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Octubre de 2014 Temario: Cursos de Posgrado en Matemáticas
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O c t u b r e d e 2 0 1 4
Temario: Cursos de Posgrado en Matemáticas
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INDICE CURSOS PROPEDÉUTICOS DE INGRESO A PROGRAMAS DE POSGRADO EN MATEMÁTICAS ........................................................................................................................................................................... 4 OBJETIVO .......................................................................................................................................................................... 4 ADMISIÓN A LOS CURSOS PROPEDÉUTICOS ................................................................................................................. 5 PROGRAMA ....................................................................................................................................................................... 6 PATROCINADORES ........................................................................................................................................................... 6 TEMARIO ........................................................................................................................................................................... 7 Curso de Cálculo Avanzado ..................................................................................................................................... 7
Semana 1. Cálculo Diferencial e Integral ........................................................................................................................................ 7 Semana 2. Cálculo Vectorial ................................................................................................................................................................. 7 Semana 3. Cálculo en Variable Compleja. ...................................................................................................................................... 8 Semana 4. Software para cálculo, graficación y sus aplicaciones. Uso de Mathlab. Mathematica, etc. ............... 9 Bibliografía .................................................................................................................................................................................................. 9
Curso de Álgebra Lineal Avanzado ................................................................................................................... 10 Semana 1. Espacios vectoriales reales y complejos, Transformaciones lineales y matrices. ................................ 10 Semana 2. Sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones matriciales, determinante de Matrices e Inversa de Matriz. ......................................................................................................................................................................................................... 10 Semana 3. Autovalores y autovectores ......................................................................................................................................... 11 Semana 4. Producto interior, Transformaciones ortogonales, matrices simétricas y ortogonales. .................. 11 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 11
Curso de Ecuaciones Diferenciales ................................................................................................................... 12 Semana 1. Ecuaciones diferenciales Ordinarias ....................................................................................................................... 12 Semana 2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y métodos cualitativos (Sistemas Dinámicos). ........................ 12 Semana 3.Ecuaciones en derivadas parciales. ........................................................................................................................... 13 Semana 4. Métodos Analíticos y Métodos Numéricos ............................................................................................................ 13 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 13
Curso de Análisis Real Complejo y Funcional ............................................................................................... 14 Semana 1. Análisis Matemático ........................................................................................................................................................ 14 Semana 2. Espacios Métricos. Hilbert, Banach y Sobolev. Producto interior. .............................................................. 14 Semana 3. Espacios de Hilbert, Espacios de Sobolev. ............................................................................................................. 15 Semana 4. Operadores entre espacios de Hilbert y Derivadas débiles. .......................................................................... 15 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 16
Curso de Geometría Diferencial ......................................................................................................................... 17 Semana 1. Curvas en el plano y en el espacio ............................................................................................................................ 17 Semana 2. Superficies regulares en el espacio .......................................................................................................................... 17 Semana 3. Campos vectoriales ......................................................................................................................................................... 17 Semana 4. Variedades diferenciables ............................................................................................................................................ 17 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 17
Curso de Geometría Algebraica y Singularidades ..................................................................................... 18 Semana 1. Fundamentos de topología diferencial ................................................................................................................... 18 Semana 2. Introducción a la geometría diferencial ................................................................................................................. 18 Semana 3. Introducción a la geometría algebraica y teoría de singularidades ........................................................... 18 Semana 4. Introducción a la geometría compleja .................................................................................................................... 18 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 18
Curso de Física Matemática ................................................................................................................................ 19 Semana 1. Análisis de Fourier .......................................................................................................................................................... 19 Semana 2. Análisis de Operadores .................................................................................................................................................. 19 Semana 3. Lax-‐Phillips Scattering Theory ................................................................................................................................... 19 Semana 4. Problemas Inversos ........................................................................................................................................................ 19 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 19
Curso de Sistemas Dinámicos .............................................................................................................................. 20 Semana 1. Sistemas dinámicos diferenciales: ejemplos. ....................................................................................................... 20 Semana 2. Dinámica unidimensional ............................................................................................................................................. 20 Semana 3. Teoría ergódica ................................................................................................................................................................. 20 Semana 4. Hiperbolicidad ................................................................................................................................................................... 20 Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 20
Curso de Modelación Matemática .................................................................................................................... 21 Semana 1. Difusión, caminatas aleatorias, movimiento browiano, morfogénesis. .................................................... 21 Semana 2. Estabilidad, bifurcación, caos, dinámica de poblaciones. .............................................................................. 21 Semana 3. Procesos estocásticos, cadenas de Markov, riesgo y finanzas. ..................................................................... 21 Semana 4. Mecánica, electromagnetismo, mecánica celeste. .............................................................................................. 21
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Bibliografía ................................................................................................................................................................................................ 21 Curso Avanzado de Geometría .............................................................. ¡Error! Marcador no definido.
Semana 1. Geometría no euclidiana .................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Semana 2. El concepto de curvatura ................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. Semana 3. Introducción a la geometría algebraica y teoría de singularidades ................... ¡Error! Marcador no definido. Semana 4 ....................................................................................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Bibliografía ................................................................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
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CURSOS PROPEDÉUTICOS DE INGRESO A PROGRAMAS DE POSGRADO EN MATEMÁTICAS
OBJETIVO El propósito de estos cursos es el de mejorar y nivelar la preparación académica de los estudiantes interesados en ingresar a programas de posgrado en Matemáticas. Los cursos que se imparten son:
4 primeras semanas
4 segundas semanas
4 terceras semanas (Una a escoger)
Cálculo Avanzado -‐ Carlos Fuentes Ruiz Álgebra Lineal Avanzada -‐ Fernando Brambila.
Ecuaciones Diferenciales -‐ Manuel Falconi
Geometría Diferencial -‐ Pablo Suarez Serrato -‐ José Seade. Análisis Real, Complejo y Funcional -‐ Fernando Brambila.
Geometría Algebraica y Singularidades -‐ José Seade Física Matemática -‐ Fernando Brambila Sistemas Dinámicos, -‐ José Seade Modelación Matemática -‐ Manuel Falconi.
• Solicitudes: hasta el 31 de octubre de 2014 • Primeros dos cursos: del 5 de enero al 30 de enero de 2015. • Segundos tres cursos: del 2 de febrero al 27 de febrero de 2015. • A escoger un Curso de Especialidad y Taller de investigación: 1 de junio al 26
de junio de 2015. • Duración: 12 semanas.
El MCTP está en disposición de admitir un número limitado de asistentes que deseen tomar estos cursos para actualizar sus conocimientos sin compromiso de inscribirse en los posgrados. El MCTP otorgará una constancia de asistencia a dichos cursos. Al termino de los Cursos Propedéuticos los trámites para el ingreso a un posgrado estarán a cargo del estudiante interesado.
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ADMISIÓN A LOS CURSOS PROPEDÉUTICOS La admisión a los cursos propedéuticos se basa en los resultados de:
• Solicitud, • El promedio general de carrera universitaria, • El historial académico del candidato, • En caso necesario, una entrevista personal con el aspirante.
Las personas interesadas deberán, llenar la solicitud de admisión y prerregistrarse en la liga "Preregistro", además deberán entregar los siguientes documentos (estos documentos se presentan por duplicado):
• Copia certificada de estudios profesionales (en caso de no haber terminado el último grado, deberá presentar un certificado parcial que ampare las materias cursadas),
• Copia del título profesional, carta de pasante o carta promedio, según proceda,
• Dos cartas de recomendación de profesores o investigadores de la institución de origen,
• Copia del acta de nacimiento, • Tres fotografías tamaño infantil.
Los programas condensados de los Cursos Propedéuticos (éstos también son los temas que abarca el examen de nivel) se encuentran en el Programa de Cursos Propedéuticos de Matemáticas, MCTP. Fechas Materia Horas
diarias Horas semanales
5 -‐ 30 de enero Cálculo Avanzado 2 10 5 -‐ 30 de enero Álgebra Lineal Avanzada 2 10 2 -‐ 27 de febrero Ecuaciones Diferenciales 2 10 2 -‐ 27 de febrero Geometría Diferencial 2 10 2 -‐ 27 de febrero Análisis 2 10 1 -‐ 26 de junio Geometría Algebraica y
Singularidades. 2 10
1 -‐ 26 de junio Física Matemática 2 10 1 -‐ 26 de junio Sistemas Dinámicos 2 10 1 -‐ 26 de junio Modelación Matemática 2 10
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PROGRAMA Total de horas por curso
• Cálculo Avanzado: 40 • Algebra lineal Avanzado: 40 • Ecuaciones Diferenciales: 40 • Geometría Diferencial: 40 • Análisis, Real, complejo y Funcional: 40 • Escoger uno de los siguientes. • Sistemas Dinámicos: 40 • Geometría Algebraica y Singularidades: 40 • Física Matemática: 40 • Modelación Matemática: 40
Total de horas Cursos Propedéuticos: 240
PATROCINADORES Estos cursos propedéuticos cuentan con el apoyo del UNAM, ICTP, el CONACYT, SUCA y la UNACH.
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TEMARIO
CURSO DE CÁLCULO AVANZADO Ø Repaso de fundamentos del Cálculo Diferencial en una y varias variables reales. Ø Fundamentos del Cálculo Integral en una y varias variables reales. Ø Las nociones de continuidad, derivada e integral para funciones de variable
compleja.
Semana 1. Cálculo Diferencial e Integral Cálculo Diferencial 1.1 Las nociones de límite y punto de acumulación de sucesiones y continuidad de
funciones en Rn y sus propiedades principales. 1.2 La derivada de funciones reales de variable real
1.2.1 Derivada y su interpretación geométrica y física; derivadas de orden superior. 1.2.2 Relación entre derivación y continuidad. 1.2.3 Propiedades de la derivada; derivadas de la compuesta y la inversa. 1.2.4 Regla de L’Hospital y fórmula de Taylor y su aplicación al cálculo de límites
indeterminados. 1.2.5 Extremos, concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la gráfica
de una función; trazado de gráficas. 1.3 Derivadas parciales y diferencial de funciones de varias variables
1.3.1 Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferencial total. 1.3.2 Relación entre diferenciación y continuidad. 1.3.3 Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables; vector gradiente y
matriz Hessiana. 1.3.4 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura. Optimización sin restricciones.
Condiciones necesarias y suficientes de extremo de primero y segundo orden. 1.3.5 Teoremas de la función inversa y la función implícita. 1.3.6 Optimización con restricciones; multiplicadores de Lagrange.
Cálculo Integral 1.4 Integral de Riemann en una variable
1.4.1 Sumas superiores e inferiores y funciones integrables en sentido de Riemann; comparación con la integral de Cauchy.
1.4.2 Propiedades de la integral de Riemann. 1.4.3 Integral indefinida y teorema fundamental del cálculo. 1.4.4 Métodos de cálculo de integrales: integración por partes y cambio de variable. 1.4.5 Aplicación de la integral al cálculo de límite, áreas y volúmenes de revolución. 1.4.6 Integral de Lebesgue, introducción y aplicaciones.
Semana 2. Cálculo Vectorial 2.1 Integral de línea
2.1.1 Arcos e integral de línea. Propiedades. 2.1.2 Relación entre trabajo y la integral de línea. 2.1.3 Integral de línea con respecto a la longitud de arco. 2.1.4 Independencia del camino de integración.
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2.1.5 Primero y segundo teoremas fundamentales del cálculo para las integrales de línea.
2.1.6 Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial sea conservativo. 2.2 Integrales múltiples
2.2.1 Integral doble de una función constante a trozos sobre rectángulos 2.2.2 Integral doble de una función acotada sobre un rectángulo. Sumas superiores e
inferiores 2.2.3 Cálculo de una integral doble por integrales iteradas. 2.2.4 Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen. 2.2.5 Integrabilidad de funciones continuas. 2.2.6 La integral doble sobre regiones más generales. 2.2.7 Aplicaciones geométricas al cálculo de áreas y volúmenes y aplicaciones físicas
al cálculo de centros de masa y momentos de inercia de una placa delgada. 2.2.8 Campos Vectoriales, Divergencia, Rotacional. Aplicaciones y modelación. 2.2.9 Teorema de Green en el plano. Aplicaciones. 2.2.10 Cambio de variables en la integral doble. Casos particulares. 2.2.11 Extensión a la noción de integral de volumen en dimensiones superiores
2.3 Integrales de superficie 2.3.1 Representación paramétrica de una superficie. Vector normal. Área de una
superficie 2.3.2 Definición de una integral de superficie. Invarianza de la integral ante el cambio
de parametrización de la superficie. 2.3.3 Rotacional y divergencia de un campo vectorial. Teorema de Stokes. 2.3.4 Teorema de la divergencia (Teorema de Gauss). Aplicaciones.
3 Semana
Semana 3. Cálculo en Variable Compleja. 3.1 Números complejos: propiedades, representación polar y raíces de números complejos. 3.2 Funciones complejas de variable compleja. Imagen y preimagen de conjuntos.
Continuidad de funciones de variable compleja. 3.3 Funciones derivables en sentido complejo. Propiedades y ejemplos: polinomios,
fracciones racionales, exponencial compleja, logaritmos complejos, funciones trigonométricas complejas.
3.4 Relación de la derivabilidad compleja con la continuidad y la diferenciabilidad real. Analiticidad y fórmulas de Cauchy -‐ Riemann.
3.5 Representación de los flujos plano paralelos irrotacionales e incompresibles a través de potenciales complejos. Introducción a las representaciones conformes. Ejemplos.
3.6 La integral de línea compleja. Interpretación física. Relación con la diferenciabilidad compleja.
3.7 Fórmula de Cauchy y algunas de sus consecuencias; desarrollo en serie de potencias (series de Taylor), principio del máximo, derivabilidad de cualquier orden para las funciones analíticas. Aplicación al cálculo de integrales de línea compleja.
3.8 Singularidades aisladas de funciones analíticas. Desarrollos de Laurent. 3.9 Teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales reales: integrales impropias
de fracciones racionales, fracciones racionales en seno y coseno, integrales impropias de fracciones racionales multiplicadas por funciones trigonométricas.
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Semana 4. Software para cálculo, graficación y sus aplicaciones. Uso de Mathlab. Mathematica, etc.
Bibliografía 1. Calculus. T. M. Apóstol. Segunda Edición. Tomos I y II. John Wiley and
Sons, 1967, 1969. 2. Complex Analysis , Ahlfors L.V. Tercera edición. M. G. Hill, 1979. 3. Advanced Calculus. S. Hildebrandt. Mc Graw Hill.
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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL AVANZADO
Semana 1. Espacios vectoriales reales y complejos, Transformaciones lineales y matrices.
1.1 Definición y ejemplos. Subespacios. Combinaciones lineales de vectores. Subespacios generados por una familia de vectores.
1.2 Conjuntos de vectores linealmente dependientes e independientes. Base y dimensión algebraicas.
1.3 Descomposición de un espacio vectorial en suma directa de subespacios. 1.4 Transformaciones lineales y matrices: 1.5 Definición y ejemplos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Imagen
y preimagen de subespacios por transformaciones lineales. Estructura vectorial del conjunto de las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales. Compuestas e inversas de transformaciones lineales.
1.6 Núcleo y rango de una transformación lineal. Relación del núcleo y el rango con la inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal. Relación entre las dimensiones del núcleo , el rango y la dimensión del dominio de la transformación lineal.
1.7 Representación matricial de una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita con respecto a una base en cada uno de los espacios. Equivalencia entre matrices y transformaciones lineales.
1.8 Matrices semejantes: matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices de cambio de base.
1.9 Suma y producto de matrices y su relación con la suma y la composición de las transformaciones lineales asociadas.
1.10 Inversas de matrices cuadradas y su relación con la inversa de la transformación lineal asociada.
2 Semana
Semana 2. Sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones matriciales, determinante de Matrices e Inversa de Matriz.
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales o ecuaciones matriciales y su relación con la solución de ecuaciones asociadas a transformaciones lineales. Solución de sistemas de ecuaciones lineales de orden nxn utilizando el proceso de eliminación de Gauss-‐Jordan: reducción a un sistema equivalente en forma triangular que se resuelve por un proceso iterativo.
2.2 Determinante de una matriz cuadrada, Definición axiomática de determinante de una matriz cuadrada y algunas de sus propiedades. Unicidad de la definición.
2.3 Cálculo del determinante en algunos casos particulares: matrices de orden 2x2, matrices diagonales y triangulares, matrices de orden 3x3 y su relación con el producto mixto de vectores y el volumen de un paralelepípedo.
2.4 Fórmula del producto para determinantes. Determinante de una matriz diagonal por bloques.
2.5 Cálculo del determinante por el método de eliminación Gaussiana. Reducción al cálculo del determinante de una matriz triangular equivalente mediante: intercambio
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de dos filas, multiplicando una fila por un escalar no nulo y añadiendo a una fila un múltiplo escalar de otra.
2.6 El determinante de la inversa de una matriz no singular. 2.7 Determinantes e independencia lineal de vectores. 2.8 Fórmulas para el cálculo de determinantes en términos de menores y cofactores. 2.9 Determinante de la matriz transpuesta. 2.10 Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden nxn. 3 Semana
Semana 3. Autovalores y autovectores 3.1 Definición de autovalores y autovectores de una transformación lineal de un espacio
vectorial en sí mismo. Subespacios propios. 3.2 Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores diferentes. 3.3 El caso de dimensión finita. Polinomio característico asociado a una transformación
lineal A y su relación con la traza y el determinante de cualquier representación matricial de A.
3.4 Cálculo de autovalores y auto vectores en el caso finito dimensional. 4 Semana
Semana 4. Producto interior, Transformaciones ortogonales, matrices simétricas y ortogonales.
4.1 Producto interior en vectores, productos euclideanos y productos no euclideanos, ejemplo producto de Lorentz en el espacio tiempo.
4.2 Producto interior en matrices. 4.3 Trasformaciones ortogonales. 4.4 Matrices simétricas y ortogonales. 4.5 Aplicaciones de Anton Rorres.
Bibliografía 1. A Short Introduction to Peturbation Theory for Linear Operators. T. Kato.
Springer Verlag. 2. Linear Algebra and its Applications. A. Rorrres. Academic Press. 3. Linear Algebra and its Applications, G. Stang. Academic Press. 4. Introducction to Applied Mathematics, G. Strang. Cambridge Press. 5. Matrix Analysis. R. Horn and C. Johnson. Cambridge University Press.
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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ø Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO Ø Métodos Cualitativos (sistemas dinámicos) Ø Ecuaciones en derivadas parciales EDP Ø Métodos numéricos métodos analíticos.
Semana 1. Ecuaciones diferenciales Ordinarias 1.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.1.1 Definiciones básicas. Problemas con condiciones iniciales; el problema de Cauchy 1.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden. Variables separables, ecuaciones exactas
y reducibles a ellas, método del factor integrante, ecuaciones lineales. 1.1.3 Modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden; crecimiento y
decrecimiento de poblaciones, modelo logístico para el crecimiento poblacional, ley de enfriamiento de Newton, circuitos LR en serie, caída y ascenso de objetos.
1.1.4 Sistemas de ecuaciones de primer orden. Modelo de presa -‐ depredador. 1.1.5 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, Problemas con condiciones
iniciales (problema de Cauchy) y con condiciones de frontera. 1.1.6 Ecuaciones homogéneas. Sistemas fundamentales de soluciones. Reducción de
orden. 1.1.7 Ecuaciones no homogéneas. Determinación de una solución particular y expresión
de la solución general. 1.1.8 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Determinación de un
sistema fundamental de soluciones en dependencia de que las raíces del polinomio característico sean reales o complejas y simples o múltiples.
1.1.9 Métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros para obtener una solución particular de una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes. Caso resonante.
1.1.10 Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior; tiro parabólico, sistemas masa resorte y péndulos (movimiento libre no amortiguado y movimiento armónico simple, movimiento amortiguado libre y movimiento forzado), circuitos en serie LRC.
1.1.11 Problemas con valores en la frontera. Función de Green y solución de los problemas de contorno no homogéneos. Valores propios y funciones propias. Bases de funciones propias. Ejemplos; ecuación para la flexión de una viga, curvatura de una columna delgada, carga de Euler.
2 Semana
Semana 2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y métodos cualitativos (Sistemas Dinámicos).
2.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Matriz fundamental del
sistema homogéneo. Matriz de impulso y solución particular del sistema no homogéneo.
2.2 Construcción de la matriz fundamental para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes.
2.3 Construcción de la solución de una ecuación lineal en forma de serie de potencias.
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2.4 Estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales y teorema de Liapunov. 2.5 Métodos cualitativos (Sistemas dinámicos). 3 Semana
Semana 3.Ecuaciones en derivadas parciales. 3.1 Preliminares 3.2 Definiciones básicas. Problemas con condiciones iniciales y de contorno. 3.3 Ejemplos clásicos de EDP de la Física Matemática y significado de los problemas de
contorno asociados; ecuación del calor, ecuación de ondas y ecuaciones de Laplace y Poisson. Ecuación de Schroedinger.
3.4 Clasificación en ecuaciones parabólicas, hiperbólicas y elípticas. Ejemplos (2.8) 3.5 EDP lineales y cuasilineales de primer orden. El problema de Cauchy y el método de las
características para su solución. 3.6 El problema de Cauchy para EDP de segundo orden 3.7 Ejemplos de planteamientos del problema de Cauchy para algunas EDP de segundo
orden. 3.8 Formas canónicas y clasificación de las EDP de segundo orden. Caso de coeficientes
constantes. 3.9 El problema de Cauchy y superficies características 3.10 El Problema de Cauchy para la ecuación de onda en dimensión espacial uno. Caso
homogéneo; fórmula de Dalembert. Caso no homogéneo. 3.11 El problema de Cauchy para la ecuación del calor en dimensión espacial uno. Núcleo
de Gauss. 3.12 Problemas de contorno y problemas mixtos para EDP de segundo orden 3.13 Solución fundamental del operador de Laplace. EL problema de Dirichlet para el
operador de Laplace en una bola de ℝ𝒏 y su función de Green. La ecuación de Poisson. 3.14 El método de separación de variables para resolver problemas mixtos. Problemas
mixtos para la ecuación de calor en una dimensión espacial. Problemas mixtos para la ecuación de onda; caso de la cuerda vibrante. El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un cuadrado y en el disco unitario en el plano.
4 Semana
Semana 4. Métodos Analíticos y Métodos Numéricos 4.1 Soluciones de EDP por métodos analíticos. 4.2 Soluciones de EDP por métodos numéricos. 4.3 Software para solución y simulación de EDP.
Bibliografía 1. Partial Differential Equations. F. John. Springer Verlag. 2. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Tercera Edición. Murray R. Spiegel. Prentice Hall
Hispanoamericana, 1983. 3. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Dennis G. Zill. International
Thomson, 1997. 4. Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. Segunda Edición. Irineo Peral
Alonso. Página web, 2004.
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CURSO DE ANÁLISIS REAL COMPLEJO Y FUNCIONAL
Semana 1. Análisis Matemático 1. Semana
1.1. Límite, Continuidad y otros conceptos métricos y topológicos relacionados, en conjuntos arbitrarios. Espacios métricos. Subespacios. Motivación y ejemplos.
1.2. Límite y puntos de acumulación de sucesiones y continuidad de funciones en espacios métricos. Relación entre límite y continuidad. Propiedades y ejemplos.
1.3. Diferentes conceptos de límite en espacios funcionales y algunos espacios métricos asociados.
1.4. Conceptos métricos y topológicos básicos en los espacios métricos; vecindad, interior, frontera, abierto y cerrado. Caracterizaciones y ejemplos en Rn y otros conjuntos. Otros conceptos relacionados: puntos adherentes a un conjunto y clausura, interior, exterior y frontera de un conjunto.
1.5. Conceptos topológicos principales; conexidad y compacidad. Caracterizaciones en Rn. Subconjuntos relativamente compactos en el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre un conjunto compacto, provisto de la métrica uniforme; teorema del valor medio y principio del máximo.
1.6. Sucesiones de Cauchy y funciones uniformemente continuas 1.7. Espacios métricos completos y su importancia en el análisis. Propiedades y
ejemplos. Relación entre completitud y compacidad. Completitud del espacio de las funciones reales continuas definidas sobre un espacio métrico compacto provisto de la métrica uniforme.
1.8. Completamiento de un espacio métrico. Ejemplos. Caso de los espacios métricos de funciones integrables sobre un intervalo y su relación con la integral de Lebesgue.
1.9. Algunos resultados importantes en los espacios métricos completos: teorema del punto fijo de Banach, teorema de Cantor y Teorema de Baire. Aplicaciones.
1.10. Conceptos de convergencia que no pueden expresarse mediante una métrica. Transición a la teoría de los espacios topológicos.
Semana 2. Espacios Métricos. Hilbert, Banach y Sobolev. Producto interior. 2. Semana
2.1. Producto interior (escalar) en un espacio vectorial. norma, métrica, topología. 2.2. Métricas compatibles con la estructura algebraica de un espacio vectorial; los
espacios normados. Definición y ejemplos de espacios normados. Resultados básicos en los espacios normados; continuidad de la norma, clausura de subespacios, los subespacios de dimensión finita son cerrados, suma de subespacios cerrados.
2.3. Envoltura lineal cerrada de un subconjunto en un espacio normado. Familias totales. Ejemplos; Teorema de Weierstrass sobre la densidad de los polinomios en el espacio de las funciones reales continuas definidas en un intervalo acotado con respecto a la métrica uniforme.
2.4. Normas equivalentes y convergencia en un espacio normado. Normas equivalentes en dimensión finita. Teorema de Riesz sobre la equivalencia entre dimensión finita y la compacidad de la bola unitaria en los espacios normados.
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2.5. Existencia de la mejor aproximación por elementos de un subespacio de dimensión finita a un elemento fijo del espacio.
2.6. Espacios normados completos; espacios de Banach. Definición y ejemplos. Completitud de los espacios normados de dimensión finita. Subespacios cerrados de espacios de Banach.
2.7. Series en los espacios normados. Series convergentes. Criterio de Cauchy para la convergencia de series en los espacios de Banach. Series absolutamente convergentes. Bases en un espacio normado. Relación entre bases y familias totales. Separabilidad de los espacios normados con bases finitas o numerables.
2.8. Desigualdad de Cauchy-‐Shwartz y norma asociada al producto escalar. Caracterización de los espacios normados cuya norma proviene de un producto escalar; identidad del paralelogramo. Continuidad del producto escalar.
2.9. Vectores ortogonales. Complemento ortogonal a un conjunto. Teorema generalizado de Pitágoras. Sistemas de vectores ortogonales y ortonormales. Proceso de ortonormalización de Gram-‐ Shmidt. Polinomios ortogonales. Existencia de bases ortonormales en los espacios euclideanos separables.
2.10. Coeficientes de Fourier y series de Fourier con respecto a un sistema ortonormal. La propiedad de mejor aproximación de las sumas parciales de la serie de Fourier.
2.11. Desigualdad de Bessel. Identidad de Parseval y bases ortonormales. 2.12. Problema de la distancia mínima a un subespacio vectorial en un espacio
euclideano. Teorema de descomposición ortogonal.
Semana 3. Espacios de Hilbert, Espacios de Sobolev. 3. Semana
3.1. Definición y ejemplos de espacios de Hilbert. Geometría de estos espacios por tener producto interior. Ejemplos en dimensión finita, infinita. Proyecciones y sus aplicaciones en Estadística, probabilidad, series de Fourier.
3.2. Criterio de convergencia de series de vectores ortogonales en los espacios de Hilbert. Teorema de Riesz-‐Fischer. Sistemas ortonormales totales en los espacios de Hilbert separables. Series de Fourier con respecto a un sistema ortonormal total en un espacio de Hilbert. Ejemplos.
3.3. Teorema clásico de la proyección en los espacios de Hilbert. Descomposición ortogonal de un espacio de Hilbert con respecto a cualquier subespacio cerrado y su ortogonal.
3.4. Aproximación dual en los espacios de Hilbert. 3.5. Problema de la mejor aproximación a un cerrado convexo en un espacio de Hilbert. 3.6. Definicion de Espacios de Sobolev, Espacios de energía con la norma de enrgia
cinética y potencial sobre la función posición y velocidad. Aplicaciones.
Semana 4. Operadores entre espacios de Hilbert y Derivadas débiles. 4. Semana
4.1. Operadores y funcionales lineales definidos en espacios normados y euclideanos. Caracterizaciones de la continuidad para operadores lineales definidos en espacios normados. Relación entre continuidad y acotación. Ejemplos de operadores y
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funcionales lineales continuos; proyectores ortogonales en los espacios de Hilbert, operadores simétricos y unitarios en los espacios de Hilbert, operadores integrales, operadores lineales en dimensión finita.
4.2. Norma de un operador lineal y continuo. Ejemplos. El espacio normado de los operadores lineales continuos que actúan entre dos espacios normados. Condición necesaria y suficiente para su completitud. Dual topológico de un espacio normado.
4.3. El inverso del operador I-‐A cuando A es un operador lineal y continuo de un espacio de Banach en sí mismo con norma menor que 1.
4.4. Teorema de Riesz sobre la caracterización del dual topológico de un espacio de Hilbert.
4.5. Operadores compactos simétricos en espacios de Hilbert. Teorema de descomposición de Riesz con respecto a sus subespacios propios.
4.6. Diferenciación de aplicaciones definidas entre espacios normados. Diferenciación en sentido fuerte; diferencial de Frechet. Propiedades y ejemplos. Relación con la diferencial para aplicaciones de Rn en Rm definida en el Cálculo Vectorial clásico. Diferenciabilidad y continuidad.
4.7. Diferenciación en sentido débil; diferencial de Gateaux. Relación con la derivada direccional. Relación con la diferencial de Frechet.
4.8. Extremos locales de funcionales en espacios normados. Condición necesaria de extremo de primer orden. Ejemplo del Cálculo de Variaciones; condición necesaria de extremo de Euler – Lagrange.
4.9. Operadores acotados y Operadores no acotados.
Bibliografía 1. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol I Functional Analysis. M Reed and B
Simon. Academic Press. 2. Complex Analysis , Ahlfors L.V. Tercera edición. M. G. Hill, 1979. 3. Variable compleja con aplicaciones. Segunda Edición. A. David Wunsch. Pearson
Educación, 1999. 4. Análisis Matemático Avanzado. Andrés Fraguela Collar. Textos Científicos BUAP, 2002. 5. Análisis real de una variable, R. Bartle Ed. Limusa. 6. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Tercera Edición. Murray R. Spiegel. Prentice Hall
Hispanoamericana, 1983.
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CURSO DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Curvas, superficies, el tangente, campos vectoriales, y variedades diferenciales.
Semana 1. Curvas en el plano y en el espacio 1. Semana
1.1. Líneas y planos en el espacio 1.2. Cuádricas en el plano y en el espacio 1.3. Parametrización de curvas. 1.4. Curvas regulares y longitud de arco. 1.5. Vectores tangentes y normales 1.6. La curvatura de curvas parametrizadas
Semana 2. Superficies regulares en el espacio 2. Semana
2.1. Funciones diferenciables en R^3. Definiciones y ejemplos. 2.2. La derivada y el gradiente. Puntos y valores críticos 2.3. Submersiones e inmersiones. 2.4. Teorema de la función implícita (versión geométrica). 2.5. Puntos críticos y valores regulares. 2.6. La imagen inversa de un valor regular. 2.7. Superficies regulares y parametrizaciones locales. 2.8. Ejemplos: esferas (proyección estereográfica), toros, hiperboloides, superficies de
revolución,….
Semana 3. Campos vectoriales 3. Semana
3.1. El fibrado tangente 3.2. Funciones diferenciables en superficies. 3.3. Campos vectoriales diferenciables. 3.4. La derivada de una función. 3.5. Difeomorfismos.
Semana 4. Variedades diferenciables 4. Semana
4.1. Definición y ejemplos en dimensiones bajas: curvas y superficies. 4.2. Ejemplos en dimensiones altas 4.3. Funciones diferenciables en R^n 4.4. El fibrado tangente 4.5. El fibrado normal 4.6. Campos vectoriales 4.7. Funciones diferenciables en variedades.
Bibliografía
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CURSO DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA Y SINGULARIDADES
Semana 1. Fundamentos de topología diferencial 1. Semana 1.1. Variedades y funciones diferenciables. Definiciones y ejemplos. 1.2. La derivada y el gradiente. Puntos y valores críticos. 1.3. Campos vectoriales y flujos. 1.4. Submersiones e inmersiones. 1.5. Transversalidad. 1.6. Teorema de la función implícita (versión geométrica).
Semana 2. Introducción a la geometría diferencial 2. Semana
2.1. Curvatura de Gauss y el teorema Egregio. 2.2. Curvatura seccional. 2.3. Superficies de curvatura constante. 2.4. Geometría hiperbólica y el teorema de uniformización (enunciado y explicación). 2.5. Estructuras adicionales: geometría simpléctica y de contacto.
Semana 3. Introducción a la geometría algebraica y teoría de singularidades
3. Semana 3.1. Variedades algebraicas y analíticas. Definición y ejemplos. 3.2. Puntos regulares y singulares. 3.3. Variedades proyectivas. 3.4. Curvas planas (en el plano complejo y en el proyectivo)
Semana 4. Introducción a la geometría compleja 4. Semana
4.1. Superficies de Riemann. 4.2. Variedades complejas. 4.3. Grupos Kleinianos. 4.4. Geometría hiperbólica compleja 4.5. Estructuras proyectivas. El problema de uniformización.
Bibliografía
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CURSO DE FÍSICA MATEMÁTICA
Semana 1. Análisis de Fourier 1. Semana 1.1. Transformada de Fourier. 1.2. Uso en Ecuaciones Parciales Diferenciales. 1.3. Distribuciones (Funciones Generalizadas) 1.4. Derivadas Débiles. 1.5. Teoremas de bicontinuidad y biyectividad.
Semana 2. Análisis de Operadores 2. Semana
2.1. Teoría espectral de operadores no acotados. 2.2. Operadores autoadjuntos. 2.3. Espectro puntual, esencial, absolutamente continuo, etc. 2.4. Perturbaciones de los operadores y sus espectros.
Semana 3. Lax-‐Phillips Scattering Theory 3. Semana
3.1. Teoría Clásica de dispersión de partículas. 3.2. Ecuación de Schroedinger, ecuación de onda. 3.3. Operador de onda y operador de dispersión. 3.4. Convergencia y existencia del operador.
Semana 4. Problemas Inversos 4. Semana
4.1. Inverso de Scattering. 4.2. Transformada de Radon y sus aplicaciones. 4.3. Tomografía, Tomografía Vectorial. 4.4. Problemas inversos, definiciones, teoremas y aplicaciones.
Bibliografía 1. Methods of Modern Mathematical Physicas, Vol I Functional Analysis, Vol II Fourier
Analysis, Vol III Scattering Theory, Vol IV Analysis of Operators. Academic Press. 2. Generalizad Functions. Vol I – Vol V. I. Gelfand. Academic Press. 3. Scattering Theory. P. Lax and R Phillips, Springer Verlag.
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CURSO DE SISTEMAS DINÁMICOS Ø Puntos fijos, atractores, conjugación topológica. Ø Introducción a la dinámica en dimensión 1. Número de rotación, el teorema de
Poincaré. Ø Dinámica holomorfa (introducción a la iteración de funciones racionales; el
conjunto de Julia y Mandelbrot). Ø Teoría ergódica, sistemas dinámicos hiperbólicos.
Semana 1. Sistemas dinámicos diferenciales: ejemplos. 1. Semana
1.1. Variedades y funciones diferenciables, La derivada y el gradiente. Puntos y valores críticos.
1.2. Iteración de funciones. Ejemplos: La tienda, 2xmod1, rotaciones. 1.3. Conjugación topológica 1.4. Puntos periódicos hiperbólicos (la derivada), versión de Hartman-‐Grobman
unidimensional (estabilidad local de puntos fijos hiperbólicos).
Semana 2. Dinámica unidimensional 2. Semana
2.1. Número de rotación:(enunciado del teorema de Denjoy) dinámica en el círculo 2.2. Caos: Transitividad, Sensibilidad a las condiciones iniciales, órbitas periódicas
densas 2.3. El shift: cantor. (si hay tiempo, hasta el gauss map). 2.4. Iteración de polinomios en C (dos clases). Julia, Mandelbrot.
Semana 3. Teoría ergódica 3. Semana
3.1. Medidas invariantes: deltas en los puntos fijos, lebesgue, otras... Teorema de Poincaré.
3.2. Teorema de Birkhoff. 3.3. Ergodicidad (medias temporales = medias espaciales), tiempo medio de estadía. 3.4. Medias ergódicas para los sistemas estudiados: rotaciones, 2xmod1 y la tienda,
medida de Bernuolli en el shift.
Semana 4. Hiperbolicidad 4. Semana
4.1. Teorema de Hartman-‐Grobman 4.2. La variedad estable. 4.3. Ejemplos: Anosov lineal, la Herradura, el Solenoide 4.4. Estabilidad de conjuntos hiperbólicos 4.5. Ergodicidad de los anosov lineales en T^2 (?)
Bibliografía
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CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA El propósito de este curso es que el estudiante adquiera un conocimiento básico sobre la interacción de la matemática con otros campos del conocimiento y comprenda algunos principios generales sobre la modelación. Los temas tratados podrán servir de proyectos de investigación doctoral. El curso se desarrollará en la forma de taller en el que se presentarán problemas diversos y los estudiantes ya sea en forma individual o en equipos, después de que el profesor muestre algunos avances, deberán trabajar algunas variantes.
Semana 1. Difusión, caminatas aleatorias, movimiento browiano, morfogénesis.
1. Semana
Semana 2. Estabilidad, bifurcación, caos, dinámica de poblaciones. 2. Semana
Semana 3. Procesos estocásticos, cadenas de Markov, riesgo y finanzas. 3. Semana
Semana 4. Mecánica, electromagnetismo, mecánica celeste. 4. Semana
Bibliografía
