Discretizacion Prof M.caro
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1. ∂u ∂t + ∂u 2 ∂x + ∂ (uv) ∂y = − 1 ρ ∂p ∂x + ν ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 ∂u ∂t i+1/2,j = u n+1 i+1/2,j − u n i+1/2,j ∆t + o(∆t) u n+1 i+1/2,j = u n i+1/2,j + ∆t −CONV U n i+1/2,j + V ISCU n i+1/2,j − ∆t ρ p n+1 i+1,j − p n i,j ∆x CONV U n i+1/2,j = (u 2 ) n i+1,j − (u 2 ) n i,j ∆x + (uv) n i+1/2,j+1/2 − (uv) n i+1/2,j−1/2 ∆y V ISCU n i+1/2,j = ν u n i−1/2,j − 2u n i+1/2,j + u n i+3/2,j ∆x 2 + ν u n i+1/2,j+1 − 2u n i+1/2,j + u n i+1/2,j−1 ∆y 2 ∂u 2 ∂x i+1/2,j ≈ (uu) i+1,j − (uu) i,j ∆x ≈ u i+1,j u i+1,j − u i,j u i,j ∆x u i+1,j = u i+3/2,j + u i+1/2,j 2 , agora em termos computacionais u 2 = u[i + 2][ j ] + u[i + 1][ j ] 2 u i,j = u i+1/2,j + u i−1/2,j 2 , agora em termos computacionais u 1 = u[i + 1][ j ] + u[i][ j ] 2 Os termos convectivos h´a que aproximar por diferenciais centrais, eu acho que fica asi u i+1,j = u i+3/2,j + u i+1/2,j 2 em termos computacionais u e = u[i + 2][ j ] + u[i + 1][ j ] 2 u i,j = u i+1/2,j + u i−1/2,j 2 em termos computacionais u e = u[i + 1][ j ] + u[i][ j ] 2 ∂ (uv) ∂y i+1/2,j ≈ (uv) i+1/2,j+1/2 − (uv) i+1/2,j−1/2 ∆y ≈ v i+1/2,j+1/2 u i+1/2,j+1/2 − v i+1/2,j−1/2 u i+1/2,j−1/2 ∆y v i+1/2,j+1/2 = v i+1,j+1/2 + v i,j+1/2 2 , agora em termos computacionais v 2 = v[i + 1][ j + 1] + v [i][ j + 1] 2 v i+1/2,j−1/2 = v i+1,j−1/2 + v i,j −1/2 2 , agora em termos computacionais v 1 = v[i + 1][ j ] + v [i][ j ] 2 Tamben penso que os termos convectivos h´ a que aproximar por diferenciais centrais, elos fican asi u i+1/2,j+1/2 = u i+1/2,j+1 + u i+1/2,j 2 agora em termos computacionais u e = u[i + 1][ j + 1] + u[i + 1][ j ] 2 u i+1/2,j−1/2 = u i+1/2,j + u i+1/2,j−1 2 agora em termos computacionais u e = u[i + 1][ j ] + u[i + 1][ j − 1] 2 Agora na otra pagina com respeito a velocidade v . 1
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Navier Stokes
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1.u
t+u2
x+(uv)y
= 1
p
x+
(2u
x2+2u
y2
)u
t
i+1/2,j = un+1i+1/2,j uni+1/2,j
t+ o(t)
un+1i+1/2,j = uni+1/2,j + t
[CONV Uni+1/2,j + V ISCUni+1/2,j
] t
pn+1i+1,j pni,jx
CONV Uni+1/2,j =(u2)ni+1,j (u2)ni,j
x+
(uv)ni+1/2,j+1/2 (uv)ni+1/2,j1/2y
V ISCUni+1/2,j = uni1/2,j 2uni+1/2,j + uni+3/2,j
x2+
uni+1/2,j+1 2uni+1/2,j + uni+1/2,j1y2
u2
x
i+1/2,j (uu)i+1,j (uu)i,jx ui+1,jui+1,j ui,jui,jxui+1,j =
ui+3/2,j + ui+1/2,j2
, agora em termos computacionais u2 =u[i+ 2][j] + u[i+ 1][j]
2
ui,j =ui+1/2,j + ui1/2,j
2, agora em termos computacionais u1 =
u[i+ 1][j] + u[i][j]2
Os termos convectivos ha que aproximar por diferenciais centrais, eu acho que fica asi
ui+1,j =ui+3/2,j + ui+1/2,j
2em termos computacionais ue =
u[i+ 2][j] + u[i+ 1][j]2
ui,j =ui+1/2,j + ui1/2,j
2em termos computacionais ue =
u[i+ 1][j] + u[i][j]2
(uv)y
i+1/2,j (uv)i+1/2,j+1/2 (uv)i+1/2,j1/2y vi+1/2,j+1/2ui+1/2,j+1/2 vi+1/2,j1/2ui+1/2,j1/2yvi+1/2,j+1/2 =
vi+1,j+1/2 + vi,j+1/22
, agora em termos computacionais v2 =v[i+ 1][j + 1] + v[i][j + 1]
2
vi+1/2,j1/2 =vi+1,j1/2 + vi,j1/2
2, agora em termos computacionais v1 =
v[i+ 1][j] + v[i][j]2
Tamben penso que os termos convectivos ha que aproximar por diferenciais centrais, elos fican asi
ui+1/2,j+1/2 =ui+1/2,j+1 + ui+1/2,j
2agora em termos computacionais ue =
u[i+ 1][j + 1] + u[i+ 1][j]2
ui+1/2,j1/2 =ui+1/2,j + ui+1/2,j1
2agora em termos computacionais ue =
u[i+ 1][j] + u[i+ 1][j 1]2
Agora na otra pagina com respeito a velocidade v.
1
-
2.v
t+v2
y+(vu)x
= 1
p
y+
(2v
x2+2v
y2
)v
t
i,j+1/2 = vn+1i,j+1/2 vni,j+1/2
t+ o(t)
vn+1i,j+1/2 = vni,j+1/2 + t
[CONV V ni,j+1/2 + V ISCV ni,j+1/2
] t
pn+1i+1,j pni+1,jx
CONV V ni,j+1/2 =(v2)ni,j+1 (v2)ni,j
y+
(uv)ni+1/2,j+1/2 (uv)ni1/2,j+1/2x
V ISCV ni,j+1/2 = vni,j1/2 2vni,j+1/2 + vni,j+3/2
y2+
vni1,j+1/2 2vni,j+1/2 + vni+1,j+1/2x2
v2
y
i,j+1/2 (vv)i,j+1 (vv)i,jy vi,j+1vi,j+1 vi,jvi,jyvi,j+1 =
vi,j+3/2 + vi,j+1/22
, agora em termos computacionais v2 =v[i][j + 2] + v[i][j + 1]
2
vi,j =vi,j+1/2 + vi,j1/2
2, agora em termos computacionais v1 =
v[i][j + 1] + v[i][j]2
Os termos convectivos ha que aproximar por diferenciais centrais, eu acho que fica asi
vi,j+1 =vi,j+3/2 + vi,j+1/2
2agora em termos computacionais ve =
v[i][j + 2] + v[i][j + 1]2
vi,j =vi,j+1/2 + vi,j1/2
2agora em termos computacionais ve =
v[i][j + 1] + v[i][j]2
(vu)x
i,j+1/2 (vu)i+1/2,j+1/2 (vu)i1/2,j+1/2x ui+1/2,j+1/2vi+1/2,j+1/2 ui1/2,j+1/2vi1/2,j+1/2xui+1/2,j+1/2 =
ui+1/2,j+1 + ui+1/2,j2
, agora em termos computacionais u2 =u[i+ 1][j + 1] + u[i+ 1][j]
2
ui1/2,j+1/2 =ui1/2,j+1 + ui1/2,j
2, agora em termos computacionais u1 =
u[i][j + 1] + u[i][j]2
Tamben penso que os termos convectivos ha que aproximar por diferenciais centrais, elos fican asi
vi+1/2,j+1/2 =vi+1,j+1/2 + vi,j+1/2
2agora em termos computacionais ve =
v[i+ 1][j + 1] + v[i][j + 1]2
vi1/2,j+1/2 =vi,j+1/2 + vi1,j+1/2
2agora em termos computacionais ve =
v[i][j + 1] + v[i 1][j + 1]2
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