Dinamica analitica

download Dinamica analitica

of 28

Transcript of Dinamica analitica

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    1/28

    Captulo 2

    Dinmica analtica

    ndice2.1. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . 2.2

    2.2. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2.7

    2.2.1. El principio de DAlembert en coordenadas gene-

    ralizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7

    2.2.2. Forma bsica de las ecuaciones de Lagrange . . . 2.9

    2.2.3. Caso en que las fuerzas provienen de un potencial.Funcin Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11

    2.2.4. Desarrollo explcito de las ecuaciones del movi-

    miento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17

    2.2.5. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19

    2.2.6. Sistemas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24

    2.2.7. Sistemas con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . 2.27

    La dinmica analtica comprende una serie de mtodos cuya caracters-

    tica principal es el tratamiento puramente abstracto, analtico, de los sis-temas mecnicos. De esta forma, se separan al mximo las consideracionesfsicas y geomtricas necesarias para definir el movimiento, de las puramen-te matemticas para plantear y solucionar las ecuaciones. Las primeras sonnecesarias para formular las coordenadas, enlaces y magnitudes cinticasde un sistema dado; una vez realizada definicin de un sistema mediante laadecuada seleccin de las magnitudes anteriores, los mtodos de la mecnicaanaltica permiten obtener las ecuaciones de la dinmica (o las condicionesde la esttica en su caso) de forma casi automtica.

    El iniciador de estas tcnicas fue Joseph Louis Lagrange, a partir de la

    2.1

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    2/28

    2.2 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    publicacin de su obra Mcanique Analytique1 en 1788. Lagrange introdujonumerosos conceptos empleados hoy da en la mecnica y en las matemti-cas: formul las ecuaciones que llevan su nombre para la dinmica; colocsobre bases slidas el clculo de variaciones; fue el inventor de las palabrasderivada y potencial; etc.

    Otra figura clave en la mecnica analtica fue William Rowan Hamilton2,ya en el siglo XIX (1805-1865). En su obra busc una gran generalidad,desarrollando una teora por la que el movimiento se puede reducir a labsqueda y diferenciacin de una sola funcin (la integral de la accinS). El punto de vista de Hamilton result muy frtil, resultando bsico paraotros campos como la mecnica cuntica, desarrollada posteriormente en elsiglo XX.

    2.1. Coordenadas generalizadas

    Un planteamiento bsico de la mecnica analtica es la descripcin delos sistemas mediante coordenadas generalizadas.

    Definicin: Se denominancoordenadas generalizadas a un conjunto cual-quiera de parmetros {qi, i = 1, 2, . . . , n}, que sirven para determinar demanera unvoca la configuracin del sistema.

    Estos parmetros en principio pueden ser cualesquiera, sin necesitar serhomogneos en cuanto a dimensiones. Por ejemplo, se pueden mezclar longi-tudes, ngulos, etc. Una idea clave, subyacente en la eleccin de coordenadasgeneralizadas, es que stas pueden englobar en su propia eleccin los enlacesdel sistema (todos o al menos una parte de ellos). De esta forma se consigueuna doble ventaja: por una parte, el nmero de parmetros es menor queel correspondiente directamente a las coordenadas de todas las partculas.Por otra, el nmero de ecuaciones de enlace se ve igualmente reducido.

    Un conjunto de coordenadas{qi}se denominalibrecuando se pueden

    variar de forma independiente entre s; es decir, si las variaciones de lasmismas, {qi}, se pueden escoger de forma arbitraria. Caso de que no seaas, ser porque existe alguna ligadura que relacione dichas coordenadas,bien de tipo holnomo o no holnomo.

    Cuando las coordenadas generalizadas no sean libres, se deber a que

    1En ella, Lagrange se vanagloriaba de que no haba ninguna figura, como botn demuestra de que los mtodos propuestos estaban libres de casustica geomtrica o topol-gica.

    2Los mtodos de la dinmica hamiltoniana no se tratan en este curso breve, pudindose

    consultar de forma resumida en Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), captulo 12.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    3/28

    Aptdo. 2.1. Coordenadas generalizadas 2.3

    subsisten condiciones de enlace formuladas de manera explcita. Estas setraducirn en relaciones entre lasqi(y tambin sus derivadas qipara enlacesno holnomos). Debido a estas ligaduras el nmero de grados de libertad esen realidad menor que n. Por el contrario, si las coordenadas son libres, sunmero es precisamente el nmero de grados de libertad del sistema.

    Por ejemplo, en el sistema plano rgido de la figura 2.1, al tener unaarticulacin, basta con una nica coordenada angular (n = 1; q1 ).En esta eleccin ya quedan englobados implcitamente los enlaces, tantolos internos (ligaduras de slido rgido) como los externos (articulacin). Elsistema tiene un grado de libertad.

    G

    = q1

    Figura 2.1: El movimiento del slido ar-ticulado de la figura queda descrito poruna nica coordenada generalizada, elngulo. De esta forma se engloban todoslos enlaces, tanto internos (ligaduras deslido rgido) como externos (rtula ci-lndrica enO).

    Supongamos ahora el caso general de un sistema con un nmero finitode partculas (N), sujeto a m ligaduras holnomas y k anholnomas. Serposible su descripcin mediante un conjunto ms reducido de n= 3N mparmetros o coordenadas generalizadas. Esquemticamente:

    {mi, ri, i= 1, . . . , N }+

    m enlaces holnomos

    +k enlaces anholnomos

    {mi, i= 1, . . . , N }, {qj , j = 1, . . . , n}.+

    k enlaces anholnomos

    Esta reduccin en el nmero de coordenadas se efecta gracias a la elimina-

    cin de los m enlaces holnomos, que quedarn implcitos en la eleccin de

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    4/28

    2.4 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    las coordenadas generalizadas. Por el contrario, los k enlaces anholnomosno es posible eliminarlos, debiendo quedar planteados de forma expresa.

    Un caso extremo de reduccin en el nmero de coordenadas es el delslido rgido. Considerado como un medio continuo, es infinitamente sub-divisible, teniendo por tanto un nmero infinito de partculas y por tantode coordenadas. Sin embargo, recordemos (apartado 1.2) que los enlacesinternos del slido (distancia constante entre dos partculas cualesquiera)permiten reducir el nmero de coordenadas generalizadas del slido a 6.

    En general, existirn unas relaciones entre los vectores de posicin decada partcula y las coordenadas generalizadas del tipo:

    ri=ri(qj, t) (i= 1, . . . , N ; j = 1, . . . , n) (2.1)

    A los vectores de posicin de cada partcula {ri} los denominaremos, porextensin, coordenadas vectoriales. Est claro que stas son equivalentesa definir las 3Ncoordenadas cartesianas correspondientes. Por otra parte,stas slo sern libres para un sistema sin ligadura ninguna; en cualquierotro caso, no formarn un conjunto libre.

    Podr existir dependencia del tiempo en la definicin de las coordena-das generalizadas (2.1) cuando se hayan tomado sistemas de coordenadasmviles, o bien cuando haya enlaces mviles.

    A partir de las relaciones (2.1), las velocidades se obtienen derivando:

    ri =n

    j=1

    riqj

    qj+ri

    t , (2.2)

    llamndose por extensin velocidades generalizadas a los trminos qj =dqj/dt.

    Ejemplo 2.1: Se considera un sistema formado por dos masas puntuales(m1, m2)unidas entre s por un hilo sin masa de longitud , estandom1a suvez unida a un punto fijo O por un hilo de igual longitud (pndulo doble). Elconjunto se mueve en un plano vertical. Obtener los grados de libertad y laslas coordenadas libres del sistema as como la expresin de las coordenadascartesianas en funcin de ellas.

    Solucin. El sistema tiene dos partculas en un plano, cuya configuracinen principio estar fijada por sus coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Existendos enlaces holnomos que definen la distancia fija entre m1 y O y entrem2 y m1:

    2 =x21+ y21;

    2

    = (x2

    x1

    )

    2

    + (y2

    y1

    )

    2

    .

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    5/28

    Aptdo. 2.1. Coordenadas generalizadas 2.5

    x

    y

    1

    2

    m1

    m2

    (x1, y1)

    (x2, y2)

    O

    Figura 2.2: Definicin de coorde-nadas y grados de libertad en unpndulo doble

    Por tanto el sistema tiene dos grados de libertad. Al tratarse de un sistemacon enlaces holnomos es posible encontrar un conjunto de 2 coordenadasgeneralizadas libres. En efecto, podemos considerar para ello los ngulos(1, 2). En funcin de ellos las coordenadas cartesianas se expresan como:

    x1= sen 1 , y1= cos 1;

    x2= sen 1+ sen 2 , y2= cos 1 cos 2 .

    Ejemplo 2.2: Se considera ahora dos masas m0 y m1 unidas por un hilosin masa de longitud constante . La masam0se mueve segn una recta ho-rizontal con velocidad impuesta v, mientras que m1 permanece en el mismoplano vertical. Obtener los grados de libertad y las las coordenadas libresdel sistema as como la expresin de las coordenadas cartesianas en funcinde ellas.

    m1

    x

    yv

    x0+vt

    (x1, y1)

    m0

    Figura 2.3:Definicin de coordenadasy grados de libertad en un pndulo cu-ya base tiene un movimiento prescri-to, con velocidad constantev. Se con-sidera que en el instante inicial la po-sicin dem0 esx0.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    6/28

    2.6 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Solucin. El sistema consta en principio de dos masas, aunque la primeratiene su movimiento totalmente prescrito, por lo cual no es objeto de estudiomediante las ecuaciones de la dinmica. La otra masa tiene dos coordenadascartesianas(x1, y1)sujetas a un enlace holnomo,

    2 =x21+x22

    , por lo cual elsistema posee un solo grado de libertad. Podemos tomar como coordenadalibre el ngulo , expresndose:

    x1=x0+ vt + sen ; y1= cos .

    Se observa en la ecuacin anterior que la expresin de x1 depende explci-tamente del tiempo. Esto es debido al enlace mvil (movimiento impuesto)de m0. Asimismo, podemos considerar que el sistema de coordenadas (ge-

    neralizadas) para definir la posicin de m1 es mvil, ya que el origen de lascoordenadas polares est en m0.

    Ejemplo2.3: Establecer los grados de libertad, coordenadas generalizadasy enlaces de un sistema formado por dos partculas A y B, unidas por unavarilla rgida sin masa de longitud l. El conjunto se mueve sobre un planohorizontal liso, existiendo en A un pequeo cuchillo que obliga a que esepunto se mueva segn la direccin de la varilla (figura2.4).

    BG

    x

    y

    A

    Figura 2.4: Sistema de dos partculas A yB, unidas rgidamente, con cuchillo en elapoyo de A que materializa un enlace an-holnomo.

    Solucin. Al estar en un plano, se precisan en principio 4 coordenadas carte-

    sianas para definir la configuracin,{xA, yA, xB, yB}. Estas se hallan sujetasa 2 condiciones de enlace. Primeramente, el enlace holnomo correspondien-te a la varilla rgida entre A y B

    (xB xA)2 + (yB yA)

    2 =l2.

    Por otra parte, la condicin de apoyo mediante el cuchillo de cargas en Aresulta en imponer que la velocidad de este punto lleve la direccin de lavarilla, lo que constituye un enlace anholnomo:

    xA(yB yA) + yA(xB xA) = 0.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    7/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.7

    El sistema posee por tanto 2 grados de libertad. Podran escogerse coorde-nadas generalizadas que eliminen el enlace holnomo (aunque no el anhol-nomo). Tomaremos para ello las coordenadas del centro de masas (x, y)y elngulo formado con el eje x, un total de tres coordenadas. En funcin destas, la velocidad de A se expresa comovA = (x+

    l2

    sen )i+(y l2

    cos )j,y la normal a la varilla es n= sen i+cos j. La condicin del enlace esva n= 0, resultando

    x sen + y cos l

    2= 0. (2.3)

    De esta forma, el sistema queda definido por tres coordenadas generalizadassujetas a una ecuacin de enlace anholnomo. A pesar de que tiene dos

    grados de libertad, debido a la naturaleza de este enlace no es posible definirexplcitamente un conjunto de dos coordenadas libres.

    2.2. Ecuaciones de Lagrange

    2.2.1. El principio de DAlembert en coordenadas generali-zadas

    Sea un sistema sometido a enlaces lisos. El principio de DAlembert(1.94) expresa:

    Ni=1

    (fi miri) ri= 0, {ri} compatibles. (2.4)

    En esta expresin fi incluyen slo las fuerzas activas, excluyendo las reac-ciones de los enlaces lisos.

    Considerando una variacin (es decir, infinitesimal y a tiempo cons-tante) de las coordenadas en (2.1), se obtienen los desplazamientos virtuales:

    ri=

    nj=1

    ri

    qj qj , i= 1, . . . , N . (2.5)

    Ntese que en esta expresin no existe trmino ri

    tt, ya que t = 0 para

    un desplazamiento virtual. La variacin se realiza en un instante fijo detiempo, no a lo largo del movimiento. En esto difiere de los desplazamientosinfinitesimales reales a lo largo del movimiento, que a partir de (2.2) seran

    dri=n

    j=1ri

    qj

    dqj+ri

    t

    dt .

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    8/28

    2.8 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Sustituyendo (2.5) en (2.4) y reorganizando el orden de las sumas i, j:

    nj=1

    Ni=1

    firiqj

    Ni=1

    miririqj

    qj = 0, {qj} compatibles. (2.6)Analicemos con mayor detalle cada uno de los dos trminos dentro del

    corchete en esta expresin. El primero define unos coeficientes escalares quellamaremos Fuerzas generalizadas:

    Qjdef=

    Ni=1

    firiqj

    j = 1, . . . , n . (2.7)

    Es inmediato comprobar que Qj son precisamente los coeficientes deqj enla expresin del trabajo virtual W:

    W =Ni=1

    fi ri=Ni=1

    finj

    riqj

    qj =n

    j=1

    Ni=1

    firiqj

    qj. (2.8)

    El segundo trmino de (2.6) se puede expresar como:

    N

    i=1

    miri

    ri

    qj=

    d

    dt N

    i=1

    miri

    ri

    qjN

    i=1

    miri

    d

    dt ri

    qj (2.9)Para lo que sigue, debemos precisar que consideraremos la dependenciafuncional de todas las magnitudes cinticas sobre el conjunto de variablesindependientes (qj, qj , t). Esta aclaracin precisa el significado de las de-rivadas parciales. As, /qj() indicar la derivada parcial respecto de lacoordenadaqj, mantenindose constantes el resto de coordenadas qk (k=j)as como las velocidades qj y el tiempo t.

    Para continuar el desarrollo de la expresin (2.9), establezcamos antes

    dos igualdades que ser necesario emplear:

    1. ri

    qj=

    riqj

    .

    Demostracin. En efecto, desarrollando el primer trmino,

    riqj

    =

    qj

    ri n

    k=1riqk

    qk+ri

    t =n

    k=1riqk

    kj =riqj

    .

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    9/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.9

    2. d

    dt

    riqj

    =

    riqj

    .

    Demostracin. En efecto, desarrollando ambos trminos por separado:

    d

    dt

    riqj

    =

    nk=1

    2riqjqk

    qk+ 2riqjt

    ;

    riqj

    =

    qj

    nk=1

    riqk

    qk+ri

    t

    =

    nk=1

    2riqkqj

    qk+ 2ritqj

    ,

    siendo ambas expresiones iguales, por la igualdad de las derivadascruzadas.

    Empleando estos dos resultados y la definicin de energa cintica, T def

    =Ni=1

    1

    2mir

    2i , la ecuacin (2.9) resulta:

    Ni=1

    miririqj

    = d

    dt

    Ni=1

    miririqj

    Ni=1

    miririqj

    = d

    dt

    T

    qj

    T

    qj, (2.10)

    Finalmente, empleando (2.7) y (2.10), el principio de DAlembert (2.4) que-da expresado en coordenadas generalizadas como:

    nj=1

    d

    dt

    T

    qj

    T

    qj Qj

    qj = 0, {qj}compatibles (2.11)

    Esta expresin, al tratarse del principio de Dalembert, puede ser conside-rada por tanto como ecuacin fundamental de la dinmica.

    Conviene notar que en (2.11) no se emplean fuerzas fsicas en ningntrmino. Tan slo entran los coeficientes Qj , fuerzas generalizadas, calcu-ladas directamente a partir de la expresin (2.7) o como coeficientes deltrabajo virtual W (2.8) segn se ha dicho. Al igual que en el principiode DAlembert, en la definicin de Qj tampoco intervienen las fuerzas dereaccin de los enlaces lisos, que no realizan trabajo virtual.

    2.2.2. Forma bsica de las ecuaciones de Lagrange

    La expresin (2.11) es completamente general por lo que se puede aplicar

    a cualquier sistema, tanto con enlaces holnomos como no holnomos. En el

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    10/28

    2.10 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    caso en quetodos los enlaces sean holnomos, ser posible siempre establecerun conjunto de coordenadas libres {qj}, en el que las variaciones {qj} sepuedan escoger de manera arbitraria, manteniendo la compatibilidad conlos enlaces. En este caso, (2.11) equivale a enunciar que cada uno de loscoeficientes de las {qj} ha de anularse:

    d

    dt

    T

    qj

    T

    qj=Qj , (j = 1, . . . , n). (2.12)

    Estas expresiones son las llamadas ecuaciones de Lagrange, en su formabsica.

    Observaciones:

    En (2.12) existe una ecuacin por cada grado de libertad, por lo quela eleccin de coordenadas generalizadas libres conduce directamenteal mnimo nmero de ecuaciones dinmicas.

    Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir deri-vadas temporales de los trminos T/qj , que dependen, a su vez, deqj).

    De las ecuaciones (2.12) han quedado eliminadas todas las reaccionesde enlace que no realizan trabajo virtual, correspondientes a los enla-ces lisos. Esto contrasta con las ecuaciones procedentes de los teoremasNewtonianos en las que, en principio, deben considerarse tambin es-tas reacciones.

    Una vez evaluadas las expresiones de T y de Qj , las ecuaciones deLagrange se pueden obtener de forma automtica sin ms que apli-car las reglas analticas de derivacin correspondientes a (2.12). Esposible incluso automatizar su obtencin mediante una programacin

    adecuada de sistemas de matemtica simblica, como MAPLE, MAT-HEMATICA, MACSYMA, etc.

    El significado fsico del trmino d

    dt

    T

    qj

    en (2.12) es el de las fuerzas

    de inercia. Para comprobarlo, tomemos como coordenadas las propiascoordenadas vectoriales rj :

    d

    dt T

    rj= d

    dt

    rj N

    i=11

    2mir

    2i=

    d

    dt(mjrj) =mj rj .

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    11/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.11

    Los trminosT /qj pueden interpretarse como fuerzas ficticias pro-cedentes de la eleccin de coordenadas generalizadas {qj}. En casode que stas sean simplemente las componentes cartesianas de losvectores {ri}, desapareceran. Estas fuerzas se aaden a las fuerzasgeneralizadasQj en la direccin de qj.

    En el caso en que las coordenadas{qj}no sean libres, sus variaciones{qj} no pueden ser arbitrarias, y no es posible llegar a ecuacionescomo las (2.12). Es necesario partir de la ley fundamental (2.11) yemplear tcnicas especiales de resolucin, segn se discute en el apar-tado2.2.7.

    2.2.3. Caso en que las fuerzas provienen de un potencial.Funcin Lagrangiana

    Si las fuerzas aplicadas proceden de un potencial V,

    fi= gradi V =V

    ri,

    las fuerzas generalizadas tendrn entonces la expresin:

    Qjdef=

    Ni=1

    firiqj

    =Ni=1

    Vri

    ri

    qj=V

    qj. (2.13)

    En lo que sigue, admitimos la hiptesis de que el potencial V depende delas coordenadas y posiblemente del tiempo3, pero no de las velocidades4:

    V =V(qj , t) =V(ri, t).

    Sustituyendo (2.13) y agrupando trminos, las ecuaciones de Lagrange (2.12)

    se pueden escribir como:

    d

    dt

    T

    qj

    (T V)

    qj= 0 (j = 1, . . . , n).

    3Ya se ha comentado (apartado 1.1.3) que si el potencial no es constante (es decir,V(ri, t)/t = 0), las fuerzas no son conservativas a pesar de provenir de un potencial.

    4En caso de existir fuerzas de tipo electromagntico, esta suposicin no es vlida, yaque las fuerzas dependen de la velocidad con la que se mueven las partculas con carga.Es posible definir un potencial generalizado dependiente de la velocidad para este caso, yestablecer las ecuaciones de Lagrange correspondientes, aunque que no trataremos aqu

    este aspecto para no complicar el desarrollo.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    12/28

    2.12 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Se define la funcin Lagrangianacomo:

    L(qj, qj , t) def= T(qj, qj , t) V(qj , t);

    al no depender Vde las velocidades, se verifica T/qj =L/qj . De estaforma, las ecuaciones quedan finalmente:

    d

    dt

    L

    qj

    L

    qj= 0, (j = 1, . . . , n). (2.14)

    Estas expresiones constituyen lasecuaciones de Lagrangeen su forma estn-dar, aplicables para sistemas en que las fuerzas provienen de un potencial.

    Es necesario comprender la importancia de la funcin LagrangianaL en

    la caracterizacin dinmica de un sistema: basta con conocer su expresin,L(qj , qj , t), para poder determinar a partir de ella las ecuaciones dinmicas(2.14); toda la informacin dinmica del sistema est por tanto contenidaen la estructura de L(qj, qj , t).

    Ejemplo 2.4: Sea el problema de Poggendorf (ver ejemplo 1.8). Resolverpor los mtodos de la dinmica analtica, obteniendo las ecuaciones de La-grange.

    B

    A

    m2

    x

    x

    m1

    m3

    Figura 2.5: Ejemplo 2.4; Problemade Poggendorf.

    Solucin. El sistema es conservativo, ya que las poleas son lisas y slo actala gravedad. La funcin Lagrangiana es:

    L= TV =

    1

    2 m1x2

    1 +

    1

    2 m2x2

    2 +

    1

    2 m3x2

    3 + m1gx1 + m2gx2 + m3gx3. (2.15)

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    13/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.13

    El sistema tiene en realidad dos grados de libertad slo, ya que existe unenlace holnomo (1.97), que permite escribir:

    x3=2x1 x2; x3=2x1 x2. (2.16)

    Eliminando x3 de (2.15), se expresa la Lagrangiana en funcin de coorde-nadas libres:

    L=1

    2m1x

    21 +

    1

    2m2x

    22 +

    1

    2m3(2x1+ x2)

    2 + m1gx1 + m2gx2m3g(2x1 + x2).

    (2.17)Las ecuaciones de Lagrange se obtienen calculando las derivadas de L:

    ddtL

    x1

    = Lx1

    (m1+ 4m3)x1+ 2m3x2=m1g 2m3g; (2.18)

    d

    dt

    L

    x2

    =

    L

    x2 (m2+ m3)x2+ 2m3x1=m2g m3g. (2.19)

    Estas ecuaciones coinciden con las que se obtuvieron antes (1.101) mediantela aplicacin directa del principio de DAlembert.

    Ejemplo2.5: Para el problema del semidisco calculado anteriormente me-diante las ecuaciones de Newton-Euler (1.6), obtener la Lagrangiana y laecuacin de Lagrange en funcin del grado de libertad (figura2.6).

    C

    G

    O

    R

    d d

    Figura 2.6: Ejemplo2.5 . Semidisco que rueda sin deslizar en una configu-racin genrica, definida por el ngulo . La distancia del centro de masasG valed= 4R

    3.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    14/28

    2.14 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Solucin. El sistema es conservativo, ya que no se produce deslizamientoen la base y las nicas fuerzas que trabajan son las de la gravedad. Estdefinido por un nico grado de libertad(), ya que la condicin de rodadurarestringe dos grados de libertad de los tericos tres que tendra un slidorgido en movimiento plano.

    La funcin Lagrangiana es

    L= T V =1

    2M v2G+

    1

    2IG

    2 M gyG,

    siendo

    IG = 12 16

    92M R2;

    yG = R 4R

    3 cos ;

    v2G =R22 +

    4R

    3

    22 2R

    4R

    32 cos .

    (La expresin devG se obtiene considerando que es la suma del arrastre delcentro del aro R y la rotacin de G alrededor del mismo d.)

    Desarrollando la expresin resulta

    L=1

    2

    32

    8

    3cos

    M R22 M Rg

    1

    4

    3

    . (2.20)

    Realizando las derivadas se obtiene la ecuacin de Lagrange:

    d

    dt

    L

    =

    L

    3

    2

    8

    3cos

    M R2+

    4

    3M R22 sen = M Rg

    4

    3sen . (2.21)

    De esta ecuacin se puede despejar la aceleracin,

    = 8

    2 + g/R

    sen

    9 16 . (2.22)

    Se trata de la misma ecuacin obtenida antes por los procedimientos deNewtonEuler (1.75), aunque ahora de forma mucho ms sencilla.

    Ejemplo 2.6: El pndulo doble de la figura est formado por dos varillas

    rgidas y sin masa, con sendas masas (m1, m2)en los extremos. Las varillas

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    15/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.15

    1

    2

    l

    l

    m1

    m2

    l1

    l1

    l2 (2 1)

    Figura 2.7: Ejemplo2.6.

    estn unidas mediante articulaciones entre s y a un punto fijo. El movimien-to se desarrolla en un plano vertical, sometido al peso propio. Determinar lasecuaciones de la dinmica, empleando como coordenadas (libres) los ngulos(1, 2)(ver figura2.7).

    Solucin. El sistema es conservativo y descrito mediante coordenadas li-bres. La velocidad de m1 es l1 y la de m2 se halla como suma de los dosvectores (figura2.7)l 1 y l2 que forman un ngulo (2 1). Con todo, la

    Lagrangiana resulta:

    L= T V =1

    2m1l

    221+1

    2m2l

    2

    21+

    22+ 212cos(2 1)

    + m1gl cos 1+ m2g(l cos 1+ l cos 2). (2.23)

    Derivando la Lagrangiana se obtienen las ecuaciones de Lagrange:

    d

    dt L

    1

    = L

    1

    (m1+ m2)l21+ m2l

    22cos(2 1) m2l222 sen(2 1)

    + (m1+ m2)gl sen 1 = 0 (2.24)

    d

    dt

    L

    2

    =

    L

    2

    m2l21 cos(2 1) + m2l

    22+ m2l221sen(2 1)

    + m2

    gl sen 2

    = 0. (2.25)

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    16/28

    2.16 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Unicidad de la funcin Lagrangiana

    La eleccin de una funcin Lagrangiana para representar un sistema

    no es nica. Para comprender esto basta considerar un potencial distintoque difiera en una constante aditiva (V =V +cte.), como sabemos, estosdos potenciales son equivalentes por completo. Por tanto, dos Lagrangianasque difieran en una constante tambin sern equivalentes. Este resultadose puede generalizar, ya que es posible comprobar que dos Lagrangianasque difieran entre s en una derivada total de alguna funcin que dependaexclusivamente de coordenadas y tiempo, son equivalentes5.

    En efecto, sean Ly L tales que

    L

    (qj, qj , t)

    def

    = L(qj , qj , t) +

    d

    dt F(qj , t); (2.26)

    siendo F(qj, t) una funcin cualquiera de qj y t pero no de las velocidadesqj . Por la definicin funcional de F, desarrollando la derivada temporal:

    L L=dF

    dt =

    nk=1

    F

    qkqk+

    F

    t,

    y las contribuciones de este trmino en las ecuaciones de Lagrange son:

    ddt

    qjdF

    dt= d

    dtF

    qj= n

    k=1

    2

    Fqjqk

    qk+ 2

    Fqjt

    qj

    dF

    dt

    =

    nk=1

    2F

    qkqjqk+

    2F

    tqj

    Como se ve, al restar ambos trminos en (2.14) se anulan entre s, y elresultado neto, de emplear L, son las mismas ecuaciones dinmicas quepara L.

    Caso de fuerzas no conservativas

    En los casos en que existan algunas fuerzas que procedan de un potencial

    (QVjdef= V/qj) y otras que no (QNj ):

    Qj =QVj + Q

    Nj =

    V

    qj+ QNj ,

    5Las transformaciones que ocasionan una variacin de L de este tipo se denominantransformaciones de gauge, trmino proveniente del ingls, aunque la traduccin directa

    en castellano transformaciones de galga no parece tampoco muy atractiva.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    17/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.17

    es posible definir una Lagrangiana parcial L= T V, resultando entonceslas ecuaciones:

    d

    dt

    L

    qj

    L

    qj=QNj , j = 1, . . . , n (2.27)

    donde slo aparecen expresamente las fuerzas no conservativas QNj .

    Transformaciones admisibles de coordenadas

    Las coordenadas generalizadas empleadas son una eleccin, es fcil com-prender que no son nicas. Por ejemplo, en lugar de una coordenada qjpodra igualmente haberse considerado un mltiplo de esta qj para cual-quier = 0. Si se emplean unas coordenadas distintas vlidas {qj} estasdarn lugar a un conjunto de ecuaciones de Lagrange tambin distintas pe-ro equivalentes. La condicin general para admitir otras coordenadas puederesumirse en que la transformacin sea regular, es decir que el determinantede su jacobiano no se anule6:

    qjqi = 0 . (2.28)

    2.2.4. Desarrollo explcito de las ecuaciones del movimiento

    Expresiones de la energa cintica y momentos generalizados

    La energa cintica es una funcin cuadrtica de las velocidades. Estapropiedad se conserva al expresarla en coordenadas generalizadas. En efecto,desarrollando su expresin a partir de (2.2) se obtiene en el caso general

    T =Ni=1

    1

    2mir

    2i =T2+ T1+ T0 , (2.29)

    6

    Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 7.2.3.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    18/28

    2.18 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    siendo T2 un trmino cuadrtico en funcin de qj, T1 lineal y T0 indepen-diente de qj:

    T2=n

    k,l=1

    1

    2aklqkql, siendo akl

    def=

    Ni=1

    miriqk

    riql

    (2.30)

    T1=n

    k=1

    akqk, siendo akdef=

    Ni=1

    miriqk

    ri

    t (2.31)

    T0=Ni=1

    1

    2mi

    rit

    2(2.32)

    En el caso en que no exista dependencia explcita del tiempo en la de-finicin de las coordenadas generalizadas (ri/t = 0), la expresin de laenerga cintica ser cuadrtica homognea en qj,

    T =T2 =n

    k,l=1

    1

    2aklqkql , (2.33)

    esto suceder si no se emplean sistemas de coordenadas mviles ni hayenlaces renomos (es decir, dependientes del tiempo).

    Por otra parte, los momentos generalizados se definen como

    pjdef=

    L

    qj(j = 1, . . . , n); (2.34)

    admitiendo que el potencial no depende de las velocidades, se obtiene

    pj = T

    qj =

    nk=1

    ajk qk+ aj. (2.35)

    Forma general de las ecuaciones

    En funcin de los momentos generalizados, las ecuaciones de Lagrange(2.14) pueden reescribirse como

    pj L

    qj= 0 (j = 1, . . . , n). (2.36)

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    19/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.19

    Desarrollando estas expresiones puede comprobarse7 que la forma ms ge-neral de las ecuaciones puede expresarse como

    nk=1

    ajk qk+n

    l,k=1

    [kl,j]qkql+n

    k=1

    jk qk+n

    k=1

    ajkt

    qk+aj

    t

    T0qj

    +Vqj

    = 0 ,

    (2.37)donde se han empleado los coeficientes

    [kl,j] def=

    1

    2

    ajkql

    +ajlqk

    akl

    qj

    , (2.38)

    jk =kjdef=

    ajqk

    akqj

    (j, k= 1, . . . , n) . (2.39)

    En las ecuaciones (2.37) se distinguen trminos proporcionales a las acelera-ciones(qk), trminos cuadrticos en las velocidades(qkql), trminos linealesen las velocidades (qk) y por ltimo trminos independientes.

    2.2.5. Integrales primeras

    Coordenadas cclicas

    Partiendo de las ecuaciones de Lagrange expresadas en la forma (2.36),

    si la funcin Lagrangiana L no depende explcitamente de una coordena-da qj es decir, L/qj = 0, se verifica la conservacin del momentogeneralizado correspondiente:

    si L

    qj= 0 pj =cte. (2.40)

    Se dice entonces que qj es una coordenada cclica o ignorable. Las ex-presiones (2.40) constituyen integrales primeras del movimiento, ya que son

    ecuaciones en las que intervienen slo derivadas primeras de las coordena-das.Se puede interpretar el significado de las coordenadas cclicas consideran-

    do que, si una coordenada qj es cclica, se puede sustituir(qj)por (qj+ C),siendo Cuna constante, y las ecuaciones no varan. Esto se debe a que Lno depende de qj , y por otra parte qj es invariante ante ese cambio. Por elcontrario, hacemos notar que el hecho de que una coordenada sea cclica noquiere decir que su valor sea constante, ni tampoco la velocidad generalizadacorrespondiente.

    7

    Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 7.2.4

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    20/28

    2.20 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Sin embargo, para una coordenada cclicaqj , ser posible eliminar de lasecuaciones la velocidad correspondiente qj , empleando la integral primera(2.40). Si el sistema tiene n grados de libertad, de los que k correspondena coordenadas cclicas, se podrn eliminar stas y quedar descrito el mo-vimiento mediante dos conjuntos desacoplados de ecuaciones: k ecuaciones(2.40) para las coordenadas cclicas, y (n k) ecuaciones (2.14) para lasdems coordenadas. El problema se ve considerablemente simplificado, pro-cedindose en primer lugar a resolver estas ltimas (n k)ecuaciones; unavez resueltas, se obtiene el valor de las k coordenadas cclicas8.

    Es posible extender el concepto de coordenada cclica para el caso enque las fuerzas no procedan de un potencial. Para ello se define el momentogeneralizado en direccin j como

    pjdef=

    T

    qj.

    La condicin de coordenada cclica ser entonces:

    si T

    qj= 0 yQj = 0 pj =cte.

    Integral de Jacobi o de la Energa

    En ocasiones es posible obtener una integral primera cuyo significadoest relacionado con la energa total del sistema a partir de la funcin La-grangiana. Para ello, observamos que la derivada total de L respecto deltiempo es

    d

    dtL(qj , qj , t) =

    nj=1

    L

    qjqj +

    nj=1

    L

    qjqj+

    L

    t.

    Sustituyendo a partir de (2.14), L/qj = d

    dt(L/qj), y operando:

    dL

    dt =

    nj=1

    d

    dt

    Lqj

    qj+

    nj=1

    L

    qjqj+

    L

    t =

    d

    dt

    nj=1

    L

    qjqj

    + Lt

    Agrupando los trminos con derivadas totales, se deduce

    d

    dt

    nj=1

    L

    qjqj L

    =L

    t,

    8En Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 12.7 se describe el procedi-

    miento general de Routh para proceder a esta reduccin.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    21/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.21

    de donde se obtiene la expresin de la llamada integral de Jacobi:

    si L

    t = 0, h def

    =

    nj=1

    L

    qj qj L= cte (2.41)

    Observaciones:

    En el caso en que ri/t = 0, segn vimos, la energa cintica es unaexpresin cuadrtica homognea en qj . Entonces, a partir de (2.29,2.30):

    T =T2 L

    qj=

    n

    k=1 ajk qky por tanto

    h=n

    j=1

    L

    qjqj L= 2T2 (T2 V) =T2+ V =T+ V,

    por lo que h (2.41) coincide en este caso con la energa total, T+ V.

    Pudiera darse el caso de que ri/t = 0 y, por tanto, T+V = h =pjqj L, pero que esta expresin no se mantenga constante por serL/t = 0. Esto ltimo ocurrir si V(qj, t)/t = 0, siendo en estecaso el sistema no conservativo desde el punto de vista fsico aunquelas fuerzas procedan de un potencial.

    Por otra parte, en los casos en que existan sistemas de coordenadasmviles se verificar, como se ha dicho, ri/t = 0 y por tanto h =

    pjqjL=T+ V. Sin embargo, puede que exista la integral de Jacobi(si L/t = 0), aunque su significado fsico no ser en este caso laconservacin de la energa. Un ejemplo tpico de esta situacin es

    el de una referencia mvil pero inercial, con velocidad de traslacinconstante y rectilnea (cf. ejemplo2.8)

    Conservacin de la energa. Otra manera ms directa de obte-ner una integral de la energa es observando que, si las fuerzas son todasconservativas, la energa se mantiene constante (1.45). En este caso, bastacon expresar dicha ecuacin en funcin de las coordenadas generalizadaspara obtener, en el marco de la dinmica analtica, la integral primera de laenerga, equivalente a (2.41). Recordemos que para que las fuerzas sean con-

    servativas, adems de provenir de un potencial, ste debe ser estacionario

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    22/28

    2.22 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    (V/t = 0). En funcin de las coordenadas generalizadas, esta condicinse impone de la siguiente forma:

    siV tal que Qj =V(qj , t)

    qj, siendo

    V

    t = 0 y

    tri(qj , t) =0

    E=T+ V =cte.

    Hacemos notar que, en la expresin anterior, para establecer la constanciadel potencial V, ha sido necesario aadir la condicin (ri/t)(qj, t) = 0,es decir, que no existan sistemas de coordenadas mviles. Otra manera ms

    compacta de expresar la constancia deVsera en funcin de las coordenadasvectoriales, mediante la condicin V(ri, t)/t = 0.

    Por el contrario, en el caso en que el potencial V no sea constante,aplicando el principio de la energa cintica (1.44),

    dT =Nk=1

    V(ri, t)

    rk drk =dV +

    V(ri, t)

    t dt

    por lo que

    d(T+ V) = V(ri, t)t dt= 0,

    es decir, no se conserva la energa T+V. Hacemos la observacin de queen la expresin anterior se emplea la derivada parcial respecto del tiempoen relacin con las coordenadas vectoriales (absolutas), que es en generaldistinta de la derivada cuando se consideran coordenadas generalizadas (po-siblemente relativas o mviles):

    V(ri, t)

    t =

    V(qj , t)

    t .

    Ejemplo 2.7: Sea el sistema formado por la masa m1 que puede deslizarlibremente sobre una recta horizontal, y m2 unida mediante una varillargida y sin masa a m1, pudiendo girar libremente en un plano vertical.

    a. Considerando los parmetros (libres) (x, ) (ver figura 2.8), obtenerlas ecuaciones de Lagrange e integrales primeras que hubiere.

    b. Considerando ahora que se impone una velocidad constantev a m1,discutir la existencia de integrales primeras.

    Solucin.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    23/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.23

    x l

    m2

    x

    l

    m1

    Figura 2.8: Ejemplo2.7.

    a. Desarrollando la funcin Lagrangiana resulta:

    L= T V =1

    2m1x

    2 +1

    2m2 x

    2 + l22 + 2lx cos + m2gl cos . (2.42)Observamos que no depende explcitamente de x, por lo que sta es unacoordenada cclica:

    L

    x = 0 px=

    L

    x =m1x + m2(x + l cos ) =(cte.) (2.43)

    La ecuacin de Lagrange en la otra coordenada es:

    d

    dt

    L

    =

    L

    m2l

    2 + m2xl cos + m2gl sen = 0. (2.44)

    En esta ecuacin aparece tanto como la coordenada cclica x. Es posibleeliminar esta ltima para obtener una ecuacin diferencial funcin exclusi-vamente de las coordenadas no clicas. Para ello, en primer lugar se despejaderivando (2.43)

    x= m2

    m1+ m2

    l cos + l2 sen

    ,

    y sustituyendo en (2.44) resulta finalmente:

    m2l1

    m2m1+ m2

    cos2

    +

    m22

    m1+ m2l22 sen cos + m2gl sen = 0.

    (2.45)Por otra parte, todas las fuerzas son conservativas luego la energa total Ese conserva:

    E=T+ V

    =1

    2m1x

    2 +1

    2m2

    x2 + l22 + 2lx cos

    m2gl cos (cte.). (2.46)

    Tambin puede razonarse que la Lagrangiana no depende del tiempo expl-citamente, por lo que la integral de Jacobi h (2.41) es constante, y adems

    coincide con la energa Eal no haber coordenadas mviles.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    24/28

    2.24 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    b. El sistema queda ahora con el nico grado de libertad . La la-grangiana es:

    L= 12

    m1v2 +1

    2m2(v

    2 + l22 + 2vl cos ) + m2gl cos . (2.47)

    Ahora la energa total no se conserva, ya que se realiza un trabajo externopara mover m1 con la velocidad impuesta v. Sin embargo, L no dependeexplcitamente del tiempo por lo que existe la integral de Jacobi:

    L

    t = 0 h=

    L

    L

    =1

    2 m1v

    2

    +1

    2 m2(v

    2

    + l2

    2

    + 2vl cos ) m2gl cos (cte.).(2.48)

    2.2.6. Sistemas naturales

    Llamaremossistema naturala un sistema descrito por las ecuaciones deLagrange en su forma estndar (2.14), en el que exista la integral de Jacobicomo constante del movimiento(L/t= 0)y la energa cintica sea funcincuadrtica homognea de las velocidades generalizadas(T =T2).

    Como se ha comentado antes (apartado2.2.5), en este caso la integral deJacobi resulta tener un significado fsico claro, la energa total del sistema,

    h= T+ V.

    Al conservarse h se mantiene igualmente constante la energa, resultandoconservativo desde el punto de vista fsico.

    Teniendo en cuenta que en un sistema natural los coeficientes en lasecuaciones (2.31, 2.30) cumplen aj = 0 y aij/t = 0, las ecuaciones del

    movimiento tienen una expresin considerablemente ms sencilla que en elcaso general (2.37), resultando

    nk=1

    ajk qk+n

    k,l=1

    [kl,j]qkql+V

    qj= 0 (j = 1 . . . , n). (2.49)

    En esta expresin se observa que las velocidades generalizadas qj intervienennicamente en trminos cuadrticos.

    Podemos observar que un sistema holnomo con integral de Jacobi, en

    el que fuese T1 = 0 pero T0 = 0, tiene ecuaciones del movimiento muy

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    25/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.25

    similares a (2.49), ya que T0 puede considerarse agrupado con la energapotencial V,

    V =V T0,

    de forma que la energa cintica restante es una expresin cuadrtica ho-mognea en las qj, al igual que en un sistema natural.

    Ejemplo 2.8: Sea un sistema formado por una masa y un resorte lineal,capaz de moverse en una direccin, unido en su base a un punto que setiene un movimiento impuesto con velocidad uniformev0. Seal0 la longitudnatural del muelle,k su constante, yx la elongacin respecto de la natural.Discutir la existencia de una integral primera de la energa.

    m

    v0 k

    l0 + x Figura 2.9: Sistema formado por una ma-sam y un muelle de constantek y longitudnaturall0, capaz de moverse en direccinx,cuya base tiene un movimiento impuesto develocidad constantev0.

    Solucin. La energa cintica es

    T =1

    2m(v0+ x)

    2

    por lo que sus componentes homogneas son

    T2=1

    2mx2; T1=mv0x; T0 =

    1

    2mv20.

    La energa potencial es

    V =1

    2 kx2

    .

    Se comprueba inmediatamente que L/t= 0, por lo que existe la integralde Jacobi, que vale

    h= T2 T0+ V =1

    2mx2

    1

    2mv20+

    1

    2kx2.

    En este ejemplo, T0 es constante, por lo que la conservacin de h conducetambin a la conservacin de T2 + V, aunque ambas constantes tengan

    distinto valor.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    26/28

    2.26 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    Otro procedimiento para analizar este ejemplo sera, considerando queel sistema de referencia mvil con la base es inercial, realizar los clculosrelativos a l:

    T =1

    2mx2;

    V =1

    2kx2.

    En este caso obtendramos un sistema natural, en el que se conserva laenerga total T + V. Observamos que sta coincide con T2+ V relativa alsistema fijo inicial, que ya habamos visto se conservaba.

    Ejemplo 2.9: Un disco circular de radio a, situado en un plano horizon-tal, tiene un movimiento de rotacin impuesto alrededor de su centro convelocidad constante. En su permetro est anclado un muelle, de longitudnaturalr0, que en su otro extremo tiene una masam. Obtener las ecuacionesdel movimiento e identificar los trminos giroscpicos9.

    t

    r

    m

    A

    P

    Figura 2.10:Disco que gira convelocidad constante , con unresorte fijado en su permetro,al cual est sujeta a su vez unapartcula de masam.

    Solucin. Para calcular la energa cintica debemos expresar antes la velo-cidad del puntoP, lo que puede hacerse a travs del movimiento relativo aldisco,

    9Se denomina as a los trminos lineales en las velocidades y con coeficientes hemi-simtricosjk en las ecuaciones (2.37), vase Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010),

    apartado 7.2.8.

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    27/28

    Aptdo. 2.2. Ecuaciones de Lagrange 2.27

    vP =vA+vP|A

    = [a sen(t) r(+ ) sen(t + ) + r cos(t + )] i

    + [a cos(t) + r(+ )cos(t + ) + r sen(t + )]j

    La expresin de la Lagrangiana es

    L=m

    2

    a22 + r2(+ )2 + r2 + 2ar(+ )cos + 2ar sen

    k

    2(rr0)

    2.

    Las ecuaciones de Lagrange resultan

    mr mr2 2mr mr2 ma2 cos + k(r r0) = 0

    mr2

    + 2mrr + 2mrr+ mar2

    sen = 0

    En la primera ecuacin respecto ar el trmino giroscpico es2mr ,y en la segunda ecuacin respecto a el trmino correspondiente es+2mrr. La matriz de coeficientes hemisimtricos es por tanto

    [ij ] =

    0 2mr

    2mr 0

    .

    Estos trminos son los que corresponden al desarrollo de la energa cintica,

    T =T2+ T1+ T0;

    T2=1

    2m(r22 + r2),

    T1=m(r2 + ar cos + ar sen ),

    T0=1

    2m2(a2 + r2 + 2ar cos ),

    de donde se deduce

    ar =T1

    r =mar sen , a =

    T1

    =mr2+ mar cos ;

    r =ar

    ar

    =2mr, r =r = 2mr

    2.2.7. Sistemas con ligaduras

    Sea un sistema descrito mediante coordenadas generalizadas {qj}no li-bres. En este caso, las variaciones{qj} no pueden considerarse arbitrarias

    y el sistema est gobernado por la ecuacin fundamental de la dinmica

  • 7/25/2019 Dinamica analitica

    28/28

    2.28 Captulo 2. DINMICA ANALTICA

    (2.11). Si el sistema admite potencial Vse puede escribir esta ltima ecua-cin en funcin de la Lagrangiana L:

    nj=1

    ddt

    Lqj

    L

    qj

    qj = 0, {qj}compatibles. (2.50)

    Al no ser arbitrarias las variaciones{qj}, estando sujetas a restricciones delos enlaces, no se pueden eliminar de la ecuacin anterior.

    No resulta posible elegir un conjunto de coordenadas libres si existenenlaces anholnomos en los que intervienen las velocidades, del tipo:

    (qj, qj , t) = 0 .

    Existe un mtodo general para resolver estos sistemas anholnomos conligaduras, mediante el empleo demultiplicadores de Lagrange. Su desarrolloexcede los objetivos de este curso y por tanto no se incluye aqu, pudiendoconsultarse en otros textos10.

    10

    Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 7.4.