Desarrollo e implementación de un algoritmo de...

Proyecto Fin de Carrera

Desarrollo e implementación de un algoritmo de

optimización basado en los ritmos del flamenco para

la resolución del problema de distribución de

vehículos en rutas

Autor: María Miranda Burguete

Tutor: Pablo Cortés Achedad

Titulación: Ingeniería Industrial

Sevilla, 2015

DPTO. DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL Y GESTIÓN DE EMPRESAS II

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Proyecto Fin de Carrera | María Miranda Burguete

1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería – Universidad de Sevilla

2015



2015

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 12

2. LOS RITMOS DEL FLAMENCO ................................................................................. 14

2.1. Introducción al flamenco ......................................................................................... 14

2.2. Nociones de compás y ritmo en el flamenco ........................................................ 15

2.3. Los palos del flamenco ............................................................................................ 16

2.3.1. Compases de doce tiempos ............................................................................. 17

2.3.2. Compases de cuatro tiempos .......................................................................... 19

2.4. Representaciones gráficas de los compases flamencos ....................................... 20

3. EL PROBLEMA DE ENRUTADO DE VEHÍCULOS ............................................... 23

3.1. Introducción al Problema de Enrutado de Vehículos ......................................... 23

3.1.1. Los almacenes ................................................................................................... 24

3.1.2. Los clientes ........................................................................................................ 25

3.1.3. Los vehículos ..................................................................................................... 25

3.2. Variantes del problema de enrutado de vehículos .............................................. 25

3.3. Enfoques algorítmicos para la resolución del problema de enrutado de

vehículos ................................................................................................................................ 27

3.3.1. Métodos exactos ............................................................................................... 27

3.3.2. Métodos heurísticos ......................................................................................... 28

3.3.3. Métodos Metaheurísticos ................................................................................ 29

4. CASO DE ESTUDIO ...................................................................................................... 32

4.1. Elementos que componen el problema ................................................................. 32

4.2. Características y restricciones ................................................................................. 33

4.3. Modelo Matemático ................................................................................................. 34

4.3.1. Variables del Problema .................................................................................... 34

4.3.2. Función Objetivo .............................................................................................. 36

4.3.3. Restricciones o Condiciones de Contorno .................................................... 37

4.3.4. Descripción del modelo completo.................................................................. 39

5. ALGORITMO POR RITMOS DEL FLAMENCO ..................................................... 41

5.1. Base del Algoritmo ................................................................................................... 41

5.2. Procedimiento para la determinación de la solución inicial .............................. 44



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5.2.1. Determinación de la solución inicial mediante la heurística de mínima

distancia ............................................................................................................................. 45

5.2.2. Determinación de la solución inicial mediante la heurística de demanda

máxima ............................................................................................................................. 50

5.3. Operaciones ............................................................................................................... 54

5.3.1. Relocate ............................................................................................................... 55

5.3.2. Exchange ............................................................................................................. 55

5.3.3. Merge_mod.......................................................................................................... 56

5.3.4. 2-Opt* ................................................................................................................. 57

5.4. Algoritmo por Ritmos del Flamenco (ARF) .......................................................... 58

6. IMPLEMENTACIÓN DEL ARF EN CÓDIGO MATLAB ........................................ 67

6.1. Parámetros y variables ............................................................................................ 67

6.2. Archivos y funciones ............................................................................................... 69

7. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL ALGORITMO ARF .......................... 73

7.1. Implementación en una Red de Prueba ................................................................ 73

7.1.1. Solución inicial .................................................................................................. 75

7.1.2. Aplicación aislada de las operaciones de búsqueda ................................... 87

7.1.3. Aplicación del ARF particularizado a cada palo del flamenco ................ 106

7.1.4. ARF ................................................................................................................... 128

7.2. Resolución problema de enrutado de vehículos ................................................ 133

8. CONCLUSIÓN .............................................................................................................. 146

8.1. Resumen .................................................................................................................. 146

8.2. Discusión ................................................................................................................. 149

9. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 155



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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representación cronotónica del Fandango. ........................................................... 21

Figura 2. Representación cronotónica de la Soleá. ............................................................... 21

Figura 3. Representación cronotónica de la Bulería. ............................................................ 21

Figura 4. Representación cronotónica de la Seguiriya. ........................................................ 22

Figura 5. Representación cronotónica de la Guajira. ........................................................... 22

Figura 6. Esquema de un caso particular del VRP [1]. ........................................................ 24

Figura 7. Variantes del VRP. ................................................................................................... 26

Figura 8. Elementos básicos que componen el VRP. ........................................................... 33

Figura 9. Detalle de la representación cronotónica. ............................................................ 41

Figura 10. Esquema resumen del proceso seguido por el ARF.......................................... 44

Figura 11. Valores de las distancias cronotónicas de los palos flamencos. ...................... 45

Figura 12. Diagrama de flujo heurística de mínima distancia. .......................................... 49

Figura 13. Diagrama de flujo heurística de demanda máxima. ......................................... 53

Figura 14. Operación Relocate. ................................................................................................ 55

Figura 15. Operación Exchange. .............................................................................................. 56

Figura 16. Operación Merge_mod. .......................................................................................... 57

Figura 17. Operación 2-Opt*. .................................................................................................. 57

Figura 18. Diagrama de flujo del ARF. .................................................................................. 64

Figura 19. Red de Prueba. ....................................................................................................... 74

Figura 20. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de

Prueba. ....................................................................................................................................... 83

Figura 21. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de

Prueba. Caso 2........................................................................................................................... 83

Figura 22. Solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de

Prueba. ....................................................................................................................................... 86

Figura 23. Primer movimiento realizado por la operación Relocate sobre la solución

inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ................................. 88

Figura 24. Segundo movimiento realizado por la operación Relocate sobre la solución

inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ................................. 89

Figura 25. Grafica comparativa de la mejora porcentual del mejor movimiento de cada

operación respecto a la solución inicial sobre la Red de Prueba. .................................... 106

Figura 26. Grafica comparativa de la mejora porcentual del algoritmo particularizado

para cada palo respecto a la solución inicial en la Red de Prueba. ................................. 127



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LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Esquema del compás de la Soleá. ............................................................................................ 17

Tabla 2. Esquema del compás de la Seguiriya. ..................................................................................... 17

Tabla 3. Esquema del compás de la Seguiriya al contabilizar únicamente los acentos. .................. 18

Tabla 4. Esquema del compás más frecuente de la Bulería. ............................................................... 18

Tabla 5. Esquema del compás de la Alegría. ......................................................................................... 19

Tabla 6. Esquema del compás del Fandango en cuatro tercios. .......................................................... 19

Tabla 7. Esquema del compás de la Guajira. ........................................................................................ 19

Tabla 8. Ciclo de cuatro tiempos. .......................................................................................................... 19

Tabla 9. Esquema del compás del Tango Flamenco. ........................................................................... 20

Tabla 10. Esquema del compás de la Rumba. ....................................................................................... 20

Tabla 11. Demandas de los clientes de la Red de Prueba. .................................................................. 74

Tabla 12. Distancias de los clientes al almacén en orden de cercanía y demandas características

de la Red de Prueba. ................................................................................................................................ 75

Tabla 13. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba por la heurística de mínima distancia

tras añadir cuatro clientes....................................................................................................................... 76

Tabla 14. Capacidades disponibles tras asignar los cuatro primeros clientes en la solución inicial

sobre la Red de Prueba. .......................................................................................................................... 76

Tabla 15. Distancias de los clientes aún no asignados al cliente 8 en orden de cercanía y sus

demandas en la Red de Prueba. ............................................................................................................ 76

Tabla 16. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba

tras añadir el quinto cliente. ................................................................................................................... 77

Tabla 17. Capacidades disponibles tras asignar el quinto cliente en la solución inicial sobre la

Red de Prueba. ......................................................................................................................................... 77




tras añadir el sexto cliente. ..................................................................................................................... 77

Tabla 20. Capacidades disponibles tras asignar el sexto cliente en la solución inicial sobre la Red

de Prueba. ................................................................................................................................................. 77




tras añadir el séptimo cliente. ................................................................................................................ 78

Tabla 23. Capacidades disponibles tras asignar el séptimo cliente en la solución inicial sobre la

Red de Prueba. ......................................................................................................................................... 78






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tras añadir el octavo cliente. ................................................................................................................... 78


tras añadir los trece primeros clientes. ................................................................................................. 79

Tabla 27. Capacidades disponibles tras asignar los primeros trece clientes a la solución inicial

sobre la Red de Prueba. .......................................................................................................................... 79



Tabla 29. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ............ 79

Tabla 30. Solución inicial parcial tras asignar los doce primeros clientes a la solución inicial

sobre la Red de Prueba. Caso 2. ............................................................................................................. 80

Tabla 31. Capacidades disponibles tras asignar los primeros doce clientes a la solución inicial

sobre la Red de Prueba. Caso 2. ............................................................................................................. 80

Tabla 32. Demandas de los clientes no asignados en la Red de Prueba. Caso 2. ............................ 81

Tabla 33. Solución inicial parcial tras asignar el treceavo cliente a la solución inicial sobre la Red

de Prueba. Caso 2. ................................................................................................................................... 81


demandas en la Red de Prueba. Caso 2. ............................................................................................... 82

Tabla 35. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. Caso 2.

.................................................................................................................................................................... 82

Tabla 36. Demandas de los clientes de la Red de Prueba en orden decreciente. ............................ 84

Tabla 37. Capacidades disponibles tras asignar el primer cliente a la solución inicial por la

heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. .................................................................. 84

Tabla 38. Capacidades disponibles tras asignar los cuatro primeros clientes a la solución inicial

por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. ....................................................... 84

Tabla 39. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba tras asignar los cuatro primeros clientes

por la heurística de demanda máxima. ................................................................................................ 85

Tabla 40. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba tras asignar los primeros doce clientes a

la solución inicial por la heurística de demanda máxima. ................................................................. 85

Tabla 41. Capacidades disponibles tras haber asignado los doce primeros clientes a la solución

inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. ........................................... 85

Tabla 42. Demandas de los tres clientes aún no asignados por la heurística de demanda máxima

en la Red de Prueba. ................................................................................................................................ 85

Tabla 43. Solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. .......... 86

Tabla 44. Primera solución mejorada obtenida con la operación Relocate sobre la solución inicial.

Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ............................................................. 89

Tabla 45. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación Relocate sobre la

solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ............................. 90

Tabla 46. Capacidades disponibles de los vehículos con la combinación de rutas de la solución

inicial sobre la Red de Prueba. ............................................................................................................... 91

Tabla 47. Rutas uno y dos de la solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la



2015

Red de Prueba. ......................................................................................................................................... 91

Tabla 48. Rutas uno y dos tras la primera iteración de la operación Exchange sobre la solución

inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ................................................. 91

Tabla 49. Rutas uno y dos tras la segunda iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 50. Rutas uno y dos tras la tercera iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 51. Rutas uno y dos tras la cuarta iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 52. Rutas uno y dos tras la quinta iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 53. Rutas uno y dos tras la sexta iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 54. Rutas uno y dos tras la séptima iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 55. Rutas uno y dos tras la octava iteración de la operación Exchange sobre la solución


Tabla 56. Rutas uno y dos tras la última iteración de la operación Exchange sobre la solución

inicial en la que se intercambia el primer cliente de la ruta uno por un cliente de la segunda.

Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ............................................................. 94

Tabla 57. Rutas uno y dos tras la última iteración de la operación Exchange que relaciona estas

rutas sobre la solución inicial en la Red de Prueba. ............................................................................ 94

Tabla 58. Mejor solución obtenida tras realizar todas las iteraciones de la operación Exchange

sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia. Aplicación aislada de la

operación sobre la Red de Prueba. ........................................................................................................ 95

Tabla 59. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba junto con

las demandas de los clientes y las capacidades disponibles de los vehículos. ................................ 96

Tabla 60. Demandas de los clientes de la ruta uno de la solución inicial sobre la Red de Prueba

en orden creciente. ................................................................................................................................... 96

Tabla 61. Primera iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación

aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ................................................................................. 97

Tabla 62. Segunda iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación


Tabla 63. Tercera iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación


Tabla 64. Cuarta iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. .......... Aplicación


Tabla 65. Quinta iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. ......... Aplicación


Tabla 66. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación Merge_mod sobre la

solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ............................. 98



2015

Tabla 67. Rutas uno y dos tras la primera iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución


Tabla 68. Rutas uno y dos tras la segunda iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución


Tabla 69. Rutas uno y dos tras la tercera iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución

inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ............................................... 100

Tabla 70. Rutas uno y dos tras la cuarta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial.

Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba. ........................................................... 100

Tabla 71. Rutas uno y dos tras la quinta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial.


Tabla 72. Rutas uno y dos tras la sexta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial.


Tabla 73. Rutas uno y dos tras la séptima iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución


Tabla 74. Rutas uno y dos tras la octava iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial.


Tabla 75. Rutas uno y dos tras la novena iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución


Tabla 76. Resumen de los movimientos posibles de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial.


Tabla 77. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación 2-Opt* sobre la

solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ........................... 102

Tabla 78. Tiempos de Ejecución de las Operaciones sobre la solución inicial obtenida con la

heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. .................................................................. 103

Tabla 79. Distancias obtenidas con el mejor movimiento de cada operación sobre la solución

inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. .......................... 104

Tabla 80. Distancias obtenidas con el mejor movimiento de cada operación sobre la solución

inicial obtenida con la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. ......................... 105

Tabla 81. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo del Fandango sobre la solución inicial

generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ..................................... 108

Tabla 82. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Soleá sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 109

Tabla 83. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Soleá sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 109

Tabla 84. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Soleá sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 110

Tabla 85. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Soleá sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 110

Tabla 86. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Soleá sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 111

Tabla 87. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Soleá sobre la



2015

Red de Prueba. ....................................................................................................................................... 111

Tabla 88. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Soleá en la

segunda iteración del palo sobre la Red de Prueba. ......................................................................... 112

Tabla 89. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Soleá en la

segunda iteración del palo sobre la Red de Prueba. ......................................................................... 113

Tabla 90. Distancias y tiempos de ejecución obtenidos tras aplicar diferentes números de

iteraciones del algoritmo de la Soleá sobre la Red de Prueba. ......................................................... 114

Tabla 91. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Soleá sobre la solución inicial


Tabla 92. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Bulería

sobre la Red de Prueba. ........................................................................................................................ 114

Tabla 93. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Bulería


Tabla 94. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Bulería


Tabla 95. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Bulería sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 116

Tabla 96. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Bulería sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 116

Tabla 97. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Bulería sobre

la Red de Prueba. ................................................................................................................................... 117


iteraciones del algoritmo de la Bulería sobre la Red de Prueba. ...................................................... 117

Tabla 99. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Bulería sobre la solución inicial


Tabla 100. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Seguiriya


Tabla 101. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Seguiriya


Tabla 102. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Seguiriya


Tabla 103. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Seguiriya



iteraciones del algoritmo de la Seguiriya sobre la Red de Prueba. .................................................. 120

Tabla 105. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Seguiriya sobre la solución

inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ......................... 121

Tabla 106. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Guajira


Tabla 107. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Guajira




2015

Tabla 108. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Guajira


Tabla 109. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Guajira



iteraciones del algoritmo de la Guajira sobre la Red de Prueba. ..................................................... 123

Tabla 111. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Guajira sobre la solución

inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. ......................... 123

Tabla 112. Tiempos de Ejecución y número de iteraciones de los algoritmos independientes de

cada palo sobre la solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red

de Prueba. ............................................................................................................................................... 124

Tabla 113. Distancias obtenidas tras aplicar los algoritmos independientes de cada palo sobre la

solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. .......... 125

Tabla 114. Distancias obtenidas tras aplicar los algoritmos independientes de cada palo sobre la

solución inicial obtenida con la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba. ......... 126

Tabla 115. Numeración de los palos del flamenco. ........................................................................... 129

Tabla 116. Distancias obtenidas con el ARF para diferentes órdenes de los palos del flamenco

tras una iteración sobre la matriz de palos en la Red de Prueba. ................................................... 129

Tabla 117. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Seguiriya. ARF sobre Red

de Prueba – paso 1. ................................................................................................................................ 130

Tabla 118. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Guajira. ARF sobre Red de

Prueba – paso 2. ..................................................................................................................................... 131

Tabla 119. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Soleá. ARF sobre Red de

Prueba – paso 3. ..................................................................................................................................... 131

Tabla 120. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Bulería. ARF sobre Red de

Prueba – paso 4. ..................................................................................................................................... 132

Tabla 121. Tiempos de ejecución cumulativos para cada palo en una iteración del ARF sobre la

Red de Prueba. ....................................................................................................................................... 132

Tabla 122. Capacidades de los vehículos. Datos del problema a resolver [6]. .............................. 133

Tabla 123. Localización y demandas del almacén y los clientes del problema [6]. ...................... 134

Tabla 124. Solución inicial del problema [6] dada por la heurística de mínima distancia. ......... 135

Tabla 125. Solución del problema [6] obtenida con una iteración del ARF. .................................. 135

Tabla 126. Solución del problema [6] obtenida con dos iteraciones del ARF. ............................... 136

Tabla 127. Solución del problema [6] obtenida con tres iteraciones del ARF. ............................... 136

Tabla 128. Distancias recorridas y tiempos de ejecución empleados para diferentes números de

iteraciones del ARF sobre el problema [6]. ......................................................................................... 137

Tabla 129. Análisis de los resultados de distintitas iteraciones del ARF sobre el problema [6].. 137

Tabla 130. Resultados de la aplicación del ARF a las variantes resueltas en R.Grosso [6]. ......... 140

Tabla 131. Mejora en la solución de las variantes descritas en R.Grosso [6] con la aplicación del

ARF Adaptado en comparación con el ARF. ........................................................................................ 142



2015

Tabla 132. Comparativa de los tiempos de ejecución sobre las variantes descritas en R. Grosso

[6] empleando el ARF y ARF Adaptado. .............................................................................................. 142

Tabla 133. Resultados de la aplicación del ARF Adaptado a las variantes resueltas en R. Grosso

[6]. ............................................................................................................................................................ 144



2015

1. INTRODUCCIÓN

El flamenco es, sin lugar a dudas, el género musical más intrínsecamente ligado a la

cultura del sur de España. A pesar de la errónea imagen que muchas veces se procesa

hacia éste como género asociado al folclore, la complejidad musical del flamenco es tan

grande que lo ha convertido en uno de los géneros más estudiados desde un punto de

vista científico.

Los cambios de ritmo asociados a los distintos compases del flamenco, son estudiados

en este proyecto como herramienta para el diseño de un algoritmo de optimización.

Para verificar el correcto funcionamiento del método diseñado, se resuelve una

particularización simple del problema de enrutado de vehículos, VRP. Los resultados

que se obtienen al particularizar el método según los distintos palos del flamenco, se

usarán para comparar éstos entre sí. El funcionamiento del algoritmo completo, que

integra todos los palos de manera consecutiva, se comprobará a través de la

comparación de los resultados generados con los obtenidos utilizando un algoritmo de

búsqueda ya existente.

La elaboración del proyecto se ha llevado a cabo en diferentes fases:

1. Lectura de la bibliografía relacionada con los aspectos necesarios para el

desarrollo del proyecto:

- Los ritmos del flamenco, base del algoritmo de optimización desarrollado.

El estudio del flamenco se centra en dos aspectos principales: la variación

del ritmo en los principales compases del flamenco, y las diferentes maneras

de representarla.

- Métodos de resolución de problemas de optimización. Teoría sobre los

algoritmos de búsqueda más empleados (estado del arte).

- Estudio del problema de enrutado de vehículos en general y del problema

de enrutado de vehículos con capacidad, CVRP, en particular.

2. Definición del problema a resolver: particularización del problema de enrutado

de vehículos sobre la cual se implementa posteriormente el algoritmo

desarrollado. Definición de las características y restricciones del problema.

3. Diseño del algoritmo. Se desarrollan diferentes operaciones, las cuales son por

sí mismas algoritmos de optimización, y se aplican una tras otra en diferentes

combinaciones según la variación del ritmo en los principales palos del

flamenco. De esta manera se genera un algoritmo para resolver el VRP.



2015

4. Implementación. Se implementa el algoritmo desarrollado en lenguaje M.

5. Aplicación del algoritmo. Resolución del problema utilizando la herramienta

Matlab. Se prueba el funcionamiento de las operaciones utilizadas resolviendo

un caso sencillo del problema. Implementando cada palo por separado se

compara la efectividad de los mismos. Finalmente se resuelve el problema

usando el algoritmo completo.

6. Análisis de resultados. Los resultados obtenidos con el algoritmo diseñado se

compraran con los proporcionados por un método de búsqueda local en un

estudio del problema llevado a cabo por Rafael Grosso, de la Universidad de

Sevilla.



2015

2. LOS RITMOS DEL FLAMENCO

El algoritmo matemático que se desarrolla en este proyecto no puede ser comprendido

sin haber alcanzado antes unas nociones básicas sobre el estudio numérico de los

ritmos del flamenco. De igual manera, para explicar la riqueza rítmica del flamenco es

necesario adentrarse en los orígenes históricos de este género musical.

Con dicho propósito, el inicio de esta sección incluye una breve reseña histórica de la

teoría más ampliamente aceptada sobre los orígenes del flamenco. A continuación, se

introducen los conceptos musicales de ritmo y compás. Del concepto de compás

musical se derivan los palos del flamenco, introducidos en un apartado posterior que

contiene una descripción detallada de los más populares y extendidos. Finalmente, la

unión entre el análisis numérico y los palos del flamenco se produce con la

introducción del concepto de representación cronotónica, que será particularizada para

cada uno de los palos incluidos por el autor.

2.1. Introducción al flamenco

En este apartado se sentarán las bases sobre los diferentes ritmos asociados a los palos

o variedades del flamenco. Posteriormente, se empleará la variación de intensidad en

dichos ritmos como guía en la definición de un método de optimización de búsqueda

por trayectoria.

Los algoritmos de optimización de búsqueda por trayectoria constituyen un caso

particular de solución a complejos problemas que buscan alcanzar una solución

óptima. Dichos problemas presentan normalmente una naturaleza combinatoria y

aplican a problemas reales del tipo encontrar la distancia mínima entre varios puntos,

planes de mínimo coste para el reparto de mercancías, la asignación óptima de

trabajadores entre las tareas a realizar o el mejor enrutamiento de un paquete de datos

en internet, entre otros.

Estos algoritmos se utilizan cuando la aplicación de algoritmos exactos es ineficiente o

imposible para generar estimaciones de la solución óptima que pueden alcanzar

grandes resultados con mucho menor coste computacional. La búsqueda por

trayectorias se basa en la generación de una solución admisible y la exploración

multidireccional del conjunto de soluciones vecinas a la misma, que constituyen lo que

se conoce como una estructura de entorno.

Con el objetivo de mejorar dicha solución local, se producen alteraciones en la misma

que pueden incluir el cambio de la estructura de entorno e incluso, el empeoramiento

de la función objetivo en muchas ocasiones o la generación de otra solución inicial o

solución local. El algoritmo finaliza en el momento en el que se satisfacen una serie de

condiciones impuestas inicialmente o en el momento en el que el algoritmo es incapaz



2015

de alcanzar una solución mejor que la identificada como óptimo local.

En otras palabras, un método de optimización por búsqueda de trayectorias suele

incluir:

Una solución inicial.

Un método de modificación brusca de la misma para definir una nueva

estructura de entorno.

Un procedimiento de búsqueda local dentro de la estructura de entorno.

Un criterio de detención del algoritmo para decidir a qué solución se le aplica

el método de modificación.

De acuerdo con el musicólogo Faustino Núñez [12], las primeras raíces que dan lugar

al nacimiento del flamenco se sitúan en Cádiz, El Puerto de Santa María y San

Fernando, convirtiéndose en una semilla que se desarrollará entre Madrid, Sevilla y

Cádiz a lo largo del siglo XVIII. Dichas raíces, podrían ser interpretadas como

respuesta del pueblo español a la invasión ítalo-francesa impuesta por la ocupación de

España por parte de las tropas francesas.

Como consecuencia de tal combinación de factores, el flamenco es una música que

nació como un género de ritmo libre y que se consideraba debía aprenderse por

imitación, como el lenguaje mismo. En consecuencia, a partir de esas primeras etapas el

flamenco ha crecido y evolucionado como género opuesto a la música occidental

tradicional, a base de modificaciones que los grandes cantaores han ido añadiendo a lo

largo del tiempo.

Sin embargo, lo verdaderamente fascinante del flamenco es que bajo una apariencia de

música popular, esconde una gran complejidad en los ritmos que guían su

interpretación. En las siguientes secciones se expondrá un análisis de dichos ritmos

desde un punto de vista científico, comenzando por una introducción a la terminología

más básica del flamenco.

2.2. Nociones de compás y ritmo en el flamenco

El ritmo puede definirse como la división del tiempo en pulsos de intervalos

constantes. Cuando alguno de estos pulsos se enfatiza, es decir se acentúa, de manera

regular, se origina un ciclo rítmico denominado compás. El compás es, por tanto, un

patrón de acentos que se repite periódicamente. Este último puede ser definido como

la pulsación que regula el tiempo de la ejecución musical a base de divisiones

preestablecidas.

En el flamenco, los pulsos se marcan con las palmas de manera que los acentos



2015

corresponden con las palmas más fuertes. Frecuentemente, dichos acentos también se

marcan con los pies a través de taconeos de mayor o menor intensidad. Las palmas del

flamenco pueden al mismo tiempo clasificarse en:

Palmas vivas, de tono agudo.

Palmas sordas, de tono grave.

Por otro lado, en el flamenco el silencio cobra gran importancia puesto que el pulso

continúa aunque no se produzca sonido. De esta manera, se puede afirmar que el

flamenco iguala en cierta manera el sonido al silencio.

El patrón rítmico del flamenco es muy flexible, pudiéndose subdividir los diversos

estilos entre aquellos de métrica estructurada y métrica libre; sin embargo, una de las

características más significativas de los estilos de métrica estructurada es la rigidez en

cuanto al ajuste del compás para cada palo o variedad del mismo. A su vez, una de las

principales cualidades que diferencian al flamenco de la música tradicional occidental

es la colocación de los acentos. Ante una composición, un músico intenta

tradicionalmente localizar el uno o inicio del compás a través de un acento situado al

principio del mismo. Sin embargo, en los compases básicos del flamenco más

frecuentes, el acento se encuentra localizado al final del mismo.

Los ritmos básicos del flamenco siguen tres tipos de compás básicos:

Compás binario: el acento se produce cada dos tiempos. A diferencia de la

música tradicional, los acentos se sitúan como se muestra:

o Música tradicional: [1 2 1 2 1 2 …]

o Flamenco: [1 2 1 2 1 2 …]

Compás ternario: el acento se sitúa cada tres tiempos.

o Música tradicional: [1 2 3 1 2 3 1 2 3 …]

o Flamenco: [1 2 3 1 2 3 1 2 3 …]

Compás de amalgama: este es el compás más frecuente en el flamenco y se

construye a partir de una combinación de los dos tipos anteriores.

2.3. Los palos del flamenco

Los compases del flamenco desafían muchos de los cánones de la música occidental.

Una buena muestra de ello es la variedad y complejidad de palos del flamenco que

existen combinando los ritmos básicos de dos y tres tiempos y jugando con la

localización de los acentos.



2015

El término palo se refiere formalmente a “cada una de las variedades tradicionales del

cante flamenco”. Éstos pueden clasificarse según diferentes criterios como el origen, la

métrica o el carácter, entre otros.

Siguiendo una clasificación según la métrica, los palos más representativos serán

descritos a continuación junto con las tablas que recogen el compás predominante de

los mismos. En estas últimas, se han representado los acentos como cruces de color rojo

mientras que los tiempos no acentuados se representan con cruces negras. Nótese que

en el caso de los pies, únicamente se representan los tiempos acentuados que son

marcados por taconeo.

2.3.1. Compases de doce tiempos

2.3.1.1. La Soleá

Éste es el compás de doce tiempos más frecuente del flamenco. Los acentos se

marcan en los tiempos 3, 6, 8, 10 y 12. Cuando los marcajes empiezan en la

letra de la Soleá, los pasos empiezan en el tiempo 12. Es muy común no marcar

los tiempos 1 y 4 ó 5 y 6. Las escobillas a menudo empiezan en el primer

tiempo del compás. En otras variantes, los acentos se marcan en 3, 7, 8 y 12 o

bien, en algunas combinaciones de zapateado se empieza en el segundo

tiempo y los tiempos 1, 4, 7 y 10 permanecen en silencio.

Tabla 1. Esquema del compás de la Soleá.

Cuenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Palmas x x x x x x x x x x x x

Pie x x x x x

2.3.1.2. La Seguiriya

Tiene un compás de doce tiempos con la peculiaridad de que el baile

comienza en el octavo y termina en el sexto. Se acentúan los tiempos 8, 10, 12,

3 y 6. Una guía mnemotécnica para este palo es contar como “1 y 2 y 3 y a 4 y a

5”. Cada vez que aparece un acento se inicia la cuenta.

Tabla 2. Esquema del compás de la Seguiriya.

Cuenta

Soleá 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7

Cuenta 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2


Pie x x x x x



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Al contabilizar sólo los tiempos acentuados, el compás de doce tiempos se

transforma en un compás de cinco, de manera que los demás pulsos siguen

estando ahí aunque no se contabilicen.

Tabla 3. Esquema del compás de la Seguiriya al contabilizar únicamente los acentos.

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2

Cuenta 1 2 3 4 5


Pie x x x x x

2.3.1.3. La Bulería

La Bulería posee uno de los compases más flexibles entre todos los palos. Es un

compás de doce tiempos que se marca en una métrica de 6/8 (dos grupos de

tres octavas) o se divide en dos compases de seis tiempos. En la métrica de seis

por ocho los acentos se marcan en 3, 6, 8, 10 y 12 o 3, 7, 8, 10 y 12. Cuando el

compás se divide en dos de seis tiempos, como es el caso de las falsetas de la

Bulería, los acentos caen en el tercer tiempo y se empieza cada semi-compás

con acento. El compás de la Bulería se presta mucho a la improvisación del

bailaor en cuanto al marcaje de los pasos.

Tabla 4. Esquema del compás más frecuente de la Bulería.

Cuenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Pie x x x x x

2.3.1.4. La Alegría

Este palo presenta un compás de doce tiempos similar al de la Soleá pero con

un tiempo más rápido y animado. Los acentos se marcan en los tiempos 3, 6, 8,

10 y 12 o bien en los tiempos 3, 7, 8, 10 y 12. Los marcajes suelen realizarse de

la misma manera que en la Soleá, comenzando en el tiempo doce. Es muy

frecuente no marcar con los pasos los tiempos 4, 5 y 6 durante la letra o que se

haga una vuelta durante este periodo.

En este compás, algunos pulsos (representados en negrita en la tabla 5) se

retrasan un poco y suenan muy próximos al tiempo inmediatamente

siguiente.



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Tabla 5. Esquema del compás de la Alegría.

Cuenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Pie x x x x x

2.3.1.5. El Fandango

El compás del Fandango es de doce tiempos pero se maneja de manera

diferente a la Soleá y la Alegría. En el Fandango los doce tiempos se dividen en

cuatro tercios con acentos en el primer tiempo o bien en dos compases de 6

tiempos con acentos en el primer y cuarto tiempo.

Tabla 6. Esquema del compás del Fandango en cuatro tercios.

Cuenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Pie x x x x

2.3.1.6. La Guajira

Este compás, de influencia hispanoamericana, se caracteriza por alternar un

compas de seis por ocho con uno de tres por cuatro con acentos en los tiempos

1, 4, 7, 9 y 11.

Tabla 7. Esquema del compás de la Guajira.

Cuenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Pie x x x x x

2.3.2. Compases de cuatro tiempos

En las tres primeras secuencias de cuatro tiempos, se toca con las palmas el

primer pulso en silencio y los tres siguientes aumentando la intensidad

progresivamente. Con el pie se marca el primer pulso de manera fuerte. Para

acabar el ciclo rítmico se toca una secuencia de cuatro tiempos en el que sólo

suenan el segundo y tercer pulso de manera fuerte con las palmas y el pie.

Tabla 8. Ciclo de cuatro tiempos.

Cuenta 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Palmas - x x x - x x x - x x x - x x -

Pie x x x x x



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2.3.2.1. El Tango

El Tango flamenco es un palo de cuatro tiempos donde los acentos se marcan

en los tiempos primero y tercero.

Tabla 9. Esquema del compás del Tango Flamenco.

2.3.2.2. La Rumba

A diferencia del Tango, en este palo de cuatro tiempos los acentos se marcan

los tiempos dos y cuatro.

Tabla 10. Esquema del compás de la Rumba.

2.4. Representaciones gráficas de los compases flamencos

Existen diversas maneras de representar el compás característico de un determinado

palo. Para este proyecto se ha considerado la representación cronotónica.

La representación cronotónica o representación de histogramas, fue propuesta en 1987 por

Kjell Gustafson [7,8], de la Universidad de Oxford, con el objetivo de representar el

ritmo del habla para el reconocimiento automático de la voz. Posteriormente,

Hofmann-Engl [10] propuso dicha representación para calcular distancias entre ritmos,

demostrando que esta distancia coincide con la percepción de similitud rítmica que

tienen las personas. Al contrario que en otras representaciones, en ésta puede

observarse el tiempo entre pulsos, tratándose por tanto de una representación

dinámica del ritmo. Para ello, se toma el tiempo entre cada dos acentos en dos

dimensiones, representando dicha distancia temporal en los ejes horizontal y vertical.

Se representa el espacio de tiempo entre acentos mediante una caja bidimensional y la

longitud temporal del intervalo en los ejes. En las figuras 1 a 5, se muestra la

representación cronotónica de los cinco palos más representativos del flamenco, las

cuales se utilizarán para el desarrollo del algoritmo de optimización.

Cuenta 1 2 3 4

Palmas x x x x

Cuenta 1 2 3 4

Palmas x x x x



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Figura 1. Representación cronotónica del Fandango.

Figura 2. Representación cronotónica de la Soleá.

Figura 3. Representación cronotónica de la Bulería.



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Figura 4. Representación cronotónica de la Seguiriya.

Figura 5. Representación cronotónica de la Guajira.



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3. EL PROBLEMA DE ENRUTADO DE VEHÍCULOS

En el capítulo anterior se introdujo el concepto de algoritmo de optimización por

búsqueda de trayectorias y las múltiples aplicaciones del mismo. Sin embargo, el

objetivo de este proyecto se centra en su particularización para la resolución de lo que

se conoce como el Problema de Enrutado de Vehículos.

Siendo uno de los problemas más amplios dentro de la logística, el VRP puede

sintetizarse como la búsqueda de un esquema óptimo de encaminado de vehículos de

distribución de tal manera que las necesidades de demanda sean satisfechas a mínimo

coste.

En esta sección se realizará una introducción más detallada del problema de enrutado

de vehículos, los agentes del mismo y sus variantes más frecuentes. A continuación, se

introducen varios algoritmos de resolución de los mismos incluyendo métodos exactos

y de búsqueda aproximada.

3.1. Introducción al Problema de Enrutado de Vehículos

Antes de proceder a la explicación del método de optimización desarrollado durante la

elaboración de este proyecto, se va a introducir en este capítulo el VRP, problema sobre

el que se aplica dicho método.

El problema de enrutado de vehículos, más comúnmente conocido por su

denominación en inglés Vehicle Routing Problem (VRP), es uno de los problemas de

optimización más estudiados. Los costes destinados a distribuir bienes desde los

almacenes a los clientes suponen entre el 10% y el 20% del coste final de los productos,

lo cual ha supuesto un gran esfuerzo por buscar la solución más económica. El

problema fue introducido por primera vez en 1959 por Dantzig y Ramser [3], quienes

lo aplicaron a la entrega de gasolina a las estaciones de servicio. Posteriormente, en

1964, Clarke y Wright [2] propusieron una heurística que mejoraba la aproximación de

Dantzig y Ramser: el Algoritmo de Ahorros. Tras ellos, se han ido proponiendo cientos

de soluciones para las diferentes versiones del citado problema.

La base del problema de enrutado de vehículos es la obtención de un conjunto de rutas

óptimas que debe seguir una flota de vehículos para satisfacer las demandas de un

conjunto de clientes. En general, cada ruta empieza y acaba en un almacén o depósito y

debe ser recorrida por un solo vehículo, de manera que las demandas de todos los

clientes sean satisfechas, se cumplan todas las restricciones y el coste global de

transporte sea mínimo.

La red de transporte se describe a partir de un grafo. Los vértices representan la

localización de los clientes y los almacenes; y los arcos, que representan los caminos



2015

posibles entre los diferentes clientes y depósitos, llevan un coste asociado.

La figura 6 representa la solución particular para un caso de VRP en el que se dispone

de un único almacén de suministro (representado en la parte central de la figura) y

cinco vehículos de reparto. Cada uno de los 25 clientes viene representado en este caso

por un intervalo de reparto adecuado (fracción de tiempo en la que el cliente puede

recibir la mercancía) junto con su demanda en unidades de producto.

La capacidad de cada camión es igual a 1000 unidades y junto a cada uno de ellos se

representa el número de unidades que deben repartir en la configuración de rutas

actual. En la imagen se ha omitido la localización de los clientes respecto al almacén.

Esta última podría ser especificada en coordenadas polares u ortogonales con respecto

al depósito. Cada una de las rutas puede identificarse con un color diferente.

Figura 6. Esquema de un caso particular del VRP [1].

Como complemento a lo que se ha introducido en esta sección, es necesario mencionar

que existen diferentes versiones del problema a las que se llega cuando se modifican

las características de los principales elementos que lo componen: almacenes, clientes y

vehículos.

3.1.1. Los almacenes

Los almacenes o depósitos guardan los productos a distribuir. En general, son

el punto de partida y de retorno de todos los vehículos. Los almacenes podrán



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tener diferentes restricciones temporales, evitando que varios vehículos recojan

la mercancía a la vez.

3.1.2. Los clientes

Cada cliente tiene asociado una demanda. En la mayoría de los casos, la

demanda de un cliente tendrá que ser satisfecha por un solo vehículo, ya que

sólo podrá ser visitado una vez. Dicho vehículo deberá tener, por tanto, una

capacidad como mínimo de igual valor que la suma de las demandas de los

clientes que va a atender.

Las diferentes variantes del problema aparecen al cambiar ciertas

características, por ejemplo, las restricciones sobre los periodos del día durante

los cuales puede ser servido el cliente, los tiempos de carga y descarga

requeridos o el tipo de vehículo que puede atender al cliente. Así mismo, hay

veces que un cliente puede ejercer de proveedor de otros.

3.1.3. Los vehículos

Una flota de vehículos puede denominarse homogénea, si son todos iguales, o

heterogénea, en el caso de que haya diferentes tipos de vehículos.

Usualmente, cada vehículo podrá recorrer una única ruta y tendrá asociado una

determinada capacidad. El valor asociado a la capacidad representa la máxima

cantidad de bienes que el vehículo puede transportar. Como se verá más

adelante, esta característica es propia de una variante del problema

denominada Capacitated VRP o CVRP.

3.2. Variantes del problema de enrutado de vehículos

Existen diferentes versiones del VRP surgidas a partir de una serie de restricciones que

pueden añadirse al problema original.

El problema del agente viajero, en inglés Travelling Salesman Problem (TSP), es una

particularización en la cual sólo se dispone de un vehículo que tiene que visitar, en una

única ruta, a todos los clientes. En este problema no hay restricciones de tiempo ni

demanda asociada a los clientes. Además, el almacén, que no siempre existe, no se

diferencia de los clientes. Una generalización de este problema es el m-TSP, problema

de los m agentes viajeros, en el cual se tiene un almacén y m vehículos.

Las principales variantes del VRP se muestran en la figura 7. El sentido de la flecha

indica que el problema destino es una extensión del problema que se encuentra en el



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origen de la misma.

Figura 7. Variantes del VRP.

Las características básicas de los problemas identificados en la figura 7 se detallan a

continuación.

- Capacitated VRP (CVRP)

Es la versión más básica del VRP. Como en el problema original, todos los

clientes tienen una demanda conocida que debe ser satisfecha. El objetivo es

minimizar el coste global para servir a todos los clientes. La particularidad del

Capacitated VRP es que se tiene una capacidad de carga, C, asociada a los

vehículos. La suma de las demandas de los clientes por los que pasa una ruta no

debe exceder la capacidad del vehículo que la recorre.

- Distance – Constrained CVRP (DCVRP)

Si se sustituye la restricción de capacidad por una restricción de tiempo, el

nuevo problema se denomina Distance – constrained VRP, en el cual cada arco

lleva asociado un determinado valor de tiempo. La suma de las longitudes de

los arcos que forman cada ruta no puede superar la longitud máxima de la ruta

correspondiente, que tendrá el mismo valor para todas las rutas en el caso de

que todos los vehículos sean iguales. Cuando el valor asociado a cada arco

representa el tiempo de viaje, puede asignarse a cada cliente un tiempo de

servicio, el cual representa el tiempo que puede estar parado el vehículo en el

lugar donde se encuentra el cliente. El tiempo de viaje total será el resultado de

sumar a la longitud del arco, la suma de las mitades de los tiempos de servicio



2015

de los clientes de origen y destino.

Se habla de Distance – Constrained CVRP cuando se tienen a la vez las

restricciones de capacidad y de longitud máxima.

- VRP with time Windows (VRPTW)

Esta variante incorpora las ventanas temporales. En este caso, se asigna un

intervalo de tiempo a cada cliente que limita el horario en el que puede ser

servido.

- VRP with Backhauls (VRPB)

En esta variante existen dos tipos de clientes: los que requieren una entrega de

bienes y los que esperan una recogida de los mismos.

- VRP with Pickup and Delivery (VRPPD)

En esta versión del problema se realiza una recogida de bienes a ciertos clientes

y se realiza la entrega de los mismos a otros.

- VRP with Access Time Windows (VRPATW)

El VRPATW surge de añadir al VRP with Time Windows una restricción

temporal en relación con el acceso a ciertas zonas de una ciudad. En este caso,

puede ser impedido el acceso a una zona durante un determinado intervalo de

tiempo.

3.3. Enfoques algorítmicos para la resolución del problema de enrutado de vehículos

El problema de enrutado de vehículos ha sido ampliamente estudiado durante las

últimas décadas, debido a la cantidad de problemas derivados del transporte de

mercancías que están relacionados con él. Desde la primera propuesta de Dantzig y

Ramser [3], pasando por la mejora introducida por Clarke y Wright [2], han sido

numerosos los métodos propuestos para su resolución. A día de hoy, existe una gran

variedad de algoritmos para resolver este problema. Los más importantes se enuncian

a continuación, explicando brevemente aquellos con mayor relevancia.

3.3.1. Métodos exactos

Los métodos exactos se formulan como modelos de programación lineal y

llegan a una solución entera a partir de un conjunto acotado de soluciones

factibles. Estos métodos no pueden aplicarse a problemas de más de 100 clientes



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a causa de la complejidad de los modelos matemáticos, por ello, su uso suele

limitarse a fines académicos. El método exacto más extendido es el de Branch

and Bound (ramificación y poda).

En este método se divide el conjunto de soluciones en subconjuntos de menor

tamaño cada vez, dentro de los cuales se determina el valor de la mejor

solución. Se asemeja a un árbol de soluciones, en el que cada nueva rama

contiene una solución posterior. Finalmente, la rama que no puede contener la

solución óptima es eliminada

3.3.2. Métodos heurísticos

Los métodos heurísticos permiten obtener buenas soluciones ahorrando en

tiempos de ejecución, en cambio, estos algoritmos no aseguran la optimalidad

de las soluciones. Debido a que en general los métodos exactos son

inadecuados, las heurísticas se utilizan habitualmente en la práctica.

Los principales atributos de las heurísticas aplicadas al VRP son la precisión,

velocidad, simplicidad y flexibilidad.

3.3.2.1. Método de los Ahorros (Clarke and Wright) [2]

Es el método heurístico más importante para el VRP. Es un método simple

que proporciona una solución aceptable en un tiempo reducido. Las

soluciones se pueden mejorar posteriormente utilizando algoritmos de mejora.

G. Clarke y J.M. Wright propusieron un algoritmo para resolver el problema

de enrutado de vehículos. La particularización del problema para la cual

diseñaron el método consta de un solo almacén central (identificado en la

localización 0), un número n de clientes con demandas conocidas y uno o más

vehículos para realizar las entregas. La solución obtenida proporciona las

rutas que deben seguir los vehículos para satisfacer las demandas de todos los

clientes, de manera que se minimice el coste global del transporte.

Para llevar a cabo el método se deben conocer los costes todos los trayectos

posibles:

: Coste de realizar el trayecto entre el almacén y el cliente j.

: Coste de realizar el trayecto desde el cliente i al cliente j. Se considera

igual al coste del trayecto desde el cliente j al cliente i.

El algoritmo empieza asignando el mismo número de rutas que de clientes, de

manera que cada ruta une el almacén con un cliente. Se calcula el coste de



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transporte asociado a estas rutas.

El siguiente paso es la unión del cliente i con el cliente j, de esta manera el

vehículo irá desde el almacén al cliente i, luego a j y terminará su recorrido en

el almacén. El ahorro que supone este nuevo enlace será:

El algoritmo calcula el ahorro para cada combinación posible y los ordena de

mayor a menor.

3.3.2.2. Método del barrido

Se utilizan coordenadas polares para representar la localización de los clientes

respecto al almacén. Se barre el mapa utilizando una recta con centro de giro

en el almacén, hasta que la suma de las demandas de los clientes barridos sea

igual a la capacidad del vehículo.

Una vez dividido los clientes en subconjuntos, se utiliza un algoritmo, como el

“Método de los Ahorros”, para ordenarlos de manera que se obtenga la ruta

más cercana a la óptima.

3.3.2.3. Métodos de búsqueda local

Se parte de una solución inicial que se irá mejorando conforme avanza el

algoritmo. El procedimiento consiste en evaluar cada nueva posible solución,

avanzando en el caso de que ésta mejore la última solución almacenada. Para

evitar obtener un óptimo local, debería utilizarse un algoritmo más complejo,

que permita avanzar también hacia soluciones peores, pudiendo así explorar

nuevos caminos hasta otros óptimos diferentes al anterior.

3.3.3. Métodos Metaheurísticos

Una metaheurística es una estrategia para resolver un gran número de

problemas diferentes para los que, debido a su complejidad o por falta de

conocimientos, no existe un algoritmo fiable para su resolución. Estos métodos,

que intentan mejorar los métodos heurísticos, proporcionan resultados muy

próximos a la solución óptima para problemas de optimización combinatoria.

Su base es la observación de la naturaleza, la evolución de las especies, diversos

procesos físicos aplicados a materiales, etc.

Como principal característica de los métodos metaheurísticos cabe citar que son

algoritmos de optimización global, por lo que deben incorporar mecanismos



2015

que eviten estancarse en óptimos locales.

A continuación, se presentan rápidamente algunas de las metaheurísticas que

con más éxito se han aplicado a los problemas de distribución de vehículos en

rutas:

3.3.3.1. Algoritmo Genético

El algoritmo Genético forma parte de los denominados algoritmos evolutivos,

propuestos por primera vez por A.S.Fraser. Se basa en la teoría de la evolución

de especies de Darwin. A diferencia de otros algoritmos que modifican una

única solución, en cada iteración genera un grupo de soluciones a partir de las

soluciones obtenidas anteriormente. El grado de mutación condiciona la

cantidad de características que las nuevas soluciones adoptarán de las

anteriores, y proporciona al algoritmo un aspecto aleatorio que resuelve el

problema de los óptimos locales.

3.3.3.2. Algoritmo de Recocido Simulado (Simulated Annealing)

Se generan las nuevas soluciones de manera aleatoria atendiendo a ciertas

reglas de probabilidad.

El algoritmo se basa en el proceso de recocido según el cual los metales se

calientan hasta altas temperaturas para luego enfriarlos lentamente.

3.3.3.3. Búsqueda Tabú

El algoritmo de Búsqueda Tabú se propone por primera vez en 1989. El

procedimiento seguido por el algoritmo consiste en la búsqueda de una

solución que mejore la función objetivo respecto a la solución actual,

almacenando en una memoria las soluciones anteriores o alguna característica

de las mismas, de manera que éstas no puedan volver a ser exploradas hasta

que pase cierto número de iteraciones.

3.3.3.4. Enjambre de partículas:

Se pretende simular la búsqueda que realizan las partículas, como

interaccionan entre ellas y como se orientan para una búsqueda eficiente.

3.3.3.5. Colonias de hormigas

Este método surge de observar como las hormigas van explorando diferentes

direcciones, dejando un rastro de feromonas a su paso, que les indica las



2015

direcciones más interesantes para ser exploradas en proporción al nivel en que

se encuentran estas feromonas.



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4. CASO DE ESTUDIO

Se introduce en este apartado el problema que se resolverá mediante el algoritmo

diseñado.

El problema de enrutado de vehículos es muy extenso y tiene multitud de variantes. Se

ha optado por plantear un problema simplificado, de manera que permita centrar la

atención del proyecto en la búsqueda y el diseño del método de optimización en sí,

dejando en un segundo plano el estudio de las versiones más complejas del VRP.

4.1. Elementos que componen el problema

Para modelar el problema es necesario el conocimiento de los distintos elementos que

intervienen en el mismo.

El VRP se modela mediante un grafo, G=(N, L), cuyos conjunto de nodos, N, y de arcos,

L, son conocidos.

- El conjunto de nodos N está compuesto por dos tipos de nodos: los

correspondientes a los clientes, que tienen un nivel de demanda positiva

conocida y se definen por n; y el nodo correspondiente al almacén, el cual se

supondrá con un nivel de oferta suficiente para satisfacer la demanda de

todos los clientes.

- Cada pareja de nodos está unida mediante un arco, de manera que el

conjunto de arcos L contiene todos los caminos posibles entre los clientes y

el almacén.

- Los costes implicados en el problema corresponden a las distancias entre los

nodos. El objetivo del problema es minimizar el coste global del transporte.

- El número de vehículos de transporte disponibles para realizar el reparto de

mercancías está definido por V.

En la figura 8 es posible identificar todos los elementos básicos que configuran el

problema. En la parte superior izquierda se representa la flota de vehículos disponibles

para realizar el reparto de mercancías, para los que se asume una determinada

capacidad (Capv). El único almacén está representado en la zona central de la figura

como un nodo de color verde, con una producción que debe igualar o superar la suma

de las demandas de los clientes a abastecer.

Los n (en este caso ocho) clientes aparecen como nodos de color azul y en su interior se

describe la demanda de cada uno de estos, diferentes entre sí. Por último, L=15 arcos



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que representan las rutas existentes entre los nodos y junto a los que se representan las

distancias dij que los caracterizan.

Figura 8. Elementos básicos que componen el VRP.

4.2. Características y restricciones

El objetivo del problema es obtener el conjunto de rutas que deben seguir los vehículos

para satisfacer las demandas de todos los clientes, minimizando el coste total de

transporte.

El problema a resolver es una particularización del CVRP. Las características o

hipótesis que lo definen son las que siguen:

- La función objetivo se expresa en términos de distancia. Los costes

asociados a los arcos son expresados como la distancia entre los nodos

unidos mediante el correspondiente arco.

- Existe un único almacén con mercancía suficiente para cubrir la demanda de

todos los clientes.

Se designará el nodo correspondiente al almacén como nodo 0. El resto de

nodos, del 1 al n, representarán la localización de los distintos clientes que

componen el problema.

- Cada cliente tiene que ser visitado exactamente una vez y su demanda debe



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ser completamente satisfecha por el único vehículo que lo visite.

- Los vehículos tienen una capacidad asociada, Capv, que representa la

cantidad máxima que pueden transportar. Las rutas se harán de tal manera

que la suma de las demandas de los clientes que visita un vehículo sea igual

o inferior a la capacidad de éste.

Se consideran diferentes valores de capacidad. El resto de restricciones son

las mismas para toda la flota.

- En un mismo problema, cada vehículo puede realizar una única ruta. El

número máximo de rutas que pueden recorrerse será, por tanto, igual al

número de vehículos disponibles.

- Todas las rutas empiezan y acaban en el depósito. Los vehículos parten del

almacén, reparten la mercancía a los clientes correspondientes, y regresan

de nuevo al almacén.

4.3. Modelo Matemático

Dada la diversidad de factores que pueden intervenir y modificar un VRP, existen

múltiples variantes que no son el objeto de análisis de este proyecto. Por esta misma

razón, en la literatura académica es posible identificar como diversos autores han

centrado sus esfuerzos en generar algoritmos que dan solución a problemas definidos

tras la adherencia a diversas simplificaciones.

En esta sección se incluye el modelo matemático del VRP particularizado sobre el que

se aplicará el algoritmo generado. Por tanto, se describen a continuación las variables

involucradas en el modelado matemático del mismo, las restricciones que limitan el

número de soluciones posibles y la función objetivo sobre la que se fundamenta el

proceso de optimización.

4.3.1. Variables del Problema

Las variables matemáticas necesarias para el modelado de la particularización

del VRP analizada en este documento son las siguientes.

- {N} Conjunto de nodos integrados en G. Por nodo puede entenderse la

localización física o virtual en la que un vehículo de distribución puede cargar /

tomar unidades de producto o bien descargar / entregar estas últimas. La

definición de cada nodo también es un elemento que juega un papel esencial en

la naturaleza de un VRP. En particular, en este documento se asume que un

nodo queda definido por su localización y un valor determinado de demanda.



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De esta manera, se eliminan condiciones que añaden complejidad al problema

como la existencia de intervalos de disponibilidad de los nodos, la limitación de

los vehículos que pueden acceder a un nodo o la posibilidad de almacenar de

manera temporal unidades de producto en un nodo. Este conjunto puede a su

vez descomponerse en dos subconjuntos, C y A, que contienen respectivamente

los clientes que demandan productos y los almacenes desde los que se

distribuye. En este caso se ha tomado un único almacén, por lo que el conjunto

A esta contenido por un solo elemento.

Los nodos se encuentran identificados por una numeración de manera que el

nodo 0 representa el almacén y los nodos 1 a n los clientes a abastecer.

- {A} Conjunto de nodos tipo almacén o depósito dentro de N. En este caso el

nodo almacén es único y viene definido por el subíndice 0.

- {C} Conjunto de nodos clientes dentro de N.

- {Capv} Esta variable, expresada en unidades de producto a distribuir,

representa la capacidad de carga de cada uno de los vehículos de la flota de

reparto.

- {Demi} Esta variable describe la demanda de cada uno de los nodos que

constituyen el conjunto N. En el caso de los clientes la demanda toma un valor

mayor o igual que cero, mientras que los nodos almacén poseen una demanda

negativa, cuyo valor absoluto también es identificada con la variable P o

Producción del mismo. En el problema considerado, el único almacén tiene un

nivel de producción superior a la suma de las demandas asociadas a los

clientes, cuyo valor exacto se desconoce.

- {dij} Cada uno de estos valores representa la distancia física entre los nodos i y

j y define el arco lij. Las distancias se calculan aplicando trigonometría a las

ordenadas y abscisas de cada nodo con respecto al resto, es decir, la distancia

mínima entre los mismos en un plano de dos dimensiones.

- {Δ+(i)} Bajo esta denominación se hace referencia al conjunto de nodos

adyacentes al nodo i, es decir tales que:

- {Δ-(i)} Bajo esta denominación se hace referencia al conjunto de nodos

incidentes al nodo i, es decir tales que:

- {G} Por esta letra se designa al gráfico o grafo que representa el modelo

matemático del problema a resolver e incluye dos elementos esenciales: nodos y



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rutas.

- {L} Conjunto de arcos incluidos en G. Como arco se entiende la vía de

comunicación entre nodos para un vehículo de transporte. Cada arco viene

acompañado por una característica que intrínsecamente afecta a la función

objetivo del problema. Dichas características pueden tener un efecto de

penalización (distancia entre dos puntos) o beneficio (admisibilidad de carga de

una ruta) sobre la función objetivo. Para el objetivo de este documento, cada

arco queda definido por los nodos que une así como por la distancia física que

un vehículo debe recorrer al cubrir dicho arco.

Enlazando con la realidad física del problema, para el propósito de este trabajo

se ha considerado que cada arco lij (que une los nodos i y j) representa el

recorrido óptimo o de mínima distancia entre todos los posibles que unen

dichos nodos. Esta afirmación se apoya en la asunción de que no existen

condiciones de tráfico que alteren la distancia característica de una ruta o la

elección de la óptima de la misma entre dos nodos.

- {lij} Arco único entre los nodos i y j. Caracterizado por la distancia

característica del mismo.

- {xij} Variable binaria refería al arco lij que toma el valor 1 si dicho arco es

recorrido por un vehículo y 0 en caso contrario.

- {V} Esta variable representa el número de vehículos disponibles en la flota de

reparto para la distribución de la mercancía. Esta flota está compuesta por

vehículos que operan simultáneamente.

- {Si} Los vectores Si definen las rutas seguidas por cada uno de los vehículos de

reparto. De esta manera, existen V vectores que corresponden a los V vehículos

de la flota. Cada vector contiene en este problema el almacén o nodo 0 seguido

del resto de clientes visitados por cada vehículo. Al final de cada vector se

incluye de nuevo el nodo 0 indicando que las rutas finalizan en el almacén.

4.3.2. Función Objetivo

La función objetivo del caso analizado en este proyecto queda definida como:

Minimizar

Al no haberse introducido ninguna restricción temporal o de coste en la

consideración de las posibles rutas para la distribución de producto, la función



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objetivo es única y busca minimizar la distancia total recorrida por la flota de V

vehículos disponibles.

4.3.3. Restricciones o Condiciones de Contorno

Las restricciones de este problema son las siguientes:



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A continuación se describen las implicaciones de dichas restricciones sobre el problema objeto de estudio.

(2) – Esta restricción impone que los nodos clientes deben tener una demanda positiva.

(3) – La demanda de los nodos almacén debe ser negativa e igual al valor absoluto de su producción. En este caso se ha especificado un conjunto de nodos productivos, sin embargo en la resolución posterior siempre se ha considerado un único nodo almacén definido como nodo 0. En esta restricción se impone la desigualdad ya que en ausencia de producción el problema carece de sentido matemático.

(4) – El sumatorio de la producción o el stock de los nodos almacén (o nodo único en este caso) debe ser mayor o igual a la suma de todas las demandas de los nodos clientes para poder abastecer a los mismos.

(5) – La flota de vehículos debe ser capaz de abastecer en una sola tanda de

entregas la demanda total de los clientes.

(6) y (7) – El número de rutas que parten y retornan respectivamente del nodo almacén debe ser menor o igual que el número de vehículos disponibles. Al ser este último valor fijo, se omite la necesidad de alcanzar en el problema el número de vehículos disponibles para pasar a definir cuantos de los disponibles están operativos.

(8) y (9) - Estas condiciones representan el hecho de que todos los clientes deben ser visitados por un único vehículo de reparto. Nótese como en esta condición se ha omitido el almacén, del que parten previsiblemente varias rutas.

(10) – El mínimo número de vehículos para satisfacer las condiciones del problema es igual a la unidad.

(11) – Esta condición define el carácter binario de las variables xij.

(12) – Cada vehículo debe satisfacer la demanda de los nodos que visita con un único paso por ellos. Si bien las restricciones (8) y (9) imponen que cada cliente sea visitado por un vehículo de reparto, esta condición elimina el supuesto de



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que el mismo vehículo visitase a un cliente en dos ocasiones. Aunque en el contexto del ejemplo simplificado que aquí se plantea esta restricción es redundante, en el caso de que existieran otros nodos de recogida de producto seria esencial incluirla.

(13) – La capacidad de cada vehículo debe ser suficiente para abastecer a todos los nodos clientes que forman parte de la ruta asignada al mismo en un solo recorrido de la misma.

4.3.4. Descripción del modelo completo

Una vez descritos los elementos matemáticos que componen el problema objeto

de estudio en este documento, es posible formular el mismo de una manera más

académica y global, tal y como se recoge a continuación.

“Se desea generar un programa de distribución de mínima distancia capaz de

abastecer la demanda de un número n de clientes a partir del stock P disponible

en un único almacén. Para esta tarea se dispone de un numero V de vehículos

de reparto de capacidad de carga igual a Capv.

La ruta Sv asignada a cada vehículo debe partir del almacén o nodo 0 y retornar

al mismo de manera que se abastezca la demanda de cada cliente con una sola

visita. Un único vehículo debe visitar a cada cliente y su capacidad debe ser

suficiente para abastecer a todos los clientes que se le asignen en un único

recorrido.

Se conocen las demandas de cada cliente y se asume que existen lij rutas que

unen todos los nodos entre sí y con el almacén, de forma que la distancia dij que

separa a cada uno de estos nodos es también conocida. No existen restricciones

referidas al intervalo temporal de reparto o las condiciones de tráfico entre los

nodos”

Matemáticamente el problema queda formulado como:

Minimizar

Sujeto a



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5. ALGORITMO POR RITMOS DEL FLAMENCO

Esta sección se centra en el diseño y definición detallada del algoritmo que se

desarrolla en este Proyecto Fin de Carrera. Con el objetivo de diferenciar este algoritmo

de aquellos existentes en la literatura académica se ha denominado al mismo como

“Algoritmo por Ritmos del Flamenco” o “ARF”. Este último será desarrollado a

continuación con atención a los siguientes aspectos.

- Fundamento matemático del algoritmo principal, así como las posibles

combinaciones de las operaciones según los ritmos del flamenco.

- La generación de la solución inicial.

- Las operaciones utilizadas.

- El algoritmo ARF.

5.1. Base del Algoritmo

La representación cronotónica de los palos del flamenco refleja el tiempo que

transcurre entre cada dos golpes fuertes del compás. Este intervalo de tiempo es

denominado distancia cronotónica, la cual, al medirse en ambos ejes x e y, se

representa mediante un bloque de forma cuadrada. Este concepto, introducido en la

sección 2.4 de este documento, sustenta la base del desarrollo del ARF como se describe

a continuación.

La representación cronotónica de un palo del flamenco, tal y como ilustran las figuras 1

a 5 del capítulo 2, genera un patrón de cuadrados de diferente lado que registran la

distancia en tiempos entre dos acentos consecutivos. Considérese el caso de la Bulería,

cuya representación cronotónica se encuentra recogida en la figura 9.

Figura 9. Detalle de la representación cronotónica.



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Para este palo, los acentos se encuentran en los tiempos 2, 6, 7, 9, 11 y 12. De esta

manera, entre el inicio del compás y el primer acento existen dos tiempos, es decir, la

distancia cronotónica es igual a dos y aparece representada como un cuadrado de lado

igual a dicho valor. Si analizamos el siguiente acento, en el tiempo 6, este se encuentra

a una distancia de cuatro tiempos sobre el anterior. En esta ocasión la distancia

cronotónica es igual a cuatro y se representa con un cuadrado cuyo lado toma dicho

valor. Estos pasos se repiten hasta llegar al final del palo.

Como resultado de este análisis del palo, se puede concluir que la Bulería queda

cronotónicamente definida por el siguiente vector de distancias:

Bulería → [2 4 1 2 2 1]

Este proceso es igualmente aplicable al resto de palos del flamenco. La idea principal

que reside tras el Algoritmo por Ritmos del Flamenco consiste en leer los valores de

distancias cronotónicas asignados a un palo e identificarlos con una operación de

búsqueda local. Según se puede apreciar por simple inspección de los palos

considerados en este Proyecto Fin de Carrera, las distancias cronotónicas que

componen los distintos palos toman valores comprendidos entre 1 y 4.

La base del proceso de optimización aplicado en el ARF sostiene que a cada uno de los

cuatro valores que puede tomar la distancia cronotónica entre dos acentos de un palo

se le asigna una operación de búsqueda local. Es de gran importancia recalcar aquí el

carácter local de dichas operaciones, ya que estas últimas no buscan una modificación

del espacio de búsqueda sino una mejora local de la solución inicial.

El ARF contiene por tanto cuatro operaciones de búsqueda local. Ahora bien, dichas

operaciones deben ser asignadas a cada uno de los cuatro valores que la distancia

cronotónica puede tomar. El criterio seguido a la hora de asignar operaciones a cada

valor de la distancia cronotónica ha sido el grado de alteración sobre la solución actual.

De esta manera y como se describirá en un apartado posterior de este capítulo, valores

crecientes de la distancia cronotónica corresponden a operaciones que introducen un

mayor grado de modificación sobre la solución actual.

En este punto es necesario definir qué se entiende por el grado de alteración de la

solución actual. Las operaciones de búsqueda local analizan nuevas combinaciones o

rutas para los vehículos de reparto a base de desplazar o intercambiar clientes. En base

a esta característica, el ARF mide el grado de alteración de la solución inicial en base al

número de clientes desplazados de su posición de partida.

Sin embargo, cualquier operación local es susceptible de errar en la búsqueda de una

solución mejor que la actual, por lo que podría no desplazar ningún cliente. De ahí que

para ordenar el grado de alteración que cada operación ejerce sobre la solución actual

sea necesario referirse a la probabilidad. En otras palabras, la operación asignada a la

mayor distancia cronotónica en el ARF es aquella susceptible de desplazar un mayor



2015

número de clientes al ejecutarse exitósamente y viceversa.

Una vez se ha definido el paso de distancia cronotónica a operación de búsqueda local,

debe aclararse el modo en el que el ARF procesa un palo del flamenco. Al ejecutar un

palo completo, el ARF recorre la representación cronotónica del mismo de inicio a fin y

ejecuta las operaciones asignadas a las distancias cronotónicas que se van obteniendo

al recorrer el palo.

Retornando al ejemplo de la Bulería, al ejecutarse este palo el ARF aplicaría las

siguientes operaciones sobre la solución actual:

1. Operación 2

2. Operación 4

3. Operación 1

4. Operación 2

5. Operación 2

6. Operación 1

Esta sucesión supone la aplicación del palo en una iteración, sin embargo, aún es

necesario definir las iteraciones deseadas para cada palo así como el modo en el que se

ejecutan las operaciones de búsqueda local. Información más detallada sobre el proceso

se incluye en secciones posteriores de este documento.

Para poder ejecutar un palo determinado y, en consecuencia, las operaciones que su

distancia cronotónica impone, es necesario que el ARF se valga de un punto de partida

o solución inicial sobre la que se realizará un proceso de optimización local. En

resumen, la figura 10 recoge los pasos ejecutados en el ARF tal y como este último ha

sido definido. Nótese como el filtro de selección de operación ha sido representado

enviando el valor 2 al algoritmo por ser ésta la primera distancia cronotónica de la

Bulería, ejemplo seguido hasta ahora como ilustración.

El mismo proceso resultaría aplicable a todos los palos considerados en este

documento. En la figura 11 se muestra la representación cronotónica de los cinco palos

más relevantes del flamenco incluyendo el valor de las distancias entre acentos. Para

los diferentes palos se obtienen las siguientes combinaciones de distancias:

- Fandango: [3 3 3 3]

- Soleá: [2 3 2 2 2 1]

- Bulería: [2 4 1 2 2 1]



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- Seguiriya: [2 2 3 3 2]

- Guajira: [3 3 2 2 2]

Figura 10. Esquema resumen del proceso seguido por el ARF.

Una vez se han establecido los fundamentos del ARF y la metodología seguida al

ejecutar una iteración sobre uno de los palos, en las siguientes secciones se ofrece una

descripción más detallada de los tres componentes o módulos en los que se ha

descompuesto el algoritmo: La búsqueda de una solución inicial, las operaciones de

búsqueda local y la ejecución global del ARF.

5.2. Procedimiento para la determinación de la solución inicial

La solución inicial debe contener una serie de rutas admisibles, una por cada vehículo

disponible, mediante las cuales se satisfagan las demandas de todos los clientes de

manera que se cumplan los requisitos del problema. Las operaciones que se realizan

durante el algoritmo modifican las rutas a través de diferentes movimientos de

clientes, por lo que la generación de una solución factible inicial es condición necesaria

para comenzar las iteraciones sobre los palos.

El algoritmo ARF, al ser un método de búsqueda aleatorio, proporcionará soluciones

de calidad diferente de acuerdo con la solución inicial de partida. Dada la importancia

de esta última, en este trabajo se han propuesto dos heurísticas. Puesto que el objetivo

del problema es minimizar la distancia total recorrida, se ha diseñado una primera

heurística que asigna los clientes a las rutas según las distancias entre ellos. Como



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segunda opción se plantea una heurística en la que las rutas iniciales se generan

analizando únicamente las cantidades demandadas por los clientes.

Figura 11. Valores de las distancias cronotónicas de los palos flamencos.

5.2.1. Determinación de la solución inicial mediante la heurística de mínima

distancia

Para comenzar, se crea un número de rutas vacías V igual al número de

vehículos disponibles. El proceso consiste en el llenado progresivo de las rutas,

recorriendo las mismas de manera secuencial. Empezando por la primera ruta,

se va añadiendo un cliente a cada ruta siempre que la demanda del cliente sea

como máximo igual a la capacidad disponible del vehículo correspondiente.

Analizando siempre los clientes que no han sido asignados, el cliente que se

añade a una ruta es en cada caso el más cercano al último cliente visitado por la

misma, o el más cercano al almacén en el caso de ser el primer cliente que se

añade a dicha ruta.



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El siguiente ejemplo muestra el proceso de forma clara:

Se quiere repartir la mercancía desde un almacén a 4 clientes con las siguientes

demandas: 3, 5, 2, 2. Para ello se dispone de dos camiones con una capacidad igual a 7.

Las distancias entre todos los puntos se detallan en la matriz

d =

Siendo dij la distancia entre el cliente i-1 y el cliente j-1. La primera fila y columna

corresponde a la distancia entre el almacén y los clientes.

Resolución

Dist_ordenada = ( 2 5 10 16 ) que corresponde a los clientes 2, 4, 1, y 3.

La matriz de rutas queda de la siguiente manera:

Rutas=

La capacidad disponible de los vehículos tras la asignación de clientes es la capacidad

menos la demanda de los clientes correspondientes. En este momento las capacidades

disponibles de los vehículos son 2 y 5 respectivamente.

Eliminando las filas de los clientes asignados la matriz de distancias queda:

d’ =

Comenzando por la ruta 1, el cliente más próximo al 2 es el cliente 1 (la columna 3

refleja las distancias entre el cliente 2 y los clientes 1 y 3), como la demanda del cliente 1

es mayor que la capacidad disponible del vehículo asociado a la ruta 1 (dem1=3 >

cap1=2), se pasa al siguiente cliente más cercano al cliente 2, que en este caso es el único

cliente que queda, el cliente 3. Continuando este procedimiento y comprobando las

capacidades, las rutas quedan:

Rutas=

Y al haber visitado a todos los clientes, esta sería la solución inicial.

Hay casos en los que uno o varios clientes presentan una demanda

considerablemente superior al resto. Esta demanda puede tener un valor



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cercano a la capacidad de los vehículos. En esta situación y debido a las

restricciones de capacidad impuestas, dichos clientes podrían no ser asignados

a ninguna ruta al finalizar el algoritmo de generación de la solución inicial.

Para evitarlo, en cada iteración se comprueba que la suma de las dos mayores

demandas de los clientes aún no asignados es inferior a la máxima de las

capacidades disponibles. En caso positivo se prosigue el algoritmo con

normalidad, en caso contrario, el cliente cuya demanda es máxima se asigna a la

ruta con menor capacidad disponible que sea capaz de cubrir la demanda del

cliente.

El proceso seguido para la obtención de la solución inicial mediante esta

heurística se representa en el diagrama de flujo de la figura 12 de manera

simplificada. Para su correcta comprensión es necesario aclarar en primer lugar

algunos términos empleados en el diagrama:

El contador Cont se emplea para confirmar que todos los clientes del

VRP han sido asignados a las rutas de los V vehículos disponibles.

La variable Rutas constituye una matriz donde se almacenan las rutas

asignadas a los V vehículos disponibles. Las filas de esta matriz se

corresponden con las variables Si definidas en el capítulo 4. El número

de columnas de esta matriz es igual al número de clientes para

garantizar las dimensiones consistentes de la misma. De esta manera,

los espacios adicionales una vez se han definidos las rutas iniciales

están completados con ceros para facilitar la programación del

algoritmo y la asignación de memoria.

El puntero i recorre las filas de la matriz Rutas para que se añadan

clientes a cada ruta de manera consecutiva en condiciones normales.

El puntero j se encarga de colocar cada cliente asignado a una ruta

inmediatamente después del último introducido. En otras palabras, este

puntero garantiza la ubicación de cada cliente en la correcta columna de

la matriz Rutas.

El puntero t se ha creado para especificar que es posible que se rompa el

orden convencional de colocación de clientes en las rutas y el algoritmo

se vea forzado a colocar a un cliente en una fila distinta a la que indica

el puntero i.

El subíndice k se ha introducido para especificar el cliente que en cada

iteración se introduce en la ruta marcada por el puntero i en la posición

indicada por el puntero j.

Cada vez que se añade un cliente a una ruta se actualiza la capacidad



2015

del camión correspondiente. La variable cap del diagrama se refiere a

las capacidades disponibles en cada iteración.

Al asignar un cliente a una ruta, este se elimina de un vector que

contiene los clientes no asignados.

El vector demanda, dem, contiene en cada instante las demandas de los

clientes aún no asignados.

La variable n representa el número total de clientes del VRP que deben

asignarse a las V rutas para alcanzar una solución inicial admisible.

La variable d(i,j) hace referencia a la distancia entre el nodo i y el nodo j

del problema, obtenida a partir las coordenadas de los mismos.

A continuación se realiza una descripción detallada del diagrama descrito por

la figura 12 con el que se ilustra la heurística de mínima distancia para la

obtención de una solución inicial.

1) Inicio del algoritmo y lectura de los datos, que incluyen: Matriz de

coordenadas de los nodos, número de clientes y demandas de los mismos,

número de vehículos y capacidad de cada uno de éstos.

2) Inicialización del contador Cont con valor nulo así como la inicialización de

la matriz Rutas de dimensiones [V x n] con ceros.

3) Inicialización del puntero i con valor nulo.

4) El algoritmo se pregunta entonces si el último cliente introducido ha sido

colocado en la última de las rutas, es decir, si el puntero i tiene el valor V. En

caso afirmativo el algoritmo vuelve al paso 3. En caso negativo el algoritmo

continúa en el paso 5.

5) El puntero i es incrementado para asignar un cliente a la siguiente ruta o fila

de la matriz Rutas.

6) El algoritmo comprueba si el valor de la máxima capacidad restante (tras la

inclusión de clientes en las rutas) de los vehículos es mayor que la suma de

las dos demandas mayores entre los clientes sin asignar. En otras palabras,

se comprueba si el vehículo con mayor capacidad restante admite en su ruta

a los dos clientes con mayor demanda entre los que aún no han sido

asignados. En caso afirmativo, el algoritmo sigue su curso normal en el paso

8. En caso contrario, se ejecuta el paso 7.



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Figura 12. Diagrama de flujo heurística de mínima distancia.

Cont ← 0

Rutaslm ← 0,

l = 1,…,V ;m = 1,…,n

Datos

max(cap) > demi + demj

i, j / demi > demj > demk,

k [1,n]/k≠i,j

Cont ← Cont + 1

Rutastj ← clientek

k / demk = max(dem);

t / capt = min(cap) & capt > demk;

j / rutastj = 0 & rutastj-1 0

Cont ← Cont + 1

Rutasij ← clientek

k / d (clientek , Rutasij-1) = min [d(cliente, Rutasij-1)]

j / rutastj = 0 & rutastj-1 0

END

SI

NO

i ← 0

START

i ← i + 1

¿Cont = n?

SI ¿i = V?

NO

NO

SI



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7) El cliente k, que presenta la máxima de las demandas entre los clientes aún

no asignados, se asigna a la ruta t que presenta la mínima capacidad

disponible que puede acomodar dicho cliente sin violar las restricciones del

problema. El cliente se introduce al final de la ruta t (tal y como indica el

puntero j) y el contador Cont incrementa su valor para indicar que el cliente

ha sido introducido con éxito. La capacidad de dicho vehículo es

actualizada.

8) El algoritmo continúa con la asignación de clientes. En la ruta marcada por

el puntero i se introduce el cliente k. Este último posee, entre los clientes aún

no asignados, la distancia mínima al cliente que ocupa la última posición de

la ruta i. El cliente se introduce al final de la ruta i (tal y como indica el

puntero j) y el contador Cont incrementa su valor para indicar que el cliente

ha sido introducido con éxito. La capacidad de dicho vehículo es

actualizada.

9) El algoritmo comprueba si todos los clientes han sido asignados a las rutas,

es decir, si el contador Cont ha alcanzado el valor n. En caso negativo el

diagrama retorna al paso 4 y continua la asignación de clientes. En caso

afirmativo el algoritmo ha alcanzado una solución admisible y finaliza.

5.2.2. Determinación de la solución inicial mediante la heurística de demanda

máxima

Cuando se tiene una flota heterogénea con un rango amplio de capacidades,

que incluye clientes con una demanda mucho mayor a la del resto, un método

de asegurar una solución inicial admisible es asignar los clientes atendiendo a la

demanda de los mismos. Con este objetivo se ha desarrollado esta segunda

heurística.

Tal y como se ha visto anteriormente, la heurística de mínima distancia asigna

los clientes a las rutas de la solución inicial según su proximidad al último

cliente introducido en las rutas. Asimismo, los primeros clientes en ser

introducidos en las rutas son los más cercanos al almacén.

Ahora bien, supóngase el caso en el que existieran múltiples clientes con

demanda muy próxima a la capacidad de cada uno de los vehículos, fueran

éstos los clientes más lejanos al almacén y al resto de clientes, y la capacidad

total de la flota de vehículos fuese muy próxima a la demanda total. En tal caso,

dichos clientes podrían requerir que un vehículo los visitara en exclusividad.

Sin embargo, su localización haría que no fuera una prioridad asignar dichos

clientes a las rutas. Dado que al llegar a la asignación de dichos clientes no

existirían rutas vacías capaces de acomodarlos, el método para la determinación



2015

de la solución inicial por la heurística de mínima distancia sería incapaz de

converger a una solución admisible. Con el objetivo de garantizar una solución

inicial admisible se ha creado esta heurística de demanda máxima.

Considérese el siguiente ejemplo sencillo para ilustrar la situación descrita:

Una empresa dispone de tres camiones para satisfacer las demandas de sus clientes. La

capacidad de los camiones es 50, 50 y 25. La matriz de distancias y las demandas de los

clientes se indican a continuación.

d =

dem = (50 7 4 45)

Aplicando el algoritmo de búsqueda por mínima distancia, las rutas quedarían de la

siguiente manera:

Rutas=

Siendo las capacidades disponibles 0, 43 y 21 respectivamente.

El cliente cuatro no se asigna a ninguna ruta al finalizar el algoritmo, siendo esta por

tanto una solución no válida. Con el objetivo de evitar esta situación, se ha desarrollado

el segundo algoritmo de generación de la solución inicial.

El proceso seguido por esta nueva heurística es muy sencillo. En primer lugar

se ordenan los clientes en orden decreciente según las demandas exigidas.

Siguiendo este orden, la asignación de clientes se realiza uno a uno, empezando

por el cliente de mayor demanda. En cada caso, la ruta elegida para recibir

dicho cliente es la correspondiente al camión con mínima capacidad disponible

capaz de satisfacer la demanda requerida.

En la figura 13 se representa el diagrama de flujo correspondiente a la heurística

de demanda máxima. Las variables empleadas en el mismo son las siguientes:

El vector CS se emplea para almacenar los n clientes del VRP en orden

decreciente por la demanda característica de los mismos.

En contador Cont se emplea para recorrer el vector CS así como

confirmar que todos los clientes del VRP han sido asignados a las rutas



2015

de los V vehículos disponibles.

La variable Rutas constituye una matriz donde se almacenan las rutas

asignadas a los V vehículos disponibles. El tratamiento de esta variable

coincide con el empleado en la heurística de mínima distancia.

El puntero i indica la ruta en la que se introduce el siguiente cliente que

se está considerando, es decir, la fila de la matriz Rutas donde se

almacena.

El puntero j se encarga de colocar cada cliente asignado a una ruta

inmediatamente después del último introducido. En otras palabras, este

puntero garantiza la ubicación de cada cliente en la correcta columna de

la matriz Rutas.

Cada vez que se añade un cliente a una ruta, se actualiza la capacidad

del vehículo correspondiente. La variable cap del diagrama se refiere a

la capacidad disponible en cada iteración para todos los vehículos.

El vector demanda, dem, contiene las demandas de todos los clientes del

problema.

La variable n representa el número total de clientes del VRP que deben

asignarse a las V rutas para alcanzar una solución inicial admisible.

Una vez descritas las variables que configuran el diagrama de flujo, es posible

detallar la lógica desarrollada por el mismo.

1) Inicio del algoritmo. Lectura de los datos: Localización y número de

clientes, demandas correspondientes, número de vehículos y capacidad de

los mismos.

2) Inicialización del contador Cont con valor unitario así como la inicialización

de la matriz Rutas de dimensiones [v x n] con ceros.

3) Los n clientes son almacenados en el vector CS en orden decreciente de sus

demandas.

4) El cliente que ocupa la posición indicada por el contador Cont dentro del

vector CS se asigna a la posición (i, j) de la matriz Rutas. La fila de la matriz o

ruta i es aquella correspondiente al vehículo con mínima capacidad

disponible que puede acomodar a dicho cliente. El puntero j garantiza que

el cliente se añade al final de la ruta i. A continuación, la capacidad de dicho

vehículo es actualizada.



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Figura 13. Diagrama de flujo heurística de demanda máxima.

5) El algoritmo comprueba si se han asignado todos los clientes a las rutas, es

decir, si el contador Cont ha alcanzado el valor n. En caso negativo, se

incrementa el valor de Cont en una unidad y el algoritmo vuelve al paso 4.

En caso afirmativo, finaliza el algoritmo habiendo alcanzado una solución

admisible.

CS ← Clientez

z =1, … n

CS \ dem[CS(1)] ≥ dem[CS(2)] ≥ dem[CS(3)]… ≥ dem[CS(n)]

Datos

Rutasij ← CS(Cont);

i / capi = min(cap) & capi > dem[CS(Cont)];

j / rutasij = 0 & rutasij-1 0

END

START

¿Cont = n? NO

SI

Cont ← 1

Rutaslm ← 0,

l = 1,…,V ;m = 1,…,n

Cont ← Cont + 1



2015

5.3. Operaciones

Como ya se ha mencionado con anterioridad en este documento, el algoritmo de

optimización ARF se basa en la aplicación de una serie de operaciones de búsqueda

local sobre una solución inicial admisible. En la sección anterior se han descrito las

heurísticas desarrolladas para alcanzar una solución inicial admisible. Previamente al

desarrollo en profundidad del ARF, en esta sección se discutirán las operaciones de

búsqueda local empleadas por el algoritmo desarrollado en este proyecto.

Tres de estas operaciones fueron estudiadas por Ho y Haugland [9] y son aplicadas

frecuentemente en la resolución del VRP debido a su simplicidad. Estas operaciones

aparecen en el trabajo realizado por Perosio y Zunino [13], quienes extienden su

estudio desarrollando nuevas operaciones propias, una de las cuales se ha incorporado

también a este proyecto. Como se explica en el apartado del Algoritmo por Ritmos del

Flamenco, cada operación lleva asignado un número del uno al cuatro, según la

distancia cronotónica ligada a ella. Las operaciones se numeran según la magnitud del

cambio que provocan en las rutas en cada iteración en caso exitoso. Así, la operación

uno realiza estadísticamente el movimiento más pequeño y la operación cuatro

modifica de manera más brusca la solución.

Las operaciones modifican la solución almacenada en una variable, que será la solución

inicial si el algoritmo se encuentra en su primera operación. El proceso iterativo de una

operación finaliza por uno de los siguientes motivos:

- Se han realizado todos los movimientos posibles sin encontrar una solución

mejor.

- Se ha encontrado una solución que proporciona una distancia total

recorrida menor a la última almacenada.

En el primer caso, el término del vector P correspondiente a la operación que ha

fracasado toma el valor uno, indicando que no se repetirá dicha operación mientras no

se modifique la solución almacenada.

Si ocurre el segundo caso, la nueva solución se introduce en la variable sustituyendo a

la solución que contenía hasta entonces, y todos los términos del vector P se actualizan

al valor cero, ya que al haberse modificado la solución, cualquier operación podría

proporcionar una mejora sobre la misma en la siguiente iteración.

A continuación se detallan las operaciones utilizadas, las cuales aparecen según la

numeración indicada anteriormente.



2015

5.3.1. Relocate

Sean dos rutas Rk y Rl, esta operación mueve un cliente i de la ruta Rk, detrás del

cliente j de la ruta Rl. En este caso, se permite además que el cliente i se coloque

en la primera posición de la ruta Rl, es decir, se puede agregar como primer

destino de la ruta.

Se permite que k sea igual a l de manera que se pueden realizar cambios de

orden entre clientes de la misma ruta. Debido al procedimiento empleado para

la construcción de la solución inicial, en general, se espera que ésta tenga los

clientes ordenados de manera óptima dentro de cada ruta.

La operación Relocate mueve los clientes uno a uno y realiza todos los

movimientos posibles, en otras palabras, evalúa el cambio al colocar cada

cliente de la ruta k en cada una de las posiciones de la ruta l, introduciéndolo

finalmente en la posición que minimiza la distancia total recorrida.

Cuando la ruta Rk contiene un único cliente, al aplicar la operación Relocate de

manera exitosa esta ruta queda vacía. En la figura 14 se ilustra la ejecución de

Relocate.

Figura 14. Operación Relocate.

5.3.2. Exchange

Con esta operación se intercambian un cliente i de una ruta Rk y un cliente j de

la ruta Rl. Las posiciones a las que se mueven los clientes no tienen por qué ser



2015

las mismas que las que ocupaban los clientes con los que son intercambiados.

Es decir, esta operación intercambia dos clientes entre rutas diferentes y evalúa

el efecto de colocar cada uno de estos en todas las posiciones de su nueva ruta,

eligiendo la mejor opción. La figura 15 ilustra esta operación.

Figura 15. Operación Exchange.

5.3.3. Merge_mod

Dadas dos rutas Rk y Rl, la operación trata de introducir el mayor número

posible de clientes de Rk en Rl. En otras palabras, esta operación buscará tomar

un número determinado de clientes de una ruta y desplazarlos al final de otra

ruta.

Dadas las características de este movimiento de clientes, Merge_mod podría

asemejarse a varias operaciones Relocate ejecutadas simultáneamente con la

única diferencia de que los clientes que se mueven se añaden al final de la ruta

Rl. La figura 16 ilustra esta nueva operación gráficamente.



2015

Figura 16. Operación Merge_mod.

5.3.4. 2-Opt*

La operación 2-Opt* intercambia los finales de dos rutas. Sea una ruta Rk y una

ruta Rl, se introduce desde el cliente i+1 hasta el último cliente de Rk detrás del

cliente j de la ruta Rl. A la misma vez se introduce desde el cliente j+1 hasta el

último cliente de Rl detrás del cliente i de Rk. En la figura 16 se muestran los

movimientos que se realizan.

Figura 17. Operación 2-Opt*.

La operación 2-Opt* se ha definido de manera que se permite:

- Introducir los clientes de la ruta Rk al inicio de la ruta Rl. En este caso, en



2015

lugar de colocar los clientes detrás del cliente j de Rl, se introducen

inmediatamente después del almacén.

- Mover un único cliente. Esto ocurre cuando el cliente i+1 de Rk y/o el

cliente j+1 de Rl es el último cliente de dicha ruta.

- Vaciar una ruta existente introduciendo todos sus clientes en otra ruta.

5.4. Algoritmo por Ritmos del Flamenco (ARF)

Una vez se ha alcanzado una solución inicial admisible que respeta todas las

condiciones de contorno, el ARF comienza una serie de rutinas que buscan optimizar la

función objetivo. En este apartado se describe por ello la ejecución del ARF asumiendo

que el algoritmo dispone de una solución inicial. A partir de esta última, el ARF

deberá:

1. Aplicar distintas operaciones que mediante determinados cambios en las rutas

de clientes del VRP, pertenecientes al conjunto de clientes C descrito en el

capítulo 4, sobre una solución almacenada, buscan una estimación de la

solución óptima. Como ya se ha visto con anterioridad, la solución del VRP

estudiado en este proyecto consiste en una serie de rutas correspondiente a

cada uno de los vehículos de reparto disponibles en las que los clientes

aparecen en el orden en el que son visitados por estos últimos. De esta manera,

las operaciones locales de optimización realizan movimientos en el orden en el

que los clientes del VRP están ubicados dentro de su ruta, la ruta y por tanto

vehículo al que pertenecen, o ambos al mismo tiempo. En otras palabras, mover

un cliente del VRP supone cambiar el orden en el que un vehículo visita al

mismo dentro de su ruta o el vehículo que deberá atender la demanda del

mismo.

2. Evaluar el cambio introducido en la función objetivo del VRP estudiado en este

proyecto para cada candidato a nueva solución después de cada movimiento

aplicado, es decir, la distancia total recorrida por la flota de vehículos.

3. Descartar el nuevo candidato a estimación óptima si la distancia total se ve

incrementada o actualizar el nuevo conjunto de rutas si se alcanza una mejora

al disminuir la distancia total. En este punto, tanto las rutas como la distancia

total son almacenadas en sendas variables, S* y d*, que contendrán durante

todo el proceso la mejor solución hallada hasta el momento.

Las dos últimas etapas del ARF descritas sobre estas líneas corresponden al proceso

iterativo de búsqueda por trayectoria. Así, se recorren los palos consecutivamente y se

aplican las operaciones en el orden en el que aparecen en los palos.

Una vez que el algoritmo inicia la búsqueda de una solución mejorada a través de una



2015

operación, se realizan sucesivas iteraciones de la misma hasta encontrar una solución

mejor a la última almacenada en S*. En caso de no alcanzar dicha mejora tras completar

todos los posibles movimientos, el algoritmo abandona la operación sin almacenar

ninguna nueva solución. Este proceso se repite para todas las operaciones que

constituyen el palo analizado. Llegado este punto, si se ha introducido un cambio sobre

la solución almacenada, el ARF puede aplicar un palo diferente o repetir el palo usado

con anterioridad. El modo en el que se combinan los palos dentro del ARF requiere una

explicación más detallada por lo que se ha optado por dedicar una sección completa a

este tópico posteriormente en este documento.

Volvamos por tanto a considerar la aplicación aislada de un palo del flamenco a una

solución admisible. Para llevar a cabo el proceso de búsqueda, se codifica dicho palo

como un vector de ceros y unos. Este vector tendrá doce términos, que representan los

doce tiempos del compás. Los ceros corresponden a los tiempos sin acentuar y los unos

representan los acentos fuertes.

Al codificar los palos como vectores binarios, se consiguen dos propósitos esenciales

para la programación del algoritmo de búsqueda por ARF. En primer lugar, mediante

el simple uso de un contador, la identificación de los acentos y las distancias

cronotónicas entre los mismos es inmediata. Por otro lado, es posible ensamblar los

palos que se desean ejecutar de manera ordenada en una matriz de dimensiones

conocidas en la que, al recorrer las filas, los palos son aplicados guiando la búsqueda

por trayectorias.

Una vez se ha descrito la codificación de los palos en binario y la lógica que sostiene

esta solución, a continuación se representan los vectores asociados a los cinco palos

estudiados en este proyecto.

- Fandango: [0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]

- Soleá: [0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1]

- Bulería: [0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1]

- Seguiriya: [0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1]

- Guajira: [0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1]

Los vectores forman una matriz [M] de dimensiones 5 x 12 que incluye los palos en el

orden que se van a leer durante la aplicación del algoritmo.

Además de la descripción completa de cómo cada uno de los palos del flamenco se

traduce en operaciones locales de búsqueda por trayectoria, la aplicación del ARF

requiere definir los siguientes elementos:



2015

a) Palos del Flamenco a aplicar durante la ejecución

b) Orden en el que dichos palos se configuran para una iteración completa, esto

dará forma a las filas de la matriz M que contiene la codificación de los palos

c) Numero de iteraciones a ejecutar, es decir, el número de veces que las filas de la

matriz de palos son recorridas por el algoritmo.

Con el propósito de ilustrar el modo en el que el ARF es ejecutado, considérese la

siguiente configuración del problema:

a) Los cinco palos serán aplicados.

b) El orden de aplicación es:

1. Fandango

2. Soleá

3. Bulería

4. Seguiriya

5. Guajira

Por lo que la matriz [M] está definida como:

c) Se realizan un total de 10 iteraciones sobre la matriz de palos.

El orden definitivo de aplicación de los palos y el motivo de elección del mismo, que se

ha obtenido a partir de un estudio realizado con Matlab, se presenta en el apartado

7.1.4.

En la figura 18, a través de un diagrama de flujo, se ha representado el proceso de

aplicación del ARF para las asunciones descritas. En adición, los siguientes párrafos

incluyen una descripción en profundidad del mismo.

Los elementos que se han utilizado para definir el diagrama de flujo del ARF son:

Tres contadores:

o Contador A: Contiene el número de veces que se ha recorrido la matriz



2015

M con los palos a ejecutar por el algoritmo. Para los datos considerados

en el caso ilustrado por el diagrama, es posible observar como al tomar

este contador un valor igual a 10, número de iteraciones elegidas, el

algoritmo finaliza. Para elegir un valor máximo para este contador, se ha

realizado un estudio de calibración que será descrito en un apartado

posterior.

o Contadores B y C: Se utilizan para leer la matriz de los palos flamencos

M. El contador B actúa como un puntero que recorre las columnas de la

matriz, mientras C se encarga de recorrer las filas.

El contador B se reinicia al llegar a doce indicando que se ha terminado

de leer un palo. El palo correspondiente se indica mediante el contador

C, que toma valores de uno a cinco, ya que la matriz M tiene 5 filas en

este caso. Cada vez que se reinicia B (termina de leerse un palo), se

incrementa C una unidad, indicando un cambio de palo que lleva al

algoritmo a la siguiente fila de la matriz M.

Cuando el contador B tomar un valor igual a 12 siendo el valor de C

igual a 5, ambos contadores se reinician y se incrementa en uno el

contador A. En ese momento, la matriz de palos ha sido recorrida por

completo, se han ejecutado las operaciones correspondientes a los palos

que la componen de manera ordenada y comienza una nueva iteración.

Variable D: En esta variable se almacena la distancia cronotónica

correspondiente a cada uno de los acentos fuertes dentro del palo que se está

recorriendo. O lo que es lo mismo, la variable D indica la posición en que se

encuentra un uno respecto al anterior. Se inicia con valor nulo al principio de

cada palo junto con el contador B y se incrementa de forma unitaria junto con

este último hasta que se detecta un acento.

Cuando el contador B identifica un acento en la representación binaria del palo

recorrido (la fila de la matriz M), es decir, el elemento correspondiente tiene el

valor uno, la variable D contiene la distancia cronotónica correspondiente y

dicta por tanto la operación de búsqueda local a realizar. Una vez el algoritmo

ARF entra en la operación de búsqueda local, la variable D vuelve a tomar un

valor nulo.

Vector P: Tal y como se ha descrito con anterioridad, el proceso de optimización

del ARF se basa en la aplicación de cuatro operaciones o movimientos sobre la

solución admisible actual. La selección de la misma viene determinada por la

distancia cronotónica entre acentos dentro de un palo.

El vector P es un vector de cuatro términos que representan las cuatro

operaciones diseñadas. Esta variable constituye un indicador temporal del éxito

o fracaso de las operaciones en alcanzar una mejora de la solución actual. La



2015

intervención de dicho vector en el algoritmo puede describirse de la siguiente

manera:

Si al ejecutar una operación k no se encuentra una solución mejor a la última

almacenada, el término Pk toma el valor uno, indicando fracaso en la búsqueda.

En el caso de que una operación cualquiera mejore la solución, se le asigna el

valor cero a todos los términos del vector P. Al haberse modificado la solución

almacenada, todas las operaciones son de nuevo susceptibles de encontrar una

mejora.

El efecto de los valores de este vector durante el transcurso del algoritmo

principal, consiste en evitar la repetición de movimientos que en la iteración

anterior no dieron resultados favorables. Si en el momento de aplicar una

operación i el término Pi tiene valor uno, se continúa el algoritmo sin ejecutar

dicha operación, disminuyendo considerablemente el tiempo de ejecución.

Una vez se han descrito los componentes que están incluidos en el diagrama que

ilustra el algoritmo, en las siguientes líneas se describe de forma cronológica la

ejecución del mismo.

1) Inicio del algoritmo a partir de la solución inicial admisible.

2) Inicialización de los términos del vector P a cero, pues todas las operaciones

pueden generar una mejora sobre la solución de partida.

3) Almacenamiento de las rutas S0 así como la distancia total d0 correspondientes a

la solución inicial como mejor solución obtenida hasta el momento. Estos

valores se guardan en las variables S* y d* respectivamente.

4) Inicialización a cero del contador A.

5) Lectura de la matriz de Palos M.

6) Inicio del recorrido de la matriz de palos. El contador A toma entonces el valor

correspondiente a la iteración que se realiza sobre la matriz (i.e. 1 durante la

primera iteración) y se incrementa en cada iteración.

7) Se inicializa el contador C que recorre los palos, es decir, las filas de la matriz

M.

8) Se inicializa el contador B a cero ya que el algoritmo debe iniciar el recorrido de

un palo.

9) Comienza la lectura del siguiente palo y se incrementa el contador C.



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START

Pi ← 0, i = 1,2,3,4

S* ← So

d* ← do

B ← 0

C ← C+1

D ← 0

A ← 0

A ← A + 1

[M]

Leer Matriz Palos

C ← 0

B ← B + 1

D ← D + 1

¿Fuerte?

SI

NO



2015

Figura 18. Diagrama de flujo del ARF.

¿D = 1?

¿D = 2?

2-OPT

¿PD = 1? RELOCATE

¿PD = 1? EXCHANGE

¿PD = 1? MERGE

¿A = 10?

NO

SI

SI

NO

NO

SI

SI

SI

SI

NO

NO

NO

NO

NO

NO

SI

¿B = 12?

¿C = 5?

¿D = 3?

¿PD = 1?

SI

SI

END

SI



2015

10) La variable D, a la espera de que se detecte el siguiente acento dentro del palo

se reinicia con valor nulo.

11) Inspección del siguiente elemento binario dentro de la codificación del palo

estudiado. Se incrementan el contador B y la variable D.

12) Comprobación de acento fuerte. El algoritmo debe preguntarse si el elemento

binario dentro de la codificación del palo es igual a uno, indicando un acento. Si

la respuesta es negativa, el algoritmo debe volver al paso 11. En caso positivo la

variable D identifica la operación que debe realizarse de forma que:

D = 1 Operación RELOCATE

D = 2 Operación EXCHANGE

D = 3 Operación MERGE_MOD

D = 4 Operación 2-Opt*

Antes de entrar en la subrutina que ejecuta cada operación, el algoritmo debe

preguntarse si se ha cambiado la solución almacenada desde la última vez que

se intentó dicha operación para evitar repeticiones redundantes. En otras

palabras, el elemento del vector P correspondiente a cada operación debe ser

inspeccionado y comprobar que su valor sea distinto de la unidad.

P(1) = 1 Previene la ejecución de la operación RELOCATE

P(2) = 1 Previene la ejecución de la operación EXCHANGE

P(3) = 1 Previene la ejecución de la operación MERGE_MOD

P(4) = 1 Previene la ejecución de la operación 2-Opt*

En caso de que la operación pueda realizarse, el algoritmo procede a ejecutar el

paso 13, en caso contrario se realiza el paso 14.

13) Bloque de subrutina operación. Para cualquiera de las cuatro operaciones y tal

y como se ha descrito previamente, este bloque contiene los siguientes pasos.

a) Generación de una nueva solución candidata tras aplicar una iteración de la

operación

b) Comprobación de mejora de la solución objetivo. En caso negativo se debe

realizar una nueva iteración de la operación, volviendo al paso a). Si

adicionalmente todas las posibles iteraciones han sido realizadas sin éxito,

pasar a d). En caso de mejora sobre la solución temporal, la subrutina

ejecuta el paso c).

c) La subrutina debe actualizar la solución S* con los nuevos valores y todos

los términos del vector P con valor nulo (cualquier operación es de nuevo



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susceptible de alcanzar una mejora). En este punto la subrutina ha

finalizado.

d) El algoritmo hará que el término del vector P correspondiente a dicha

operación tome el valor 1 (indicando fracaso). La subrutina se da por

finalizada.

14) El algoritmo comprueba si la lectura del palo ha finalizado, es decir, si el

contador B ha tomado un valor igual a 12. En caso negativo, el algoritmo debe

volver al paso 10 en busca del siguiente acento. Si el palo ha finalizado, el

algoritmo pasa a 15.

15) El algoritmo comprueba si el palo que ha finalizado es el último de la matriz M,

es decir, el contador C toma el valor 5. En caso negativo el algoritmo debe

volver al paso 8 para recorrer el próximo palo. En caso positivo se pasa a 16.

16) Se comprueba a continuación si la matriz de palos ha sido recorrida un total de

10 veces, es decir, si el contador A toma dicho valor. En caso negativo el

algoritmo vuelve al paso 6 para recorrer la matriz M de nuevo. En caso

afirmativo se pasa a 17.

17) Fin del algoritmo ARF y extracción de la mejor solución obtenida.



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6. IMPLEMENTACIÓN DEL ARF EN CÓDIGO MATLAB

En secciones anteriores de este documento se ha llevado a cabo una descripción

genérica del VRP, permitiendo su posterior particularización y descripción matemática

en términos de una función objetivo acompañada por múltiples restricciones que

acotan las posibles soluciones al problema que se plantea. A continuación se han

descrito los algoritmos generados para las heurísticas que permiten obtener una

solución inicial admisible, las operaciones de optimización por búsqueda local de

trayectorias y se ha finalizado con el desarrollo ilustrado de un caso particular del ARF.

La aplicación del ARF a casos particulares requiere la implementación de este método

sobre un lenguaje de programación. La complejidad y el carácter combinatorio de los

problemas VRP, prácticamente impone la necesidad de utilizar máquinas con alta

capacidad de cálculo para su resolución, incluso siendo ésta por la aplicación estimada

de métodos de búsqueda. En este Proyecto Fin de Carrera, se ha optado por la

implementación del ARF en lenguaje M empleando la herramienta Matlab. El objetivo

de este capítulo es ilustrar de manera ordenada el modo en el que dicha

implementación ha sido realizada.

En primer lugar, para la materialización de las operaciones descritas en los diagramas

de flujo que se recogen en el capítulo 5, de manera que la solución final se adhiera a las

restricciones del VRP objeto de estudio, deben definirse una serie de variables con

propiedades específicas. Estas últimas se describen en la primera sección de este

capítulo.

Anteriormente en este documento, se han definido dos heurísticas para la extracción de

una solución inicial admisible, cuatro operaciones de búsqueda local sobre las que se

fundamenta el algoritmo de optimización del ARF y un bloque final que describe el

desarrollo de este último. Esto permite que la partición del código a desarrollar en

módulos lo más independientes posibles pero a la vez interconectados sea una opción

más que recomendable para facilitar la compresión del mismo al lector.

Por esta razón, el segundo apartado de este capítulo se centra en la descripción de las

funciones creadas para implementar los diversos módulos que constituyen el código

completo, así como las interacciones y transferencias de variables que se producen

entre los mismos.

6.1. Parámetros y variables

Los datos del problema son importados desde un archivo Excel y se almacenan en

diferentes tipos de parámetros.

- dem: vector de longitud n donde se guardan las demandas de los clientes,



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siendo n el número total de clientes a visitar.

- cap: vector de capacidad de longitud V (número de vehículos disponible)

que contiene los valores de capacidad de los camiones.

- x e y: la posición del almacén y los clientes se toma como un conjunto de

coordenadas 2D que se almacenan en dos vectores separados, uno para cada

eje.

- distancia: las distancias entre todos los nodos se calculan a partir de las

coordenadas dadas como dato y se guardan en una matriz de dimensiones

[n+1 x n+1]. El elemento distancia (i,j) de la matriz corresponde a la distancia

que hay entre el nodo i y el nodo j.

Esta matriz es simétrica, al considerarse la distancia entre dos nodos la

misma en ambos sentidos. La diagonal principal de la matriz tiene todos sus

elementos con valor infinito.

Además de estos parámetros, durante el algoritmo se utilizan otra serie de variables.

- rutas: la solución al problema consiste en un conjunto de rutas que

minimizan la distancia total recorrida por los vehículos. El conjunto de rutas

se almacena en una matriz de tamaño v x n. De esta manera, en un principio

se construye una matriz de ceros, y se va rellenando a medida que se

asignan clientes a las rutas en el proceso de generación de la solución inicial.

- d y d_mod: en la variable d se introduce el valor de la distancia total

recorrida en el mejor de los casos obtenidos hasta el momento, y en la

variable d_mod se guarda la distancia recorrida en la iteración actual, dentro

de la función de cada operación. En cada iteración se comparan los valores

de ambas variables.

- r: se trata de una variable de salida de las funciones de las operaciones. Si

tras aplicar una operación se obtiene una mejora sobre la solución

almacenada en la variable rutas, el algoritmo se sale de la función de dicha

operación con este nuevo conjunto de rutas almacenado en r. Si por el

contrario se realizan todas las iteraciones posibles de la operación sin

conseguir mejorar la solución, la función devuelve la variable r igual a 1.

El algoritmo analiza el valor de r cada vez que termina de ejecutar una

operación. Si el valor de la variable es igual a 1, no modifica la variable

rutas. Si el valor de r es distinto de 1 indicando que la aplicación de la

operación sobre la solución almacenada ha supuesto una mejora de la

misma, esta nueva solución (contenida en r) se guarda en rutas,

sustituyendo la última solución almacenada.

- P: vector de ceros y unos de longitud igual al número de operaciones. El uso



2015

y la finalidad del vector P se describe detalladamente en el apartado 5.4.

6.2. Archivos y funciones

Se utilizan diferentes archivos y funciones en el proceso de implementación:

- P_general:

Sintaxis: P_general.m

Definición: Este archivo ejecutable se encarga de aplicar el algoritmo ARF completo y llama a las funciones que se describen en esta sección siguiendo la lógica descrita en el capítulo 5 de este documento.

Input: Esta función no recibe ninguna variable de entrada. Sin embargo, requiere la existencia de un archivo Excel del que leerá los datos de entrada del problema, es decir, el número de vehículos disponibles, el número de clientes, la localización de los nodos, la capacidad de los vehículos y las demandas de cada uno de los clientes.

En adición, este archivo demandará al usuario la especificación de la heurística deseada para generar la solución inicial, los palos del flamenco que se desea ejecutar (codificados en binario de acuerdo a las distancias cronotónicas) así como el orden y número de iteraciones para la secuencia de palos especificada.

Output: Una vez leídos los datos iniciales completos, este archivo calcula las distancias entre todos los nodos basándose en sus localizaciones en un plano de coordenadas x e y. Cuando las distancias son conocidas, se ejecuta la heurística de solución inicial deseada.

En caso de optar por la heurística de mínima distancia y fracasar esta última en la generación de una solución inicial admisible, el archivo ejecutara la heurística de máxima demanda para garantizar la existencia de una solución inicial acorde a las restricciones del problema.

A partir de la solución inicial y la secuencia de palos deseada, el archivo ejecuta el ARF completo y proporciona al usuario la estimación de la solución óptima alcanzada junto con la distancia total recorrida por los vehículos en dicha configuración de rutas.

- Sol_inicial_r:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int]=sol_inicial_r(vector int, vector int, int, int, matriz int)



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Function [rutas, cap]=sol_inicial_r(dem, cap, n, v, distancia)

Definición: Esta es una función que incorpora el algoritmo de generación de la solución inicial por la heurística de demanda máxima.

Input: Recibe como variables de entrada, en orden, el vector con las demandas de los clientes, la capacidad de cada uno de los vehículos, el número de clientes, el número de vehículos disponibles y la matriz de distancias entre los clientes y el almacén.

Output: Esta función proporciona, en orden, la matriz que contiene las rutas creadas por la heurística de máxima demanda y las capacidades residuales de cada uno de los vehículos.

- Sol_inicial_val:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int]=sol_inicial(vector int , vector int, int, int, matriz int)

Function [rutas, cap]=sol_inicial_r(dem, cap, n, v, distancia)

Definición: Esta es una función que incorpora el algoritmo de generación de la solución inicial por la heurística de mínima distancia.

Input: Ídem a la función Sol_inicial_r.

Output: Ídem a la función Sol_inicial_r.

- Calculadist:

Sintaxis:

Function [int]=calculadist(int, int, matriz int, matriz int)

Function [d]=calculadist(n, v, rutas, distancia)

Definición: Esta función calcula la distancia total recorrida por los vehículos en una configuración determinada de rutas.

Input: Como datos de entrada a la función se toman el número total de

clientes, el número de vehículos, las distancias entre todos los nodos y el

conjunto de rutas que conforman la solución que se desea evaluar.

Output: La función proporciona el valor de distancia total recorrida por la flota de vehículos.



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- Opuno:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int, vector int]= opuno(matriz int, vector int, vector int, int, int, matriz int, vector int)

Function [r, P, cap]=opuno(rutas, dem, cap, n, v, distancia, P)

Definición: Esta función ejecuta la operación RELOCATE en busca de una mejora sobre la solución almacenada. Como ya se ha descrito con anterioridad, la función trata de encontrar una mejora aplicando el movimiento impuesto por RELOCATE. Al alcanzar una mejora, toma esta como la nueva solución y termina su ejecución. En caso de no alcanzar mejora, la función devolverá las mismas rutas recibidas como entrada.

En otras palabras, la función va realizando todos los movimientos posibles y en cada paso compara la distancia recorrida con la solución obtenida con la distancia recorrida con la solución almacenada. En el caso de que la primera sea menor, almacena esta solución en S* como la mejor solución hallada hasta el momento y sale de la función.

Input: Esta función recibe como entrada las rutas de los V vehículos

disponibles recogidas en una matriz almacenada en S*, el vector de

demandas de los clientes, el vector de capacidades residuales de cada

vehículo, el número de clientes, el número de vehículos, la matriz de

distancias entre nodos y el vector P que indica el éxito o fracaso previo

de cada operación. La función de este último vector fue definida en el

capítulo 5 de este documento.

Output: La función devuelve la matriz de rutas actualizada tras realizar los cambios si estos han sido posibles (la matriz inalterada de entrada en caso de fracaso), las capacidades residuales de los vehículos y el vector P actualizado de acuerdo con el resultado de la operación.

- Opdos:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int, vector int]= opdos(matriz int, vector int, vector int, int, int, matriz int, vector int)

Function [r, P, cap]=opdos(rutas, dem, cap, n, v, distancia, P)

Definición: Esta función ejecuta la operación EXCHANGE en busca de una mejora sobre la solución almacenada. La lógica aplicada para finalizar la ejecución de esta función es idéntica a lo que se ha descrito ya para la operación RELOCATE.



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Input: Ídem a la función Opuno.

Output: Ídem a la función Opuno.

- Optres:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int, vector int]= optres(matriz int, vector int, vector int, int, int, matriz int, vector int)

Function [r, P, cap]=optres(rutas, dem, cap, n, v, distancia, P)

Definición: Esta función ejecuta la operación MERGE_MOD en busca de una mejora sobre la solución almacenada. La lógica aplicada para finalizar la ejecución de esta función es idéntica a lo que se ha descrito ya para las operaciones anteriores.



- Opcuatro:

Sintaxis:

Function [matriz int, vector int, vector int]= opcuatro(matriz int, vector int, vector int, int, int, matriz int, vector int)

Function [r, P, cap]=opcuatro(rutas, dem, cap, n, v, distancia, P)

Definición: Esta función ejecuta la operación 2-Opt* en busca de una mejora sobre la solución almacenada. La lógica aplicada para finalizar la ejecución de esta función es idéntica a lo que se ha descrito ya para las operaciones anteriores.





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7. RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL ALGORITMO ARF

En este capítulo se describe la aplicación del algoritmo ARF a casos particulares del

problema de enrutado de vehículos a través de dos secciones. En un primer apartado

se define una Red de Prueba aleatoria con un número reducido de nodos. El propósito

de introducir una red simplificada es describir de una manera más intuitiva el proceso

seguido por el algoritmo para alcanzar una solución inicial, así como en la aplicación

de movimientos de búsqueda local. Sobre dicha red también se realizará una discusión

del efecto que provoca la variación de diferentes parámetros del algoritmo en la

solución obtenida.

Disponer de una Red de Prueba permitirá clarificar sobre ella la metodología descrita

en el capítulo 5 de esta memoria. Así, se compararán las dos heurísticas creadas para la

generación de una solución inicial, la habilidad de cada uno de los movimientos de

búsqueda local para mejorar la solución actual en una sola iteración y la efectividad de

cada uno de los palos del flamenco considerados.

La sección dedicada a esta Red de Prueba continuará con un estudio de sensibilidad

del efecto que produce el orden en que se aplican los palos en el algoritmo ARF sobre

la solución óptima estimada. De dicho estudio se obtendrá el orden definitivo de los

palos que completa la definición del ARF, retomando la metodología desarrollada en el

capítulo 5. La sección culminará con la descripción de la solución alcanzada con la

versión final del algoritmo sobre la red simplificada.

La segunda sección de este capítulo se centrará en la resolución del problema de

enrutado de vehículos resuelto por Rafael Grosso [6].En este último trabajo se aplica un

método de búsqueda Tabú para la solución del problema, los resultados obtenidos en

R. Grosso [6] se compararán con los proporcionados por el algoritmo ARF para probar

la eficacia del método diseñado.

7.1. Implementación en una Red de Prueba

Con el objetivo de probar el correcto funcionamiento del algoritmo diseñado, en este

apartado se desarrolla la resolución de un caso simplificado del problema de enrutado

de vehículos. La red descrita permitirá además apreciar el funcionamiento del

algoritmo paso a paso a través de las diferentes iteraciones del mismo.

La red que define el problema de ejemplo está compuesta por 16 nodos,

correspondientes al almacén y a los clientes, y por los arcos que unen estos nodos. En

este problema el número de clientes, n, es por tanto igual a 15 y el número de

vehículos, V, es igual a 4. La capacidad de cada vehículo se asume igual a 100 unidades

de producto a distribuir.



2015

En la figura 19 se muestra la representación grafica de la red que describe este

problema simplificado. Otra condición inicial esencial para este problema es que todos

los nodos están unidos por arcos que pueden recorrerse en ambos sentidos, sin

embargo, estos arcos no se han representado para dar mayor claridad al dibujo. Es

decir, es un grafo completamente conexo accediéndose desde cualquier nodo a

cualquier otro a través de un arco bidireccional.

Continuando con la descripción de la figura 19, cada nodo es identificado por un

número a la derecha del mismo. El almacén, nodo 0, se representa con un cuadrado

mientras los clientes quedan localizados por círculos de diversos colores. Situados por

debajo de cada nodo, los valores entre paréntesis representan las coordenadas (x,y) de

localización en unidades de distancia referidas al almacén , que se toma como origen

de coordenadas.

Otro elemento necesario para la definición del problema son las demandas de los

clientes, que se muestran a continuación en la tabla 11 en unidades de producto.

Tabla 11. Demandas de los clientes de la Red de Prueba.

Núm. cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Demanda 10 16 21 12 10 8 19 12 16 5 6 10 28 22 25

Figura 19. Red de Prueba.



2015

Una vez los elementos que conforman este caso simplificado han sido expuestos, los

siguientes apartados se centran en la definición de una solución inicial, la posterior

aplicación del algoritmo elaborado en este proyecto, un estudio de sensibilidad al

cambio en el orden de aplicación de los palos, la elección del orden que genera la

solución de mínima distancia y la discusión de la misma.

7.1.1. Solución inicial

La aplicación del ARF a la Red de Prueba previamente definida requiere la

obtención de una solución inicial sobre la que aplicar las iteraciones del

algoritmo.

En esta sección se va a describir paso a paso la generación de una solución

inicial mediante el uso de las dos heurísticas desarrolladas para ello y

detalladas en el capítulo 5. En primer lugar se aplicará la heurística de mínima

distancia, seguida de la heurística por demanda máxima.

7.1.1.1. Solución inicial mediante la aplicación de la heurística de mínima

distancia

Para obtener la solución inicial mediante esta heurística se deben seguir los

siguientes pasos. Primero, se calcula la distancia de todos los clientes al

almacén y se ordenan las mismas en orden creciente. Recuérdese que la

distancia entre dos nodos es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de

las diferencias entre las coordenadas x e y de dichos puntos.

Tabla 12. Distancias de los clientes al almacén en orden de cercanía y demandas características de la Red de Prueba.

Núm. cliente 8 4 7 11 12 13 10 3 5 2 6 9 15 1 14

Distancia al

almacén 9.0 9.2 9.5 11.2 12.2 13.0 14.8 14.9 17.2 17.7 18.4 19.3 20.8 25.8 27.6

Demanda 12 12 19 6 10 28 5 21 10 16 8 16 25 10 22

De esta lista se toma el cliente más cercano al almacén y se asigna a la primera

ruta, siempre que la capacidad del vehículo correspondiente permita satisfacer

la demanda de dicho cliente. Puesto que en este caso se cumple la restricción

de capacidad, el cliente 8 se incorpora a la ruta número uno. De la misma

forma, los siguientes clientes de la tabla 12 se incluyen en las demás rutas,

repitiendo este proceso V veces hasta que todas las rutas posean un cliente.

Las rutas quedan hasta el momento tal y como se muestra en la tabla 13,



2015

mientras que las capacidades residuales se incluyen en la tabla 14.

Tabla 13. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba por la heurística de mínima distancia tras añadir cuatro clientes.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8

4

7

11

El siguiente paso es asignar a la ruta uno el cliente más cercano al último

cliente incluido en la misma, en este caso el cliente número 8. Para ello, se

obtienen las distancias entre los clientes aún no asignados y este cliente. Estas

distancias se recogen en la tabla 15, en la cual puede comprobarse que el

cliente más cercano al cliente 8 es el cliente número 13, cuya demanda queda

cubierta por la capacidad disponible asociada a la ruta uno.

Tabla 14. Capacidades disponibles tras asignar los cuatro primeros clientes en la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4

Capacidad disponible 88 88 81 94

Tabla 15. Distancias de los clientes aún no asignados al cliente 8 en orden de cercanía y sus demandas en la Red de Prueba.

Núm. cliente 13 12 5 15 3 10 2 6 9 1 14

Distancia al cliente 8 5.8 10.2 14.0 17.3 19.8 23.1 25.1 27.3 27.9 33.5 34.4

Demanda 28 10 10 25 21 5 16 8 16 10 22

En la tabla 16 se muestra el estado de las rutas tras la adición del cliente

número 13 a la primera ruta, inmediatamente después del cliente 8.

En las siguientes iteraciones se repite el proceso para las rutas v=2, 3 y

finalmente 4. Las tablas 17 a 25 describen paso a paso el proceso de asignación

del siguiente cliente a cada ruta de manera que las V rutas poseen dos clientes

cada una.



2015

Tabla 16. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba tras añadir el quinto cliente.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13

4

7

11

Tabla 17. Capacidades disponibles tras asignar el quinto cliente en la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4



Núm. cliente 3 5 2 12 6 10 1 9 15 14

Distancia al cliente 4 8.6 9.4 15.3 19.6 20.6 21.9 23.8 25.6 27.9 35.8

Demanda 21 10 16 10 8 5 10 16 25 22

Tabla 19. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba tras añadir el sexto cliente.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13

4 3

7

11

Tabla 20. Capacidades disponibles tras asignar el sexto cliente en la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4




2015


Núm. cliente 6 2 10 9 1 12 5 14 15

Distancia al cliente 7 9.1 9.8 10.8 13.5 17.0 20.6 22.0 25.1 29.0

Demanda 8 16 5 16 10 10 10 22 25

Tabla 22. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba tras añadir el séptimo cliente.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13

4 3

7 6

11

Tabla 23. Capacidades disponibles tras asignar el séptimo cliente en la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4



Núm. cliente 10 12 9 14 15 2 5 1

Distancia al cliente 11 8.6 12.0 13.3 17.2 18.4 23.4 28.3 29.7

Demanda 5 10 16 22 25 16 10 10

Tabla 25. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba tras añadir el octavo cliente.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13

4 3

7 6

11 10



2015

Una vez realizadas estas iteraciones, se vuelve a repetir el proceso

comenzando por la primera ruta. De nuevo se busca el cliente más cercano al

último cliente incluido en la ruta que aún no haya sido asignado.

Empezando por la ruta uno, se ordenan de nuevo los clientes aun no

asignados en orden creciente de distancia al cliente 13. Siguiendo el

procedimiento descrito, las últimas iteraciones son aquellas descritas en las

tablas 26 a 29.

Tabla 26. Solución inicial parcial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba tras añadir los trece primeros clientes.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2

7 6 9

11 10 14

Tabla 27. Capacidades disponibles tras asignar los primeros trece clientes a la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4



Núm. cliente 1 5

Distancia al cliente 2 8.5 23.1

Demanda 10 10

Tabla 29. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1

7 6 9 5

11 10 14



2015

En cada iteración del algoritmo, es decir, cada vez que se busca un nuevo

cliente para asignar a una ruta concreta, se debe analizar si alguno de los

clientes aún sin asignar tiene una demanda considerablemente grande en

relación a las capacidades disponibles de los vehículos. En caso afirmativo,

dicho cliente se incorpora a la ruta con menor capacidad disponible capaz de

cubrir su demanda.

En este caso, todos los vehículos tienen una capacidad igual a 100, valor muy

por encima de los valores de las demandas de los clientes, que oscilan entre 5

y 28 unidades. Además, la mayor parte de los clientes demandan menos de 20

unidades. Es por ello, que al aplicar el algoritmo sobre esta Red de Prueba, no

se da la situación explicada en el párrafo anterior y no es necesario corregir el

comportamiento sistemático del mismo.

Supóngase para esta misma Red de Prueba, que la demanda del cliente

número 1 tuviera un valor igual a 60. Los primeros clientes asignados por el

algoritmo de generación de solución inicial son en este caso los mismos que

los representados anteriormente. Cuando el cliente 14 se incluye en la ruta

cuarta, la capacidad disponible del cuarto vehículo, que durante todo el

proceso se ha mantenido como la máxima capacidad disponible, pasa a tener

un valor de 67 unidades. En la tablas 30 a 32 se muestran las rutas hasta el

momento, las capacidades disponibles de los vehículos y las demandas de los

clientes que aún no han sido asignados.

Tabla 30. Solución inicial parcial tras asignar los doce primeros clientes a la solución inicial sobre la Red de Prueba. Caso 2.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12

4 3 2

7 6 9

11 10 14

Tabla 31. Capacidades disponibles tras asignar los primeros doce clientes a la solución inicial sobre la Red de Prueba. Caso 2.

Núm. ruta 1 2 3 4




2015

Tabla 32. Demandas de los clientes no asignados en la Red de Prueba. Caso 2.

Núm. cliente 1 5 15

Demanda 60 10 25

En este momento, cuando el algoritmo analiza las demandas de los clientes no

asignados antes de realizar la siguiente iteración, descubre que la demanda

del cliente 1 es considerablemente grande y debe incluir este cliente en alguna

de las rutas antes de seguir con el procedimiento nominal del algoritmo.

X = Máxima capacidad disponible = 67

Y = Segunda mayor demanda de los clientes no asignados = 25

Z = Máxima demanda de los clientes no asignados = 60

Al cumplirse la desigualdad X – Y < Z, se hace una pausa en las iteraciones y

el cliente cuya demanda es máxima se introduce en la ruta con menor

capacidad disponible capaz de satisfacer la demanda. En este caso, el cliente 1

se introduce en la cuarta ruta.

Tabla 33. Solución inicial parcial tras asignar el treceavo cliente a la solución inicial sobre la Red de Prueba. Caso 2.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12

4 3 2

7 6 9

11 10 14 1

Una vez asignado el cliente conflictivo, se realiza la misma pregunta de nuevo

y se prosigue con el procedimiento sistemático.

Al no haber más clientes con grandes valores de demanda, se continúan las

iteraciones con normalidad. En el momento anterior a introducir el cliente

número 1, las iteraciones se habían parado en la primera ruta. Se busca por

tanto un cliente para incluirlo en la ruta número 1. La tabla 34 recoge las

distancias entre los clientes no asignados y el cliente número 12 en orden

creciente.



2015

Tabla 34. Distancias de los clientes aún no asignados al cliente 12 en orden de cercanía y sus demandas en la Red de Prueba. Caso 2.

Núm. cliente 15 5

Distancia al cliente 12 8.6 24.2

Demanda 25 10

Finalmente, las rutas completas en el caso de existir el cliente conflictivo (caso

2) se muestran en la tabla 35.

Tabla 35. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. Caso 2.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 5

7 6 9

11 10 14 1

Volviendo a la Red de Prueba original, la solución inicial obtenida por la

heurística de mínima distancia se representa en la figura 20. Así mismo, en la

figura 21 es posible apreciar los cambios en las rutas iniciales que serían

causados por un incremento en la demanda del cliente 1 hasta 60 unidades.

Atendiendo a la figura 20, puede observarse que este algoritmo asigna los V

clientes más cercanos al almacén al comienzo de las V rutas, donde V es el

número total de vehículos disponibles. De igual forma, por orden de rutas,

puede observarse como se han ido añadiendo a cada ruta los clientes más

cercanos al último destino en cada paso de las iteraciones. Una consecuencia

directa de la aplicación de este método es que los clientes más alejados (1, 5, 14

y 15) del almacén son los últimos en ser asignados y cierran cada una de las

rutas iniciales.

Una vez conocida una solución admisible inicial que cumple todos los

requisitos del problema, es posible computar la distancia total recorrida por

los vehículos. Dicho valor resulta ser igual a 255.1073 unidades de distancia.



2015

Figura 20. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Figura 21. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba. Caso 2.



2015

7.1.1.2. Solución inicial mediante aplicación de la heurística de demanda

máxima

La heurística de demanda máxima, asigna en cada iteración el cliente con

mayor demanda a la ruta con mínima capacidad disponible que puede cubrir

la demanda del cliente. Por tanto, el primer paso para su ejecución es ordenar

los clientes en orden decreciente de demanda. La tabla 36 recoge las demandas

en orden decreciente, así como los números de cliente asociados a éstas.

Tabla 36. Demandas de los clientes de la Red de Prueba en orden decreciente.

Núm. cliente 13 15 14 3 7 2 9 4 8 1 5 12 6 11 10

Demanda 28 25 22 21 19 16 16 12 12 10 10 10 8 6 5

En primer lugar, se asigna el cliente número 13 a la primera ruta. Como el

lector puede haber intuido en este momento, en el caso de que varias rutas

sean candidatas para incorporar el cliente a asignar, por tener la misma

capacidad disponible, éste se introduce en la primera de ellas. Igualmente,

cuando varios clientes tienen la misma demanda, el orden de asignación se

rige por el número de cliente, independientemente de su localización.

En la tabla 37 se recogen las capacidades residuales tras esta primera

asignación. El segundo cliente con mayor demanda es el cliente 15. Este se

introducirá en la primera ruta debido a que esta se convierte en la ruta con

mínima capacidad disponible tras haberle sido asignado el cliente 13.

Tabla 37. Capacidades disponibles tras asignar el primer cliente a la solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4


Del mismo modo se introducen los clientes 14 y 3 en la primera ruta. Las

capacidades de los vehículos y las rutas hasta el momento se recogen en las

tablas 38 y 39.

Tabla 38. Capacidades disponibles tras asignar los cuatro primeros clientes a la solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4




2015

Tabla 39. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba tras asignar los cuatro primeros clientes por la heurística de demanda máxima.

El cliente no asignado con máxima demanda es ahora el cliente número 7,

cuya demanda es igual a 19 unidades. Este cliente se introduce en la segunda

ruta, seguido de los clientes 2, 9, 4, 8, 1 y 5. La capacidad del vehículo dos pasa

a tener un valor de 5 unidades y el siguiente cliente a asignar es el cliente

número 12, con una demanda de 10 unidades, por tanto, este cliente se

introduce en la ruta tres.

Las tablas 40 a 42 muestran el estado actual de la solución inicial y de los

parámetros residuales del problema.

Tabla 40. Solución inicial parcial sobre la Red de Prueba tras asignar los primeros doce clientes a la solución inicial por la heurística de demanda máxima.

Tabla 41. Capacidades disponibles tras haber asignado los doce primeros clientes a la solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4


Tabla 42. Demandas de los tres clientes aún no asignados por la heurística de demanda máxima en la Red de Prueba.

Núm. cliente 6 11 10

Demanda 8 6 5

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

13 15 14 3

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

13 15 14 3

7 2 9 4 8 1 5

12

-



2015

Los clientes 6 y 11 se introducen en la tercera ruta, mientras que el último

cliente, el cliente número 10, se añade a la segunda ruta, por ser la ruta con

mínima capacidad capaz de cubrir su demanda.

La solución inicial proporcionada por la heurística de demanda máxima es por

tanto la mostrada en la tabla 43 y se ilustra mediante la figura 22.

Tabla 43. Solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

Figura 22. Solución inicial por la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

La distancia total recorrida es ahora 365.3890 unidades de distancia, cuyo

valor es considerablemente mayor al alcanzado con el primer método. No

obstante, se debe tener en cuenta que esta heurística fue diseñada con el

objetivo de resolver aquellos casos para los cuales la heurística de distancia

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

13 15 14 3

7 2 9 4 8 1 5 10

12 6 11

-



2015

mínima no resulte válida, garantizando que se pueda alcanzar una solución

inicial también para esos casos desfavorables. Así, este resultado permite

constatar que esta heurística sacrifica la condición de distancia mínima para

asegurar la obtención de una solución admisible inicial.

Adicionalmente, esta nueva solución inicial ha generado una ruta vacía o lo

que es equivalente, un vehículo inoperativo. Dado que para los objetivos de

este trabajo no se han considerado implicaciones de coste en el número de

vehículos activos, no es preciso discutir posibles ventajas o desventajas de esta

condición, ya que la distancia a recorrer es el único criterio para la solución

deseada.

A continuación, tal y como se indica al inicio del capítulo, primero se realizará

un estudio del algoritmo ARF sobre la Red de Prueba descrita anteriormente

junto con un estudio de sensibilidad de la solución al orden de aplicación de

los palos del flamenco considerados. Una vez definido el algoritmo completo

con un orden fijo para los palos, se utilizará para resolver un problema

determinado. Mientras la heurística de mínima distancia resulte válida para

obtener una solución inicial, como en el caso de la red simplificada, será esta

heurística la que se utilizará en las sucesivas aplicaciones del ARF.

7.1.2. Aplicación aislada de las operaciones de búsqueda

La obtención de una solución inicial no solo habilita al analista para el inicio de

un proceso de optimización sino que también, partiendo de ella, permite la

comparación sobre la Red de Prueba de las operaciones que componen el

algoritmo. Por lo tanto, en este apartado se comprueba por separado la eficacia

de las operaciones y las modificaciones que estas introducen, utilizándolas por

separado como heurísticas de resolución del problema VRP de forma

independiente.

Para este estudio, se realiza con cada operación todos los posibles movimientos

y se toma aquel que produce la mayor mejora sobre la solución inicial, es decir,

se toma el mejor resultado posible con una sola iteración de cada operación.

Por tanto, en esta apartado en lugar de tomarse la primera combinación que en

cada movimiento genera una mejora sobre la solución inicial, una vez se han

revisado todas las posibles combinaciones alcanzables por medio de dicha

operación, se almacena la mejor de todas estas. Los resultados alcanzados y el

tiempo de ejecución empleado en cada una se utilizan para comparar las

operaciones entre sí.

Para la obtención de estos valores se ha empleado un equipo informático con

procesador Quad Core 2.8 GHz y 8Gb de memoria RAM, sin embargo no se ha



2015

empleado un método de computación en paralelo dada la simplicidad de este

caso. El tiempo de ejecución contabiliza el intervalo transcurrido desde que se

inicia la primera iteración de cada operación hasta que se alcanza la

convergencia a una solución óptima para la misma.

El análisis descrito a continuación también ha sido empleado con el fin de

asegurar el correcto funcionamiento de cada una de las operaciones por

separado. La solución inicial elegida para este estudio de eficacia y

optimización ha sido la obtenida con la heurística de mínima distancia.

7.1.2.1. Relocate

La operación Relocate mueve en cada iteración un cliente para colocarlo en una

posición diferente dentro de la misma ruta o en una ruta distinta. Esta

operación prueba todas las combinaciones posibles, mostrando finalmente el

movimiento de un único cliente sobre la solución inicial. Este cambio será, de

entre todas las alternativas posibles, el que produce la mayor disminución de

la distancia total recorrida.

El proceso llevado a cabo por la operación Relocate se explica a continuación

paso a paso. Se comienza almacenando la solución inicial y la distancia total

recorrida para dicha combinación de rutas, en este caso 255.1073. El primer

movimiento que se realiza es el cambio de posición del cliente que ocupa el

primer lugar en la primera ruta a la segunda posición de la misma,

intercambiando para ello la posición de los dos primeros clientes de manera

que el segundo cliente pasa a ser el primer cliente visitado por el vehículo 1.

En la figura 23 se muestra el movimiento explicado.

Cada vez que se realiza un movimiento se recalcula la distancia total

recorrida, resultando igual a 263.2343. Al ser este valor mayor al de la última

distancia almacenada, se continúa con la siguiente iteración sin almacenar el

movimiento realizado.

Figura 23. Primer movimiento realizado por la operación Relocate sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Seguidamente, se mueve el cliente número 8 a la tercera posición de la ruta

uno, tal y como se describe en la figura 24. La distancia recorrida es ahora

262.2343, también superior al último valor de distancia almacenado, por lo



2015

que este movimiento se descarta.

Figura 24. Segundo movimiento realizado por la operación Relocate sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

De la misma manera se prueba mover el cliente 8 a la cuarta y última posición

de la ruta uno. Posteriormente se repite el proceso para los clientes 13, 12 y 15

sin alterar la posición del cliente 8, cuyos movimientos en la primera ruta ya

han sido estudiados.

Al colocar el cliente 12 en la última posición de la ruta uno, se obtiene una

distancia recorrida igual a 251.4342, menor a la última distancia almacenada

en la variable. Cuando esto ocurre y se produce una mejora de la solución, se

guarda esta nueva solución en la variable temporal que contiene la última

solución mejorada. En este caso, dicha variable contenía hasta el momento la

solución inicial. Las rutas quedan por tanto tal y como muestra la tabla 44.

Tabla 44. Primera solución mejorada obtenida con la operación Relocate sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

4 3 2 1

7 6 9 5

11 10 14

Una vez que se terminan de mover todos los clientes que componen la

primera ruta y se han colocado en todas las posiciones posibles dentro de la

ruta, se pasa a colocar esos mismos clientes dentro de la ruta dos,

posteriormente de la ruta tres y por último se prueba cada cliente en cada

posición de la cuarta ruta.

Después de haber probado todas las posiciones posibles para los clientes de la

primera ruta, se repetiría todo el proceso para los clientes de la segunda ruta,

comenzando por el primero de ellos, es decir el cliente número 4. El último

movimiento que se realiza será por tanto el cambio de posición del cliente 14



2015

para colocarlo en el segundo lugar de la cuarta ruta. Con este movimiento se

cierra el análisis de los movimientos de clientes de la última ruta sobre ella

misma y concluye el estudio de esta operación.

Al finalizar el algoritmo, las variables S* y d* contendrán, respectivamente, la

mejor solución obtenida y la distancia total recorrida correspondiente, que

será la mínima distancia obtenida tras realizar todas las iteraciones. La tabla 45

muestra la solución final generada aplicando el mejor movimiento de la

operación Relocate.

Tabla 45. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación Relocate sobre la solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 5 3 2 1

7 6 9

11 10 14

El cambio respecto a la solución inicial es el movimiento del cliente 5 del final

de la tercera ruta a la segunda posición de la ruta dos. Ahora, el segundo

vehículo visitará al cliente 5, después de haber repartido al cliente 4, y

finalizará su recorrido con las visitas a los clientes 3, 2 y 1. El tercer vehículo

repartirá sólo a los clientes 7, 6 y 9.

La distancia recorrida en este caso es 238.0475 unidades, menor a la distancia

recorrida con la solución inicial. El tiempo empleado es igual a 0.03 segundos.

7.1.2.2. Exchange

Esta operación intercambia los clientes de dos rutas, pero no los coloca

necesariamente en la misma posición. Una vez se han almacenado la solución

inicial y la distancia total recorrida en las variables S* y d*, se comienzan las

iteraciones de la operación Exchange.

Las capacidades disponibles de los vehículos tras haber repartido los clientes

en las diferentes rutas formando la solución inicial se muestran en la tabla 46.

El cliente con mayor demanda es el cliente número 13, cuya demanda

asciende a 28 unidades. El segundo cliente con mayor valor de la demanda es

el cliente 15, con una demanda de 25 unidades. En cada iteración, las rutas

afectadas van a cambiar un cliente por otro.



2015

Tabla 46. Capacidades disponibles de los vehículos con la combinación de rutas de la solución inicial sobre la Red de Prueba.

Núm. ruta 1 2 3 4


Las rutas 2, 3 y 4 admiten cualquier cliente, al tener una capacidad mayor a la

máxima demanda. La capacidad disponible de la primera ruta es la menor, sin

embargo, esta ruta incluye a los clientes con mayor demanda, siendo capaz de

cubrir la demanda de cualquier otro cliente en caso de sustitución. Además,

hay que tener en cuenta que cuando una ruta admite un nuevo cliente,

también se desprende de uno de los clientes que poseía, aumentando su

capacidad disponible para aceptar la nueva adquisición.

Aunque el algoritmo debe comprobar en cada iteración si el intercambio

cumple las restricciones de capacidad, con las condiciones ya descritas queda

demostrado que para esta Red de Prueba en concreto, todas las iteraciones que

realiza la operación Exchange, serán admisibles.

Los pasos realizados por la operación se detallan a continuación obviando la

condición de capacidad que se aplicaría en cada iteración. Primero se

intercambia un cliente de la ruta uno con un cliente de la segunda ruta. Sean

las rutas 1 y 2 de la solución inicial las mostradas en la tabla 47, las primeras

iteraciones realizadas con la operación Exchange serían las siguientes:

Tabla 47. Rutas uno y dos de la solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1

1ª iteración

Tabla 48. Rutas uno y dos tras la primera iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

4 13 12 15

8 3 2 1

Distancia total recorrida = 277.6777



2015

2ª iteración

Tabla 49. Rutas uno y dos tras la segunda iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 4 12 15

8 3 2 1


3ª iteración

Tabla 50. Rutas uno y dos tras la tercera iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 12 4 15

8 3 2 1


4ª iteración

Tabla 51. Rutas uno y dos tras la cuarta iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 12 15 4

8 3 2 1


Para aclarar el procedimiento se designará por uno a la primera ruta y por dos

a la segunda. En estas iteraciones se ha colocado el cliente número 8 (cliente

que pertenecía a uno) en la primera posición de dos, mientras se ha desplazado

el cliente 4 (cliente que se encontraba originalmente en la primera posición de

dos) por todas las posiciones de uno. El siguiente paso es probar el cliente 3

(cliente que ocupaba la segunda posición de dos), en todas las posiciones de

uno, manteniendo de nuevo el cliente 8 en la primera posición de dos.



2015

5ª iteración

Tabla 52. Rutas uno y dos tras la quinta iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

3 13 12 15

8 4 2 1


6ª iteración

Tabla 53. Rutas uno y dos tras la sexta iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 3 12 15

8 4 2 1


7ª iteración

Tabla 54. Rutas uno y dos tras la séptima iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 12 3 15

8 4 2 1


8ª iteración

Tabla 55. Rutas uno y dos tras la octava iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 12 15 3

8 4 2 1



2015


Del mismo modo se moverán los clientes 2 y 1 por las posiciones de uno. Una

vez finalizadas estas iteraciones, el cliente 8 se desplazará a la segunda

posición de dos, y se repetirán los movimientos de los clientes 4, 3, 2 y 1 por

separado. Posteriormente se repetirá el proceso colocando el cliente número 8

en la tercera y en la cuarta posición de dos. La última iteración por la que el

cliente 8 se intercambia con uno de los clientes de dos se describe en la tabla 56.

Tabla 56. Rutas uno y dos tras la última iteración de la operación Exchange sobre la solución inicial en la que se intercambia el primer cliente de la ruta uno por un cliente de la segunda. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

13 12 15 1

4 3 2 8


Después de haber realizados estas iteraciones, llega el turno de intercambiar el

cliente que ocupaba la segunda posición en uno, es decir, el cliente número 13,

con los clientes de dos. Se repite el mismo proceso explicado para el cliente 8.

Seguidamente, se moverá de ruta el cliente 12 y por último el 15. La última

iteración que intercambiará los clientes de la primera y segunda ruta será, por

tanto, la descrita en la tabla 57.

Tabla 57. Rutas uno y dos tras la última iteración de la operación Exchange que relaciona estas rutas sobre la solución inicial en la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 12 1

4 3 2 15


Los resultados obtenidos hasta el momento surgen de intercambiar los clientes

de las dos primeras rutas. Este mismo procedimiento se repetirá para las rutas

uno y tres, uno y cuatro, y así hasta probar todas las combinaciones de rutas

posibles. En cada iteración se ha calculado la distancia total recorrida por la



2015

solución. Esta distancia es comparada con la distancia almacenada en la

variable d*, que contiene inicialmente la distancia recorrida con la solución

inicial, y sustituye su valor en caso de ser menor. En ese caso, la solución se

almacena en la variable S*.

En la tabla 58 se muestra la mejor solución obtenida una vez estudiadas todas

las combinaciones posibles de la operación Exchange.

Tabla 58. Mejor solución obtenida tras realizar todas las iteraciones de la operación Exchange sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 5 3 2

7 1 6 9

11 10 14

Se han intercambiado los clientes 1 y 5 de las rutas de las rutas dos y tres

respectivamente. Esta operación intercambia los clientes de dos rutas, pero no

necesariamente en la posición relativa a la ruta que ocupaba el cliente

originalmente. En este caso, ninguno de los clientes intercambiados pasa a

ocupar la posición abandonada por el otro en la ruta destino.

La distancia total recorrida por los vehículos es 240.7053 unidades de distancia

y el tiempo de ejecución 0.14 segundos. El tiempo empleado por esta

operación es notablemente superior al utilizado por las demás operaciones,

puesto que el número de combinaciones posibles que deben ser analizadas por

el algoritmo y descartadas es considerablemente mayor.

7.1.2.3. Merge_mod

Merge_mod introduce el máximo número de clientes de una ruta al final de

otra ruta. La solución inicial obtenida por la heurística de mínima distancia se

muestra en la tabla 59, en la cual se ha incluido la demanda de los clientes y

las capacidades disponibles de los vehículos.

Esta operación comienza introduciendo los clientes de la ruta uno en la

segunda ruta. Para asegurar que la cantidad de clientes que se añaden a la

ruta llega a ser la máxima, se introducen en primer lugar los clientes con

menor demanda. Para optimizar la operación, la distancia recorrida se calcula



2015

cada vez que se mueve un cliente, en lugar de calcularla solamente cuando se

ha introducido el mayor número de clientes posible.

Tabla 59. Solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba junto con las demandas de los clientes y las capacidades disponibles de los vehículos.

Clientes Capacidad Disponible

Vehículo 1

Demanda

8 13 12 15

12 28 10 25 25

Vehículo 2

Demanda

4 3 2 1

12 21 16 10 41

Vehículo 3

Demanda

7 6 9 5

19 8 16 10 47

Vehículo 4

Demanda

11 10 14

6 5 22 67

Así, la operación Merge_mod es capaz de introducir el máximo número de

clientes de una ruta en otra ruta, pero no necesariamente tiene que mover

todos estos. La mejor iteración será aquella que logre minimizar la distancia

recorrida. En otras palabras, si el movimiento que genera el mejor resultado

implica introducir menos clientes que el máximo número posible, esta

operación optará por dicha opción. El procedimiento se describe a

continuación en forma de los pasos seguidos por Merge_mod.

1. Se ordenan los clientes de la ruta uno de menor a mayor demanda.

Tabla 60. Demandas de los clientes de la ruta uno de la solución inicial sobre la Red de Prueba en orden creciente.

Núm. cliente 12 8 15 13

Demanda 10 12 25 28

2. Se asignan estos clientes a la ruta dos uno a uno, actualizando, cada vez que

se mueve un cliente, la capacidad disponible de los vehículos. En cada

iteración se calcula la distancia total recorrida, incluidas en las tablas 61 y 62.



2015

Tabla 61. Primera iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.


Vehículo 1 8 13 15 35

Vehículo 2 4 3 2 1 12 31


Tabla 62. Segunda iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.


Vehículo 1 13 15 47

Vehículo 2 4 3 2 1 12 8 19


Después de introducir los clientes 12 y 8 en la segunda ruta, la capacidad del

vehículo impide que se añadan los clientes 13 y 15, dando fin a esta

iteración.

3. Se continúa iterando hasta completar todos los movimientos posibles de la

operación. Las iteraciones que implican el movimiento de clientes de la ruta

uno a la tercera se muestran en las tablas 63 a 65.

Tabla 63. Tercera iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.


Vehículo 1 8 13 15 35

Vehículo 3 7 6 9 5 12 37




2015

Tabla 64. Cuarta iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.


Vehículo 1 13 15 35

Vehículo 3 7 6 9 5 12 8 25


Tabla 65. Quinta iteración de la operación Merge_mod sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.


Vehículo 1 13 35

Vehículo 3 7 6 9 5 12 8 15 0


Las siguientes iteraciones buscarán introducir el mayor número de clientes de la

primera ruta en la última ruta. Se repite este proceso para todas las

combinaciones de rutas, almacenando en las variables S* y d* la solución y la

distancia recorrida, cuando ésta última sea menor a la última distancia que

contiene en ese momento d*. Nuevamente, se toma la mejor de las soluciones

alcanzables por esta operación. Para generar la nueva solución, mostrada en la

tabla 66, todos los clientes de la última ruta se colocan al final de la ruta dos. El

cuarto vehículo en este caso no visita a ningún cliente, quedando inoperativo.

Tabla 66. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación Merge_mod sobre la solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1 10 11 14

7 6 9 5

-



2015

La aplicación de esta operación converge en una solución cuya distancia total

recorrida es igual a 244.4162 unidades. El tiempo de ejecución empleado por

Merge_mod es de 0.02 segundos.

El objetivo de la operación Merge_mod es introducir el mayor número de

clientes de una ruta en otra diferente. Para asegurar que el número de clientes

candidatos a ser traspasados es el mayor posible, los clientes de una fila se van

introduciendo en otra uno a uno, empezando por el de menor demanda y

terminando por el de demanda mayor. De esto se deduce que el orden en que

se introducen los clientes en la nueva ruta no es necesariamente el óptimo en

cuanto a distancia recorrida, teniendo que utilizar otra operación diferente si

se desea reordenar los clientes y estudiar posteriores opciones de mejora.

7.1.2.4. 2-Opt*

La operación 2-Opt* intercambia los finales de dos rutas. Por final de una ruta

puede entenderse desde ningún cliente hasta todos los clientes que forman la

misma. Teniendo en cuenta las restricciones de capacidad, las iteraciones que

generan el intercambio de clientes entre las dos primeras rutas se describen en

las tablas 67 a 75.

1ª iteración

Tabla 67. Rutas uno y dos tras la primera iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

3 2 1

4 8 13 12 15


2ª iteración

Tabla 68. Rutas uno y dos tras la segunda iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 4 3 2 1

13 12 15




2015

3ª iteración

Tabla 69. Rutas uno y dos tras la tercera iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 3 2 1

4 13 12 15


4ª iteración

Tabla 70. Rutas uno y dos tras la cuarta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 2 1

4 3 13 12 15


5ª iteración

Tabla 71. Rutas uno y dos tras la quinta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 4 3 2 1

12 15


6ª iteración

Tabla 72. Rutas uno y dos tras la sexta iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 3 2 1

4 12 15



2015


7ª iteración

Tabla 73. Rutas uno y dos tras la séptima iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 2 1

4 3 12 15


8ª iteración

Tabla 74. Rutas uno y dos tras la octava iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13 1

4 3 2 12 15


9ª iteración

Tabla 75. Rutas uno y dos tras la novena iteración de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

Clientes

8 13

4 3 2 1 12 15


En la tabla 76 se muestra el resumen de todos los movimientos posibles de la

operación 2-Opt*. Los movimientos intermedios que no se han mostrado y que

se incluyen resaltados en color rojo en esta tabla, no se han podido realizar

debido a las restricciones de capacidad.



2015

Tabla 76. Resumen de los movimientos posibles de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial. Aplicación aislada de la operación sobre la Red de Prueba.

Número de iteración Clientes transferidos de

la ruta uno a la dos

Clientes transferidos de

la ruta dos a la uno

1

-

-

-

2

3

4

-

-

5

6

7

8

9

4

4

4

4

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

3

2

1

0

4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

Para completar el estudio de esta operación se continúan las iteraciones hasta

probar todas las combinaciones de rutas. La combinación de rutas para la que

se obtiene la mínima distancia recorrida se describe en la tabla 77.

Tabla 77. Mejor solución tras realizar todas las iteraciones de la operación 2-Opt* sobre la solución inicial por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1

7 6 9 11 10 14

5

En el caso de la Red de Prueba, la mejor solución que se obtiene con una sola

iteración de la operación 2-Opt* se consigue intercambiando los finales de las



2015

rutas tres y cuatro. En concreto, todos los clientes correspondientes a la ruta

cuarta han sido asignados a la tercera ruta, y el último cliente visitado en la

ruta tercera pertenece ahora al recorrido de la cuarta ruta, que solo visita

dicho nodo.

La distancia recorrida por la nueva solución obtenida es 239.4733 unidades.

Para la ejecución de la operación se han empleado 0.02 segundos.

7.1.2.5. Análisis de resultados. Comparación de las operaciones

Una vez que se han obtenido las soluciones óptimas para un único

movimiento de cada una de las cuatro operaciones de búsqueda local

consideradas es posible comparar los resultados de las mismas.

- La tabla 78 contiene los tiempos de ejecución de cada operación con el

mismo sistema informático. Dada la variabilidad de los mismos, se han

representado con una única cifra significativa. Como se observa, la

operación Exchange resulta ser la más lenta, con un tiempo de ejecución

del orden de siete veces mayor al tiempo empleado por el resto de

operaciones.

Tabla 78. Tiempos de Ejecución de las Operaciones sobre la solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Operación Tiempo de ejecución

Relocate

Exchange

Merge_mod

2-Opt*

0.02

0.14

0.01

0.02

Este resultado está fuertemente condicionado por los principios

matemáticos de la combinatoria. Es decir, el algoritmo que debe analizar

y descartar un mayor número de posibles movimientos resultará en un

mayor tiempo de ejecución para cada iteración.

Por otro lado, la rapidez con la que las operaciones deben comprobar un

mayor número de candidatos dentro del algoritmo ARF puede verse

ayudada por técnicas de optimización en la creación del código que

ejecuta dicha operación. Por ejemplo, si dos rutas se han mantenido



2015

inalteradas en las ultimas iteraciones, es posible eliminar las soluciones

candidatas que surgen de las interacciones entre ambas rutas.

- La función objetivo consiste en la minimización de la distancia total

recorrida. Todas las operaciones obtienen una solución que mejora la

solución inicial a partir de la realización de un único movimiento. Las

distancias que tendrían que recorrer los vehículos disponibles según las

soluciones obtenidas se recopilan en la tabla 79.

Tabla 79. Distancias obtenidas con el mejor movimiento de cada operación sobre la solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Distancia total recorrida

Solución inicial 255.1073

Relocate

Exchange

Merge_mod

2-Opt*

238.0475

240.7053

244.4162

239.4733

La operación Relocate proporciona la menor distancia total recorrida,

seguida de cerca por las operaciones 2-Opt* y Exchange. Merge_mod es la

operación con la que se obtiene la menor mejora sobre la solución inicial

por la heurística de mínima distancia. Esta operación mueve cierto

número de clientes de una ruta y los añade al final de otra ruta diferente.

Debido a las restricciones de capacidad, se limita el número de clientes a

mover impidiendo que la operación proporcione soluciones mejores.

Es necesario recalcar que se han probado todos los movimientos

posibles sobre la solución inicial uno a uno. Es decir, cada vez que se

realiza el cambio de posición de un cliente o grupo de clientes (dos

clientes o dos grupos de clientes en el caso de operaciones de

intercambio) se hace respecto a la solución inicial. Se trata, por tanto, de

una primera comparación entre las operaciones a través de la cual se

puede obtener una idea de la capacidad de mejora de cada operación.

Sin embargo, los resultados podrían variar si las operaciones se

utilizaran sobre una solución inicial diferente, al ser fuertemente

dependientes de esta última.



2015

Con el objetivo de recalcar la importancia de las condiciones iniciales en

cada iteración de los movimientos, a continuación se repetirán los

resultados de este apartado sobre la segunda solución inicial o solución

obtenida con la heurística de demanda máxima. Las mínimas distancias

obtenidas tras probar todas las posibles combinaciones de cada

operación están recogidas en la tabla 80.

Tabla 80. Distancias obtenidas con el mejor movimiento de cada operación sobre la solución inicial obtenida con la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.



Relocate

Exchange

Merge_mod

2-Opt*

325.9683

316.2365

332.7426

341.3494

En esta ocasión puede apreciarse que la operación 2-Opt* produce la

peor de las soluciones. Recuérdese que esta operación intercambia los

finales de dos rutas. Al encontrarse los clientes ordenados de una

manera aleatoria debido al procedimiento de asignación en la heurística

de demanda máxima para la solución inicial, la probabilidad de que el

intercambio de varios clientes al final de dos rutas conduzca a una

mejora se ve reducida. Por otro lado, la mejora más pronunciada la

consigue la operación Exchange. El orden caótico de la solución inicial,

véase la figura 22, permite que un único intercambio de clientes

produzca una gran reducción en la distancia total recorrida. Las

operaciones Relocate y Merge_mod producen resultados intermedios entre

los extremos discutidos.

En la figura 25 puede apreciarse una comparativa de la mejora

porcentual que el mejor movimiento de cada operación produce sobre

las dos soluciones iniciales consideradas. Es posible observar como para

ambas heurísticas, diferentes operaciones producen la mayor y menor

mejora respectivamente. Este resultado confirma nuevamente el peso

que posee la solución inicial en la aplicación de operaciones de

búsqueda local.



2015

Adicionalmente, la mejora porcentual que las operaciones Relocate,

Exchange y 2-Opt* generan con una solo movimiento es del orden del

doble para la solución inicial de demanda máxima. El objetivo de dicha

heurística de solución inicial es aportar un método robusto para alcanzar

una solución admisible y por tanto este resultado confirma que la mejora

local durante las primeras iteraciones produce un descenso más

acuciado de la distancia total recorrida por los vehículos.

Figura 25. Grafica comparativa de la mejora porcentual del mejor movimiento de cada operación respecto a la solución inicial sobre la Red de Prueba.

En el caso de la operación Merge_mod la mejora porcentual es muy

similar para ambas soluciones iniciales. Estos resultados no son

suficientemente representativos como para extraer conclusiones respecto

a este hecho, sin embargo, el espacio de candidatos estudiados por esta

operación es reducido en comparación con Relocate o Exchange, lo que

podría estar condicionando la mejora obtenida.

7.1.3. Aplicación del ARF particularizado a cada palo del flamenco

Una vez se ha completado la comparación de las operaciones de manera

aislada, esta sección se centra en la comparación de cada uno de los palos del

flamenco considerados en este proyecto y su implementación en el ARF. Con el

objetivo de aislar cada palo del flamenco, el algoritmo de optimización se



2015

particularizará para cada palo de manera que en lugar de recorrer los palos de

manera consecutiva, se realicen sucesivas iteraciones del mismo palo.

Para cada iteración sobre el palo, la representación cronotónica determina la

operación a realizar. Una vez se inicia el estudio de las combinaciones posibles

generadas por dicha operación, la primera de las que produce una mejora sobre

la distancia total es almacenada como nueva solución optima sobre la cual

futuras operaciones serán aplicadas y el algoritmo abandona dicha operación.

Los resultados obtenidos con los diferentes compases se utilizan para clasificar

los palos en orden al grado de mejora que alcanzan. En los sucesivos apartados

se muestran las soluciones generadas utilizando como solución inicial la

proporcionada por la heurística de mínima distancia, descrita en la sección

7.1.1.1. El equipo informático y las condiciones del cálculo de tiempo requerido

por cada algoritmo no varían en esta sección respecto a las descritas en el

apartado anterior.

El proceso seguido por el algoritmo ARF se encuentra detallado en el punto 5.4.

El propósito de esta sección es estudiar los palos del flamenco de manera

aislada, utilizando en cada caso una particularización del algoritmo. Así, la

matriz M se convertirá en un vector que estará formado en cada caso por la

codificación del palo correspondiente. Como consecuencia de este cambio en el

algoritmo, el contador C, que recorría las filas de la matriz, queda inutilizado.

En los siguientes apartados se muestran los resultados obtenidos para los

distintos palos, indicando los valores que toman las variables S*, d* y P cada vez

que se ejecuta una operación. En este momento es importante insistir en que

cuando el algoritmo llama a la función que contiene una determinada

operación, esta prueba sucesivos movimientos sobre la solución almacenada en

S*, y devuelve la primera solución que minimice la distancia recorrida. En ese

momento se sale de la función y se guarda esta nueva combinación de rutas en

la variable S*, sustituyendo su anterior valor.

7.1.3.1. Fandango

La codificación de este palo indica que la única operación que se aplica al

ejecutar el algoritmo particularizado al Fandango es la operación Merge_mod.

El algoritmo ARF se inicia con los contadores A y B a cero, al igual que la

variable D. Cuando el primer acento fuerte se detecta, la variable D tiene valor

tres. Por ello, se aplica la operación tres sobre la solución inicial hasta

encontrar la primera combinación de rutas que mejore la distancia total

recorrida. Esta solución sustituye el valor almacenado en S*. Las rutas se

recogen en la tabla 81.



2015

Tabla 81. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo del Fandango sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1 10 11 14

7 6 9 5

-

La distancia recorrida es 244.4162. El vector P es un vector de ceros. La

variable D se vuelve a poner a cero y el algoritmo continúa incrementando los

valores de B y D a medida que se recorre el vector del palo. El valor de D

cuando se encuentra el siguiente acento fuerte vuelve a indicar que se ejecute

la operación tres. En este caso, se realizan todas las iteraciones posibles de la

operación sin encontrar ninguna mejora sobre la última solución almacenada.

La función que aplica la operación Merge_mod devuelve el siguiente vector P:

P = [0 0 1 0]

Al continuar el algoritmo hasta encontrar el siguiente acento fuerte, la variable

D indica que se vuelva a aplicar la operación tres. Debido a que la componente

tres del vector P contiene un uno, indicando que la solución no ha cambiado

desde la última vez que se ejecutó la operación y que ésta no logró ninguna

mejora, se evita volver a aplicar la misma. El valor de P no cambia y al ser tres

la única operación que contiene el Fandango, la mejor solución es la obtenida

con la primera aplicación de la operación.

Siguiendo la metodología del ARF, este palo equivale a aplicar sucesivamente

la operación tres. En particular, la solución generada por el palo flamenco es la

misma que la obtenida aplicando el mejor movimiento de dicha operación

(véase la sección 7.1.2.3). Nuevamente queda manifiesta la limitación que

implica usar una única operación para el proceso de mejora, tras el primer

cambio la operación es incapaz de avanzar hacia soluciones mejores.

Como consecuencia, en el caso del Fandango aumentar el número de

iteraciones del algoritmo no produce ninguna mejora en la solución. La

distancia total recorrida es por tanto 244.4162. El tiempo empleado en ejecutar

el algoritmo es 0.02 segundos.

7.1.3.2. Soleá

La Soleá tiene una codificación [0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1]. La primera distancia

cronotónica de este palo es igual a dos, por lo que el algoritmo debe aplicar



2015

sobre la solución inicial la operación dos, Exchange. Dentro de este apartado,

los resultados de cada operación serán representados mediante una tabla

describiendo las rutas contenidas en la variable S* junto con los valores de la

distancia mínima temporal (d*) y el vector P que inhibe la realización de

operaciones redundantes innecesariamente.

De esta manera, la aplicación de la operación Exchange en primer lugar

produce las soluciones descritas en la tabla 82 y los siguientes valores de las

variables d* y P.

Tabla 82. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

5 3 2 1

4 7 6 9

11 10 14

d* = 248.8613

P = [0 0 0 0]

El algoritmo continúa y debe entonces ejecutar la operación tres. Los valores

resultantes de aplicar a continuación Merge_mod generan un desplazamiento

de todos los clientes de la ruta cuatro al final de la ruta dos, quedando la

primera de éstas completamente vacía. La tabla 83 muestra esta solución.

Tabla 83. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

5 3 2 1 10 11 14

4 7 6 9

-



2015

d* = 238.1702

P = [0 0 0 0]

La siguiente operación en ejecutarse es de nuevo Exchange. Esta vez se realiza

un intercambio entre las rutas dos y tres, moviendo los clientes 5 y 6.

Tabla 84. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

3 2 1 6 10 11 14

5 4 7 9

-

d* = 231.7244

P = [0 0 0 0]

Continúa la aplicación de la Soleá con una distancia cronotónica igual a dos,

que impone de nuevo la aplicación de la operación Exchange. En este caso el

resultado produce un intercambio de los clientes 3 y 9 entre las rutas dos y

tres, cambiando además la posición de destino dentro de ambas. La tabla 85

recoge la solución descrita.

Tabla 85. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

2 1 6 9 10 11 14

3 5 4 7

-

d* = 219.6023



2015

P = [0 0 0 0]

De nuevo la codificación de la Soleá revela una distancia cronotónica igual a

dos, la segunda componente del vector P es nula por lo que el algoritmo

vuelve a realizar la operación Exchange por tercera vez consecutiva. Como

resultado de esta última, los clientes 7 y 2 son intercambiados.

Tabla 86. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

7 1 6 9 10 11 14

2 3 5 4

-

d* = 218.0986

P = [0 0 0 0]

La última operación que incorpora la Soleá es la operación uno, Relocate. El

resultado de la misma es cambiar el orden en el que el vehículo uno visita a

los clientes 12 y 15.

Tabla 87. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

7 1 6 9 10 11 14

2 3 5 4

-

d* = 214.4254

P = [0 0 0 0]



2015

El proceso hasta ahora descrito concluye con la mejor solución obtenida tras

realizar una sola iteración de la Soleá. Para completar el estudio de la Soleá,

basta con aumentar el número de veces que se recorre el palo. Al igual que

para el resto de los palos, se presentará en cada caso el valor límite de

iteraciones a partir del cual no se produce una mejora sobre la estimación

óptima. En este punto, debe recordarse que la validez de los resultados

obtenidos está ligada a la red de partida y a la solución inicial recogida en la

tabla 29.

Dado que la primera iteración sobre el palo se ha completado con una mejora

respecto a la solución inicial, el algoritmo procede a continuación a realizar la

segunda iteración de la Soleá, con la que se generan las siguientes soluciones.

1. Exchange

La solución obtenida tras aplicar la operación Exchange al inicio de la segunda

iteración de la Soleá se recoge en la tabla 88.

Tabla 88. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Soleá en la segunda iteración del palo sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

2 1 6 9 10 11 14

7 3 5 4

-

d* = 209.4573

P = [0 0 0 0]

2. Merge_mod

La aplicación de la operación Merge_mod no genera ninguna combinación de

rutas que reduzca la distancia recorrida. Por ello, la función modifica el valor

del vector P.

P = [0 0 1 0]

Esto indica que hasta que no se modifique la solución almacenada, no se

podrá aplicar de nuevo la operación tres.



2015

3. Exchange

La operación Exchange tampoco es capaz de producir una mejora y el vector P

es actualizado.

P = [0 1 1 0]

4. Exchange

P = [0 1 1 0]

5. Exchange

P = [0 1 1 0]

6. Relocate

Por último, se ejecuta la operación Relocate obteniendo la solución mostrada en

la tabla 89.

Tabla 89. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Soleá en la segunda iteración del palo sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12 11

2 1 6 9 10 14

7 3 5 4

-

d* = 209.0003

P = [0 0 0 0]

El procedimiento descrito hasta ahora se repite en las sucesivas iteraciones del

algoritmo ARF particularizado para la Soleá. En la tabla 90 se recopilan los

resultados obtenidos para diferentes números de iteraciones del algoritmo.

Los datos de tiempo de ejecución son en este caso valores cumulativos.



2015

Tabla 90. Distancias y tiempos de ejecución obtenidos tras aplicar diferentes números de iteraciones del algoritmo de la Soleá sobre la Red de Prueba.

Número de Iteraciones Distancia Recorrida Tiempo de Ejecución [s]

1 214.4254 0.32

3 198.8253 0.81

≥ 5 198.2030 1.38

En la tabla 91 se recoge la solución correspondiente al límite de las iteraciones,

es decir, la solución generada a partir de cinco iteraciones del algoritmo que

recorre el palo completo, ya que la sexta iteración no produce mejora.

Tabla 91. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Soleá sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

2 1 6 9 14 10 11

7 3 5 4

-

7.1.3.3. Bulería

El compás de la Bulería se codifica como [0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1]. Dado que la

primera distancia cronotónica es igual a dos, la operación Exchange es la

primera en ejecutarse, devolviendo la solución indicada en la tabla 92.

Tabla 92. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

5 3 2 1

4 7 6 9

11 10 14



2015

d* = 248.8613

P = [0 0 0 0]

Esta solución coincide con la primera solución obtenida con el algoritmo de la

Soleá, debido a que ambos palos comienzan por la operación Exchange.

Seguidamente la lectura de la Bulería impone la aplicación de la operación

cuatro, 2-Opt*. Como resultado de la misma se intercambian los finales de las

rutas uno y tres. La nueva solución obtenida se recoge en la tabla 93.

Tabla 93. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

7 6 9

5 3 2 1

4 8 13 12 15

11 10 14

d* = 248.2200

P = [0 0 0 0]

A continuación este palo contiene a la operación Relocate. La ejecución de la

misma determina el desplazamiento del cliente número 6 a la última posición

de la segunda ruta como mejor movimiento posible. La tabla 94 muestra la

solución obtenida.

Tabla 94. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

7 9

5 3 2 1 6

4 8 13 12 15

11 10 14



2015

d* = 245.6521

P = [0 0 0 0]

Prosigue la aplicación del palo con la operación Exchange. En esta ocasión la

mejor solución se alcanza al intercambiar los clientes 7 y 10. Este movimiento

está ilustrado en la tabla 95.

Tabla 95. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

10 9

5 3 2 1 6

4 8 13 12 15

11 14 7

d* = 243.7997

P = [0 0 0 0]

La penúltima operación de este palo es nuevamente Exchange, que debe

ejecutarse de manera consecutiva. En esta ocasión son intercambiados los

clientes 14 y 10, como se indica en la tabla 96.

Tabla 96. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

14 9

5 3 2 1 6

4 8 13 12 15

11 10 7

d* = 241.6894

P = [0 0 0 0]



2015

Por último, se ejecuta la operación Relocate antes de finalizar la primera

iteración del palo. Esto produce un desplazamiento del cliente número 5,

como indica la tabla 97.

Tabla 97. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la sexta operación de la Bulería sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

14 9

3 2 1 6

4 5 8 13 12 15

11 10 7

d* = 236.4187

P = [0 0 0 0]

Nuevamente se ha realizado un estudio del número de iteraciones límite del

palo sobre la solución inicial de mínima distancia que converge en una

estimación de distancia mínima. Los resultados de incrementar el número de

iteraciones se recogen en la tabla 98, donde puede observarse como la sexta

aplicación de este palo no permite mejorar la solución almacenada.

Tabla 98. Distancias y tiempos de ejecución obtenidos tras aplicar diferentes números de iteraciones del algoritmo de la Bulería sobre la Red de Prueba.


1 236.4187 0.11

3 199.3231 0.50

≥ 5 189.2158 1.10

En la tabla 99 se describen las rutas resultantes de recorrer la Bulería durante

cinco iteraciones completas, llegando a la mejora límite que este palo alcanza.



2015

Tabla 99. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Bulería sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

4 5 3 2 1 6 7

-

11 14 9 10

7.1.3.4. Seguiriya

La codificación del compás de la Seguiriya en binario es [0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1].

Siguiendo las distancias cronotónicas de este palo, las operaciones realizadas

sobre la solución inicial y sus resultados se recogen a continuación. En primer

lugar se aplica la operación Exchange, que intercambia los clientes 4 y 5,

pertenecientes a las rutas dos y tres respectivamente. Esta solución se recoge

en la tabla 100.

Tabla 100. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Seguiriya sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

5 3 2 1

4 7 6 9

11 10 14

d* = 248.8613

P = [0 0 0 0]

A continuación la distancia cronotónica impone nuevamente ejecutar la

operación Exchange, que intercambia los clientes 5 y 7 tal y como ilustra la

tabla 101.



2015

Tabla 101. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la segunda operación de la Seguiriya sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

3 2 1 7

5 4 6 9

11 10 14

d* = 248.6224

P = [0 0 0 0]

El palo pasa a continuación a aplicar Merge_mod y coloca todos los clientes de

la ruta dos al final de la ruta cuatro, según indica la tabla 102.

Tabla 102. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Seguiriya sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

-

5 4 6 9

11 10 14 1 2 7 3

d* = 242.9433

P = [0 0 0 0]

De manera consecutiva el palo intenta aplicar la operación Merge_mod. Sin

embargo, al aplicar de nuevo la operación tres, esta no consigue obtener una

solución mejor y el vector P se actualiza para reflejar este hecho.

P = [0 0 1 0]

Por último, para completar el palo debe aplicarse la operación Exchange. Los

clientes 5 y 14 son intercambiados y el vector P es actualizado. Como

resultado, una vez finalizada la primera iteración de la Seguiriya, la solución



2015

obtenida es la recogida en la tabla 103.

Tabla 103. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Seguiriya sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

-

4 6 9 14

11 10 1 2 7 3 5

d* = 238.2087

P = [0 0 0 0]

Para el estudio de la Seguiriya el número límite de iteraciones que converge a

la estimación de la solución óptima es igual a tres. La tabla 104 recoge los

resultados de diferentes iteraciones sobre este palo junto con el tiempo de

ejecución cumulativo. Esta columna contiene los valores desde el inicio de la

heurística de solución inicial hasta la conclusión de la iteración

correspondiente.

Tabla 104. Distancias y tiempos de ejecución obtenidos tras aplicar diferentes números de iteraciones del algoritmo de la Seguiriya sobre la Red de Prueba.


1 238.2087 0.18

2 224.4418 0.29

≥ 3 194.4764 0.47

Por último, en la tabla 105 se recoge la estimación óptima a la que converge la

particularización del ARF para el caso exclusivo de aplicar la Seguiriya. La

distancia total recorrida es 194.4764. El tiempo empleado en la generación de

esta solución es 0.47 segundos.



2015

Tabla 105. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Seguiriya sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

-

10 9 14 11

7 6 1 2 3 4 5

7.1.3.5. Guajira

Según indica la codificación en binario de la Guajira, [0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1], la

primera operación a ejecutar es la número tres. Los resultados que se obtienen

tras aplicar la operación Merge_mod generan la asignación de todos los clientes

de la ruta cuatro al final de la dos como recoge la tabla 106.

Tabla 106. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la primera operación de la Guajira sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

4 3 2 1 10 11 14

7 6 9 5

-

d* = 244.4162

P = [0 0 0 0]

A continuación debe nuevamente aplicarse la operación Merge_mod, pero

ahora sobre esta última solución. Tras realizar todos los movimientos posibles,

no se obtiene ninguna combinación de rutas que reduzca la distancia total

recorrida y el algoritmo modifica el vector P.

P = [0 0 1 0]

La lectura del palo prosigue y se aplica la operación Exchange, que intercambia

los clientes 4 y 9 reduciendo la distancia total como ilustra la tabla 107.



2015

Tabla 107. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la tercera operación de la Guajira sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

3 2 1 9 10 11 14

4 7 6 5

-

d* = 241.2494

P = [0 0 0 0]

Como dicta el algoritmo, se les ha asignado el valor cero a las componentes

del vector P tras haberse modificado la solución almacenada. Prosigue la

lectura de la Guajira y se aplica nuevamente la operación Exchange. En esta

ocasión se intercambian los clientes 3 y 6 como indica la tabla 108.

Tabla 108. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la cuarta operación de la Guajira sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

2 1 6 9 10 11 14

3 4 7 5

-

d* = 233.4430

P = [0 0 0 0]

Para cerrar la ejecución de la primera iteración sobre la Guajira se ejecuta de

nuevo la operación Exchange, que en este caso intercambia los clientes 7 y 8

pertenecientes a las rutas uno y tres respectivamente, tal y como se indica en

la tabla 109.



2015

Tabla 109. Primera solución mejorada obtenida tras aplicar la quinta operación de la Guajira sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

7 13 12 15

2 1 6 9 10 11 14

3 4 5 8

-

d* = 231.3516

P = [0 0 0 0]

Con esta operación termina la primera iteración del algoritmo. Incrementando

el número de veces que se recorre el compás de la Guajira, se obtienen nuevas

soluciones mejoradas hasta un límite de dos iteraciones, puesto que una

tercera no produce mejora sobre la solución almacenada. Este resultado se

ilustra en la tabla 110 mientras que la tabla 111 recoge la estimación de la

solución óptima tras completar dos iteraciones de este palo.

Tabla 110. Distancias y tiempos de ejecución obtenidos tras aplicar diferentes números de iteraciones del algoritmo de la Guajira sobre la Red de Prueba.


1 231.3516 0.19

2 211.1657 0.23

≥ 3 209.7098 0.36

Tabla 111. Mejor solución obtenida tras aplicar el algoritmo de la Guajira sobre la solución inicial generada por la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

11 12 15 13

7 2 1 6 10 9 14

3 4 5 8

-



2015

7.1.3.6. Análisis y comparación de resultados

Los diferentes valores obtenidos tras la aplicación de los principales palos del

flamenco por separado sobre la Red de Prueba se encuentran recopilados en

las tablas 112 y 113. En éstas se incluyen los tiempos de ejecución, el número

límite de iteraciones para estimar la solución óptima y la distancia total

correspondiente a la dicha estimación para cada palo.

Como puede observarse, la Soleá, la Seguiriya y la Bulería generan los conjuntos

de rutas de mínima distancia, sin embargo, ha sido necesario realizar varias

iteraciones de cada palo para lograr dichas estimaciones del óptimo,

empleando un tiempo mayor en la obtención de estas soluciones debido a la

necesidad de inspeccionar un mayor número de candidatos.

En un lugar intermedio se encuentra la Guajira, la cual alcanza su mejor

solución tras realizar tres iteraciones sobre el palo. Si se observa el tiempo

medio de todas las operaciones por iteración, puede observarse que todos los

palos salvo el Fandango requieren aproximadamente entre 0.1 y 0.3 segundos

por iteración. Este resultado se debe a la combinación de operaciones que

existe en dichos palos mientras que el Fandango posee una única operación

que repite constantemente y cuyo éxito o fracaso determina el tiempo total de

ejecución.

Tabla 112. Tiempos de Ejecución y número de iteraciones de los algoritmos independientes de cada palo sobre la solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.

Tiempo de ejecución

[s]

Número de

iteraciones

Fandango

Soleá

Bulería

Seguiriya

Guajira

0.02

1.38

1.10

0.47

0.36

1

5

5

3

3

El Fandango resulta ser, en este caso, el palo que produce una menor mejora

sobre la solución inicial. Este resultado está ligado a la codificación

cronotónica de este palo. Así, aplicar el algoritmo adaptado al Fandango



2015

equivale a ejecutar la operación tres sucesivas veces. El hecho de que este palo

se limite a una sola operación reduce las posibilidades de encontrar una

mejora drásticamente.

Como ya se ha discutido reiteradamente, los resultados recogidos en las tablas

112 y 113 están intrínsecamente ligados a la red simplificada de partida así

como al método de extracción de la solución inicial. En caso de realizar el

mismo estudio sobre una solución inicial diferente, los resultados variarán en

mayor o menor grado.

Tabla 113. Distancias obtenidas tras aplicar los algoritmos independientes de cada palo sobre la solución inicial obtenida con la heurística de mínima distancia sobre la Red de Prueba.



Fandango

Soleá

Bulería

Seguiriya

Guajira

244.4162

198.2030

189.2158

194.4764

209.7098

Con objeto de recalcar la importancia de esta consideración, se ha ejecutado la

versión del ARF particularizada para cada palo sobre la solución inicial

obtenida al aplicar la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.

En la tabla 114 se incluyen los valores obtenidos para la función objetivo en

dichos estudios, es decir, la distancia total recorrida por los cuatro vehículos

tras aplicar cada palo de forma iterativa un numero límite de iteraciones tal

que se produce convergencia a una única estimación de la solución óptima.

Observando los resultados sobre la solución inicial de demanda máxima se

comprueba que los palos que alcanzan un mayor grado de mejora son la Soleá

y la Bulería. El Fandango, la Seguiriya y la Guajira, palos que solo incluyen las

operaciones dos y tres (Exchange y Merge_mod), convergen a estimaciones

optimas de peor calidad.



2015

Tabla 114. Distancias obtenidas tras aplicar los algoritmos independientes de cada palo sobre la solución inicial obtenida con la heurística de demanda máxima sobre la Red de Prueba.



Fandango

Soleá

Bulería

Seguiriya

Guajira

328.4780

189.2158

189.2158

239.9938

229.9473

Los resultados recogidos en la tabla 114 nuevamente se corresponden con el

valor límite tras la aplicación de un número máximo de diez iteraciones sobre

cada palo. Sin embargo, en ningún caso ha sido necesario alcanzar dicho

número de iteraciones por producirse la convergencia previamente.

Comparando las tablas 113 y 114 puede observarse como la mejor de las

estimaciones óptimas coincide para ambas soluciones iniciales. No obstante,

en el caso de la solución inicial por demanda máxima, un total de dos palos

diferentes (Soleá y Bulería) consiguen alcanzar esta solución frente a un único

palo (Bulería) en el caso de la solución inicial por distancia mínima.

Este sorprendente resultado confirma dos características muy importantes de

los métodos de búsqueda local. La primera de ellas se refiere a que la

estimación óptima no debe estar ligada a una solución inicial estructurada de

manera ordenada sino que es altamente dependiente de la capacidad de

inspección y mejora que presentan las operaciones de búsqueda local. La

segunda de ellas es que en esta ocasión no se ha permitido al algoritmo tomar

soluciones intermedias que empeoren la función objetivo respecto a la

solución anterior pero que podrían conducir a mejoras mayores al cambiar el

espacio de candidatos analizados. Al carecer de este principio, ambas

soluciones iniciales convergen a una misma distancia mínima al aplicar las

operaciones de búsqueda local.

En la figura 26 se representa gráficamente el porcentaje de distancia total

recorrida que consigue reducir cada uno de los palos aplicados a la solución

inicial para las dos opciones consideradas. Si bien los valores no resultan

próximos, si es claro observar una tendencia en los resultados. Para ambas



2015

soluciones iniciales, tanto la Soleá como la Bulería producen mejoras notables.

Esto se debe en buena parte al contenido en operaciones de dichos palos.

Mayoritariamente constituidos por distancias cronotónicas de una y dos

unidades entre compases acentuados, en estos palos las operaciones Relocate y

Exchange, que analizan un espectro más amplio de posibles candidatos, se

suceden. Esto ayuda a producir un mayor avance en el camino hacia la

solución óptima estimada.

Por otro lado, el Fandango, palo que conduce al algoritmo a emplear

únicamente la operación Merge_mod sucesivamente, produce una mejora casi

marginal para el caso de la solución inicial de mínima distancia y mucho

menor que el resto de los palos para la solución inicial por la heurística de

demanda máxima.

En adición, los valores recogidos en la figura 26 indican que la mejora

porcentual desde la solución inicial de demanda máxima es del orden del

doble que la alcanzada para el caso de distancia mínima. Este resultado

confirma la eficacia en la búsqueda de una estimación óptima que se consigue

de la combinación de las diferentes operaciones de búsqueda local

consideradas en este proyecto. Así, la búsqueda exhaustiva de una estimación

óptima profundiza más cuanta menor es la estructuración de la solución

inicial.

Figura 26. Grafica comparativa de la mejora porcentual del algoritmo particularizado para cada palo respecto a la solución inicial en la Red de Prueba.



2015

No debemos olvidar que esta comparativa se ha realizado utilizando la misma

red modelo y en ella únicamente se han comparado los efectos de cada palo

sobre dos soluciones iniciales diferentes. Por lo tanto la validez de estas

conclusiones puede ser fácilmente rechazada. Sin embargo, existen dos

componentes clave en la eficacia de las operaciones que aquí se han visto

claramente evidenciados.

En primer lugar, aquellas operaciones capaces de barajar un mayor número de

movimientos candidatos son más susceptibles de alcanzar una mejora. En

adición, la flexibilidad con la que una operación puede alterar la solución de

partida es clave para permitir un número elevado de iteraciones con la misma

que produzcan una mejora en la mejor solución obtenida hasta el momento.

7.1.4. ARF

Habiendo aplicado con éxito las operaciones de manera aislada y el algoritmo

particularizado para los palos contemplados, en este apartado se describe la

aplicación del algoritmo completo, ARF, sobre la Red de Prueba. El ARF recorre

los cinco palos del flamenco elegidos de manera consecutiva. Sus componentes

y el procedimiento llevado a cabo por el algoritmo se detallan en el apartado 5.4

de esta memoria, quedando pendiente la definición del orden en el que se

ejecutan los palos en el algoritmo. Por ello, en este apartado se incluye en

primer lugar un estudio realizado con Matlab para elegir el orden óptimo de

aplicación de los mismos, y una vez completada la definición del ARF con la

elección de un orden fijo, se utiliza el algoritmo para resolver la Red de Prueba.

Puesto que en este trabajo se han considerado cinco palos diferentes de

flamenco, p=5, existen 5! combinaciones validas para recorrer los mismos sin

que se produzca la repetición de ninguno de ellos. Es decir, existen 5!=120

permutaciones posibles. Cada combinación de palos da lugar a una matriz M

diferente.

Buscando la extracción de un orden de aplicación de los cinco palos

considerados dentro del ARF, se ha diseñado un algoritmo de prueba que

genera las 120 combinaciones posibles y resuelve la Red de Prueba aplicando el

ARF con cada una de ellas. En este algoritmo los palos han sido identificados

por un índice tal y como se describe en la tabla 115. Al finalizar las iteraciones,

el algoritmo proporciona el orden de los palos que ha generado la solución de

mínima distancia.

En cada caso se ha realizado una sola iteración del ARF, es decir, cada vez que

se aplica el ARF con una nueva matriz de palos M, ésta se recorre una sola vez.

Dado el número de permutaciones existentes, se ha optado por limitar el

número de veces que se recorre la matriz de palos con el objeto de evitar un



2015

incremento excesivo del tiempo de ejecución. Para respaldar esta asunción, se

ha comprobado que debido a la simplicidad de la red considerada, un

incremento del número de iteraciones sobre la matriz M en general no produce

variaciones significativas sobre los resultados alcanzados.

Tabla 115. Numeración de los palos del flamenco.

Numeración Palo del flamenco

1

2

3

4

5

Fandango

Soleá

Bulería

Seguiriya

Guajira

La tabla 116 recoge los resultados obtenidos en el estudio. En esta tabla los

resultados de las permutaciones entre los palos se han incluido siguiendo el

orden en el que dichas permutaciones son generadas, por lo que los resultados

de la función objetivo no aparecen ordenados Nótese que muchas soluciones

no han sido incluidas por razones de claridad. Adicionalmente, los resultados

revelan que distintos órdenes de los palos proporcionan el mismo valor de

distancia mínima. De entre éstos, el algoritmo ha tomado como óptimo la

primera de las permutaciones que genera dicho resultado.

Tabla 116. Distancias obtenidas con el ARF para diferentes órdenes de los palos del flamenco tras una iteración sobre la matriz de palos en la Red de Prueba.

Número de iteración Orden de los palos Distancia total recorrida

1

2

3

4

5

…

27

…

119

120

[5 4 3 2 1]

[5 4 3 1 2]

[5 4 2 3 1]

[5 4 2 1 3]

[5 4 1 2 3]

…

[4 5 2 3 1]

…

[1 5 4 2 3]

[1 5 4 3 2]

199.5357

199.5357

201.0426

201.0426

201.0426

…

189.2158

…

189.2158

189.2158



2015

De estos resultados se deduce que entre las permutaciones que generan la

solución de mínima distancia, la número 27 es elegida como el orden óptimo de

aplicación de los palos (sobre la red simplificada) es:

I. Seguiriya

II. Guajira

III. Soleá

IV. Bulería

V. Fandango

De igual modo, la matriz M extraída de este estudio es la siguiente:

Con el orden de aplicación de los palos elegido, el algoritmo por ritmos del

flamenco, ARF, queda completamente definido siguiendo el contenido de la

sección 5.4.

La segunda parte de este apartado se centra en aplicar el ARF sobre la Red de

Prueba. El procedimiento seguido se ilustra paso a paso a continuación.

Se comienza recorriendo la fila uno de M, correspondiente a la Seguiriya. La

variable S* contiene al inicio del algoritmo la solución inicial obtenida con la

heurística de mínima distancia. Tal y como se detalla en el apartado 7.1.3.4., la

solución obtenida después de aplicar una iteración de la Seguiriya partiendo de

la solución inicial se recoge en la tabla 117.

Tabla 117. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Seguiriya. ARF sobre Red de Prueba – paso 1.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 12 15

-

4 6 9 14

11 10 1 2 7 3 5



2015

Siendo la distancia total recorrida igual a 238.2087. Estos valores permanecen

almacenados en las variables S* y d*, respectivamente, cuando se termina de

recorrer este palo.

En este momento se incrementa el contador C en una unidad, indicando al

algoritmo que debe leer la segunda fila de la matriz M. Tras aplicar las

operaciones correspondientes a la Guajira, se obtienen los resultados descritos

en la tabla 118.

Tabla 118. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Guajira. ARF sobre Red de Prueba – paso 2.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

13 12 15 11

-

7 6 9 14

10 1 2 3 4 5 8

d* = 224.4418

La siguiente fila de la matriz de palos corresponde a la Soleá. En la tabla 119 se

recoge la solución obtenida tras ejecutar las operaciones que integran dicho

palo, seguida de la distancia total recorrida por los vehículos.

Tabla 119. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Soleá. ARF sobre Red de Prueba – paso 3.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

-

10 9 14 11

7 6 1 2 3 4 5

d* = 190.8032

Continuando la lectura de las filas de la matriz M, se ejecutan las operaciones

de la Bulería y se genera la solución contenida en la tabla 120.



2015

Tabla 120. Mejor solución obtenida tras aplicar las operaciones de la Bulería. ARF sobre Red de Prueba – paso 4.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

8 13 15 12

-

10 9 14 11

7 6 1 2 3 5 4

d* = 189.2158

Por último, se aplica el Fandango. Este palo, que equivale a aplicar cuatro veces

la operación Merge_mod, no consigue obtener una solución mejor a la última

almacenada. En consecuencia, finaliza el algoritmo sin modificarse por tanto los

valores de S* y d*.

El tiempo de ejecución empleado por Matlab en realizar una iteración del ARF

sobre la Red de Prueba es igual a 0.95 segundos. En la tabla 121 se recoge el

tiempo cumulativo desde el inicio del algoritmo completo hasta que finaliza la

ejecución de cada uno de los palos que constituyen la matriz M.

Tabla 121. Tiempos de ejecución cumulativos para cada palo en una iteración del ARF sobre la Red de Prueba.

Tiempo de ejecución acumulado [s]


Soleá

Seguiriya

Guajira

Bulería

Fandango

0.200

0.307

0.637

0.940

0.945



2015

Los resultados permiten observar que el tiempo de ejecución se distribuye de

manera heterogénea entre las operaciones. Nótese como el Fandango es

ejecutado en un intervalo de tiempo llamativamente reducido, ya que no es

capaz de generar ninguna mejora sobre la solución temporal.

Tal y como se ha descrito con anterioridad, la ejecución de cada una de las

cuatro operaciones consideradas en este proyecto conlleva el estudio de un

conjunto de soluciones candidatas diferentes. Sin embargo, la cantidad de

movimientos exitosos que cada uno de los palos completa está severamente

limitada por las condiciones de partida. Es decir, si un palo no consigue mejorar

la solución almacenada en la variable S* aplicando una determinada operación

y dicha operación constituye el inicio del palo consecutivo, la ejecución de este

último se verá acelerada por la obligación de ignorar una primera operación

que no podría introducir mejora.

7.2. Resolución problema de enrutado de vehículos

En esta sección se implementa el ARF sobre variaciones del problema de enrutado de

vehículos resuelto en R. Grosso [6]. Para la definición del problema de partida, que

mantiene las restricciones introducidas durante la particularización del VRP en este

proyecto, se ha tomado del trabajo del autor citado el número de vehículos disponibles,

así como la capacidad de cada uno de éstos, que para este problema son variables.

A continuación también se describe la ubicación de la empresa de distribución (nodo

referido hasta ahora como almacén) y la de todos los clientes, además de la demanda

de cada cliente en kilogramos de producto a distribuir. Se asume en consecuencia que

la producción del nodo almacén es suficiente para abastecer a todos los clientes que

conforman el problema. Las restricciones que aplican al conjunto de soluciones

admisibles se suponen las mismas que se han descrito y empleado sobre la Red de

Prueba simplificada. Las tablas 122 y 123 recogen los datos del problema.

Tabla 122. Capacidades de los vehículos. Datos del problema a resolver [6].

Vehículo Capacidad [kg]

1

2

3

4

3000

3000

4500

4500



2015

Tabla 123. Localización y demandas del almacén y los clientes del problema [6].

Número de cliente Coordenda x Coordenada y Demanda [kg]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

218

159

207

126

212

125

215

126

175

218

119

180

152

188

224

210

104

116

126

119

153

184

201

125

214

129

115

188

207

358

331

392

347

394

355

389

338

363

382

340

360

349

393

370

382

354

355

335

357

351

410

370

346

371

349

341

357

406

3100

1500

1000

950

800

550

500

450

400

300

300

300

300

300

200

150

150

150

150

150

150

150

125

125

100

100

100

100

100

Almacén 132 354 -



2015

El primer paso seguido por el ARF consiste en la extracción de una solución inicial

admisible. En este punto se da prioridad a la heurística de mínima distancia y en caso

de fracasar esta última, se aplicaría la heurística de demanda máxima. Para las

condiciones de este problema, la heurística de mínima distancia converge en una

solución admisible que se describe en la tabla 124. Siendo la distancia total recorrida

igual a 692.0219.

Tabla 124. Solución inicial del problema [6] dada por la heurística de mínima distancia.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

21 2 19 8 11 27 18

13 26 4 24 6 20 17 14

1 15 25 10 7 29 22

9 12 28 23 16 3 5

Capacidad disponible

200

375

50

1625

2250

A continuación se aplica el ARF recorriendo las filas de la matriz de palos M obtenida

en la sección 7.1.4 a partir de la red simplificada. En las tablas 125 a 127 se muestran las

combinaciones de rutas obtenidas para las cuatro primeras iteraciones del algoritmo

completo sobre el problema propuesto en R. Grosso [6].

1ª iteración

Tabla 125. Solución del problema [6] obtenida con una iteración del ARF.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

2 19 8 11 27 17 18 20

21 13 26 4 24 6

28 1 15 10 7 29 22

12 14 23 25 16 3 5 9


50

825

50

1325

2250



2015

2ª iteración

Tabla 126. Solución del problema [6] obtenida con dos iteraciones del ARF.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

2 19 8 11 27 17 18 20

21 13 26 4 24 6

12 23 3 5 7 16 9

28 1 15 25 10 29 22 14


50

825

1225

150

2250

3ª iteración

Tabla 127. Solución del problema [6] obtenida con tres iteraciones del ARF.

Vehículo

1

2

3

4

Clientes

21 13 26 4 24 6

2 19 8 11 27 17 18 20

12 3 5 7 16 23 9

28 1 15 25 10 29 22 14


825

50

1225

150

2250

La distancia total recorrida obtenida para cada solución y el tiempo de ejecución

empleado en cada caso se recogen en la tabla 128, que analiza el progreso del ARF.

Para la resolución de este problema se ha empleado el mismo equipo informático que

en el caso del apartado 7.1 y nuevamente se ha almacenado el tiempo de ejecución de

cada una de las iteraciones del ARF completo. Estos valores, junto con los cambios

introducidos en la función objetivo permiten evaluar la eficacia del algoritmo.

Para realizar un análisis de los resultados obtenidos se han calculado los siguientes

parámetros:

- El porcentaje de mejora en la distancia total de cada solución obtenida

respecto a la solución inicial.

- El porcentaje de mejora en la distancia total de cada solución respecto a la



2015

solución obtenida en la iteración anterior.

- El porcentaje de incremento de tiempo que se produce al aumentar el número

de iteraciones en uno, respecto al tiempo empleado en la iteración anterior.

Tabla 128. Distancias recorridas y tiempos de ejecución empleados para diferentes números de iteraciones del ARF sobre el problema [6].

Número de iteraciones Distancia recorrida Tiempo de ejecución [s]

1

2

3

609.3138

578.3104

576.2175

2.93

15.13

19.13

Solución inicial 692.0219 0.03

Tabla 129. Análisis de los resultados de distintitas iteraciones del ARF sobre el problema [6].

Número de

iteraciones

% Mejora respecto a

la solución inicial

% Mejora respecto a

la iteración anterior

% Incremento de

tiempo

1

2

3

11.95

16.43

16.73

11.95

5.09

0.36

-

416.38

26.44

Una vez resuelto el problema genérico, se introducirán a continuación variaciones de

este último a las que se aplicará el ARF. Estas variaciones se basan en la modificación

de la capacidad de los vehículos disponibles en combinación con la penalización del

uso de los vehículos de mayor capacidad. En el contexto de un problema de

distribución complejo, esta condición correspondería con la priorización del uso de

vehículos de bajo tonelaje, cuya mayor agilidad permitiría minimizar los tiempos de

reparto.

Es fácil intuir que un camión viajará más lento cuanto mayor sea su capacidad,

ignorando consideraciones de propulsión, aerodinámica u otros. Por ello, al margen de

condiciones como costes de mantenimiento de flota, consumo de combustible o

eficiencia se asume en estos casos que para la empresa de distribución es más

beneficioso emplear los vehículos de bajo tonelaje. Bajo esta simplificación, se



2015

incorporan nuevas condiciones al problema, de manera que la distancia virtual entre

clientes será mayor para los camiones de mayor capacidad.

En este punto es importante mencionar que el algoritmo implementado en este

proyecto usando Matlab ha debido ser adaptado para la resolución de estas variaciones

con penalización por distancia. Estas modificaciones han sido omitidas en este

apartado con objeto de centrar la atención del lector en la comparación de resultados.

Sin embargo, los algoritmos para la obtención de la solución inicial no se ven afectados

por estas penalizaciones ya que las rutas son completadas de manera independiente y

en un orden predeterminado por el algoritmo. En otros términos, las localizaciones de

clientes para la misma ruta se ven penalizadas por el mismo factor por lo que el orden

en que los clientes son seleccionados no se ve alterado.

Con el ARF adaptado para la inclusión de penalizaciones sobre los vehículos de mayor

tonelaje, se han solucionado una serie de casos particulares cuyas condiciones son

descritas a continuación. En todos los casos se han considerado vehículos con

capacidad igual a 3500 unidades (bajo tonelaje) y 4500 unidades (medio tonelaje) y se

ha variado la penalización en distancia impuesta a los vehículos de mayor capacidad.

Desde el punto de vista de la implementación del algoritmo, esto se traduce en la

utilización de una matriz de distancias modificada para los camiones de 4500 unidades

de capacidad, obtenida de la multiplicación de la matriz original por un factor m mayor

que la unidad. Las distintas variaciones o casos particulares que han sido resueltos

sobre la red de clientes descrita en la tabla 123 se caracterizan por tres elementos

diferenciadores: El valor del factor de penalización m, el criterio seguido para ordenar

los clientes y el vector de capacidad, cap. Este último define el número de vehículos

disponibles, su capacidad y el orden en el que son considerados

En la siguiente lista se describen los casos particulares resueltos mediante la

especificación del valor del factor m, el vector capacidad y el criterio de orden de los

clientes. Por defecto, dicho orden se corresponde con la numeración de la tabla 123 y se

indica exclusivamente en los casos en los que ha sido modificado, véase los casos 5 y 6.

1) m=2 cap=[4500 4500 3000 3000]

2) m=2 cap=[4500 4500 4500]

3) m=2 cap=[4500 3000 3000 3000]

4) m=1.5 cap=[4500 4500 3000 3000]

5) m=1.5 cap=[4500 4500 3000 3000]

Clientes ordenados según proximidad al depósito.



2015

6) m=1.5 cap=[4500 4500 3000 3000]

Clientes ordenados en orden inverso por proximidad al depósito,

es decir, de mayor a menor distancia al almacén.

7) m=1.5 cap=[4500 4500 4500]

8) m=1.5 cap=[4500 3000 3000 3000]

9) m=2 cap=[3000 3000 4500 4500]

10) m=1.5 cap=[3000 3000 4500 4500]

11) m=1 cap=[3000 3000 4500 4500]

12) m=1 cap=[4500 4500 3000 3000]

La tabla 130 contiene una comparativa de los resultados obtenidos para las variaciones

de este problema mediante el ARF y el método de búsqueda local implementado en R.

Grosso [6]. Tal y como puede observarse, los resultados son muy parejos y se

encuentran en su mayoría dentro de una franja del 5% de diferencia, generando una

distancia total menor para el ARF en un total de cinco casos sobre doce resueltos en

total. En la tabla 130 se han incluido los tiempos de ejecución del ARF empleando el

equipo informático que se describe en la sección 7.1.2.

El ARF produce una mejora marginal en los casos uno, cinco, ocho y nueve, problemas

en los que se aplica penalización por distancia y combinan el mismo número de

camiones de diferente capacidad. Sin embargo, si se compara la solución del caso

cuatro con el caso diez puede extraerse una importante conclusión. Estos dos casos

particulares comparten el valor del factor m y el número de camiones de capacidad

igual a 4500 y 3500 unidades, sin embargo presentan diferente orden de dichos

vehículos dentro del vector de capacidades.

Dado que el ARF es capaz de producir una mejora en el caso cuatro pero genera una

peor solución para el caso diez, y tal y como ya se ha hecho hincapié en apartados

anteriores, este resultado confirma la elevada sensibilidad de las rutas que este

algoritmo genera respecto a variaciones en la solución inicial. Al ordenar los vehículos

de una manera diferente, el algoritmo de solución inicial genera rutas iniciales

diferentes y las operaciones de búsqueda local son incapaces de compensar por esta

condición inicial.

En los casos en los que el ARF proporciona una distancia total considerablemente

superior, los problemas dos, siete y doce, el factor de penalización m carece de efecto

sobre las condiciones del problema por tratarse de flotas de vehículos homogéneas o



2015

por tomar dicho factor un valor unitario. Este resultado prueba el hecho de que la

penalización por capacidad puede integrarse dentro del ARF con resultados muy

satisfactorios. Además, los casos dos y doce presentan un menor número de vehículos

disponibles, lo cual reduce el espacio de candidatos analizados por las operaciones de

búsqueda local. Por otro lado, la diferencia entre los resultados de los casos once y doce

recalca de nuevo el peso del algoritmo para la solución inicial dentro del ARF.

Tabla 130. Resultados de la aplicación del ARF a las variantes resueltas en R.Grosso [6].

Caso Tiempo ejecución

ARF [s]

Distancia por

ARF

Distancia en

R.Grosso [6] % Diferencia

1 22.85 873.5 905.7 - 3.6

2 26.72 1321.9 1120.6 18.0

3 10.01 799.0 778.1 2.7

4 11.98 745.4 786.2 - 5.2

5 30.62 699.8 709.1 - 1.3

6 11.83 745.4 709.1 5.1

7 43.93 915.2 840.5 8.9

8 14.4 677.5 693.2 - 2.3

9 12.81 858.5 875.2 - 1.9

10 12.70 753.9 714.3 5.5

11 22.62 576.2 555.1 3.8

12 19.29 588.7 522.5 12.7

La inspección de los resultados recogidos en la tabla 130 podría conducir al lector hacia

un juicio negativo sobre el ARF, sin embargo estos resultados deben ser analizados de

forma crítica considerando la propia definición del algoritmo. En el apartado 7.1.4 se

optó por fijar el orden de aplicación de los palos del flamenco considerados en la



2015

implementación del ARF. De esta manera y siguiendo el contenido de la sección 5.4 se

daba por zanjada la definición del algoritmo, dando prioridad al establecimiento de un

orden de aplicación de dichos palos optimizado mediante una red de clientes específica

sobre la repetición del costoso proceso iterativo de extracción de un orden óptimo.

Ahora bien, la elección de dicho orden se realizó sobre las premisas de mejorar el

resultado que el ARF producía para la Red de Prueba descrita en la figura 19. Esto

implica que dicho orden compromete las posibilidades de optimización del algoritmo

para su aplicación a redes de clientes que difieren de esta última.

La decisión de cerrar la definición del ARF con la inclusión de un orden de aplicación

de los palos del flamenco se tomó considerando que la aplicación de este algoritmo,

que genera una estimación de la solución óptima sobre una variante simplificada del

VRP, debía realizarse en el menor tiempo de computación posible. No obstante, en esta

sección y con motivo de explorar el potencial completo de mejora del algoritmo

introducido, se ha definido una variante del mismo, el Algoritmo por los Ritmos del

Flamenco Adaptado, en la que se intenta optimizar el orden de aplicación de los palos

considerados para cada caso particular descrito en este apartado.

Tal y como se recoge en la sección 7.1.4, a la que se refiere al lector para una

descripción completa, la elección de un orden óptimo de aplicación de los cinco palos

del flamenco considerados en este proyecto pasa por la solución de un total de ciento

veinte posibles combinaciones en las que no se repite ninguno de los palos y la elección

de aquella que genera la distancia total mínima. A diferencia del procedimiento

seguido con anterioridad, el ARF Adaptado selecciona el orden de aplicación de los

palos que produce la máxima mejora tras la ejecución de un máximo de quince

iteraciones sobre la matriz de palos o hasta la convergencia a una estimación que no

puede ser mejorada por el algoritmo.

Como consecuencia de la adición de un bucle de mejora dentro del que se engloban

múltiples iteraciones en la ejecución del ARF Adaptado, en igualdad de condiciones de

potencia computacional, este algoritmo requiere tiempos de ejecución dos órdenes de

magnitud superiores a los resultantes por el ARF, lo que supone una significativa

disminución en la eficiencia computacional del algoritmo.

En la tabla 131 se recogen los resultados obtenidos tras la aplicación del ARF Adaptado a

las doce variaciones del problema resuelto en R.Grosso [6]. En esta tabla se ha incluido

el orden de aplicación de los palos extraído del bucle de optimización así como el

grado de mejora que se consigue sobre la aplicación directa del ARF. Nótese que los

números asignados a cada uno de los palos considerados (Soleá, Bulería, etc.) siguen la

notación descrita en la tabla 115. Adicionalmente, los tiempos de ejecución empleando

el equipo informático que se describe en la sección 7.1.2 y expresados en segundos se

han incluido también en la tabla 131.



2015

Tabla 131. Mejora en la solución de las variantes descritas en R.Grosso [6] con la aplicación del ARF Adaptado en comparación con el ARF.

Caso Orden palos Distancia por

ARF Adaptado

Distancia por

ARF % Mejora

1 [3 2 5 4 1] 832.3 873.5 4.7

2 [5 3 2 1 4] 1090.3 1321.9 17.5

3 [4 5 3 2 1] 754.9 799.0 5.5

4 [5 4 3 2 1] 699.8 745.4 6.1

5 [5 4 2 3 1] 699.8 699.8 0

6 [5 4 3 2 1] 699.8 745.4 6.1

7 [2 3 5 4 1] 821.2 915.2 10.2

8 [3 4 2 5 1] 670.1 677.5 1.1

9 [5 2 3 4 1] 848.3 858.5 1.2

10 [3 4 5 2 1] 745.4 753.9 1.1

11 [2 4 5 3 1] 555.7 576.2 3.6

12 [5 4 3 2 1] 562.7 588.7 4.4

En la totalidad de las variaciones, salvo un único caso, el ARF Adaptado consigue

mejorar la solución obtenida por el ARF. Sin embargo, el nivel de mejora es muy

reducido para justificar el acusado incremento en el tiempo de ejecución. La variación

en la que no se consigue mejora, respeta el orden respecto al fijado en el ARF. A partir

de estos resultados es posible concluir que la capacidad de optimización del ARF

presenta una gran sensibilidad a la elección de un orden de aplicación de los palos

considerados. Esta característica se debe fundamentalmente a la diferencia entre las

distintas operaciones de búsqueda local y el modo en el que cada una de éstas afecta y

predispone el espacio de candidatos estudiados por la operación que le sucede.



2015

La observación de los resultados permite comprobar que en todas las ocasiones, a

excepción de la variación número 2, el Fandango (palo 1) ocupa la última posición en el

orden óptimo. Recuérdese que este palo está constituido exclusivamente por la

operación Merge_mod, por lo que presenta una capacidad de mejora limitada y una alta

probabilidad de no producir cambios cuando el método se aproxima a una estimación

óptima local. Así, el orden óptimo de los palos prioriza la combinación de operaciones

diferentes, lo cual produce un avance en la optimización más pronunciado.

En la tabla 132 se recogen los tiempos de ejecución de los dos algoritmos propuestos

(ARF y ARF Adaptado) para recalcar el ahorro de tiempo que supone fijar el orden de

aplicación de los palos frente a la optimización de éste para cada caso.

Tabla 132. Comparativa de los tiempos de ejecución sobre las variantes descritas en R. Grosso [6] empleando el ARF y ARF Adaptado.

Caso Tiempo ejecución ARF Tiempo de ejecución por ARF

Adaptado

1 22.85 3043.0

2 26.72 3899.9

3 10.01 2066.9

4 11.98 2202.3

5 30.62 3439.1

6 11.83 3168.5

7 43.93 5038.0

8 14.4 1745.2

9 12.81 3021.8

10 12.70 2857.8

11 22.62 2599.4

12 19.29 3190.0



2015

Finalmente, la tabla 133 contiene una comparativa entre las soluciones generadas por el

algoritmo desarrollado en R.Grosso [6] y el ARF Adaptado. Siguiendo el patrón

observado en la tabla 130, puede observarse como este algoritmo es incapaz de

converger a la misma solución cuando el orden en el que se incluyen los vehículos en el

vector capacidad se ve modificado.

Tabla 133. Resultados de la aplicación del ARF Adaptado a las variantes resueltas en R. Grosso [6].

Caso Tiempo de ejecución

por ARF Adaptado

Distancia por

ARF Adaptado

Distancia en

R.Grosso [6] % Diferencia

1 3043.0 832.3 905.7 - 8.1

2 3899.9 1090.3 1120.6 - 2.7

3 2066.9 754.9 778.1 - 3.0

4 2202.3 699.8 786.2 - 11.0

5 3439.1 699.8 709.1 - 1.3

6 3168.5 699.8 709.1 - 1.3

7 5038.0 821.2 840.5 - 2.3

8 1745.2 670.1 693.2 - 3.3

9 3021.8 848.3 875.2 - 3.1

10 2857.8 745.4 714.3 4.4

11 2599.4 555.7 555.1 0.1

12 3190.0 562.7 522.5 7.7

Adicionalmente, los casos en los que el ARF Adaptado obtiene una mayor mejora, los

casos uno y cuatro, comparten idéntico vector capacidad mientras que en los casos en

los que existe un menor número de vehículos disponibles, problemas dos y siete, el

algoritmo produce distancias totales significativamente mayores. Sin embargo, es



2015

difícil extraer conclusiones válidas de estos resultados ya que en el caso 12, en el que

los vehículos de mayor tonelaje toman preferencia dentro del vector capacidad, se

produce el peor resultado en comparación con el método aplicado por R. Grosso [6].

Los resultados descritos en este apartado confirman la capacidad de mejora que

presenta el ARF y que fundamentalmente viene dada por el espacio de candidatos

considerados por las operaciones de búsqueda local. Sin embargo, la selección de un

orden fijo de aplicación de los palos del flamenco con objeto de reducir el tiempo de

computación, implica que dicha capacidad de mejora se vea ligeramente acotada. El

ARF Adaptado ha sido introducido como alternativa para contrarrestar dicha limitación

sacrificando el tiempo de ejecución. Con este último algoritmo, se han alcanzado con

éxito aproximaciones a la solución óptima cuya eficacia equipara e incluso supera la de

otros métodos de optimización por búsqueda local de uso extendido.



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8. CONCLUSIÓN

La última sección del documento se divide en dos apartados diferenciados. En el

primer punto se incluye una recopilación de los pasos llevados a cabo durante la

elaboración del proyecto mediante la descripción de cada una de las fases realizadas. El

segundo apartado contiene un comentario crítico sobre los métodos aplicados y los

resultados alcanzados en este proyecto, así como las limitaciones y virtudes del

algoritmo diseñado. Además, en esta sección se realizan algunas propuestas de trabajo

futuro para ampliar el campo de investigación de este trabajo.

8.1. Resumen

En este proyecto se ha desarrollado un algoritmo de optimización de búsqueda por

trayectoria basado en las representaciones cronotónicas de los compases que

identifican los principales palos del flamenco. La heurística diseñada ha sido empleada

para la resolución de una particularización simplificada del problema de enrutado de

vehículos, VRP. Esta metodología engloba la aplicación de diferentes operaciones de

búsqueda local sobre soluciones transitorias hasta la convergencia a una estimación de

la solución óptima dentro del conjunto de soluciones admisibles.

En primer lugar, se ha realizado una introducción al género musical del flamenco.

Partiendo de la definición de tiempo y compás se ha introducido el concepto de palo

flamenco y se han descrito las variantes dominantes en el arte flamenco tradicional y

contemporáneo. A continuación, se ha desarrollado el concepto de distancia

cronotónica con objeto de representar gráficamente el compás de los palos flamencos.

La sección dedicada a este género musical finaliza con una selección de los cinco palos

más influyentes del flamenco y sus respectivas representaciones cronotónicas, las

cuales han sido empleadas en la heurística desarrollada.

En el capítulo siguiente se estudia el problema resuelto en este proyecto, el VRP o

problema de enrutado de vehículos. En esta sección se definen las motivaciones y

aplicaciones que llevaron al originario planteamiento del VRP, los elementos

matemáticos imprescindibles que componen el problema y las principales variantes del

mismo, así como algunos de los métodos empleados para su resolución, que han sido

propuestos en la literatura académica por diversos autores.

Los distintos enfoques algorítmicos existentes se han agrupado en métodos exactos,

formulados como modelos de programación lineal; métodos heurísticos, que permiten

obtener soluciones adecuadas en un tiempo más reducido; y los métodos

metaheurísticos, algoritmos de optimización global basados en la observación de

procesos físicos y naturales.



2015

La memoria continúa con la particularización del VRP que se ha empleado como caso

de estudio para evaluar el rendimiento del nuevo algoritmo basado en los compases

flamencos. Para la misma se ha simplificado del problema de enrutado de vehículos

con restricciones de capacidad, CVRP, para incluir un único depósito o almacén y

varios clientes.

Tras la descripción de los elementos constitutivos del problema planteado y de las

características y restricciones que acotan los posibles resultados, se ha trasladado la

descripción del mismo al dominio matemático, recogiendo las ecuaciones que lo

modelan. Estas últimas incluyen las variables utilizadas, la función objetivo de

minimizar la distancia total recorrida por la flota de vehículos y las restricciones del

problema. Al final de la sección, se recopilan todas estas ecuaciones que completan la

formulación matemática global del problema estudiado.

El quinto capítulo del documento desarrolla el Algoritmo por Ritmos del Flamenco,

ARF, objeto principal de este proyecto. Inicialmente, se explica la relación establecida

entre la representación cronotónica de los palos del flamenco y la heurística diseñada.

Esta representación gráfica de los palos flamencos ha sido elegida dado que permite

establecer un vínculo entre el valor de cada distancia cronotónica con una operación de

búsqueda local diferente, dando pie a la definición de una heurística a partir de las

mismas. Una vez descrita la relación entre la heurística de optimización y los ritmos

del flamenco, se describen las dos heurísticas empleadas por el ARF para la

determinación de una solución inicial admisible.

Al tratarse el ARF de un algoritmo de búsqueda local, la extracción de la solución

inicial se ha planteado como una heurística independiente que puede entenderse como

paso previo que condiciona el problema para iniciar la optimización. Las dos variantes

creadas para determinar la solución de partida han sido la heurística de mínima

distancia y la heurística de demanda máxima. La primera está orientada a optimizar la

función objetivo mientras que la segunda se ha creado para ser utilizada en aquellos

casos en que la heurística de mínima distancia no converge en una solución factible.

El ARF integra cuatro operaciones de búsqueda local diferentes, estas se han

identificado con cada uno de los cuatro valores que puede tomar la distancia

cronotónica entre dos acentos consecutivos del compás de un palo flamenco. En el

subapartado dedicado a las operaciones, se describe la lógica de asignación de cada

una de ellas a un valor determinado de distancia en función del grado de alteración

que introducen sobre la solución candidata a la que se aplican.

Adicionalmente, se han detallado los movimientos de clientes entre rutas que ejecutan

dichas operaciones en busca de una mejora en la función objetivo. El quinto capítulo de

este documento culmina con la descripción exhaustiva del Algoritmo por Ritmos del

Flamenco en función de una combinación de los cinco palos de flamenco considerados

que es tomada como única entrada al algoritmo. El proceso de optimización ha sido



2015

ilustrado mediante un diagrama de flujo.

En la siguiente sección se introducen los parámetros y variables que se han utilizado

para la implementación en Matlab del ARF, empleando un enfoque metódico en el que

se ha buscado optimizar el tiempo de ejecución por medio de la prevención de la

ejecución de operaciones improductivas repetitivamente. En esta sección también se ha

descrito la implementación de las diferentes heurísticas de determinación de la

solución inicial admisible. Seguidamente, se incluyen las funciones y secuencias de

comandos creadas en el lenguaje de programación Matlab para modelar y resolver los

casos particulares objeto de estudio.

Con el ARF definido y empleando la implementación en Matlab, el último capítulo del

documento recopila los resultados generados por este algoritmo al ser aplicado sobre

diferentes redes particulares de CVRP y la comparación de los mismos frente a

algoritmos propuestos por otros autores dentro del mismo campo de estudio.

Este capítulo comienza con una descripción paso a paso de la implementación del

algoritmo sobre una Red de Prueba simplificada. Esta Red de Prueba ha sido empleada

como herramienta para comparar las heurísticas de solución inicial y ejemplificar la

necesidad de definir una heurística de demanda máxima que permita generar una

solución admisible en casos desfavorables para la aplicación de la heurística de

distancia mínima. Adicionalmente, la Red de Prueba ha sido empleada para comparar

la capacidad de cada una de las cuatro operaciones de búsqueda local introducidas

para avanzar hacia una estimación de una solución óptima.

Dado que el ARF debe nutrirse de codificaciones binarias de los compases de diferentes

palos del flamenco en su ejecución, la Red de Prueba ha permitido estudiar de manera

aislada el avance en la optimización que supone la aplicación sobre la misma solución

inicial de partida, del ARF particularizado a cada uno de los palos del flamenco

considerados. Este estudio ha continuado con la optimización de la secuencia en la que

dichos palos son introducidos en el desarrollo del ARF. De esta manera, se ha tomado

como orden característico de ejecución de los palos, la combinación de entre todas las

posibles que ha generado la solución de menor distancia sobre la Red de Prueba.

Una vez fijado el orden de ejecución de los cinco palos del flamenco incluidos en el

ARF, este algoritmo ha quedado definido de forma autónoma y carente de entradas

ajenas a la red de nodos que se desea optimizar. La subsección dedicada a la Red de

Prueba concluye con la aplicación del algoritmo autónomo o final sobre esta última,

incluyendo los pasos y resultados intermedios obtenidos hasta la generación de una

solución cercana a la solución óptima para diferente número de iteraciones del

algoritmo.

Con el ARF completamente definido y en el marco de comparar la eficacia del mismo

con un método de optimización por búsqueda local de naturaleza semejante, en el

último capítulo de este documento se ha aplicado el algoritmo sobre doce variantes



2015

definidas a partir de una red de clientes común en R.Grosso [6]. Los problemas

resueltos se caracterizan por la introducción de una penalización de distancia para los

vehículos de mayor capacidad y la variación del orden en el que se define el vector que

contiene las capacidades de estos últimos.

La inclusión de una penalización por distancia ha requerido la adaptación del ARF, los

detalles de la cual se han omitido por razones de claridad, para realizar una

comparativa de resultados en igualdad de condiciones. La aplicación del ARF ha

producido estimaciones de las rutas óptimas muy próximas a los resultados recogidos

en el documento original.

Con el objetivo de explorar el potencial de mejora ofrecido por las operaciones de

búsqueda local incluidas en el ARF sacrificando el tiempo de ejecución del algoritmo,

se ha introducido el ARF Adaptado. Este nuevo algoritmo se diferencia del ARF por la

inclusión de un bucle interno de optimización del orden de aplicación de los palos del

flamenco considerados para cada uno de los problemas resueltos para el número

máximo de iteraciones permitidas sobre la matriz de palos. La inclusión de dicho bucle

ha perjudicado considerablemente el tiempo requerido para la aplicación del algoritmo

a cambio de generar una mejora marginal sobre la estimación de la solución óptima

que respalda aunque no justifica la inclusión de este grado de complejidad. El capítulo

culmina con la discusión crítica de los resultados obtenidos así como la comparativa

entre las estimaciones producidas por los distintos métodos incluidos.

8.2. Discusión

En este Proyecto Fin de Carrera se ha desarrollado un algoritmo de optimización que

genera soluciones cercanas al óptimo para un caso simplificado del problema de

enrutado de vehículos, VRP. A la hora de implementar un algoritmo basado en los

compases de los palos del flamenco, ha sido necesario tomar decisiones y descartar

alternativas que han conducido a los resultados aquí presentados. A continuación, se

ofrece un comentario crítico referido a los aspectos que constituyen el núcleo de este

proyecto con la inclusión de propuestas para trabajo futuro en esta disciplina.

Sobre la representación cronotónica:

Existen múltiples representaciones gráficas diferentes para los compases de los palos

del flamenco que no han sido incluidas en esta memoria por haber resultado

irrelevantes para el desarrollo del algoritmo. Estas últimas son empleadas con

frecuencia para comparar características rítmicas de los distintos subgéneros flamencos

y en su mayoría describen el compás de un determinado palo indicando la posición de

los acentos y los tiempos sin acentuar.

En la representación cronotónica, sin embargo, se refleja el tiempo entre acentos. Es

decir, se representa el tiempo transcurrido desde que se produce un acento hasta que



2015

se alcanza el siguiente, denominando este intervalo distancia cronotónica. Si bien la

distancia cronotónica debe entenderse como un concepto rítmico, que describe una

sección suave en la música flamenca entre acentos consecutivos, en este proyecto se ha

tomado ventaja de que constituye una caracterización numérica de cada palo.

La sucesión de distancias cronotónicas característica de cada subgénero se ha traducido

en una serie de comandos u operaciones asociados a cada uno de los valores que toma

dicha distancia. Sin embargo, la asignación de operaciones a diferentes valores de esta

distancia no ha sido aleatoria y se ha establecido una relación entre el tiempo que

transcurre entre un cambio de ritmo y el grado de modificación producido por una

operación de búsqueda local. En otras palabras, se ha establecido una relación de

tiempo-complejidad entre distancias cronotónicas y operaciones de búsqueda local.

Hubiera sido posible en este punto enfocar la relación de una manera diferente,

considerando por ejemplo un análisis estadístico del modo en el que los valores de

distancia cronotónica se suceden, para ligar los valores más frecuentes con sucesiones

de operaciones que realizan un estudio amplio del conjunto de candidatos entorno a la

solución local.

Sobre el VRP:

El estudio del Problema de Enrutado de Vehículos, VRP, constituye un tema de

complejidad tan elevada que en muchas ocasiones es considerado una disciplina

independiente dentro del ámbito de la optimización sujeta a restricciones. En este

proyecto se ha considerado una variante simplificada del CVRP, por lo que no se han

considerado condiciones adicionales como la existencia de ventanas de tiempo en las

que los clientes pueden ser visitados, rutas prohibidas, objetivos de minimización de

coste o condiciones de tráfico de vehículos entre otros. Por ello, a pesar de haber

ofrecido una visión limitada del VRP, esta decisión ha permitido centrar el proyecto en

el desarrollo del algoritmo, partiendo de la búsqueda de un nexo de unión entre el

flamenco y los métodos de búsqueda por trayectoria.

El ARF emplea un mecanismo de búsqueda por trayectorias de soluciones admisibles

para estimar una solución cercana a la óptima partiendo de una solución inicial. Esto

implica que la extensión de este método para incluir un mayor número de restricciones

podría elevar la complejidad del algoritmo implementado, por lo que podría resultar

ventajoso considerar la exploración de soluciones no admisibles con la inclusión de

funciones de penalización a minimizar que garanticen la convergencia a una solución

admisible.

Sobre los palos del flamenco:

Se han elegido los cinco palos que se consideran más representativos del flamenco por

su importancia histórica dentro del género musical. Aumentar el número de palos

considerados por el algoritmo permitiría explorar nuevas sucesiones de operaciones de

búsqueda local. Sin embargo, esta opción ha sido descartada al existir únicamente



2015

cuatro posibles valores de distancia cronotónica entre los acentos de los palos

flamencos. Es decir, la adición de nuevos palos seguiría limitada por la aplicación en

exclusiva de cuatro operaciones de búsqueda local.

En este proyecto se han considerado palos de doce tiempos, ya que no sólo constituyen

los palos principales, sino que dan más juego a la hora de combinar operaciones de

búsqueda. Sin embargo, la riqueza del género flamenco hace posible que se pudiera

considerar un estudio apoyado en palos de cuatro tiempos, modificando ligeramente el

algoritmo, para comparar los resultados y tiempos de ejecución con los palos de doce

tiempos.

Sobre las heurísticas de búsqueda de una solución inicial:

El proceso de obtención de la solución inicial, necesaria para comenzar las iteraciones

del ARF, se ha llevado a cabo mediante dos heurísticas distintas. La primera de éstas se

ha desarrollado atendiendo a una lógica de buscar las rutas de mínima distancia. La

segunda, de mayor robustez, evita el fracaso en la búsqueda de una solución inicial en

el caso de que las condiciones de demanda y flota fueran conflictivas. La ventaja de

haber desarrollado una segunda heurística para aquellos casos en que la primera no

produzca una solución factible, ha sido garantizar la obtención de una solución inicial,

requisito fundamental para aplicar el algoritmo adecuadamente.

Una observación clave en este proyecto ha sido la dependencia de la mejor solución

obtenida respecto a la solución de partida. Por ello, se ha dado prioridad al empleo de

la heurística de mínima distancia para la obtención de una solución inicial. Esta

dependencia podría ser contrarrestada mediante la introducción de una operación de

ruptura si la búsqueda local avanzara lentamente. Esto podría entenderse como

introducir una pausa en el algoritmo y ejecutar de nuevo una rutina de solución inicial

que desplazara el problema a un nuevo punto de partida en la optimización y generase

una solución de partida diferente a la obtenida inicialmente.

Sobre las operaciones de búsqueda local:

Se han implementado cuatro operaciones diferentes, asociadas a los cuatro valores que

puede tomar la distancia cronotónica en el compás de un palo flamenco. La elección de

estas operaciones está ligada a la diferencia entre la cantidad de clientes que cada una

de ellas es capaz de desplazar dentro de las rutas. De esta manera, es posible tener

cuatro operaciones de diferente magnitud permitiendo la asignación de cada una de

ellas a un valor de la distancia cronotónica.

En los casos estudiados, ha sido posible observar diferencias notables en la capacidad

que cada una de las operaciones introducidas posee para generar una mejora sobre la

solución inicial. Así, se puede afirmar que la operación Merge_mod, que introduce el

mayor número de clientes de una ruta al final de otra ruta, es la operación menos

susceptible de introducir un cambio sobre la solución inicial. Para entender este

fenómeno es necesario recurrir a la combinatoria, si se considera el espacio analizado



2015

por cada una de las operaciones de búsqueda definidas, aquellas que estudian un

espectro más amplio de candidatos son aquellas que han ofrecido mayor rendimiento

al mejorar la calidad de la solución de partida.

Esta característica ha sido reforzada por los algoritmos de obtención de una solución

inicial admisible, que han sido creados de manera independiente a las operaciones y no

orientados a condicionar el problema para que determinadas operaciones alcancen un

mayor avance en la optimización. En futuros trabajos en los que se consideren

variantes de las operaciones aquí descritas, se propone modificar las operaciones

menos productivas para mejorar su rendimiento.

De esta manera, podría modificarse la operación Merge_mod para que la adición de

clientes a una ruta se realice colocando éstos en una posición óptima dentro de la

misma, en lugar de imponer su adición al final de la ruta destino. Además, para

asegurar la posibilidad de trasladar el mayor número de clientes, los candidatos se han

desplazado uno a uno, empezando por el cliente con menor demanda. En el futuro, se

podría estudiar la opción de añadir estos clientes en un orden diferente, empezando

por el cliente más alejado del resto de clientes de la ruta de origen.

Sobre el Algoritmo por Ritmos del Flamenco (ARF)

Como todo método de optimización por búsqueda de trayectoria, la capacidad del ARF

para encontrar una solución razonablemente buena dentro del conjunto de posibles

candidatos esta en gran medida condicionada por la exhaustividad con la que el

algoritmo puede analizar el conjunto de candidatos a mejor solución obtenida. En este

sentido, la implementación del ARF descrita en este proyecto presenta dos grandes

inconvenientes.

En primer lugar y como ya se ha mencionado, el algoritmo está altamente

condicionado por la solución inicial. Es decir, una vez definida esta última, el proceso

de optimización se basa en una búsqueda local centrada en la misma. Para extender el

algoritmo, tal y como se ha dicho, podría modificarse bruscamente la solución inicial

para reiniciar las iteraciones sobre esta nueva solución, ampliando así las posibilidades

de mejora

Adicionalmente, empleando los resultados sobre la Red de Prueba de todas las

combinaciones posibles de los cinco palos considerados sin repetición de los mismos,

se ha fijado un orden de aplicación de los palos dentro del ARF con el objeto de reducir

el tiempo de ejecución requerido para la extracción de una estimación cercana a la

óptima. En consecuencia, este orden distaría de alcanzar la mejor solución posible en

su aplicación sobre diferentes redes, tal y como se ha mostrado mediante la resolución

de los casos particulares de VRP incluidos en R. Grosso [6] aplicando el ARF.

En el último capítulo de este documento y con el objeto de superar esta última

limitación se ha añadido el ARF Adaptado. Éste es un algoritmo que incluye un bucle de

optimización para la selección de un orden de ejecución de los palos del flamenco que



2015

genera una estimación de distancia total mínima sobre el número límite de iteraciones

permitidas sobre la matriz de palos. El elevado coste computacional de la inclusión de

dicho bucle, evidenciado por el incremento en los tiempos de ejecución, ha quedado

justificado por una significativa mejora de las estimaciones óptimas alcanzadas por el

algoritmo.

Sobre la implementación del ARF en Matlab:

Para la implementación del algoritmo se ha optado por el lenguaje M, utilizando la

herramienta Matlab para su ejecución. El código incluido en este proyecto presenta un

carácter altamente metódico en la implementación de las operaciones de búsqueda

local. Se podrían comparar en futuros análisis los resultados obtenidos implementando

los pasos del algoritmo en Matlab, con los obtenidos con los métodos de programación

lineal entera que resuelven las ecuaciones del modelo matemático u otros métodos de

búsqueda centrados en el análisis del gradiente de la función objetivo.

A la hora de implementar las operaciones de búsqueda, se ha introducido un vector

que previene la ejecución de operaciones que ya han demostrado no producir mejora

sobre la solución transitoria. Con esto se ha conseguido mejorar la eficiencia del

algoritmo de búsqueda, sin embargo no se han introducido condiciones para evitar el

estudio de movimientos dentro de una operación que ya han sido descartados en el

paso inmediatamente anterior. Esta técnica permitiría reducir los tiempos de ejecución

sobre redes con un gran número de nodos.

Sobre la aplicación del ARF a las variantes recogidas en R. Grosso [6]:

La efectividad del algoritmo creado en este proyecto ha sido evaluada en comparación

con los resultados expuestos en R. Grosso [6]. En esta referencia se describen una serie

de variaciones sobre un problema modelo incluyendo penalizaciones de distancia

sobre los vehículos de mayor capacidad y alteraciones en el orden de procesado de los

vehículos y clientes.

La aplicación del ARF sobre dichos problemas ha revelado que la eficacia de este

algoritmo está ligada al número de vehículos de reparto disponible. Dada la naturaleza

de las operaciones de búsqueda local introducidas, la existencia de un mayor número

de vehículos permite la exploración de un conjunto más amplio de soluciones

candidatas. De esta manera, en las variantes caracterizadas por una reducción en el

número de vehículos, el ARF converge a una distancia total significativamente más

elevada que los resultados extraídos por R. Grosso [6].

Adicionalmente, la sensibilidad de los resultados obtenidos mediante el ARF con

respecto a la solución inicial ha sido evidenciada por la convergencia a soluciones

diferentes para casos cuyo único rasgo distintivo es el orden en el que los vehículos son

almacenados en el vector de capacidades. Este resultado resalta nuevamente una

severa limitación que inherentemente afecta a las heurísticas de optimización por



2015

búsqueda local.

La limitación de la capacidad de minimización impuesta por la elección de un orden de

ejecución de los palos de flamenco considerados dentro del ARF ha sido mitigada en la

resolución de estos problemas mediante la introducción del ARF Adaptado. Este último

algoritmo ha propiciado un marcado incremento en el tiempo de computación

requerido pero al mismo tiempo ha extendido de manera significativa la capacidad de

mejora local, minimizando la distancia total en todas aquellas variantes en las que el

orden de aplicación de los palos del flamenco ha sido variado respecto al elegido sobre

la Red de Prueba.



2015

9. BIBLIOGRAFÍA

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