Descubriendo La Trigonometria

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INDICE

CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA___________________________4

1.1 Titulo del proyecto_____________________________________________________________4

1.2 Tema de investigación__________________________________________________________4

1.3 Lineamiento de investigación____________________________________________________6

1.4 Definición y delimitación del problema de investigación______________________________7Problema.________________________________________________________________________________9

1.5 Justificación__________________________________________________________________9

1.6 Objetivo General_____________________________________________________________11

1.7 Objetivos Específicos__________________________________________________________12

CAPITULO 2. MARCO TEORICO__________________________________________13

2.1 Antecedentes________________________________________________________________13

2.2 Marco Disciplinar_____________________________________________________________182.2.1 Teorema de Thales._______________________________________________________________182.2.2 Teorema del Seno y su relación con el teorema de Thales__________________________________202.2.3 Teorema de Pitágoras._______________________________________________________________212.2.4 Teorema del coseno y su relación con el Teorema de Pitágoras._____________________________22

2.3 Marco Pedagógico____________________________________________________________242.3.1 El aprendizaje Significativo_____________________________________________________________242.3.2 Enseñanza problémica._______________________________________________________________31

2.4 Marco legal__________________________________________________________________37

CAPITULO 3. METODOLOGÌA____________________________________________39

3.1 Caracterización de la población.___________________________________________________393.1.1 Generalidades de la institución.________________________________________________________393.1.2 Perfil de estudiante._________________________________________________________________40

3.2 Tipo de investigación__________________________________________________________413.2.1 Enfoque metodológico________________________________________________________________423.2.2 Métodos de investigación______________________________________________________________433.2.3 Herramientas________________________________________________________________________44

3.3 Matriz de recolección de información_______________________________________________45

3.4 Propuesta pedagógica___________________________________________________________503.4.1 Etapa Diagnostica:____________________________________________________________________50

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3.4.2 Etapa Motivacional___________________________________________________________________503.4.3 Etapa Práctica 1______________________________________________________________________503.4.4 Etapa Práctica 2:______________________________________________________________________513.4.6 Etapa Conceptual 1___________________________________________________________________523.4.7 Etapa Conceptual 2___________________________________________________________________523.4.8 Etapa Evaluativa______________________________________________________________________52

4.1 IMPLEMENTACION DE LA PROPUESTA____________________________________________544.1.1 ETAPA DIAGNOSTICA:_________________________________________________________________574.1.2 ETAPA MOTIVACIONAL_______________________________________________________________604.1.3 ETAPA PRÁCTICA____________________________________________________________________654.1.4 PRACTICA 1_________________________________________________________________________684.1.5 PRACTICA 2________________________________________________________________________734.1.6 PRACTICA 3________________________________________________________________________814.1.7 ETAPA CONCEPTUAL 1________________________________________________________________844.1.8 ETAPA CONCEPTUAL 2________________________________________________________________904.1.9 ETAPA EVALUATIVA (Altura de la bomba)____________________________________________94

4.2 Anàlisis de resultados__________________________________________________98

4.3 Conclusiones________________________________________________________112

4.4 Recomendaciones____________________________________________________115

4.5 Resumen____________________________________________________________117

Referencias_____________________________________________________________118

Anexos_________________________________________________________________119

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Resumen:

La educación debe brindarle al estudiante las herramientas necesarias para desenvolverse

eficazmente en su realidad. Por lo cual, cuando esta realidad no se encuentra relacionada con la

educación recibida esta pierde sentido para el estudiante y se supone como un proceso mecánico

de almacenamiento de información. Por tal razón se proyecta la enseñanza problémica como

una estrategia que permite ubicar al estudiante en situaciones en las que se evidencia la

necesidad de construir conceptos y procedimientos que permitan su solución, mostrando además

una aplicación del concepto logrando así hacer interesante la adquisición del mismo.

Abstract:

Education should provide students the tools necessary to function effectively in their reality.

Therefore, when this really is not related to the education received by students; it loses meaning

for them, and it is assumed as a mechanical process of storage meaningless. For that reason it is

projected the problematic teaching as a strategy that allows locating the student in situations

where it is evident the necessity of build concepts and procedures for their solution, showing an

application of the concept, thus making an interesting acquisition.

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CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Titulo del proyecto

¡Trigonometría! Que problema, haces mi vida triangulitos

El aprendizaje significativo en las razones trigonométricas a través de la enseñanza problémica

1.2 Tema de investigación

Nuestra misión como educadores como su nombre lo indica es educar, por lo cual es

necesario tener claro que la educación busca mostrar al estudiante la realidad a través de las

“ventanas” que nuestro conocimiento nos brinda. Sin embargo no basta con mostrar la

realidad, es primordial que la educación le brinde al estudiante las herramientas necesarias

que le permitan desenvolverse eficazmente en dicha realidad descubierta.

Desafortunadamente en ocasiones el proceso educativo se encuentra desligado de la

realidad ya que al trabajar la matemática con abstracciones de la realidad muchas veces el

estudiante no logra identificar estos conceptos en su entorno, situación que conlleva al

estudiante a la indiferencia de un concepto que carece de significancia.

“Los métodos de enseñanza que utilizan algunos docentes actualmente en el proceso

pedagógico son muy tradicionales, no preparan a los estudiantes para resolver problemas de la

5

práctica, y en consecuencia, no conducen al desarrollo de las principales competencias que

ellos necesitan para desempeñarse en la sociedad” (Alexander Luis Ortiz Ocaña, 2009, p. 5).

Es por esto que en el proceso de enseñanza-aprendizaje es preciso tener siempre presente y

mostrar la relevancia del ¿para que? estamos enseñando dicho conocimiento, es decir, es

necesario señalar con la misma relevancia el concepto y su aplicación la cual resulta ser el fin

último del concepto.

Sin embargo, concepto-aplicación no debe ser generalmente el orden del proceso

educativo, ¿Qué tal si en cambio de mostrar la aplicabilidad de un concepto una vez este ha

sido adquirido, empezamos mostrando la necesidad de una teoría que nos permita solucionar

determinado suceso?

Esto es lo que busca la enseñanza problémica, la cual enfrenta al estudiante ante

determinada situación en la que el mismo estudiante debe plantear hipótesis, encontrar

resultados y evaluar los mismos para finalmente llegar a una teoría (proceso en el que

evidentemente es asesorado por el docente) es decir pretende pasar de una educación cuyo

proceso es deductivo (en el que se parte de un conocimiento preestablecido para aplicarlo a

diversas situaciones), a una proceso inductivo (en la que el estudiante encuentra diversas

aplicaciones vinculadas a un mismo concepto).

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Lo que pretende este giro en el proceso es que el estudiante adquiera mayores relaciones

sustanciales entre los conceptos y sus experiencias es decir en otras palabras se busca que el

estudiante logre alcanzar realmente un aprendizaje significativo.

“Construimos significados cada vez que somos capaces de establecer relaciones “sustantivas y

no arbitrarias” entre lo que aprendemos y lo que ya conocíamos” Ausubel, Novak &

Hanesian, 1983, Novak, 1982 (citado por Cèsar Coll, 1988).

Por ende el presente trabajo busca mostrar en que grado el estudiante logra apropiarse de

un concepto inferido por el mismo inductivamente, es decir partiendo un caso particular

(situación problema), y si este proceso le permite al mismo alcanzar un aprendizaje

significativo.

1.3 Lineamiento de investigación

El lineamiento de investigación que se desarrollará será:

Primera línea de investigación: enseñanza y aprendizaje de la matemática a través de la

solución de problemas (especialmente problemas no rutinarios)

Como se enfoca el proyecto a esta línea.

La matemática encuentra su aplicación en el ejercicio habitual de la resolución de

problemas, siendo este el ejercicio en el que el educando comprende la necesidad, aplicación,

y posibles variantes de cualquier habilidad matemática. Este instrumento por su parte permite

que el educando desarrolle estrategias adquiriendo la habilidad de encontrar no solo en las

7

razones trigonométricas si no en diversas ramas de la matemática una herramienta aplicable a

diversos contextos.

El planteamiento de dichos problemas requiere de un profundo estudio ya que estos deben

ser motivo de exhaustiva meditación, siendo esta la manera más eficaz en la que el estudiante

reflexiona acerca de su conocimiento y de cómo llega al mismo (metacognición), puesto que

debe examinar y rectificar con detalle cada idea para finalmente elaborar procedimientos que

le permitan la resolución de los mencionados problemas.

Por lo cual la herramienta principal de este proyecto resulta ser la implementación de

problemas no rutinarios a los estudiantes de grado décimo del Gimnasio Mayor de Occidente,

con quienes se espera logren realizar deducciones a partir de dichos problemas y puedan

formular hipótesis que deberán evaluar.

De tal manera que el proceso de educación específicamente el de enseñanza será guiado

por el docente a través preguntas que logren direccionar un correcto planteamiento del

problema. Por su parte el alumno participara activamente en el proceso de aprendizaje a través

del análisis de los planteamientos realizados por él mismo.

1.4 Definición y delimitación del problema de investigación

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La práctica docente del área de matemáticas desarrollada en los estudiantes de grado

decimo B en el Gimnasio Mayor de Occidente ubicado en la Calle 67B Bis A No. 111-23

necesita de otra estrategia metodológica, puesto que de acuerdo a los ” diarios de campo

delimitación del problema” (ver anexos) realizados a las prácticas educativas se evidencio

que la metodología implementada se enfoca principalmente en el tradicionalismo, puesto que

en su mayoría en el desarrollo de la clase el docente cumple la función de transmisor;

“En una primera aproximación, de manera sintética podríamos decir que en la escuela

tradicional, bajo el propósito de enseñar conocimientos y normas, el maestro cumple la

función de transmisor. El maestro “dicta la lección” a un estudiante que recibirá las lecciones

y las normas transmitidas.”(Zubiría, J, 1994).

Mientras tanto los estudiantes se limitan a registrar en el cuaderno los conceptos, ejemplos

y a desarrollar algunos ejercicios algorítmicos asignados por el docente, mientras en otras

ocasiones el papel del alumno es el de prestar atención a la exposición del docente sin refutar

ni intervenir en ningún momento. Esto conlleva a conservar periodos de atención demasiado

largos, de los cuales algunos desisten y prefieren distraerse en cualquier otra actividad

(dibujar, oir música, dialogar etc.).

De esta manera el estudiante no “comprende” dichos conceptos ni los asimila con agrado

pues es evidente el tedio que produce esta práctica en los educandos y por ende en los

9

contenidos, lo cual no permite tener los conceptos necesarios para el desarrollo de las

habilidades planteadas.

Por tal razón y asumiendo la propuesta de la enseñanza problémica se hace preciso verificar

si:

Problema.

¿Existen diferencias significativas en el aprendizaje de las razones trigonométricas en los

estudiantes del Gimnasio Mayor de Occidente de grado 10-B utilizando la resolución de

problemas prácticos?

1.5 Justificación

Cada vez se hace más evidente la necesidad de que el docente implemente nuevas prácticas

pedagógicas que le permitan al estudiante la comprensión de conceptos matemáticos más que

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la memorización de los contenidos o la simple apropiación de procesos algorítmicos, de

manera que pueda responder a diferentes situaciones planteadas.

La educación que se le brinda actualmente al estudiante lo hace incapaz de involucrar sus

conceptos a contextos reales, ya que estos son impuestos sin previa elaboración del educando

por lo cual no encuentra un verdadero significado en el contenido.

Con base en lo expuesto, surge el planteamiento de que está, es una situación que vale la

pena investigar ya que la evaluación de la práctica pedagógica debe hacerse no solo a nivel de

contenido sino de metodología, capacitación docente y recursos didácticos, por lo cual es

pertinente buscar estrategias que permitan una mayor comprensión en los conceptos de las

razones trigonométricas, permitiendo alcanzar un aprendizaje significativo el cual requiere

una participación activa del discente, donde la atención se centra en el cómo se integran y se

adquieren los aprendizajes pretendiendo que el estudiante aprenda a aprender.

“Ausbel plantea que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que

se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto

de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así

como su organización.”(Ausbel, 1983).

Por su parte este proyecto propone como metodología la implementación de la enseñanza

problémica la cual busca lograr la comprensión de la matemática a través de la resolución de

situaciones problema en las que el estudiante genera hipótesis, argumenta sus posibles

soluciones y evalúa sus resultados.

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“Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y

generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los

estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de

situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que

permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como

probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación” (Silvia Vilanova et

al.,1995 p. 1).

Que mejor manera de comprender un concepto si no es siendo participe de su elaboración,

que mejor modo de justificar su aprendizaje que siendo el mismo educando el que encuentre

la necesidad del mismo conocimiento a partir de una situación planteada. Sin embargo,

queda la incertidumbre de si es posible lograr que un estudiante genere hipótesis

aceptablemente sustanciales, y en dado caso será posible direccionar estas hipótesis de manera

tal que la construcción del concepto no sea abanderada por el docente si no elaborada en gran

medida por el estudiante.

1.6 Objetivo General

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Desarrollar un aprendizaje significativo de las razones trigonométricas en los estudiantes

de grado Decimo B. aplicando una estrategia metodológica basada en la resolución de

problemas.

1.7 Objetivos Específicos

Implementar la estrategia pedagógica por medio del desarrollo de guías prácticas que se

basen en el análisis y resolución de problemas que permitan evaluar el proceso de

aprendizaje de las razones trigonométricas.

Proyectar al estudiante estrategias que le permitan un mejor desempeño en el análisis de

situaciones problema.

Fortalecer el proceso de aprendizaje integrando conocimientos previos para construir

conceptos más complejos en relación con las razones trigonométricas

13

CAPITULO 2. MARCO TEORICO

2.1 Antecedentes

La enseñanza de la matemática buscando un aprendizaje significativo es un objetivo

común no solo en muchas instituciones si no es diversos países que evidencian las ventajas de

este modelo pedagógico. De esta manera la enseñanza de la matemática a través de problemas

(enseñanza problemica) a tomado gran impulso debido a la búsqueda de metodologías que

permitan una participación mas activa del estudiante en la creación del conocimiento, dejando

atrás el dogmatismo impuesto al estudiante en la enseñanza tradicional.

En consideración con lo anterior se encuentran investigaciones en la enseñanza superior en

donde se evidencia que el manejo de los problemas y la herramienta de la pregunta como

elemento orientador permiten a los educandos construir metodologías que les lleve a la

resolución de dichos problemas.

Al respecto encontramos en Cuba una propuesta didáctica para la aplicación de la

enseñanza basada en problemas a la formación semipresencial en la disciplina de geometría

en la cual se realiza un pre-experimento en la asignatura correspondiente a la Geometría del

Espacio, poniendo en manifiesto previamente el conjunto de acciones planteadas y argumenta

como estas fueron desarrolladas, haciendo énfasis en algunos puntos:

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La determinación del problema

La derivación del problema en subproblemas,

Formulación de objetivos

Elaboración en los sistema de tareas

Elaboración en los sistemas de preguntas

Elaboración de guías didácticas

Diseño de las actividades

Determinación en orden decreciente, de la solución del sistema de problemas y

subproblemas formulado.

Determinación de nuevos problemas y subproblemas

De igual manera señala de gran utilidad los materiales didácticos empleados destacando la

guía didáctica y las presentaciones electrónicas, las cuales trabajan un sistema de preguntas

que orientan a los estudiantes en la elaboración de sus conocimientos y su proceso

metacognitivo.

Las TICS por su parte potencializaron las mencionadas presentaciones electrónicas que

permitieron mejorar la ilustración dinámica de las situaciones geométricas y permitir una

atención diversificada de los estudiantes. Análogamente la plataforma Moodle permitió el uso

de diversas herramientas como; el foro, el cuestionario, el diario, el glosario y las tareas

permitiéndoles a los estudiantes de formación semipresencial desarrollar la propuesta

planteada a distancia.

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Como conclusión de la puesta en práctica de dicha propuesta argumenta que su aplicación

puede contribuir a conferir un carácter desarrollador al proceso de enseñanza-aprendizaje

específicamente en la Geometría pues esta presenta condiciones especialmente favorables

para la aplicación de esta tendencia, pues en ella predominan los procedimientos heurísticos.

Nómbrese procedimientos heurísticos como “El método mediante el cual la actividad del

profesor consiste en conducir al alumno a hallar por sí mismo el conocimiento que se desea que

adquiera; el papel del maestro en este método es estimular al alumno al pensamiento reflexivo,

guiarlo para que indague e investigue, para que llegue a conclusiones”. (Torres citado por Marilú

Martín, 1986, p.2)”.

De la misma manera otro ejemplo aun más próximo, en el Departamento de Física de la

Universidad Popular del Cesar se plantea la enseñanza del movimiento ondulatorio abordado

desde la enseñanza problémica en la licenciatura de matemáticas y física en donde señalan la

necesidad de tomar como referente la didáctica de la educación básica y media para mejorar la

didáctica de la enseñanza superior de la cual no se tienen suficientes registros literarios,

dichos avances en la educación menciona, son resultado de los desarrollos de la ciencia, los

aportes de la psicología cognitiva que han llevado a tener un especial interés en las ideas

previas del estudiante y en el contexto en el que este se desenvuelve para generar un

aprendizaje significativo, dichos aspectos son considerados en el “enfoque problemico” en el

que se basa la propuesta.

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Su desarrollo se realizo a través de ejemplos ondulatorios concretos de la vida diaria, los

estudiantes de la Universidad Popular del Cesar identificaron y comprendieron los conceptos

matemáticos y físicos básicos necesarios para la ecuación diferencial que describe un

fenómeno ondulatorio como una perturbación viajera a través de 5 momentos identificados en

el desarrollo del proyecto, trabajados de la siguiente manera:

Primer momento: Presentación de ejemplos cotidianos (parte importante en la búsqueda de

un aprendizaje significativo) los cuales fueron analizados como situaciones problema a través

de preguntas que guiaron al estudiante a determinar el problema: la descripción del fenómeno

mediante una expresión matemática.

Segundo momento: Aunque identificaron la necesidad de encontrar una ecuación fueron

conscientes de que no conocían la forma y tampoco la característica de lo buscado.

Tercer momento: A través de preguntas guiadas por el profesor los estudiantes se dieron

cuenta de la necesidad de un plan de acción para solucionar el problema especificado.

Cuarto momento: Partiendo de los conceptos matemáticos, físicos y leyes conocidas dentro

de un contexto apropiado los estudiantes encontraron lo desconocido.

Quinto momento: Se le dio interpretación física a lo concluido (la ecuación encontrada),

identificar su importancia, alcance y el beneficio del proceso realizado.

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Como se evidencio el docente empleo la pregunta como elemento orientador logrando que

los estudiantes concibieran que no tuvieran respuestas inmediatas a tales interrogantes,

encontrándose ante un problema. Para el cual, finalmente los estudiantes vieron la necesidad

de buscar una metodología que incluyera un plan de acción para resolver el mismo, llegando

al resultado y desarrollando competencias argumentativas, interpretativas y propositivas en

los estudiantes.

Evidenciamos en ambos proyectos la necesidad de elaborar un sistema que describa los

procesos a desarrollar en los educandos, indicando en estos los momentos o procesos

mentales que el estudiante debe desarrollar conscientemente en búsqueda del objetivo común

de la propuesta; La resolución de un problema contextualizado y significativo para el mismo

que le permita el descubrimiento del concepto.

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2.2 Marco Disciplinar

Para el desarrollo del concepto de razones trigonométricas es preciso considerar dos

conceptos fundamentales: El teorema de Thales y el teorema de Pitágoras.

Por esta razón señalaremos en qué consisten dichos teoremas y como se aplican a las

razones trigonométricas a su vez indicaremos algunos aportes en cuanto a la didáctica de su

enseñanza.

2.2.1 Teorema de Thales.

El teorema de Thales dice que si se traza un conjunto de rectas paralelas entre sí, a, b, c,…

que cortan a otras dos rectas r y s, los segmentos que se determinan sobre las rectas r y s son

proporcionales.

A BAB = B C

BC

Ejemplo: Sabiendo que AB = 2 cm, BC = 1,5 cm y B’C’ = 1,2 cm, vamos a hallar la longitud

del segmento A´B´

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A BAB = B C

BC => A B

2 = 1,21,5 => A’B’ =

1,2.21,5 = 1, 6 cm

Por su parte dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados

opuestos a ese ángulo son paralelos.

ABAB = AC

BC = B CBC

Ejemplo: Para calcular B´C´ con los datos de la figura se procede:

ACBC = B C

BC => 64 =>

B C3,34 => B C =

6 .3,344 = 5,01 cm

De las igualdades anteriores podemos deducir además que

ACAB = AC

ABBCAC = B C

AC BCAB = B C

AB

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2.2.2 Teorema del Seno y su relación con el teorema de Thales

Como dijimos anteriormente, este concepto es básico para relacionarlo con el de razones

trigonométricas, dado como observamos en un triangulo rectángulo se conserva la

proporcionalidad entre las medidas anteriormente mencionadas:

ACAB = AC

AB = CAH = Cos

BCAC = B C

AC = COH = Sen

BCAB =

B CAB =

COCA = tan

Ahora podemos relacionar estas razones al del Teorema del Seno:

Si tenemos un triangulo no rectángulo como el de la figura

Podemos ahora graficar y nombrar las 3 alturas del triangulo, de manera que

21

Con ayuda del grafico podemos observar que:

Sen α = h bc

, Sen α = h cb

Sen = h ac

, Sen = h ca

Sen = h ab

, Sen = h ba

Ahora si dividimos cada igualdad por el segmento opuesto al ángulo:

Senαa =

h bca

, Senα

a =h cba

Senb =

h acb

, Senb =

h cab

Senc

= h abc

, Sen

c =

h bac

De lo cual podemos deducir que:

Senαa =

h cab =

Senb = h a

cb = Sen

c

Y por ende; Senα

a =

Senb

= Sen

c

TEOREMA DEL SENO

2.2.3 Teorema de Pitágoras.

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Conceptos previos:

Catetos: Segmentos de un triangulo rectángulo que siempre se encuentran unidos por un

vértice y forman un ángulo de 90 grados.

Hipotenusa: Es el segmento de longitud mayor en un triangulo rectángulo y es opuesto al

ángulo de 90 grados.

Definición: En un triangulo rectángulo, es decir aquel en el que uno de sus ángulos es recto

(90 grados), como le de la figura;

El área de los 2 cuadrados de longitud igual a la de los catetos AB Y AC sumadas, es igual

al área del cuadrado de longitud igual a la hipotenusa BC.

Gráficamente;

2.2.4 Teorema del coseno y su relación con el Teorema de Pitágoras.

Ahora veremos la relación que tiene el teorema de Pitágoras con el teorema del coseno;

23

De acuerdo a la siguiente figura;

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Ecuación 1: c 2 = h2 + u2 y Ecuación 2: h2 + (b-u)2 = a2

Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2;

c 2 = (a2 - (b-u)2 ) + u2

Simplificando:

c 2 = (a2 – (b2-2bu + u2) + u2

c 2 = (a2 – b2 + 2bu - u2) + u2

c 2 = a2 – b2 + 2bu Ecuación 3

Ahora de acuerdo a la definición de coseno:

Cos γ = b−u

a

Despejando u

u = b – acos γ

Ahora sustituyendo en la ecuación 3

24

c 2 = a2 – b2 + 2b (b – acos γ)

c 2 = a2 – b2 + 2b2 – 2abcos γ

c 2 = a2 + b2 – 2abcos γ

Empleando el mismo proceso encontraremos las otras dos igualdades:

c 2 = a2 + b2 – 2abcos γ

a 2 = b2 + c2 – 2bccos α

b 2 = a2 + c2 – 2accos

TEOREMA DEL COSENO

2.3 Marco Pedagógico

2.3.1 El aprendizaje Significativo

Definición

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El aprendizaje del estudiante objetivo esencial de la enseñanza en alguna época fue visto

simplemente como el cambio de la conducta, durante esta época era el conductismo el

modelo de enseñanza predominante. Sin embargo, cabe aclarar que la enseñanza no solo

implica adquisición de conocimiento, cambio de conducta y de pensamiento sino que

también involucra afectividad, y es cuando se considera en conjunto estos factores cuando

realmente se enriquece el significado de la experiencia en el estudiante.

Podemos afirmar entonces que existe un aprendizaje significativo cuando existe un

“proceso a través del cual una nueva información (un nuevo conocimiento) se relaciona de

manera no arbitraria y sustantiva (no-literal) con la estructura cognitiva de la persona que

aprende, siendo la No-arbitrariedad y sustantividad las características básicas del

aprendizaje” (Moreira, 1997, p.2).

La no arbitrariedad hace referencia a la correcta concatenación entre los conceptos previos

y el nuevo conocimiento, por su parte la sustantividad hace referencia a al relevancia que debe

tener la información adquirida para el estudiante.

Solo de esta manera es posible que el sujeto adquiera esta nueva información en su

estructura mental para posteriormente hacer parte de su memoria comprensiva. Y es en este

principio del aprendizaje significativo donde radica su mayor diferencia con otras teorías, ya

que su objetivo es que el estudiante “comprenda” concepto mucho más amplio que la

memorización o el entendimiento, puesto que comprender requiere hacer propia la

información de manera que posteriormente pueda ser expresada de diversas formas.

26

Sin embargo es necesario comprender que otros tipos de aprendizajes en donde la

memorización es imprescindible como el aprendizaje mecanicista no son excluyentes con el

aprendizaje significativo y por el contrario pueden complementarse en su fin ultimo de

enseñar, así por ejemplo el aprendizaje de las formulas para calcular el volumen de diversos

sólidos puede ser memorístico mas sin embargo su aplicación en un contexto real requiere de

un aprendizaje significativo. Además, este aprendizaje tampoco discute con la práctica

docente ya que puede practicarse mediante descubrimiento por parte del estudiante (lo cual

resulta ser lo ideal), o mediante la exposición de los contenidos siempre y cuando en ambas

practicas el estudiante logre alcanzar las relaciones sustanciales mencionadas anteriormente.

Sin embargo, lo que si resulta relevante en este aprendizaje es la participación activa del

alumno quien debe ser protagonista de su propio proceso de aprendizaje, ya que además de

mostrarse ansioso por la adquisición de conocimientos, habilidades y saberes debe ser

consciente de su proceso metacognitivo pues el fin ultimo de este aprendizaje es que el sujeto

aprenda a aprender.

Aprendizaje Significativo y su vínculo con otras teorías

Aprendizaje Significativo y constructivismo

Se considerara el aprendizaje significativo como un concepto subyacente al

constructivismo argumentándonos en que para Ausubel el aprendizaje implica una

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“reestructuración” activa de las percepciones, ideas, conceptos y esquemas que el aprendiz

posee en su estructura cognitiva.

“Podríamos clasificar la postura de Ausbel como constructivista (el aprendizaje no es una

simple asimilación pasiva de información literal, el sujeto la transforma y estructura) e

interaccionista (los materiales de estudio y la información exterior se interrelacionan e

interactúan con los esquemas de conocimiento Previo y las características personales del

aprendiz) (Marco Moreira, 1997).”

Aprendizaje Significativo y Piaget

En la teoría de Piaget (teoría de desarrollo cognitivo) a partir de la cual enseñar sugiere

incitar un desequilibrio cognitivo en el educando para que este se reestructure cognitivamente

y aprenda (significativamente). La capacidad del educando de reestructurarse mentalmente

para acomodarse a las nuevas condiciones es su mecanismo de aprendizaje. Siendo este el

objetivo del docente generar dicho desequilibrio y más importante aún guiar el proceso de

acomodación.

Sin embargo, si el desequilibrio cognitivo resultado de la experiencia es muy grande no es

posible que ocurra la reacomodación, de igual manera en el aprendizaje significativo; cuando

el conocimiento no se relaciona de manera sustantiva a la estructura cognitiva de la persona

no se adquiere un aprendizaje significativo.

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Ahora, contextualizando esta teoría en la enseñanza problémica, esta nos permite situar al

estudiante ante aquellas situaciones de “desequilibrio” una vez planteado la situación

problema, a su vez el proceso de re acomodación se desarrolla guiado por el docente quien lo

propicia a través de preguntas premeditadas que permitan identificar sus ideas previas y lo

guíen a la obtención del nuevo concepto.

Aprendizaje Significativo y Vigotsky

Para Vigotsky el desarrollo cognitivo se produce a través de la conversión de relaciones

sociales por medio de instrumentos y signos (como los algoritmos y los números para la

matemática) en procesos mentales.

Dicha adquisición de signos e instrumentos se permite a la persona construir

progresivamente sus procesos mentales. Por otra parte la interacción social no solo permite

adquirir dichos símbolos si no verificar si los ya captados son aquellos compartidos

socialmente. Por lo tanto al igual que en al aprendizaje significativo en esta teoría es

indispensable la construcción de significados, que son relevantes en la medida que se

puedan poner a prueba en sus interacciones sociales. Por otra parte para Vigotsky;

“La interacción social que lleva al aprendizaje debe producirse dentro de lo que él llama zona

de desarrollo proximal; la distancia entre el nivel de desarrollo cognitivo real del individuo,

29

tal como podría medirse por su capacidad para resolver problemas solo, y su nivel de

desarrollo potencial, tal como se mediría por su capacidad de resolver problemas bajo

orientación o en colaboración con compañeros más capaces”. (Marco Moreira, 1997) .

Por lo tanto, para Vigotsky resulta más evidente el aporte que al aprendiz le conlleva el

desafío de problemas de manera individual y/o colectivamente. (Aprendizaje por resolución

de problemas.

Tipos de Aprendizaje

Según Ausubel es preciso diferencia las situaciones de aprendizaje que pueden ocurrir en

el aula. De los cuales se pueden identificar 4 tipos específicos:

• Recepción repetitiva

• Recepción significativa

• Descubrimiento repetitivo

• Descubrimiento significativo

30

Cuadro Situaciones del aprendizaje (Díaz, F. & Barriga. A, 2002, p.38).

Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento pueden coincidir cuando el

conocimiento adquirido por percepción es puesto en práctica en las situaciones problema que

implican un descubrimiento, y en contraste en ocasiones lo aprendido por descubrimiento

conlleva a la comprensión de la parte receptiva.

31

2.3.2 Enseñanza problémica.

La enseñanza a través de problemas es una metodología que permite al docente desarrollar

las capacidades de comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos

para enfrentar su entorno. A continuación analizaremos la enseñanza problémica a través tres

conceptos distintos:

Resolución de problemas como contexto: Los problemas son manipulados para el

desarrollo de objetivos curriculares, cumpliendo el papel de: Justificar el aprendizaje de la

matemática, Motivar el aprendizaje de ciertos temas a través de alguna aplicación, Usarse

como actividad recreativa, para el desarrollo de habilidades como ejercitación de algún

concepto.

Sin embargo, en estas concepciones la resolución de problemas es vista como una

herramienta que permite el desarrollo de interés, un juego, de un algoritmo o de un currículo

mas no es vista como una meta.

Resolución de problemas como habilidad: En este punto la resolución de problemas es

vista como una habilidad que se debe desarrollar en el curriculum, considerando como básicas

la solución de problemas rutinarios como una habilidad básica que es base para el desarrollo

de problemas no rutinarios considerada esta habilidad de nivel superior. Por lo tanto esta

habilidad se desarrolla como contenido a través de algoritmos que se trabajan en el aula y que

se pretenden ser dominados.

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Resolución de problemas como finalidad de la matemática: En esta visión se considera la

resolución de la matemática como el último fin de la misma, puesto que la matemática

pretende el tratamiento y solución de problemas, planteamiento abordado en este trabajo.

Pues como indica Polya (uno de los principales desarrolladores de esta idea):

“los aspectos matemáticos son primero imaginados y luego probados” (Polya, citado por Silvia,

et al 1954). Por tal razón la matemática se debe enseñar de la manera como se crea; a través de

experiencias que desarrollen el proceso creativo y generativo del sujeto.

Investigaciones sobre resolución de problemas matemáticos

Se han identificado cuatro importantes áreas de investigación concernientes a la

resolución de problemas: la dificultad de los problemas, la distinción entre buenos y malo

resolutores, algoritmo para resolver problemas, relación entre la meta cognición y la

resolución de problemas.

Igualmente se encuentran algunos aspectos no muy claros en la resolución de problemas:

por ejemplo es necesario tener clara la definición de solución de problemas y bajo que marco

se trabajara, saber como interactúan los recursos con la estrategia planteada, y sobretodo

tener mayor conocimiento respecto a la implementación de estas practicas.

Factores que intervienen en el proceso de resolución

Según Schoenfeld se encuentra cuatro factores que intervienen en el proceso de

resolución de problemas;

33

Dentro de estos factores se destaca el conocimiento base que tiene cada estudiante para el

desarrollo de un problema, la información que tiene a su disposición, la confiabilidad de la

misma y por supuesto la capacidad que tiene el sujeto de interpretar y hacer uso de esta.

Otro factor que interviene es el proceso metacognitivo del sujeto el cual consiste en el

monitorio de las propias actividades intelectuales tales como planificar, seleccionar metas y

submetas, es también importante en el desarrollo de la resolución de problemas y le permite a

este seleccionar correctamente los recursos y procesos matemáticos que favorecen el

desarrollo del problema.

Por otro lado enuncia Schoenfeld como factor aquellas creencias propias de la matemática

dentro de las cuales enuncia las siguientes:

a. Las matemáticas son de carácter abstracto, no se relacionan con la vida cotidiana o que

los conceptos no se aplican en la resolución de problemas.

b. Los problemas matemáticos deben ser resueltos en menos de diez minutos, de lo

contrario no tienen solución.

c. Sólo genios o superdotados son capaces de descubrir o crear matemática. (Schoenfeld,

(1985))

Por ultimo encontramos las estrategias para la resolución (heurísticas) que es un tema

abarcado por Polya en su libro “Matemáticas y razonamientos plausibles” quien plantea

además en su libro “el método de los 4 pasos”, 4 momentos que se deben llevar a cabo

durante el desarrollo de cualquier tipo de problema:

34

Comprender el problema: Etapa en la cual se establece la incógnita, se toman los datos se

mira la relación entre ellos, las condiciones presentadas y se evalúan si estas son suficientes

para el desarrollo de la situación. A través de preguntas como: ¿Cuál es la incógnita?,

¿Cuáles son los datos?, ¿Cual es la condición? …

Diseñar un plan: En esta etapa el problema se relaciona con métodos y/o soluciones de

problemas análogos. En esta etapa se abordan preguntas como: ¿Se ha encontrado un

problema semejante? , ¿Conoce alguna solución que pueda ser útil?, ¿Podría enunciar el

problema de otra forma?...

Ejecutar el plan: En esta etapa se evalúa cada uno de los pasos de la idea a desarrollar,

teniendo en cuenta todos los detalles. Y se realizan preguntas de apoyo como: ¿Se puede

evidenciar que el paso anterior fue correcto?, ¿Cómo mostrar que el paso realizado fue útil?..

Examinar la solución: En esta etapa se hace un recuento del proceso donde se debe

evidenciar la efectividad y eficiencia de la solución como del método realizado para llegar a

esta. Permitiendo así desarrollar métodos para la resolución de futuros problemas, con

preguntas como: ¿El resultado y razonamiento son verificables?, ¿En que otro problema

puedo aplicar la misma estrategia u obtener la misma solución?...

Por otro lado encontramos en la actualidad algunos procedimientos heurísticos que nos

ofrecen ideas para el desarrollo de cualquier problema, los cuales se profundizaran a

continuación:

35

Procedimientos Heurísticos

Los procedimientos heurísticos se dividen en:

a. Principios heurísticos

b. Reglas heurísticas

c. Estrategias heurísticas

Dentro de los principios heurísticos encontramos:

a) Medir y probar sistemáticamente.

b) Aplicación del principio de la movilidad.

c) Inducción incompleta.

d) Consideración de casos especiales o casos límites.

e) Analogía.

f) Generalización.

g) Reducción a problemas ya resueltos.

Ejemplo:

Analogía: Se desea introducir la fórmula para calcular el volumen de un cono. Los

Alumnos conocen que la fórmula para calcular el volumen de una pirámide es

V=1/3 AB.h. El profesor hace notar la analogía que existe entre la pirámide y el cono con

relación al prisma y al cilindro circular recto respectivamente. De ahí se induce que el

volumen del cono es: V=1/3 AB.h.=1/3 π.r²h. (Ejemplo tomado de las funciones didácticas de

la enseñanza de la matemática Dr. Reinaldo Hernández Camacho, 2004)

36

Las reglas heurísticas se refieren a aquellos estímulos que el docente provoca en el proceso

heurístico a través de observaciones, preguntas, recomendaciones, que orientan al estudiante.

Las estrategias heurísticas señalan el sentido de orientación que puede llevar el raciocinio

de atrás hacia adelante o de adelante hacia atrás.

Ejemplo: En todo triángulo rectángulo se cumple que: sen 2 a + cos 2 a = 1

Demostración:

Si partimos de que es verdadera la tesis podemos transformarla y establecer relaciones con la

premisa: sen 2 a + cos 2 a = 1 00 < a < 900

Como en todo triángulo rectángulo se cumple que:

Sen a = ac

y cos a = bc

podemos plantear: sen 2 a + cos 2 a = 1

Si multiplicamos por c2:

a2 + b2 = c2 Hemos llegado al teorema de Pitágoras, igualdad que se cumple en un triangulo

rectángulo. (Ejemplo tomado de los procedimientos heurísticos en la enseñanza de la

matemática, 2007)

B

AC

a

b

c

37

2.4 Marco legal

De acuerdo a lo establecido en la ley general de educación en los estándares de educación

para el área de las matemáticas con la enseñanza de la trigonometría se busca que el alumno

desarrolle el pensamiento espacial de acuerdo a los siguientes estándares en los que se

encuentra involucrada la enseñanza de la trigonometría:

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Diseñar estrategias para abordar Situaciones de medición que requieran grados de

precisión específicos.

Resolver y formular problemas que involucran mediciones derivadas para atributos tales

como velocidad y densidad.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos

matemáticos y en otras ciencias.

Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones

trigonométricas

En el estándar 1 se hablo de la necesidad de la enseñanza de las secciones cónicas en este ítem

se sugiere además que el estudiante interiorice este concepto y puede exteriorizarlo en

problemas reales.

38

4. Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos

matemáticos y en otras ciencias.

De forma más general se busca en este estándar que el estudiante interprete diversos

problemas encontrando patrones geométricos en estos y pueda desarrollar la interpretación de

los mismos de manera simbólica con ayuda de teoremas, axiomas y demás argumentos

geométricos, y a través de ellos llegar a su solución.

5. Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones

trigonométricas.

Las funciones en general sirven para modelar fenómenos físicos que siguen un patrón

específico, en especial las funciones trigonométricas se emplean sobretodo para representar

patrones periódicos (comúnmente en la física) y resulta ser la capacidad de deducción para

llegar a dicha interpretación lo que este estándar procura.

Por su parte la ley 115 (ley general de educación) establece en el artículo 22 que los

objetivos específicos de la educación básica en el ciclo de secundaria son:

Artículo 22. Objetivos Específicos de la Educación Básica en el Ciclo de Secundaria

Los cuatro (4) grados subsiguientes de la educación básica que constituyen el ciclo de

secundaria, tendrán como objetivos específicos los siguientes:

c. El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los

sistemas numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos, de operaciones y

relaciones, así como para su utilización en la interpretación y solución de los problemas de la

ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana;

39

Este objetivo se ve reflejado no solo en la trigonometría si no en general en la matemática

pues esta procura el razonamiento lógico deductivo en los estudiantes.

d. El avance en el conocimiento científico de los fenómenos físicos, químicos y biológicos,

mediante la comprensión de las leyes, el planteamiento de problemas y la observación

experimental;

El planteamiento de problemas requiere de un razonamiento como mencionaba

anteriormente lógico deductivo a su vez la matemática ofrece leyes universales que resultan

ser aplicables a contextos físicos y que permiten su interpretación y tratamiento.

f. La comprensión de la dimensión práctica de los conocimientos teóricos, así como la

dimensión teórica del conocimiento práctico y la capacidad para utilizarla en la solución de

problemas;

En este apartado se busca que el estudiante pueda llevar leyes teóricas a la práctica en la

solución de problemas físicos y a su vez, busca que la solución de problemas físicos pueda

llevarlos a una representación simbólica y tratados desde la teoría.

CAPITULO 3. METODOLOGÌA

3.1 Caracterización de la población.

3.1.1 Generalidades de la institución.

40

El Gimnasio Mayor de Occidente ubicado en el noroccidente de la ciudad, en la localidad

de Engativa barrió villa Sandra de estrato 2, con mas de 700 estudiantes en sus instalaciones

es reconocida por ser unas de las instituciones mas destacadas en el sector por la

organización de su plan curricular y la disciplina de sus estudiantes, siendo su proyecto

educativo institucional (PEI), el de formar estudiantes integrales con proyección social.

Lo cual le ha permitido mantener en los últimos 2 años ante las pruebas de estado

ICFES la clasificación de nivel superior, siendo las áreas de matemáticas e inglés los énfasis

de la institución. Sin embargo para el 2015 ser reconocida como una de las mejores

instituciones de la localidad, con un nivel muy superior en las pruebas de estado ICFES y

conseguir alianzas estratégicas con reconocidas universidades que garanticen el acceso de sus

estudiantes a la educación superior fortalecidos en las áreas de matemáticas e ingles.

Su sistema de calificación comprende por porcentajes tareas 15%, participación 10%,

normatividad 10%, proyecto síntesis 15%, full1 25% y full 2 25%. Tomando el sistema de

calificación valores enteros entre 1 y 100, siendo el intervalo de 92 a 100 el correspondiente

al nivel superior, el intervalo de 80 a 91 corresponde al nivel alto, las notas entre 70 y 79

corresponden al nivel básico y el nivel entre 10 y 69 corresponde al nivel bajo.

3.1.2 Perfil de estudiante.

41

Los estudiantes de grado decimo B del Gimnasio Mayor de Occidente que consta de 28

estudiantes, que si bien no se han caracterizado en los últimos 2 años por su excelente

rendimiento académico si se diferencian por ser un grupo homogéneo, responsable en la

entrega de trabajos y por mantener una disciplina destacable en todas las actividades. A

pesar de esto sus resultados en trigonometría no son los deseados, evidenciado esto en los

resultados correspondientes al primer bimestre del año donde 12 de los 28 educandos

perdieron el primer bimestre de trigonometría obteniendo el curso un promedio de 69,8,

mientras en el segundo bimestre fueron 20 estudiantes los que perdieron dejando un

promedio en el curso de 64,6. Razón por la cual la algunos estudiantes se muestran

desmotivados y preocupados con sus resultados.

3.2 Tipo de investigación

El método de investigación de este proyecto será descriptivo puesto que su objetivo es

describir de manera sistemática las características de un proceso cognitivo. “Con mucha

frecuencia las descripciones se hacen por encuestas (estudios por encuestas), aunque éstas

también pueden servir para probar hipótesis específicas y poner a prueba explicaciones.”

(Tamayo, 1987).

En nuestro caso se empleara para determinar en qué medida el aprendizaje a través de la

resolución de problemas le permite alcanzar un aprendizaje significativo a nuestra población;

los estudiantes de grado Decimo B del Gimnasio Mayor de Occidente, quienes a través de

los diarios de campo realizados en las clase de trigonometría mostraron falencias en el

proceso cognitivo que desarrollaba.

42

El desarrollo de esta investigación se observara por medio del desarrollo de guías prácticas

que guiaran al educando a un correcto análisis de problemas la información se recolectara de

acuerdo a la interpretación de la información, recolección de datos, análisis de la información

y uso de preconceptos.

3.2.1 Enfoque metodológico

El enfoque metodológico de esta investigación es cualitativo puesto que se basa en

explorar las relaciones sociales y describir la realidad tal como la experimentan los sujetos de

estudio.

“Para LeCompte (1995), la investigación cualitativa podría entenderse como “una

categoría de diseños e investigación que extraen descripciones a partir de observaciones

que adoptan la forma de entrevistas, narraciones, notas de campo, grabaciones,

transcripciones y video cassettes, registros escritos de todo tipo, fotografías o películas y

artefactos”. Para esta autora la mayor parte de los estudios cualitativos están preocupados

por el entorno de los acontecimientos y centran su indagación en aquellos contextos

naturales, o tomados tal y como se encuentran, más que reconstruidos o modificados por el

investigador en los que los seres humanos se implican e interesan evalúan y experimentan

directamente”. (Rodríguez Gómez y otros, 1996, p.31-32)

Esta definición deja en claro que el objetivo de esta investigación es el de estudiar el

comportamiento y analizar las causas de una conducta, de esta manera dicha investigación se

43

acopla al objetivo de este proyecto, puesto que se estudiara el grado de asimilación de las

razones trigonométricas por parte de los estudiantes de grado decimo en el Gimnasio Mayor

de Occidente.

Para esta investigación se realizara un diario de campo en el que describa las prácticas

pedagógicas que se venían llevando a cabo, igualmente se realizara otro en el que se describa

el proceso llevado a cabo durante la puesta en práctica de la propuesta. De igual manera se

realizara una encuesta que permita realizar un diagnóstico estadístico del grado de

comprensión que tienen los estudiantes de la matemática, para posteriormente comparar estos

resultados con los obtenidos al finalizar el desarrollo de las guías.

3.2.2 Métodos de investigación

Los métodos a utilizar en el proyecto serán la investigación documental y la etnografía,

refiriéndose la primera a la necesidad en la búsqueda de documentos de cualquier especie

como los obtenidos a través de fuentes bibliográficas (consulta de libros), hemerográficas

(artículos o ensayos de revistas y periódicos) o archivísticas (cartas oficios, circulares,

expedientes, etcétera), puesto que será esta información especializada la que brindara un

avance dados los aportes ya existentes permitiendo no cometer los mismos errores que en

otras publicaciones se hayan podido presentar, de igual manera la consulta de estos

documentos nos brinda mayor confiabilidad en la información que se pretende aportar.

44

La etnografía por su parte es el estudio directo de personas o grupos durante un cierto

período, basándose en la herramienta de la observación participante para conocer el

comportamiento social para lo que es imprescindible el trabajo de campo (evidenciado en los

diarios de campo) como herramienta básica, de esta manera se pretende mostrar el significado

de las acciones e interacciones en las clases o secciones del grupo a estudiar.

3.2.3 Herramientas

Durante la caracterización de los estudiantes de grado Decimo del Gimnasio Mayor de

Occidente, se emplearon dos valiosas herramientas:

El diario de campo: Herramienta que por medio de la observación permitió registrar

aquellos sucesos que fueron susceptibles de ser interpretados, posteriormente dicha

información se analizó.

Pruebas prácticas: las cuales nos determinaran el grado de comprensión que a medida del

tiempo adquieres los estudiantes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Observaci%C3%B3n_participante

45

3.3 Matriz de recolección de información

GUIA DIAGNOSTICA y GUIA PRACTICA 1OBJETIVO

CONCEPTUAL NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4Determinar en los estudiantes de grado decimo B los conceptos base que poseen en el cálculo de longitudes y ángulos en triángulos oblicuángulos y rectángulos.

El estudiante analizó erradamente la información por lo cual no determino los triángulos pertinentes dificultándosele así encontrar las longitudes y ángulos necesarios para encontrar una solución a los ejercicios propuestos en la guía.

El estudiante analizó la información, y con dificultad determino los triángulos pertinentes, por lo cual a pesar de hallar algunas longitudes y ángulos con teoremas y algoritmos logro llegar a una solución escueta de la guía

El estudiante analizó la información, determino los triángulos pertinentes a los cuales les halló algunas longitudes y lados aplicando con falencia teoremas y algoritmos, pero sin desarrollar a plenitud la guía.

El estudiante analizó correctamente la información, determino los triángulos pertinentes a los cuales le halló sus longitud y lados aplicando correctamente teoremas y algoritmos, logrando así el desarrollo efectivo de la guía

Rubrica No. 1. Guía diagnostica Rubrica No. 2. Guía Motivacional

46

Rubrica No. 3. Guía Practica 1 GUIA PRACTICA 1

OBJETIVO CONCEPTUAL NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4

Establecer relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triangulo y sus ángulos.

El estudiante no logro determinar el triangulo pertinente para la solución del problema por lo cual ni siquiera estableció la relación existente entre sus lados y ángulos, de tal manera que no logro hallar la altura del edificio.

El estudiante logro determinar el triangulo pertinente para la solución del problema sin embargo no estableció las relaciones pertinentes entre la altura del edificio y la sombra que proyectaba por lo cual no logro encontrar dicha altura.

El estudiante logro determinar el triangulo pertinente para la solución del problema de igual manera estableció la relación existente entre sus lados y ángulos, sin embargo al no emplear un triangulo alterno proporcional al primero su estimación de la altura del edificio fue aproximada.

El estudiante logro determinar el triangulo pertinente para la solución del problema de igual manera estableció la relación existente entre sus lados y ángulos, y calculo estas medidas comparando estas con un triangulo alterno proporcional al primero.

Rubrica No. 4. Guía Práctica 2 GUIA PRACTICA 2


El estudiante establecerá correctamente la representación gráfica del problema, para identificar así los triángulos pertinentes, que con sus magnitudes permiten la solución del problema.

El estudiante no encontró aplicación en la topología a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo. Puesto que no dio importancia a la correcta representación grafica de estos problemas, lo cual no le permitió identificar ningún triángulo necesario, para la solución de estos problemas.

El estudiante encontró aplicación en la topología a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo. Aunque muy poca importancia dio a la representación gráfica de los problemas, identificando erróneamente los triángulos pertinentes que con sus magnitudes (registradas de la toma de datos) no permitieron la solución de estos.

El estudiante encontró aplicación en la topología a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo. Aunque poca importancia dio a la correcta representación grafica de estos problemas, por lo cual identifico con alguna dificultad los triángulos pertinentes que con sus magnitudes (registradas de la toma de datos) permitieron una la solución de los problemas

El estudiante encontró aplicación en la topología a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo. Estableciendo correctamente la representación gráfica del problema, identificando así los triángulos pertinentes, que con sus correspondientes magnitudes (registradas de una correcta toma de datos) permitieron la solución del problema

47

Rubrica No. 5. Guía Práctica 3GUIA PRACTICA 3


El estudiante realizará una correcta representación del problema, un preciso registro de datos y un destacado análisis a través de la mayéutica.

El estudiante no encontró en la paralaje una aplicación a problemas con triángulos oblicuángulos ya que no logro una correcta representación de estos, además su toma de datos y su proceso mayéutico fue deficiente.

El estudiante encontró en la paralaje una aplicación a problemas con triángulos oblicuángulos a pesar de que la representación de estos problemas su toma de datos y su proceso mayéutico fue deficiente.

El estudiante encontró aplicación en la paralaje a problemas con triángulos oblicuángulos a través de una correcta representación del problema, una preciso registro de datos y un aceptable análisis que no obstante mostro falencias en el proceso mayéutico.

A través de la correcta decantación de problemas con triángulos oblicuángulos en donde se involucro la correcta representación de estos, la necesaria toma de datos y un destacado análisis a través de la mayéutica, este logro encontrar aplicación a dichos problemas en la paralaje.

Rubrica No. 6. Guía Conceptual 1GUIA CONCEPTUAL 1

OBJETIVO CONCEPTUALY METACOGNITIVO NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4

Formalizar los conceptos adquiridos en las practicas experimentales anteriores mostrando el desarrollo y aplicabilidad del teorema del seno

El estudiante no estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno.

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, sin embargo no comprendió en su totalidad el desarrollo de este concepto y aun no comprende bien las aplicaciones del mismo.

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, y a pesar de que comprendió el desarrollo de este concepto aun le falta comprender las aplicaciones del mismo.

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, además comprendió el desarrollo de este concepto y las aplicaciones del mismo.

48

Rubrica No. 7. Guía Conceptual 2

GUIA CONCEPTUAL 2OBJETIVO

CONCEPTUALY METACOGNITIVO NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4

Formalizar los conceptos adquiridos en las practicas experimentales anteriores mostrando el desarrollo y aplicabilidad del teorema del coseno

El estudiante no estableció relación entre las practicas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del coseno

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del coseno, sin embargo no comprendió en su totalidad el desarrollo de este concepto y aun no comprende bien las aplicaciones del mismo.

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del coseno, y a pesar de que comprendió el desarrollo de este concepto aun le falta comprender las aplicaciones del mismo.

El estudiante estableció relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del coseno, además comprendió el desarrollo de este concepto y las aplicaciones del mismo.

49

Rubrica No. 8. Guía Evaluativa

GUIA EVALUATIVAOBJETIVO

CONCEPTUAL

NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3 NIVEL 4Resolver situaciones problema donde se vean involucrados triángulos oblicuángulos y equiláteros empleando los teoremas de Pitágoras, del seno, del coseno, y las razones trigonométricas evaluando estos resultados.

Después de un regular desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo y sin emplear convenientemente los conceptos vistos en la practica conceptual el estudiante no logro resolver la practica evaluativa.

Logrando un destacado desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo aunque sin emplear adecuadamente los conceptos vistos en la practica conceptual el estudiante logro con dificultad resolver la practica evaluativa.

Logrando un sobresaliente desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo y empleando moderadamente los conceptos vistos en la practica conceptual el estudiante logro resolver la practica evaluativa.

Empleando los conceptos vistos en la practica conceptual y logrando un sobresaliente desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un triangulo el estudiante logro resolver con eficacia y eficiencia la practica evaluativa.

50

3.4 Propuesta pedagógica

Las guía didáctica “triangulando ando aprendiendo” desarrollada para los estudiantes de

grado Decimo B consta de una pequeña presentación de la guía en la que se presenta una breve

historia de la trigonometría y los objetivos generales de la misma, luego se presentan las 8

secciones que se describen a continuación:

3.4.1 Etapa Diagnostica: Se inicia con una pequeña prueba que pretende mostrar los

conocimientos previos que de acuerdo a las prácticas tradicionalistas logro adquirir el curso

Decimo B, y tener de esta manera un punto de partida.

3.4.2 Etapa Motivacional: En la cual se muestran algunas aplicaciones que tiene la

trigonometría en ciencias como la astronomía, la arquitectura, la navegación y la artillería. En

seguida, se presentan algunas curiosidades concernientes a la trigonometría, y se finaliza esta

presentación con una actividad en la que se busca que el estudiante identifique construcciones

triangulares en el espacio.

3.4.3 Etapa Práctica 1: En esta sección los estudiantes realizaran primero una actividad

en la que desarrollaran el concepto de triángulos proporcionales a través de la medición de

longitudes de triángulos de diversos tamaños. Posteriormente se plantea la primera situación

51

problema que consiste en calcular la altura del edificio del Gimnasio Mayor de Occidente

empleando solo una regla.

Esta guía será la primera en la que se pone a prueba a los estudiantes ante una situación

problémica por lo tanto servirá como una prueba diagnostica que nos permitirá determinar de que

manera relación sus conceptos previos es situaciones reales, para poder realizar una comparación

en la etapa evaluativa de su progreso en el análisis a estas situaciones.

3.4.4 Etapa Práctica 2: Esta etapa inicia con una actividad en el salón la que se completa

el interior de una forma indefinida con pequeñas figuras (círculos, rectángulos, cuadrados y

triángulos) con el fin de mostrar que cualquier polígono o forma indefinida se puede

descomponer de mejor manera en diminutos triángulos. Luego en la resolución del problema se

calcula el área de diversas figuras definidas (círculos, rectángulos, estrellas, medialunas, etc.) por

medio de un lazo previamente medio, para terminar calculando el área de una forma indefinida

que resulta ser el esquema del humedal Jaboque).

Luego se calculara el área de diversas figuras definidas (círculos, rectángulos, estrellas,

medialunas, etc.) por medio de un lazo previamente medio, para terminar calculando el área de

una forma indefinida que resulta ser el esquema del humedal Jaboque).

3.4.5 Etapa Practica 3: Inicia retomando la lectura de la paralaje que se encuentra en la

etapa motivacional con la cual en la situación planteada en seguida se descubrirá una sencilla

52

aplicación de la paralaje por medio del dedo pulgar, finalmente a través de dos palos de balso se

muestra otra aplicación de este nuevo concepto.

3.4.6 Etapa Conceptual 1: En esta etapa se formalizaran algunos conceptos inferidos en

las prácticas anteriores mostrando el desarrollo del teorema del seno a través de los triángulos

proporcionales y viendo la relación de este concepto con las etapas anteriores, por ultimo se

evaluara su aplicación procedimental a través de una prueba escrita.

3.4.7 Etapa Conceptual 2: En esta etapa se formalizaran algunos conceptos inferidos en las

prácticas anteriores mostrando el desarrollo del teorema del coseno a través del teorema de Pitágoras y

viendo la relación de este concepto con las etapas anteriores, por ultimo se evaluara su aplicación

procedimental a través de una prueba escrita.

3.4.8 Etapa Evaluativa: Finalmente esta etapa se muestra el avance alcanzado por los

estudiantes en su proceso cognitivo y en el tratamiento de situaciones problema, a través del

desarrollo de una situación que mostrara los conceptos sugeridos en las etapas practicas y

establecidos en las etapas conceptuales.

Cabe resaltar algunos elementos que se encontraran en las etapas prácticas 1, 2 y 3 y por

supuesto en la etapa evaluativa.

53

Tema: El contexto en el que se va a desenvolver la unidad

Objetivos de la unidad: Hay que indicar cuales son las metas que se pretenden alcanzar

Contenidos: Hace referencia a los conceptos que se trabajaran en las unidades.

Actividades: Describe las situaciones que se pretenden implementar con los estudiantes

procurando aprendizaje significativo. Estas actividades a su vez deben tener los siguientes

aspectos:

Objetivos: los objetivos de la actividad no son tan generales como los de la unidad

en fin, pero deben llevar a estos.

Metodología: Se refiere a la manera en que se pretende implementar la actividad, en

grupos, por equipos, individual, con guías, etc.

Materiales: Indica los recursos necesarios para el desarrollo de la actividad

Tiempo: Indica los periodos requeridos para su desarrollo.

54

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA

La historia de la trigonometría se remonta a más

de 3000 años atrás en donde los Babilónicos y los

egipcios en donde aplicaron las razones

4.1 IMPLEMENTACION DE LA PROPUESTA

55

trigonométricas para realizar mediciones en la

agricultura, en la construcción de las pirámides

en inclusive en la medición cuerpos celestes, en

los calendarios el cálculo del tiempo, y fueron los

egipcios los que establecieron la medida en

grados, minutos y segundos.

Posteriormente estos conocimientos pasaron a

Grecia en donde Hiparco construyó las tablas de

“cuerdas” para la resolución de triángulos planos,

que fueron las precursoras de las tablas de las

funciones trigonométricas de la actualidad.

Más tarde, Tolomeo incorporó también en su

gran libro de astronomía “El Almagesto” una

tabla de cuerdas con un error menor que 1/3.600

de unidad. Junto a ella explicaba su método para

compilarla, y a lo largo del libro daba bastantes

ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular

los elementos desconocidos de un triángulo a

partir de los conocidos.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes

continuaron con los estudios de trigonometría de

forma tal que a finales del siglo X ya habían

completado la función seno, coseno, tangente,

cotangente, secante y cosecante. Estos

matemáticos árabes fueron quienes sugirieron

emplear un radio de valor la unidad en cambio de

un radio igual a 60 (que propusieron los griegos

ya que estos adoptaron el sistema sexagesimal),

originando los valores que actualmente se

trabajan en las funciones trigonométricas.

La trigonometría llego a occidente en el siglo XII a

través de traducciones de libros arábigos de

astronomía, subsiguientemente el alemán

Joachim, conocido como Retico, introdujo el

concepto de funciones trigonométricas como

proporciones en vez de como longitudes de

ciertas líneas.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton invento el

cálculo diferencial e integral logrando así

56

representar muchas funciones matemáticas

mediante el uso de series infinitas de potencias

de la variable x. Con la invención del cálculo las

funciones trigonométricas fueron incorporadas al

Análisis, donde desempeñan un papel importante

tanto en las matemáticas puras como en las

aplicadas.

Por ultimo en el siglo XVIII Leonhard Euler fundó

la trigonometría moderna, definiendo las

funciones trigonométricas mediante expresiones

con exponenciales de números complejos. Lo que

convirtió a la trigonometría en una de las muchas

aplicaciones de los números complejos. De hecho,

Euler demostró que las propiedades básicas de la

trigonometría eran simplemente producto de la

aritmética de los números complejos.

Objetivos de la Guía

Objetivo general:

Establecer relaciones matemáticas entre las

medidas de las longitudes de los segmentos

que forman los lados de un triángulo y sus

ángulos para que el estudiante resuelva

problemas prácticos desarrollando las

competencias interpretativa, propositiva y

argumentativa en el aprendiz.

Objetivos específicos:

Objetivos conceptuales:

- Establecer relaciones matemáticas entre

las medidas de las longitudes de los

segmentos que forman los lados de un

triangulo y sus ángulos.

Objetivos procedimentales:

- Instruir al educando en el análisis de

problemas específicamente en los que se

trabajen las relaciones entre las medidas de

los triángulos.

57

Objetivos actitudinales:

- Desarrollar actividades en las que el

educando sea parte activa de su proceso de

enseñanza

Actividades a emplear

- Actividades practicas

- Análisis de imágenes

Forma de evaluación

Debido a que durante la guía se trabajo la

resolución de problemas, ellos deberán resolver

un ejercicio sin ninguna ayuda dada por el

docente:

4.1.1 ETAPA DIAGNOSTICA:

Etapa conceptual:Recordemos que:

1- Encuentra la longitud de la escalera:

2- Encuentra en área sombreada:

TEOREMA DE PITAGORAS

58

Área sombreada _______

3- Encontrar el lado e ____

5

2

e

59

4- Encuentra las razones trigonométricas del triángulo:

θ 6 10

8

Sen θ = Cosθ = tan θ=

Cot θ = Sec θ = Csc θ =

5. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que A, B, C son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:

A) C = 36º b= 12 cm. B = 35º c= ____

B) A = 240 C = 40º c = 20 cm. a= ____

C) a = 5,3 m. b = 8 m. c = 4 m. A= ____

6. Hallar la distancia entre el Castillo y la casa:

60

4.1.2 ETAPA MOTIVACIONALAplicaciones de la trigonometría

En la navegación

Una de las principales aplicaciones de la trigonometría se encuentra en la navegación es

donde se usa para la elaboración de cartas marinas en donde se señale de accidentes marítimos como

arrecifes, islotes, etc.

En la astronomía

En la astronomía por ejemplo se emplean técnicas de triangulación para medir distancias a estrellas, satélites, planetas próximos. Como por ejemplo

calcular la distancia de la tierra a la luna, de la tierra al sol entre otros.

En la arquitectura

En la arquitectura se emplea la trigonometría por ejemplo en el calculo de alturas, distancias, necesarias para el diseño de las construcciones

61

por otro lado también se necesita en el uso de diagramas de cuerpo libre empleados por la física para el determinar las fuerzas ejercidas por en un cuerpo.

En la artillería

Para calcular la distancia a la que se encuentra el objetivo que se pretende impactar, con un cañón o con una catapulta.

Sabías que…En la antigüedad viajar largas distancias era imprescindible antes de que los instrumentos de navegación fueran inventados. Los primeros exploradores debían confiar en

puntos de referencia o en la posición de las estrellas y planetas con el fin de determinar su posición y planear su viaje. El sextante

62

Es un instrumento que permite medir ángulos entre dos objetos tales como dos puntos de una costa o n astro tradicionalmente, el Sol de la tierra y el horizonte.

Un modelo muy básico es posible de elaborar mediante un transportador y un esfero. Como se muestra en el ejemplo:

La paralaje

¿Alguna vez has visto un objeto

con un solo ojo y

posteriormente con el otro?, ¿te

has dado cuenta que el objeto

parece cambiar de posición?,

Esto ocurre puesto que entre

los dos ojos hay una

separación de varios

centímetros, así que la línea

imaginaria que une el dedo

con uno de los ojos forma un

ángulo con la línea

imaginaria que une el dedo

con el otro ojo. Cuanto más

cerca de los ojos pongamos

http://es.wikipedia.org/wiki/Horizonte

http://es.wikipedia.org/wiki/Sol

http://es.wikipedia.org/wiki/Astro

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

63

el dedo, mayor será el

ángulo y mayor también el

desplazamiento aparente.

Esto puede aplicarse

también a un planeta. Es

verdad que la Luna está tan

lejos que no podremos notar

ninguna diferencia cuando

miremos con ambos ojos.

Pero si miramos la Luna

contra el fondo estrellado del

cielo, desde dos

observatorios alejados entre

sí algunos cientos de

kilómetros, sí notaremos

algo.

Desde el primer observatorio

veremos que uno de los

bordes de la Luna está a

cierta distancia de una

estrella concreta, mientras

que en el segundo

observatorio la distancia

entre el mismo borde y la

misma estrella será distinta.

Sabiendo el desplazamiento

aparente de la Luna contra el

fondo estrellado y la

distancia entre ambos

observatorios, puede

calcularse la distancia a la

luna ayudados por la

trigonometría.

64

PRACTICA MOTIVACIONAL

IDENTIFICACION DE TRIANGULOS:

Objetivo: El estudiante identificará

construcciones triangulares en el espacio.

Pasos:

En un salón de clases los

estudiantes se repartirán en 4

grupos y escogerán a un integrante.

El cual deberá atravesar una bomba

con un dedo por los distintos

triángulos formados con hilos de

distintos colores, con ayuda de sus

compañeros.

Los alumnos deben tener en cuenta

que los triángulos que atraviesan no

deben repetirse en los posteriores

triángulos a nombrar.

Gana el grupo que halla atravesado

la bomba por la mayor cantidad de

triángulos sin caer.

65

4.1.3 ETAPA PRÁCTICA

ACTIVIDAD TRIANGULOS SEMEJANTES(Tiempo: 15 minutos)

Objetivo: Se pretende que el estudiante comprenda las proporciones entre las medidas de los 6 triángulos

1- Mostrar un triángulo rectángulo doblado 6 veces como lo muestra la figura:

2- Cada grupo debe hallar la proporción entre el cateto vertical y el cateto horizontal, de los seis triángulos resultantes tomando las respectivas medidas con regla, (el triangulo debe ser distinto para cada grupo).

La proporción entreEl cateto vertical y la hipotenusa ______.El cateto horizontal y la hipotenusa ______.El cateto vertical y el cateto horizontal ______.El cateto horizontal y el cateto vertical ______.La hipotenusa y el cateto horizontal ______.La hipotenusa y el cateto vertical ______.

La proporción entreEl cateto vertical y la hipotenusa ______.El cateto horizontal y la hipotenusa ______.El cateto vertical y el cateto horizontal ______.El cateto horizontal y el cateto vertical ______.

66

La proporción entreEl cateto vertical y la hipotenusa ______.El cateto horizontal y la hipotenusa ______.El cateto vertical y el cateto horizontal ______.El cateto horizontal y el cateto vertical ______.




67

3- Comparar los resultados en los diversos triángulos, y registrar a continuación sus conclusiones.

CONCLUSIONE

S:______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_____________________________.Integrantes: ________________, __________________, _______________,

__________________,___________________,____________________,_________________,

4.1.4 PRACTICA 1: (Altura de un edificio)

Objetivo de la unidad:



68

Establecer relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman

los lados de un triángulo y sus ángulos.

Metodología:

Nuestro objetivo será el de encontrar la altura del edificio del Gimnasio Mayor de Occidente, para lo

cual se formaran 7 grupos que deberán realizar conjeturas respecto la manera de hallar dicha longitud.

Contenidos: Relaciones entre lados de triángulos proporcionales

Materiales:

Una regla por grupo

TIEMPO: El tiempo para cada grupo será de 70 minutos, 10 para su organización en el patio.

PASO A PASO

Los estudiantes se organizan en 7 grupos y bajan al patio cada uno con su regla y transportador Cada grupo tiene 10 minutos para que lean la guía por completo y debatan sobre su “plan de acción”.Responder a las siguiente preguntas: ( 10 minutos)¿Como hallar una longitud desconocida? __________________________________________________

___________________________________________________________________________________

¿Qué conceptos me pueden servir? ___________________________________________________________________________________

69

¿Qué datos necesito? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cómo puedo encontrar dichos datos? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Que materiales necesarios para hallar estos datos? ___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

Empezar a diligenciar el formato ANALISIS DEL PROBLEMA

Pista 1: Emplear la sombra del edificio.Identificar un triángulo en el cual se vincule:

La altura del edificio. La distancia que posee la sombra del edificio La línea imaginaria que uno estas longitudes.

Nota: Recuerden que una altura hace referencia a una medida, a una longitud, como las que hallamos en los triángulos. Ahora intenten encontrar un triángulo en el que uno de sus lados haga referencia a la altura.

70

Pista 2: Ubicar un poste metálico en el patio pidiendo que ubiquen un triángulo en el cual uno de sus lados sea su altura, (Con el fin de representar el ejercicio algo más asequible). Y relacionar estas medidas con las del triangulo anteriormente identificado.

Nota: Considerar que es posible hallar la longitud del poste y de su sombra.

Reconocer el triángulo que tenga como longitudes la altura del poste y la longitud de su sombraRelacionar este triángulo con el hallado anteriormente Relacionar ambos triángulos con las conclusiones descubiertas en la actividad realizada inicialmente.

72

4.1.5 PRACTICA 2 (Área humedal Jaboque)

73


El estudiante establecerá correctamente la representación gráfica del problema, para identificar así los triángulos

pertinentes, que con sus magnitudes permiten la solución del problema.

Metodología:

En grupos de 4 estudiantes emplearemos una técnica utilizada en topología para determinar el área de

un esquema del humedal Jaboque ubicado frente al Gimnasio Mayor de Occidente, a través de un lazo

y un transportador

Contenidos: Composición de figuras, área de un circulo, de un rectángulo y de un triangulo.

Materiales:

Transportador por estudiante

Lazos de 5 metros de largo (1 por estudiante)

TIEMPO: El tiempo destinado para la actividad será de 100 minutos.

PASO A PASO

Los estudiantes bajan al patio cada uno con su lazo y transportadorSe organizan en 3 grupos Se asigna la labor a cada grupo y se deja un lapso de 10 minutos para que debatan sobre su “plan de acción”.Empezar a diligenciar el formato ANALISIS DEL PROBLEMA

74

ACTIVIDAD (Tiempo: 30 minutos)

1- En una cartelera en donde se halla una figura sin forma definida pedir a los estudiantes que la rellenen empleando una de las siguientes figuras previamente elaboradas:

EJEMPLO:

La figura esta compuesta por 52

cuadros aproximadamente.

75

2- Pedir a uno de los estudiantes de cada grupo que indique:

¿Con cuántos círculos se pudo para rellenar la figura? __________________¿Con cuántos rectángulos se pudo para rellenar la figura? _______________¿Con cuántos cuadrados se pudo para rellenar la figura? ________________¿Con cuántos triángulos se pudo para rellenar la figura? ________________

¿Con cuál de las anteriores figuras es posible calcular con mejor aproximación el área de la figura? ¿por qué?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

76

CONCLUSIONE

S:______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

_____________________________.

Integrantes: ________________, __________________, _______________,

__________________,___________________,____________________,_________________,

ACTIVIDAD (Tiempo: 40 minutos)

1- Determinar el área de las siguientes figuras dibujadas en el patio empleando lazo y trasportador:

Área de la figura____ Área de la figura____

Área de la figura____

Área de la figura____ Área de la figura________

77

ACTIVIDAD FINAL(Tiempo: 20 minutos)

Encontrar una buena aproximación al área de la figura:

.



Área de la figura____ Área de la figura____

Área de la figura____Área de la figura____figura____

79

ACTIVIDAD 1

1- Ubicarse en un punto del patio de manera tal que al realizar el paralaje con su dedo pulgar explicado anteriormente los marcas encontradas al cerrar cada uno de los ojos, estas sean respectivamente los postes de la cancha de banquitas. Además, determinar si efectivamente la distancia en la que esto se logra es a 10 veces la longitud de la cancha.

2- Mencionar a continuación que ventajas y desventajas tiene este método para el cálculo de distancias e indicar un evento específico en el que resulta ventajoso este proceso, registra además como seria su resolución.

VENTAJAS_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

80

DESVENTAJAS____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

SITUACION DONDE APLICAR________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________RESOLUCIO

N_______________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

4.1.6 PRACTICA 3 (Usando la paralaje)


El estudiante realizará una correcta representación del problema, un preciso registro de datos y un

destacado análisis a través de la mayéutica.

Metodología: En grupos de 4 estudiantes, calcularan el ancho de la cancha de futbol empleando la

paralaje

Materiales:

Dos palitos de balso de 10cm y 20 cm Transportador

81

Regla

TIEMPO: El tiempo destinado para la actividad será de 50 minutos.

PASO A PASO

Elaborar en el aula una cruz empleando los dos palos de balso, teniendo en cuenta que la intersección de ambos palitos forme un ángulo de 90 gradosBajar con regla, transportador y el objeto mencionado anteriormente.Empezar a diligenciar el formato ANALISIS DEL PROBLEMA

ACTIVIDAD 2PASO A PASO

Cada estudiante debe ubicar el objeto delante suyo como lo muestra la figura:

Ubicarse en el punto medio de uno de los arcos de la cancha.Cerrando un ojo ubicar un extremo de la cancha de futbol.Luego cerrando el mismo ojo ubicar el otro extremo de la cancha de futbol.Luego conociendo el largo de la cancha calcular el ancho de la misma

82

Pista 1: Calcular los ángulos entre los ojos y los extremos del palo

Comentario:Los ojos sirven como rayos que serán los que formen un triángulo imaginario con el cual podremos calcular el segmento solicitado para nuestro caso el ancho de la cancha.

84

4.1.7 ETAPA CONCEPTUAL 1

PARTE 1

TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales dice que si se traza un conjunto de rectas paralelas entre sí, a, b, c,… que cortan a otras dos

rectas r y s, los segmentos que se determinan sobre las rectas r y s son proporcionales.

Ejemplo: Sabiendo que AB = 2 cm, BC = 1,5 cm y B’C’ = 1,2 cm, vamos a hallar la longitud del segmento A´B´

Por su parte dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo

son paralelos.

85

Ejemplo: Para calcular B´C´ con los datos de la figura se procede:

De las igualdades anteriores podemos deducir además que

86

RELACION DE CONCEPTOS

Señala con una X

1- ¿Durante el desarrollo de que practica identificamos este concepto?

GUÍA PRÁCTICA 1 _____ GUÍA PRÁCTICA 2 _____ GUÍA PRÁCTICA 3 ____ NINGUNA _____

En caso de contestar Guía practica 1,2 o 3:

2- ¿Durante el desarrollo de que actividad evidenciaste el concepto?

ACTIVIDAD ESPECULATIVA ___________ LA ACTIVIDAD PRACTICA _______ AMBAS _________

Señala con una X

3- ¿En que medida consideras que habías trabajado este concepto durante las anteriores prácticas?, (donde 1 es

nunca lo trabaje y 10 es desarrolle totalmente este concepto durante la practica).

1__ , 2__, 3__, 4__, 5__, 6__, 7__, 8__, 9__, 10___.

87

PARTE 2

Como se dijo inicialmente, este concepto es básico para relacionarlo con el de razones trigonométricas. Puesto que

en un triángulo rectángulo se conserva la proporcionalidad entre las medidas anteriormente mencionadas:

= CAH = Cos =

COH = Sen =

COCA = tan

Ahora, es momento de relacionar estas razones al del Teorema del Seno:

Si tenemos un triángulo no rectángulo con sus respectivos ángulos

88

Podemos ahora graficar y nombrar las 3 alturas del triángulo, de manera que

Con Ayuda del grafico podemos observar que:

Sen α = h bc

, Sen α = h cb

Sen = h ac

, Sen = h ca

Sen = h ab

, Sen = h ba

Ahora si dividimos cada igualdad por el segmento opuesto al ángulo:

Senαa =

hbca

, Senα

a =hcba

Senb =

hacb

, Senb =

hcab

Senc

= habc

, Sen

c =

hbac

De lo cual podemos deducir que:

89

Senαa =

hcab =

Senb = ha

cb = Sen

c

Y por ende;

Senαa

= Senb

= Sen

c

TEOREMA DEL SENO

EVALUA TUS CONOCIMIENTOS

En los siguientes triángulos indica que teorema o teoremas nos permiten encontrar sus lados y ángulos faltantes.

Donde: 1. Teorema de Pitágoras 2. Teorema del Seno 3. Ninguno me sirve

90

4.1.8 ETAPA CONCEPTUAL 2

PARTE 1

TEOREMA DE PITAGORAS

Conceptos previos:

Catetos: Segmentos de un triángulo rectángulo y que forman un ángulo de 90 grados.

Hipotenusa: Es el segmento de longitud mayor en un triángulo rectángulo y es opuesto al ángulo de 90 grados.

Definición: En un triángulo rectángulo, es decir aquel en el que uno de sus ángulos es recto (90 grados), como el de

la figura;

El área de los 2 cuadrados de longitud igual a la de los catetos AB Y AC sumadas, es igual al área del cuadrado de

longitud igual a la hipotenusa BC.

91

RELACION DE CONCEPTOS

1- ¿Durante el desarrollo de que practica identificamos este concepto?

GUÍA PRÁCTICA 1 _____ GUÍA PRÁCTICA 2 _____ GUÍA PRÁCTICA 3 ____ NINGUNA _____

En caso de contestar Guía practica 1,2 o 3:

2- ¿Durante el desarrollo de que actividad evidenciaste el concepto?

ACTIVIDAD ESPECULATIVA ___________ LA ACTIVIDAD PRACTICA _______ AMBAS _________

3- ¿En que medida consideras que habías trabajado este concepto durante las anteriores prácticas?, (donde 1 es

nunca lo trabaje y 10 es desarrolle totalmente este concepto durante la practica).

1__ , 2__, 3__, 4__, 5__, 6__, 7__, 8__, 9__, 10___.

Gráficamente;

92

PARTE 2

Ahora veremos la relación que tiene este teorema con el teorema del coseno; de acuerdo a la siguiente figura;

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Ecuación 1: C 2 = h2 + u2 y Ecuación 2: h2 + (b-u)2 = a2

Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2;

C 2 = (a2 - (b-u)2 ) + u2

Simplificando:

C 2 = (a2 – (b2-2bu + u2) + u2

C 2 = (a2 – b2 + 2bu - u2) + u2

C 2 = a2 – b2 + 2bu Ecuación 3

Ahora de acuerdo a la definición de coseno:

Cos γ = b−u

a

Despejando u

u = b – a.cos γ

Ahora sustituyendo en la ecuación 3

γ

93

C 2 = a2 – b2 + 2b (b – a.cos γ)

C 2 = a2 – b2 + 2b2 – 2abcos γ

C 2 = a2 + b2 – 2abcos γ

Empleando el mismo proceso encontraremos las otras dos igualdades:

C 2 = a2 + b2 – 2abcos γ

A 2 = b2 + c2 – 2bccos α

B 2 = a2 + c2 – 2accos

TEOREMA DEL COSENO

EVALUA TUS CONOCIMIENTOS

En los siguientes triángulos indica que teorema o teoremas nos permiten encontrar sus lados y ángulos faltantes.

Donde: 1. Teorema de Pitágoras 2. Teorema del Seno 3. Teorema del Coseno

94

4.1.9 ETAPA EVALUATIVA (Altura de la bomba)

Objetivos de la unidad: Resolver situaciones problema donde se vean involucrados triángulos oblicuángulos y equiláteros empleando los teoremas de Pitágoras, del seno, del coseno, y las razones trigonométricas evaluando estos resultados

Metodología:

Veamos ahora como puedes aplicar los conceptos de: paralaje y teorema del coseno para encontrar la altura de una bomba ubicada a determinada altura;

TIEMPO: El tiempo para cada grupo será de 40 minutos, 10 para su organización en el patio.

Materiales:

1 Transportador por estudiante 1 Reglas por estudiante * 1 Laser por grupo

PASO A PASO

95

Los estudiantes bajan al patio cada uno con su regla y transportador.En grupos de a 4 los estudiantes durante 10 minutos debatirán su plan de acción llenando el siguiente formato.Una vez terminen los grupos de encontrar su solución, se destinara 10 minutos para que comparen sus posibles resultados y opinen sobre el proceso que emplearon para alcanzarlo.

96

CRITERIOS DE EVALUACION

97

La calificación se realizara de acuerdo a los parámetros del cuadro:

Esbozo: Una correcta representación grafica de la situación permite entender mejor el problema y visualizar algunos datos que en el papel o inclusive en la misma situación seria difícil de detectar.

Datos: Durante la recolección de estos se evidencia la lógica, creatividad y precisión que tiene cada grupo en el proceso.

Preguntas: Una buena pregunta permite una buena solución, es por esto que se valorara la manera como se redacten las inquietudes que se irán presentando en el proceso y como estas permiten desglosar el problema inicial.

Posibles soluciones: En ocasiones la respuesta no puede ser exacta pero la solución a aquellos pequeños interrogantes planteados anteriormente puede acercar bastante a su solución, se valorara la solución o avances de la misma.

98

4.2 Anàlisis de resultados

Al iniciar el desarrollo de la guia “triangulando ando aprendiendo” los estudiantes de grado decimo B

fueron conscientizados del objetivo de estas actividades: optimizar sus procesos de aprendizaje a traves

de nuevas experiencias en las que resolverian algunas situaciones planetadas buscando generar un

aprendizaje mas significativo y enriquecedor. Por consiguiente como en todo proceso fue necesario

encontrar un punto de partida, el cual, se establecio en nuestra prueba diagnostica. Cuyos resultados

señalaron la pobre aplicación que manejaban los estudiantes respecto a los conceptos adquiridos en el

uso de las razones trigonometricas. Fig 1 .

Fig 1

La guía diagnostica que presentaron de manera individual los estudiantes de grado Decimo B nos

presenta que de 28 estudiantes, 16 se clasificaron en un nivel 1 en la prueba puesto que analizaron

erradamente la información y no lograron determinar los triángulos necesarios para obtener la solución a

los ejercicios propuestos. Por otro lado 10 estudiantes aunque analizaron correctamente la información

se les dificultaron encontrar los triángulos pertinentes por lo que a pesar de hallar algunas longitudes y

algoritmos solo lograron una solución escueta de la práctica clasificándose en el nivel 2. Finalmente solo

99

2 estudiantes alcanzaron el nivel 3 dado que analizaron la información, determinaron los triángulos

precisos a los que cuales se les hallo algunas longitudes, sin embargo no resolvieron todos los ejercicios.

De igual manera se evidencia que ningún estudiante alcanzó el nivel 4 es decir el desarrollo efectivo de

toda la guía. Cabe resaltar que el desarrollo de esta prueba fue de forma individual.

Sin embargo, una vez reconocida la dificultad era momento de incentivar su progreso para lo cual

durante la etapa motivacional se presentaron algunas aplicaciones en las que este concepto ha sido util a

lo largo de la historia y una actividad que despertara el interes del estudiante. Y como se evidencia en el

diarios de campo 2 este objetivo se logro.

Fig 2

Durante el desarrollo de la guía motivacional que se desarrollo de manera individual se encontró que

de 28 estudiantes de grado Decimo B, catorce mostraron interés por las aplicaciones que en diversos

campos tiene la solución de problemas con triángulos equiláteros y oblicuángulos, participando

activamente en las actividades propuestas, mientras que 10 estudiantes aunque de igual manera

demostraron interés por las aplicaciones que tiene la solución de problemas con triángulos equiláteros y

oblicuángulos, demostraron menos interés por las actividades propuestas para en la guía.

Por otra parte 3 estudiantes demostraron poco Interés por las aplicaciones por la solución de problemas

con triángulos equiláteros y oblicuángulos, igualmente no demostraron mucho interés por las

100

actividades desarrolladas en esta etapa, y finalmente 1 estudiante no demostró interés alguno ni por las

aplicaciones de la solución de problemas con triángulos equiláteros y oblicuángulos, ni por las

actividades desarrolladas en esta etapa.

Consecuentemente, iniciamos con la primer situacion problemica en la cual se ponia a prueba la

disposicion de los estudiantes (condicion importante en nuestro objetivo de alcanzar un aprendizaje

significativo) y las capacidades de los mismos en la resolucion de problemas.

De esta manera, iniciamos nuestra sesion a traves de la actividad previa a la practica experimental

en el salon la cual tiene dos objetivos:

Que el estudiante “descubra” conceptos basicos, necesarios en el desarrollo de la etapa

experimental .

Implementar una regla heuristica en la que se realicen observaciones que permitan un correcto

desenvolvimiento en el problema a plantear.

No obstante, ya en el desarrollo de la practica experimental como tal, situaciones ajenas como el

clima hicieron que literalmente se “nublara” por algùn tiempo el desarrollo de la misma (diario

de campo 3). Sin embargo, posteriormente su desarrollo fue el esperado, las dudas

predominaron, aunque en algunos grupos poco a poco estas se fueron despejando a partir de

algunas preguntas direccionadas por el docente y algunas observaciones dadas durante el

desarrollo de la experiencia en donde se aplico el principio heuristico de la analogia, aplicada a

las actividades desarrolladas en el salon vinculadas a la guia. A pesar de lo cual la algunos no

alcanzaron el objetivo esperado.

101

Fig 3

Una vez realizada la Guía Práctica 1 en grupos definidos de 4 estudiantes, en la que tenían que hallar

la altura del edificio del gimnasio mayor de occidente se encontró que de 28 estudiantes de grado

Decimo B, ocho lograron determinar el triángulo pertinente para la solución del problema de igual

manera establecieron la relación existente entre sus lados y ángulos, calcularon dichas medidas

comparando estas con un triángulo alterno proporcional al primero, por otro lado igual número de

estudiantes (8) aunque lograron determinar el triángulo pertinente para la solución del problema y

establecer la relación existente entre sus lados y ángulos, no emplearon un triángulo alterno

proporcional al primero por lo cual la estimación dada de la altura del edificio fue aproximada.

Entretanto otros 8 estudiantes lograron determinar el triángulo pertinente para la solución del

problema sin embargo no establecieron las relaciones pertinentes entre la altura del edificio y la sombra

que proyectaba por lo cual no lograron encontrar dicha altura. De la misma forma 4 estudiantes no

lograron llegar a la respuesta puesto que ni siquiera lograron determinar el triángulo pertinente para

alcanzar dicha solución.

Sin embargo, en el desarrollo de la practica 2 se mostraron grandes avances, durante la seccion

previa a la actividad los estudiantes trabajaron con dinamismo y eficacia (diario de campo 4 ), y el

100% de los grupos lograron concluir en la actividad previa a la practica que “cualquier forma definida o

indefina se puede descomponer de mejor manera con el uso de triangulos, y que entre mas pequeño el

triangulo mejor era su cubrimiento” . Concepto que durante la practica experimental aplicaron los

102

estudiantes, a pesar de que en algunos grupos no se realizo una correcta representacion de la situacion

lo cual no les permitio determinar efectivamente el desarrollo de la practica. (Fig 4 )

Fig 4

Al evaluar los resultados obtenidos por los 7 grupos (cada uno de 4 estudiantes) en la practica 2, se

encontró que solo 8 estudiantes se desenvolvieron en esta guía insuperablemente puesto que realizaron

correctamente la representación gráfica del problema, identificando así los triángulos pertinentes, que

con sus correspondientes magnitudes (registradas a partir de una correcta toma de datos) les permitieron

determinar la solución del problema, encontrando así aplicación en la topología a problemas de relación

entre longitudes y ángulos en un triángulo.

Por otro lado 12 estudiantes dieron poca importancia a la correcta representación gráfica de estos

problemas, por lo cual identificaron con alguna dificultad los triángulos pertinentes los cuales una vez

descubiertos con sus magnitudes les permitió determinar la solución al problema, encontrando así

aplicación en la topología a estos problemas.

Finalmente, 8 estudiantes dieron mínima importancia a la representación gráfica de los problemas,

identificando erróneamente los triángulos pertinentes que con sus magnitudes (registradas de la toma de

datos) no les permitió hallar la solución al problema, sin embargo a groso modo descubrieron una de las

aplicaciones de estos problemas en la topología.

Por otra parte en la practica 3 los estudiantes se mostraron atentos e interesados en la lectura y

explicacion que sobre paralaje se realizo en el aula (diario de campo 5), concepto necesario para el

desarrollo de la situacion planteada. En la cual se evidenciaron grandes avances en las etapas plantedas

103

por Polya en la resolucion de problemas; interpretacion, analisis de la situacion ejecucion de un plan de

accion y evaluacion del mismo. (Fig 5 ).

Fig 5

En la guía práctica 3 encontramos que de 28 estudiantes de grado Decimo B (divididos en grupos de a

4 estudiantes), 12 cumplieron a cabalidad el objetivo de la guía puesto que representaron correctamente

los problemas y determinaron correctamente los datos permitiéndoles interpretar mejor la situación, al

igual realizaron un correcto análisis de la situación que les permitió generar un plan de acción que

ejecutaron cabalmente y en donde a través de los propios cuestionamientos consiguieron evaluar la

mejor solución al problema logrando encontrar así aplicación a dichos problemas en la paralaje. De

igual manera otros 12 estudiantes, lograron una buena interpretación del problema a través de su

representación y registro de datos, con el cual se logro realizar un aceptable plan de acción que

permitió ofrecer una solución al problema.

Finalmente encontramos 4 estudiantes cuya representación del problema y toma de datos no permitió

una correcta interpretación del mismo y por ende un defectuoso análisis del problema lo que no permitió

generar un plan de acción y por ende no lograron establecer la solución al problema ni encontrar

aplicación de la resolución de triángulos en la paralaje.

Cabe resaltar que las experiencias planteadas en las practicas anteriores, lograron que este

aprendizaje resultara apreciable para el estudiante y despertara la necesidad en el mismo de encontrar

un lenguaje y procedimiento que le facilitaran el desarrollo de estas situaciones, por lo que por

consiguiente fue preciso realizar la etapa conceptual en la que se relacionaron los conceptos previos

104

( los descubiertos por el estudiante durante las practicas y los anteriores a la practica) con los nuevos

conceptos (teoria formal) logrando asi una relacion no-arbitraria y sustantiva en el estudiante, uno de

los criterios fundamentales en el aprendizaje significativo.

De esta manera, los estudiantes encontraron relaciòn entre las situaciones plantadeas y conceptos

formales como las proporciones y a su vez el teorema del seno con el que se maneja una relacion

directa, o el teorema de pitagoras y el teorema del coseno conceptos de igual relacionados.

Y, como se evidencia en los diarios de campo 6 y 7 y en el progreso mostrado a continuacion en la

grafica 6, asi ocurrio, el 100% de los estudiantes encontraron (aunque algunos en mayor medida que

otros) la relacion entre las practicas experimentales y los conceptos vistos en la etapa conceptual, sin

embargo en algunos no quedo del todo claro el desarrollo teòrico de este concepto a travès de la

demostracion matematica que de los teoremas del seno y el coseno se realizo.

Fig 6

Encontramos durante el desarrollo de la Guía Conceptual 1 desarrollada en grupos de a 4 estudiantes,

que de 28 estudiantes de grado Decimo B 16 establecieron relación entre las prácticas desarrolladas en

las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, además

comprendieron el desarrollo de este concepto y las aplicaciones del mismo. Por otro lado 8 estudiantes

establecieron relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos

105

conceptos a través del teorema del seno, sin embargo a pesar de que comprendió el desarrollo de este

concepto aún le falta comprender las aplicaciones del mismo.

Finalmente 4 estudiantes establecieron relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores

guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, sin embargo no

comprendieron en su totalidad el desarrollo de este concepto y aun no comprenden bien las aplicaciones

del mismo.

Fig 7

Encontramos durante el desarrollo de la Guía Conceptual 2 desarrollada en grupos de a 4 estudiantes,

que de 28 estudiantes de grado Decimo B 20 establecieron relación entre las prácticas desarrolladas en

las anteriores guías y la formalización de estos conceptos a través del teorema del seno, además

comprendieron el desarrollo de este concepto y las aplicaciones del mismo. Por otro lado 8 estudiantes

establecieron relación entre las prácticas desarrolladas en las anteriores guías y la formalización de estos

conceptos a través del teorema del seno, sin embargo a pesar de que comprendió el desarrollo de este

concepto aún le falta comprender las aplicaciones del mismo

Ademas con estas etapas se logro “Fortalecer el proceso de aprendizaje integrando

conocimientos previos para construir conceptos más elaborados” objetivo especifico de nuestra

practica.

106

OBJETIVO ESPECÍFICO: Fortalecer el proceso de aprendizaje integrando conocimientos

previos para construir conceptos más elaborados. (Para evaluar este objetivo se compararan los

resultados obtenidos en las Guías Prácticas 1, 2 y 3, las Guías conceptuales 1 y 2 y por supuesto la

guía final.)

Fig 8

107

Los resultados obtenidos en las guías Prácticas 1, 2 y 3 en donde se evidencia un notorio progreso en la

resolución de problemas, son resultado del avance que los estudiantes consiguieron en la solución de

problemas al representar correctamente la situación, registrar suficientes datos con precisión, analizar los

mismos y realizar un notorio proceso reflexivo.

Sin embargo, es preciso indicar que sus resultados se deben además a “actividades especulativas”

que antecedían cada guía práctica y en la que se pretendía que cada estudiante llegara a una conclusión

que podría ser útil más adelante para la solución de la etapa practica.

Esto con el fin de que el estudiante relacionara realizara un proceso reflexivo en cuanto a la actividad,

llegara a un juicio que pondría a prueba inmediatamente en la etapa práctica, lo cual le permitiría partir

de concepciones propias del mismo para que a través de la “actividad especulativa” construyera otras

nociones más complejas que a través de la practica probaría.

Por otro lado, las guías conceptuales permitían formalizar las concepciones que los estudiantes

estuvieron desarrollando durante las guías prácticas 1, 2 y 3. Y como se observa en las gráficas el

correcto desarrollo de estas guías conceptuales por parte de los estudiantes les permitió un mejor

rendimiento respecto las anteriores prácticas. Además cabe aclarar que la correcta solución de esta

práctica requería que estos conceptos estuvieron desarrollados por el estudiante.

Por otra parte encontramos la evidencia del desarrollo de este proceso en los resultados obtenidos en

la practica evaluativa (fig 9 y 10), en donde se evidencia un gran avance en las etapas mencionadas por

Polya acerca de la resolucion de problemas; interpretacion, creacion de un plan de accion, ejecucion del

mismo y evaluacion de sus resultados ( diario de campo 8). Demostrando ademas la aplicación efectiva

de los conceptos trabajados en las etapas conceptuales 1 y 2. A su ves estos reveladores resultados nos

permiten determinar como se cumplió uno de los objetivos planteados en este proyecto:

108

Objetivo específico: Implementar la estrategia planteada y evaluar sus resultados a través de una

práctica final.

Fig 9

(Para evaluar este objetivo se analizaron los resultados obtenidos en la Guía Evaluativa.)

En la Guía evaluativa 1 se encontró que de 28 estudiantes de grado Decimo B divididos en 7 grupos

de 4 estudiantes, 20 emplearon los conceptos vistos en la práctica conceptual y lograron un sobresaliente

desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre longitudes y ángulos en un

triángulo resolviendo así con eficiencia la práctica evaluativa. Por otra parte 8 estudiantes a pesar de que

lograron un sobresaliente desarrollo en el planteamiento y análisis a problemas de relación entre

longitudes y ángulos en un triángulo, emplearon discretamente los conceptos vistos en las etapas

conceptuales para la solución de esta guía.

Esto nos muestra que más del 70% de estudiantes de grado Decimo B lograron desenvolverse con

eficacia en el desarrollo de la guía y el 100% de los estudiantes consiguió obtener respuesta al ejercicio,

lo cual nos permite afirmar que efectivamente los estudiantes de grado Decimo B alcanzaron un notorio

desarrollo en la interpretación de problemas ( representación, toma de datos ) y en el diseño de un plan y

ejecución del mismo (análisis de problemas con triángulos oblicuángulos) y finalmente en la evaluación

del mismo (posibles soluciones).

109

Además lograron involucrar los conceptos vistos en las Guías conceptuales previas a esta experiencia.

Inclusive, los únicos dos grupos que no se desenvolvieron con fluidez en la representación, toma de

datos y análisis del problema consiguieron involucrar aunque muy vagamente estos conceptos.

Fig 10

Por otro lado, la anterior grafica nos índica como avanzaron los niveles de comprensión de los

estudiantes de grado Decimo B desde la Guía práctica 1 hasta la Guía Práctica Evaluativa. Observamos

entonces que de 28 estudiantes 16 avanzaron de 1 a 3 niveles durante el desarrollo de la guía, mientras

que los otros 12 se mantuvieron en su nivel bien sea nivel 4 o nivel 3 puesto que fueron los únicos dos

niveles en los que los estudiantes finalizaron la Práctica Evaluativa.

Inclusive, en esta practica se demostro que fue posible ” proyectar al estudiante estrategias que le

permitan un mejor desempeño en el análisis de situaciones problema”, a través de la correcta toma de

datos y una correcta representación de la información que dio como resultado una mejor interpretación

de la situación, de igual manera las reglas heurísticas empleadas por el docente como las observaciones,

recomendaciones y preguntas direccionadas por el mismo y por los propios educandos permitieron un

mejor análisis de la situación, lo cual logro generar un plan de acción que después de ser ejecutado fue a

su vez evaluado por el mismo grupo de estudiantes en el análisis realizado a las posibles soluciones

halladas en este proceso. (Ver Figura 11).

110

Objetivo específico: Proyectar al estudiante estrategias que le permitan un mejor desempeño en el

análisis de situaciones problema. (Para evaluar este objetivo se compararan los resultados obtenidos en

las Guías Prácticas 1, 2 y 3 y por supuesto en la guía final.)

Fig 11

Los resultados de la estrategia planteada señalan (como lo indican las graficas) diversos progresos en

el desarrollo efectivo de cada una de las actividades que se trabajaron en las guías. Nuestro objetivo es

determinar cómo se realizo este progreso y que factores pudieron afectar en el resultado de estas

pruebas.

Iniciaremos con la practica 1, la cual nos sirvió como prueba diagnóstica concerniente a la capacidad

que tienen los estudiantes de desenvolverse en una situación problema en la que se les pide ejecutar una

seria de pasos detallados para la solución de la misma, y encontramos que los grupos se clasifican

homogéneamente desde el nivel 1 hasta el nivel 4. Lo cual nos indica que el grupo de estudiantes de

111

grado decimo B es muy diverso, ya que mientras algunos se desenvuelven con eficacia ante esta prueba

determinando triángulos y datos pertinentes y estableciendo correctamente relaciones entre estos valores

para obtener la solución efectiva, otros ni siquiera son capaces de identificar el triangulo necesario para

el desarrollo de la guía.

Sin embargo, observamos que después de la retroalimentación obtenida en la practica 1, los

estudiantes adquieren una notoria mejoría en el desarrollo de la guía 2, y aunque aún presentan

dificultades en la correcta representación de la situación planteada, son pocos los estudiantes que no

obtienen siquiera a groso modo una aproximada solución de la guía.

A su vez, vemos que en la practica 3 el progreso de los estudiantes continua, y esta vez en la que se

tomara en cuenta: la correcta representación de la situación, la toma de datos y el análisis de la situación

planteada es a secas un grupo el que se desenvuelve deficientemente en el proceso. Sus demás

compañeros logran sobresalientemente desarrollar estos aspectos por lo que resuelven competentemente

la guía.

Finalmente, los resultados de la guía evaluativa evidencian que más del 70% de estudiantes de grado

Decimo B progresaron significativamente en la interpretación de la situaciones a través de una correcta

representación de la situación y toma de datos de la misma, de igual manera el desarrollo de un plan de

acción y su ejecución mejoro en la medida que se desarrollaron las reglas heurísticas (observaciones y

preguntas direccionadas) finalmente la evaluación de sus resultados igualmente se lograron a través del

análisis de las posibles soluciones encontradas.

Además, lograron involucrar los conceptos vistos en las Guías conceptuales previas a esta

experiencia. Inclusive, los únicos dos grupos que no se desenvolvieron con fluidez en la representación,

toma de datos y análisis del problema consiguieron involucrar aunque muy vagamente estos conceptos.

De esta manera queda claro que en el proceso realizado a traves de la guias “triangulando ando

aprendiendo” se presentaron diferencias significativas en el desarrollo de situaciones problema en los

estudiantes de grado decimo B, lo cual se revelara realizando una comparacion con los resultados

obtenidos en la etapa diagnostica, la etapa experimental 1 y la etapa evaluativa.

112

4.3 Conclusiones

El proyecto que se realizo a los estudiantes de grado decimo B del Gimnasio Mayor de Occidente ,

permitido identificar algunos aspectos importantes acerca del como es posible lograr un aprendizaje

significativo empleando como estrategia la enseñanza problemica, el cual se desarrollo con base en tres

objetivos especificos:

Proyectar al estudiante estrategias que le permitan un mejor desempeño en el análisis de

situaciones problema.

Este objetivo permitió evidenciar el avance logrado por lo estudiantes en la solución de problemas

durante la cuatro etapas practicas realizadas, pues como se manifestó, el adelanto de estas practicas le

permitió a los estudiantes determinar importantes momentos en la resolución de los problemas, lo que

condescendió en lo que considero fue uno de los aspectos esenciales en el correcto desarrollo de este

proyecto: “ una mejor organización e interpretación de la información y un mejor análisis de esta

información que a su vez permitió el desarrollo correcto de un plan de acción que le ofreciera

óptimos resultados”.

De igual manera nuestro siguiente objetivo especifico:

Fortalecer el proceso de aprendizaje integrando conocimientos previos para construir conceptos

más complejos en relación con las razones trigonométricas.

Permitió verificar en esta estrategia un segundo aspecto esencial en la búsqueda de aprendizaje

significativo, y se refería a: la conciencia que el estudiante debía desarrollar al respecto de como se

integraron los nuevos conocimientos de manera sustancial a sus conocimientos previos. Objetivo,

113

que si bien se trabajo durante toda las sesiones fue en la etapa conceptual en la que se desarrollo

conciencia de cómo las nociones iníciales, y la información descubierta y construida en las practicas

anteriores se concatenaba con una teoría que permitía ordenar esta información y comprender nuevos

conceptos

Finalmente, el siguiente objetivo específico logró establecer el grado de comprensión que

desarrollaron los educandos acerca de las razones trigonométricas, el cual consiste en:

Implementar la estrategia pedagógica por medio del desarrollo de guías prácticas que se basen en

el análisis y resolución de problemas que permitan evaluar el proceso de aprendizaje de las

razones trigonométricas.

Este objetivo da sustento al trabajo realizado en el proyecto ya que de nada serviría desplegar

estrategias de aprendizaje que involucrarán al estudiante en su consecución, de nada serviría alcanzar

un aprendizaje significativo para el estudiante si este aprendizaje no se alcanza íntegramente, por lo

cual este objetivo nos permite señalar otro aspecto importante a considerar: no perder de vista

nuestro objetivo esencial no solo en el proyecto si no en la educación “desarrollar un aprendizaje en

el estudiante que le permita emplear como herramienta para desenvolverse efectivamente en su

realidad, en su entorno”.

Adicional a esto cabe resaltar otras dos consideraciones importantes en la enseñanza problemica y

es que esta funciona como soporte al aprendizaje significativo en la medida en que las situaciones

planteadas sean de interés al estudiante quien además, constantemente deber ser motivado a adquirir

dicho aprendizaje ya que su papel es relevante en todo el proceso.

114

No obstante, en el desarrollo de este proyecto y por que no en proyecto de similar naturaleza

surgen inquietudes que resultan relevantes, como el hecho de que dado que cada estudiante es un

mundo distinto con sus propias dificultades e intereses, ¿Cómo en posible encontrar situaciones que

resulten sugestivas a cada uno de los integrantes de un grupo, considerando que en algunas

instituciones los grupos constan de 50 estudiantes o más? Y en caso de encontrarlas, ¿Es

conveniente desarrollar esta estrategia en grupos de trabajo?, por un lado esto optimiza los tiempo,

y el alcance de la estrategia, además que es claro el papel importante de la construcción del

conocimiento con ayuda de las relaciones sociales como lo menciona Vigotsky, sin embargo ¿ en

que medida esta metodología vicia el objetivo direccionar el análisis de estas situaciones en cada

estudiante reconociendo así las dificultades que presenta cada individuo?

115

4.4 Recomendaciones

A partir del desarrollo de la guìa se encontraron algunas premisas que es conveniente sean

consideradas en futuros trabajos concernientes a este tema, dentro de las cuales tenemos:

La motivacion debe ser el combustible que impulse el desarrollo de los logros planteados de

cada seccion.

Las actividades deben procurar ser muy significativas para los estudiantes.

La claridad en la descripcion de cada actividad, practica o prueba incide enormemente en el

resultado esperado.

El proceso de analisis de cada situacion requiere de una excelente disciplina que permita el

ambiente adecuado para la reflexiòn.

Es necesario tener en cuenta que las reglas heuristicas apropiadas para cada situacion y para cada

persona varian, por lo cual no es posible estandarizar las mismas, sin embargo no se puede dejar

abierta la puerta a la ambigüedad de esta herramienta.

El analisis de una situacion problema en el grupo permite la discusion de diversos puntos de vista

permitiendo asi una mayor decantacion de cada situacion., es necesario incentivar y mediar en

ocasiones dicha discusion.

El trabajo en grupo aunque permite la discusion puede consentir el ocio de algunos participantes

del equipo, por lo cual es preciso un constante monitoreo de cada grupo

116

Es preciso tener muy presente factores externos que puedan afectar el adecuado desarrollo de

cada activida, la disponibilidad del patio a causa del clima, las actvidades extracurriculares, la

disponibilidad de los estudiantes, ( Es distinto realizar estas actvidades a la primer hora de clase

que a la ultima).

Es muy necesario acabar con creencias absurdas propias de la matematica al iniciar este trabajo

como el hecho de que las matematicas no son aplicables, o la suposicion de que cualquier

ejercicio que se demore mas de 10 minutos en encontrar solucion es por que no tiene, etc.

4.5 Resumen

117

El desarrollo y sostenibilidad de cada cultura se basa en sus procesos educativos los cuales buscan

formar individuos con valores, capacidades y habilidades que permitan el progreso de los mismos y por

ende de la sociedad. Sin embargo, este objetivo pierde su rumbo cuando el estudiante concibe su

educacion como un proceso mecanico en el que adquiere informacion inherente a su realidad.

Es por esto que mediante la enseñanza problemica en este proyecto se plantearon tres objetivos que

buscan darle relevancia al aprendizaje que se prentede lograr en el estudiante; proyectandole estrategias

que le permitan un mejor desempeño en el analisis de situaciones problema en donde el estudiante

tomando parte activa del proceso, y con la guia del docente logre integrar sus conocimientos previos

para construir conceptos mas complejos en relacion con las razones trigonometricas. Proceso que se

desarrollo y evaluo implementando una estrategia pedagógica a través del desarrollo de guías

prácticas que basan en el análisis y resolución de problemas.

En dichas guía se diseñaron 3 secciones prácticas que iniciaban con actividades lúdicas en el salón y

que permitían plantearle al estudiante nociones de un concepto necesario en el desarrollo de las

situaciones planteadas posteriormente. En el desarrollo de estas situaciones se encontraron dificultades

en la interpretación de la información, y en el planteamiento de un plan de acción que permitiera el

desarrollo de los problemas planteados, dificultades que se fueron solventando entre una práctica y otra,

y que permitieron relacionar las experiencias vividas con un concepto que ellos mismos fueron

descubriendo a medida que transcurría cada sesión y que se formalizaba a través de dos secciones en las

que se conceptualizo este concepto mostrando el desarrollo y alcance de las razones trigonométricas.

118

Referencias

Ausbel, Novak, Hanesian. Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo. Segunda Edición. Editorial TRILLAS: México. 1983.

Chrobak, R. (1995). La metacognición y las herramientas didácticas. Recuperado de http://www .unrc.edu.ar/publicar/cde/05/chrobak.htm.

Chrobak, R. (1995). La metacognición y las herramientas didácticas. Recuperado de http://www .unrc.edu.ar/publicar/cde/05/chrobak.htm.

Coll, C (1988). Significado y sentido en el aprendizaje escolar. Reflexiones en torno al aprendizaje significativo. Dialnet, 1988, N- 41, págs. 131-142.

Díaz, F. & Barriga, A. (2002). CONSTRUCTIVISMO Y APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo: una interpretación constructivista. México: Mc Graw Hill

Martin, M., (2007), LOS PROCEDIMIENTOS HEURÍSTICOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, (Tesis, UNIVERSIDAD DE MATANZAS). Recuperado de http://www.alammi.info/revista/numero2/pon_0010.pdf.

Ministerio de Educación. (2003). Bogotá, DC, Estándares de Matemáticas en Matemáticas Recuperado de http://menweb.mineducacion.gov.co/estandares/matematicas.pdf

Moreira, M., (1997). APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: UN CONCEPTO SUBYACENTE, Recuperado http://www.if.ufrgs.br/~Moreira/apsigsubesp.pdf

Ortiz, A. L. (2009) Docencia Universitaria. Cuba: Editorial Síntesis s.a. Rodríguez, G., (1996): Metodología de la investigación cualitativa, Málaga: Ediciones Aljibe,

S.L. Romero, F. (2009). Aprendizaje significativo y constructivismo. Temas para la educación,

N0- 3 -Julio 2009. Vilanova, S., Rocerau, M., Valdez, G., Oliver, M., Vecino, S., Medina, P., Astiz, M., &

Álvarez, E (1995). LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA El papel de la resolución de problemas en el aprendizaje, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina, OEI – Revista Iberoamericana de Educación, p. 1

http://www.if.ufrgs.br/~Moreira/apsigsubesp.pdf

http://menweb.mineducacion.gov.co/estandares/matematicas.pdf

http://www.alammi.info/revista/numero2/pon_0010.pdf

119

Anexos

DIARIOS DE CAMPO 1

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO FACULTAD DE EDUCACIÓN

DIARIO DE CAMPO PRÁCTICA DOCENTE INVESTIGATIVA II

ESTUDIANTE PRACTICANTE: Miguel Ángel Blanco

LICENCIATURA EN: Matemáticas

COLEGIO: Gimnasio Mayor de Occidente CURSO: 10A

FECHA: 18 de Octubre NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28

TIEMPO QUE DURÓ LA ACTIVIDAD: 1 hora

TALLER: Etapa diagnostica

TEMA: Teorema de Pitágoras, Teorema del Seno y teorema del Coseno.

1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LO REALIZADO:

Los estudiantes llegaron al salón, se ubicaron en sus puestos mientras se les explicaba

en qué consistía el desarrollo de la actividad y se les repartía la prueba, para la cual

tuvieron 40 minutos la cual se realizo en completo orden y discreción.

2. PARTICULARIDADES Y NOVEDADES:

Algunos estudiantes se sintieron incómodos al realizar una prueba para la cual no

estaban preparados, sin embargo cuando se les explico que esta no afectaría la nota

del bimestre lograron concentrarse y contestar sin ninguna preocupación.

120

Vto. Bno. Asesor Disciplinar: ________________________________________________

Vto. Bno. Asesor Pedagógico: ________________________________________________

3. ¿SE REALIZÓ LO PLANEADO PARA LA SESIÓN? SI _X_ NO ____

¿POR QUÉ? (en caso de que la respuesta sea no).

Si, por que el tiempo planteado para la solución fue acorde a la prueba

4. ¿CUMPLIÓ EL TALLER CON LAS EXPECTATIVAS PROPUESTAS?

SI X_ NO ____ ¿POR QUÉ? (en caso de que la respuesta sea no).

Si, por que permitió determinar el grado de compresión con en el teorema de

Pitágoras, del Seno y del Coseno de los estudiantes de decimo A.

5. ASPECTOS A MEJORAR: No hubo aspectos a mejorar.

121

DIARIOS DE CAMPO 2






FECHA: 20 de Octubre NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28


TALLER: Etapa Motivacional

TEMA: Aplicaciones de la trigonometría, triángulos en el espacio.


La actividad se realizo en la sala de audiovisuales, en donde los estudiantes se

mostraron inquietados por la distribución de la sala, la cual tenía varios hilos

pegados alrededor de las paredes, sin embargo se ubicaron en las sillas y se realizo la

presentación de las diapositivas que mostraban algunas de las aplicaciones de la

trigonometría en la navegación, en la arquitectura, en la astronomía etc. Se

respondieron varias preguntas concernientes al tema, y se realizaron otras evaluando

el grado de interés que estas aplicaciones tuvieron en cada estudiante.

Posteriormente se realizo una actividad en la que dividos en grupos de 4 estudiantes

debían reconocer en el espacio formado por los hilos la mayor cantidad de triángulos.


De los 28 estudiantes 4 estudiantes se mostraron poco motivados en comparación al

grupo con las aplicaciones mostradas y la actividad realizada en clase, y fue

necesario llamarles la atención por la indisciplina expuesta en las actividades.

122





Por la gran mayoría de estudiantes mostraron interés por esta nueva experiencia,

y por algunas de las aplicaciones que ha tenido la trigonometría.



Incentivo el interés de los estudiantes por aprender mas sobre la trigonometría.

8. ASPECTOS A MEJORAR: Realizar una exposición en la que los estudiantes

tengan un papel aun mas protagónico que permita mayor interacción con el tema

expuesto.

123


DIARIO DE CAMPO 3

PRÁCTICA DOCENTE INVESTIGATIVA II




FECHA: 25 de Octubre. NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28

TIEMPO QUE DURÓ LA ACTIVIDAD: 2 horas.

TALLER: Etapa practica 1

TEMA: Aplicación razones trigonométricas


Se realizó el saludo con la presentación de la profesora Nelcy, se formaron los grupos

de 4 integrantes, posteriormente se entregaron las guías y una breve explicación de lo

que sería la actividad, la cual inicio con la entrega de un triángulo en cartulina al que

se le registraron las dimensiones del mismo y se realizaron las razones posibles entre

estas medidas (en total 6) en la guía correspondiente.

Luego se pide a los estudiantes que recorten uno de los lados del triángulo para hallar

las nuevas dimensiones de este nuevo triangulo y se compararon las relaciones entre

las razones halladas con estas medidas y las anteriores.


Los estudiantes llegaron algo indispuestos a la sesión ya que para realizar la

actividad fue necesario tomar la hora de educación física para su realización. Sin

embargo, después de informarles que esa hora seria repuesta en otra hora se

tranquilizaron y se prepararon para la actividad en la cual participaron activamente.

Por otra parte el clima que se presento por poco obstaculiza en gran medida el

progreso de la práctica pues para su desarrollo era preciso emplear la sombra del

edificio. Sin embargo se tenía una medida preventiva que consistía en calcular en el

salón de audiovisuales la altura de un estante con ayuda de lámparas.

124





Sí, porque los estudiantes descubrieron que entre triángulos proporcionales sus

razones serían las mismas, a partir de la actividad practica en el salón y la

práctica experimental en el patio.



Si, por que los estudiantes lograron comprender algunas de las relaciones entre

las dimensiones de los triángulos para adquirir una buena antelación de la teoría

de las razones trigonométricas.

11. ASPECTOS A MEJORAR: Tener consideración con aquellos factores ajenos a

nuestro control como el clima

125


DIARIO DE CAMPO 4 PRÁCTICA DOCENTE INVESTIGATIVA II




FECHA: 2 de Noviembre NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28



TEMA: Teorema de Pitágoras y Teorema del Coseno


Iniciamos con el saludo inicial una descripción de las actividades a realizar, se

formaron los grupos de 4 personas y se asignaron las copias de la primera actividad

correspondiente al cálculo del área de una figura con forma no determinada a través

de círculos, rectángulos, cuadrados y triángulos de área previamente determinada

figuras con las cuales se debía rellenar la figura, actividad que se desarrollo en

completo orden, dinamismo y eficiencia.

Posteriormente en sala de audiovisuales se les entrego a cada grupo un lazo de 239

cm de longitud con el cual debían encontrar el área de 12 figuras previamente

marcadas en el piso (una cruz, un cuadrado, un rectángulo, etc.)

Una vez cada grupo concluía esta actividad, se dispuso a encontrar el área de un

esquema que pretendía asemejar al humedal Jaboque, empleando además del lazo un

transportador.

126




La cámara en donde iba a registrar la evidencia no funciono así que fue necesario

pedir el video de la clase a las directivas del Gimnasio Mayor de Occidente en

donde se demuestra claramente el desarrollo de la actividad.

El tiempo destinado para finalizar la sesión fue insuficiente por lo cual fue

necesario solicitar 10 minutos al docente de la siguiente hora.



Sí, porque los grupos en su gran mayoría lograron determinar las áreas

solicitadas valiéndose del triángulo, figura que concluyeron; les permitía un

mejor cubrimiento de cualquier espacio.



Evidentemente los estudiantes encontraron en la trigonometría una aplicación

muy útil y necesaria en el cálculo de áreas aproximadas de formas no definidas

en donde es imposible además transitar sobre la misma área a determinar.

14. ASPECTOS A MEJORAR:

Considerar mejor los tiempo de cada sesión para que no sea necesario solicitar

tiempos extra que finalicen apresuradamente la actividad.

127











Se realizó el saludo inicial y se solicitó ubicarse en grupos de 4 estudiantes, luego se

entregó una guía que hablaba sobre la paralaje se dieron 5 minutos para la lectura y

luego se socializo esta mientras se realizaba un ejercicio a manera de ejemplo, se

resalta el interés mostrado por los estudiantes respecto a la paralaje.

Posteriormente bajamos al patio y a cada grupo se le pidió encontrar el ancho de la

cancha de banquitas empleando paralaje con el “dedo gordo” y la longitud del punto

de donde se encuentra, a la cancha.

Posteriormente se requirió encontrar determinada longitud del patio por medio de la

paralaje, utilizando 2 palitos de balso de 20 y 10 centímetros respectivamente los

cuales se ubican perpendicularmente y se gradúan a cierta distancia de los ojos

dependiendo de los puntos A y B que determinan los puntos donde inicia y finaliza la

longitud solicitada.

128





Si, por que los estudiantes encontraron las longitudes de los objetos propuestos

mediante la paralaje empleando los dos métodos propuestos; el dedo gordo, y la

cruz.



Si, por que el tiempo destinado para cada actividad fue el adecuado, la

disposición de los estudiantes fue satisfactoria logrando que ellos encontraran en

el método de la paralaje una herramienta que les permite calcular distancias.


129








TALLER: Etapa conceptual I

TEMA: Teorema del Thales y Teorema del Seno


Se realizó el saludo inicial y se solicitó que se organizaran en los grupos (4

personas), se entregaron las guías a cada grupo de estudiantes de los temas a tratar

(Teorema del Thales y del Seno) y haciendo una reseña de la primera practica en la

que se dieron nociones del teorema de Thales y se empleó este concepto para la

resolución de la misma se siguió con su demostración paso a paso.

Posteriormente se empleó este teorema para la demostración del Teorema del Seno.

El cual también es susceptible de ser aplicado en las prácticas 2, 3 y ciertamente en la

etapa evaluativa.


Los estudiantes estaban cansados ya que nos encontrábamos en la séptima hora

de la jornada académica y habían acabado de salir de un full (examen) de física,

además se encontraban algo nerviosos ya que ese día algunos docentes estaban

recibiendo trabajos finales y se estaba definiendo su promoción a grado

undécimo. Razón por la cual fue necesario realizar una dinámica con las palmas.

130





Porque se mostró y desarrollo el sustento teórico de la practicas realizadas

anteriormente y en especial en la practica 1 en donde se aplicó el teorema de

Thales.



Porque se logró que los estudiantes contextualizaran la teoría con las experiencias enriqueciendo los conceptos previos que permitieron desarrollar eficazmente las conjeturas que nos llevaron a la generalización a través de la demostración de estos conceptos.

ASPECTOS A MEJORAR: Ningún aspecto

131


DIARIO DE CAMPO 7

PRÁCTICA DOCENTE INVESTIGATIVA II






TALLER: Etapa conceptual II



Se inició con el saludo formal y su ubicación en los correspondientes grupos, se

asignaron las guías a cada grupo con las cuales verificamos el teorema de Pitágoras y

como este Teorema nos permitió encontrar solución a la practica 3.

Luego a partir de Pitágoras se demostró paso a paso el Teorema del Coseno, por el

cual podemos hallar los ángulos y/o longitudes de los lados de un triángulo si

tenemos 3 datos distintos de manera que no coincida un ángulo con su lado opuesto,

para lo cual se emplearía el teorema del Seno.


Dado que esta sesión se realizó a la primera hora de clases, la atención de los

estudiantes fue superior a la observada en la primera etapa conceptual, por lo cual su

desarrollo tuvo mayor participación por parte de los estudiantes y su progreso fue

más dinámico y fluido.

132





Sí, porque se explicó satisfactoriamente los conceptos manejados en las

anteriores sesiones, se argumentaron mediante la teoría permitiendo generalizar

estos conceptos a múltiples situaciones.



Sí, porque las practicas anteriores en especial la practica 3 permitió evidenciar; la utilidad de los conceptos del teorema de Pitágoras, el teorema del coseno y logro además crear una base en los conceptos, para el desarrollo de una teoría que fue contextualizada a una situación ya trabajada por los estudiantes.


133







TIEMPO QUE DURÓ LA ACTIVIDAD: 1 Horas

TALLER: Altura de la bomba

TEMA: Practica evaluativa


Los estudiantes se organizaron en grupos de a cuatro, se entregaron las guías y se

explicó la dinámica de la sesión en 10 minutos. Se solicitó eficiencia en los

procesos y calidad en los mismos, bajamos al patio y se dio un tiempo de 20

minutos, un láser un metro y un transportador para recolectar la información

necesaria y hallar la altura de la bomba que se encontraba amarrada con un hilo

en el segundo piso del Gimnasio, luego subimos al salón de clase para trabajar

con la información recolectada en el patio y en otros 15 minutos los estudiantes

entregaron las guías con su solución finalizada desarrollando el esquema

solicitado para el análisis del problema.


Los estudiantes estaban interesados en lo que sería la última actividad de este

proyecto, ya que en las anteriores sesiones llamaron su atención porque estaban

descubriendo la trigonometría en otros escenarios aplicables a su realidad.

134





Porque el tiempo destinado para esta actividad fue óptimo para el desarrollo de

las guías, asimismo la participación de los estudiantes se mantuvo acorde a lo

esperado.



Si por que los estudiantes a pesar de que tardaron en iniciar el desarrollo del ejercicio lograron determinar los datos necesarios y el procedimiento pertinente para llegar al resultado.

Si por que los estudiantes a pesar de que tardaron en iniciar el desarrollo del ejercicio lograron: interpretar la situación gracias a los datos registrados y realizar el procedimiento pertinente para llegar al resultado.

.

135

DIARIOS DE CAMPO Identificación del problema


DIARIO DE CAMPOPRÁCTICA DOCENTE INVESTIGATIVA II




FECHA: 17 de Marzo NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28


TALLER: identificación del problema.


Los alumnos llegan al salón se ubican en sus puestos, se responde al saludo del

profesor el cual comenta el desarrollo de la clase, solicita que los estudiantes tomen

asiento saquen sus cuadernos y empieza escribiendo el titulo del tema a ver en el

tablero, luego empieza a dictar el concepto.

Al terminar el dictado se realiza una explicación del concepto a través de un ejemplo

en donde se solicita absoluta atención y silencio en la explicación, al final de la cual

responde a preguntas de los estudiantes. Siguiente a esto los estudiantes realizan

ejercicios similares a los explicados por el docente.


Durante el momento del dictado hay absoluto silencio, en el momento de la

explicación se realizan algunos comentarios entre los estudiantes o rayas puestos por

lo que el docente les baja en la nota de disciplina.

136

DIARIOS DE CAMPO Identificación del problema






FECHA: 24 de Marzo NÚMERO DE ESTUDIANTES: 28


TALLER: identificación del problema.

EVIDENCIAS


Los estudiantes llegan al salón se ubican en sus puestos, el docente saluda ellos

responden, el docente pide a los estudiantes que tomen asiento y que se organicen en

grupos de a 4 personas para realizar un taller que tendrá se calificara la próxima

clase.

Los estudiantes se organizan, sacan el modulo (texto que se maneja como guía para

cada asignatura) y trabajan en el taller realizando esporádicas preguntas al docente

respecto algunos ejercicios que resultan mecánicos.


Los estudiantes conoces a la perfección la metodología de esta clase, se organizan

en grupos todos copian en el cuaderno. Y, en algunos grupos el trabajo se delimita

al de 1 o 2 integrantes del equipo.

Descubriendo La Trigonometria

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