DESCRIPCION DE SISTEMAS - isa.uma.es de Clase (ppt)/Document Libr… · 22/11/2005 Ingenieria de...

22/11/2005Ingenieria de Sistemas. J. Fdez de

Cañete 2005

RESPUESTA DE SISTEMAS

Tema 3


Cañete 2005

Indice

Respuesta Temporal de SistemasAnálisis de la Respuesta TransitoriaSistemas de Primer OrdenSistemas de Segundo OrdenSistemas de Orden SuperiorIdentificación de SistemasLugar de las RaícesEstabilidadAnálisis de la Respuesta Permanente


Cañete 2005

Respuesta Temporal de Sistemas

Sistema continuo representado por la ecuación diferencial con salida y(t) y entrada u(t)

con un conjunto de cond. iniciales siendo nel orden del sistema.

La obtencion de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t) se realiza por aplicación de la L

a y a y a y a y b u b u b unn

nn

mm) ) )' '+ + + + = + + +−

−1

11 0 1 0L L

y y yn( ), '( ), , ( ))0 0 01K −

a s Y s s y s y a s Y s s y a Y sb s U s s u b s U s s u b U s

nn n n

nn n

mm m

mm m

( ( ) ( ) ' ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )

− − − + − − + + =

− − + − − + +

− −−

− −

−−

− −

1 21

1 20

11

1 20

0 0 00 0

L L L

L L L


Cañete 2005


Reagrupando términos

Con P(s) polinomio que depende de las cond. Iniciales

La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo se puede expresar

Y1(s) es la respuesta forzada y Y2(s) es la respuesta natural

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a s a s a s a Y s b s b s b U s P snn

nn

mm+ + + + = + + + +−

−1

11 0 1 0L L

Y sb s b s b

a s a s a s aU s

P sa s a s a s a

Y s Y smm

nn

nn

nn

nn( ) ( )

( )( ) ( )=

+ + ++ + + +

++ + + +

= +−

−−

−

L

L L1 0

11

1 0 11

1 01 2


Cañete 2005


Ambas respuestas vienen definidas por dos regímenes en el tiempo, transitorio y permanente.

Se analizará la respuesta transitoria ante sistemas de diferente orden ante entradas características, asi como el error permanente ante sistemas de diferente tipo.


Cañete 2005

Análisis de la Respuesta Transitoria

Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para sistemas de orden 1, 2 y superior.

Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo respuesta natural nula,

)()()( sUsGsY =

U(s)X

Y(s))(sG


Cañete 2005

Sistemas de Primer Orden

Sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una ecuación diferencial

con función de transferencia

La respuesta escalón de amplitud A será

)()()(' 00 tubtyaty =+

0

0)(as

bsG+

=

Y sb A

s s a( )

( )=

+0

0


Cañete 2005


Descomponiendo en fracciones simples

Aplicando la transformada inversa

respuesta de tipo exponencial para a0>0

Y sKs

Ks a

b Aa s

b Aa s a

( ) = ++

= −+

1 2

0

0

0

0

0 0

1 1

)()1()( 0

0

0 tuea

Abty eta−−=


Cañete 2005


Se definen la ganancia , la constante de tiempo como parámetros especificos de un SPO.Forma estandar de SPO

0

0

abK =

0

1a

=τ

11

1)(

0

0

0

+=

+=

sk

asa

bsGτ


Cañete 2005


La respuesta impulso será

y aplicando transformada inversa1

)(+

=sKsY

τ

)()( / tueKty et τ

τ−=


Cañete 2005

Sistemas de Segundo Orden

Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una ecuación diferencial

con función de transferencia


y a y a y b u' ' '+ + =1 0 0

012

0)(asas

bsG++

=

)()(

012

0

asassAbsY++

=


Cañete 2005


La respuesta depende de las raices del denominador

Caso 1: Raices reales distintas

Aplicando la L-1

Se denominan sistemas sobreamortiguados

))(()( 21012 sssssasass ++=++

Y sKs

Ks s

Ks s

( ) = ++

++

1 2

1

3

2

)()()( 21321 tueKeKKty e

tsts −− ++=


Cañete 2005


La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos

Caso 2: Raices reales repetidas


Y sKs

Ks s

Ks s

( )( )

= ++

++

1 2

1

3

12


Cañete 2005


Aplicando la L-1

Se denominan sistemas critico-amortiguadosLa rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble

)()()( 11321 tuteKeKKty e

tsts −− ++=


Cañete 2005


Caso 3: Raices complejas conjugadas

Reagrupando las dos fracciones comlejas, y sabiendo que

con y

))(())(( 21 dd jsjsssss ωσωσ −+++=++

dd jsK

jsK

sKsY

ωσωσ +++

−++= 321)(

*23 KK =

223

2221

)('

)()(')(

d

d

d sK

ssK

sKsY

ωσω

ωσσ

+++

+++

+=

K K' Re( )2 22= K K' Im( )3 32= −


Cañete 2005


Aplicando la L-1

Se denominan sistemas subamortiguadosLa forma de la respuesta depende de la colocación de los polos

)() ' cos'()( 321 tutseneKteKKty edt

dt ωω σσ −− ++=

)()) cos(()( 1 tutKeKty edt φωσ ++= −

),( dωσ


Cañete 2005


La respuesta de SSO admite otra representación alternativa en función de los parámetros

- Ganancia, K- Relación de amortiguamiento, ξ- Frecuencia natural no amortiguada, ωn

Las raices de la ecuación característica son

22

2

2)(

nn

n

ssKsG

ωξωω

++=

dnn jjss ωσξωξω ±−=−±−= 221 1,


Cañete 2005


Con parámetros constante de tiempo inversa y

frecuencia natural amortiguada

Se distinguen 3 casos: • ,sistema subamortiguado• ,sistema critico-amortiguado• ,sistema sobreamortiguado

nξωσ =2-1 ξωω nd =

0 1< <ξξ = 1ξ > 1


Cañete 2005


Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón de SSO para valores de

Para , el sistema responde con una oscilación mantenida

),( nωξ

0=ξ


Cañete 2005


La respuesta impulso será

dándose los tres casos citados en función de

22

2

2)(

nn

n

ssKsY

ωξωω

++=

),( nωξ


Cañete 2005

Sistemas de Orden Superior

Sistema de orden superior (SOS) queda descrito por función de transferencia

con zi y pj ceros y polos en general complejos


)())(()())(()(

21

21

n

m

pspspszszszsKsG

++++++

=L

L

∑= +

+==n

i i

i

psK

sK

sAsGsY

1

0)()(


Cañete 2005


Caso 1: Polos en general distintos

Aplicando la L-1

La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativaLa contribución de K0 es relativa al regimen estacionario.

Si Ki es bajo, su contribución es despreciable, y si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto entonces su contribución en el transitorio es despreciable

)()()(1

0 tueKKty etp

n

ii

i−

=∑+=


Cañete 2005


• Forma de la respuesta no estandarizada


Cañete 2005


Caso 2: Polos en general multiples


y aplicando L-1

Se sigue el mismo razonamiento que el caso anterior en cuanto a

la contribución de cada polo.

LL ++

++

++

+==jr

j

j

psK

psK

psK

sK

sAsGsY

)()()(

2

2

1

10

)()!1

()( 1210

21 tuetrK

eKeKKty etpr

j

jtptp jj LL +−

++++= −−−−


Cañete 2005


Concepto de dominancia: Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se denominan polos dominantes

De esta forma es posible transformar un SOS en un SPO (un unico polo dominante) o en un SSO (un par de polos dominantes)

Criterio de dominancia: Relacion Re(pi)/Re(pd) > 5 , suponiendo que no hay ceros en cercania de pd (efecto cancelación).


Cañete 2005

Identificación de Sistemas

Identificación es proceso de determinación de un modelo a partir del conocimiento previo sobre el sistema y experiencias prácticas realizadas sobre él.

Durante el proceso de identificación el sistema es considerado como “caja negra”, realizandose experimentos que proporcionan pares E/S.

SISTEMADINAMICO

u1

um

y1

yn


Cañete 2005


Etapas del proceso de identificación:

1. Etapa de Análisis: Se tienen en cuenta las leyes físicas subyacentes para determinar la estructura del modelo

2. Etapa ExperimentalSe adoptan hipótesis de etapa anterior y en base a pares medidos E/S se ajusta el modelo


Cañete 2005


Gran variedad de métodos de identificación, particularmente los métodos de identificación paramétricos.

Obtención de coeficientes de G(s) o matrices A,B,C,D, bajo el supuesto de comportamiento linealizado o lineal

Método de Análisis Transitorio

Consiste en la aplicación de entradas tipo (escalón, impulso, senoidal,…) analizando la forma de la respuesta transitoria para determinar los parámetros del modelo del sistema.Asume comportamiento lineal


Cañete 2005


Para el caso de entrada escalón

se considerará identificación de SPO, SSO y SOS.

1. Identificación de SPO

Definidos por

u t( ) y t( )SISTEMA

1)(

+==

TsKsG


Cañete 2005


Determinación de K por relación de amplitud salida-entrada en regimen estacionario.

Determinación de T por inspección sobre 0.63% de y(t)


Cañete 2005


2. Identificación de SSO

Definidos por 22

2

2)(

nn

n

ssKsG

ωξωω

++=


Cañete 2005


Determinación de K por relación de amplitud entrada-salida en régimen estacionario.

Determinación de a través de los parámetros característicos de la respuesta transitoria de SSO:

1. tiempo de subida, de 10% al 90% del valor final

2. tiempo de pico, en el valor máximo de y(t)

nωξ y

( )∞y

drt ω

βπ −= )(tan 1

σωβ d−=

dpt

ωπ

=


Cañete 2005


3. sobreoscilación, definida por

que viene dada por

4. tiempo de establecimiento, para alcanzar el régimen permanente (y(t) incluida en banda sobre )

%100)(

)()( ×

∞

∞−=

yyty

SO p

πωσ

deSO−

=

( )∞y

%)2(4 σ

=st %)5(3 σ

=st


Cañete 2005


A partir de un par de valores de parámetros característicos se determinan σ y ωd y de ahí ξ y ωn según

Para sistemas sobreamortiguados solo sera posible computar

3. Identificación de SOS

No hay un método de validez general, si bién hay métodos para el caso de sistemas con polos en situación específica (Método de Strejc, dominancia de primero o segundo orden,…)

nξωσ = 2-1 ξωω nd =

es tyt


Cañete 2005

Lugar de las Raíces

La ubicación de las raíces del denominador de G(s) determinan el comportamiento en régimen transitorio

Considerando el sistema en bucle cerrado añadiendo una ganancia K variable

con

K

)(sH

)(sG +

-

)()(1)()(

sHsKGsKGsGeq +

=

U(s)X

Y(s))(sG


Cañete 2005


Al ser K variable la ubicación de las raíces del denominador de Geq(s) cambia.

El método del lugar de las raíces permite obtener el trazado de los polos o raíces del sistema en bucle cerrado en el plano s a medida que K es variable.

Este método permite predecir los efectos de la variación en la ganancia K o la adición de nuevos polos o ceros al sistema original G(s) (bucle abierto).


Cañete 2005


La ecuación característica que define el lugar de las raices viene dada por

o bién

Al ser G(s)H(s) una magnitud compleja se establecen dos condiciones:1. condición de ángulo

0)()(1 =+ sHsKG

1)()( −=sHsKG

...2,1,0)12(180))()(arg( =+−= kksHsG


Cañete 2005

Lugar de las Raíces2. Condición de magnitud

Los valores de s que cumplan la condición de angulo para K varaible definen el lugar geométrico de las raíces o polos del sistema en bucle cerrado (LdR)

La aplicación de la condición de magnitud para una K determinado define los polos específicos del sistema en bucle cerrado.En general, para un sistema

1)()( =sHsG

0)())(()())((1)()(1

21

21 =++++++

+=+n

m

pspspszszszsKsHsG

L

L


Cañete 2005


las condiciones de angulo y magnitud serán

......))()(arg( 2121 −−−++= θθφφsHsG

n

m

AAABBBKsHsG

K

K

21

21)()(⋅⋅

=


Cañete 2005



Cañete 2005


Efectos de la adición de polos en LdR

Efectos de la adición de ceros en LdR


Cañete 2005

Lugar de las RaícesReglas Generales para la Construcción del Lugar de las Raíces


Cañete 2005



Cañete 2005

EstabilidadLa estabilidad es una característica del sistema que asegura que ante cualquier entrada acotada el sistema responde con unas salida acotada

La estabilidad de un sistema lineal e invariante queda aseguradasi todas las raíces del polinomio característico del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo .

En efecto, para un sistema definido por

las raíces (polos) son la solución de

G sP s

a s a s a s an nn n

( )( )

=+ + + +−

−0 11

1L

nnnnn sssasasasasQ ,,,0)( 211

110 KL ⇒=++++= −

−


Cañete 2005

Estabilidad

Si se encuentra alguna raíz con el término correspondiente de la respuesta crecería con el tiempo, resultando por tanto el sistema inestable.

La estabilidad no depende de la función de entrada. Las raíces de la entrada contribuyen solamente en los términos de respuesta estacionaria en la solución.

0)Re( >= iis σt

iieK σ

σ

jω

0

x

x

x

s1

s1*

s2


Cañete 2005

Estabilidad

Criterio de Routh-Hurwitz

Es un método para determinar la estabilidad de un sistema sin tener que factorizar el polinomio característico del sistema.

Este procedimiento no especifica la posición concreta de las raíces, sino el número de raíces existentes en el semiplano derecho (inestabilidad) y en el eje imaginario (estabilidad critica).

Pasos del criterio R-H:1. Escribir el polinomio característico (suponiendo )00 ≠a

0011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n L


Cañete 2005

Estabilidad

2. Si cualquier en presencia de por lo menos algún , entonces hay una raíz o raíces que son imaginarias o con una parte real positiva , siendo el sistema critico-estable o inestable.

3. Si todos los coeficientes , agrupar los coeficientes en el siguiente arreglo

ai ≤ 0 a j > 0

ai > 0

0

1

02

3

02

131

02

0

1

2

3

2

1 ......

gf

ee

cbb

aaaaaa

sss

ssss

n

n

nn

nn

n

n

n

n

LL

L

L

L

−

−

−−

−

−

−

−


Cañete 2005

Estabilidad

donde los coeficientes son calculados según

De la misma forma se evalúan continuando el proceso hasta completar la última fila.

4. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces del polinomio característico con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.

Hay casos especiales de ceros en la primera columna o ceros en una fila que producen sistemas bien inestables o critico-estables.

bi

1

3212

−

−−−−

−=

n

nnnnn a

aaaab1

5414

−

−−−−

−=

n

nnnnn a

aaaab

c d ei i i, , ,K


Cañete 2005

Análisis de la Respuesta Permanente

Se considerarán sistemas en bucle cerrado donde la salida del sistema C(s) tiene que seguir una consigna o referencia R(s).

Se define el error en regimen permanente como

Aplicando la L

K

)(sH

)(sR )(sG

)(sB

)(sC +

-

)(sE

)()(lim)(lim tbtrteett

−==∞→∞→∞

)()()()()()( sCsHsRsBsRsE −=−=


Cañete 2005


por tanto

El error en régimen permanente depende de la referencia r(t) y del “tipo” N de planta-sensor G(s)H(s), definido por

Aplicando teorema del valor final

))()(1

)()(1)(()(sHsG

sGsHsRsE+

−=

)()()(1

1)( sRsHsG

sE+

=

)1)...(1()1)...(1()()(

1

1

++++

=sssssKsHsG

nppN

mcc

ττττ

)()()(1

lim)(lim)(lim00

sRsHsG

sssEteesst +

===→→∞→∞


Cañete 2005


1. Error Estacionario Escalón

Definiendo la constante de error escalón Kp

El error estacionario ante escalón será nulo cuando , lo cual se produce cuando el sistema es de tipo (presencia de al menos un integrador)

)0()0(11

HGe

+=∞

)0()0()()(lim0

HGsHsGKsp ==→

pKe

+=∞ 1

1

∞→pK1≥N


Cañete 2005


1. Error Estacionario Rampa

Definiendo la constante de error rampa Kv

El error estacionario ante rampa será nulo cuando , lo cual se produce cuando el sistema es de tipo (presencia de al menos dos integradores).

)()(1lim1

)()(11lim

00 sHssGssHsGe

ss →→∞ =+

=

)()(lim0

sHssGKsv →

=

vKe 1

=∞

∞→vK2≥N

DESCRIPCION DE SISTEMAS - isa.uma.es de Clase (ppt)/Document Libr… · 22/11/2005 Ingenieria de...

Documents

Transcript of DESCRIPCION DE SISTEMAS - isa.uma.es de Clase (ppt)/Document Libr… · 22/11/2005 Ingenieria de...