Direccionamiento Matematico

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Direccionamiento Matematico

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  • PARTE I

    Modelos matemticos y solucin

    de problemas en ingeniera

  • Introduccin

    Conocimiento

    Comprensin

    Aplicacin eficaz de

    una herramienta

    Prerrequisitos

  • Introduccin

    Si no sabemos cmo funcionan las herramientas, tendremos serios problemas para reparar un automvil, aunque la caja de herramientas sea de lo ms completa.

  • Introduccin

    sta es una realidad, cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniera.

    las computadoras tienen una gran utilidad, pero son prcticamente intiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniera.

  • Introduccin

    Muchos problemas de ingeniera se resuelven con el empleo de un doble enfoque:

    el empirismo

    y el anlisis terico

  • Modelo matemtico simple

    Un modelo matemtico se define, de manera general, como una formulacin o una ecuacin que expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminos matemticos.

  • Modelo matemtico simple La variable dependiente es una caracterstica que

    refleja el comportamiento o estado de un sistema.

    Las variables independientes son, dimensiones como tiempo y espacio, a travs de las cuales se determina el comportamiento del sistema.

    Los parmetros son el reflejo de las propiedades o la composicin del sistema.

    Y las funciones de fuerza son influencias externas que actan sobre el sistema.

  • Modelo matemtico simple Ejemplo: Segunda ley de Newton

    F = ma o a = F m

    a: es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema,

    F: es la funcin de fuerza m : es un parmetro que representa una propiedad del

    sistema. Observe que en este caso especfico no existe variable

    independiente porque an no se predice cmo vara la aceleracin con respecto al tiempo o al espacio.

  • Modelo matemtico simple La ecuacin posee varias de las caractersticas tpicas

    de los modelos matemticos del mundo fsico:1) Describe un proceso o sistema natural en trminos

    matemticos.2) Representa una idealizacin y una simplificacin de la

    realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, y fuerzas que interactan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

    3) Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir.

  • APROXIMACIONES Y ERRORESDE REDONDEO

  • CIFRAS SIGNIFICATIVAS

    Cuando se emplea un nmero para realizar un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.

    Con un simple vistazo al velocmetro se observa que el vehculo viaja a una velocidad comprendida entre 48 y 49 km/h.

    Como la aguja est ms all de la mitad entre las marcas del indicador, es posible asegurar que el automvil viaja aproximadamente a 49 km/h

  • CIFRAS SIGNIFICATIVAS supongamos que se desea obtener una cifra

    decimal en la estimacin de la velocidad. En tal caso, alguien podra decir 48.8, mientras que otra persona podra decir 48.9 km/h.

    Sera ridculo afirmar, considerando el velocmetro de la figura, que el automvil viaja a 48.8642138 km/h.

  • CIFRAS SIGNIFICATIVAS El odmetro muestra hasta seis dgitos confiables. De la figura se concluye que el automvil ha recorrido un

    poco menos de 87 324.5 km. Aqu el sptimo dgito (y los siguientes) resultan

    inciertos.

  • CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas de un nmero son aquellas

    que pueden utilizarse en forma confiable.

    Para el velocmetro, los dos dgitos seguros son 48.

    la lectura del velocmetro consistir de las tres cifras significativas: 48.5.

    En forma similar, el odmetro dar una lectura con siete cifras significativas, 87 324.45.

  • CIFRAS SIGNIFICATIVAS Determinar las cifras significativas de un nmero es un

    procedimiento sencillo, pero genera cierta confusin. Ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que se usa

    para ubicar el punto decimal: los nmeros 0.00001845, 0.0001845 y 0.001845 tienen cuatro cifras significativas.

    Asimismo, cuando se incluye ceros en nmeros muy grandes, no queda claro cuntos son significativos. Por ejemplo, el nmero 45300 puede tener tres, cuatro o cinco dgitos

    significativos, dependiendo de si los ceros se conocen o no con exactitud.

    La incertidumbre se puede eliminar utilizando la notacin cientfica, donde 4.53 104, 4.530 104, 4.5300 104 muestran, respectivamente, que el nmero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.

  • CIFRAS SIGNIFICATIVASEl concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones en el estudio de los mtodos numricos:1) Los mtodos numricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se

    deben desarrollar criterios para especificar qu tan confiables son dichos resultados.

    Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas.

    2) Aunque ciertas cantidades tales como pi, e, o 7 representan cantidades especficas, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de dgitos.

    Por ejemplo, p = 3.141592653589793238462643... hasta el infinito.

    Como las computadoras retienen slo un nmero finito de cifras significativas, tales nmeros jams se podrn representar con exactitud.

    A la omisin del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

  • EXACTITUD Y PRECISIN La exactitud se refiere a qu

    tan cercano est el valor calculado o medido del valor verdadero.

    La precisin se refiere a qu tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

    Un ejemplo de puntera ilustra los conceptos de exactitud y precisin. a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

  • DEFINICIONES DE ERRORLos errores numricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemticas exactas. 1) stas incluyen los errores de truncamiento que resultan del

    empleo de aproximaciones como un procedimiento matemtico exacto,

    2) y los errores de redondeo que se producen cuando se usan nmeros que tienen un lmite de cifras significativas para representar nmeros exactos.

    Para ambos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado est dada por

    Valor verdadero = Valor aproximado + error (3.2) Reordenando la ecuacin, se encuentra que el error numrico

    es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir

    (valor exacto del error) Et = valor verdadero valor aproximado

  • DEFINICIONES DE ERROR Una desventaja en esta definicin es que no toma en

    consideracin el orden de la magnitud del valor que se estima.

    Por ejemplo, un error de un centmetro es mucho ms significativo si se est midiendo un remache en lugar de un puente.

    Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir error verdadero

  • DEFINICIONES DE ERROR

    El error relativo tambin se puede multiplicar por 100% para expresar como

  • DEFINICIONES DE ERROREjercicio de Clculo de errores

    Planteamiento del problema.

    Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm,

    calcule

    a) el error verdadero y

    b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.

  • DEFINICIONES DE ERROR

  • DEFINICIONES DE ERROR Observe que en las ecuaciones (3.2) y (3.3), E y e tienen un subndice t que

    significa que el error ha sido normalizado al valor verdadero.

    En el ejemplo tenamos el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales a veces es difcil contar con tal informacin.

    En los mtodos numricos, el valor verdadero slo se conocer cuando se tengan funciones que se resuelvan analticamente.

    Sin embargo, en muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verdadera.

    Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacin posible al valor verdadero; es decir:

    donde el subndice a significa que el error est normalizado a un valor aproximado.

  • DEFINICIONES DE ERROR Uno de los retos que enfrentan los mtodos numricos es

    el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos.

    Por ejemplo, ciertos mtodos numricos usan un mtodo iterativo para calcular los resultados. En tales mtodos se hace una aproximacin considerando la aproximacin anterior. Este proceso se efecta de forma iterativa, esperando cada vez mejores aproximaciones.

    En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximacin previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual est dado por

  • DEFINICIONES DE ERROR Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos. Si la aproximacin es mayor que el valor verdadero (o la

    aproximacin previa es mayor que la aproximacin actual), el error es negativo;

    Si la aproximacin es menor que el valor verdadero, el error es positivo.

    Tambin en las ecuaciones anteriores, el denominador puede ser menor a cero, lo cual tambin llevara a un error negativo.

    A menudo, cuando se realizan clculos, no importa mucho el signo del error, sino ms bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una toleranc