HORA: 12:OO pm 13:00 pm

MECANICA CLASICA

UNIDAD 5: SISTEMA DE PARTICULAS

NOMBRES: SAUCEDO DELGADO JOSE EDUARDO

TORRES CARTILLO MANUEL

POFRA: MERAZ GAMEZ OLIVIA

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CUIDAD MADERO

PARA: MARIANA ROJAS

JAJAJA

Dinámica de un sistema de partículas

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p=mv

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F12 que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F21 que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

F12 +F21 =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v1 y v2 las velocidades finales de dichas partículas.

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se

transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

Movimiento del Centro de Masas

El centro de masa.

El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en próximas páginas.

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

En general, la posición rcm del centro de masa de un sistema de N partículas es

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante vcm=cte.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

Momento lineal

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

p1cm=m1v1cm

p2cm=m2v2cm

p1cm=-p2cm

TEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Para deducir el enunciado de este principio se parte de la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción).Considere dos esferas de masa m1 y m2, las cuales se hayan dotadas inicialmente de velocidades y respectivamente. Al chocar las nuevas velocidades y serán respectivamente.Como las esferas están en contacto mutuo durante un intervalo de tiempo muy pequeño, el impulso

. debe ser igual y opuesto al impulso . , escribiéndose

. = - . (Ec.1)

Por otra parte . = m1 ( - ); - . = -m2 ( - ) (Ec.2)Sustituyendo (2) en (1) se tiene que:

m1( - )=- m2( - ) aplicando la propiedad distributiva se tiene que:

m1 - m1 = - m2 + m2 ; trasponiendo términos se obtienem1 + m2 = m1 + m2

+ = + El primer miembro representa la suma de las cantidades de movimientos después del choque y el segundo miembro representa la suma de las cantidades del movimiento antes del choque.

La cantidad de movimiento total del sistema permanece constante

El valor de esos conceptos se hace tangible cuando se enfoca la atención no a un cuerpo único, sino a un sistema de muchos cuerpos que interactúan entre sí, pero sobre los cuales no actúa fuerza externa alguna. Para aclarar lo anterior se comienza describiendo el más sencillo de esos sistemas, el que consiste de dos cuerpos de masas m1 y m2. Si esos dos objetos chocan, la cantidad de movimiento de cada uno cambiará. Pero, según la tercera ley de Newton, la fuerzaF12, que ejerce m1 y m2, debe ser igual en magnitud, pero en dirección opuesta a F21, la fuerza que m2, ejerce sobre m1. Esto es, F= F12+ F21= 0; donde + = constante =

Por inducción, la conclusión de que la cantidad de movimiento total permanece constante en ausencia de una fuerza externa, se aplica a un sistema con cualquier número de partículas que interactúan. El sistema obedece al principio de conservación de la cantidad de movimiento.“La masa del cohete disminuye lentamente a medida que se quema el combustible. La cantidad total de movimiento se conserva, porque la cantidad de movimiento de los gases calientes de escape arrojados en la parte superior posterior es igual a la cantidad en que se mueve el cohete hacia delante” Un cohete simplemente “retrocede” por efecto de los gases que expulsa. Y retrocederá mejor en ausencia de la resistencia del aire.

Si se desea acelerar un objeto, es necesario aplicarle una fuerza. Para cambiar la cantidad de movimiento o momento de un objeto es necesario aplicarle un impulso. En cualquier caso, la fuerza o el impulso se deben ejercer sobre el objeto por medio de algo externo a él. Las fuerzas internas no cuentan

Por ejemplo, las fuerzas moleculares dentro de una pelota de béisbol no tienen efecto sobre su momento, del mismo modo en que una persona sentada en el interior de un automóvil y que empuja contra el tablero no ocasiona cambio alguno en el momento del vehículo. Ello obedece a que éstas son fuerzas internas, que actúan y reaccionan dentro de los propios cuerpos. Se requiere que actúe una fuerza externa (o sea desde fuera) sobre una pelota o un automóvil para que haya un cambio en su momento. Si no hay presente una fuerza externa, no es posible un cambio en el momento.

Cuando se dispara una bala con un rifle, las fuerzas presentes son internas. El momento total del sistema formado por la bala y el rifle, por tanto no sufre un cambio neto. Por la tercera ley de Newton de la acción y la reacción, la fuerza ejercida sobre la bala es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el rifle. Las fuerzas que actúan sobre la bala y el rifle lo hacen durante el mismo tiempo, lo que da por resultado cantidades de movimiento iguales pero con direcciones opuestas. Aun cuando la bala y rifle por sí mismos han adquirido considerable momento, como sistema no experimentan cambio alguno en el momento. Antes del disparo, el momento es cero; después del disparo, el valor neto sigue siendo cero. No se gana ni se pierde cantidad de

movimiento.

En ausencia de una fuerza externa neta, la cantidad total de movimiento de un sistema permanece constante.

COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS

Una colisión elástica perfecta, se define como aquella en la que no hay pérdida de energía cinética en la colisión. Una colisión inelástica es aquella en

la cual, parte de la energía cinética se cambia en alguna otra forma de energía en la colisión. Cualquier colisión macroscópica entre objetos,

convertirá algo de la energía cinética en energía interna y otras formas de energía, de modo que los impactos a gran escala no son perfectamente

elásticos. En las colisiones inelásticas se conserva el momento, pero uno no puede rastrear la energía cinética en la colisión, ya que parte de ella se convierte en otras formas de energía. Las colisiones en los gases ideales alcanzan la categoría de perfectamente elásticas, así como el caso de las

interacciones de dispersión de partículas subatómicas, que son desviadas por la fuerza electromagnética. Algunas interacciones a gran escala como el

slingshot, un tipo de interacciones gravitacionales entre satélites y planetas son perfectamente elásticas.

Las colisiones entre esferas duras puede ser casi elástica, por lo que resulta útil para calcular el caso límite de una colisión elástica. Considerando la

conservación del momento así como la conservación de la energía cinética, se hace posible el cálculo de las velocidades finales de los dos cuerpos de la

colisión.

Conceptos sobre Colisión

Colisión Elástica

Una colisión elástica se define, como aquella en la cual se cumple la conservación del momento, y la conservación de la energía cinética. . Esto implica que no hay fuerzas disipativas actuando durante la colisión, y que

toda la energía cinética de los objetos antes de la colisión se encuentra todavía en la forma de energía cinética después de la misma.

Para los objetos macroscópicos que entran en contacto en caso de colisión, siempre hay algo de disipación y nunca son perfectamente elástica. Las colisiones entre bolas de acero duro como en el aparato de balanceo de

bolas son casi elásticas.

Las "Colisiones" en el que los objetos no se tocan como en la dispersión de Rutherford o la órbita asistida por la gravedad de un satélite con un planeta, son colisiones elásticas. En la dispersión atómica o nuclear, las colisiones son tipicamente elásticas, debido a que la repulsión por las fuerzas de Coulomb

mantienen las partículas sin contactar entre ellas.

La colisión en los gases ideales es casi elástica, y este hecho se utiliza en el desarrollo de las expresiones para la presión de gas en un contenedor.

Colisión Elástica, Masas Iguales

Para una colisión frontal con un objeto fijo de igual masa, el proyectil se detendrá y el objetivo se moverá fuera con igual velocidad, como un golpe frontal con la bola blanca en una mesa de billar. Esto puede generalizarse diciendo que en un choque frontal elástico de masas iguales, siempre se intercambian las velocidades de las masas

Para una colisión frontal inelástica entre masas iguales, el ángulo entre las velocidades después del choque siempre será de 90 grados. Si elegimos un lugar en la mesa de billar, donde colocamos una bola que al golpearla la bola blanca la envia a una tronera de la esquina, entonces la bola blanca entrará en la otra tronera de la esquina de enfrente.

Colisiones Elásticas, Proyectil Masivo

En las colisiones elásticas frontales donde el proyectil es mucho más masivo que el objetivo, la velocidad de éste después de la colisión será aproximadamente el doble que la del proyectil y la velocidad del proyectil

será esencialmente la misma que antes de la colisión.

Para colisiones no frontales, el ángulo entre el proyectil y el objetivo es siempre inferior a 90 grados. Esto fué importante en el análisis del experimento original de dispersión de Rutherford.

Este caso implica que un tren que se mueva a 60 millas por hora, y golpea una pequeña piedra en el camino, esta saldrá disparada hacia adelante a 110 millas/h. si la colisión fue de frente y perfectamente elástica. Esto también implica que si la velocidad de la estrella de su club de golf es de 110 km / h, la velocidad límite que puede tomar la pelota de golf desde el punto de salida es de 220 millas/h. en el caso ideal. Es decir, la limitación de velocidad de la bola depende estrictamente de la velocidad de su brazo, y no de la cantidad de fuerza muscular que puso en el golpe.

Colisión Elástica, Objetivo Masivo

En un choque frontal elástico entre un pequeño proyectil contra un objetivo mucho más masivo, el proyectil rebotará hacia atrás con esencialmente la misma velocidad y el objetivo masivo tomará una velocidad muy pequeña. Un ejemplo es una pelota rebotando desde el suelo cuando las tiramos hacia abajo

En el caso de una colisión elástica no frontal, el ángulo de la trayectoria del proyectil después de la colisión será de más de 90 grados de la trayectoria del objetivo