3,14… el dia 3/14Amb motiu de la celebració del dia de Pi, el passat 13 de març, durant la classe de Matemàtiques, vam proposar als alumnes de segon d’ESO que, atenent a que aquest és el més famós dels nombres irracionals i ser un nombre irracional significa que no hi ha cap fracció que sigui igual a ell, trobessin fraccions que aproximessin a aquest nombre.

Aquests són alguns dels resultats d’aquest encàrrec: Les respostes més habituals van ser les resultants de truncar l’expressió

decimal de : 3,1415926535897932384626433832795028841971693...π

Però també vam trobar altres més originals resultants de l’aplicació del coneixements dels alumnes sobre conversió de fraccions en decimals. Per exemple a la imatge tenim la proposta d’una de les alumnes:

En la línia d’aquest segon grup de respostes vam trobar moltes propostes

Fraccions amb denominador més petit que 10: 165,196,227,258

Entre aquestes fraccions propostes pels alumnes es troben les dues fraccions que millor aproximen a entre les que tenen denominador mésπ

petit que 10: 227

=3 ,1̂42857per excés i 258

=3,125per defecte.

La fracció que no va aparèixer en aquest grup va ser 289

que és

històricament rellevant per ser la que els egipcis feien servir en els seus càlculs relacionats amb cercles i circumferències.

Fraccions amb denominador entre 10 i 100: 3511,4113,4715,6019,6320,17957,20164,22371,24578,26785,28992,31199

Entre aquestes fraccions propostes pels alumnes es troba la millor aproximació per defecte de entre les fraccions irreductibles ambπ

denominador de dues xifres: 31199

=3 , 1̂4.

Però no va ser proposada la millor aproximació per excés de : π30597

=

3,144329...

Fraccions amb denominador entre 100 i 1000: 333106

,355113

,377120

,629200

,2513800

Malgrat, que només n’hi 5 de diferents, en aquesta ocasió sí que apareixen les dues millors aproximacions de entre les fraccions irreductibles ambπ

denominador de tres xifres: 333106

i 355113

.

Aproximacions aquestes que tenen 4 i 6 xifres decimals, respectivament, coincidents amb el valor de , el que indica el alt grau d’aproximacióπ aconseguit amb aquestes fraccions.

Resulta interessant també que hagi estat proposada 377120

,una fracció d’alt

valor històric atenent que va ser l’aproximació feta servir per Ptolomeu (90 - 168 DC) en la seva obra Almagest. Una de les alumnes que proposa aquesta fracció comenta aquest fet.

Hi ha un tercer grup d’alumnes que van fer indagacions pel seu compte per donar resposta a la tasca proposada per les seves professores.

Una alumna va comentar que Arquimedes (287 – 212 AC) ja havia establert que

pi era un nombre que estava entre 227

i 22371

.

Una altra alumna va demanar ajut al seu pare i entre els dos van proposar una estratègia per trobar fraccions que aproximin a , agafarien una fraccióπ equivalent a 3 i per fer-la “una miqueta” més gran sumarien 1 al numerador. Es així que van proposar 13/4, 22/7 o 34/11. Fraccions que podriem expresar en la forma general 3n+1/n. Val a dir que aquesta estratègia permet anar apropant-se a quan el denominador augmenta fins al 7 però a partir d’aquíπ comença a allunyar-se per apropar-se, més I més, al nombre 3.

Un alumne, per la seva part, va comentar que es poden aconseguir millors aproximacions de πconsiderant més i més termes de la següent suma:

4−43+ 45−47+ 49− 411

+ 413… Aquesta afirmació és indubtablement certa però val

a dir que la velocitat amb la que aquestes aproximacions s’apropen a π és realment escassa. També és interessant esmentar que cada cop que afegint un nou terme a aquesta llarga suma passem d’obtenir una aproximació per excés a una per defecte i a l’inrevés.