DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL: UNA PROPUESTA DE...

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DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL:

UNA PROPUESTA DE AULA EN EL CAMPO DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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Autores: ROBERTO ANDRÉS GUTIÉRREZ URIBE 20081145061

JORGE ENRIQUE BULLA AFANADOR 20081145053

Trabajo de grado para optar por el título de:

Licenciado en educación básica con énfasis en matemáticas

Monografía Tipo I

Universidad Distrital Francisco José de caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular Licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas

Bogotá D.C Noviembre Del 2013

III



Autores: ROBERTO ANDRÉS GUTIÉRREZ URIBE 20081145061

JORGE ENRIQUE BULLA AFANADOR 20081145053

Director: Jorge Rodríguez Bejarano

Trabajo de grado para optar el título de:

Licenciado en educación básica con énfasis en matemáticas

Monografía Tipo I

Universidad Distrital Francisco José de caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular Licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas

Bogotá D.C Noviembre Del 2013

4

Agradecimientos

A nuestros padres.

5

Índice

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………………….........7

CAPÍTULO 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA………………………………………………………………8

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN………………………..9

OBJETIVOS………………………………………………………………………………………………………………………………..10

Objetivo general

Objetivos específicos

CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA……………………………………………………………………………………………11

ETAPA PREPARATORIA

ETAPA TRABAJO DE CAMPO

ETAPA INFORMATIVA

CAPÍTULO 3. DIMENSIONES TEORICAS…………………………………………………………………….13

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA……………………………………………….14

CATEGORÍAS BÁSICAS PARA EL DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL.22

CAPÍTULO 4.DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES Y GUÍAS DE TRABAJO……………26

ACTIVIDAD 1……………………………………………………………………………………………………………………………..27

Representaciones del espacio desde dos momentos de la historia

ACTIVIDAD 2…………………………………………………………………………………………………………………………….32

Reflexión en las construcciones del espacio

ACTIVIDAD 3…………………………………………………………………………………………………………………………….36

Elementos de la geometría descriptiva encaminada hacia las vistas y proyecciones.

ACTIVIDAD 4…………………………………………………………………………………………………………………………….45

6

Objetos tridimensionales en planos bidimensionales

ACTIVIDAD 5……………………………………………………………………………………………………………………………..51

Observación, construcción y representación a través de los sólidos platónicos.

ACTIVIDAD 6……………………………………………………………………………………………………………………………60

Proyecciones múltiples: Representación de formas tridimensionales en diferentes

planos.

CAPÍTULO 5.ANÁLISIS DE DATOS……………………………………………………………………………….64

ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1………………………………………………………………………………………….65



ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 4…………………………………………………………………………………………79



CAPÍTULO 6.CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………100

Bibliografía, Hemerografía, Cibergrafia General y/o Específica

7

INTRODUCCIÓN

La presente investigación pretende generar la posibilidad de desarrollo de

pensamiento espacial a partir de trabajo escolar en el campo de la Geometría

Descriptiva. En consecuencia, la problemática que se va a abordar y que guiará las

decisiones del grupo está orientada por la siguiente pregunta: ¿Qué aspectos de la

geometría descriptiva, serán los indicados para el desarrollo del pensamiento

espacial en niños de grado quinto? De esta manera queremos pronunciarnos acerca

de la conveniencia de incluir este objeto matemático al currículo de la educación

básica y media, evidenciando en la densidad del campo, tres conceptos claves para

la iniciación de esta disciplina, a saber: perspectiva, proyección y profundidad.

De manera global, el capítulo primero abarca los referentes legales y teóricos para

la construcción del problema de investigación, esto dará paso a la indagación sobre

el estudio del desarrollo del pensamiento espacial. En el capítulo número dos

buscamos a priori, la forma de planificar las acciones de los estudiantes frente a

las actividades planteadas por el grupo de investigación, esto, con ánimo de

recolectar información que nos permita relacionarla con procesos del pensamiento

espacial. En el tercer capítulo se resume la importancia de los trabajos realizados

con el proceso de manejar bidimensionalmente un espacio tridimensional

resaltando algunos conceptos que se tendrán en cuenta para el desarrollo de las

actividades. En los capítulos cuatro y cinco se sintetiza la elaboración de las

actividades y algunas muestras significativas en el proceso de evolución en el

pensamiento espacial. Por último, en el capítulo seis planteamos la conveniencia de

profundizar en el estudio del espacio en edades tempranas.

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CAPÍTULO 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

El pensamiento espacial constituye una parte importante del pensamiento matemático,

ya que hace referencia a la percepción intuitiva o racional del individuo respecto a su

entorno y a los objetos que en él encuentra (Ministerio de Educación Nacional [MEN],

2002).A su vez, este pensamiento está definido como “… el conjunto de los procesos

cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones

mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y

sus diversas traducciones o representaciones materiales” (MEN, 2002, p. 61).

Gardner (1998) “comenta que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento

científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje

y en la resolución de problemas. Además, plantea que:

“El manejo de información espacial ayuda a resolver problemas de ubicación,

orientación y distribución de espacios, es peculiar a esas personas que tienen

desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la mayoría de las profesiones

científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las

ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física,

matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia

espacial(p. 38)”.

Por otra parte, Yáñez (1986) plantea que la imaginación espacial se enriquece y se

potencia con experiencias espaciales reales, pero que al situarse en el ámbito de la

enseñanza de la Geometría Descriptiva se puede observar que la mayor parte de la

cultura espacial que se ofrece al alumno es insuficiente por ser el producto en su

mayoría de imágenes planas.

De acuerdo con las Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 2007) cuando

hacemos referencia los objetos físicos, es necesario enfatizar en las

representaciones gráficas y simbólicas de estos, teniendo en cuenta su localización,

posición, formas y modificaciones que estas representaciones puedan tener. Al

respecto, Yáñez (1986) comenta que mediante la reducción de lo tridimensional a lo

bidimensional, las figuras planas de la Geometría Descriptiva se convierten en los

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sustitutos de las formas espaciales. Así, mediante la representación se puede actuar

simbólicamente sobre la realidad espacial.

De esta forma Maslow (1970, citado por Carretero, 2001, p. 36), plantea que “en el

proceso de aprendizaje es necesario contar además con elementos que ayuden a

convertir al estudiante en participe de su propio proceso (sic)”. Consideramos que uno

de esos elementos planteados por Maslow, podría ser la introducción de la Geometría

Descriptiva, pues la posibilidad de estudiar los poliedros platónicos, con modelos

geométricos tangibles y con transformación de lo espacial a lo plano, podría generar

participación estudiantil, y con ella, desarrollo de pensamiento espacial.

En relación a la enseñanza de la Geometría Descriptiva, Sert (1983 Citado por Yáñez,

1986, p. 4) comenta la importancia de los recursos didácticos:

“En la geometría descriptiva es necesario el proceso de aprendizaje a partir de

lo real concreto antes de alcanzar su representación desde la cual se puede

manipular la realidad simbólicamente. Yo sugeriría que se empezase a trabajar

con las dos manos, construyendo volúmenes completos, concibiendo espacios

desde adentro hacia afuera. Este sistema consiste en desarrollar el trabajo en

forma de modelos tridimensionales antes de realizar algún tipo de dibujo sobre

el tablero”.

En consecuencia con las afirmaciones expuestas, se ha considerado generar tipos de

competencias que lleven al desarrollo del pensamiento espacial para una mejor

comprensión y valorización de nuestro entorno (Ortiz M, 1999),evidenciando la

importancia de verla Geometría Descriptiva como una herramienta didáctica

indispensable para desarrollar los sistemas de representación y potenciar la

concepción espacial (Carretero 2001). No obstante esa importancia, de este campo

matemático ha sido excluido tanto de los estándares de matemáticas como de los

lineamientos curriculares de la Básica Secundaria, incluso, como plantea Yáñez (1986,

p. 6) no se involucra en el desarrollo del pensamiento espacial:

“Después de haberse constatado el fracaso de una enseñanza secundaria en

exceso abstracta particularmente en el área donde se inserta la enseñanza de

la geometría, parece necesario recordar lo que en muchas ocasiones se ha

propugnado, que es la necesidad de impulsar, no solo una didáctica activa, sino

también heurística, es decir, que permita llegar al alumno por sí mismo a

conocimientos espaciales mediante situaciones presentadas hábilmente por el

profesor. En este sentido se ha de pretender desarrollar la intuición espacial”.

10

Los pronunciamientos anteriores constituyen argumentos suficientes para afirmar la

conveniencia de incluir este objeto matemático al currículo de matemáticas, además,

para recuperar el sentido espacial intuitivo que se ha olvidado mediante la matemática

moderna, como lo sugieren los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998).

A partir de las consideraciones anteriores, la pregunta que aborda la monografía es:

¿Qué aspectos de la geometría descriptiva han de considerarse en una propuesta de enseñanza que pretenda el desarrollo de pensamiento espacial?

Responder a esta pregunta, exige abordar otras asociadas. Estas son:

¿De qué manera se puede realizar una secuencia de actividades en la que los

estudiantes de grado quinto logren hallar coherencia y significado a la aplicación en la

geometría descriptiva?

¿Qué configuración habría de tener una situación fundamental que permita abordar

aspectos de la Geometría Descriptiva?

Nuestro objetivo principal para con la monografía es evidenciar la posibilidad de

desarrollo de pensamiento espacial a partir de trabajo escolar en el campo de la

Geometría Descriptiva, por consiguiente, identificamos aspectos que se deben tenerse

en cuenta para logar dicho objetivo, estos son:

Diseñar una secuencia de actividades que tiene como fin propiciar el desarrollo

de pensamiento espacial, a través del trabajo en el campo de la geometría

descriptiva.

Concebir estrategias didácticas que permitan desarrollar argumentos en la

toma de decisiones por parte de los estudiantes.

Promover la resolución de problemas hacia el trabajo individual y grupal,

orientado a la comprensión del campo geométrico.

11

CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA

Para la elaboración del siguiente trabajo de grado, y lograr objetivos propuestos,

se expondrá de manera genérica las características y componentes de dicha

metodología, esto con ánimo de referir las acciones de planificación, ejecución, y

sistematización de las situaciones trabajadas con los estudiantes de quinto grado.

Para efecto de este proyecto, se explicita la correlación de la metodología con los

datos a analizar e interpretar de acuerdo a los planteamientos de las situaciones

abordadas. Inicialmente abra un momento de preparación, luego el trabajo de

campo (donde se observarán las acciones de los estudiantes), seguido a esto, un

proceso analítico, para terminar, se concluye con un informe sobre los datos

relevantes (Miles y Huberman, 1994).

En los primeros momentos abordamos la pregunta ¿Qué aspectos de la geometría

descriptiva, serán los indicados, para el desarrollo del pensamiento espacial en

niños de grado quinto? Para responder a ella, nos preguntamos qué aspectos del

pensamiento espacial se trabajan en grado quinto. Encontramos que en los

estándares básicos de competencias en matemáticas (MEN, 2002), se plantea que

los estudiantes de grado quinto deben construir objetos tridimensionales a partir

de representaciones bidimensionales y realizar el proceso inverso, en contextos de

arte, diseño y arquitectura. En el trabajo de campo se hará la recolección de datos

en el espacio de formación, van encaminados a grabar las sesiones para determinar

los procedimientos analíticos e interpretativos que hacen los estudiantes del

campo geométrico, además, se realizará, para los casos pertinentes; entrevistas

estructuradas, las cuales permitirán focalizar aspectos relevantes de las

situaciones aplicadas. Por último, los informes verbales evidenciarán el tipo de

representación a la que hacen referencia los estudiantes.

En la etapa analítica se identifican tres características, las cuales son: reducción

de datos, disposición y transformación de datos. Para la planificación de las

actividades se tendrán en cuenta cuatro aspectos, la vida cotidiana, lo que

preocupa a la gente, experiencias concretas que resultan significativas, el

contraste con otros especialistas y la lectura de trabajo de otros investigadores, y

de esta manera, lograr las actividades que serán planteadas a los estudiantes de

grado quinto, durante el desarrollo de la investigación. Seguido a esto, la obtención

de resultados y verificación de conclusiones. Para lograr esta etapa, se crearán

categorías de análisis, estas irán dirigidas a la construcción del pensamiento

espacial por medio del trabajo de campo en la geometría descriptiva, teniendo en

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cuenta los aspectos de semejanza y congruencia de figuras tridimensionales a

bidimensionales, y de esta forma obtener las evidencias y así poder observar de

una manera más precisa, lo construido por los estudiantes. Por último en la etapa

informativa se elaborará un informe cualitativo en el que se presentará los datos

sistemáticamente que apoyen el caso del investigador y refute las explicaciones

alternativas. En esta etapa se mostrará si los objetivos y preguntas propuestas en

la investigación realmente fueron cumplidos exitosamente.

13

CAPÍTULO 3. DIMENSIONES TEORICAS

EL PADRE DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA: GASPARD MONGE

Beaune, Francia, 1746-París, 1818

Se refiere el trabajo de Mongue, porque en este puede inferirse la importancia que

existe al manejar el espacio tridimensional en un plano bidimensional y viceversa, por

lo tanto, pensamos que retomar sus vivencias y su doctrina permitirá reflejar las

habilidades en la trasformación del espacio. Se hará un recorrido histórico para

reflexionar sobre un campo del conocimiento que debe tomar más fuerza en las

generaciones futuras.

Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo

(siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas

de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de

representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos,

métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que

constituyen los inicios de la geometría descriptiva, siendo el sistema diédrico el más

célebre de todos ellos. Un año después de ingresar en la escuela, le encargaron

desenfilar una posición en un terreno accidentado. (Desenfilar una posición es

protegerla del fuego enemigo). Monge aplicó los métodos geométricos que había

desarrollado y resolvió el problema con extraordinaria rapidez. Monge tuvo que

explicar a sus profesores el método de resolución y esto le valió el reconocimiento.

Bossut, que era profesor de Matemáticas, le nombró répétiteur' (una especie de

profesor individual de alumnos) de matemáticas, y cuando Bossut fue designado

examinador de alumnos de ingenieros, Monge ocupó su plaza. Esto ocurrió el 1 de enero

de 1769.

Al afirmarse el cristianismo, tanto la pintura mural como el tablón buscan producir

efectos para atraer fieles. En la edad Media se desarrolla la pintura sobre vidrio,

conocida ya en la época romana. Hacia el siglo XIV aparecen las primeras obras

pictóricas de carácter profano, caballeresco, cortesano y aún político; en el siglo XV

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empieza a desarrollarse la pintura sobre tela. En el renacimiento se descubre la

perspectiva, entendida ésta como la representación racional del espacio (o

representación de la tercera dimensión en una superficie plana); se desarrolla

también el interés por la representación de la acción del movimiento y en

consecuencia, el estudio de la anatomía. Desde el punto de vista técnico, los flamencos

introducen la pintura al óleo ya que gracias a la mezcla más suave y brillante, permite

desarrollar grandes variaciones de luminosidad.

En el siglo XVI, en Venecia, nace la pintura tonal que se basa en las relaciones entre

los colores y la diversidad de intensidad luminosa que en la perspectiva y el claroscuro.

En el siglo XIX, los impresionistas también se basan en el color, que parece disolver la

forma para crear un universo unitario y luminoso.

A partir del siglo XX, la pintura abandona las formas naturales y busca representar la

realidad a través del cilindro, el cono y la esfera: nace así el cubismo. Después de la

Primera Guerra Mundial se impone la más audaz y discutida corriente: la abstracta,

que desarrolla las formas figurativas tradicionales y concibe la pintura como una

disposición esencial de líneas, formas y colores capaces por sí solos de despertar una

emoción.

Se abren así los dos caminos: el regreso a lo figurativo y la búsqueda de algo nuevo que

se apoya más en su base técnica que en la misma obra como producto final. La

búsqueda de lo nuevo lleva a la profundización de los más diversos procedimientos para

aplicar el color. Este se obtiene con toques pequeños o grandes, con manchas o

pegotes, con pincel o espátula, directamente del tubito de color, por goteo, por

chorro, por adhesión de fragmentos de papel, vidrio, tela, con fragmentos de metal o

de otros materiales plásticos. La clave está en experimentar.

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMEDTRÍA DESCRIPTIVA

La perspectiva

Al mirar a nuestro alrededor podemos observar cosas que cuando nos alejamos se

vuelven pequeñas. Cada objeto ocupa una posición precisa en el espacio según la

distancia a que se encuentre respecto de nosotros nos parece más o menos grande.

Para plasmar esto en sus obras pictóricas, el pintor tiene que recurrir a un truco: en el

dibujo puede representarse la altura y la longitud pero no la profundidad.

15

La perspectiva es la parte de la Geometría Descriptiva que enseña a representar los

objetos en tres dimensiones sobre una superficie de dos dimensiones, en forma tal

que la imagen en perspectiva y en la visión directa coincida.

En la pintura y en la historia del arte, el termino perspectiva se utiliza en forma muy

general para indicar todos los diferentes métodos de representación de la

profundidad espacial, sistemas parcialmente conocidos por los griegos y romanos, pero

codificados solamente a partir del siglo XV.

Los dos tipos fundamentales de perspectiva son la linear, que se obtiene haciendo

converger las líneas de los objetos representados hacia un punto central localizado en

el horizonte, y la de área, con la cual se logra representar la distancia real degradando

la luz y los colores.

La pared de fondo de la Capilla

Sixtina, en Roma, está completamente

ocupada por el “Juicio Universal”. La

obra fue realizada por Miguel Ángel

con la técnica del fresco y necesitó

cinco años para su realización.

La proyección.

Clases de proyección

Se llama proyección de un punto A sobre un plano β a la intersección con éste, del rayo

proyectante que pasa por A y por el centro de proyección O (FIG 1). La proyección del

punto A sobre el plano β, desde el punto O, es el punto A´. La recta O-A-A´ es el rayo

proyectante.

Hay dos clases de proyecciones: Proyección Cónica Y Proyección Cilíndrica. La primera

recibe también el nombre de proyección central: en la proyección cónica o central,

todos los rayos proyectantes pasan por un solo punto fijo llamado centro de

16

proyección, punto de la FIG 1. La proyección es cilíndrica cuando el centro de

proyección es impropio, es decir, está en el infinito y, por ello, todos los rayos

proyectantes son paralelos.

En la Fig.1 el punto A´ es la proyección cilíndrica oblicua del punto A sobre el plano a,

según una dirección determinada. En la FIG.1, la proyección es cilíndrica ortogonal

sobre el plano β. Según esto, hay dos clases de proyecciones cilíndricas: oblicua y

ortogonal.

Los puntos de un mismo rayo proyectante tienen las proyecciones confundidas. Así, en

la FIG.1 tenemos una proyección cónica cuyo centro de proyección es O; los puntos A,

B, C, situados en un mismo rayo proyectante, tienen sus proyecciones A´, B´y C´

confundidas o coincidentes. Lo mismo ocurre con los puntos D y E.

En la FIG. 2 se utiliza una proyección cilíndrica oblicua y los puntos A,B y C, situados

en un mismo rayo proyectante, se proyectan confundidos en A´≡ B´≡C´.

En la FIG. 2, la proyección cónica o central de una recta AB es la recta A´B´; basta, pues,

hallar las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella para obtener su proyección.

(FIGURA 1)

(FIGURA 2)

17

Igualmente, en las (FIG 2), se halla la proyección cilíndrica oblicua y la ortogonal,

respectivamente, de una recta sobre un plano. En ambos, basta unir las proyecciones de

dos puntos cualesquiera de la recta en el espa

Situación de un Punto

Para localizar la posición de un determinado punto simple, numérica o gráficamente,

debemos relacionarlo con otro cuya situación sea conocida. Este punto fijo viene a ser

como “el punto de referencia”, o más bien como “origen de mediciones” y todos los

demás puntos podrán ser localizados a partir de él por cualquier sistema de

mediciones tridimensionales. El sistema Cartesiano de coordenadas rectangulares, que

se indica en la figura (3 y 4), es el más empleado en matemáticas, particularmente en

la Geometría Analítica de los cuerpos. Por el origen O hacemos pasar tres ejes (X,Y,

Z) perpendiculares entre sí, de manera que punto como el A queda perfectamente

situado en el espacio tomando las tres distancias o coordenadas x, y, z.

Figura 3

Sistema Cartesiano

Figura 4

Proyecciones Múltiples

Figura 3 y 4: representación de puntos en un sistema tridimensional de coordenadas

Este sistema de mediciones puede también ser empleado en los dibujos de

proyecciones múltiples, tal como se indica en la figura 4. Se muestran las proyecciones

horizontal, vertical y lateral derecha de los tres ejes.

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Conceptos primarios:

Los puntos:

Que son entidades geométricas sin dimisiones, que hacen parte de los

extremos de una recta y los vértices de los poliedros.

También se considera puntos la intersección entre dos rectas o un lugar

geométrico de tres planos o superficies.

Las rectas:

Son los límites de los polígonos, que son las facetas de los poliedros

mediante sus aristas

Los planos

Que son espacios ínfimamente grandes en donde se realizan las proyecciones del

mundo tridimensional.

Conceptos secundarios

Poliedros:

Son porciones de plano limitados por rectas que se llaman lados del

polígono, que no requieren alguna forma en específica, los cuales se

puede llegar a proyectar mediante una maqueta (representación

tridimensional) mediante la construcción de los modelos.

Poliedros regulares e irregulares:

Figuras geométricas limitadas por lados iguales en donde sus ángulos

internos tienen la misma longitud, por lo tanto los irregulares pueden ser

cóncavos y convexos.

19

Indicaciones generales para la lectura de un dibujo

La lectura de un dibujo de múltiples proyecciones ha quedado reducida a un proceso

de análisis completo y exacto. Los análisis de los objetos, representados como cuerpos

geométricos por sus superficies, han sido explicados, en efecto, con considerable

detalle, con objeto de convencer al estudiante poco imaginativo que él también puede

aprender a interpretar un dibujo. Con un conocimiento claro de principios y métodos

aplicados cuidadosamente a la práctica de muchos problemas, la capacidad para saber

leer los dibujos de ingeniería puede adquirirse con facilidad.

Como el conocimiento y la destreza aumentan con la práctica, se aprenderá que los

análisis más bien largos son, en cierto modo, generalmente innecesarios. Tres factores

contribuyen a esta facilidad interpretativa: 1. El recurso a emplear las formas

geométricas, como partes componentes de los objetos que nos sean familiares; 2. El

simple reconocimiento de los objetos corrientes y 3. La aplicación rápida, casi

subconsciente, de los métodos analíticos.

La anterior imagen nos muestra los dibujos de múltiples proyecciones,

correspondientes a unos cuantos cuerpos geométricos sencillos y familiares, que

además de estar solos se han combinado entre sí. Tales objetos no requieren, con

seguridad, ningún análisis ya que son apreciados a primera vista

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Dibujos Gráficos

La siguiente figura es una fotografía de un objeto sencillo. La cámara, evidentemente,

ha sido dirigida hacia un ángulo del objeto, y un poco encima del mismo, para que

aparezcan dos lados y las superficies superiores del mismo.

A primera vista dicho objeto es un bloque en forma de L, con un orificio circular en la

base de esa L. Se podría también deducir que la parte alejada o posterior aparece del

mismo tamaño y forma que la cercana y la profundidad del ala izquierda es igual a la de

la derecha; y que todos los ángulos son rectos o de esquinas cuadradas.

Estas observaciones son ciertas, pero supongamos que queremos comprobar estas

conclusiones, midiendo realmente estas dimensiones sobre la fotografía. La figura

siguiente muestra la misma fotografía medida con escalas reales por el frente y la

parte posterior del objeto.

La anchura de la parte posterior, que creíamos era la misma que la frontal,

evidentemente aparece más corta. Medidas similares de otras distancias, que

21

aparentemente son iguales en ese objeto, dan el mismo resultado, se descubre que las

distancias más cortas son siempre las más alejadas de la máquina fotográfica. Esta

reducción de tamaño, en distancias que son iguales, es originada por el hecho de que

los bordes del objeto, que realmente son paralelos, no cumplen esta condición en la

fotografía. Esto está demostrado en la imagen anterior, observando las líneas de

trazos. Cuando los bordes del objeto se prolongan en líneas rectas, éstas no son

paralelas, sino que convergen, al prolongarse, en el punto A de la izquierda; mientras

que las líneas horizontales paralelas al lado frontal convergen en un punto B, situado

fuera de la página.

Poliedros- Superficies Planas

Cualquier cuerpo que está limitado, completamente, por superficies planas podemos

considerarlo como un poliedro. Estas superficies planas se llaman caras, y sus

intersecciones aristas. Existen cinco poliedros regulares, que se les llamaba “los cinco

cuerpos de Platón”, de interés general y permanente, siendo convexos y con caras

iguales que son polígonos regulares. En la figura 1, están dibujados los cinco poliedros

regulares, de nombres derivados relativos al número de caras que tengan: El

tetraedro, con cuatro caras de triángulos equiláteros: el cubo o hexaedro, con seis

cuadrados por caras: el octaedro, con ocho triángulos equiláteros; el dodecaedro, que

tiene doce caras pentagonales; y el icosaedro, con veinte caras triangulares

equiláteras.

Con excepción del cubo, los demás poliedros regulares suelen tener muy poco valor

práctico en los asuntos de ingeniería. Sin embargo son muy importantes en la rama de

la mineralogía llamada cristalografía. La mayor parte de los minerales tienen una

estructura cristalina, soliendo tener estos cristales las formas poliédricas regulares.

Los diversos minerales se pueden clasificar, según la simetría de los cristales, con

relación a un centro, a los ejes o a planos de simetría.

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

22

CATEGORÍAS BÁSICAS PARA EL DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL

El pensamiento espacial es fundamental para la construcción de habilidades

matemáticas que a través de los años el niño utilizará para dar solución a problemas

matemáticos, no rutinarios. Lappan y Winter (2001, citado por Dickson) expone que el

desarrollo de este pensamiento es la representación bidimensional del espacio

tridimensional, ya que a pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor

parte de las experiencias matemáticas que se proporcionan a los niños se hacen desde

una perspectiva bidimensional; por su parte, Clements y Samara (2009) exponen dos

tipos de competencias fundamentales para la construcción del pensamiento espacial: la

orientación espacial y la visualización espacial.

Las competencias mencionadas implican la comprensión y funcionamiento de las

relaciones entre posiciones en el espacio (paso del egocentrismo al alocentrismo). En

donde se identifica el tamaño y forma de objetos; representación y ubicación en un

espacio tridimensional, a través de la manipulación activa del entorno, esto, visto

desde la orientación espacial, por su parte, la visualización espacial compromete

habilidades de procesar y producir creaciones, interpretaciones, uso y reflexión de

imágenes, dibujos y diagramas mentales en papel o en herramientas tecnológicas, con

el proceso de comunicar información sobre el pensamiento y el desarrollo de ideas

adquiridas con anterioridad.

Un pronunciamiento hacia el acercamiento del pensamiento espacial lo hace Vargas, P

como parte de todas las formas de conocimiento, en lo microcósmico y en lo

macrocósmico. Se han de tener en cuenta tres características primordiales para

evidenciar la evolución de dicho pensamiento, como lo son: a) comprender objetos

tridimensionales partiendo de gráficos bidimensionales, y viceversa b) habilidad para

imaginar una representación tridimensional desde distintas perspectivas, y c)

habilidad para visualizar – concretamente e imaginariamente - efectos de reflexión e

inversión de objetos-imágenes.

La aptitud espacial es una de las habilidades cognoscitivas más estudiadas por las

ciencias cognitivas, en especial las habilidades que tiene un individuo para rotar

mentalmente un objeto o para desarrollar un sólido desplegado, Si bien existen varios

términos para referirse a la aptitud espacial, usaremos indistintamente “visualización

espacial” y “relación espacial”, entendida ésta como la habilidad para generar una

representación o imagen mental de un objeto, realizar movimientos con dicha imagen y

23

construir otra representación luego de surtidas las transformaciones. Igualmente se

considera una aptitud espacial la denominada velocidad de clausura o la habilidad para

completar una imagen inconclusa. Así mismo Carroll (1993) distingue tres tipos de

desarrollo de pensamiento espacial relaciones espaciales (rotación mental como factor

predominante), orientación espacial (perspectiva y rotación) y visualización (conteo de

bloques y velocidad de clausura por ejemplo).

De esta forma podemos establecer las categorías de análisis que fundamentaran la

investigación propuesta:

Percepción visual

Rotación Mental

Visualización

El sistema de representación visual es la capacidad de abstracción que está

directamente relacionada con la capacidad de visualizar, podemos traer mucha

información a la vez. Visualizar nos ayuda además, a establecer relaciones entre

diferentes ideas y conceptos. Los alumnos visuales aprenden mejor cuando leen o ven

la información de alguna manera. En una conferencia, por ejemplo, preferirán leer las

fotocopias o transparencias a seguir la explicación oral, o, en su defecto, tomarán

notas para poder tener algo que leer. Hay que señalar que la representación visual, en

su evolución, siempre intenta simular la perspectiva tridimensional. Y la capacidad para

traducir entre representaciones bidimensionales y tridimensionales es fundamental

para ampliar las posibilidades del pensamiento espacial. Por ejemplo: un mapa

conceptual bien puede derivar en una red tridimensional, y un mapa mental bien podría

ser un conjunto de terminales en el espacio alrededor de un núcleo. Grupo Sócrates

(2006)

Por otro lado, Aguado R (s.f) comenta que el desarrollo de la percepción espacial cobra

una importancia indiscutible desde el momento que definimos el espacio como aquel

lugar en el que desarrollamos nuestra actividad. Es nuestro entorno propio, cercano o

lejano que viene inherente a nuestra existencia: nosotros formamos nuestro espacio e

intervenimos en el de los demás. Es un parámetro fundamental en el desarrollo motor

del niño, dentro de la vida cotidiana e imprescindible en el desarrollo de la actividad

física y deportiva.

Pero el desarrollo de este tan importante pensamiento se ha olvidado por algo llamado

“matemática moderna” así como lo menciona Arrieta (2002): “La percepción espacial es

la que presenta un mayor déficit de tratamiento en todos los niveles, aunque

actualmente y con la revisión de los planes de estudio parece otorgársele el lugar que

nunca debía haber perdido en el curriculum. En los años de implantación de la

Educación General Básica [EGB], años 60-70, prácticamente desapareció de los planes

24

de estudio debido al impulso de la llamada Matemática moderna, a su formalismo y a la

algebrización de la geometría. (p. 2)”.

Por lo consiguiente se crean sub-categorías de análisis para el análisis de las

actividades propuestas encaminadas hacia el desarrollo del pensamiento espacial por

medio de la geometría descriptiva:

Visualización

Descubrir la posición de diversos objetos en el espacio y las variaciones de tamaño y

forma que se pueden percibir como resultado de las diferentes ubicaciones de

observación como giro, acercamiento o no de las figuras. Tomado de (Pineda 2012)

Desarrollar habilidades para construir relaciones entre objetos y el espacio (Clements

2009).

Reconocimiento de figuras según su forma, lados rectos o curvos, convexidad.(Pacheco

2008)

Identificación de propiedades geométricas de cuerpos según la forma de las caras

planas y curvas, convexidad.(Pineda 2012)

Descripción, reproducción y representación de figuras y cuerpos utilizando

representaciones de algunas formas bidimensionales y tridimensionales en el plano.

(Pacheco 2010)

Mejorar la calidad del análisis perceptivo respecto de los elementos del espacio (Le

Boulch, 1991).

Reconocimiento de movimientos, simetrías, traslaciones y rotaciones en la

construcción de representación de figuras.(Pineda 2012)

Promover experiencias de organización espacial que conjuguen elementos propios de su

estructura y de orientación al espacio (Castañer, 2001).

Capacitar al niño para que pueda representar en forma simbólica lo que ha vivido y

percibido, mediante la utilización del grafismo. (Le Boulch, 1991).

Percepción espacial

Comprender y organizar el espacio generando redes o sistemas de coordenadas frente

a las construcciones mentales de forma, objeto o conjunto de objetos entre el

espacio. (Clements 2009)

Ampliar el tamaño del espacio de forma progresiva (Clements 2009)

Crea medidas y herramientas no convencionales para solucionar problemas

relacionados con las dimensiones del espacio.(Pineda 2012)

25

Coordinación de las diversas perspectivas desde las que se puede contemplar una

realidad espacial.(MEN 1998)

Desarrollo de los sistemas de referencia a la localización de objetos en el espacio.

Desarrolla nociones proyectivas, perspectiva, rectitud, distancia, profundidad,

paralelismo frente al desarrollo de pensamiento espacial. (MEN 1998)

Elabora relaciones espaciales más complejas implicando la referencia de los puntos de

vista sobre el mundo y de los otros con su propio cuerpo. (Pineda 2012)

Objetivación de los puntos de vista y juicios sobre las relaciones espaciales.

Diferenciar entre espacio propio, próximo y lejano (Castañer, 2001).

Saber actuar con localizaciones de objetos en el espacio según marcos de referencia

subjetivos (egocentrismo) y objetivos (Castañer, 2001).

Ser capaz de proyectar el propio cuerpo en el espacio circundante (Castañer).

Rotación Mental

Desarrollar las capacidades mentales de rotación (Clements 2009)

Orientar o situar objetos y sujetos con la necesidad de relacionar los objetos entre

sí, en función de una perspectiva dada. (Pineda 2012)

Saber conjugar diversos elementos de estructura espacial (alturas, planos, distancias,

ejes…) (Castañer, 2001)

26

CAPÍTULO 4.DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES Y GUÍAS DE TRABAJO

Esta propuesta didáctica pretende contribuir al desarrollo de pensamiento espacial y

los niveles de competencia matemática formular y resolver problemas en estudiantes

de grado quinto a partir de la enseñanza de algunos aspectos de la geometría

descriptiva.

Para el desarrollo de estas actividades se tuvieron en cuenta varios referentes

teóricos uno de ellos Bishop (2005) asume los roles tanto del profesor como del

estudiante y su relación, además como será entendida la clase de geometría. Estos

tres elementos asumidos a la luz del modelo sistémico de la didáctica fundamental,

que en este caso resultaría de la siguiente manera:

Estas actividades están enfatizadas en tres ejes básicos para desarrollar

pensamiento espacial, a saber: visualización, percepción espacial y rotación mental. La

primera actividad va enfocada en reconocer habilidades del estudiante entorno al

pensamiento espacial por medio respecto a elementos de la geometría descriptiva:

Profundidad-Perspectiva- Proyección. En la segunda actividad se pretende reflexionar

27

frente a los conceptos abordados en la actividad anterior, en la tercera actividad se

reconocen elementos de la geometría descriptiva para así lograr que los estudiantes

se encaminen hacia las vistas y proyecciones. Seguido a esto se abordaran las

representaciones de objetos tridimensionales en planos bidimensi6onales, en la sexta

actividad se realizara una observación, construcción y representación a través de los

sólidos platónicos, para así concluir con la representación de formas tridimensionales

en diferentes planos (proyecciones múltiples).

ACTIVIDADES

ACTIVIDAD 1

Representaciones del espacio desde dos momentos de la historia

Objetivo General

Reconocer habilidades del estudiante entorno al pensamiento espacial por medio

respecto a elementos de la geometría descriptiva: Profundidad-Perspectiva-

Proyección.

Objetivos Específicos

Proporcionar herramientas que permita al estudiante adquirir capacidades al

comparar, representar y formular cuestionamientos frente a las representaciones

hechas por los egipcios y el video-juego Top Gear.

Reconocer la capacidad de imaginación de cada estudiante frente a las

representaciones tridimensionales, para así identificar las diferencias y

|comparaciones entre estas.

28

Temática

Modelar una situación de enseñanza consiste en producir un juego específico del saber

pretendido, entre diferentes subsistemas: el sistema educativo, el sistema alumno, el

medio, etc. Se trata de describir precisamente estos subsistemas por las relaciones

que mantiene en juego.

Antes de precisar el tipo de juego que será utilizado, es necesario identificar las dos

grandes finalidades de la modelización.

Respecto del conocimiento: el juego debe ser tal, que el conocimiento aparezca en la

forma elegida, como la solución o como el modo de establecer la estrategia óptima.

Respecto de la actividad del profesor: el “juego” debe permitirla representar todas

las situaciones observadas en las clases, si no los desarrollos particulares, incluso los

menos “satisfactorios” desde el momento en que lleguen a hacer aprender a los

alumnos una forma de saber previsto.

Descripción de la actividad

La sesión de clase estará orientada al reconocimiento de los elementos del campo de la

geometría descriptiva (perspectiva, profundidad y la proyección) con ánimo de generar

desarrollo del pensamiento espacial, para ello se entregará una guía (Anexo 1) por

grupos de a lo sumo cuatro estudiantes, en donde deberán observar, analizar y hacer

una tabla de diferencias y comparaciones entre dos representaciones sin tener en

cuenta lo que se representó, si no la manera en que se representó.

Seguido a esto los estudiantes en su grupo de trabajo deberán realizar una tercera

representación, en donde este cuadro de diferencias y comparaciones, se transforme

en un solo cuadro de comparaciones, teniendo como base alguna de las dos

representaciones. Al concluir esta representación pasara un representante de cada

grupo a exponer su tercera representación, y así identificar que errores, dificultades,

y capacidades tienen frente a esta situación.

29

Situación Fundamental

El ser humano ha sufrido la necesidad de representar el espacio que rodea los egipcios

por ejemplo, describían el espacio pero al observar sus representaciones no llegaban a

una perfección como se ve actualmente. Los últimos desarrollos visuales han

favorecido al desarrollo del campo de la “geometría descriptiva” (Representación del

espacio tridimensional en un espacio bidimensional)

Categorías de análisis

Las categorías de análisis de nuestro trabajo está dividida en tres partes:

Percepción Visual

Rotación Mental

Visualización

Para cada actividad se desarrollan algunas de las tres categorías de análisis, en esta

actividad se puede analizar la percepción visual y la visualización.

Recursos y material didáctica

Guía # 1

Hojas blancas (Respuesta)

Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.

1 sesión: miércoles 3 de septiembre de 2014

2 sesiones: miércoles 10 de septiembre de 2014

Bibliografía

Clements, D., & Sarama, J. (2009). Learning and Teaching Early Math. The Learning

Trajectories Approach. New York: Taylor & Francis.

30

Pineda Yolanda (2012), Las relaciones espaciales como base fundamental para el

desarrollo del pensamiento espacial en preescolar.

Pacheco, M. & Inés, M (2008), “La geometría en el jardín de infantes: En búsqueda de

su sentido”.

CASTAÑER, MARTA; CAMERINO, OLEGUER (2001): La educación física en la

enseñanza primaria. Barcelona. INDE publicaciones 4ª edición.

LE BOULCH, JEAN (1991): La educación psicomotriz en la escuela primaria. Barcelona.

Paidós 2ª reimpresión.

31

GUIA 1 COLEGIO POMBOLANDIA.

“EDUCACIÓN EN VALORES PARA LA CONVIVENCIA Y LA PRODUCTIVIDAD”

ACTIVIDAD#1

NOMBRE________________________________FECHA_____CURSO: QUINTO

Responde las siguientes preguntas de acuerdo a los videos “La cultura Sumeria y arte

en la prehistoria”

1) ¿Cuál fue la primera civilización?

2) Mencione 5 logros de esta civilización

3) ¿Cómo se realizaban las representaciones del espacio?

4) ¿Para qué se realizaban estas representaciones del espacio?

5) Encuentre tres diferencias entre las representaciones rupestres y

representaciones actuales

¿Qué diferencias se destacan en

las representaciones hechas por

los egipcios y los efectos visuales

contemporáneos?

Pensando en las diferentes épocas

en las que se representaron estas

dos imágenes: ¿cuáles

características comunes podrías

mencionar?

Observando las dos representaciones

¿Qué modificaciones podrías hacer, de tal forma, que las diferencias mencionadas

anteriormente, se transformen en características comunes?, Realiza un dibujo

evidenciando tu respuesta

32

ACTIVIDAD 2

Reflexión en las construcciones del espacio

Objetivo general

Reflexionar frente a los conceptos y concepciones que se presentaron en la actividad

“Comparaciones y diferencias a través de la historia”


Promover la imaginación mediante las representaciones múltiples de un dado.

Analizar la percepción de cada estudiante a través de las diferentes

representaciones que se da en cada plano.

Temática:

Reflexionar frente a lo que se desarrolló en la sesión anterior, nos lleva analizar

alguna de las preguntas que se construyeron en esta:¿Existirá algún método para el

desarrollo de las representaciones hecha por los egipcios y el juego top Gear, en lo

que concierne al paso de 3 dimensiones a 2 dimensiones y viceversa?. La Geometría

Descriptiva se ha desarrollado distintos, métodos de representación tridimensional

que son los procedimientos que permiten determinar la imagen o representación

precisa de cualquier figura u objeto. Estos han evolucionado paulatinamente.

Otra de las preguntas que se les formuló a los estudiantes es ¿Para que realmente se

maneje representaciones en el espacio? Frente a esto la MINIEDUC (2013) menciona

“Para desarrollar los conceptos y las ideas geométricas, es necesario que la y el

estudiante explore su entorno, las distintas formas que tienen los objetos y esta

interacción le permitirá relacionar y elaborar ideas geométricas en forma intuitiva;

posteriormente, con la enseñanza de la geometría formal le permitirá avanzar en el

33

desarrollo del conocimiento del espacio, de tal manera que en un momento dado pueda

prescindir de él y manejar mentalmente imágenes de las figuras 3D y 2D”

Descripción de la actividad:

Esta actividad se desarrollara en dos sesiones.

La primera sesión dará inicio con la entrega de una guía (ver anexo 2) a cada

estudiante, la cual consta de 4 preguntas que estarán dirigidas hacia la siguiente

pregunta ¿Qué realmente queremos analizar en la actividad de la sesión anterior?

En la segunda sesión de clase se llevara a cabo un debate por medio de una exposición

individual de dos de los puntos de la guía, donde se originara preguntas y respuestas

tanto para los estudiantes como para el docente.


Guía # 2


Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.



34

Bibliografía

Clements, D., & Sarama, J. (2009). Learning and Teaching Early Math. The Learning

Trajectories Approach. New York: Taylor & Francis.




su sentido”.





http://www.convivenciaescolar.cl/usuarios/convivencia_escolar/File/2013/RURAL_ag

osto2013/MATEMATICAS/Conociendolasformasde3Dy2DGuiadocente.pdf

http://www.convivenciaescolar.cl/usuarios/convivencia_escolar/File/2013/RURAL_agosto2013/MATEMATICAS/Conociendolasformasde3Dy2DGuiadocente.pdf

http://www.convivenciaescolar.cl/usuarios/convivencia_escolar/File/2013/RURAL_agosto2013/MATEMATICAS/Conociendolasformasde3Dy2DGuiadocente.pdf

35



ACTIVIDAD#1


1.

2. Construye cada dado desde dos perspectivas diferentes, sabiendo que la casilla

subrayada en negro es el

centro del dado

3. Mencione 5 diferencias entre

las plantillas de los dados y la

construcción realizada.

4. ¿existirá alguna relación

entre esta actividad y la

actividad anterior “Egipcios y

top Gear”?

5. Partiendo de la siguiente imagen conteste las siguientes preguntas:

Describe lo que se muestra en los dos recuadros.

Qué relación existe entre la imagen del recuadro azul y el recuadro rojo

Realiza en una hoja blanca una representación similar a una de las

representaciones de la imagen.

36

ACTIVIDAD 3

Elementos de la geometría descriptiva encaminado hacia las vistas y proyecciones.

Objetivo General

Exponer las nociones básicas de la geometría descriptiva (punto, recta, plano,

paralela), para abordar y encaminar hacia la construcción de proyecciones y vistas

sobre el plano.


Proporcionar herramientas necesarias para lograr en el estudiante la descripción de

un modelo 3D a una proyección 2D.

Lograr diferentes tipos de proyección en el estudiante, por medio de la construcción

de paralelas en un plano 2D hacia planos de proyección no normales a un eje principal

(Axonometría).

Temática

A través de la historia el hombre siempre ha sentido la necesidad de representar el

espacio en el que ha vivido, por ejemplo una casa, una guitarra, un vaso, una persona,

etc. Y así se llegó a pensar acerca de la geometría descriptiva, Díaz (2012) menciona

“Este interés por representar la realidad lo llevó al estudio de la geometría

descriptiva, este tipo de representación es sin duda mucho más amigable, ya que un

dibujo lo entiende cualquiera, sin embargo, no es fácil representar en un plano, lo que

existe en la realidad o para ser más preciso, lo que existe en tres dimensiones” este

concepto fue desarrollado en 1799 por Gaspard Monge exponiendo en dos dimensiones

objetos en tres dimensiones.

La geometría descriptiva enfoca su estudio hacia las relaciones y el análisis del

espacio tridimensional, para ello necesitan de algunos elementos los cuales son el

punto, la línea, el plano y el volumen.

37

El punto: Es el símbolo geométrico más sencillo y señala

una posición en el espacio sus características son las

siguientes:

No tiene dimensiones.

En el espacio tiene alejamiento y tiene cota.

Puede pertenecer al plano horizontal su cota vale

cero.

Cuando pertenece al plano vertical su alejamiento

vale cero.

La Línea: Este elemento geométrico se obtiene de hacer

una sucesión de puntos, tiene largo, pero carece de ancho y de profundidad, también

se obtiene de unir dos puntos. Hay líneas curvas, rectas, horizontales, etc.

Sirve para unir, asociar, soportar,

rodear o cortar otros elementos

visuales, así como para definir las

aristas o para dar forma a los planos.

Unir, Asociar, Cortar, etc.

Línea recta: es uno de los elementos en particular

más importantes, ya que la podemos encontrar en

todas las representaciones de superficies y

objetos tridimensionales, por definición una recta

es la distancia más corta entre dos puntos dados.

Hay tres clases principales de rectas: horizontal o superior, frontal y lateral.

38

Recta en el espacio y recta sobre el plano horizontal

El Plano: Se obtiene haciendo una

sucesión de rectas paralelas entre sí,

y la forma de identificarla sobre

otros elementos, es el contorno de la

línea que lo envuelve, sólo es posible verla cuando está perpendicular a la vista del

observador. Tiene largo y ancho, pero no profundidad.

El plano se puede representar de las siguientes formas:

1) Por tres puntos no alineados.

2) Por una recta y un punto.

3) Por dos rectas paralelas.

4) Por dos rectas que se cortan.

5) Por tres rectas que se cortan.

El plano es determinado por su forma y dimensión, podemos encontrar plano

horizontal, frontal, de canto, vertical, de perfil, o cualquiera.

El volumen: se obtiene de la sucesión de varios planos paralelos, tiene largo, ancho y

profundidad y contiene los tres elementos anteriormente mencionados (puntos, líneas,

y planos). También se pueden obtener volúmenes de girar alguna forma, ejemplo: el

cono se obtiene del giro de cualquier triangulo plano.

39


Esta actividad se desarrollara en dos sesiones.

La primera sesión dará inicio con la propuesta de definir geometría descriptiva,

durante toda la clase se presentara conceptos y concepciones de la geometría

descriptiva para lograr el desarrollo del pensamiento espacial. Se trabajar

definiciones como puntos, planos, planos verticales, ejes x, y z, graficas e

interpretaciones en estos planos, etc.

En la segunda sesión de clase se llevara a cabo la realización de algunos modelos con

los cuales se verán conceptos como profundidad y perspectiva.


Guías # 3


Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.

1 sesión: miércoles 1 de octubre de 2014

40

2 sesiones: miércoles 8 de octubre de 2014

Bibliografía




su sentido”.





41



ACTIVIDAD #3


Inicio a la geometría descriptiva

1. Analiza los dibujos y complétalos en una cuadricula de 13 x 13

44

Realiza este modelo en una hoja

45

ACTIVIDAD 4

Objetos tridimensionales en planos bidimensionales.

Objetivo General

Conceptualizar sobre los sistemas de representación y actividades que permiten

visualizar el espacio tridimensional, de acuerdo al desarrollo de las tareas de

interpretación de objetos tridimensionales.


Promover la imaginación mediante la descomposición de un cubo



Temática:

En didáctica de las matemáticas, está demostrado que, en todos los campos de las

matemáticas escolares, el aprendizaje y la enseñanza resultan más fáciles y profundas

cuando evitan la abstracción innecesaria y se apoyan en representaciones o

modelizaciones graficas o físicas que los estudiantes pueden observar, construir,

manipular o transformar, presentar conceptos a los estudiantes mediante figuras o

construcciones que los representen o describan, y ahora mejor con la ayuda de

software educativo.

Hoyos (2012) menciona “El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las

matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de

la matemática moderna. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico,

actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido

espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría”.

46


Esta actividad se desarrollara en una sesión.

La sesión dará inicio con la entrega de una guía (ver anexo 2) a cada estudiante, la cual

consta de 5 problemas los cuales fueron tomados del documento “Representación de

objetos tridimensionales utilizando multicubos Software: Multicubos, geoespacio,

explorando el espacio 3D” Hoyos (2012).

Esta actividad es de gran importancia en el desarrollo de pensamiento espacial ya que

es la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad externa y en la

imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio.

Al respecto Lappan y Winter, afirman:

“A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las

experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales.

Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños,

libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar,

tal uso de dibujos de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de

comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan a habérselas con las

representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la

información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras

en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones

bidimensionales del mundo real”, Linda Dickson y otros, El aprendizaje de las

matemáticas, Editorial Labor S.A., Madrid, 1991, pág. 48

47


Guía # 2


Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.



Bibliografía




su sentido”.

48



ACTIVIDAD #4


PENSAMIENTO ESPACIAL

1. El objeto representado en la figura 7 está

formado por cubos. Supongamos que pintamos

toda su superficie exterior de azul y después lo

desmontamos totalmente. ¿Cuántos cubitos

tendrían exactamente tres caras azules? ¿Y

cuántos tendrían exactamente dos caras azules?

¿Y una cara azul? ¿Y ninguna cara azul? (Bishop,

1983, p. 187).

2. Escribe cuál de estos desarrollos corresponden a un cubo

3. Si el dado tuviera los siguientes colores en cada número:

49

Uno- Verde, Dos –Amarillo, Tres-Azul, Cuatro- Rojo, Cinco- negro, Seis-plateado.

¿De qué color es la base de este dado?

Si el dado cambia de posición y el

número dos estuviese donde está el

uno, ¿Qué color estará en la región

1¿De qué color es la región dos y tres

al hacer este giro?

4. Cuál de las siguientes imágenes continúa con la

secuencia

50

5. Juntando dos piezas de puzle se pueden construir nuevos sólidos, como se

muestra en el ejemplo. Para cada uno de los siguientes sólidos formados por las

dos piezas, la figura muestra cómo se construye pintando una de las piezas que

lo compone.

51

ACTIVIDAD 5

Observación, construcción y representación a través de los sólidos platónicos.

Objetivo General

Profundizar en la capacidad de visualización haciendo uso de los sólidos de platónicos.

Objetivos específicos:

Realizar en un plano (hoja) las proyecciones múltiples de los cuerpos de Platón.

Desarrollar en los estudiantes la capacidad de visualización, partiendo de las

perspectivas hechas a los sólidos Platónicos.

Temática

Para el desarrollo de esta actividad tendremos en cuenta algunos aspectos y

definiciones necesarias, para ello comenzaremos con una definición básica del

poliedro.

Un poliedro es una región del espacio limita por polígonos, los poliedros están

compuestos de:

Caras, polígonos que conforman y delimitan el sólido.

Vértices, puntos donde se unen las aristas.

Arista, intersección de dos caras.

Esta definición es presentada con el ánimo de dar una pequeña introducción a lo que se

trabajara en esta actividad lo cual serán “Los sólidos platónicos”.

Para el desarrollo de esta actividad es fundamental considerar la percepción de lo

tridimensional como elemento básico para desarrollar la representación bidimensional,

52

por lo que el proceso de enseñanza debe estar fundado en acciones materiales. A

través de este proceso se logra formar la acción mental de transferencia de lo

tridimensional a lo bidimensional y vicse – versa.

Históricamente cada uno de los sólidos platónicos han estado relacionados con la

naturaleza, vinculándose a los elementos que rigen el universo y los planetas que lo

conforman, estas relaciones fueron establecidas por platón, las cuales dieron origen a

cuatro poliedros:

Tetraedro (pirámide de 4 caras triangulares), el hexaedro (cubo de 6 caras

cuadradas), el octaedro (sólido de 8 caras triangulares) y el icosaedro (poliedro de 20

caras triangulares). Los tres primeros fueron al parecer descubiertos por los

babilónicos1 y el cuarto fue añadido por los egipcios según Morilla, (2004). Platón logro

relacionar la belleza de estos cuatro poliedros con uno faltante, el dodecaedro, que

simbolizaría el universo (solido de 12 caras pentagonales). Sin lugar a duda Platón

encontró una conexión entre la geometría y el universo. Por otro lado debido a la

unificación del conocimiento en la que creían los antiguos griegos estos poliedros

fueron relacionados con la emociones, el pensamiento la espiritualidad y la vida.

Tetraedro: sólido de 4 caras iguales en donde cada cara es un triángulo equilátero

Hexaedro o cubo: sólido conformado por 6 cuadrados iguales.

53

Octaedro: sólido de 8 caras correspondiente a triángulos equiláteros iguales

Dodecaedro: es un poliedro de 12 caras de forma pentagonal.

Icosaedro: 20 triángulos equiláteros iguales delimitan el poliedro llamado icosaedro

Descripción de la actividad

La sesión de clase está fragmentada en dos momentos, en el primer momento de clase,

después de organizar los grupos de trabajo, los estudiantes deberán recortar y pegar

54

las plantillas de los sólidos platónicos. Luego, se asignará a cada estudiante uno de los

cuerpos de platón para que lo proyecte en una hoja.

En la segunda parte de la actividad, cada grupo expondrá las proyecciones realizadas,

el docente guiará los puntos de vista plasmados por cada grupo.


Guías # 3


Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.

1 sesión: miércoles 1 de octubre de 2014

2 sesiones: miércoles 8 de octubre de 2014

Bibliografía




su sentido”.





55



ACTIVIDAD #5


Tetraedro

56

Cubo

57

Octaedro

58

Dodecaedro

59

Icosaedro

60

ACTIVIDAD 6

Proyecciones múltiples: Representación de formas tridimensionales en diferentes

planos

Objetivo General

Representar figuras tridimensionales en un plano bidimensional por medio del sistema

diédrico


Representar una esquina del colegio pombolandia utilizando los conocimientos

adquiridos durante las sesiones de clase



Temática:

El sistema diédrico se fundamenta en la proyección cilíndrica ortogonal, es decir,

aquélla en que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano del cuadro (Fig.

5.1).

61

La proyección sobre el plano horizontal se denomina planta; la que se realiza sobre el

plano vertical, alzado, y la que se proyecta sobre el plano lateral, vista de perfil.

Representación del plano. Rectas notables del plano

Recordemos que un plano puede definirse mediante tres puntos no alineados, mediante

una recta y un punto exterior a ella, a través de dos rectas que se cortan, o mediante

dos rectas paralelas. En el sistema diédrico, el plano se representa por sus trazas, es

decir, por las intersecciones de dicho plano con los planos de proyección. Rectas

notables del plano Las rectas que contiene un plano son infinitas; pero se pueden

definir cuatro tipos de rectas que facilitarán el trabajo cuando se realizan

operaciones con este elemento geométrico (intersecciones, abatimientos, etc.). Dichas

rectas son: • Recta horizontal del plano (Fig. 5.2):

Es un tipo de recta que pertenece al plano dado y es paralela al plano horizontal de

proyección. La proyección horizontal de la recta, r 1, es paralela a la traza horizontal

del plano, ha, y la proyección vertical, r 2 , es paralela a la línea de tierra. • Recta

frontal del plano (Fig. 5.4): es una recta que pertenece al plano y es paralela al plano

vertical de proyección. La proyección horizontal de la recta, r 1, es paralela a la línea

de tierra, y la proyección vertical, r 2 , es paralela a la traza vertical del plano, va. •

Recta de máxima pendiente (Fig. 5.5): es una recta que pertenece al plano y forma el

ángulo máximo posible, φ, respecto al plano horizontal. La proyección horizontal de la

62

recta, r 1 , es perpendicular a la traza ha del plano. • Recta de máxima inclinación (Fig.

5.6): es un tipo de recta que pertenece al plano y forma el máximo ángulo posible, φ,

respecto al plano vertical. La proyección vertical de la recta, r 2, es perpendicular a la

traza vertical de plano va.

63


Esta actividad se desarrollara en una sesión.

La sesión de clase se dará inicio con la socialización de los conceptos vistos en las

sesiones anteriores, para la construcción de planos tridimensionales, sus vistas y

proyecciones.

Los estudiantes deberán tomar una foto de una esquina del colegio, ya sea un salón, los

baños, bibliotecas, cafetería, etc. Al obtener las fotos deben dibujar esa esquina del

colegio por medio de los recursos obtenidos durante todas las sesiones de clase.


Guía # 6


Marcadores

Regla

Tiempo

2 Sesiones.



Bibliografía







64

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS DE LAS ACTIVIDADES

Los desarrollos alcanzados por cada estudiante se exponen en relación a las sub-

categorías planteadas en el marco analítico, resumidas en la siguiente tabla.

Actividades Categorías De análisis Sub-categorías de análisis

1 Percepción espacial

Visualización

9.

1, 2, 5, 6

2 Visualización


Rotación Mental

1, 2, 5, 7, 8

1, 3, 4.

2

3 Rotación Mental

Visualización

1, 2, 3

1, 2, 4, 5, 6


Visualización

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

1, 2, 4, 5, 6


Rotación Mental

Visualización

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

1, 2, 3

1, 2, 3, 4, 5, 6,


Rotación Mental

Visualización

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

1, 2, 3

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11

Como forma de evidenciar los resultados, se eligió las guías más representativas del

trabajo de los estudiantes que alcanzaron un desarrollo correspondiente a las sub-

categorías de análisis. Estas se refieren mediante letras mayúsculas acompañadas de

un numeral (A#). A continuación de las tablas de resultados, se realizan los

pronunciamientos a que hubo lugar desde las sub-categorías de análisis, para el

trabajo contenido en las guías referidas en cada tabla. Cierra el análisis por actividad,

con un pronunciamiento general respecto de las guías comentadas. Una vez finalizados

estos análisis, se exponen los avances colectivos en términos de porcentajes, esto, con

ánimo de percibir las habilidades alcanzadas, por actividad, para una muestra de 18

estudiantes.

65

Actividad 1

Estudiantes (18 Total)

Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (A1, A2, A3) No

5 13


9. Diferenciar entre espacio propio,

próximo y lejano (Castañer, 2001).

4 14

Visualización

1. Descubrir la posición de diversos

objetos en el espacio y las

variaciones de tamaño y forma que se

pueden percibir como resultado de

las diferentes ubicaciones de

observación como giro, acercamiento

o no de las figuras. Tomado de

(Pineda 2012)

5 13 2. Desarrollar habilidades para

construir relaciones entre objetos y

el espacio (Clements 2009).

2 16

5. Descripción, reproducción y

representación de figuras y cuerpos

utilizando representaciones de

algunas formas bidimensionales y

tridimensionales en el plano.

(Pacheco 2010)

2 16

6. Mejorar la calidad del análisis

perceptivo respecto de los

elementos del espacio (Le Boulch,

1991).

66

Para el análisis de

la actividad número

1, se evidenciaron

algunas categorías

de análisis, como se

muestra en el

cuadro anterior.

En la respuesta del

primer punto el

estudiante

identifica que la

representación

rupestre se

encuentra en plano

bidimensional y la

representación del

juego top Gear se

encuentra en un

plano

tridimensional, una

justificación a su

respuesta se puede

observar en el ítem

4 del punto 1 en

donde menciona

“Que uno es antiguo

y el otro nuevo” En el estudiante se evidencian habilidades para el desarrollo de

relaciones entre objetos y el espacio.

67

En el punto número 4 también

podemos observar que el

estudiante hace referencia a la

importancia que tiene la

representación del espacio, “Para

recordar y llevar un orden algo

como el calendario e informarse

y diferentes cosas”

En las tres muestras de las actividades en

donde se puede evidenciar que los

estudiantes cumplen con algunos requisitos

de las categorías de análisis, podemos

observar la representación rupestre

presentada inicialmente en un plano

bidimensional, transformada en un plano

tridimensional.

Descripción, reproducción y


utilizando representaciones de algunas

formas bidimensionales y tridimensionales

en el plano. (Pacheco 2010)

68

En el análisis de la actividad #1 tendremos en cuenta las categorías de análisis que

presentamos anteriormente y las evidencias tanto como en las guías como en los videos

grabados durante las sesiones de clase.

En la siguiente grafica (1) se muestran los porcentajes de los estudiantes que lograron

algunas de las categorías de análisis. En el primer y tercer ítem se encuentran 5

estudiantes los cuales corresponden al 27, 7 % teniendo en cuenta que el total de los

estudiantes son 18. En la segunda categoría de análisis perteneciente a la

visualización, se encuentran 4 estudiantes los cuales corresponden 22, 2 %, en el

cuarto y quinto ítem se encuentran 2 estudiantes los cuales corresponden al 11,11 %.

Pero en la gráfica (1) se muestra de forma generalizada los 5 ítems, de tal manera que

se muestran 5 veces la cantidad de los estudiantes.

Podemos evidenciar que son pocos los estudiantes que reconocen y diferencian el

espacio bidimensional al tridimensional, al respecto Bernardo (2012) nos menciona que

“La Geometría de Espacio es un rico mundo matemático que nos rodea y sin embargo

pareciera estar casi ausente de la enseñanza. El principal obstáculo para la enseñanza

de la geometría del espacio es el problema de la representación de los objetos de tres

dimensiones”.

Actividad 1

P. E (1)

V (1)

V (2)

V (3)

V (4)

No

69

Actividad 2


Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (B1, B2, B3) No

4 14

Percepción Espacial

Comprender y organizar el espacio

generando redes o sistemas de

coordenadas frente a las

construcciones mentales de forma,

objeto o conjunto de objetos entre

el espacio. (Clements 2009)

5 13

Crea medidas y herramientas no

convencionales para solucionar

problemas relacionados con las

dimensiones del espacio.(Pineda

2012)

6 12

Coordinación de las diversas

perspectivas desde las que se puede

contemplar una realidad

espacial.(MEN 1998)

4 14 Rotación Mental

Orientar o situar objetos y sujetos

con la necesidad de relacionar los

objetos entre sí, en función de una

perspectiva dada. (Pineda 2012)

4 14

Visualización

Descubrir la posición de diversos







(Pineda 2012)

6 12

Desarrollar habilidades para



70

6 12






(Pacheco 2010)

2 18

Visualización

Reconocimiento de movimientos,

simetrías, traslaciones y rotaciones

en la construcción de representación

de figuras.(Pineda 2012)

4 14

Promover experiencias de

organización espacial que conjuguen

elementos propios de su estructura y

de orientación al espacio (Castañer,

2001).

La manera de representar

de los niños puede

evidenciar una mejor visión

de objetos mentales que la

reproducción por medio de

la perspectiva adquirida

por imitación.

(Freudenthal, 1983).

Por esto, los dibujos

“defectuosos” de los niños

no pueden utilizarse para

atestiguar un objeto

mental “defectuoso”.

Cuando un niño dibuja, por

ejemplo, un cilindro con

dos círculos y un

rectángulo nos da cuenta

que comprende que este

cuerpo posee dos bases

circulares. Esta

71

conceptualización de las propiedades del cilindro no se podría apreciar con claridad en

el dibujo en perspectiva.

En la actividad número 2 se le entrega a los estudiantes algunas plantillas de dados

con el centro, la idea central de esta actividad es promover experiencias de

organización espacial que conjuguen elementos propios de su estructura y de

orientación al espacio (Castañer, 2001).

Como podemos observar el

estudiante número 1 utiliza colores

para las diferentes caras del cubo,

esto nos hace pensar que usa

metodologías adecuadas para una

mejor perspectiva y proyección de la

imagen.

Por otra parte en el desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, se vincula la

experiencia con representaciones gráficas cuando se habla de su posición (SED,

72

p.65).En torno a esta actividad, se realizan observaciones de diferentes objetos

tridimensionales que están incluidos en una composición geométrica específica, lo que

le implicaría al sujeto según Bishop, citado por Gutiérrez (1991) crear imágenes

pictóricas a partir de una imagen visual, proceso conocido como Vp (procesamiento

visual), de éste manera y a modo de ejemplo, algunos objetos reales que hacen alusión

al paralelepípedo puede ser una caja.

Actividad 2

P. E (1)

P. E (2)

P. E (3)

R.M (1)

V (1)

V (2)

V (3)

V (4)

No

73

Actividad 3


Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (C1, C2, C3) No

6

12

Rotación Mental

Desarrollar las capacidades mentales

de rotación (Clements 2009)

8

8

Orientar o situar objetos y sujetos




5 13 Saber conjugar diversos elementos

de estructura espacial (alturas,

planos, distancias, ejes…) (Castañer,

2001).

10

8

Visualización








(Pineda 2012)

8 10 Desarrollar habilidades para



9 9 Identificación de propiedades

geométricas de cuerpos según la

forma de las caras planas y curvas,

convexidad.(Pineda 2012)

8

10






(Pacheco 2010)

74

8 10 Mejorar la calidad del análisis



1991).

Muchas son las

investigaciones que estudian

las estrategias, los

conocimientos, las

habilidades, las dificultades,

puestas en juego al resolver

diferentes actividades de

perspectivas de cuerpos

tridimensionales. Describimos

brevemente las tareas

presentadas en algunos

trabajos centrados en este

tópico.

Gutiérrez (1996a, p. 36), en

el análisis de un experimento

de enseñanza de las

representaciones planas de

módulos multicubos, distingue

tres tipos de actividades:

· A partir de una

representación plana del

módulerspectiva en el

ordenador con la posibilidad

de girarlo libremente), tiene

que dibujar diferentes tipos

de sus representaciones

planas.

· El estudiante tiene que relacionar dos tipos de representaciones planas del módulo,

sin construirlo físicamente

75

Como podemos observar en los anexos de la

actividad numero 3, los estudiantes

manejan planos con diferentes dimensiones

y logran reproducir las diferentes

perespectivas de una fijura sobre ese

plano tridimensional.

Godino, Batanero y Font (2004) En el

capítulo alusivo a la geometría se establece

que el aprendizaje del espacio es

significativo en el medio en que el

estudiante está inmerso, debido a que la

realidad que está al alrededor comprende

objetos con formas y dimensiones

diferenciadas y al desarrollar los

contenidos relacionados con el

conocimiento, orientación y la

representación espacial el educando debe

ir progresando en función de sus vivencias

y nivel de competencias cognitivas.

76

Este proceso de construcción del espacio

está condicionado e influenciado tanto

por las características individuales como

por la influencia del entorno físico,

cultural, social e histórico. Por tanto, el

estudio de la geometría en la escuela

debe favorecer estas interacciones. Se

trata de actuar y argumentar sobre el

espacio ayudándose con modelos y

figuras, con palabras del lenguaje

ordinario (MEN, 1998, p. 57)

Goetz y Lecompte (citados por Vílchez,

2007) afirman que la investigación

educativa tiene como finalidad prioritaria

apoyar los procesos de reflexión y crítica

para tratar de mejorar la enseñanza y el

aprendizaje. En ese sentido el proyecto

de investigación centra la atención en una

investigación de tipo aplicada, porque su

finalidad radica en realizar una

intervención a un problema práctico de la

educación matemática, específicamente,

en el ámbito de la didáctica de las

matemáticas, y de esta manera contribuir

al mejoramiento de los procesos

pedagógicos en la educación básica.

78

Actividad 3

R.M (1)

R.M (2)

R.M (3)

V (1)

V (2)

V (3)

V (4)

V (5)

No

79

Actividad 4


Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (D1, D2, D3) No

8

10








9

9

Ampliar el tamaño del espacio de

forma progresiva (Clements 2009)

8

10





2012)

9

9 Coordinación de las diversas



espacial.(MEN 1998)

10 8 Desarrollo de los sistemas de

referencia. Localización de objetos

en el espacio.

12

6

Elabora relaciones espaciales más

complejas implicando la referencia

de los puntos de vista sobre el mundo

y de los otros con su propio cuerpo.

(Pineda 2012)

11

7

Visualización








(Pineda 2012)

9 9 Desarrollar habilidades para



80

10 8

Visualización

Reconocimiento de figuras según su

forma, lados rectos o curvos,

convexidad.(Pacheco 2008)

9

9

Identificación de propiedades




9

9






(Pacheco 2010)

11

7

Mejorar la calidad del análisis



1991).

81

Para resolver esta tarea el alumno

tiene que conocer un determinado

lenguaje gráfico para interpretar las

representaciones planas del objeto,

que en este caso son proyecciones

ortogonales, llamadas vistas.

El conocimiento de las propiedades

de dichas representaciones (por

ejemplo que conservan la forma,

tamaño y posición relativa de los

cuerpos proyectados y en

consecuencia las caras del cubo son

cuadrados cuando se miran

frontalmente) permite coordinarlas

e integrarlas para construir el

objeto tridimensional. Esta

coordinación de las vistas constituye

una de las mayores dificultades para

los estudiantes (Battista y

Clements, 1996; Gutiérrez, 1996a).

Observamos que el estímulo inicial

de esta tarea son las

representaciones planas

(proyecciones ortogonales) y el tipo

de respuesta es de construcción. Variando el estímulo inicial (poniendo un objeto físico

u otro tipo de representación plana), o bien el tipo de respuesta que se pide se pueden

obtener interesantes variaciones de la tarea.

82

En la resolución de esta tarea

de rotación se tiene que leer

una representación plana

(perspectiva paralela) de un

cuerpo tridimensional y se

ponen en juego los siguientes

conocimientos principales: eje

de rotación, rotación de un

cuerpo alrededor de un eje, la

estructura del cubo y las

propiedades derivadas de la

rotación como isometría.

Variando la estructura del

cuerpo y su tipo de

representación (estímulo

inicial), combinando varios ejes

de rotación y cambiando el tipo

de respuesta (por ejemplo, de

dibujo) se pueden formular

diferentes tareas de rotación.

Observamos que en muchas

tareas de rotación de un objeto

se puede variar el enunciado

solicitando un cambio de

posición con respecto al objeto

(y viceversa). En Gorgorió (1998) se pueden encontrar interesantes ejemplos de

tareas de rotación y un análisis de las posibles estrategias utilizadas para resolverlas.

En este trabajo se mencionan también algunos errores manifestados por los alumnos

en la resolución de las tareas, entre los cuales está la confusión entre la rotación de

180 grados y la simetría.

83

Actividad 5


Categoría de análisis Sub- Categorías de análisis Si (E1, E2, E3) No

8

10








10

8


forma progresiva (Clements 2009)

8

10





2012)

Actividad 4

R.M (1)

R.M (2)

R.M (3)

V (1)

V (2)

V (3)

V (4)

V (5)

No

84

9




espacial.(MEN 1998)


referencia. Localización de objetos

en el espacio.

13

5


complejas implicando la referencia

de los puntos de vista sobre el mundo

y de los otros con su propio cuerpo.

(Pineda 2012)

8

10

Objetivación de los puntos de vista y

juicios sobre las relaciones

espaciales.

9

9

Visualización








(Pineda 2012)

10

8




9

9

Reconocimiento de figuras según su

forma, lados rectos o curvos,


9

9

Identificación de propiedades







85

11 7 algunas formas bidimensionales y


(Pacheco 2010)

8

8

Mejorar la calidad del análisis



1991).

12 6

Rotación Mental

Desarrollar las capacidades mentales

de rotación (Clements 2009)

13 5 Orientar o situar objetos y sujetos




12 6 Saber conjugar diversos elementos

de estructura espacial (alturas,

planos, distancias, ejes…) (Castañer,

2001).

86

Observación, construcción y

representación a través de los sólidos

platónicos está divida en dos sesiones.

El primer ejercicio que realizaron los

estudiantes fue observar los poliedros

construidos por el docente y las plantillas

de los poliedros, con el propósito de

mencionar cuales plantillas correspondían

a los poliedros, solamente el 25 % de los

18 niños y niñas lograron identificar 3

poliedros, dando argumentos

convincentes.

Seguido a esto los estudiantes

recortaron las 5 plantillas de los sólidos

platónicos, como se aprecia en la figura

10 de los 18 estudiantes logran realizar

este ejercicio, logrando cumplir muchas

subcategorías de análisis frente a la

percepción visual y la visualización.

Pacheco (2010) nos menciona que una

clave fundamental para el desarrollo de

pensamiento espacial es la descripción,

reproducción y representación de figuras

y cuerpos utilizando representaciones de

algunas formas bidimensionales y tridimensionales en el plano.

Las fortalezas que se obtienen de tipo cognitivo y didáctico mediante el origami

genera beneficios múltiples frente a la construcción del pensamiento espacial,

incorporando la geometría durante todo el proceso de construcción de los modelos, ya

no solo se presentan figuras aisladas sino contextualizadas en las construcciones que

se hacen.

87

En torno a esta actividad, se realizan

observaciones de diferentes objetos

tridimensionales que están incluidos en

una composición geométrica específica,

en este caso los 5 solidos platónicos

según Bishop, citado por Gutiérrez

(1991) crear imágenes pictóricas a partir

de una imagen visual, proceso conocido

como Vp (procesamiento visual), de éste

manera y a modo de ejemplo, algunos

objetos reales que hacen alusión al

paralelepípedo puede ser una caja.

Con respecto a esto Monsalve y Jaramillo (2003) nos mencionan que el uso del doblado

de papel como herramienta alterna para la solución de problemas, despierta el interés

y el entusiasmo de los estudiantes cuando estos se enfrentan a solucionar ciertos

ejercicios propuestos en los libros clásicos de la enseñanza del cálculo.

Ramon (2008) nos menciona que difícilmente otro campo de las matemáticas abarca un

espectro tan amplio de dimensiones. Por ello la enseñanza de la geometría debe

reflejar una preocupación por elaborar y desarrollar actividades en distintas

dimensiones. Probablemente cualquier situación geométrica por elemental que sea,

permite una amplia gama de posibilidades de exploración, formulación de conjeturas y

experimentación de situaciones con idea de explicar, probar o demostrar hechos.

La segunda sesión de la actividad se realizan un análisis más detallado frente a la

representación de los objetos tridimensionales, los estudiantes realizaron las

representaciones tridimensionales en el plano bidimensional, desde dos perspectivas

diferentes, primero desde su puesto para luego representar las figuras de otro

estudiante desde el puesto de cada uno.

La manera de representar de los niños puede evidenciar una mejor visión de objetos

mentales que la reproducción por medio de la perspectiva adquirida por imitación.

(Freudenthal, 1983). Por esto, los dibujos “defectuosos” de los niños no pueden

utilizarse para atestiguar un objeto mental “defectuoso”. Cuando un niño dibuja, por

ejemplo, un cilindro con dos círculos y un rectángulo nos da cuenta que comprende que

este cuerpo posee dos bases circulares. Esta conceptualización de las propiedades del

cilindro no se podría apreciar con claridad en el dibujo en perspectiva.

88

Lo anterior implica que para la presente investigación se requiere de los sistemas

geométricos, que se componen de unos elementos, operaciones y transformaciones con

las que se combinan y unas relaciones anexas entre ellos, que en relación con los

estándares básicos de competencias hace referencia a:

Representar objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

Identificar y describir figuras y cuerpos generados por cortes rectos y

transversales de objetos tridimensionales.

Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.

Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones rígidas y

homotecias sobre figuras

Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de

semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

Resolver y formular problemas usando modelos geométricos.

Identificar características de localización de objetos en sistemas de

representación cartesiana y geográfica. (MEN, 2006, p.84)

En la figura se puede observar la representación tridimensional de los sólidos

platónicos, este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado

tanto por las características individuales como por la influencia del entorno físico,

cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe

favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio

ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario (MEN, 1998, p.

57).

89

Este proceso de formación del pensamiento espacial a través de los sistemas

geométricos depende de las capacidades individuales y las oportunidades que la

sociedad ofrece al estudiante. El objetivo es que el estudiante trate de actuar y

argumentar sobre los objetos del espacio apoyándose en modelos y figuras,

representaciones concretas de los objetos geométricos que le permitan construir los

conceptos de una manera formal y significativa para él. (RELME, 2005).

Como se puede observar en las figuras, los estudiantes representan los sólidos

platónicos desde diferentes puntos de vista, 13 estudiantes de los 18 estudiantes

logran realizar estas representaciones, analizando y reflexionando frente a ellas.

Mediante el trabajo con las representaciones las personas asignan significados y

comprenden las estructuras matemáticas, de ahí su interés didáctico (Radford, 1998),

esta razón ha llevado a que “las representaciones se consideren parte esencial del

aparato conceptual necesario para analizar los procesos de aprendizaje y comprensión

de las matemáticas” (Rico, 2009, p.4)

90

En ese sentido, según D’Amore (2005) la construcción del conocimiento en

matemáticas significa precisamente la unión de tres acciones sobre los conceptos; es

decir, “la expresión misma de la capacidad de representar los conceptos, de tratar las

representaciones obtenidas al interior de un registro establecido y de convertir las

representaciones de un registro en otro”. (p.33).

Las categorías y subcategorías de análisis que se tuvieran en cuenta para el desarrollo

de la actividad número 5, se represente a través de la siguiente tabla, podemos

observar que la cantidad de los estudiantes que no logran cumplir con los objetivos de

la sesión son aproximadamente la mitad de los estudiantes, pero la parte que

pertenece a la otro mitad desarrollan conceptos y habilidades importantes frente a

las tres categorías de análisis, percepción espacial, visualización y rotación mental.

Es importante por las implicancias que tiene para la enseñanza la diferenciación entre

el espacio físico y el espacio geométrico y, una forma adecuada de establecer esa

diferenciación, es a partir de los elementos constitutivos de cada uno. Los elementos

del espacio físico son perceptibles y manipulables. El espacio físico es el espacio

sensible, el que se vive, se percibe, el que permite desplazamientos, en él se realizan

acciones físicas sobre los objetos. En cambio los elementos del espacio geométrico son

representaciones intelectuales. En él se construyen representaciones de las formas:

uni, bi y tridimensionales. Los distintos espacios geométricos son espacios abstractos.

Garcia (2008)

Actividad 5

P.E

P.E (2)

P.E (3)

P.E (4)

P.E (5)

P.E (6)

P-E (7)

V (1)

V (2)

V (3)

91

Actividad 6


Categoría de análisis

Sub- Categorías de análisis

Si (F1, F2, F3)

N

O

8

10




construcciones mentales de

forma, objeto o conjunto de

objetos entre el espacio.

(Clements 2009)

10

8


forma progresiva (Clements

2009)

8

10





2012)

9


perspectivas desde las que se

puede contemplar una realidad

espacial.(MEN 1998)


referencia. Localización de

objetos en el espacio.

13

5


complejas implicando la

referencia de los puntos de vista

sobre el mundo y de los otros con

su propio cuerpo. (Pineda 2012)

92

8

10


Objetivación de los puntos de

vista y juicios sobre las relaciones

espaciales.

9

9

Diferenciar entre espacio propio,

próximo y lejano (Castañer, 2001).

10

8

Saber actuar con localizaciones

de objetos en el espacio según

marcos de referencia subjetivos

(egocentrismo) y objetivos

(Castañer, 2001).

9

9

Ser capaz de proyectar el propio

cuerpo en el espacio circundante

(Castañer).

9

9



variaciones de tamaño y forma

que se pueden percibir como

resultado de las diferentes

ubicaciones de observación como

giro, acercamiento o no de las

figuras. Tomado de (Pineda 2012)

11

7


construir relaciones entre

objetos y el espacio (Clements

2009).

8

8

Reconocimiento de figuras según

su forma, lados rectos o curvos,


12 6 Identificación de propiedades


forma de las caras planas y

93

Visualización

curvas, convexidad.(Pineda 2012)

13 5 Descripción, reproducción y

representación de figuras y

cuerpos utilizando

representaciones de algunas

formas bidimensionales y


(Pacheco 2010)

12 6 Mejorar la calidad del análisis



1991).

8

10

Reconocimiento de movimientos,

simetrías, traslaciones y

rotaciones en la construcción de

representación de figuras.(Pineda

2012)

10

8

Promover experiencias de

organización espacial que

conjuguen elementos propios de

su estructura y de orientación al

espacio (Castañer, 2001).

9

9

Capacitar al niño para que pueda

representar en forma simbólica lo

que ha vivido y percibido,

mediante la utilización del

grafismo. (Le Boulch, 1991).

10

8

Desarrollar las capacidades

mentales de rotación (Clements

94

Rotación Mental

2009)

8

10

Orientar o situar objetos y

sujetos con la necesidad de

relacionar los objetos entre sí, en

función de una perspectiva dada.

(Pineda 2012)

9

9

Saber conjugar diversos

elementos de estructura espacial

(alturas, planos, distancias, ejes…)

(Castañer, 2001).

La actividad 6, es la última actividad que se aplicó al grado 501 del colegio

pombolandia, para llevar a cabo esta actividad se dividió en dos sesiones.

95

En la primera sesión, el docente da una clase magistral de los conceptos básicos de la

geometría descriptiva, como lo son puntos, rectas, segmentos, diferentes planos con

diferentes puntos de vista, y las diferentes proyecciones que se pueden realizar y los

modelos con los cuales se debe dibujar en cada plano, los estudiantes muy

emotivamente participaron en clase, llegando a muchos conceptos y concepciones que

no se habían logrado en ninguna de las sesiones anteriores.

Se entiende por

representación el conjunto

de herramientas (acciones,

signos o gráficos) que hacen

presentes los conceptos y

procedimientos matemáticos

y con los que los sujetos

abordan e interactúan con el

conocimiento matemático

(Espinosa, 2005); por lo

tanto, se reconoce que no

existe una sola forma de

representar un objeto

matemático, sino, que por el

contrario éste puede

hacerse presente de diversas formas que no son aisladas, sino que se articulan

en sistemas estructurados y facilitan el proceso de aprendizaje. (Rico, 2000).

Como se puede observar en la figura los

estudiantes realizan la representación del punto

de fuga, algunos planos desde diferentes

perspectivas, la construcción de cuadriláteros

regulares en los diferentes lados del plano, y

realizan modelos desde diferentes puntos de

vista, logrando muchos subcategorías de análisis

referente a la percepción espacial, visualización

y rotación mental.

Cada estudiante debía escoger cualquier objeto

con el ánimo de ser representado

tridimensionalmente en un plano bidimensional

desde todas sus perspectivas posibles.

96

En esta actividad podemos observar que el

número de estudiantes que logran los objetivos

propuestos por el docente y las categorías de

análisis con las que se evalúan, es mucho más

alto que las actividades anteriores, en esta

actividad podemos ver que aproximadamente el

70 % de los estudiantes desarrollan habilidades

para la representación tridimensional en un

plano bidimensional.

Las últimas investigaciones en el tema nos

muestran que la enseñanza sistemática de la

geometría desarrolla en el sujeto habilidades:

visuales, verbales (o de comunicación), de dibujo

y construcción, lógicas (o de pensamiento), de

aplicación o transferencia (Bressan, 2000).

Seguido a esto los estudiantes tenían que dibujar dos esquinas del colegio por elección

de cada estudiante, Godino, Batanero y Font (2004) En el capítulo alusivo a la

geometría se establece que el aprendizaje del espacio es significativo en el medio en

que el estudiante está inmerso, debido a que la realidad que está al alrededor

comprende objetos con formas y dimensiones diferenciadas y al desarrollar los

contenidos relacionados con el conocimiento, orientación y la representación espacial

el educando debe ir progresando en función de sus vivencias y nivel de competencias

cognitivas.

97

Podemos observar en los estudiantes que existe confusión entre el espacio físico y el

espacio geométrico6, esto hace que se piense que se aprende geometría por el sólo

hecho de estar viviendo en un medio que contiene “elementos” que se asemejan a las

formas geométricas de estudio. Entonces según esto bastaría que un niño manipule un

objeto con forma de cubo para que lo distinga por sus propiedades de otro con forma

esférica. Es como si los objetos por si mismos “enseñaran” cuando en realidad es el

sujeto el que distingue las formas a partir del análisis de propiedades de las mismas.

Como podemos observar en la figura 1 los estudiantes en la segunda sesión de clase

debían realizar un modelo de una iglesia siguiente las instrucciones del docente,

utilizando un escala específica para cada segmento que se realizara en el plano, esta

actividad muestra las capacidades que posee el estudiante a la hora de desarrollar

modelos tridimensionales, el pensamiento espacial es una opción acertada para el

fortalecimiento de las competencias matemáticas, ya que el manejo de información

espacial para resolver problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios

es peculiar a esas personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima

98

que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico,

la arquitectura, las ingenierías, la aviación y muchas disciplinas científicas como

química, física, matemáticas requieren personas que tengan un alto desarrollo de

inteligencia espacial.

Mammana y Villani (1998) expresan que el conocimiento geométrico es un componente

matemático que debe ocupar un lugar privilegiado en los currículos escolares por su

aporte a la formación del individuo. No sólo se considera como una herramienta

necesaria para describir el espacio circundante, comprenderlo e interactuar con él,

sino que, como disciplina científica descansa sobre importantes procesos de

formalización que son ejemplo de rigor, abstracción y generalidad.

Es por ello que los autores del estudio OCDE/ PISA indican que se debe ser

consciente de cómo se ven las cosas y por qué se ven así; los estudiantes tienen que

aprender a desenvolverse a través del espacio, de las formas y de las construcciones.

Igualmente hay que entender cómo los objetos tridimensionales pueden representarse

en dos dimensiones, cómo se interpretan las sombras, cuáles son sus perspectivas y

sus funciones.

99

Como podemos observar en la grafica que corresponde a la actividad 6, se puede

observar que el 65 % de los estudiantes lograron desarrollara estas representacion

tridimensionales en un plano bidimensional, reconociendo elementos como el punto, el

segmento, la recta y los diferentes planos que se pueden realizar partiendo desde

diferentes puntos de vista. Como lo afirma Guzmán (2007), lo importante es que el

niño realice una manipulación de los objetos matemáticos, desarrolle su creatividad,

reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo, adquiera

confianza en sí mismo, se divierta con su propia actividad mental, haga transferencias

a otros problemas de la ciencia y de su vida cotidiana y por último, prepararlo para los

nuevos retos de la ciencia y la tecnología

Actividad 6

P.E

P.E (2)

P.E (3)

P.E (4)

P.E (5)

P.E (6)

P-E (7)

V (1)

V (2)

V (3)

100

CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES

En este apartado se establece las principales conclusiones obtenidas respecto de los

objetivos específicos de la investigación, los cuales permiten determinar el alcance de

los propósitos y el objetivo general de la misma. De igual manera, se determina las

principales contribuciones de tipo teórico y didáctico y se perfilan sugerencias de

continuidad para el estudio.

En relación con el análisis de los referentes bibliográficos, se logró una aproximación a

los antecedentes de la investigación, esto permitió ampliar el horizonte de estudio y

delimitar el área de investigación. Consideramos que su importancia está en la

posibilidad que ofrece, al planificar una actividad, de establecer y enriquecer

relaciones varias: relaciones entre el docente y los alumnos, entre los estudiantes y

entre el concepto geométrico y los alumnos. En este sentido se puede concluir que:

A nivel regional se evidencia la escasa investigación en geometría descriptiva

frente al desarrollo del pensamiento espacial en estudiantes de distintos

grados escolares. En este sentido la presente investigación muestra de manera

reflexiva y critica los problemas del contexto escolar en torno al desarrollo del

pensamiento espacial por medio de la geometría descriptiva.

Existen diferencias entre el currículo de matemáticas o los estándares básicos

con lo que se proyectó en el aula de clases del colegio pombolandia ubicado en la

localidad de Tunjuelito, el tratamiento frente al pensamiento geométrico en el

aula es escaso, ya que se le da mayor importancia al pensamiento numérico.

Incorporar la propuesta, tal vez por diferir ella de las formas de trabajo de los

estudiantes fue algo difícil trabajar con los estudiantes, pero fue evidente que

a medida de que los estudiantes avanzaban en sus clases, su interés y su

desempeño aumentaba, esto favoreció, ya que se avanzó significativamente con

aproxidamante el 70% de los estudiantes.

En el proceso de formación del pensamiento espacial a través de los sistemas

geométricos, notamos que existe una dependencia entre las capacidades

individuales y las oportunidades que la sociedad ofrece al estudiante.

Actuar y argumentar sobre los objetos del espacio apoyándose en modelos y

figuras, como los sólidos platónicos que se trabajaron en algunas actividades,

permitieron construir los conceptos de una menara formal y significativa.

101

La imaginación espacial se enriquece y se potencia con experiencias espaciales

reales, por eso la geometría descriptiva fue un medio apropiado para el

desarrollo de nuestro objetivo principal el cual es el desarrollo de pensamiento

espacial.

Los estudiantes desarrollaron por si mismos situaciones presentadas por el

docente en las diferentes actividades propuestas, logrando un desarrollo

destacable frente a la intuición espacial.

Representaciones tridimensionales en planos bidimensionales fue un tema que

se trabajó constantemente con los estudiantes de grado 5 del colegio

pombolandia. Para el desarrollo de estas, se evidenciaron 3 categorías de

análisis (Visualización, percepción visual y orientación espacial) las cuales

fueron importantes para que la mayoría de los estudiantes desarrollaran y

lograran los objetivos propuestos.

102

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DESARROLLO DE PENSAMIENTO ESPACIAL: UNA PROPUESTA DE...

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