UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil Bogotá, Colombia
1998
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
Enrique. Dinámica estructu­
-­,
Prohibida la reproducción total o parcial de esi autorización escrita del autor.
Derechos Reservados.
Copyright © 1998 por: Luis Enrique García Reyes Copyright © 1998 por: Uníversídad de los Andes
Carrera 2O N 84-14 Piso 7, Bogotá, Colombia
ISBN: 958-33-0768-8
Printed in Colombia
SECCION - I - SISTEMAS DINAlIDCOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Cnl'Uuro 1 (;(;lV{;El~OS B ...lSffCOS lJI!) DIJ.VJ.l1'UC...1
1.1 Introducción 3 1.2 Leyes de Newton -+ 1.3 Grados de libertad :i lA Masa, peso y sistema de unidades 6 1.5 Rigidez 8 1.6 Traba] o y energía 10 1.7 Amortiguamiento 11
1.7.1 Generalidades lJ 1.7.2 Amortiguamiento viscoso 1I 1.7.3 Amornguarníer,.o de Coulomb 12 1.7A Amortiguamiento histerético ~ 12
1.8 Tipos de excitación dinámica 13
CUJ)ítulo 2 .SIS'l'El'LlS DIJ.VLUTICflS DE lIN GBlllJII DE 1..IBERTAlJ
2.1 Vibración libre no amortiguada 1S 2.2 Vibración libre amortiguada 20
2.2.1 Amortiguamiento crítico , 2L 2.2.2 Amortiguamiento mayor que el crítico 23 2.2.3 Amortiguamiento menor que el crítico 23 2.2A Decremento logarítmico 2:i
2.3 Vibraciones forzadas armónicas _ 27 2.-+ Vibraciones transitorias 31
2.-+.1 Respuesta a un impulso 32 2.-+.2 Excitación arbitraria 33
2.5 Excitación en la base 35 2.6 La energía en la respuesta dinámica 38
CUJ)ít.ub.) 8 OIITEN{;ION m: lA lrnSI~UEST.i:llJI..lVA...."ICA
3.1 Introducción -+3 3.2 Integral de convolución -+3 3.3 Método de la aceleración lineal -+8 :j.-+ Método Beta de Newrnark 51
'inál1l1ca esrruc(.(UUI UP"L""" u ... _~_
3.5 Otros métodos 55 3.6 Sistemas no lineales 55 3.7 Solución en el dominio de la frecuencia 59 3.8 Uso del computador : 63
CA."itnlo 4 SIS~IOS~ SI:S~"OGRi-ULlS y ~1(;ELEROGlliU1AS
4.1 Introducción 65 4.2 Causas de los temblores 65
4.2.1 Tectónica y sisrnicidad global 65 4.2.2 Failas geológicas 67 4.2.3 Mecanismo focal 68 4.2.-4 Premonitorios y réplicas 68
4.3 Ondas sísmicas 69 4.4 Sismogramas 69 4.5 Magnitud del sismo 69
4.5.1 Definición de la magnitud de Richter 69 4.5.2 Tipos de magnitud 70 4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes 71
4.6 Intensidad del sismo 72 4.6.1 Escala de intensidades de Mercalli Modificada (ltvIJv1) 72 4.0.2 Mapas de isosistas 73
4.7 Tectónica y sismicidad colombiana 74 4.7.1 Emplazamiento tectónico 74 4.7.2 Sistemas de f'allamiento 74 4.7.3 Sísmícidad colombiana 75
4.8 Acelerogramas 77 4.8.1 Acelerógrafos de movimiento fuerte 77 4.8.2 Registros acelerográficos 77 4.8.3 Definición de los movimientos máximos del terreno 79 4.8A Efecto de las condiciones locales del suelo 80 4.8.S Variación v atenuación de los movimientos sísmicos con la distancia 81 4.8.6 Tipos de temblores según el aceierograrna 83
4.9 Estudios de amenaza sísmica 85 4.9.1 Metodología 85 4.9.2 Amenaza sísmica en Colombia 87
4.10 Predicción de sismos 96
Cnl,itnlo ;; ESPECTBfJS DE llESPlJESTA
5.1 Introducción 97 5.2 Obtención del espectro de respuesta 98 5.3 Relación entre Sal Svy Sd 101 5.4 Representación tripartita 102 5.5 Influencia de los movimientos máximos del terreno 104 5.6 Relación entre las diferentes componentes 105 5.7 Espectros de algunos sismos 109 5.8 Espectros de Fourier 114 5.9 Programas para el calculo de espectros 116
ii
6. I G.2
6.5 6.6
6.7 6.8
Introducción I 17 Respuesta histereríca I 18 6.2.1 Materiales y elementos estructurales elásticos e ínelásrícos 1I 8 G.2.2 Concreto estructural 123 6.2.3 Acero estructural 128 6.2.-4 Mampostería estructural 131 Modelos matemáticos de histéresis 13-1: 6.3.1 Generalidades 13-4 6:3.2 Elastoplástico 135 6.3.3 Modelo de Rarnberg-Osgood 139 6.3A Modelos con degradación de la rigidez 1-43 Conceptos de ductilidad, tenacidad
y capacidad de disipación de energía 148 Respuesta elástica equivalente él inelástica 152 Efecto de la respuesta ínelástica en el espectro 154 6.G.1 Sistemas elastoplásticos 1,3-1:
Espectro de desplazamientos totales 156 Espectro de aceleraciones máximas 159
6.6.2 Sistemas con rigidez degradante 1GO Principio de las deformaciones iguales 16-4 Programa de computador "RESDIN" para la obtención de la
de la respuesta dinámica elástica e inelástica 169
CCIIJUul() 7 .6J.JJl'DHEl\.TOS SIS6HCOS DE DISEÑO
7.1 Introducción , 173 7.2 Espectros elásticos de diseño I 7-1:
7.2.1 Espectros promedio de Housner 17-4 7.2.2 Método de Newmark-Hall 176 7.2.3 Método de Newrnark-Blurne-Kapur 0 0 179 7.2A Método de Shibata-Sozen 182 7.2.5 Comparación de resultados 18-4
7.3 Espectros inelásticos de diseño 187 7.3.1 Introducción 187 7.3.2 Método de Newmark-Hall 188 7.3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark 190 7.3.-1: Procedimiento de Shíbata-Sozcn 192
7A Efecto en la forma del espectro de la magnitud distancia, duración y tipo de suelo en el sitio 1~)-I:
7A.l Efecto de la magnitud y la distancia a la falla 19-1: 7A.2 Efecto de la duración del sismo 196 7A.3 Efecto de las condiciones geotécnicas locales 197
Procedimiento del ATC-3 198 Procedimiento del Uniform Building Code 199 Procedimiento del NEHRP-94 200
7.5 Estudios de amplificación de onda 20-1: 7.6 Familias de acelerogramas 208 7.7 Espectros de diseño de los códigos sísmicos 210
7.7.1 Desarrollo histórico del espectro en los códigos sismicos 210 7.7.2 Forma del espectro del ATC-:1 211 7.7.3 Forma del espectro de las nuevas normas sísmicas colombianas 2 [{i
i i i
7.7A Forma del espectro del Código de Ciudad de México de 1993 219 7.7.5 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-94) 221 7.7.6 Forma del espectro del NEHRP-94 223 7.7.7 Forma del espectro del Eurocódigo-S 225
7.8 Comentarios sobre la selección de los movímíentos sísmicos de diseño 228
SECCI@N - II - SISTEMAS DINAMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
ClI.j,Uulo S 11\TIlODUCCIONAl.l ANALlSlS 1tl¡-tTI~IClALDE ESTRUC'J.'lI1lAJ...~
8.1 Definiciones 232 8.1.1 Introducción 233 8.1.2 Algebra lineal 234 8.1.3 Operaciones con matrices 235 8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores 238
8.2 Sistemas de coordenadas y su transformación 239 8.3 Matriz de rigidez de un elemento de pórtico plano 244 8A Principio de contragradiente 252 8.5 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 253 8.6 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 255 8.7 Apoyos de la estructura 258 8.8 Solución para fuerzas estáticas por el método de rigidez 260
Cl1l,itulo !-) illVAl..llSlt9 J.1lilTillCLU AVil.LVZill~{'
1'" lELE¡~1El\.TOS PINITOS
9. ~ Introducción 273 9.2 Igualación de grados de libertad 273 9.3 Condensación de grados de libertad 278 9.4 Subesrructuración 281 9.5 Casos especiales 282
~1.5.1 Articulaciones y liberación de grados de libertad en los elementos. 282 9.5.2 Nudos rígidos ~86
9.5.3 Deformaciones por cortante 289 9.5A Efecto de la variación por temperatura 290
9.G Otros tipos de elemento 295 9.6.1 Definiciones 295 9.6.2 Elemento de cercha plana 297 9.6.3 Elemento de cercha espacial 298 9.6.-! Elemento de pórtico plano 299 ~J.6.5 Elemento de parrilla 301 9.6.6 Elemento de pórtico espacial 302
-.:-------------------
9.7.3 Tipos de elementos 306 9.7.-l Formulación de la matriz de rigidez de] elemento 307 9.7.5 Ejemplo de análisis utilizando elementos finitos 312 9.7.6 Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos :1]7
C~ll)Uul()1 (J ECU11ClflNES IIE Ef~UlLI11IU(lllnv111'UCflEN SISTEl'L~~IIl~
l~tl='I(IS Gl=.rWOS DE LIIIEI=.TAD
10.1 Introducción 321 10.2 Vibración libre 321 10.3 Ecuaciones de equilibrio para excitación arbitraria 323 JOA Ecuaciones de equilibrio para excitación en la base 32·"¡' 1O.,) Ecuación de Lagrange 326
(;(fIJilulo 11 lIJl~ill""ZA(;ION',l1V1U.lIC.ll DE L-l ES'J'l='VCTIJB.il
11.1 Introducción 329 11.2 Masa distribuida y masa concentrada 329
11.2.1 Masa distribuida 330 11.2.2 Masa concentrada 333
11.3 Idealización de la rigidez 339 11.3.1 Diafragma rígido 3-W
11.3.l(a) Se genera la matriz de ruiidez de cada pórtico 34-l 11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto
de diafragma rígido 345 1l.3.1(c) Se ajustan los grados de libertad verticales 346 11.3.l(d) Se condensan los grados de libertad ,
rotacionales de los nudos 347 11.3.l(e) Transformación de los grados de libertad del pórtico,
de un despiazarniento por piso a las tres qrudos de libertad por piso de cada diafragma :H8
11.3.l(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez de toda la estructura 351
] 1.3.1 (g) Se determina la matriz de masa de toda la estructura :3 SI
] 1.3.l(h) Ecuaciones de equilibrio dinámico de toda la estructura :3 SI
] 1.3. 1(i) Obtención de las fuerzas en los elementos una vez se conocen los desplazamientos de los grados de libertad de los diafragmas 353
11.3.1U) Algunas observaciones acerca de la idealizacion de diafragma rígido toda la estructura 35-l
11.3.2 Diafragma flexible 36-l 11.3.3 Diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles 372
/'
Inic(I estructuren lIjJlI( (n«. ,u .u..... " ._.~
Cnl,itulol2 SOLlJCION DE LA BESl·UESTA lJI1Vl1l'HCA PARA. SISTE~JASCON tr¡-UUOS GllAlJOS DE LIBEIITAD
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
Introducción 385 Solución modal para el caso no amortiguado 385 Ortogonalidad de los modos naturales 392 Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento 394 Vibración libre con condiciones iniciales 396 Análisis me '::'dl con amortiguamiento 401 Solución integrando las ecuaciones de movimiento 404
Cl41,ituW 18 bmTOIJ(JS AT(;~mlUCOSEN EL ANALISIS l'IODAL
13.1 Introducción 405 13.2 Método directo 405 13.3 Metodo del barrido 406 13.4 Merodo de Iacobí 410 13.5 Método de iteración en un subespacio 419 13.6 Cociente de Rayleigh 420
Cnl,itulo 14 ANALISlS ¡JIOD..\L CRONOl-,OGl(;O
14.1 Introducción 423 1~.2 Vibración forzada armónica 424 14.3 Vibraciones transitorias 432 14.4 Excitación en la base 438 14.5 Análisis modal planar para excitación en la base 441 14.6 Análisis modal tridimensional para excitación en la base de sistemas con
diafragma rígido 450 14.7 Análisis modal para excitación en la base de sistemas con diafragma flexible 469 14.8 Excitación en varios apoyos y sistemas sin. diafragma 490
Cnl,itulo 1 s ANIU"ISIS .L"OIJJ.tL ESPECTlfAL
15.1 Introducción 505 15.2 Formulación del análisis modal espectral 505 15.3 Métodos de combinación de la respuesta modal 519
]5.3.1 Generalidades 519 15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) 519 15.3.3 Método de la combinación cuadrática completa (CCC) 528 15.3A Combinación de componentes horizontales 53]
15.4 Número de modos a emplear 547 15.5 El método de la fuerza horizontal equivalente 548
~----------------------- ~ . pi
11
A la pri,nera lectlu-a de la Dinámica de Garcia
He aquí un libro que no sufre de los pecados de sus predecesores; un libro que empieza en el principio y termina en el final sin trazar meandros entre los dos extremos. No está escrito como un catálogo y tampoco pretende incluirlo todo. Significa más bien un compromiso.
La dinámica es una ciencia madura. Entretanto, el diseño sísmico no es ni una ciencia ni ha alcanzado su madurez. La aplicación de la dinámica a la ingeniería fue forzada inicialmente por la necesidad de entender el comportamiento de las máquinas. En este sentido, la dinámica aplicada contiene todo un arsenal de algoritmos creadores y brillantes introspecciones aplicables a mecanismos bien definidos, excitados por movímientos bien definidos, así mismo cuando no de carácter invariante. Ahora bien, aplicrr la dínárnica a estructuras cuyas características de rigidez y resistencia no se conocen plenamente y tampoco están excitadas por movimientos agudamente descritos - antes o incluso después del evento sísmico - requiere una perspectiva diferente y muy diferentes aptitudes. La tarea que se impuso el autor de preparar un texto referente a las estructuras, es ante todo una de resistir la tentación de parafrasear los textos consagrados, tales como aquellos escritos por Den Hartog y por .lacobseu-Ayre, antes de acometer el asunto de las estructuras.
Decir que el autor de este libro, Luis E. García, ha alcanzado la proeza de mantener el objetivo en las estructuras es un dictamen que requiere el concurso de muchos lectores durante un período largo del tiempo. Pero es innegable que se las ha ingeniado para trazar un camino recto. Y es a este respecto que el libro representa una rara adición a la literatura sobre dinámica estructural. Quizás su descripción correcta sea expresar que es el segundo texto que se mantiene fiel a las estructuras siendo el primero el tomo escrito por Biggs y publicado hace más de tres décadas. Ahora, afirmar que el alcance, la certeza y la cohesión del texto de García es remíníscente del clásico de Biggs es un elogio a ambos tratados. En la misma vena, puede decirse que la "Dinámica Estructural" de García es un digno compañero de la "Ingeniería Sísmica" de Sarria. ¿Quién hubiera pensado que Colombia abriría las más amplias "puertas a la percepción" de la ingeniería sísmica?
El encaminamiento del texto no sorprende puesto que el autor García, a la manera de Tiresias en el mito antiguo, ha experimentado íntimamente el mundo desde dos puntos de vista diametralmente opuestos: el académico y el pragmático en su caso. El suma años de ejemplar profesorado y posee la reputación de haber pisado la frontera donde se desarrolla el diseño automatizado de estructuras; esto simultáneamente con desempeñarse como socio principal de una muy productiva firma dedicada al diseño estructural. El ha enseñado. El ha diseñado. El texto muestra las huellas típicas de las dos experiencias. La erudición es inmaculada. Las explicaciones son completas; comienzan en la ciencia y culminan en la ingeniería práctica. Es este un libro que pertenece igualmente bien a la mesa de trabajo del estudiante y a la biblioteca del profesional. Se puede aprender de él, así como utilizarlo como referencia fácil para problemas de diseño, y para lograr una mejor compresión de las bases de los procedimientos de análisis.
Quizás el logro fundamental del libro es su Capítulo 5 dedicado a los espectros lineales de respuesta, aspecto esencial para entender los problemas del diseño, que el
1 El Profesor Sozen ha dejado saber que el título de este prólogo es un préstamo deliberado ek john Keats en su poema titulado "On Iirst looking ihto Chapmans Horner".
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autor no considera íníra-dígrutarem explicar hasta en los detalles más simples. Su paciencia y experticía con la materia tratada son admirables.
Se ha dicho que nada grande ha sido logrado sin entusiasmo. Este libro ha sido escrito con entusiasmo. Ha sido escrito con base en la doble experiencia de la clase y de la práctica. Debe perdurar.
METE A. SaZEN Profesor de Ingeniería Civil
Purdue Uníversity Lafayette, Indiana, USA
Enero de 1998
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/
Prólogo
Estas notas sobre dinámica estructural, están enfocadas primordialmente al análisis y diseño de estructuras, dentro del ámbito de ingeniería civil, y con el énfasis principal en las solicitaciones sísmicas. Aunque los principios de la dinámica estructural datan de mucho tiempo atrás, su aplicación a la ingeniería sísmica se remonta a solo algunas décadas. El presente trabajo nace como unas notas de clase del curso de pregrado del mismo nombre, el cual se dictó por primera vez en el segundo semestre de 1973 en la Universidad de los Andes en Bogotá. A través de los años se han mantenido dentro del contexto eminentemente práctico que ha tenido el curso. La intención es que sirva de libro de texto para un curso de un semestre en el tema, aunque el material en algunos apartes es más extenso de lo que se alcanza a cubrir durante las horas de clase.
El tema se ha dividido en dos grandes secciones: una correspondiente a sistemas dinámicos elásticos e inelástícos de un grado de libertad (Capítulos 1 a 7) y la segunda correspondiente a sistemas dinámicos de varios grados de libertad (Capítulos 8 a 17).
En la primera sección se inicia, Capítulo 1, con las Leyes de Newton y los fundamentos de la rigidez, la masa y el amortiguamiento. El Capítulo 2 trata los sistemas lineales de un grado de libertad para los casos de vibración libre, no amortiguada y amortiguada, vibraciones forzadas armónicas, vibraciones transitorias y el tema de excitación causada por movírníentos en la base del sistema, el cual se emplea directamente en el estudio de estos sistemas ante excitaciones sísmicas. Por último se discute el tema de la transferencia e intercambio de energía en la respuesta dinámica. El Capítulo 3 se dedica a los métodos matemáticos y numéricos para obtener la respuesta dinámica de sistemas lineales de un grado de libertad. El Capítulo ..J: consiste en una breve introducción a la sismología y a la evaluación de la amenaza sísmica. El Capítulo 5 trata los espectros elásticos de respuesta de los sismos. El Capítulo (j discute los sistemas ineIásticos dinámicos de un grado de libertad. Por último el Capítulo 7 trata los movírníentos sísmicos de diseño, sus características y los procedimientos para obtenerlos.
La segunda sección sobre sistemas de varios grados de libertad, se inicia con una introducción al análisis matricial de estructuras (Capítulos 8 y 9) con un enfoque directo a su empleo en la dinámica estructural, En el Capítulo 10 se plantean las ecuaciones de equilibrio para sistemas dinámicos de varios grados de libertad. El Capítulo 11 trata la idealización dinámica de la estructura, y los diferentes enfoques y conceptos que deben tenerse en cuenta al idealizar dinámicamente las construcciones. En el Capítulo 12 se plantea la solución de las ecuaciones dinámicas de equilibrio para el caso linealmente elástico. El Capítulo 13 resume los métodos más empleados en la actualidad para la obtención de los modos y frecuencia de vibración de las estructuras. El Capítulo 1..J: trata el análisis cronológico de la respuesta dinámica de sistemas lineales de varios grados de libertad y el Capítulo 15 la solución espectral de la respuesta de sistemas lineales de varios grados de libertad.
Se ha escogido en la presentación el sistema internacional de medidas (SI), el cual por ser un sistema consistente de unidades, es el más apropiado para el trabajo en dinámica estructural, además de ser el sistema de uso obligatorio en las nuevas normas sismo resistentes colombianas. Las referencias se indican por medio de [autor, año] dentro del texto y el final en la Bibliografía se listan los diferentes trabajos empleados
ix
~_.,"--_.:"':"':~-..!..." --~--------------
como referencia en orden alfabético por apellido del autor, seguido por el año de publicación.
Los ejemplos se desarrollaron empleando diferentes programas de computador, pero en general están realizados utilizando hojas electrónicas de cálculo, principalmente Excel" de Microsoft", el programa Mathlab" producido por The Math Works Ine. ©, el programa CAL91, desarrollado por el profesor E. Wilson de la Universidad de California, Berkeley. Además muchos de los ejemplos se realizaron empleando los programas RESDIN, y ESPECTRO, desarrollados por el autor. El programa CAL91 se puede obtener a través de NISEE (National Information Servíce for Earthquake Engineering - Davis Hall, University of California, Berkeley). Los programas RESDlN y ESPECTRO se pueden obtener en la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (Carrera 20 N 8-1-1-1, Oficina 502, Bogotá, Colombia - Teléfono 530-0826 - Fax 530-0827), o solicitar por emaiI a: <aisrli"uniandes.edu.co>. Para estudiantes, previa presentación del carnet vigente, el programa CAL91 puede obtenerse gracias a una generosa autorización de su creador -- el profesor E. Wilsoo -- al costo de reproducción del material, en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes en Bogotá (Carrera 1a N 18A-lO - Bloque \IV - 2 Piso, Apartado Aéreo -1976 Bogotá, Colombia - Teléfonos 281-51-18 o 28-1-9911 Ext.2811 y 2812).
El autor agradece cualquier observación o comentario que pueda mejorar el contenido o la presentación del presente trabajo. Estos comentarios pueden ser enviados al siguiente emai1: -clugarciaauniandes.edu.co>, o al Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, Bogotá.
Luis E. García Bogotá, Febrero de 19~)8
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1.1 Introducción
La dinámica, dentro del contexto de la mecaruca, es el estudio de los cuerpos, o conjuntos de partículas, en movimiento. La dinámica se divide en dos campos: la cinemática, la cual estudia la geometría del movímiento, relacionando el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a las causas del movimiento: y la cinética, la cual estudia la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su movímiento, permitiendo predecir los movtmíentos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento dado.
Cuando un cuerpo se desplaza de una posición de equilibno estable, el cuerpo tiende a volver a esta posición al verse afectado por la acción de fuerzas que tienden a restaolecer la situación de equilibrio; este puede ser…