FSICA APLICADAMAGISTER: JORGE CASTILLO LOPEZ2015 - I CARRERA PROFEIOSNAL: EDIFICACIONES

Es un segmento de lnea recta orientado que sirve para representar a las magnitudes vectoriales tales como: - El desplazamiento de un automvil, - La velocidad de una avin, - La fuerza aplicada a un ladrillo, - La cantidad de movimiento de una bola de billar, - La aceleracin de una piedra que cae en el vaco. ilustracin:

Fig.(1)

A

4

3

x

y

( 4; 3 )

Es cuando el origen del vector coincide con el origenCoordenadas. Ejemplo: Vector A

A

4

3

x

y

( 4; 3 )

A un vector se le representa por cualquier letra mayscula del alfabeto con una pequea flecha en la parte superior.

Ejemplo: = se lee : vector A

= se lee : mdulo del vector A

Para encontrar el mdulo del vector A se emplea el teorema de Pitgoras.

A

1. Mdulo. Representa el valor del vector, se le llama tambin intensidad o magnitud.

De la figura el mdulo del vector A se encuentra utilizando el Teorema de Pitgoras:2. Direccin. a) Esta dada por la lnea de accin del vector Ejemplo: Su direccin del vector A es horizontal

A = 5 U

4

3

x

y

( 4; 3 )

A

b) En el plano cartesiano, la direccin est dada por el ngulo que forma el vector con el semieje positivo de las x. De la figura El ngulo representa la direccin del vector A

A = 5 U

4

3

x

y

( 4; 3 )

3. SentidoEs la orientacin del vector que indica haciaque lado acta el vector.

Grficamente esta dada por la punta de flecha del vectorSentido del vector es : derecha a izquierda

A

A

M = B A M = (2 ; 8) (-3 ; -4) M = (5 ; 12) Mdulo del vector M es:

2 = 52 + 122

2 = 25 + 144

2 = 169

= 13

Dado dos puntos A(-3;-4) y B(2;8). Hallar el mdulo del vector M y su direccin. DIRECCIN = tg-1(12/5) = 67

M

x

y

( 2; 8 )

( -3;-4 )

B

A

1. Vectores Libres Es cuando los vectores pueden desplazarse a travs de su lnea de accin o saltar en forma paralela.

A

A

A

A

L1

L2

L3

2. Vectores Colineales Es cuando los vectores se encuentran en la misma lnea de accin.

Ilustracin : 3. Vectores Opuestos Es cuando dos vectores tienen igual mdulo e igual direccin pero sentido opuesto.

Ilustracin:

A

B

A

B

4 u

4. Vectores Concurrentes Son aquellos en los cuales al prolongar su lnea de accin se intersectan en un solo punto.

Ejemplo: Sean los vectores A, B y C, se tiene:

A

B

C

5. Vectores unitarios Se denomina as a un vector que tiene la misma direccin que otro vector, donde su mdulo es la unidad.

Ilustracin: : Es el vector unitario es la direccin de A

A

U

U

A

=

A

A

A

Se usan los smbolos i y j para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones + x e + y respectivamente.

Ilustracin: EjemplosVector: A = (5i + 12j)Vector: B = (-6i 8j) APLICACINCalcular el mdulo y direccin de los vector unitarios: A=(5i + 12j) y B =(-6i 8j)

REPRESENTACIN VECTORES UNITARIOS

y

x

J

i

OPERACIONES CON VECTORES. ADICIN DE VECTORES

Es aquella operacin que consiste en encontrar un nico vector llamado VECTOR RESULTANTE capaz de reemplazar a un conjunto de vectores. La suma de vectores se puede encontrar con los mtodos grfico y analtico.

Con los vectores se pueden realizar un conjunto de operaciones como la adicin, sustraccin, multiplicacin escalar, etc. Utilizando el mtodo grfico o mtodo analtico.

En el mtodo grfico el vector que cierra el polgono es la resultante y si el polgono es cerrado, entonces el mdulo del vector resultante es cero. EJEMPLOS: a) b)

R = A + B Si : R = 0Aplicacin R = A + B + C + D

A

B

C

D

R

B

A

En este mtodo se presentan los siguientes casos:

(1) Resultante Mxima ( ) R mx =

A = 2 u

B = 4 u

Rmx = 6 u

) Resultante Mnima ( ) R mn = ; A > B

A =7 u

B = 3 u

Rmn = 4 u

Vectores Ortogonales. Se dice que son vectores ortogonales cuando los dos vectores forman ngulo de 90. Para encontrar el mdulo de la resultante se aplica el teorema de pitgoras.

R

A

B

Mtodo del Paralelogramo Se presentan los siguientes casos: a) Cuando: < 90En la grfica se observa que el ngulo entre losdos vectores es un ngulo agudo.

A

B

R

a) Cuando: 90 < < 180 En la grfica se observa que el ngulo entre los dos vectores es un ngulo obtuso

R

A

B

Sustraccin de vectores. Es aquella operacin que consiste en encontrar un nico vector llamado VECTOR DIFERENCIA entre dos vectores.

MTODO PRACTICO

B

A

D

D = B - A

D = A - B

A

B

Consiste en multiplicar un valor real llamado escalar por un vector cualquiera. Ejemplo. Sea el escalar m = 2 y el vector A = (3i + 2j) . Hallar: m . A

Solucin Consiste en multiplicar el valor real 2 por cada uno de los trminos del vectorial. As: m.A = 2(3i +2j) = 6i + 4j

Es la operacin que consiste en expresar un vector en funcin de otras ubicadas sobre rectas ortogonales donde la suma de stos representan al vector dado. Si Cos = , entonces Ax = A cos Si Sen = , entonces Ay = A sen Luego el mdulo del vector A ser : Y su direccin del vector A ser :

tg =

Ax = A cos 16 ; Ay = A sen 16Ax = 25(24/25) Ay = 25(7/25)Ax = 24 uAy = 7 u Encontrar las componentes rectangulares del vector A que vale 25 u, segn el vector dado en la figura:SOLUCIN

16

A

x

y

16

Ax

A

Ay

x

y

1 Realizar la descomposicin rectangular de cada vector 2 Calcular la sumatoria de todos los vectores que estn en los ejes x e y

Para resolver este tipo de problemas se siguen los siguientes pasos: 3 Hallar la resultante mediante el teorema de Pitgoras4 Calcular la direccin de la resultante utilizando la funcin trigonomtrica

tg =

Ejemplo(1) Calcular la resultante y direccin del conjunto de vectores mostrados en la figura. Si: A = 25 u , B = 10 u , C = 10 u y D = 3 u

Solucin Grfica

16

45

37

Ax

B

A

C

Ay

Bx

Cx

Cy

x

y

By

D

16

45

37

B

A

C

x

y

D

1 Paso. Hallamos las componentes rectangulares de cada vector: Ax = A cos 16; Ay = A sen 16; Bx = B sen 45

Ax = 25(24/25) Ay = 25(7/25) ; Bx = 10 Ax = 24 u Ay = 7 u Bx = 10 u Cx = C cos 37; Cx = 10 (4/5)By = 10 u Cx = 8 u Cy = 6 u Cy = C sen 37 Cy = 10 (3/5) By=B cos 45 By=10( )

16

45

37

Ax

B

A

C

Ay

Bx

Cx

Cy

x

y

By

D

2 Paso: Calculamos la sumatoria en los ejes x e Y Vx = Ax Bx Cx Vy = Ay + By - Cy - D Vx = 24 10 8 Vy = 7 + 10 6 3 Vx = 6 u Vy = 8 u

Ax = 24 u Ay = 7 u Bx = 10 u By = 10 u Cx = 8 u Cy = 6 u D = 3 u

16

45

37

Ax

B

A

C

Ay

Bx

Cx

Cy

x

y

By

D

3 Paso: Determinamos la resultante: R = R = 10 u R = 4 Paso: Encontramos la DireccinTg = tg = 8/6 = 53 tg = 4/3

**