D E T E R M I A N C I O N D E L C O M P O R T A M I E N T O R E O L O G I C O D E F L U I D O S U S A N D O V I S C O S I M E T R O

D E T U B O C A P I L A R . 1 . O b j e t i v o :

Conocer y estudiar cómo se determina la viscosidad en un viscosímetro de tubo capilar.

Determinar la viscosidad de un líquido a partir de la velocidad de desplazamiento de una burbuja con ayuda de un viscosímetro tubo capilar.

Determinar según la viscosidad a qué tipo de fluido pertenece el líquido a utilizar.

2. D e s c r i p c i ó n d e l v i s c o s í m e t r o y f u n d a m e n t o t e ó r i c o : El equipo consta básicamente de dos tubos verticales de vidrio de 0.016 m de diámetro t 0.375 m de longitud. Los tubos se unen a un tubo capilar horizontal de diámetro 0.004 m y longitud de 0.7 m en los tubos A y B, tal como se muestra en la figura 1.

El viscosímetro se llena con el líquido cuya viscosidad se desea medir a fin de que una burbuja de aire permanezca en el interior del tubo capilar. Donde h es la diferencia de las alturas entre los niveles de líquido en los dos tubos de vidrio. Cuando se abren simultáneamente las llaves en los extremos de los depósitos, la burbuja tiende a moverse a lo largo del tubo horizontal con velocidad constante v.la relación de v con h permitirá estimar la viscosidad del líquido problema haciendo uso de la ley de Poiseville Supongamos que la longitud del tubo es L y la longitud de la burbuja es d<<L, tal como se observa en la figura 2.

  Figura 2. Esquema de la burbuja de aire en el tubo capilar. La diferencia de presión entre los extremos del tubo horizontal es:

Esta diferencia de presión consiste en la sumatoria de las pérdidas de carga en el tubo capilar, que son tres a saber:

Movimiento del liquido Movimiento del aire de la burbuja Exceso de presión en el interior de la burbuja de aire

a) Movimiento del líquido: La ley de Poiseville afirma que el gasto G = π R 2 v es proporcional a la diferencia de presión. Como hay líquido en la porción L-d del tubo y el fluido se mueve con velocidad (media) v.

Siendo µ la viscosidad desconocida del fluido

b) Movimiento del aire de la burbuja: De modo análogo, aplicamos la ley de Poiseville a la porción aire en el interior de la burbuja de longitud d, que se desplaza con velocidad v por el interior del tubo.

Siendo µ’=1.72·10 -5 kg/ (m·s) la viscosidad del aire

c) El exceso de presión dentro de la burbuja de aire de radio R sumergida en el líquido de tensión superficial γ es:

Cuando la burbuja no es esférica, sino de la forma mostrada en la figura, la expresión es

Donde θ 1 y θ 2 son los ángulos de contacto Finalmente, la diferencia de presión p A -p B entre los extremos del tubo horizontal es

Dado que la viscosidad del aire µ’ es muy pequeña, y por otra parte, la longitud de la burbuja de aire d es muy inferior a la longitud del tubo capilar L, podemos despreciar el término Δ p2

Cuando representamos la diferencia de alturas h en cm de líquido en el eje Y y la velocidad v en cm/s en el eje X obtenemos una línea recta cuya pendiente es proporcional a la viscosidad y cuya ordenada en el origen es el exceso Δ p 3 / ( ρg ) de pre-sión en el interior de la burbuja de aire debido a la tensión superficial del líquidoNota: A medida que la burbuja se desplaza en el tubo horizontal, pasa una cantidad pequeña de líquido del depósito izquierdo al derecho. Como el radio del tubo es muy pequeño y los depósitos tienen sección grande, la variación de altura es despreciable, es decir, h se mantiene prácticamente constante durante la medida

2.1.-El tubo-capilar

El tubo-capilar consiste en un tubo de plástico transparente cerrado por su extremo inferior con un tapón. Perpendicularmente al tubo de plástico y en su parte inferior, se perfora y se introduce un tubo de vidrio de pequeño diámetro, que hace de capilar a través del cual se descarga la columna de fluido viscoso. Una regla colocada en su parte exterior o marcas sobre el tubo permiten medir la altura de la columna de fluido en función de tiempo.

2.1.1Descripción

Partiendo de la ley de Poiseuille

La diferencia de presión p1-p2 entre los extremos del capilar es igual a la presión que ejerce la altura h de la columna de fluido de densidad ρ. Luego, p1-p2=ρ gh

Si G es el volumen de fluido que sale del capilar en la unidad de tiempo, la altura h de la columna de fluido disminuye, de modo que

Siendo S la sección del tubo. Podemos escribir la ecuación anterior

donde λ se denomina constante del tubo-capilar.Integrado la ecuación diferencial, con la condición inicial de que en el instante t=0, la altura inicial sea h=h0.

La altura de la columna de fluido h decrece exponencialmente con el tiempo t.Tomando logaritmos neperianos

lnh=lnh0-λt

2.2.-Ley de Poiseuille

La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille después de los

experimentos llevados a cabo por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) en 1839 es la

ley que permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un líquido incompresible y

uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo

cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente

en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). La

ley queda formulada del siguiente modo:

donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de

tiempo t, vmedia la velocidad media del fluido a lo largo del eje z del sistema de coordenadas

cilíndrico, r es el radio interno del tubo, ΔP es la caída de presión entre los dos extremos, η es

la viscosidad dinámica y L la longitud característica a lo largo del eje z. La ley se puede derivar

de la ecuación de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo

demás es válida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar

también del siguiente modo:

donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima

el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida

por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un

tubo cilíndrico. La derivación teórica de la fórmula original de Poiseuille fue realizada

independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860).

Hagenbach fue el primero que la denominó como ley de Poiseuille.

La ley es también muy importante en hemodinámica.

La ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L. R. Wilberforce,

basándose en el trabajo de Hagenbach.

Consideremos una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones

transversales A y B separadas una distancia L. Estas secciones delimitan un trozo de tubería

que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada

consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por los puntos abcd con área de tapas A =

π r2 y radio r. Debido a la viscosidad del fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo

cortante Que llamaremos T provocado por una fuerza cortante F sobre un área

longitudinal AL = 2π r L. Esta fuerza será igual a tendrá un sentido

izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, provocado por un gradiente de presión

en la que p1 es mayor que p2 (no guiarse por el dibujo adjunto). Integrando las fuerzas que

actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille.

De acuerdo a la Segunda ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de

gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que:

Donde F es la fuerza ejecida por fluido debido a la viscosidad del mismo con la sección de tubo

de radio r.

En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación, pero un fluido se deforma

continuamente mientras se aplique el esfuerzo, por lo tanto el esfuerzo de corte será

proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad, es decir:

Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 π r L y despejando F nos queda

Reemplazamos:

Simplificando queda:

Con lo que:

Integrando esta ecuación:

El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir

cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial tenemos que:

Esta ecuación da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el

término del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la

velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona

en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de

la velocidad máxima queda del siguiente modo:

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión

de la velocidad media es la siguiente:

Para calcular el caudal en la tubería vamos a considerar un anillo diferencial de

espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En

este caso la expresión del caudal queda:

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R podremos calcular el caudal total:

y finalmente obtenemos la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

si seguimos trabajando sobre esta fórmula y sustituimos esta expresión del caudal en la

fórmula anterior de la velocida media obtenemos lo siguiente:

de donde se deduce que:

despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones obtenemos:

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una

tubería de sección constante con flujo laminar.

Si dividimos y multiplicamos el segundo miembro de la ecuación anterior por la

expresión tenemos que: 2

donde es la pérdida de carga y es la expresión del número

de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-Weisbach se deduce el valor de :

siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.