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1. edición: marzo 2001

Composición fotográfica de cubierta: M.' del Pilar Jiménez

Diseño de la colección: lTIayo & lTIás

© Ángel Chica Bias, 2001

© NIVOLA libros y ediciones, S.L.

Apartado de Correos 10.063. 28080 Madrid

Te!.: 9180458 17. Fax: 9180493 17

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correo electrónico: nivola@nivola.com

ISBN: 84-95599-07-4

Depósito legal: M-1 9759

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cial o lotal de esta obra por cualquier medio o procedimiento. comprendidos la reprografía y el tratamiento

lnlormátlco. y la distribución de ejemplares mediante alquiler o préstamos públicos.

Geometría y método

Ángel Chica Blas

8La matemática en

•sus personajes

n i.v ola1.111110 .LUI C I O \!:,

Índice

9 Introducci ón

13 College de la Fleche.

A.M.D.G. (1606-1614)

29 Al servicio de Mauricio de Nassau

35 El Compendio de la música

43 Descartes y los compases

65 La geometria

75 El problema de Pappus

85 Trazando tangentes

93 Viajes y sueños

103 La refracción de la luz e

113 Holanda. años de autocensura

127 Álgebra y ecuaciones

139 El Discurso del método

145 Viaje sin retorno

153 Panorama de la época de Descartes

157 Bibliografía

Introduc c ió n

d . I . " ( .)PleIIJO, mego casta Descartes)

"Existoportjllt'pÍfI/JlJ...y nojJlledo dt;!ar depensar"(Sartre)

"Tratcd« ordenar 111/poco ti {(lOS tkmÍJ !dens)'JfI1flÍI/Ífl/fOS

y proceder con m áodo, como acoJfllmbro "(Sdbato)

Desde mis tiempos de estudiante de bachillerato siento una par­

ticular debilidad por Descartes. Me lo descubrieron en clase de filo­

sofía, aunque una pequeña nota biográfica sobre este personaje se

había deslizado en mi libro de texto de matemáticas. Su intento de

proporcionarnos un método para poder razonar sin error era, a mis

ojos adolescentes, un proyecto seductor.

El libro que has abierto hace unos minutos traza un recorrido

sobre algunos de los aspectos más destacables , bajo mi particular

elección, de su vida , su obra y su circunstancia, usando el término

de Ortega y Gasset, es decir el entorno en el que le tocó desplegar

su notable actividad intelectual.

Descartes tiene una vocación universal de saber. Le interesa

prácticamente cualquier tema de conocimiento, y hace aportacio­

nes nuevas en campos muy diversos. En el, a mi entender, falso

divorcio racionalis tas-empiristas, está alineado con los primeros.

Pero los raciona listas, Descartes entre ellos , también exper imentan

y hacen observación natural, no formulan teoría en abstracto.

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Igualmente los empiristas, crean, a partir de sus experimentos,

estructuras teóricas en las que organizan lo observado.

El problema es qué pr ima como cr iterio de verdad. Sólo una

visión dialéctica perm itirá superar el antagonismo razón-experie n­

cia y Descartes es a veces miope . Cuando ha establecido o par ti do

de unas premisas teóricas, y saca consecuencias de ellas, aunque la

experimentación parezca ir en contra de las mismas, le cuesta

renunciar o cuestionar el punto de partida. Esto lleva a que algunas

de sus formulaciones en el campo de la física o la fisiología estén

muy alejadas de la actual verdad cien tífica.

Las aportaciones que seguiremos con más detalle son las referi ­

das a las matemáticas. Descartes es inno vador sobre todo en el

enfoque de los problemas , creando nuevos métodos y sistematizan­

do. Algunos de los grandes problemas que trata los veremos diná­

micamente: cómo estaban antes, qué hace Descartes y cómo evolu­

cionan después. Para él estos problemas son sugerentes por sí mis­

mos, sobre todo como campo en el que experimentar su método

para descub rir la verdad. Lo aplica a su geometría y recíprocamen­

te, su método está inspirado en la forma de razonar propia de la geo­

metría. Se establece por tanto un mutuo y eficaz refuerzo.

La lectura de los capítu los más específicamente matemáticos

puede resultar más o menos compleja según el nivel de conoci­

mientos previos. Se ha tratado de que el texto sea bastante autosu­

ficiente y de que no se rompa la unidad si se aparca un concepto o

apartado para una lectura posterior. Para la lectu ra de los capítulos

más matemáticos, como en todo libro de esta disciplina, no vendría

mal un lápiz y un folio al lado, para ir haciendo anotaciones, desa­

rroll os o comprobaciones. Los libros de matemáticas los termina

cada lector con sus comentarios al margen.

Por último algún agradecimiento. A Antonio Pérez, al que conoz­

co desde la facultad, donde compartimos carrera y carreras , por

haber corrido el grave riesgo de encargarme esta tarea. Espero no

defraudarle y asumo de antemano los fall os de la obra. A David y

Hernán, mís hijos, que me han asesorado en un terreno , la música ,

que conocen mucho mejor que yo, A Pablo, su amigo, que me ha

ayudado en algunas cuestiones técnicas: escaneos, comprimir-des­

compr imir con winzip... Ya los, ya, miles de alumnas y alumnos que

tantas veces me han oído aquello de "ll evemos el problema a un

plano car tesiano..."

Ángel Chica BIas

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11

1 CollegeA.M.D.G

de la Fleche ,( 1 60 6- 1 6 14 )

No hay mucha información disponible en lo relativo a hechos

anecdót icos, sobre cómo se desarrolló la infancia de Descartes. No

obstante sí es bien conocido el ambiente histórico social y cultu­

ral en que le tocó vivir sus primeros años, lo que da claves para

suponer cómo sería su educación y el porqué de det erminadas

deci siones.

Descart es nació el 31 de marzo de 1596, en La Haye, en la región

de la Touraine francesa, en casa de su abuela materna, donde su

madre se encontraba pasando una temporada con sus hijos Pierre y

Jeanne. El padre estaba ausente ya que, como consejero que era en

el Parla mento de Bretaña, vivía gran parte del año en Rennes, a

varios cientos de kil ómetros . Fue bautizado cuatro días más tarde

en la fe católica y se le impuso el nombre de René.

Aunque Descartes dice en algunos escritos que a los pocos días

quedó huérfano de madre, ésta falleció realmente en un parto pos-

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Quizá el retrato más famoso de Descartes sea elrealizado por el pintor holandés Frans Hals .

terior catorce meses más tarde. Dadas las circunst ancias, René va a

vivir definitivamente con su abuela hasta el momento de acudir, con

diez años, al colegio de La Fleche. Su padre se volverá a casar, ten­

drá varios hijos más e integrará en su nueva familia a sus dos her­

manos mayores , pero René quedará marginado, incluso cuando

14 tod a la familia se traslade a Chátellerault en 1607.

La temprana pérdida de su madre y la falta de relación con su

padre, que le tenía en muy baja estima, contribuyen a forjar un

carác ter que él mismo describi rá, muchos años después: en su

cor respondencia con la Princesa Isabel de Holanda, como triste o

melancóli co.

A pesar de ello , René y su hermano mayor Pierre son enviados

al colegio de La Fleche; pero, al finalizar sus estudios, mientras

Pierre seguirá los pasos de su padre dedicándose a la política en

Bretaña, René se independizará familiarmente.

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En un mapa actual no podr i amos encontrar La Haye . Desde 1802este pequeño puebl o lleva el nombre de su ciudadano más il ustre .Descartes .Chatellerault. ciudad cercana a Poitiers. en l a ruta haciaEspaña. era en la segunda mitad del siglo XVI un importantenúcleo protestante.

¿Cuáles son las circunstancias que llevan a elegir esa institución

para que durante diez años, en régimen de completo int ernado ,

adquieran su formación para la vida adulta ? A lo largo del siglo XVI

se han producido en Europa occidental y en particular en Francia

profundos cambio s culturales y social es. La Iglesia intentará, desde

el comienzo del siglo, superar el modo en que se había int erpretado

el cr ist ianismo a lo largo de la Edad Media.

La Iglesia había int entado coexistir con las creencias y elemen­

tos paganos, tratando de asimilarlos o reformularlos. Pero sólo una

parte de la población conocía con rigor los elementos básicos de la

fe cr istiana. El equipaje espiritual de la mayoría de la población era

una confusa mezcla de elementos y ritos cristianos y paganos, lo

que llevaba a una profunda relajación de las costumbres. El mismo

recinto de las iglesias era utilizado como granero, mercado o salas

de juego si la ocasión se prestaba.

Intentando poner orden y volver a sus raíces, quizá contagiada

por el espíritu renacentista , la Iglesia se enzarza en un debate en el

que se cuestionará muchas cosas : el sentido de su patrimonio y

ostentación, la necesidad de que el pueblo pueda acceder directa­

mente a los textos bíblicos e int erpretarl os, la justificación por la fe,

el sentido de la penitencia... La consecuencia de todo ello es el cisma

de la iglesia cristiana de occid ente y la aparición de las Iglesias

Reformadas, calificadas por la Iglesia católica de protestantes. La con­

frontación de Reforma y Contrarreforma y el papel que jugará la

Compañía de Jesús son piezas que se moverán en el tablero de la

segunda mitad del siglo XVI por toda Europa occidental. Con pro­

puestas formales diferentes, catolicismo y protestantismo pretende­

rán que el hecho religioso sea vivido internamente , que la preocu­

pación por la vida eterna actúe sobre todos los aspectos de la vida

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cotidiana del individuo, dándole una capacidad de autocontrol o

autodisciplina sobre sus deseos e inclinaciones más inmed iatos.

Paralelamente a este proceso está la evolución de las insti tucio­

nes escolares. Al comenzar el siglo XVI se pone en marcha una refor­

ma, en las escuelas de las Hermandades de la Vida Común, que ter­

mina con la práctica de juntar a todos los alumnos de cualquier

edad y nivel de conocimientos en un mismo grupo. Se inicia lo que

después se llamará escuela graduada. Cada clase tenía unos cien

alumnos divididos, por su nivel de destrezas y conocimientos, en

diez grupos. Cada grupo estaba bajo la supervisión de un mon itor o

decurio, que era su alumno más aventajado. Los decurios form aban

a su vez un grupo al que se le pedía cuentas de su labor de contro l

Erasmo

Erasmo (Rotterdam, Holanda 1466­

Basi/ea, Suiza 1536) era doctor en teología.

Fue conseje ro en Bruselas de Carlos V. Se

mostró partidario de una reforma gradual y

pacífica de la Iglesia. Al principio era partida­

rio de Lutero, aunque ante el cisma que se

avecinaba escribió contra él De libero arbi­

trio. Sin embargo, desde las posiciones catüi-

cas fue acusado de ser un precursor de la Reforma Luterana, ya

que su carácter independiente no le permitía silenciar la corrup­

ción eclesiás tica.

La Inquisición española, procesó y condenó a la hoguera, a lo

largo del siglo XVI, a grupos de iluminados, así se les designaba,

que eran acusados, entre otros cargos, de haber tenido contacto o

haber divulgado las tesis de Erasmo.

sobre el gran grupo, y que, de no cumplir satisfactoriamente, podían

ser relevados de su favorab le posición jerárquica.

La preocupación por el tema de la pedagogía es una caracterís­

ti ca del Renacimiento y la influe ncia de Erasmo de Rotte rdam y la

utilización de sus tesis en todo el debate Reforma-Cont rarreforma,

merecen una pausa. Erasmo construye un verdadero programa edu­

cativo en una serie de obras publicadas entre 1500y 1530que alcan­

zan una notable resonancia y son traducidas y reeditadas múltiples

veces, gracias a la revolución para la difusión de la cultura que

había supuesto la invención de la imprenta por Gutenberg. En el

alumno que se está formando, Erasmo pretende inculcar dos virtu­

des: human ismo y piedad. Su modelo recoge la fil antropía de la

Grecia clásica, matizada por la persona lidad de Jesucristo. Para ello

propone actividades como el estud io de las artes y ciencias , apren­

der las obligaciones de la vida adulta y asumir una guía de compor­

tamiento correcto en toda circunstancia.

Su intento no es aislado. Baltasar de Castiglione publica al

mismo tiempo en Itali a el Libro del cortesano, un manual de com­

portamiento para la vida en las ciudades-estado renacent ist as

donde ya no funcionan los esquemas del sistema feudal que había

caracte r izado la Edad Media.

En Francia todo este materia l educativo va a encontrar su refe­

rencia institucional en la fundación y extensión de los colléges, a uno

de los cuales irán in ternos Pierre y René Descar tes. Los colléges son

la respuesta que da la burguesía cortesana al pro blema de dónde

educar a sus hij os. Al mismo tiempo sirven como elemento identifi­

cador de una clase social emergente que quiere marcar sus dif eren­

cias, por un lado con la nobleza tradici onal heredera del sistema

feudal , y por otro lado de la pequeña burguesía dedicada funda­

mentalmente al comercio.

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La burguesía cortesana, formada por familias que nutren los

parlamentos y sus servicios complementarios, es despreciada por

la nobleza. Ésta a su vez es duramente atacada por esa burguesía,

que le acusa de indolencia y de administración y gestión económica

incompetentes. La autod isciplina y autocontrol de esa burguesía

cortesana son valoradas como una virtud por Montaigne en sus

Ensayos y por Charron en su tratado De la sagesse (Sobre la sabidu­

ría) que, conectando con el pensamiento de Erasmo, van a impreg­

nar la filosofía educativa de los colléges e influirán en el bagaje inte­

lectual de partida de Descartes.

Esa capacidad de autocontrol es el elemento distintivo de la

burguesía cortesana frente a nobles y pequeño-burgueses y es,

desde su punto de vista, el mejor aval para que sea cantera de quié­

nes se preocupen de llevar el control político y el orden en una

sociedad que se pret ende nueva. De los colléges saldrán generacio­

nes de estudiantes que, formados en estos valores, van a estar pre­

parados para hablar un elegante francés, un correcto latín, se mane­

jarán en griego , conocerán el mundo clásico, pero también sabrán

matemáticas y ciencias de la naturaleza, y que serán personas bien

formadas para actuar en puestos de responsabilidad en los

Parlamentos y en la Corte . La burgu esía cortesana necesita de los

colléges para hacerse un hueco al sol y perpetuarse.

No obstante, a finales del siglo XVI los colléges han entrado en

crisis, mejor dicho su proyecto educativo está en una fase crítica

porqu e se está constatando que en la práctica muchas familias están

utilizando esta posibilidad educativa no con un sentido altruista de

formar a sus hijos para un mejor servicio a la sociedad, sino como un

simple trampolín para mejorar en la jerarquía social. Los burgueses­

humanistas que habían apostado por el proyecto se sienten ahora

escépticos. En ese momento crí ti co va a ser la Compañía de Jesús,

los jesuitas, quiénes van a recoger, modificándolo, el testigo , utili­

zando en muchos casos las mismas instalaciones.

En Francia tras diversos acercamientos y malent endidos con la

monarquía, son plenamente aceptados a finales del siglo XVI. El rey

Enrique IV toma a un jesuita como confesor y director espir i tual y

patrocina la apertura o cesión de colléges en las principales eluda­

des. Los jesuitas se convierten, a cambio, en fervientes defensores

de la monarquía borbónica.

La Compañía de Jesús utilizará los colléges como ámbito insti­

tucional para desarrollar su proyecto de formación de una élite cris­

tiana ; en este sentido coincide con el proyecto anterior de la bur­

guesía cortesana . Se va a dar formación a los futuros rectores de la

vida pública. Los valores de autodisciplina y autocontrol también

Ignacio de Loyola

Nació en Azpeitia, Guipúzcoa, en 1491

en una familia hidalga. Dedicado a la

carrera de las armas, cayó herido en '152I

en Pamplona. En su convalecencia se dedi­

có a leer libros religiosos y surgió en él una

vocación de servicio a Cristo. Tras una

larga etapa de formación, reflexión y orga­

nización. en 1540 el Papa autoriza la

Compañía de Jesús de la que Ignacio es su

primer General. Muere en Roma en 1556. La Compañía se conver­

tirá en un instrumento vital para la Contrarreforma.

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son válidos, aunque tamizados por los valores consustanciales a

una formación en la piedad cristiana. Esa formación es la que el

padre de Descartes quiere para Pierre y René y el centro idóneo, por

su prestigio y relativa proximidad, ya que está a unos cien kilóme­

tros de Chátellerault, es el College de la Fleche.

René Descartes dejó el hogar de su abuela en 1606 para ir inter­

no a La Fleche; allí permaneció ocho años que le marcarían decisi­

vamente. No iba a un sitio desconocido, su hermano Pierre estudia­

ba ya allí, y el Rector del colegio, el padre Charlet, era pariente leja­

no por parte materna. De hecho Descartes guardará de él siempre

un buen recuerdo y estima e incluso en una carta de 1645, treinta

años después de dejar el colegio, le agradeció que se "comportara

con él como un segundo padre.

Su llegada a La Fleche se produjo en pascuas, al comenzar el

semestre, ya que por su carácter enfermizo y su corta edad, diez

años, parecía aconsejable evitarle comenzar en invierno. Preci­

samente a causa de su salud precaria sería autorizado a permanecer

por las mañanas un rato más en la cama. Ese tiempo, en principio de

carácter terapéutico, se reveló enseguida como muy prolífico.

Descartes aprovecharía entonces, y a lo largo de toda su vida des­

pués, ese reposo solitario para la meditación y bastantes de las

ideas filosóficas y científicas que alumbró se gestaron en esa fase de

matinal duermevela.

La Fleche era un colegio de nueva creación, fundado gracias a

Enrique IV. Ocupaba un antiguo palacio de patrimonio real cedido

en 1604 a la Compañía de Jesús. Los lazos sentimentales que unían

a Enrique IV con La Fleche eran tan profundos que dispuso que, al

morir, su corazón y el de su esposa fueran depositados en la capilla

del colegio.

College de la Fleche.

Su arquitectura respondía, con ligeras variaciones al arquetipo

de los colegios jesuitas: tres edificios de planta rectangular, uno a

continuación de otro, cada uno con un gran patio central. Uno de

ellos se destinaba a las clases e incluía una capilla, otro era para alo­

jamiento de los alumnos internos, el tercero era la residencia de los

jesuitas. La Fleche tenía además otros dos edificios más, con sendos

patios, como puede observarse en grabados de la época.

Los jesuitas tenían minuciosamente regulada la organización de

sus centros. Las Ratio Studiorum eran un conjunto de reglas elabo­

radas por la Compañía para desarrollar el proyecto educativo y eran

seguidas en todos sus colegios. El nivel al que se desciende en las

indicaciones llega hasta recomendaciones de tipo culinario... Hay

que entender que toda la experiencia vital del alumno interno se iba

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a producir dentro de la institución y, en consecuencia, era muy

amplio el conjunto de facetas a tener en cuenta .

El alumnado tenía muy poco contacto con el exterior. No había

fines de semana. Las vacacion es anuales para visitar a los padres se

reducían progresivamente, desde un mes para los más pequeños

hasta tan sólo una semana para los mayores. Las salidas extramuros

eran escasas, aunque sí se asistía a las ejecuciones públicas de los

condenados por los tribunales de la Inquisición.

Los métodos pedagógicos de los colegios jesuitas habían asu­

mido los avances organizativos de las escuelas de las Hermandades

de la Vida Común y las ori entaciones pedagógicas de Erasmo. En

lugar de una pedagogía basada en el castigo , se disponían las estra­

tegias para una formación basada en la autodisciplina y para ello se

fomentaba la emulación de modelos y se premiaban públicamente

(cruces, bandas, insignias...) las conductas positivas.

Había una preocupación, signo de modernidad, por atender las

dificultades individuales y respetar los ritmos de aprendizaje de

cada uno. Se hacía una selección de juegos y actividades lúdicas y

se incluían en el cur rículum. Se fomentaba la prácti ca de deportes,

como equitación, esgrima, natación... y la danza y el teatro estaban

considerados como elementos educativos que ayudaban a la asimi­

lación de buenos hábitos y maneras.

Las clases eran muy numerosas, superando los cien alumnos .

Había diariamente lectio y repetition es y semanalmente sabatinae

disputationes. Mensualmente tenían lugar las llamadas menstruae

disputationes.

Las lectio vendrían a ser lo que hoy designaríamos como lección

magistral. Seleía y comentaba un texto. Al final, el profesor aclaraba

individualmente las dudas de los alumnos. Las repetitiones se desa-

rrollaban por la tarde y eran dirigidas normalmente por un alumno

avanzado. Los alumnos hacían un informe o recapitulación de lo

visto en las lectio y se proseguía con la aclaración de dudas '~ difi­

cultades. Las disputationes eran debates entre dos alumnos, ci tados

previamente, en presencia de un profesor. Uno de los alumnos, lla­

mado defendens, debía exponer una tesis y sostenerla. El otro, desig­

nado argumentans, ponía objeciones a la tesis que el defendens debía

tratar de superar. Terminada esta fase, el resto de los alumnos asis­

tentes podían intervenir sobre el tema. Todas las clases y debates se

hacían utilizando como lengua de comunicación el latín. Estaba

prohibido y era objeto de sanción utilizar la lengua vernácula.

En la biografía más antigua sobre Descartes, escrita por Baillet

y editada en Paris en 1691 , éste comenta que compañeros de

Descartes en La Fleche recordaban que utilizaba un método perso­

nal cuando le tocaba ser defendens en una disputatione de tema filo­

sófico. Al parecer la variante que utilizaba no disgustaba ni al Padre

Charlet, el rector, ni a sus profesores. Inicialmente hacía diversas

preguntas a fin de precisar las definiciones de algunos términos.

Después indagaba en la audiencia lo que se entendía sobre diferen­

tes principios tratados en las lectio. A continuación buscaba el

acuerdo en la formulación de determinadas verdades conocidas.

Concluido este preámbulo, desplegaba su argumentación respecto

de la tesis y era francamente complejo el desmontarla. En realidad

estamos ante un anticipo del método que empleará en su obra filo­

sófica, perfeccionándolo.

Los cinco primeros años de estancia en La Fleche estaban con­

sagrados al estudio de un núcleo central humanístico-literario.

Había un año preparatorio, tres años de gramática y uno de retóri­

ca. Se suponía que el estudio en profundidad de gramática, retórica

y dialéctica era un ejercicio mental preparatorio para la asimilación

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de las ideas y el entendimiento de la realidad. La lengua clásica que

se primaba era el latín y Cicerón el autor preferido. El griego tam­

bién se estudiaba. aunque con menos énfasis. El papel predominan­

te del latín había quedado reforzado en los núcleos católicos con la

Contrarreforma ya que el Concilio de Trento había encargado la edi­

ción de la Biblia Vulgata en latín como versión oficial de la Biblia;

mientras que los reformistas protestantes defendían la búsqueda

directa de las palabras de Jesucristo en los evangelios. lo que signi­

ficaba su lectura directa en griego. En consecuencia, la apuesta enfá­

tica por el latín en los colegios jesuitas tenía. en aquellas circuns­

tancias, un trasfondo religioso.

La mayoría de los alumnos dejaban La Fleche tras esos cinco

años, pero D~scartes prolongó su estancia, dando comienzo a los

cursos de tipo filosófico. Durante tres años iba a estudiar dialéctica,

filosofía natural , matemáticas. metafísica y ética.

Los estudios sobre dialéctica utilizaban como libro básico el

Organon de Aristóteles. que recoge los principios de la lógica y que

es instrumento para todas las ciencias. Asimismo se manejaban los

comentar ios que a la obra de Aristóteles habían hecho jesuitas espa­

ñoles y portugueses de la Universidad de Coimbra. En filosofía natu­

ral se empleaban tambi én obras de Aristóteles, como su Física o los

tratados Del cielo o Del mundo. También para las lecciones de meta­

física y ética eran usadas obras suyas como la Metafísica. su tratado

Del alma , la Ética a Nicómaco.... usando asimismo comentarios, entre

los que destacaban los del Padre Suárez, jesuita granadino. Seobser­

va, por tanto. una búsqueda seleccionada de fuentes aristotélicas,

evitando interpretaciones de filósofos árabes como Averroes y apo­

yándose en comentarios elaborados por filósofos jesuitas.

Respecto a las matemáticas, a las que se dedicaba , durante un

26 año, una hora diaria de clase. se utilizaba como obra escrita de rete-

La población de La Fl eche en un grabado de 1894.

rencia la de Clavius Sobre el modo en que las disciplinas matemáticas

pueden ser desarrolladas en los colegios de la Sociedad, que era una

guía metodológica para uso int erno de los colegios de jesuitas.

Clavius proponía una clasificación de las disciplinas matemáticas

según estudiasen matemáticamente obj etos de un modo abstra cto o

sensible. En el primer grupo estarían la geometría o la aritmética,

mientras en el segundo estarían la ast rología. la música. geodesia.

mecánica. cálculo práctico. perspectiva, arquitectura civil y mili­

tar..., es decir un amplio repertorio de ciencias que hoy considerarí­

amos autónomas , pero que tendrían en común , para ser abordadas

científicamente. la necesidad de ser cuantificadas, usando para ello

la aritmética y la geometría. Dentro de esa inmensa matemática apli­

cada de Clavius podemos encontrar desde un estudio de las órbitas

planetarias , hasta las mareas, los vientos, los choques ... A la vista de

la escasa entidad que tenían las matemáticas en el currículo de La

Fleche, es de suponer que influencias posteriores. como su amistad

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Claoius

Christopher Klau, 1537-1612, conocido

como Clavius en su forma latinizada, es un

alemán que de j oven estudia en Coimbra,

uno de los focos fundamentales del pensa­

miento j esuita. A partir de 1565 es profesor

de matemát icas en el colegio de los j esui­

tas en Roma. El Papa Gregario X/ll le encarga los estudios pre­

vios para la reforma del calendario ju liano. Aunque amigo de

Kepler y de Galileo, escribe defendiendo el sistema geocéntrico

de Ptolomeo frente a Copémico.

2 Al servicioMa u r .i c i o d e

de

Nassau

28

Fue autor de los manuales usados en cursos de matemáti­

cas y mecánica en los Colegios de la Sociedad. Murió en Roma

en 1612.

con Isaac Beeckman o con Marin Mersenne, fueron los catalizadores

del in terés y dedicación de Descartes a las matemát icas y a la física.

En 1614, cump lidos los dieciocho años de edad, Descartes dejó

La Fleche y marchó a Poit iers a estudiar derecho civil y canón ico,

graduándose dos años más tarde . Parece ser que también debió de

estudiar, aunque de modo informal, medicina. Tras un periodo que

los biógrafos no han conseguido aclarar y en el que algunos supo­

nen que tuvo una crisis de melancolía, se trasladó a Breda en

Holanda para alis tarse en el ejército de Mauricio de Nassau.

En el verano de 161 8 Descartes se alis tó en el ejérc ito del prín­

cipe Mauricio de Nassau. Podría parecer extraño que un gentilhom­

bre alumno de los jesuitas fuera a enro larse en un ejército protes­

tante , pero el contexto en que se produjo este hecho justifica la

decisión, ya que en aquel momento los Países Bajos estaban en

plena Tregua de los Doce Años, los lazos entre Francia y los nobles

holandeses eran estrechos y las ciudades holandesas eran centro

del humanismo y sus universidades albergaban en aquellos años un

gran número de eruditos.

Además había una importante ósmosis entre el pensamiento eru­

dito, la ciencia aplicada y su puesta al servicio de la administrac ión,

fomentada por la nobleza y burguesía flamenca. El ejérc ito era uno

de los focos donde se producía esa relación. Mauriclo de Nassau

introdujo reformas en su ejérci to que tenían su base teórica en el

pensamiento fil osófico y político de Lips ius. Éste, en sus Poli ticorum

VIro...,<n

oa.ro

3:nie...,-'o

n-'o

oa.ro

ZniVIVlnie

29

su conocimiento de la lengua flamenca y fue precisamente in­

tentando traducir un problema matemático escrito en flamenco,

como conoció a Isaac Beeckman, lo que dió origen a una fructuosa

relació n profesional y de amistad.

A pesar de sus múltiples actividades, Descart es tenía la impre­

sión de estar "holgazaneando en medio de un tumulto de soldados

mal educados" y decidi ó emprender viaje, a comienzos de 161 9,

para alis tarse en otro de los ejércit os que apli caba el modelo de

Lipsi us, el de Maximiliano de Baviera.

o-oo

.¡..J

' QJ

E

L.¡..J

QJ

EoQJ

L9

V1QJ

.¡..J

L

roulJ1.QJ

el

30

libri sex, apostaba por los

valores de la voluntad, la dis­

ciplina y la razón como esen­

ciales para la práct ica polít i­

ca en el área pública: admi­

nistración, finanzas, organiza­

ción mil itar...

Maurici o de Nassau,

basándose en el pensamien­

to de Lipsius, introdujo cam­

bios en la disciplina y hábi­

tos de sus ofic iales, estable­

ciendo ins trucción y ejerci ­

cios de adiest ramiento para

cuando el ejérci to no estu­

viera en comb ate, y apostan­

do por la autodisciplina fren­

te a la obediencia ciega. La

educación era también cru­

cia l en su ejército y encargó

su supervis ió n a Simo n

Stev in.

Descartes, en el medio

año que estuvo enro lado ,

entró en contacto con cam­

pos científ icos tan diversos

como la geometría, la hidros­

tática o la arquitectura mili ­

tar. Intentó también mejorar

Simon Steoin

Simon Stevin (1548-1620)

fue un matemático e ingeniero

flamenco nacido en Brujas.

Autor de trabajos sobre álge­

bra, geometría, aritmética prác­

tica, mecánica e hidrostática.

Dio una explicación a la para­

doja de que la presión eje rcida

sobre el fondo de una vasija

sólo dependiera de la altura

del nivel del líquido y no de la

forma del recipiente.

También, aunque no in­

ventó los números decimales,

introdujo su uso en matemáti­

cas y llegó a afirmar que la in­

troducción de un sistema de

pesas y medidas en base deci­

mal era cuestión de tiempo.

La labor int electual

de Descartes en ese peri o­

do giró alrededor de las

cuest iones científi cas que,

pri mero personalm ente y

luego mediant e correspon­

dencia, abord ó en sus dis­

cusiones con Beeckman .

Su primer contacto perso­

nal tuvo lugar en Breda, en

noviembre de 1618. Ense­

guida sint onizaron, al ser

ambos los únicos en dicha

.ludad qu e en aquel

momento podían hablar

latín y estaban interesados

por la relación entre la físi­

'a y las matemáticas.

Beeckman era ocho años

. .. y Beeckman

Isaac Beeckman

(1588-1637) estudió teolo­

gía en Leiden y completó

su formación estudiando

por su cuenta matemáticas,

náutica y hebreo. Se gra­

duó en medicina en Caen

aunque nunca eje rció.

Trabajó con su padre en la

instalación de tuberías, lo

que le proporcionó conoci­

mientos hidrost áticos.

Cuando conoció a Descar­

tes se dedicaba a impartir

clases yo la administra­

ción educativa.

VIro.,<n

oo,ro

:;:(lJ

e.,n

oo,ro

z(lJ

V1V1(lJ

e

3l

ooco.....(])

E

L.....(])

Eo(])

\.:J

l/l(])....L.rouVI(])

o

mayor que Descartes y parece que la relación entre ellos discurrió

como la de un tutor hacia su discípulo.

Son varias las cuestiones que abordaron en sus primeros con­

tactos. Algunas tienen un cont enido puramente geométrico y otr as

físico, aunque algunas de las geométricas tienen su origen y sus apli­

caciones en problemas físicos. Entre los probl emas geométri cos que

trataron está el tema de la construcción de compases proporciona­

les, como el mesolabio.

También se plantearon la pregunta de si una cadena forma una

curva describible por una sección cónica. Galileo pensó equivoca­

damente que una cadena sustentada por sus bordes describía un

arco de parábola. Las cónicas, que habían sido objeto de profundo

estudio por la geometría griega, alcanzaron aplicac ión práct ica en la

segunda mitad del siglo XVI y primera del XVII, gracias a Kepl~r y

Galileo respectivamente, como inst rumentos para desc ribir los moví­

mientos planetar ios elípticos y las trayectorias parabólicas de los

proyectiles. Galileo intentó extrapolarlo a la cadena. Descart es y

Beeckman estudiaron también esta cuestión, que se ría resuelta satis­

factoriamente por Christ iaan Huygens al demos tra r que la curva que

desc ribe la cadena susp endida, llamada catenaria, no era algebraica.

Su ecuació n se ría definitivamente estableci da por Johann Bernoulli.

Entre las cuestio nes físicas que discuti eron estaban la cinemáti­

ca del movimiento en caída libre, los principios de hidrostática y la

teor ía de los intervalos musicales y las consonancias perfectas.

Subyace en el análisis a que sometieron estos probl emas una visión

metafísica de la realidad que podríamos designar por corpuscularis-

lJ\I'D-,<n

o

oa.I'D

a.I'D

:z[lJ

lJ\lJ\[lJ

e

Culturalmente, la Universidad de Leyden fundada en 1575

{Jara conmemorar la resistencia de la ciudad al asedio español,

adquiere un prestigio similar a Oxford o París.

Holanda en el siglo XVII

A principios del siglo XVII el desarrollo económico y cultu­

ral de Holanda era notable. Los instrum entos creados por la bur­

guesía flam enca, como la Compa ñia Holandesa de las Indias

Orien tales y el Banco de Ámsterdam multiplicaron las relacio­

nes comerciales.

¡'16t

T

:'1tt x

···..··..··..1···+ ···+ ··..'....·1··..+..·+·.....···+··+··+···+·..+....+...+.. ·· 1..··+··......·-3 -2 -1 1 1 2 3 4

y : x2 + 1

32

Representación -gráfica de la parábola y lacatenaria y sus respectivas ecuaciones .

33

.g mo, que era no sólo apoyada por Beeckman, sino por muchos de loso

.¡..J eminentes filósofos-físicos del siglo XVII .•(1)

E

1.....¡..J

(1)

Eo(1)

L:)

VI(1)

.¡..J

1....rouVI(1)

el

Al explicar los fenómenos macroscópicos trataban de hacerlo

en los mismos términos que los microscópicos, ya que serían esen­

cialmente similares. Se vieron entonces en la necesidad de superar

las concepciones del atomismo griego planteando una realidad

microscópica de conglomerados de átomos y huecos , los corpúscu­

los, que se mueven y chocan y que permiten análisis cualitativos y

cuantitativos más ajustados de fenómenos físicos como la propaga­

ción del sonido y de la luz o como la cinemática de los gases. 3 Elde

Compend ioZa mús ica

34

Uno de los temas abordados en las conversaciones entre

Beeckman y Descartes fue el análisis de los intervalos musicales.

Beeckman tenía interés en profundizar en los aspectos científicos de

la acústica y la armonía, poniendo al servicio de la explicación de lo

observado su filosofía corpuscular.

Descartes tenía pocos conocimientos en este campo. En el cole­

gio de La Fleche no había enseñanza coral, aunque las misas princi­

pales eran cantadas. Él mismo reconocía que tenía mal oído , pero,

no obstante, manifestó interés por el tema de la consonancia, en

particular se preguntó sobre en qué circunstancias dos sonidos pro­

ducidos simultáneamente, por ejemplo en un instrumento de cuer­

da, son percibidos por el oído como una consonancia perfecta , una

consonancia imperfecta o una disonancia.

Conocía las aportaciones teóricas de la escuela pitagórica a este

tema y un tratado de Zarlino, un humanista italiano de la segunda

mitad del siglo XVI , que había publicado un texto , Instituciones

m~

r]O

-§/'l):JQ......O

Q./'l)

.....r"'l!lJ

35

o"Oo

.¡...J

'(1)

E

ro

1....¡...J

(1)

Eo(1)

~

VI(1)

.¡..l

1...

rouVI(1)

o

armónicas , que suponía un paso adelante en el esquema de produc­

ción de consonancias que tenían los pitagóricos. Con todos estos

elementos, Descartes elaboró una pequeña obra , el Compendio de la

música, que dedicó a Beeckman como regalo de año nuevo en 1619.

Lo novedoso del tratado de Descartes es la descripción de los

intervalos de consonanci,a como proporciones geométricas entre

segmentos. Los pitagó ricos habían descrito las consonanc ias como

una consecuencia lógica de las relaciones entre los cuatro primeros

números naturales, por lo que las razones o pro porciones 1:2, 2:3 y

3:4 entre las longitudes de cuerdas describían los intervalos de con­

sonancia: octava, quinta y cuarta. Además, en un salto especulativo

arriesgado, como las dis tancias entre los planetas estaban en las

mismas proporciones , pensaron que cada planeta emitía una nota y

todas ellas componían una música celestial , constante y sin varia­

ciones, y que, por tanto, no percibíamos.

porquc, evidentemente, daiunia los oídos, ígualque elexcesivo rcsplalldor delsol da iiaria losojos al colltemplarlo defrellte': Los sentidos perciben con

más facil idad aquel objeto en el que la diferencia entre sus partes es

menor; es deci r, en el que existe una mayor proporción entre esas

partes.

J I

A B

eI I

A B

e DI I

A B

e M NI

A B

e E DJ I

A B

Zarlino amplía las posibles consonancias. Para ello juega con el

número 6, senario, como número de referencia porque es el número

perfecto al ser igual a la suma de todos sus divisores: 6=1+2+3. Con

esta ampliación considera nuevos intervalos de consonancia, 4:5 ter­

cera mayor, 5:6 tercera menor, 3:5 sexta mayor etc. No obstante no

hay, ni en la obra de Zarlino ni en la de Descartes, ninguna justi fica­

ción científica del porqué de estas consonan cias, basadas en la

superposición del movimiento vibratorio de las ondas sonoras .

Para Descartes dos son las principales caracterís ticas del soni­

do: la duración y el tono. Establece una serie de consideraciones

previas sobre el efecto de cualquier sensación, que son también

aplicables a la percepción del sonido. Para él todos los sentidos son

capaces de percibir algún placer, pero para ello "se necesita tilia ciertapropordólI del objeto (011 ellllíSIllO selltído. De ahíquc, por ejemplo, el estre-

3.6 píto de losmosquetesy de los t/"l/CIIOS 110 parczca apropíado para la mLÍsí(a,

Descar tes estab leció los intervalos de conso nanc ia

como consecuencia de las proporciones que se establecen

entre segmentos que representan las longit udes de las cuer­

das. De este modo (y utilizando datos complementarios para

una mejor comprensión de lo que expondremos), si al pulsar

la cuerda AB se emite, por ejemplo, un do de 261 vibracio­

nes/segundo, (que cor responde al sonido que emit e el do ini­

cial de la quinta octava del piano), la cuerda AC, siendo C el

punto medio de AB, emite un sonido de 522 vibraciones

/segundo, es decir su frecuencia es exactament e el doble

(correspondería al do inicial de la sexta octava del piano) .

Tenemos por tanto una primera consonancia perfecta, el

intervalo de octava, definido por la proporción

AC : AB = 1 : 2

m......

.....oQ./1)

37

do re mi fa sol la si do

AB AX" AXIO AX9 AXg AX7 AX6 AXs AX4 AX3 AX2 AXI- =--=--=--=- =- - =- - =--=- =- =-=­AX'I AXIO AX9 AXg AX7 AX6 AXs AX4 AX3 AX2 AXI AC

-.O

o.fb

m......

39

Descartes establece una nueva consonancia entre el sonido emi­

tido por las cuerdas AC y AD (D es el punto medio de CB). Si AC=1 y

AH = 2, entonces AD = ~ y, por tanto, la razón AC: AD = 2 : 3, que

co rres ponde al intervalo de consonancia de quinta. ¿Por qué recib e

es te nombre? En la escala de teclas blancas do-re-mi-fa-sol-la-si-do, si

AD es una cuerda que emite un do, AC emitiría un sol (quinta nota

contando a partir de do). Según el cuadro ant erior de frecuencias

s i do supone 261 vibr /s eg, sol supone 391 víbr/s eg (se cumple que

~~ ~ es igual a ~) . Las frecuencias de los dos sonidos son invers a­

mente proporcionales a las longitudes de las resp ectivas cuerdas.

La distancia en el teclado entre el do y el sol es de siet e semitonos :

Por tanto si tomamos AC = 1 YAX, = r es fácil comprobar que

AX2 = r', AX3 = r', 0 0 0 ' AX Il = r " y AH = r l2 = 2, de donde calculamos

r = 'V2 == 1,0595 y a partir de ahí la longitud de todas las cuerda's'AX¡o

por tanto una consonancia de quinta equivale a un intervalo de s iete

se mitonos.

La variación de ton o que hay entre el sonido emitido por la

cuerda de longitud AX¡ y la de longitud AX¡. I es de un semitono. Por

tanto, entre el do inicial y final de una octava hay doce semit onos.

do-do ', do -re, re-re ', re -mi, mi-fa, fa-fa', fa -so!

Análogament e, otra conso nancia perfecta se obtendría dividien­

do CB en tres partes iguales , mediante los puntos M y N. Las cuer­

das de longitud AC y AM vibrarían en cons onancia perfecta, siendo

AC : AM = 1 : j = 3 : 4, es decir una consonancia de cuona. Si la

cuerda AM emite al vibrar un do, la cuerda AC emitiría un fa (cuarta

not a, contando a partir de do) , las frecuencias de vibración, 261 y

348 víbr /seg resp ectivamente, son inversament e proporcionales a

las longitud es de las cuerdas, La co nso nancia de cuarta equivale a

un interval o de cinco semitonos .

fa ' sol' la 'do ' re

En el teclado de un piano observamos que entre la tecla blanca

del do' que es el do inicial de la quinta octava, y la tecla blanca del

d06, hay once teclas , seis blancas y cinco negras, correspondiendo

cada una al nombre y frecuencia indicados en la tabla:

Si la longitud de la cuerda AH corresponde a la emis ión del do

de 261 víbr/s eg y la AC (mitad de la longitud de AH) a 522 víbr /seg ,

para es tablece r los puntos XI X2 X3 X4 Xs X6 X7 Xg Xg XIO XII ,, , , , , J , , , ,

de modo que la longitud de las cuerdas AXi corresponda a cada una

de las vibraciones ant eriores , desde 493 hasta 276 víbr/ seg, no hay

más que intercalar once medios proporcionales entre AB y AC, lo

cual según Descartes podría hacerse sin ninguna dificultad con su

mesolabio. Es decir debe verificarse entre las longitudes de las cuer­

das la siguiente cade na de proporciones :

do do ' re re ' mi fa fa' sol sol' la la ' si do

261 276 293 310 329 348 369 391 414 439 465 493 522

ro

o"Oo

.¡..J

' Q)

E

1­.¡..J

Q)

EoQ)

~

VIQ)

.¡..J

1­rouVIQ)

el

38

o"Oo+-J•C1JE

L+-JC1JEoC1J~

VIC1J+-JL

rouVIC1JCl

Al dividir el segmento CD (D es el punto medio del segmen­

to CB) en dos partes iguales, por medio del punto E, la vibración

conjunta de AC y AE, que están en la proporción

AC : AE =1 : 1 + ~ =1 : ~ =~ , produce una consonancia imperfecta

llamada tercera mayor. Si AE emite un do, AC emite un mi, ya que

~~~ = ~, siendo esta consonancia equivalente a un intervalo de

cuatro semitonos.

La teoría ondulatoria permite justificar el porqué de estas con­

sonancias. La figura representa la forma tipo de la onda asociada a

una nota cualquiera.

onda sin uso idal típ ica

La gráfica siguiente ejemplifica una consonancia imperfecta, en

este caso una tercera mayor.

tercera mayor

Esta última figura es un ejemplo de disonancia, un intervalo de

séptima, como es, por ejemplo, la vibración simultánea del do y si de

una octava.

40

La suma de dos movimientos ondulatorios de distinto tono

puede dar lugar a sonidos cuyas gráficas asociadas, según el tipo de

intervalo que definan , dan idea del tipo de consonancia producido.

La figura corresponde al perfil de una consonancia perfecta, el inter­

valo de octava.

inte rva lo de oc tava

disonan cia de séptima

Un tratado de la misma época que el Compendio de Descartes,

pero más ambicioso, es la obra Armonía universal de Marin

Mersenne, publicada en 1636. Mersenne hace en ella una compila­

ción de los conocimientos de musicología, formulando tres leyes

que justifican en sí mismas, toda la arquitectura y técnica de la cons­

trucción de un piano:

- "Cuando una cuerda y su tensión permanecen inalteradas

pero se varía su longitud, la frecuencia de la vibración es

inversamente proporcional a la longitud de la cuerda" (esta

m......

r¡O

-5rtl::Je,.....O

e,rtl

41

En su correspon dencia con Beeckman , que es una fuent e inago­

table de información so bre la evo lució n de su pensamiento,

Descartes relata, hacia marzo de 1619. el intenso trabajo que ha lle­

vado a cabo so bre pro blemas geomét ricos:

o"'Oo+.J·vE

L+.JVEoVL?

VIV+.JLl1lUVIVo

ley, conocida desde los pitagóricos, es la que hemos utiliza­

do para construir los intervalos de co nsonancia) .

- "Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas

pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es pro­

porcional a la raíz cuadrada de la tensión" (apretando la cla­

vija aumenta la frecu encia) .

- "Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión

la frecuencia de vibración es inversamente proporcional a la

raíz cuadrada del peso de la cuerda" (cuerda más pesada,

más grave y de menor frec uencia es la nota).

Gracias a la seg unda ley se puede n conseguir en un piano soni­

dos muy agudos sin que la longitud de la cuerda sea demas iado

corta. Gracias a la tercera ley se pueden conseguir sonidos graves

aumentando el peso de la cue rda ; son los llamados bordones.

4 Descartesy los compasesEs boz ando su Geometria

42

': ..en los seis días qlle he permallecido aoui he cuitivado lasMllsas más asiduamente qlle nunca. He encontrado CIIatro extraer­dinarias y contpietamente IIl1evas demostraciones IItí/izalldo miscompases. La primera concierne al famoso problema de dil'ídir 1111

állglllo en tantas partes igllales como se desee. Las otras tres se refíe­ten a tres clases de ecuaciones clÍbicas... Deseo demostrar que, ...,ciertos problemas pueden ser resueltos sólo COII lineas rectasy circu­los, otros pueden ser resucites sólo COII otras curvas, diferemes a loscírculos, pero qlle plledell ser gelleradas por 1111 únicomovimiento yqlle plledell ser diblgadas lisa 11do 1111 ll uevo compás qlle 110 creo seamenos preciso, ..., qlle el compás IIsllal para drcuios. Fillalmemeotros problemas sólo plledell ser resueitos COII CIIrvas ellgelldradas pormovimientos 110 sllbordillados alIillgtíll otro, ...r como la cuadratrit",

oroVInQJ.,r-TroVI

~

oVI

no3

"'OQJ

VIroVI

43

......oVl

oroVI(')

tll.,,...,.roVI

(')

o3

"OtllVlroVl

47

¿Por qué esta

limitación a la regla y

el compás? Platón,

cuyo magisterio filo­

sófico influye en todo

el pensamiento y la

creatividad de la

Grecia clásica, consi­

deraba a la línea recta

y la circunferencia

como las únicas figu­

ras geométricas per­

fectas. Recurriendo a

estas líneas, para

cuyo trazado se utili­

za regla y compás ,

podían resolverse

múltiples problemas

geométricos. Platón,

por una premisa esté­

tica , trata de imponer

que las líneas utiliza­

bles para la resolu­

ción de los tres pro­

blemas délicos sean

exclusivamente rec­

tas y circunferencias.

Los tres problemas

planteados son, con

esta rest ricción, irre­

solubles.

, , ,

e

Dado el rectángulo ABCD,

trazamos el segmento Be' =BC

en prolongación de AB.

Dividimos AC' en dos par­

tes igualesy tenemos el punto M.

Trazamos la semicircunferencia

de centro M y radio MA, que cor­

tará a BC en el punto L. BL será

el lado del cuadrado buscado.

Ello es así porqueBL =AB por semejanza deBe' BL 'los triángulos ALB y LBC'.

Construir uncuadrado deárea igual a unrectángulo dado

Este problema es equiva­

lente a calcular la media geo­

métrica de dos números dados.

También se puede generalizar

sustituyendo rectángulo por

poligono cua lquiera.

/ ' L' ", ,, ,, -,, ,, ,,,,,,M "

!-------::-B ...- - - - - - - - - c'

o

A

L

D"D'DA

p

Dividir un segmentoen n partes iguales

Para dividir el segmento AB en 4 partes iguales se traza

desde A una semirrecta arbitraria r. Con ayuda de un com­

pás con abertura PQ se marcan los puntos U. V. wy X.

Uniendo X con B y trazando paralelas a XB se tienen los pun­

tos de división D, D' Y D".

Los tres probl emas délicos son :

Problema de la duplicación del cubo

Problema de la trisección del ángulo

Problema de la cuadra tura del círculo

Dividir con la única ayuda de una regla y un compás un ángu­

lo dado en tres partes iguales.

Construir con la única ayuda de una regla y un compás un

cubo de volumen doble que el de un cubo dado.

Cons truir con la única ayuda de una regla y un compás un cua­

drado de área igual a la de un círculo dad o.

ro

VI<11

.¡..J

LrouVI<11Cl

L.¡..J

<11Eo<11

L:l

o"Oo

.¡..J

' <11E

46

o"Oo......' (1)

E

ro

L........(1)

Eo(1)

l.:>

VI(1)

......L..rouVI(1)

o

Diferentes geómetras griegos se plantean superar dialéctica­

mente esta barrera. ¿Son realmente irresolubles, o el problema radi­

ca en la restricción instrumental que se ha impuesto? Aciertan ple­

namente los que sospechaban que ahí estaba la pega. Prescindiendo

de esa limitación se pueden desarrollar métodos que conducen a la

resolución de los mismos . La base teórica de estos nuevos métodos

dará un impulso notable al estudio de nuevas ramas de la geometría

como las cónicas o las curvas mecánicas.

Las construcciones con regla y compás anteriores, aunque son

conocidas desde la geometría griega, están también incluidas en la

Geometría de Descartes.

Eratostenes

Fue un geómetra griego del siglo llJ a.e. Además de al

mesolabio, su nombre está asociado a la criba de números pri­

mos y a la determinación del radio de la Tierra observando la

sombra producida en Alejandría, al medio día del solsticio de

verano, mientras que en Siena, en el mismo meridiano pero en

el trópico de Cáncer, el sol se reflejaba en el fondo de los

pozos.

s

.....o1Il

oro1Il,...,Q.l.,r-t­ro1Il

,...,o3

"OQ.l1Ilro1Il

GE

1\I \I \

1 "\ 1 \\ I \

\ \

A eo L..---_...L...---:JL-_J.-_-----l'--__

OA OB OC OD OE-- =--= - -=-- =--OB OC OD OE OF

La idea geométrica es bastante sencilla. Sean r y s dos semi­

rrectas de vértice O. OA es un segmento construido sobre r.

Si trazamos la perpendicular por A a la semirrecta r, tenemos el

punto B en s. La perpendicular por B a la semirrecta s corta en Ca

r, y así sucesivamente se determinan los puntos D, E, F... alternati­

vamente en cada semirrecta, como se ve en la figura. Los triángulos

OAB, OBe, OCD, ODE, OEF. .. son todos ellos rectángulos y semejan­

tes entre sí, pudiendo establecerse que

Duplicación del cubo

Los tres problemas délicos son irresolubles con la regla y el

compás clásicos, pero se pueden resolver con otros instrumentos,

sobre los que Descartes afirmó que pueden desarrollarse técnica­

mente hasta alcanzar la precisión deseada. Para resolver el proble­

ma de la duplicación del cubo , y en general para la resolución de

todo problema geométrico que implique construir n segmentos

medios proporcionales entre dos segmentos dados, puede emplear­

se el compás mesolabio, que Descartes describe en sus Cogitationes

privatae (Re flexiones privadas) , que agrupan notas , comentarios y

pequeños trabajos suyos hacia 1619. Posteriormente vuelve a des­

cribirlo en su Geometría. El mesolabio , cuya construcción se atribu­

ye a Eratóstenes , era conocido por la comunidad matemática de

finales del siglo XVI.

Incluso Zarlino lo menciona indirectamente al plantearse la

construcción de los intervalos musicales de consonancia.

48 49

o"Co.¡.J

-Q)

E

que puede interpretarse como la construcción de cuatro segm entos:

OB, OC, ODY OE que son medios proporcionales entre los segmen­

tos dados OA y OF.

Pltágoras , CD = YYD 2_ YC2

, es decir, CD =~, por tanto las

coordenadas de D son (1 - 1, ~) .

El mesolabio que diseñó Descartes es un compás XYZ que

puede abrirse y en el que BC, DEy FG son reglas perpendi culares al

seg mento YX; y CD, EFy GH son perpendi cula res al segment o YZ.

Cuando el compás está cerrado, los extremos B, D, F y H coincide n

en A. Cuando abrimos el compás, la regla BC obliga a deslizar a CD,

DE obliga a deslizar EF, etc. Al abrirlo, AB describe un arco de cir­

cunferencia, mientras que AD, AFYAHson arc os de curva más com­

plejos que la circunferencia pero describibles en términ os algebrai­

co-geométricos.

oroVlnIII...,r-t­roVl

x· · · 04 ··· · t · ·· · ~ · · ·-l ·· · ·04 · · · · t · ··· ~··· -l · ···04·· · ·t· · ·· ""·· .. -l· ·····

1 2 3 4 5 6

La curva que des cribe el punto D está por tanto descrita en

forma paramétrica x = 1- 1, Y = ~, que algebraicamente puede

escribirse, eliminando el parámetro y elevando al cuadrado, en la

forma:

que desarrollado y simplificado lleva a la ecuación de la curva alge­

braica

zN

..'.....•.."

"......'! ,/

_-f--__ .l.l

L.¡.J

Q)

EoQ)

l.?

VlQ).¡.J

LrouVlQ)

o

50

Por ejemplo si queremos conoce r el lugar geo métrico del punto

D, podríamos suponer situado el origen de coordenadas en A y el eje

x en yz. El punto D tendrá unas coordenadas (AC, CD). Si tomamos

YB =YA =1 e YC=1 tendremos, por semejanza de triángulos, que

YD = 12, YE = 13

, YF:= 1\ ..., por tanto, aplicando el teorema de

Resolver la duplicación del cubo es elemental con el mesolabio.

Si tenemos un cubo de lado 1, y por tanto volumen 1 unidad cúbica,

duplicarlo es construir un cubo de volumen 2 unidades cúbicas . Por

tanto su lado será if2 y el problema será dibujar un segmento de tal

longitud. Utilizando el mesolabio, lo abriremos gradualmente hasta

que la distancia YE sea 2, como sabemos que YE= 13 e YC= 1, si

YE= 2 entonces la distancia YC será if2 .

.......oVl

no3

"CIIIVlroVl

51

o'Oo+-'. Q)

E

"­+-'Q)

EoQ)

\,;)

VlQ)

+-'"­rouVlQ)

Cl

52

Cuad ratura del círculo

El segundo problema délico, la cuadratura del círculo , ha sido el

más trabajado por aficionados a la matemática, que a lo largo de la

historia han ido aportando soluciones al mismo . De ellas, aquéllas

que sólo utilizan regla y compás y pretenden resolver exactamente el

El número n

Lindemann demostró que el número n era trascendente.

Los números reales se clasifican en primer lusar; como ya era

conocido por los griegos, en racionales e irracionales según

puedan o no expresarse en forma de fracción

Dentro de los irracionales puede establecerse a su vez

una distinción más fina, entre los irracionales algebraicos y

los trascendentes . Los primeros pueden ser solucién de una

ecuación algebraica.

Así, por ejemplo 12 es solución de x 2 -2 =O.

Otro ejemplo sería :.rz que es solución ée x 3- 2 =O.

El primero de esos números 12 se pue ée construir con

regla y compás. El segundo:.rz exige usar el nesolabio o una

curva auxiliar.

Es claro que todos los racionales son algebraicos, ~ es

por ejemplo solución de la ecuación Sx - 3 =O.

Los números trascendentes no son la soludón de ninguna

ecuación algebraica y, por tanto, no pueden ccnstruirse ni con

compás ni con el mesolabio. Lindemann prot» en 1882 que rr

pertenecía a este grupo y zanjó, así, el problema de su cons­

trucción.

problema son fraudulentas. De hecho algunas Academias de Ciencias

tomaron en el siglo XVIII la decisión de no ocuparse de las memorias

e informes que les remitían con la supuesta solución del problema.

Otras soluc iones asumen la imposibilidad de resolver exacta­

mente con regla y compás el problema, pero utilizan dic hos instru­

mentos para dar una solución lo más aproximada posible. Ahí sí hay

trabajo científico.

Si tomamos una circunferencia cuyo diámetro sea la unidad

de medida, el área del círculo correspondiente será ~ y,

en consecuencia, cuadrar el círculo sería const ru ir un cuadrado de

lado ff. Esta construcción es elemental si tenemos dos

segmentos AB =+,Be =rr y cons truimos su media geométrica por

el método que antes hemos expuesto .

La cuadratura del círculo puede también conseguirse con

ayuda, como indica Descartes, de curvas mecánicas imaginarias,

engendradas por movimientos no subordinados a ningún otro,

como la cuadratriz . Esta curva, llamada también trisectriz de Hipias ,

era conocida ya en la geometría griega. El problema de cuadra r el

círculo hemos vis to antes que se reduce a poder dibujar un seg­

mento de longitud n.

Vamos a estudiar la cuadratriz utilizando lenguaje de funciones,

que nos permitirá ver más fácilmente sus propiedades. La cuadra­

triz se genera de la siguiente forma:

Supongamos un cuadrado ABCD, cuyo lado, por simplificar, mide la uni­

dad. Supongamos que el lado AB inicia un desplazamiento hacia DC, con

velocidad uniforme, mientras que el lado DA inicia un giro de centro D, con

velocidad uniforme en el sentido de las agujas del reloj . Es decir, AB se des-

oroVlnQ).,rtroVl

.--'

oVl

no3

'OQ)

VlroVl

53

obtenemos

o"'Oo

.¡...J

-(lJ

E

L...¡...J

(lJ

Eo(lJ

\C)

V'l(lJ....L..roUV'l(lJ

Cl

54

plaza en busca de OC. mientras DA gira en busca de Oc. Además los dos

movimientos están sincronizados, de modo que el tiempo que ta rda AB en

alcanza r a OC, por traslación , es el mismo que empleará DA en alcanza r,

girando. a Oc. El punto de cor te de los dos segme ntos que se mueven va

cambiando de posición y lo designaremos por M. ¿Qué línea describ e M a lo

largo de l proceso?

Esa línea es una curva, la cu adra t riz. Supo ndremos qu e ha

tr anscurrido un tiempo / desde qu e se inició el proceso, qu e se cul­

minar á cuando t =1 (convenio para facilitar cálculos).

Tomando D como origen de coordenadas, el punto M(x,y) que­

dará definido si conseguimos expresar x e y en función de l paráme­

tro r s lü.I] .

~==r------- -,B

//

//

//

//

/

/

/

//

// ex/

o e

Pos ición intermedia del punto M que genera la cuadratiz .

Método de Spechtde 1836 para construir aproximadamente n

con regla)' compás

Q ,,,,\

\

\\,

\

\ oa =o~~ = 3.14159... unidades

\

\\

\,\,

\

\

p

~ OP=AB ~,10

unidad

A partir de un segmento arbitrario OM, que tomamos

como de medida 1. construimos OA = 150 ' Y 08 = :¿ ,por el teorema

de Pitágoras tenemos que AB = ~6 .

Dibujamos también OC= : ~ y OP =AB. Unimos Ccon A y traza­

mos por P una paralela a CA hasta que corte en Q.

Calculamos la medida de OQ. Por semejanza tenemos que

-§§-=g~ ,es decir OQ=Oc. g~ , con lo que sustituyendoy operando

13Ví46OQ = ---so = 3,141591953...,

que es una aproximación muy buena de p, pues las cinco primeras

cifras decimales coinciden y el error es menor que una millonésima.

o(1)

V'lnni.,,...,.(1)V'l

'<

......OV'l

nO3

"'OniV'l(1)1Il

55

o'Oo....... (1)

E

1­......(1)

Eo(1)

\.:J

VI(1)

......1­rouVI(1)

el

Expresar y es sencillo: AB ha descendido 1 en 1 segundos, luego

y = 1 - l .

Para expresar x nos apoyamos en el ángulo a.

~~ -a) es el ángulo que ha girado DA en el tiempo l .

Como en un ti empo 1 = 1, girará ~ (es decir 90U) , una simple

pro porc ión nos permite establecer que a= ~ (1 - 1) .

En consecuencia, como x = IIa' las coordenadas x e y del

punto M son:

Obtengamos ahora la abscisa del punto L, que es el punto de la

cuadratriz correspondiente a 1 = 1, pero su abscisa no puede obte­

nerse sustituyendo 1 = 1 en la ecuación paramétrica de x ya que'con­

duce a una indeterminación del tipo ~ . Puede obtenerse esa absci­

sa de distintas formas, una de ellas es utilizando como var iable el

ángulo a y haciéndolo tender a O.

Dado que a = ~ (1 -1) , podemos escribir x = lI'~:a y tratamos

de calcular el límite de x cuando el ángulo a ti ende a O.

Teniendo en cuenta los lími tes tr igonométr icos bien conocidos

Iim sean a = Iim Igaa = 1, entonces el límite buscado esa-+O u-+O

x 1-1 , y =1 - 1Ig~(l- t)

Iim~ =-.2...a...o lI'tga 11'

56

.¡.A¡i 0,8

ttO'6Ti 0,4

T10,2

¡ L e x~ "''' ''' 'I··'' '' '' ·I..·..· ·· ·~· ·..·+ ··I··''''''·I·'' l..· ·f · l .

D 0.2 0,4 0,6 0,8 1

La distancia DL es --f.... A par tir de ella, y utilizando una cons-11'

trucción basada en el teorema de Tales, teniendo en cuenta que

tenemos tres segmentos de longitudes conocidas: ; , 1 Y 2; el seg­

mento cuarto proporcional será el segmento de longitud n buscado.

La trisección del ángulo

El tercero de los problemas délicos irresoluble con regla y com­

pás admite también solución con ayuda de curvas mecánicas. La

cuadratr iz que antes hemos visto también es llamada trisectriz por­

que permite dar solución elemental a este problema.

Si suponemos que queremos dividir un ángulo dado tP en tres

partes iguales, bastará prol ongarl o hasta la cuadratriz di bujada en

el cuadrado ABCD. Una vez obtenido el punto M, obtenemos P tra­

zando desde él una paralela a De. Luego procedemos a dividir el

segmento AP en tres partes iguales.

oroVIn[lJ.,rtroVI

......oVI

no3'O[lJ

VIroVI

57

A..-::------------r-----------. B

oroVInIII

""'rTroVI

­oVI

no:3

"CIIIVIroVI

M (t,O)0(0,0)

R

L (x,O)

p (x,y)

La concoide es la línea imaginaria que describiría el extremo P

del segmento cuando M se desplaza a lo largo del eje de abscisas,

con la condición que el segmento PM pase siempre por C.

e

l .

M·-.

.

,...,,,,,,,,,.

-,

p

D

Q

Consideramos el tercio superior AQ, si trazamos una paralela a

DC por Q, tenemos sobre la cuadratiz un nuevo punto L. El ángulo

ADL mide precisamente ~, ya que el tiempo empleado para mover­

se desde A hasta Q es la tercera parte del que se emplearía de A

hasta P, o lo que es lo mismo: el tiempo para ir desde A hasta L des­

plazándose por la cuadratriz es la tercera parte del necesario para

ir desde A hasta M.

Otra solución al problema se obtiene con una curva mecánica

llamada Concoide de Nicomedes . Veamos cómo se genera sobre

unos ejes de coordenadas. Supondremos fijado un punto CeO,r)

sobre el eje de ordenadas y dado un segmento PM de longitud R,

siendo R > r.

o"Co.....

•QJ

E

ro

L.....QJ

EoQJ

l.:l

VIQJ.....LrouVIQJ

Cl

58 59

o"Co....,

-Q)

E

Por ejemplo, si las coordenadas de Cson (0,2) y R =6, en el grá­

fico se han dibujado las posiciones de P correspondientes a MI (I ,O)

YM2(4,0).

. luí ti ci ón sen "' =32 , losEn el ejemplo que me uirnos a con mua 1 , '1'

valo res de la concoide serán r = 2 Y R = 3.

L....,Q)

EoQ)

L::l

VIQ)

.¡..J

LrouVIQ)

o

La ecuación de la concoide puede obtenerse sin mayor dificultad.

Sean los puntos M(t,O) y P(x,y) , aplicando el teorema de Pítágoras al

triángulo PML tenemos R2= (t - xl + y 2. Por otro lado de la seme­

janza de los triángulos PML y CMO deducimos que

L = t -x lo que permi te despejar t =~, que incorporada a lar t ' r- y

expresión de R2nos permite obtener la ecuación implícita de la con-l rx )2 "coide : R2

= \r_y - X + y- .

Sobre una semicircunferencia de radio 3 dibujamos un punto C

que dista 2 del diámetro, tenemos construido, por tanto, el án­

gula ¡p. Sobre Cllevamos la concoide de la forma expuesta en el dibu­

jo . La concoide corta además a la circunferencia en un punto L que

determina un ángulo cuya medida es precisamente 13 =4- .La

medida de 13 puede calcularse como la de un ángulo exterior a una

ci rcunferencia cuyo valor sería la semidi ferencia de los arcos que

intercepta en ella, que en este caso son ¡P y 13.

- .1..::.JL n - -.!LPor tanto, de 13 - 2 se deduce que p - 3

.--'ol/l

orol/lnQJ...,.-+rol/l

no3

"t:lQJl/lrol/l

61

--- xot- -i' Pt - - Ir -j:' -..,~ ot- - i ---_.

6 7 SR 9

2.: " - ........ ....T ,, ,

, L,~ ep ~ , - If-i-

--- i - t • - ~ - - t - +Jot- - , .. -1- -í --ti· + -t • ~-1 2P 3 4 5

y:,+8,T·~ 7·,T+6 (x - 2~xy )~ y2=9

-:- (x - 2,24)2 + y2 = 9+5·...·+4·t: 3 pe =PL =RL =3·+

+1: x

• • -e- ·+· .· · i·· •·· ,· ·.· ----. · "!·· . ·· i·· .·· t ..• . .. . .-6-4-2 2 46

Represent aci ón de la conco ide para r = 2 Y R = 6,

En el caso particular que nos ocupa, si r =2 y R=6, la ecuación

tomaría la forma

Si queremos div idir un ángulo r/> dado en tres partes iguales,

puede hacerse con ayuda de una concoide de Nicomedes, con vale-

60 res de r y R tales que sen r/> =R.

o"Co

.¡...J

' (1)

E

L.¡...J

(1)

Eo(1)

l.::>

VI(1)

.¡...J

LrouVI(1)

Cl

62

La concoide proporciona una solución mecánica precisa a la tri­

sección, pero es menos general que la cuadratriz ya que ésta per­

mite la división de un ángulo en un número cualquiera de partes

iguales con un simple retoque en el proceso, mientras que cuando

se emplea la concoide hay que construir una concoide específica

para cada ángulo que se quiere trisecar.

Descartes incluye en sus Cogitationes privatae un mecanismo o

compás muy sencillo para proceder a la trisección del ángulo.

Además es un modelo generalizable para la división de un ángulo en

cualquier número de partes iguales.

El compás comprende cuatro brazos ab, ac, ad y ae . Está de tal

modo construido que cuando está abierto, como en la figura, los

ángulos entre cada dos brazos consecutivos son iguales . Los puntos

f, i, k y / están situados a igual distancia del punto a. Sobre ellos se

articulan sendas varillas de igual longitud que se unen dos a dos en

los puntos g y h. El mecanismo está preparado para que esos dos

puntos de unión se deslicen a lo largo de los dos brazos centrales

del compás, cuando éste cambia su apertura. Para dividir un ángu­

lo dado en tres partes iguales no hay más que superponer el com­

pás, con la misma apertura, sobre el ángulo dado, haciendo cói~ci­

dir el vértice con el punto a y los lados con los brazos externos. Los

brazos internos señalan los ángulos de trisección.

También resuelve Descartes el problema de la trisección con

ayuda del mesolabio , aunque el procedimiento es más sofisticado.

Vimos que en el mesolabio si YA = YB =1 e YC=t, entonces YD =r,YE= t 3

, .. . Por tanto al ir abriendo el mesolabio la distancia entre Cy

E vendrá dada por i >: t.

Dado un ángulo $ podemos dibujar con ayuda de una circunfe­

rencia de radio 1su seno de valor s. Para hacer la trisección nos bas­

tará construir el seno del ángulo t ,que llamaremos x.

Entre s y x hay la siguiente relación s = 3x-4x3, ecuación que con

el cambio de incógnita x = '1t queda convertida en t - t3 = 3~

resoluble con el mesolabio, buscando la apertura adecuada del

compás para que CE tenga la medida conveniente. El segmento t y,

por lo tanto, x quedan determinados.

oroVInQ)..,r-t­roVI

.--'oVI

no3

"CQ)

VIroVI

63

o"Oo....... (IJ

E

ro

Lo.......(IJ

Eo(IJ

L')

Vl(IJ

......Lo.rouVl(IJ

o

Cálculo del seno del ángulo triple

Vamos a calcular sen3A a partir de senA, es decir el seno del

ángulo triple a partir del seno del ángulo inicial.

La trigonometría nos da las fórmulas correspondientes al seno

del ángulo suma y al seno y coseno del ángulo doble.

Por tanto sen3A = sen (A + 2A) = senA· cos2A + cosA · sen2A =

=senA (cos2A - sen2A) + cosA (2senA·cosA) = 3senA·cos2A - sen3A=

=3senA(1 - sen2A) - sen3A = 3senA - 4sen3A

en consecuencia, si hacemos ~ = 3A, t = A Y designamos sus

senos respectivos por s y x, la ecuación deducida toma la forma

s = 3x-4r.

5 La geometr ia

64

En el capítulo dedicado a la Geom etría veremos otro método,

que emplea Descartes para resolver la trisección del ángulo, basado

en la reso lución con ayuda del meso labio de la ecuación z3 = 3z - q.

La geometría es uno de los tres ensayos que acompañan al

Discurso del método, del que son un ejercicio de aplicación sist emá­

tica. Aunque La geo metría adquiere su redacción final cuando ya los

otros dos ensayos, Los meteoros y La dióptrica, están en imprenta,

los resultados allí incluidos corresponde n a trabajos y es tudios de

Descartes realizados con anterioridad, como se ha comprobado a

través de la mención que hace de ellos en su correspondencia.

La geo metría es tá dividida en tres libros. El primero de ellos

trata "Sobre los probl emas que pued en co nstru irse empleando sola­

mente círculos y líneas rectas ". El segundo "Sobre la naturaleza de

las curvas". El tercero "Sobre la construcci ón de probl emas sólidos

y supers ólídos". Algunos de los temas incluidos en ellos ya hab ían

sido abordados en publicaciones anteriores de Descartes, como las

Cogitationes .

(Jq/'l)

o:;¡/'l).......,

65

o'"Oo

.¡...J

' QJ

E

c-,

L...¡...J

QJ

EoQJl!)

l/lQJ

.¡...J

L..roul/lQJ

o

66

El libro primero comienza enunciando que

"Yodos losproblcmasdcla gcomctn'a pucdcl/ serrcducidosfácilmcl/ tc atérminos ta les quc l/O sca necesario, posteriormentepara cOl/struirlos, sil/Oconocer la10l/gituddcalgllllas iinea«. "

Tras este aserto comienza el desarrollo de su mayor aportación,

que es la combinación de recursos algebraicos y geométricos para

la resolución de problemas cuyo enunciado puede venir dado en

forma de problema geométrico o algebraico. Es decir lo genial es

intuir y aprovechar el mutuo refuerzo que puede operarse entre len­

guaje algebraico y geométrico para resolver un problema de la rea­

lidad, cuyo enunciado puede venir dado en uno u otro lenguaje.

Sirva como ejemplo de problema con enunciado aritmético­

algebraico el siguiente:

"Encontrar dos números cuya suma sea 17, de modo que la

suma de sus cuadrados sea 169".

Su resolución puede abordarse con técnicas algebraicas senci­

llas y para resolverlo basta plantear un sistema de dos ecuaciones.

Cada una de las cuales va a traducir al lenguaje algebraico, cada uno

de los dos hechos o datos incluidos en el enunciado. Los números

buscados son de momento desconocidos x e y. Sabemos que su

suma es 17, es decir, x + y = 17. Sabemos tambi én que la suma de

sus cuadrados es 169, es decir x2 + l = 169. Consideramos que

ambas ecuaciones forman un sistema. Como y pued e expresarse a

partir de x en la forma y = 17- x, la segunda ecuación queda

convertida en una ecuación con una sola incógnita x. La ecuación,

x2 + (17 - xl = 169 puede presentarse en forma más sencilla (de­

sarrollando el paréntesis , trasponiendo, simplificando...) como

x 2- 17x + 60 = O, que responde a la forma típica de la ecuación de

segundo grado resoluble mediante fórmula . Los valores de x solu-

ción de la ecuación, y por tanto del problema plantead o, son 5 y 12,

siendo los correspondientes de y, 12 Y5.

El problema anterior podría habers e enunciado tambi én geo­

métricament e:

"De entre los triángulos rectángulos cuyo hipotenusa mide

13, construye el de per ímetro 30".

Es claro que son equivalentes. Para construir ese triángulo basta

conocer sus catetos. Sabemos que sumarán 17ya que el perímetro es 30.

Por otro lado, según el teorema de Pitágoras, la suma de sus cuadrados

debe coincidir con el cuadrado de la hipotenusa, es decir 169.

El enunciado geométrico invita a una resolución al modo geomé­

trico que es sencilla de realizar. SiAB es un segmento de longitud 13 y

O es su punto medio, el conjunto de posibles triángulos rectángulos

de hipotenusa AB = 13 son los triángulos MAB, dond e M recorre una

¡Yat

r

r-llJ

(Jqrtlo::¡

.6+ rtl.......,

.ar ~.llJ

67

Trazamos por L, pun to medio de AB, un segmento perpen­

dicular LF = LB = 8,5. Trazamos M sobre el segmento HD de modo

que HF = HM = 8,5 - x. Tenemos dos cuadrados, LBEF y HMGF.

El primero de ellos es de área 72,25. Para calcu lar el área del segun­

do basta ver que los rectángulos KLHI y MDEG son de igual área, ya

que KL = HF = 8,5 - x , KI = MD = x. Por tanto el área del rectángulo

KBDI, que es 60, coinci de con la suma de las áreas de los rectángu­

los LBDH y MDEG, por lo que el área del cuadrado HMGF será

72,25 - 60 = 12,25 Y su lado medirá HF = V12,25 = 3,5. En conse­

cuencia x = LH = LF - HF = 8,5 - 3,5 = 5, como se quería comprobar.

Como vemos, hay antecedentes de la utilización paralela de

álgebra y geometría en la resolu ción de problemas. Descart es hace

uso de los que cono ce, resolviéndolos con voluntad de búsqueda de

soluciones generales, sist ematizando el método y mejorando las

notaciones. En el libro primero de su Geometría establ ece un para­

lelismo entre las operaciones básicas de la aritmética: suma, resta,

multiplicación, división y raíz cuadrada y las operaciones corr es­

pondientes de cons tr ucción de un segmento a partir de otros

dados, una vez establecido un segmento-patrón como longitud uni­

dad. Designando por a y b a los segmentos dados, los seg-

B

o

E

85

G

L

F

Kx

8,5-x

x

I H M8,5-x

A

e

circunferencia de centro O y radio 6,5. Por otro lado el conjun,o de

puntos P del plano, tales que la suma de sus dist ancias a A y B es 17,

es una elipse de focos los puntos A y B Y diámetro focal de medida 17.

Los puntos de corte de ambas líneas nos determinan los posibl es vér­

ti ces del ángulo recto del tr iángulo buscado. Por simetría se ve que los

cuatro triángulos tienen la misma medida de catetos, 5 y 12unid ades.

La est recha relación ent re ambos enunciados permite tambi én

resolver el probl ema enunciado algebraicamente con métodos geo­

métricos y su enunciado geométr ico con métodos algebraicos. Más

aún, es posible combinar métodos a mitad de la resolución. Por

ejemplo, una vez ll egados a la ecuaci ón, pod emos , para resolverla,

en lugar de aplicar la fórmula clásica de resolución de ecuaciones de

segundo grado, reinterpretar geométricamente ese problema como :

"Construir un cuadrado de modo que si , manteniendo su altura,

hacemos que la base aumente hasta 17, la diferencia de áreas entre

el rectángulo así formado y el cuadrado or iginal sea de 60 unidades

cuadradas" . Este probl ema podría resolverse sin mayor difi cultad

con ayuda del mesolabio. Una resolu ción diferente, de tipo geomé­

trico , está ya contenida en la obra de AI-Khwarizmi, lo que prueba

que ya en el sig lo IX, los matemáti cos árabes e ind ios manejaban la

interrelación entre álgebra y geometría para resolver problemas o

comprobar soluciones.

Siguiendo el razonamiento de AI-Khwar izmi, para demostrar

que una soluci ón de la ecuación anterior es x = S, procederíamos

suponiendo el problema resuelto. En el cuadrado AKIC, de lado x,

mant eniendo su altura, hemos ampliado su base hasta que mida 17.

El rectán gulo ABDC tien e un área igual a 17x. La medida x fue

elegida tal qu e el área de KBDI sea 60. Por tanto es obvio que

x2 + 60 = 17x.

ro

Vl<11.¡...J

.....rouVl<11Cl

o"Oo.....

-<11E

..........<11Eo<11

L:l

68 69

o"Oo.....-wE

>.

1­.....WEoW

l.:>

VlW.....1­rouVlwa

70

mentos constru idos son simbolizados algebraicamente de la forma

a + b, a - b, a -b, atb, etc , incorporando la notación exponencial,

escribiendo a2, donde antes se escri bía a -a y nombrando segmentos

de construcción geométr ica compleja a través de su correspondien­

te fórmula algebraica, "constru ir a par tir de los segmentos a y b, el

segmento Va2 + b2" _

Su méto do de resolución geométr ica de probl emas aparece

explíc itamen te enunciado:

"lniciaunentc debe supollerse efectuada la resoluci án, dalldonombre atodas laslílleas que se estimen necesariaspara su CO IlStrt/C­ci á», tanto alasque SOIl desconocidas como alasque 5011 conocidas.A continuaci án, sin establecerdístillcióll entre laslíll casconocidasydesconocidas, debemos descifrar el problema, síguíelldo el orden quemuestre de modo más Ilatural las relaciones entre estas lineas, hastaquese ídelltifíque 1111 mediodeexpresar ullamisma cantidad dedosformas:esto es loque se CIItíCllde por ulla ecuaci én, pues los terminesde una de estas expresiones SO /I íguales alos de la otra. Debenhallar­se tan tas ecuaciones como líll easdescollocídasse hall supuesto..."

Como ejemplo de esas ecuaciones incluye, llamando z a la línea o

cantidad desconocida y a, b, c... a las conocidas, z =b ó z2= -az + b2

Para poner mayor énfasis en el valor formativo y estético de la

geometría no duda en añadir:

liNo me detellgoen la explícacíóll detallada de esto, porque osprivaría del placer de aprellder por vosotros misinos y de la utílídadde cultivar vuestro espírit/l al cultivarse CII estas cuestiones, que es,segríll mí OpíllíÓll, e/príllcipal resultadoquese puedeobtenerdeestaciencia.."

Pr imer a página de una edic ión deLa geome t rí a de Desca rtes .

Descart es denomina problemas plan os a los que se resuelven

usando sólo líneas rectas y círculos trazados sobre una superficie

plana. La ecuación asociada a un problema de este tipo es una ecua­

ción de segundo grado .

Como ejemplo estudia la ecuación Z 2=az + b' . Resolver tal ecua­

ción sería la traducción algebraica de la construcción geométr ica de

71

o"Oo....,

' llJE

ro

.........,llJEOllJl;)

V1llJ....,.....rouV1llJCl

z

a

z

b

N

72

un cuadrado tal que si redujesemos su altura a una longitud a cono­

cida , el rectán gulo sobrante tuviera igual área que un cuadrado

dad o de lado b. La resolución algebraica de la ecuación de segund o

grado, Z 2 - az - b2 = O aplicando la fórmula tradicional, lleva a la

doble solución:

la solución construida con + es positiva e interpretable geométrica­

ment e, la so lución const ruida con - es negativa, ya que ~ es menor

que el resultado de la raíz cuadrada y carece de interpretación geo­

métrica. Descartes , a partir de es te hecho, idea un método se ncillo

para cons truir geométricamente un segmento de longitud

una vez deducido algebraica mente su valor. Para ello constr uye una

circu nferencia de centro C, cualquiera, y diámetro a. Por un punt o P

de la circunferencia traza un segmento PN per pendicular a CP de

longitud b. Prolonga NC hasta cortar a la circunferencia en M.

Elsegmento MN mide z . Es fácil verlo, ya que MN = MC+ CN, MCmide

~ y CN, hipotenusa del triángulo rectángulo CPN, mide V@j2+~.Por proc edimientos similares estudia las ecuaciones r + az - ~ = O,

Yla bicuadrada ~ + ax'- ~ = O.

Descartes está orgulloso de es tos resultados y no duda en

anotar:

"Esto no creo ql/e haya /legado a ser conocido por losantígl/os, ...,pl/es en caso contrario no se JllIbíerml tomado la molestía deescríbír ta/l gruesos volúme/les, yaql/eel solo ordende Sl/S proposício/les/lOS permíte conduir qlle /la ha/l conocido el verdadero método, ..., sólohan compi/ado loql/e ocasíO/lalmellte /legaro/l aconocer".

Aquí radica el mérito de Descartes, en intuir que cada problema

no debe considerarse aisladamente y en ver que problemas diver­

sos , de estruc tura similar, pueden ser abordados por un mismo

método común.

73

Un problema geométrico de es pecial relevancia en La geome tría

de Descartes es el llamado probl ema de Pappus que, según este

matemático, ni Euclides ni Apolonio habían logrado resolver. Este

problema se convierte en cierto mod o en el hilo conductor de La

geometría y su resolución, en una prueba contrastada de su método.

El problema de Pappus es enunciado por Descartes en los s iguien­

tes tér minos :

L, . e • JI Po • l . ~ .

a. ' Ellipf.. , &:ba~- • • ' nI ecum quando Hy:bela, a.: qu>ntitu " majar dl qu m ~., . ole eUm

I:beNr + • • . Q...uOd 6 _a<\quanur.u •• nonre­perilNrI b tulboucr~crlr 7 1 &: íi Ilt nu11a W,

id lphun aft Em". DciDdc ad Innnlcndum UNIrnntveñwn. dch:. U1'tCJlki Una. '1"",6. ad bee lA-na redum. Uf •• • ad , ..." nimUWl\ 6 lana bocee D

rcllum f'taruamr ;1~ + ~'!! » rranfTcrú= air

.... ~".~ +~. ~~ in· ;mnJbus bil"c.c caúbuf"(~ dwn:::: ent inJjft(1l JM t « Seque L e UI\.1

e.arum.~ adipliam ordmaomadpUanrur. la UC, b(cea""", M.N It1jWIcmdimidio¡;ucm .,..nlVcrú,..­que U!un es eadcm pone puna. M liunpra,mua c¡u1¡iunaum L. habcbsNr pur>aum N pro _ atlCC Iplimiliameni. Vndc pon f.Ci1~ dl dltbm rcmanan InV

nUe. pe<,"' a.: ¡-Problema , . Librl ConlcorumA~~. , .

Sed¡¡'(e~Hypcrboli mll.." e,babcamr+ . ... 1

&: c¡u.dan c¡wnnw .. nuIJ>lit. .... mIDO' '101m 4' ""!opone bu o: cenao M Ilncamducac M O P paraU...I.m ipliLC, DCC DOJl C P 'pIiLM. .c¡ueMO ZJ;l1a.

lan r~ccrc .".;;= ~I ~urm;lm ~em., finon'<perlaN' c¡wntlcu IS. Dcindc coÑ..In'MooponeplUlllumO Wl<¡lUlluadcanRypcrbolz, '..meterGrOP. a.:lmca e P. quzadlllam 6.or un:1d~ClJjúfqucbnJSreaum6r v·;;:: _. ~

ttanfvcr(um .ui\-,~;e. EseepcaeUm , ~ oulla dl 1 6c¡wdan ca oW Ianli

Dos páginas del Li bro segundo de la Geometr fa de Descar t es .

6 El problema de Pappus

m......

74

"Teniendo tres, CIIatro o 1111 número mayor de rectas dadas ellposición, se intenta hallal~ ell primerll/gal; 1111 pUIltO desde el auú scpudiesell trazar tantasíineas rectas, una sobrecada Ulla de lasdadas,formal/do állgulos dados, de forma que el reetállgulo formado pordos de las trazadas desde el mismo pUlltO guarde una proporciólIdada COII el CIIadrado de la tercera, en el caso de que 110 haya sino tres;o biCII CO II el rectál/gl/lo de las otras dos si110 fu!)' más ql/e cuatro. O

biCII, síht!)! cinco, que el paralelepípedo reetállguloformado por tres

"O...,OO­......ro3QJ

a.ro

"QJ"O"OeVl

75

Pappus

Natural de Alejandría

vivió entre los siglos 11I y IV

de nuestra era. Su obra

Colección matemática in-

cluye abundantes notas y

comentarios de resultados

entre otros.

anteriores de Euclides ,

Apolonio y Arquímedes

tas desde C, en las direcciones

CB, CD y CF, de modo que los

ángulos señalados sean de medi­

das dadas, por ejemplo 12011, 4011

Y 6011 en nuestro dibujo. Si no se

añadiese una segunda condi­

ción, que Descar tes enuncia de

forma enrevesada "de modo que

el rectángulo... guarde una pro­

porción...", el pro blema sería tr i­

via l porque C podr ía ser cual­

qu ier punto del plano. La segun­

da condición lo que exige es que

las medid as de los segmentos CB, CD y CF ver ifiquen la expresión

matemática CB • CD = k· CF2

, para un cierto número k dado de

antemano. El primer miembro de la igualdad es el área del rectán­

gulo de lados CB y CD y el segundo estab lece la proporción con el

área del cuadrado de lado CF.

guardc la proporcióll dada COII el paralelcpípedo construido sobre lasdos rcstalltes)' otra linea dada... Oc este modo tal cuesti án pucdchacerse extensiva acuolquier otro número de rectas. A continuaci án,} pucsto q/le existe /lIJa ílifíllídad de pUI/tOS q/le p/lcdell Cl/mplir loque se tratadehallal~ es necesario cOllocer} tmzarla Cl/rva en la q/lese CIICl/elltra ll todos; Pappus '!firma q/le, cuandc 110 existen másq/letres ocuatro uneas rectas dadas, se ellCl/elltm CII /lila de lasseccionescánicas, pero 110 intenta detcrmillarla ni descríbirla, al íg/lal quetampoco intenta explicar aquéllas en quc debclI encontrarse todosestos PUlltOS c/lalldo 111 cucstián es plallteada para 111I n úmero 11I11)'01'

de rcctas':

Vamos a aclarar el signifi cado de lo anter ior con un dibujo del

caso más sencillo. Sean tres rec tas dadas " 1", "2" Y "3".

Supongamos que desde el punto C satis facemos la primera condi­

ción exigida, a saber que hemos sido capaces de trazar sendas rec-

Realmente lo que se hace es traducir a un lenguaje geométrico

una condición que podía estar enunciada en forma aritmético-alge­

braica. Precisamente esta servidum bre es la que obliga a Pappus a

considerar como mucho seis líneas, porque no concibe ir más allá

del vo lumen del paral elepípedo rectángulo que puede obtener reu­

niendo los seis segmentos de tres en tres...

Descarte s se da cuenta de esta limitación, generaliza para siete,

ocho o más líneas, y cr itica el escrúpulo de los antiguos a la hora de

usar notaciones propias de la aritméti ca, cree que si no las emple­

an es porque no ven clara esa relación. Por ello no ti ene inconve­

niente en comunicar a Mersenne que "mi método es mejor que el

ord inario".

m.......

"O.,Ocr.......ro3llJ

a.ro

-ollJ

"O"OeVl

77

o"Oo

.¡...J

-<11E

ro-...."­.¡...J

<11Eo<11

L:)

VI<11

.¡...J

"­rouVI<11el

80

niendo al primer miembro y simplificando) nos lleva a la ecuación gene­

ral de una curva de sección cónica: Ar + Byx' + Cxy+ Dx + Ey + F=O

Si el problema de Pappus se plantea para cuatro líneas dadas la

solución general coincide con la formulada para tres líneas rectas.

Cuando se parte de cinco o seis líneas rectas la expresión algebraica

del lugar geométrico que ocupará el punto C será del tipo p(x,y) =0,

donde p simboliza el polinomio general de tercer grado en x e y.

Para siete u ocho líneas tendríamos el polinomio de cuarto grado y

así sucesivamente. La limitación de Pappus a un máximo de seis

líneas era una mera servidumbre al lenguaje geométrico de áreas y

volúmenes de cuadrados, rectángulos, paralelepípedos... en que for­

mulaba la segunda condición. Descartes la va a superar empleando

el lenguaje algebraico.

Para Descartes, la construcción de la cónica es un problema

asumible. En el peor de los casos puede realizarse punto a punto,

método que, por otra parte, es el utilizado por la generalidad de los

programas matemáticos para ordenador. Cada vez que le damos un

valor concreto a x o a y, la ecuación general de la cónica se con­

vierte en una ecuación de segundo grado en y ó x respectivamente,

resoluble algebraicamente por la fórmula tradicional. Geométri­

camente sería un problema resoluble con regla y compás.

En el supuesto de problemas de Pappus de cinco o más líneas,

se puede proceder a su construcción punto a punto mediante la

correspondiente resolución de ecuaciones que previamente han

sido simplificadas algebraicamente utilizando el mesolabio o inter­

secciones de rectas y cónicas construidas al efecto, como aborda

Descartes en los libros segundo y tercero de su Geometría.

Descartes aprovecha la distinción entre los tres tipos de pro­

blemas geométricos hecha por los matemáticos antiguos: problemas

Newton

Isaac Newton nació en 1642 cerca de Grantham (Inglaterra).

Desarrolló su vida intelectual en Cambridge primero y después como

director de la Royal Society hasta su muerte en 1727.

Formuló la Ley de la gravitación universal. En el campo de las

matemáticas son importantes sus contribuciones a desarrollos de

binomios, desarrollos en serie y su teoría de fluxiones, que sentaron,

en paralelo a los trabajos de Leibniz , las bases del cálculo diferen­

cial e integral.

En su época de estudiante tomó contacto con la obra de

Descartes a través de la obra de Van Schooten Geometría a Renato

Des Cartes. Newton no dudó en reconocer que "si he visto más

lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de

gigantes ".

Más detall es en Newlon. El umbral de la ciencia moderna de José Muñoz

Santonja (número 3 de esta colección).

planos, sólidos y lineales. Los problemas planos son los resolubles

con regla y compás. A este apartado pertenecería, por ejemplo, el

problema de Pappus para tres o cuatro líneas rectas. Los problemas

sólidos necesitan la introducción de secciones cónicas. Los lineales

exigen líneas más complejas, espirales , cuadratrices, concoides...

Un caso particular que detalla Descartes es el problema de

Pappus para cinco rectas dadas donde cuatro de esas rectas son

paralelas y equidistantes , mientras la quinta es perpendicular a

las anteriores. Los segmentos trazados desde el punto e forman

ángulos rectos con las cinco rectas dadas. La condición segunda,

m.......

"O..,Oxr.......(1)

3QJ

a.(1)

-oQJ

"O"OeVI

81

e D-x - 1- - - - - - - - - -

11I Y11

8 +

6 -;.

~

2 +T x

. ... ¡ .. . " . . +..;.. ' 1'" +•• • f· ·· .. : . . .. • • • --" • . -i- • • ; . ··1·· ·. _. +.----6 -4 -2 : 2 4 6 8

T

-6 ~

"5"

E

"4"

_ a__

"3"

F

A

"2"

B

"1"

..........ClJEoClJ

l.:)

VlClJ..........rouVlClJo

o"Oo....

' ClJE

en términos geométricos , es qu e el volumen del paralelepíped o

rectángulo de lados CB, CD y CEcoincida con el volumen del for­

mado por CA, CF y un tercer segmento dado. En es te caso cual­

quiera de los int er ceptados por dos paralelas consecutivas a la

quinta recta perpendicular, es decir CB . CD . CE = a . CA . CF .

Tomando CA = x y CF= y la ecuación qu e cumple Cvien e dada por

(a + x)(a - x)(2a - x) =axy , qu e tras desarrollo y simplificación se

co nvierte en

Tr i den te par a a = 1. Ob se rvamos que la gráf ica no co rta aleje de or denadas (se aproxi ma a él asintóticamente en elpri me r y t e rcer cuadra ntes) y corta al eje de abscisas ent res punto s de coordenadas ( - 1, 0) (l ,O) y (2, 0) . El resul ­tado es gene ral para cual quier valor de a . siendo entoncesl as coordenadas (-a .O). (a. b) y (2a ,O) .

A la gráfica correspo ndiente , Newton la llamó, por su forma ,

parábola cartes iana o tridente. El tridente puede cons ide rarse gene­

rad o a partir del movimiento de dos líneas más elementa les: una

recta y una parábola. El tridente es la gráfica qu e des cribiría el punto

de intersección de una recta móvil y una parábola también móvil

Supongamos el tridente XJ - 2ar- a2x + 2a J =axy , donde a es un

valor numérico fijo cualquie ra. Cons ide remos la recta móvil de ec ua­

ción y =Pf + p, para cada valor del parámetro p tenemos una recta

distinta. Aumentar ligeramente p, significaría un suave movimiento

de la recta que, al mismo tiempo qu e aum enta ligeramente su pen­

diente, sube simultáneam ente su punto de corte con e l eje de ord e­

nadas. Consid eramos la parábola móvil de ec uació n

y = x' _ 3x + 2a + pa

Par a cada valor de l par ámetro p ten emos una parábola distinta.

En este caso la variación de p se traduce en un simple desplaza­

miento vertical de la parábola.

m......

"O-,Oo­......ro3[lJ

e.ro

"lJ[lJ

"O"OeVl

82 83

o"Co....,

-(1)

E

'­....,(1)

Eo(1)

l..:J

Vl(1)....,'­rouVl(1)

Cl

El punto genérico de intersección de recta y parábola lo obten­

dremos resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones.

Igualando las dos expresiones obtenemos, después de simplificar, la

ecuación,

Xl _ 3x - ~ + 2a =Oa a

que tras multiplicar por a, nos lleva a r - 3ax- px + 2a2 = O. Esta

expresión nos permitiría, para cada valor de p, determinar los posi­

bles cortes de recta y parábola, pero nosotros buscamos el punto

genérico de corte. Por tanto procederemos a eliminar de la expresión

el parámetro p. Para ello, como en la ecuación de la recta móvil

y =p ( :; + 1) sabemos quey

p =- -~ + la

7 Trazando tangentes

84

Sustituyendo, operando, quitando denominadores, multiplican­

do toda la ecuación por :; + 1 y simplificando tenemos la ecuación

general del tridente

Otro de los problemas que Descartes aborda es el trazado de la

tangente a una curva en un punto. Este problema clásico de la geo­

metría griega sólo había sido resuelto en casos particulares, para

tipos de curvas muy concretos y con métodos específicos. En el

siglo XVII el problema va a ser retomado con nuevos métodos, con

aspiraciones de generalidad, hasta su solución a través del cálculo

diferencial.

Descartes lo enfoca a través de la determinación de la normal,

ya que la recta normal a una curva en un punto es perpendicular

a la recta tangente en ese punto. Descartes es consciente de

la importancia de este problema. Textualmente escribe en su

Geometría:

':..cuando plledall trazarse lílleas rectas qlle las corten (a las CIIr­vas)formalldo ánglllos rectos..., meatrevo aafirmar qlle ésteesel pro­blema ClryO conocimiento es más lítíl, y /10 sólo el más gelleral qlle yoCOIIOZCO, sil/O tambiéll el qllemáshe deseado llegar aCO/IOCCI: .."

-l-,WNW:::Ja.oe-rW:::J

(J'Qro:::JrtroVl

85

-i.,DJNDJ::Ja.or-rDJ::J~ro::Jr-t­roVI

GMv

I \I \

\I \ S

X I \1 \I \I \

\yJI

A ,'--_ ----'.:..:..-__~, p

Es decir el s istema form ado por la ecu ación de la circunferenci a

ante rior y f(x,y)=O, debe tener como solución única las coordenadas

de C. Imponiendo esa co ndición se calcula v.

(x - vy + y2= (4 - vy + 4

y= ..¡x

La circ unferenc ia de ce ntro P y radio PC tiene como ecuación

x' + (y - o)' = S2. Cuando la posición de P se a la correcta para que PC

sea normal, esa circunferenc ia cortará a la curva dada sól o en el

punto C, mientras qu e una posición de P adelantada o atrasada lle­

varía a que esa circunferencia co rtase a la curva en Cy en otro punto

próximo.

Como ejemplo ilustrativo, pod emos apli car el pro cedimi ento

ante rior al arco de paráb ola de ec uación y = ..¡x . Vamos a det erm i­

nar la normal en el punto C(4,2). La circunferencia de ce ntro P(v,O)

y radi o PC = s debe cortar a la parábola sólo en el punto C. Para ca l­

cular los posibl es puntos de corte de la circunferencia y la parábo­

la es necesario resolver el s istema

Mientras el problema de

Pappus es utilizado para ilus­

trar la pot encialidad de su

método, en el problema de las

tan gentes int enta dar res­

puesta a un problem a vivo de

la mat emáti ca y la física de la

prim er a mitad del siglo XVII.

Des cartes, Fermat , Roverbal

y Torri celli , entre otros, pro­

ponen mét odos diferentes.

Sus enfoques dan pie a una

intensa polémica entre ellos,

en la qu e la co rre spo nde ncia

a través de Mersenn e juega

un papel esencial.

Roverbal

Gil/es Personne nació en

1602 en Roverbal. Tomó con­

tacto con Mersenne, y éste,

impresionado por sus dotes

matemáticas, le encargó que

estudiase el problema de

Arquímedes /lamado cálculo

de indivisibles que es un ante­

cedente del cálculo integral.

Su método para trazar tan­

gentes se basa "que en todas

las líneas curvas, cualesquie­

ra que sean, su tocante en

cualquier punto es la línea de

dirección del movimiento que

tiene en ese mismo punto el

móvil que la describe ". Fue

catedrático en el Colegio Real

de Francia desde 1634 hasta

su muerte en 1675.

El procedimi ento general

qu e Descartes des cribe, tra­

ducido a un len guaj e más

actual, parte de la hipótesis

que los puntos de la cur va se

relacionan co n los de la línea

recta pr incipal AG. Cua lquier

punto C de la cur va qu eda

det erminado conociendo las

longitudes AM =y , MC =x. Además x e y deben verificar una ecua­

ció n algebraica es pecífica de esa curva, del tipo f(x,y) =O.

Supo ngamos el problema resuelto y sea CP la recta normal en el

punto C de la curva. El problema lo reduce Descartes a localizar P

co noc ido C. Sean s = PC y v = PA. En consecu encia PM = v-y.

L.....(IJ

Eo(IJl:)

Vl(IJ

.....LrouVl(IJ

o

86 87

o-oo.....

-<lJE

L.....<lJEo<lJ

L.::l

V1<lJ.....LrouV1<lJo

88

y

\ P(v,O) x--- -- --- - ----I ·· · ·~ · · ··~· · ·j ·· ~ ·I· · --~- -- --- --: \

: \

: \, \

: \ normal

···,

Ejemplo del cál culo de la recta normal a l a par ábola ypor el punto (4.2 ) . Procedi mi ent o de Des car t es .

que sim plificado equivale a

x 2+ y 2- 2vx + 8v - 20 = O

y = IX

sust ituyendo la expresión de y en la primera ecuación del sis tema, nos

queda la ecuación de segundo grado x 2+ (1 - 2v)x + (8v - 20) =O.

Ahora bien, si esta ecuación debe tener como so lución única

x = 4, de be coincidir con el desarrollo de (x - 4)2 = O, es decir,

x 2- 8x + 16 = O. Identificando coeficien tes o bien de 1- 2v = -8 , o de

8v - 20 =16, ob tenemos que v = 4,5.

El procedimiento que hemos se guido para determinar v, por

identificación, era del gusto de Descartes que escribe:

"Másbim deseoadl,crtirosqtle/a illvellcíólI qtlecOllsiste enstlpollerdosecuacionesde/a mismaforma, COII elJiIl decomparar todos/os tér­minos detilia COII/OSde/a otra...ptledeservirpara tilia hifíllidad depro­blemasy 110 es delas mellas importantes qtleformall partedel métodoqtletití/izo"

Fermat

Pierre de Fermat (1601­

1665) estudió Derecho y traba­

jó como magistrado en

Toulouse. Cultivó las mate­

máticas como su gran afi­

ción perteneciendo al

núcleo conectado me-

diante correspondencia

con Mersenne. Escribió

Methodus ad disqui­

rendam maximan et

miniman, que es pre­

cursor del cálculo de

derivadas y que le permite

dar una solución al trazado de la tangente.

Para determinar dónde se alcanzan los máximos y mínimos de

y = f(x) , indica tres pasos:

l . resolver la ecuación ¡(x) = f(x+e),

2. dividir entre e la expresión obtenida,

3. hacer e = OY resolver la ecuación.

Destacan así mismo sus enunciados de problemas sobre núme­

ros. Algunos de ellos los resuelve mediante el método de descenso

infinito. El llamado último teorema de Fermat, que afirma que no

ex isten números enteros que cumplan x" + y" =z " , para n natural

mayor que 2, ha debido esperar más de trescientos cincuenta años

hasta su reciente dem ostración por Andrew Wiles.

Para más detalles. ver el libro Ferrnat, El mago de los números de

B. Torreciltas en esta misma calecci6n.

..,..,<lJN<lJ::JCLO

89

L+JC1JEoC1J~

VIC1J+JLrouVIC1JCl

y

x

Ejemp lo de l cá lcu lo de l a recta normal a la par ábol a y y;rpor el punt o ( (4 . 2) . Proced imi ento de Fermat .

Si aplicamos el proc edimiento de Fermat a es te mismo proble­

ma podemos ver que los cálculos son también laboriosos. Tratamos

de encontra r la ecuación de la recta tang en te en C(4,2). La supone­

mos ya dibujada. Su ecuación sería de la forma y =ax + b. Como debe

pasar por Cdebe cumplirse que 2 = 4a + b, por tanto la ecuación de

la recta tan gent e podrá esc ribirse y =ax + 2 - 4a.

res ulta de igualar f(x) a f (x+ h), simplificar h y hace r h = O en la

expresión resultant e.

En nuestro caso , f(4) = 1

(ah + 2/f(4 + 11) = 4 + h

igualando resulta a2112 + 4 + 4ah = 4 + h y s implificando a211 2 + 4ah = h,

tras dividir entre 11 queda a2h + 4a = I Yhaciend o 11 = O, tenemos que

a = ~ , quedando determinada la recta tangente bus cada.

Las dos soluciones, la de Descartes y la de Fermat, son coinci­

dentes , pues ambas permiten deter minar un parámetro que identifi­

ca de modo unívoco a la rect a tangent e o la normal en el punto C.

Ambos métodos se sustentan en conside raciones de tipo geométri­

co o de teoría de funciones , pero resultan , como hemos podid o co m­

probar, farragosos a la hora de calcular. Esta impresión se tiene,

sin duda, si se conoce la fórmul a gene ral de la ecuació n de la

recta tang ent e, o en su caso la recta normal, a una cur va y =f(x) en

un punto C. Fórmula sencilla de utilizar si se co noce n las reglas de

derivación.

La ecuación de la recta tangent e nos indica que el valor a = 1,ob tenido por Fermat, es correc to. Por otro lado la rect a normal

co rta al eje de absc isas en el punto (v;O) , dond e v es la so lució n de

La ecuación de la recta tangent e en C(4,2) seráy - 2 = f'(4)(x - 4)

La ec uación de la recta normal es y - 2 = f {~) (x - 4)

siendo f'(4) la derivada de la función en el punto de abs cisa 4, que

se calcula sustituyendo en la fórmula de la tabl a de derivad as

90

¿ Cómo calcular a?

Ferm at obs erva que todos los puntos de y = y;r verifican que2

L =1, en cambio los puntos de la recta tangente verificarán que esexcociente es mayor que 1, excepto para x = 4, en que también valdrá

1. Es decir, que la función

y =f(x) = (ax + 2 - 4a/x

tiene un mínimo en x = 4. Según el método de Fermat para determi­

nar máximos y mínimos , x = 4 será la so lución de la ecuación que

1con lo que f'(4) = "4 '

f'(x) = _1_2&

--i..,C1JNC1J::la.or-t­C1J::l

(JQro::lrtroVI

91

o"Oo.....

' Q)

E

ro

Lo.....Q)

EoQ)

~

V1Q).....LorouV1Q)

Cl

la ecuac ión 0 -2 = 0~ (v - 4), es dec ir -2 = -4 (v - 4), de do nde

v =4,5 lo qu e confirma los cálc ulos de Descartes.

Como vemos la incorporación del cálc ulo de derivadas , desa­

rrollado a partir de las ideas de Newton y Leibniz, supondrá un sa lto

dialéctico important e en la resolución general de l trazado de la tan­

gent e al liberar en buena par te la dificultad del cálc ulo que pud iera

derivarse de la com plejida d de y = ¡ex), que podr ía hacer inapli ca­

ble en la pr áctic a los méto dos de Ferm at y Descartes .

Leibniz

8 Vi a j e s y sueñ os

92

Gottfried Wil!lelm Leibniz nació en

Leipzig en 1646. En su primer contacto

con la obra matemática de Descartes, la

valoró como demasiado difícil. Trabajó

sobre la idea de construir un alfabeto del

pensamiento humano, intento que enlaza

con el Ars Magna medieval de Ramon

L/ul/. Su tesis De art e combinatoria abun­

da en el intento de crear una especie de

cálculo algebraico aplicable a los procesos de razonamiento. En

1682 funda la revista científica Acta Erudltorurn, donde publicará

buena parte de sus trabajos matemáticos. Establece la base del cál­

culo diferencial e integral paralelamente a Neuiton, lo que provo­

cará polémica entre el/os,. El lenguaje y las notaciones de Leibniz

serán las que definitivamente perduren. Murió en Hannover en

1716.

Descart es co ntinuó su eta pa viajera en la primavera de 1619,

de jando Breda y su eficaz co labo ración co n Beeckm an, diri giénd ose

hacia Alemania. En el verano se halla en Frankfurt dond e as iste a la

coronac ión del Empe rador Fernando 11. Su des ignación co mo suc e­

so r había desencadenad o un año antes la sublevac ión de la nobl eza

pro testa nte en Bohem ia, dond e los ministros ca tó licos habían sid o

literalmente -y no en se nt ido figurad o como hoy se utiliza esta

expres ión-, defenest rad os . Cuando fue coronado Fernando 11, los

checos lo rechazaron y eligiero n co mo empe rador a Federico V, de

religión ca lvinis ta . Fernando 11, con el apoyo de la Liga Cató lica, al

frente de la cual se hallab a el Duque Maximiliano de Bavier a, derro­

tará a Federico V en la bata lla de la Montaña Blanca cerca de Praga.

Descartes se refiere, al com ienzo de la segunda parte del

Discurso del método, a es te periodo:

<QJ'-'orolJl

lJlero=:JIolJl

93

Esanoche Descart es. lleno de entusiasmo por los resultados que

iba consiguiendo en sus reflexion es sobre los fundamentos de la cien­

cia. tuvo tres sueños. Los dos primeros son verdaderas pesadillas. en

las que se le presentan espectros que le asustan: se ve primero mar­

chando con su cuerpo doblado por el dolor por calles desconocidas

y luego arrastrado por un viento impetuoso hacia un colegio mientras

la gente con la que se cruza marcha firme y sin prob lemas.

,- ' . '," I ..~~

"'1'[".:«

«u _.4 • T}~ ~I..

<

ro1Il

1Ilero:J,o1Il

Q)'-J .

95

El último sueño no tiene nada de terrorífico: encuentra un libro

en la mesa. Al abr irlo ve que es un diccionario. Pero bajo su mano

ve otro libro. una antología de poemas titulada Corpus poetarum. La

abre y lee al azar un verso "Quod vitae sectabor iter?" (¿Qué cami­

no seguiré en la vida?) . En ese momento. un hombre desconocido le

recita el comienzo de un poema llamado MSí y No". Descart es le dice

que está incluido en la antol ogía. pero no lo encuentra...• al di ccio­

nario también le faltan ahora páginas...• no obstante Descart es le

muestra otro poema del mismo autor que. en su opinión. es más her­

moso que el que el desconocido le ha recitado y que comi enza

"Quod vitae sectabor iter?"

En un estado de duermevela. Descar tes cree int erpretar. medio

dormido. los símbolos de dichos sueños. Las dos pesadi llas son

adver tencias sobre su vida pasada y sobre el daño que le puede cau­

sar el genio maligno. representado por ei viento. si le impide seguir

su camino. El diccionario simboliza­

ría los conocimientos científicos y la

antología. la fil osofía y la sabiduría.

El verso será el punto de partida de

su reflexión. Queda la duda acerca

de cual sería ese camino; para

encontrarlo ruega a Dios ya la Virgen¡

prom etiendo acudir al Monasterio de

Loreto. Lo hará . como peregrino.

años más tarde con ocasión de su

viaje a Italia .

Descar t es tra bajando en su estudiosegún un gra bado de l a época .

"Yo cstaba entonces CII Aiemania,dOllde la ocasiólI de tillasgllcrrasqlle toda­v/a110 hall tcrmíllado me hablall rauuna­do; )' I'olvíelldo dc la cOnJllacíólI dd

cmperador al tjircíto, d comicnzc ddinvierno mc dCtlil 'O r?ll1I1I lllgar t'II dOlldc,

-7 1/0 encontrand« cOlll't'I"SacíólI a~lllla qlle

me divirtiera )' 110 tellíelldo tampoco, porjórtlllla, cllídadosl/ípasíol/cs qllc pcrtl1rba­mil mí iinhno, petnumecia d día enterosolo )' encerrado jlllltO a I/l/a cst1ifa, COIItoda la fn1llqll ilídad neasari« para entre­garme amíspellsalllícllfoS."

p - r

Descartes. alistado en el ejérci ­

to del Duque Maximiliano, pasó el

otoño e invierno de 1619 en Ulrn, a ori­

llas del Danubio . En esa ciudad . la noche

del 10de noviembr e. tuvo unos sueños que

él int erpretó como señales que le indicaban las

vías para la búsqueda de los fundamentos de

la verdad era ciencia que. muchos años más

tard e. tomará forma escrita y definitiva en el

Discurso del método. editado en 1637.

La defene strac i ónde Praga .

94

Representación de lo s prime ros números tr iangulare s1. 3 . 6 . 10 . 15 .. ..

La fórm ula general para obtener un número triangul ar es fáci l

de ob tener. Si observamos co mo se forma n los números tri angular es

aritméticamente:

1063•

ma n un a progresión aritmética us ua l ya q ue la dife rencia en tre cada

término y el ante rior no es co ns ta nte, pe ro si ca lculamos esas dife­

ren cias: 2, 3, 4, 5,... vem os que for man un a progres ión arit mé tica. Se

dice en este caso q ue la su cesión de núm eros tri an gula res es una

progresi ón aritmé tica de segundo orden.

Curiosamente, trescientos años más tarde, Sigmund Freud, psiquia­

tra vienés padre del psicoanálisis, declinó hacer especulaciones sobre

el significado de estos sueños por entender que eran producto de sim­

bolizaciones del consciente, más que productos del inconsciente.

Durante su es tancia en Ulm se relaciona con Faulhaber, profesor

de matemáticas en el Colegio de Ingeni ería Militar de esa ciudad. A

través de él ent rará en conta cto co n los miembros de la Rosacru z .

Faulhaber había publicado una obra , Misterio aritm ético, dirigida en

principio a los rosacruces. En ella se enc uentran resultados sobre

representación de núm eros con ayuda de un a malla de puntos y los

llamados números poli gonales y poliédricos, que parecen haber

interesado a Descartes y a los que és te hará referen cia en una colec­

ción de notas agrupadas con el título de Sobre los sólidos .

Los más sencillos son los números triangulares , que vendrían

repres entados por los puntos de un a cuad rícula qu e van formando

sucesivos triángulos rectángulos isós celes . Esos números no íor-

ro

o"Oo....,

.(1)

E

Vl(1)....,"­rouVl(1)

Cl

"­....,(1)

Eo(1)

~

La Rosacruz1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5,...

Era una cofradía de iluminados que se formó en Alemania a

comienzos del siglo XVII. Su origenestá relacionado con un libro anó­

nimo de título Reforma total y general , en el que, en forma de nove­

la, los siete sabios de Grecia conversaban sobre los medios para

reformar el mundo y la forma de vida consecuente para lograrlo.

el núme ro triangular enésimo sería an = 1 + 2 +... + (n - 1) + n. Para

obtener una fórm ula reducid a para calcular esa s uma basta ve r q ue

s i escr ibimos an = n + (n - 1) +... + 2 + 1 y sumamos miem bro a

miembro ambas expres iones, tend ríamos :

2an = (n + 1) + (n + 1) + ... -(n + 1) -(n + 1) = n(n + 1)

<llJ.......roVl

Aná loga men te pueden for marse números cuadrados , representa­

dos so bre una cuadríc ula. Los pr imeros so n 1, 4, 9, 16, 25,...

Descartes tomó contacto con los rosacruces a través de

Faulhaber y compartió con ellos algunas metas y h ábitos de vida

como el llevar una vida apartada, no formar familia, practicar la

medicina gratuita e interesarse por el tema de la longevidad, pero

rechazaba toda la magia de sus creencias.

de dond en + n2

a =- ­n 2

Vlero::::11oVl

96 97

Obviamente la fórmula del enésimo es Qn =n2• Algunas propiedades

curiosas que relacionan unos y otros pueden establecerse por

consideraciones geométricas o algebraicamente. Por ejemplo la que

establece que todo número triangular, distinto del 1, puede

escribirse como suma de un número cuadrado y el doble de un

número triangular. Así, por ejemplo, el número triangular 15 se

puede poner de la forma 15 = 9 + 2,3, o el 28, el séptimo de la lista,

será 28 = 16 + 2·6.

roVl

<

Vlero::11oVl

QJ'--'o

, - - - ,-f - - - ~I I I I I

/ I I I I.r ---l- - !.. - ~' I, T- - } -' , - -!

, 1 1 / ¡ I' I , I1 I1 1 I11 I

-- - ...I <-:f -..1-1' " ,I t- - - e- ,- --ji

I ' 1 I I

I I I I ( I I II I I / I I I I

f - J "--7'-' "-~-- "'-t- - -I'

I I I 1 I

I I 1/ I 1/__ _ _t ~

Como puede verse en la figura, la justificación geométrica es

muy clara. Algebraicamente es más delicada. Vamos a hacerla para

el caso en que n sea impar, con pequeñas modificaciones se' haría

para n par.

k2+ 2k + l + k2+ k = (k + 1)2+ 2 k + k2

2

Q n = n + n2

= 2k + 1 + (2k + ly = 4k2+ 6k + 2 = 2k2 + 3k + 1

2 2 2

Si n es impar pod emos esc ribirlo como 2k + 1, para un cierto k

natura l. Luego

expres ión que puede esc ribirse co mo

es decir, la suma de un numero cuadrado más el doble de un núme­k + k2

ro triangular -2- '

Análogamente, utili zando mallas de puntos en el espacio, podría

hablarse de núm eros tetraédricos, números cúbicos,... Los primeros

números tetra édricos : 1, 4, 10, 19,... forman también una progresión

aritmé tica de segundo orde n. Los primeros cúbi cos: 1, 8, 27, 64,...

forman una progresión aritmética de tercer orde n.

169Ea

4D

Represent aci ón de lo s pr imeros números cuad radosl . 4, 9 . 16 .. ..

•

VlQJ

4-'Lo.rouVlQJ

el

Lo.4-'QJ

EoQJ

L:l

98

Just ificación geométri ca de que todo número tr iangular .di st i nto del l . puede escr ibirse como suma de un númerocuadrad o y e l dobl e de un número triangular .

Represent aci ón de l as mal l as correspondientesa los números 19 y 27. 99

o"Oo....

-QJ

E

L....Q)

EoQ)

~

VlQ)....LrouVlQ)

el

100

En Sobre los sólidos, Descartes incluye también unas afirmacio­

nes que se han interpretado como una anticipación de la fórmula de

Euler que establece que para los poliedros convexos el número de

caras sumado al número de vértices coincide con el número de aris­

tas incrementado en dos unidades, es decir

C+ V = A + 2.

Lo cierto es que esa fórmula no aparece explícitamente en sus

notas, que sí incluyen dos observaciones no relacionadas entre si y

de las que se podría deducir de modo elemental la mencionada fór­

mula de Euler. La primera es relativa a que el número de ángulos pIa­

nos en un poliedro convexo es el doble del número de aristas, mien­

tras que la segunda afirma que el número de ángulos planos en un

poliedro convexo puede calcularse por la fórmula 2C + 2V - 4.

Lo mejor de la producción intelectual de Descartes en este

periodo 1619-1622 no está precisamente incluida en ese libro.

Cuando se refería a su descubrimiento de "los fundamentos de una

maravillosa ciencia" parece ser que hacía mención a sus reflexiones

sobre el método para construir conocimiento. En estos años comien­

za a escr ibir, aunque no las termina y edita hasta años más tarde, las

Regulae ad directionem ingenii, es decir las Reglas para la dirección

del espíritu. También escribe una obra, hoy perdida, Estudio de la

buena mente. Todas ellas son prolegómenos de su Discurso del méto­

do , cuya aparición se demoraría todavía quince años.

Otra opción, defendida por algunos estudiosos de la obra de

Descartes es que éste se estaba refiriendo a un hallazgo matemático

encuadrado en sus trabajos para conectar el álgebra y la geometría,

en particular a la resolución general de la ecuación de cuarto grado

por intersección de una parábola y una circunferencia. Aunque el

desarrollo en detalle aparece en el tercer libro de su Geometría, todo

indica que el resultado fue

obtenido mucho antes, posi­

blemente en esta época,

como parece deducirse de

los comentarios incluidos en

sus cartas a Beeckman.

Descartes regresó luego a

Francia, donde permanecerá

cerca de dos años. Vuelve a su

región de nacimiento para ven­

der diferentes tierras y propie­

dades de la herencia de su

madre que le proporcionarán

dinero suficiente para vivir

modestamente sin depender,

para poder subsistir, de un tra­

bajo fijo. Después marchará a

París donde hará nuevas amis­

tades. Entre ellas jugará un

papel primordial Marin

Mersenne. En esta época sigue

trabajando cuestiones mate­

máticas, pero también conti­

núa su interés por la óptica,

lentes y espejos y el problema

de la refracción y reflexión.

Descartes emprende viaje

de nuevo. Su destino será

ahora Italia. Cumplirá enton­

ces con su promesa de pere-

Mersenne

Marin Mersenne (1588.

1648) fue también alumno

becario de La Fleche, aunque

no coincidió con Descartes.

Tras estudiar teología en La

Sorbona, profesó como fraile.

Interesado por todos los

avances científicos. trabajó en

temas de acústica y sintió espe­

cial debilidad por las matemá­

ticas. Recopiló trabajos que

publicó bajo el título de

Sinopsis matemática .

Su correspondencia con

los mejores matemáticos del

momento le convierte en nexo

de relación entre ellos y en un

archivo viviente de sus hallaz­

gos. El volumen de su corres­

pondencia se acerca a las

10.000 páginas.

Fomentó también desde

1635 reuniones entre ellos, al

principio informales. con el

nombre de Academia parisina

de matemáticos. Seguirá fun­

cionando tras su muerte y será

el germen de la Academia de

Ciencias que fundaria Colbert,

ministro de Luis XlV, en 1666.

<III........roVl

'<

Vlero:::JIoVl

101

o"Oo.j..J

. (lJ

E

1­.j..J

(lJ

Eo(lJ

~

Vl(lJ.j..J

1­rouVl(lJ

o

grinar al santuario de la Virgen de Loreto, lo que hará tras visitar

Venecia y Rávena en la costa del Adriático . Se plantea incluso que­

darse a vivir allí. Sin embargo, el clima de intransigencia que empe­

zaba a respirarse por las intervenciones de la Inquisición contra los

que defendían las tesis de Copérnico le hace desistir de ese propósi­

to. Ese mal ambiente culminará años más tarde, en 1633, en el proce­

so a Galileo, quién , ya anciano de setenta años , fue obligado , para evi­

tar la hoguera, a abjurar de su defensa del sistema copernicano.

Descartes decidió regresar a Francia y fijó su residencia en

París . Allí permanecerá hasta 1628 en que decide trasladarse a vivir

a Holanda, donde permanecerá los siguientes veinte años.9 La refracc ión de la l uz

102

Galileo

Galileo Galilei (Pisa 1564·Arcetri 1642).

Matemático y físico italiano que fue nombrado

muy joven profesor de la Universidad de

Padua. Estudió los fenómenos físicos combi­

nando los métodos experimentales, inducti-

vos, con los matemáticos, deductivos.

Estudió las leyes del plano inclinado, el

movimiento vibratorio y construyó la balanza hidros­

tática y el anteojo que aplicaría en sus investigaciones astronómicas,

que le llevarían a confirmar las tesis heliocéntricas de Copémico. Esta

posición le conducirá a ser perseguido por la Inquisición.

Aunque se le obligó a renegar de sus tesis, la leyenda cuenta que

concluyó diciendo en voz baja "eppur si muove.;" ( "y sin embargo se

mueve... ')

Los tres años en que Descartes, a su vuelta de Italia, reside en

París son un periodo en que frecuenta la amistad de importantes eru­

ditos , entre ellos Mersenne, el óptico y geómetra Mydorge, al que

nos vamos a referir más adelante y el químico y filósofo

VilIebressieu, por citar a los más influyentes. París era en aquellos

años una ciudad de contrastes en lo relativo a la tolerancia hacia la

libertad de pensamiento. Los medios intelectuales eran proclives a

discutir cualquier nueva idea y se debatía en profundidad pero , al

mismo tiempo, la mirada vigilante de la Facultad de Teología de la

Sorbona estaba atenta a cua lquier reunión que derivase en una expo­

sición sistemática de posiciones filosóficas que se desviasen de la

relectura escolástica de Aristóteles. En concreto los teólogos de la

Sorbona estaban atentos a los movimientos de los rosacruces y no

dudaban en denunciar a la autoridad gubernativa a los sospechosos,

que eran obligados a abandonar París si no querían ser procesados.

Al poco tiempo de llegar a París participó en una reunión en casa

del nuncio del Papa , junto a un grupo selecto de intelectuales que

...,ro-t>...,IIInn

a.ro­III­eN

10 3

o servían de audiencia a un dis-"Oo curso que Chandoux, un Iilóso-.... Villebressieu-Q)

E fo y alquimista que años más

>. tarde sería juzgado y ejecutadoro Este alquimista, ingenie-

1- ro, filósofo e inventor cotnpar-por falsificador, iba a pronun-

.... ciar sobre el sistema de ense-Q) tió amistad DescartesE cono ñanza de la filosofía y en el queQ) más allá de sus años parisi-

L:l expuso sus críticas hacia lasnos. Compartieron después

Vl teorías de Aristóteles. La cele-Q) vivienda en Amsterda m.....1- bración de un encuentro derou Intentó aplicar al diseño este tipo en casa del nuncioVlQ) de sus inventos las rettex io-el nos da idea del clima de to le-

nes filosóficas de Descartes rancia antes aludido. La diser-que, a su vez, le animó para

que los difundiese.

104

tación mereció el aplauso de

todos pero Descartes, ostensi­

blemente, no dio ninguna

muestra de satisfacción por lo que había oído. Su actitud no pasó

inadvertida y el cardenal de Bérulle le preguntó por ello.

Descartes le hizo ver su temor a que en muchas ocasiones la

fuerza de convicción pudiera sustituir a la verdad y que una audien­

cia pudiera tomar como verdadero algo falso o al revés. Para demos­

trarlo en la práctica, pidió a la audiencia que alguien le planteara

una verdad comúnmente aceptada y una falsedad con igual carácte r.

Tomando cada una de ellas, a través de una cadena de asertos que

iban siendo aceptados por la audiencia tras una convi ncente argu­

mentación, llegó a la conclusión, aceptada por la audiencia , de que

la tesis tomada por verdadera era falsa, y la falsa, verdadera.

El público quedó sorprendido del genio de Descart es y le pid ie­

ron consejo sobre cómo evitar caer en esos sofismas. Esto le dio pie

a anticipar algunas ideas de su método, que era aplicable a todo tipo

de proposición con independencia de su naturaleza específica. El

cardenal de Bérulle quedó admirado de lo expuesto y animo a

Descartes a proseguir por esa vía, indicándole que le gustaría seguir

en contacto con él para ver sus progresos .

El descubrimiento científico de carácter físico-matemático más

importante de esta época es la Ley de la Refracción. Los rayos de luz

cuando pasan de un medio transparente a otro, por ejemplo del aire al

agua o al vidrio, sufren una desviación, aunque siguen moviéndose en

línea recta y en el mismo plano. El rayo incidente AC, alcanza en C al

plano de separación de los dos medios (por ejemplo el medio superior

aire del inferior agua). Continuará luego su trayectoria en la dirección

CB. La Ley de la Refracción establece que AC y CB están en el mismo

plano y que los ángulos de incidencia i y de refracción r, que forman res­

pectivamente las semirrectasACy CB con la recta n,normal a la super fi­

cie en el punto C. están relacionados matemáticamente por la expresión

sen i sen r----v;- = -----v.;-

donde VI Y V2simb oli zan las velocidades de propagación de la luz en

el prime r y segundo medio respectivamente.

La Ley de la Refracción era, en esos años, objeto de estudio por

diferentes científicos y varios de ellos formularon lo que empírica-

Aire

Agua

B

rOJ

...,ro-n...,OJf"'If"'I

o­::J

c.ro......OJ

......eN

105

o"Oo.....

-<11E

roL.......<11Eo<11~

Vl<11.....L..rouVl<11Cl

mente estaban observa ndo, es decir, que la razón entre los senos de

los ángulos de inci dencia y refracción permanecía constante cuando

cambiaba la inclin ación del rayo incidente. Snell, astrónomo holan­

dés, formuló en 1620 esta propiedad, justificada de un modo com­

plejo , en un trabajo suyo que no se difundió. Descartes, que tenía

gran interés por todas las cuestiones relacionadas con la óptica,

colabora en su etapa parisina con Mydorge. El objetivo cent ral de

sus trabajos estaba conectado con el perfeccionamiento del telesco­

pio , ya que pretendían encontrar el perfil de la lente, curva anaclásti·

ca, empleando el térm ino griego que había acuñado Aristóteles, que

hicie ra converger, tras la refracción, en un punto llamado foco a un

haz de rayos paralelos que incidieran en ella. Las lentes biconvexas

que estaban utilizando no se ajustaban exactamente a lo que preten­

dían pues presentaban lo que los ópticos llaman aberraciones.

Como fruto indirecto de esas investigaciones, Descartes formu­

ló la Ley de la Refracción . La publicación de sus resultados se retra ­

só hasta 1637 en que los incluye en el "Discurso segundo: De la

refracción", de La dióptrica . Esta obra estaba compuesta por diez

discursos y se editó, junto con La geometría y Los meteoros, como

tres ensayos de puesta en práctica de los pr lncip ics fil osóficos

incluidos en el Discurso del método que les sirve de introducción.

Las explicaciones con las que Descart es intenta justi ficar o

demostrar la Ley de la Refracción son poco afor tunadas. Parece

cla ro, según su correspon dencia y los datos aportados por

Mydorge, que Descartes conocía la ley desde unos diez años antes

de publicar La dióptrica y además había elaborado justif icaciones

físico-geométr icas mucho más atinadas.

En La dióptrica trató de analizar el desvío que sufriría un rayo de

luz que pasara del aire al agua incidi endo en un punto C de la super­

ficie plana de separación de los dos medios. Lo que experimental­

mente se había constatado que sucedía era que el ángulo de inci­

dencia era más grande que el de refracción , es decir, que el rayo

incidente ACse torcía al entrar en el agua, acercándose a la normal,

siguiendo la dirección CB, en lugar de la CD. Esto es lo que explica

que cuando miramos hacia el fondo de un estanque su suelo parez­

ca situado más pró ximo a nosotros o, lo que es igual, aparente ser

menos profundo.

rClI

......eN

......ClI

.,ro-h.,ClInn

o '::J

a.ro

107r :

I 'I "

I 'DI "I ,

I 't Posición virtua l fondoI I

I I

I I

I nI

II

II

--:::><=>-<:::>¿;;"'-"''c::>~...,...:::?'=~k...!P~osición real fondo

Agua

Aire

observa dor t A

Ciaude Mydorge (1585-/647) es otro ejemplo de hombre de

leyes que compartió su trabajo en la admin istración con un apasio­

nado interés por la ciencia, en su caso por la geometría y la óptica.

En geome tría estudió las secciones cónicas buscando su aplicación

a instrumentos ópticos. Sus trabajos han permitido aclarar la apor­

tación de Descartes al estudio de la refracción. Tomará partido por

Descartes en su polémica con Fermat.

Mydorge

106

o"Oo......-(IJ

E

ro

1.........(IJ

Eo(IJ

~

VI(IJ

......1...rouVI(IJ

el

108

Descartes analizó lo que ocurriría si se lanzara una bala desde

A sobre una tela tensa CBE. La ba la rompería la tela en B y la atra­

vesaría, pero en el impacto perdería parte de su velocidad. Para

ejempli ficar su razonamiento supuso que ésta se reduciría a la

mitad . Luego trató de ave riguar cuá l sería la nueva dirección de su

tr ayectoria. Para ello realizó una es pecie de descomposición de l

vector velocidad incidente. La trayecto ria AB era el resultado de la

suma de una trayectoria hor izontal y una vertical , la horizontal no

resul ta afectada por el contacto con la te la, pero la vertical resulta­

ba frenada por el impacto con la misma. Trazando la circunferencia

de radio BA intentó averiguar por qué punto / del cuarto cuadrante

de esa circunferencia iba a pasar la bala en su trayectoria AB/. Como

la velocida d de la bala después de atravesar la te la había disminu i­

do a la mitad, tard ar ía el doble de tiempo en recorrer el radio B/ que

el que tardó en recorrer AB. Por tanto, por lo que respecta a la tra­

yec to ria hor izontal, si antes recorría AH, ahora, en un tiempo doble

recorrerá HF. Trazando una vertical por F hasta que corte al cuarto

cuad rante de la circunferencia obtenemos el punto / buscado.

¿Cuál es el inconveniente de este razonamiento? El ángulo inci­

dent e es más pequ eño que el refractado , jus to lo con tra rio de lo que

""lo•• ,'.

ocurre cuando el rayo de luz pasa del aire al agua . Las velocidades

de la luz en el aire y en el agua no aclaran esta paradoja ya que en

el aire la velocidad de propagación de la luz es aproximadámente13 mayor que en el agua.

Para sa lvar es te escollo Descartes se enreda entonces en una

justificación en la que hace uso de co nsideraciones sobre la es truc­

tura de la materia sin base científica. Dice textualmente:

"Pero quizá se admiranil/ ustedes, haciel/do experimentos, alencontrar que los rayos deluz se il/di/lIl11 más el/ el aire que el/ el agua,sobre las supelfícics dOl/de se hace su refracciól/... Esto dtjará il/media­teniente de parecerles extra ño si recuerdal/ la I/atllraleza que he atribui­do alall/z, Cl/al/do he dicho que l/O era mtis que Ul/ cierto movimiento oul/a acciól/ recibida el/ ul/a materia /1119' sutil, ql/e l/el/a los poros deotros ClIerpos; ustedes consideren que, al igual que ul/a bala picnic mtisagitaciól/ chocal/do contra l//l ClIerpo blal/do que contra 1//l0 duro, )' quemeda COI/ nids d!fícultad sobre 1111 tapiz que sobre ulla mesa, del mismomodo la acciól/ de esto materia sutil, es impedida CIImayorgrado por laspartíCl/las del aire, que SOI/ como blal/das)' poco juntas, l/O haciel/domucha resistencia, que por las del agua..., de modo que ClIal/to mtis durasy firmes seal/ las pequelias partes de 1/1/ ClIcrpo tn11lsparcl/tc, COI/ mtisfacilidad dtjanil/ pasar lall/z, pl/CS esta luz l/O tiene I/ccesidad dc cxpl/l­sarlas dc SI/S posiciol/cs, mientras quc l/l/a bala dcbe cxpulsar las delagl/a, para encontrar paso entre el/as","

Descartes se vio en la obligación de hacer extrapolaciones de l

mundo macro al microcorpuscular, con ana logías poco consistentes

para justificar que al rayo de luz le ocurre lo contrario que a la ba la.

Al parecer había trabajado este tema con rigor desde el punto de

vista del dibujo geométrico, como hacían los ópticos. En un informe

que Mydorge envió a Mersenne, aquél hacía referencia a sus trabajos

conjuntos con Descartes indicando una construcción geomét rica tra-

...,l1l-+>...,IIInn

O­l1l

......III

......c:N

109

p

o"Oo....

•Q)

E

L....Q)

EoQ)

l::l

VIQ)....LrouVIQ)

el bajada por éste que permitía diseñar la trayectoria del rayo refractado

y que contenía implícitamente la fórmula de la Ley de la Refracción. En

ese informe explicaba como, a partir del conocimiento de la trayecto­

ria de un rayo ACB que incidía en la superfici e de separación de los dos

medios en C, era posible construir la de cualquier otro rayo MCN.

Con centro en C y radio CA se traza la semicircunferencia supe­

rior. La cuerda paral ela a PCQ por A corta a la semicircunferencia en

D y la perpendicular a PCQ por D corta en B al rayo refractado. Con

centro en C y radio CB trazamos finalmente la semicircunferencia

inferior. Si ahora queremos conocer la trayectoria del rayo inciden­

te MC, basta trazar la cuerda paralela por M, obt ener el punto E y,

trazando la perpendicular por E, obtener el punto N buscado que

nos completa la trayectoria MCN. Es fácil ver que en esta construc­

ción geométri ca está implícita la Ley de la Refracción. En el triángu­

lo ACH se verifica que sen i = ~~, por otro lado en el triángulo CBI

será sen r = g~ , como AHy BIson de igual medida , tendremos que,

AC'sen i = Cñ-sen r es decir, la razón

sen i = CB = ksen r AC

Veamos las aportaciones de Fermat a esta cuestión. La justifica­

ción que se induce de sus reflexiones es, bajo el punto de vista mate­

mático, impecable. Parte de un principio fil osófico que dice haber

constatado: la natura leza funciona con criterio s de máximo ahorro

o solució n más fácil. Por tanto el rayo de luz cuando se desplaza en

un medio homogéneo y va de un punto a otro lo hace en línea recta,

porque de ese modo emplea un tiempo mínimo en hacerlo.

Análogamente , cuando cambie de medio , y en cada uno de ellos

lleve una velocidad distinta, su trayectoria será recta en cada uno

pero el punto en que atraviese la superficie de separación ha de ser

tal que el tiempo para desplazarse de un punto del pr imer medio a

otro del segundo medio sea el menor posible.

Supongamos que el rayo va a ir del punto A al B. El problema es

determinar el punto C donde debe atravesar a la superficie NSpara

que el tiempo empleado en el recorrido ACB sea el menor posible.

Estamos pues ante un problema de máximos y mínimos .

Resolviéndolo por medio de deri vadas, se trata de encontrar la

medida del segmento PC, que llamaremos x, para que el ti empo

empleado en recorrer AC + CB, alcance un valor mínimo. Usando el

teorema de Pit ágoras y designando como VI y V2 a las velocidades

respectivas de la luz en cada medio, tendremos que el tiem po total

t empleado por el rayo para ir desde A hasta B es funció n de x, según

la fórmula

siendo d la dis tancia entre P y Q.

Al derivar t obtenemos la expresión

r = 2x + 2 (d -x)(-l)2vt'/ a' + x' 2V21/ b' + (d - x)'

rQ)

...,ro-t>...,Q)

nn

a.ro

.-'eN

110 es constante. A esa constante se le llama índ ice de refracción. 111

autocensuraHolandaaños de10

o A

"OO.....

-Q)

E

>,

ro

l........ N

MEDIO 1 SQ)

E MEDIO 2OQ)

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VlQ).....l...roUVl BQ)

aEl valor x que hace mínimo el tiempo t empleado ha de ser solu­

ción de la ecuación t ' = O, es decir, simplificando, de la ecuación

x d-xv¡.,jo' +x'

Teniendo en cuenta que por un lado

x _ sen i.,Jo' + X'

y que por otrod-x

.,jlY+(d - x)'

hemos llegado a que el rayo forma con la normal en e un ángulo de

incidencia y uno de refracción que cump len

Descartes se trasladó a vivir a Holanda a finales de 1628. Varias

son las razones que se han apuntado para esa drástica decisión. En

principio podría entenderse que se sentiría más cómodo para desa­

rrollar sus reflexiones filosóficas en una tierra protestante, más libe­

ral en cuanto a la circ ulación de ideas, que en la Francia católica. El

asedio y toma de La Rochelle , ese mismo año, era el símbolo de que

terminaba la tolerancia hacia la religión protestante mayoritaria en

varias ciudades de Francia a las que se les había permitido tener un

status especial.

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112

sen i _ sen rv, - v2

es decir, la Ley de la Refracción.

También se ha sugerido, profundizando en la misma línea, que

las leyes más liberales sobre la edición hubieran atraído a Descar­

tes. Otras razones apuntan al efecto centrípeto que ejercían los

Países Bajos como foco científico al ser un lugar donde las ideas de

Copérnico eran aceptadas. Por último se ha señalado la necesidad

de aislarse para poder dedicarse en plenitud a la reflexión filosófica.

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114

Si esos fueron algunos de sus motivos, el futuro los iba a tor­

cer. Con el paso de los años tend rá serio s pro blemas para man­

tener sus te sis , enfren tado a los calvinista s , no hará uso del líbe­

ralismo en materia de impres ión y di fusión de libros, autocens u­

rándose en los que po dría n hab erl e acarreado más co nt rovers ia

y vivirá largos peri od os en ciudad es holandesas participando en

la vida social y en los círculos filosóficos y científicos, a lternan­

do con algunas huidas al campo para buscar su deseado ais la-

miento.

A su llegada vivió en Amsterdam. Visitó a Beeckman co n el

que había mante nido es tos años correspo ndencia. Sus relaciones

atravesaban una época difícil por un malente ndido que se deslizó

en cartas que am bos escribieron a Mersenne y se sintió ofendido

porque Beec kman pudiera sospechar que le había plagiado , lo que

llevó a un cruce de cartas en un tono cada vez más ofendido.

Descartes fue muc ho menos comedido que su primer tutor, lle­

gando a afirmar, con notable falta a la verdad, que "ha bía ap ren­

dido de Beec kman tanto como de las ho rmigas y los gusanos"

cuando es taba claro qu e sus co nve rsaciones iniciales le hab ían

abie rto vías de trabajo y reflexión . Se reconciliaron pero su rela­

ción fue ya dist ante.

Se matriculó como alu mno en la Univers idad de Franeker en

abril de 1629, firmando su inscripción como Renatus des Cortes,

Gal/us, Philosophus . Parece ser que el único efecto que buscaba con

esta insc ripción era lograr una cobertura legal para su res idencia en

Holanda.

Múltiples son los trabajos y temas que abordó Descartes en

estos años. Su interés por los temas de óp tica era permanen te y con­

tinuó trabajando sobre la curva anaclástica. Estaba convencido de

que su perfil debía ser el de una hipérbola, de modo que rayos para-

Los Países Bajos y España

Los Países Bajos constituyen el marco geográfico y el entorno histé­

rico donde se desarrolló una parte importante, más de veinte años, del

proyecto vital de Descartes. Los cincuenta y cuatro años de la biografía

de Descartes, 1596-1650, están prácticamente inmersos en el periodo

1568-1648, los ochenta años exactos que transcurren desde la ejecución

de los condes de Egmont y de Hornes y la firma de la Paz de Westfalia

que puso definitivamente fin a la guerra entre España y los Países Bajos

consagrando definitivamente la independencia de su territorio..

Tanto Carlos V como Felipe II respetaron, en principio, la autono­

mía de Flandes pero la decisión de imponer la Inquisición fue la mecha

de un movimiento de descontento de la nobleza y el pueblo, encabeza­

do por Guillermo de Orange y los condes de Egmont y Hornes.

Las dificultades económicas del imperio llevaron a Felipe II a bus­

car la paz. actuando el Papa Cleme nte Vlll como intermediario. El 2 de

mayo de 1598 se firmó la Paz de Vervins con Francia, abdicando Felipe

II el 6 de mayo de la soberanía de los Países Bajos en favor de su hija

Isabel Clara Eugenia. que se uniría en matrimonio con el Archiduque

Alberto. El 13 de septiembre del mismo año fallecería el rey en el monas­

terio de El Escorial.

Los comienzos de Alberto e Isabel Clara Eugenia no fueron fáciles.

Et mantenim iento de las campañas militares en Flandes era. económica­

mente, un saco sin fondo y el pragmatismo se impuso en unas largas con­

versaciones de paz. celebradas en La Haya. que culminaron en abril de

1609 con la firma de la Tregua de los Doce Años.

En ese tratado, los Archiduques, en su nombre y en el del Rey de

España Felipe lll, pactaron con los generales de las Provincias Unidas,

que era como se denominaban las provincias que se habían rebelado

contra el domin io español (que geográficamente se corresponde en la

actualidad con Holanda) , en calidad de estados libres, que se recono-

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115

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cían las posesiones mutuas y renunciaban a cualquier otra pretensión.

cesando toda hostilidad durante doce años y garantizando la libre circu­

lación de personas y bienes.

El primer año del reinado de Felipe IV de España coincidió con el

fin de la tregua y el Archiduque Alberto pretendió que las Provincias

Unidas reconociesen la soberanía española. lo que supuso en la práctica

volver a las hostilidades. El Marqués de Spínola, que ya había combati­

do antes contra Mauricio de Nassau. recibió el encargo de tomar la ciu­

dad de Breda. La rendición de la misma en /625. tras diez meses de ase­

dio, fue inmortalizada por Velázquez en el cuadro Las Lanzas.

En /633. tras el fallecimiento de Isabel Clara Eugenia, el Infante D.

Fernando, hermano menor de Felipe IV, fue designado Gobernador de los

Países Bajos. El conflicto de Flandes es ahora un escenario más de una

prolongada guerra de religi ón que durará desde / 6/8 a / 648 y que será lla­

mada por ello la Guerra de los Treinta Años. Su inicial carácter religioso

se transformó en geopolítico al aprovechar Francia la ocasión para debili­

tar a la Casa de Austria. Debido a ello, la presión sobre los tercios espa­

ñoles en Flandes se hizo insostenible.

D. Fernando murió en /64 / Y Felipe IV nombró a un noble portugués,

D. Francisco de Melo, como gobernador. La gran derrota sufrida por sus

tropas en Rocroy y el desgaste por una contienda tan prolongada llevaron

a un deseo generalizado de paz que se concretó en un largo proceso de

negociaciones, la Conferencia de Westfalia, que puso término a la Guerra

de los Treinta Años en 1648. Paralelam ente España reconoció. el 5 de

junio de ese año. a las Provincias Unidas de Holanda como nación libre.

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116 117

Ferrier

Para hacernos una idea de su pluralidad de inte reses y su capa­

cidad de trabajo basta ver que simultáneamente a lo anterior es ta­

ba ocupado con problemas metafísicos, argumentos sobre la exis­

tencia de Dios, y prob lemas geométricos.

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119

"La vía másrápidaque COIIOZCO para replicar losargumelltos que élha dado contra la Dil'illidad, y los argumel/tos en gel/eral de todos losateos, es encontrar una prueba evidente que convenciera a todos de laexistencia deDios. Puedo val/agloriarme de haber encontrado una queme satiiface plenamel/te y que me demuestra que Dios existe COI/ másseguridad que la que encuentro el/la verdad de cuaiuuier proposiciól/ dematemáticas, pero l/Osé siyo sería capaz de hacérsela comprel/der aClIalquiera, y por ello piel/SO que es mejor l/O compartir I/ada en estamateria que hacerlo de modo impeifeeto."

Una aclaración important e a la carta anterior es contextualizar

el término ateo, ya que para Mersenne los principales ateos de la

época eran Charron, Cardano y Bruno . La verdad es que los tres

admitían la existencia de Dios pero se desviaban de los plantea­

mientos oficiales , teniendo serios probl emas, por ello, con la

Inquis ición.

En esta carta puede vers e ya por un lado el criterio de verdad

que utiliza, la evidencia, y por otro la solidez argumental que reco­

noce a las demostraciones de tipo geométrico como método para

avanzar en el conocimiento, método pot encialmente superior al

simple uso de las cad enas de silogismos tan apreciadas por los filó­

sofos esc olás ticos.

En una carta a Mersenne dice , refiriéndose a los argumentos

planteados por un filósofo ateo:

Charron mant enía que la existencia de Dios no podía ser proba­

da por la razón sino que era cuestión de fe. Cardano decía que la

inmortalidad del alma o la creación de la nada eran también verda­

des de fe. Bruno defendía que la omnipotencia de Dios, aunque infi­

nita, era limitada porque actuaba siempre sobre cosas finitas. Por

Firma de Descartes alpie de una cart a.

tipos de lentes. Con ese motivo se estrecha su amistad y cola bora­

ción con Ferrier, al que comenta en diversas cartas sus prog resos en

el cálcu lo de los planos para const ruir una máquina para tallar len­

tes. En particular está inte resado en cortar lentes con una distancia

focal predeterminada. Nueve años más ta rde incluirá en su Dióptrica

un esq uema de la misma. Parece fuera de dudas que Descartes utili­

zaba ya en aquel momento la Ley de la Refracción y que le indicó a

Beeckman cómo utilizarla en la construcción de lentes.

Pertenecía a una familia fran cesa de Iabricantes de instrumen­

tos ópticos. Cuando Descartes se fue a vivir a Holanda le reclamó

como colaborador y le invitó a vivir como hermanos en Franeker,

pero Ferrier decidió seguir en París entablándose una importante

correspondencia técnica entre ellos. Más adelante sus relaciones

se enfriaron por el temor de Descartes a que sus avances fueran

revelados.

lelos incidentes que se refrac­

taran al atravesar la lente

hiperbólica se concentrarían

en el foco. Estaba preocupa­

do no sólo por el problema

teórico sino también po r

cómo ta llar los diferen tes

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118

sobre reflexión y refracción, la formación de los arco iris, halos, par­

helios etc ., pero enmarcándo lo dentro de su proyecto fil osófico, es

decir, como una muestra de la aplicación del método. Esto lo deja

claro ya en el primer párrafo de Los meteoros, donde en un bello

planteamiento textualmente anota:

"Es naturo! para nosotros tener más odmirccio« por cosas qlleestd» encima de nosotros qllepor aqllél/as qlle eStt111 al mismo nive! °por debajo. y allllqlle lasIIlIbes est án apellas nuis altasqllelas cimas dealgllllasmonta ñas,y amenudoes posibleI'cralgllllasnuis bajas qllc105pkos, sin embargo, al tener qlle dírigir nuestros ojos al cielo paramirarlas, lasimagillamos tan altasqlle 105 poetasy 105pintoresías colo­can en el trono de oíosy pilltall a ÉsteIIsalldo 5115 propías mallos paraímplllsar /05 vientos, rociar lasjlorcs°enviar105 rayos contra lasrocas.Esto me I/eva apensar qlle siexplico la naturalez« de las nubes de modoqllc ya 110 1105 admiremos de liada qlle I'eamos o qlle caiga de ellas,encontraremos qlle esJticil creer qlle es igllalmellte posible encontrarlasca lisas de todo lo qlle 1105 resulte admirable en la tierra"

estos matices , no exentos de

carga filosófica, ilustres pen­

sadores eran proscritos como

ateos.

Otro asunto por el que se

int eresa Descart es en aque­

llos años, y que culminará

más tarde con la publicación

de Los meteoros, es la explica­

ción desde sus posiciones físi­

cas y filosóficas de una serie

de fenómenos de la naturale­

za. Realmente su intención

Charron

Pierre Charron (/541­

1603) estudió filosofía y teolo­

gía en la Sorbona. Su notable

influencia se debe a su obra De

la sagesse (Sobre la sabidu­

ría) que alcanzó múltiples edi­

ciones. Su tesis central es que

nada es seguro fuera de la fe.

La obra sería, sin embargo,

incluida posteriormente en el

Índice de libros prohibidos por

la Iglesia Católica.era haber publicado un trata­

do más amplio El mundo que

no verá la luz hasta 1664,

catorce años después de su muerte , por causas que merece la pena

comentar.

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Descart es escribió a finales de 1629 a Mersenne pidiéndol e

información sobre un meteoro, el parhelio , que había sido observa­

do con particular int ensidad en Roma varios meses antes. El parhe­

li o, llamado tambi én falso sol , se forma por la refracción de los

rayos del sol al atravesar una nube de cristales hexagonales de hielo

en suspensión en la atmósfera. La consecuencia es la formación de

al menos una imagen circular de borde rojo y centro azul, un falso

sol. El astrónomo y jesuita alemán Scheiner divulgó este intenso

fenómeno observado en Roma y la noticia llegó a Descartes a través

de Reneri.

Su int erés por los meteoros, que venía de antes, se ve acrecen-

12 O tado por el reto de tratar de explicar, usando sus conocimientos

Señalábamos antes que en

Los meteoros Descart es inclu­

yó reflexiones que en un prin ­

cipio iban a formar parte de El

mundo. Esta obra, tam bién

ti tulada Tratado sobre la luz,

junto con El hombre, formaban

par te de su más ambicioso

proyec to, que era hacer un tr a­

tado en donde exponer su cos­

mouisión, es decir, su visión

integ rada del mundo inanima-

Reneri

Reneri (1593-1639) fue el

prim er discípulo de Descartes.

Estudió teología en Louaina y se

convirtió al Protestantismo.

Enseñó el sistema filosófico car­

tesiano en Deuenter en la recién

inaugurada Escuela Jlustre.

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122

do, del reino animal y del hombre. ¿Por qué desistió, a finales de

1633, de culminar su tarea? Una carta, de nuevo a Mersenne, aclara

su decisión :

"Había tellído la intencion de enviaros El mlllldo como regalo deA110 NlIevo, pero elltretallto ílldagllé ell Leídell síyaestaba díspollíbleElsístema del mtllldo de Galíleo, qlle había oído que sehabía pllblíca­do en Roma el mio pasado. Me hall dícho qlle ell efecto se pllblícó, peroqlle todas las copias hall sído qllemadas ell Roma y qlle Galíleo .hasídoawsado y sallcíollado. Me qlledé tall sorprendído qlle decídí qllemartodos mispapeles oal menos IlO dejar qlle Iladíe 105 vea. No podía ima­gíllar qlle él, un ítalía llo y creo que ell bllella relacíóll COIl el Papa,plleda serun crímíllalsólo porqlle ha ílltelltado, y además 10 ha cOllse­gllído, establecer que la Tierr« se mlleve. Debo admítír qlle síestofllerafalso tambíéll 10 serian 105 f lllldamentos de toda mí filosofía. Es ullaparte tan csellcíal de mí tratado qlle IlO puedo elímíllarla Síll dejar eltrabajo global defectlloso. Pero, al 110 qllerer pllblícar llIl díswrso qlletellga tilla sola palabra qlle la Iglesía desapruebe, prefíero sllprímírlo

antes qlle pllblícarlo ellf orma mlltí/ada."

Es lógico que, ante la cond ena a Galileo, Descartes se diera por

aludido ya que compartía sus tesis, pero no es tan lógico su replie­

gue ya que las circunstancias de uno y otro eran diferentes.

Descartes podía haber intentado la publicación en Holanda , donde

Copérnico era ampliamente aceptado, y no lo hizo. En él operó en

aquel momento una autocensura . Se comportó como un católico

ejemplar que temiese ant e todo enfrentarse con la Iglesia y que

estaba dispuesto a pagar el enorme coste de renunciar a la divulga­

ción de su pensamiento. Con esta decisión puso en práctica lo que

en una carta a Mersenne había planteado como estrategia para evi­

tarse probl emas : "Víve bien quíell está bien oculto':

Descartes se referirá más ta rde a estos hechos años en el

Discurso del método, su autobiografía vital y filosófica . Esta obra ,

junt o con La geometría, Los meteoros y La dióptrica, que la ac órnpa­

ñan como modelos de aplicación del método, cont ienen gran parte

de las tesis que sobre física contenía la obra autocensurada . Al

comenzar la sexta part e nos cuenta que:

"Hace tres mios qlle llegllé al término del tratado en dOllde estállestas cosas... walldo supeqlle ullas persollas ... habíall reprobado unaOpíllíÓIl defís íca publícada poco antespor otro ; IlO ouiero decir queyofuera deesaOpíllíÓll, sino sóloque Ilada había Ilotado en ella, antes deverla así cellsllrada, quemeparecíesepedlldícíalllí para la relígíóll nipara el Estadoy,por 10 tanto , Ilt1da queme 'lllbíeseímpedído escríbírla,dehabérmela pcrslladído la razóll...n

Significativam ent e no mencionó a Galileo por su nombre y no se

identificó explícitamente con sus tes is. No cabe por ello incluirle en

la nómina de intelectuales comprome tidos que por no renegar de las

ideas que conside raban correctas llegaron a pagar hasta con su vida

por ello. Giordano Bruno y Miguel Servet son dos paradigmas de esa

consec uente acti tud.

Sucintamente , en El mundo hizo uso de su teoría microcorpus­

cular para aplicarla al es tudio de diferentes fenómenos. Estos son

tan diversos como la reflexión y refracción de la luz, el movimient o

de los planetas, sat élites y cometas , los ciclos de las mareas , etc .

Para ello empleó tres leyes de la naturaleza que describen el com­

portam iento de los cuerpos al chocar. La primera de ellas es table­

ce que un cuerpo conse rva su movimiento excepto si choca, la

seg unda que el movimient o total de dos cuerpos que chocan se

conserva pero se redistribuye entre ellos y la terc era afirma que la

ten dencia inst ant ánea de un cuerpo al movers e es seg uir la línea

recta.

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123

Wil/iam Harvey (1578­

/657) fue un médico inglés

que estudi á medicina en

Cambridge y Padua.

Completó los trabajos de

Miguel Servet, que había des­

cubierto la circulación menor o

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125

pulmonar, explicando el meco­

nismo completo de la circula­

ción y la función del corazón.

moverse,... pueden describirse como si fueran efectuadas por una

máquina. El alma racional , exclusiva del hombre, controlaría sus

funciones específicas: entender y querer. En el hombre, la relación

entre el alma racional y la vegetativa y sensitiva estaría contro lada

por la glándula pineal o epífisis, alojada en el cerebro y a la que

Descar tes atr ibuye un papel central de coordinación.

Junto a observaciones correctas incluyó importantes errores o

interpretaciones erróneas de lo correctamente observado. Por

ejemplo, concebía al corazón como un horn o dond e se generaba el

calor del cuerpo, que se propagaría a través de la sangre, rechazan­

do el modelo de Harvey que concebía, acer tadamente, al corazón

como una bomba aspirante-impelente de la sangre.

Su explicació n del procedimiento por el que, a partir de la ima­

gen que se for ma en el ojo, se puede evaluar la distancia a la que se

encuent ra un ob je to se

apoya en una cur iosa analo-

gía. Un ciego que tuviera dos

bast ones en las manos Harveypod ría hacerse una idea de

la dista ncia a la que está un

obje to haciéndolos conver­

ger sobre él. Cuánto más

separadas estén las manos

más cerca estará el obje to y

la dis tanc ia exacta se podría

calcular por medios geomé­

tr icos. Análogamente, como

en los ojos se forman sendas

imágenes de un obj eto, los

ángu los que forman los

La ot ra obra que

formaba parte de su

proyecto de cosmolo­

gía no será publicada

hasta 1662 con el título

de El hombre, aunque

ya en el Discurso del

método anticipaba refle­

xion es sobre sus obser­

vaciones sobre fisi olo­

gía. Descartes estaba

interesado y había estu­

di ado y ejerc ido la

medicina. Sus tesis son

claramente mecanicis­

taso interpretando que

las manifestaci ones de

la vida vegetati va: cre­

cer, alimentarse, repro­

ducirse.... y las de la

vida sensitiva: percibir,

Los t or bel l i nos de Desca r t es

Haciendo uso de ellas trat ó de describir y explicar diferentes fenó­

menos. En algunos casos la descripción y la explicación son correctas;

en otros , aunque la descripción es correcta, la justificación se basa en

hipótesis incorrectas o confusas. Como ejemplo de lo prim ero estarí­

an las mareas, como ejemplo de lo segundo la teoría de los vórtices o

torbellinos para explicar los movimientos celestes en el sistema solar.

El Universo, según el esquema de Descart es, estaría compuesto por un

número indefinido de vórtices, cada uno con un solo una estrella en

su centro y una colección de cuerpos celestes girando a su alrededor.VIClJ

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124

al estar involuntariamente en el ojo del huracán de una agria polé­

mica entre el profesorado de Utrecht. No obstante, esta universidad

se consolidará como baluarte de la filosofía cartesiana en la segun­

da mitad del siglo XVII.

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127

ecuacionesyÁlgebra

Las importantes contribuciones que Descartes realiza en el

campo del álgebra están, en su mayor parte, incluidas en el tercer

libro de La geometría. Además de la mejora de la notación simbóli­

ca, introduciendo la notación exponencial para el producto de fac­

tores literales repetidos, su mayor aportación es la llamada regla de

los signos que iba a permitir saber, con sólo observar la secuencia

de signos de la ecuación , el número máximo de soluciones o raíces

reales positivas y negativas de la misma. Esta regla le será de utili­

dad posteriormente para analizar la resolución general de la ecua­

ción de cuarto grado, que es equivalente geométricamente al estu­

dio de los puntos de intersección de una parábola y de una circun­

ferencia adecuadas.

11

La regla de los signos puede enunciarse con sencillez utilizando

el mismo vocabulario que Descartes pero aclarando previamente

algunas cuestiones . Para comenzar supondremos que todos los tér­

minos de la ecuación están en el primer miembro, quedando el

rayos correspondientes y la

distancia interocular serían

datos para que el cerebro con

su geometría natural pudiera

calcular la distancia.

Regius

Henri le Roy, conocido

como Regius (/598-1679), fue

profesor de medicina en

Utrecht y se convirtió a la

muerte de Reneri en un propa­

gandista del cartesianismo.

Profesor de gran popularidad y

con gran capacidad de discu­

sión pública , contribuyó decisi­

vamente a Que se conocieran

las tesis de Descartes.

A pesar de su especial

cuidado en huir de las situa­

ciones que pudieran plantear­

le problemas, no lo conseguió

plenamente. Con ocasión de

la muerte de su discípulo

Reneri se organizó un home­

naje religioso en la Uni­

versidad de Utrecht en el que

se hizo un elogio del cartesia­

nismo como filosofía frente a

la tradicionalmente enseñada en sus aulas. Regius, como miembro

más destacado de esta corriente cartesiana, aceptó el desafío de

una discusión pública sobre sus tesis con Voetius, representante de

las tesis calvinistas. Éste, en sus argumentaciones, no dudó en ata­

car directamente la conducta privada de Descartes y ello hizo que

los últimos años de residencia en Holanda no le resultasen cómodos

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segundo reducid o a O. Además estarán ordenados de mayor a menor

grado y el coeficiente del término de mayor grado será siempre 1 (si

no lo fuera divid iendo toda la ecuación por dicho coefic iente pasa­

ría a ser 1).

Sea la ecuación-ti po de grado n

Descart es llama raíces verdaderas a las raíces reales positivas y raí­

ces falsas a las raíces reales negati vas, que para él significan carencia

de cantidad. Por ejemplo al resolver la ecuación x + 5 = Osu única raíz

o solución, - 5, sería falsa. También advierte que, además de las raí­

ces verdaderas y falsas, puede haber raíces imaginarias, que no sean

reales, como en la ecuación de segundo grado x2 + 4 = O.

Con estas premisas, si observamos los signos positivos o nega­

tivos de la lis ta ordenada de los coeficien tes de la ecuación:

1, a lo a2,... , an_ l , a.; unas veces habrá alternancia de signo al pasar de

un coeficie nte al siguiente, de + a - , o al revés, mientras que otras

veces se suceden dos signos iguales + Ó -.

Descartes enuncia que la ecuació n tendrá como mu cho tantas

raíces verdaderas como cambios de signo y tantas raíces falsas como

permanencias de signo. La cautela como mucho es para eliminar de

este cómputo las posibl es raíces imaginari as y las raíces repetidas .

Lo explicó basándose en un ejemplo conc reto, cons truyen do

una ecuación de cuar to grado a partir de una de primer grado a la

que iba añadiendo sucesivamente nuevas raíces. Para ello hace uso

implícitamente de un result ado ya enunciado por Víete, conocido

comúnmente como teorem a del factor, que establece que si un

polinomio tie ne como raíz x = k, el pol inomio p(x) es divi sible

entre x - k, o lo que es igual, que puede escr ibi rse en la forma

vuie

Francois Yiéte (1540-1603), matem ático interesado en la

criptografía y la astronomía y, sobre todo, en el álgebra, estable­

ció el teorema del factor y las fórmulas de relación entre raíces

y coe ficientes de una ecuación polinómica. Sus trabajos fueron

publicados por Beaugrand en 1631 al tiempo que acusaba a

Descartes de haber plagiado a Yiéte, aunque no parece estar

claro si Descartes conoció su obra directamente o tan sólo tenía

referencia de resultados.

p(x) = (x - k) . c(x) , siendo c(x) un polinomio de un grado menos

quep(x).

Part ió de la ecuación x - 2 =O, en la que la única raíz verdad era

es x = 2. La sucesión de coeficientes: 1, -2 da lugar a una sucesión de

signos +, - con un cambio de signo. A parti r de ella creó una ecuación

de segundo grado mult iplicando por (x - 3). La ecuación así obteni­

da (x - 2)(x - 3) = x 2- 5x + 6 = O ti ene dos raíces ve rdade ras

x = 2 Y x = 3. La sucesión de los coeficientes: 1, -5, 6 da lugar a una

de signos +, - , + dond e hay dos cambios. Para constru ir una ecuación

de tercer grado multiplicó por el factor (x - 4) . La nueva ecuación

que obt uvo fue (x2- 5x + 6)(x - 4) = O, que desarrollada y simplifica­

da conduce a Xl - 9x2+ 26x - 24 = O. En esta ecuación, cuyas raíces

x =2, x =3 y x =4 son las tres verdaderas, se observa que la sucesión .

de signos de los coeficientes: +, - , +, - t iene tres cambios de signo. La

regla enunciada parece cumplirse para las raíces verdaderas.

Finalmente, Descartes multiplicó por (x + 5) obteniendo la ecua-

ción (Xl - 9x2 + 26x - 24)(x + 5) = x ' - 4Xl - 19Á.2 + 106x - 120 = O.

'<

ro()

eIII()

o::JroVl

129

o"Oo

.¡...J

' Q)

E

1­.¡...J

Q)

EOQ)

~

VIQ)

.¡...J

1­roUVIQ)

el

130

Ecuación de cuarto grado, con tres raíces verdaderas y una falsa, en

la que la su cesión de los signos de los coeficientes: +, -, - , +, - pre­

senta ahora tres cambios y una permanencia , cumpli éndose la regla

enunciada.

Trab ajand o siempre, para ejemplificar, con la ecuación anterior,

cuyas raíces so n 2, 3, 4 Y-S , Descartes se detuvo para coment ar una

serie de trucos. El primero consis tía en que si en la ecuación cam­

biamos el signo a los coeficientes de los términos de grado impar la

nueva ecuación así obte nida x' + 4x1- 19r - 106x - 120 =O, tien e

como soluci ones precisament e las opues tas, es decir -2 , - 3, -4 Y5.

Este resultado es inmediato ya que si 2 es raíz de la primera ecua­

ción, quiere decir que sustituye ndo x = 2 en el polinomio de cuarto

grado, al realizar las operac iones numéricas obte ndremos como

resultad o O. Al tr atar de comprobar si - 2 es solución de la segund a,

sus tituyendo x = - 2 en el nuevo polinomio obte nemos precis ament e

la misma expresión numéri ca, que por tant o tambi én da O como

resultado. Según la regla de los signos , al tener nuestra nueva ecua­

ción la suces ión + , + , - , - , - es decir, un cam bio y tres permanencias ,

la ecuac ión deb e tener co mo mucho una raíz verdadera y tres falsas,

como efectivamente así ocur re.

Descartes indicó a continuación cómo cons truir una ecuació n

que tuviera como raíces las de nues tra ecuación de referenci a pero

incrementadas en una determinada cantidad . Por ejemplo si en

X l + 4.i' - 19r - 106x - 120 = O sustituimos x por y - 3 y desarrolla­

mos, obtendremos una ecuación cuyas raíces se rán -1 , O, 1 Y8, es

deci r, las de la ecuación or iginal, que eran -4 , - 3, - 2 Y5, incrementa­

das en 3. En concreto ha bría que desar rollar y redu cir términos en la

ecuación

(y - 3Y + 4(y - 3)3- 19(y - 3Y- 106(y - 3) - 120 =O

y se obte ndría i - 8y' - Y+ 8y = Oque sería la ecuació n buscada.

Utilizando el método anterior, dad a una ecuación que tuviera

raíces verdaderas y falsas, podríamos construir una cuyas raíces ,

todas verdaderas, fueran las raíces de la de la ecuación ant erior

incrementadas en una misma cantidad. Por ejemplo, en el caso ant e­

rior, que tenía una raíz verdadera x =5 Ytres falsas -2 , - 3 Y-4 bas­

taría hac er el cambio de x por y - s, Y operando llegaríamos a

i - 161 + 71y - 116y + 60 = O cuyas raíces son 1, 2, 3 Y lO, es decir

las ant eriores incrementadas en 5. Además son todas verdaderas,

lo que es coherent e con la regla de signos , ya que la sucesión +, - , + ,

- , + presenta cuatro cambios.

Aunqu e estos resultados eran de enunciado noved oso no eran

ciertament e geniales . También present ó Descar tes un pro cedi­

mient o para eliminar el término de grado n - 1 en una ecuación de

grado n. Para ello habría que sustituir x por y - k , para un k conve­

nient e. Las raíces de la nueva ecuación se rían las de la ecuación ori­

ginal incrementadas en k , con lo que conocidas las de la nueva se

obtendrían las de la ecuación or iginal rest and o k a cada una de ellas.

En una ecuación genera l de cuarto grado X l + mx' + nx' + px + q = O

podríamos encontrar el valor co nveniente de k para que al sustituir

x por y - k la ecuación nueva ca rec iera de tér mino en y .

Para ello al sustituir x por y - k tendríamos

(y - k)' + m(y - k)' + ... =O,

que desarrollado llevarí a a i + (m - 4k)y + ... =O, co n lo que hacien­

do k = ~ , la nueva ecuación, de cuarto grado en y, no tendrá tér­

mino de tercer grado. Este método permite reducir el problema de

la resolución de la ecuación de cuarto grado a la resolución de

x' + nx' + px + q =O. Análogament e, la resolución de la ecuación

general de tercer grado se redu ce a la de x1 + px + q = O, siendo en

este caso k = ~ .

roneQJn

o::lroVI

131

o-oo.¡..J

' <lJE

1­.¡..J

<lJEo<lJ\.:J

Vl<lJ

.¡..J

1­rouVl<lJel

132

Descartes utiliza aquí un método que ya había empleado

Cardano en la resolución general de la ecuación cúbica.

Cardano trató de generalizar la fórmula

-p± [jiC4Qx= 2

que da las raíces de la ecuación general de segundo grado

X- + px + q = O, a la ecuación de tercer grado.

Para ello , una vez reducido al problema de resolver

r + px + q =O, sustituyó x por u + v, desarrolló y redujo el

resultado obtenido: (u + vi + p(u + v) + q =O hasta obtener

u' + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = O que; reordenado y factorizado,

adopta la forma u' + u1 + (3uv+ p)(u + v) + q =O.

Cardano impuso la condición que u y v fueran tales que

3uv+ p = O . Los valores u y v, que pretendía encontrar, deberían

cumpli r en consecuencia dos cond iciones por lo que serían so lución

del sistema:

3uv + p = O

U3 + U1 + q = O

o lo que es igual

Este último sistema podría tomar un aspecto más sencillo si se

hiciera A = u', B = 03, quedando

A +B =-q

_LAB = 27

El prob lema se ha reducido, tras un laborioso proceso, a calcu­

lar dos números A y B, de los que conocemos su suma y su produc­

to. El sistema anterior puede resolverse por sustitució-n, haciendo

B =-q - A. La segunda ecuación se convierte en

A(-q -A) =_L27

que ordenada en la forma típica de la ecuación de segundo grado se

escribe

A2 + qA - L = O27

La ecuación ante rior tiene dos posibles soluciones

Si se tomase como A la que correspondiese al signo + delante

de la raíz cuadrada, B sería la que correspondería al signo - y recí­

procamente. Las raíces cúbicas de A y B nos darían los valores de u

y v que , sumados, permitirían obtener x .

Se tendría, por tanto, esta complicada fórmula general para la

resolución de la anterior ecuación de tercer grado . Si además se

tiene en cuenta que, para aplicar la fórmula, pr imero hay que elimi­

nar el término de segundo grado, vemos que el procedimiento es

poco manejable en la práctica.

Consideremos una ecuación de aspecto tan sencillo como

x' - X- - 4x + 4 =O, cuyas raíces so n 1, 2 y -2. Si quisiéramos resol­

verla aplicando el método de Cardano deberíamos

roneQJn

o:::lroVl

133

o"Oo+-J. (1)

E

1.0 Hacer su reducción med iante el cambio x =y + +, lo que,

tr as sustituir, operar, reduclr., nos llevar ía a la ecuac ión

cional, obte niendo así las

otras dos raíces de la ecua­

ción dad a. Bolzano

Su Regla permite obtener el cociente de dividir un polinomio

p(x) por el binomio x--a de un modo secuencial y automático.

Y.!L_L == 1,1547i4 27

'<

(1)

f"lellJf"l

o~(1)

V1

13 5

Bernhard Bolzano (/781-1848)

nació en Praga. Matemático lógico y

sacerdote, profundizó en diferentes

campos de la teoría de funciones. Es

célebre su teorema Entre dos valo­

res cualesquiera que dan dos resul­

tados opuestos se encuentra al

menos una raíz real de la ecuación.

Observó que este resultado es idénti­

co al que establece que si una fun­

ción continua toma valores de signo

opuesto en los extremos de un inter­

valo, debe anularse para al menos

un valor de ese intervalo.

Distinguió con claridad los con­

ceptos de continuidad y derivabili­

dad, cuestión que matemáticos de la

talla de Cauchy tenían confusa.

Estudió también la correspondencia

entre subconjuntos de infinitos núme­

ros reales, anticipándose al estudio

de la aritmética transtinita.

Ni que decir tiene que el

procedimiento es costoso de

utilizar y mucho más si no se

dispusiera de las calculado­

ras o programas de ordena­

dor hoy a nuestro alcance.

Además tiene un fondo mis­

terioso que no pasó desaper­

cibido a los algebristas del

Rena cimient o, pues para

obtener una raíz real era

necesario operar con núm e­

ros imaginarios.

El á lgebra proporcio­

na ría más ade lante un

método de resolución apli­

cable en el caso de que, al

menos , una de las raíces

fuera un número ente ro , lo

que unid o a un automatis­

mo de cálcul o, la conocida

co mo Regla de Ruffini, per­

mitió resolver con rapid ez.

si se daba esa condició n, la

ecuación de tercer grado .

El cá lculo, en concreto la

teoría sobre funcion es rea­

les continuas y en particu­

lar el teorema de Bolzano, y

' .

.:./ ~~ .

'1 13 70 OY - "3 y+ 27 =

, 13 702.2 Aplicar la formula de Carda no co n p =-3' q = '2.7 esto

nos exigiría ca lcular previament e una raíz cuadrada para

luego poder calcular una cúbica. Al hacerlo nos encontrarí­

amos con la raíz cuadrada de un número negativo , lo que

nos obligaría a saltar a los números complejos para poder

co ntinuar el cá lculo. Obte ndríamos que

Rufñni

Paolo Ruffini (/765-1822). Matemático y

médico italiano, dem ostró en su Teoría de las

ecuaciones la imposibilidad de resolver por

vía algebraica las ecuaciones de grado supe­

rior a cuatro, con lo que se anticipó a resulta­

dos posteriores de Galois y Abel.

A con tinuació n habría que determinar dos raíces cúbicas de se n­

dos números complejos. Tendríamos que realizar el proceso de cál­

culo con ayuda de un programa inform ático del tipo del DERIVE, lle­

gando a la so lución y = ~ , es decir x = ~ ++= 2. Obte nida una

raíz, aplicando el teorema del factor podría reducirse la ecuación

dada a una de segundo grado que se resolvería por la fórmula tra di-

L+-J(1)

Eo(1)

~

V1(1)

+-JLrouV1(1)

o

134

o"Oo.....

-Q)

E

>,

1........Q)

EoQ)

~

VIQ)

.....1...rouVIQ)

o

136

las técnicas de cálcu lo numérico ap licadas a funciones derivables

permiti rían proponer métodos para la determinación aproximada

de las raíces reales de una ecuación polinómica de cua lquier grado,

que ada ptados , son actualmente utilizados por los programas para

ordenador.

Podemos concluir que, en relación con la resolución de las

ecuaciones de tercer y cuarto grado, la aportación más inte resa nte

de Descartes es reduci r ese prob lema al es tudio de la intersección

de la parábola y =r y de una circunferencia cuya pos ición y tamaño

se es tablece en función de los coe ficientes concretos de la ecuació n

propuesta.

En concreto, para resolver la ec uac ión de cua rto gra do

x4 =ax' + bx +C, conside ramos la circunferencia de ce ntro

( ~ , a:2 1 ). siendo su radio r calculable mediante la fórmula

Por tanto, plant eado en termin ología ac tual, la intersección de

la parábola y la circunferencia se ob ten dría resolviend o el sis tema

y=r

(x - JL Y+ (y - -ª..:t...l Y= ( JL y+ ( -ª..:t...l ) 2 + C2 2 2 2

Desarrolla ndo la ecuación de la circunferenc ia y sus tituyendo

y =x' e y =Xl se obtiene sin dificult ad la ecuación inicial.

Desca rtes demostró que la resolución de l problema de la divi­

s ión de un ángulo en tres partes iguales , tratado ya en el capítulo

"Descartes y los compases", era equiva lente a reso lver una ecuac ión

de tercer grado del tipo r - 3z + q =O, que podía abo rda rse de las

tres forma sigu ientes:

a) geométricamente con ayuda del mesolabio

b) transforma rla en la ecuación Z 4_ 3z 2 + qz =O Y reso lverla

med iant e la intersección de una parábola y-una circunfe­

rencia

e) algebraicamente por la fórmula de Carda no

Lo que resu lta inte resante es la construcc ión geométrica que

incluye Desca rtes pa ra demostrar la equivalencia entre el prob lema

de trisección y la resolución de la ecuac ión plant eada.

Supo ngamos una circun ferencia de centro el pun to O y radio 1

y sea NOPel ángu lo que queremos tr isecar. Sea q =NP la medida de

la cuerda que une N y P Supongamos el problema resu elto y sea

NOQ el ángulo a que triseca al arco NP. Llamemos z =NQ a la longi­

tud de la cuerda correspondiente. Lo que Desca rtes de mos tró es

que entre z y q se verificaba la relación algebraica q =3z - Z 3. Los

pun tos Qy T dividen el arco NP en tres partes iguales. Los triángu-

Q

> -......()'Qrocr.,III

'<

roneIIIn

O:J

e rou =1" VI

137

o"Oo

.¡..J. (IJ

E

ro

1­.¡..J

(IJ

Eo(IJl:)

VI(IJ

.¡..J

1­rouVI(IJ

el

los NOQ, QOTy TOPso n isósceles e iguales entre sí, el lado desigual

de cada tr iángulo mide z. Los radios trazados desd e O a Qy T cor­

tan a NP en R y M resp ectivamente. QS es paralelo a TM.

Con estos antecedentes no resu lta difícil demostrar que los

triángulos QNR y SQR son también isósceles, siendo NQ = NR en el

primero y QS = QR en el segundo. Además los ángulos QNR y SQR

valen o; con lo que los tres triángulos NOQ, RNQ y SQR so n isósce­

les y semejantes entre sí, siendo el ángu lo des igual, en cada uno de

ellos, el de vértice O, N YQrespectivamente.

Esto permit e establece r la prop orción 1 2 El Dis cu r so deZ método

138

o lo que es igual,

de donde QR = Z 2 YRS = ZJ.

El segmento q =NP puede expresarse como

NP =NR- RS + SM + MP

Como NR =SM =MP =z y NP =q res ulta que q =3z-RSy susti­

tuyen do RS por su valor tend remos la ecuación algebraica antes for­

mulada .

En junio de 1637 Descartes publicó, al fin, en Leyden, el Discurso

del método. Se hab ía trasladado a vivir a esa ciudad holand esa un

año antes para preparar y supervisa r la edición. Como anexo al

Discurso se publicaro n tres obras o ensayos: La dióptrica, Los meteo­

ros y La geometría. Entre el Discurso y estos tres ensayos hay una

relación dialéctica , ya que el pr imero es una introdu cción a los mis­

mos pero, a su vez, los tres ensayos son una aplicac ión de los prin­

cipios metodológicos del Discurso y en el proceso intelectual de ela­

boración de su teoría le preceden.

Según la pro pia portada de la obra, el método ser ía el camino

para "collducir ccrreaamcnte nuestra capacidad derazollary buscar as, laI'erdadcnlas ticncias". Pero por su es tr uctura formal tiene bast ant e de

una autobiografía en la que Descartes nos muestra la evolución de

sus reflexiones, jalonand o la descrip ción del proceso con datos cir­

cuns tanciales de su vida y experiencias.

mr-'

:;,11).r-tOQ.O

139

"Puede so; na ObJ(¡1IIft~ qm' IIIl' t'IIgl7lit~ ) ' acaso lo qlll' 1111'potreeoroj'/l/V)' díl7ll/'1IIfl'jiíw noJt'17 sino /l/1j'OCO de {obreylit' l'Iílrío"

"corpus de doctrina" al respecto, limitánd ose a llamarlo Discurso,

que bien podríamos traducir como reflexión en voz alta. Además , es

caute loso so bre los resultados obtenidos y no dud a en confesar :

OI 4iCOC R S

LA DIOPTRIQV E.

LE.S ME.T EORES.

r L 11 •

L A GEO METR IE.

§}.!!J { H I "'1 tffiUJ tÚ etlt M I TlIODL

T

1'011' bienceoduire far.li(on,~ chercha

11,,"aité .Lns1 rcle'nccs.

... Lr"" l

De nmp<imrri<dc: ( • N M . I . ..

..- 1 :» I 3 ~ , ,, 1; . '"A,." TnlNl'lt.

DE. LA METHOD E

Por t ada de l a primera edi ciónde l Di scurso de l método.

Descartes pasa revist a a su biografía para describirnos su cami­

no hacia el método. Hace referencia a su formación acadé mica, des­

tacando "IJIIC t'II111.1 lIIilft'lIIáfÍm,f !tI!)'JllfÍ/¡;'ÍlIII1J ÍlII't'II{ÍtJllt',fIJIt'P"t'IIt'11ser

dl' IIIIIC!tO JCI1'k ÍtJ, tantoj'l1mJ'tw!fáct'ra10.1 curiosos, millopilmfidlífilr IasartestodI1J) ' dí."-llJIíllltÍ' d fmbqjo IIt,ftJ,f /¡olllbm. (..) GIIJfilbil, sobr: fOtftJ,

de Ias lIIaft'lIIáfkl1.>", j'or 111 artera)' t'l'Iílt'JICÍt7 IJllt' j'OJt't'II .111.1 meones (..),

t:rfrmitfbillllt' 1J"t~ ,fÍt'l/do .111.1

dlllÍt'llfOJ (¡111 jlmlt'J)' Jó/¡íftJJ~

110 se !tllbÍt:ít' cOIIJfr/l/íltJ sobreclft'.í IIIl1l7 llltií /t' /',1IIfmlo ':

Tambié n se refiere su

etapa viajera, en la que visi­

tó distintas cortes eu ropeas

alistado en diferent es ejérci­

tos . De ella sacó una impor­

tant e lección sobre el relati­

vismo de las cos tumbres y

las creencias . Lo que a ojos

de una colectividad pudi era

parecer chocante o extrava­

gan te era admitido como

normal en la práctica diaria

de otra. Ese relativismo tam-

" YJí eJtT/oo t'IIjií1I/CÓ~ qllers la ICllgll11 de lIIí j'ills, CII IlIgl1r (khaceria CII Il1flÍl , qllees d ídíOllll1l1fÍlízildoj'or misj'reCt'j'forl'J, l'JJJ(If'­

qlll' t:íJ1t'ro qm' 10.1 qlle!tl1gill/ IIJ'tJde JIlj'lIm mzdn natura], jllzgl1ráll

lI1tjor misOj'Íllíolles qllc Ios qllc sólo (rt'CII CII 10.1 líbroJ 11IIfígIlOJ,)' CII

atanto I1ft'Jqm' IlIIt'lI 111bllCII sentido d CJflldío, líllímJqlledeseo St'111/

lIIísj ílt'Ct'J, 110 serdu Jt'g11lí7111C11fC tau pardala CIIj7J'(Jr 1MftWíl qllt'se

I/íegllt'll 11 otr misraraucspor trt:rj'límdl1,f t'IIkl/gll1l'"/gI1r' :

En el Discurso, Descart es deja aflorar, en distintos moment os , un

tono irón ico, que parece ser heredado de Mont aigne, y que le va a

permitir abordar o comentar s ituaciones que, front alment e plant ea­

das le podrían haber creado dificultades , pero que for muladas así le

pe rmitieron ampararse en el beneficio de la dud a so bre cuál era

realmente su posición. Reflexiona al com ienzo sobre el buen sentido,

razón o ingenio , que co nside ra es "la cosa mejor repartida del

mundo" ya que todo el mund o cree es tar bien aprovisionado . El

pro blema es cómo utilizarlo bien...

El Discurso se compone de seis partes. El autor da ya en el pró­

logo una orientación metodológica sobre su lectura advirtiendo a

quienes les parezca demasiado largo que la misma puede hacerse en

los se is capítulos en que se es truc tura. Está esc rito en francés y no

en latín como era frecuente en muchas obras científicas y filosóficas

de la época. Descart es no quiere dejar pasa r por alto este detalle y

al final de la obra incluye el s iguiente pár rafo al respec to:

Afirma que sus reflexiones le han llevado a "formar un método"

media nte el cual ha aumen tado gradualmente su conoci miento y

que quiere exponerlo por si puede se r útil a los de más , pero sin

volunt ad de adoc trinar a nadie. En una carta a Mersenne comentará

que , precisamente por ello, no ha querido titu lar su obra como

Tratado del método, que se ría más ambicioso y haría pens ar en un

ro

o"Oo....,

' ClJE

VIClJ....,LrouVIClJel

L....,ClJEoClJ

\.:l

14 0 141

o-oo

.¡..J. Q)

E

ro

"­.¡..J

Q)

EoQ)

~

VIQ)

.¡..J

"­rouVIQ)

o

142

bién lo hab ía observado al estudiar lo que los filósofos habían opi­

nado sobre los probl emas esenciales de su reflexión, la divers idad

de posic iones e incluso su incompatibilid ad le hacían dud ar ace rca

de dónd e estaba realmente la verdad.

Tras hacer una conside ració n sobre el mejor urb anism o que se

obse rva en las ciudades de nueva planta frent e a las ciudades anti­

guas que crecen caó ticamente, o so bre la mayor calidad de las

viviendas nuevas frent e a las reformadas, decide hacer con su pen­

samient o algo similar. Para ello decide replant ear desd e el principio" Itodas sus creencias , haciendo tabla rasa de lo ant erior: ...por 10tJlle

toca alasoplÍlíolleJ (..) nopodlÍ7Yo hilCtTl/ild.7 IIItjor'i"eelllpretlderdeuna

ve: la labor ,It,JllprlÍllk/il5, pilm JIIJfÍfllírlt7.f IlIegopor otras nuforcs opor Iasnustnas. atasdo lilJhllbíem f!Í"Jtildo Illl/íl'dde la razdu ':

Para buscar el método que le perm ita llegar al verd adero cono­

cimient o se fija en la lógica, la geometría y el álgebr a. Respecto a la

lógica "JIIJJ'íltJJisllloJ (..) IIIt1.HIÍ'I't'lIpllm explímr aotroslas COJIl.í)'1l sabi-

Llull

Ramon L/ull, O en su versión castellanizada Raimundo Lulio,

(/233-1315) fue un filósofo y poeta nacido en Mallorca.

Consideraba que para la conversión de los infieles era necesario

demostrar racionalmente la verdad cristiana

Para ello construyó un procedimiento para demostrar auto­

máticamente la verdad mediante una especie de árboles combi­

natorios, que llam ó Ars Magna. En este sentido su intención coin­

cide con la de Descartes, quien había conocido referencias de su

obra, primero en el colegio de La Fleche y luego en su relación

con la orden de la Rosacruz.

Ift7J Oindusa. COIIIO d arte de llllío, pilm hilbft7rJlÍljllído de las ígllomdil.~

'i"epilmilprmderft7./. De la geometría valora "qu«eJtáJÍflllpretanCOIIJ­

tmiídil a considerar lilJ;¿({lm7J~ 'i"e 110plld etjercítilrd mtflldlÍllíelltoJIÍI

causarglíll/delllfllte la IÍllilglÍlilCllill ". Del álgebra opina "mnto se hanJ'!íetild.JJIIJ CIIlfÍl'ildoreJ a ciaras reglilJ)' a ciaras c!fiíl.>~ tJlle han hecho de

ellil lll/ arteC{J/!fiIJOy oscuro". Por todo ello trata de buscar un método

que, uniend o las ventajas de los métodos de cada una de esas dis­

ciplinas, evitara sus defectos.

Las reglas que formula para dirigir su pens amient o so n só lo cua­

tro, ya que "lillll/lItÍfIfl{,It, leyeJJIÍ'/'e IIII1YIllllml/{ltJ de dÍJ"CIIlpll17IOJ J'ícÍtJJ~

Jíelldo 1111 EftlllltJ IIIl1cho IIItjor regído CIIllIllfo hll)'pomJ~ pero I/I/!)' estricta­lIIellteobsaveda«: "

Sinté ticamente podríamos enunciarlas:

• No admitir como verdadera cosa alguna como no supi ese

con evidencia que lo es.

• Dividir cada una de las dificultades que examine en cuan­

tas part es fuera posibl e para su mejor solución.

• Conducir ordenadamente el pensamient o. De lo fácil a lo

difícil, de lo s imple a lo compues to.

• Hacer recuentos y revisiones generales para no omitir

nada.

Las cuatro reglas del método cartes iano so n reconocibles , en

formulacio nes próximas o equivalentes , en el anális is de cualquier

conjetura, propiedad o probl ema geométrico, el propi o Descartes lo

valora así "cutretodos ItJJ 'i"ehastaahorahllll lÍlI'eJtígmltJIII /'fIllld fII!t 7J

aamas. Rilo 10JlIIiltelllátícoJhlll/podíd.J encontrar 1l/gllllilJdanostracianes,esto es, 1l/gllllilJrasoucs cíertllJ)'eJ'ídflltd:

Una vez en pos es ión de esas reglas Descartes dedicab a

"de CIIllIllfo en amudo il/gWIIlJ horas IlpmcfÍmr!t75, pamadannanet'11 d!fl­

CIIlfIlde.f lit' matemdncas, Otlllllbíéll etI 1l/gI/llIl.f otras 'i"ePOdú7lmcer casi

m......

143

Tras la publicación del Discurso, Descartes dedicó varios años

de su vida int electual a mantener una voluminosa correspondencia

sobre sus contenidos filos óficos y científ icos. Coti dianamente

empleó bastante ti empo en cuestiones de jardinería y botáni ca,

parece ser que con la int ención de estudiar las plantas medicinales,

llegando incluso a hacer intercambio de semil las con Mersenne.

Esta afición la compartió con la disección de órganos de animales

para avanzar en sus observaciones sobre anatomía y fisi ología.

La correspond encia surgida alrededor de La geometría le ll evó

a int eresarse por la teoría de números, en concreto con los proble­

mas de los divisores de un número natural. Desde la matemática

griega eran conocidos resultados relacionados con la divis ibilidad,

distinguiendo entre números primos y compuestos, construyendo

tablas de números primos y demostrando que la lista de números

primos era infinita. Tambi én era conocida una propiedad específica

de ciertos números, los llamados números perfectos, que coinciden

con la suma de tod os sus divisores, excluyendo al propio número.

o\Jo....

•<lJE

ro

"­....<lJEo<lJ~

VI<lJ...."­rouVI<lJel

144

JCllltjl1l1ft:' 11111.1 dc111.1 IIIIUt'lIItifÍmJ (..) todo CJfOpllede verse CIIl'I1ríl1J ates­

fíOllt'JIjllt' 1'1111 t:ll'líml{¡lJCII t'Jft' lIIíJIIIO"ollllllel/:

Según él mismo afirmó, para profundizar en el método decidió

buscar un sitio donde poder dedicars e a la reflexión filosófica, sien­

do ese el mot ivo por el que dejó Francia y se trasladó a vivir a

Holanda dond e "en medto de 1111gn1llpllcbftJIIU!)' I1CfÍl'O, mds amuo aIos

propiaslIt'godOJ Ijllt'cunosodt10.1 '!Ít'1I0J~ ht'podído, sin carecer tIt·IIÍlrgllllll ,lt·

111.1 CtWIO,lrí{¡lIlt'JIjllt'hll)' CII otras IlltiJj7-tnlt'llftllll1J (/í¡¡fI1t1t)~ I'íl'k tan sohta­rrlJY ITfÍlíl1ftJcomoCII d Illti. ltjmllJ desiato".

Ocho años después de su llegada a Holanda consideró que su

pensamiento estaba ya lo suficientemente elaborado como para ser

divu lgado en forma escrita. En su búsqueda de una verdad primera

e incuestionable, es decir, del postulado a partir del cual construir

el conocimi ento de la realidad , intuyó la que se ha conver ti do en su

máxima más conocida

' / lI('IIS0, /rU'gO t:rí.'fO n

Jt'pt'IIJt', dOlltj esuis".

Para llegar a esa formulación Descartes partió de su constata­

ción de que todos los hombres están expuestos al error al razonar

por lo que, cautelarmente, prefirió adoptar la postura de que todo

era falso. Desde esta posición provisional "l1d,'crf/lllt'go Ijlle, qucricn­

do)'0pCIIJI1I; lit' t:'11 suene. IjlletodoCJjl¿'O, cmncasariaIjllt') 'O, Ijllt' lopClI ­

saba,Jilt:'t' 111g111111 COJI1;Y obJt'n '11II,ftJ IjIU' esta l't'rt{¡ldpít'llJO, IlIego JI!)' cm

fmlj lrlllt') ' Jegllm (,.)j llzglllljllcPOdlÍl rt'dbírll1 millo dprÍlIlt'rpníldpío

de1t7Ji1tJJtjiOIjIlC t:ffl1bl1 bllJmlrdo ':

A partir de ese principio y usando las reglas del método, el

Discurso plant ea los problemas metafísicos clásico s de la existencia

de Dios, del alma, etc. e incluye en su parte quinta un resumen de la

obra El mundo que, como ya se ha comentado, decidi ó autoc ensurar

tras las dificultades que había tenido Gali leo con la Inquisición.

1 3 Viaje sin retorno

<

VI

..,ror-t­o..,:::Jo

145

Cuando Descartes se acercaba ya a los cincuenta años surgió en su

vida una joven. a la que rara vez vio en pers ona pero con la que rnan­

146 tuvo abundant e corresp ondencia. Se trataba de la princesa Isabel de

o"Oo......•Q)

E

ro

L.......Q)

EoQ)

l!)

VIQ)......L.rouVIQ)

o

Por ejemplo si cons ideramos el núm ero 10. la lista de sus divisores .

sin contar el propio 10. se reduce a 1. 2 Y 5. Su suma es 8 Y. por

tanto. 10 no es un núm ero perfecto. Los griegos conocían algunos

números perfectos como el 6 y el 28. Los divi sores de 6. excluido él

mismo. son 1. 2 Y 3 Y se verifica qu e 6 =1 + 2 + 3. Análogamente

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Tambi én son núm eros perfectos 496. 8128...

Si. siendo n un número natural cualquiera. designamos por

d¡(n) . d2(n) . .... dln)•... a la lista ordenada de divis ores de n, exclu­

yendo al propio n, esa list a. que es finita. se reduce en el caso de un

núm ero primo al número 1. Par a un núm ero compuest o la list a

empieza también con el 1 pero tien e más elementos. Un núm ero es

perfecto si Ed¡(n) =n.

Si se verifica que Edln) < n, el núm ero es deficiente. como el IO,

mientras que si Edl n) > n el núm ero es abundante. co mo el 20. Un

tip o es pecial de núm eros abundantes son los perfectos por múltiplos.

que verific an Edl n) =kn , siendo k un núm ero natural mayor qu e 1.

Por ejemplo el núm ero 120 verifi ca qu e la suma de su list a

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 = 240 = 2·120

Descartes incluyó en su corresponden cia con Mersenne, qui en

le había propuesto el problema de cómo hallarlos . varios núm eros

de este tip o. Asimismo se interesó en la búsqueda de parejas de

núm eros den ominados núm eros amigos. Se dic e que dos núm eros

naturales m y n son amigos si Edl n) = m. Ed¡(m) = n. Por ejemplo se

co mprue ba fácilmente que 220 y 284 son amigos .

¡Pero no resulta tan fácil encontrar un par de ami gos como

9363584 y 9437056! Descartes lo hizo y lo comunicó en sus cartas.

Bohemia. a la que Descartes llevaba más de veinte años. La relación

entre ellos puede entenderse como de tut or-cons ejero hacia una discí­

pula con inquietudes inte lectuales. Al parecer podrí a haber es tado ena­

morado de la joven y las cartas entre ellos desvelan aspec tos íntimos

de la vida de Descartes que no había transmitido nunca ant eriormente

por escrito a otras personas.

Dedi cará a Isab el el Tratado de las pasiones. donde en forma de

breves ar tíc ulos. más de doscientos . hace una des cripción exhaus­

tiva de las mismas describiendo las vías po r las qu e se relaci onan la

mente y el cue rpo del ser hum ano. En una de las ca rtas Descartes

narra lo qu e se ente ndería hoy por una somatizac ion, al intu ir que la

última razón de unas febrículas de Isab el podría ser los sentimien­

tos melancólicos qu e albe rga ba en su mente.

Pascal

Blaise Pascal (/623-1662) heredó de su padre la afición por las

matemáticas . A los doce años trabajaba sobre los Elementos de

Euclides y a los dieciséis. desarrollando una idea de Desargues,

publicó un Ensayo sobre las secciones cónicas.

Participó, junto a su padre. en las reuniones de matemáticos

que organizaba Mersenne. Se interesó por la automatiza ción del cál­

culo y construyó la primera máquina que permitía sumar y restar.

Participó activamente en las primeras polémicas que dieron

lugar al nacimiento del cálculo de probabilidades, al tratar de justi­

ficar pautas observadas en los juegos de azar.

También se le considera precursor del cálculo diferencial. En el

campo de la física destacan sus estudios sobre la presión y la forma

en que se transmite.

<llJ...... .ro

..,rorto..,:Jo

147

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148

Como tJO podría dejar de se r, en la correspondencia surgieron

también cUestiones matemát icas. Descartes le plantó el problema de

la construcción de una circunferencia que fuera tangente a tres dadas,

que Isabel resolvió pues tenía una buena formación geomét rica, aun­

que Descartes aprovechó la ocasión para iniciarla en los métodos de

la geornetrig analít ica, que según él, llevarían a soluciones más ele­

gantes para este tipo de problem as .

Isabel :,e vio ob ligada a abando nar precipitadamente

Holand a a consec uenci a de un homicidio en el que

había participado su hermano. Marchó a Berlín y

mantuvo c(j(res ponde ncia con Descartes , que

lament ó mtJch o su alejamiento. Al parecer,

la poslbíliqnd de vo lver a enco ntrarse

pud o se r uno de los motivos para que

Descartes il.t,:eptase ir a vivir a Suecia .

Descartes pas ó el ve rano de

1647 en Fr<tl1cia. En ese viaje cono­

ció a Pas~¿ll , que tenía fama de

joven prodigio. Descartes sugirió

a Pascal la realización de un expe­

rimento para confirmar la teo ría

de Torrlcej jl so bre la pres ión

at rnosférícs Pascal lo realizó

ascendiend.j al Puy-d e-Dóme y

Descart es jmpartiendo clases a la re in aCrist in a d ~ Suec ia ( de t al l e de un cua ­dro de Pi er( e Loui s Dumesnil del sig l oXVII I) .

rea lizando allí el experimento de Torrice lli de los tubos inver tidos

sobre una cubeta de mercurio. Comprobó que la pres ión atm osféri­

ca dism inuía co n la altitud y que el descenso de mercuri o deja ba un

vacío en la parte superio r de los tub os .

o"Oo+-'-Q.1E

1­+-'Q.IEoQ.Il:l

VlQ.I+-'1­rouVlQ.Iel

150

A su regreso a Holanda comenzó sus contactos para trasladarse

temporalmente a Suecia. Había conocido a Chanut , funcionario de

finanzas, que había sido enviado en misión diplomática a Suecia y

que luego se convertiría en embajador de Francia ante la monarquía

sueca. Descartes mantuvo correspondencia con Chanut y fue perfi­

lando su proyecto.

En la monarquía sueca, y en particular en la reina Cristina,

Descartes ve un apoyo y una seguridad que en Holanda le falta,

sobre todo a partir de las polémicas filosófico-religiosas que le

enfrentan con algunos núcleos protestantes. Además ve la posibili­

dad de realizar experimentos sobre la presión atmosférica en latitu­

des más altas. Según su teoría de que el aire alrededor de la tierra

formaría remolinos al girar ésta, pensaba que la presión atmosférica

disminuiría al acercarse a los polos.

En octubre de 1649 llegó a Estocolmo. Se hospedó en casa de

Chanut y fue recibido por la reina Cristina. A partir de enero, la reina

reclamará su presencia para que le imparta lecciones de filosofía.

Estas clases, tres días a la semana, se darían de madrugada.

Descartes, que toda su vida se había levantado tarde por su delica­

do estado de salud, tenía un carruaje esperándole a las cuatro y

media de la mañana para trasladarle a palacio. El invierno báltico,

extremadamente riguroso, hizo el resto. Una pulmonía le mantuvo

en cama desde primeros de febrero de 1650, falleciendo el día II de

febrero. Durante un tiempo se especuló sobre su posible envenena­

miento por parte de algún grupo de la nobleza luterana, que hubie­

ra querido poner tajantemente remedio a la influencia que

Descartes pudiera ejercer sobre la reina Cristina. Los datos son, sin

embargo, incuestionables y su muerte fue la consecuencia lógica

del rigor meteorológico sobre un organismo debilitado. Sus restos

serían exhumados y trasladados a París en 1666.

Pano rama de la época

de Descartes

1506

1516

1517

1533

1536

1540

1543

1544

1545

1546

1556

1561

1563

1564

1568

1569

1571

1572

1579

1582

1584

David de Miguel Angel

Utopía de Tomás Moro

Lutero publi ca sus 95 tesis

Tartag lía publi ca Nova scientia

Muere Eras mo

Fundación Compañía de Jesús

Copérn ico publica De revolutionibus

Comienza el Concilio de Trent o

Cardano publica su Ars Magna

Muere Lutero

Muere Ignacio de Loyola

Felipe 11 traslada la Corte a Madrid

Se inicia la cons trucción del Monast erio de El Escoria l

Nacen Galileo y Sha kespea re

Ejecució n del Conde Egmont

Planisfer io de Mercator

Batalla de Lepant o

Bomb elli publi ca su Álgebra

Víete publica Canon math ematicus

Calenda rio Gregoriano

Asesinato de Guillermo de Orange

c.ro

ro,-oOnIII

c.ro

oroVlnIII...,r-t­roVl

153

c.ro

c.ro

"tlJ::Jo..,tlJ3tlJ

.......tlJ

oroVlntlJ..,rtroVl

ro­"OOntlJ

155

Leibniz pub lica Nova methodus pro maximis et minimis

Nacen Haendel y Bach

Principia mathematica de Newto n

Muere Cristina de Suecia

Rolle publ ica su tratad o de Álgebra

Nace Voltaire

L'H6pit al enuncia su regla

Fundación de la Academ ia de Ciencia s de Berlín

1642 Muere Galileo.

Nace Newton

1643 Baróme tro de Torricelli

1644 Opuscula geometrica de Torricelli

1646 Nace Leibni z.

Paz de Weslfalia

1648 Muere Mers enn e

1649 Descartes viaja a Suecia

1650 Máq uina de calcu lar de Pascal.

Muere Descartes

1659 Van Schooten publica Geometría a Renato Des Cartes

1663 La Igles ia incluye las obras de Desca rt es en el índice de

libros proh ibidos

1666 Fortificacio nes de Vauban

1670 Trabaj os de Cara muel sobre numeración en bas e n.

Lecciones de geometría de Barrow

Huygens publica su teo ría del péndulo Horologium oscil/atorium

Rórner mide la velocida d de la luz

1673

1675

1684

1685

1687

1689

1690

1694

1696

1700

o 1585 Stevin publica L'Aritm étique"OO 1586 El Greco: Entierro del Conde de Orgaz+-J. (1)

1588 Nace Mersenn e.E

c-, Derro ta de la Armada Invencible

ro 1594 Muere Mont aigneL 1595 Clavius publi ca Novi Calendarii Romani apologia+-J(1)

1596 Nace DescartesEO

El Padre Suárez Doctor Eximius en Coimbra(1) 1597\..=>

1598 Muere Felipe 11V1

1600 Giordano Bruno quemado en la hoguera por la Inquis ición(1)

+-JPrimera parte de El QuijoteL 1605

rou 1606 Nace RembrandtV1(1)

1606 Mont everdi com pone Orfeoel

1609 Telescopio de Galileo

Kepler publi ca Astronomia nova

1610 Microscopi o de Leeuwnhoeck

Enrique IV, rey de Fra ncia , es asesinado

1614 Napier intro duce los logar itmos

1616 Mueren Cervantes y Shakespeare

1618 Comienza la Guerra de los Treinta Años

1619 Sueños de Descartes

1620 Snell lormula la Ley de Refracción

1624 El ca rde nal Richelieu minist ro de Luis XIII de Francia

1626 Asedio de La Rochelle

1628 Har vey pu blica De motu cordis et sanguinis

1629 Método para det erm inar máximos y mínimos de Fermat

Descartes en Holand a

1632 Galileo condena do por la Inquis ición

1634 Versión holandesa de la Biblia

1635 Mersenn e lund a la Academia de Matemáticos Ilustres

Velázquez pinta Las lanzas o La rendición de Breda .

1636 Rubens pinta Las tres Gracias

1637 Descartes publica el Discurso del método y La geome tría

1640 Essai pour les Coniques de Pascal

154

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Eo(1)

l:J

Vl(1)

.....1­rouVl(1)

o

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Unive rs ita rias de Zaragoza. Zaragoza, 1989.

De las edic iones co mentadas de obras de Descartes son

especialmente recomendabl es para es tudiar sus

aportaciones cien tífico-mate máticas:

Discours de la méthode suivi d 'extraits de la Dioptrique, des Météores... Edición

de Rodis Genevíeve, GF-Flarnrnarion . París, 1992.

Discurso del método. Dióptrica, Meteoros y Geometría . Edición de Qulnt ás

Alonso G. Alfaguara. Madrid , 1981.

El Mundo. Tratado de la Luz. Edición de Salvio Turrió. MEC-Anlhropos.

Madrid, 1989.

El mundo o el tratado de la luz . Edición de Ana Rioja. Alianza Universidad.

Madrid, 1991.