ESTADIacuteSTICA

RESENtildeA HISTOacuteRICA

>

>

DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICAEs un sistema o meacutetodo en la

recoleccioacuten organizacioacuten anaacutelisis y descripcioacuten numeacuterica de la informacioacutenTambieacuten se puede decir que la estadiacutestica estudia el comportamiento de los fenoacutemenos de grupo

DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI

CA

ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad

poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general

ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA

Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma

ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS

EN ESTADIacuteSTICA

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

RESENtildeA HISTOacuteRICA

>

>

DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICAEs un sistema o meacutetodo en la

recoleccioacuten organizacioacuten anaacutelisis y descripcioacuten numeacuterica de la informacioacutenTambieacuten se puede decir que la estadiacutestica estudia el comportamiento de los fenoacutemenos de grupo

DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI

CA

ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad

poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general

ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA

Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma

ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS

EN ESTADIacuteSTICA

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICAEs un sistema o meacutetodo en la

recoleccioacuten organizacioacuten anaacutelisis y descripcioacuten numeacuterica de la informacioacutenTambieacuten se puede decir que la estadiacutestica estudia el comportamiento de los fenoacutemenos de grupo

DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI

CA

ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad

poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general

ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA

Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma

ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS

EN ESTADIacuteSTICA

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI

CA

ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad

poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general

ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA

Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma

ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS

EN ESTADIacuteSTICA

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS

EN ESTADIacuteSTICA

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica

que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE

ESTADIacuteSTICA

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA

NOMINAL

ORDINAL

VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA

DISCRETA

CONTINUA

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

TABLA DE FRECUENCIAS

Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

VARIABLE CUALITATIVA

En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Atlantis

Baltus

Muntre

Ponty

Titaacuten

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

B M M P P A A P A T

T T B B T M P P T M

M T M T A M P P P M

T P M T A B T M T T

M P A M A B T P A A

A A M T B A T B A M

T M T A B A B A A T

A P M A T A M B A M

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Atlantis21 2625 21 2625

Baltus10 1250 31 3875

Muntre18 2250 49 6125

Ponty12 1500 61 7625

Titaacuten19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

Atlantis 21 2625 21 2625

Baltus 10 1250 31 3875

Muntre 18 2250 49 6125

Ponty 12 1500 61 7625

Titaacuten 19 2375 80 10000

80 10000 --- --- -----

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la

primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 2 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100--------- ------------ ------------

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO

t0 5 10 5 10

1 10 20 15 30

2 18 36 33 66

3 10 20 43 86

4 7 14 50 100

50 100

--------- -----------

-

-----------

-

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA

CONTINUA

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34

=rango original

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute

Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute

es decir 40gt34

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma

iquest

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

[ - )

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

[ - )

[48 - 53) 505

[53 - 58) 555

[58 - 63) 605

[63 - 68) 655

[68 - 73) 705

[73 - 78) 755

[78 - 83) 805

[83 - 88) 855

--------

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

56 52 64 76 83 57 75 67 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 85 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------ ----------

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN

EDUCATIVA X[ - )

[48 - 53) 505 7 7 7 7

[53 - 58) 555 15 15 22 22

[58 - 63) 605 15 15 37 37

[63 - 68) 655 29 29 66 66

[68 - 73) 705 10 10 76 76

[73 - 78) 755 9 9 85 85

[78 - 83) 805 11 11 96 96

[83 - 88) 855 4 4 100 100

-------- 100 100 ------- ------------

----------

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL DIAGRAMA DE PASTEL

Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

At-lantis

21

Bal-tus 10Muntre 18

Ponty 12

Titaacuten 19

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

2625

1250

2250

1500

2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL

MUNUCIPIO Z

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

0

20

40 2110 18

12 19

MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X

DEL MUNUCIPIO Z

Atlantis

212625

Baltus

101250

Muntre

182250

Ponty

121500

Titaacuten

192375

8010000

Atla

ntis

Baltu

s

Mun

tre

Pont

y

Titaacute

n

2625

1250

2250

15002375

MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE

MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES

TAKU

STAN

BILE

KAN

TRUKI

STAN

BORKI

STAN

04080

HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL

CIUDADES CAPITALES

CA

NTID

AD

D

E

HA

BIT

ATES

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES

UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047

PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0

20

40

60

80

53

2921

75

4334

18

54

3952

26

45

IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

2036 2037 2038 20390

2

4

6

8

10

12

14

16

EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA

ANtildeOS

TO

NELA

DA

S

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

2036 2037 2038 2039

10

46

1412

810

2

86

16

4

EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8

[60-- - 70) 65 10

[70 - 80) 75 16

[80 - 90) 85 14

[90 - 100) 95 10

[100 - 110) 105 5

[110 - 120) 115 2

-------- 65

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA

INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes

utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA

Se calcula con las foacutermulas

O

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667 40 0267

2 78 5200 118 7867 156 1040

3 32 2133 150 100 96 0640

150 100 ----- ----- ---- 292 1947

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

Se concluye que el promedio es 2 hijos

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIA

ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE

CUANTITATVA CONTINUA

Se calcula con las foacutermulas

O

Para este caso es la marca de clase

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176

[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218

[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568

[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314

[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160

[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99

[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984

------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 5 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute

Entonces se concluye que la mediana es igual

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA

DATOS AGRUPADOS

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 10000

150 10000 ----- ----- ----

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA

S

1 45 30 45 30

2 30 20 75 50

3 75 50 150 100

150 100 ----- ----- ----

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE

CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la

variable cuantitativa continua se presenta dos casos

O Caso aCuando

O Caso bCuando +

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 102 204 200 400

[75 - 85) 80 50 100 250 500

[ 85 - 95) 90 60 120 310 620

[95 - 105) 100 71 142 381 762

[105 - 115) 110 62 124 443 886

[115 - 125) 120 57 114 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Scomo 250=250

Se concluye que la mediana es igual a 85

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA

[ - )

[55 - 65) 60 98 196 98 196

[65 - 75) 70 87 174 185 370

[75 - 85) 80 98 196 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

SComo

75+10 = 75+663

Se concluye que la mediana es 8163

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA

DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

1 40 2667 40 2667

2 78 5200 118 7867

3 32 2133 150 100

150 100 ----- ----- ----

Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

S Se concluye que la moda es 2

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

------- 500 100 ------ ------ --------

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

S Se concluye que

la moda es 80kmh

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA

Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B

[ - )

[55 - 65) 60 90 180 90 180

[65 - 75) 70 87 174 177 354

[ 75 - 85) 80 106 212 283 566

[85 - 95) 90 73 146 356 712

[95 - 105) 100 58 116 414 826

[105 - 115) 110 45 90 459 918

[115 - 125) 120 41 82 500 100

-------

500 100 ------ ------ --------

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

S =73 =87

Se concluye que la moda es 796

119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782

120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MEDIDAS DE

DISPERSIOacuteN

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL RANGOO Se define como la diferencia

entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula

O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS

O

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

1 20

2 35

3 15

70

solucioacuten

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo

)

[45 - 50) 20

[50 - 55) 35

[55 - 60) 23

[60 - 65) 27

[65 - 70) 15

120

solucioacuten

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las

desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m

O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los

siguientes datos 23768S 5

2 -3 3

3 -2 2

7 2 2

8 3 3

0 10

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS

OSe calcula con la foacutermula

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

2 4 8 -216 216 864

3 6 18 -116 116 696

4 7 28 -016 016 112

5 9 45 116 116 1044

6 5 30 216 216 108

31 129 ---- ------- 3796

O s

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS

O Se calcula con la foacutermula

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO[ - )

[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552

[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548

[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768

[85 - 95) 90 7 630 04 04 28

[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248

[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856

[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736

-------

75 6720 -------- ----------- 13736

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

s

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O

TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

PARA DATOS NO AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS

NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS

VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

1 40 40 0267 40

2 78 156 1040 0

3 32 96 0640 32

150 292 1947 ---------- 72

Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880

[65 - 75) 70 87 6090

[75 - 85) 80 98 7840

[85 - 95) 90 73 6570

[95 - 105) 100 58 5800

[105 - 115) 110 45 4950

[115 - 125) 120 41 4920

------- 500 42050

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

EJEMPLO

O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )

[55 - 65) 60 98 5880 5691938

[65 - 75) 70 87 6090 1729647

[75 - 85) 80 98 7840 164738

[85 - 95) 90 73 6570 254113

[95 - 105) 100 58 5800 1466298

[105 - 115) 110 45 4950 3018645

[115 - 125) 120 41 4920 5284121

------ 500 42050 -------------

176095

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946

119951=120785120787120784 120783120791

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos

1 2 4 0 1 2 3 4 2 1

0 3 2 2 3 3 2 2 0 0

2 2 3 4 2 4 3 1 3 2

3 1 1 2 4 4 1 2 3 1

4 0 2 1 2 3 4 3 2 1

2 0 3 3 3 1 0 1 3 2

2 3 2 3 0 0 2 2 0 3

1 4 4 4 0 3 3 2 2 2

0 2 2 1 0 2 2 3 1 2

3 3 3 3 3 4 3 2 2 3

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos

56 52 64 76 83 57 75 85 51 67

64 59 67 65 74 81 73 72 54 82

67 65 63 54 71 66 61 63 65 71

63 52 59 76 52 68 63 59 62 60

62 55 65 78 59 67 65 52 59 76

80 66 58 55 65 63 54 55 65 78

79 77 54 67 52 59 76 66 58 55

55 81 52 81 54 82 70 77 54 67

69 82 83 59 65 71 70 63 67 69

70 56 57 65 62 60 81 83 65 66

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN

RELATIVO PORCENTUAL

119914119933 =119930119935

119914119933 =119930119935sdot120783120782120782

De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten

Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

PROBABILIDAD

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD

>

>

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO

El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

ESPACIOS MUESTRALESSon todos los

posibles resultados en un experimento aleatorio

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES

Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten

Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten

Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular

El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda

• ESTADIacuteSTICA
• RESENtildeA HISTOacuteRICA
• DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICA
• DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICA
• ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS EN ESTADIacuteSTICA
• POBLACIOacuteN
• MUESTRA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA
• VARIABLE ESTADIacuteSTICA (2)
• TABLA DE FRECUENCIAS
• VARIABLE CUALITATIVA
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe
• Slide 13
• Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el co
• Slide 15
• Slide 16
• MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
• VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
• Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera t
• Slide 20
• Slide 21
• NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN
• TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA CONTINU
• VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
• La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporal
• Antes de construir la tabla de frecuencias se debe (2)
• Para establecer el resto de las filas debemos proceder
• Slide 28
• 3Calcular el rango Para este caso el rango es igual
• 4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan
• 5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clas
• 6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute de
• 7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato
• Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para
• Slide 35
• Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los
• Slide 37
• Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde
• Slide 39
• Despueacutes del conteo se procede a registrar la informaci
• Slide 41
• Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un
• MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
• GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOS
• EL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTEL (2)
• EL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS
• EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRAS (2)
• INCLINACIOacuteN SEXUAL EN LA REPUacuteBLICA DE MACHIKISTAN EN SUS P
• EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPA
• DIAGRAMA LINEAL
• Slide 54
• Slide 55
• HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (2)
• POLIacuteGONO DE FRECUENCIAS
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (3)
• PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN EDUCAT (4)
• LA OJIVA
• Slide 63
• MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
• Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados
• Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en
• consumen hasta un consumo superior a dos litros Con est
• por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el
• LA MEDIA ARITMEacuteTICA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIIT
• EJEMPLO
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTITA
• EJEMPLO (2)
• Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (2)
• LA MEDIANA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6 s
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DIS
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
• CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CON
• EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
• Scomo 250=250 Se concluye que la mediana es igual a
• EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
• SComo 75+10 = 75+663 Se concluye que la mediana es
• LA MODA
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRE
• EJEMPLO (3)
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN
• EJEMPLO (4)
• S Se concluye que la moda es 80kmh
• CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTIN (2)
• EJEMPLO (5)
• S =73 =87 Se concluye que la moda es 796
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (3)
• Construir una tabla de frecuencias y calcular la media (4)
• MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
• Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten so
• EL RANGO
• EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
• EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
• EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETA Para calc
• EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUA Para calc
• DESVIACIOacuteN MEDIA
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
• EJEMPLO (6)
• DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
• EJEMPLO (7)
• s
• LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O TIacutePICA
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
• CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATO (2)
• FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS (2)
• EJEMPLO (8)
• EJEMPLO (9)
• EJEMPLO (10)
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia
• Con los siguientes datos calcular el rango y la desvia (2)
• COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CV
• FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
• PROBABILIDAD
• RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
• CONCEPTO DE PROBABILIDAD
• En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha
• Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen
• En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable
• Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las p
• MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
• Si la probabilidad fuera 0 oacute 1 no habriacutea problema en de
• Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables
• Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de
• Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso
• Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es m
• Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna
• INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
• ESPACIOS MUESTRALES
• ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
• El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular