Fracciones racionales Descomposición en fracciones parciales Ejercicios para la clase

Universidad del Pacífico

Clase 12: FRACCIONES RACIONALES

22 de mayo de 2015

Daniel Proleón Universidad del Pacífico

Fracciones racionales Descomposición en fracciones parciales Ejercicios para la clase

Fracciones racionales

Definición

Un expresión de la formap(x)q(x)

, donde p(x) y q(x) son polinomios

en R[x] con q(x) diferente del polinomio nulo, recibe el nombre defracción racional.

Daniel Proleón Universidad del Pacífico

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Fracción propia

Definición

Dada una fracción racionalp(x)q(x)

.

Si grad(p) < grad(q), se dice que la fracción es propia.En otro caso, se dice que la fracción es impropia.

Daniel Proleón Universidad del Pacífico

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Caso I

Ax + B(ax + b)2 =

A1

ax + b+

A2

(ax + b)2

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Caso II

Sean r1 6= r2

ax + b(x + r1)(x + r2)

=A1

x + r1+

A2

x + r2

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Caso III

Si ax2 + bx + c es un polinomio primo

Ax3 + Bx2 + Cx + D(ax2 + bx + c)2 =

A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2x + B2

(ax2 + bx + c)2

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Caso IV

Si ax2 + bx + c es un polinomio primo

Ax2 + Bx + C(x + r)(ax2 + bx + c)

=A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2

x + r

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Caso V

Si a1x2 + b1x + c1 y a2x2 + b2x + c2 son polinomios primosdistintos.

Ax3 + Bx2 + Cx + D(a1x2 + b1x + c1)(a2x2 + b2x + c2)

=A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2

a2x2 + b2x + c2

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Ejemplos

12x + 1(x− 1)2 .

28x + 12

x2 + 2x− 3.

3x

(x2 + 1)2 .

4x2 + x + 2

x3 − x2 + x− 1

5x3 + x2 + x + 2

x4 + 3x2 + 2

Daniel Proleón Universidad del Pacífico

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Ejercicios para la clase

1. Descomponer las siguientes fracciones racionales

a.7x + 3

x2 + 3x− 4.

b.3x− 5

x2 − 6x + 9.

c.4x2 − 8x + 1

x3 − x + 6.

d.2x3 + x2 + 2x− 1

x4 − 1.

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2. Sea a ∈ R− {1}, descomponer

xx2 − ax− x + a

.

3. ¿Qué sucede en el ejercicio anterior en el caso a = 1?

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4. (EF-2013-II) Dada la siguiente fracción racional

f (x) =1

x(x + 1)

determine el valor de f (1) + f (2) + f (3) + . . .+ f (50).

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5. Luego de simplificar, descomponer en fracciones parciales

(x− 1)2(2x + 3)− (x2 − 3x + 2)(x− 1)(x− 1)4

Daniel Proleón Universidad del Pacífico

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6. Justifique por que son falsas los siguientes enunciados:a. La suma de cualquier par de fracciones racionales propias es

propia.b. El producto de cualquier par de fracciones racionales

impropias es propia.

Daniel Proleón Universidad del Pacífico