Diagrama de 3 Bits

1

Profesor Leopoldo Silva Bijit 19-01-2010

Captulo 5

Mapas de Karnaugh

5.1. Conceptos

Esta representacin grfica de una funcin booleana ha sido utilizada desde 1953. Permite entender los

principales conceptos sobre minimizacin de funciones, pero su uso prctico est limitado a un nmero

relativamente bajo de variables, no ms de 5 6. Existe una relacin uno a uno entre un mapa y una tabla de verdad. Una tabla tiene un rengln por cada mintrmino; y un mapa, como se ver, tiene un casillero o cuadro asociado a cada mintrmino. El mapa tambin puede ser considerado una extensin de los diagramas de Venn. Consideremos un diagrama de Venn para dos variables A y B:

Figura 5.1 Mintrminos de dos variables en un diagrama de Venn.

Si el orden de las variables para la asignacin del cdigo de mintrminos es AB, se puede rotular el diagrama con el nmero decimal asociado al mintrmino, queda:

Figura 5.2 Cdigos decimales de mintrminos en un diagrama de Venn.

Puede observarse que resultan reas desiguales para cada mintrmino; y que el grfico refleja las adyacencias entre mintrminos, pero no tan claramente como un 2-cubo, el cual se muestra en la Figura 5.3:

3

B A

1 2

0

A B

A

A B

A B

B

A B

2 Sistemas Digitales


Figura 5.3 Mintrminos de dos variables en un 2-cubo.

En un mapa de Karnaugh para cada mintrmino se adopta un rea de igual tamao y forma cuadrada; y adems, estos cuadrados se disponen de tal forma que reflejen las adyacencias. En la Figura 5.4, se ha superpuesto el 2-cubo, con un mapa de dos variables.

Figura 5.4 Mintrminos de dos variables en un mapa de Karnaugh.

La identificacin de los cuadros con el nmero del mintrmino, depende de la eleccin del orden de las

variables que se haya elegido para la representacin decimal equivalente. Por ejemplo, para dos variables A y

B:

0 1

0

1

A

f(A, B)

0 1

2 3

B 0 1

0

1

A

f(B, A)

0 2

1 3

B

Figura 5.5 Nmero decimal de los mintrminos y el orden de las variables.

La representacin de funciones mediante mapas, se logra marcando los mintrminos presentes con un "1"; los ceros suelen omitirse.

Por ejemplo, las funciones AND y OR, de dos variables, se representan en mapas segn:

A

f(A,B)

B 0 1

0

1

0 1

0

1

A 0 2

3 1

B

C

A 0 2

3 1

B

C

Captulo 5. Mapas de Karnaugh 3


Figura 5.6 Representacin de funciones de dos variables en un mapa.

Ntese que 1 3f m ; y que 2 1 2 3f m m m .

Mapa para tres variables. Para tres variables, en orden: A, B y C, se ilustran los mintrminos en un diagrama de Venn y en un 3-cubo:

Figura 5.7 Diagrama de Venn para tres variables y un 3-cubo.

La Figura 5.8, muestra un desarrollo de un 3-cubo. Ntese que al abrir las caras del cubo, los mintrminos

que estn a distancia uno, quedan adyacentes (exceptuando los de la cara 0451).

Los cdigos de los mintrminos quedan ordenados segn cdigo Gray. El 3-cubo muestra tambin la

propiedad del cdigo Gray de ser reflejado, la cara 0231 y la cara 4675 son 2-cubos con A=0 y A=1

respectivamente.

A B

0 1

0

1

0 0

0 2

0 1

3

1 2

0 1

3

f1(A,B)=A B

B A

1 0

1 1 1 2

0 1

3

f2(A,B)=A + B

7

B A

C

2

1

4

0

3 5

6 A 0

2 6

7

4

5 1

3

C

B

1 0



Figura 5.8 Del 3-cubo al mapa de Karnaugh de tres variables.

La Figura 5.9 muestra el desarrollo de un 3-cubo sobre el mapa de Karnaugh de tres variables:

Figura 5.9 Mapa de Karnaugh de tres variables y un 3-cubo.

Ntese que 0m es adyacente a 1 2,m m y 4m . En un mapa de Karnaugh se considera que los bordes de los

rectngulos son coincidentes, debido a la propiedad del cdigo Gray de ser cclico. Los cuatro mintrminos

de los extremos pueden visualizarse como muestra la Figura 5.10:

Figura 5.10 Bordes en un mapa de Karnaugh.

El mapa para tres variables puede obtenerse con dos mapas de dos variables. Resulta prctico colocar en un borde de cada cuadrado el nmero del mintrmino. De esta forma, resulta cmodo expresar una forma cannica en un mapa.

5.2. Formas de Mapas

A continuacin se ilustran mapas, para 3, 4 y 5 variables. Los valores de columnas y renglones se ordenan empleando cdigo Gray, para reflejar mejor las adyacencias. El orden de las variables, para la representacin decimal equivalente del mintrmino, figura en la base de cada mapa.

f(A, B, C)

C

AB

00 01

0

1

1

0 2

3

11 10

7

6 4

5

0

6 2

7

5

0

1

4

3

C

B

A

f(A, B, C)

C = 1

2 6

4

3 5

7

f(A, B, C)

B = 1 A = 1

0

1

A = 0

C = 0



Figura 5.11 Mapas de Karnaugh para tres y cuatro variables.

La Figura 5.12 muestra una forma alternativa de identificar los mintrminos, indicando las zonas donde las variables toman valor uno.

Figura 5.12 Mapa de Karnaugh para tres variables.

Ntese que el mapa de 5 variables se obtiene a partir de dos mapas de cuatro variables. A uno se le antecede un cero en la codificacin de las columnas y al otro un 1.

La Figura 5.13 muestra un mapa para 5 variables codificado en Gray.

C

AB

00 01

0

1

1

0 2

3

11 10

7

6 4

5

f(A, B, C)

CD

AB

00 01

00

01

1

0 4

5

11 10

13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

14

15 11

10

f(A, B, C, D)

C

A

B



Figura 5.13 Mapa de Karnaugh de cinco variables, codificado en Gray.

Sin embargo esta forma de generar mapas, no refleja bien las adyacencias. En un mapa de cinco variables cada mintrmino tiene cinco adyacentes, pero slo pueden dibujarse cuatro cuadrados adyacentes en un lado a un cuadrado. Por ejemplo, en la Figura 5.13, se visualiza bien que el mintrmino 5 tiene adyacentes los mintrminos: 1, 4, 7 y 13; pero no tan claramente que tambin es adyacente al 21. Otra forma es una representacin de mapas apilados en el espacio, como se muestra en la Figura 5.14. De esta forma puede visualizarse las adyacencias en diferentes planos. En esta representacin se visualiza mejor que el mintrmino 5 es adyacente con el 21.

DE

ABC

000 001

00

01

1

0 4

5

011 010

13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

14

15 11

10

f(A, B, C, D, E)

110 111

25

24

0

28

29

101 100

21

20 16

17

26

27 31

30

22

23 19

18



Figura 5.14 Mapa de Karnaugh apilable de cinco variables.

Mapas para 6 o ms variables son difciles de manejar.

5.3. Manejo de Mapas

Los siguientes conceptos son tiles en la manipulacin de mapas:

a) Un mapa de n variables tiene 2n cuadros. b) Cada bloque o casillero de un mapa de n variables, tiene n bloques adyacentes; ya que los cdigos

binarios de los n mintrminos adyacentes estn a distancia uno.

c) Un bloque est asociado a un producto o cubo que contiene las n variables, pudiendo stas estar o no

complementadas.

d) Agrupando dos bloques adyacentes, se logra un producto de (n-1) variables.

e) Los bloques pueden agruparse en un nmero que es una potencia de dos; es decir: 2, 4, 8, 16, etc.

f) Agrupando 2k bloques, que forman un k-cubo, la expresin booleana asociada es la que resulta de eliminar k variables de las n correspondientes a un mintrmino.

Los siguientes mapas ilustran el concepto de agrupaciones de nmeros pares de mintrminos, que forman

subcubos.

f(A, B, C, D, E)

DE

ABC

000 001

00

01

1

0 4

5

011 010

13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

14

15 11

10

100 101

17

16

0

20

21

111 110

29

28 24

25

18

19 23

22

30

31 27

26

A=0

A=1



Figura 5.15 Agrupaciones de 8 y 4 mintrminos en un Mapa de Karnaugh de cuatro variables.

Figura 5.16. 2-cubo y mintrmino en un Mapa de Karnaugh de cuatro variables.

Para n = 4:

a) Un mintrmino se expresa como un producto de 4 variables.

b) Una agrupacin de 2 mintrminos, que forman un 1-cubo (o que son adyacentes), puede expresarse en tres

variables.

c) Una agrupacin de 4 mintrminos, que forman un 2-cubo, se expresa en dos variables.

d) Una agrupacin de32 mintrminos, que forman un 3-cubo, reduce en 3 las variables; es decir, esta

agrupacin puede expresarse como una variable.

e) Una agrupacin de los42 mintrminos (forman un 4-cubo), puede expresarse como 1. Es decir, en 0

variables.

f) Ntese que bajo el mapa suele escribirse la funcin que ste representa.

g) La lectura de la expresin asociada a un grupo, se efecta por la interseccin de las zonas asociadas a las

variables.

h) El nmero de grupos de un literal, en caso de n variables, aplicando la frmula desarrollada en 4.4, es:

CD

AB

00 01

00

01

0 0

0 0 1

0 4

5

11 10

1 1

1 1 13

12 8

9

11

10

0 0

0 0 2

3 7

6

1 1

1 1 14

15 11

10

f(A, B, C, D)=A

CD

AB

00 01

00

01

0 0

0 0 1

0 4

5

11 10

1 0

1 0 13

12 8

9

11

10

0 0

0 0 2

3 7

6

1 0

1 0 14

15 11

10

f(A, B, C, D)=AB

CD

AB

00 01

00

01

0 0

0 0 1

0 4

5

11 10

0 0

0 0 13

12 8

9

11

10

0 0

0 0 2

3 7

6

1 0

1 0 14

15 11

10

f(A, B, C, D)=ABC

CD

AB

00 01

00

01

0 0

0 0 1

0 4

5

11 10

0 0

0 0 13

12 8

9

11

10

0 0

0 0 2

3 7

6

1 0

0 0 14

15 11

10

f(A, B, C, D)=ABCD



Para n=4, se tienen 8 grupos de un literal:

i) Los grupos de 2 literales, en caso de n variables, est dado por:

Con n=4, se tienen 24 grupos de dos literales:

j) Los grupos de k literales, cuando se tienen n variables, quedan dados por: Con k n :

Cuando k es igual a n, se logra el nmero de mintrminos.

k) Debido al alto nmero de subcubos, es importante ejercitarse en ubicarlos en el mapa.

Los menos evidentes son aquellos que se encuentran en los bordes.

Ejemplos de estos casos, para n=4: bd, bc, abd, abd

5.4. Uso de mapas

La obtencin del mapa, a partir de una forma cannica es asunto trivial, si los casilleros han sido rotulados con los nmeros decimales de los mintrminos. La obtencin del mapa, a partir de una forma suma de productos puede obtenerse empleando los conceptos desarrollados en manejo de mapas en el punto 5.3, para representar los cubos de cada producto. Aplicando la induccin perfecta los mapas pueden emplearse para demostrar teoremas, y tambin para verificar alguna proposicin del lgebra de Boole.

La principal aplicacin de los mapas es la minimizacin de funciones, realizada en forma manual, lo que

resulta conveniente para 5 o menos variables.

Ejemplo 5.1. Mapa a partir de los mintrminos.

Obtener el mapa de: ( , , ) (1,2,5)f A B C m

Basta marcar con un uno los mintrminos presentes. Se obtiene:

1 ! 2 2 21 1!( 1)!

n nn

n

DCBADCBA ,,,,,,,

k

knk

n2

)!(!

!

2

n

AB, A'B, AB', A'B'

AC, A'C, AC', A'C'

AD, A'D, AD', A'D'

BC, B'C, BC', B'C'

BD, B'D, BD', B'D'

CD, C'D, CD', C'D'

22

2 2!2 2 2 ( 1)2 2!( 2)!

n nn n

n



Figura 5.17. Mapa de Karnaugh a partir de lista de mintrminos.

Ejemplo 5.2. Mapa a partir de expresin.

Obtener el mapa de la siguiente funcin:

Para tres variables: Un mintrmino tiene 3 literales; una agrupacin de dos mintrminos adyacentes tiene una expresin dependiente de dos variables.

Para aclarar el mtodo, se dibujar un mapa para cada producto. Con un poco de experiencia, todos los

productos pueden dibujarse en el mismo mapa.

Para los cubos: AC y BC se obtienen:

Figura 5.18. Un mapa de Karnaugh por producto.

Y para A'BC: Finalmente:

( , , ) ' ' 'f A B C A C BC A BC

C

AB 00 01

0

1

1 1 1

0 2

3

11 10

7

6 4

5

f1(A, B, C)=A'C

C

AB

00 01

0

1

1

1

0 2

3

11 10

1

7

6 4

5

f2(A, B, C)=BC'

C

AB

00 01

0

1

1

1 1

0 2

3

11 10

1 7

6 4

5

( , , ) (1,2,5)f A B C m



Figura 5.19. Mapa de Karnaugh de un mintrmino y de la funcin completa.

El mapa anterior permite escribir la forma cannica:

( , , ) (1,2,3,6)f A B C m

Ntese que el producto A'BC est incluido en A'C

Los mintrminos se marcan slo una vez. Esto por idempotencia, ya que: i i im m m .

Ejemplo 5.3. Uso de mapas en la demostracin de teoremas.

Dadas dos funciones, si se desea probar su equivalencia, la aplicacin de los mapas simplifica largas

demostraciones algebraicas. Slo es preciso obtener un mapa para cada una de las funciones, y luego

comparar la igualdad de sus formas cannicas.

Demostrar el teorema de De Morgan:

La expresin del lado derecho tiene el mapa que figura a la izquierda en la Figura 5.20. A la derecha de la

Figura 5.20 se tiene el mapa para el OR de las variables.

Figura 5.20. Mapas de Karnaugh en la demostracin de teoremas.

Negando el mapa para la funcin OR, se obtiene idntico mapa al de f1. Entonces f1 y f2 son equivalentes por tener igual forma cannica, lo cual demuestra por induccin completa la proposicin, conocida como teorema

de De Morgan.

A

0 1

0

1

1

1

0 2

3

f1(A,B)=A'B'

B

A 0 1

0

1

1

1 1 1

1

0 2

3

f2(A,B)=A+B

C

AB

00 01

0

1

1 1

0 2

3

11 10

7

6 4

5

f3(A, B, C)=A'BC

C

AB

00 01

0

1

1

1 1 1

0 2

3

11 10

1

7

6 4

5

f(A, B, C)=A'C+BC'+A'BC

( ) ' ' 'a b a b



5.5. Minimizacin usando mapas de Karnaugh.

La simplificacin de expresiones booleanas mediante reducciones puramente algebraicas presenta dificultades, ya que no puede encontrarse un procedimiento sistemtico general, para efectuar la reduccin. Adems se presenta la dificultad de cmo saber que se ha encontrado la forma mnima. Los mapas, muestran la estructura interna de la funcin, facilitando la agrupacin en subcubos. Se han desarrollado herramientas de diseo lgico que permiten efectuar minimizaciones para funciones de una o varias variables. Sin embargo los algoritmos y heursticas en que estn basados no son fciles de entender, ya que conceptualizan aspectos de las funciones booleanas que son ms adecuadas a un tratamiento algortmico, mediante un computador. A continuacin desarrollaremos mtodos grficos, basados en mapas, y que estn limitados a un nmero reducido de variables (no ms de 6), ya que su exposicin permitir entender los mtodos automticos, as como tambin permitir disear, con papel y lpiz, algunos casos sencillos.

5.5.1. Minimizacin como suma de productos.

Podemos plantear el problema de minimizacin diciendo que se desea obtener, a partir de una expresin booleana, una forma equivalente que contenga un nmero mnimo de trminos, y tal que cada trmino tenga el mnimo nmero de literales posible. El mtodo consiste en dibujar el mapa a partir de la funcin, y luego leer desde el mapa agrupando convenientemente los mintrminos presentes. Deben respetarse las siguientes reglas:

Deben agruparse tantos bloques como sea posible; ya que mientras mayor sea la agrupacin, menor ser el

nmero de literales.

Debe formarse el menor nmero de agrupaciones de bloques; ya que a menor nmero de grupos, se tendr

menor nmero de trminos.

Un bloque puede ser usado muchas veces, en distintas agrupaciones; pero a lo menos una vez. Una tcnica consiste en formar primero los grupos con menor nmero de adyacencias. Por esta razn, los primeros mintrminos que deben marcarse son aquellos que no tienen adyacencias.

Ejemplo 5.4. Minimizacin a partir de los mintrminos

Se tiene:

Figura 5.21. Mapa de Karnaugh a partir de los mintrminos.

Si se considera primero la agrupacin de los mintrminos (2, 3, 6, 7) que puede leerse como B, podra inducir, en caso de mapas complejos, a no agrupar convenientemente al mintrmino ABC, que slo tiene una adyacencia.

C

AB

00 01

0

1

1 1

1 1

0 2

3

11 10

1

1 7

6 4

5

f(A, B, C)= (0,2,3,6,7)



Considerando formar grupos mayores con los mintrminos que tienen menos adyacencias quedan las siguientes agrupaciones de mintrminos: (0, 2) y (2, 3, 6, 7).

Figura 5.22. Agrupaciones en el Mapa de Karnaugh.

Veremos a continuacin un ejemplo ms complejo.

Ejemplo 5.5. Formacin de grupos de mintrminos en minimizacin basada en mapas.

Se desea minimizar: f(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 8, 9, 11, 13, 14) Dibujando un mapa para cuatro variables, se logra:

Figura 5.23. Mapa de Karnaugh con los mintrminos.

Se observa que:

14m no tiene mintrminos adyacentes. Por esta razn no puede agruparse.

13m tiene un mintrmino adyacente. Por lo tanto, slo puede agruparse con 9m .

0 3 8, ,m m m y 11m tienen dos mintrminos a distancia uno.

1m tiene 3 mintrminos adyacentes.

9m tiene 4 mintrminos a distancia uno.

Los grupos que forman sub-cubos suelen marcarse en al mapa, encerrando los mintrminos del grupo con una

lnea cerrada.

C

AB

00 01

0

1

1 1

0 1 1

0 2

3

11 10

1 0

1 0 7

6 4

5

f(A, B, C)=B+AC

AC

B

CD

AB

00 01

00

01

1

1 1

0 4

5

11 10

1

1 1 13

12 8

9

11

10

1

2

3 7

6

1

1 14

15 11

10

f(A, B, C, D)= (0,1,3,8,9,11,13,14)



Ya se tienen los grupos:( 14m ) y ( 9m y 13m ); puede formarse ( 0 1 8 9, , ,m m m m ), con el objeto de hacer el grupo

lo mayor posible.

Slo falta considerar 3m y 11m , que a su vez forman un grupo. Sin embargo, conviene efectuar la

agrupacin: ( 1 3 9 11, , ,m m m m ), que emplea 1m y 9m , ya considerados, con el objeto de hacer el grupo lo mayor

posible.

Resulta finalmente: f(A,B,C,D)=ABCD+AC'D+BD+BC

Figura 5.24. Mnimo nmero de grupos.

Ejemplo 5.6.

Minimizar: f(A, B, C, D) = m(0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 15)

Figura 5.25. Solucin ejemplo 5.6.

CD

AB

00 01

00

01

1 0

1 0 1

0 4

5

11 10

0 1

1 1 13

12 8

9

11

10

1 0

0 0 2

3 7

6

0 1

1 0 14

15 11

10

f(A,B,C,D)=ABCD+AC'D+BD+BC

CD

AB

00 01

00

01

1 0

1 0 1

0 4

5

11 10

0 1

0 1 13

12 8

9

11

10

0 1

1 0 2

3 7

6

1 0

0 1 14

15 11

10

f(A, B, C, D)=BCD+BD+BC



Ejemplo 5.7.

Minimizar: f(A, B, C, D, E) = m(0,2,4,7,10,12,13,18,23,26,28,29).


Ntese que la representacin es de sub-mapas apilados, pero dibujados en un plano. Se tienen los siguientes grupos: (7,23); (0,4); (12,13,28,29); (2,10,18,26)

5.5.2. Minimizacin en forma de producto de sumas.

El mtodo consiste en desarrollar el mapa para f, a partir de la forma cannica. Luego se obtiene el mapa para f negado, de esta forma, se puede leer el producto de maxtrminos de f, como la suma de mintrminos de f. As se obtiene la forma mnima como suma de productos. Despus se obtiene por involucin, la funcin f; y finalmente se aplica De Morgan. Para una funcin dada, siempre debern obtenerse los dos diseos; es decir la forma suma de productos y producto de sumas, ya que no es posible obtener una relacin que indique cual de las dos formas ser mnima.

Ejemplo 5.8

Para el mapa de la Figura 5.27, se pueden obtener las formas cannicas:

La suma de mintrminos, resulta:

f(A, B, C, D)= m(0, 1, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) La suma de maxtrminos, puede obtenerse segn:

f = m(2, 5, 6, 7) = m2 + m5 + m6 + m7

Aplicando De Morgan, resulta:

f = m2 m5 m6 m7 = M2 M5 M6 M7= M(2, 5, 6, 7) La funcin f, puede expresarse como suma de productos segn:

f(A, B, C, D) = A + CD + BD con 5 literales.

DE

ABC

000 001

00

01

1 1

0 0 1

0 4

5

011 010

1 0

1 0 13

12 8

9

11

10

0 1

1 0 2

3 7

6

0 0

0 1 14

15 11

10

f(A, B, C, D, E)=BCDE+ABDE+BCD+CDE

100 101

0 0

0 0 17

16

0

20

21

111 110

1 0

1 0 29

28 24

25

0 1

1 0 18

19 23

22

0 0

0 1 30

31 27

26



Tambin del mapa de f, puede leerse, como suma de productos, segn:

f = ABD + ACD

Aplicando De Morgan, puede expresarse como producto de sumas segn:

f(A, B, C, D) = (A + B + D)(A + C + D) con 6 literales.


Resulta mnima la forma suma de productos.

Ejemplo 5.9.

Minimizar, segn producto de sumas: f(A,B,C,D) = (4,5,7,8,10,11,12,13,15) Para f(A,B,C,D) se tiene:

Figura 5.28. Mapa con los mintrminos de ejemplo 5.9

Luego, para f ' el mapa resulta:

CD

AB

00 01

00

01

0 1

0 1 1

0 4

5

11 10

1 1

1 0 13

12 8

9

11

10

0 1

0 0 2

3 7

6

1 1

0 1 14

15 11

10

CD

AB

00 01

00

01

1 1

1 0 1

0 4

5

11 10

1 1

1 1 13

12 8

9

11

10

1 0

0 0 2

3 7

6

1 1

1 1 14

15 11

10



Figura 5.29. Mapa con los mintrminos de f

Formando los siguientes grupos, en el mapa: (0, 1, 3, 2); (6, 14); (1, 9). Se obtiene: f= AB + BCD + BCD Por involucin: (f) = f = (AB + BCD + BCD) Por De Morgan: f = (AB) (BCD) (BCD) Finalmente, por De Morgan:

f = (A +B) (B +C +D) (B +C +D) Con un poco de prctica, pueden agruparse los ceros en el primer mapa, y leer directamente las sumas, complementando las variables.

5.5.3. Condiciones superfluas (don't care)

Algunas funciones booleanas son completamente especificadas para todas las combinaciones posibles de sus variables. Se denominan funciones incompletamente especificadas cuando se establece que el valor de la funcin es "1" para ciertas combinaciones, "0" para otras y un valor cualquiera para el resto. Los mintrminos pueden agruparse en tres conjuntos: conjunto que activa la funcin (on set), conjunto que desactiva la funcin (off set) y conjunto de mintrminos superfluos (dc set). Los mintrminos que pueden ser especificados con valor "1" "0"; es decir: con cualquier valor, se denominan condiciones superfluas, o que no importan (dont care). Ejemplo de esta situacin, es cuando existe dependencia entre las variables de entrada; sta puede originar que nunca se produzcan ciertas combinaciones de valores de las variables de entrada. La presencia de estas condiciones flexibiliza el diseo de circuitos combinacionales; ya que posibilita aumentar el tamao de las agrupaciones, mediante la asignacin de valor "1" a ciertas condiciones superfluas y "0" a otras, segn convenga para aumentar los grupos de mintrminos que forman sub-cubos. Debe tenerse presente que no deben formarse agrupaciones que slo contengan trminos superfluos.

CD

AB

00 01

00

01

1

1 1

0 4

5

11 10

1 13

12 8

9

11

10

1

1 1 2

3 7

6

1 14

15 11

10

f '(A, B, C, D)



En el mapa, las condiciones superfluas pueden marcarse con una "d" o con una X. En algunos textos se emplea el smbolo ; el smbolo original representaba un "1" sobre un "0".

Ejemplo 5.10.

Se tiene f(A,B,C) = m(0,5) + d(1,4,7). En un mapa:

Figura 5.30. Mapa con condiciones superfluas.

Sin emplear las condiciones superfluas, se tiene: f = ABC + ABC, con 6 literales.

Puede agruparse (0,1) y (5,7). En este caso: f = AB + AC, con 4 literales.

Sin embargo, la agrupacin ms conveniente es (0, 1, 4, 5), y as se obtiene, con un literal:

f = B

Ntese que: f(A,B,C) = (2,3,6) D(1,4,7) es decir, los maxtrminos superfluos tienen iguales nmeros que los mintrminos superfluos. Tambin se tienen:

f(A, B, C) = m(2, 3, 6) + d(1, 4, 7) f(A, B, C) = M(0, 5) D(1, 4, 7)

Si en el ejemplo anterior, se minimiza la funcin f, como suma de productos, se logra: f=B. Obteniendo un resultado igual al anterior.

Figura 5.31. Mapa con condiciones superfluas de f

Debido a la presencia de condiciones superfluas, no se cumplir siempre que: f = (f ')'

C

AB

00 01

0

1

1

d 1

0 2

3

11 10

d

d 1 7

6 4

5

f(A, B, C)

C

AB

00 01

0

1

1

d 1 1

0 2

3

11 10

1 d

d 7

6 4

5

f '(A, B, C)



No obstante, tanto f como (f ')' contienen los mintrminos especificados en la lista de f.

Ejemplo 5.11.

Puede comprobarse que f y (f ')' no son iguales, para la siguiente funcin que contiene mintrminos superfluos: f(A, B, C) = m(0, 1, 5) + d(2, 6) = AC + BC f(A, B, C) = m(3, 4, 7) + d(2, 6) = B + AC f(A, B, C) = ( B + AC) = B (AC) = B(A+C) = AB + BC AC + BC

Ejemplo 5.12.

Disear traductor de cdigo BCD a exceso-3. El cdigo exceso-3, representa los dgitos decimales mediante su equivalente binario ms tres. Tiene propiedades aritmticas que lo hacen til en manipulaciones. Ntese que se tiene un sistema con cuatro entradas y cuatro salidas: Se ha asumido que la cifra BCD se

dispone en paralelo, y se desea lograr la equivalente exceso-3, tambin en paralelo. Se tiene:

BCD exceso-3

0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100

wxyz 4 3 2 1f f f f

Figura 5.32. Tabla traductor BCD a Exceso-3.

Si se conoce que en la entrada se tendr una cifra BCD, entonces algunas combinaciones de las variables w, x, y, z deben tratarse como condiciones superfluas. Es el caso de los mintrminos con equivalentes binarios 1010 hasta 1111. En un mapa, esto puede anotarse:



Figura 5.33. Mapa de las condiciones superfluas del ejemplo 5.13.

Las expresiones cannicas para las funciones de salida son:

f1 = m(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) f2 = m(0,3,4,7,8) + d(10,11,12,13,14,15) f3 = m(1,2,3,4,9) + d(10,11,12,13,14,15) f4 = m(5,6,7,8,9) + d(10,11,12,13,14,15)

Minimizando, para cada una de las funciones por separado, se logra para el sistema de mltiples salidas, con 17 entradas:

f1 = z f2= y z + yz f3= xy + xz + xyz f4 = xw +ywz

Puede apreciarse que en un sistema de salidas mltiples existe la posibilidad de ahorrar material: usando

parte o la totalidad de los productos de una funcin como partes de otra. Ejemplo de esto es el factor yz' de f2, que puede usarse en f3.

Una minimizacin multinivel con cuatro nodos, resulta con 16 literales:

f4 = w + x y + x z

f3 = f4' x + f4' y + f1' x'

f2 = f1 y' + f1' y

f1 = z'

Con un nodo adicional, resultan 13 literales.

f4 = x*nodo + w;

f3 = x*nodo + x*nodo; f2 = y*z + nodo; f1 = z; nodo = z + y;

Si se presenta una cifra BCD invlida en la entrada, la salida tambin ser errnea. Para usar confiablemente

el circuito combinacional, diseado empleando condiciones superfluas, debe asegurarse que la entrada sea

una cifra BCD vlida.

yz

wx

00 01

00

01

1

0 4

5

11 10

d

d 13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

d d

d d 14

15 11

10

f(w, x, y, z)



Problemas resueltos.

Problema 5.1. Comparador binario.

Primero es conveniente definir las variables que se emplearn:

Se tienen, como entradas, dos nmeros (N1 y N2) de dos cifras binarias cada uno.

Las salidas o los resultados de la comparacin sern tres seales que denominaremos: Lt por less than (menor

que), Eq por equal (igual), y Gt por greather than (mayor que).

Asumiremos que la cifra ms significativa de N1 ser A, y B la menos significativa; la cifra ms significativa

de N2 ser C, y D la menos significativa.

Un diagrama general de las entradas y salidas del mdulo combinacional que se disear es el siguiente:

LT

EQ

GT

A B < C D

A B = C D

A B > C D

A

B

C

D

N1

N2

Figura P5.1 Diagrama funcional comparador.

A continuacin se especifica el diseo mediante una tabla de verdad. sta tiene 16 renglones.

Cuando N1 igual a N2 se activa la seal EQ.

Cuando N1 es mayor que N2 se activa la seal GT.

Cuando N1 es menor que N2 se activa la seal LT.

Figura P5.2. Tabla del comparador.

A continuacin se plantean los 3 mapas de 4 variables y se efecta la minimizacin, se obtienen:

LT = A'B'D + A'C + B'CD

A B C D LT EQ GT

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 1

1 1 1 1 0 1 0



EQ = A'B'C'D' + A'BC'D + ABCD + AB'CD' = XNOR(A, C) XNOR(B, D)

GT = BC'D' + AC' + ABD'

Problema 5.2. Multiplicador de dos nmeros binarios de dos cifras cada uno.

Primero se definen las variables que se emplearn:

Los resultados de la multiplicacin son cuatro seales que denominaremos: P3 el bit ms significativo del

producto, hasta P0 que ser el bit menos significativo del producto. Tambin asumiremos que la cifra ms

significativa de N1 ser A, y B la menos significativa; la cifra ms significativa de N2 ser C, y D la menos

significativa. Un diagrama general de las entradas y salidas del mdulo combinacional que se disear es el

siguiente:

Figura P5.3. Diagrama funcional multiplicador.

A continuacin se especifica el diseo mediante una tabla de verdad. sta tiene 16 renglones.

Figura P5.4. Tabla de verdad de multiplicador.

Luego se plantean 4 mapas de 4 variables. Despus se minimiza, y se obtienen:

P3 = ABCD

P2 = ABC + ACD P1 = AB'D + AC'D + BCD' + A'BC

P0 = BD

Problema 5.3. Incrementador en uno de cifra BCD.

Se asume que en la entrada se tiene una cifra BCD vlida.

P2

P0

P3

A

B

C

D

N1

N2 P1

A B C D P3 P2 P1 P0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 1



Primero se plantean las variables que se emplearn.

La entrada son cuatro seales que denominaremos: E3 el bit ms significativo de la cifra BCD, hasta E0 que

ser el bit menos significativo. La salida son cuatro seales que denominaremos: S3 el bit ms significativo

de la cifra BCD aumentada en uno, hasta S0 que ser el bit menos significativo.

Figura P5.5. Diagrama funcional incrementador BCD.

Se asume que cuando a 9 se le suma 1 se obtiene cifra decimal 0. Se descarta la reserva.

Se completa la tabla de verdad.

Figura P5.6. Tabla de verdad del incrementador BCD

Se plantean 4 mapas de 4 variables y se minimiza, empleando condiciones superfluas, se obtienen:

S3 = E2 E1 E0 + E3 E0' S2 = E2 E1' + E2 E0' + E2' E1 E0

S1 = E3' E1' E0 + E1 E0'

S0 = E0'

Problema 5.4. Semisumador binario.

Se denomina semi-sumador a un dispositivo que permite sumar, en binario, dos variables de entrada de un bit

(Ai y Bi). El sistema debe generar dos salidas: la suma (Si) y la reserva de salida (Ci carry).

La tabla de verdad resulta:

S2

S0

S3

E3

E2

E1

E0

S1

E3 E2 E1 E0 S3 S2 S1 S0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 d d d d

1 0 1 1 d d d d

1 1 0 0 d d d d

1 1 0 1 d d d d

1 1 1 0 d d d d

1 1 1 1 d d d d



Figura P5.7. Tabla de verdad del semisumador

Del mapa pueden leerse las siguientes ecuaciones:

Si = AiBi + AiBi = Ai Bi Ci = Ai Bi

Figura P5.8. Implementacin semisumador.

Problema 5.5. Sumador completo.

Si se desea sumar variables de varios bits se requiere un sumador completo, que tenga una tercera entrada

denominada reserva de entrada (carry-in):

Figura P5.9. Diagrama funcional sumador completo de un bit.

Se tiene la siguiente tabla de verdad:

Figura P5.10. Tabla de verdad del sumador completo de un bit.

El esquema de la Figura P5.11, muestra una suma de cuatro bits en base a la conexin de cuatro sumadores

completos:

Ai Bi Ci Si

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

Bi

Ai Si

Ci

Ai Bi Ci

Si Ci+1

Ai Bi Ci Ci+1 Si

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1



Figura P5.11. Diagrama funcional sumador completo de cuatro bits.

Las ecuaciones, para la tabla de la Figura P5.10, resultan:

Si = C i A i B i

C i +1 = B i C i + A i C i + A i Bi = C i (A i + B i) + A i B i

Un esquemtico que representa a las ecuaciones anteriores se muestra en la Figura P5.12.

Figura P5.12. Red para sumador completo.

Un sumador completo, puede implementarse mediante dos semi-sumadores, observando que:

C i +1 = B i C i + A i C i + A i Bi = C i (A i + B i) + A i B i = C i (A i B i) + A i B i

Figura P5.13. Sumador completo mediante dos semisumadores.

Problema 5.6. Deteccin y correccin de errores en bits. Hamming.

En sistemas digitales, determinadas acciones sobre los datos colocan la integridad de stos en peligro.

Ejemplo de procesos que pueden generar errores son: El almacenar bits en memorias dinmicas o en medios

magnticos (superficies de discos flexibles o rgidos, que pueden daarse fsicamente o contaminarse por

interferencia en la escritura o lectura); la transmisin de bits mediante conductores de cobre, fibra o en forma

inalmbrica a travs de grandes distancias.

A0 B0 C0

S0 C1

A1 B1 C1

S1 C2

A2 B2 C2

S2 C3

A3 B3 C3

S3 C4

Bi

Ai

Si Ci

Ci

Ai

Bi

Ci

Bi

Ai

Ci+1

Bi

Ai Ai Bi

Ai Bi

Ci+1

(Ai Bi )Ci

Si

Ci

Ai Bi Ci



Debe contemplarse en el diseo de sistemas digitales que estos errores pueden producirse y que debe

encontrarse procedimientos para tratarlos.

La idea bsica es que cuando se almacena o enva informacin se le agregue bits adicionales, denominados de

redundancia.

La deteccin de errores emplea los bits adicionales cuando se accesa o recibe informacin para determinar si

existe corrupcin de los datos. En la correccin de errores, la informacin adicional debe permitir detectar y

corregir los errores, dentro de ciertos lmites.

La deteccin requiere menos bits redundantes, pero si se detecta un error, el receptor solicita que se vuelvan a

enviar los datos, lo cual agrega tiempo de latencia y complejidad.

En la correccin se tiene menor latencia, ya que el proceso de correccin es una parte de la lgica que recibe

los datos; y slo si los errores sobrepasan los lmites de la correccin, debe solicitarse el reenvo.

Existen procedimientos para detectar y corregir errores simples (paridad, Hamming) y mltiples (cdigos de

redundancia cclica).

Deteccin de un error simple.

Se envan n bits: b0, b1, b2, ..., bn-1. Se desea encontrar el modo de detectar un error de un bit.

Una solucin es enviar (n+1) bits, el bit n-avo es uno si existe un nmero impar de unos en los n bits de

datos. Por esto al bit redundante se lo denomina de paridad (par en este caso), ya que la informacin ms el

bit adicional contienen una cantidad par de unos.

Para dos variables booleanas, el or exclusivo de ellas es cero si el nmero de unos es par; y uno si es impar.

Para las n variables, la forma de computar (generar) el bit de paridad es mediante la siguiente ecuacin

lgica:

bn = b0 b1 b2 ...bn-1

Si los datos se disponen en paralelo (todos al mismo tiempo) puede determinarse la paridad mediante un rbol

combinacional mediante xors. Si los datos se tienen en serie, basta una compuerta xor y un registro(o

memoria) de un bit.

Para verificar la paridad, en el receptor se recalcula:

R = b0 b1 b2 ...bn-1 bn

Si (R = =1) se detecta un error simple en un bit, y se toma alguna medida.

Se emplea paridad en algunas situaciones, por ejemplo: en transmisin serial, en arreglos de memoria donde

cada bit de los n, se almacena en un chip diferente.

Correccin de un error simple.

Se envan n bits: b0, b1, b2, ..., bn-1. Se desea encontrar el modo de detectar y corregir un error en un bit.

Cdigos de Hamming (1950).

Se describe el procedimiento desarrollado por Hamming.

Se toman subconjuntos traslapables de b0, b1, b2, ..., bn-1.

Se calcula un bit de paridad para cada subconjunto.

Se envan m bits, n de datos y k de paridad.

Con suficientes bits de paridad puede identificarse el bit errado; ya que el receptor calcula una palabra de

chequeo, tal que si es cero, no hay errores; en caso de existir un error, el valor de la palabra de chequeo indica

la posicin del bit errado. Para corregir el error, se complementa el bit en la posicin indicada por la palabra

de chequeo.



Se tienen:

n bits de datos: b0, b1, b2, ..., bn-1.

k de paridad: p0, p1, p2, ..., pk-1.

m en total: c1, c2, ..., cm. Ntese que los bits ci se enumeran a partir de uno.

Primera etapa: Asignar los bi y pi con ci .

Se asigna cada bi y cada pi una sola vez. Primero se asigna c1, luego c2 y as sucesivamente.

Se asigna ci a un bit de paridad si i es una potencia de dos; en caso contrario se asigna el ci a un bit de dato. El

proceso se detiene cuando no quedan ms bits bi que asignar.

Ejemplo con n = 4. Se tienen b0, b1, b2, b3

Se asigna: c1 = p0 Ya que 20 = 1.

Luego: c2 = p1 Ya que 21 = 2.

c3 = b0 Ya que i = 3 no es una potencia de dos.

c4 = p2 Ya que 22 = 4.

c5 = b1 c6 = b2 c7 = b3 En este paso no quedan ms bits que asignar.

En este caso resulta k = 3, y m = 7. Deben enviarse tres bits adicionales para detectar y corregir un error

simple. Si n es elevado se tendr que k es aproximadamente igual a log2(n).

Cuatro bits de paridad permiten un mximo de m = 16, con 12 de datos.

Cinco bits de paridad permiten un mximo de m = 32, con 27 de datos.

Segunda etapa: Clculo de los bits de paridad.

La determinacin de los subconjuntos de c1, c2, ..., cm. debe permitir encontrar la posicin del bit errado. Para

ello se escriben los ci en binario, y se forma un subconjunto con todos los bits que tengan un uno en

determinada posicin de la secuencia binaria. Debido a la eleccin de los pi, slo estar presente un pi en cada

subconjunto. Se calcula el pi del subconjunto como el xor de los bits de datos del subconjunto.

En el ejemplo con m = 7, se tienen:

Figura P5.14. Generacin bits de paridad

Tercera etapa: Corregir el error de un bit en recepcin:

Se separan los datos recibidos en subconjuntos, se calcula wi, el xor de todos los elementos de cada

subconjunto (incluidos los bits de paridad). Se calcula el valor de chequeo, mediante:

chequeo = w0 + 2* w1 + 4* w2 + ....

Si el valor de chequeo no es cero, un bit debe ser errneo. Cada wi = 0 remueve la duda sobre algunos bits.

Cualquier bit puede tener un error (solo un bit), incluso uno de los de paridad puede haberse contaminado en

la transmisin o lectura. Si un bit est errado existe slo una forma de corregirlo.

Si chequeo es cero, no hay error simple. En caso contrario se complementa el bit cchequeo

c1 = c001 = p0

c2 = c010 = p1

c3 = c011 = b0

c4 = c100 = p2

c5 = c101 = b1

c6 = c110 = b2

c7 = c111 = b3

Los subconjuntos, resultan:

(c1, c3, c5, c7) = (p0, b0, b1, b3)

(c2, c3, c6, c7) = (p1, b0, b2, b3)

(c4, c5, c6, c7) = (p2, b1, b2, b3)

Los bits de paridad se

calculan segn:

p0 = b0 b1 b3

p1 = b0 b2 b3

p2 = b1 b2 b3

b0 b1 b3

p0

b0 b2 b3

p1

b1 b2 b3

p2



Para m = 7 se calculan los wi, a partir de los ci:

c1 c3 c

5

w

0 c7

c2 c3 c6 w

1 c7

c4 c5 c6 w

2 c7

Figura P5.15. Clculo de los wi.

El valor de chequeo resulta: chequeo = w0 + 2* w1 + 4* w2

La siguiente tabla muestra los valores binarios de los wi posibles, y asumiendo que slo un bit del

subconjunto puede estar errado si wi es uno; y que si wi es cero, los elementos del subconjunto asociado estn

correctos.

Estudiemos el segundo rengln: Con w2 igual a cero, no pueden estar errados: p2, b1, b2, b3; y si adems w1

es cero: p1, b0, b2, b3 llegan correctamente; y si w0 es 1 podra existir un error en p0, b0, b1, b3. Pero de las

listas anteriores: b0, b1, b2 y b3 llegaron correctamente; por lo tanto se determina que en este caso p0 lleg

errado.

w2 w1 w0 chequeo Pueden tener error No estn errados Bit errado:

0 0 0 0 ninguno todos ninguno

0 0 1 1 p0, b0, b1, b3 p1, b0, b2, b3, p2, b1 p0

0 1 0 2 p1, b0, b2, b3 p0, b0, b1, b3, p2, b2 p1

0 1 1 3 p0, b0, b1, b3, p1, b2 p2, b1, b2, b3 b0

1 0 0 4 p2, b1, b2, b3 p0, b0, b1, b3, p1, b2 p2

1 0 1 5 p0, b0, b1, b3, p2, b2 p1, b0, b2, b3 b1

1 1 0 6 p1, b0, b2, b3, p2, b1 p0, b0, b1, b3 b2

1 1 1 7 b3 b3

Figura P5.16. Interpretacin tabla de valores de wi

En la siguiente red, si w0 y w1 son unos y w2 es cero, se tendr que f0 es b0'; en caso contrario es b0.

Figura P5.17. Correccin empleando wi

w0 = (c1 c3 c5 c7) = (p0 b0 b1 b3)

w1 = (c2 c3 c6 c7) = (p1 b0 b2 b3)

w2 = (c4 c5 c6 c7) = (p2 b1 b2 b3)

w1 w0

f0

c3 w'2

w'1 w0

f1

c5 w2

w1 w'0

f2

c6 w2

w1 w0

f3

c7

w2



Ejemplo cdigo Hamming de 7 bits.

A partir de los valores de los bits de informacin se calculan los de paridad.

a) Se calculan los wi, a partir de los ci , recibidos sin errores, segn:

El valor de chequeo resulta: chequeo = w0 + 2* w1 + 4* w2 = 0

b) Se calculan los wi, a partir de los ci , asumiendo que c3 llega errado, segn:

El valor de chequeo resulta:

chequeo = w0 + 2* w1 + 4* w2 = 1 + 2*1 +4 *0 = 3, lo cual implica que debe complementarse c3.

c) Se calculan los wi, a partir de los ci , asumiendo que c5 llega errado, segn:



d) Se calculan los wi, a partir de los ci , asumiendo que c1 llega errado, segn:



Problema 5.7.

Se tiene un nmero binario de cuatro bits: A3A2A1A0, donde A3 es la cifra ms significativa, sea n el

equivalente decimal de este nmero.

Disear un sistema que acepte a n como entrada y que produzca en la salida el equivalente binario del nmero

decimal: ( n*4 +1).

Solucin.

El mayor n que puede escribirse con cuatro bits es 15, por lo tanto la salida mayor ser 61, lo cual requiere 6

cifras binarias para representarla. Sean stas: S5S4S3S2S1S0.

La siguiente tabla de verdad ilustra la situacin:

Con: b0 = 0; b1 = 1; b2= 0; b3 = 1

Los bits de paridad se calculan segn:

p0 = b0 b1 b3 = 0 1 1 = 0 p1 = b0 b2 b3 = 0 0 1 = 1 p2 = b1 b2 b3 = 1 0 1 = 0

w0 = (c1 c3 c5 c7) = (p0 b0 b1 b3) = (0 0 1 1) = 0

w1 = (c2 c3 c6 c7) = (p1 b0 b2 b3) = (1 0 0 1) = 0

w2 = (c4 c5 c6 c7) = (p2 b1 b2 b3) = (0 1 0 1) = 0

c1 = c001 = p0 = 0

c2 = c010 = p1 = 1

c3 = c011 = b0 = 0

c4 = c100 = p2 = 0

c5 = c101 = b1 = 1

c6 = c110 = b2 = 0

c7 = c111 = b3 = 1

w0 = (c1 c3 c5 c7) = (p0 b0 b1 b3) = (0 1 1 1) = 1

w1 = (c2 c3 c6 c7) = (p1 b0 b2 b3) = (1 1 0 1) = 1

w2 = (c4 c5 c6 c7) = (p2 b1 b2 b3) = (0 1 0 1) = 0

w0 = (c1 c3 c5 c7) = (p0 b0 b1 b3) = (0 0 0 1) = 1

w1 = (c2 c3 c6 c7) = (p1 b0 b2 b3) = (1 0 0 1) = 0

w2 = (c4 c5 c6 c7) = (p2 b1 b2 b3) = (0 0 0 1) = 1

w0 = (c1 c3 c5 c7) = (p0 b0 b1 b3) = (1 0 1 1) = 1

w1 = (c2 c3 c6 c7) = (p1 b0 b2 b3) = (1 0 0 1) = 0

w2 = (c4 c5 c6 c7) = (p2 b1 b2 b3) = (0 1 0 1) = 0



n A3A2A1A0 n*4 +1 S5S4S3S2S1S0

0 0000 1 000001

1 0001 5 000101

2 0010 9 001001

3 0011 13 001101

4 0100 17 010001

5 0101 21 010101

6 0110 25 011001

7 0111 29 011101

8 1000 33 100001

9 1001 37 100101

10 1010 41 101001

11 1011 45 101101

12 1100 49 110001

13 1101 53 110101

14 1110 57 111001

15 1111 61 111101

Figura P5.18. Tabla de verdad Problema 5.7

Observando la tabla, se determina que S1= 0 y S0 = 1 son constantes, y que:

S5 = A3, S4 = A2, S3 = A1, y S2 = A0

El diseo mnimo no requiere compuertas, y se muestra a continuacin:

Figura P5.19. Red Problema 5.7

A la derecha se muestra un diseo donde las seales S1 y S0 son salidas de compuertas.

Problema 5.8.

Se tiene un circuito digital de 4 entradas (A, B, C, D) y cuatro salidas (f1, f2, f3, f4).

a) Determinar como suma de mintrminos, la funcin f1 que es verdadera cuando exactamente dos de las

entradas sean verdaderas.

b) Determinar como producto de maxtrminos, la funcin f2 que es verdadera cuando exactamente tres de las

entradas sean verdaderas.

c) Determinar mediante un circuito lgico en base a AND, OR y NOT, la funcin f3, que es verdadera cuando

exactamente cuatro de las entradas sean verdaderas.

d) Determinar mediante una expresin booleana, la funcin f4, que es verdadera cuando exactamente cuatro

de las entradas sean falsas.

Solucin.

Se tienen las siguientes tablas de verdad.

A3

A2

A1

A0

S5

S4

S3

S2

S1

S0 VCC

tierra

VCC

S1

S0



A B C D f1 f2 f3 f4 Cdigo

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 2

0 0 1 1 1 0 0 0 3

0 1 0 0 0 0 0 0 4

0 1 0 1 1 0 0 0 5

0 1 1 0 1 0 0 0 6

0 1 1 1 0 1 0 0 7

1 0 0 0 0 0 0 0 8

1 0 0 1 1 0 0 0 9

1 0 1 0 1 0 0 0 10

1 0 1 1 0 1 0 0 11

1 1 0 0 1 0 0 0 12

1 1 0 1 0 1 0 0 13

1 1 1 0 0 1 0 0 14

1 1 1 1 0 0 1 0 15

Figura P5.20. Tabla de verdad Problema 5.8

Entonces:

a) f1 = m(3, 5, 6, 9, 10, 12)

b) f2 = M(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15)

c) f3 = m(15) = ABCD

d) f4 = m(0) = A'B'C'D'

Problema 5.9.

Se tiene una funcin booleana:

f(a, b, c, d) = m(7, 13, 14) + d(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10)

a) Encontrar los implicantes primos e implicantes primos esenciales, fundamentando la respuesta.

b) Encontrar todos los diseos que implementen la funcin mnima en su forma suma de productos y

producto de sumas.

Solucin.

a) Para la forma suma de productos se tiene el siguiente mapa de Karnaugh:

f3

D C B A



Figura P5.21. Suma de productos Problema 5.9

Observando el mapa o aplicando mtodo de Quine o Quine-McCluskey, y empleando las condiciones

superfluas, se pueden formar: 3 implicantes primos de 4 mintrminos cada uno; y dos implicantes primos de

dos mintrminos cada uno. La siguiente tabla de implicantes, muestra que cd es implicante primo esencial, ya que es el nico que contiene al mintrmino 13.

Implicantes

primos

7 13 14

ab x

cd

ad x

acd x

bcd x

Figura P5.22. Tabla de implicantes. Problema 5.9

Se tienen 4 diseos alternativos con mnimo costo. Con 10 entradas cada uno.

f(a, b, c, d) = cd + ab + acd f(a, b, c, d) = cd + ab + bcd f(a, b, c, d) = cd + ad + acd f(a, b, c, d) = cd + ad + bcd

b) Para la forma producto de sumas se tiene el siguiente mapa de Karnaugh:

cd

ab

00 01

00

01

d

d d 1

0 4

5

11 10

1 d 13

12 8

9

11

10

d 1

d 2

3 7

6

1 d 14

15 11

10

f(a, b, c, d)= m(7, 13, 14) + d(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10)



Figura P5.23. Mapa para suma de productos. Problema 5.9

Observando el mapa o aplicando mtodo de Quine o Quine-McCluskey y empleando las condiciones

superfluas se pueden formar: Un implicante primo de 8 mintrminos; 3 implicantes primos de 4 mintrminos

cada uno; y un implicante primo de dos mintrminos cada uno.

La siguiente tabla de implicantes, muestra que cd y acd son implicantes primos esenciales.

Implicantes

primos

0 2 8 11 12 15

b x x x x

cd x x

ac x

ad x x

acd x

Figura P5.24. Tabla de implicantes de f. Problema 5.9

La cobertura del mintrmino 2 se logra seleccionando el implicante b que cubre a ad. Entonces la (nica) funcin mnima es: f (a, b, c, d) = cd + acd + b, que en la forma pedida es:

f( a, b, c, d) = (c + d)(a + c + d)(b) de 9 entradas.

Problema 5.10.

Se tiene el diseo mnimo como suma de productos para la siguiente funcin:

f(a, b, c, d) = abd + bc + ad

Se conoce: que el mintrmino abcd es superfluo, que el maxtrmino (a + b + c + d) es superfluo, y que el implicante abc es superfluo.

a) Determinar el mapa de Karnaugh para f, indicando los unos, ceros y condiciones superfluas.

b) Obtener el diseo mnimo como producto de sumas, indicando en un mapa los implicantes seleccionados.

Solucin:

a1) Se ubican los mintrminos superfluos, y se los dibuja en el mapa:

cd

ab

00 01

00

01

1 d

d d 1

0 4

5

11 10

1 1

d 13

12 8

9

11

10

d

1 d 2

3 7

6

1 1

d 14

15 11

10

f (a, b, c, d)



abcd = m6 ; abc = m0 + m1

Que el maxtrmino (a +b +c +d) = M9 sea superfluo, indica que m9 es superfluo.

a2) Se ubican los implicantes de f:

abd = m(13, 15); bc = m(0, 1, 8, 9); ad = m(0, 4, 2, 6)

Esto permite determinar los unos de la funcin como m(2, 4, 8, 13, 15); y tambin los ceros de la funcin

como M(3, 5, 7, 10, 11, 12, 14)

Figura P5.25. Mapa Problema 5.10

El mapa ilustra el diseo de la funcin mnima, con condiciones superfluas, expresada como suma de

productos:

f(a, b, c, d) = m(2, 4, 8, 13, 15) + d(0, 1, 6, 9) = abd + bc + ad

Mtodo 1(agrupando los ceros)

b1) Se desea disear f, segn:

f(a, b, c, d) = M(3, 5, 7, 10, 11, 12, 14) Md(0, 1, 6, 9)

El grupo M(1, 3, 5, 7) debe incluirse ya que es el mayor y nico grupo que cubre a 5 y 7.

El grupo M(12, 14) es el mayor y nico grupo que cubre a 12, y debe estar presente.

Slo resta cubrir a M(10, 11), lo cual puede hacerse incluyendo a dicho grupo. La incorporacin del grupo

mayor M(1, 3, 9, 11) que cubre al 11, requiere otro grupo para cubrir al 10, ya sea M(10, 14) o M(10, 11).

cd

ab

00 01

00

01

d 1

d 0 1

0 4

5

11 10

0 1

1 d 13

12 8

9

11

10

0 0

1 d 2

3 7

6

1 0

0 0 14

15 11

10

f(a, b, c, d)= abd + bc + ad



Figura P5.26. Mapa suma productos. Problema 5.10

Para un diseo libre de perturbaciones debera incluirse a los grupos M(10, 14) y M(3, 11)

Mtodo 2(agrupando los 1 de f ) b2) Se desea disear f, segn:

f (a, b, c, d) = m(3, 5, 7, 10, 11, 12, 14) + d(0, 1, 6, 9) Se tiene el mapa:

Figura P5.27. Mapa producto de sumas. Problema 5.10

En la tabla de implicantes se muestran slo los mintrminos; no se requiere cubrir los superfluos. De la tabla

se advierte que ad es implicante primo esencial, ya que agrupa al 5 y 7 que slo l contiene. Tambin abd es implicante primo esencial ya que es el nico grupo que contiene al mintrmino 12.

cd

ab

00 01

00

01

d 0

d 1 1

0 4

5

11 10

1 0

0 d 13

12 8

9

11

10

1 1

0 d 2

3 7

6

0 1

1 1 14

15 11

10

f (a, b, c, d) = ad + abd + abc

cd

ab 00 01

00

01

d 1

d 0 1

0 4

5

11 10

0 1

1 d 13

12 8

9

11

10

0 0

1 d 2

3 7

6

1 0

0 0 14

15 11

10

f(a, b, c, d)= (a + d)( a+ b +d) (a + b +c)



Figura P5.28. Tabla implicante. Mapa de la Figura P5.27

Para cubrir m10 y m11, la mejor opcin es abc, lo cual puede deducirse de la tabla reducida.

Figura P5.29. Tabla reducida de la Figura P5.28

Se obtiene: f (a, b, c, d) = ad + abd + abc y complementndola, se logra:

f(a, b, c, d)= (a + d)( a+ b +d) (a + b +c)

Problema 5.11.

Se tiene f(a, b, c, d) formada por los siguientes mintrminos: 4, 5, 6, 8, 9, 10, 13.

Adems se conoce que las variables de entrada nunca toman los valores lgicos que hacen verdadera a la

expresin: bcd + abcd

a) Dibujar el mapa para la funcin f.

b) Minimizar como producto de sumas, en dos niveles.

c) Minimizar como suma de productos, en dos niveles.

Solucin:

a) Considerando las condiciones superfluas y los mintrminos, en un mapa rotulado segn notacin de

conjuntos, resulta:

Figura P5.30. Mapa con condiciones superfluas.

b) Se muestran los grupos de mintrminos en el mapa de la Figura 5.30.

3 5 7 10 11 12 14

ad x x x

abd x x

abc x x

acd x x

bd x x

bcd x

10 11

abc x x

acd x

bd x

d

d 1

0 1

0 1

1 1

a

0 d

0 1

d 0

0 1

c

b



Figura P5.31. Implicantes de la Figura P5.30.

Resulta: f = a b d + a d c + a b

c) El mapa para f resulta:

Figura P5.32. Mapa del complemento de f.

Encontrando los implicantes, se obtiene:

f = a b d + d c + a b

Aplicando De Morgan.

f = ( a + b + d)(d + c)(a + b)

Problema 5.12.

La funcin f(A, B, C, D) est formada por los mintrminos 5, 9, 15.

a) Si se puede escoger un mintrmino cualquiera como superfluo, cul o cules son las funciones mnimas

(todas las que encuentre); indicando, en cada caso, el mintrmino superfluo elegido.

b) Si se pueden escoger dos mintrminos cualesquiera como superfluos, cul o cules son las funciones

mnimas (todas las que encuentre); indicando, en cada caso, los mintrminos superfluos elegidos.

c) Si se pueden escoger tres mintrminos cualesquiera como superfluos, cul o cules son las funciones

mnimas (todas las que encuentre); indicando, en cada caso, los mintrminos superfluos elegidos.

Solucin:

a) La Figura P5.33 muestra la eleccin conveniente de un mintrmino superfluo.

d

d 1

1

1

1 1

a

d

1

d

1

c

b

d

d

1

1

a

1 d

1

d 1

1

c

b



Figura P5.33. Eleccin de un mintrmino superfluo.

b1)

Figura P5.34. Eleccin de dos mintrminos superfluos.

CD

AB

00 01

00

01

1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

1

14

15 11

10

f(A, B, C, D)

Se elige m13. Resulta: f = ACD + BCD + ABD

CD

AB

00 01

00

01

1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

1 d

14

15 11

10

f(A, B, C, D)

Se elige m13 y m11.

f = AD + BCD



b2)

Figura P5.35. Eleccin de dos mintrminos superfluos b2).

b3)

Figura P5.36. Eleccin de dos mintrminos superfluos b3).

CD

AB

00 01

00

01

1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

d

2

3 7

6

1

14

15 11

10

f(A, B, C, D)

Se elige m13 y m7.

f = BD + ACD

CD

AB

00 01

00

01

d 1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

1

14

15 11

10

f(A, B, C, D)

Se elige m13 y m1.

f = ABD + CD



c1)

Figura P5.37. Eleccin de tres mintrminos superfluos c1).

c2)


CD

AB

00 01

00

01

1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

d

2

3 7

6

1 d

14

15 11

10

Se elige m13, m11 y m7.

f = BD + AD

CD

AB

00 01

00

01

d 1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

2

3 7

6

1 d

14

15 11

10

Se elige m13, m11 y m1. f = CD + AD



c3)


Problema 5.13.

Se tiene un circuito digital de 5 entradas (A, B, C, D, E)

Determinar slo las expresiones booleanas que contienen el literal A, para los 3-cubos incrustados en el 5-

cubo.

Solucin.

En un 5-cubo un 3-cubo puede expresarse con dos literales. Las combinaciones de dos letras de un conjunto

de 5 son: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Para cada combinacin pueden tenerse 4 expresiones;

por ejemplo para AB se tienen: A'B', A'B, AB', AB. En total se tienen cuarenta 3-cubos inscritos en un 5-cubo.

Entonces los 3-cubos pedidos son: AB, AB', AC, AC', AD, AD', AE, AE'.

Problema 5.14.

Representar en un mapa de Karnaugh de 5 variables, la expresin booleana:

C'D'E + B'C

Solucin:

Los mntrminos asociados a B'C se encuentran en las columnas 001 y 101,

Resulta B'C = m(4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 23) son 8.

Los mintrminos asociados a C'D'E son m(1, 9, 17, 25) son 4, con C=0, D=0 y E=1.

CD

AB

00 01

00

01

d 1 1

0 4

5

11 10

d 1 13

12 8

9

11

10

d

2

3 7

6

1

14

15 11

10

Se elige m13, m7 y m1.

f = CD + BD



Figura P5.40. Mapa para Problema 5.14.

Problema 5.15.

Graficar los mapas de Karnaugh de las funciones de cuatro variables:

f1=(AB+C)(ABC+D') +A'B'D' y f2=(A'+B'+D)(B'+D')

Solucin:

f1=ABABC+ABD'+CABC+CD'+A'B'D' ; P6

=ABC+ABD'+CD' +A'B'D' ; P4, T8

= m(14,15) +m(12,14)+m(2,6,10,14)+m(0,2) ; T14

= m(0, 2, 6, 10, 12, 14, 15); T8

Figura P5.41. Mapa de f1.

f2 = A'B'+A'D'+B'B'+B'D'+B'D+DD'; P6, P4

= A'B'+A'D'+B'+B'(D'+D)+0 ;T8, P6, P7

= A'B' +A'D'+B' ; P3,P7, T8

= m(0, 1, 2, 3) + m(0, 2, 4, 6) + m(0, 1, 2 , 3, 8, 9, 10, 11) ; T14

= m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11) ;T8

DE

ABC

000 001

00

01

1

1 1 1

0 4

5

011 010

1 13

12 8

9

11

10

1

1 2

3 7

6

14

15 11

10

100 101

1

1 1 17

16

0

20

21

111 110

1 29

28 24

25

1

1 18

19 23

22

30

31 27

26

CD

AB

00 01

00

01

1

1

0 4

5

11 10

1

13

12 8

9

11

10

1 1 2

3 7

6

1

1 1 14

15 11

10

f1(A, B, C, D)



Figura P5.42. Mapa de f2.

Referencias.

Karnaugh M. The map method for synthesis of combinatorial logic circuits, Trans. AIEE Comm. Electron.,Vol. 72, No. 4, pp. 593598. 1953.

.

CD

AB

00 01

00

01

1 1

1 1

0 4

5

11 10

1

1 13

12 8

9

11

10

1

1 1 2

3 7

6

1

1 14

15 11

10

f2(A, B, C, D)



ndice general.

CAPTULO 5 ..................................................................................................................................................................... 1

MAPAS DE KARNAUGH ................................................................................................................................................ 1

5.1. CONCEPTOS ............................................................................................................................................................... 1 5.2. FORMAS DE MAPAS ................................................................................................................................................... 4 5.3. MANEJO DE MAPAS ................................................................................................................................................... 7 5.4. USO DE MAPAS ........................................................................................................................................................... 9

Ejemplo 5.1. Mapa a partir de los mintrminos. ........................................................................................................ 9 Ejemplo 5.2. Mapa a partir de expresin. ................................................................................................................ 10 Ejemplo 5.3. Uso de mapas en la demostracin de teoremas. .................................................................................. 11

5.5. MINIMIZACIN USANDO MAPAS DE KARNAUGH. ..................................................................................................... 12 5.5.1. Minimizacin como suma de productos. ......................................................................................................... 12

Ejemplo 5.4. Minimizacin a partir de los mintrminos .......................................................................................................... 12 Ejemplo 5.5. Formacin de grupos de mintrminos en minimizacin basada en mapas. ......................................................... 13 Ejemplo 5.6. ............................................................................................................................................................................. 14 Ejemplo 5.7. ............................................................................................................................................................................. 15

5.5.2. Minimizacin en forma de producto de sumas. ............................................................................................... 15 Ejemplo 5.8 .............................................................................................................................................................................. 15 Ejemplo 5.9. ............................................................................................................................................................................. 16

5.5.3. Condiciones superfluas (don't care) ................................................................................................................ 17 Ejemplo 5.10. ........................................................................................................................................................................... 18 Ejemplo 5.11. ........................................................................................................................................................................... 19 Ejemplo 5.12. ........................................................................................................................................................................... 19

PROBLEMAS RESUELTOS. ................................................................................................................................................ 21 Problema 5.1. Comparador binario. ......................................................................................................................... 21 Problema 5.2. Multiplicador de dos nmeros binarios de dos cifras cada uno. ....................................................... 22 Problema 5.3. Incrementador en uno de cifra BCD. ................................................................................................. 22 Problema 5.4. Semisumador binario. ........................................................................................................................ 23 Problema 5.5. Sumador completo. ............................................................................................................................ 24 Problema 5.6. Deteccin y correccin de errores en bits. Hamming........................................................................ 25

Deteccin de un error simple. .................................................................................................................................................. 26 Correccin de un error simple. ................................................................................................................................................. 26 Ejemplo cdigo Hamming de 7 bits. ........................................................................................................................................ 29

Problema 5.7. ............................................................................................................................................................ 29 Problema 5.8. ............................................................................................................................................................ 30 Problema 5.9. ............................................................................................................................................................ 31 Problema 5.10. .......................................................................................................................................................... 33 Problema 5.11. .......................................................................................................................................................... 36 Problema 5.12. .......................................................................................................................................................... 37 Problema 5.13. .......................................................................................................................................................... 41 Problema 5.14. .......................................................................................................................................................... 41 Problema 5.15. .......................................................................................................................................................... 42

REFERENCIAS. ................................................................................................................................................................ 43 NDICE GENERAL. ........................................................................................................................................................... 44 NDICE DE FIGURAS. ....................................................................................................................................................... 45



ndice de Figuras.

Figura 5.1 Mintrminos de dos variables en un diagrama de Venn. ................................................................... 1 Figura 5.2 Cdigos decimales de mintrminos en un diagrama de Venn. .......................................................... 1 Figura 5.3 Mintrminos de dos variables en un 2-cubo. ..................................................................................... 2 Figura 5.4 Mintrminos de dos variables en un mapa de Karnaugh. .................................................................. 2 Figura 5.5 Nmero decimal de los mintrminos y el orden de las variables. ...................................................... 2 Figura 5.6 Representacin de funciones de dos variables en un mapa. ............................................................... 3 Figura 5.7 Diagrama de Venn para tres variables y un 3-cubo. .......................................................................... 3 Figura 5.8 Del 3-cubo al mapa de Karnaugh de tres variables. ........................................................................... 4 Figura 5.9 Mapa de Karnaugh de tres variables y un 3-cubo. ............................................................................. 4 Figura 5.10 Bordes en un mapa de Karnaugh. .................................................................................................... 4 Figura 5.11 Mapas de Karnaugh para tres y cuatro variables. ........................................................................... 5 Figura 5.12 Mapa de Karnaugh para tres variables. ........................................................................................... 5 Figura 5.13 Mapa de Karnaugh de cinco variables, codificado en Gray. ........................................................... 6 Figura 5.14 Mapa de Karnaugh apilable de cinco variables. ............................................................................. 7 Figura 5.15 Agrupaciones de 8 y 4 mintrminos en un Mapa de Karnaugh de cuatro variables. ...................... 8 Figura 5.16. 2-cubo y mintrmino en un Mapa de Karnaugh de cuatro variables. ............................................ 8 Figura 5.17. Mapa de Karnaugh a partir de lista de mintrminos. ................................................................... 10 Figura 5.18. Un mapa de Karnaugh por producto. ........................................................................................... 10 Figura 5.19. Mapa de Karnaugh de un mintrmino y de la funcin completa. ................................................ 11 Figura 5.20. Mapas de Karnaugh en la demostracin de teoremas. ................................................................. 11 Figura 5.21. Mapa de Karnaugh a partir de los mintrminos. .......................................................................... 12 Figura 5.22. Agrupaciones en el Mapa de Karnaugh. ....................................................................................... 13 Figura 5.23. Mapa de Karnaugh con los mintrminos. ..................................................................................... 13 Figura 5.24. Mnimo nmero de grupos. ........................................................................................................... 14 Figura 5.25. Solucin ejemplo 5.6. ................................................................................................................... 14 Figura 5.26. Solucin ejemplo 5.7. ................................................................................................................... 15 Figura 5.27. Solucin ejemplo 5.8. ................................................................................................................... 16 Figura 5.28. Mapa con los mintrminos de ejemplo 5.9 ................................................................................... 16 Figura 5.29. Mapa con los mintrminos de f .................................................................................................... 17 Figura 5.30. Mapa con condiciones superfluas. ................................................................................................ 18 Figura 5.31. Mapa con condiciones superfluas de f ......................................................................................... 18 Figura 5.32. Tabla traductor BCD a Exceso-3. ................................................................................................. 19 Figura 5.33. Mapa de las condiciones superfluas del ejemplo 5.13. ................................................................. 20 Figura P5.1 Diagrama funcional comparador. ................................................................................................. 21 Figura P5.2. Tabla del comparador. .................................................................................................................. 21 Figura P5.3. Diagrama funcional multiplicador. .............................................................................................. 22 Figura P5.4. Tabla de verdad de multiplicador. ................................................................................................ 22 Figura P5.5. Diagrama funcional incrementador BCD. .................................................................................... 23 Figura P5.6. Tabla de verdad del incrementador BCD...................................................................................... 23 Figura P5.7. Tabla de verdad del semisumador ................................................................................................ 24 Figura P5.8. Implementacin semisumador. ..................................................................................................... 24 Figura P5.9. Diagrama funcional sumador completo de un bit. ........................................................................ 24 Figura P5.10. Tabla de verdad del sumador completo de un bit. ...................................................................... 24 Figura P5.11. Diagrama funcional sumador completo de cuatro bits. .............................................................. 25 Figura P5.12. Red para sumador completo. ...................................................................................................... 25 Figura P5.13. Sumador completo mediante dos semisumadores. ..................................................................... 25 Figura P5.14. Generacin bits de paridad ......................................................................................................... 27 Figura P5.15. Clculo de los wi. ........................................................................................................................ 28 Figura P5.16. Interpretacin tabla de valores de wi........................................................................................... 28



Figura P5.17. Correccin empleando wi ........................................................................................................... 28 Figura P5.18. Tabla de verdad Problema 5.7 .................................................................................................... 30 Figura P5.19. Red Problema 5.7 ........................................................................................................................ 30 Figura P5.20. Tabla de verdad Problema 5.8 .................................................................................................... 31 Figura P5.21. Suma de productos Problema 5.9 ............................................................................................... 32 Figura P5.22. Tabla de implicantes. Problema 5.9 ............................................................................................ 32 Figura P5.23. Mapa para suma de productos. Problema 5.9 ............................................................................. 33 Figura P5.24. Tabla de implicantes de f. Problema 5.9 ................................................................................... 33 Figura P5.25. Mapa Problema 5.10 ................................................................................................................... 34 Figura P5.26. Mapa suma productos. Problema 5.10 ........................................................................................ 35 Figura P5.27. Mapa producto de sumas. Problema 5.10 ................................................................................... 35 Figura P5.28. Tabla implicante. Mapa de la Figura P5.27 ................................................................................ 36 Figura P5.29. Tabla reducida de la Figura P5.28 .............................................................................................. 36 Figura P5.30. Mapa con condiciones superfluas. .............................................................................................. 36 Figura P5.31. Implicantes de la Figura P5.30. .................................................................................................. 37 Figura P5.32. Mapa del complemento de f. ....................................................................................................... 37 Figura P5.33. Eleccin de un mintrmino superfluo. ........................................................................................ 38 Figura P5.34. Eleccin de dos mintrminos superfluos. ................................................................................... 38 Figura P5.35. Eleccin de dos mintrminos superfluos b2). ............................................................................. 39 Figura P5.36. Eleccin de dos mintrminos superfluos b3). ............................................................................. 39 Figura P5.37. Eleccin de tres mintrminos superfluos c1). ............................................................................. 40 Figura P5.38. Eleccin de tres mintrminos superfluos c2). ............................................................................. 40 Figura P5.39. Eleccin de tres mintrminos superfluos c3). ............................................................................. 41 Figura P5.40. Mapa para Problema 5.14. .......................................................................................................... 42 Figura P5.41. Mapa de f1. ................................................................................................................................. 42 Figura P5.42. Mapa de f2. ................................................................................................................................. 43

Captulo 5Mapas de Karnaugh5.1. Conceptos5.2. Formas de Mapas5.3. Manejo de Mapas5.4. Uso de mapasEjemplo 5.1. Mapa a partir de los mintrminos.Ejemplo 5.2. Mapa a partir de expresin.Ejemplo 5.3. Uso de mapas en la demostracin de teoremas.

5.5. Minimizacin usando mapas de Karnaugh.5.5.1. Minimizacin como suma de productos.Ejemplo 5.4. Minimizacin a partir de los mintrminosEjemplo 5.5. Formacin de grupos de mintrminos en minimizacin basada en mapas.Ejemplo 5.6.Ejemplo 5.7.

5.5.2. Minimizacin en forma de producto de sumas.Ejemplo 5.8Ejemplo 5.9.

5.5.3. Condiciones superfluas (don't care)Ejemplo 5.10.Ejemplo 5.11.Ejemplo 5.12.

Problemas resueltos.Problema 5.1. Comparador binario.Problema 5.2. Multiplicador de dos nmeros binarios de dos cifras cada uno.Problema 5.3. Incrementador en uno de cifra BCD.Problema 5.4. Semisumador binario.Problema 5.5. Sumador completo.Problema 5.6. Deteccin y correccin de errores en bits. Hamming.Deteccin de un error simple.Correccin de

Diagrama de 3 Bits

Documents

Transcript of Diagrama de 3 Bits