PARTE 1: LANZAMIENTO DE DOS DADOSEn el lanzamiento de dos dados se obtiene el siguiente espacio muestral:

Donde la abscisa representa el resultado del dado 1 y la ordena la del dado 2.a. Probabilidad de obtener un doble

b. Probabilidad de que la suma de los dos dados sea mayor que 3

c. Probabilidad de que la suma de los dos dados sea 15

d. Probabilidad de que la suma de los dados sea a lo ms de 10

PARTE 2: PROBABILIDAD CONDICIONALLa probabilidad de que un eventoocurra cuando se sabe que ya ocurri un eventose llamaprobabilidad condicionaly se denota porque por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurri A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una funcin de probabilidad,definida como

Axioma IPara todo evento. Como entonces dividiendo porse tiene los trminos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma IIISies una sucesin de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

Como los eventosson mutuamente excluyentes, entonces los eventosson tambin mutuamente excluyentes y as

EjemploEntre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos tcnicos, 40 de los cuales son graduados. S se toma al azar uno de estos empleados, cul es la probabilidad de que:a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tcnico?b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tcnico?Solucin:Sean los eventos::el empleado es graduado

:el empleado dedica parte de su tiempo a trabajos tcnicos

De la informacin dada se puede elaborar parcialmente una tabla de contingenciaTrabajos

tcnicos

Otros

trabajos

Total

Graduados40150

No graduados

Total60200

La cual se puede completar como se muestra a continuacinTrabajos

tcnicos

Otros

trabajos

Total

Graduados40150

No graduados

Total60200

La probabilidad de que sea graduadodadoque se sabe no consagra su tiempo al trabajo tcnico,, se puede calcular en este caso de manera fcil utilizando la tabla de contingencia, en la cual esta probabilidad es calculada determinando proporcin de los de otros trabajos son graduados es decir, dada como el cociente entre es

Tambin es posible calcularla mediante la definicin de probabilidad condicional

PARTE 3: PROBABILIDAD TOTALSupongamos que los eventos A1, A2,...,A nformanuna particin del espaciomuestralS y sea B otro evento que tenga interseccin con los eventosA i.

Entonces quees conocida comoTeorema de Probabilidad Total.Ejemplo

Una fbrica produce 2 tiposde reguladores: del tipo A y del tipo B. El 75% de la produccin es del tipo A y el 25% del tipo B. Se sabe que el 95% de los reguladores del tipo A funcionan bien y el 98% de los del tipo B tambin funcionan bien. Si se selecciona un regulador al azar de la produccinde la fbrica Cul es la probabilidad de que funcione bien?.SolucinDefinamos el evento F como el regulador funcione bien. Los datos que tenemos son:P(A) = 0.75,P(F | A) = 0.95P(B) = 0.25,P(F | B) = 0.98.Aplicando el Teorema de Probabilidad Total tenemos que:P(F) = P(A) P(F | A) + P(B) P(F | B) = (0.75)(0.95) + (0.25)(0.98) = 0.9575

PARTE 4: TEOREMA DE BAYES Y PARTICIONES

Supongamos que los eventos A1,A2,.....,An forman una particin de un espacio muestral M; esto es, que los eventos Ai son mutuamente excluyentes (incompatibles) y su unin es M. Sea B otro evento. Entonces

donde los son eventos mutuamente excluyentes(incompatibles). En consecuencia por el teorema de la multiplicacin queda:

luego el Teorema de la IProbabilidad Total queda:

por otro lado, para cualquier i, la probabilidad condicional Ai dado B se define por

Reemplazando la IP(B) obtenemos el Teorema de causa o Teorema de Bayes :Teorema de Bayes Suponga que A1,A2,.....,An es una particin (sucesos incompatibles) del espacio muestral M y sea B un evento cualquiera del mismo espacio muestral M, entonces para cualquier i tenemos,

Ejercicio:Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avin. Cada forma de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.Para escoger el mtodo de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realiz en bicicleta.

Sea B el evento que no llegue a destino.

P(bicicleta/B) =0,4054 Al usar rboles para resolver un problema condicional de Bayes, se debe multiplicar los tramos de la rama que se busca, (en el ejemplo de que no llegue y sea bicicleta), y dividirlo por la P total del suceso no llegue a destino.

llega 0.97

auto 0.3

bicicleta 0.5

avin 0.2

llega 0.95

no llega 0.05

no llega 0.03

llega 0.96

no llega 0.04