SECCIÓN DE POSTGRADO

Dr. Ing. Jorge E. Alva Hurtado

PROBLEMAS DE INGENIERPROBLEMAS DE INGENIERÍÍA QUE A QUE INVOLUCRAN A LA DININVOLUCRAN A LA DINÁÁMICA DE SUELOSMICA DE SUELOS

Capítulo I

CIMENTACIÓN DE MAQUINAS

Maquinaria Reciprocante y RotativaOtras Maquinarias IndustrialesDesarrollo de la Era Espacial

EFECTOS DE EXPLOSIÓN NUCLEAR

Aplicaciones CivilesConstrucción de Protección

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

Cimentaciones de EdificiosDeslizamientosPresas de Tierra

CONTENIDOCONTENIDO

HINCADO DE PILOTES

COMPACTACIÓN POR VIBRACIÓN

OTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍA

DEFINICIÓN DE DINÁMICA DE SUELOS

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

Suelo como cimentación de estructuras y terraplenes Suelo como material de construcciónDiseño de estructuras de retenciónSuelo en problemas especiales

Dinámica de Suelos parte de la Mecánica de Suelos que trata el comportamiento y respuesta del suelo durante la aplicación rápida de carga, uso de vibraciones para la mejora de propiedades y transmisión de ondas para evaluar las propiedades

CIMENTACICIMENTACIÓÓN DE MN DE MÁÁQUINASQUINAS

Maquinaria que produce vibraciones o fuerzas dinámicas desbalanceadas que se apoyan en un bloque de cimentación sobre el suelo

Si los movimientos son excesivos:

1. Imponen condiciones no soportables para el personal

2. Causan daño a la máquina o tuberías

3. Producen grandes asentamientos que impiden el funcionamiento

Es el problema mas frecuente en dinámica de suelos

Maquinaria Maquinaria ReciprocanteReciprocante y Rotativay Rotativa

Compresores y motores grandes ocasionan fuerzas dinámicas sinusoidales, que resultan en movimiento de la cimentación

Turbina bien diseñada origina fuerzas pequeñas que con el desgaste conduce a desbalance y fuerzas dinámicas

Otras Maquinarias Industriales Otras Maquinarias Industriales

Prensas, vibradores, las cargas pueden no ser sinusoidales o periódicas

Desarrollo de la Era EspacialDesarrollo de la Era Espacial

Cimentación adecuada para antenas de radar de gran precisión. Las fuerzas dinámicas ocurren conforme la antena se acelera o desacelera, en elevación o en azimut

Plataforma de encendido de las diversas etapas del cohete Saturno V en las Misiones Apolo

Verificar el comportamiento de los componentes precisos de guía, como los giroscopios. Deben conocerse las vibraciones ambientales del tráfico y de los microsismos, para minimizarlos o para aplicar las compensaciones adecuadas

EFECTOS DE EXPLOSIEFECTOS DE EXPLOSIÓÓN NUCLEARN NUCLEAR

El estudio de los problemas civiles y militares ocasionados por las explosiones atómicas, ha dado un mayor ímpetu a la dinámica de suelos

Aplicaciones CivilesAplicaciones Civiles

Las explosiones nucleares tienen potencial en las excavaciones rápidas de grandes masas de tierra: canales, puertos y cortes profundos y largos de carreteras y ferrocarriles

Se ha estudiado un nuevo Canal de Panamá

El costo de excavación con explosiones nucleares es mucho menor que el costo de una excavación convencional

ConstrucciConstruccióón de Proteccin de Proteccióónn

Las estructuras subterráneas de protección de bombas nucleares varían de personales hasta misiles balísticos intercontinentales

INGENIERINGENIERÍÍA SISMORRESISTENTEA SISMORRESISTENTE

Relación entre las condiciones del suelo y los daños durante terremotos. Especial atención después de los sismos de Chile de 1960, Alaska y Niigata en 1964. La construcción de Centrales Nucleares ha contribuido al conocimiento de la Dinámica de Suelos.

Cimentaciones de EdificiosCimentaciones de Edificios

Cimentación de Centrales Nucleares en suelo, a diferencia de aquellas construidas en roca

Amplificación sísmica de edificaciones sobre suelo en relación a roca, tal como ocurrió en Caracas en 1967 y México en 1985

Pérdida de capacidad portante como resultado de licuación de suelos en Niigata, Japón en 1964

DeslizamientosDeslizamientos

Han ocurrido grandes deslizamientos durante terremotos. El de Turnagain en Alaska destruyó 75 casas y muchas vidas. En el lago Riñihue en Chile un deslizamiento involucró 30 millones de metros cúbicos. En Santa Tecla, El Salvador en el 2001 causó 600 muertos.

Presas de TierraPresas de Tierra

Análisis de licuación y flujoRespuesta dinámica de la presaAnálisis de deformaciones sísmicasMejoramiento de la cimentación

HINCADO DE PILOTESHINCADO DE PILOTES

Interpretación del hincado de pilotes con martillo

Teoría de la propagación de ondas

Máquinas vibratorias para el hincado de pilotes. Condición de resonancia

Posibles daños a edificaciones vecinas

COMPACTACICOMPACTACIÓÓN POR VIBRACIN POR VIBRACIÓÓNN

Rodillos vibratorios para compactar suelos

Alternativa de mejoramiento de suelo para licuación en comparación a vibroflotación o uso de pilotes

Métodos de laboratorio por vibración para determinar densidades máximas de suelos granulares

OTROS PROBLEMAS DE INGENIEROTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍÍAA

Refracción sísmica para determinar la estratigrafía y propiedades del suelo

Efecto del tráfico en pavimentos y subrasantes

Daño a edificaciones por explosiones en canteras o excavaciones

DEFINICIDEFINICIÓÓN DE DINN DE DINÁÁMICA DE SUELOSMICA DE SUELOS

Problemas de ingeniería geotécnica que involucran aplicación rápida de carga

Evaluación de las propiedades esfuerzo-deformación del suelo aplicadas a carga dinámica

Técnicas para calcular o estimar el rol de las fuerzas de inercia presentes durante la carga dinámica

Procedimientos y experiencia para aplicar este conocimiento a la solución de problemas prácticos

SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTADLIBERTAD

Capítulo II

Comportamiento de sistemas con parámetros concentrados

La masa está concentrada en uno o más cuerpos rígidos y éstos están conectados por resortes y amortigüadores.

Sistemas de un grado de libertad

Tanque elevado de agua

Viga en cantilever

Un sistema de parámetros concentrados es lineal si la resistencia de los elementos que conectan las masas es proporcional al movimiento o a la velocidad de movimiento.

M

(a) x

k

M

(b)x

kδ

FIGURA 2.1 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Resorte de extensión

(b) Modelo idealizado

M M

(a) Tanque real

FIGURA 2.2 TANQUE ELEVADO DE AGUA

Resorte de corte

(c) Viga real

M

M

M

Resorte de corte

(b) Aproximación de masas concentradas

FIGURA 2.3 VIGA EN CANTILIVER

VIBRACIONES LIBRESVIBRACIONES LIBRES

Ecuación de movimiento

0 kx xM =+&&

Solución

tMk cos B t M

ksen A x += A y B son constantes

Para que la masa se mueva xo para carga estática Fo = k xo

tMk cos xx 0=

PeríodokM 2 T π=

Frecuencia Mk

21 fn π

=

Frecuencia circularMk ω =

Tt 2 cos xt f 2 cos xωt cos xx 0n00 ππ ===

Energía

Vibración libre amortiguada

20

220 xM

21 xk

21 E ω==

0 kx x δ x M =++ &&&

kM 2 δcr =

crδδ D =

t)ωsen ωω D t ω (cos e xx 1

11

ωDt-0 +=

Decremento logarítmico

D2 π=Δ

FIGURA 2.4 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

X0

-X0

x

X0e-wDt

-X0e-wDt

Punto de tangencia casi en en el punto de movimiento máximo

t

Solución para (x = = 0 para t = 0)

VIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACIVIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACIÓÓN N DE CARGAS PERIDE CARGAS PERIÓÓDICASDICAS

tΩsen P kx xδ xM o=++ &&&

x&

22

22

12

22

11

Dt ω-2

2

o

ωΩ D 4

ωΩ - 1

tωsen 1 - ωΩ 2D

ωΩ t ω cos

ωΩ 2D e tΩ cos

ωΩ2D - t Ωsen

ωΩ-1

kP

x

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Amortiguamiento pequeño

2

Dt ω-

o

ωΩ - 1

tωsen ωΩe - t Ωsen

kP

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Movimiento libre

Movimiento forzado

Movimiento total

FIGURA 2.5 VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADA

t

x

Vibración Forzada

22

22

2

2

o

ωΩ 4D

ωΩ 1

tΩ cos ωΩ 2D - t Ωsen

ωΩ - 1

kP

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

22

22

o

ωΩ 4D

ωΩ 1

α) - t (Ωsen kP

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

22 Ω - ωΩ ω 2D α tg =

Masa Excéntrica

Ωtsen LΩMe P 2=

22

22

ωΩ 4D

ωΩ 1

1 DLF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

DLF kP x o

o =

5

3

4

2

1

00 0.5 1.0 1.5 2.0

FIGURA 2.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO

D = 0

D = 0.1

D = 0.2

0.60.5

0.4

0.3

X0

P0 / k

f / fn

(a) En Función de la fuerza de excitación

5

3

4

2

1

00 0.5 1.0 1.5 2.0

D = 0

D = 0.1

0.2

0.60.5

0.4

0.3

X0 MMel

f/fn

(b) Para el caso de masa desbalanceada

FIGURA 2.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO

1 2 4 6 8 10 12 14 150.8

0.7

0.6

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 4 6 8 10 12 14 15

0.8

0.7

0.6

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.5 0.5

leMMX

ópkX 0

0

0 en resonancia

FIGURA 2.7 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMENTO EN RESONANCIA

Rel

ació

n de

am

ortig

uam

ient

o cr

ítico

D

FIGURA 2.8 ÁNGULO DE FASE

180°

90°

0°0 1.0 2.0

ωΩ

D0.10.2

0.30.4

0.5

0.6

1.0

Áng

ulo

de fa

se, ∝

Tabla 2.1Propiedades de la Relación Factor de Carga Dinámica vs. Frecuencia

Fuerza Actuante

Respuesta adimensionalcuando f = 0

Respuesta adimensionalcuando f → ∞

Relación de frecuenciaresonante fr/fn

Respuesta adimensionalcuando f = fr

Respuesta adimensionalpara f << fro f >> fr

1 0

→ 0 → 1

2D21− 2D21

1

−

2D1D2

1

− 2D1D2

1

−

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

fnf1

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

fnf1

fnf

Sistema Masa Excéntrica

Carga escalón

Carga rampa

Pulso cuadrado

Carga sinusoidal de duración limitada

VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS TRANSITORIASTRANSITORIAS

FIGURA 2.9 RESPUESTA A UNA CARGA ESCALÓN

x

P0k0

p2

t t

P

FIGURA 2.10 RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA

tτ

P0

P 2

1

00 τ 2τ 3τ 4τ

310T

=τ 4T=τ

tiempo

k0

p

0P

Xk

2

1

00 1 2 3 4

τ/T

0

max

PkX

FIGURA 2.11 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA

FIGURA 2.12 RESPUESTA A UNA CARGA PULSO

P0

P

0PkX

τ

2

1

0τ 2τ 3τ 4τ 5τ

T45=τ

t

4T=τ

FIGURA 2.13 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA PULSO

2

1

00 0.2 0.4 0.6 0.8

τ/T

0

max

PkX

FIGURA 2.14 AUMENTOS DE LA CONDICIÓN INICIAL DE REPOSO PARA FUERZAS SINUSOIDAL CON Ω = ω

0PkX

2ωtXmax =

ω2Tt =

2D1

2D1

(a) No - Amortiguado

t t

(b) Amortiguado

0PkX

P0

P

2.0

0PkXmax

1.5

1.0

0.5

00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Xmax durante vibraciones residuales

τ/T

Ω= πτ t

FIGURA 2.15 MÁXIMA RESPUESTA PARA PULSO SENO MEDIO

Xmax

Movimientos sinusoidales de cimentación

VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR MOVIMIENTOS PERIMOVIMIENTOS PERIÓÓDICOS DE CIMENTACIDICOS DE CIMENTACIÓÓNN

sM- ky y yM &&&&& =++ δ

S = So sen Ωt Po → = -M So Ω2

DLF S y2

oo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω=ω

FIGURA 2.16 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR CON MOVIMIENTO DE APOYO

M

x

y

s

Movimiento seno-verso

Espectro de respuesta

Varios pulsos de seno-verso

Dos movimientos superpuestos

Efecto del amortiguamiento

VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DE CIMENTACITRANSITORIOS DE CIMENTACIÓÓNN

FIGURA 2.17 RESPUESTAS TÍPICAS A UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)

41=T

τ2

1

-1

0

1

00 1

1

2

1

0

0Ssy +

t/τ

21 2

1

-1

0

-2

1 1

2

1

-1

0

231

So

12

1 32

32

12

12

32

12

32

0Ssy +

0Ssy +

t /τ

2

1

0

FIGURA 2.18 CURVAS DE RESPUESTA PARA UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)

S

maxRY

1 2 3 4 τ/T0

1 2 3 40

2

1

0

2

1

0

oSmaxSY +

Ωω/T =τ

τ/T

oSmaxY

0 1 2 3 4

Frecuencia, cps.

FIGURA 2.19 LAMINA ESPECTRAL PARA GRAFICAR EL ESPECTRO DE RESPUESTA

500

250

100

50

2.5

5

2.5

1.0

0.5

0.25

0.10

0.050

0.025

0.010

0.005

1000 g

500 g250 g

100 g50 g

2.5 g

10 g

5.0 g

2.5 g

1.0 g

0.50 g0.25 g

0.10 g0.05 g

0.002

50

0.010 g0.005 g

0.001

0 0.0

005

0.025 g

Desplazamiento, pulg

Aceler

ación

, g’ s

5000 g2500 g

0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5.0 10 25 5.0 100 250 500 1000

500

250

100

50

25

10

5.0

2.5

1.0

10

Pseu

do –

Velo

cida

d, p

ulg/

seg.

FIGURA 2.20 ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO

Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad

Pseu

do –

Velo

cida

d, p

ulg/

seg.

100

500

250

100

2.5

1.0

0.1 0.25 0.5 1.0 2.5 5.0 10 25 50 100 250 500 1000

10

5

2.5

n = 4

n ∞

1.0

Aceler

ación

1000 g

100 g

50 g

25 g

10 g

5 g

0.5

0.25

0.1

2.5 g

1 g

0.1 g

0.01

0.6

0.001

Desplazamiento, pulgs

Seno verso Sn = 1 pulgadaF = 10 cps

5.0

5

2.5

1

0.1 g

FIGURA 2.22. ESPECTROS DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS DEL TERRENO SENO VERSO SUPERIMPUESTOS

Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad

Pseu

do –

Velo

cida

d, p

ulg/

seg.

1000

500

250100

50

25

10

5

2.5

1

0.5

0.25

0.01

0.0010.1

0.1

0.25

0.52.5

Desplazamiento, pulg.

1.0

Aceler

ación

, pulg

.

500

250

100

25

10

0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5 10 25 5.0 100 250 500 1000

50

5

2.5

1

FIGURA 2.21 DOS MOVIMIENTOS SENOVERSO SUPERIMPUESTOS

Respuesta al movimiento combinado del terreno

S dado por ec. 6.51 conS0 = pulg. F = 10 cps. n = 5

1 ciclos a 10 cps.

5 ciclos a 50 cps.

2πW

t

S

S0

Rango de frecuencias contenidas en el terremoto

Rango medioRango controlado por

desplazamiento

máxmáx SX &&&& =maxmax SY =

No amortiguado

Altamente amortiguado

Frecuencia natural (escala logarítmica)

Pseu

do-V

eloc

idad

Sv

(esc

ala

loga

rítm

ica)

Rango controlado por aceleración

FIGURA 2.23 CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DEL TERRENO CONTENIENDO MUCHAS FRECUENCIAS

5

6

4

2

00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

PERIODO-SEGUNDOS PERIODO-SEGUNDOS

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

10

5

6

4

2

0

S v-p

ie/s

eg

S v-p

ie/s

eg

FIGURA 2.24 ESPECTRO DE RESPUESTA DE SISMOS REALES

Espectro de Velocidad para el Sismo de Olympia, Washigton, 13 de Abril 1949

Componente S 80° W

Espectro de Velocidad para el Sismo de El Centro, 18 de Mayo 1940

Componente E-W

10

Capítulo IIISISTEMAS LINEALES DE VARIOS SISTEMAS LINEALES DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

Con un sistema de dos grados de libertad, la respuesta dinámica puede evaluarse por solución directa de las ecuaciones diferenciales. Para más grados de libertad es tedioso obtener soluciones directas, por lo que se utiliza el método de los modos.

VIBRACIVIBRACIÓÓN LIBRE DE SISTEMAS DE DOS N LIBRE DE SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD

Vibración Libre de Sistema no Amortiguado de 2 Masas

Vibración Libre Acoplada de Sistema no Amortiguado de 1 Masa

Vibraciones Libres con Amortiguamiento

1 Dos masas, cada una con un grado de libertad

2a Una masa, con dos grados de libertad independientes

2b Una masa, con dos gradosde libertad acoplados

FIGURA 3.1. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

FIGURA 3.3. PATRÓN DE DISTORSIÓN PARA MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN (EJEMPLO 3.1)

FIGURA 3.2. EDIFICIO DE DOS PISOS CON COLUMNAS QUE RESISTEN MOMENTOS

X1

M2

K2

K1

M1

X2

Modo FundamentalSegundo Modo

0 1 2 -1 0 + 1 2 A2

A1

A2

A1

A2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIGURA 3.4. MOVIMIENTO DE LA MASA SUPERIOR EN EL EJEMPLO 3.1

1.0

0

-1.0

0.4

0

-0.4

1.0

0

-1.0

-0.171 Xo cos 1.62

tKM

π21

1.171 Xo cos 0.618 tMK

tMK

Movimiento Resultante

VIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DEVIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DE2 GDL POR CARGAS PERI2 GDL POR CARGAS PERIÓÓDICASDICAS

Vibraciones Forzadas Acopladas de Sistema no Amortiguado de una Masa

Vibración Forzada Acoplada de Sistema de una Masa Amortiguada

FIGURA 3.5. SISTEMA CON MOVIMIENTOS HORIZONTAL Y CABECEO ACOPLADOS

L

ky

I0

θ

δy

Ke , δe

Z Y

CG

FIGURA 3.7 FRECUENCIAS NATURALES EN EL EJEMPLO 3.2

FIGURA 3.6 GRÁFICO PARA DETERMINAR LAS DOS FRECUENCIAS NATURALES ACOPLADAS

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θωωy

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

15.0

10.0

5.0

0

0.4

0.50.60.70.80.9

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.00

0.60

0.80

0.40

0.20

0

0.9 0.8

0.4

0.70.60.5

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ

θ

ωωy

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ

θ

ωωy

II0

Aco

plad

o In

ferio

r

Frecuencia cps

Hor

izon

tal

Aco

plad

o S

uper

ior

5 10 15 20

Cab

eceo

II0

Yc

-Pie

s

x ce

YD

-P

ies

YD

13’

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.1

0

- 0.04

- 0.06

- 0.08- 0.10

XC

0.08

0.06

0.04

0.02

0

- 0.02

- 0.04

- 0.06

- 0.08

- 0.1

16’

C

DZ

Y

X

- 0.02

YC

En C Xc = (8.5) θ = 0.0483 (cos 37.9t - cos 1.09 t) en piesYc = Y + 16 (θ) = 0.1199 cos 37.9t - 0.0199 cos 1.09 t en pies

En D XD = XcYD = Y = 0.0291 cos 37.9 t + 0.0709 cos 1.09 t en pies

FIGURA 3.8. MOVIMIENTOS EN EL EJEMPLO 3.2

FIGURA 3.9. FUERZAS APLICADAS AL SISTEMA CON MOVIMIENTOS ACOPLADOS

(a) Fuerzas Aplicadas

Z

• CG

•

(b) Fuerzas y Momentos Equivalentes

P

T

•

Yoθo

ωθ ωy ωθωy

ωyθ

FIGURA 3.10. NATURALEZA GENERAL DE LAS CURVAS DEL FACTOR DE CARGA DINÁMICA DE MOVIMIENTOS ACOPLADOS

Ω Ω

ωyθI

II ωyθI

ωyθII

Po = 4525 lbs. a 30 cps

FIGURA 3.11. FUERZA APLICADA Y MOVIMIENTO RESULTANTE EJEMPLO 3.3

Movimiento en C (en 10-4 pulg) en el momento que la fuerza es máxima hacia arribaDebido a movimiento horizontal

Debido a cabeceo

Movimiento resultante

Debido a movimiento vertical

Debido a cabeceo

5.29 8.79

7.50

4.67

Z

8.5’

16’CG

3.5’

ANANÁÁLISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS LISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD

Conceptos Básicos

Aplicación a Problemas Sísmicos

Para Fuerzas Aplicadas a las Masas

Para Movimiento de la Cimentación

Respuesta de Sistema 2 GDL por Superposición Modal

FIGURA 1: IMPORTANCIA RELATIVA DE TRASLACIÓN Y CABECEO DE BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (L/B=2) EN LA SUPERFICIE DE CUERPO ELÁSTICO (ν = 0.35)

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

05 10 150

ω/ωy

LH

ωYθωY

I

ωθ

ωY

ωYθωY

II

θo. Hyo

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

LH

FIGURA 2. EFECTO DE LA FRECUENCIA HORIZONTAL RESONANTE EN LA RESPUESTA DE UN BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (I / IO = 2) SUJETO A CABECEO

3

1≈LH

2

1

0

3

2

1

0

ωYθωY

I

ωYθωθ

II

ωY ωθ

ωωθ

ωY ωθ

θ. HYo

estático

0 0.5 1.0 1.5 2.0

Capítulo IV

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDAS

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

Estudio de la propagación de ondas en semiespacios infinitos homogéneos o estratificados, así como en barras de longitud finita.

Se presentan los fundamentos de propagación de ondas que se requieren para el manejo de los conceptos que se tratan en la dinámica de suelos.

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITON DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO

Ondas de compresión o primarias

Ondas cortantes o secundarias

FIGURA 4.1. ESFUERZOS ACTUANDO SOBRE UN ELEMENTO PEQUEÑO

Z

)z( xzxz Δ∂

∂+ zττ

τxy

X )( xxx

x Δ∂∂

+σσ

τxz

)( yyxy Δ∂

∂+ ττxy

Y

zΔxσ

yΔ

xΔ

FIGURA 4.2. NATURALEZA DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS PARTÍCULAS DE UN SUELO DURANTE EL PASO DE a) ONDAS DE COMPRESIÓN P, b) ONDAS CORTANTES S, c) ONDAS RAYLEIGH R Y d) ONDAS LOVE L

(a) (b)

(c) (d)

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO N DE ONDAS EN UN MEDIO SEMISEMI--INFINTOINFINTO

Ondas Rayleigh

Ondas Love

FIGURA 4.3. SISTEMA DE COORDENADAS EN UN SEMIESPACIO ELÁSTICO

Porción de semiespacio elástico

Frente de ondasSuperficie

Z

X

Y

FIGURA 4.4. RELACIÓN ENTRE VS, VP, y VR CON ν

Relación de Poisson, ν

Ondas P

Ondas S

Ondas R

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

5

4

3

2

1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.55

4

3

2

1

0

ρ GVa

lore

s de

vv v s

=

Amplitud a la prof. z

Amplitud en la superficie

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Componente horizontal

Componente vertical

ν = 0.25

ν = 0.33

ν = 0.40

ν = 0.50

ν = 0.25ν = 0.33

ν = 0.40ν = 0.50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

[ ](z)W

[ ](z)U

FIGURA 4.5. RELACIÓN DE LA AMPLITUD DE LAS ONDAS RAYLEIGH VS LA PROFUNDIDAD (Ref. 1)

Prof

undi

dad

Long

itud

de o

nda

z L R

Longitud = Velocidad de ondafrecuencia

FIGURA 4.6. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ONDA

Amplitud

Tiempo

A

Onda P Onda S Onda R

(+ en la dirección de propagación)

Movimiento menor

(+ hacia abajo)

(a)

(b)

Mov. mayor

W

t

t

u

1

1

FIGURA 4.7. SISTEMA DE ONDAS ORIGINADAS POR LA EXCITACIÓN EN UN PUNTO DE LA SUPERFICIE DE UN MEDIO IDEALIZADO (Ref. 1)

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO N DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADOESTRATIFICADO

Ondas llegan a las superficies de contacto de dos estratos con propiedades diferentes.

Ley de Snell

Plano vertical de incidencia

Rayo incidente Plano perpendicular al rayo incidente

SV

E

SH

S

s

FIGURA 4.8. COMPONENTES SV Y SH DE UNA ONDA CORTANTE S (Ref. 2)

P Pθθ

θ1SV

Pθ

θ1

SV

SV

P

θcr

SV

θcr

SV

FIGURA 4.9. REFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE DE UNA ONDA INCIDENTE P

FIGURA 4.10. REFLEXIÓN DE UNA ONDA INCIDENTE SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE

FIGURA 4.11. REFLEXIÓN HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV INCIDE CON UN ÁNGULO CRÍTICO

FIGURA 4.12. ÁNGULO DE INCIDENCIA CRÍTICO PARA LAS ONDAS SV, EN FUNCIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON ν

40

θcr

30

20

10

00.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

Para ondas SV

d = 0

d d d

θ = 0°

a a a

d

θ = 20°

θ = 30° θ = 34°d Superficie

Superficie

θ = 30° 16’a

d d

a a

d

a

d

a

a

θ = 37° θ = 37° 1/2

θ = 85°

θ = 40° θ = 45°

θ = 75°θ = 63°θ = 50°

Superficie

adaSup.

dadd

aa

θ = 90°

FIGURA 4.13. DESPLAZAMIENTOS (AMPLITUD Y DIRECCIÓN) DE UNA PARTÍCULA SUPERFICIAL PRODUCIDOS POR UNA ONDA SV QUE TIENE UN ÁNGULO DE INCIDENCIA θ (Ref. 2).

rayo

rayo rayo

rayo

rayo

rayo

rayo rayo rayo

rayo rayo rayorayo

FIGURA 4.14. INCIDENCIA Y REFLEXIÓN DE UNA ONDA SH

θ θ

SH SH

FIGURA 4.15. DISTRIBUCIÓN DE ONDAS ELÁSTICAS EN LA INTERFASE DE DOS MEDIOS ELÁSTICOS

(a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH

P-P1PP-SV1

Medio 1

Medio 2

P-P2

P-SV2

e ff

SV-SV1SV SH SH-SH1

a a

b bb

ba SV-P1

SH-SH2

P1, vP1, vS1

P2, vP2 , vS2

SV-SV2f

b

e

SV-P2

S2V

fsen

P2V

esen

S1V

bsen

P1V

asen===

FIGURA 4.16: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN MÚLTIPLE DE ONDAS EN UN SISTEMA ESTRATIGRÁFICO (Ref. 1)

Punto de excitación

P1, vP1 , vS1

P2, vP2 , vS2

P3, vP3 , vS3

P4, vP4 , vS4

(P)

(P -

S)(P

–P 1

)

(P –P

2 )(P –

P2 )

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN BARRASN DE ONDAS EN BARRAS

FIGURA 4.17. FUERZAS ACTUADO SOBRE UN ELEMENTO DE UNA BARRA CONTÍNUA

x

σ

u

Área A

x

x

xxΔ

∂∂

+σσ

FIGURA 4.18. DESPLAZAMIENTOS OBSERVADOS EN LOS TIEMPOS t1 y t2, PARA UN FUNCIÓN DEL TIPO SEÑALADO POR LA EC. 2-5

Movimiento observado en el tiempo t1

Movimiento observado en el tiempo t2

t1 t2

u

x

x

VL (t2–t1)

Figura 4.19. PRIMEROS TRES MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN DE UNA BARRA CON UN EXTREMO FIJO Y EL OTRO LIBRE

( a )

( b )

x

A4

)(nsenAu 12

x1 4 ==

l

π

)(nsenAu 32

x342 ==

l

π

)(nsenAu2

x543 5==

l

π

A4

A4

l