Dinámica de fluidos:

1) Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12m2 y 1200 kg de peso. El nivel del agua en el depósito es de 3.5 m de altura.

Calcular la presión en el fondo.

Si se abre un orificio circular de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcúlese el volumen de agua que sale por segundo por este orificio. (Se considera que el área del orificio es muy pequeña frente al área del depósito).

Tomar g=10 m/s2.

Presión atmosférica, pa= 105 Pa

Solución:

2) De un gran depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es PB - PA = 500 Pa.

Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son SA= SC = 10cm2 y SB=20 m2, calcular las velocidades, las presiones del agua en los puntos A, B, de la conducción.

La presión en C es la atmosférica, igual a 105 Pa.

Solución:

3) Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en forma de T de menor sección, colocamos tubos manométricos A y B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura h (5 cm) entre los niveles superiores del líquido en tales tubos.

Sabiendo que la sección del tubo estrecho es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta.

Calcúlese el gasto, si el área de la sección mayor es 40 cm2

Solución:

4) Del depósito A de la figura sale agua continuamente pasando través de depósito cilíndrico B por el orificio C. El nivel de agua en A se supone constante, a una altura de 12 m sobre el suelo. La altura del orificio C es de 1.2 m. El radio del depósito cilíndrico B es 10 cm y la del orificio C, 4 cm. Calcular:

La velocidad del agua que sale por el orificio C.

La presión del agua en el punto P depósito pequeño B

La altura h del agua en el manómetro abierto vertical.

Dato: la presión atmosférica es pa=101293 Pa.

Solución:

5) El gasto en una tubería por la que circula agua es 208 l/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2,

Calcular el desnivel h que se produce en el mercurio.

Dato: densidad del mercurio 13.6 g/cm3

Solución:

6) Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, véase la figura, contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del nivel del líquido en A.

¿A qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E? Expresar la respuesta en función de h1.

Solución:

7) Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas de cada fluido songr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm3 y m2 = 400 gr, considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule:

a) El volumen total de las burbujasb) La densidad de la mezcla.

Solución:

a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.

V 1+V 2+V B=VM…(1)

Despejando VB, obtenemos V B=V M−V 1−V 2…(2)

*VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente forma:

V1 =m1gr/1cm3 = 600 cm3;V2 = m2/400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3

*Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:

V B=1200 cm3−600 cm3−500 cm3=100 cm3

b): La densidad de la mezcla está dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.

ρM=mM

VM=m1+m2+mB

V M=600 gr+400 gr+0

1200 cm3 =0.83 gr /cm3

8) Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, 2 = 0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el volumen de la mezcla es VM = 766.27 cm3, calcular:

a) La densidad de la mezcla.

Solución:

La densidad de la mezcla está dada por

ρM=mM

VM=m1+m2+m3

V M

Sustituyendo m = V, se obtiene

ρM=V 1ρ1V M

+V 2 ρ2VM

+V 3 ρ3VM

=X1 ρ1+X2 ρ2+X3ρ3

ρM=0.435 ¿

9) Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular:

a) La densidad de la aleación,L =?b) El “quilataje” del oro en la aleación

Nota: Un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.

Solución:

a)Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo,ρL=m L

V L, donde mM y VM

son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.

ρL=mM

V M= 12Kg

(0.2m ) (0.1m )(0.05m)=12000K Kg

m3

b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuación 1.10, desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro está dado por:

ρL=¿X Au ρAu+XCu ρCu¿

Con X Au=V Au

V Ly XCu=

V Cu

V L las respectivas fracciones de volumen del oro y del cobre en

la aleación.

Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:

ρL= ρAuX Au+ρCu (1−X¿¿ Au)¿

Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu:

X Au=ρL−ρCuρAu−ρCu

=12000 Kg

m3−8930 kg

m3

19800 Kgm3

−8930 Kgm3

=0.295=V 1

V L=

mAu

ρAuV L

Despejando la masa de oro, de la última ecuación:

mAu=0.295 (ρAu ) (V L)=5.712Kg

Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %= 5.712Kg/12Kg = 47.6% es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán:

1K4.16%

= XK47.6% , entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro

calculado son:

XK= 47.64.16%

=11.45 quilates

Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de

oro.

10) Por una tubería lisa de 8” de diámetro continuo y una longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 °C hasta una altura de 30.9 m. La tubería descarga en un tanque abierto a la presión atmosférica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule:

a) El tipo de régimen del fluido en la tuberíab) La caída de presión en la tubería c) La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con el gasto indicado

Solución:

a) Para saber si el flujo de agua que corre por la tubería es laminar, calculamos el No. de Reynolds.

Re=ρvDη ,

Donde es la densidad del agua, v la velocidad de descarga, D el diámetro de la tubería y la viscosidad del agua a 20°C.Para conocer v aplicamos la ecuación del gasto:

Q=Av

A es el área de sección transversal de la tubería, por lo que la velocidad de descarga es

v=QA

=0.4 x10−3m3/s

π ¿¿

Re=103Kg /m3∗0.0127m /s∗0.2m

10−3 N . s/m2 =2540, régimen no turbulento.

b) En este ejercicio se presentan dos caídas de presión: la primera debida a la viscosidad, el diámetro, el gasto y la longitud de la tubería, representada por la ecuación de Poiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entre la bomba y el punto de descarga.

ΔP=ΔPP+ΔPh…(1)

*De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, la caída de presión en la tubería, PP, debido a la viscosidad, = 10-3 N.s/m2, la longitud, L = 1 Km, el gasto Q = 0.4x10 -3 m3/s, y el diámetro de la misma D = 20 cm, está dada por:

∆ P=8QηLπ R4

=8 x 4 x 10−4m3 /s x 10−3N .s/m2 x 1000m

π R4=10.18 Pa

*Por otro lado, la caída de presión debida exclusivamente a la altura que tiene que vencer la bomba, es:

ΔPh=ϱgh=1000 Kg /m3 x 9.8m/ s2 x30.9m=3.028 x105 Pa , que equivale a 3 atmósferas.

*La caída de presión que tendrá que compensar la bomba Estará dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:

ΔP=10.18Pa+3.02 x105 Pa=3.02 x105 Pa

Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un diámetro de 20 cm en la tubería, la caída de presión debida a la viscosidad es despreciable para agua.Si aumentamos el gasto a valores más prácticos, digamos de 4 lt/s, la velocidad aumenta a 0.127m/s y según el Reynolds el tipo de régimen sería turbulento, Re = 25400. En conclusión la ecuación de Poiseuille tiene una aplicación muy reducida y solo se emplea en casos especiales donde el flujo es laminar, lo que generalmente implica gastos pequeños para tuberías que no tienen diámetros grandes.

c) La presión de la bomba está dada por el producto de la caída de presión por el gasto, es decir

Pot=∆ PxQ=3.02 x105Pa∗4 x 10− 4m3/ s=120.8watts

11) Un tubo capilar de 1 pie de largo y 1/64 pulgadas de diámetro interno está conectado al fondo de un depósito cilíndrico, que tiene una altura de 1 pie y diámetro de 6 pulgadas, lleno de agua, se muestra en la figura adjunto. Calcular:

a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s, cm3/hr )b) La rapidez de caída del nivel del agua en el depósito, dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para la viscosidad del agua. c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en el capilar cuando esta se

agota en el depósito (L1 = 0).

De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, el gasto de fluido a través del área de sección transversal de un tubo cilíndrico de longitud L y radio R, es:

dVdt

=π R4

8ηLΔP…(1)

Donde P es la diferencia de presión entre los puntos separados por la distancia L.

Solución:

a) El flujo de agua a través del capilar se debe a la presión ejercida por el nivel de agua en el depósito más la presión de la columna de agua en el propio capilar, dando lugar a la aplicación de la ecuación de Poiseville en el depósito más la misma en el capilar, lo que se representa de la siguiente forma: 1º. La presión de la columna de agua en el depósito sobre la parte superior del capilar contribuye a que se genere un gasto dado por:

dV 1

dt=Q1=

π R4

8η L2(ρg L1 )…(2 )

Con R el radio del capilar y L2 la longitud del mismo. Como puede observarse en el problema, la diferencia de presiones es proporcionada por la altura de la columna de fluido, P = gL1 en este caso.

2º. La contribución al gasto en el capilar debida a la presión de su propio peso, está dada por

dV 2

dt=Q2=

π R4

8η L2(ρ g L2)… (3 )

De tal forma que el gasto total a través del capilar es:

Q=Q1+Q2=π R4

8η L2ρ g(L¿¿1+L2)…(4)¿

Entonces,

Q=π ¿¿

Q=1.1925 x10−8m3 /s=42.93cm3/h r

Solución inciso b): Como dQdt

=A1d h1dt

, donde A es el área del depósito y dh1/dt la rapidez

con que se baja el nivel de líquido en el mismo.

La ecuación (4) queda:

d h1dt

= π R4

8 A1η L2ρ g (L¿¿1+L2)(5 )¿

Donde R es el radio del capilar y A 1 el área del depósito, por lo que, sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de agua en el depósito para L1 = 12 pulgadas y L2 = 12 pulgadas, queda:

d h1dt

=π (1.984 x 10−4m )4 (1000Kg /m3 )¿¿

¿2.36mm /hr

c) Cuando el depósito se vacía, L1 = 0, y L2 = 12 pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de líquido en el capilar está dada por:

d h2dt

= π R4

8 A2η L2ρ g L2 (6 )

Donde R es el radio del capilar y A2 su área de sección transversal.

d h2dt

=π (1.984 x10−4m )4 x1000 Kg /m3 x 9.8m/ s2

8 π ¿¿

12) Una tubería de 15 cm de diámetro por la cual circula el agua llenándola completamente tiene un estrechamiento de 7,5 cm de diámetro. Si la velocidad en la parte ancha es de 1,2 m/s calcular: a) la velocidad en el estrechamiento, b) el gasto en lt/s.

Datos:

Datos:

D1 = 15 cm

v1= 1,2m /s

D2 = 7,5 cm

a) Por la ecuación de continuidad v1S1=v2 S2… (1)

Donde v1, s1 son la velocidad y la sección a la entrada y v2, s2 la velocidad y la sección correspondiente a la salida de la tubería.

Por lo tanto de (1): 1,2ms. π . 15

2

4cm2=v2π .

7 ,52

4cm2

Simplificando y despejando v2:

v2=1,2ms. 15

2

7 ,52=4,8m/ s

b) El gasto o caudal está dado por la siguiente ecuación: Q v.S y reemplazando:

1,2ms. π . (0,15)

2

4m2=0,02119m

3

s

Q= 21,19 ltss

13) Por un caño horizontal (ver figura) circula un caudal de 10m3 /s de agua (ρ = 1000 Kg/m3 ), calcular: a) La velocidad del agua en una parte donde el caño tiene una sección de 2 m2y en otra parte donde la sección es de 1 m2 . b) Calcular la diferencia de presión que existe entre estas dos secciones. c) ¿Dónde es mayor la presión, en la sección de 2m2 o de 1m2 ?

a) Sabemos que el caudal está dado por la expresión: Q v.S v Q / S … (1)