1

ANALISIS ESTRUCTURAL 2013 MÉTODO MODAL ESPECTRAL (respuesta frente a acciones sísmicas) Los métodos que se emplean para el cálculo de la respuesta (esfuerzos y desplazamientos) producidos por excitación sísmica son:

1) Método de Descomposición Modal con un número de modos que cubra casi la totalidad de la masa modal del sistema (90% - 95%).

2) Método de Descomposición Modal utilizando sólo el primer modo con los resultados mayorados con un coeficiente Λ para que la masa modal alcance la masa total del sistema.

3) Método Estático Equivalente, que es idéntico al anterior adoptando para el primer modo una forma modal con una variación lineal en altura (Reglamento INPRES-CIRSOC 103).

EJERCICIO N° 1 Dado el espectro reglamentario de la figura, calcular los esfuerzos en las columnas y vigas del pórtico de 3 pisos asumiendo que las vigas son infinitamente rígidas (es decir, los extremos de las columnas poseen giro restringido). El peso de cada piso es de 25 t.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28Zona Sísmica 1 - Suelo Tipo I

Sa [g

]

Periodo [seg]

2

1 2 3

44 4 6

2

Columnas: 0.30 0.30 2.549

0.30 6.75 10 3 1012c

t sm m m m mm

tI m Em

1 1 131

2 2 232

3 3 333

12 900 4 3600

12 900 4 3600

12 566.8 4 2267

c cc

c cc

c cc

EI t tk k kh m mEI t tk k kh m mEI t tk k kh m m

m1

m2

m3

h1 = 3.0m

h2 = 3.0m

h3 = 3.5m

L = 4.0m

2

Matrices de rigidez y masa

1 1

1 1 2 2

2 2 3

0 3600 3600 03600 7200 3600

0 0 3600 5867

k kK k k k k

k k k

1

2

3

0 0 2.549 0 00 0 0 2.549 00 0 0 0 2.549

mM m

m

Modos naturales de vibración Las frecuencias naturales se obtienen como las raíces de la ecuación característica que surge de igualar a cero el determinante de la rigidez dinámica

2

2 2

2

3600 2.549 3600 0( ) 3600 7200 2.549 3600

0 3600 5867 2.549K K M

6 5 4 8 2 10det ( ) 16.562 1.0829 10 1.6151 10 2.9380 10K

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1.00014.52 0.433 0.851

0.575

0.81543.61 0.144 0.283

1.000

0.46966.53 0.094 1.000

0.665

rad T segseg

rad T segseg

rad T segseg

Alternativamente, los modos naturales también pueden calcularse usando métodos numéricos, programas de cálculo de estructuras (SAP, RAM Advanse, etc.), o algoritmos incluidos en programas con manipulación de matrices (MathCad, MatLab, Excel, etc.).

Masas y rigideces generalizadas de los modos 2

21 1 1 1 1 1 1 1

22

2 2 2 2 2 2 2 2

22

3 3 3 3 3 3 3 3

5.236 1103

4.447 8460

4.236 18747

T T

T T

T T

t s tM M K K Mm mt s tM M K K Mm m

t s tM M K K Mm m

El cálculo de la rigidez generalizada de los modos no es imprescindible en la determinación de la respuesta sísmica.

3

Factores de participación y masas modales Las acciones sísmicas se encuentran íntimamente ligadas a la excitación por movimiento de apoyo: los factores de participación modal Γ permiten evaluar la respuesta de cada modo en función de las amplitudes espectrales válidas para un oscilador simple. En la obtención de los factores de participación modal interviene el vector de desplazamientos de cuerpo rígido B

.

311 3

1 3

22

2

1.181 0.081

0.268 1 1 1

TT

TT

M BM BM M

M B BM

Los signos tienen relevancia en la superposición de los modos instante a instante, pero pierden su sentido en el Método Modal Espectral dado que no interviene la variable tiempo. La masa total de la estructura es 7.647 t∙s2/m ( 1 2 3m m m ). Las masas modales resultan

22

11

12

22

22

22

33

3

7.303 95.5%

0.320 4.2%

0.027 0.3%

T

T

T

M B t sM m

M B t sM m

M B t sM m

La utilización de los 2 primeros modos permite alcanzar el 99.7% de la masa total, por lo que se ignora el tercer modo en el cálculo de la respuesta de la estructura.

Cálculo elasto-plástico de desplazamientos y esfuerzos Se asume que la estructura es capaz de absorber energía a través de mecanismos de disipación que requieren deformaciones elasto-plásticas. Los esfuerzos en el campo no-lineal se obtienen en forma aproximada a través de un cálculo lineal equivalente, tomando pseudo-aceleraciones menores a las dadas en el espectro reglamentario, reducidas con un coeficiente denominado factor de reducción R que se calcula de la siguiente forma

1 1

: período de comienzo del plafónAA A

A

TR T TT T

R T T

El parámetro μ denominado ductilidad se define en función de las características geométricas y mecánicas de la estructura. El factor de reducción varía linealmente desde 1 hasta μ para períodos de la estructura que van desde 0 hasta TA, y mantiene un valor constante de μ para períodos mayores a TA. Se observa que para el caso de estructuras relativamente rígidas (periodos próximos a cero) el factor de reducción resulta cercano a la unidad, significando que estas estructuras deben calcularse elásticamente debido a su incapacidad de disipar energía.

Los desplazamientos elasto-plásticos reales que se producen en la estructura resultan

Rr eu u

aunque debe tenerse presente que los esfuerzos se calculan con los desplazamientos elásticos reducidos con el factor de reducción ( R

eu

). En este ejercicio se asume una ductilidad 5 .

4

1) Método de Descomposición Modal con los dos primeros modos Los factores de reducción para cada modo resultan

1

2

50.1441 5 1 3.880.200

R

R

Las pseudo-aceleraciones máximas esperadas para cada modo son

1 2

2 2

9.807 0.24 2.354

0.1449.807 0.08 0.24 0.08 9.807 0.1952 1.9140.200

mSas

mSas

Las pseudo-aceleraciones reducidas para cada modo son

11 2

1

22 2

2

2.354 0.4715

1.914 0.4933.88

R

R

Sa mSaR sSa mSaR s

Los desplazamientos generalizados reducidos de cada modo son

11 1 2 2

1

22 2 2 2

2

0.4711.181 0.00263814.52

0.4930.268 0.00006943.61

RR

RR

Saq

Saq

Las fuerzas de piso máximas que se generan en cada modo i debidas a la acción sísmica son

2R R Ri i i i i i i i iF q K q M Sa M

1 2

1.418 0.2741.207 0.0950.815 0.337

F F

Las fuerzas de corte máximas para cada modo a una determinada altura se obtienen sumando las fuerzas de piso que actúan por encima de dicho nivel

1 2

1.418 0.2742.625 0.1793.440 0.158

Piso PisoQ Q

El corte que toma cada columna en un determinado piso depende de la rigidez relativa de dicha columna respecto a la rigidez total del piso. La presente estructura tiene 4 columnas iguales que toman ¼ del corte del piso cada una

1 21 2

0.354 0.0690.656 0.045

4 40.860 0.040

Piso Pisoc cQ Q

Q Q

Los momentos flectores máximos de cada columna se obtienen multiplicando los cortes máximos de cada modo por la mitad de la altura de la columna respectiva.

5

1

1 2

3

1

2 2

3

0.354 2 0.354 1.50 0.5320.656 2 0.656 1.50 0.9840.860 2 0.860 1.75 1.505

0.069 2 0.069 1.50 0.0.045 2 0.045 1.50

0.040 2 0.040 1.75

c

c

hM h

h

hM h

h

1030.067

0.069

Las fuerzas de piso calculadas más arriba permiten obtener, recurriendo a consideraciones de equilibrio, los esfuerzos axiales en las columnas para cada modo, efectuando cortes a la mitad de la luz de las columnas entre vigas donde el momento flector es nulo

1

2

1.418 1.5 0.2661 1.418 4.5 1.207 1.5 1.024

21.418 7.75 1.207 4.75 0.815 1.75 2.269

0.274 1.5 0.0511 0.274 4.5 0.095 1.5 0.136

20.274 7.75 0.095 4.75 0.337 1.75 0

c

c

NL

NL

.135

La forma genérica de los diagramas de esfuerzos de las columnas es la siguiente

De acuerdo al esquema simplificado de cálculo adoptado para la estructura, las vigas resultan sometidas sólo a esfuerzos de flexión y corte. Los momentos flectores de las vigas también son máximos en los extremos, y sus valores se obtienen planteando equilibrio de momentos en los nudos de intersección con las columnas

1 2

0.532 0.532 0.103 0.1030.532 0.984 1.516 0.103 0.067 0.1700.984 1.505 2.489 0.067 0.069 0.002

v vM M

Los esfuerzos de corte también son constantes, y sus valores se obtienen dividiendo los valores máximos de momento flector por la mitad de la longitud de las vigas

1 2

0.532 0.266 0.103 0.0512 21.516 0.758 0.170 0.085

2.489 1.245 0.002 0.001

v vQ QL L

Estos valores de esfuerzos de corte también pueden obtenerse como la diferencia entre los esfuerzos normales de las columnas en los nudos de intersección con las vigas.

Mmax

Mf

Mmax

Q

Qmax

Qmax

N

Nmax

Nmax

6

1 2

0.266 0.266 0.051 0.0511.024 0.266 0.758 0.136 ( 0.051) 0.0852.269 1.024 1.245 0.135 ( 0.136) 0.001

v vQ Q

Un procedimiento alternativo para calcular los esfuerzos en los elementos estructurales es a partir de las matrices de rigidez de estas barras, armando el vector de desplazamientos de sus extremos (donde los giros son nulos). Los desplazamientos máximos reducidos por modo (para el cálculo de los esfuerzos) resultan

1 1 1

2 2 2

1.000 0.0026380.002638 0.851 0.002245

0.575 0.001517

0.815 0.0000560.000069 0.283 0.000020

1.000 0.000069

R R

R R

u q

u q

mientras que los desplazamientos elasto-plásticos máximos reales por modo (que podrían utilizarse, por ejemplo, para calcular la separación mínima entre torres) resultan

1 1 2 2

0.01319 0.000280.01122 0.000100.00758 0.00034

R Ru u u u

Para el primer modo se obtienen los mismos desplazamientos máximos que en el cálculo elástico (debido a que el factor de reducción coincide con la ductilidad), mientras que para el segundo modo los desplazamientos resultan algo mayores ( 2R veces más grandes).

Las fuerzas de extremo de la columna j y el modo i se obtienen como

supsup infinf1 2 1 2 1

sup inf2 3 2 3 2

sup infsup1 2 1 2 1

sup inf2 3 2 3 2

(( )/ 2 ( )0

( )/ 2 ( )0

ij j i

cj j j j jj ii ii

j j j j ji i

j j j j ji ii

j j j j ji i

F K U

k uK K K K K u uuK K K K K u uK K K K K u uuK K K K K u u

inf

sup inf

sup inf

sup inf

)/ 2 ( )( )/ 2 ( )

icj j i i

cj i i

cj j i i

uk h u u

k u uk h u u

Los esfuerzos de las columnas por piso para cada modo resultan

1 21 1 1

2 31 1 2 1 1

33 1

1 21 2 2

2 32 2 2 2 2

33 2

134.1 0.3540.002638 248.4 0.656

325.9 0.860

988.20.000069 645.3

566.8

c

R c

c

c

R c

c

k

Q q k

k

k

Q q k

k

0.0690.045

0.040

Estos valores coinciden con los calculados en función de las fuerzas de inercia, por lo que el cálculo de los restantes esfuerzos produce resultados idénticos a los anteriores. Aunque este

7

procedimiento permite realizar una correlación directa con el Método de Rigidez, el esfuerzo de cálculo es mayor respecto al cálculo de los esfuerzos usando la matriz de masa. Para superponer el efecto de los modos incluidos se utilizan dos criterios de superposición: la suma de los valores absolutos, o la suma pitagórica.

2 21 2 1 2

0.01347 0.013190.01132 0.011220.00792 0.00759

I IIu u u u u u

2 2

1 2 1 2

0.423 0.3610.701 0.6580.900 0.861

I IIQ Q Q Q Q Q

2 21 2 1 2

0.634 0.5421.052 0.9871.574 1.507

I IIM M M M M M

Una observación importante que debe hacerse es que la contribución de los modos altos (en este caso sólo el segundo modo) influye en forma más notoria en los esfuerzos que en los desplazamientos. La conclusión general es que para un grado de aproximación dado resulta necesario incluir más modos cuando interesa calcular esfuerzos que en casos en que interesa calcular desplazamientos.

2) Método de Descomposición Modal utilizando sólo el modo fundamental En este caso los desplazamientos y esfuerzos máximos del modo fundamental se mayoran a través del factor Λ, de tal forma que la masa modal alcance la masa total del sistema

1 1

1 1 1.047% 0.955

T

Los esfuerzos máximos resultan

1

0.3710.6860.901

Q Q

1

0.5560.9721.576

M M

Los desplazamientos reducidos y reales elasto-plásticos resultan

1

0.0027620.0023510.001588

R Reu u

0.013810.011750.00794

Rr eu u

Estos parámetros se obtienen con un procedimiento análogo al empleado en el caso anterior.

8

3. Método Estático Equivalente Este método consiste en una variante del anterior adoptando para el modo fundamental una forma modal con una variación lineal en altura. El período fundamental se calcula a través de fórmulas aproximadas que presenta el reglamento sísmico, o adoptando el valor obtenido en el cálculo de los autovalores. En este caso se utiliza esta última alternativa

1 1 1

9.5 / 9.5 1.0000.433 14.52 6.5 / 9.5 0.684

3.5 / 9.5 0.368

radT segseg

La masa generalizada, el factor de participación modal, la masa modal y el coeficiente de mayoración resultan

11 1 1 1

12

11

1 1

4.087 1.280

1 16.694 87.5% 1.142% 0.875

TT

T

M BM MM

M BM

La pseudo-aceleración reducida se calcula como

1 2

0.249.807 0.4715

R mSas

Las fuerzas máximas de piso que se generan por efecto de la acción sísmica son

21 1 1 1F K u M u

1 1 1 1

RF Sa M

1

1.7541.2000.646

F

Las fuerzas de corte máximas a una determinada altura se obtienen sumando las fuerzas de piso que actúan por encima de dicho nivel

1

1.7542.9543.600

PisoQ

El corte que toma cada columna en un determinado piso se obtiene para la presente estructura como ¼ del corte del piso

11

0.4380.738

40.900

PisoQQ

Los momentos flectores máximos resultan

0.438 1.50 0.6570.738 1.50 1.1070.900 1.75 1.575

M

9

El desplazamiento generalizado reducido se calcula como

11 1 2 2

1

0.4711.280 0.0028614.52

RR Saq

Los desplazamientos reducidos resultan

1 1 1

1.000 0.003261.142 0.00286 0.684 0.00223

0.368 0.00120

R Reu u q

Los desplazamientos reales elasto-plásticos se calculan como

0.016330.011170.00601

Rr eu u

El Método de Descomposición Modal con sólo el primer modo adoptando una forma modal lineal en altura produce resultados análogos a los obtenidos con el procedimiento descripto en el Reglamento INPRES-CIRSOC 103 como Método Estático Equivalente. Este procedimiento parte del cálculo del corte basal V0 dado por la expresión

10

0.24 75 3.65

RSa gV W tn

R

Dado que se utiliza el peso total del edificio W en lugar de la masa, resulta necesario tomar la pseudo-aceleración en fracción de g para obtener el corte basal en unidades de fuerza. La fórmula propuesta para el cálculo de las fuerzas de piso máximas en cada piso k (distribución del corte basal) es la siguiente

0

1

k kk n

i ii

W hF VW h

donde

3 número de pisos

altura del piso desde la fundaciónk

nh k

Por lo tanto, las fuerzas de piso máximas resultan

1

487.5 .n

i ii

W h tn m

25 9.5 1.754

3.6 487.5 25 6.5 1.20025 3.5 0.646

F

Dado que estas fuerzas coinciden con las calculadas con la fórmula de fuerzas dinámicas utilizada más arriba se demuestra que el procedimiento descripto en el reglamento y el cálculo dinámico riguroso producen los mismos resultados.