Dise o Robusto de Productos Tag2

89
DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007 DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI Página 1 de 89

Transcript of Dise o Robusto de Productos Tag2

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI

Primitivo Reyes AguilarSeptiembre de 2007

Página 1 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Diseño de experimentos de Taguchi

1. Introducción

¿qué hace el diseño de experimentos, durante un diseño de parámetros u optimización del proceso?

Considere un proceso cualquiera. En este proceso se combinan una serie de

insumos para cumplir con ciertas características

Factores RespuestasY1

Xi Proceso Y2

Y3

Suponga que la situación de alguna de las características, digamos Y1 se muestra en

la figura siguiente:

LIE LSE

Evidentemente, el proceso está generando producto con características no

satisfactorias. A fin de corregir la situación es necesario:

1. Centrar el proceso, modificando la media o promedio del mismo.

2. Reducir la variabilidad del proceso eliminando causas comunes de variación, dicho

de otra manera, el proceso está en control estadístico.

3. De ser posible reducir el costo del proceso.

Todos los factores x, que afectan este proceso, se pueden clasificar en cuatro grandes

grupos:

Página 2 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Factores que afectan la media y/o la variabilidad.

Factores de ruido

Factores que afectan Factores que no la media sin afectar afectan, ni la mediala variabilidad ni la variabilidad

Los factores de ruido son aquellos que no podemos o deseamos controlar, en

general, se consideran tres tipos:

- Ruido externo. Son los factores que están fuera del ámbito del producto, pero

que afectan el proceso en el ámbito del cliente durante su uso.

- Ruido interno. Son los factores que originan deterioro, o que las características

de calidad se degraden con el tiempo.

- Ruido de producto a producto. Son los factores que en el centro de producción

ocasionan variación de un producto a otro.

Los factores que afectan la media y/o variabilidad, se utilizan para reducir la

variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para reducir la

variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para centrar el

proceso, o bien para maximizar o minimizar la respuesta. Por último, los factores

que no afectan ni la media ni variación se utilizarán para reducir el costo del

proceso, esto es, se ubicarán a su nivel más económico.

Recuerde, que el objetivo es fijar los factores que están en nuestro control, a un

nivel tal que el producto sea robusto a los factores de ruido.

El problema es, que de antemano no sabemos dónde se ubica cada factor: el diseño

de experimentos es un grupo de herramientas que nos ayuda de una manera

sistemática y eficiente, a ubicar cada factor y en un caso dado, como exactamente

afecta a la variable de respuesta.

Página 3 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

2. Procedimiento general para un estudio de ingeniería de calidadUno de los procedimientos que se pueden utilizar es el siguiente:

1. Identificar el problema y formar grupo de trabajo.

Este es quizá el paso más importante, existe la posibilidad de que en este pase se

termine el experimento. En primer lugar, se debe de identificar un problema que sea

importante resolver para la empresa (no únicamente para el experimentador). Esto

quiere decir, que si el problema se resuelve, pondría en una mejor posición al producto

y permitiría a la empresa generar más utilidades. Si esta condición no se cumple, es

recomendable olvidarse por lo pronto del problema y buscar otro.

Una vez aprobado el problema, se debe definir por escrito cuál es el problema a

resolver, qué tipo de solución se busca, cuál es la situación actual y sobre todo, quién

sabe acerca del mismo o está directamente afectado, a fin de integrarlo dentro del

grupo de trabajo.

2. Lluvia de ideas

En esta fase, se pretende identificar como evaluar y/o cuantificar la característica

que se desea mejorar. Asegurarse que realmente representa el problema que se

quiere resolver. Una vez definida, se debe cuestionar si la puede medir de una

manera confiable sino es posible, busque alternativas.

Es posible que en un mismo problema existan dos o más características de interés,

conviene sin embargo que usted, asigne prioridades y tome una como titular. La o las

características seleccionadas son las variables de respuesta para todo el estudio (Y).

En esta fase se deben identificar, el grupo de factores que potencialmente afecta la

variable de respuesta (las X’s). Se puede ayudar con un diagrama causa-efecto en el

que intervengan las personas que conocen el proceso; operadores, técnicos,

ingenieros, etc. Una cosa importante es que busque en la literatura, en ocasiones el

problema que pretende resolver ha sido tratado en otras partes y esto le puede

orientes sobre que factores considerar.

En un segundo paso, se debe seleccionar aquellos factores que se consideran con

mayores posibilidades y que entrarán al primer experimento, se debe hacer un

juicio y a falta de información, un pareto logístico puede ser de gran ayuda.

Página 4 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Considere también, que existen factores que no se pueden controlar y no tiene caso

que entren al experimento. Si aún así, quedan muchos factores candidatos, inicie con

lo s que sea más sencillo y menos costoso manipular.

Una vez seleccionados los factores, se deberán proponer los niveles a estudiar para

cada factor. No sea demasiado conservador, considere dentro de que rangos varían

generalmente los factores y trate de cubrir estos rangos. Es probable que los

resultados que obtenga se puedan interpolar sin embargo, será muy riesgoso

extrapolar resultados.

1. Seleccionar el arreglo a usar.

Arreglo interno

Arreglo externo

Tamaño de la muestra

2. Organizar el experimento

Hojas de datos

Quién hace qué

3. Correr el experimento

Recolectar datos

Analizar resultados.

4. Selecciona índice señal a ruido

Hacer análisis Anova

Encontrar para nominal es mejor

Factores que reducen variabilidad

Factores que ajustan la media

Factores que reducen costo

Encontrar para mayor es mejor o menor es mejor

Factores que mejoran la media y/o la variabilidad

Encontrar las mejores condiciones de operación

Predecir resultados esperados bajo las condiciones propuestas.

1. Hacer una corrida de comprobación

Si los resultados no coinciden con lo esperado, identificar causas posibles

Página 5 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Evaluar la ganancia que se obtiene con las nuevas condiciones.

2. Implementar las condiciones propuestas.

Varios de los términos mencionados serán estudiados a lo largo del material.

Aunque se ha hablado del concepto de la calidad, no se ha definido explícitamente

en términos de ingeniería de calidad. Por otra parte necesitamos de alguna manera

evaluar económicamente las posibles desviaciones del valor ideal de la variable de

respuesta. Esto se analiza en el siguiente capítulo bajo el tema de la función de

pérdida.

2. La Función de PérdidaG. Taguchi propone el siguiente enunciado:

“LA CALIDAD DE UN PRODUCTO SE PUEDE MEDIR, MEDIANTE LA (MINIMA)

PÉRDIDA QUE LE OCASIONA A LA SOCIEDAD, UN PRODUCTO DESDE EL

MOMENTO DE SER EMBARCADO”

En esta definición, se involucra a la sociedad entendida como el conjunto de clientes

incluyendo al productor. Esto es, que los problemas de calidad deben ser vistos de

una manera global para evitar que una parte se beneficie a costa de la otra.

Si el producto cumple exactamente con lo esperado, entonces no se ocasiona costo

de calidad alguno. Dicho de otra manera, no se ocasiona un costo adicional para el

consumidor aparte de su precio. Por eso en la definición se aclara que es un costo

después de embarcarlo.

Este desembolso adicional que el consumidor tiene que gastar sin tener porque

hacerlo es una pérdida para él y para la sociedad en general, de la cual forma parte, si

el producto hubiese sido producido bien, nadie tendría porque hacer un costo

adicional. De ahí el nombre de pérdida.

Pero cómo es esta relación pérdida-desviación. Suponga que desea adquirir un

cierto producto con un diámetro de 10 pulg. Dado que es imposible obtener siempre

este diámetro, se asigna una cierta tolerancia de digamos 0.02 pulg.

Tradicionalmente esto quiere decir que si usted recibe un producto con un diámetro

entre 9.98 y 10.02 pulg. todo esta bien mientras el diámetro se encuentre en este

intervalo, esta igualmente contento. Fuera de este rango el producto es

completamente inaceptable.

Taguchi considera esta visión incorrecta. Para el cliente un producto que mide

9.9799 pulg. no es muy diferente a uno que mida 9.9801 pulg. De hecho, un producto

Página 6 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

aceptable que mida 9.9801 es más parecido a uno defectuoso que al deseado de

10.0000 pulg.

Lo anterior implica cosas como: no porque un producto está dentro de

especificaciones, necesariamente es un buen producto para el cliente. puede incluso

hacer una inspección 100% para que todo producto quede dentro de especificaciones,

y no por eso su producto es considerado un buen producto por el cliente.

Por lo tanto, más que una pérdida súbita que se tenga cuando el producto sales de

especificaciones, se tiene un continuo de pérdida tan pronto como el producto se

desvía del valor idealmente deseado por el cliente.

En seguida se discutirá este punto, con ejemplos más específicos para como

cliente.

El único valor aceptable de una característica de calidad, es el valor deseado por el

cliente, llamelo en este caso “m”. El cliente realmente recibe un producto con una

característica de calidad que llamaremos aquí ”y” . Esta característica “y”, no

necesariamente coincide con “m” de manera que, se puede tener una desviación de

(y-m), la cual puede ser positiva o negativa. Ya sea que y>m ó y<m. Siempre que “y”

es diferente de “m”, se le ocasiona al cliente una pérdida, llamémosla L(y) con (y-m)?,

si bien existen un sin número de maneras, una para cada cliente Taguchi sugiere que

en la gran mayoría de las veces esta relación es descrita de manera cuadrática. Esto

es:

L(y)=k (y-m)2

Donde k es una constante específica para cada consumidor, que gráficamente

queda representado por:

L(y)

Vale la pena observar lo siguiente:

- Desviaciones pequeñas del valor ideal, ocasionan una pérdida pequeña.

- La pérdida aumenta más que linealmente conforme “y” se aleja del valor ideal m.

- Cuando el valor de “y” coincide con el valor de m, la pérdida es cero. Esto es,

L(y=m)= 0.

- La curva se ve afectada por el valor de la constante k.

Página 7 de 65

m y

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

- Existe una función de pérdida L(y) asociada con cada característica de calidad del

producto. La pérdida total que ocasiona el producto, es la suma de las pérdidas de

cada una de sus características.

Un problema que surge de inmediato es ¿cómo evaluar la constante k?

Considere una característica de calidad, digamos un diámetro con un valor ideal de

10.0000 pulg. Si el diámetro de desvía un poco el producto aún se puede utilizar.

Conforme el diámetro se aleja aun más del ideal, llegará un punto en el cual no se

puede utilizar el producto tal y como este. A este valor se le puede llamar “yc” y a la

desviación(yc-m)= Tc. se le llama tolerancia del consumidor.

En este momento, se debe hacer algo para que el producto se pueda utilizar

originando un costo, llame a este costo Ac. Al sustituir en la fórmula de L(y), se tiene

que

Ac= k Tc2; k= Ac/ Tc2

La función de pérdida se puede expresar también de la manera siguiente

L(y)= (Ac/ Tc2)(y-m) 2

Algunos autores, sugieren utilizar como Tc, lo que se considere como tolerancia

actual o de operación, y entonces un buen valor de Ac es un 10% del precio del

producto.

Como corolario podemos observar lo siguiente: corregir, arreglar o aun desechar un

producto es más económico siempre para el productor. Esto es, se le ocasiona un

costo menor. Si a este costo le llamamos Ap, donde siempre sucede que Ap < Ac,

¿cuál debe ser entonces la tolerancia que debe manejar el productor en sus dibujos?.

Al sustituir en la función de pérdida anterior esta pérdida Ap y manejando la

tolerancia (yp-m)= Tp, se tiene:

Ap= (Ac/ Tc2)Tp 2, y por lo tanto Tp= Tc

Esto quiere decir, que la tolerancia del productor, debe siempre ser menor que la del

consumidor. La relación viene representada por la raíz cuadrada de la relación entre la

pérdida del producto y del consumidor para el mismo producto.

Función de pérdida promedio

Si bien, la forma de la función de pérdida anterior describe la situación para una

unidad de producto en particular, el productor, probablemente este más interesado en

Página 8 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

la pérdida promedio que su producción induce al cliente. Para esto es suficiente

obtener el promedio para todos sus productos, esto es:

Lmedia=

Si el número de productos es pequeño, el promedio se puede obtener directamente.

Si el valor no crece, se puede demostrar mediante un poco de manipuleo

algebraico, que el valor de Lmedia es

Lmedia= ; donde d= (-m)

y representan la media y varianza del proceso respectivamente.

Si el productor desea disminuir la pérdida que su producto ocasiona a sus

consumidores, deberá por lo tanto, reducir su variabilidad (minimizar ) y centrar su

proceso de manera que la media del mismo coincida con el ideal m, (disminuir

Función de pérdida para otro tipo de características

Una característica de calidad, por lo general es de uno de los siguientes tipos:

Cualitativa. No se puede medir directamente sobre una escala continua

Cuantitativa. Se divide en tres:

1. Menor es mejor. Son aquellas características que el cliente desea sea mínima, m es

igual a cero y la característica “y” no puede ser menor que esta ideal. Ejemplo:

desgaste, fricción, etc.

2. Mayor es mejor. Son aquellas características en que el valor ideal parra el cliente

tiende a infinito. Por ejemplo: duración, rendimiento, etc.

3. Nominal es mejor. Son aquellas características en que existe un valor nominal

deseado por el consumidor “m” y la característica real “y” puede ser mayor o menor

que este ideal. Ejemplo: diámetro, longitud, etc.

Para cada una de las características cuantitativas, existe una función de pérdida

tanto individual como promedio. Para el caso cualitativo dependiendo del caso, se

puede adaptar a una de ellas. Las expresiones son:

Tipo Individual Promedio

Nominal es mejor L(y)= k(y-m)2 L(y)=

Menor es mejor L(y)=K y2 L(y)=

Página 9 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Mayor es mejor L(y)= K/ y2 L(y)=

Cada una de estas expresiones, indica la dirección de mejora para un proceso

cualquiera.

Mediante la función de pérdida podemos:

- Cuantificar en dinero, los efectos de una calidad no adecuada

- Interpretar los resultados de un experimento en base económica

- Evaluar el impacto económico que sobre el cliente tiene alguna acción de mejora.

3. ARREGLOS ORTOGONALES

Recuerde. que el problema es: identificar de los cientos de posibles factores que

afectan una característica de calidad, cuáles de ellos afectan el promedio, cuál es la

variación y cuáles no la afectas.

En las fases iniciales de la experimentación, se tienen una gran cantidad de factores

potenciales, de los cuales se selecciona un grupo inicial a probar, Ahora bien, si desea

saber si un factor afecta una característica de calidad, es necesario que varíe el

factor y evalúe si esto tuvo algún impacto sobre la característica de calidad.

El problema no es sencillo, sin embargo, ya que si tiene digamos 10 factores a

probar, se tienen 1024 posibles condiciones diferentes que se pueden presentar. Este

número de pruebas es demasiado grande para casi cualquier situación práctica.

Se necesita por lo tanto alguna alternativa que:

- No permita hacer sólo una pequeña cantidad de las pruebas posibles en lugar de

1024, digamos unas 12 pruebas

- Sin embargo, nos permita evaluar con cierta confianza el efecto de todos los

factores analizados.

- Los resultados de estas pruebas se reproduzcan, esto es, que sean válidas al

momento de implantar la decisión en condiciones reales de operación y a plena

escala.

- Sea algo sencillo y relativamente rápido como para concentrarse más en entender

el proceso de producción en sí, que en los análisis estadísticos.

EL OBJETIVO DE LOS ARREGLOR ORTOGONALES ES FACILITAR EL PROCESO

DE EXPERIMENTACIÓN. NUESTRO INTERÉS ES ENCONTRAR QUÉ FACTORES

Página 10 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

AFECTAN FUERTEMENTE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD Y HACER

PREDICCIONES SOBRE LAS CONDICIONES PROPUESTAS DE OPERACIÓN.

De una manera gráfica, el objetivo de los arreglos ortogonales es: (suponga por

ejemplo 10 factores a dos niveles) 1, 024 pruebas posibles:

Un arreglo ortogonal es un matriz experimental factorial fraccional que es ortogonal

y balanceada. El arreglo más sencillo es el arreglo L4 de la tabla siguiente.

En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos

ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos

niveles.

Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Ejemplo de un arreglo ortogonal es:

Factor

Nº 1 2 3 Resultado

1 1 1 1 Y1

2 1 2 2 Y2

3 2 1 2 Y3

4 2 2 1 Y4

Columna 1 Columna 3 Columna 2

Gráfica lineal del arreglo ortogonal L4

Se tienen en este caso en particular cuatro renglones y 3 columnas. Bajo el

encabezado Nº se tiene el número de pruebas.

Se tienen tres columnas que consisten de números “1” y “2”. A cada columna se

asigna un factor o variable cuyo efecto en la variable de respuesta se desea investigar.

Con este arreglo se pueden investigar hasta tres factores.

Cada columna de un factor consiste de números “1” y “2” donde el número “1” indica

que el factor se encuentra a su nivel inferior y el “2 “a su nivel superior.

Página 11 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Se puede observar que cada columna tiene la misma cantidad de números “1” que

de números “2”. Si tomamos cualquier pareja de columnas, existen cuatro posibles

combinaciones de sus valores,”11”, “12”, “21” y “22”. Como en cada pareja de

columnas se presenta el mismo número de veces cada combinación, se dice que el

arreglo es ortogonal o balanceado.

El resultado de cada condición experimental se muestra con el encabezado

resultado.

De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como

ejemplo. se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.

Si en el arreglo anterior se cambia el 1 por el -1 y el 2 por el 1, el arreglo se

transforma claramente en un arreglo factorial fraccional con la relación que lo

genera C = - AB en la columna 3.

FactorNº 1 2 3 Resultado1 -1 -1 -1 Y1

2 -1 +1 +1 Y2

3 +1 -1 +1 Y3

4 +1 +1 -1 Y4

Para cada arreglo ortogonal de Taguchi se tienen gráficas lineales, usadas para

ilustrar las relaciones de interacción en el arreglo ortogonal, en este caso la interacción

de las columnas 1 y 2 están confundidas con las columna 3.

Para arreglos ortogonales más grandes no solo se cuenta con gráficas lineales sino

además con tabla de interacciones para explicar las interacciones entre columnas, por

ejemplo para el arreglo L8 se tiene:

Página 12 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

    COLUMNAS          Exp. No. 1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

Matriz o tabla de interacciones

Columnas 1 2 3 4 5 6 71 (1) 3 2 5 4 7 62   (2) 1 6 7 4 53     (3) 7 6 5 44       (4) 1 2 35         (5) 1 26           ¡(1) 67             (7)

3 2

11

3 5 .7 5 4 6

2 6 4 (a)

(b) 7

¿Qué representa cada tabla?. En primer lugar, el arreglo ortogonal L8 es exactamente

el mismo que se utilizó en el caso experimental y cada columna un factor o interacción

cuyo impacto sobre la variable de respuesta se desea conocer.

La matriz triangular nos representa las interacciones entre columnas. En el primer

renglón, con el titulo de columna, cada número corresponde a la columna con ese

mismo número del arreglo, al igual que los números entre paréntesis que se

encuentran en la diagonal inferior. Por ejemplo, si nosotros asignamos el factor A a la

columna 3 y el factor B a la columna 5, la interacción de AxB aparecerá en otra

columna ya definida. En el cruce de la columna número 5 y el renglón número 3 de la

Página 13 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

matriz, aparece el número 6 (marcado con * en la tabla), de manera que la interacción

de AxB se deberá asignar a la columna 6 del arreglo ortogonal.

Con ayuda de matriz de interacciones es factible, mediante prueba y error, asignar los

factores a las columnas. Sin embargo, para simplificar aun más esta asignación nos

podemos auxiliar de las gráficas lineales (1) y (2) que se muestran.

En una gráfica lineal:

a) un efecto principal se representa mediante un punto.

b) una interacción se representa mediante una línea.

c) los números representan las columnas correspondientes del arreglo ortogonal a

donde se asignan los efectos principales y las interacciones.

En particular, el arreglo ortogonal L8 tiene dos alternativas de arreglo mostrados por

las gráficas (1) y (2) respectivamente.

Por ejemplo, la gráfica (1) indica que con este arreglo se pueden analizar, tres factores

principales, (puntos 1, 2 y 4) y las interacciones entre ellos, (líneas 3, 5 y 6), además

de un cuarto factor, (punto 7), que no interactúa con los otros tres.

Los números indican que si deseamos lo anterior, los tres factores deberán asignarse

a las columnas 1, 4 y 2. Las interacciones aparecen en las columnas 3, 5 y 6.

La gráfica (2) indica cuatro factores, (puntos 1, 2, 4 y 7) con interacciones de uno de

ellos con los otros tres (líneas 3, 5 y 6).

Por lo tanto, el factor que interactúa con los otros tres se debe asignar a la columna 1

del arreglo, los otros tres factores a las columnas 2, 4 y 7. Las interacciones quedarán

en las columnas 3, 5 y 6.

Si se desea analizar un número menor de interacciones y un número mayor de

factores en el mismo arreglo ortogonal, la columna de cualquier línea representando

Página 14 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

una interacción que no es relevante, se puede utilizar para representar un factor

adicional.

Si se cambian el 1 y 2 por -1 y +1 en el arreglo L8, es claro que representa un

arreglo factorial fraccional donde la columna 4 del arreglo L8 corresponde a la

columna A del arreglo , la columna 2 del arreglo L8 corresponde a la columna B

del arreglo , y la columna 1 del arreglo L8 corresponde a la columna C del arreglo

. También se puede ver que la columna 3 es equivalente a –BC, la columna 5 es

equivalente a –AC, la columna 6 es equivalente a –BC, etc.

COLUMNAS C B -BC A -AC -BCExp. No. 1 2 3 4 5 6 71 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -12 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +13 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +14 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -15 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +16 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -17 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -18 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

Las gráficas lineales muestran donde se confunden las interacciones, por ejemplo:

la interacción entre columnas 1 y 2 se confunden con la columna 3, la interacción entre

columnas 1 y 4 se confunde con la columna 5, la interacción entre las columnas 2 y 4

se confunde con la columna 6.

Sin embargo se sabe que el diseño tiene 4 generadores, de manera que cada

efecto principal será confundido con muchas interacciones de dos factores por tanto

las gráficas lineales solo muestran un subconjunto de relaciones de interacciones. La

tabla lineal muestra otras alternativas adicionales, por ejemplo: muestra que la

columna 3 se confunde con la interacción de las columnas 1 y 2, pero también se

confunde con la interacción entre las columnas 5 y 6 y las columnas 4 y 7, tomando la

primera como renglón y la segunda como columna identificando la intersección (en

este caso 3).

En la notación de los arreglos ortogonales , el 2 significa dos niveles, el 8

indica 8 corridas experimentales y el 7 significa que se pueden acomodar hasta 7

factores o una combinación con sus interacciones.

Página 15 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Los arreglos ortogonales de Taguchi también incluyen arreglos de 3 niveles arreglos

mezclados. El más simple es el L9. Su gráfica lineal indica que las columnas 3 y 4

están confundidas con los efectos de la interacción de las columnas 1 y 2.

COLUMNASExp. No. 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1

Columna 1 Columnas 3,4 Columna 2

Gráfica lineal del arreglo ortogonal L9

En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas, los efectos que

se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.

Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos

niveles, los más utilizados y difundidos se anexan en el apéndice y según el número

de factores a analizar son:

Si el número de factores que Arreglo a utilizar Nº de condiciones

se desean analizar es a probar

Entre 1 y 3 L4 4

Entre 4 y 7 L8 8

Entre 8 y 11 L12 12

Entre 12 y 15 L16 16

Entre 16 y 31 L32 32

Entre 32 y 63 L64 64

4 Diseños experimentales para factores con interacciones

Los diseños de experimentos de Taguchi son similares a los diseños de

experimentos clásicos, sin embargo en los de Taguchi solo se consideran los

factores principales y las interacciones de dos factores, se asume que las

Página 16 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

interacciones de mayor orden no tienen efecto significativo. Adicionalmente los

experimentadores deben utilizar su experiencia para anticipar cuales interacciones

pudieran ser significativas antes de realizar los experimentos.

Posteriormente se deben determinar los grados de libertad, que son la cantidad

relativa de datos requeridos para estimar los efectos a ser analizados. Para los

grados de libertad se siguen las reglas siguientes:

1. La media general tiene un grado de libertad.

2. Para cada factor A, B,…, sus grados de libertad son número de niveles–1 (n-1).

3. Para las interacciones, v. gr. A y B, los grados de libertad son los (nA-

1)*(nB-1)

Por ejemplo en un experimento hay un factor A con dos niveles, 6 factores (B, C, D, E,

F, G) con 3 niveles y una interacción entre los factores A y B, los grados de libertad

son los siguientes:

Factores Grados de libertad

Media 1

A 2-1 = 1

B, C, D, E, F, G 6 x (3-1) = 12

AB (2-1)(3-1) = 2

Total 16

Existe un fenómeno que se presenta en algunas situaciones en los procesos de

producción. Este fenómeno se llama interacción entre dos factores y se describen en

esta sección.

En los casos anteriores se asumió que el efecto de un factor sobre la variable de

respuesta, no dependía del nivel de otros factores. Cuando el efecto de un factor

depende del nivel de otro factor, se dice que existe una interacción entre los factores.

O sea, suponga que en un experimento se ha encontrado que la temperatura y el tipo

de refrigerante, afectan la variable de respuesta llamada planicidad. Existen dos

marcas de refrigerante, la marca I y la marca II. Resulta que si se usa el refrigerante I,

al aumentar la temperatura la planicidad aumenta. Pero si usa la marca de

refrigerante II, al aumentar la temperatura, la planicidad disminuye.

Página 17 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Si se le pregunta cual es el efecto de la temperatura sobre la planicidad, lo único que

puede contestar es Depende. Depende de qué? del tipo de refrigerante que use. En

este caso se dice que existe una interacción entre la temperatura y el refrigerante.

Otro ejemplo es el caso de 2 medicamentos que al suministrarse en forma

independiente, provocan mejoría en las condiciones del paciente. Por otro lado,

cuando los dos medicamentos son suministrados al mismo tiempo y la condición del

paciente empeora, se dice que los dos medicamentos interactúan.

Gráficamente se puede observar si existe o no interacción entre los factores:

B2

B1 B2

B1

A1 A2 A1 A2

Las dos líneas son paralelas, no El efecto de A depende del nivel de B existe interacción entre los factores. y viceversa. El efecto de A no es

consistente. Existe interacción.

¿Cómo se puede dar cuenta antes del experimento que existe una interacción?, no lo

puede saber con certeza, pero una buena guía es la experiencia de experimentos

previos, por conocimiento del proceso y por la literatura.

Las interacciones existen en los procesos en mayor o menor grado. Sin embargo,

no se preocupe demasiado si no puede identificar ninguna, al final de esta elección se

le indica que hacer.

En las secciones anteriores se analizaron aplicaciones de arreglos ortogonales, en

los cuales no existían interacciones entre los factores principales. En otros casos,

podemos estar interesados en analizar el efecto que algunas interacciones en

particular tienen sobre la variable de respuesta.

¿Pero qué sucede cuando se desea incluir interacciones en un arreglo ortogonal?, se

puede decir lo siguiente:

a) los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con interacciones, son

exactamente los mismos que se usan para el caso sin interacciones.

Página 18 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas columnas, automáticamente la

interacción de esos dos factores AxB se reflejará en otra columna del arreglo. Por lo

tanto, esta tercera columna ya no podrá ser utilizada por algún otro factor o

interacción a menos que se pueda suponer la interacción AxB como inexistente.

c) una interacción significante que se desee probar, tomará una columna y en

consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, isi deseamos analizar el efecto de

6 factores y 4 de las interacciones entre ellos, requerimos por lo menos de 10

grados de libertad, esto es de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo

L8, que sería suficiente sin interacciones.

d) se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan los factores a las

columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores

principales u otras interacciones que también deseamos probar.

Una condición que existe para el manejo de las interacciones mediante procedimientos

de arreglos ortogonales Taguchi, es que se tenga una definición “a priori “ de cuáles

interacciones específicamente sospechamos que existen. Esto es, debemos definir de

antemano qué interacciones creemos son relevantes, a fin de incluirlas en nuestro

análisis.

Diseños experimentales

El diseño experimental de Taguchi sigue un proceso de tres pasos:

1. Determinar los grados de libertad totales (Df)

2. Seleccionar un arreglo ortogonal estándar por medio de las dos reglas siguientes:

Regla 1. El número de experimentos o corridas en el arreglo ortogonal >= Total Df.

Regla 2. El arreglo ortogonal seleccionado deberá poder acomodar las

combinaciones de niveles de factores en el experimento.

3. Asignar factores a las columnas apropiadas usando las reglas siguientes:

Regla 1. Asignar interacciones de acuerdo a la gráfica lineal y tabla de

interacciones.

Regla 2. Usar técnicas especiales, tales como niveles artificiales y construcción de

columnas, cuando el arreglo ortogonal original no puede acomodar los niveles de

los factores en el experimento.

Regla 3. Mantener algunas columnas vacías is no pueden ser asignadas todas las

columnas.

Página 19 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Se puede usar la tabla siguiente como referencia:

Arreglo Número Factores Máximo Número De cols. En niveles

ortogonal De exper. Máximos 2 3 4 5

L4 4 3 3

L8 8 7 7

L9 9 4 4

L12 12 11 11

L16 16 15 15

L16’ 16 5 5

L18 18 8 1 7

L25 25 6 6

L27 27 13 13

L32 32 31 31

L32’ 32 10 1 9

L36 36 23 11 12

L36’ 36 16 3 13

L50 50 12 1 11

L54 54 26 1

L64 64 63 63

L64’ 64 21 21

L81 81 40 40

Para ayudar en la asignación de factores a un arreglo, se han desarrollado gráficas

lineales. Su aplicación se muestra mediante un ejemplo:

NOTA: En los ejemplos que siguen, para denotar una interacción entre dos factores, A

y B por ejemplo, se utiliza indistintamente la notación AB o AxB.

Gráficas lineales

En el apéndice se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos gráficas

lineales. Estas se reproducen aquí para explicación.

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7

Exp. No.              

1 1 1 1 1 1 1 1

Página 20 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

Matriz o tabla de interacciones

Columnas 1 2 3 4 5 6 71 (1) 3 2 5 4 7 62   (2) 1 6 7 4 53     (3) 7 6 5 44       (4) 1 2 35         (5) 1 26           ¡(1) 67             (7)

3 2

1 3 5 1

.7 5 4 6

2 6 4 (a)

(b) 7

La aplicación de gráficas lineales se muestra mediante una serie de ejemplos.

Página 21 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Ejemplo 1:

Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D, además

de las interacciones AxB, AxC y AxD.

1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del

número de efectos totales a analizar.

4 factores + 3 interacciones= 7 efectos o columnas

2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el

siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las

reglas mencionadas anteriormente:

a) un efecto individual se representa con un punto.

b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos efectos

individuales.

En nuestro caso esto procede como sigue:

Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto.

A. B.

C. D.

En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda):

AxB 3

A B 1 2

AxC AxD 56

C D 7 4

3) Identificamos la gráfica mostrada en el apéndice que más se parece a la gráfica

deseada, y vemos que esta es la gráfica (2), (dibujada a la derecha de la anterior).

Por lo tanto, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2,

la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la interacción AxD a la

columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la columna 6.

Esto es:

Página 22 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Columna 1

Columna 2

Columna 3

Columna 4

Columna 5

Columna 6

Columna 7

Exp. No. A B AxB D AxD AxC C

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos que la

interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos es:

B

AxB

A C .E

AxD

D

Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC, por lo

tanto, una asignación lógica es:

Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3, el

factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la columna 6.

Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción AxC, se le asigna el

factor E.

Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1).

Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las gráficas

lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor tamaño.

Ejemplo 2:

Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB, una

posible asignación es:

  Columna 1

Columna 2

Columna 3

Columna 4

Columna 5

Columna 6

Columna 7

Efecto A D C B AxB E F

Página 23 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Ejemplos adicionales 3:

a) En un experimento hay 7 factores, se consideran sólo los efectos principales. Los

grados de libertad son Df = 1 + 7(“-1) = 8. El arreglo ortogonal seleccionado debe

tener al menos 8 corridas experimentales, en este caso puede ser un L8.

b) En un experimento hay un factor A de dos niveles y 6 factores de 3 niveles, B, C, D,

E, F, G. Los grados de libertad son: Df = 1 + (2-1) +6(3-1) = 14. Por tanto se debe

usar un arreglo ortogonal que la menos tenga 14 corridas experimentales. El L16

tiene experimentos pero no puede acomodar 6 columnas de tres niveles. El arreglo

ortogonal L18 tiene una columna para un factor de dos niveles y 7 columnas de 3

niveles, por tanto es el arreglo a usar. La columna 8 se deja vacía.

L18 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7

Col. 8

Exp. No. A B C D E F G e1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 2 2 23 1 1 3 3 3 3 3 34 1 2 1 1 2 2 3 35 1 2 2 2 3 3 1 16 1 2 3 3 1 1 2 27 1 3 1 2 1 3 2 38 1 3 2 3 2 1 3 19 1 3 3 1 3 2 1 210 2 1 1 3 3 2 2 111 2 1 2 1 1 3 3 212 2 1 3 2 2 1 1 313 2 2 1 2 3 1 3 214 2 2 2 3 1 2 1 315 2 2 3 1 2 3 2 116 2 3 1 3 2 3 1 217 2 3 2 1 3 1 2 318 2 3 3 2 1 2 3 1

c) En un experimento hay 9 factores de dos niveles, A, B, C, D, E, F, G, H, I y las

interacciones AB, AC, AD y AF se piensa que pueden presentarse.

Los experimentos necesarios son al menos Df = 1 + 9(2-1) + 4(2-1)(2-1) = 14

El diseño L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores

o sus interacciones en dos niveles. Usando la gráfica lineal para identificar las

columnas de las cuatro interacciones se tiene:

Página 24 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

A(1)

C(6) 7 13 D(12) G(11)

3 9 15 I(14)

B(2) 10 F(8) E(4) H(5)

Las columnas 3, 7, 9 y 13 se dejan vacías para evitar confundir los efectos principales

con las interacciones de dos factores.

El arreglo queda como sigue:

L16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Exp. No.

A B AB E H C AC FAF e G D AD I E

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2…. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

d) En un experimento hay 6 factores con 3 niveles A, B, C, D, E, F y las interacciones

probables AB, AC, y BC.

Los experimentos necesarios son: Df = 1 + 6(3-1) + 3(3-1)(3-1) = 25. El arreglo L27

tiene 27 corridas experimentales y puede acomodar 13 factores de 3 niveles. En

base a su gráfica lineal se tiene:

A(1)

D(9) E(10) F(12) e(13)3,4 6,7

B(2) C(5)

Las columnas 3, 4, 6, 7, 8, y 11 se dejan vacías para evitar confusión de efectos

principales con las interacciones AB, AC, y BC.

Página 25 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Técnicas especiales

Algunas veces se requiere tener algunos factores con diferentes niveles en el mismo

experimento, por ejemplo cuatro o más niveles, para esto se utilizan algunas técnicas

especiales.

Combinación de columnas

Se pueden combinar varias columnas de bajo nivel en una columna de mayor nivel.

a) Creación de una columna de cuatro niveles usando columnas de dos niveles:

Se requieren tres columnas de dos niveles para crear una columna de 8 niveles, como

cada columna tiene un grado de libertad, y una de cuatro niveles tiene tres grados de

libertad, se requieren tres columnas, que se forman con dos columnas y la columna de

su interacción.

Por ejemplo si se hay dos factores en un experimento A y B, con A un factor de cuatro

niveles y B un factor de dos niveles. La interacción AB puede ser significativa.

Calculando los grados de libertad se tiene:

Df = 1 + (4-1) + (2-1) + (4-1)(2-1) = 8

Por lo que se puede utilizar el arreglo L8 como sigue:

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7

Exp. No.              

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

Combinando las columnas 1, 2 y 3 se tiene:

A 1

3 AB(5)

2 B(4)AB(6) 7

Página 26 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

L8 Col.1 Col. 2

Col. Nueva B

Exp. No.      

1 1 1 1

2 1 1 1

3 1 2 2

4 1 2 2

5 2 1 3

6 2 1 3

7 2 2 4

8 2 2 4

L8 Col. nueva

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7

Exp. No.          

1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2

3 2 1 1 2 2

4 2 2 2 1 1

5 3 1 2 1 2

6 3 2 1 2 1

7 4 1 2 2 1

8 4 2 1 1 2

Calculando los grados de libertad de AB se tiene Df = (4-1)(2-1) = 3, por tanto se

deben utilizar tres columnas; las columnas 5 y 6 están relacionadas con la interacción

de AB; también su columna 3 al interaccionar con la columna 4 (AB) la interacción se

presenta en la columna 7 de la gráfica lineal L8 siguiente:

Matriz o tabla de interacciones

Columnas 1 2 3 4 5 6 71 (1) 3 2 5 4 7 62   (2) 1 6 7 4 53     (3) 7 6 5 44       (4) 1 2 35         (5) 1 26           ¡(1) 67             (7)

Página 27 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Y la gráfica lineal queda como sigue:

A 1

3 AB(5)

2 B(4) AB(6) AB(7)

El arreglo ortogonal resultante es el siguiente:

L8 A B AB AB AB

Exp. No.          

1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2

3 2 1 1 2 2

4 2 2 2 1 1

5 3 1 2 1 2

6 3 2 1 2 1

7 4 1 2 2 1

8 4 2 1 1 2

Técnica de nivel artificial

Se utiliza para asignar un factor con m niveles a una columna con n niveles, donde n >

m. Se puede aplicar la técnica de nivel artificial para asignar un factor de 3 niveles a un

arreglo ortogonal de 2 niveles.

Por ejemplo, si en un experimento hay 1 factor de 2 niveles A, y 3 factores de 3 niveles

B, C, D. Los grados de libertad son los siguientes:

Df = 1 + (2-1) + 3(3-1) = 8

El arreglo L8 no puede acomodar este diseño porque solo tiene columnas de 2 niveles,

se requiere un arreglo mayor como el L9 que puede acomodar hasta 4 factores de tres

niveles, de esta forma se puede utilizar una columna para el factor A en 2 niveles y los

factores B, C, y D a otras 3 columnas como sigue:

El arreglo L9 original es:

Página 28 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

L9 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Exp. No. A B C D1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1

En este caso los 1’ indican que se asignó el nivel 1 en lugar del nivel 3 en la columna

1, también se pudo haber asignado el nivel 2. El nivel seleccionado a duplicarse debe

ser el nivel del cual nos gustaría obtener más información.

Y el arreglo modificado queda como:

L9 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Exp. No. A B C D1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 1’ 1 3 28 1’ 2 1 39 1’ 3 2 1

Por ejemplo en otro experimento se tiene un factor A en 3 niveles, 7 factores en 2

niveles B, C, D, E, F, G, H así como sus interacciones BC, DE y FG.

Determinado los grados de libertad se tiene:

Df = 1 + (3-1) + 7(2-1) + 3(2-1)(2-1) = 13

El arreglo L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores

de 2 niveles. La columna A se formará tomando 3 columnas que se pueden ser

seleccionar de sus correspondientes gráficas lineales.

Página 29 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

El arreglo original es:

L16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Exp. No.                              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 24 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 15 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 26 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 17 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 18 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 29 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 210 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 111 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 112 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 213 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 114 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 215 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 216 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

Sus gráficas lineales son las siguientes:

1 B(4) D(5) F(7) H(6)

3 BC(12)DE(15)FG(14)13

2 C(8) E(10) G(9) 11

A

Las columnas 1, 2 y 3 se pueden combinar para formar la columna A y todos los

demás factores e interacciones.

Después se pude utilizar la técnica de la variable artificial para acomodar al factor A.

L16 1, 2, 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Exp. No.  A B  D H  F C G E e BC e FG DE1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

Página 30 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 24 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 15 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 26 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 17 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 18 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 29 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 210 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 111 3 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 112 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 213 1’ 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 114 1’ 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 215 1’ 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 216 1’ 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

Método del factor compuesto

Este método se usa cuando el número de factores excede al número de columnas en

el arreglo ortogonal.

Por ejemplo si se quieren 2 factores de 2 niveles A y B y 3 factores C, D y E en 3

niveles, y la dirección sólo permite 9 experimentos. Suponiendo que se ha

seleccionado el arreglo L9, sólo 4 factores pueden asignados en el arreglo l9, de modo

que estamos tratando de asignar estos factores de 2 niveles A y B en 1 columna de 3

niveles.

Hay cuatro combinaciones para A y B: A1B1, A1B2, A2B1 y A2B2, dado que la

columna tiene sólo 3 niveles, sólo se pueden seleccionar 3 combianciones tales como

(AB)1 = A1B1, (AB)2 = A1B2 y (AB)3 = A2B1. El factor compuesto AB puede ser

asignado a la columna de 3 niveles.

Página 31 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

El arreglo original es:

L9 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Exp. No.

A B C D

1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1

El arreglo modificado queda como:

L9 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Exp. No.

AB C D E

1 (AB)1 1 1 12 (AB)1 2 2 23 (AB)1 3 3 34 (AB)2 1 2 35 (AB)2 2 3 16 (AB)2 3 1 27 (AB)3 1 3 28 (AB)3 2 1 39 (AB)3 3 2 1

Se pierde cierta ortogonalidad, los factores compuestos no son ortogonales entre sí,

pero si lo son con los otros factores.

Un ejemplo completo con una réplica se muestra a continuación:

Página 32 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Ejemplo 5: Diseño experimental L8 completo:

Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de interés es

el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes

factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:

Efecto Descripción Nivel bajo 1Nivel alto 2

A Tensión del diafragma Baja AltaB Entrada para aire Estrecha Abierta

CApertura para combustible Pequeña Grande

D Flujo de gasolina Lento RápidoAxC InteracciónAxB InteracciónBxC Interacción

Gráfica lineal que se desea es:

A

AxC AxB

C B .D CxB

Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una

asignación apropiada de efectos es:

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7

Exp. No.

A C AxC B AxB BxC DTensión Apertura Entrada Flujo Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg 3% 0.492 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg 5% 0.423 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg 3% 0.384 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg 5% 0.35 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg 3% 0.216 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg 5% 0.247 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg 3% 0.328 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg 5% 0.28

Total = 71.6

El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar.

Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas

donde se asignaron interacciones.

Página 33 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

El análisis utilizado ANOVA es:

A C AxC B AxB BxC D

Nivel 1 36.2 36.9 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5

Nivel 2 35.4 34.7 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1

La tabla ANOVA que resulta es:

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.0800* 1 0.0800 -

C 0.6050 1 0.6050 8.85

AxC 22.4450 1 22.4450 328.46

B 0.5000 1 0.5000 7.32

AxB 0.0800* 1 0.0800 -

BxC 0.1250 1 0.1250 1.83

D 0.0450* 1 0.0450 -

(e) 0.2050 3 0.0638

Total 23.8800 7

El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *.

Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B.

Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus

interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual que se

realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios:

B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70

Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2.

El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción con

el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se puede

analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se interactua. En este

caso, el factor C se debe analizar en conjunto con el factor A, aun cuando el factor C

resultó además significante individualmente y el factor A no.

Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C:

Página 34 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Nº A C Yi1 1 1 11.20 Siempre existirán entre dos columnas2 1 1 10.80 cuatro posibles combinaciones de 3 1 2 7.2 números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 24 1 2 7.05 2 1 8.06 2 1 6.97 2 2 10.48 2 2 10.1

Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total de

lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00

La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 + 7.0=

14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10

La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 + 6.9=

14.9, con un promedio de 7.45

Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total de

10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25

En resumen

Combinación Total Promedio

A1 C1 22.0 11.00 Como es un caso mejor,

A1 C2 14.2 7.10 se selecciona el promedio

A2 C1 14.9 7.45 menor, A1 C2 en este

A2 C2 20.5 10.25 caso.

Graficando estos promedios se tiene que:

11.0

10.0

9.00

8.00

7.00

A1 A2

Página 35 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su nivel

2, factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico.

El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es:

EF A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y)

= (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675

Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores

individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o no).

EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25

Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de los

efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una interacción

significante, hayan resultado significantes de manera individual o no.

Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2

= 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85

Análisis de datos experimentales de Taguchi

Hay muchas similaridades entre el análisis de experimentos de Taguchi y el método

“clásico”-

En el método Taguchi lo siguiente es muy importante:

1. Análisis de varianza

2. Gráfica de efectos principales y gráfica de interacciones.

3. Optimización y predicción de la respuesta esperada.

Análisis de varianza - ANOVA

No hay diferencia real entre el ANOVA clásico y el de Taguchi. Primero se determinan

las sumas de cuadrados (SS), después los cuadrados medios (MS) dividiendo los SS

entre los grados de libertad correspondientes.. En Taguchi la prueba F no es tan

importante como en el método clásico, algunas veces la importancia relativa de cada

factor se determina por su porcentaje de contribución a la suma de cuadrados total.

Para cada columna, la suma de cuadrados es:

Página 36 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Donde:

K = número de niveles

Tt = Suma de respuestas en el nivel t

N = Número total de corridas experimentales

n = Número de réplicas

Ejemplo 8: Uso de Minitab

Se estudia el efecto de varios factores en la porosidad:

Factores Bajo AltoA Temperatura del Molde A1 A2B Temperatura del químico B1 B2

C Rendimiento C1 C2

E Índice D1 D2

G Tiempo de curado G1 G2

Se deben considerar las interacciones AB y BD.

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7 Porosidad  

Exp. No. A B AxB D E BD G Y1 Y21 1 1 1 1 1 1 1 26 382 1 1 1 2 2 2 2 16 63 1 2 2 1 1 2 2 3 174 1 2 2 2 2 1 1 18 165 2 1 2 1 2 1 2 0 56 2 1 2 2 1 2 1 0 17 2 2 1 1 2 2 1 4 58 2 2 1 2 1 1 2 5 3

Entonces se determina SSA:

TA1 = 26 + 38 + 16 + 6 + 3 + 17 = 140 TA2 = 0 + 5 + 0 + 1 + 4 + 5 + 5 + 3 = 23

T = suma total = 163

Página 37 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

SSA = 2/16 ( 140^2 + 23^2 ) – 163^2 / 16 = 27.56

De manera similar:

SSB = 27.56

SSAB = 115.56

SSE = 33.06

SSBD = 217.56

SSG = 175.56

SST = (26^2+38^2+….+5^2+3^2)-163^2/16 = 1730.44

De Minitab se tiene:

General Linear Model: Y1 versus A, B, D, E, G

Factor Type Levels ValuesA fixed 2 1, 2B fixed 2 1, 2D fixed 2 1, 2E fixed 2 1, 2G fixed 2 1, 2

Analysis of Variance for Y1, using Adjusted SS for Tests

Model

Source DF Reduced DF Seq SS % de contribuciónA 1 1 855.56 49.44% B 1 1 27.56 1.59% D 1 1 68.06 3.93%E 1 1 33.06 1.91%G 1 1 175.56 10.15% A*B 1 1 115.56 6.68%B*D 1 0+ 0.00 10.15% Error 8 9 455.06 13.72%Total 15 15 1730.44

Rank deficiency due to empty cells, unbalanced nesting, collinearity, or an

undeclared covariate. No storage of results or further analysis will be done.

S = 7.11073 R-Sq = 73.70% R-Sq(adj) = 56.17%

En Taguchi normalmente se utilizan los porcentajes de las contribuciones de las

sumas de cuadrados para evaluar la importancia relativa de cada efecto, como sigue:

Página 38 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Los efectos que tienen el porcentaje de contribución más alto se consideran que tienen

más influencia en la respuesta, en este caso:

A con 49%

BD con 12.57%

G con 10.15%

AB con 6.68%.

Gráficas factoriales de efectos principales y de interacciones.

Se calculan los promedios de las respuestas correspondientes a cada nivel o

combinación de factores, se ilustra con el ejemplo:

Para las gráficas de efectos principales e interacciones se calculan los promedios en

cada nivel de cada factor:

Y así se calculan los promedios para los otros factores.

Least Squares Means for Y1

Mean SE Mean

A

1 17.500 1.926 2 2.875 1.926B 1 11.500 1.926 2 8.875 1.926AxB 1 12.875 1.926 2 7.500 1.926D 1 12.250 1.926 2 8.125 1.926E

Página 39 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

1 11.625 1.926 2 8.750 1.926BD 1 13.875 1.926 2 6.500 1.926G 1 13.500 1.926 2 6.875 1.926

Mean o

f M

eans

21

15

10

5

21 21

21

15

10

5

21

A B D

E G

Main Effects Plot (data means) for Means

Para el caso de la interacción significativa BD se analiza la respuesta promedio en

cada una de sus diferentes combinaciones:

Obteniendo la siguiente gráfica de interacción:

Página 40 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

A

20

10

0

21

B

20

10

0

21

20

10

0

E

21

A12

B12

E12

Interaction Plot (data means) for Means

Optimización y predicción de la respuesta esperada

La Optimización implica encontrar la combinación de los niveles de los factores

significativos que proporcione la respuesta óptima, la cual depende del objetivo

buscado:

Menor es mejor (como en el ejemplo)

Mayor es mejor

Nominal es mejor

De la gráfica anterior, se observa que A y G deben estar en nivel 2, B debe estar en 1

y D en nivel 2.

La predicción de la respuesta de este problema es:

Yest = 2.875 + 6.875 + 5.75 – 3x10.188 + 10.188 = -4.873

Ejemplo 6: Experimentos con 3 niveles

Tres fertilizantes se aplican a la soya (N, P2O5) y K2O), la respuesta de interés es el

rendimiento promedio en Kg. Por área, los factores son asignados como sigue:

Página 41 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

    Niveles  Factores 1 2 3A Nitrógeno 0.5 1 1.5B Ácido fosfórico 0.03 0.6 0.9C Potasa 0.04 0.7 1

Se usa el arreglo L9 con un arreglo como el siguiente:

L9 Col.1 Col. 2 Col. 3 Col. 4 RespuestaExp. No. A B e C Rendim.1 1 1 1 1 82 1 2 2 2 123 1 3 3 3 94 2 1 2 3 115 2 2 3 1 126 2 3 1 2 157 3 1 3 2 218 3 2 1 3 189 3 3 2 1 20

Otra vez utilizando las fórmulas:

Se obtienen los resultados siguientes:

SSA = 158

SSB = 2.667

SSC = 18.667

SST = 180

Los porcentajes de contribución de cada factor son:

A con 87.78%

C con 10.37%

B con 1.48%

Página 42 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Para la obtención de las gráficas factoriales se estiman los promedios en los diferentes

niveles de los factores como sigue:

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de B y C.

Response Table for Means

Level A B C

1 9.667 13.333 13.3332 12.667 14.000 16.0003 19.667 14.667 12.667Delta 10.000 1.333 3.333Rank 1 3 2

5. DISEÑO DE PARÁMETROS CON ANÁLISIS DE SEÑAL A RUIDO

El objetivo fundamental de la ingeniería de calidad, es diseñar productos y procesos

robustos, esto es, que consistentemente realicen la función que deben hacer con poca

variabilidad, a pesar del impacto de factores de ruido o no controlables.

Se mencionó también, que de todos los factores que afectan un proceso, se pueden

extraer dos grupos:

Página 43 de 65

Mean o

f M

eans

321

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

321

321

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

A B

C

Main Effects Plot (data means) for Means

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Factores de ruido. Son aquellos que no podemos, queremos o deseamos

controlar, y más bien deseamos que nuestros procesos y productos sean

insensibles a su impacto.

Factores de diseño. Son aquellos que si podemos controlar en nuestro proceso de

producción, y deseamos encontrar a qué nivel operarlos, a fin de optimizar el

producto o proceso, esto es, que los productos sean de alta calidad y bajo costo.

Esto quiere decir que en lugar de tratar de eliminar un factor de ruido (variabilidad en

la materia prima del proveedor, por ejemplo) deseamos identificar factores que

controlamos (velocidad de alimentación, por ejemplo) y fijarlos a un nivel tal, que el

impacto de los factores de ruido sean mínimos.

Dentro de los factores de diseño a su vez, recuerde que estamos interesados en

identificar diferentes tipos de factores.

Un estudio en el cual se desarrolla un análisis de este tipo, se llama análisis señal

ruido o diseño directo de productos.

El estudio procede como sigue:

1. Dentro de los factores a estudiar, separe los de ruido y los de diseño o control.

2. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la variabilidad

del proceso. Utilícelos para minimizar la variabilidad.

3. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la media, sin

afectar la variabilidad. Utilícelos para optimizar la media.

Página 44 de 65

Fig. 1.1

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

4. Identifique aquellos factores de diseño que no afectan ni media ni variabilidad.

Utilícelos para reducir costos.

Para ilustrar lo anterior, suponga que la temperatura afecta la variabilidad del proceso,

y la presión afecta la media del proceso, pero sin afectar la variabilidad. Si

inicialmente estamos en el nivel 1 de cada factor, la situación es:

Temperatura a su nivel I

Presión a su nivel I

LIE m LSE

Si la temperatura se fija a su nivel 2 afectando la variabilidad, obtenemos:

LIE m LSE

Si la presión, que afecta la media sin afectar la variabilida, la variamos a su nivel de

dos, obtenemos:

LIE m LSE

Por lo tanto, podemos utilizar la presión, manteniendo la temperatura a su nivel II, para

ajustar o sincronizar la media.

Índices señal ruido

Página 45 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Una vez que podemos medir la característica de calidad que nos interesa, podemos

evaluar su media y su variabilidad. La media la podemos evaluar directamente, usando

una lectura o el promedio si son varias lecturas.

Para medir la variabilidad de una característica de calidad, se requiere de varias

lecturas, y se tienen diferentes opciones, el rango y la varianza son las medidas más

populares.

Sin embargo, es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera,

involucre media y variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras conclusiones

sean más confiables.

Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de aquí

en adelante.

La forma de calcular el índice SN depende del tiempo de característica de que se trate.

SIN EMBARGO, EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE PRODUCTOS MÁS

ROBUSTOS SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL ÍNDICE SN.

En seguida se muestran los tres casos:

Caso nominal es mejor

Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es:

SN= 10 log donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2/r

Vm=

reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de base 10

de la relación (media/desviación estándar)2.

La función de pérdida para nominal es mejor es:

Página 46 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, la relación señal a ruido S/N

es:

Caso menor es mejor

La función de pérdida está dada por:

Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de

E(Y2) es:

MSD = Mean squared deviation = Desviación cuadrática promedio con relación a la

media.

La relación señal a ruido correspondiente es:

Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2 + varianza).

Maximizar la relación S/N equivale a minimizar la función de pérdida.

Caso mayor es mejor

La función de pérdida está dada por:

Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de

E(1/Y2) es:

La relación señal a ruido S/N correspondiente es:

Página 47 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso.

Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar la función de pérdida.

El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo es

para que siempre se maximize el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener

decibeles.

Taguchi propone un procedimiento de optimización en dos pasos:

1. Ajustar los parámetros de diseño para maximizar la relación S/N.

2. Identificar otros parámetros de diseño que no afecten la relación S/N pero que si

tengan efecto en la media de Y, E(Y), el cual es el parámetro de ajuste al a media, y

utilizarlo para ajustar la media del proceso a su media meta de acuerdo a

especificaciones.

Página 48 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Diseño de parámetros con análisis señal a ruido

En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de ruido,

contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que se pueden

controlar durante un experimento.

Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes, un

arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de ruido

o externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de diseño.

Las columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.

Caso nominal es mejor:

Los pasos del diseño de parámetros es como sigue:

1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.

2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles

interacciones.

3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos

en dos o tres factores combinados.

4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de

control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.

5. Realizar los experimentos.

6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los

factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la

interacción entre factores de control y de ruido.

7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles

de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el

nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar

la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar

la relación S/N.

8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima

de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.

La metodología en detalle se muestra mediante el ejemplo siguiente:

Página 49 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Ejemplo: Caso nominal es mejor

Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el

terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg).

Esta característica se piensa es afectada por los siguientes factores:

Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2

A Temperatura del horno 1500 ºF 1600 ºF

B Presión de prensado 200 psi 220 psi

C Velocidad de recocido 8 seg 12 seg

D

Velocidad de alimentación

ref. 80 gal/min 100gal/min

G Tipo de modelo chico grande

H Templabilidad del material 25 Rc 30 Rc

AxC Interacción    

AxD Interacción    

Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya que

el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la templabilidad

es una característica de la materia prima. Estos dos factores se consideran al menos

inicialmente como factores de ruido.

Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D.

De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones de

operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el producto a la

característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar de las variaciones

en los factores G y H.

Arreglo interno

Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total, y

para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es:

Página 50 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

3

1 A .2 B

5 A xC

4 CAxD 6

7 D

La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el error.

Una posible asignación es:

A B e C AxC AxD D Este será el arreglo Nº 1 2 3 4 5 6 7 interno y consiste de 8

condiciones experimentales/renglones

Arreglo externo

Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que llamaremos arreglo externo es:

G H

Nº 1 2 3

1 1 1 1

2 1 2 2

3 2 1 1

4 2 2 1

Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.

Página 51 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Arreglo total

Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en un solo arreglo total, tal y como se muestra:

1 2 2 1

H 1 2 1 2

G 1 1 2 2

A B e C AxC AxD DNº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 Y11 Y12 Y13 Y14

2 1 1 1 2 2 2 2 Y21 Y22 Y23 Y24

3 1 2 2 1 1 2 2 Y31 Y32 Y33 Y34

4 1 2 2 2 2 1 1 Y41 Y42 Y43 Y44

5 2 1 2 1 2 1 2 Y51 Y52 Y53 Y54

6 2 1 2 2 1 2 1 Y61 Y62 Y63 Y64

7 2 2 1 1 2 2 1 Y71 Y72 Y73 Y74

8 2 2 1 2 1 1 2 Y81 Y82 Y83 Y84

Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado, esto

es, escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4= 32

posibles lecturas, tomadas bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de Y ij ). En

general, si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N renglones,

entonces existen un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas bajo condiciones

diferentes.

Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea mayor

que 3.

Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que

inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan todos

los factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº 1 del

arreglo interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1.

Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos

niveles de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los

factores de ruido.

Página 52 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

En resumen se tiene:

Todos los factores de

diseño a su nivel 1 Lectura Factores de ruido

Temperatura 1500 ºF Y11 Modelo chico y 25 Rc

Presión de 200 Psi, 8 seg Y12 Modelo chico y 30 Rc

de tiempo de recorrido y Y13 Modelo grande y 25 Rc

velocidad de alimentación Y14 Modelo grande y 30 Rc

refrigerante 80 gal/min

De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas.

En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas

lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán

indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones, los

factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo

externo.

De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de

diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se varían los

factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno.

Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor A,

1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y factor H,

25 Rc.

Página 53 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Las 32 lecturas son las siguientes:

1 2 2 1  1 2 1 2 H

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7 1 1 2 2 G

Exp. A B e C AxC AxD D y1 y2 y3 y4 Total1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.72 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.03 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.44 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.45 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.96 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.07 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.18 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3

11.7 13.6 14.2 13.3 52.8

Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor

deseado de m= 2 mmplg.

Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar la

tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas.

Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.

Análisis con el Índice S/N

Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de

minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo externo

conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:

L8 Col.1 Col. 2

Col. 3

Col. 4

Col. 5

Col. 6

Col. 7  

Exp. A B e C AxC AxD D y1 y2 y3 y4 Total1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.72 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.03 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.44 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.45 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.96 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.07 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.18 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3

Total 11.7 13.6 14.2 13.3 52.8

Página 54 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

En Minitab se genera el arreglo:

Stat > DOE > Taguchi

Create Taguchi Design > 2 leveles > 4 factors

Factors A col. 1; B col. 2; C col. 4; D col. 7

To allow estimation of interactions AxC AxD

OK

--- modificar las columnas para C y D a que correspondan a las anteriores:

L8

Exp. A B C D y1 y2 y3 y41 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.12 1 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.33 1 2 1 2 2 2.1 2.2 2.14 1 1 2 1 2.1 2.2 2.1 25 2 1 1 2 1 1.4 1.2 1.36 2 2 2 1 1.2 1.3 1.5 17 2 2 1 1 1.6 2.1 2.4 28 2 1 2 2 1.5 2 2.3 2.5

Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada

condición o renglón.

Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo cada

condición. Para esto, nos ayudamos del índice S/N, o sea, la variabilidad de las cuatro

lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un índice señal a

ruido. Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8 valores del índice

SN, uno para cada renglón o condición experimental.

Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es:

SN= 10 log ;

donde Sm= y Vm=

Página 55 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas

individuales.

Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas

siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7

El cálculo del índice es:

Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2/4= 5.5225

Vm= [ (1.12+1.22+1.32+1.12) – 5.5225 ]/ (4-1) =[ 5.55 – 5.5225] / 3 = 0.00916

SN= 10 log = 21.7714

Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2, 1.3,

con un total de 5.0

El cálculo del índice SN es:

Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2/4= 6.2500

Vm= (1.22 + 1.32 + 1.22 + 1.32 – 6.2500)/3= 0.0033

SN= 10 log = 26.7071

Los ocho índices son:

Nº Sm Vm Sn (dB)

1 5.5225 0.00916 21.771

2 6.2500 0.00333 26.707

3 17.6400 0.00666 28.203

4 17.6400 0.00666 28.203

5 6.0025 0.02916 17.092

6 6.2500 0.04333 15.539

7 16.4025 0.10916 15.718

8 17.2225 0.18916 13.524

Nuestro arreglo es ahora:

Página 56 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

A B e C AxC AxD D SNNº 1 2 3 4 5 6 7 dB

1 1 1 1 1 1 1 1 21.771

2 1 1 1 2 2 2 2 26.707

3 1 2 2 1 1 2 2 28.203

4 1 2 2 2 2 1 1 28.203

5 2 1 2 1 2 1 2 17.092

6 2 1 2 2 1 2 1 15.539

7 2 2 1 1 2 2 1 15.718

8 2 2 1 2 1 1 2 13.524

Para el factor A se tiene:

A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A

= 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857

A2 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A

=17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750

SSA = (A2 – A1)^2 /Número total de lecturas SN

=(61.8750 – 107.8857)2/8= 231.2413, con 1 g.l.

La tabla ANOVA total es:

Factor SS Gl V Fexp

A 231.2413 1 231.2413 14.44B 2.5751 1 2.5751 00.16C 0.1764 1 0.1764 00.01

AxC 9.4284 1 9.4284 00.59

AxD 3.8880 1 3.8880 00.24

D 2.3047 1 2.3047 00.14

e 16.0135 1 16.0135

El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el índice

señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con los niveles

del factor A, se tiene:

Página 57 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

A1 = SN promedio= 104.8857/4= 26.22

A2 = SN promedio= 61.8750/4= 15.47

Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija en su

nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.

¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se deben

identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles afectan la

media. Esto se muestra en lo que sigue.

Análisis usando los promedios

Después de identificar los factores que “afectan” la variabilidad, el siguiente paso es

identificar qué factores, dentro de los que no afecta la variabilidad, afectan la media del

proceso. Estos factores llamados factores de señal, nos permitirán “ajustar” la media

del proceso hacia su valor nominal, sin incrementar la variabilidad del proceso.

Para el análisis, se utilizan las 32 lecturas iniciales. Para ello se obtiene el promedio de cada renglón.

A B e C AxC AxD D

Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total Promedio

1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7 1.175

2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.0 1.250

3 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.4 2.100

4 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.4 2.100

5 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.9 1.225

6 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.0 1.250

7 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.1 2.025

8 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3 2.075

Totales 13.200

Considerando únicamente los promedios, tendremos un arreglo L8 con una lectura. El

análisis en base a los promedios es:

A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A

=1.175+1.250+2.100+2.100= 6.625

A2 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A

= 1.225+1.250+2.075+2.025= 6.575

Página 58 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

SSA = (A2 – A1) 2 /Número total de lecturas SN

= (6.625 – 6.575)2/8= 0.0003

Similarmente para el factor B se tiene

B1 = 1.175+1.250+1.225+1.250= 4.900

B2 = 2.100+2.100+2.025+2.075= 8.300

SSB = (B2 - B1 )2/8= (4.900-8.300) 2/8= 1.4450

Y así sucesivamente

SSC = 0.0028 , SSAxC= 0.0000, SSAxD= 0.0003

SSD = 0.0013 , SSe= 0.0028

La tabla ANOVA es:

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.0003 1 0.0003 0.11

B 1.4450 1 1.4450 513.75

C 0.0028 1 0.0028 1.00

AxC 0.0000 1 0.0000 0.00

AxD 0.0003 1 0.0003 0.11

D 0.0013 1 0.0013 0.44

e 0.0028 1 0.0028

Totales 1.4525 8

Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.00031 0.00031 0.00031 0.25 0.705B 1 0.00031 0.00031 0.00031 0.25 0.705C 1 0.00281 0.00281 0.00281 2.25 0.374D 1 0.00281 0.00281 0.00281 2.25 0.374A*C 1 1.44500 1.44500 1.44500 1156.00 0.019A*D 1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00 1.000Residual Error 1 0.00125 0.00125 0.00125Total 7 1.45250

El factor B, presión de prensado, es el único factor significante. Mediante este factor se

puede ajustar la media del proceso, y llevarla lo más cerca posible a su valor ideal de

2.

Página 59 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

También se debe hacer la observación, de que si el factor A hubiera resultado

significante en este segundo análisis, no podríamos utilizarlo, ya que resultó

significante en el análisis con el índice SN.

En particular, la respuesta promedio para cada nivel del factor B es:

B1 = 4.9/4= 1.225; B2= 8.3/4= 2.075

Si se desea aumentar la planicidad, se deberá incrementar la presión de prensado. Si

se desea disminuir la planicidad, se deberá reducir la presión.

Se puede interpolar para conocer el valor al que se debe fijar la presión. La respuesta

promedio a 200 psi es de 1.225 y a 220 psi es 2.075

Y 2.0

1.5

1.0 B

200 220

Análisis utilizando gráficas

Como se mencionó anteriormente, una alternativa a la ANOVA son las gráficas de

promedios, ya sea del índice SN o de las lecturas individuales.

Por ejemplo, para el factor A encontramos el promedio a cada uno de sus niveles,

tanto del índice señal a ruido como de las lecturas individuales.

Para el índice señal a ruido se tiene:

A1 = (21.7714+26.7071+28.2036+28.2036)/4= 26.2214

A2 = (17.0927+15.5397+15.7186+13.5240)/4= 15.4687

Página 60 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Para promedio de lecturas individuales se tiene:

A1 = 6.625/4= 1.6562; A2= 6.575/4= 1.6437

En resumen, los promedios para todos los factores son:

Nivel SN promedio Y promedio

A1 26.22 1.6

A2 15.47 1.6

B1 20.38 1.2

B2 21.41 2.0

C1 20.71 1.6

C2 20.99 1.6

D1 20.31 1.6

D2 21.38 1.6

(AxC) 19.76 1.6

(AxC) 21.93 1.6

(AxD) 20.15 1.6

(AxD) 21.54 1.6

Response Table for Signal to Noise RatiosNominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))Level A B C D

1 26.22 20.17 19.45 20.712 15.50 21.56 22.27 21.01

Delta 10.72 1.39 2.82 0.30Rank 1 3 2 4

Response Table for MeansLevel A B C D

1 1.656 1.644 1.631 1.6312 1.644 1.656 1.669 1.669

Delta 0.013 0.012 0.038 0.038Rank 3 4 1.5 1.5

Las gráficas de estos promedios se muestran más adelante, en estas gráficas, la

importancia de cada efecto se observar según la inclinación de cada línea, de hecho,

los efectos se encuentran graficados de acuerdo con su importancia.

Las conclusiones que se obtienen son las mismas, esto es, el factor A es el que más

afecta el índice señal a ruido, y lo hace mayor a su nivel A1. El factor B es el que más

afecta la respuesta promedio sin afectar el índice SN, la respuesta promedio aumenta

al aumentar el factor B de su nivel 1 al 2.

Página 61 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

Mean o

f SN r

atios

21

25.0

22.5

20.0

17.5

15.021

21

25.0

22.5

20.0

17.5

15.021

A B

C D

Main Effects Plot (data means) for SN ratios

Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))

Mean o

f M

eans

21

1.67

1.66

1.65

1.64

1.6321

21

1.67

1.66

1.65

1.64

1.6321

A B

C D

Main Effects Plot (data means) for Means

Página 62 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

A

25

20

15

21

C

25

20

15

21

25

20

15

D

21

A12

C12

D12

Interaction Plot (data means) for SN ratios

Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))

A

2.0

1.6

1.2

21

C

2.0

1.6

1.2

21

2.0

1.6

1.2

D

21

A12

C12

D12

Interaction Plot (data means) for Means

Conclusiones generales del experimento

De acuerdo con los resultados que se han obtenido de los análisis, las conclusiones

generales son:

Página 63 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

a) El factor A afecta la variabilidad y se debe de fijar a su nivel 1.

b) El factor B afecta la media del proceso, aumenta la media del proceso.

c) El resto de los factores de diseño, (factores C y D), se fijarán al nivel en que sea

más económico para el proceso, ya que no afectan sustancialmente ni la media, ni

la variabilidad del proceso.

En cuanto a la función de pérdida se tiene lo siguiente:

Suponga que se incurre en un costo de $8,000. Cuando la desviación del valor

objetivo es de 0.5 mmpl. Además suponga que el nivel 1 de todos los factores

representa la situación actual. De acuerdo con estos datos la función de pérdida indica

un valor de:

L(y)= ; donde K= 8000/.52= 32000

SI el proceso se encuentra actualmente con todos los factores a su nivel 1, esta

situación está representada por las cuatro lecturas del renglón 1. Por lo tanto, Vm para

el renglón 1 estima la varianza y es:

Vm= 2 = 0.00916

La media estimada es (1.1+1.2+1.3+1.1)/4= 1.175 y;

d2= (2.0-1.175)2= 0.680625

L(y)= 32000(0.00916+0.680625)= 22073.124/unidad

Si se fijan el factor A a su nivel 1 y B a su nivel 2, se tienen dos renglones en el

experimento bajo esta condición, (ignorando el resto de los factores que no afectan)

que son el Nº3 y el Nº4. Los datos son: 2.0, 2.1, 2.2, 2.1, 2.1, 2.2, 2.1 y 2.0, por lo

tanto se tendrá que para esta nueva condición:

Y= 2.1 ; 2 = 0.005714

Página 64 de 65

DISEÑO ROBUSTO DE PRODUCTOS CON TAGUCHI P. Reyes/Sept. 2007

L(y)= 32000 ( 0.005714 + (2-2.1)2) = 502.85 $/unidad

Por lo tanto, se tendrá un ahorro de 22073.12 – 502.85= $21,570.3 por cada unidad de

producto.

En caso de que no se tenga ningún renglón bajo las condiciones propuestas, recuerde

que se puede estimar el valor tanto del promedio como del índice S/N tal y como se

mostró en capítulos anteriores.

Sin embargo, en cualquier caso, es recomendable el ejecutar una corrida de

confirmación antes de aceptar la propuesta de una forma definitiva.

Página 65 de 65