Dificultades Aprendizaje Matemáticas
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Las dificultades que se presentan para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
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Agradecimientos
En colaboración con Abdulgawi Al-Zubaidi, Sheila Bailey, Wei-Hsiung Chiu, Anastasia Christakis, Chris Donlan, Ann Dowker, Delyth Lloyd, Elizabeth J. Newton, Neil O’Connor, Katerina Samella y Anna-Anaïs Toli
Gracias a la Fundación Nuffield por su apoyo.
Contenido
CurrículumProblemas verbales de razonamientoNúmeros naturales: contar y calcularFracciones y porcentajes
Currículum
Todo el mundo está de acuerdo en que los niños deben estudiar las matemáticas en la escuela.
Pero no hay acuerdo respecto a qué tipo de matemáticas.
Las diferencias surgen de intentar anticipar las necesidades de la vida cotidiana, las necesidades laborales y las necesidades de los estudios posteriores en matemáticas u otras materias.
Una respuesta común es intentar satisfacer todas las necesidades.
Currículum sobrecargado
Limita cómo enseñan los docentes – sienten que no tienen tiempo para enseñar como piensan que debían hacerlo (Desforges & Cockburn, 1987).
Obliga a los docentes de la secundaria y la educación media superior a depender de las tareas.
Estimula un mercado de clases particulares fuera de la escuela.
Limita cómo aprenden los alumnos – algunos se quedan atrás y se dan por vencidos, otros se vuelven “instrumentales” haciendo sólo lo que tengan que hacer para aprobar los exámenes.
Hace poco probable que mejore el gusto por las matemáticas.
Realización del currículum
En el pasado, la Escuela Primaria se centraba en la aritmética – las necesidades de la vida cotidiana y del trabajo.
Incluso desde este enfoque, el logro de los niños era causa de preocupación.
Ya en 1870 los inspectores de las escuelas en el Reino Unido se lamentaban de la incapacidad de los niños para resolver problemas.
Los inspectores actuales se lamentan de lo mismo.
Los problemas verbales de razonamiento
Muchos libros de texto y muchos exámenes utilizan este tipo de problemas para desarrollar y evaluar la habilidad de los alumnos para aplicar la aritmética a la resolución de problemas de la vida real.
Algunos alumnos tienen dificultades con este tipo de problemas.
¿Muestra esto un problema con su comprensión de la aritmética?
De un libro para niños de 6 años
3p 9pLa diferencia de precio es
7p2p ¿Cuánto vale más el papalote que el balón?
Los juegos de ir de compras
Se utiliza a menudo para que los niños muy pequeños practiquen la aritmética.
Los precios son poco realistas e inconsistentes, y los problemas no tienen en cuenta las preferencias personales, p. ej., “No quiero comprar un balón - ya tengo uno”.
Lo anterior puede enseñar a los niños: “No te preocupes por la realidad, sólo concéntrate en las matemáticas”.
Un problema para niños mayores
Un Toyota Corolla nuevo cuesta aproximadamente $19,000. En promedio, pierde el 18% de su valor cada año.
¿Cuánto valdrá en 2 años?¿En cuántos años valdrá menos de
$10,000?
La depreciación
¿Qué tipo de función debe utilizarse? Si fuera un problema de contabilidad, la
depreciación lineal sería la apropiada. Si sabes algo de carros, sabes que un carro
pierde una cantidad significativa de su valor, desde el momento en que se compra.
Quizá nunca pagues lo que vale el carro. El costo y el valor no son equivalentes. La depreciación depende también de las
condiciones del carro.
Cuestiones sobre los problemas verbales de razonamiento
Los problemas verbales pueden ser indicadores inadecuados del conocimiento matemático:
si el vocabulario es desconocido si no se comparte el conocimiento del contexto si hacen uso del conocimiento realista en formas
no realistasSe desconoce si el desarrollo de la habilidad para
resolver problemas verbales, ayuda a los niños a dominar las exigencias aritméticas de la vida cotidiana.
Número
Los números que enseñamos van incrementando su nivel de complejidad desde:
números naturales (números enteros positivos) cero y números enteros negativos otros números racionales – porcentajes,
fracciones y decimales otros números reales – π y e hasta números imaginarios √ -1
Entender los números
Implica saberrelacionarlos apropiadamente con las
cantidadesordenarlos – magnitud relativaleerlos y escribirlos – dominar la anotaciónrealizar operaciones aritméticas con ellos
– el cálculo y los principios
Números naturales
Entraré en detalle sobre lo que la mayoría de los niños habrá aprendido acerca de los números naturales a los 10 años de edad, esto debido a que:
Es un logro considerable que implica aprender principios, habilidades y productos culturales.
Es la base de las matemáticas posteriores.
Los retrasos y deficiencias en la suma y resta de números naturales son comunes en niños que experimentan dificultades con las matemáticas.
La importancia de contar
Aprender a contar verbalmente desempeña un papel importante en el dominio de los números naturales.
Es la base para relacionar los números con las cantidades numéricas y para determinar equivalencias.
Permite entender la secuencia de los números, y ayuda a aprender a leer y escribir los números.
Permite resolver cualquier problema de cálculo en la aritmética de números naturales.
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Ilusión del Solitario
¿Qué color parece tener más? ¿Rojo o azul?
¿Realmente son más o tienen la misma cantidad?
¿Cuántos hay de cada color?
Contar para determinar la cantidad numérica
Requiere:Verbalizar la secuencia de numerales de
manera fiable y consistente.Coordinar la verbalización de la secuencia
de numerales con el señalamiento de los elementos del conjunto que tienen que ser contados una sola vez.
Comprender la relación entre la verbalización coordinada y la cantidad numérica (cardinalidad)
La secuencia de numerales
Su dominio implica aprender nombres básicos, nombres multidígitos y reglas de composición.
Los nombres básicos en español, son los nombres de los números del 0 al 15 y las decenas 20, 30, … 90
Los nombres multidígitos corresponden a 100, 1000, etc.
Las reglas de composición tienen que ver con la combinación de palabras para generar números determinados, p. ej., 19, 45 y 106.
El desarrollo de los numerales
Los niños empiezan la escuela con algún conocimiento sobre la secuencia de numerales (varía mucho entre los niños).
En la escuela desarrollan: El rango de números que pueden reproducir Flexibilidad – de tener que empezar por el 1, a
ser capaz de moverse hacia delante o hacia atrásdesde cualquier punto
Fluidez – rapidez y precisión
Bermejo (1996)
Niveles de comprensión de la cardinalidad (numerosidad)
Ninguna comprensión (1), Referencia parcial a elementos en un conjunto (2) Vuelven a contar al preguntarles cuántos son (3) Responden mecánicamente con el último numeral
utilizado (4) Cierta apreciación de que el último numeral
utilizado no siempre es el correcto (5) Respuestas correctas de cardinalidad (6)
Otros principios del conteo
Orden de conteo estable y correspondencia uno-a-uno.
Irrelevancia del orden – mientras que el orden de los numerales sea correcto y cada elemento sea contado una y solo una vez, no importa por dónde se empiece.
Las evaluaciones demuestran mejoras significativas en la comprensión de los principios del conteo, del preescolar a los primeros años de primaria (Cowan et al. 1996; LeFevre et al., 2006)
Contar para comparar
Los niños pequeños que cuentan un conjunto de elementos cuando se les pregunta “¿cuántos son?”, a menudo no cuentan cuando se les pide que comparen conjuntos.
Posiblemente no sepan cómo adaptar el conteo. (Saxe, 1977; Sophian, 1987)
Quizá les falte confianza al contar. Posiblemente desconozcan los límites de otras
bases, p. ej., características globales como la longitud.
Longitudes iguales
Números desiguales (LIND)
Muestras de conflicto entre número y longitud
Longitudes desiguales
Números iguales (LDNI)
Longitudes desiguales
Fila corta con más elementos (LDFC)
¿Cuándo confían los niños en el conteo?
Cowan (1987) comparó los juicios de niños preescolares, de 5 y de 6 años, en diversas situaciones
Únicamente evaluó a los niños con cantidades numéricas que podían contar, y se aseguró de que cada fila se contara bien.
Pocos preescolares emitieron juicios consistentes con lo que habían contado; los niños de 5 años acertaron en las situaciones con números pequeños; solo los de 6 años tenían también éxito en las versiones con números mayores.
En general, las situaciones LDNI son más fáciles que los LDFC.
¿Por qué?
Otros métodos, p. ej., la aprehensión rápida de la cantidad numérica y la correspondencia visual, pueden apoyar la confianza en el conteo en conjuntos con pocos elementos.
En conjuntos más grandes, la aprehensión rápida no es aplicable y es más difícil emplear la correspondencia visual.
Cuando al contar los conjuntos obtienen números diferentes, es necesario tener conocimiento de la magnitud relativa para determinar cuál es mayor.
Magnitud relativa
El conocimiento de magnitud relativa está integrado en la secuencia del conteo.
Pero los niños no están conscientes de ello.
Conocen la magnitud relativa de números menores de 10, aproximadamente 2 años después de ser capaces de contar hasta ese número.
Normalmente, el conocimiento de la magnitud relativa hasta el número 100 queda establecido a los 8 años.
Transcodificar
La habilidad de traducir entre números hablados y escritos.
Al aprender a contar, los niños aprenden a decir los números.
Aprender a escribirlos implica dominar el valor posicional.
Escribir los números como se dicen conduce a errores como 41 para “catorce” y 1002 para “ciento dos”.
Cálculo básico
La habilidad para resolver problemas de suma con resultados menores de 20 y sus correspondientes restas.
Los niños comienzan a resolver estos problemas con una combinación de estrategias, generalmente contando, utilizando hechos numéricos o adivinando.
Mejoran su precisión y rapidez a lo largo de la niñez (Siegler, 1996).
Causas de la mejora
Mayor conocimiento de hechos numéricos.
Adopción de estrategias de contar más eficientes – contando a partir de uno de los sumandos para la adición, y contando hacia delante o hacia atrás a partir de una de las cantidades para las restas.
Desarrollo de estrategias de hechos derivados – la resolución de problemas mediante el uso de hechos relacionados conceptualmente.
Aplicación directa de patrones y principios.
Alguna incertidumbre
El enfoque tradicional utilizaba el aprendizaje memorístico para enseñar hechos numéricos.
Pero muchos niños no se los aprendían.
Una parte del aprendizaje de hechos numéricos puede resultar del uso de estrategias más económicas (Siegler, 1996), estrategias de hechos derivados (Askew, Bibby, & Brown, 1997), o la apreciación de patrones. (Baroody, 1999).
Todas implican principios.
Principios
Conmutatividad – para contar hacia delante a partir del sumando mayor, o el uso de un hecho conmutado.
La relación inversa entre la suma y la resta para contar hacia delante, y el uso de un hecho de suma para resolver restas.
El principio de la complementariedad de la resta para contar hacia delante en una resta, o el uso de una resta relacionada.
Patrones y reglas
Entender la secuencia de conteo sustenta la resolución de problemas n ± 1
Entender la composición de los números sustenta la resolución de problemas n ± 10
El conocimiento de la identidad para problemas n ± 0
El conocimiento de la inversión para problemas n - n
Relaciones entre principios y habilidades
Anteriormente se pensaba tanto que los principios guiaban la adquisición de las habilidades, como que el dominio de las habilidades llevaba a descubrir los principios.
Actualmente parece que las habilidades y los principios interactúan (Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001).
Los niños con mayores habilidades comprenden mejor los principios [que los niños con pocas habilidades].
Pero algunos presentan discrepancias notables.
Cálculo básico
La competencia en cálculo básico guarda una relación significativa con la habilidad aritmética general (Durand et al., 2005; Hecht et al., 2001).
Los niños que avanzan más lentamente en la aritmética a menudo presentan deficiencias en cálculo básico (Geary et al., 2004; Jordan et al., 2003).
¿Por qué?
Explicaciones
Dominar el cálculo básico es importante para avanzar en la aritmética.
Los factores de riesgo en el desarrollo deficitario de las habilidades aritméticas, dentro del niño, la familia o el vecindario, son también factores de riesgo para el cálculo básico deficitario.
Ambas explicaciones son plausibles.
Factores de Riesgo
Desarrollo deficitario del lenguaje y la lectura.
Debilidades en el funcionamiento de la memoria de corto plazo.
Falta de experiencia y apoyo apropiado del hogar y la escuela.
Baja inteligencia.
Cowan et al. (2005)
Comparó Un grupo de niños de 8 años con SLI (déficit en
el desarrollo del lenguaje y habilidad no verbal normal)
Un grupo con desarrollo normal, equiparado en edad y habilidad no verbal (Control por Edad, CE)
Un grupo de niños más pequeños con desarrollo normal, equiparado en capacidad de comprensión verbal (Control por Lenguaje, CL)
Tareas numéricas
Contar – conocimiento de la secuencia al contar
Transcodificar – leer y escribir númerosProblemas verbales de razonamientoSumas con números dobles o
conocimiento de hechos numéricosCálculo básicoValor posicional
Diferencias [entre los grupos]
En cada tarea numérica, la ejecución del grupo SLI fue muy inferior al del grupo CE.
En contar, resolver problemas y realizar cálculos, no diferían del grupo CL (cuyos integrantes tenían 2 años menos).
El funcionamiento de la memoria de corto plazo explicó algunas de las diferencias.
Pero el lenguaje y el razonamiento no verbal explicaron más.
Multiplicación
Los problemas de multiplicación difieren en la facilidad con la que pueden ser vistos como problemas de sumas.
Compré 3 entradas para el cine. Cada una costó $9. ¿Cuánto tuve que pagar?
Juana tiene 3 pares de pantalones de mezclilla y 9 playeras. ¿Cuántos conjuntos puede hacer?
Cuanto más fácil sea verlos como sumas, más fácil será resolverlos, incluso en niños de 12 años (Brown, 1981).
División
Algunos problemas de división se traducen más fácilmente a restas repetidas.
Tengo 35 manzanas y quiero darle 5 a cada persona. ¿A cuántas personas les puedo dar?
Tengo 35 manzanas para compartir con 5 personas. ¿Cuántas manzanas le tocan a cada una?
Pero hay poca diferencia en el grado de dificultad (Brown, 1981).
El cero y los números enteros negativos Como los niños aprenden a contar a partir del
uno, el cero puede causar problemas. Algunos niños creen que el uno es el número
más pequeño y por tanto, debe ser menor que cero.
El uso de rectas numéricas aparentemente ayuda a crear una secuencia en la que se incluye el cero y los enteros negativos.
Aun así, los niños encuentran difícil comprender que el menor de dos números negativos, p. ej., -4 y -10, es el que tiene el mayor valor numérico.
Confusiones en el mundo real
Los libros de texto a menudo presentan el cero y los números negativos en escalas de temperatura.
Es poco probable que esto ayude, ya que es raro que los niños menores de 11 años entiendan temperatura.
Una medida mejor, proveniente de la vida cotidiana, podría ser la altura arriba o por debajo del nivel del mar (cero).
Aritmética con cero y números negativos
Los ejemplos de la vida real y las rectas numéricas pueden facilitar las sumas y restas de los niños.
La multiplicación y la división siguen siendo problemáticas.
¿Cuánto es 0 entre 0?¿Por qué el producto de dos números
negativos es positivo?
Elección
Algunos argumentan que la enseñanza de los números negativos requiere un cambio radical: pasar de pensar en los números como cantidades, a pensar en los números como entidades abstractas.
Otros consideran que se puede entender los números negativos como un tipo especial de cantidades, y utilizan problemas de dinero y cancelación de deuda para proporcionar un contexto significativo (Resnick, 1992).
Fracciones y decimales
Las fracciones y los decimales son muy difíciles para los niños y para muchos adultos (Dowker, 2005).
Todos los aspectos son problemáticos: el orden, la conversión entre y con porcentajes, la aritmética.
Las causas de las dificultades incluyen el lenguaje cotidiano, el no diferenciar estos números de los números naturales y la sobregeneralización de la aritmética de los números naturales.
El lenguaje cotidiano
Es diverso y aproximado – media pizza, medio kilómetro, media clase.
Limita el concepto de fracciones a menos de un entero, p. ej., “Una fracción del costo” es siempre menos que el costo.
Es aproximado, p. ej., “Dame 110%”.
La no diferenciación de los números naturales
Las fracciones difieren de los números naturales en que no existe una única secuencia y por tanto, no existe un sucesor único – existe una infinidad de fracciones entre el 1 y el 3, pero sólo un número natural.
Existen múltiples equivalentes, p. ej., ½, = 2/4 = .5 = 50%.
Stafylidou & Vosniadou (2004)
Pidieron a 200 niños, de 5º de primaria (10 años) hasta 1er año de bachillerato (16 años):
escribir la fracción más grande y la más pequeña que conocían
ordenar y comparar pares de fraccionesexplicar sus respuestas.
Concepciones de las fracciones
Muchos pensaron que 1/1 era pequeño, y que 1230/2000 era grande, debido al tamaño de los números.
Algunos pensaron que 1/1 era mayor que todas las demás fracciones (5/6, 1/7, 4/3).
Menos de la mitad de los mayores [en edad], entendió que no existe la fracción más grande o la más pequeña.
Conversiones
Hitch (1978) dio a aprendices industriales, muchos de los cuales habían aprobado exámenes de matemáticas en la escuela, problemas de convertir entre sí fracciones, decimales y porcentajes.
La mayoría (> 67%) pudo expresar .73 y 7/10 como porcentajes.
Solo la mitad pudo expresar 9% como decimal, ó .8 como fracción.
Pocos (< 37%) pudieron expresar .16 como fracción ó 6% como una fracción.
Aritmética con fracciones
A partir de su experiencia con los números naturales, los niños suponen que la multiplicación hace un número mayor y la división hace uno menor en los decimales y las fracciones también.
Incluso los adultos parecen tener comprensiones erróneas – muchos alumnos de licenciatura, a quienes se les pidió que estimaran 943/0.48, respondieron “943 dividido entre aproximadamente ½, como 450” (Dowker, 2005).
Un ejemplo que viene al caso
Kent (1978) observó las siguientes respuestas al problema 0.3 x 0.3:
algunos escribieron 0.9, otros escribieron 0.09. una niña escribió 0.09, lo tachó y escribió 0.9. dijo “0.09 no puede ser correcto. Es menos
que .3 y es un problema de multiplicación.”
¿Cuántos de los que escribieron la respuesta correcta supieron que .09 era menos que .3?
Errores
Los errores pueden aportar explicaciones valiosas acerca del pensamiento.
Errores de aplicación – en los que la persona conoce los principios relevantes pero no los aplica.
Errores de comprensión – en los que el alumno necesita instrucción para comprender por qué su respuesta es incorrecta.
