DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

Cristalografía - Dibujo Cristalográfico

D I B U J O

CRISTALOGRÁFICO

Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca 1


UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana”

Fundada por Ley 14015 del 13 de febrero de 1962.

FACULTAD DE INGENIERÍAEscuela Académico Profesional de INGENIERÍA DE MINAS.

Asignatura: Cristalografía

Integrantes:

Cotrina Angulo Hansell Yanini. Orrillo Mendoza Roberto Carlos.

Temas:

Dibujo Cristalográfico

Docente: Ing. Manuel Oscar Zambrano Chilón

-2015-



ESTE TRABAJO ES DEDICADO:A Dios, quien fue el creador de todas las cosas, el que ha dado fortaleza para continuar cuando a punto de caer hemos estado.

A nuestra familia, que con su apoyo incondicional nos ayudan día a día para poder lograr nuestras metas trazadas y concluir con éxito nuestra carrera profesional.



A nuestro docente, Ing. Manuel Oscar Zambrano Chilón, quien nos brinda los conocimientos necesarios para aprender y ser los profesionales que el mundo requiere.

ÍNDICEPág.

Portada 02

Dedicatoria 03

Índice 04

Introducción 05

Objetivos 06

Fundamentación Teórica 07

Proyección Esférica y Gnomónica 07

Proyección Estereográfica 08

Aplicación para la Geología 15



Aplicación para la Cristalografía 18

Dibujo de un Cristal 19

Aplicación para el dibujo de un Cristal 23

Mediante el programa CaRIne Crystallography 3.0 23

Conclusiones 33

Bibliografía 34

DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

I. INTRODUCCIÓN

Una proyección de un cristal es un medio de representar un cristal

tridimensional en una superficie plana bidimensional. Diferentes tipos de

proyección se usan para fines distintos, pero cada una de ellas se lleva a cabo

según reglas definidas de tal manera que la proyección tiene una relación

conocida y consta con el cristal. Los dibujos de los cristales que se presentan

en este informe se conocen como PROYECCIONES CLINOGRÁFICAS y son

de un tipo tal de perspectiva que parece una fotografía en dos dimensiones del

cristal. Este es el método mejor para representar el cristal y muchas veces es



superior a la fotografía. Utilizaremos todos los elementos de la ventana Stereo

Projection (proyección estereográfica), el cual pertenece a la plataforma de

CaRIne Crystallography 3.1

Nos adecuaremos a representar dos tipos de cristales: El NaCl y el CsCl

(ambos del sistema cubico), representaremos las características de las caras

como sus respectivos ángulos, representaremos sus polos, colocaremos a que

simetría pertenece cada polo, etc.

II. OBJETIVOS

Representar un cristal en una superficie bidimensional mediante

las diferentes proyecciones cristalinas.

Conocer las diferentes proyecciones estereográficas.

Obtener la respectiva representación estereográfica para un

cristal cúbico usando el programa CaRIne Crystallography 3.0.



III. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

1. PROYECCIÓN ESFÉRICA

Suponemos el cristal inscrito en la esfera, donde el centro geométrico del cristal coincide con el de la esfera (tres dimensiones).

Para obtenerlo elegimos como punto de vista el centro de la esfera y trazo perpendiculares a las caras prolongando hasta la superficie (desde el centro de la esfera que se alarga hasta la superficie). Mediante este punto queda representada la cara del cristal.

El punto se le llama polo, que es el punto de intersección entre la perpendicular y la esfera, y al conjunto de todos los polos de un cristal se le denomina figura polar.

Es una proyección en tres dimensiones. Vemos la relación entre las caras y estas con los elementos de simetría. Una consecuencia, es que las caras tautozonales que están en zonas iguales tendrán sus polos en un círculo máximo de la esfera. Dos caras paralelas tienen sus polos diametralmente opuestas.



Teorema fundamental: el ángulo diedro que forman las caras del cristal es suplementario del ángulo que forman sus polos

Para localizar un polo sobre la superficie esférica se utilizan dos valores o coordenadas, denominadas coordenadas polares Azimut (): equivale a la longitud del globo terráqueo.

Es el arco correspondiente a un meridiano como origen y el meridiano (círculo máximo que pasa por los polos Norte y Sur) correspondiente al polo. El meridiano origen es el que corresponde al plano cristalográfico frontal, es decir, el formado por los ejes y z. Se medirá hacia el sentido de las agujas del reloj, será positivo y podrá variar 180º.

Puede ser negativo en sentido contrario Distancia polar (): equivalente a la latitud geográfica y es el arco entre el punto de intersección del eje z y la esfera y el polo de la cara contado sobre su meridiano ( polo norte esférico y el polo de la cara contado sobre el meridiano) Varía entre 0 y 180º, las que están por encima de ecuador serán mayores de 90º y por debajo serán inferiores a 90º. En este caso siempre son positivos los valores.

Todos los polos situados sobre el mismo paralelo tendrán igual distancia polar y distinto azimut. Si conocemos los parámetros de una res cristalina, traslaciones y ángulos, podemos obtener cualquier coordenada polar de esa cara, normalmente el primero corresponde al azimut y luego la distancia polar. Además necesitamos los índices de Miller, notación de la cara. En la práctica medimos el ángulo entre las caras, primero calculamos el azimut () y luego la distancia polar ().

Paso de proyección esférica a proyección plana. Se utilizan dos tipos de proyección plana: gnomónica y estereográfica. Primero trasladamos los polos esféricos a un plano y para ello elegimos el plano en el que vamos a proyectar y lo denominamos polo fundamental.

Otra herramienta es el punto de vista desde el que se trazan visuales o rectas a los polos esféricos que cortarán al plano fundamental en unos puntos determinados: las proyecciones que buscamos son las proyecciones.

2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA



La proyección estereográfica es un sistema de representación

gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera sobre un

plano mediante haces de rectas que pasan por un punto, o foco.

El plano de proyección es tangente a la esfera, o paralelo a éste,

y el foco es el punto de la esfera diametralmente opuesto al punto

de tangencia del plano con la esfera.

La superficie que puede representar es mayor que un hemisferio.

El rasgo más característico es que la escala aumenta a medida

que nos alejamos del centro.

En su proyección polar los meridianos son líneas rectas, y los

paralelos son círculos concéntricos. En la proyección ecuatorial

sólo son líneas rectas el ecuador y el meridiano central.

Para trabajar con la proyección estereográfica es preciso conocer,

inicialmente, una serie de términos geométricos, que nos permitan definir de

forma unívoca cada elemento, estos términos nos determinan su orientación.

RUMBO O DIRECCIÓN: Dirección que sigue la línea de intersección formada

entre el plano horizontal y el plano del estrato o estructura geológica, con

respecto al Norte o al Sur.



BUZAMIENTO: Es el ángulo de inclinación o ángulo diedro comprendido entre

el plano de la roca o estructura y el plano horizontal. Es la línea de máxima

pendiente de un estrato. La dirección del buzamiento siempre es perpendicular

al rumbo o dirección.

PROYECCIÓN DE UN PLANO

Se construye una esfera centrada en algún punto “O” de la traza de

afloramiento de un plano geológico inclinado. El plano y su prolongación

cortarán la esfera según un círculo máximo o círculo mayor.



Representación de un plano inclinado con su polo:

2) TIPOS DE REPRESENTACIONES ESTEREOGRÁFICAS

Existen diversas formas de representación de los elementos planos y lineales

en la proyección estereográfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante el

empleo de la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyección de los

meridianos y paralelos de la esfera.

DIAGRAMA DE CÍRCULOS MÁXIMOS O DIAGRAMA BETA:



Únicamente se utiliza para la representación de elementos planos. Se obtiene

por proyección sobre el plano ecuatorial, del círculo máximo de la superficie

plana considerada. Este círculo máximo representa la intersección del plano

con la esfera. Se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al

estudio de un macizo rocoso.

a. Diagrama de círculos máximos (beta).

b. Diagrama de polos (pi).

DIAGRAMA DE POLOS O DIAGRAMA PICuando las medidas a representar en el diagrama son muy numerosas, la

representación mediante círculos máximos puede dificultar la lectura de los

resultados en la falsilla, por lo que se suele recurrir a los diagramas de polos o

diagramas pi.

En este tipo de diagramas se representan únicamente los polos de los planos o

rectas, es decir la intersección de la recta con la esfera en el caso de

elementos lineales o la intersección de la normal al plano con la esfera si se

trata de elementos planos.

Diagrama de densidad de polos



La proyección estereográfica de un determinado elemento de la naturaleza,

nunca es tan exacta como la de líneas y planos teóricos, ya que presentan

irregularidades puntuales, falta de ajuste con la geometría ideal, en muchos

casos, y posibles errores de precisión. Esto hace que se produzcan

dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar

la interpretación de un polo o un círculo máximo. De ser así y producirse una

gran dispersión de datos, será preciso recurrir a un análisis estadístico de una

muestra grande de datos con el fin de determinar la dirección y buzamiento

predominantes.

Este análisis estadístico no se puede realizar mediante la proyección

estereográfica ya que se producirá una gran concentración de puntos en la

parte central del diagrama . Para realizar este análisis se recurre a la

proyección equireal, empleando la falsilla de Schmidt, que nos permite el

recuento directo de los polos, calcular su valor estadístico por unidad de

superficie y determinar las direcciones y buzamiento predominantes.

a. En proyección equiareal.

b. En proyección estereográfica (equiangular).

Falsillas estereográficasSon como un transportador de ángulos en 2D que sirven para representar las

orientaciones de los planos y líneas de las respectivas proyecciones

ciclográficas.



Hay diferentes tipos de falsillas:

A. Falsillas equiareal (Schmidt): geología estructural. Conserva las áreas

pero no los ángulos.

B. Falsillas equiangular (Wulf): cristalografía. Conserva los ángulos pero no

las áreas.



APLICACIÓNES:GEOLOGÍA ESTRUCTURAL

La proyección estereográfica proporciona una herramienta fundamental en el

campo de la ingeniería geológica. Su principal interés estriba en el hecho de

que con ella podemos representar orientaciones (dirección) e inclinación

(buzamiento o inmersión) preferentes de elementos que en la naturaleza no se

presentan con desarrollos geométricos perfectos, como es el caso de un

estrato, donde el plano de techo y de muro presentan irregularidades puntuales

aunque con una tendencia general. Además este tipo de representación

permite medir los ángulos de forma directa.

Entre sus aplicaciones más importantes se encuentra el reconocimiento de

juegos de diaclasas en un afloramiento rocoso, la determinación de la dirección

y el buzamiento de un estrato, la determinación del tipo de rotura en un

movimiento de ladera, etc., Generalmente el desarrollo de los elementos no es

perfecto como ocurre por ejemplo con las diaclasas.

Cuando el elemento a medir es un plano, el ángulo de inclinación recibe en

geología el nombre de buzamiento (dip), mientras que cuando se trata de una

recta la inclinación recibe el nombre de inmersión (plunge).



DETERMINACIÓN DE FAMILIA DE DIACLASAS

Para la determinación de los juegos de diaclasas o discontinuidades que

afectan a un macizo rocoso suelen elaborarse diagramas pi de los planos de

discontinuidad. Cuando la dispersión es muy pequeña, fácilmente podemos

determinar los juegos que afectan al macizo situándonos sobre la zona de

máxima densidad de puntos. Sin embargo, esto no siempre es así, ya que

generalmente la dispersión es grande, debiendo recurrir a métodos

estadísticos que nos permitan establecer las zonas de máxima

concentración de polos. Preparado el diagrama de polos se procede a

contar su densidad, para lo cual suele ser conveniente, tal y como ya se ha

comentado con anterioridad, el uso de la representación equiareal que

permite un tratamiento estadístico de los datos



ANÁLISIS CINEMÁTICO DE ROTURAS EN ROCA

En el estudio de taludes excavados en macizos rocosos suele ser muy útil la

determinación de las discontinuidades existentes para su posterior

representación estereográfica junto con la representación del propio talud.

Observando las orientaciones de los juegos de discontinuidades y del talud

puede llegarse a deducir mediante un análisis sencillo cual será el tipo de

rotura predominante.

Además, la proyección estereográfica nos permitirá en algunos de estos

casos obtener las magnitudes angulares necesarias para el cálculo del factor

de seguridad del talud.

DETERMINACIÓN DEL EJE Y DEL PLANO AXIAL DE UN PLIEGUE

El eje de un pliegue (figura 10.a) puede calcularse con ayuda de la

proyección

Estereográfica con tan sólo tomar una serie de medidas de orientaciones de

los flancos del pliegue (figura 10.b). Representando los polos de estas

orientaciones, bastará con trazar el plano que contenga estas direcciones y

que corresponderá a un plano normal al eje del pliegue cuyo rumbo e

inmersión vendrán dados por el polo del citado plan.

La superficie de charnela plana es paralela al plano axial, al igual que el eje

del pliegue será paralelo al plano axial, por lo que trazando en el

estereograma una dirección equivalente a la medida en el campo para la

superficie de charnela y haciendo que él contenga al eje (P) habremos

obtenido un plano paralelo a la charnela y que contenga el eje, es decir

habremos obtenido el plano axial con su correspondiente buzamiento y



dirección.

OTRAS APLICACIONES EN GEOLOGÍA ESTRUCTURAL

El empleo de la representación estereográfica en geología estructural es

innumerable. Los ejemplos mostrados no son más que una pequeña

demostración del potencial de la proyección estereográfica para la

resolución de problemas de geología estructural.

CRISTALOGRAFÍA

La principal utilidad de la proyección estereográfica en cristalografía estriba

en el hecho de que si representamos gráficamente las caras de los cristales

podremos determinar la simetría del cristal y por tanto la clase cristalina a la

que pertenece.

Además, la proyección estereográfica, al ser una proyección conforme

permite la medida directa de los ángulos cristalinos, ya que se mantiene su

verdadera magnitud tras la proyección.



DIBUJO DE UN CRISTAL

REPRESENTACION O DIBUJO ESFÉRICOPara este tipo de representación, se realiza en la plataforma de una esfera,

donde se procede a colocar al cristal en el centro de la esfera. Posteriormente

se traza una línea perpendicular a cada cara del cristal. La intersección de la

línea con la superficie de la esfera forma un punto denominado “POLO”. Donde

cada cara es un punto (polo), además diremos que la representación es

tridimensional

FIGURA 1: PROYECCION ESFERICA



FIGURA 2: REPRESENTACION DE LAS CARAS DE UN CRISTAL EN UNA P.E.

REPRESENTACION O DIBUJO ESTEREOGRÁFICOPara poder representar las caras y diversos elementos de simetría de un

cristal; lo más adecuado seria trabajar con esta proyección, ya que nos da a

entender con más facilidad la ubicación de cada elemento, además nos busca

reducir a una superficie plana (dos dimensiones).

FIGURA 3: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA



Además entendemos que esta proyección necesita como base, un punto el

cual notamos en la figura 3, se encuentra en la base de la esfera. Con este

punto de referencia se trazan líneas, todas dirigidas a este punto, respecto de

los polos.

De esta manera al intersectarse con el plano ecuatorial de la representación

esférica, suponen una serie de puntos, los cuales son la representación

estereográfica de los llamados “POLOS”

FIGURA 4: VISTA DE UNA PROYECCION ESTEREOGRAFICA

Sin embargo hemos dicho que la medida de los ángulos de cada cara de un

cristal, es crucial para imaginarnos al cristal en forma real; lo más conveniente

ahora es utilizar “La ned de wuff” o “Red estereográfica”; con esto

podremos saber la medida y la graficación de los ángulos entre las caras (ya

que un polo era la proyección perpendicular de un polo)



FIGURA 5: REPRESENTACION DE UNA NED WUFF

De esta manera se pueden representar los elementos de simetría y averiguar

los ángulos respectivos, sin ningún inconveniente; ya que sabemos además

que la red de wuff tiene una dimensión de 2° por 2° en cada celda. A

continuación veremos la representación de los elementos de simetría de un

cristal.

FIGURA 6: REPRESENTACION DE UN CRISTAL EN UNA RED DE WUFF



APLICACIÓN USANDO EL PROGRAMA

CaRIne Crystallography 3.0

1) PROCEDIMIENTO:

Cargamos el programa el programa CaRIne Crystallography 3.1 y abrimos la

celda del cloruro de sodio ya realizada, como muestra los pasos de las figuras .

Ventana de Carine 3.0. Comando open cell.

Ventana del comando Abrir.


Hacemos clic en donde señalan las

flechas


Ventana Celda unitaria del NaCl.

Luego de haber abierto la celda y haberle dado algunos efectos como muestran

las figuras 8 y 9 procedemos a buscar en la barra de herramientas la pestaña

Calcul para luego realizar la actividad que requerimos.

Seleccionando el Comando View. Ventanas Graphics y pasos.

FIGURA 7: CELDA CRISTALOGRAFICA DEL NaCl



Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials para

desplegar la ventana de funciones, como se muestra en la Figura 5.3.

FIGURA 8: VENTANA DE FUNCIONES STEREO PROJECTION

Hacer clic izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la

ventana Stereographics Projection, donde podrá definir las direcciones,

los polos y las trazas de la proyección.

FIGURA 8: VENTANA STEREO PROJECTION



A continuación presionamos en el botón Poles y en el botón Traces, y

en Directions para definir el rango de direcciones u, v, w (h, k, l) que

desea considerar. Hacer clic en OK.

Definidas las direcciones, los polos y las trazas en la ventana

Stereographics Projection Prefs hacer clic en OK.



FIGURA 9: VENTANA STEREO PROJECTION DEFINIDA

“No es necesario definir la sección de direcciones; ya que sabemos que para cada plano tiene sus índices de Bravais, y estos son los mismos para las direcciones; como también sabemos que la representación de la cara de un cristal es perpendicular a dicha cara, la dirección toma la mima dirección y por ende tendrán la misma proyección estereográfica”

Seleccionar el comando Stereo Projection del menú Specials y elegir la opción Creation para visualizar la proyección estereográfica creada.


Click


FIGURA 10: PROYECCION ESTEREOGRAFICA DEL NaCl

En la proyección estereográfica, con la ayuda del cursor, definimos los

valores de Ө y φ para representar las coordenadas de la posición de los

polos de la proyección. Esta característica de la proyección

estereográfica se encuentra en la parte inferior izquierda de la ventana.

Usando la herramienta Ster. Proj. que se muestra en la parte de la

Figura 10, usted podrá asignar otros polos con el mouse en las

intersecciones de las trazas que se encuentren libres. Además de ciertas

características importantes que te da dicho comando. Además que


(1,1,1)

(1,1,0)

(1,1,-1)

(1,0,1)

(1,0,0)

(1,0,-1)

(1,-1,1)

(1,-1,0)

(1,-1,-1)

(0,1,1)

(0,-1,-1)

(0,1,0)(0,-1,0)

(0,-1,1)

(0,1,-1)

(0,0,1)

(0,0,-1)


existe una ventana acoplable con todas las principales funciones de este

comando.

FIGURA 11: COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)



Ahora lo que realizaremos es la utilización de cada función de este

comando. Primero seleccionamos el comando, ? Angle with mouse para

determinar, con la ayuda del cursor del transportador, los valores

ángulos entre de los polos en la proyección estereográfica (ángulos

entre planos). Para esto debemos hacer clic en dos puntos o polos

estereográficos para que pueda medir el ángulo entre ellos.

FIGURA 11: COMANDO SPECIALS (STEREO. PROJECTION.)


(1,1,1)

(1,1,0)

(1,1,-1)

(1,0,1)

(1,0,0)

(1,0,-1)

(1,-1,1)

(1,-1,0)

(1,-1,-1)

(0,1,1)

(0,-1,-1)

(0,1,0)(0,-1,0)

(0,-1,1)

(0,1,-1)

(0,0,1)

(0,0,-1)

Click

Click


Para el segundo paso procederemos a asignar polos nuevos alrededor

de las trazas de la proyección estereográfica, para ser más preciso en

las intersecciones de las trazas. Para este caso el software aplicara la

ley de periodicidad de los polos y con el comando, ? Pole with mouse de la función Stereo Projection del menú Specials podremos crear

nuevos polos en la proyección estereográfica.

POR LA LEY DE PERIODICIDAD TENEMOS:


(1,1,1)

(1,1,0)

(1,1,-1)

(1,0,1)

(1,0,0)

(1,0,-1)

(1,-1,1)

(1,-1,0)

(1,-1,-1)

(0,1,1)

(0,-1,-1)

(0,1,0)(0,-1,0)

(0,-1,1)

(0,1,-1)

(0,0,1)

(0,0,-1)

(1,-1,2)

(1,-2,1)

POLO 1

POLO 2

(h1 , k1 ,l1 )+(h2 , k2 ,l2)=(h3 , k3 , l3 )

POLO 1=(1 ,0 ,1 )+(0 ,−1 ,1)=(1,−1,2 )

POLO 2=(1 ,−1 ,0 )+(0 ,−1 ,1)= (1,−1,2 )


Continuando con las funciones del comando STEREOGRAPHICS PROJECTION, tenemos a la función, ? Trace from 1 Pole, lo que

realiza esta función es adicionar o quitar una traza correspondiente a un

polo de la proyección estereográfica (eje de zona). Es decir que

quitamos o adicionamos una línea donde se ubicarían todos los puntos

del eje de zona (punto que seleccionamos).



IV. CONCLUSIONES:

Para la primera conclusión diremos que la las proyecciones

estereográficas están, representadas todos los polos de la proyección

esférica, y esta proyección estereográfica solo toma aquellos polos que

se encuentran en la parte superior de la esfera (la proyección

estereográfica divide a la esfera en dos partes), por ende los polos de

las caras de la parte inferior no saldrán según la definición vista al inicio

para poder crear los polos de la proyección estereográfica.

Y por último gracias a este informe corroboramos algunas fórmulas

aplicadas en la teoría, como la Ley de la periodicidad o La relación entre

índices de planos y direcciones.



V. Bibliografía

Manual de Mineralogía de Dana, Cornelius S. Hurlbut, Jr. Segunda

Edición, pág 35 – 43.

CRISTALOGRAFÍA – Garay

Principios de Cristalografía, E Flint. Editorial Paz, pág 96- 102. (ley

de zonas)

BELL F.G., (1992). Engineering Geology, Ed. Blackwell Science

Inc, Cambridge, EE.UU.


DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

Documents

Transcript of DIBUJO CRISTALOGRÁFICO