dins el curs Weimar, la ﬁ de les certeses · 2019. 12. 16. · ] El judici és una relació de...

Després de GÖDEL, la veritat matemàtica ésindeterminada?

dins el curs

Weimar, la fi de les certeses

Josep PLA I CARRERAProfessor emèrit

Universitat de Barcelona

Palau MacayaBarcelona, 12 de novembre del 2019

Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 1 / 96

GUILLEM D’OCCAM

GUILLEM D’OCCAM

Occam[Surrey, Anglaterra]∼1288Munic[Alemanya]18 d’abril del 1347

Déu se m’apareix i emdemana què vull.

Li dic que ho vull sabertot de tot,

I ell m’ho concedeix.Aleshores sé que és el

diable.GUILLEM D’OCKHAM


1 Introducció

2 ¿Què és la veritat?

3 La veritat i la claredat del concepte

4 El formalisme i la veritat sintàctica

5 El model i la veritat semàntica

6 La veritat sintàctica versus la veritat semàntica

7 UN QUART D’HORA D’INTERCANVI D’IDEES

8 El teorema de Gödel i la veritat matemàtica

9 La veritat matemàtica i la independència

10 La veritat matemàtica i la geometria de l’univers

11 Referències bibliogràfiques

12 Apèndixs


Introducció

INTRODUCCCIÓ


Introducció

Kurt GÖDEL

KURT GÖDEL

Brünn[Österreich-UngarnImperi Austrohongarès]28 d’abril del 1906Princeton[Nova JerseyEstats Units d’Amèrica]14 de gener del 1978

L’any 1930, amb nomésvint-i-quatre anys, elabo-rava el text de laincompletesa de l’arit-mètica de Peano en pri-mer ordre


Introducció

Kurt GÖDELÉs ben sabut que el progrés de la matemàtica cap a una exacti-tud cada cop més gran ha portat a la formalització de parts im-portants de manera que les deduccions es puguin fer amb unnombre reduït de regles.

Els sistemes formals més amplis creats fins ara són el dePrincipia Mathematica i la teoria axiomàtica de conjunts deZERMELO- FRAENKEL.

Són tan amplis que tots els mètodes emprats ara com ara en lamatemàtica s’hi poden formalitzar.

És, doncs, natural suposar que són suficients per decidir totallò que s’hi pot formalitzar.

Veurem que no és pas així i que en ells s’hi poden formalit-zar qüestions aritmètiques prou simples que no són decidi-bles.1

1[god1931], eició castellana, p. 53.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 7 / 96

Introducció

Kurt GÖDEL

És possible construir una sentència —σg— que no és decidible.És a dir, al si de les teories esmentades no podem demostrar ni σg

ni ¬σg.La interpretació de σg a N diu:

No sóc demostrable.

Per tant, el que diu és cert i alhora no és demostrable.Recorda la paradoxa de RICHARD o del mentider pel que fa al

caràcter autoreferent.


Introducció

Kurt GÖDEL

En síntesi, aquest teorema diu:

Al si de l’arimètica de PEANO de primer ordre,

1.- No tot allò que és vertader és demostrable.

I afegeix:

2.- Al si de la teoria axiomàtica de PEANO de primer ordre,No podem demostrar la seva consistència.


¿Què és la veritat?

¿QUÈ ÉS LA VERITAT?



La veritat matemàtica

Una de les qüestions que més insistentment i més profundament haocupat i preocupat els homes al llarg de la història ha sigut la pregun-ta per la veritat. Des del temple i des del port de la nostra cultura occi-dental —des de Jerusalem i des d’Atenes—2 s’ha preparat a bastamentel terreny. La pregunta —no pas mancada d’ironia— que es fa PILAT

en veu alta i que dirigeix també a JESÚS DE NATZARET(«I què és la

veritat?»),3 és la mateixa que s’havia intentat de respondre ja des dels

primers col.loquis socràtics i que, d’aleshores ençà, s’ha anat responentde mil maneres en les filosofies, les religions o les ciències, en els mi-tes i, fins i tot, en les tertúlies del cafè.4

2 Jo afegiria, i des de Bagdad, simbolitzant el centre de l’islam, perquè, si Oc-cident és quelcom, és la confluència de la racionalitat grega, la religiositat jueva il’incardinació física de l’islam.

3 [joanI], 18, 38, edició electrònica, p 2236.4 [terri], p. 27.



TOMÀS D’AQUINO

TOMÀSD’AQUINO

Roccasecca[Itàlia]23 de gener del1862∼1224Fossanovan[Itàlia]7 de març del 1274

verum est adæquatiorerum et intellectus5

5 <http://www.corpusthomisticum.org/qdv01.html>.


http://www.corpusthomisticum.org/qdv01.html

http://www.corpusthomisticum.org/qdv01.html


Tres termes en joc

AdequacióCosaIntel.lecte

Je pense, donc je suis.6

¿Què pensaria, però, un neurocientífic actual sobre la funció del cervelli l’acció de pensar?7

6[des1637], p. 1997Per exemple, [ros2019].



Tres termes en joc


[. . . ] Serà bo de considerar, un moment, la naturalesa deles coses a les quals atribuïm veritat o falsedat [. . . ].

Les coses que són vertaderes o falses [. . . ] sónenunciats [. . . ].

Quan, per exemple, veiem que fa sol,el sol mateix no és vertader,però el judici «fa sol» sí que ho és.

[. . . ] El judici és una relació de l’esperit amb altres ter-mes.

Quan aquests altres termes tenen inter se una relaciócorresponent, el judici és vertader; quan no, és fals.8

8[rus1966], edició electrònica, p. 172.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 14 / 96


Tres termes en joc


Y es que en el mundo traidornada hay verdad ni mentira,todo es según el colordel cristal con que se mira.9

La torre de Pisa s’inclina a la dreta o a l’esquerra?

La torre de Pisa forma amb la horitzontal un angle agut de 87o 35′.

9[cam1846, p 41].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 15 / 96

La veritat i la claredat del concepte

LA VERITAT I LA CLAREDAT DEL CONCEPTE



Leonhard EULER

Leonhard EULER

Basilea[Suïssa]15 d’abril del 1707Sant Petersburg[Rússia]18 de setembre del 1783



Què és un poliedre?

El novembre de 1752, Leonhard EULER llegia un treball en el qualpretenia estudiar els políedres:

Mentre que en geometria plana els polígons (figuræ rectilinæ) espoden classificar molt fàcilment segons el nombre de costatsque, naturalment, és igual al nombre d’angles, en estereometriala classificació dels políedres (corpora hedris planis inclusa)representa un problema molt més difícil atès que el nombre decares no és suficient per aconseguir-ho.10

EULER entén queDefinició. Un políedre és una superfície tancada, limitada per super-fícies planes. Cada superfície plana és una cara, la intersecció dedues cares és una aresta i la intersecció de tres arestes és un vèrtex.

10[eu1752a], p. 109.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 18 / 96


EUCLIDES

Εὐκλείδης

?, ∼325 aC -Alexandria [Egipte], 265 aC




Sabem que, de políedres regulars, només n’hi ha cinc: tetraedre, octae-dre, icosaedre, hexaedre o cub i dodecaedre.

EUCLIDES dedica el llibreXIII —el darrer dels Elements— a construir-los i demostra que només n’hi ha cinc.




Teorema. En tot políedre val la igualtat següent.

CARES + VÈRTEXS − ARESTES = 2.

He d’admetre que encara no he estat capaç d’idear una demos-tració estricta del teorema [. . . ] Tanmateix, atès que la seva va-lidesa s’ha establert en tants casos, no hi pot haver cap mena dedubte que val per a qualsevol sòlid. Per aquesta raó, la propo-sició em sembla totalment demostrada.11

11[eu1752a], p. 119 i 124. Això no obstant, va intentar fer una demostració a[eu1752b].



Imre LAKATOS

Imre LAKATOS

Debrecen[Hungria]9 de novembre de 1922Londres[Anglaterra]2 de febrer de 1974

Proofs and Rufations(1976)12

12 [lak1976].



Nenri POINCARÉ

Henri POINCARÉ

Nancy[França]29 d’abril de 1854 1922París[França]17 de juliol de 1912




Fem-ho al revés.A cada superfície d’un sòlid de l’espai format per plans que es tallenen arestes i vèrtexs hi fem correspondre un nombre —ara es coneixcom la característica d’EULER-POINCARÉ—

χ = cares + vèrtexs− arestes.

Els poliedres es caracteritzen per la seva característica.

En fer-ho introdueix un concepte nou: un invariant topològic i es-tableix les bases de la topologia algebraica.


El formalisme i la veritat sintàctica

EL FORMALISME I LA VERITAT SINTÀCTICA



L’estructura dels Elements d’EUCLIDES

Definicions, nocions comunes, postulatsi proposicions

Definicions Un triangle equilàter és la figura formada per tres seg-ments rectilinis iguals que es tallen dos a dos.

Una circumferència és la figura formada pels puntsdel pla que són equidistants d’un punt donat, el centre.

Noció comuna Dues coses iguals a una tercera són iguals entre si.Postulat 1 Es pot fer un segment que vagi d’un punt a un altre punt.Postulat 3 Es pot fer una circumferència amb el centre en un punt

donat i de radi un segment donat.Proposició Existeix el triangle equilàter de costat donat.



Els Elements: la proposició EI 1



David HILBERT

David HILBERT

Königsberg[Prússia Oriental]23 de gener del 1862Göttingen[Alemanya]14 de febrer del 1943

Grundlagen derGeometrie (1899)13

13 [hil1899].



Grundlagen der Geometrie

Introducció. La construcció de la geometria, i de l’aritmètica,només necessita unes poques i senzilles proposicions fonamen-tals.

Aquestes proposicions fonamentals s’anomenen axiomesde la geometria. Posar-los de manifest i esbrinar-ne les conne-xions, és un problema que s’ha discutit des del temps d’EU-CLIDES en nombrosos i excel.lents treballs de literatura mate-màtica. Aquest problema es redueix, doncs, a l’anàlisi lògica deles nostres intuïcions espacials.

Aquest assaig és una nova investigació per construir lageometria sobre un sistema complet d’axiomes, el més senzillpossible, deduint-ne els teoremes més importants.14

14[hil1899], edició castellana, p. 3.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 32 / 96


El formalisme de HILBERT

Els primers axiomes de Grundlagen der GeometrieI-1. Donats dos punts A, B existeix sempre una recta a, que amb cadaun dels dos punts, A, B, es correspon mútuament.∀x1∀x2

((P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2)→ ∃y(R(y) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)

)I-2. Donats dos punts A, B només existeix una recta a, que es cor-respon mútuament amb cada un dels dos punts, A, B.∀x1∀x2

(P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2

∧∃y∃z(R(y) ∧R(z) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y ∧ x1 ∈ z ∧ x2 ∈ z)→ (y = z))

I-3. Damunt de cada recta hi ha almenys dos punts.∀y(R(y)→ ∃x1∃x2(x1 6= x2 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)

)Hi ha tres punts que no estan alineats.

∀x1∀x2∀x3∀y((P (x1) ∧ P (x2) ∧ P (x3) ∧R(y) ∧ x1 6= x2 ∧ x2 6= x3

∧x3 6= x1 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)→ (x3 /∈ y))




1. Funcionament del sistemaFem deduccions basades en les lleis de la lògica.

2. Condició essencial d’acceptació del sistemaSi mai no s’arriba a contradicció tot el que es dedueix és vertader.

3. Condició d’existènciaTot allò que, en aquesta teoria, s’ha establert i queda afirmat per unexistencial, existeix.



Parèntesi: un càlcul algebraic

Considerem dos nombres a i b (poden naturals, enters, racionals oreals. però no poden ser complexos).

Hipòtesi. Suposem que a < b.

Deducció o càlcul.

Pas 1. c = b− a > 0.Pas 2 c× (b− a) = (b− a)× (b− a).Pas 3 c× b− c× a = a× a− a× b− b× a+ b× b.Pas 4 c× b− b× b+ a× b = a× a− b× a+ c× a.Pas 5 (c− b+ a)× b = (a− b+ c)× a.Pas 6 b = a.

Horror!




Sabem que, segons HILBERT, el formalisme no fa referència a objec-tes concrets, solament cal recórrer als lligams formals que establei-xen els axiomes i els que es dedueixen formalment, és a dir, a travésd’una demostració.

Els objectes dels axiomes de la geometria euclidiana, podrien sertaules, cadires, i gerres de cervesa.



Exemple molt senzill de sistema formal

Els axiomes de grup. Necessitem tres símbols formals: •, e i =G1. La propietat associatva. ∀x∀y∀z

((x • y) • z = x • (y • z)

).

G2. e és l’element neutre. ∀x((x • e = x) ∧ (e • x = x)

).

G3. Cada element té un invers. ∀x∃x((x • x = e) ∧ (x • x = e)

).

GA. La propietat commutativa. ∀x∀y(x • y = y • x

).




G1. La propietat associatva. ∀x∀y∀z((x • y) • z = x • (y • z)

).

G2∗. e és l’element neutre per la dreta. ∀x(x • e = x).G3∗. Cada element té un invers per la dreta. ∀x∃x(x • x = e).

Teorema. Si l’operació • satisfà la propietat associativa, aleshoresa tot element invers per la dreta també és invers per l’esquerra;b l’element neutre per la dreta també ho és per l’esquerra.

Demotració informal.a Fem x • x = y. Tenim que y • y = y (1).

En efecte. (x • x) • (x • x) =(x • (x • x)

)• x = (x • e) • x = x • x.

Per tant, (y • y) • y =(1)y • y = e i (y • y) • y =

(G1 i G3∗)y • e =

(G2∗)y.

En definitiva, y = x • x = e, com volíem demostrar. ♠b e • x =

(G3∗)(x • x) • x =

(G1)x • (x • x) =

(a)x • e =

(G1∗)x. ♠




Qualsevol àmbit de la matemàtica —la geometria euclidiana, l’anà-lisi matemàtica, la topologia, l’àlgebra, etc.— admet una formalització—una axiomatització— en un llenguatge de primer ordre en la qual

es pot demostrar tot allò que és veritat en aquell àmbit.

L’únic requisit —però imprescindible— que imposem al sistemaformal és que sigui consistent.



La dualitat de la veritat a HILBERT

Apareix la dualitat veritat sintàctiva/veritat semàntica.

Què és la veritat semàntica?


El model i la veritat semàntica

EL MODEL I LA VERITAT SEMÀNTICA



Alfred TARSKI

Albert TARSKI

Varsòvia[Polònia]14 de gener del 1901Berkeley[Estats Units d’Amèrica]26 d’octubre del 1983

Wahrheitsbegriff informalisiertenSprachen (1931)15

15 [tar1931].



La veritat semàntica de TARSKI

Cal interpretar —llegir— les expressions formals en un domini atri-buint a cada símbol del llenguatge formal un significat del domini.

Hi ha un problema, la interpretació de les variables lliuresQuan hi ha variables lliures s’obté una expressió híbrida.

En aquest context, apareixen els conjunts i, de retruc, la teoria deconjunts de ZERMELO-FRAENKEL que és una teoria formal deHILBERT.



Parèntesi: la formulació algebraica

(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2.

X2 − 5X + 4 = 0.

X2 + 5X + 4 = 0.

X2 −X − 4 = 0.

X2 − 2X + 2 = 0.




Però, si no hi ha variables lliures —és a dir, si l’expressió formal ésuna sentència— la interpretació que s’aconsegueix en cada dominiconcret és vertadera o falsa.

Atenció. En dominis diferents els valors de veritat poden ser diferents.



Parèntesi: la formulació algebraica

∀a∀b((a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2

).

∀X(X2 − 5X + 4 = 0). ∃X(X2 − 5X + 4 = 0).

∃X(X2 + 5X + 4 = 0).

∃X(X2 −X − 4 = 0).

∃X(X2 − 2X + 2 = 0).




Les deduccions formals —basades en les lleis de la lògica— res-pecten la validesa.

Si, en un domini, els axiomes —que són sentències— sónvertaders, totes les sentències que es dedueixen també ho són.

I el domini s’anomena model de la teoria axiomàtica .


La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica

LA VERITAT SINTÀCTICA VERSUS LA VERITAT SEMÀNTICA



Diàleg HILBERT-TARSKIAquestes expressions les podem llegir en un àmbit numèric: N,Z,Q,R o C.

X2 − 5X + 4 = 0.

Indefinit depenent del valor que hem atribuïta la variable X. La variable X és lliure.

∀X(X2 − 5X + 4 = 0) FC. ∃X(X2 − 5X + 4 = 0) VN.(*)

∃X(X2 + 5X + 4 = 0). FN i VZ

∃X(X2 −X − 4 = 0). FQ i VR

∃X((X2 − 2X + 2 = 0). FR i VC

(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2.

∀a∀b((a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2

).



Diàleg HILBERT-TARSKI

Els primers axiomes de Grundlagen der GeometrieI-1. Donats dos punts A, B existeix sempre una recta a, que amb cadaun dels dos punts, A, B, es correspon mútuament.∀x1∀x2

((P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2)→ ∃y(R(y) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)

)I-2. Donats dos punts A, B només existeix una recta a, que es cor-respon mútuament amb cada un dels dos punts, A, B.∀x1∀x2

(P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2

∧∃y∃z(R(y) ∧R(z) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y ∧ x1 ∈ z ∧ x2 ∈ z)→ (y = z))

I-3. Damunt de cada recta hi ha almenys dos punts.∀y(R(y)→ ∃x1∃x2(x1 6= x2 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)

)Hi ha tres punts que no estan alineats.

∀x1∀x2∀x3∀y((P (x1) ∧ P (x2) ∧ P (x3) ∧R(y) ∧ x1 6= x2 ∧ x2 6= x3

∧x3 6= x1 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)→ (x3 /∈ y))




No són models dels axiomes de grup:

< N,+, 0 > valen G1 i G2, però no val G3.< Z,−, 0 > no val G1, val G2∗, però no val G2 i val G3.< Z,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.< Q,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.< R[X]− 0,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.<M2(R)],×, Id > valen G1 i G2, però no val G3.

Són models dels axiomes de grup:

< Z,+, 0 > valen G1, G2 i G3. val GA< Q− 0,×, 1 > valen G1, G2 i G3. val GA< R[X]− 0,+, 0 > valen G1, G2 i G3. vale GA<M∗

2(R)],×, Id > valen G1, G2 i G3. No val GA



Diàleg HILBERT-TARSKIUn altre grup no cummutatiu.

Els moviments que transformen el triangle4ABC en si mateix, canviant elss vèrtexs

e a b X Y Z.e a b X Y Z

e e a b X Y Za a b e Y Z Xb b e a Z X YX X Z Y e b aY Y X Z a e bZ Z Y X b a e



Diàleg HILBERT-TARSKI-GÖDELÉs molt fàcil veure que

Tots els teoremes d’una teoria formal axiomàtica de primer ordresón vàlids en tots els models dels axiomes.

La pregunta que es planteja és: Val a l’inrevés? És a dir,

Totes les sentències vàlids en tots els models dels axiomessón necessàriament teoremes de la teoria formal?.

L’any 1930, Kurt GÖDEL, a la tesi doctoral, va establir que efectiva-ment és així.16

Ras i curt.

LA VERITAT SEMÀNTICA I LA VERITAT SINTÀCTICA ÉS LA MATEIXA

16[god1930].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 54 / 96

UN QUART D’HORA D’INTERCANVID’IDEES

UN QUART D’HORA D’INTERCANVI D’IDEES


El teorema de Gödel i la veritat matemàtica

EL TEOREMA DE GÖDEL I LA VERITAT MATEMÀTICA



El teorema de GÖDEL

HILBERT creia que tota veritat aritmètica —és a dir, tota veritat del’estructura < N, 0, s,+, · >— es podia demostrar en una teoriaaxiomàtica de primer ordre adient; en concret en la teoria axiomàticade PEANO.



Giuseppe PEANO

Giuseppe PEANO

Cuneo[Itàlia]27 d’agost del 1858Torí[Itàlia]20 d’abril del 1932




Considerem el llenguatge formal Lar =< 0, s,+, • > i els axiomes dePEANO de primer ordre Axar.17

P1. ∀u∀v((u = v

)→(s(u) = s(v)

)).

P2. ∀u(0 6= s(u)).P3. ∀u∀v

((s(u) = s(v)

)→(u = v

)).

P4. ∀u(u+ 0 = u).P5. ∀u∀v(u+ s(v) = s(u+ v)

).

P6. ∀u(u • 0 = 0).P7. ∀u∀v

(u · s(v) = (u • v) + u

).

Pϕ(v)8 . Sigui un predicat ϕ(v) amb la variable lliure v,(

ϕ(0) ∧ ∀v(ϕ(v)→ ϕ(s(v))

))→ ∀vϕ(v).

Els teoremes que s’obtenen constitueixen la Teoriaar de PEANO.

17[pea1889].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 59 / 96


El teorema de GÖDELL’any 1930 GÖDEL va demostrar que la creença de HILBERT és errò-nia. I ho va publicar l’any 1931.18

Va construir una sentència σg ∈ Lar de manera que:1. Ni σg ni ¬σg pertany a la Teoriaar.2. Una de les dues — σg o ¬σg— interpretada en l’estructura< N, 0, s,+, · > —que és un model de la teoria Teoriaar— ésvertadera.

3. I la sentència σg llegida al model < N, 0, s,+, · > diu:

No pertanyo a la Teoriaar!!!I això que afirmo és veri-

tat!!!!

18[god1931].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 60 / 96



HI HA UNA VERITAT SEMÀNTICA DE L’ARITMÈTICA DE PEA-NO QUE NO PERTANY SINTÀCTICAMENT A LA TEORIAAR .



La genialitat de GÖDEL

En tota aquesta anàlisi matemàtica hi ha tres llenguatges en joc:

• L1, el català : σ és una sentència.• L2, el formal. ∀v¬∃w(v + w = 0).• L3, l’aritmètica conjuntista . p : p és un nombre primer.

La genialitat de GÖDEL consisteix en haver-se dotat de diccionarisde traducció.

L1interpretació de TARSKI

godelització

L2→← L3

representació ↑recursió primitiva



Una conseqüència de GÖDEL

Tenim dues sentències σg i ¬σg que no pertanyen a la teoria Teoriaar.Podem considerar ara dos sistemes formals nous

Teoriaar + σg: i Teoriaar + ¬σg

TENEN SENTIT AQUESTS NOUS SISTEMES AXIOMÀTICS?


La veritat matemàtica i la independència

LA VERITAT MATEMÀTICA I LA INDEPENDÈNCIA



Paul COHEN

Paul COHEN

Long Branch[Nova Jsersey, Estats Unitsd’Amèrica]2 d’abril del 1934Standford[Califòrnia, Estats Unitsd’Amèrica]23 de març del 2007



Tornem al diàleg HILBERT-TARSKI

Per a HILBERT allò que justifica la validesa del sistema formal és laseva consistència.

Per a TARSKI. Un sistema formal és consistent si, i només si, té unmodel.

Tenim que

les dues teories formalsG1 + G2 + G3 + GA i G1 + G2 + G3 +¬GA

són consistentsperquè totes dues tenen un model

Nota. Els models són conjunts i allò que és cert o fals queda determi-nat pel sistema formal de conjunts i, de retruc, caiem dins una novateoria formal que és incompleta.


La veritat matemàtica i la geometria del’univers

LA VERITAT MATEMÀTICA I LA GEOMETRIA DE L’UNIVERS



La veritat geomètrica i l’univers

Com sabem que la geometria euclidiana formalitzada per HILBERT ésconsistent?

Cal que tingui un model. Serveix la geometria cartesiana que esrepresenta al si de R× R.

Per saber que és veritat o no a R, hem de construir la teoria axio-màtica que ho justifiqui.

I, per això, és necessari axiomatitzar els nombre naturals el méssimple dels conjunts infinits possibles amb una certa estructura numè-rica. I això és el que fa la teoria axiomàtica de PEANO.



Les geometries euclidiana i no euclidiana

Tornem als orígens, és a dir, als cin asiomes o postulats d’Euclides.

Postulat 1 Es pot fer un segment que vagi d’un punt a un altre punt.Postulat 2 Tots segment es prolongar un segment per qualsevol dels

dos extrems.Postulat 3 Es pot fer una circumferència amb el centre en un punt

donat i de radi un segment donat.Postulat 4 Tots els angles rectes són iguals.Postulat 5 Per un punt exterior a una recta podem tirar-li una paral-

lela i només una.




La negació del postulat 5 porta a dues possibilitats excloents.

Postulat 5a Per un punt exterior a una recta podem tirar-li més d’unaparal.lela.

Postulat 5b Per un punt exterior a una recta no podem tirar-li capparal.lela.

Una reflexió sobre la negació.




Pati de casa Esfera Euclidiana

Hi ha infinites No hi ha cap Hi ha una paral-paral ·leles paral ·lela lela i només una

A+ B + C < 180o A+ B + C > 180o A+ B + C = 180o

Les rectes són:

infinites i finites i infinites iil·limitades il·limitades il·limitades

Té torsió Té torsió No té torsió

La distància que cal introduir al pati de casa és complicada.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 72 / 96



Ω és la raóentre la densitat observada de l’univers i la densitat




Quin del tres postulats és el vertader?

Des del punt de vista formal, la resposta és equivalent a laresposta a la pregunta:

Quina de les tres geometries és consistent?

o bé

Quina de les tres geometries admet un model?



Paul BELTRAMI

Paul BELTRAMI

Cremona[Imperi Austria]16 de novembre de 1835Roma[Regne d’Itàlia]18 de febrer de 190



Bernhard RIEMANN

Bernhard RIEMANN

Jamein[Regne de Hannover]17 de setembre del 1826Verbania[Regne d’Itàlia]20 de juliol del 1866



Les geometries euclidiana i no euclidian

La resposta és sorprenent:Si una d’elles —per exemple l’euclidiana— admet un model les

altres dues també.Per tant, si la geometria euclidiana és una bona geometria, les

dues no-euclidianes, també

Per quina decidir-se, doncs?



Les geometries euclidiana i no euclidian

Potser la resposta cal buscar-la fora de la matemàtica, a l’univers.

¿Quina és la geometria de l’univers globalment?



Les geometries euclidiana i no euclidianLa qüestió és:

¿Sabem com és la geometria de l’Univers?

Hi ha una constant —la densitat mitjana de l’Univers—

ρ0 = 9, 9× 10−27 Kgs/m3 i Ω0 = ρρ0

.

Sabem el següent:

Si la densitat ρ compleix:ρ Tipus de geometria Futur> ρ0 Esfèrica Col·lapse= ρ0 Euclidiana Expansió suau< ρ0 Pati de casa Expansió forta

Ara com ara no sabem quin és el valor real de ρ.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 79 / 96

Referències bibliogràfiques


[aut1961] AUTORS BÍBLICS. La Bíblia. Monjos de Montserrat. Editorial Casal i Vall. Andorra, 1961. Enlínia a <biblia montserrat>.

[cam1846] CAMPOAMOR, Ramón. Obras completas de don Ramón de Campoamor. Montaner ySimón. Barcelona, 1888. Vegeu <campoamor:1846>.

[des1637] DESCARTES, René. Discourse de la méthode. Leiden, 1637. En línia a<descartes:1637>. Traduc- ció catalana de Pere Lluís FONT, Discurs del mètode. Edicions 62.Barcelona, 1996.

[eu1752a] EULER, Leonhard. «Elementa Doctrinæ Solidorum». Novi Commentarii AcademiæScientiarum Petropolitanæ (1752/53), 4, 109-140, editat l’any 1758, a Opera Omnia, 26,69-93. Vegeu euler1:1752.

[eu1752b] ———. «Demonstratio nonnullarum insignium propietatum quibus solida hedris planis inclusasunt prædita». Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Petropolitanæ (1752/53), 4, 140–160,editat l’any 1758, a Opera Omnia, 26, 94-108. Vegeu euler2:1752.

[god1930] GÖDEL, Kurt. «Die Vollständigkeit der Axiome des logischenFunktionenkalküls». Monatshefte für Mathe- matik und Physik (1930), 37, p. 349-360. Traduccióncastellana de Jesús Mosterín: Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Uni- versidad. Madrid: 1981

[god1931] ———. «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandterSystem». Monatshefte für Mathe- matik und Physik (1931), 38, p . 173-198. Traducción castellanade Jesús Mosterín: Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Uni- versidad. Madrid: 1981 . .


http://www.cervantesvirtual.com/obra-visor/la-biblia--0/html/

http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020027240/1020027240_056.pdf

http://www.gutenberg.org/files/13846/13846-h/13846-h.htm

http://eulerarchive.maa.org/pages/E230.html

http://eulerarchive.maa.org/pages/E231.html


Referències bibliogràfiques[hil1899] HILBERT, David. Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1899. Vegeu traducció castellana de

Francisco Cebrián, Fundamentos de la Geometría, p 1-135. Consejo Superior de InvestigacionesCien- tíficas. Madrid, 1966.

[joanI] JOAN. «Evangeli segons Joan». [aut1961], edició electrònica, p. 2194-2242.

[lak1976] LAKATOS, Imre. Proofs and Refutations-The Logic of the Mathematical Discovery. CambridgeUniversity Press. Cambridge, 1976. Traducció castellana de Carlos Solís, Pruebas y refutaciones.Alianza Editorial. Madrid, 1978.

[pea1889] PEANO, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Torí: Bocca. Última edi1905. Traducció castellana de Julián Velarde Lombraña, Los principios de la aritmética. PeñtalfaEdiciones. Oviedo, 1979. En línia a https://eudml.org/doc/203509.

[ros2019] ROSARIO, David del. El libro que tu cerebro no quiere leer. Madrid: Urano.

[rus1966] RUSSELL, Bertand. PPhilosophical Essays. Allen & Unwin Ltd. Londres, 1966. Vegeurussell:1966. Traducció castellana de Juan Ramón Capella, Ensayos Filosóficos. Alianza Editorial.Madrid, 1968.

[tar1931] Tarski, Alfred. «Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Spra- chen». Studia philosophica(1936), 1, p 261-405. Vegeu Logique, Sémantique, métamathematique, p 157-299. Armand Colin:París, 1976.

[terri] TERRICABRES, Josep-Maria. «Sobre el concepte de veritat». Actes del Segon Congrés Català deLògica Matemàtica. Barcelona, 15 i 16 de gener de 1983. Edició conjunta de la Universitat deBarcelona i la Politècnica de Catalunya. Barcelona.


https://eudml.org/doc/203509

https://archive.org/details/philosophicaless00russ

Apèndixs

APÈNDIXS


Apèndixs

LA VERITAT I LA INTUÏCIÓ


Apèndixs

GOTTLOB FREGE

Gottlob FregeWismar[Mecklemburg-Schwerin]8 de novembre del 1848Bad Kleinen[Imperi Alemany]26 de juliol del 1925

Die Grundlagen der Arith-metik: Eine logisch-mathe-matische Untersuchung überden Begriff der Zahl (1884)


Apèndixs

La paradoxa de RussellLa idea de FREGE és molt simple i realment molt intuïtiva.

D’entrada, ningú no en dubtaria.

La manera més clara de definir un conjunt —sigui finit oinfinit— és com a estensió d’un predicat.

Propietat P (x) Conjunt Cx és un ésser humà que viu i tre-balla a Catalunya.

Els catalans i les catalanes

x és un nombre natural que no-més es pot dividir exactamentper ell mateix i per la unitat

Els nombres primers

x polígons regulars construïblesamb regle i compàs

Polígons regulars amb un nombrede costats de la forma 2n p1× · · · ×pk on p1, . . . , pk són nombres pri-mers de Fermat diferents.


Apèndixs

BERTRAND RUSSELL

Bertrand RussellTrellech[Regne Unitn]18 de maig del 1872Penrhyndeudraeth[Regne Unit]2 de de febrer del 1970

Carta adreçada a FREGE

(1902)


Apèndixs

La paradoxa de RussellFREGE —li diu— la teva intuïció no és admissible perquè porta acontradiccióNomés cal que considerem —al si dels conjunts— el predicat:P (x): x és un conjunt que no és pertany a si mateix, és a dir, x /∈ x.Si tens raó —li diu— aquesta propietat defineix un conjunt.Diem-liR.Cal preguntar-se: R ∈ R oR /∈ R?• SiR ∈ R, aleshores tenim que P (R) —que és la propietat que de-

fineix el conjuntR— i, per tant,R /∈ R. Impossible.• SiR /∈ R, aleshores tenim que ¬P (R) —per tant no satisfà x /∈ x—

i, per tant,R ∈ R. Impossible.

És a dir, la col.leccióR no és un conjunt.Aquesta paradoxa és un torpede a la línia de flotació de la teoria

intuïtiva de conjunts de CANTOR que tot just acaba de néixer.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 87 / 96

Apèndixs

LA SUBTILESA DEL LLENGUATGE


Apèndixs

JULES RICHARD

Jules RichaedBlet[Françan]17 d’agost del 1862Châteauroux[França]14 d’octubre del 1956

Les principes desMathématiques et leproblème des ensembles(1905)


Apèndixs

La paradoxa de RichardConsiderem totes les frases aritmètiques relatives als nombres naturalsi ordenem-les pel nombre de lletres i les que tenen el mateix nombrede lletres alfabèticament i enumerem-les.Tenim, per exemple,

1. n és senar.2. n és parell.3. n és primer.4. n és compost.5. n és perfecte....

Diem que un nombre natural n és richardià si n no satisfà lapropietat que enumera i no-richardià en cas contrari.

Per exemple, en l’enumeració anterior, els nombres1, 2, 3, 4 són no-richardians i el 5 és richardià.


Apèndixs

La paradoxa de Richard

Considerem la propietat aritmètica:n és richardià.

Li correspon un nombre natural r a la llista anterior. És a dir,r. n és richardià.

La pregunta és: el nombre natural r és richardià o no-richardià?.Si r és richardià no se li aplica la propietat que enumera, ser

richardià. Per tant, és no.richardià. Impossible.Si r és no-richardià se li aplica la propietat que enumera, ser

richardià. Per tant, és richardià. Impossible.

Quin és el problema que s’ha plantejat?


Apèndixs

La teoria axiomàtica de conjuntsAxioma d’extensionalitat. ∀X∀Y

((X = Y )↔ ∀x(x ∈ X ↔ x ∈ Y )

)Dos conjunts són iguals si, només si, tenen els mateixos elements.Axioma de especificació. ∀X∃Y ∀y

(y ∈ Y ↔ (y ∈ X ∧ f(y)

), per a cada

f(v) ∈ Pred(Lcon).Per a cada conjunt X i cada propietat textcolorBrownf(y), existeix unconjunt Y —que s’expressa

x ∈ X : f(x)

—, format pels elements de X

que satisfan la propietat f(y). És superflu.Axioma del parell. ∀u∀v∃Z∀x

(x ∈ Z ↔ (x = u ∨ x = v)

).

Donats dos conjunts x i y, existeix un conjunt —x, y— que els té com aúnics elements.Axioma del conjunt buit. ∃Z∀x(x 6∈ Z).Hi ha un conjunt que no té cap element. Es designa ∅. És superflu.Axioma de la unió. ∀X∃Z∀x

(x ∈ Z ↔ ∃v(v ∈ X ∧ x ∈ v)

).

Hi ha un conjunt Z que conté els elements x dels elements v deX . L’escriurem

⋃X o, més clarament,

⋃v∈X

v o aun⋃v : v ∈ X.


Apèndixs

La teoria axiomàtica de conjunts

Axioma de les parts. ∀X∃Z∀x(x ∈ Z ↔ (x ⊆ X)

).

Hi ha un conjunto Z que conté tots els seus subconjunts. Es designa P(X).Axioma del infinit. ∃X

(∅ ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x+ ∈ X)

).

Hi ha un conjunt 〉 que conté el conjunt i amb cada conjunt x que contétambé conté el segünet x ∪ x.Axioma de reemplaçament. Si F es una classe funcional,∀X∃Y

(Y = F < X >

).

Si X és un conjunt i F un funcional, F<X>és un conjunt.Axioma de regularitat. ∀X(X 6=)→ ∃x(x ∩X = ∅)Hi ha un conjunt no buit disjunt amb cada un dels seus elements.Axioma de l’elecció. Per a tot conjunt no buit X hi ha una funciód’elecció f : X → ⋃

X ∧ ∀x ∈ X(x 6= ∅ ∧ f(x) ∈ x) .Hipòtesi general del continu. Per a cada parella de conjunts infints X iY amb X ⊂ Y ⊂ P(X) tenim que X ∼ Y o X ∼ P(Y ).


Apèndixs

Els tres llenguatges

Seguint Gödel, podem dirTeorema d’incompletesa de Gödel. Si la teoria de Peano deprimer ordre Tar és consistent, hi ha una sentència σG delllenguatge aritmètic Lar:=

⟨0, s, (+, ·),=

⟩indecidible. És a

dir, ni σG, ni ¬σG no són demostrables en la teoria Tar.

Heus ací un enunciat en català ampliat amb certs signes per po-der-nos referir de forma abreujada i clara tant a la teoria formal dePeano de primer ordre com a la sentència gödeliana indecidible.

Heus ací el llenguatge natural.


Apèndixs

Els tres diccionaris

llenguatge formalσ :=∀v1

(v1 + s(0) ≡ s(v1)

)G

C

B

D

G

llenguatge conjuntista A−→ llenguatge natural←−

D

∀x ∈ N(x+ s(0) = x+ 1

)σ és un axioma de Tar

A←−: TraslladantB: La representabilitat

C

: InterpretacióD

i −→D

: LlegintG

iG

: Gödelització

1 := s(0), 2 := s(s(0)

), . . . , n := s

(n)· · ·s

((s(s(0)

)))· · ·

)Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 95 / 96

Apèndixs

Els tres diccionarisllenguatge formal

τ :=∀v1∀v2(v1 + v2 ≡ v2 + v1

)σ1, σ2, . . . , σn, ϕ(f)

σ12, σ2, . . . , σn àr ϕ(f)

àr Dem(

m,n)

llenguatge conjuntista llenguatge natural∀x∀y ∈ N

(x+ y = y + x

)|=N Sent

(v)

[[q ]], τ és un Lar-sentènciaq ∈ Sent = q = g

(Sent(v)

)=q = g

(Sent(v)

)∈ N

τ és un Tar-teoremaσ1, . . . , σn és una

< m,n >∈ Dem |=N Dem(u, v)

[[m,n ]], Tar-demostració de ϕ(f)f = g

(ϕ(v)

)m = g(σ1, . . . , σn)

G(u) := ∀v¬Dem(v, u) i n = g(ϕ(f)

)σG := ∀v¬Dem(v,g) g = g

(G(u)

)Teor(u) := ∃vDem(v, u)

Consist(Tar) :=¬Teor(0 6= 0)6àr σG i 6àr ¬σG

àr Consist(Tar)→σG


dins el curs Weimar, la ﬁ de les certeses · 2019. 12. 16. · ] El judici és una relació de...

Documents

Transcript of dins el curs Weimar, la ﬁ de les certeses · 2019. 12. 16. · ] El judici és una relació de...