MAGNITUDES MAGNITUDES FÍSICAS.FÍSICAS.

•• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares y sicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.

••EjemplosEjemplos

BibliogBibliog. Sears, F. Sears, Físicaísica universitaria, universitaria,

HewittHewitt, Física , Física conceptualconceptual

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

por su naturaleza

Escalares Escalares

Vectoriales

MuchasMuchas dede laslas leyesleyes dede lala

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

EnEn ocasionesocasioneslaslas relacionesrelacionesSinSin embargoembargo sisi usamosusamosvectoresvectoresparapara representarrepresentar aa laslasmagnitudesmagnitudes físicasfísicas sese requiererequiere

LosLos vectoresvectorespermitenpermiten estaestaeconomíaeconomíadede expresiónexpresión enen numerosasnumerosas leyesleyes dedelala FísicaFísica..MuchasMuchas dede laslas leyesleyes dede lalafísicafísica implicanimplican nono sólosólorelacionesrelaciones algebraicasalgebraicas entreentrecantidadescantidades sinosino tambiéntambiénrelacionesrelaciones geométricasgeométricas..

EnEn ocasionesocasioneslaslas relacionesrelacionesgeométricasgeométricas complicancomplican laslasrelacionesrelaciones algebraicasalgebraicas entreentrelaslas magnitudesmagnitudes físicasfísicas..

magnitudesmagnitudes físicasfísicas sese requiererequiereentoncesentonces dede ununnumeronumero menormenor dedeecuacionesecuaciones matemáticasmatemáticas paraparaexpresarexpresar laslas relacionesrelaciones entreentre laslasmagnitudesmagnitudes..

lala FísicaFísica..

AA vecesveces lala formaforma vectorialvectorial dede unauna leyleyfísicafísica nosnos permitepermite verver relacionesrelaciones oosimetríassimetrías queque dede otrootro modomodo estaríanestaríanveladasveladas porpor ecuacionesecuaciones algebraicasalgebraicasengorrosasengorrosas..

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Escalares

Asociadas a propiedades que pueden ser

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección

y su sentido

Magnitudes Magnitudes físicasfísicas

Masa, densidad, temperatura, energía,

trabajo, etc

Escalares

físicasfísicas

Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

Vectoriales

SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico

Se le asocia Se le asocia

x(t)x(t)

y(t)y(t)

z(t)z(t)

•• ObservadorObservador

•• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas

y

x

z

•• RelojReloj

Movimiento planoMovimiento plano

Coordenadas Cartesianas

y (m)

orde

nada

(x,y)

x (m)O

origenabcisa

orde

nada

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

(r,θθθθ)

Movimiento planoMovimiento plano

O

origen

θ

Relacion entre (x,y) y (r,θθθθ)

y (m)

orde

nada

(x,y)

r

x (m)O

origenabcisa

θ

θcosrx =θrseny =

θtan=x

y22 yxr +=

VectoresVectores

A

y

z

θ

ϕAp

ϕ

y

Notación A

Módulo A > 0

Dirección ϕθ,

x ϕx

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores A

r

Br

Cr

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

Cr

CBArrr

==

Suma de Suma de VectoresVectores

BA C

C

BA

R

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va

desde el origen del primer desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

Ar

Br

Cr

Entonces si se tiene los siguientes vectores

C

Dr El vector resultante

de la suma de todos ellos será:

Ar

Br

Cr

Rr

Dr

DCBARrrrrr

+++=

Rr

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

µµ= ˆAA

rr

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario A

Ar

r

=µ

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

VectoresVectores

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=

Ley AsociativaDiferencia

C)BA)CBARrrrrrrr

++=++= ((B-ARrrr

=

)B(-ARrrr

+=A

B A-B

R

Ley conmutativa

B

A

B

(Método paralelogramo)

B

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazadosparalelamente para

encontrar el vector suma

B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores ByArr

Se dicen que son paralelos si BArr

α=

BAsirr

↑↑> 0αBAsirr

↑↓< 0αBAsirr

==1α

Ar

Br

ABrr

21=

B

Ar

Br

ABrr

41−=

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A BA B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ˆj

y

ijx

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

z

k

xy

ij

Representación Representación de un vectorde un vector

y

z

θ

ϕ

A

Ax

Ay

Az

x

ϕ

θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=

θcosAAz =222zyx AAAAA ++==

r

kAjAiAA zyx

rrrr++=

Observaciones:

Las componentes rectangulares deun vector dependen del sistemacoordenadoelegido.coordenadoelegido.

La magnitud del vector no cambia.Permanece invariante en cualquiersistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

+Ar4u 3u

BrB

BARrrr

+=7u

+

Ar

Br

8u 4u = 4u+8u 4u =

BARrrr

+=

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

Ar

Br

BARrrr

+=

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

BARrrr

+=

Ar

Br

yAr

xAr yB

r3u

xA

xBr

4u

6u

yAr

xAr

yBr

4u

3u

xBr

6u

yx AAArrv

+=

yx BBBrrr

+=

yy BArr

+xx BArr

+10u

5u

yyxx BABARvrrrr

+++=

Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

uR 55510 22 =+=

yAr

xAr

xBr

yBr

Cr

xCryC

r

xDr

yDr

xRr

yRr

15 u5 u

yyyyy DCBARrrrrr

+++=

xxxxx DCBARrrrrr

+++=yx RRRrrr

+=105R =

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

Ar

xy

Dados los puntosindicados el vector quelos une estarepresentado por

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

Ar

xy

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

r

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectoresθABBA cos=⋅

rr

Proyección de A sobre B

cosθAAB =

cosθBBA =

Proyección de B sobre A

1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj

0ˆˆ =⋅ ji

0ˆˆ =⋅ kj

0ˆˆ =⋅ ki

1ˆˆ =⋅ kk

xAiA =⋅ ˆr

yAjA =⋅ ˆr

zAkA =⋅ ˆr

ZZYYXX BABABABA ++=⋅rr

Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos

vectoresvectores BACrrr

×=θABC sen=

0iir

=× 0ˆˆr

=× jj0iir

=× 0ˆˆ =× jj

0ˆˆr

=×kk

kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×

jik ˆˆˆ =×

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=rrr

YZZYX BABAC −=

BABAC −=

Demostrar:

zxxzy BABAC −=

xyyxz BABAC −=

Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ ++=r

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=r

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=r

Ejemplo 2:

5m

Determine la suma de los vectores indicados

z

8m

10m

Ar

Br

Cr

x

y

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

−+=−+=

r

r

Determine :a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.