DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA

Nombre: Daniel Felipe Arcila Valencia

Matrícula: 706372

Tutor: Sono Daniel David

El Conjunto de los números Reales

Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en

forma decimal.

Ejemplos:

Subconjuntos Importantes de los Reales

Los números naturales o de conteo

Los enteros no negativos

Los enteros

Racionales a y b son enteros y b 0

División para cero 3 casos

Respuesta Infinita

R = Reales

Q = Racionales

Q´ = Irracionales

Z = Enteros

F = Fraccionarios

N = Naturales

Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.

Ejemplos:

Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es

periódico.

Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.

Ejemplos:

=1,4142…

= 1,73205…

π = 1,14159…

e = 2,718…

Observación y notación de intervalos

El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos

comparar dos números reales cualesquiera.

Símbolo Definición Se Lee

a>b a-b es positivo a es mayor que b

a<b a-b es negativo a es menor que b

a≥b a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que b

a≤b a-b es negativo o cero A es menor o igual que

b

Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.

Recta numérica

Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.

-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞

Recta numérica real

Intervalos acotados de números reales

Notación de

Intervalo

Tipo de Intervalo Notación de

Desigualdad

Gráfico

[a,b] Cerrado a≤x≤b a b

(a,b) Abierto a<x<b a b

[a,b) Semi abierto a≤x<b

(a,b] Semi abierto a<x≤b

Los números a,b son extremos de cada intervalo.

Intervalos no acotados de números reales

Notación de Intervalo Notación de Desigualdad Gráfico

[a, -∞) x≥a

(a,+∞) x>a

(-∞, +b] x≤b

(-∞, +b) X<b

Guía N°1

(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3

-1 < x ≤ 3

-∞ +∞

(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8

-3 8

X ≤ -7 x es menor o igual a -7

(-∞;-7]

-∞ +∞

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números

(constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.

Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.

Ejemplos:

Términos:

Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)

Jerarquía de Operaciones de mayor a menor

Potenciación y radicación

Multiplicación y división

Suma y resta

Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.

Propiedades de los números reales

Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.

1.- Propiedad Conmutativa

Suma: u+v = v+u

Multiplicación: uv=vu

2.- Propiedad Asociativa

Suma: (v+v)+w= u+(v+w)

3- Propiedad de la Identidad

Suma: u+o=u

4.- Propiedad del Inverso:

Suma: u+(-u)

Multiplicación: u. = 1, u ≠ 0

5.- Propiedad Distributiva

Multiplicación sobre la suma:

U(v+w)=uv+uw

(u+v)w=uw+vw

Multiplicaciones sobre la resta

u(v-w)=uv-uw

(u-v)=uw-vw

Propiedad del inverso activo

Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.

Propiedad:

Propiedad Ejemplo

–u(-u) = u (-u) * v = u * (-v) = -(u*v) (-u) * (-v) = u* v (-1) * (u) = -u

-(-2) = 2

(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12

– (u+v) = (-u) + (-v) (-6) * (-8) = 6 * 8 = -10

-1* (10) = -10

-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16

Exponentes Enteros:

Si a es un número real y n es un número entero o positivo.

Exponente ( )

N veces a

Potencia n de a

base

Ejemplos:

Exponente 0

Definición: Si a es un número real diferente de 0.

Ejemplos:

Exponente Negativo

Definición: Si a es un número real y n un número entero.

Ejemplos:

Principales Teoremas de Exponentes

Teoremas

Guía N°2

Identifique la base. No calcule el valor

Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no

son cero.

Notación Científica

Se dice que un número x está escrito en notación científica si

donde

Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o

muy pequeños.

Ejemplos:

Gúgol =

Gúgolplex =

Gúgol dúplex =

Exponente Fraccionario

Ejemplos:

Radicación

Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente:

Ejemplos:

Definición de elementos de un radical

Raíz n-sima de a

Cantidad Subradical

Simplificación de Radicales

Fundamento 1

Ejemplo.

Factorización Numérica

18 2

9 3

3 1

1

Fundamento 2:

Ejemplo:

Guía N°3

Evaluar las siguientes raíces.

-

=

=

=

Guía N°4

Racionalización de denominadores

En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.

Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el

valor de la función.

Fundamento:

Guía N°5

=

=

=

Polinomios

Expresiones Algebraicas

Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados

mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división,

potenciación, radicación.

Ejemplos:

Polinomios:

Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable

únicamente operaciones suma, resta o multiplicación.

Ejemplos:

Forma general de un polinomio en la variable.

Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.

Grado: n

Variable: x

Término Independiente:

Coeficiente Líder:

Tipos de Polinimios

Monomios:

Los polinomios que tienen un termino igual.

Binomios:

Los polígonos que tienen dos términos igual.

Trinomios:

Los polinomios que tienen 3 términos o igual.

Polinomios:

Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.

Guía N°6

Grado: 9

Coeficiente Líder: -8

Grado: 4

Coeficiente Líder: 7

Término Independiente: -14

Variable: x

Grado: 5

Coeficiente Líder: 1

Término Independiente: 3

Variable: q

Operaciones con Polinomios

Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos

semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

Guía n°6

Sume colocando un polinomio debajo del otro:

y

Multiplicación de Polinomios

3.

4.

5. –

6.

Ejemplo:

Guía N°6

Regla

Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.

Productos Notables

Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se

puede hacer directamente sin realizar la multiplicación.

Algunos Productos Notables

Demostración

Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una

variable.

Ejercicios Guía N°7

Escriba el polinomio a b

a

b

y

3y 20

14.

15.

16.

17.

FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS

Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y

restas en productos.

Ejemplo:

Factorizar:

Factor común:

Proceso:

Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.

Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada

término para el factor común.

GUÍA N°8

FACTOR

A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.

En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego

si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da

factorado.

Nota:

La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es

necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al

polinomio.

Determine el factor común por agrupación

15.

Forma a Forma b

18.

TRINMIO DE LA FORMA

Procedimiento:

Se escriben dos paréntesis [(.

Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es

“x”.

En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y

en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del

trinomio.

Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del

segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del

trinomio.

Ejercicios:

El polinomio es primo por que no existen factores.

TRINOMIO DE LA FORMA

Procedimiento:

Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.

Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma

Simplificar la respuesta

Ejemplos:

42.

Demostración:

41.

Solución:

El polinomio es primo no existen factores.

48.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Fundamento:

Ejemplo:

52.

57.

59.

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo Guía N°9

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE

CORRESPONDE UN EJERCICIO

Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.

Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de

términos (cantidades separadas con signos + o -)-

Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de , suma o diferencia de

potencia al cuadrado.

Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma

Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.

Guía N°9

EXPRESIONES RACIONALES

Son expresiones de la forma .

Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.

Ejemplos:

VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN

Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable

que hagan 0 a 1 o más denominaciones.

Ejemplos:

En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”

En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”.

En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos

Ejercicios propuestos por los estudiantes:

Guía 6:

Guía 7:

10x

25

5

2x

Guía 8:

Guía 9:

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Fundamento:

Ejemplo Guía N 10:

OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES

Multiplicación:

Fundamento:

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

Proceso:

Para sumar y restar

Se factoran los denominadores.

Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o

el producto de ellos.

Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada

resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.

Sumar y Restar

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS

Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.

Pasos simplificados:

Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que

quede una fracción en cada uno de ellos.

Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.

Ejemplo:

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números

Reales) y la expresión “i” que cumple lo siguiente: i= ;

Ejemplos:

1) α= 2+3i

2) β= -1+5i

3) ε= -3+ i

4) 7i

5) 4

Igualdad de números complejos

a+bi= c+di ≡a=c; b=d

Ejemplos guía numero 13:

Ejercicio 18

2+3i=x+yi ≡2=x; 3=y

x=2; y=3

Ejercicio 19

6+yi=x-6i ≡6=x; y=-6

x=6; y=-6

Ejercicio 20

(-2-7i)-3= x-(-1+yi) ⇔ -5=x+1; -7=-y

-5-7i=x+1-yi x=6; y=7

Operaciones con números complejos

Suma y Resta de números complejos: Para sumar o restar números

complejos se simplifica términos semejantes.

1) (9-5i)+(8+9i)

=9+5i+8+9i

=17+4i

2) (-7+5i)-9

=-7+5i-9

=-16+5i

3) (5-i)+(6- )

=5-i+6-

=11-(1+

Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio

de dos productos de cual es quiera.

1) 4i(3-8i)= 12i - 32

=12i -32(-1)

=32+12i

2) (3+6i)(4+9i)= 12 +27i+24i+54

=12+51i+54(-1)

=-42+51i

División de números complejos: Se debe multiplicar el numerador y

denominador por el conjugado del denominador.

Conjugado ≡α= a+bi;ἆ= a-bi

Ejemplo:

29) = = =

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números

(constantes); relacionados mediante operaciones algebraicas (suma, resta,

multiplicación,división,potenciación,radicación).

Ejemplos:

1)

2)

3)

Términos: Los términos son cantidades separadas por signos (+ o -).

Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones Lineales: Son ecuaciones de la forma ax+b=0, donde a y b son

números reales y a≠0.

ax + b = 0 →

↓

Ejemplo:

1)

2)

3)

Resolución de un Ecuación de 1er. Grados:

Fundamento:

1)

2)

3)

4)

- Se realizan las operaciones que tenga la expresión hasta expresarla en

la forma ax+b=0

1er. Termino

2do. Termino

Ejercicios guía 14

Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO

1)

2)

Despejar de la formula dada la incógnita indicada.

17) ; Despejar

Inecuaciones de 1er Grado en una variable

Son desigualdades de la forma ax+b<0; ax+b≥0

ax + b > 0 →

↓

Fundamentos:

1)

1er. Miembro

2do. Miembro

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ejemplos:

1) 3

2)

3)

4)

Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable.

1) Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta

dejarla en la forma ax+b .

2) Se despeja x

Ejemplos:

1) 3

3x

X

Solución = ( ;+∞)

S=

-∞ 2/3 +∞

2) -2

-2x

X

Solución = (-∞; 2]

S=

-∞ 2 +∞

Inecuaciones con valor Absoluto

Fundamento

1)

2)

Ejemplo:

Resolver:

=

2da. Inecuacion

1era. Inecuacion

Solución = [-1; 4]

S=

-∞ - 1 4 +∞

Solución = (-∞,2)

S=

-∞ -2 12 +∞

Guía 16

Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.

3)

=

= (x+8) (x-2) = 0

X1= -8 X2=2

S= {-8,2}

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de raíz

cuadrada.

9)

=

=

X1= 2 X2=-2

S= {2,-2}

Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado

perfecto.

17)

=

=

X1= X2=

S= { , }

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando la formula general

21)

A= 1

B= 3

C= -10

X1= X2=

S= { }

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES

Fundamento:

1) Forma de la ecuación:

- La grafica siempre es una parábola.

2) sí “a” es “+” entonces la parábola se abre hacia arriba.

3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo

- La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula

Ejercicios Guía 17

1) “a” es “+” la parábola se abre hacia arriba.

A=1

B=6

C=8

= 3

Interceptos con el eje “x”

0

Ejercicios Guía 17

“a” es “-” la parábola se abre hacia abajo.

A=1

B=6

C=8

= -1

Interceptos con el eje “x”

0

VALOR ABSOLUTO

Definición:

El valor absoluto de un número real “a” se representa ” y se obtiene de la

siguiente forma

Ejemplo:

- Resuelta la ecuación determine si no tiene soluciones

Ejercicios Guía 17

S=

Comprobación

-

-

S=

NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente.

SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

S=

Comprobación

-

-

SOLUCION GRAFICA “IGUALAMOS A “Y” “

x y

-2 3

0 3

2 3

4 3

5 3

6 3

x y

-2

4

-1

3

0 2

1 1

2 0

3 1

4 2

5 3

6 4

ECUACIONES RACIONALES

Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio.

INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de la forma

; donde P(x) es un polinomio.

Ejemplo:

1. (X+5) (X+3)

2. (2X-3) (X+2)(X+1)(X-4)

3.

SOLUCION DE UNA ECUACION POLINOMIAL:

Método Abreviado: El método se aplica a inecuaciones polinomiales

comparados con cero, en las que todas las variables tienen coeficientes

positivos.

PROCEDIMIENTO:

1. Se ubica en la recta numérica dados los valores que hacen cero a cada

factor de 1er grado, con lo que la recta numérica queda dividida en

intervalos.

2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por

el “+”, “-“.

3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o

negativos, según la inecuación sea cuando es se

incluyen los extremos de los intervalos.

NOTA: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares, no influyen en

la respuesta y pueden ser omitidos.

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