Difraccin por Varios Objetos 2009-10DIFRACCIN DE FRAUNHOFER POR VARIOS OBJETOSAutores: Grupo de laboratorio:Nmero de pareja:Fecha:Toma y anlisis de datosA pesar de que la pantalla estaba dividida en unidades ms pequeas, hemos usado una regla, laculsu precisin erademilmetros. Por lo tanto,la magnitud para visualizar mejorlas rendijassonlosmilmetros(yaqueestamos hablando de rendijas,hablar de metros no es apropiado). Precisin de la regla: 1 mmLongitud de onda del lser de He-Ne utilizado = 632.8 nmValor de la focal: f = 200 mmPatrn de difraccin de diafragmas circulares calibrados (2a = dimetro). Indiquelosdimetrosdelosdosdiafragmascirculareselegidosparacalibrar lapantalla. Justifique la eleccin.Hemosescogidocomodimetrosde medida 0.3 y 1.0 mm.La eleccin se debe a que no podamos apreciar conexactitudladistanciaentremnimos. Hemosrealizadolamedida desde el punto medio de cada mnimo de refraccin. Medida del dimetro de la circunferencia de mnima intensidad d en el monitor para el orden n de difraccinDireccin verticalOrden n1 n2 n3 n4 n5 n6d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)2a = 0.3 36 64 88 1181/12Difraccin por Varios Objetos 2009-102a = 1.0 11 20 30 39 42 47Direccin horizontalOrden n1 n2 n3 n4 n5 n6d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)d t 1 ( mm)2a = 0.3 37 65 96 1242a = 1.0 11 19 27 35 43 53Clculo terico de los dimetros dteo de las circunferencias de mnima intensidad para los rdenes n de la figura de difraccin obtenida en el plano imagen:Cuando se produce difraccin a travs de un orificio circular con un dimetro determinado, el patrndedifraccinobservadoenlapantallasecomponedecrculosconcntricos, unos oscuros (mnimos) y otros brillantes (mximos).Ladistribucindeintensidadesenel planodeobservacinopantallavienedeterminado mediante:En donde J1 corresponde con la funcin de Bessel para orden 1.Atendiendo a l expresin anterior, los mnimos (coronas oscuras) aparecen cuando el argumentode la funcin de Bessel corresponde con:n=1y=1.22n=2y=2.233n=3 y=3.238n 4 y=(0.240+n) Si sustituimos en el argumento de la funcin obtenemos:y kasen Debido a que el valor del ngulo es pequeo, podemos aproximarlo y calcular el valor del radio de cada mnimo del patrn de difraccin que se forma en el chip de la cmara.af yxfxsen2'' En donde x es el radio de las coronas oscuras. As que el valor terico del dimetro ser el doble:af ydteo2'2 Nota: Su incertidumbre puede ser considerada como nula, ya que todas las magnitudes que intervienen en su determinacin no estn afectadas de error.2/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10Orden n1 n2 n3 n4 n5 n6dteo(mm)dteo (mm) dteo (mm) dteo (mm) dteo (mm) dteo (mm)2a =0.31.03 1.88 2.73 3.582a = 1.0 0.31 0.57 0.82 1.07 1.33 1.58Determinacin del aumento del sistemaEl esquema utilizado enel laboratorio produce unpatrn de difraccin sobre unchip conectado a un monitor, ete chip produce un aumento al visualizar la figura de difraccin en el monitor.En funcin del elemento que difracte utilizaremos una figura u otra.El aumento producido se calcular mediante el cociente entre la distancia medida sobre el monitor y la distancia calculada para el chip mediante la expresin de la intensidad.

- Calcular el aumento del sistema, M. Expresin empleada: M=teodd- Expresin empleada para calcular M : Debido a que es una determinacin indirecta su error se calcula mediante:( )teoddM ddMM ,_

22Direccin verticalOrden n1 n2 n3 n4 n5 n6M t M M t M M t M M t M M t M M t M2a =( ) 65 , 0 97 , 34 t ( ) 53 , 0 97 , 33 t ( ) 37 , 0 21 , 32 t ( ) 28 , 0 98 , 32 t2a =( ) 2 , 3 6 , 35 t ( ) 8 , 1 4 , 35 t ( ) 2 , 1 6 , 36 t ( ) 93 , 0 34 , 36 t ( ) 75 , 0 67 , 31 t ( ) 63 , 0 76 , 29 tDireccin horizontalOrden n1 n2 n3 n4 n5 n6M t M M t M M t M M t M M t M M t M2a =( ) 97 , 0 94 , 35 t ( ) 53 , 0 50 , 34 t ( ) 37 , 0 14 , 35 t ( ) 28 , 0 66 , 34 t2a =( ) 2 , 3 6 , 35 t ( ) 8 , 1 6 , 33 t ( ) 2 , 1 9 , 32 t ( ) 93 , 0 61 , 32 t ( ) 75 , 0 42 , 32 t ( ) 63 , 0 56 , 33 t-- Indiquecmohasolventadolaincertidumbrequesuponeel grosorfinitodelos mnimos.Debido a que los mnimos no son de grosor finito pequeo, sino que son grandes, para medir hemos tomadodesdeel extremoizquierdadedondeestnlos valores negativos delos rdenes, hasta el extremo de la izquierda de los valores positivos (para la medida horizontal). Paralavertical hemosmedidoel extremodearribatantoel delamedidadeabajopara rdenes negativos como para arriba, para rdenes positivos).3/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10-- Consideraque hay diferencias significativas entre la direccinhorizontal yla vertical?Por qu?En general no hay diferencias, y esto es debido a que hay isotropa, es decir, obtenemos los valores midiendoendistintas direcciones, ennuestrocasotantoenhorizontal comoen vertical, aunque para la rendija de dimetro 1.0 mm vemos que para rdenes superiores a n=3 hay alguno que se separan ms de lo normal, es decir, normalmente se nos separan un poco debido a que nada es exacto, pero para estos dos casos, es un poco grande.-- Considera necesario calcular un aumento vertical y otro horizontal? Por qu? Paradeterminarsiesnecesarioarrastrar dos aumentos , uno para cada direccin vamos a calcular los valores medios, mediante una media ponderada y posteriormente comparar los dos intervalos en los cules estn incluidos.Si los dos intervalos contienenunnmerosignificativodepuntos encomn, podremos afirmar que no hay anisotropa significativa.( )( )( )tiiiiiiiMMMMM222111-- Valor del aumento: ) (mm Mvertical) (mm Mhorizontal( ) 13 , 0 98 , 33 t ( ) 11 , 0 45 , 34 t[ ] 11 , 34 85 , 33 [ ] 57 , 36 34 , 34 Seobserva que los dosintervalos comparten gran nmero de puntos, por lo que podemos concluir que la anisotropa no es significativa, y tomaremos como aumento del chip la media ponderada de los dos valores representativos calculados.Valor final:( ) 10 , 0 78 , 32 t MEstime el tamao de diferentes objetos a partir de medidas directas realizadas sobre su patrn de difraccin ampliado en la pantalla. Enesta parte del experimentovamos adeterminar el tamaode ciertos objetos cuyas dimensionessonmuy pequeasayudndonos de la difraccin que estos producen al hacer incidir el haz de lser. Posteriormente, compararemos los valores obtenidos con los medidos mediante el microscopio comparador.Los objetos utilizados son:- Cuadrado- Rendija estrecha- Hilo- Mina de portaminas4/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10Mediante el dispositivo experimental podemos observar en el monitor el patrn de difraccin de cada uno de los objetos y mediante la toma de medidas sobre l podemos hallar fcilmente las dimensiones de los objetos.El chip produce un aumento determinado sobre el patrn de difraccin, debido a que ya lo hemos calculado anteriormente podemos hallar las distancias reales.El procedimiento a seguir es:- Medir las distancias sobreel monitor: Estas medidas sondirectas ysuerror corresponde con el error sistemtico de la regla, es decir, 1mm.- Calcular la medida sin amplificar: Se consigue mediante el cociente de la medida tomada entre el aumento calculado.Clculo de las dimensiones de los objetos a partir de:( )1 2 1 22'n nafx x En donde es la longitud de onda del lser utilizado, 2 corresponde con las dimensiones de cadaobjeto, (el dimetroolaanchura),( )1 2n n esladiferenciadelosrdenesdelos mnimos y 1 2x x son las distancias medidas.Comparacin con el valor medido en el microscopio.-Cuadrado:Cuadrado1 2n n 1 2x x (mm)dchip (mm) 2a (mm)Horizontal 13 1 140 t049 , 0 271 , 4 t 10 , 0 39 , 0 tVertical 10 1 102 t050 , 0 111 , 3 t 15 , 0 41 , 0 t5/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10Genere uncuadrado condos rendijas. Si quitamos una de las dos rendijas, los mximos ymnimos que se obtienenenlafigura de difraccincoincidenconlas posiciones en las que aparecan cuando las dos rendijas estaban cruzadas? S,(aproximadamente).-Rendija estrecha:En este apartado hemos utilizado una rendija cuya anchura se encontraba tabulada y corresponda con 0.4mm. 1 2n n 1 2x x (mm)dchip (mm) 2a (mm) dterico (mm)6/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10Rendija 14 1 139 t049 , 0 240 , 4 t 01 , 0 42 , 0 t 40 , 0- Enestecasonohasidonecesariomedirlaanchuradelarendija conel microscopio comparador debido a que su valor ya estaba establecido.- Se observa que ambos valores se encuentranprximos,aunque podemos concluir que el valor tabulado no se encuentra dentro del intervalo de error de la medida realizada.- Hilo: (Nota: No hemos podido proporcionar imagen)En estecaso, enlugardehacerpasar la luz porunaabertura,la difraccin seproduceal interponer un hilo en el camino ptico, aunque parezca lo contrario, el patrn de difraccin resultante es el mismo del que dispusiramos de una abertura cuyas dimensiones sean iguales que las del hilo. 1 2n n 1 2x x (mm)dchip (mm) 2a (mm) dmicroscopio (mm)Hilo 6 1 120 t050 , 0 431 , 3 t 15 , 0 22 , 0 t 01 , 0 22 , 0 t- En este caso ha sido necesario medir la anchura del hilo con el microscopio comparador debido a que su valor no estaba tabulado.- Se observa que coincide con el valor medido.- Es una buena medida,pero si atendemos a los errores es ms preciso el microscopio.- Mina de portaminas:(Nota: No hemos podido proporcionar imagen)En esta apartado hemos medido el dimetro de una mina de portaminas, el procedimiento a seguir es el mismo que para el resto de objetos, y en cuanto a las medidas con el microscopio se realizan de igual manera que si estuviramos tratando un hilo. 1 2n n 1 2x x (mm)dchip (mm) 2a (mm) dmicroscopio (mm)Mina 12 1 105 t050 , 0 002 , 3 t 20 , 0 51 , 0 t 01 , 0 52 , 0 t- Si nos centramos en los errores es ms preciso el microscopio.- Valores obtenidos muy parecidos: Los dos valores son muy prximos, de hecho el valor medido con el microscopio se encuentra dentro del intervalo de la medida determinada.- Comparacin con el valor tabulado:La mina utilizada procede de un portaminas de 0.5mm, y podemos observar como el valor obtenido es muy cercano al tabulado. Como consecuencia, podemos concluir que el valor obtenido es correcto.Clculo de errores:- Valores tomados del monitor: Sonmedidas directas y su error corresponde con el sistemtico, ya que han sido determinadas una sola vez.- Error de la distancia sobre el chip: Debido a que es una determinacin indirecta suerror procededelasumacuadrticadelas derivadas parciales delas dos magnitudes que intervienen en su determinacin.7/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10( ) ( )( )( )11]1

,_

+

,_

21 21 222 2x xx xMMd dchip chip- Error de las dimensiones: Esta magnitud tambin es una determinacin indirecta ypor tantosuerror secalculadeigual maneraqueenel error anterior ysu expresin corresponde con:( ) ( )( ) ( )( )221 21 2 1 22 2'2 2

,_

x xx x n n fa aEndondenm 8 , 632 ;feslafocal delalenteutilizada,mm f 200 ' ; y 1 2n n ,corresponde con la diferencia de los rdenes de los mnimos.-Errorenlamedidadelmicroscopio:Enestecaso,porsermedidasdirectasdela incertidumbre corresponde con la mnima divisin apreciable. En nuestro caso, 0,01 mm.Dibuje y comente el patrn de difraccin producido por al menos dos de los siguientes objetos:(a) un orificio circular, Observaremos una serie de crculos concntricos donde se suceden zonas oscuras (mnimos) y zonas brillantes (mximos). El dimetro de estos depende de las dimensiones del orificio.8/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10(b) dos pequeos orificios circulares, Al hacer pasar el haz de luz por dos orificios circulares, ambos producen difraccin, pero adems se da otro fenmeno, el de interferencia, ypor eso el patrn observado correspondecondosseriesdecrculosconcntricossuperpuestosentreellos, esdecir, se aprecia la famosa interferencia de Young . En la siguiente fotografa se ve ms claro (sacada de Internet):9/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10(c) un trozo de tela, Latelaestconstituidaporungrannmerodeorificiosdedimensionespequeas. Estos difractan la luz, y debido al gran nmero de ellas los haces difractados interfieren entre ellas.(d) un orificio triangularSepuedeapreciarcomosi fueranloslados deltringulo,pero pordesgracia nopodemos verlo con claridad.10/12Difraccin por Varios Objetos 2009-10Cuestiones finalesa)Seobservaladifraccinporunaaberturaenel planofocal imagendeunalente convergente. Indiquecomovariarel patrndedifraccinsi secambialadistancia entre la aberturadifractante ylalente despus de la abertura teniendo en cuentala abertura finita de dicha lente.El estudio que estamos haciendo corresponde a la difraccin de Fraunhofer, es decir, cuando elpatrnseobservaadistanciasmuygrandesparaquepuedanserconsideradascomoel infinito. En nuestra configuracin experimental, utilizamos una lente convergente y situamos el chip en el plano focal de la lente para poder observar la difraccin. Esto es debido a que los rayos llegan paralelos a la lente y convergen en un mismo punto en el plano focal.Por tanto, ladistanciaquenopuedenser variadaseslente-chip, yaquenoseformara imagen,perola distanciarendija-lente si que puede ser variada, ya que los rayos llegarn paralelos entre s y convergern en un mismo punto.b) Haga un dibujo cualitativo del patrn de difraccin originado por 2 aberturas cuadradas separadas una distancia b.En este caso se dan dos fenmenos juntos, el de difraccin y el de interferencia, como consecuencia obtendremos un patrn de interferencia modulado por el difraccin.En nuestro caso observamos que la anchura para el patrn de difraccin de dos rendijas es menor que la del patrn de una.c) Considerando que la cmara tiene un tamao de pxel A A y que la distancia focal de la lente es f, podra estimar el tamao mximo de la abertura que se podra resolver utilizando el montaje experimental del laboratorioSi consideramos el tamao mximo 1 2x x como A la solucin pedida ser:( )1 2'2 n nAfa 11/12Difraccin por Varios Objetos 2009-1012/12