Nombre: Ricardo GuiotProfesora: Isabel RuizAsignatura: OptativaCurso: 3º ESO ‘C’

Actividad 1

Definición de Poliedro: un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen comprendidoSus partes son:

caras: polígonos que limitan al poliedro, aristas: lados de las caras del poliedro, vértices: puntos donde concurren varias aristas

Actividad 2

Clasificación de los Poliedros

Los poliedros se clasifican básicamente en:

Poliedros regulares Poliedros irregulares

Poliedro Regular

Clasificación de los poliedros regulares

Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:

Tetraedro regular: poliedro definido por 4 triángulos equiláteros iguales. Hexaedro regular (cubo): poliedro definido por 6 cuadrados iguales. Octaedro regular: poliedro definido por 8 triángulos equiláteros iguales. Dodecaedro regular: poliedro definido por 12 pentágonos regulares iguales. Icosaedro regular: poliedro definido por 20 triángulos equiláteros iguales.

Poliedro Irregular

Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.

 Clasificación de los Poliedros Irregulares

Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:

 Pirámide

Poliedro definido por un polígono base y caras triangulares con un vértice común.

Las pirámides se pueden clasificar en:

Pirámide recta: El eje es perpendicular a la polígona base. Pirámide oblicua: El eje no es perpendicular a la polígona base.

Pirámide regular: La base es un polígono regular.

o Pirámide regular recta: La base es un polígono regular i el eje es perpendicular al polígono base.

o Pirámide regular recta: La base es un polígono regular i el eje no es perpendicular al polígono base

Prisma

Poliedro definido por dos polígonos iguales i paralelos (bases) i cuyas caras laterales son paralelogramos. Se clasifican en:

Prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base. Prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base.

Prisma regular: las bases son polígonos regulares.

o Prisma regular recto: las bases son polígonos regulares i el eje es perpendicular a los polígonos base.

o Prisma regular oblicuo: las bases son polígonos regulares i el eje no es perpendicular a los polígonos base.

Actividad 3

Formula de Euler: Es una formula desarrollada por Leonard Euler.

Famosa por relacionar el numero de vértices, aristas i caras.

"En todo poliedro convexo se cumple que el número de caras mas el número de vértices es igual al número de aristas mas dos"

C + V = A + 2

Principio de Cavalieri

"Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen"

Permite averiguar el volumen de un cuerpo irregular.

Actividad 4

Prisma

Área lateral: Perímetro base · Altura

Área total: Área lateral + 2 Superficies de la base

Pirámide

Área lateral: Perímetro base · apotema / 2

Área total: Área lateral+Superficie de la base

Cilindro

Área lateral: 2·Pi·radio·generatriz

Área total: 2·Pi·radio (generatriz+radio)

Cono

Área lateral: Pi·radio·generatriz

Área total: Pi·radio (generatriz+radio)

Actividad 5

Ortoedro

Volumen: Largo·Ancho·Alto

Prisma

Volumen: Superficie de la base·Altura

Pirámide

Volumen: Superficie de la base·Altura / 3

Cilindro

Volumen: Pi· Radio2Altura

Cono

Volumen: Pi·Radio2·Altura / 3

Actividad 6

La Esfera

Elementos:

Centro: El centro de la esfera es el centro del círculo. Radio: Cualquier segmento que une el centro hasta cualquier punto de la

superficie.

Diámetro: Cualquier cuerda que pasa por el centro.

Cuerda: Segmento que une dos partes de la superficie de la esfera.

Polos: son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica.

Volumen: 4·Pi·Radio3 / 3 Área: 4·Pi·Radio2

Actividad 7

Ortoedro

Caja de zapatos, Torre de un ordenador, Libro, Armario, Colchón, Paquete de tabaco, Jarra, Maletín.

Prisma

Edificio, Botella, Pilar, Estuche de madera, Caja de incienso, Torres Kio, Lápiz.

Pirámide

Pirámides Egipto, tejado.

Cilindro

Recipiente desodorante, Vaso, Cigarro, Tuberías.

Cono

Cono de señal, sombrero, galleta de cucurucho, papelina de churros, embudo.

Actividad 8

1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos

a.   ¿Qué características comunes ves a todos ellos?b.   Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.c.   Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.

a. Todos tienen caras, aristas i vértices.

b.

c. Caja, Botella, Edificio, Torre de ordenador.

2. Observa los siguientes poliedros.

Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son? Sin embargo, los otros dos sí.

El primero i el segundo no se pueden apoyar en todas sus caras.

3. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a.   ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?b.   ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?c.   ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?d.   ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo?

a. Vértice: Punto donde se unen dos o más aristas.

Cara: Cada uno de los lados planos de un polígono.

Arista: Lo que delimita las caras i la parte donde se unen con otras caras.

b. 4 Vértices, 4 Caras, 6 Aristas.

c. 3

d. 180º

4. En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A? Si, C+V=A+2Inténtalo con otros poliedros.

Poliedro

Nº de caras Nº de vértices Nº aristas

(1) 5 5 8

(2) 7 10 15

(3) 12 10 20

(4) 9 13 22

Cubo 6 8 12

Ortoedro 6 8 12

5. En la tabla siguiente se dan algunos datos de poliedros convexos. Complétala e intenta dibujar alguno de ellos.

Poliedro C V A

1 4 4 6

2 6 8 12

3 5 6 9

1 2

6. Un poliedro tiene 7 caras. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros.¿Cuántas aristas tiene? 19¿Cuántos vértices tiene?14

7. Un poliedro tiene dos caras hexagonales y todas las demás son triángulos. Llamamos t al número de caras triangulares.

a) Escribe una expresión para el número de aristas del poliedro. b) Usa la fórmula de Euler para una expresión del número de vértices.

a. 11+t-(2·t)+t/2

b. (11+t-(2·t)+t/2)+2- (t+2)

8. Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:

- El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. F en una pirámide triangular solo se unen tres caras. - Las caras de un poliedro son todas iguales. F si es irregular no son iguales.- Hay poliedros con tres caras. V una pirámide triangular- En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. F si esta formado por diferentes figuras no serán siempre igual.- Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. V siempre son polígonos- Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. F puede tener más aristas si la figura tienes más lados. - El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. V sino no se podría juntar i formar el polígono.- El cilindro es un poliedro. F no tiene vértices.

22. ¿Cuánto papel necesitaré para construir un cubo cuya diagonal mida 9 cm?

h2 = c2+c2 81= c2+c2 c= (81/2)

A=6·a2 A= 6·6.362=242.69 Cm2

23. En el parque de una ciudad se ha construido un tetraedro regular de altura 4 m. ¿Cuál es su área lateral?

Área lateral = (perímetro de la base·apotema) / 2

H2=C2+C2

h2=42+ (h/2)2

h2-(h2/4)=16

4h2-h2=16·4

3h2=64

H= 64/3

H= 21.33 = 4.61m

Área lateral = (perímetro de la base·apotema) / 2

Perimetro de la base = 13.85m

Apotema= 4.61

Area lateral = (13.85·4.61)/2 = 31.92m2

24. He encargado hacer un dodecaedro regular hueco de 3 cm de arista, de un material que pesa 20 Kg/m2, con el fin de usarlo como pisapapeles ¿Cuál será su peso total? ¿Y si el pisapapeles fuera un cubo?

H2=C2·C2 h2= 1.52·1.52= 4.5

A=30·a·ap A=30·3·4.5 = 360cm2= 0.036 m2

1m2-20Kg

0.036m2-xKg

20·0.036= 0.72Kg = 720g

Cubo

6·a2 = 6·32 = 6·9 = 54cm2=0.005 m2

1m2-20Kg

0.005m2-x Kg

20·0.005= 0.1 Kg = 100g

25. Hallar la diagonal de un octaedro regular de área lateral cm2.

18 3=2 3·a2

18 3/ 3=2 3·a2/ 3

18=2·a2 18/2=a2 a= 9 a=3

(Suponiendo que los catetos son iguales y la mitad de la diagonal.)

H2 = C2+C2

32=2C2

9/2 = C 4.5 =C C=2.12

Diagonal = 2·2.12 = 4.24

26. Hallar el área de un icosaedro regular de arista 12 cm.

A= 5· 3·a2 = 5· 3·122= 5· 3·144= 5·1.73·144=8.65·144=1245.6cm2

66. Una piscina tiene 26 m de largo, 15 m de ancho y 2'5 m de profundidad. Si el agua llega hasta los bordes ¿cuántos litros de agua le caben?

V=l·a·h = 26·15·2.5= 975m3= 975.000 L

Si para llenarla empleamos agua de un pozo que nos da un caudal de 5 litros por segundo, ¿qué tiempo emplearemos en llenarla?

975.000/5=195000 Segundos = 54 Horas.

67. ¿Qué altura alcanza el agua en esta pecera, sabiendo que contiene 171 litros de agua?

171L=171 dm3=171.000 cm3

L·a·h=171.000

45·95·h=171.000

h=171.000/45/95= 40

68. Para unas obras en mi casa, necesito 5 m3 de arena. Un amigo me ha prestado un camión como el de la figura.

a.   ¿Cuántos m3 de arena podría transportar si traigo el camión lleno?

V=l·a·h= 1.72·2.45·0.96=4.04m3

b.   ¿Es suficiente el camión para traer en una sola carga la arena necesaria?

No necesitaras 2 viajes

Opinion Personal

Este trabajo me ha sido útil, aunque me fue mas útil el primero ya que me enseño mas cosas, en este algunas cosas ya las sabia, pero de todos modos he aprendido bastante.