τi = 0 para toda i).

Ha: al menos un efecto de tratamiento es diferente de cero.

En relación al efecto de los bloques, debemos ser claros de que no se deseaba

investigar su efecto, solo se empleo como una forma de controlar la variabilidad

en las unidades experimentales, con la finalidad de hacer mas sensible el

experimento, es decir, poder detectar efecto de tratamientos cuando

verdaderamente existan. De esta manera, no se plantea una hipótesis asociada

el efecto de los bloques. Tampoco es posible probarla, ya que prácticamente

no se tienen repeticiones de bloques. Cabe hacer mención que si se tuvieran

repeticiones de bloques, entonces el experimento dejaría de ser bloques para

convertirse en un arreglo de tratamientos factorial, y en este caso la variable de

bloqueo ya pasaría a ser un factor.

ANOVA en el diseño en bloques al azar: El análisis de varianza en un diseño

en bloques al azar debe incluir las fuentes de variación de tratamientos y la

fuente de variación de bloques, además del error y total. Debe considerarse las

restricciones en los parámetros, dadas por:

1. Para los efectos de tratamientos: Στi = 0

2. Para los efectos de los bloques: Σβ j = 0

El arreglo en un diseño en bloques completos al azar y que no tenga datos

perdidos, siempre tendrá un numero de observaciones igual al producto del



numero de bloques por el numero de tratamientos (n = t × b). Entonces el

anova se construye como

Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadradosBloques b-1 Diferencia (1)Tratamientos t-1 Diferencia (2).Error (t-1)(b-1) S.C.E. modelo completoTotal n-1 S.C.E. modelo reducido

Los paquetes estadísticos en general reportan dos tipos de sumas de

cuadrados en un anova, denominadas las secuenciales y las ajustadas. Estos

nombres hacen referencia a la forma en que cada una es calculada. En el caso

de las secuenciales, son calculadas mediante la diferencia en sumas decuadrados de los errores de modelos conteniendo términos adicionales,

empezando con el modelo reducido y hasta llegar al modelo completo. Así para

un diseño en bloques al azar la secuencia de modelos serian:

1. Yij = μ + εij

2. Yij = μ + β j + εij

3. Yij = μ + τi + β j + εij

La suma de cuadrados secuencial para bloques seria la suma de cuadrados delerror en el modelo (1) menos la suma de cuadrados del error en el modelo (2).

La suma de cuadrados secuencial para tratamientos seria la suma de

cuadrados del error en el modelo (2) menos la suma de cuadrados del error en

el modelo (3). En estas sumas de cuadrados, la de tratamientos seria ajustada

por la presencia de los bloques, ya que se calculo como la diferencia con

respecto a un modelo conteniendo el efecto de los bloques.

Los modelos requeridos para el calculo de las sumas de cuadrados ajustadasserian:

1. Yij = μ + εij

2. Yij = μ + β j + εij

3. Yij = μ + τi + εij

4. Yij = μ + τi + β j + εij

La suma de cuadrados ajustada por efecto de los tratamientos se calcula por la

diferencia en la suma de cuadrados de los errores del modelo 3 menos la sumade cuadrados del error del modelo 4. La suma de cuadrados ajustada para los



efectos de tratamiento se calcularía por la diferencia en las sumas de

cuadrados de los errores del modelo (2) menos la del modelo (4).

Cuando el diseño esta balanceado estas sumas de cuadrados coinciden. Las

diferencias se presentan cuando el diseño esta desbalanceado, y en este caso

se deben considerar para la prueba de hipótesis las sumas de cuadrados

ajustadas.

Ejemplos Numéricos.

1. Una compañía constructora desea probar la eficiencia de 3 tipos de

aislantes diferentes. Ya que el área sobre la que la compañía

construye se caracteriza por diferencias importantes en el clima, la

compañía ha dividido, en base a esta característica, el área en 4

regiones geográficas. Dentro de cada región geográfica usa

aleatoriamente cada uno de los tres aislantes y registra la perdida de

energía como un índice. Valores mas pequeños del índice

corresponden a perdidas mas bajas de energía.

Aislante R.G. 1 R.G. 2 R.G. 3 R.G. 41 19.2 12.8 16.3 12.52 11.7 6.4 7.3 6.2

3 6.7 2.9 4.1 2.8

La hipótesis que se desea probar es:

Ho: No hay diferencias en el valor promedio del índice de perdida de

energía en los tres aislantes. ( Ho: τi = 0 para toda i).

Ha: Al menos el promedio del índice de perdida de energía para uno de los

aislantes es diferente (Ha: al menos una τi ≠ 0).

Una grafica para explorara las características de los datos es muyrecomendable. En este caso conviene graficar las observaciones de los tres

aislantes para cada región por separado, para determinar si el efecto de los

tratamientos es proporcional en todos los bloques.



Valores de perdida de energia

0

5

10

15

20

25

R.G. 1 R.G. 2 R.G. 3 R.G. 4

Region Geografica

P e r d i d a d e e n e r g i a

Aislante 1

Aislante 2

Aislante 3

Podemos observar el comportamiento muy homogéneo de los aislantes en

cada una de las regiones geográficas, lo cual implica que no existe un

efecto cruzado de región con aislante, con lo que se cumple uno de los

requisitos fundamentales para aplicar el diseño en bloques. Se puede

observar que el aislante 1 es el de mayores perdidas de energía, seguido

del aislante 2 y el de menor perdidas de energía es el aislante 3.

El siguiente paso es llevar a cabo el análisis de varianza para probar la

hipótesis acerca del efecto de los tratamientos.

Origen delas

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promediode los

cuadrados F Probabilidad

Aislantes 253.595 2 126.7975 170.898914 5.1342E-06Regiones 55.6358333 3 18.5452778 24.9955073 0.00086444Error 4.45166667 6 0.74194444

Total 313.6825 11

El nivel de significancia para el efecto de los aislantes es 5.13E-6, que es un

valor menor de 0.05 (P<.05) lo que conduce al rechazo de la hipótesis nula,

por lo que se concluye que los tipos de aislantes tienen un impacto

importante en la media de perdidas de energía.



El siguiente paso es detectar cuales son las diferencias entre los aislantes.

Ya que nada es especificado acerca de la naturaleza de los aislantes, lo

único que procede es una comparación de todas contra todas las medias,

usando la prueba honesta de Tukey.

Construimos primero las medias de la variable perdida de energía por

aislante:

RESUMEN Repeticiones Suma Promedio Varianza

Aislante 1 4 60.8 15.2 10.0866667 Aislante 2 4 31.6 7.9 6.64666667 Aislante 3 4 16.5 4.125 3.29583333

Calculamos el error estándar de las medias: 0.4307Valor de la tabla de rangos estudentizados, con 3 medias, 6 grados de

libertad para el error y un nivel de significancia de 0.05: 4.34

Calculamos el valor de HSD: 1.8692

Enseguida, se construye la tabla de diferencias de medias:

7.9 (2) 15.2 (1)4.125 (3) (2)-(3) = 3.775 * (1)-(3) = 11.075 *7.9 (2) (1)-(2) = 7.3 *

* Diferencia significativa (P<.05)De estos resultados se concluye que las 3 medias son estadísticamente

diferentes, y por lo tanto, podemos hacer una selección del mejor aislante

desde el punto de vista de la variable de interés, perdida de energía. Ya que el

aislante tiene por objetivo la conservación de la energía, el mejor es aquel en el

que las perdidas son mínimas, por lo que tomamos la decisión de que el mejor

aislante es el tipo 3.

2. En una industria yesera se desea mejorar la resistencia del yeso a

las quebraduras. Para tal efecto se prueban dos aditivos orgánicos,

uno denominado n y otro denominado p, cada uno a dos niveles, y

además un tratamiento testigo, que consiste en el uso de un producto

convencional. La variable de interés es la resistencia a las

quebraduras, que se mide a través de la fuerza que debe aplicarse

para quebrar el yeso ya instalado. El experimento es llevado a cabo

en 5 diferentes zonas, caracterizadas por diferencias importantes en



temperatura y clima. Los datos colectados se muestran en la

siguiente tabla:

Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5Producto

convencional 7.6 8.1 7.3 7.9 9.450n 7.3 7.7 7.7 7.7 8.2100n 6.9 6 5.6 7.4 750n+75p 10.8 11.2 12 12.9 11.6100n+75p 9.6 9.3 9 10.6 10.4

Como una etapa de exploración de las características de los datos, conviene

revisar una grafica que muestre como se comportaron las observaciones de

acuerdo al bloque y tratamiento.

Resistencia por bloque y tratamiento

0

2

4

6

8

10

12

14

0 50n 100n 50n+75p 100n+75p

Tratamientos

R e s i s t e n c i a Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Bloque 4

Bloque 5

El patrón general de los bloques se mantiene en los diferentes tratamientos,

tendiendo a sobresalir el bloque 4, seguido muy de cerca del bloque 5. En

general los bloques 1,2 y 3 tienden a una menor respuesta. Se observa

entonces muy poca posibilidad de un efecto cruzado entre bloque y

tratamiento.

Se procede como siguiente punto a probar la hipótesis nula de no efecto de los

tratamientos, contra la alternativa de que al menos una media de los

tratamientos es diferente. Para tal fin se muestra el análisis de varianza-



Origen delas

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promediode los


Tratamientos 80.0384 4 20.0096 66.1255783 9.5744E-10

Bloques 4.9544 4 1.2386 4.09319233 0.01796691Error 4.8416 16 0.3026

Total 89.8344 24

Con un nivel de significancia de 9.57E-10 se rechaza la hipótesis nula y se

concluye que si existe diferencia en la resistencia promedio por efecto de los

tratamientos.

Como siguiente punto es de importancia llegar a determinar cuales son las

diferencias que pueden ser detectadas entre los tratamientos. Ya que se

conoce la naturaleza de los tratamientos, pueden llevarse a cabo los contrastes

ortogonales para separar las medias. Los cuatro contrastes que se

recomiendan son:

1. Testigo contra tratados.

2. 50 de n contra 100 de n.

3. 0 de p contra 75 de p.

4. Efecto cruzado de n y p.

A continuación se muestran las medias de los tratamientos y sus

correspondientes coeficientes para cada uno de los contrastes:

Tratamiento Repeticiones MediaTestigo vstratados 50n vs. 100n 0 p vs. 75 p

efectocruzado

0 5 8.06 4 0 0 0

50n 5 7.72 -1 -1 -1 1100n 5 6.58 -1 1 -1 -150n+75p 5 11.7 -1 -1 1 -1100n+75p 5 9.78 -1 1 1 1

El análisis de varianza aumentado con los contrastes se muestra a

continuación:

Origen delas

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promediode los


Tratamientos 80.0384 4 20.0096 66.1255783 9.5744E-10



Testigo vs.tratados 3.1329 (1) 3.1329 10.3532 0.0043150 n vs. 100n 11.7045 (1) 11.7045 38.6797 4.4895E-060 p vs 75 p 64.4405 (1) 64.4405 212.9560 3.9922E-12Efecto

cruzado 0.7605 (1) 0.7605 2.5132 0.12858022Bloques 4.9544 4 1.2386 4.09319233 0.01796691Error 4.8416 16 0.3026

Total 89.8344 24

Interpretación de los contrastes ortogonales:

1. Al no ser significativo el efecto cruzado de los aditivos n y p,

podemos concluir que sus efectos son independientes, es decir, no

hay interferencia de los aditivos en su modo de acción.2. Hay diferencia significativa de 50 n vs. 100 n, por lo que podemos

seleccionar el nivel que mas convenga de acuerdo a la variable de

respuesta. Ya que el objetivo era mejorar la resistencia a las

quebraduras del yeso, entonces, la variable de respuesta es del tipo

mientras mas grande mejor, por lo que, revisando la medias marginal

para cada uno de los niveles del aditivo n, podremos hacer la

selección: En Cuanto a las medias marginales por n se obtiene 9.71para el nivel 50 contra 8.18 para el nivel 100, por lo que para mejorar

resistencia se selecciona el nivel 50 n.

3. Hay diferencia significativa de 0 p contra 75 p. De manea equivalente

al procedimiento anterior, revisando las medias marginales podemos

hacer la selección del nivel. Para el nivel 0 p la media marginal es

7.15 y para el nivel 75 p la media es 10.74, por lo que el nivel mas

recomendable para mejorar resistencia es 75 p.

4. Por lo tanto la mejor combinación de niveles de aditivos es 50 n y 75

p, cuya combinación arroja una media de 11.7, que es precisamente

la media mas alta de los tratamientos.

5. En este análisis podemos hacer la separación de la contribución de

cada uno de los aditivos, a la mejora de la resistencia. Para este fin

vamos a simplificar los valores de los niveles en cada uno de los

aditivos de la siguiente manera: (-1) será el valor asociado al nivel

bajo y (+1) será el valor asociado al nivel alto. Estos valores son



seleccionados para simplificar cálculos e interpretación de los valores

obtenidos. El cambio en promedios de la resistencia al cambiar del

nivel bajo al nivel alto, esta dado por la diferencia en el promedio al

nivel alto menos el promedio al nivel bajo. Para el aditivo n la

diferencia así definida es -1.53, de tal manera, que el cambio por

unidad convencional (al pasar de -1 a +1, 2 unidades de diferencia)

es -0.765. Por eso al seleccionar el nivel (-1) el incremento en la

respuesta promedio seria estimado en 0.765. De manera equivalente,

para el aditivo p, la diferencia en los promedios de los niveles esta

dada por 3.59 y el cambio por unidad de incremento en el aditivo p en

unidades convencionales es de 1.795. Por eso, al seleccionar el nivel

(+1) del aditivo p, el cambio en la respuesta promedio es de 1.795.

Con este sencillo análisis podemos evaluar el impacto independiente

que tienen cada uno de los aditivos para mejorar la resistencia.

Podemos concluir que el aditivo p es de mayor impacto en la mejora

de la resistencia, para los niveles investigados.

6. El contraste del testigo contra el promedio de los tratados resulto ser

significativo, con lo cual concluimos que el promedio de los tratados

(8.945) es significativamente diferente del promedio del testigo (8.06).

La diferencia 0.939 es la ganancia promedio por aplicación de

tratamientos.

3. El propósito de un experimento fue mejorar el valor nutricional de la

paja de trigo como alimento para ovejas. Los tratamientos de la paja

fueron: paja picada, paja molida, paja tratada con amonio y paja

tratada con urea. Un grupo de 24 ovejas fue usado en el

experimento. Se considero el peso inicial como variable de bloqueo

para llevar a cabo una separación en subgrupos de 4 animales mas

homogéneos. En cada uno de los 6 gripos se probaron las 4 dietasen

orden aleatorio. Para cada una de las 24 ovejas fue medido el

porcentaje de materia seca digerido. Los datos se muestran en la

siguiente tabla:



bloque 1 bloque 2 bloque 3 bloque 4 bloque 5 bloque 6paja picada 32.68 36.22 36.36 40.95 34.99 33.89paja molida 35.9 38.73 37.55 34.64 37.36 34.35tratadaamonio 49.43 53.5 52.86 45 47.2 49.76tratada urea 46.58 42.82 45.41 45.08 43.81 47.4

Una presentación grafica de los datos por tratamiento y bloque es mostrada

en la siguiente figura.

MATERIA SECA DIGERIDA

0

10

20

30

40

50

60

bloque 1 bloque 2 bloque 3 bloque 4 bloque 5 bloque 6

P O R C E N T A J E

paja picada

paja molida

tratada amonio

tratada urea

Observe que la tendencia de los tratamientos se mantiene en todos los

bloques, a excepción del bloque 4, donde la materia seca digerida fue

mayor en la paja picada con respecto a la paja molida y el amonio iguala a

la urea. En este caso una prueba de aditividad en el modelo se hace

necesaria para determinar si el modelo del diseño en bloques completos al

azar es adecuado.

4. Se llevo a cabo un experimento bajo un diseño en bloques completos

al azar para evaluar el efecto de diferentes espaciamientos de surcos

(en pulgadas) en la siembra de fríjol, sobre la producción de paja

(bushels por acre). Los resultados fueron los siguientes.

Espac 18 Espac 24 Espac 30 Espac 36 Espac 42Bloque 1 33.6 31.1 33 28.4 31.4

Bloque 2 37.1 34.5 29.5 29.9 28.3Bloque 3 34.1 30.5 29.2 31.6 28.9Bloque 4 34.6 32.7 30.7 32.3 28.6



Bloque 5 35.4 30.7 30.7 28.1 29.6Bloque 6 36.1 27.9 27.9 26.9 33.4

Una grafica exploratoria de los datos revelara el comportamiento de los

tratamientos en cada uno de los bloques, como se muestra a continuación:

Produccion por bloque

25

30

35

40

15 20 25 30 35 40 45

Espaciamiento

B u s h e l s p o r a c r e

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Bloque 4

Bloque 5

Bloque 6

Como puede ser observado, el comportamiento general en los bloques es a

disminuir la producción a medida que aumenta el espaciamiento. En los

espaciamientos 30 y 42 sin embargo, en los bloques 1, 5 y 6 esta tendencia

no se mantiene. En el espaciamiento 36 tampoco la tendencia general es

observada en los bloques 2, 3 y 4. Por lo tanto, estos datos requieren

también de la prueba de aditividad de Tukey antes de que puedan ser

interpretados adecuadamente.

Prueba de aditividad de Tukey:



Idealmente, los bloques representan influencias que uno esperaría que solo

incrementaran o disminuyeran el nivel general de respuesta, es decir,

constituirían un efecto puramente aditivo. Si los efectos de bloques y

tratamientos no fueran aditivos, un efecto cruzado entre bloques y

tratamientos ocurriría, lo cual es reflejado por un efecto diferencial de

tratamiento por bloque. Esto significa, que para algunos tratamientos un

bloque favoreciera la respuesta de interés, mientras que para otros bloques

la respuesta seria favorecida para otros tratamientos.

Estos efectos cruzados pueden ser clasificados como transformables y no

transformables. Los transformables son aquellos que pueden ser eliminados

mediante el análisis, usando alguna transformación de la variable de

respuesta, por ejemplo, el logaritmo, raíz cuadrada o reciproco de los datos

originales. La segunda categoría, los efectos cruzados no transformables,

son aquellos que no pueden ser eliminados por el análisis.

Un grado de libertad para la no aditividad transformable:

Una prueba formal para la no aditividad transformable basada en la

detección de una relación curvilínea entre los residuales después de ajustar

el modelo del diseño en bloques al azar y sus valores estimados, es debida

a J- W. Tukey. El procedimiento consiste en:

1. Analizar la variable original yij bajo el modelo del diseño en bloques al

azar.

2. Evaluar los valores estimados de la variable original bajo el modelo en

bloques al azar.

3. Evaluar los residuales en la variable original del modelo que

corresponde al diseño en bloques al azar:

4. Definir la variable qij como el cuadrado del valor estimado por el modelo

del diseño en bloques al azar.

5. Analizar la variable qij bajo el modelo de diseño en bloques al azar.

6. Obtener los valores estimados y los residuales de la variable qij.

7. Defina P como la suma de los productos cruzados de los residuales.

8. Defina Q como la suma de los cuadrados de los residuales de la variable

qij.



9. Un grado de libertad asociado al error en el análisis de varianza de la

variable (y) es sustraído para la prueba de aditividad, y su suma de

cuadrados (suma de cuadrados de la regresión) asociada va a estar

dada por el producto del cuadrado de (P) por (Q), que debe ser restada

de la suma de cuadrados del error.

10. La hipótesis que se plantea es en términos del coeficiente de regresión γ

que cuantifica la relación de la variable original con el cuadrado de los

estimados bajo el modelo del diseño en bloques completos al azar, Ho:

γ=0 contra la Ha: γ ≠ 0. La hipótesis se prueba con la estadística F

definida por el cociente del cuadrado medio de la regresión entre el

cuadrado medio del residual.

11.Una decisión de no rechazar Ho conlleva a que el modelo del diseño en

bloques al azar cumple con la suposición de aditividad. Por otro lado el

rechazo de Ho puede indicar la necesidad de transformar los datos para

lograr que el modelo aditivo sea adecuado en los datos transformados.

5. Aplicación de la prueba de aditividad al ejemplo 3 de tratamientos de

paja.

a). Ajuste del modelo del diseño en bloques al azar a la variable original,

digestibilidad de materia seca.

bloque 1 bloque 2 bloque 3 bloque 4 bloque 5 bloque 6Media detrat

paja picada 32.68 36.22 36.36 40.95 34.99 33.89 35.8483333paja molida 35.9 38.73 37.55 34.64 37.36 34.35 36.4216667tratadaamonio 49.43 53.5 52.86 45 47.2 49.76 49.625tratada urea 46.58 42.82 45.41 45.08 43.81 47.4 45.1833333Media de blo 41.1475 42.8175 43.045 41.4175 40.84 41.35 41.7695833

A partir de estas medias por bloque, por tratamiento y la media general

podemos calcular los estimadores de los efectos de tratamiento:

Efectos de tratamiento:

Media detrat

Mediageneral Efecto de tratamiento

35.8483333 41.7695833 -5.9212536.4216667 41.7695833 -5.34791667

49.625 41.7695833 7.8554166745.1833333 41.7695833 3.4137541.7695833 41.7695833 0

Efectos de bloque:



Media deblo

Mediageneral Efecto de bloque

41.1475 41.7695833 -0.6220833342.8175 41.7695833 1.0479166743.045 41.7695833 1.27541667

41.4175 41.7695833 -0.35208333

40.84 41.7695833 -0.9295833341.35 41.7695833 -0.41958333

Tabla de valores observados, estimados por el modelo y residuales.

Tratamiento bloque observados Estimados ResidualesPaja Picada 1 32.68 35.2262501 -2.54625007Paja Picada 2 36.22 36.8962501 -0.67625007Paja Picada 3 36.36 37.1237501 -0.76375007Paja Picada 4 40.95 35.4962501 5.45374993Paja Picada 5 34.99 34.9187501 0.07124993

Paja Picada 6 33.89 35.4287501 -1.53875007Paja Molida 1 35.9 35.7995834 0.1004166Paja Molida 2 38.73 37.4695834 1.2604166Paja Molida 3 37.55 37.6970834 -0.1470834Paja Molida 4 34.64 36.0695834 -1.4295834Paja Molida 5 37.36 35.4920834 1.8679166Paja Molida 6 34.35 36.0020834 -1.6520834Paja con A 1 49.43 49.0029167 0.42708327Paja con A 2 53.5 50.6729167 2.82708327Paja con A 3 52.86 50.9004167 1.95958327Paja con A 4 45 49.2729167 -4.27291673Paja con A 5 47.2 48.6954167 -1.49541673

Paja con A 6 49.76 49.2054167 0.55458327Paja con U 1 46.58 44.5612501 2.01874993Paja con U 2 42.82 46.2312501 -3.41125007Paja con U 3 45.41 46.4587501 -1.04875007Paja con U 4 45.08 44.8312501 0.24874993Paja con U 5 43.81 44.2537501 -0.44375007Paja con U 6 47.4 44.7637501 2.63624993

Tabla de análisis de varianza para la variable (y):

Fuente de

Variacion

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrados

Medios F Probabilidad

Valor crítico

para F Tratamientos 822.136046 3 274.045349 38.6488589 2.6922E-07 3.28738211Bloques 17.1037708 5 3.42075417 0.482432 0.7840427 2.90129454Error 106.359679 15 7.09064528

Total 945.599496 23

b). Tabla de valores de la variable (q) y sus promedios:



bloque 1 bloque 2 bloque 3 bloque 4 bloque 5 bloque 6Media detrat

paja picada 1240.88869 1361.33327 1378.17282 1259.98377 1219.31911 1255.19633 1285.81566paja molida 1281.61017 1403.96968 1421.0701 1301.01485 1259.68798 1296.15001 1327.25046tratadaamonio 2401.28585 2567.74449 2590.85242 2427.82032 2371.24361 2421.17304 2463.35329

tratada urea 1985.70501 2137.32848 2158.41546 2009.84098 1958.39439 2003.79332 2042.24627Media de blo 1727.37243 1867.59398 1887.1277 1749.66498 1702.16127 1744.07817 1779.66642

Estimación de los efectos de tratamiento:

TratamientoMedia detra Media gral Efecto de tra

paja picada 1285.81566 1779.66642 -493.850758paja molida 1327.25046 1779.66642 -452.415958tratadaamonio 2463.35329 1779.66642 683.686866tratada urea 2042.24627 1779.66642 262.579851

Estimación de los efectos de bloque:

BloqueMedia deblo Media gral Efecto de blo

1 1727.37243 1779.66642 -52.29399282 1867.59398 1779.66642 87.92755743 1887.1277 1779.66642 107.4612764 1749.66498 1779.66642 -30.00144285 1702.16127 1779.66642 -77.50514916 1744.07817 1779.66642 -35.588249

Tabla de observados, estimados y residuales de la variable (q):



Tratamiento bloque Observados Estimados ResidualesPaja Picada 1 1240.88869 1233.52167 7.36702187Paja Picada 2 1361.33327 1373.74322 -12.4099531Paja Picada 3 1378.17282 1393.27694 -15.1041219

Paja Picada 4 1259.98377 1255.81422 4.16954687Paja Picada 5 1219.31911 1208.31052 11.0085906Paja Picada 6 1255.19633 1250.22742 4.96891563Paja Molida 1 1281.61017 1274.95647 6.65369965Paja Molida 2 1403.96968 1415.17802 -11.208342Paja Molida 3 1421.0701 1434.71174 -13.6416441Paja Molida 4 1301.01485 1297.24902 3.76582465Paja Molida 5 1259.68798 1249.74532 9.9426684Paja Molida 6 1296.15001 1291.66222 4.4877934Paja con A 1 2401.28585 2411.0593 -9.77344757Paja con A 2 2567.74449 2551.28085 16.4636441Paja con A 3 2590.85242 2570.81456 20.0378587Paja con A 4 2427.82032 2433.35185 -5.53152257Paja con A 5 2371.24361 2385.84814 -14.6045288Paja con A 6 2421.17304 2427.76504 -6.59200382Paja con U 1 1985.70501 1989.95228 -4.24727396Paja con U 2 2137.32848 2130.17383 7.15465104Paja con U 3 2158.41546 2149.70755 8.70790729Paja con U 4 2009.84098 2012.24483 -2.40384896Paja con U 5 1958.39439 1964.74113 -6.34673021Paja con U 6 2003.79332 2006.65803 -2.86470521

La suma de productos cruzados de los residuales esta dada por

P = 87.3786269

Y la suma de cuadrados de los residuales en la variable (q) esta dada por

Q = 2343.60442

El estimador del efecto curvilíneo puede ahora ser calculado por

=γ 0.03728

y su suma de cuadrados asociada con un grado de libertad es:

S.C.R. = 3.2574

La suma de cuadrados del error con 14 grados de libertad en la variable (y)

es

106.359679-3.2574 = 103.102279

Y su correspondiente cuadrado medio 7.3644

Por esto la prueba de F para aditividad esta dada por

F = 0.4423



Que se distribuye como una F con 1 y 14 grados de libertad. Por lo tanto,

con este valor de la F no se rechaza Ho y se concluye que no existe

suficiente evidencia acerca de un efecto cruzado entre bloques y

tratamientos. Así, podemos tomar la decisión de que el modelo del diseño

en bloques al azar es adecuado para la variable (y) digestibilidad de materia

seca.

Siguiendo con el análisis de la variable (y), al detectar un efecto significativo

de tratamientos y conocer la naturaleza de los tratamientos, podemos

identificar las comparaciones de interés y llevarlas a cabo por el método de

contrastes ortogonales. Los contrastes de interés son:

Tratamientos físicos contra tratamientos químicos.

Paja picada contra paja molida.

Paja tratada con urea contra paja tratada con amonio.

La tabla siguiente muestra los coeficientes de los contrastes:

Tratamiento Repeticiones Media fis vs quimpicada vsmolida

amonio vsurea

paja picada 6 35.8483333 -1 -1 0paja molida 6 36.4216667 -1 1 0tratada

amonio 6 49.625 1 0 -1tratada urea 6 45.1833333 1 0 1

La tabla de anova con los contrastes integrados es mostrada a

continuación:

Fuente deVariacion

Suma decuadrados

Grados delibertad

CuadradosMedios F Probabilidad


Tratamientos 822.136046 3 274.045349 38.6488589 2.6922E-07 3.28738211Fis vs quim 761.964704 (1) 761.964704 111.6922 2.4027E-08 4.54307712Picada vs

molida 0.98613333 (1) 0.98613333 0.139076 0.71441849 4.54307712Urea vsamonio 59.1852083 (1) 59.1852083 8.347 0.01123995 4.54307712Bloques 17.1037708 5 3.42075417 0.482432 0.7840427 2.90129454Error 106.359679 15 7.09064528

Total 945.599496 23

La diferencia detectada como significativa corresponde al contraste urea contra

amonio, lo cual significa que existe diferencia estadística entre el promedio de

digestibilidad de la paja tratada con urea (45.1833333) y la paja tratada con



amonio (49.625), por lo que si la digestibilidad se desea que se incremente,

entonces debe proporcionarse a las ovejas la paja tratada con amonio.

6. Aplicación de la prueba de aditividad al ejemplo 4.

a). Ajuste del modelo del diseño en bloques al azar a la variable original:

18 24 30 36 42Medias debloques Efs. De bloq

1 33.6 31.1 33 28.4 31.4 31.5 0.276666672 37.1 34.5 29.5 29.9 28.3 31.86 0.636666673 34.1 30.5 29.2 31.6 28.9 30.86 -0.363333334 34.6 32.7 30.7 32.3 28.6 31.78 0.556666675 35.4 30.7 30.7 28.1 29.6 30.9 -0.323333336 36.1 27.9 27.9 26.9 33.4 30.44 -0.78333333

Medias de

tratamiento 35.15 31.2333333 30.1666667 29.5333333 30.0333333 31.2233333Efs. De trat 3.92666667 0.01

-1.05666667 -1.69 -1.19

Valores estimados, predichos y residuales en la variable y:

bloque trat obs media gral efe trat efe bloque estimado residualBloque 1 18 33.6 31.22333333 3.92666667 0.27666667 35.4266667 -1.82666667Bloque 2 18 37.1 31.22333333 3.92666667 0.63666667 35.7866667 1.31333333Bloque 3 18 34.1 31.22333333 3.92666667 -0.36333333 34.7866667 -0.68666667

Bloque 4 18 34.6 31.22333333 3.92666667 0.55666667 35.7066667 -1.10666667Bloque 5 18 35.4 31.22333333 3.92666667 -0.32333333 34.8266667 0.57333333Bloque 6 18 36.1 31.22333333 3.92666667 -0.78333333 34.3666667 1.73333333Bloque 1 24 31.1 31.22333333 0.01000000 0.27666667 31.51 -0.41000001Bloque 2 24 34.5 31.22333333 0.01000000 0.63666667 31.87 2.62999999Bloque 3 24 30.5 31.22333333 0.01000000 -0.36333333 30.87 -0.37000001Bloque 4 24 32.7 31.22333333 0.01000000 0.55666667 31.79 0.90999999Bloque 5 24 30.7 31.22333333 0.01000000 -0.32333333 30.91 -0.21000001Bloque 6 24 27.9 31.22333333 0.01000000 -0.78333333 30.45 -2.55000001Bloque 1 30 33 31.22333333 -1.05666666 0.27666667 30.4433333 2.55666666Bloque 2 30 29.5 31.22333333 -1.05666666 0.63666667 30.8033333 -1.30333334Bloque 3 30 29.2 31.22333333 -1.05666666 -0.36333333 29.8033333 -0.60333334

Bloque 4 30 30.7 31.22333333 -1.05666666 0.55666667 30.7233333 -0.02333334Bloque 5 30 30.7 31.22333333 -1.05666666 -0.32333333 29.8433333 0.85666666Bloque 6 30 27.9 31.22333333 -1.05666666 -0.78333333 29.3833333 -1.48333334Bloque 1 36 28.4 31.22333333 -1.69000000 0.27666667 29.81 -1.41000001Bloque 2 36 29.9 31.22333333 -1.69000000 0.63666667 30.17 -0.27000001Bloque 3 36 31.6 31.22333333 -1.69000000 -0.36333333 29.17 2.42999999Bloque 4 36 32.3 31.22333333 -1.69000000 0.55666667 30.09 2.20999999Bloque 5 36 28.1 31.22333333 -1.69000000 -0.32333333 29.21 -1.11000001Bloque 6 36 26.9 31.22333333 -1.69000000 -0.78333333 28.75 -1.85000001Bloque 1 42 31.4 31.22333333 -1.19000000 0.27666667 30.31 1.08999999Bloque 2 42 28.3 31.22333333 -1.19000000 0.63666667 30.67 -2.37000001Bloque 3 42 28.9 31.22333333 -1.19000000 -0.36333333 29.67 -0.77000001Bloque 4 42 28.6 31.22333333 -1.19000000 0.55666667 30.59 -1.99000001Bloque 5 42 29.6 31.22333333 -1.19000000 -0.32333333 29.71 -0.11000001



Bloque 6 42 33.4 31.22333333 -1.19000000 -0.78333333 29.25 4.14999999

b). Ajuste del modelo del diseño en bloques al azar en la variable q:

bloque 18 24 30 36 42 medias bloef debloque

Bloque 1 1255.04871 992.8801 926.796545 888.6361 918.6961 996.411512 17.0797995Bloque 2 1280.68551 1015.6969 948.845345 910.2289 940.6489 1019.22111 39.8893995

Bloque 3 1210.11218 952.9569 888.238678 850.8889 880.3089 956.501112-

22.8306005Bloque 4 1274.96604 1010.6041 943.923212 905.4081 935.7481 1014.12991 34.7981995

Bloque 5 1212.89671 955.4281 890.624545 853.2241 882.6841 958.971512-

20.3602005

Bloque 6 1181.06778 927.2025 863.380278 826.5625 855.5625 930.755112-

48.57660051235.79616 975.794767 910.301434 872.491434 902.274767 979.331712

256.464444-

3.53694492-

69.0302783-

106.840278-

77.0569449

Valores observados, estimados y residuales en la variable q:

bloque trat q observada media gral ef de bloue ef de trat estim de q residualBloque 1 18 1255.04871 979.331712 17.0797995 256.464444 1252.87596 2.1727565Bloque 2 18 1280.68551 979.331712 39.8893995 256.464444 1275.68556 4.9999565

Bloque 3 18 1210.11218 979.331712 -22.8306005 256.464444 1212.96556-

2.85337683Bloque 4 18 1274.96604 979.331712 34.7981995 256.464444 1270.59436 4.37168983Bloque 5 18 1212.89671 979.331712 -20.3602005 256.464444 1215.43596 -2.5392435

Bloque 6 18 1181.06778 979.331712 -48.5766005 256.464444 1187.21956-

6.15177683Bloque 1 24 992.8801 979.331712 17.0797995 -3.53694492 992.874566 0.00553428Bloque 2 24 1015.6969 979.331712 39.8893995 -3.53694492 1015.68417 0.01273428

Bloque 3 24 952.9569 979.331712 -22.8306005 -3.53694492 952.964166-

0.00726572Bloque 4 24 1010.6041 979.331712 34.7981995 -3.53694492 1010.59297 0.01113428

Bloque 5 24 955.4281 979.331712 -20.3602005 -3.53694492 955.434566-

0.00646572

Bloque 6 24 927.2025 979.331712 -48.5766005 -3.53694492 927.218166-

0.01566572

Bloque 1 30 926.796545 979.331712 17.0797995 -69.0302783 927.381233-

0.58468794

Bloque 2 30 948.845345 979.331712 39.8893995 -69.0302783 950.190833

-

1.34548794Bloque 3 30 888.238678 979.331712 -22.8306005 -69.0302783 887.470833 0.76784539

Bloque 4 30 943.923212 979.331712 34.7981995 -69.0302783 945.099633-

1.17642128Bloque 5 30 890.624545 979.331712 -20.3602005 -69.0302783 889.941233 0.68331206Bloque 6 30 863.380278 979.331712 -48.5766005 -69.0302783 861.724833 1.65544539

Bloque 1 36 888.6361 979.331712 17.0797995 -106.840278 889.571233-

0.93513239

Bloque 2 36 910.2289 979.331712 39.8893995 -106.840278 912.380833-

2.15193239Bloque 3 36 850.8889 979.331712 -22.8306005 -106.840278 849.660833 1.22806761

Bloque 4 36 905.4081 979.331712 34.7981995 -106.840278 907.289633-

1.88153239Bloque 5 36 853.2241 979.331712 -20.3602005 -106.840278 852.131233 1.09286761Bloque 6 36 826.5625 979.331712 -48.5766005 -106.840278 823.914833 2.64766761



Bloque 1 42 918.6961 979.331712 17.0797995 -77.0569449 919.354566-

0.65846572

Bloque 2 42 940.6489 979.331712 39.8893995 -77.0569449 942.164166-

1.51526572Bloque 3 42 880.3089 979.331712 -22.8306005 -77.0569449 879.444166 0.86473428

Bloque 4 42 935.7481 979.331712 34.7981995 -77.0569449 937.072966

-

1.32486572Bloque 5 42 882.6841 979.331712 -20.3602005 -77.0569449 881.914566 0.76953428Bloque 6 42 855.5625 979.331712 -48.5766005 -77.0569449 853.698166 1.86433428

c). Obtener los valores P y Q a partir de los residuales encontrados:

P = -7.25106222

Q = 136.658476

d). Obtener el estimador del efecto curvilíneo y su suma de cuadrados

asociada:

Beta = -0.053059

S.C.R. = 0.38474

e). Prueba de aditividad de Tukey:

F = 0.38474/81.933927 =0.0047 con 1 grado de libertad en el numerador y 19

grados de libertad en el denominador, por lo que se toma la decisión de no

rechazar la hipótesis nula, concluyéndose entonces que el modelo de bloques

al azar es apropiados a este conjunto de observaciones.

Continuando entonces con el análisis, establecemos las tendencias lineal y

cuadrática en el anova de la variable original:

Fuentevariacion S.C. G.L. C.M. F

Probabilidad


Bloques 8.20966667 5 1.64193333 0.39892127 0.84373767 2.71088984Tratamientos 124.845333 4 31.2113333 7.58305123 0.00068956 2.8660814T. Lineal 85.4426667 1 85.4426667 20.7590016 0.00019193 4.3512435T.Cuadratica 36.8019048 1 36.8019048 8.94132674 0.00723358 4.3512435T. Cúbica 1.76816667 1 1.76816667 0.4295907 0.51965862 4.3512435T. Cuarto 0.83259524 1 0.83259524 0.20228589 0.65771869 4.3512435

Error 82.3186667 20 4.11593333

Total 215.373667 29

Las tendencias que resultan ser significativas son la lineal y la cuadrática, por

lo que se puede concluir que un modelo polinomial de segundo orden se ajusta

adecuadamente a este conjunto de observaciones.



Variable X Curva de regresión ajustada

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

15 25 35 45

Variable X

YY

Pronóstico para Y

Los coeficientes de la ecuación ajustada son:

Coeficientes Error típico

Intercepción 52.4138 4.82431978Variable X -1.30206 0.34008611Variable X^2 0.01838 0.00562884

Bajo este modelo estimado podemos determinar el nivel exacto de

espaciamiento en el cual se logra una producción mínima de paja, con el

siguiente procedimiento:

1. Derivar la variable y ajustada con respecto a la variable x:2. Igualar a cero la derivada.

3. Despejar la variable x.

Aplicando el procedimiento, se obtiene:

1. dy/dx = -1.30206 +2*(0.01838)x

2. -1.30206 + 0.03676x =0

3. x = 35.42 pulgadas de espaciamiento.

Con una producción mínima estimada en 29.354.



DISEÑO EN CUADRO LATINO

El diseño en cuadro latino es una generalización del diseño en bloques al azar,

consistente en que las variables de bloqueo usadas en el diseño son dos,

llamadas genéricamente la variable de hileras y la variable de columnas. El

nombre de este arreglo geométrico es debido a que el numero de niveles en las

variable de hileras es igual al numero de niveles en la variable de columnas y

es igual al numero de tratamientos, estos ultimos son denotados por letras

latinas dentro de las celdas del cuadrado que forman las hileras y las

columnas.

Una restricción en la aleatorizacion de este arreglo geométrico es que cada

letra correspondiente a uno de los tratamientos solo debe aparecer una vez en

cada hilera y en cada columna. El procedimiento de aleatorizacion en este

arreglo geométrico consiste de los siguientes pasos:

1. Empezar con la construcción de un cuadro latino estándar. Este

cuadro se caracteriza por el orden alfabético de las letras a partir de

la primera hilera y primera columna.

2. Aleatorizar las hileras para generar un segundo cuadro.

3. Aleatorizar las columnas del segundo cuadro para definir el cuadro

que va ser utilizado en el experimento.

Apliquemos el procedimiento de aleatorizacion a un cuadro latino de

dimension 4×4:

1. Cuadro latino estándar:

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4Hilera 1 A B C DHilera 2 B C D AHilera 3 C D A BHilera 4 D A B C

2. Aleatorizar hileras: Para este fin se pueden obtener cuatro números

aleatorios que se asignan en secuencia de generacion a las hileras

ordenadas en el cuadro latino estándar. En seguida los números

aleatorios se ordenan en magnitud, indicando así el orden aleatorio en

que deben estar las hileras. Usando el generador de números aleatorios

disponible en Excel, los números aleatorios generados son:



Numero Aleatorio

Orden Actual de

Hileras

Orden Aleatorio de

Hileras0.08060046 1 1

0.09297599 2 2

0.61098286 3 4

0.47095288 4 3

Así el nuevo cuadro, con hileras aleatorizadas debe ser

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4Hilera 1 A B C DHilera 2 B C D AHilera 3 D A B CHilera 4 C D A B

3. Aleatorizar columnas: Este paso se lleva a cabo de manera equivalentea las hileras, solo que en este caso aplicado a columnas:

Numero Aleatorio

Orden Actual decolumna

Ordenaleatorio deColumna

0.4209566 1 20.41984865 2 10.90356138 3 40.88228072 4 3

Por lo que el nuevo cuadro será:Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4

Hilera 1 B A D CHilera 2 C B A DHilera 3 A D C BHilera 4 D C B A

Este seria el cuadro latino que debe usarse como arreglo geométrico del

diseño experimental. Las letras pueden también ser asignadas al azar a los

tratamientos.

MODELO ESTADÍSTICO DEL DISEÑO EN CUADRTO LATINO:

Aparte de los tratamientos, este arreglo geométrico debe incorporar en el

modelo las dos fuentes de bloqueo, las hileras y columnas. Para construir el

modelo debemos considerar 3 subindices (i, j, k) que correspondan a cada

una de las fuentes de variación, pero el subíndice de tratamiento queda



definido por los subíndices de hilera y columna, lo que es generado por el

hecho de que tratamiento este anidado a hilera y columna. Esta situación es

representada en el modelo como:

Yijk = μ + τ k(ij) +β i+ γ j+ εijk

i = 1,2,…,t ; j = 1,2,…,t; k = 1,2,…t

t = numero de tratamientos.

n = t2 , numero total de observaciones en el arreglo.

Donde

μ Es la media general de la población.

τ k(ij) Es el efecto del tratamiento k en la hilera i y columna j.

β i Es el efecto de la hilera i.

γ j Es el efecto de la columna j.

εijk Es el error experimental en la hilera i, columna j y tratamiento k.

La hipótesis que se desea probar es solo acerca del efecto de los tratamientos,

es decir:

Ho: Todos los efectos de tratamiento son iguales a cero.

Contra la Ha: al menos uno de los efectos de tratamiento es diferente de cero.

Las variables de bloqueo incluidas en este arreglo son estrictamente, como en

el arreglo en bloques, para el control de la variación en las unidades

experimentales o de las condiciones en que se lleva a cabo el experimento,

pero no son de interés como factores de investigación. El objetivo entonces de

las variables de bloqueo sigue siendo eliminar posibles fuentes de variación en

el experimento que pudieran impactar sobre la variable de respuesta y

enmascarar el efecto de los tratamientos.

ANÁLISIS DE VARIANZA EN EL DISEÑO EN CUADRO LATINO:

Como Lo establece el modelo del diseño en cuadro latino, se supone que los

efectos son aditivos e independientes, por lo que para el análisis establecemos

las siguientes restricciones acerca de los parámetros del modelo:

Σ τ k(ij) = 0

Σβ i = 0



Σ γ j = 0

Ya que el numero de niveles en cada fuente de variación es t, entonces el

numero de parámetros independientes que deben ser estimados por cada

fuente de variación es (t - 1), y así los grados de libertad son:Para el modelo reducido: t2 – 1 = (t + 1)(t - 1)

Para el modelo completo: t2 – 1 - 3(t - 1)= t2 - 3(t )+2 = (t – 1) (t – 2)

La estimación de los parámetros del modelo es la que se ha venido

identificando en los otros dos arreglos geométricos:

τ k(ij) = Media del tratamiento k – Media General

β i = Media de la hilera i – Media General.

γ j = Media de la columna j – Media General.

La suma de cuadrados asociada al efecto de los tratamientos esta dada por:

S.C.(tratamientos) = t × Σ τ2k(ij) con ( t – 1 ) grados de libertad.

S.C. (hileras) = t × Σβ2i con ( t – 1 ) grados de libertad.

S.C. (columnas) = t × Σ γ2 j con ( t – 1 )grados de libertad.

La suma de cuadrados del total y sus grados de libertad asociados se

obtienen del ajuste del modelo reducido, en tanto que la suma de cuadrados

del residual y sus grados de libertad se obtienen del ajuste del modelocompleto. El resto de la tabla de análisis de varianza reobtiene de la manera

convencional.

F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Ft Pr > FcModelo 3( t - 1 ) S.C.To - S.C.EHileras t - 1 t (S.C.(ef. Hilera))Columnas t - 1 t (S.C.(ef. Columna))Tratamientos t - 1 t (S.C. (ef. Tratamiento)Error (t-1)(t-2) S.C.E. Mod. CompletoTotal t^2 - 1 S.C.E. Mod. Reducido

Ejemplo numérico 1. Se llevo a cabo un experimento en un diseño en

cuadro latino en el que se deseaba comparar el efecto de 5 fuentes de

fertilización nitrogenada y un testigo sobre la producción de azucar de

remolacha. Las fuentes a comparar fueron:

A: Sulfato de amonio.

B: Nitrato de amonio.

C: UreaD: Nitrato de calcio.



E: Nitrato de sodio.

F: Control, sin nitrogeno.

Los resultados del experimento fueron:

c1 c2 c3 c4 c5 c6H1 F=28.2 D=29.1 A=32.1 B=33.1 E=31.1 C=32.4H2 E=31.0 B=29.5 C=29.4 F=24.8 D=33.0 A=30.6H3 D=30.6 E=28.8 F=21.7 C=30.8 A=31.9 B=30.1H4 C=33.1 A=30.4 B=28.8 D=31.4 F=26.7 E=31.9H5 B=29.9 F=25.8 E=30.3 A=30.3 C=33.5 D=32.3H6 A=30.8 C=29.7 D=27.4 E=29.1 B=30.7 F=21.4

Para llevar a cabo el análisis de este conjunto de datos se aplica

primeramente el análisis de varianza y se anexa el siguiente conjunto de

contrastes ortogonales:1. Testigo vs. Tratados.

2. Organico vs. Inorganicos.

3. Sales de amonio vs. Sales de no amonio.

4. Sulfato de amonio vs. Nitrato de amonio.

5. Nitrato de calcio vs. Nitrato de sodio.

Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Ft P>FcHileras 5 32.1880555 6.43761111 4.25549027 2.71088984 0.00848296Columnas 5 33.6680556 6.73361111 4.45115681 2.71088984 0.00689471Tratamientos 5 185.764722 37.1529444 24.5594198 2.71088984 6.718E-08

Testigo vs. Tratados 1 180.200056 180.200056 119.118656 4.35124348 7.1267E-10Organico Vs. Inorg 1 3.81633333 3.81633333 2.52273228 4.35124348 0.12790015 Amoniac Vs. No Amoniac 1 0.20166667 0.20166667 0.13330885 4.35124348 0.71885832Sulfato vs. Nitrato(amoniac) 1 1.33333333 1.33333333 0.88138083 4.35124348 0.35902438Ca vs. Na (Nitratos) 1 0.21333333 0.21333333 0.14102093 4.35124348 0.71122148

Error 20 30.2555556 1.51277778Total 35 281.876389

El efecto de tratamientos detectado por el análisis de varianza en la prueba

de tratamientos con los 5 grados de libertad, es debida solamente a la

diferencia que existe entre los tratamientos con nitrógeno y el testigo, pues

la significancia de los contrastes ortogonales solo resulto menor de .05 paraeste contraste, no detectándose ningún otro contraste como significativo, lo



que indica que en cuanto a la variable de respuesta evaluada, todos los

fertilizantes tienen el mismo efecto.

CUADROS LATINOS AUMENTADOS:

Una desventaja de este arreglo geométrico es que cuando el numero de

tratamientos es pequeño, esto trae como consecuencia un escaso numero

de grados de libertad para el error. Por ello se recomienda,

fundamentalmente en estos casos, aumentar el diseño en cuadro latino a

través de repeticiones completas de los cuadros, que puede estar asociada

a algún otro factor de bloqueo, diferente al empleado para definir las hileras

y columnas, por ejemplo, años en que se lleva a cabo el experimento, sitios

en que se lleva a cabo el experimento, etc. Debemos distinguir

fundamentalmente tres tipos de cuadros latinos repetidos:

1. Con hileras y columnas comunes en cada repetición del cuadro. Sucede

con hileras y columnas lo mismo que con los tratamientos, son los

mismos niveles en cada repetición, por lo que las repeticiones se

asocian mas comúnmente a tiempo. El modelo para este arreglo es el

del cuadro latino convencional con el efecto aditivo de repeticiones.

Yijkl = μ + ρi + τ l(ijk) +β j+ γ k+ εijkl

En este caso, entonces, solo se agrega la fuente de variación de repetición

en el anova con (r-1) grados de libertad, siendo r el numero de repeticiones

de cuadros latinos completos. Cada una de las fuentes de variación en el

modelo (hileras, columnas y tratamientos) contribuyen con (t-1) grados de

libertad. El numero total de observaciones es ahora r×t² , por lo que los

grados de libertad para el total son (r×t²-1) quedando para el error la

diferencia definida por (t-1)×[r×(t+1)-3].

Con tres repeticiones en un cuadro latino con tres tratamientos, los

grados de libertad en el error aumenta 9 veces en comparación con una

sola repetición.

Ejemplo numérico 2. Considere la situación experimental en una

industria en la que se están probando tres tipos de soldadura

(tratamientos) y se controlan como variables de bloqueo el fundente

(columnas) y el operador que lleva a cabo el proceso (hileras), en dosmaquinas soldadoras diferentes (repeticiones). La variable de respuesta



es la resistencia de las piezas soldadas a la separación de piezas. Los

resultados se muestran en la siguiente tabla.

R 1 R 1 R 1 R 2 R 2 R 2Fund 1 Fund 2 Fund 3 Fund 1 Fund 2 Fund 3

Op 1 A = 14.0 B = 16.5 C = 11.0 C = 10 B = 16.5 A = 13.0Op 2 C = 9.5 A = 17.0 B = 15.0 A = 12.0 C = 12.0 B = 14.0Op 3 B = 11.0 C = 12.0 A = 13.5 B = 13.5 A = 18.0 C = 11.5

El resultado del análisis de varianza es mostrado:

F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Ft Pr>FcModelo 7 90.7222222Repeticion 1 0.05555556 0.05555556 0.04032258 4.9646027 0.844876514Fundentes 2 41.3333333 20.6666667 15 4.10282102 0.000976563Operadores 2 0.25 0.125 0.09072581 4.10282102 0.914011146Tratamientos 2 49.0833333 24.5416667 17.8125 4.10282102 0.000505808

Error 10 13.7777778 1.37777778Total 17 104.5

La interpretación de resultados es que los tratamientos tienen un efecto

significativo. Las medias de los tratamientos son:

Tratamiento Totales ObservacionesMedia deTrat

A 87.5 6 14.5833333B 86.5 6 14.4166667C 66 6 11

Donde se observa que el tratamiento C es el de menor respuesta, entanto que el A y B son de valores muy similares y mas altos que el del

tratamiento C. Lleve a cabo la prueba de separación de medias de

Tukey para reportar las diferencias y llevar a cabo la toma de decisión y

recomendación de la soldadura.

2. Con una variable de bloqueo con diferentes niveles en las repeticiones y

la otra variable de bloqueo con niveles comunes en las diferentes

repeticiones. Supóngase ahora que se desean probar los mismos 3 tiposde soldadura, pero el experimento se desea de resultados lo mas rápido

posible, por lo que un numero de operadores diferentes van a ser

empleados en cada repetición, usando los mismos fundentes para todas

las repeticiones. En este caso los operadores van a estar asociados a

cada repetición, por lo que este factor se cataloga como anidado dentro

de repetición. Conviene entonces en este apartado revisar el análisis de

los factores jerárquicos. En este ejemplo articular, el factor de jerarquía

superior es la repetición y el de jerarquía inferior son los operadores. La



estimación de los efectos del factor de jerarquía superior se llevan a

cabo de la manera acostumbrada, pero los efectos del factor de

jerarquía inferior se llevan a cabo dentro de cada nivel del factor de

jerarquía superior. En este ejemplo tenemos que llevar a cabo la

estimación de cada operador dentro de cada repetición del cuadro latino,

ya que en cada uno los operadores serán diferentes (media de operador

menos la media de repetición). Esto implica que en cada repetición se

deberán estimar (t-1) parámetros independientes, por lo que los grados

de libertad para esta fuente de variación serán r×(t-1). El modelo

estadístico es similar al del cuadro latino con repeticiones con factores

de bloqueo comunes, con la única diferencia de que ahora debe ser

especificado el anidamiento de una de las fuentes de bloqueo.

Yijkl = μ + ρi + τ l(ijk) +β j(i) + γ k+ εijkl

Los grados de libertad en el error para este modelo van a estar definidos

por (t-1)×(r×t – 2). El incremento en los grados de libertad en el error es

menor bajo este arreglo, por la mayor cantidad de parámetros

independientes que deben ser estimados.

Ejemplo numérico 3. A continuación se muestran los datos del segundo

experimento en la industria referente a la soldadura con diferentes

operadores en cada repetición. Una tabla de análisis de varianza es

mostrada enseguida de los datos. En dicha tabla se observa una

significancia para todos los efectos. Las medias de los tipos de soldadura

son requeridos para seleccionar el mejor nivel. Los valores resultaron ser:

Media A = 296 , Media B = 253.3, Media C = 210.6

Por lo que la mejor soldadura es la del tipo A.

Fundente 1 Fundente 2 Fundente 3Rep 1 Operador 1 B = 265 A = 311 C = 249

Operador 2 A =350 C = 284 B = 330Operador 3 C = 258 B = 305 A = 351

Rep 2 Operador 4 B = 220 A = 276 C = 189Operador 5 A = 319 C = 232 B = 264Operador 6 C = 175 B = 254 A = 307

Rep 3 Operador 7 B = 159 A = 205 C = 142

Operador 8 A = 262 C = 168 B = 246Operador 9 C = 198 B = 237 A = 283



F.V. G.L. S-C. C.M. Fc Ft P > Fc

Modelo 12 84904.2222

Repeticion 2 36140.5185 18070.2593 134.60819 3.73889183 7.2122E-10Oper(Rep 6 14565.7778 2427.62963 18.0837932 2.847726 7.4259E-06Fund 2 1344.51852 672.259259 5.00776446 3.73889183 0.02287974Tratamiento 2 32853.4074 16426.7037 122.365087 3.73889183 1.3582E-09

Error 14 1879.40741 134.243386Total 26 86783.6296

Conviene llevar a cabo la prueba de separación de medias de Tukey para

mostrar las diferencias significativas entre los tratamientos y poder

establecer la recomendación.

3. Con hileras y columnas con diferentes niveles en cada repetición del

cuadro.

Considere ahora la situación en que lo único que es común en las

repeticiones del cuadro latino son los tratamientos, usando diferentes

niveles del factor hilera y del factor columna en cada una de las

repeticiones. Esto implica que tanto hileras como columnas están anidadasdentro de cada repetición. El modelo estadístico para este arreglo

geométrico es

Yijkl = μ + ρi + τ l(ijk) +β j(i) + γ k(i)+ εijkl

En base a este modelo los grados de libertada para el error experimental

quedan definidos por la expresión (t-1)×(r×t-r-1) . Como puede sospecharse,

por el numero de parámetros a estimar, este es el cuadro latino repetido

que tiene un menor incremento en los grados de libertad en el error, ya quela estimación de efectos de hilera y columna se llevan a cabo dentro de

cada repetición.

Ejemplo numérico 4. Como un ejemplo considere la situación en la que se

están probando cuatro diferentes tratamientos (A, B, C, D) para mejorar el

valor nutricional de subproductos agrícolas para la alimentación del ganado.

Se dispone de dos zonas climáticas, cada una de las cuales produce cuatro

diferentes tipos de subproductos agrícolas que se pueden someter a losmismos tratamientos, y en cada zona climática son usados 4 diferentes



animales en los que se prueba el subproducto tratado. La variable a medir

es el porcentaje de disgestibilidad. Los resultados se muestran a

continuación:

S U B P R O D U C T O S

ANIMAL 1 2 3 41 C = 0.2 A = 0.24 D = 0.2 B = 0.272 B = 0.28 C = 0.19 A = 0.22 D = 0.283 D = 0.34 B = 0.23 C = 0.21 A = 0.284 A = 0.32 D = 0.22 B = 0.16 C = 0.27

5 6 7 85 B = 0.29 A = 0.25 C = 0.18 D = 0.286 D = 0.28 B = 0.18 A = 0.21 C = 0.257 C = 0.28 D = 0.23 B = 0.2 A = 0.28

8 A = 0.3 C = 0.19 D = 0.24 B = 0.25

Se requiere en primer lugar la estimación de los efectos de acuerdo al

modelo establecido:

Media general: 0.24375

Efecto de la repetición: Media de repetición – Media general.

Efecto de la repetición 1 = 0.000625

Efecto de la repetición 2 = - 0.000625

Efectos de hilera en la repetición 1: Media de la hilera – Media Repetición 1

Efecto de la hilera 1 (Repetición 1) = 0.016875

Efecto de la hilera 2 (Repetición 1) = -0.001875



Efectos de hilera en la repetición 2: Media de la hilera – Media Repetición 2





Recalcamos que una estimación de efectos anidados consiste en la estimación

separada de los efectos en cada nivel del factor de jerarquía superior.

Efectos de columna en repetición 1: Media de la columna – Media repetición 1

Efecto de la Columna 1 (Repetición 1) = 0.040625

Efecto de la Columna 2 (Repetición 1) = -0.024375





Efectos de columna en repetición 2: Media de la columna – Media repetición 2





Efecto de los Tratamientos: Media de tratamiento – Media general.

Efecto del tratamiento 1 = 0.01875

Efecto del tratamiento 2 = -0.01125

Efecto del tratamiento 3 = -0.0225

Efecto del tratamiento 4 = 0.015

En base a estos efectos estimados se pueden deducir los grados del libertad,

las sumas de cuadrados de los efectos, el modelo completo y el modelo

reducido, es decir, se puede derivar todo el análisis de varianza.

Vamos a repasar primero los grados de libertad asociados a los efectos

incluidos en el modelo. Como regla general, los grados de libertad del efecto

corresponde al numero de parámetros independientes estimados para dicho

efecto. Entonces:

Para repeticiones es un grado de libertad, ya que se estimaron dos efectos de

repetición, pero su suma es igual a cero, de tal forma que independientes solo

se estima uno.

Para hileras anidadas en repeticiones, se tienen 4 estimaciones en la repetición

uno y otras 4 en la repetición dos, pero, en cada caso su suma es cero, por lo

que solo quedan 3 estimaciones independientes en cada repetición, y así, los

grados de libertad para hileras en repetición son 6.

Para columnas anidadas en repetición, se tiene una situación equivalente a la

de hileras, 4 estimadores de columnas en cada repetición, pero solo tres

independientes en cada caso, por lo que los grados de libertad de columnas

anidadas en repetición son también 6.

Para tratamientos es una situación diferente, ya que los tratamientos son

comunes en ambas repeticiones, para calcular los estimadores de los efectos

se juntan ambas repeticiones y se obtienen solo 4 estimadores, de los cuales,



por ser su suma igual a cero, se consideran 3 independientes, que son los

grados de libertad de los tratamientos.

Los grados de libertad para el total siempre se calculan como el numero total

de observaciones menos una, por lo que en este caso, cada repetición del

cuadro latino incluye 4×4=16 observaciones en cada repetición, y por ser dos

repeticiones, entonces el numero total de observaciones son 32. Los grados de

libertad del total son entonces 31.

Aplicando la expresión derivada para grados de libertad especifica para este

tipo de cuadro latino aumentado (hileras y columnas diferentes en cada

repetición) se obtienen 15 grados de libertad.

Las sumas de cuadrados asociadas a cada uno de los efectos se obtiene

mediante los efectos estimados, elevados al cuadrado y sumados sobre todas

las observaciones.

La tabla de análisis de varianza para estos datos es mostrada:

F.V G.L. S.C. C.M. Fc Ft Pr > Fc

Modelo 16 0.0536625

Repeticion 1 0.0000125 0.0000125 0.02377179 4.54307712 0.87952229Hileras(rep) 6 0.0038375 0.00063958 1.2163233 2.790465 0.35123807

Colum(rep) 6 0.0401375 0.00668958 12.72187 2.790465 3.8579E-05tratamientos 3 0.009675 0.003225 6.13312203 3.28738211 0.00621636

Error 15 0.0078875 0.00052583Total 31 0.06155

Los valores de significancia indican una diferencia estadística entre

tratamientos, por lo que es necesario aplicar la prueba de Tukey a las medias

de los tratamientos para determinar cuales medias son diferentes. Las medias

de los tratamientos son: A = 0.2625

B = 0.2325

C = 0.22125

D = 0.25875

Prueba de separación de medias de Tukey:

Ordenar las medias de mayor a menor:

A = 0.2625D = 0.25875



B = 0.2325

C = 0.22125

Construir una tabla de diferencia de medias:

A D B C A A-D=0.00375 A-B=0.03000 A-C=0.04125D D-B=0.02625 D-C=.0375B B-C=0.01125C

Valor HSD: Diferncia honesta significativa de Tukey:

Error estándar de la media = 0.008107

Valor critico de la tabla de Tukey = 4.08

HSD = 0.008107×4.08 = 0.033Declaracion de diferencias significativas:

A-D < HSD , No significativa

A-B < HSD , No significativa

A-C > HSD , Significativa

D-B < HSD , No significativa.

D-C > HSD , Significativa.

B-C < HSD , No significativa.Separación de medias:

A = 0.2625a D = 0.25875a B = 0.2325ac C = 0.22125c

Los tratamientos A y D estadísticamente iguales son los que incrementaron

mas la respuesta. El tratamiento C es el de mas baja respuesta y

estadísticamente es igual al tratamiento B, que por estar en valor intermedio,

también es estadísticamente igual an los tratamientos A y D.

ARREGLOS DE TRATAMIENTOS:

Los arreglos de tratamientos se refieren al conjunto de tratamientos que deben

ser incluidos en un experimento para poder llevar a cabo las hipótesis que se

plantean en la investigación. De esta manera, si la hipótesis establece solo los

efectos de tratamientos referentes a un solo factor, entonces el arreglo de

tratamientos requerido es un arreglo unifactorial.



Por otro lado, si las hipótesis que se desean probar se refieren a dos o

mas factores, entonces el arreglo a seleccionar es un arreglo multifactorial, que

puede ser un arreglo factorial o un arreglo en parcelas divididas.

El arreglo factorial es seleccionado cuando el tamaño de la unidad

experimental es el mismo para cualquiera de los factores que se desean

probar. Bajo este arreglo se aleatorizan independientemente los niveles de

cada uno de los factores a las unidades experimentales. De manera

equivalente, se pueden formular todas las posibles combinaciones de los

niveles de los factores y considerarlas como tratamientos, llevando a cabo una

aleatorizacion de acuerdo al arreglo geométrico de las unidades

experimentales.

El arreglo de parcelas divididas es seleccionado cuando el tamaño de la

unidad experimental requerido para probar los niveles de un factor es mas

grande (factor de parcela principal) comparado con el tamaño de la unidad

experimental para probar otro factor (factor de subparcela). En estos arreglos

de tratamientos las unidades experimentales para probar el factor de parcela

principal son aleatorizados de acuerdo a algún arreglo geométrico

seleccionado. Posteriormente la parcela principal ya tratada con el nivel del

factor de parcela principal es dividida (de ahí su nombre) en un numero de

subunidades igual al numero de niveles del factor de subparcela, el cual es

asignado de manera aleatoria.

Ejemplo típico de un arreglo factorial:

Se desea investigar el efecto de la fuente de proteína y la cantidad de proteína

en la dieta para mascotas de tipo roedor, sobre sus ganancias de peso, con la

finalidad de minimizar crecimiento. Las fuentes de proteína investigadas son de

tres tipos: Res, soya y puerco. Un factor fijo, cualitativo y con tres niveles. Los

niveles del factor cantidad de proteína en la dieta son dos, denominados el

nivel alto y el nivel bajo. Es un factor fijo, cuantitativo con dos niveles. La

denominación de los niveles de este factor (alto y bajo) no le quita la naturaleza

cuantitativa al factor. El arreglo factorial requerido para probar estos factores es

caracterizado como un 3×2, o sea, los tres niveles del factor tipo de proteína y

dos niveles del factor cantidad de proteína en la dieta, dando un arreglo con 6combinaciones , cada una de las cuales constituye un tratamiento. Ya que se



cuenta con un grupo homogéneo de 60 animales de este tipo, se separan en 6

grupos de 10 animales cada uno, en forma completamente aleatoria, asignando

a cada grupo un tratamiento. Este es un caso típico en que ambos factores

requieren del mismo tamaño de unidad experimental (el animal) para probar

ambos factores.

Los datos obtenidos de las ganancias de peso para cada animal se muestran

en la siguiente tabla:

ALTA

PROTEÍNABAJA

PROTEÍNARes Soya Puerco Res Soya Puerco

73 98 94 90 107 49

102 74 79 76 95 82118 56 96 90 97 73104 111 98 64 80 8681 95 102 86 98 81

107 88 102 51 74 97100 82 108 72 74 10687 77 91 90 67 70

117 86 120 95 89 61111 92 105 78 58 82

Las hipótesis que se desean probar son:

1. Ho: No hay efecto de la cantidad de proteína.

2. Ho: No hay efecto de la fuente de proteína.

3. Ho: No hay efecto de interacción de cantidad por tipo de proteína.

Efecto de interacción:

Siempre que se lleva a cabo un experimento multifactorial el objetivo

fundamental es investigar el efecto conjunto de los factores. Esto implicainvestigar como los niveles de un factor pueden modificar el efecto de otro

factor sobre una respuesta.

En nuestro ejemplo de las mascotas esto llevaría a determinar como el

efecto de la cantidad de proteína se ve modificado al cambiar las fuentes de

proteína. En otras palabras, indagar si el efecto de la cantidad de proteína

es el mismo para cada una de las fuentes investigadas.

Si el efecto de la cantidad de proteína resulta ser el mismo para cadafuente, es decir, el cambio en respuesta promedio por efecto de la cantidad



de proteína para cada fuente resulta muy homogéneo, esto refleja que la

fuente de proteína no modifica el efecto de la cantidad, por lo tanto, bajo

esta situación se considera que el efecto de los factores sobre la variable de

respuesta son independientes, esto es, cada uno de los factores tiene su

efecto sobre la respuesta indistintamente del nivel en el que se encuentra el

otro factor.

Sobre otro punto de vista, si el efecto de la cantidad de proteína se modifica

para cada una de las fuentes, entonces existe una dependencia entre los

dos factores. La magnitud de cambio en la variable de respuesta debido a la

cantidad de proteína va a depender de la fuente de proteína que se este

considerando, situación que caracteriza un efecto de interacción de

cantidad por fuente. Esto equivale a observar diferentes pendientes o tasas

de cambio de un factor para diferentes niveles de un segundo factor. El

efecto de un factor bajo una situación de interacción se potencializa o inhibe

de acuerdo al nivel del segundo factor. Los efectos de los factores no son

independientes, sino todo lo contrario, existe un efecto cruzado de los

factores.

Bajo una situación de interacción de factores no tiene sentido entonces

concluir acerca de cada uno de los factores por separado, por la

dependencia que existe del efecto de un factor y los niveles de un segundo

factor.

En los estudios multifactoriales vamos a distinguir dos tipos de efectos:

1. Los efectos principales, que evalúan el cambio en respuesta por los

niveles de un factor, ignorando los niveles del resto de los factores.

2. Los efectos de interacción, que evalúan el cambio en el efecto de un

factor a diferentes niveles de un segundo factor. Las interacciones se

clasifican de acuerdo al numero de factores que se consideran en la

interacción como:

a), Interacciones de primer orden, cuando solo se consideran dos

factores en la interacción. Por ejemplo, la interacción cantidad de

proteína por fuente de proteína es una interacción de primer orden y es



la única que puede ser investigada , ya que solo se incluyen en el

experimento estos dos factores.

b). Interacciones de segundo orden o de tres factores, que estudia el

efecto conjunto de tres factores, es decir, como se modifica el efecto de

un factor al variar los niveles de un segundo y un tercer factor en el

experimento.

Sucesivamente se pueden definir, de manera equivalente las

interacciones de mas alto orden. Al llevar a cabo el análisis de los datos

de un estudio multifactorial con repeticiones en cada combinación de

niveles de los factores, deben ser incluidas todas las posibles

interacciones, para poder determinar cuales son significativas.

EJEMPLO TÍPICO DE UN ARREGLO EN PARCELAS DIVIDIDAS:

Se realiza un experimento para determinar la dispersión del pigmento en

la pintura. Se estudian 4 mezclas de un pigmento particular. El

procedimiento consiste en preparar una mezcla y aplicarla sobre una

tabla mediante tres métodos de aplicación (con brocha, por aspersión y

con rodillo). La respuesta se mide mediante el porcentaje de reflexion del

pigmento. Se requieren de tres dias para llevar a cabo el experimento.

Los datos obtenidos se muestran a continuación:

M E Z C L ADia Método de Aplicación 1 2 3 4

1 1 64.5 66.3 74.1 66.52 68.3 69.5 73.8 703 70.3 73.1 78 72.3

2 1 65.2 65 73.8 64.8

2 69.2 70.3 74.5 68.33 71.2 72.8 79.1 71.53 1 66.2 66.5 72.3 67.7

2 69 69 75.4 68.63 70.8 74.2 80.1 72.4

De acuerdo a la descripción del experimento, se preparo cada una de las

mezclas (factor de parcela principal) y la mezcla es aplicada por tres

métodos (factor de subparcela). En cada día (bloque) se preparan y

aplican las cuatro mezclas. La parcela principal esta formada por la



mezcla y día y como un ejemplo se tienen los datos de la siguiente

parcela principal:

Dia Método de Aplicación MEZCLA 1

1 1 64.52 68.33 70.3

Y la subparcela seria método de aplicación, mezcla y día, cada una de

las piezas de información.

Dia Método de Aplicación MEZCLA 1

1 1 64.5

Las hipótesis que se desean probar son:

1. Ho: No hay efecto de mezcla.

2. Ho: No hay efecto de método de aplicación.

3. Ho: No hay efecto de interacción de mezcla por método de

aplicación.

Como puede ser visualizado a partir de estos ejemplos tipicos de cada arreglo

de tratamientos, la selección esta basada en un criterio netamente practicote

llevar a cabo la aplicación de los niveles de los factores a las unidades

experimentales; cada una de las diferentes situaciones debe reflejarse en el

modelo estadístico y consecuentemente en el análisis de resultados.

ARREGLO FACTORIAL DE TRATAMIENTOS:

El tema de arreglos factoriales de tratamiento debe ser revisado bajo la

siguiente secuencia de subtemas:

1. Arreglos factoriales en general.

2. Series 2 a la k.

3. Series 3 a la k.

4. Fracciones de las series 2 a la k aplicando la técnica de la confusión.5. Bloqueo en las series 2 a la k.



Estos arreglos constituyen la base fundamental de los arreglos empleados en

las metodologías de optimización, tales como la metodología de Taguchi y la

metodología de superficie de respuesta.

ARREGLOS FACTORIALES EN GENERAL:

En este subtema vamos a considerar los arreglos factoriales en los que

cada factor tiene su numero muy particular de niveles. Suponga que se tienen 3

factores, que convencionalmente los denotamos con letras mayúsculas,

digamos el factor A, el factor B y el factor C. sea a el numero de niveles en el

factor A, b el numero de niveles en el factor B y c el numero de niveles en el

factor C. Cada uno de los niveles de los factores se pueden representar con la

letra minúscula del factor seguido de un subíndice que corre desde cero hasta

el numero de niveles en el factor menos uno. Así por ejemplo, el factor A con a

niveles, pueden ser representados por

a0,a1,…aa-1

esta notación para niveles puede ser usada también para el resto de los

factores.

Entonces tenemos un arreglo factorial denotado por

a×b×c

Esta notación convencional para caracterizar los arreglos factoriales nos

informa directamente el numero de factores que se están investigando en el

experimento y el numero de niveles en cada uno de los factores.

Adicionalmente, el resultado de la multiplicación corresponde al numero de

tratamientos que se generan en este arreglo. Cada tratamiento es una

condición experimental diferente que se caracteriza por un nivel particular en

cada uno de los factores. Así cada tratamiento debe corresponder a una de las

combinaciones de los niveles de los factores. Para generar una estructura

factorial se pueden emplear varios métodos, por ejemplo el método tabular, el

método de diagrama de arbol o el método computacional.

El método tabular trabaja de manera adecuada cuando son pocos los factores

que se van a considerar, a lo mas cuatro. Se construye una tabla de doble

entrada, con hileras correspondiendo a las combinaciones de dos factores (olos niveles de un factor) y las columnas correspondiendo a las combinaciones



de otros dos factores (o niveles de otro factor). Las celdas generadas en esta

tabla constituyen cada una de las combinaciones de tratamiento que deben ser

incluidas en el arreglo factorial.

Construya un arreglo factorial 3×2×4 en forma tabular:

Es un arreglo factorial con tres factores, A,B y C, en el que el factor A tiene tres

niveles (a0,a1,a2) , el factor B tiene dos niveles (b0,b1) y el factor C tiene 4

niveles (c0,c1,c2,c3). Cada nivel de un factor debe combinarse con todos los

niveles de los otros factores. En este ejemplo generamos las combinaciones de

los primeros dos factores (A×B) a las que colocamos como encabezados de

columna de la tabla, en tanto que los niveles del factor C los colocamos como

encabezados de hilera, formano así la siguiente estructura:

a0 a1 a2

b0 b1 b0 b1 b0 b1

c0 a0 b0 c0 a0 b1 c0 a1 b0 c0 a1 b1 c0 a2 b0 c0 a2 b1 c0




Si esta tabla la desdoblamos para que nos quede en forma vertical, solo

debemos considerar los siguientes valores:

1. El numero total de combinaciones: 24

2. Numero de veces que se va a repetir cada nivel del factor A: 24/3=8

3. Numero de veces que se va a repetir cada nivel del factor B en cada

nivel del factor A: 8/2 = 4

4. Numero de veces que se va a repetir cada nivel del factor C en cada

nivel del factor B: 4/4=1.

a0 b0 c0

a0 b0 c1

a0 b0 c2

a0 b0 c3

a0 b1 c0

a0 b1 c1

a0 b1 c2

a0 b1 c3

a1 b0 c0

a1 b0 c1

a1 b0 c2

a1 b0 c3



a1 b1 c0

a1 b1 c1

a1 b1 c2

a1 b1 c3

a2 b0 c0

a2 b0 c1

a2 b0 c2

a2 b0 c3

a2 b1 c0

a2 b1 c1

a2 b1 c2

a2 b1 c3

Modelo estadístico para una estructura factorial:

Para generar el modelo estadístico de una estructura factorial debemosconsiderar en primer lugar, el modelo estadístico básico que incluiría el arreglo

geométrico que se utilizo para acomodar los tratamientos a las unidades

experimentales y el efecto de los tratamientos, como si estos constituyeran una

estructura unifactorial.

Enseguida, vamos a desdoblar los efectos de tratamientos en los efectos

principales y efectos de interacción. Para ello debemos disponer de un

subíndice, adicional a los del arreglo geométrico, por cada factor incluido en el

arreglo factorial. Se deben considerar en el modelo estadístico todos los

efectos principales y todos los posibles efectos de interacción entre los

factores.

Ejemplo: Genere el modelo estadístico para el ejemplo de las mascotas.

1. Modelo estadístico Básico: Ya que se trata de un arreglo geométrico

completamente al azar con 6 tratamientos y 10 repeticiones por

tratamiento, el modelo estadístico básico es:

Yij = μ + τi + εij ; i=1,2,..,6 ; j=1,2,…,10

El estimador de la media general es la media de todas las observaciones, dada

por 87.86666667.

Los efectos de tratamiento vienen dados por:

12.13333333-1.96666666711.63333333

-8.666666667-3.966666667-9.166666667



El anova bajo este modelo esta dado por

Fuente devariación G.L. S.C. C.M Fc Ft Pr > Fc

Tratamientos 5 4612.9333 922.5866 4.2999 2.3860 0.0023Error 54 11586.0000 214.5555Total 59 16198.9333

La conclusión a partir de este análisis es que si existe una diferencia

significativa de los tratamientos; sin embargo, no sabemos si esta diferencia se

puede atribuir a efectos principales o a un efecto de interacción entre los dos

factores, por lo que se hace necesario separar la fuente de variación de los

tratamientos bajo un modelo que incluya los efectos principales y efecto de

interacción.

2. Desdoblamiento del efecto de tratamientos en efectos principales y

efectos de interacción: Los factores incluidos en el arreglo factorial

de tratamientos fueron la fuente de proteína, con tres niveles y la

cantidad de proteína con dos niveles, por lo que requerimos de 2

subindices, uno para cada factor, mas el subíndice para repeticiones.

Nuestro modelo incluyendo la estructura factorial queda como:

Yijk = μ + αi + β j + (αβ)ij + εijk ;

i=1,2,3; j=1,2; k=1,2, …,10

Donde

Yijk = Variable de respuesta en la repetición k del nivel i de la fuente de

proteína y el nivel j de la cantidad de proteína.

μ = Media general del experimento.

αi = Efecto del nivel i del factor fuente de proteína.

β j = Efecto del nivel j del factor cantidad de proteína.

(αβ)ij = Efecto de la interacción del nivel i de la fuente de proteína y el nivel jde la cantidad de proteína.



εijk = Error experimental en la repetición k en el nivel i de la fuente de

proteína y el nivel j de la cantidad de proteína.

Para propósitos de estimación de los efectos las restricciones que deben

imponerse son:Restricción para la estimación de los efectos del factor fuente de proteína.

Σi αi = 0

Restricción para la estimación de los efectos del factor cantidad de proteína

Σ j β j = 0

Restricciones para la estimación de los efectos de interacción entre los factores

cantidad y fuente de proteínas.

Σi (αβ)ij = 0 Σ j (αβ) jj = 0 ΣΣij (αβ) jj = 0

Bajo este conjunto de restricciones las estimaciones de los efectos son:

Media general del experimento es la que corresponde a la media de todas las

observaciones. Para este conjunto de observaciones corresponde a la media

de las 60 observaciones que es igual a 87.86666667 y constituye el primer estimador independiente del modelo.

Efecto del nivel i de la fuente de proteína es igual a la media del nivel i de la

fuente de proteína menos la media general. Ya que los niveles del factor fuente

de proteína son res, cereal y puerco, entonces son tres estimadores los que

vamos a calcular, pero por la restricción impuesta su suma debe ser igual a

cero y por ello solo dos serán independientes

Fuente Promedio EfectoRes 89.6 1.733333333Soya 84.9 -2.966666667Puerco 89.1 1.233333333

Suma deestimadores 1.42109E-14



Efecto del nivel j de la cantidad de proteína es la media del nivel j de la

cantidad de proteína menos la media general. Para este factor solo se tienen

dos niveles, la cantidad alta y la cantidad baja de proteína, por lo que

calculamos dos estimadores, pero solo uno será independiente, ya que la suma

de ambos será cero:

Cantidad Media Efecto

Alta95.133333

3 7.266666667Baja 80.6 -7.266666667

Suma deefectos 1.42109E-14

Efecto de interacción del nivel i de la fuente con el nivel j de la cantidad es igual

a la media de las observaciones en el nivel i de la fuente y el nivel j de la

cantidad menos la media del nivel i de la fuente menos la media del nivel j de la

cantidad mas la media general. Para determinar el numero de estimadores

independientes de los efectos de interacción considere que en cada columna la

suma de los estimadores sobre las hileras debe ser cero y también la suma de

los estimadores sobre columnas en cada hilera debe ser cero, de tal manera

que los estimadores independientes en general van a ser:

ab – a – b + 1=a(b - 1) – (b - 1) = (a - 1)( b - 1)

donde a es el numero de niveles del factor A y b es el numero de niveles del

factor b. Como regla general entonces, el numero de efectos independientes

que se estiman en una interacción es igual al producto del numero de efectos

independientes que se estiman en cada uno de los factores en la interacción.

Para nuestro ejemplo construimos la tabla de las medias de fuente de proteína

por cantidad de proteína:

Res Soya Puerco Alto 100 85.9 99.5Bajo 79.2 83.9 78.7

Con estos promedios y los calculados anteriormente para cada nivel en cada

uno de los factores y la media general podemos estimar los efectos de

interacción:

Res Soya Puerco Alto 3.13333333 -6.26666667 3.13333333

Bajo -3.13333333 6.26666667 -3.13333333



Como puede ser fácilmente verificado la suma de los estimadores de los

efectos de interacción suman cero por hileras y columnas.

Con los efectos estimados podemos construir la tabla de análisis de varianza

que corresponde a este modelo.

F.V. G.L. S.C. C.M. F.C. F.TABLAS Pr > F.C.Tratamientos 5 4612.93333 922.586667 4.29998964 2.38606985 0.00229944Fuente 2 266.533333 133.266667 0.62112895 3.16824597 0.54113191Cantidad 1 3168.26667 3168.26667 14.7666494 4.01954091 0.00032236Cantidad*fuente 2 1178.13333 589.066667 2.74552046 3.16824597 0.07318788Error 54 11586.00000 214.555556Total 59 16198.9333

La primera observación es que tenemos fuentes de variación que aun pueden

seguir siendo desdobladas en grados de libertad individuales por medio decontrastes.

La tabla indica un posible efecto de interacción entre cantidad y fuente, por lo

que una conclusión final solo puede darse hasta que se haya realizado la

separación de este efecto en grados de libertad individuales.

Los coeficientes de los contrastes para una interacción se calculan

multiplicando los coeficientes de los contrastes que corresponden a los efectos

principales incluidos en la interacción, al establecerlos para todas las

combinaciones de la estructura factorial. Los contrastes para efectos

principales se definieron de la manera ya establecida. Así para cantidad de

proteína tenemos solo dos niveles, cada uno con tres tratamientos, por lo que

al simplificarse se puede asignar un mas uno al nivel de cantidad alto y un

menos uno al nivel de cantidad bajo. Para fuente de proteína se tienen dos

grados de libertad, de tal manera que podemos definir dos contrastes:

El primero separa las fuentes por su origen, en proteínas de origen animal (2,

res y cerdo) contra la de origen vegetal ( la soya). Tenemos cuatro

combinaciones de tratamientos con proteínas de origen animal y dos

combinaciones con origen vegetal, de tal manera que los coeficientes serian:

Un uno positivo para las proteínas de origen animal y un menos 2 para las de

origen vegetal.

El segundo de los contrastes compara las proteínas de origen animal, res

contra cerdo. Ya que la de origen vegetal no se incluye en este contraste, los

coeficientes para este nivel de fuente serán ceros. Por otro lado se tienen dos



combinaciones con res y dos combinaciones con cerdo, por lo que los

coeficientes para estos niveles serán: Un mas uno para el nivel res y un menos

uno para el nivel cerdo.

Para los contrastes de interacción, cada contraste de un factor se multiplica por

cada uno de los contrastes del segundo factor, especificando en cada uno

cuales son los contrastes que se están considerando en la interacción. La tabla

completa de coeficientes para todos los contrastes ortogonales es mostrada.

CANTIDAD ALTA

PROTEÍNABAJA

PROTEÍNAFUENTE Res Soya Puerco Res Soya PuercoMedias 100 85.9 99.5 79.2 83.9 78.7 Alta vs. Baja 1 1 1 -1 -1 -1OV vs. OA 1 -2 1 1 -2 1

Res vs.Puerco 1 0 -1 1 0 -1Cantidad×(OV vs OA) 1 -2 1 -1 2 -1Cantidad×(Res vs Puerco) 1 0 -1 -1 0 1

Al aplicar estos contrastes podemos construir la siguiente tabla de análisis de

varianza, que incorpora todas las previas y los contrastes que se han definido:

F.V. G.L. S.C. C.M. F.C. F.TABLAS Pr > F.C.Tratamientos 5 4612.93333 922.586667 4.29998964 2.38606985 0.00229944Fuente 2 266.5333333 133.266667 0.62112895 3.16824597 0.54113191Veg. Vs. Animal 1 264.0333333 264.033333 1.2306059 4.01954091 0.2722052Res vs. Cerdo 1 2.5 2.5 0.01165199 4.01954091 0.91443988Cantidad 1 3168.266667 3168.26667 14.7666494 4.01954091 0.00032236Cantidad*fuente 2 1178.133333 589.066667 2.74552046 3.16824597 0.07318788Cantidad*(Veg vs. Anim) 1 1178.133333 1178.13333 5.49104091 4.01954091 0.02282668Cantidad*(Res vs. Cerdo) 1 0 0 0 4.01954091 1Error 54 11586.00000 214.555556Total 59 16198.93333

El contraste de interacción (Res Vs. Cerdo)*Cantidad tiene una suma de

cuadrados que es igual a cero, lo que indica que res y cerdo tienen ganacias

paralelas con respecto a las cantidades de proteína, concluyéndose que el

efecto de estas fuentes es independiente de la cantidad. De esta manera

podemos hacer inferencias acerca del contraste res vs. cerdo. El contraste Res

vs. Cerdo no es significativo, lo que indica que para estos dos niveles del factor

fuente no hay diferencia significativa (89.6 para Res vs. 89.1 para cerdo). Para

el contraste cantidad de proteína en la dieta no podemos separarlo de la fuente

vegetal, ya que su calculo esta basado en las tres fuentes; sin embargo ya que

no existe diferencia entre las fuentes de proteína animal, su promedio es un



estimador adecuado del comportamiento de la proteína de origen animal. La

discusión del factor cantidad de proteína en las fuentes de origen animal se

discutirá mas adelante. La siguiente figura muestra gráficamente el

comportamiento de las ganancias promedio de peso de acuerdo a la cantidad

de proteína para cada una de las fuentes de origen animal.

70

75

80

85

90

95

100

baja alta

RES

PUERCO

El contraste de interacción (origen animal vs origen vegetal)*cantidad resulto

ser significativo, por lo que se concluye que la cantidad de proteína tiene un

efecto diferente para la fuente vegetal y el promedio de la fuente de origenanimal. La significancia de este contraste obliga a evaluar el efecto de la

cantidad de proteína separadamente para cada fuente. Para la fuente de origen

vegetal el promedio de la cantidad alta de proteína es 85.9 en tanto que para la

cantidad baja de proteína es 83.9, siendo entonces el efecto de 2 unidades.

Para la fuente de origen animal, el promedio de la cantidad alta de proteína es

99.75 en tanto que para la cantidad baja de proteína es de 78.95, por lo que el

efecto es de 20.8 unidades. La siguiente figura nos muestra el efecto deinteracción entre fuente y cantidad de proteína, para el contraste (origen

vegetal vs origen animal)*cantidad:



70

75

80

85

90

95

100

105

baja alta

PROMEDIO O. ANIMAL

SOYA

ARREGLOS FACTORIALES 2K

Estos arreglos se caracterizan por tener incluidos K factores cada uno en dos

niveles. Estos arreglos son de gran interés en los diversos campos de la

ciencia y la ingeniería, donde la experimentación es la principal herramienta deinvestigación. Esto se debe a que constituye una gran diversidad de arreglos

de tratamientos que permiten investigar una gran cantidad de factores con

pocas corridas experimentales, principalmente en la fase de exploración de

impactos de las diferentes variables independientes sobre las variables de

respuesta. También son de interés porque constituyen la base para construir

diseños experimentales en la fase de optimización de procesos, como son los

diseños de metodología de superficie de respuesta y los arreglos ortogonalesde Taguchi.

Nomenclatura:

La nomenclatura particular para estos arreglos permite el manejo mas eficiente

de las combinaciones de tratamiento. Con la nomenclatura simplificada también

se logra un procedimiento para construir estos arreglos.



A cada uno de los factores se les asocia una letra mayúscula latina,

empezando con la letra A y continuando así hasta los K factores que se

incluyen en el arreglo. Entonces tenemos los factores A, B, C,…,K.

Cada uno de los factores solo tiene dos niveles, a los que se les

denomina el nivel bajo y el nivel alto. Esta nomenclatura es arbitraria para

factores cualitativos no ordinales, pero para factores cuantitativos o cualitativos

ordinales estos se asocian de acuerdo a la magnitud del nivel en el factor. Los

niveles se representan con la letra minúscula correspondiente al factor,

denotando el nivel bajo con un subíndice cero y el nivel alto con un subíndice

uno. De esta manera los nieles del factor A son a0 y a1, a los cuales

genéricamente se les denomina el nivel bajo del factor A y el nivel alto del

factor A. De manera equivalente se sigue esta notación para los niveles de los

K factores.

Construcción de los arreglos factoriales 2K:

Los principios de construcción que se han revisado para los arreglos factoriales

en general se aplican también para estos arreglos. Lo especial en el proceso va

ser el orden estándar en que se acomodan las combinaciones de tratamiento.

Este orden estándar consiste en que los niveles de los factores se colocan en

columnas, empezando por el factor A, y así sucesivamente hasta el factor K.

Los niveles del primer factor irán variando de 20 = 1 en 1, es decir los niveles

del factor A van alternándose de uno en uno, empezando con el nivel bajo

seguido del nivel alto, y así sucesivamente hasta el numero de combinaciones

de tratamiento. En la segunda columna los niveles del factor irán variando de

21= 2 en 2, igualmente empezando con el nivel bajo y seguido por el nivel alto.

Este proceso continuaría hasta llegar al factor K., donde las primeras 2K-1

combinaciones de tratamiento llevarían el nivel bajo del factor K y la mitad

restante el nivel alto del factor K..

Como un ejemplo considere primero la construcción del arreglo 22 , con

los factores A y B.. En este arreglo factorial tenemos 4 combinaciones de

tratamiento (22 ) . Por esta razón empezamos con la primer columna hasta



completar cuatro combinaciones, alternando el nivel bajo y el nivel alto del

factor A:

a0

a1

a0

a1

En la segunda columna del arreglo factorial, los niveles del factor B van ir

variando de 2 en 2, de tal forma que se generan las 4 combinaciones, como se

muestra a continuación:

a0 b0

a1 b0

a0 b1

a1 b1

Si deseamos la construcción de una serie 2 el procedimiento es el

mismo, pero debemos completar hasta 8 combinaciones bajo el mismo

proceso, y al final agregar los niveles del factor C, que van a variar de 4 en 4,

como a continuación se muestra.

a0 b0 c0

a1 b0 c0

a0 b1 c0

a1 b1c0

a0 b0 c1

a1 b0 c1

a0 b1 c1

a1 b1c1

Este proceso se seguiría para cualquier valor de K. Sin embargo, a medida

que K aumenta, mas tardada es la descripción de las combinaciones. Para una

mayor simplificación, los subíndices de las combinaciones se prefirió pasarlo

como exponente, que al aplicarlo tiene simplemente el efecto de desaparecer

la letra de la combinación cuando el nivel es bajo y de dejarla cuando el nivel

es alto. En la primera combinación todas las letras desaparecerían, quedando

solamente un 1, que para distinguirlo como combinación este se coloca entre

paréntesis. Bajo estas reglas se tiene: Arreglo 22 :



(1)

a

b

ab

Con esta notación es mas directa la generación de la siguiente serie, pues solo

se duplica y a cada combinación duplicada se multiplica por el nuevo factor. Así

para un 23 se tiene:

(1)

a

b

ab

(1)*c = c

a*c = ac

b*c = bc

ab*c = abc

Ejemplo: Genere una serie 25:

(1) c d cd e ce de cdea ac ad acd ae ace ade acde

b bc bd bcd be bce bde bcdeab abc abd abcd abe abce abde abcde

Para la interpretación de estas combinaciones solo debemos recordar que de

los factores que entran en el factorial, las letras que aparecen en la

combinación son los que corresponden a un nivel alto del factor, mientras que

las que no aparecen, corresponden a los factores que se encuentran a un nivel

bajo. Debemos tener presente siempre que la combinación (1) es aquella en la

que todos los factores se encuentran a un nivel bajo.Contrastes en las series 2K :

Los contrastes, aparte de que son la herramienta para el análisis de los datos,

van a constituir un elemento crucial en las técnicas de factoriales fraccionados

y bloques incompletos en estos arreglos.

Lo primero que debemos puntualizar es que los contrastes deben estar

asociados a la estimación de efectos. En un arreglo 2K podemos estimar los

efectos principales de cada uno de los factores y en adición todas las posiblesinteracciones de 2, 3, …., K factores.



Los efectos principales van a ser K.

Las interacciones de 2 factores van a ser KC2 .

Las interacciones de 3 factores van a ser KC3 .

Y así sucesivamente hasta llegar a una sola interacción de los K factores.

Así por ejemplo en la serie 25 los efectos que se van a poder estimar son:

5 efectos principales.

10 interacciones de 2 factores.



1 interacción de 5 factores.

Como podemos ver en este ejemplo, los efectos que podemos estimar, en

numero corresponden a los grados de libertad de los tratamientos.

Lo importante en estos arreglos es poder construir la tabla de contrastes, que

por el lado de las hileras va llevar como encabezado a los tratamientos y por el

lado de las columnas va a llevar los efectos que se van a estimar. El numero de

columnas va ser igual al numero de hileras menos una. Los coeficientes que se

van a emplear para construir los contrastes son siempre el -1 para el nivel bajo

del factor y el +1 para el nivel alto del factor.

Ejemplo: Construya la tabla de contrastes para la serie 23 :

A B AB C AC BC ABC(1) -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1a +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1b -1 +1 -1 -1 +1 -1 -1ab +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1c -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1ac +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1bc -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

abc +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Para cualquier serie 2K su tabla de contrastes tiene una propiedad muy

interesante que se deriva de sus coeficientes: Al elevar al cuadrado o cualquier

potencia par, cualquier columna genera un elemento neutro, es decir una

columna de puros unos. Esto implica que si multiplicamos las columnas

correspondientes a los estimadores del factor A y la correspondiente a la

interacción AB, entonces obtenemos A2B = B, ya que la potencia par a la que



esta elevada la columna A la transforma a un elemento neutro, que multiplicado

por la columna B, genera el mismo resultado.

Ejemplos numéricos de arreglos factoriales 2K:

1. Un ingeniero esta interesado en el efecto que tienen la rapidez de

corte (A), la configuración (B) y el ángulo de corte (C) sobre la

duracion de una herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y

se realiza un arreglo factorial 23 con 3 replicas. Los resultados se

muestran a continuación. Analice los resultados de este experimento

y seleccione la combinación para mejorar la durabilidad de la

herramienta.

Combinacion 1 2 3(1) 22 31 25a 32 43 29b 35 34 50

ab 55 47 46c 44 45 38ac 40 37 36bc 60 50 54abc 39 41 47

2. En la industria mueblera la calidad de acabado de las piezas diseñadas

es una característica importante. Tres factores van a ser probados , cada

uno en dos niveles, para evaluar su impacto en el acabado. El factor A es el

tipo de madera (a0 = roble, a1 = pino) ; el factor B es la tasa de alimentación

(b0 = 2 m/min, b1 = 4 m/min); el factor C es la profundidad de corte (c0 = 1

mm , c1 = 3 mm). Para cada combinación de tratamiento tres repeticiones

fueron llevadas a cabo usando un diseño completamente aleatorizado. La

siguiente tabla muestra el acabado para los 8 tratamientod- Entre mas

grande el valor mas aspero es el acabado.

Combinacion 1 2 3

(1) 6 8 9a 10 16 15



b 18 12 15ab 12 9 10c 20 26 29ac 34 28 32bc 36 44 46

abc 25 22 24

Analice los datos y seleccione la mejor combinación para mejorar el acabado.

Estimación de los efectos:

Mediante la información que se obtiene en el análisis por contrastes

ortogonales en estos arreglos factoriales, podemos calcular una ecuación de

regresión lineal múltiple en los diferentes efectos principales e interacciones en

unidades estandarizadas, es decir, considerando que los niveles de los factores

son menos uno y mas uno.

El cambio promedio en respuesta entre el nivel alto y el nivel bajo de un factor

es la diferencia en los promedios del nivel alto menos el del nivel bajo. Este

cambio promedio puede obtenerse a partir de la estimación del contraste (suma

de los productos de los coeficientes del contraste por sus correspondientes

medias) al considerar que cada nivel del factor tiene la mitad de las medias

incluidas en cada uno de los niveles. Entonces el cambio promedio en

respuesta entre los niveles de un factor se calcula como el cociente del

contraste entre la mitad del numero de combinaciones en el arreglo factorial

(2k-1).

El coeficiente de regresión se calcula como la pendiente de una recta, es decir

el cambio en la variable dependiente dividido por el cambio en la variable

independiente. El cambio en la variable dependiente el es cambio promedio en

la respuesta entre los dos niveles y el cambio en la independiente es del valor

-1 al valor +1, es decir dos unidades de cambio. De esta manera el coeficiente

de regresión se estima dividiendo el cambio promedio en la respuesta entre

dos.

Debemos puntualizar dos situaciones:

1. Estos cálculos son igualmente validos para los efectos de interacción.



2. Estos cálculos pueden también ser llevados a cabo para factores

cualitativos, pero carecen completamente de sentido al interpretarlos

en unidades originales.

CONFUSIÓN EN LOS ARREGLOS FACTORIALES 2K

La confusión es una consecuencia que se presenta en la estimación de efectos

factoriales al no llevar a cabo la totalidad de las combinaciones en un arreglo

factorial y consiste en que un contraste estima la combinación de dos o mas

efectos factoriales.

Las combinaciones de tratamiento se dividen con dos objetivos básicos:

1. Generar bloques incompletos.

2. Generar factoriales fraccionados.

Los bloques incompletos se aplican cuando se tienen muchos factores que se

van a investigar y consecuentemente las combinaciones que se deben probar

son muchas y si las unidades experimentales no son homogéneas, entonces

probablemente no se puedan lograr bloques suficientemente grandes para

generar un diseño en bloques completos al azar, y de ahí que surja la

necesidad de los bloques incompletos. En este caso se pretende confundir el

efecto de bloques con un efecto que no sea de interés en el análisis de los

datos de un arreglo factorial, como pueden ser las interacciones de mas alto

orden.

Los factoriales fraccionados se procuran cuando no se tienen suficientes

recursos para llevar a cabo todas las combinaciones de un arreglo factorial

completo, o bien cuando los efectos que se desean estimar son aquellos de

mas bajo orden (efectos principales e interacciones de dos factores). Al

suponer que los efectos de mas alto orden no son de importancia en la variable

de respuesta, estos se pueden confundir con los de mas bajo orden, y sin

alterar demasiado la calidad de las estimaciones, estas se pueden hacer con

un numero menor de combinaciones de las que incluye el arreglo factorial

completo.

Bloques incompletos:



El numero de bloques para llevar a cabo una replica del arreglo factorial

2K debe ser una potencia de 2, llámele P, donde P<K.. Entonces P puede tomar

los valores 1,2,..,K-1. Sin embargo, los valores mas bajos de P son los que mas

frecuentemente se emplean en la experimentación.

Cuando P=1 implica que solo se requieren dos bloques, de tal manera

que se tiene asociado un solo grado de libertad para bloques, y así un solo

efecto es el que debe confundirse con bloques. En este caso no cabe duda de

que el efecto que se selecciona para ser confundido con bloques es el de mas

alto orden de interacción, pues este es el de menor importancia en general.

Entonces la totalidad de las combinaciones del arreglo factorial completo se

dividen de acuerdo a los signos del contraste de la interacción de mas alto

orden. Entonces una mitad de las combinaciones se asigna a uno de los

bloques y la otra mitad al segundo bloque. De esta manera el contraste que

estima la interacción de mas alto orden estará estimando adicionalmente el

efecto de los bloques.

Ejemplo: Considere que se desea llevar a cabo un arreglo factorial 24 en dos

bloques. Se desea confundir la interacción de los 4 factores con el efecto de los

bloques. Cual es la distribución de las combinaciones del arreglo factorial a los

bloques. La siguiente tabla hace la distribución de los tratamientos en los dos

bloques:

Combn. A B C D ABCD Bloque(1) -1 -1 -1 -1 +1 1a +1 -1 -1 -1 -1 2b -1 +1 -1 -1 -1 2ab +1 +1 -1 -1 +1 1c -1 -1 +1 -1 -1 2ac +1 -1 +1 -1 +1 1

bc -1 +1 +1 -1 +1 1abc +1 +1 +1 -1 -1 2d -1 -1 -1 +1 -1 2ad +1 -1 -1 +1 +1 1bd -1 +1 -1 +1 +1 1abd +1 +1 -1 +1 -1 2cd -1 -1 +1 +1 +1 1acd +1 -1 +1 +1 -1 2bcd -1 +1 +1 +1 -1 2abcd +1 +1 +1 +1 +1 1



El siguiente caso es cunado P=2, es decir cuando se tienen 22 bloques, lo que

representa cuatro bloques, teniendo así tres grados de libertad para bloques y

en cada bloque debe ir una cuarta parte del numero total de combinaciones en

el arreglo factorial. Los efectos que deben ser confundidos serán dos de ellos

independientes y el tercero lo constituirá la interacción de los dos

independientes. El objetivo en la selección de los independientes serán dos:

Primero que sean de alto orden y segundo, que la interacción de los dos

también sea de alto orden. Para obtener la interacción de dos efectos recuerde

que todas las letras de ambos efectos deben ser multiplicadas y aquellas que

queden con una potencia par se neutralizan y por lo tanto se anulan, quedando

solo aquellas con potencia impar.

Ejemplo: Considere que se desea correr un arreglo factorial 25 en 4 bloques.

Ya que son 4 bloques se deben confundir 3 efectos, dos de los cuales deben

ser independientes y el tercero resultara de la interacción de ambos. El efecto

de mas alto orden es la interacción de los 5 factores, es decir ABCDE. Si

seleccionamos una interacción de 4 factores, entonces la interacción va a

resultar en un efecto principal, lo que es totalmente reprobable. Debemos

entonces pensar en una interacción de tres factores, pero la interacción con la

de 5 va a resultar en una interacción de 2 factores, lo cual también, en la

mayoría de las ocasiones es reprobable. Esto nos lleva entonces a la

conclusión de que no es buena selección la interacción de 5 factores. La

siguiente opción es seleccionar la interacción de 4 factores, de tal forma que

uno de los 5 factores no esta incluido. Si combinamos dicho factor con dos de

los incluidos en la de cuatro factores, originara una interacción de 3 factores.

Esto es, suponiendo se selecciona la de 4 factores ABCD, el E no esta incluido.

El factor E lo combinamos con AB y resulta en ABE. La interacción de ambas

selecciones resulta en una interacción de tres factores. En las interacciones

seleccionadas, resultaría en CDE. Este es el orden mas alto de efectos que

pueden ser considerados para lograr separar las combinaciones del arreglo 25

en 4 bloques de 8 combinaciones cada uno. La separación esta basada ahora

en los signos de dos de las tres interacciones confundidas. A continuación se

muestra el arreglo factorial ordenado por bloques de acuerdo a las

interacciones previamente seleccionadas.



Combinacion A B C D E ABE CDE Bloque1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1

ab 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1cd -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1abcd 1 1 1 1 -1 -1 -1 1ace 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1bce -1 1 1 -1 1 -1 -1 1ade 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1bde -1 1 -1 1 1 -1 -1 1a 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 2b -1 1 -1 -1 -1 1 -1 2acd 1 -1 1 1 -1 1 -1 2bcd -1 1 1 1 -1 1 -1 2ce -1 -1 1 -1 1 1 -1 2

abce 1 1 1 -1 1 1 -1 2de -1 -1 -1 1 1 1 -1 2abde 1 1 -1 1 1 1 -1 2c -1 -1 1 -1 -1 -1 1 3abc 1 1 1 -1 -1 -1 1 3d -1 -1 -1 1 -1 -1 1 3abd 1 1 -1 1 -1 -1 1 3ae 1 -1 -1 -1 1 -1 1 3be -1 1 -1 -1 1 -1 1 3acde 1 -1 1 1 1 -1 1 3bcde -1 1 1 1 1 -1 1 3ac 1 -1 1 -1 -1 1 1 4bc -1 1 1 -1 -1 1 1 4ad 1 -1 -1 1 -1 1 1 4bd -1 1 -1 1 -1 1 1 4e -1 -1 -1 -1 1 1 1 4abe 1 1 -1 -1 1 1 1 4cde -1 -1 1 1 1 1 1 4abcde 1 1 1 1 1 1 1 4

Esta misma técnica se seguiría para un factorial con un mayor numero de

factores o con mas bloques incompletos.

Antes de finalizar esta sección solo resta recalcar que la confusión para

bloques incompletos se emplea para confundir algunos efectos con el efecto de

los bloques, pero el arreglo factorial se correría de manera completa.

Factoriales fraccionados:



La confusión también se emplea cuando se desea seleccionar una parte del

arreglo factorial 2K completo, debido a que puede ser excesivo los recursos

requeridos en esto comparado con los efectos que se desean estimar. En

términos generales, los efectos que se desean estimar corresponden a los

efectos principales y las interacciones de dos factores, en tanto que el resto de

los efectos resultan de escasa o nula importancia. Bajo estas circunstancias se

prefiere seleccionar solo una fracción del arreglo factorial tal que permita la

estimación de estos efectos y un esquema de confusión de estos efectos

(estructura de alias) razonable tal que las estimaciones sean confiables.

Partimos, como en bloques incompletos, de un efecto que permite

fraccionar en dos mitades el arreglo factorial completo. A tal efecto le

denominamos el generador de la fracción y se denota con la letra I. Como en el

bloqueo, cuando se trata de una fracción mitad, el generador debe ser la

interacción de mas alto orden. Entonces en base a esta interacción las

combinaciones de tratamiento quedan divididas en dos mitades, una con el

signo positivo en la interacción y la otra con el signo negativo. Es realmente

indistinto cual se seleccione, reflejándose esto en el signo del generador.

Ejemplo: Suponga que se desea llevar a cabo una fracción mitad de un arreglo

factorial 25, seleccionando como el generador la interacción de mas alto orden.

Defina para tal mitad la estructura de alias.

En este arreglo factorial se consideran 5 factores, que denominaremos A, B, C,

D y E. El arreglo factorial completo incluye 32 combinaciones de tratamiento,

por lo que una mitad deberá contener 16 combinaciones. La interacción de mas

alto orden que se va a seleccionar como el generador es ABCDE=I.

Para construir la fracción mitad existen 3 métodos:

1. El arreglo factorial completo es generado, y para cada combinación

se obtienen los signos de la interacción mas alta. Se selecciona

como la fracción mitad aquellas combinaciones que tengan el signo

positivo.

2. Generar el arreglo con un factor menos que el deseado, con lo cual

se tiene la fracción mitad, agregando los niveles del ultimo factor como la interacción de los que ya están definidos.



3. Mediante la operación modulo 2 de la expresión definida por

L = X1a1 + X2a2 + X3a3 + X4a4 + X5a5

Donde las Xi toman el valor cero o uno dependiendo si el factor se encuentra

en el generador y ai toma el valor cero o uno dependiendo si el factor se

encuentra en la combinación de tratamiento.

La estructura de alias se define al multiplicar el generador en ambos lados de la

igualdad por el por el efecto cuyos alias se desean conocer.

Resolución del diseño:

Es el numero de factores en la interacción de mas bajo orden que forma parte

del generador.

ARREGLO EN PARCELAS DIVIDIDAS:

Es un arreglo multifactorial en el que cada uno de los factores a investigar

requieren de diferente tamaño de unidad experimental para ser aplicado. Así

entonces, en un proyecto de investigación podemos reconocer, desde el

momento de la planeacion el factor que debe aplicarse a parcela grande y cual

debe aplicarse a parcela pequeña. Esta decisión implica un aspecto netamente

practico. Por ejemplo, suponga que se desean probar en un experimento

agrícola diferentes camas de siembra y diferentes niveles de fertilización. Si la

aplicación del factor cama de siembra requiere de maquinaria, entonces, este

factor requeriría de una unidad experimental de mayor tamaño que aquella

para aplicar los diferentes niveles de fertilización. Entonces el experimento

debe ser planeado como un arreglo en parcelas divididas, con el factor de

parcela grande la cama de siembra y como factor de parcela pequeña la

fertilización. El experimento incluiría la aplicación de un nivel de cama de

siembra en una parcela grande, la cual seria dividida para la aplicación de los

diferentes niveles del factor fertilización.

En este arreglo debe también definirse en la planeacion del experimento cual

seria el arreglo geométrico de las parcelas grandes, ya que puede ser

completamente al azar, en bloques al azar (el mas común) o en cuadro latino.Se supone que la parcela grande es homogénea, y por lo tanto los niveles del



factor de parcela pequeña se pueden distribuir completamente al azar dentro

de cada parcela grande. Debemos entonces reconocer el arreglo geométrico

de las repeticiones de parcelas grandes, las mismas parcelas grandes y las

subparcelas dentro de cada parcela grande.

El modelo entonces debe incorporar el arreglo geométrico de las repeticiones

de parcela grande con su correspondiente error aleatorio, con el cual se

probara el efecto del factor de parcela grande; debe incorporar también el

diseño completamente al azar del as subparcelas, en el que se incluiría el

factor de subparcela, la interacción del factor de parcela grande son subparcela

y el error experimental con el que se probarían estos dos últimos efectos.

PARCELAS DIVIDIDAS EN UN DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR:

Si las parcelas grandes son muy similares, entonces un arreglo geométrico

completamente al azar puede ser utilizado, por lo que el modelo quedaría

definido como:

Yijk = μ+αi+ρ j(i)+βk+(α )β ik+εijk

El subíndice i esta asociado a los niveles del factor de parcela grande, por lo

que i=1,2,…,a,

El subíndice j esta asociado a las repeticiones de parcela grande, por lo que

j=1,2,…,r.

El subíndice k esta asociado a los niveles del factor de subparcela, por lo que

k=1,2,…,b.

El modelo indica entonces que se tienen a niveles del factor de parcela

principal con r repeticiones en cada nivel. El error de parcela grande esta

representado por el componente ρ j(i) el efecto de la repetición anidada en el

nivel i del factor de parcela principal.

Los grados de libertad para este modelo quedan distribuidos de la siguiente

manera:

Fuente de variación G.L.Parcelas Grandes ar – 1



Factor A a – 1Error (a) a*(r - 1) Subparcelas: ar*( b - 1 ) Factor B b – 1Interacción A*B ( a - 1 ) *( b - 1 )Error (b) a*( b - 1)*( r - 1 ) Total (abr) - 1

Este modelo de parcelas divididas es muy frecuentemente empleado para

analizar datos que provienen de experimentos con mediciones repetidas al

considerar el factor tiempo como el factor de subparcela.

En algunas situaciones se sugiere emplear este arreglo experimental cuando la

precisión con que se desean llevar a cabo la comparación de las medias no es

la misma para amos factores; se seleccionaría como factor de subparcela aquel

en el que se quieren comparaciones mas precisas.

PARCELAS DIVIDIDAS EN UN DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL

AZAR:

Al aplicar este arreglo suponemos que las repeticiones e parcela principal

tienen un gradiente de variación que se desea controlar como variable de

bloqueo. Entonces si el factor de parcela principal tiene a niveles, cada bloque

debe contener a unidades experimentales, donde se distribuyen al azar los

niveles del factor de parcela principal. Supóngase que se tienen r bloques,

quedando el modelo descrito por

Yijk = μ+αi+ρ j+ (αρ) jj+βk+(α )β ik+εijk

Donde ahora ρ j constituye el efecto de los bloques y su interacción con el

factor A de parcela grande constituye el error de parcela grande. El

desdoblamiento de los grados de libertad se presenta en la siguiente tabla:

Fuente de variación G.L.Parcelas Grandes ar - 1 Factor A a - 1

Factor de bloqueo r - 1Error (a) ( a - 1 )*( r - 1 )



Subparcelas: ar*( b - 1 ) Factor B b - 1InteracciónB*bloqueo ( r - 1 )*( b - 1 )Interacción A*B ( a - 1 ) *( b - 1 )

Error (b) ( a - 1 )*( b - 1 )*( r - 1 ) Total (abr) - 1

PARCELAS DIVIDIDAS EN UN DISEÑO EN CUADRO LATINO:

Si las parcelas principales muestran variación en dos gradientes de bloqueo,

por hileras y columnas, entonces debe adoptarse un arreglo geométrico de las

parcelas principales en cuadro latino. Este arreglo debe ser representado en el

modelo como:

Yijk = μ+αi+ρ j+γk+ (αργ) jjk+βl+(α )β il+εijkl

El subíndice j esta asociado al efecto de las hileras y el subíndice k al efecto de

las columnas. La interacción de hileras columnas y tratamientos de parcela

principal es el componente de error para parcela grande.

El desdoblamiento de los grados de libertad queda como:

Fuente de variación G.L.Parcelas Grandes a^2 - 1 Factor A a - 1Factor de hileras a - 1Factor de columnas a - 1Error (a) ( a - 1 )*( a - 2 ) Subparcelas: a^2*( b - 1 ) Factor B b - 1Interacción A*B ( a - 1 ) *( b - 1 )

Error (b) a * ( a - 1 )*( b - 1 ) Total (a^2)*b - 1

De las principales desventajas que se tienen con el arreglo en parcelas

divididas es la estimación del error estándar de las diferencias de las medias,

para poder hacer las comparaciones de medias, que son diferentes para cada

factor y su interacción. Se recomienda que en caso de ser necesarias las

comparaciones estas se hagan en algún paquete que las arroje como parte de



la salida del análisis (como por ejemplo el SAS) o en su defecto, consultar los

errores estándar de las diferencias en una referencia de diseños

experimentales para poder aplicarlas manualmente. Desde luego este análisis

es mas complicado cuando la interacción resulta ser significativa.

Ejemplos:

2. Se llevo a cabo un experimento bajo un arreglo en parcelas divididas

para probar el efecto de 3 hibridos (utilizado como factor de parcela

principal) acomodados en un diseño en bloques completos al azar.

Dentro de cada parcela grande se acomodaron bajo un diseño

completamente al azar las 4 densidades (10,15,20 y 25 plantas por

hilera). Los datos se muestran a continuación:

BLOQUE HIBRIDO DENSIDAD RESPUESTA1 1 10 40.71 1 15 24.21 1 20 16.1

1 1 25 11.21 2 10 39.41 2 15 31.31 2 20 17.91 2 25 14.81 3 10 68.71 3 15 26.21 3 20 20.51 3 25 18.92 1 10 37.82 1 15 44.42 1 20 17.6

2 1 25 12.72 2 10 47.82 2 15 34.52 2 20 30.52 2 25 17.32 3 10 56.22 3 15 48.12 3 20 28.22 3 25 26.23 1 10 32.93 1 15 27.83 1 20 19.93 1 25 14.53 2 10 44.4



3 2 15 25.63 2 20 22.53 2 25 17.73 3 10 44.83 3 15 41.13 3 20 303 3 25 19.24 1 10 43.14 1 15 34.14 1 20 20.14 1 25 15.44 2 10 494 2 15 50.44 2 20 25.24 2 25 18.74 3 10 59.34 3 15 46

4 3 20 24.74 3 25 22

El análisis de varianza de este experimento se muestra en la siguiente

tabla:

F.V. G.L. S.C. C.M. Fc Ft (.05) P-Valor Parcela Grande 11 1335.6 121.418182

Bloques 3 408.985 136.328333

Hibridos 2 881.40875 440.704375 58.4924927 5.14325285 0.000116117Hibridos*Bloques 6 45.20625 7.534375

Subparcela 36 7653.93 212.609167

Densidad 3 6429.38833 2143.12944 56.8953538 2.96035132 8.46431E-12Debsidad*Hibrido 6 207.507917 34.5846528 0.91814615 2.45910844 0.497266439Error (b) 27 1017.03375 37.6679167

Total 47 8989.53

De donde se puede concluir que los efectos de hibrido y densidad son

independientes, por lo que cada uno de ellos puede ser analizado

independientemente.

Por un lado, las medias de los hibridos están dadas por

Hibidos 1 Hibrido 2 Hibrido 3Media 25.78125 30.4375 36.25625

Y el error estándar de la diferencia de las medias esta dado por:

0.666



Por lo que a un nivel de confianza del 95 % las tres medias resultan

estadísticamente diferentes, siendo entonces el mejor hibrido el numero 3.

Por otro lado el efecto de la densidad puede ser evaluado mediante una

regresión:

Respuesta = 66.61 – 2.045*Densidad

Con un coeficiente de determinación de 0.835 y un error estándar de 7.68.

De estos resultados se desprende entonces que el mejor hibrido es el 3 que

debe cultivarse bajo la densidad mas baja evaluada.

METODOLOGIA DE TAGUCHI:

La metodología de Taguchi es sinonimo de ingeniería de calidad y tiene por

objetivo diseñar calidad en todo producto y su correspondiente proceso.

Taguchi introduce una filosofía en la que la calidad es medida por la desviación

del valor de una característica con respecto a su valor óptimo. Factores no

controlables (ruido) ocasionan tales desviaciones. La eliminación de los

factores de ruido es impractico y muy a menudo imposible, de aquí que el

método de Taguchi procura minimizar los efectos de ruido. A través de esta

metodología se determina el nivel óptimo de los factores controlables

importantes basados en el concepto de robustez. El objetivo es crear un diseño

de producto / proceso que sea lo menos sensible posible a las fluctuaciones de

los factores de ruido (robusto) al establecer los factores controlables de

impacto en los niveles óptimos.

El diseño de parámetros usa la idea fundamental del procedimiento en dos

pasos para lograr la calidad:

1. Los niveles de los parámetros que minimizan la variabilidad de la

característica de calidad son seleccionados. En esta etapa se genera

un diseño que es robusto con respecto a las fuentes incontrolables

de variación.

2. Los parámetros que tienen un efecto en el valor promedio de la

característica de calidad, pero ningún impacto en la variabilidad, son

identificados. Estos parámetros conocidos como factores de ajuste,



son usados para mover la característica de calidad al valor otimo sin

incrementar varianza.

FUNCIÓN DE PERDIDA:

Para evaluar la calidad en términos monetarios, Taguchi crea la función de

perdida, la cual estima el costo que la sociedad tiene que pagar por una

desviación de la característica de calidad en un producto con respecto a su

valor blanco. En esta función se supone que la perdida es proporcional al

cuadrado de la desviación de la característica de calidad con respecto a su

valor blanco. Esta función se define de acuerdo al tipo de característica de

calidad:

Características de calidad del tipo Nominal es mejor:

L(y) = K ( y – m )2

L(y) es la función de perdida evaluada en el valor y de la característica de

calidad.

K es una constante de proporcionalidad.

m es el valor optimo de la característica de calidad.

El valor esperado de la función de perdida para este tipo de características de

calidad esta dado por:

K*(Varianza(y) + (media(y)-m) 2)

Características de calidad del tipo mas pequeñas es mejor:

L(y) = K ( y – 0)2

L(y) = K ( y )2

El valor esperado de la función de perdida es

K*(Media( y2))

Características de calidad del tipo mayor es mejor:

L(y) = K ( 1/y – 0)2

L(y) = K (1/ y )2

El valor esperado de la función de perdida es

K*(Media( 1/y)2)



Ejemplo numérico: Un producto tiene la especificación 1.5 ± 0.02 en una

característica de calidad. Al exceder justo estos limites el costo es de 50. 10

productos son seleccionados y se les mide su valor en dicha característica:

1.53 , 1.49, 1.50, 1.49 , 1.48 , 1.52 , 1.54 , 1.53, 1.51 , 1.52

Encuentre el promedio de perdida por unidad de producto.

El procedimiento para encontrar el valor de la constante K es sustituir los datos

conocidos en la función de perdida:

L(1.52) = L(1.48) = 50

y-m = 0.02

50 = K*(.02)²

K = 50/0.0004 = 125000

La función de perdida promedio esta dada por

E{L(y)} = 125000(0.000369 + 0.000121) = 61.25

Razón Señal a Ruido (RSR):

Taguchi define esta variable para el análisis de los datos obtenidos de sus

arreglos ortogonales. Incluye, como su nombre lo indica la razón de dos

componentes:

El termino señal representa el componente deseable, que preferiblemente

estará cercano al valor optimo de la característica de calidad.

El termino ruido representa el componente indeseable y es una medida de la

variabilidad de la característica de calidad, la cual preferiblemente debe estar

cercana a cero.

El valor optimo de la razón señal a ruido debe ser tan grande como sea posible,

sin importar el tipo de característica de calidad de que se trate.

RSR para variables de calidad del tipo nominal es mejor:

Para este tipo de características de calidad debemos distinguir dos casos:

1. Varianza no relacionada a la media: Bajo esta situación el principal

interés es reducir la varianza de la característica de calidad. La RSR

esta definida por

Z = –log(varianza).

2. Varianza relacionada a la media:

Z = 10 log(media/desv.est)²

RSR para variables de calidad del tipo mas pequeña es mejor:Z = -10 log (Media(y²))



RSR para variables de calidad del tipo mas grande es mejor:

Z = -10 log (Media(1/y²))

Ejemplos:

1. Una firma de ingeniería de construcción esta llevando a cabo

estudios de la firmeza de tensión de varias formulaciones de

concreto. Seis variables de interés han sido identificadas y los niveles

a los que han sido probados son mostrados en la siguiente tabla:

Variable Nivel 1 Nivel 2

Tamaño de espécimen (A) 2 4

Cantidad de Agua (B) Baja Alta

Tiempo de curado (C) 24 48

Técnica de mezclado (D) Manual Maquina

Agregado (E) Fino Grueso

Concentración de cemento (F) Baja Alta

Un arreglo ortogonal L8 fue usado para estudiar los efectos de los 6

factores sobre la firmeza. Los resultados del experimento son mostrados en

la siguiente tabla:

Num C B A D E e F R1 R21 1 1 1 2 2 2 1 2.3 2.22 1 1 2 1 1 2 2 3.5 3.33 1 2 1 1 2 1 2 3-0 2.94 1 2 2 2 1 1 1 2.1 1.95 2 1 1 2 1 1 2 3.5 3.66 2 1 2 1 2 1 1 2.6 2.77 2 2 1 1 1 2 1 2.9 2.88 2 2 2 2 2 2 2 3.9 4.1

Construya una tabla de anova para identificar las variables que tienen un

efecto significativo sobre la media de la firmeza.

2. En una compañía de aviación se desea determinar cual de los

siguientes 4 factores tienen mas impacto sobre el grosor de la

pintura. Además se quisiera reducir la variabilidad en el grosor de la

pintura alrededor del optimo de 0.5 mm de grosor. Los factores y los

niveles son:



Variable Nivel 1 Nivel 2

Cantidad de tiner (A) 10 20

Presion de fluido (B) 15 30

Temperatura (C) 68 78

Marca de la pintura (D) X Y

Fue decidido conducir u arreglo ortogonal L8 con 4 replicas para cada

corrida experimental. La matriz de diseño no codificada y los resultados son

mostrados:

Ens A B C D R1 R2 R3 R41 10 15 68 X 0.638 0.489 0.541 0.477

2 10 15 78 Y 0.496 0.509 0.513 0.4953 10 30 68 Y 0.562 0.493 0.529 0.5314 10 30 78 X 0.564 0.632 0.507 0.7575 20 15 68 Y 0.659 0.623 0.636 0.5846 20 15 78 X 0.549 0.457 0.604 0.3867 20 30 68 X 0.842 0.910 0.657 0.9538 20 30 78 Y 0.910 0.898 0.913 0.878

3. Un ingeniero de proceso trata de mejorar la vida de una cierta

herramienta de corte. El ha corrido un experimento bajo un arreglo

ortogonal L8 usando tres factores: Velocidad de corte (A), dureza del metal

(B) y ángulo de corte (C). Los resultados obtenidos a partir del experimento

son mostrados:

Ensayo R1 R21 221 3112 325 4353 354 3484 552 472

5 440 4536 406 3777 605 5008 392 419

Lleve a cabo el anova para la RSR y obtenga la combinación de los niveles

de los factores que producen la mas larga vida de la herramienta.

3. En un componente de un motor automotriz se desea maximizar la

fuerza de empuje de una válvula. Los investigadores identificaron 4



factores controlables y 3 de ruido que probablemente afecten la

fuerza de empuje. La siguiente tabla muestra los factores y sus

niveles.

Factores Controlables:

A. Interferencia: Baja Media Alta

B. Grosor de la pared Delgada Media Gruesa

C. Profundidad de Inserción Superficial Media Profunda

D. Porciento de Adhesivo Bajo Medio Alto

Factores no controlables:

E. Tiempo Condicionamiento 24 hrs. 120 hrs.

F. Temperatura Condicionamiento 72 150 °F

G Humedad relativa Condicionan 25 75 %

Los factores de ruido son incontrolables durante la operación normal del

proceso, pero fueron controlados para los propósitos de la prueba. Un arreglo

L9 es apropiado para el arreglo interno, mientras que un arreglo L8 es

apropiado para el arreglo externo. Los arreglos externo e interno son

combinados para formar el diseño de parámetros completo:

A B C D 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 15.6 9.5 16.9 19.9 19.6 19.6 20.0 19.11 2 2 2 15.0 16.2 19.4 19.2 19.7 19.8 24.2 21.91 3 3 3 16.3 16.7 19.1 15.6 22.6 18.2 23.3 20.42 1 2 3 18.3 17.4 18.9 18.6 21.0 18.9 23.2 24.72 2 3 1 19.7 18.6 19.4 25.1 25.6 21.4 27.5 25.32 3 1 2 16.2 16.3 20.0 19.8 14.7 19.6 22.5 24.73 1 3 2 16.4 19.1 18.4 23.6 16.8 18.6 24.3 21.6

3 2 1 3 14.2 15.6 15.1 16.8 17.8 19.6 23.2 24.23 3 2 1 16.1 19.9 19.3 17.3 23.1 22.7 22.6 28.6

Encontrar la combinación optima de los factores que maximizan la fuerza de

empuje con la mínima variación por efecto de los factores de ruido.

4. En una planta procesadora de alimentos 4 parámetros (A,B,C,D)

cada uno en 3 niveles han sido identificados como factores de

posibles impactos en el contenido de humedad en carne

empaquetada. 3 factores de ruido (E,F,G) cada uno en dos nivelesvan a ser también investigados en el experimento. En el arreglo



interno un L9 es usado con los factores A, B, C y D asignados a las

columnas 1, 2, 3 y 4.

Arreglo Ortogonal L9:

Ensayo A (A²) B (B²) AB (A²B²) A²B (AB²)1 0 0 0 02 0 1 1 13 0 2 2 24 1 0 1 25 1 1 2 06 1 2 0 17 2 0 2 18 2 1 0 29 2 2 1 0

Para el arreglo externo un arreglo ortogonal L4 es usado con los factores

E,F y G asignados a las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

Arreglo Ortogonal L4:

Ensayo E F G1 0 0 02 0 1 13 1 0 14 1 1 0

Se desea que el contenido de humedad este alrededor de un valor

codificado de 20. Calcular la respuesta media y la razón señal a ruido.

Graficar los promedios de las medias de respuesta y de las razones señal a

ruido y seleccionar los niveles de los factores. Como se pueden identificar

gráficamente las interacciones BE y CF.

Los contenidos de humedad registrados en la carne empaquetada fueron

registrados:

Ensayo AO E 1 2 3 4Ensayo AO I1 18.5 21.2 20.5 19.32 16.8 17.3 20.9 18.53 21.1 21.8 20.8 19.44 20.2 17.7 19.8 20.85 16.2 21.5 21.2 21.46 18.3 18.5 17.8 17.27 20.6 21.4 16.9 19.5



8 17.5 20.0 21.0 20.49 20.4 18.8 19.6 18.3

Suponga que se decide extender el arreglo externo a un L8 con lasasignaciones como sigue:

Efecto Columna

E 1

F 2

EF 3

G 4

EG 5Las otras dos columnas del arreglo L8 pueden ser asignadas al error

experimental.

Mostrar el diseño de parámetros completo. Calcular las respuestas

promedio y la razón señal a ruido apropiada. Graficar los promedios de las

razones señal a ruido y las respuestas promedio y discutir como van a ser

seleccionados los niveles óptimos de los factores.

Use las graficas de respuestas promedio para determinar la existencia delos efectos de interacción AE, BF, EF y EG.

La siguiente tabla muestra los contenidos de humedad registrados.

1 2 3 4 5 6 7 81 19.3 20.2 19.1 18.4 21.1 20.6 19.5 18.72 20.6 18.5 20.2 19.4 20.1 16.3 17.2 19.43 18.3 20.7 19.4 17.6 20.4 17.3 18.2 19.24 20.8 21.2 20.2 19.9 21.7 22.2 20.4 20.65 18.7 19.8 19.4 17.2 18.5 19.7 18.8 18.46 21.1 20.2 22.4 20.5 18.7 21.4 21.8 20.67 17.5 18.3 20.0 18.8 20.2 17.7 17.9 18.28 20.4 21.2 22.4 21.9 21.5 20.8 22.5 21.79 18.0 20.2 17.6 22.4 17.2 21.6 18.5 19.2



Metodología de superficie de respuesta:

La metodología de superficie de respuesta incluye una serie de herramientas

de optimización, que tienen por objetivo llegar a determinar bajo que

condiciones de las variables independientes investigadas se llega a maximizar

o minimizar la respuesta o variable dependiente de interés. Para lograr este

objetivo se emplea el ajuste de dos modelos de regresión:

En una primera etapa exploratoria se investiga secuencialmente una

región de las variables independientes mediante el ajuste de modelos de primer

orden, en donde se supone que los resultados del ajuste del modelo van

indicando la dirección en que deben moverse las variables independientes.

Para este fin se utilizan los diseños de primer orden, que consisten de dos

porciones:

Una porción factorial, que puede ser una factorial completo dos a la K o una

fracción del factorial, en caso de ser muchos los factores que se están

investigando.

Una porción central, que consiste en un punto en el que todos los factores se

prueban en el punto medio de los niveles empleados en el factorial, lo que

correspondería al cero en unidades codificadas. Este es el único punto es el

que lleva repeticiones y cuya finalidad es: Primero evaluar el error puro y en

segundo lugar probar curvatura en alguna de las variables cuyo efecto se esta

investigando.

Esta serie de diseños se van aplicando hasta que el análisis de datos detecta

una curvatura. En esta región se diseña un experimento para ajustar un modelo

de segundo orden, que permita ajustar un modelo de segundo orden con la

finalidad de identificar el punto optimo.

Los diseños de segundo orden, aparte de la porcion factorial y la porcion

central, llevan adicionalmente la porcion axial o porcion estrella, que son los

valores extremos en cada una de las variables independientes que se prueban

en el cero codificado del resto de las variables independientes. El valor

codificado de esta porcion en cada una de las variables independientes se

denomina alfa ( α ) y es igual a la raíz cuarta del numero de puntos en laporcion factorial, valor que le da la característica de rotabilidad al diseño, es



decir, la precisión de la estimación es la misma en cualquier punto de la región

investigada. Por eso, estos diseños se conocen como diseño central

compuesto rotable. La finalidad de esta porcion es aumentar el numero de

niveles en cada una de las variables independientes para poder ajustar el

modelo de segundo orden. Bajo este modelo, si no existe falta de ajuste,

entonces puede ser usado para encontrar el optimo en la variable de

respuesta.

Ejemplo 1: Los siguientes datos fueron recopilados por un ingeniero químico.

La respuesta Y corresponde al tiempo de filtración, X1 es la temperatura y X2

es la presión. Ajuste un modelo de segundo orden y analice la superficie

ajustada.

X1 X2 Y-1 1 54-1 -1 451 1 321 -1 47

-1.414 0 501.414 0 53

0 -1.414 470 1.414 510 0 410 0 390 0 440 0 420 0 40

Ejemplo 2: Los datos que se presentan en la siguiente tabla fueron

recopilados en un experimento para optimizar el crecimiento de cristales en

función de tres variables. Se desean valores altos de Y (rendimiento engramos). Ajuste un modelo de segundo orden. Determine bajo que condiciones

de las variables se logra un crecimiento optimo.

Codif X1 Codif X2 Codif X3 Resp Y-1 -1 -1 66-1 -1 1 70-1 1 -1 78-1 1 1 601 -1 -1 801 -1 1 70

1 1 -1 1001 1 1 75

-1.682 0 0 100



1.682 0 0 800 -1.682 0 680 1.682 0 630 0 -1.682 650 0 1.682 820 0 0 1130 0 0 1000 0 0 1180 0 0 880 0 0 1000 0 0 85

El análisis de los datos se lleva a cabo por medio de regresión del ajuste del

modelo de segundo orden. El anova del modelo completo es mostrado en la

siguiente tabla:

ANÁLISIS DEVARIANZA

Grados de

libertad Suma de



de F

Regresión 9 3661.97123 406.885692 2.18640695 0.11943925Residuos 10 1860.97877 186.097877Total 19 5522.95

Lo que indica que el modelo no es significativo. Investigamos entonces los

términos incluidos en el modelo completo y vemos que solo los términos

cuadraticos en la variable codificada x2 y x3 son significativos, por lo que seprocede a ajustar un modelo reducido, cuyo análisis de varianza se muestra en

la siguiente tabla:

ANÁLISIS DEVARIANZA

Gradosde

libertad Suma de



de F

Regresión 2 3087.06694 1543.53347 10.7723024 0.00095088Residuos 17 2435.88306 143.287239

Falta deajuste 12 1576.55497 131.37914 0.76442482 0.67603346Error puro 5 859.33333 171.86666Total 19 5522.95

Lo que indica que el modelo es significativo y no existe una evidencia de la falta

de ajuste, por lo que se concluye que es el modelo que mejor explica este

conjunto de observaciones. Los estimadores de los parámetros del modelo se

muestran a continuación:

Coeficientes Error típicoEstadístico

t Probabilidad



Intercepción 97.58157 4.1440598 23.5473372 2.0442E-14codif x2^2 -12.05327 3.13701026 -3.8422819 0.00130536codif x3^2 -9.225547 3.13701026 -2.9408725 0.00913491

Siendo ambos coeficientes negativos, se concluye que al separarse los niveles

del valor cero en las variables independientes de impacto la respuesta va a

tender a disminuir. Una grafica de los valores observados y los esperados por

el modelo ajustado nos da una vision de la aproximación del modelo.

esperados

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

50 60 70 80 90 100 110 120 130

Observados

e s p e r a d o s

El valor que genera la maxima respuesta es quel en el que las variables

independientes de impacto están en el valor cero.

Ejemplo 3.Un ingeniero químico esta interesado en determinar las condiciones

de operación que maximizan el rendimiento de una reacción. Dos variables

controlables Dos variables controlables influyen en este rendimiento: El tiempo

y la temperatura de reacción. Los datos obtenidos de un experimento se

analizan para ajustar un modelo de segundo orden y obtener las condiciones

en las cuales se optimiza la reacción:

VariableNat

VariableNat. Var. Codif Var Codif Resp

1 2 x1 x2 Y

80 170 -1 -1 76.580 180 -1 1 7790 170 1 -1 78



90 180 1 1 79.585 175 0 0 79.985 175 0 0 80.385 175 0 0 8085 175 0 0 79.785 175 0 0 79.8

92.07 175 1.414 0 78.477.93 175 -1.414 0 75.6

85 182.07 0 1.414 78.585 167.93 0 -1.414 77

En primer lugar se muestra la tabla de análisis de varianza donde se observa

que el modelo es significativo.


Grados de

libertad Suma de



de F

Regresión 5 28.2467034 5.64934069 79.668607 5.147E-06Residuos 7 0.49637349 0.0709105Total 12 28.7430769

De aquí se procede a revisar los estimadores de los parámetros para investigar

si todos tienen significancia.

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 79.9399546 0.11908862 671.264433 4.3003E-18x1 0.99505025 0.09415493 10.5682224 1.4845E-05x2 0.5152028 0.09415493 5.47186207 0.00093401x1^2 -1.37644928 0.10098417 -13.6303472 2.693E-06x2^2 -1.001336 0.10098417 -9.91577205 2.262E-05x1*x2 0.25 0.13314513 1.8776504 0.10251919

Solo el termino de efecto cruzado de las dos variables se detecta como no

significativo, por lo que se procede a ajustar un modelo reducido, eliminando

dicho termino.

Ejemplo 4: Un ingeniero esta interesado en determinar las condiciones

optimas requeridas para una nueva sierra. Un diseño central compuesto fue

usado en un experimento para evaluar la vida de la sierra bajo diferentes

condiciones de operación fijadas por la velocidad de corte y la profundidad del

corte.

Velocidad Profundidad x1 x2 Vida Herr.

600 0.1 154600 0.05 132200 0.1 166



200 0.05 83683 0.075 156117 0.075 144400 0.11 166400 0.04 91400 0.075 167400 0.075 175400 0.075 170400 0.075 176400 0.075 156400 0.075 170

Ajustar un modelo de segundo orden y determinar las condiciones que

optimizan la vida de la herramienta.

Al llevar a cabo el ajuste del modelo de segundo orden se obtiene la siguiente

tabla de análisis de varianza:


Grados de

libertad Suma de



de F

Regresión 5 10955.1767 2191.03534 48.3870007 9.1102E-06Falta de ajuste 3 102.251895 34.083965 0.65546086 0.61339158Error puro 5 260 52Residuos 8 362.251895 45.2814869Total 13 11317.4286

De donde podemos concluir que el modelo es significativo. Al considerar la

prueba de la falta de ajuste no es significativa, por lo que no es necesario

introducir nuevos parámetros al modelo.

Enseguida se muestra la tabla de coeficientes del modelo completo y sus

pruebas de significancia para determinar aquellos que sobran en el modelo:

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción 169.016235 2.7471226 61.5248242 5.4139E-12x1 6.74374879 2.3784531 2.83535076 0.02196856x2 26.5151515 2.39110005 11.0891016 3.9035E-06x1^2 -10.756724 2.47325855 -4.3492113 0.00244787x2^2 -21.9855591 2.5138815 -8.74566247 2.2867E-05x1*x2 -15.25 3.36457601 -4.53251761 0.001918

Al revisar los valores de probabilidad, todos resultaron ser menores de 0.05, de

donde concluimos que todos son importantes para explicar la respuesta. Una

grafica de observados contra esperados es mostrada para revisar el nivel deajuste del modelo:



esperados

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

60 80 100 120 140 160 180 200

Observados

E s p e r a d o s

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