Dinámica del movimiento rotacional

Torca, momento angular, momento cinético o momento de torsión: La habilidad de una fuerzapara rotar o girar un cuerpo alrededor de un eje.

Solamente la componente de la fuerza

perpendicular al radio causa el torque.

= r (Fsenq)

De manera equivalente, solamente la

distancia perpendicular entre la línea

de fuerza y el eje de rotación,

conocido como brazo de momento o

brazo de palanca r, pueden usarse

para calcular el torque.

= rF = (rsenq)F

𝜏 = 𝑟 × 𝐹 𝑟= es la posición del eje hasta el punto de aplicación de la fuerza 𝐹= es la fuerza aplicada 𝜏= torca

Eje

Punto de aplicación de la fuerza

Momento de torsión

• Es una magnitud vectorial

• Se mide en 𝑁 ⋅ 𝑚

• La dirección del momento de torsión es:

– Perpendicular al plano formado por los vectores 𝑟

y 𝐹, + en sentido antihorario, - en sentido horario.

xApunta hacia afuera de la página Apunta hacia adentro de la página

Línea de acción de la fuerza

F1

F2

F3Línea de acción

Línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza

Brazo de momento

• Brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación

F2

F1

F3

r

rr

Fuente: Resnick, 9th ed.

Procedimiento para el cálculo de la torca de una fuerza

Paso 1. Identifique eje de rotación, fuerza y distancia desde el eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Haga un dibujo.

Paso 2. Trace la línea de acción de la fuerza.

Paso 3. Dibuje y asigna un nombre al brazo de momento.

Pasto 4. Calcule el brazo de momento.

Paso 5. Calcule el momento de torsión mediante:

Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Ejemplo 1: Una fuerza de 80 N actúa en el

extremo de una llave de 12 cm como se muestra.

Encuentre el momento de torsión.

• Extienda línea de acción, dibuje, calcule r.

= (80 N)(0.104 m) =

8.31 N m

r = 12 cm sen 600

= 10.4 cm

Fuente: Paul Tippens, 2007

Alternativo: Una fuerza de 80 N actúa en el

extremo de una llave de 12 cm como se

muestra. Encuentre el momento de torsión.

Descomponga la fuerza de 80-N en componentes como se muestra.

Note de la figura: rx = 0 y ry = 12 cm

= (69.3 N)(0.12 m) = 8.31 N m como antes

positivo

12 cm

Fuente: Paul Tippens, 2007

Procedimiento para el cálculo de la torca neta por varias fuerzas

• Paso 1. Construya un dibujo y nombre el eje, la fuerza y la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al eje.

• Paso 2. Dibuje las líneas de acción para cada fuerza

• Paso 3. Calcule los brazos de momento.• Paso 4. Calcule los momentos de torsión debidos

a cada fuerza individual. Recuerde los signos.• Paso 5. Calcule el momento neto sumando

algebraicamente los momentos de las fuerzas individuales.

Ejemplo 2: Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo que se

muestra abajo:

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre

debido a cada

fuerza. Considere

primero la fuerza

de 20 N:

r = (4 m) sen 300

= 2.00 m

= Fr = (20 N)(2 m)

= 40 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo.

20 = -40 N m

r

negativo

Fuente: Paul Tippens, 2007

Ejemplo 2 (cont.): A continuación encuentre el momento de torsión debido a la fuerza de 30 N en

torno al mismo eje A.

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre debido a

cada fuerza. Considere a

continuación la fuerza de

30 N.

r = (8 m) sen 300

= 4.00 m

= Fr = (30 N)(4 m)

= 120 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las manecillas del reloj y negativo.

30 = -120 N m

rnegativo

Fuente: Paul Tippens, 2007

Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, considere el momento de torsión debido a la fuerza de 40-N.

Encuentre debido a

cada fuerza. Considere a

continuación la fuerza de

40 N:

r = (2 m) sen 900

= 2.00 m

= Fr = (40 N)(2 m)

= 80 N m, cmr

El momento de torsión en torno a A es CMR (contrario a las manecillas del reloj) y positivo.

40 = +80 N m

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

r

positivo

Fuente: Paul Tippens, 2007

Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo

que se muestra abajo:

300300

6 m 2 m4 m

20 N30 N

40 NA

El momento de torsión

resultante es la suma de los

momentos de torsión

individuales.

R = - 80 N mSentido de las manecillas del reloj (MR)

R = 20 + 30 + 40 = -40 N m -120 N m + 80 N m

Propiedades• La torca es vectorial: tiene magnitud y dirección• Factores que influyen en la magnitud de la torca

• Magnitud de la fuerza aplicada• A mayor fuerza mayor torca

• Dirección de la fuerza aplicada• Para un ángulo es de 90º, la torca es máxima• Para un ángulo de 0º la torca es nula

• Ubicación de la fuerza aplicada (punto de aplicación de la fuerza)• Mientras más lejos es la distancia desde el eje

mayor es la torca.

El torque neto alrededor de un punto O es la suma de todos los torques

alrededor de O:

221121 dFdF

Problema:Calcule el torque neto en una varilla de 0.6-m alrededor el eje en la

izquierda. Actúan tres fuerzas en la varilla según el diagrama.

30°

0.3 m

4 N

5 N

6 N

Torca & Aceleración Angular

Consideremos un objeto puntual con masa m que

rota en un circulo.

La fuerza tangencialFt es

tt maF

El torca debido a la fuerza tangencial es Ft

rFt

I

El torque que actúa en la partícula es proporcional a la aceleración

angular

Analogo a la Segunda Ley de Newton del

movimiento con rotación

mr

rmat 2mr I

Que pasa en un cuerpo rígido?

La fuerza dFt es

tdF

El torque debido a la fuerza tangencial Ft es

El torque total es

d

tdma dmr

rdFt dmr 2

dmr 2 I

Ejemplo :

Una barra uniforme de longitud L y masaM se ata a uno de los

terminales de un pivote sin fricción y que gira libremente en el plano

vertical. La barra es liberada desde el reposo en posición horizontal.

¿Cuáles son la aceleración angular inicial de la barra y le aceleración

lineal inicial de terminal derecho?

La única fuerza que genera torque es la fuerza gravitacionalMg

Usando la relación entre la aceleración angular y aceleración tangencial

L

dmrI0

2

Ya que el momento de inercia de la varrilla cuando rota alrededor de un

terminal

Obtenemos

ta La punta de la barra cae

rápidamente que un objeto en

caida libre.

Fd2

LF

2

LMg I

L

dxx0

2

L

x

L

M

0

3

3

3

2ML

I

MgL

2

3

2 2ML

MgL

L

g

2

3

L2

3g

Trabajo y potencia en el movimientorotacional

potencia

Momento angular• La cantidad de movimiento angular L se define

como:

vmrprL

El primer termino es cero porque el angulo es cero

La rapidez de cambio del momento angular de una particula es igual a la torca de la fuerza neta que actua sobre ella.

Momento angular

• La cantidad de movimiento angular total de un cuerpo rígido que gira sobre el eje z con velocidad angular ω

IL

IrmLL

rmrrmL

iii

iiiiii

)(

)(

2

2

𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑚 𝑣

Principio de conservacion de la cantidad de movimiento angular• Si el momento de torsion externo que actua sobre un

sistema es cero, la cantidad de movimiento angular total es constante (se conserva).

Consideremos un sistema compuesto de dos cuerpos A y B que interactuanentre si pero sin ningun agente externo actuando. Si A ejerce una fuerzasobre B y aplicando la tercera Ley de Newton:

Entonces, la cantidad de movimiento angular esconstante.

𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Giroscopios: precesión

Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil

• Traslación y rotación combinadas

– Cuerpo rígido con traslación y rotación:

– Dinámica:

2 21 1

2 2cm cmK Mv I

ext cm

z cm z

F Ma

I

Fuente: Resnick 9th ed.