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"El fractal y losalgoritmos en la

naturaleza"2do Seminario Didctica de las Ciencias

28 de agosto 2004

Ariel Alejandro AmadioAlumno de 3 ao del Profesorado de Matemtica

para el tercer ciclo EGB y el polimodal Instituto

Superior Fundacin Su!ui#$ra%a&o reali!ado %a&o el pro'rama de Becas (Padre Ani%al )rdo%a*

E+Mail, aru-amadio.ya/oo#com#ar
mailto:[email protected]:[email protected]


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2

El gran libro de la naturalezayace siempre abierto ante nuestos

ojos y en l est escrita laverdadera filosofa...

Pero no podemos leerla amenos que primero

aprendamos el lenguaje enque esta escrito...Esta escrito

en lenguaje matematicoGalileo Galilei

0a 'eometr1a se /a mantenido fria y seca2 ante la incapacidad de descri%ir un r%ol2 una nu%e2 unacosta o una montaa2 de%ido a ue las nu%es no son esf4ricas2 las montaas no son cnicas2 ni lacorte!a sua5e2 ni tampoco un rayo es rectil1neo# 6Benoit Mandel%rot 789:;#

All por un Alfonso72 /a%1amos 5isto ue el plicaciones2 a su manera2 de al'unos sucesos naturales###pero ue suceder1a si te di'o ue el


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que las orrillas del mar sean realmente deformes por no tener una forma regular# que las monta&as%ayan perdido las forma porque no son e$actamente como pirmides o conos) ni que las estrellasesten desma&adadamente por no estar a una distancia uniforme...*+Dic/ard Bentley;


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.

/e denomina algoritmo a una repeticin de secuancias para alcanzar un findeterminado%


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primero tomando nHmeros naturales para los 5alores de ># 6fi'# ;

7 7

:#9 :#9

:#I :#I

:#G :#G

:#A :#A

: :

+:#A+:#A

+:#G

+:#G

+:#I

+:#I

+:#9

+:#9

+7: 7 3 J K +7

: 7 3 J K

!fig 2$ f :NR / f (x ) =sen(x)

!fig*$ f : QR / f (x ) =sen(x)

0ue'o redefinamos el dominio de manera ue sean los nHmeros racionales los ue inter5en'an eincrementemos la 5aria%le > de L en L 6fi'# 3;2 y por Hltimo2 con la ayuda de un %uen pistolete o un'raficador como es mi caso2 usemos como dominio al con&unto de los nHmeros reales 6fi'# ;#

7 7J

:#9 7:

:# J

:#:

:# +J

: +7:

+:#A

+7J

+:#G

+:#I

+:#9

+7: 7 3 J K

+A:

+AJ

+3:

+3J

: 7 3 J K

sen(x)

!fig 4$ f :RR / f (x ) =sen(x) !fig +$f :RR / f (x )= x2

A medida ue fuimos cam%iando de campo num4rico la cur5a se /a sua5isado2 /a de&ado de teneresos picos molestos ue impresionan como poco est4ticos2 6 lue'o te parecesern naturales;#

sen(x)Si tomamos otra funcin como por e&emplo, f (x )

=

6fi'#J; la cual presenta una discontinuidadx

2

en y2 pese a ese corte a%rupto2 si es acotada tanto , como en , mantiene una2

2

2


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'rado de sua5idad#$am%i4n aprendimos el concepto de deri5ada y tra!amos rectas tan'entes a un punto en al'unafuncin2 aprendimos ue si no /a%1a continuidad en un inter5alo dado no pod1amos tra!ar la recta enel punto ue pro5oca%a la discontinuidad2 pero si nos top%amos con una funcin como

esta, f (x ) =

x

6fi'# ; no pod1amos tra!ar nin'una recta tan'ente en nin'Hn punto#

!fig ,$ f (x ) =x

Sin darnos cuenta2 las u%icamos en el con&unto de auellas funciones ue no son diferencia%les ennin'Hn punto2 creyendo2 in'enuidad de nuestra parte2 ue 4stas son solo casos particulares#Defle>ionemos un poco2 en el mundo donde /a%itamos2 la naturale!a nos muestra otra cosa2 siintentamos tra!ar una tan'ente en al'Hn punto de una montaa2 implicar1a tener ue acotarla2 poruede le&os y a simple 5ista parece estar llena de puntos cuspidales a!arosos2 si nos acercamos25ariamosla escala2 tenemos ms precisin2 pero###cada roca ue ele'imos parece contener a lamontaa misma###'ran pro%lema###y nuestro clculo solo caer dentro de la imprecisin# Sicam%iamos de o%&eto2 como por e&emplo un r%ol2 es tan 'rande la autoseme&an!a de 4ste uedesisto en intentar tra!ar una tan'ente# En este punto no me ueda otra ue decir2ue las funciones

continuas y deri5a%les son solo un mero caso particular2 al re54s de lo ue cre1amos2 o%5iamente aesta deduccin le falta el 'rado de ri'urosidad matemtica pertinente2 pero no me preocupo porue el'anador del premio no%el ean Perrinn 67873;

Jya /a%1a afirmado esto y por /al'o los 'randes

matemticos2 demostraron no /a%er i'norado esta cuestin ya ue en en muc/os de sus teoremascomien!an de esta manera (i una funcion es continua y deribable en el intervalo..*. ###No2 por lopronto2 prefiero tra!ar tan'entes en funciones particulares#

0

anador al premio nobel por el movimiento bro2niano%


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0a cur5a de


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!fig #0$ eleco de 9arnsley

Para e>plicarte ue es lo ue pretendo con esto del al'oritmo2 &uuemos un rato y como dicen losc/icos2 (a ue somos la naturale!a y construimos un A%eto*2### si asi noms de la nada### solo

podemos usar matemtica 6porue creemos ue ese es su len'ua&e;2 sin lapi! y sin papel2 ueconten'a una pi!ca de a!ar y autoseme&an!a#Si estas cur!ando Al'e%ra y Geometr1a II de%er1as estar incursionando dentro de lastransformaciones lineales con al'unos dolores de ca%e!a2 au1 en este peueo espacio le 5amos adar una aplicacin2 si %ien no toda transformacin lineal nos da un fractal estas secuencias detransformaciones nos lo di%u&arn,

Sean f1,f

2,f

3,f

4

las cuatro transformaciones de R2R

2representadas por

= 0.75 0.03

+ 10

f1(x ) x 0.07

=0.15

0.7 0.51

150

+10

f2(x ) x 0.5 0.15 40

= 0.2 0.25

+ 30

f3(x ) x 0.21 0.4 150

=0.02 0.05

+10

f4(x ) x 0.03 0.2 1

A/ora tomemos una coordenada al a!ar como por e&emplo el punto (10,2)y tiremos una dado2 si

sacamos 7 ele'imos

f1 2 si sacamos ele'imos f 2 2 si sacamos 3 ele'imos f 3 2 si sacamos f 4 encam%io si sacamos un nHmero distinto a los anteriores 5ol5emos a tirar /asta ue entremos en elinter5alo [1,4]2 y repitamos esta secuencia /asta ue nos a'otemos2 tomando como nue5acoordenada la ue nos /an de5uelto las transformaciones2 como esto se /ace muy tediosoescri%amos un pro'rama computacional2 en este caso lo /ar4 con el len'ua&e de computacin t4cnicaMA$0AB

porue no le tenemos ue ensear las operaciones matriciales y###

3

A4LA5 es marca registrada de 46e at67or8s, inc%


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QA%etoQFec/a de inicio, R:3R:Q=ora de inicio, :9,7JpmQ=ora de finali!acion, :9,Jpm

function A%eto6>2y;coordenadaT> yU @ QPrimera coordenada

$7T:#KJ :#:3@ +:#:K :#KU@ Q$ransfornaciones$T+:#7J :#J7@ :#J :#7JU@$3T:# +:#J@ :#7 :#U@$T:#: +:#:J@ :#:3 :#U@QBuscando numero aleatorio entre 7 y aleatorioSround6rand67;V7:;@Qround, recorta los decimales

Qrand67;V7:, 'enera un numero aleatorio W a 7 y eQmultiplicado por 7: para ue sea un nHmeroQdecimal de dos cifras#

aleatorioround6rand67;V7:;@X/ile or6aleatorioW72 aleatorio Y; Qpor si no cae dentro del inter5alo#

aleatorioround6rand67;V7:;@

end

sXitc/ aleatoriocase 72

coordenadaScoordenadaV$7Z T7: 7J:U@case 2

coordenadaScoordenadaV$AZ T7: G:U@case 32

coordenadaScoordenadaV$3Z T3: 7J:U@case 2

coordenadaScoordenadaV$GZ T7: 7U@

/old on@plot6coordenada67;2 coordenada6;2[%[;@ QGraficamos cada punto

A%eto6coordenada67;2 coordenada6;;@ Q0a funcin se llama a si misma2 con la nue5aQcoordenada o%tenida de la transformacin#

end

y con solo escri%ir en la lina de comandos del MA$0AB######A%eto67:2 ;####6fi'# 77;


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!fig ##$ A&eto generado en %A:6A9

aturalmente ue un A%eto no es a!ul pero lo ue nos interesa es la forma y la construccin#

Estamos acostum%rados a ue el lpi!2 el papel y los elementos de di%u&o tales como la re'la2escuadra2 comps y pistoletes son los adecuados para representar en cierto 'rado a la naturale!a2 y

lo es de un cierto modo art1stico2 pero dependiendo del 'rado de e>actitud ue deseemos2cam%iaremos los elementos de di%u&o por los elementos matemticos al'or1tmicos ue nosproporciona una computadora2 para ello de%eremos de aprender a utili!arlos2 dirs ue te es dificil ypoco natural para 5os2 claro est ue no di%u&aste en una mesa desde nio /aciendo tus primerosmoni'otes con una computadora2 pero si te 'usta la matemtica2 esta nue5a /erramienta ela%orada atra54s de los pensamientos del metematico /on


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'racias a ue la tecnol'1a /a ampliado nuestros sentidos2 y ui!s por ello de%emos crear nue5osmodelos matemticos para reintrepretarla#

Espero no /a%erte a%urrido y ue mires a la naturale!a con otros o&os2 te paso la posta para ue nosmuestres otro tipo de 'eometr1a no euclideana# =asta la pr>ima###

Al'unas ima'enes fractales###

Ariel Ale&andro AmadioAlumo de 3 ao del Profesorado deMatemtica para el tercer ciclo y el

polimodal Fundacin Su!ui#


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9i&liografia7

9E;to2 si me /u%ieseencontrado con la frase de Barnsley al comen!ar y no al finali!ar este tra%a&o ui!s /u%iese /uidodespa5orido#

Al profesor estor )lauss por /a%erme prestado el li%ro de Mandel%rot2 y por darme una %uena ideapara ue el al'oritmo del A%eto fuese ms rpido#

A mi esposa por la paciencia y las correcciones#

A mis compaeros Mara2 Stella2 0ili y =ernn por corre'ir los /orrores de orto'raf1a#

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