Desigualdades

UNIDAD 6

DESIGUALDADES

En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución

de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor

aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto.

La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello

utilizamos los símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que.

<: Menor que. : Menor o igual que.

Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos

de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual

que”.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)

Si a < b y b < c, entonces a < c

2. Si a > b, entonces (a c) > (b c)

Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

4. Si a > b y c > 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c < 0, entonces c

b

c

a

[Escribir texto]

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

ING. EDGAR VARGAS RUIZ 2011 2

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)

6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd

7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn

8. Si a > b, entonces 1 1

a b

9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo 3 6 6 3

Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.

Son satisfechas por todos los números Reales

Ejemplo: 2ab

aba b

Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las

desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos

números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos

Ejemplo: 2 6 0x

INTERVALOS

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.

CLASES DE INTERVALOS

[Escribir texto]



Ejemplo Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (– , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. A C B

Solución:

1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C = / 5x x Notación de conjunto

2. B C = 2, 8 Notación intervalo B C = / 2 8x x Notación de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo

A C B = / 8x x Notación de conjunto

INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas

(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó

anteriormente.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y

sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría

en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.

[Escribir texto]



Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).

Solución de inecuaciones

Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes

expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una

inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes:

en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de

intervalos”)

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

Ejemplo: INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita

xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita

INECUACIONES DE UNA VARIABLE

1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los paréntesis, si los hay.

[Escribir texto]



2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación

por el m.c.m. de los denominadores. 3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el

sentido de la desigualdad. 6. Despejar la x (la incógnita).

7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

Ejemplo 1: Resolver 2

7

4

)7(5

3

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55x x x x

5 55 11x x S= x (-, 11)

Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x x 3 5

Reduciendo términos: x 8

S 8, x R / x 8

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación5

7 62 3

x x . Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36

Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36

13x 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78

8 (

[Escribir texto]



78Dividiendo por 13: < o sea, < 6

13x x

S ,6 x R / x<6

Ejemplo 4: Resolver 2

x 3 x 1 x 1 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

2 22 3 2 1 3x x x x x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

2 2 3 1 3x x x

x 4 S ,4 x R / x<4

Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación

22x 2 2x 1 1

x3 2 4

. Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para

obtener:

2 24 2 6 2 1 3 12x x x

2 24 8 12 6 3 12x x x

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4 6 3 8x

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:

4

)

6

)

[Escribir texto]



5

4x

5 5, /4 4

S x R x

Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado

Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:

bxxaxxS //

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246 x

Separando en dos desigualdades:

4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x

2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las

siguientes formas básicas:

2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la

ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso

seleccionado.

5/4

[Escribir texto]



Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2x x x x , quedando una inecuación

de la forma:

3 2 0x x

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

3 0x y 2 0x

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

3 0x y 2 0x

Solución Caso I:

Sea AS el conjunto solución de la inecuación 3 0x y BS al conjunto solución de la

inecuación 2 0x , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S

Solución para AS

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solución para BS

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solución para IS es entonces:

I A BS S S 3, 2, 2,

[Escribir texto]



IS 2, x R / x 2

Solución Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación x 3 0 y

DS al conjunto solución de la

inecuación x 2 0 , la solución del Caso II viene dada por:II C DS S S

Solución para CS :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solución para DS :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solución para IIS es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solución General:

La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

-3 )

-2

)

–2

( –3

(

[Escribir texto]



El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método

analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el

método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones

cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático,

encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a

intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar

el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada

intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para

los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio 2 5 6 3 2x x x x , quedando la inecuación de la forma:

3 2 0x x

Las raíces que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores críticos) Se ubican sobre la

recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan

los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el

producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene

dada por:

[Escribir texto]



, 3 2,GS

Ejemplo 2

Dada la siguiente inecuación

2 21 1 8

2 3 3

x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se

reducen términos semejantes, obteniendo:

2 2 15 0x x

Factorizando el polinomio resultante, se tiene 2 2 15 5 3x x x x , resultando una

inecuación de la forma:

5 3 0x x

Las raíces de 5 3x x son 5x y 3x (valores críticos), las cuales se ubican sobre la

recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la

desigualdad.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el

producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:

3,5 / 3 5GS x R x

Gráficamente:

[Escribir texto]



Casos especiales

1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:

Solución

(ax + b)2 ≥ 0

(ax + b)2 > 0 valor critico

(ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:

2 2 1 0x x

2 2 1 0x x Usando la fórmula cuadrática :

22 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio).

2

2

2

2

1 0

1 0

1 0

1 0

Solución

x x

x x

x x

x x

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

-3 )

5

)

[Escribir texto]



Pasos:

1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.

2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.

3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.

4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.

5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

Ejemplo:

Resolver la inecuación 3x 4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo

(<0).

El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar

factor común x)

2x x 4 0 , o lo que es lo mismo x x 2 x 2 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes

valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo.

El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que

hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para

ver el signo de la operación. Observa la gráfica:

Los valores de la x que hacen negativo el producto son 2,02, .

-2 2

_ +

0

_ +

[Escribir texto]



3. INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son

inecuaciones polinómicas.

Expresión general: son del tipoax b

0cx d

, o todas sus equivalentes

ax b0

cx d

, o

ax b0

cx d

,

etc.… y de grados mayores que uno.

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener

presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser

resueltos usando el método analítico o el método gráfico.

Pasos:

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces

del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fracción polinómica .

Ejemplo:

1. Dada la siguiente inecuación

2

2

3 100

2

x x

x x

halle el conjunto solución y grafique.

Factorizando los polinomios dados:

2 3 10 5 2x x x x , 2 2 2 1x x x x

Resultando una inecuación de la forma:

5 20

2 1

x x

x x

[Escribir texto]



Las raíces que anulan el numerador son 5x y 2x , y las que anulan el denominador son

2x y 1x , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en

cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el

cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la

solución viene dada por:

GS 5, 2 1,2

Gráficamente:

2. Resolver x 1

1x 1

x 1

1 0x 1

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos

cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados.

-5

( )

-2 1

( ) 2

[Escribir texto]



Para nuestro caso, operando x 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

, y todo se reduce a

averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ,1 .

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS:

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es:

para 0

para 0

a aa

a a

, a R

y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Ejemplo: 555

Propiedades del valor absoluto

La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.

Sean , .a b R

1. 0a

2. 2a a

3. a a

4. 2 2a a

5. a b a b

6. , si b 0aa

b b

7. a b a b

Desigualdad triangular

8. 0a b b a b a b

Desigualdades con valor absoluto

[Escribir texto]



Sea , ,x y a R . Se tiene entonces:

1. sii a 0 ó x a x a x a a x a

2. sii x a x a x a

3. 2 2 sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de

la misma.

Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los

teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de

inecuaciones.

Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

Sean , , ,x a b c R .

1) cbax y ó

ax b c

c ax b c

ax b c

Ejemplos:

-a a

] [

[ ]

-a a

[Escribir texto]



5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 13

x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

2) cbax ó ó

ax b c

ax b c ax b c

ax b c

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x y grafique.

[ ]

-5 1

( )

-9 -3

[Escribir texto]



2

45

) (2

45

)) ((

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x y grafique.

Otro ejemplo

Resolvamos la desigualdad 2 1

33

x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades

equivalentes:

2 1

33

x

x

2 1 3 3x x

2 2

2 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x

10 5 8 0x x

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

10 , 2,3

4

, 2,5

-

2

10 3 -2

[Escribir texto]



Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x + ─ ─

Signo de 5 8x ─ ─ +

Signo de 10 5 8x x ─ + ─

Vemos que la solución de la desigualdad es 8

10,5

Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el

peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no

debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar,

como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón

y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

[Escribir texto]



875 − 4. X 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875

Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por 1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 4604

1

Hacemos el cálculo x 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.

Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:

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