Desarrollodehabilidadesmatemticas.Cuadernillodeapoyo2012.Segundogradodesecundariafue desarrolladoporlaDireccindeMediosyMtodosEducativos,delaDireccinGeneralparala Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educacin, Secretara de Educacin de Guanajuato. Secretara de Educacin de Guanajuato Subsecretara para el Desarrollo Educativo Direccin General para la Pertinencia y la Corresponsabilidad de la Educacin Direccin de Medios y Mtodos Educativos Departamento de Matemticas Primera edicin, 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato, 2012 Conjunto Administrativo Pozuelos s/n, Centro, 36000, Guanajuato, Gto. Impreso en Mxico Distribucin Gratuita Prohibida su venta Presentacin A las maestras y maestros: La evaluacin es un proceso necesario para identificar los aprendizajes que las alumnasylosalumnoshanadquiridosatisfactoriamenteyaquellosque debern ser reforzados. Aoconao,laSecretaradeEducacinPblicaaplicalapruebaENLACEa todaslasprimariasysecundariasdelpas,paratenerinformacinsobreel desempeo escolar de los alumnos. Enestecontexto,Desarrollo dehabilidadesmatemticas.Cuadernillode apoyo2012.Segundogrado desecundariaesunmaterialquetienecomopropsitoofrecerlesunaherramientadeapoyoqueles permitaguiarasusalumnosenlapreparacinparalapruebaENLACE2012,atravsdeunaseriede actividadeselaboradasconbaseenelprogramadeestudiodematemticasparafortalecerlostemas clave determinados a partir de los resultados de la prueba ENLACE 2011. Los invitamos a que aprovechen este recurso y que apoyen a sus alumnos en el uso del mismo, de modo que les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora. Para ello, les sugerimos atender las Orientaciones metodolgicas que se encuentran en este cuadernillo. Estamossegurosdequeconsucompromisoycolaboracincontinuaremostrabajandoparahacerde Guanajuato un estado de acciones encaminadas a mejorar la calidad de la educacin. A las alumnas y alumnos: Laevaluacinesunelementonecesarioentuprocesodeaprendizaje,yaque medianteellateesposibledetectarculessonlostemasycontenidosque dominas y aquellos que necesitas fortalecer. LapruebaENLACE,queaoconaoseaplicaatodaslasprimariasy secundarias del pas, tiene la finalidad de evaluar tus conocimientos en el rea deespaol,matemticasyunaterceraasignatura,yofrecerteundiagnstico individual sobre los conocimientos y habilidades en los temas evaluados. Duranteestecicloescolar,laSecretaradeEducacindeGuanajuatoponeatudisposicinelmaterial Desarrollodehabilidadesmatemticas.Cuadernillodeapoyo2012.Segundogradodesecundaria,el cualfueelaboradoconelpropsitodeservirtecomounaherramientadepreparacinparalaprueba Enlace 2012. Este cuadernillo contiene una serie de actividades elaboradas con base en el programa de estudiodematemticasparafortalecerlostemasclavedeterminadosapartirdelosresultadosdela prueba ENLACE 2011. Es importante que para realizar el trabajo que te propone este cuadernillo, te apoyes en tu maestro de la asignatura de matemticas, ya que l te podr orientar en el uso del mismo. Recuerda que la evaluacin es un complemento de tu aprendizaje, por lo que te invitamos a considerar este proceso como una oportunidad para analizar tu desempeo escolar.Cmo est organizado el cuadernillo de apoyo? El cuadernillo est diseado por temas. Cada leccin iniciar con la siguiente informacin: Cada tema incluye cuatro secciones que se describen a continuacin: Consisteenelplanteamientogeneraldeltemaquesevaa trabajar. Esta seccin incluye una situacin cotidiana que permite retomar los conocimientos previos sobre el tema. Constituyelapartemsampliadeltema,yaquecontienela presentacindecontenidosyactividadesquepermiten fortalecer los aprendizajes que sern evaluados. Incluye una breve descripcin de los contenidos retomados en la leccin.Tambincontienesitiosdeintersquesepueden consultar para ampliar los conocimientos sobre el tema. Enestaseccinsedeberresolverunaevaluacinsobrelos contenidos retomados en la leccin. Es importante que se utilice la Hoja de respuestas que se encuentra en la parte posterior del cuadernillo,yaqueesnecesariopracticarelllenadodelos crculos que presenta la prueba tipo ENLACE. Introduccin Evaluacin Cierre Desarrollo Presenta una imagen alusiva al tema. Tema del que tratar la leccin. Bloque del programa de estudio que incluye el tema a revisar. Eje temtico al que corresponde la leccin, de acuerdo al programa de estudio. Aprendizaje especfico que se desea lograr en la leccin. Tema general al que corresponde la leccin, de acuerdo al programa de estudio. Subtema especfico al que corresponde la leccin, de acuerdo al programa de estudio. Aprendizaje que el alumno debe adquirir en ese bloque, eje temtico y tema, de acuerdo al programa de estudio. Orientaciones metodolgicas Estecuadernillohasidodiseadoconlafinalidaddequelosalumnosprocesenlainformaciny desarrollenlasactividadesyevaluacionescontenidasencadaunodelostemas,demaneraindividual, empleando tiempo extra clase. Sin embargo, ser de gran apoyo las orientaciones y retroalimentaciones que puedan obtener de la maestra o maestro que les imparte la asignatura de matemticas. Enestesentido,sesolicitaalasmaestrasylosmaestrosqueatiendanalassiguientesorientaciones metodolgicas,paraapoyarmuycomprometidamenteasusalumnos,demodoqueesterecurso didctico les pueda servir como una herramienta de fortalecimiento y mejora. En un primer momento, acompaar a los alumnos en la lectura de la presentacin y organizacin del cuadernillo. Identificar y comentar con ellos las temas especficos que han sido desarrollados. Esto se puede hacer de manera grupal en un espacio de clase no mayor a 10 minutos. Previo al estudio de un tema: Presentarlasituacinplanteadaenlaintroduccin.Estoconlaintencindegeneraruna activacin cognitiva en los alumnos en relacin con la temtica a estudiar. Orientarlaatencindelosalumnossobrelosaspectosdeltemaenlosquedebernponer especial cuidado al momento de procesar la informacin y realizar las actividades y evaluaciones plantedas.Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 7 minutos. Posterior al estudio de un tema: Retroalimentarelaprendizajedelosalumnosmedianteunaactividadgrupalenlaquehagan una recapitulacin breve sobre el desarrollo de las actividades y las soluciones de la evaluacin. Estoconlaintencindesocializarelaprendizajeindividualdelosalumnosyresolverlasdudas que se presenten. Se recomienda que esto se realice al finalizar una clase, en un lapso no mayor a 12 minutos. Esperamos que estas orientaciones sean de utilidad para lograr el fortalecimiento de los temas clave que contiene el cuadernillo y generar la adquisicin de los aprendizajes esperados en los alumnos. Contenido Tema 1. Proporcionalidad mltiple _____________________________________________________________1 Resuelve problemas de valor faltanteque impliquen al menos tres conjuntos de cantidades, empleando procedimientos de proporcionalidad mltiple. Tema 2. Prismas y pirmides__________________________________________________________________7 Resuelve problemas que impliquen el clculo del volumen de prismas rectos o pirmides, o cualquiera de sus elementos. Tema 3. Sucesiones de nmeros enteros_______________________________________________________15 Determina la regla algebraica que genera una determinada sucesin de nmeros con signo positivo y/o negativos. Tema 4. Rectas en el plano cartesiano _________________________________________________________21 Identifica los efectos de los parmetrosm ybde la funciny mx b = + , en la grfica que corresponde. Tema 5. Potencias negativas________________________________________________________________28 Determina la expresin equivalente simplificada que resulta de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo. Tema 6. Ecuaciones lineales con dos incgnitas _________________________________________________37 Resuelve problemas que implican el planteamiento y solucin de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Anexo 1. Clave de respuestas correctas de las evaluaciones ________________________________________47 Anexo 2. Patrones para recortar y armar un prisma y una pirmide pentagonal________________________51 Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 1 TEMA 1. PROPORCIONALIDAD MLTIPLE Bloque I Eje temtico: Manejo de la informacin Tema:Anlisis de la informacin Subtema: Relaciones de proporcionalidad Resultadogeneraldeaprendizaje:Resuelveproblemasdevalorfaltante considerando ms de dos conjuntos de cantidades. Resultado especfico de aprendizaje:Resuelve problemas de valor faltanteque impliquen al menos tres conjuntos de cantidades, empleando procedimientos de proporcionalidad mltiple. Introduccin: Parahacerunregalo,Rocihacompradounacajadeformacuadrangular,esdecir,tienela formadeunprismacuadrangularlacualmidedebase4centmetrosporlado,ytieneuna altura de 8 centmetros, por tanto su volumen es de 128 centmetros cbicos. Pero la mam de Roco necesita una caja ms grande, que tenga de base 12 centmetros por lado y una altura de 24centmetros,esdecir,eltripledelasdimensionesdelacajaanterior. Cuntodevolumen tendr la caja con estas ltimas medidas? Existenproblemasdondeintervienenmsdedosrelacionesdeproporcionalidad,mismasquepuedenono tener el mismo sentido, es decir, no necesariamente tienen que ser todas de proporcionalidad directa o inversa. Enestetemaaprenderscmoresolverproblemasenloscualeshaydosmsconjuntosdecantidadesquese encuentran en proporcin directa o proporcin inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad mltiple. Desarrollo: Acontinuacintepresentamosinformacinnecesariaparapoderresolverproblemascomoel delaintroduccin.Seresolvernalgunosejerciciosacercadediferentessituacionesdelavida cotidianadondeesnecesariaunasolucindeestanaturaleza.Concluiremosconalgunos ejercicios donde tendrs la oportunidad de aplicar lo aprendido. Las proporciones y el volumen Al calcular el volumen de algunos objetos geomtricos estamos en unadelassituacionesenlasquesurgenproblemasde proporcionalidad mltiple. Porejemplo,conelprismarectangulardeladerecha,alhacer variacionesenalgunadesusdimensiones,podemoscompletarla siguiente tabla: Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) 846192 1646384 44696 24648 Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 2 El volumen de un prisma rectangular se calcula multiplicando el largo por el ancho por la altura del prisma, es decir,Largo Ancho Altura V = Recuerda En la tabla anterior se puede observar que el ancho y la altura del prisma permanecen fijas mientras que el largo est variando, por tanto el volumen tambin est variando. Observa que si el largo aumenta lo doble el volumen tambin aumenta lo doble, si disminuye a la mitad el largo el volumen tambin disminuye a la mitad, por tanto se tiene que el largo del prisma y el volumen son dos cantidades directamente proporcionales y, en este caso, la constante de proporcionalidad es 24 (cociente de el volumen y el largo). Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad la otra tambin aumentaenlamismaproporcinosiunadisminuye,laotracantidadtambindisminuyeenlamisma proporcin.Dosconjuntosdecantidadessoninversamenteproporcionales,cuandoalaumentaruna cantidad al doble, triple, etc., la otra cantidad correspondiente disminuye a la mitad, triple, etc., o viceversa. Recuerda Ahora, si variamos la altura del prisma y dejamos fija la medida del ancho y largo, se tiene la siguiente tabla: Observa que, si la altura del prisma aumenta lo doble el volumen tambin aumenta lo doble, si aumenta al triple laalturatambinelvolumenaumentaaltriple.Portanto,enestecasolaalturayelvolumendelprismason tambincantidadesdirectamenteproporcionalesylaconstantedeproporcionalidades32(cocientedeel volumen y la altura). En el ejemplo del prisma rectangular vimos que hay proporcionalidad directa entre una mediday el volumen si dejamos fijas a las otras dos. Otrasituacinquetenemosdeproporcionalidadmltipleescuandovariamosdosmedidasalavez. Refirindonos al mismo prisma,veamos la siguiente tabla: Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) 846192 8412384 8418576 84396 Largo del prisma (cm) Ancho del prisma (cm) Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) 846192 16412768 324182304 44348 Lassituacionesdeproporcionalidadmltiplesecaracterizanporquedosomscantidadesseencuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad.Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 3 Observa queel volumen con respecto a las medidas originales del prisma aumentacuatro vecessi el largo y la altura del prisma aumentan lo doble, que aumenta nueve veces si las respectivas medidas que estamos variando aumentanlotripleyfinalmentequelamedidadelvolumendisminuyecuatrovecessiellargoylaalturadel prismadisminuyenalamitad.Pero,dedndeseobtieneesenmerodevecescorrespondeaumentaro disminuir al volumen?Enelcasoenqueelvolumenaumentacuatroveces,sedebeaqueellargodelprismaaument2vecessu medida original y tambin la altura aumento 2 veces, por tanto multiplicamos estos nmeros, es decir2 2 4 = . Cuando el volumen aumenta nueve veces es por que el largo y la altura del prisma aumentan tres veces, es decir 3 3 9 = . Cuando el volumen del prisma original disminuye cuatro veces,se debe a que tanto el largo como la altura del prisma original disminuyen a la mitad de la medida original, as 1 1 12 2 4 = . De la misma forma, si todas las dimensiones del prisma aumentan al triple entonces, el volumen del prisma que seobtienees5184cm3.Elvolumendelprismaoriginalaument27veces( 27 192 5184 = ),yaquecada dimensin del prisma original aument 3 veces, luego3 3 3 27 = . Si el largo y el ancho del prisma aumentan lo doble y la altura aumenta lo triple, entonces el volumen del nuevo prisma es 2304 cm3. El volumen del prisma aument 12 veces ya que2 2 3 12 = , as 12 192 2304 = . Si el largo del prisma disminuye cuatro veces y el ancho aumenta 3 veces, entonces el volumen del nuevo prisma es 144 cm3. El nmero de veces que se debe multiplicar el volumen del prisma original es 34, ya que disminuir 4 veces y aumentar 3 veceslas medidas correspondientesdel prisma significa que debemos multiplicar 3 14 43 = . Por tanto 3492 144 = . Actividad De acuerdo a las medidas del prisma cuadrangular de la derecha responde lo siguiente a)Silosladosdelabaseaumentaaltriple,cules volumen del prisma que se obtiene? b)Si uno de los lados de la base del prisma aumenta al dobleylaalturadisminuyealtriple,cules volumen del prisma que se obtiene? Lado de la base: 2 cm Altura: 4 cmVolumen: 16 cm3 Elejemploquetemostramosacontinuacincorrespondeaunasituacindeproporcionalidadmltipleenla que los conjuntos de cantidades involucradas se relacionan en proporcionalidad tanto directa como inversa. Miguel tiene una semana que entr a trabajar a una empresa de banquetes y para el prximo evento su jefe le pidiquesehicieracargodeprepararsuficienteaguadefrutasparaofreceralosinvitados.Siensuprimer eventoMiguelnotquedurante6horaslosinvitadosde12mesasconsumieron144litrosdeagua.Cuntos litros de agua deber prepara Miguel si este evento durar 3 horas y se pondrn 60 mesas para los invitados? En algunas situaciones de proporcionalidad mltiple, como en la del prisma rectangular, si dos omas delas cantidadesvaranalmismotiempo,porejemplosiellargoaumenta vecesyalmismotiempolaaltura aumenta veces, pero el ancho del prisma permanece fijo, entonces el volumen del prisma original aumenta veces.Msaun,sielanchodelprismatambinaumenta veces,entonceselvolumendelprisma original aumenta veces. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 4 Para solucionar este problema es til elaborar la siguiente tabla: Horas que dura el evento Nmero de mesasLitros de agua 612144 1212288 31272 236144 324144 126144 184144 112 De la tabla anterior se tiene que para 12 mesas durante 3 horas se necesitan 72 litros de agua, por tanto para 60 mesas12 5 60 = ,debemosmultiplicarelnmerodelitroscorrespondientepor5tambin,72 5 360 = ,lo que significa que Miguel deber preparar 360 litros de agua para atender a las 60 mesas durante las 3 horas que dura el evento. Ms aun, de la tabla anterior se pueden hacer las siguientes observaciones: a)En los renglones coloreados de azul, si dejamos fijo el nmero de mesas entonces, el nmero de horas del evento y la cantidad de agua son directamente proporcionales, la constante de proporcionalidad es 24 (el cociente de los pares de cantidades). b)En los renglones coloreados de verde,si dejamos fijo el nmero de litros de agua entonces, el nmero dehorasdeleventoyelnmerodemesassoncantidadesinversamenteproporcionales,laconstante de proporcionalidad inversa es 72 (el producto de los pares de cantidades). c)En el rengln de color naranja se tiene el valor que corresponde a las unidades, lo cul quiere decir que en 1 mesa, durante una hora se consumen 2 litros de agua, por tanto, si queremos calcular la cantidad deaguapara60mesasdurante3horassedebemultiplicar2 3 60 360 = yobtenemoslamisma solucin. Cuando se tratan problemas de proporcionalidad mltiple puede suceder que, cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Unadelastcnicastilespararesolverproblemasdeproporcionalidadmltipleesencontrarelvalorque correspondealasunidades.Paraellodejamosfijalaprimeracantidadyreducimoslasegundahastala unidad, modificando los valores de la tercera cantidad en la proporcin correspondiente. Despus hacemos la reduccin hasta la unidad de la segunda cantidad.Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 5 Actividad Paraunaexcursin,secalculaquesenecesitan20litrosdeaguaadiarioparacada3niosque participan. Con esta informacin responde lo siguiente: a)Cuntos litros de agua se necesitan, si la excursin es durante una semana y participan 120 nios? b)Si se deja fijo el nmero de nios, Qu tipo de proporcionalidad se tiene entre el nmero de das y la cantidad de agua? Cul es la constante de proporcionalidad correspondiente? c)Si en la excursin participan 60 nios, Cuntos litros de agua se necesita para una semana? Reconsideremos ahora la situacin planteada en la introduccin: Parahacerunregalo,Rocihacompradounacajadeformacuadrangular,esdecir,tienelaformadeunprisma cuadrangular la cual mide de base 4 centmetros por lado, y tiene una altura de 8 centmetros, por tanto su volumen es de 128 centmetros cbicos. Pero la mam de Roco necesita una caja ms grande, que tenga de base 12 centmetros por lado y una altura de 24 centmetros, es decir, el triple de las dimensiones de la caja anterior. Cunto de volumen tendr la caja con estas ltimas medidas? De acuerdo con lo que hemos visto,debemos calcular el nmero por el que se debe multiplicar el volumen del prisma original para obtener el volumen del nuevo prisma. Como las dimensiones del prisma aumentaroncada unaaltripleytenemostresmedidasqueson,ellargo,anchoyalturadelprisma,multiplicamospor 3 3 3 27 = veces,queeselnmero quebuscamos,por tanto elvolumenquetendrla cajaconlasnuevas medidas es 327 128 3456 cm = . Nota que, si calculamos el volumen del nuevo prisma aplicando la frmula obtenemos que12 12 24 3456 = , que es la misma respuesta, pero resultams prctico aplicar el procedimiento de proporcionalidad mltiple. Cierre: Enestetematehemospresentamosalgunasmanerasderesolverproblemasde proporcionalidadmltiple.Conlosejemplospresentadosyactividadesdesarrolladaspudiste notarqueinclusosepresentanproblemasenlosquesepuedeteneralavezuna proporcionalidad directa y otra proporcionalidad inversa. En particular se resolvieron problemas de calcular el volumen de un prisma rectangular y calcular cmo varia el volumen cambiando las dimensiones del prisma. Recuerda que en este tipo de problemas siempre es de mucha utilidadencontrar el valor que corresponde a las unidades.Paraellodejamosfijalaprimeracantidadyreducimoslasegundahastalaunidad,modificandolos valores de la tercera cantidad en la proporcin correspondiente. Despus hacemos la reduccin hasta la unidad de la segunda cantidad. Puedes encontrar ms informacin sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuacin. Para saber ms http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b01_t08_s01_descartes/TS_1_index.html http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b01_t07_s01_descartes/TS_1_index.html Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 6 Evaluacin: Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluacin. Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opcin que corresponda a la respuesta correcta. 1. Se tiene un prisma que mide 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 6 cm de alto, por lo que su volumen es 72 cm3. Si setiene otro prismacon el doble del largo, el triple delanchoyunaaltura4vecesmayor,culesel volumen del nuevo prisma en cm3? A) 288 B) 648 C) 1728 D) 1944 2.Setieneunprismaconunvolumende160cm3.Si tenemos un segundo prisma con la mitad de altura del anteriorperoconunanchodeltripledelanterior. Cul es el volumen del segundo prisma en cm3? A) 240 B) 320 C) 480 D) 960 3. En el campo 10 tractores consumen durante 6 horas detrabajo360litrosdegasolina.Sisedescompone4 tractoresysequiereconsumirlamismagasolina, cuntashorasdebernoperarlostractores restantes? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 4.Paraconstruirunmuroenunaescuelasehan contratado5albailesparasuconstruccin.Sidos albailes construyeron un muro de 12 m2 de superficie en3horasysuponiendoqueeltrabajoes proporcional,Qusuperficieenm2construirnlos5 albailes contratados en 4 horas? A) 16 B) 40 C) 48 D) 60 5.Enunafbricadondeseelaboranvestidos,30 mquinastejen2400metrosdetelaen20das, Cuntosmetrosdetelasetejenen14dassise ocupan 15 mquinas iguales? A) 400 B) 840 C) 1200 D) 1680 Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 7 TEMA 2. PRISMAS Y PIRMIDES Bloque II Eje temtico: Forma, espacio y medida Tema:Medida Subtema: Estimar, medir y calcular Resultadogeneraldeaprendizaje:Estimaycalculaelvolumendeprismasy pirmides rectos. Resultado especfico de aprendizaje:Resuelveproblemasqueimpliquenelclculodelvolumendeprismasrectoso pirmides, o cualquiera de sus elementos. Introduccin: Durante una clase, la maestra Lupita entreg a cada uno de sus alumnos un trozo de cartulina y un par de pentgonos de 5 cm de lado y rea igual a 43 cm2.Enseguida les pidi que cortaran delacartulinalas5caraslateralesquehacanfalta,demaneraquepudieranconstruirun prismapentagonalquetuvieraunvolumende645cm3.Culeslamedidadelaalturadel prisma que construyeron los alumnos y cunto mide su rea total? Siobservaslasituacinanterior,notarsqueseesthablandodelvolumenyreasdeuncuerpogeomtrico conocidocomoprisma.Pararesponderalaspreguntasplanteadasesnecesariosaberunpocosobrecuerpos geomtricos.Acontinuacinpresentamosalgunosconceptosimportantesrelacionadosconloscuerpos geomtricos conocidos como prismas y pirmides. Desarrollo: Frecuentementenos encontramosenla vidacotidianacondistintoscuerposgeomtricosque tienen una forma y caractersticas bien conocidas y definidas dentro del campo de la geometra. Asporejemploundadotienelaformadeuncubo, unalataderefrescotiene laformadeun cilindro,unladrillotienelaformadeunprisma,unacasadecampaatienelaformade pirmide, etc.A continuacin haremos un repaso breve sobre cuerpos geomtricosy describiremos las caractersticas de dos de los grupos de cuerpos geomtricos ms importantes, los prismas y las pirmides. Los cuerpos geomtricos Todo lo que percibimos son objetos de tres dimensiones; todos los seres y objetos de la naturaleza y todos los artefactos elaborados en las distintas culturas, son tridimensionales pues ocupan un lugar en el espacio fsico. Los cuerpos geomtricos son objetos tridimensionales que tienen ciertas particularidades, ciertas formas ms sencillas,mselementales,msregulares;porejemplo,losquepresentancarasexternasconstituidaspor polgonosocrculos,olosquetienenunaformaparcialototalmenteredonda.Enestegrupoquedanlos objetos que tienen la apariencia de cajas, pirmides, prismas, cilindros, conos, esferas, etc. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 8 Loscuerposgeomtricostambinsuelenserdenominadoscomoslidos.Estadenominacinesvlida, aunque no debe sugerir la idea de que tales cuerpos tienen que estar llenos interiormente, o tienen que ser duros; una caja de zapatos vaca y cerrada es tambin un ejemplo de cuerpo geomtrico. Recuerda Clasificacin de los cuerpos geomtricos Uncriteriobsicoparaclasificarloscuerposgeomtricosserefierealanaturalezadesuscarasexteriores.De esta forma tenemos: Loscuerposredondososlidosderevolucin,cuerposgeomtricosformadosporlarevolucin completa de una figura plana (llamada generatriz) alrededor de un eje de giro. Lospoliedros(poliedro=polus[mucho]+hedra[cara]=muchascaras)soncuerposgeomtricos limitados por un nmero finito de polgonos. Estos polgonos reciben el nombre de caras del poliedro, a lainterseccindedoscarasseleconocecomoaristayalpuntodeinterseccindemsdedoscaras como vrtice. Prismas Cuando las aristas de esas caras laterales son perpendiculares a las bases, se habla deprismasrectos;encasocontrario,setratadeprismasoblicuos.Lascaras lateralesdelosprismasrectossonrectngulos;ladelosprismasoblicuos, romboides (o rombos). Se denomina altura del prisma a la distancia entre las dos bases.Unprismasecalificacomoregularcuandoesrectoysusbasesson polgonos regulares Los paraleleppedos (paraleleppedo = paralellos [paralelos] + epipedon [plano]) son prismas cuyas basessonparalelogramos;porconsiguienteycomosunombreloindica,poseendosparesde caraslateralesparalelasycongruentes.Lasbasespuedenserrombos,romboidesorectngulos. Enesteltimocaso(queincluyetambineldelasbasescuadradas)elparaleleppedorecibeel nombredeortoedro(ortoedro=orto[recto]+hedra[cara]),prismaqueposeetodassuscaras rectangulares; el ortoedro debe ser pues un paraleleppedo recto, no oblicuo. El cubo viene a ser un ortoedro regular, pero no es el nico. Ortoedro Pirmides Losprismassonpoliedrosqueposeendoscarascongruentes(bases)ubicadasenplanosparalelosyconsus aristas homlogas paralelas, de tal modo que las dems caras (caras laterales) son paralelogramos. Laspirmidessonpoliedrosconunasolabasepoligonalycaraslateralestriangulares,queseunenenun punto denominado vrtice de la pirmide. El nmero de lados del polgono de la base (o, lo que es lo mismo, el nmerodecarastriangulareslaterales)determinaeltipodepirmide:triangular(llamadatetraedro), cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 9 TriangularCuadrangularPentagonalHexagonal Unapirmidesecalificacomoregular(orecta)sielpolgonodelabaseloesylos tringuloslateralessontodosisscelesycongruentes.Eltetraedroregularesuncaso particular, ya que los cuatro tringulos son equilteros. Se denomina altura de la pirmide a la distancia entre el vrtice y la base, mientras que la apotema es la altura de cualquiera de los tringulos issceles de las caras laterales. Superficies de los prismas y pirmides Son diversas las superficies de los cuerpos geomtricos, susceptibles de ser medidas. En el caso de los prismas y pirmides cuando hablamos del rea total nos estamos refiriendo al rea de toda su superficieexternay,paranollenartedefrmulas,diremossimplementequeencadacasohayqueevaluarla figura en cuestin, precisar los polgonos que forman las bases, y los polgonos de las caras laterales, tomar en cuenta los datos que se aportan, y hallar el rea de la superficie solicitada empleando las frmulas adecuadas. Ejemplo 1: Calcular el rea total de un ortoedro de base cuadrada de 8 cm de lado y 20 cm de alto. Un ortoedro es un prisma recto que tiene como base un rectngulo o cuadrado, en este caso la baseesuncuadradodelado8 cm l = y sabemosquelaalturadelosrectnguloslateraleses 20 cm h = . Este ortoedro se ilustra en la figura de la derecha. Para calcular el rea total, tA , debemos sumar el rea de los polgonos que forman las bases,bA , con el rea de los polgonos de las caras laterales, lA , es decir t b lA A A = + . Lasbasesestnformadaspor2cuadradosdelado8 cm l = ,porloqueelreadelasbases queda como ( ) ( )22 2 2 2 22 2 8 cm 2 64 cm 128 cmbA l l l l l l l = + = + = = = = El rea de un cuadrado se calcula multiplicando lado por lado 2cuadradoA l l l = = . Recuerda Las caras laterales estn formadas por 4 rectngulos de lado8 cm l =y altura20 cm h = , por lo que el rea de las caras laterales queda como ( ) ( ) ( )2 24 4 8 cm 20 cm 4 160 cm 640 cmlA l h l h l h l h l h = + + + = = = = Por rea entendemos lamedida de una superficie. As, por ejemplo en los prismas y pirmides, hablamos del rea de las bases, del rea lateral y del rea total cuando se trata de la suma de las dos anteriores. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 10 El rea de un rectngulo se calcula multiplicando su largo por su alto rectnguloA l h = . Recuerda Por lo que el rea total se obtiene de la suma del rea de las bases y el rea de las caras laterales 2 2 2128 cm 640 cm 768 cmt b lA A A = + = + =Ejemplo 2: Calcular el rea total de una pirmide regular hexagonal cuya base tiene 10 cm de lado y apotema de 8.66 cm, mientras que los tringulos laterales tienen una altura de 24.5 cm. La pirmide regular hexagonal tiene como base un hexgono (que es un polgono regular de 6 lados) y,por consiguiente,son seislostringulosisscelesqueconformansus caraslaterales. Esta pirmide se ilustra en la figura de la derecha. Paracalcularelreatotal, tA ,debemossumarelreadelabase bA ,conelreadelos polgonos de las caras laterales, lA , es decir t b lA A A = + . La base est formadas por un hexgono de lado10 cm l =y apotema8.66 cm a = , por lo que el reade las bases queda como ( )( )226 10 cm 8.66 cm 6 519.6 cm259.8 cm2 2 2 2bp a l aA = = = = = El rea de un polgono se calcula multiplicando su permetro por su apotema y dividiendo entre dos 2polgonop aA= . Recuerda Las caras laterales estn formadas por 6 tringulos issceles cuya basebes igual al lado del hexgono, es decir,10 cm b l = =y su altura es24.5 cm h = , por lo que el rea de las caras laterales queda como ( )2 210 cm 24.5 cm6 6 6 122.5 cm 735 cm2 2 2 2 2 2 2 2lb h b h b h b h b h b h b hA | | | |= + + + + + = = = = ||\ . \ . El rea de un tringulo se calcula multiplicando su base por su altura y dividiendo entre dos 2tringulob hA= . Recuerda Por lo que el rea total se obtiene de la suma del rea de la base y el rea de las caras laterales 2 2 2259.8 cm 768 cm 1027.8 cmt b lA A A = + = + = Volumen de cuerpos geomtricos Medir el volumen de un cuerpo geomtrico significa asignar un valor al espacio ocupado por el mismo. Como en elcasodecualquiermedicin,estoseconsiguecomparandoeseespacioocupadoconeldeunaunidadde volumen. La unidad de volumen es la de un cubo cuya arista mida 1 unidad ( ) de longitud (puede ser 1 cm, 1 m, etc.). Se dice que este cubo unitario tiene un volumen de 1 unidad cbica (1). Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 11 Siporejemplo,sedeseamedirelvolumendeunparaleleppedohayqueaveriguarcuntoscubosunitarios contiene; esto se puede conseguir dividindolo adecuadamente, como el de la figura siguiente. Luego,hayquecontarordenadamenteelnmerodecubosunitarios.Paraello, procedemos a averiguar cuntos hay en un piso, por ejemplo, el de la base, que tiene nuevefilasdetrescubos(otresfilasdenuevecubos),loquedauntotalde27cubos unitarios.Ahora,slofaltacontarcuntospisostieneelparaleleppedo:ocho.Por consiguiente, el paraleleppedo de la figura contiene 216 cubos unitarios; su volumen es, pues, 216 3u . Deaqupodemosinferirquesilasdimensionesdelasaristasdelparaleleppedosona ,b yc ,suvolumen vendr dado porV a b c = . Como un caso particular, el volumen de un cubo de aristaaser 3V a = . Volumen de prismas El procedimiento que hemos utilizado para calcular el volumen de un paraleleppedo se puedeextenderalcasodelosprismas, yaquestos compartenla siguientepropiedad: cualquierplanoquecortealcuerpoperpendicularmentealasaristas(enelprisma),da como interseccin una figura congruente con la base respectiva. Tal como se observa en la figura de la derecha. As,podemosimaginarqueelespaciointeriordelosprismaspuedesergeneradoporlafiguradelabase movindose en un ascensor perpendicular adicha basea lo largo dela altura, y llenando eseespacio a cada paso con su propia figura. De aqu surge la idea de considerar que Ejemplo 3: Calcular el volumen de un prisma recto pentagonal de 18 cm de altura, cuyas bases miden 8 cm de lado y tienen una apotema de 5.5 cm. Elprismarectopentagonaltienecomobaseunpentgono(queesunpolgonoregularde5 lados)y,porconsiguiente,soncincolosrectngulosqueconformansuscaraslaterales.Este prisma se ilustra en la figura de la derecha. Paracalcularelvolumendelprismadebemosmultiplicarsualturaporelreadesubase mediante la siguiente expresin 5rea de la base altura2 2prismap a l aV h h = = = Si sustituimos8 cm l = ,5.5 cm a =y18 cm h = en la formula anteriortenemos que el volumen del prisma es ( )( )2 35 8 cm 5.5 cm 518 cm 110 cm 18 cm 1980 cm2 2prismal aV h = = = =El volumen de los prismas es el resultado de multiplicar el rea de la base por su altura del cuerpo. As pues, el volumen viene dado por Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 12 Volumen de pirmides Para que puedas comprobar t mismo lo que aqu vamos a establecer en relacin al volumen de las pirmides realiza los que a continuacin se indica. Actividad 1.RecortalospatronesdelprismapentagonalylapirmidepentagonalqueaparecenenelAnexo2al final del cuadernillo. Nota que en ambos cuerpos geomtricos el rea de la base y la altura son iguales. 2.Para cada uno de los cuerpos geomtricos que recortaste, realiza los dobleces de sus caras laterales y nelasatravsdelapestaaquesobresaleenunadelasaristasdeunodelosextremos(puedes untar pegamento en la pestaa para unir las caras laterales). 3.Paralapirmidenounaslabasealascaraslateralesyparaelprismaunesolamenteunadelasbasesalascaras laterales. 4.Llenalapirmidedearenaodeazcar(odeotromaterialdiminuto)yvacaladentrodelprisma.Repiteelpaso anterior dos veces ms (para un total de tres veces). Qu puedes concluir despus de haber realizado el experimento anterior? Conelexperimentoanteriordebistenotarqueelcontenido(volumen)detrespirmidesesequivalenteal contenido (volumen) del prisma. En trminos geomtricos esto quiere decir que Ejemplo 4: Calcularelvolumendeunapirmideregularhexagonalde25cmdealturaycuyabasetiene10cmdelado y apotema de 8.6 cm. La pirmide regular hexagonal tiene como base un hexgono (como la mostrada en la figura de la derecha) y, para calcular su volumen, debemos multiplicar el rea de su base por su altura y dividir entre tres, esto lo hacemos mediante la expresin 6rea de la base altura 62 23 3 3 6pirmidep a l ah hl a hV l a h = = = = = Si sustituimos10 cm l = ,8.66 cm a =y25 cm h = en la formula anteriortenemos que el volumen del prisma es

310 cm 8.66 cm 25 cm 2165 cmpirmideV l a h = = = Actividad Realiza una figura y calcula el rea total y el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos geomtricos: 1.Prisma regular triangular con una altura de 10 cm y cuya base tiene 6 cm de lado y 5.2 cm de alto. 2.Prisma hexagonal con una altura de 10 cm y cuya tienen 6 cm de lado y 5.2 cm de apotema. 3.Pirmide recta cuadrangular de 10 cm de alto y cuya base tiene 6 cm de lado. 4.Tetraedro con una altura de 10 cm y cuya base tiene 6 cm de lado y 5.2 cm de alto. El volumen de una pirmide es la tercera parte del volumen de un prisma que tenga la misma base y la misma altura de la pirmide considerada. Es decir, Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 13 Ahora reconsideremos la situacin planteada en la introduccin: Durante una clase, la maestra Lupita entreg a cada uno de sus alumnos un trozo de cartulina y un par de pentgonos de 5 cm de lado y rea igual a 43 cm2.Enseguida les pidi que cortaran de la cartulina las 5 caras laterales que hacan falta, de manera que pudieranconstruir un prisma pentagonal que tuviera un volumen de645 cm3. Cul esla medidade la altura del prisma que construyeron los alumnos y cunto mide su rea total? Si analizas la informacin que nos dan, notars que se trata de un prisma pentagonal (como el de la figura de la derecha) del cual tenemos como datos el rea de la base 243 cmbaseA = , lalongituddelladodecadaunodelosrectngulosqueconformanlascaraslaterales 5 cm l =y su volumen 3645 cmprismaV = . Lo que nos piden calcular con estos datos es la altura h delprismaysureatotal.Paradeterminarlaaltura,ladespejamosdelafrmula rea de la base alturaprismaV = y sustituimos los datos 32rea de la base altura645 cm15 cm43 cmprisma baseprismabaseV A hVhA= = = = = Por otra parte, el rea total se obtiene de la suma del rea de las bases y el rea de las caras lateralest b lA A A = + y en este caso ya tenemos el valor delrea de una de las bases, que es 43 cm2, pero como son dos las bases entonces el rea de ambas bases es 2 22 43 cm 86 cmbA = = Las caras laterales estn formadas por 5 rectngulos de lado5 cm l =y altura15 cm h = , por lo que el rea de las caras laterales queda ( ) ( ) ( )2 25 5 5 cm 15 cm 5 75 cm 375 cmlA l h l h l h l h l h l h = + + + + = = = = Por lo que el rea total se obtiene de la suma del rea de las bases y el rea de las caras laterales 2 2 286 cm 375 cm 461 cmt b lA A A = + = + = Cierre: Enestetemahemoshechounrepasobrevesobrecuerposgeomtricos,presentadoalgunos conceptosimportantesydescribiendolascaractersticasdedosdelosgruposdecuerpos geomtricosmsimportantes,losprismasylaspirmides.Notastelasdiferenciasexistentes entre los prismas y las pirmides y aprendiste a calcular tanto su rea total, como su volumen a partir del conocimiento de algunos de sus elementos. Puedes encontrar ms informacin sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuacin. Para saber ms http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b02_t03_s01_descartes/TS_1_index.html http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b02_t04_s01_descartes/TS_2_index.html http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/2_segundo/2_Matematicas/2m_b02_t05_s01_descartes/index.html Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 14 Evaluacin: Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluacin. Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opcin que corresponda a la respuesta correcta de la situacin planteada. 1.Unartesanodeseaelaborarvelasconformade pirmidehexagonalquetenganunabasede210cm2. Cuntoscentmetrosdealturadebetenerelmolde parahacerlasvelas,sielartesanodebegastarslo 3150 cm3 de parafina por cada vela? A) 10.5 B) 15.0 C) 21.0 D) 31.5 2. Laura va a envolver un regalo con una caja que tiene formadeortoedrode25cmdealturaycuyasbases soncuadradosde15cmdelado.Cuntoscm2de papel necesita Laura para envolver su regalo? A) 850 B) 1950 C) 2750 D) 5625

3. Miguel compr un jugo en un empaque en forma de tetraedroyobservquedecaquesucontenidoera igual a 325 ml ( 325 cm3). Con una regla Miguel midi las aristas del tetraedro, pero no pudo medir su altura interior. Si con sus medidas Miguel calculque la base tiene80cm2derea,culeslaalturainteriordel tetraedro en centmetros? A) 4.1 B) 8.0 C) 12.2 D) 13.0 4. Francisco hizo una maqueta de una pirmide con los siguientes datos: Decuantoscm3eselvolumendelamaquetade francisco? A) 240B) 600 C) 720 D) 1800 5. De tarea Julia debe elaborar con cartulina un prisma como el que se muestra: Cuntoscm2decartulinanecesitarJuliacomo mnimo para hacer su tarea? A) 226 B) 510 C) 572 D) 634 Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 15 TEMA 3. SUCESIONES DE NMEROS ENTEROS Bloque III Eje temtico: Sentido numrico y pensamiento algebraico Tema:Significado y uso de las literales Subtema: Patrones y frmulas Resultado general de aprendizaje: Construye sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla dada y vice versa. Resultado especfico de aprendizaje:Determina la regla algebraica que genera una determinada sucesin de nmeros con signo positivo y/o negativos. Introduccin: EnunacarreratipomaratnquevadelaciudaddeGuanajuatoalaciudaddeLenlos organizadores tienen la indicacin de colocar puestos para repartir agua a los competidores en lossiguientesnmerosdekilmetros:3,10,17,24,31,38,Culeslaexpresinalgebraica quedebenseguirlosorganizadoresparacolocarpuestosdeaguaparatodoelrecorridodel maratn? En el problema anterior sabemos los nmeros de kilmetros en los que se colocarn puestos para repartir agua y nos piden encontrar una regla para determinar de manera rpida, por ejemplo, en cul kilmetro se ubicar el puestonmero13.Acontinuacintemostraremoselprocedimientoparadesarrollarexpresionesalgebraicas que nos dan la regla para definir los valores de una determinada sucesin de nmeros enteros. Desarrollo: Paraentenderciertassucesionesdenmerosenteros,esimportanteobtenerunaregla algebraica,lacualirgenerandolosnmerosqueformanlasucesin.Acontinuacinte presentamos algunos ejemplos de cmo construir sucesiones de nmeros con signo a partirde una regla dada, as tambin obtener la regla que genera una sucesin de nmeros con signo. Paraello,esimportanterecordarladefinicindesucesin,identificarelpatrnquesiguelasucesinpara generar los trminos, los cules pueden ser nmeros enteros positivos y negativos. Sucesiones de nmeros enteros Se llama sucesin de nmeros a un conjunto de nmeros colocados uno a continuacin de otro, a los cuales se les denomina trminos de la sucesin. Por ejemplo:3, 6, 9,12,...es una sucesin de nmeros naturales 4, 1, 2,... es una sucesin de nmeros enteros. Recuerda Laposicindelostrminosdeunasucesinvadesde1, 2, 3, 4, 5hastan ,dnden pertenecealconjuntode nmeros naturales. Por ejemplo, en la sucesin 3, 6,9,12,...al 3 le corresponde1 n = , al 6 le corresponde2 n = , al 9 le corresponde3 n =ya que el valor dennos indica el lugar que corresponde al trmino de la sucesin. Eltrminogeneraloreglaalgebraicaenunasucesin,esunaexpresinmatemticasquenospermite determinarelvalordecualquiertrminodelasucesinapartirdesuposicin.Enelcasodelasucesin lareglaalgebraicaesporqueobservamosquelosvalorescorrespondena .Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 16 Una tcnica para obtener la regla algebraica es 1.Multiplicar la posicin de un elemento que seleccionemos de la sucesin por la diferencia que hay entre dos trminos consecutivos de la sucesin. 2.El resultado de esta multiplicacin lo restamos al valor del elemento seleccionado de la sucesin. 3.Formarunbinomioenelqueelprimerelementoseaelproductodeladiferenciaentretrminos consecutivos yn ; y el segundo elemento sea el resultado que obtenemos en el paso anterior. Enlgebra,unbinomioconstanicamentededostrminos,separadosporunsignodems() + ode menos() . En otras palabras, es una expresin algebraica formada por la suma de dos monomios. Recuerda Vamos a mostrar lo anterior desarrollando algunos ejemplos. 1.- Considera la sucesin:4, 1,2,5,8,... Observa quela diferencia entredos trminos consecutivos es3 . Por lo que,si seleccionamos, por ejemplo,la segunda posicin ( 2 n = ), tenemos que 1.El producto de la posicin seleccionada por la diferencia entre dos trminos consecutivos es2 3 6 = . 2.El resultado de restar el valor determinado en el paso anterior al valor del elemento seleccionado de la sucesin ( 1 ) es1 6 7 = . 3.Elbinomioqueformamosconlosvaloresdeterminadosenlospasosanterioreses3 7 n .Que correspondealaexpresinalgebraicaquegeneratodosloselementosdelasucesinapartirdesu posicin. Para corroborar lo anterior observa la siguiente tabla Posicin de los trminos de la sucesin (valores den ). Diferencia entre el valor correspondiente a la posicin ny su consecutivo Producto deny la diferencia entre trminos consecutivos Diferencia entre el producto de la columna anterior y el valor correspondiente a la posicinn1 n = ( ) 1 4 3 = 1 3 3 = 4 3 7 = 2 n = ( ) 2 1 3 = 2 3 6 = 1 6 7 = 3 n = 5 2 3 = 3 3 9 = 2 9 7 = 4 n = 8 5 3 = 4 3 12 = 5 15 7 = Notarsqueconcualquieradelosrenglonesdelatablapodemosformarelbinomio3 7 n ,utilizandoel producto denpor el resultado de la segunda columna y sumando el resultado de la cuarta columna. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 17 La principal ventaja deobtener la regla algebraica deuna sucesin esqueconella podemos calcular cualquier trminodelasucesinpormsgrandequeseasuposicin.Porejemploculeselvalorenlasucesindel trmino correspondiente a la posicin 114? Para determinar este valor debemos sustituir la posicin en nuestro binomio, por lo que ( ) 3 7 3 114 7 335 n = = Otrapreguntainteresantequepodemosanalizaresquposicinocupaciertonmeroenlasucesin? Sabemos,porejemplo,queelnmero8ocupaposicin5enlasucesin,peroparaunnmeromuygrande como 434, cmo determinamos la posicin? Lo que se debe hacer es, al nmero dado restarle el segundo elemento del binomio que conforma la expresin algebraica de la sucesin y dividir el resultado el entre el coeficiente (nmero) del primer trmino del binomio. En este caso tenemos el binomio3 7 n , por lo que, si queremos saber la posicin del nmero 434, la operacin que debemos hacer es( ) 434 74411473 3n = = = por tanto,la posicin que ocupa el trmino 434 en la sucesin es 147. Notaqueunnmerodadoformarpartedeunasucesinsiyslosielresultadodebuscarsuposicinenla sucesin es un nmero natural (entero positivo). De lo contrario, el nmero no formar parte de la sucesin. Un nmero natural es cualquiera de los nmeros que se usan para contar los elementos de un conjunto.Recibenesenombreporquefueronlosprimerosqueutilizelserhumanopara contar objetos.Recuerda Enelejemploanteriortehemospresentadounasucesinenlaquelostrminosestncreciendo,elsiguiente ejemplo es una sucesin en la que sucede lo contrario, es decir,los trminos estn decreciendo. 2.- Considera la sucesin:15, 6, 3, 12,... Ladiferenciaentredostrminosconsecutivoses9 .Porloque,siseleccionamos,porejemplo,latercera posicin ( 3 n = ), tenemos que 1.Elproductodelaposicinseleccionadaporladiferenciaentredostrminosconsecutivoses ( ) 3 9 27 = . Ladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeunasucesinsecalculaalrestarauntrminoeltrmino inmediatoanterior.Enlassucesionesenlasqueladiferenciaentredostrminosconsecutivosesconstante, cada trmino se obtiene sumando o restando una misma cantidad al trmino anterior. Es importante indicar qunmeroeselprimertrminodelasucesin,delocontrariosepuedenobtenermuchassucesiones utilizando la misma regla. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 18 2.El resultado de restar el valor determinado en el paso anterior al valor del elemento seleccionado de la sucesin ( 3 ) es( ) 3 27 3 27 24 = + = . 3.Elbinomioqueformamosconlosvaloresdeterminadosenlospasosanterioreses9 24 n + .Que correspondealaexpresinalgebraicaquegeneratodosloselementosdelasucesinapartirdesu posicin. Ahoraquehemosdeterminadolaexpresinalgebraica9 24 n + ,correspondientelasucesinpodemos responde a preguntas como las siguientes: Cul es el valor en la sucesin del trmino correspondiente a la posicin 57? Para determinar este valor debemos sustituir la posicin en nuestro binomio, por lo que ( ) 9 24 9 57 24 489 n + = + = Qu posicin ocupa768 en la sucesin? Restandoalnmerodadoelsegundoelementodelbinomio9 24 n + ydividiendoelresultadoelentreel coeficiente (nmero) del primer trmino del mismo binomio tenemos que 768 24 769889 9n = = = Yahemospresentadounpardeejemplosenlosquesedeterminaroslasexpresionesalgebraicasque caracterizanunasucesindenmerosenteros.Ahorapresentamosunejemploenelque,apartirdela expresin algebraica, determinamos los primeros elementos que forman la serie. 3.- Si tenemos la regla algebraica5 7 n + , Cul es la sucesin que genera? Es una sucesin que va creciendo o decreciendo? En principio, podemos obtener importante informacin de la regla algebraica que se da, sabemos que el nmero n sedebemultiplicarporladiferenciaquehayentredostrminosdelasucesin,esdecirsetieneuna diferenciade5 ,Paracalcularlosprimerostrestrminosdelasucesinenlareglaalgebraica5 7 n + se sustituyen1 n = ,2 n =y3 n =de manera que ( ) 5 1 7 5 7 2 + = + = ( ) 5 2 7 10 7 3 + = + = ( ) 5 3 7 15 7 8 + = + = Si continuamos de la misma forma, veremos que la sucesin que se genera con la expresin algebraica5 7 n + es2, 3, 8, 13, 18, 23,... y, como se ve, la sucesin contiene trminos que van disminuyendo. A que se debe esto? Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es una constante se tiene que: a) Si la constante es positiva, entonces los trminos van aumentando. b) Si la constante es negativa, entonces los trminos van disminuyendo. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 19 Actividad Realiza lo que se indica a continuacin. 1. Relaciona las sucesiones del lado izquierdo con su correspondiente regla algebraica del lado derecho, escribiendo en el parntesis la letra correspondiente. SucesinRegla algebraica ()11, 6, 1, 4,14,19, 24, ... a)4 15 n ()13, 8, 3, 2, 7,12,17, ... b)5 18 n ()7, 3,1, 5, 9,13,17, 21, ... c)4 11 n ()11, 7, 3,1, 5, 9,13, ... d)4 10 n +()6, 2, 2, 6, 10, 14, 18, ... e)5 16 n 2. En la sucesin correspondiente al inciso e) de ejercicio anterior, Cul es el trmino de la sucesin en la posicin 117? 3. En qu posicin se encuentra el nmero 169dentro de la sucesin que genera la regla algebraica4 11 n . Antes de finalizar retomemos el problema de la introduccin para solucionarlo: EnunacarreratipomaratnquevadelaciudaddeGuanajuatoalaciudaddeLenlosorganizadorestienenla indicacindecolocarpuestospararepartiraguaaloscompetidoresenlossiguientesnmerosdekilmetros:3,10,17, 24, 31, 38, Cul es la expresin algebraica que deben seguir los organizadores para colocar puestos de agua para todo el recorrido del maratn? La sucesin que define el problema es3,10,17, 24,31,38,...Ladiferenciaentredostrminosconsecutivoses7 .Porloque,siseleccionamos,porejemplo,laprimera posicin ( 1 n = ), tenemos que 1.El producto de la posicin seleccionada por la diferencia entre dos trminos consecutivos es1 7 7 = . 2.El resultado de restar el valor determinado en el paso anterior al valor del elemento seleccionado de la sucesin ( 3 ) es3 7 4 = . 3.Elbinomioqueformamosconlosvaloresdeterminadosenlospasosanterioreses7 4 n .Que correspondealaexpresinalgebraicaquegeneratodosloselementosdelasucesinapartirdesu posicin. Cierre: Enestasesinhemosdesarrolladoalgunosejemplosdondesepresentarontcnicaspara obtenerlareglaalgebraicadeunasucesindada,analizarlasucesinyobtenerinformacin importantedeella.Seanalizaronsucesionesdondelostrminosestnaumentandoy sucesionesdondelostrminosestndisminuyendo.Ytambinobtuvimoslostrminosdela sucesin correspondiente, dada una regla algebraica Puedes encontrar ms informacin sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuacin. Para saber ms http://iap-ec.com/PreVirtual/files/matematicas/content/flash/sucesiones%20y%20progresiones/progresiones.swf http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b03_t01_s01_descartes/TS_2_index.html Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 20 Evaluacin: Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluacin. Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opcin que corresponda a la respuesta correcta de la situacin planteada. 1. Cules son los primeros 4 trminos de una sucesin con regla algebraica 12 2 n + ? A)10, 22, 34, 46,... B) 10,22,34,46,...C) 12,0,12,24,... D)12,0, 12, 24,... 2. Cules son los respectivos nmeros que hacen falta en la sucesin__, 3,8,19, __, 41, 52, __,... ? A)14, 30, 63 B)14,30, 63 C)11, 33, 60 D)11, 33, 60 3.Setienelasucesin8,11,14,17, 20,...,identificala regla algebraica que genera a la sucesin. A) 8 n +B)5 5 n +C)3 5 n +D) 3 n+ 4. Se tiene la sucesin14, 6, 2,10,18,... , identifica la regla algebraica que genera a la sucesin. A)14 8 n +B) 8 14 n +C) 22 8 n D) 8 22 n 5.Setienelasucesin1, 8, 17, 26,... identificala regla algebraica que genera a la sucesin. A) 9 1 n B) 9 n C) 9 10 n +D) 10 9 n + Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 21 TEMA 4. RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO Bloque III Eje temtico: Manejo de la informacin Tema:Representacin de la informacin Subtema: Grficas Resultadogeneraldeaprendizaje:Anticipaelcomportamientodegrficas lineales de la formay mx b = + , cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Resultado especfico de aprendizaje:Identificalosefectosdelosparmetrosmyb delafunciny mx b = + ,enla grfica que corresponde. Introduccin: Tres autobusesA, B y C salen dela terminal deautobusesen momentos distintos, todos a una velocidad constante de 80 km/hr. Si el autobs B sale cuando el autobs A se ha desplazado 20 kmyelautobsCsalecuandoelautobsBsehadesplazado30km,realizaunagrficaque muestreeldesplazamientorespectodeltiempodecadaautobsapartirdequesaledela terminal el autobs C.En el planteamiento anterior existen implcitos algunos conceptos clave para realizar lo que se pide, que tienen queverconla velocidadconstantedelosautobusesyelhechodequecuandosale elautobsClos otrosdos llevan ya algn kilometraje recorrido. A continuacin te presentamos estos conceptos clave que tienen que ver con las rectas en el plano cartesiano. Desarrollo: Parapoderrealizarloquesepideenelproblemadelaintroduccinesnecesarioque repasemos un par de conceptos clave que tienen que ver con las rectas en el plano cartesiano, la pendiente y la ordenada al origen. Ambos conceptos son imprescindibles cuando queremos graficar y analizar el comportamiento de un grupo de rectas en el plano cartesiano. Pendiente de una recta La grfica de la expresiny kx =est formada por el grupo de puntos localizados sobre unalnearectaquepasaporelorigen,comolaquetemostramosenlafiguradela derecha. Notarsqueenlagrfica,losvaloresdey vanaumentandoconformelohacenlos valoresdex ,porloquedecimosquex yy seencuentranenunarelacinde proporcionalidaddirecta.Deestoconcluimosquelaexpresinalgebraicaasociadaa unarelacindeproporcionalidaddirectaesdelaformay kx = ,dondek seconoce como la constante de proporcionalidad. Una relacin de proporcionalidad directa entre dos magnitudes es aquella en la que, si los valores de una delasmagnitudessemultiplicanodividenporunnmero,losdelaotraquedanmultiplicadosodivididos por el mismo nmero. Por ejemplo: El nmero de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compran y el precio a pagar. El tiempo transcurrido y la distancia recorrida a una velocidad constante. Recuerda Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 22 Deacuerdoaloanterior,podemosdecirqueenlassituacionesdeproporcionalidad directa,loquesemantieneconstanteeslaraznentreparesdevalores correspondientesalasvariablesinvolucradas.Porejemplosiunautomvilviajaa velocidadv constante,ladistanciarecorridad yeltiempotranscurridot se encuentran en una relacin de proporcionalidad directa. Lo anterior quiere decir que a mayor tiempo transcurrido, mayor ser la distancia recorrida (observa la figura de la derecha), lo cual se expresa de la siguiente manera dvt=De donde verificamos que la razn dt es la cantidad que permanece constante. Podemos rescribir la frmula de la velocidad comod vt = , de esta manera queda en la forma de la expresin algebraica asociada a una relacin deproporcionalidaddirecta,y kx = .Enestecasoobservaquelavelocidadv eslaconstantede proporcionalidad. Cualquier recta que no est en posicin horizontal o vertical est inclinada. Lainclinacin se da como una medida del ngulo que forma la recta con la horizontal. Se llamangulo de inclinacin al ngulo formado por la recta y el extremo positivo de ejex , a partir de ste girando en sentido contrario a las manecillas del reloj. Recuerda En la derecha se muestran las grficas de tres rectas del tipoy kx = . Observa que, a medida que aumenta el valor dek , el ngulo de inclinacin aumenta. As,cuando 12k = elngulodeinclinacinesde27,cuando1 k = elngulo de inclinacin es de 45 y cuando5 k =el ngulo de inclinacin es de 79. En general podemos decir que: Paratodoslosvaloresdek queseanmayoresque0pero menores que1,elngulodeinclinacintienevaloresmayoresque0pero menores que 45. Paratodoslosvaloresdek queseanmayores1,elngulode inclinacin tiene valores mayores que 45 pero menores que 90. Para medir el ngulo de inclinacin de una lnea recta con pendiente positiva se hace los siguiente: 1.Secolocaelcentrodeltrasportadorenelpuntoenelquelarectacortaelejex (enestecasoesel origen) y el extremo derecho del transportador sobre el ejexpositivo. Recuerda 2.Contamoslosgradoseneltransportadordesdelapartederechadelejex hastaelgradoenel que el transportador es cruzado por la lnea. 3.Elnmerodegradosquecontamoshastaquelarectacruzaeltransportadoreselngulode inclinacin de la recta respecto al ejex . d (m) Enlasexpresionesalgebraicasasociadasaunarelacindeproporcionalidaddirectadeltipo,la constante de proporcionalidad representa la pendiente de la recta que obtenemos al realizar su grfica, de manera que entre mayor es el valor de, mayor es el ngulo de inclinacin de la recta. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 23 Actividad Conuntrasportadormidecadaunodelosngulosdeinclinacinde las rectas mostradas en la figura de la derecha y completa la siguiente tabla. Expresin algebraica ngulo de inclinacin 13y x = 34y x = 24y x = 3 y x =7 y x = Pendiente negativa de una recta Hasta ahora hemos revisado expresiones algebraicas del tipoy kx =en las que la pendientekha sido siempre positiva,esdecir,susngulosdeinclinacinsonmayoresque0peromenoresque90.Peroqusucede cuando el ngulo de inclinacin de una recta es mayor a los 90? Enladerechasemuestranlasgrficasdetresrectasdeltipoy kx = . Observaquesolamentelarecta5 y x = tieneelvalordesungulode inclinacin, 101.Con un transportador mide el ngulo delas otras dos rectas.Sirealizascorrectamentelasmedicionesnotarsqueenestos casos,amedidaquesehacemenor(msnegativo)elvalordek ,el ngulodeinclinacindisminuye.As,cuando 12k = elngulode inclinacin es de 153, cuando1 k = , el ngulo de inclinacin es de 135 y cuando5 k = , el ngulo de inclinacin es de 101. En general podemos decir que: Paratodoslosvaloresdek queseanmenoresque0pero mayores que1 , el ngulo de inclinacin tiene valores mayores que 135 pero menores que 180. Paratodoslosvaloresdek queseanmenoresa1 ,elngulo deinclinacin tiene valores mayoresque90 pero menoresque 135. Para medir el ngulo de inclinacin de una lnea recta con pendiente negativa se hace los siguiente: 1.Secolocaelcentrodeltrasportadorenelpuntoenelquelarectacortaelejex (enestecasoesel origen) y el extremo izquierdo del transportador sobre el ejexnegativo. Recuerda 2.Contamos los grados en el transportador desde la parte izquierda del ejexhasta el grado en el que el transportador es cruzado por la lnea. 3.El nmero de grados que contamos hasta que la recta cruza el transportador los restamos a 180 y el resultado es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al ejex . Cundo el ngulo de inclinacin de una recta que pasa por el origen es mayor a los 90 y menor a los 180, la pendientede su expresin algebraica tiene signo negativo. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 24 Actividad Conuntrasportadormidecadaunodelosngulosdeinclinacinde las rectas mostradas en la figura de la derecha y completa la siguiente tabla. Expresin algebraica ngulo de inclinacin 13y x = 34y x = 24y x = 3 y x = 7 y x = Hastaaquhabrsnotado quetodaslasrectasdela formay kx = (quepasanporel origenytienenpendiente positiva)tienenngulosdeinclinacin respectodel ejex mayoresde0y menoresde90, mientrasquelas rectas dela formay kx = (quepasan por el origen y tienen pendiente negativa) tienen ngulos de inclinacin respecto del ejexmayores de 90, pero menores de 180. La ordenada al origen de una recta La grfica de la expresiny mx b = +tambin est formada por el grupo de puntos localizadossobreunalnearecta,peroadiferenciadelasgrficasdeexpresiones del tipoy kx =y kx = , sta no pasa por el origen, como la que te mostramos en la figura de la derecha. Notars que en la grfica la recta no corta a los ejes en el origen, sino que lo hace, para cada uno de los ejesxyy ,a una cierta distancia desde el origen. Aladistanciadesdeelorigenenelqueunarectacortaalejey selellama ordenadaalorigenycorrespondealaletrab delaexpresinalgebraica y mx b = + de la recta. Observaenlagrficaquelarectacortaalejey en4,porloquelaordenadaalorigenes4 b = ,dehecho,la expresin algebraica especfica de esa recta es 834 y x = + , entonces, de acuerdo con lo anterior, la pendiente de esa recta es 83m =y, por ser esta positiva, su ngulo de inclinacin est entre los 0 y los 90. El ngulo de inclinacin de una recta del tipoy mx b = +se mide de la misma forma que lo hacemos con las rectas del tipoy kx = , con la salvedad de que para estas rectas colocamos el trasportador en el punto en el que la recta corta al ejexy no en el origen.Recuerda Cuando hablamos de rectas en el plano con ordenada al origen, dejamos de denotar a la pendiente de la rectacon la letra y la sustituimos por la letra, de manera que en la expresin algebraica, es la pendiente de la recta. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 25 En la derecha se muestran las grficas de cinco rectas del tipoy mx b = + . En todas ellas se mantiene constante la pendiente2 m =y los valores de la ordenada al origenbson diferentes. Nota que la recta en color azul tiene una ordenada al origen0 b =y es la nica que pasa por el origen, mientras que las dems cortan al ejey a una distancia positiva o negativa respecto del origen. Observatambinqueestasrectas,altenerlamismapendientem,nunca se cortan, es decir,son rectas paralelas. Quefectotieneentonceslaordenadaalorigenb enunafamiliade rectas con la misma pendientem? En general podemos decir que: Actividad Observalafamiliaderectasmostradaenlafiguradela derecha y completa la siguiente tabla. Expresin algebraica Pendiente Ordenada al origen 325 y x = + 322 y x = + 32y x = 323 y x = 325 y x = Ahora ya estamos en condiciones de responder al planteamiento hecho en la introduccin: Tres autobuses A, B y C salen de la terminal de autobuses en momentos distintos, todos a una velocidad constante de 80 km/hr.SielautobsBsalecuandoelautobsAsehadesplazado20kmyelautobsCsalecuandoelautobs B seha desplazado30km,realizaunagrficaquemuestreeldesplazamientorespectodeltiempodecadaautobsapartirde que sale de la terminal el autobs C. Lo primero que hay que observar es que los tres autobuses van a una velocidad constante de 80 km/hr, por lo queenunagrficaeldesplazamientorespectodeltiempodelosautobusessevercomounalnearectacon una pendiente igual a 80. Como nos piden que la grfica comience a partir de que el autobs C sale de la terminal, su recta debe comenzar enelorigen,porloquesuexpresinalgebraicaesdeltipoy mx = ,dondey sereldesplazamientod en kilmetros,mserlavelocidadconstante80 km/hr v = yx sereltiempot enhoras,demaneraquesu expresin algebraica queda como80 d t = . Al momento que sale el autobs C de la terminal, los autobuses B y A llevan desplazamientos de 30 km y 50 km, respectivamente y, como hemos designado al eje vertical para los valores de los desplazamientos, estos valores En una familia de rectas con la misma pendiente, la ordenada al origenindica el nmero de unidades (hacia arriba o hacia abajo) que sobre el eje se desplaza la recta. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 26 representanlasordenadasalorigendelasrectascorrespondientesalosautobusesByA,enunafamiliade rectas del tipo80 d t b = +. Las expresiones algebraicas para los autobuses B y A son80 30 d t = +y80 50 d t = +respectivamente,por lo que una posible grfica que muestre el desplazamiento respecto del tiempo de cada autobs a partir de que sale de la terminal el autobs C quedara como la siguiente. Cierre: En este tema hemos hecho un repaso breve sobre un par de conceptos clave que tienen que ver conlasrectasenelplanocartesiano,lapendienteylaordenadaalorigen.Pudistenotarque ambosconceptossinimprescindiblescuandoqueremosgraficaryanalizarelcomportamiento de un grupo de rectas en el plano cartesiano. Ten siempre presente que: Cundoelngulodeinclinacindeunarectaquepasaporelorigenesmayoralos0ymenoralos90,la pendientek de su expresin algebraica tiene signo positivo,y kx = . Cundoelngulodeinclinacindeunarectaquepasaporelorigenesmayoralos90ymenoralos180,la pendientek de su expresin algebraica tiene signo negativo,y kx = . Enunafamiliaderectasy mx b = + conlamismapendientem,laordenadaalorigenb indicaelnmerode unidades (hacia arriba o hacia abajo) que sobre el ejeyse desplaza la rectay mx = . Puedes encontrar ms informacin sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuacin. Para saber ms http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b03_t07_s01_descartes/TS_1_index.html http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b03_t03_s01_descartes/TS_4_index.html A B C Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 27 Evaluacin: Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluacin. Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opcin que corresponda a la respuesta correcta de la situacin planteada. 1. Observa la siguiente grfica Cul de las siguientes opciones describede manera correcta a esta familia de rectas? A) Rectas con pendiente constante positiva B) Rectas con pendiente constante negativa C) Rectas con ordenada al origen constante positiva D) Rectas con ordenada al origen constante negativa 2. Observa la siguiente grfica que hizo Roberto para su tarea: Cul de las siguientes opciones identifica de manera correcta a la familia de rectas que grafic Roberto? A) 3 533 10y xy xy x= +== B) 3 533 10y xy xy x= += = C) 5 3310 3y xy xy x= += += + D) 3 5510 5y xy xy x= += += + 4. Observa la siguiente grfica Cul de las siguientes opciones describede manera correcta a esta familia de rectas? A) Rectas con pendiente constante positiva B) Rectas con pendiente constante negativa C) Rectas con ordenada al origen constante positiva D) Rectas con ordenada al origen constante negativa 4.ObservalasiguientegrficaquelamaestraMnica desarrollo en clase de matemticas: Culdelassiguientesopcionesidentificademanera correcta a la familia de rectas que grafic la maestra? A) 3 533 10y xy xy x= +== B) 3 533 10y xy xy x= += = C) 5 3310 3y xy xy x= += += + D) 3 5510 5y xy xy x= += += + Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 28 TEMA 5. POTENCIAS NEGATIVAS Bloque IV Eje temtico: Sentido numrico y pensamiento algebraico Tema:Significado y uso de las operaciones Subtema: Potenciacin y radicacin Resultadogeneraldeaprendizaje:Resuelveproblemasqueimplicanelusode las leyes de los exponentes y de la notacin cientfica. Resultado especfico de aprendizaje:Determina la expresin equivalente simplificada que resulta de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo. Introduccin: A la regin del espectro electromagntico que el ojo humano es capaz de percibir se le llama luz visible. En el extremo inferior de la regin de luz visible comienza la regin de rayos ultravioleta con una longitud de onda cercana a los 10-7metros, mientras que en el extremo superiorde la regin de luz visible se encuentran los rayos infrarrojos con una longitud de onda cercana a los 10-6 metros. De acuerdo a la informacin anterior, cuntas veces es mayor la longitud de onda de los rayos infrarojos respecto de los rayos ultravioleta? Sianalizaselplanteamientonotarsqueaparecendoscantidadesenformadepotenciaconexponente negativo y nos solicitan encontrar una relacin entre las longitudes de onda de los rayos infrarrojos y los rayos ultravioleta.Acontinuacintepresentamosalgunosconceptosyprocedimientosaritmticosrelacionadoscon las potencias, en especial cuando stas se presentan con exponente negativo. Desarrollo: Parapoderrealizarloquesepideenelproblemadelaintroduccinesnecesarioque repasemosalgunosconceptosyprocedimientosrelacionadosconlaoperacinaritmticade potenciacin. Recordaremosloqueeslaoperacindepotenciacinydescribiremoslasprincipalespropiedadesdelas operacionesconpotencias.Finalmentedefiniremosloqueeslapotenciaconexponentenegativoycmoes que debemos aplicar las propiedades vistas cuando involucramos este tipo de cantidades. Laoperacinqueconsisteenmultiplicarunfactornaturalreiteradamentesedenominapotenciade nmerosnaturalesystaesuncasoparticulardelamultiplicacindenmerosnaturales.Cada multiplicacin de factores reiterados puede escribirse en notacin de potencia, as por ejemplo 4 4 4 se escribe 346 6 6 6 se escribe 462 2 2 2 2 2 2 se escribe 72 . Los elementos que aparecen en la notacin de potencias se identifican como: 35 baseexponente Recuerda El conocimiento de algunas propiedades de las operaciones con potencias y su aplicacin de stas nos permite manejar esas operaciones con mayor soltura. Veamos algunas. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 29 Producto de potencias de igual baseAlmultiplicarporejemplo 5 32 2 seobtiene ( )( )82 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = . Anlogamente, se comprueba que 2 4 65 5 5 = . Y as con cualquier otro ejemplo. En general podemos decir que: As, por ejemplo 3 2 3 2 5 4 4 1 5 1 1 213 13 12 13 ; 13 13 13 13 ; 13 13 13 13+ + + = = = = = = Pero tambin 6 5 2 4 3 313 13 13 13 13 13 13 = = = . Conestoqueremosdecirquedebessabermanejarestapropiedadenambossentidosyaqueenocasioneses tildescomponerunapotenciaenunproductodepotenciascuyosexponentessumenelexponentedela potencia original. Es importante mencionar que esta propiedad es tambin aplicable cuando tenemos el producto de ms de dos potencias de la misma base, por ejemplo, 2 5 313 13 13 se puede calcular de las siguientes tres maneras:( ) ( )2 5 3 2 5 3 2 5 3 7 3 7 3 1013 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13+ + = = = = = ( ) ( )2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 8 2 8 1013 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13+ + = = = = = 2 5 3 2 5 3 1013 13 13 13 13+ + = = Actividad Relaciona las columnas colocando en los parntesis de la columna de la izquierda la letra correspondiente a su equivalente en la columna de la derecha. ) a 5 55 5 ( ) 75 =) b 2 55 5 ( ) 2 35 5 5 =) c 3 3 35 5 5 ( ) 95 =) d 85 ( ) 4 65 5 =) e 65 ( ) 25 5 5 =) f 45 ) g 115 El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. Donde, y son nmeros naturales. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 30 Cociente de potencias de igual baseAldividirporejemplo, 5322seobtiene 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 = = .Anlogamente,secompruebaque 462777 = .Yascon cualquier otro ejemplo.En general podemos decir que: As, por ejemplo 5 45 3 2 4 1 3213 1313 13;13 1313 13 = = = =Pero tambin 7 4 325 213 13 131313 13 13= = = . Conestoqueremosdecirquedebessabermanejarestapropiedadenambossentidosyaqueenocasioneses til descomponer una potencia en un cociente de potencias cuya resta de sus exponentes de cmo resultado el exponente de la potencia original. Observa que, si setoma un ejemplo similar a los anteriores, 3255representala divisin 12525, cuyo cociente es 5. Pero si semanejala misma divisin en trminos depotencias, ya hemos visto que 3 2 132555 5= = . Dedonde, por igualdad de resultados, tenemos que 15 5 =y en general podemos decir que: Ahora,qupasasin m = ?Talseraelcasode,porejemplo, 4433.Dehecho,estamosdividiendo 8181,cuyo cocientees1.Perosiaplicamoselcriterioanterior, 4 4 044333 3= = .Comoambosresultadosdebencoincidir, tenemos que 03 1 =y en general podemos decir que: Estos dos ltimos resultados, 1a a =y 01 a =nos dan elementos para decir que no siempre se cumple que la potencia de un nmero natural es mayor que dicho nmero. Elcocientededospotenciasdeigualbaseesotrapotenciadelamismabaseycuyoexponenteesla diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen. Donde, y son nmeros naturales, con y. Cualquier nmero elevado a la primera potencia reproduce el mismo nmero. Cualquier nmero elevado a la potencia cero reproduce la unidad. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 31 Actividad Relaciona las columnas colocando en los parntesis de la columna de la izquierda la letra correspondiente a su equivalente en la columna de la derecha. ) a 1044 ( ) 6444 =) b 74( ) 5444 =) c 1( ) 44 =) d 24( ) 3344 =) e 6244 ( ) 12344=) f 0) g 4 Potencia de una potencia Podemos tener el caso de una potencia cuya base sea, a su vez, una potencia. Por ejemplo,( )253 . Esta operacin es equivalente a5 5 5 5 103 3 3 3+ = = . Tambin podemos verificar que( )43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 122 2 2 2 2 2 2 2+ + + = = = = . Y as con cualquier otro ejemplo. En general podemos decir que: As, por ejemplo ( ) ( )( ) ( )4 02 2 4 8 3 3 0 02 23 3 2 6 2 5 5 2 105 5 5 ; 6 6 6 111 11 11 ; 32 2 2 2 = = = = == = = = = Pero tambin ( )( ) ( )( ) ( )24 23 26 2 34 28 2 47 73 3 32 2 2== == = Conestoqueremosdecirquedebessabermanejarestapropiedadenambossentidosyaqueenocasioneses tildescomponerunapotenciaenunapotenciadeotrapotenciacuyoproductodesusexponentesdecmo resultado el exponente de la potencia original. La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes. Donde, y son nmeros naturales. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 32 Actividad Relaciona las columnas colocando en los parntesis de la columna de la izquierda la letra correspondiente a su equivalente en la columna de la derecha. ) a 93( ) 123 = ) b 103( )( )423 =) c 1( )( )903 = ) d 381( )( )253 = ) e 83( )( )633 =) f 183) g 0 Potencia de una multiplicacin de potencias Tambinpodemostenerelcasodeunapotenciacuyabaseseaunamultiplicacindepotencias(no necesariamente de la misma base). Por ejemplo la operacin( )43 22 5 esequivalente a ( )( )( )( )3 2 3 2 3 2 3 22 5 2 5 2 5 2 5 . Ahora,siaplicamoslasleyesconmutativayasociativadelamultiplicacintenemosqueloanteriores equivalente a( )( ) ( ) ( )4 43 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 4 2 4 12 82 2 2 2 5 5 5 5 2 5 2 5 2 5 = = = . Y de un modo anlogo en cualquier otro caso. Podemos entonces en general decir que As, por ejemplo ( ) ( )2 42 3 2 2 3 2 2 6 2 6 4 8 244 5 4 5 4 5; 3 2 5 3 2 5 = = = Pero tambin ( ) ( )3 46 9 15 2 3 5 4 8 4 8 4 22 3 5 2 3 5; 7 3 16 7 3 2 7 3 2 = = = Con esto queremos decir que debes saber manejar esta propiedad en ambos sentidos. Observa que en estos dos ltimos ejemplos lo que hicimos fue extraer el factor comn del grupo de exponentes. As, para los exponentes 6, 9 y 15 el factor comn es 3 y para los exponentes 4, 8 y 4 el factor comn es 4. La potencia de una multiplicacin de potencias es otra multiplicacin de potencias, cada una de las cuales tiene la misma base inicial y como exponente, el respectivo producto de exponentes. Donde,,, y son nmeros naturales. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 33 Actividad Relaciona las columnas colocando en los parntesis de la columna de la izquierda la letra correspondiente a su equivalente en la columna de la derecha. ) a 0( ) ( )43 25 7 = ) b ( )23 25 7 ( ) 12 15 96 4 7 =) c 12 85 7 ( ) ( )02 5 310 9 2 = ) d 2 5 310 9 2 ( ) 6 45 7 = ) e ( )34 5 36 4 7 ( ) ( )54 3 26 4 7 =) f 2 15 106 4 7 ) g 1 Potencias con exponente negativo Al final del apartado del cocientedepotencias deigual base,cuya expresin generalizada es n mnmaaa =, vimos quesin m = , entonces suceda queel resultado era 01 a = . Pero qusucede cuandon m < ?Tal sera el caso de, por ejemplo, 4733. Si aplicamos la propiedad del cociente de dos potencias de igual base, 4 7 347333 3 = = . Qu significado tienen una potencia cuyo exponente es un nmero negativo? Pararesponderaestapreguntaconsideremosunapotenciaconlamismabaseperoconsignopositivo 33 y efectuemos el producto de esta con su correspondiente de signo negativo 33. ( ) 3 3 3 3 3 3 03 3 3 3 3 1+ = = = =Ahora efectuemos el producto de la potencia con exponente positivo 33 con su recproco 313. 33 3 3 03 31 33 3 3 13 3 = = = = Como ambos productos nos dan el mismo resultado, si aplicamos la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que3 3 3313 3 33 = De donde finalmente vemos que 33133= Y de un modo anlogo en cualquier otro caso. Podemos entonces en general decir que Una potencia con exponente negativo es igual a una fraccin cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual en valor numrico, pero con signo positivo. Donde es un nmero natural y. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 34 As, por ejemplo ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )712 222 3 2 3 553 3 34 2 4 2 6 181811 12 5 77 743 4 2 4 2 2 12 812 81217 =7714 4 =4 =4 =413 3 = 3 = 3 =3 =31 1 172 2 = 2 = = =22 21 16 9 6 9 6 9 =6 9 + =| | = |\ . = = Pero tambin ( ) ( )444 64 66 4 6 46 41661 15 35 31 17 5 7 57 5 = = = = Con esto queremos decir que debes saber manejar esta propiedad en ambos sentidos. Actividad Relaciona las columnas colocando en los parntesis de la columna de la izquierda la letra correspondiente a su equivalente en la columna de la derecha. ) a 106( ) ( )326= ) b 9 126 3 ( ) 4 36 6 =) c 616 ( ) ( )23 56 6 = ) d 9 121 16 3( ) ( )21 46 6 =) e 1016 ( ) ( )33 46 3 = ) f 716 ) g 1616 Ahora ya estamos en condiciones de responder al planteamiento hecho en la introduccin: Alaregindelespectroelectromagnticoqueelojohumanoescapazdepercibirselellamaluzvisible.Enelextremo inferiordelaregindeluzvisiblecomienzalareginderayosultravioletaconunalongituddeondacercanaalos10-7 metros,mientrasqueenelextremosuperiordelaregindeluzvisibleseencuentranlosrayosinfrarrojosconuna longitud de onda cercana a los 10-6 metros. De acuerdo a la informacin anterior, cuntas veces es mayor la longitud de onda de los rayos infrarojos respecto de los rayos ultravioleta? Deacuerdoconelproblema,laslongitudesdeondadelosrayosinfrarrojostienenunordendemagnitudde 610metros, mientras que las longitudes de onda de los rayos ultravioleta tienen un orden de magnitud de 710metros. Para determinar el nmero de veces que es mayor la longitud de onda de los rayos infrarrojos respecto de los rayos ultravioleta debemos encontrar la razn de sus rdenes de magnitud, de manera queDesarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 35 ( )66 7 6 7 171010 10 10 1010 + = = = = 6 77 6 17 66711011010 1010 10 1010 10 = = = = = Por lo que decimos que las longitudes de onda de los rayos infrarrojos son 10 veces mayores a las longitudes de onda de los rayos ultravioleta. Cierre: Enestetemahemoshechounrepasobrevesobreloqueeslaoperacindepotenciacin,las principalespropiedadesdelasoperacionesconpotenciasylaspotenciasconexponente negativo. As mismo, mostramos la utilidad de las operaciones y propiedades de las potencia en la solucin de situaciones cotidiana. En el siguiente cuadro resumimos las propiedades de las operaciones con potencias. PropiedadExpresin generalizada Producto de dos potencias de igual base m n mna a a+ =Cociente de dos potencias de igual base nn mmaaa=Potencia de una potencia ( )mn n ma a =Potencia de una multiplicacin de potencias ( )pn m n p mpa b a b = Nmero elevado a la primera potencia 1a a =Nmero elevado a la potencia cero 01 a =Potencia con exponente negativo 1nnaa= Comopuedesapreciar,enprincipiosetratadeformasequivalentesdeescribirunamismaexpresin,pero indudablemente aportan tambin ciertas facilidades a la hora de efectuar algunos clculos. Puedes encontrar ms informacin sobre este tema en los enlaces que te proporcionamos a continuacin. Para saber ms http://www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b04_t01_s01_descartes/TS_1_index.html http://odas.educarchile.cl/objetos_digitales/odas_matematicas/23_potencias_exponente_-2_-3/LearningObject/content/io_1.swf?version=0.18 http://biblioteca.itson.mx/oa/dip_ago/leyes_exponentes/index.swf Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 36 Evaluacin: Para finalizar el tema te pedimos que resuelvas la siguiente evaluacin. Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opcin que corresponda a la respuesta correcta de la situacin planteada. 1.Culdelospuntosmostradossobrelasiguiente rectanumricapodracorrespondera 1n sin es nmero natural (entero positivo)? A) PB) QC) RD) S 2. Cul es la expresin que corresponde a la potencia de( )24 ? A)16 B) 116C) 116 D) 16 3. Cul de las opciones corresponde a al resultado de simplificar la expresin( )13 22 2 ? A)32 B) 132C) 132 D)32 4.Culdelasopcionescorrespondeaunaexpresin equivalente de ( )32 45 5 ? A) 185B)1815 C)185 D) 1815 5.Culdelasopcionescorrespondeaunaexpresin equivalente de( )225 3 ? A) 2 45 3 B) 2 41 15 3C)( )2 45 3 D) ( ) 2 41 15 3 Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 37 TEMA 6. ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS Bloque V Eje temtico: Sentido numrico y pensamiento algebraico Tema:Significado y uso de las literales Subtema: Ecuaciones Resultadogeneraldeaprendizaje:Representaconliteraleslosvalores desconocidosdeunproblemaylasusaparaplantearyresolverunsistemade ecuaciones con coeficientes enteros. Resultado especfico de aprendizaje:Resuelve problemas que implican el planteamiento y solucin de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Introduccin: Enlafiguradelatabladearribasemuestrandosnadadoresqueestnubicadosenloslados opuestos de una piscina cuya longitud es 50 metros. Si salen simultneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constante por carriles paralelos, el primero a 6 m/s y elotro a 4 m/s. En cuntos segundos y a qu distancia se cruzan los nadadores? Para responder la preguntaespreciso notar quelas incgnitas serefieren tanto al tiempo como a la distancia. Enestetipodesituacionesregularmenteesdeutilidadelplanteamientoysolucindeunsistemadedos ecuacioneslinealescondosincgnitashabiendounatransicindelenunciadoenlenguajecomnallenguaje algebraico. Desarrollo: Acontinuacintepresentamosalgunasmanerasdesolucionarproblemasqueimplicanel planteamientodesistemasdedosecuacioneslinealescondosincgnitasycoeficientes enteros.Enprimerlugarharemosunarecapitulacinbrevesobreecuacioneslinealescondos incgnitas y cmo se conforma un sistema de dos ecuaciones de este tipo con dos incgnitas.Posteriormentepresentaremoslosmtodosdesolucinanalticadeestossistemasyfinalizaremosconel planteamiento y solucin de algunos problemas de aplicacin. El planteo de problemas que nacen de hechos de la vida cotidiana conduce, a menudo, al planteo de una o ms ecuaciones en las que figuran una o ms incgnitas y datos del problema. Los datos e incgnitas en general, pueden relacionarse por medio de operaciones algebraicas, conducindonos al planteo de ecuaciones que, al quedar resueltas, conllevan a la solucin de nuestro problema original. Unaecuacinesunarelacindeigualdadentrecantidades,algunasdeellasdesconocidasllamadas incgnitas se pueden expresar mediante cualquier letra minscula del abecedario generalmente se usa las letras x , y , z . Esta relacin se indica con el smbolo =, el cual se lee igual o es igual a. Recuerda Una ecuacin consta de dos miembros, el primer miembro es la expresin algebraica que est a lado izquierdo del smbolo = y el segundo miembro est a lado derecho. En cada miembro encontramos trminos que estn separados por los signos + -. Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 38 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas Para resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita basta con aplicar las propiedades de la igualdad paraaislaralaincgnita,asporejemploen5 7 0 x = debemosenprimerlugarsumar7unidadesenambos miembrosdelaigualdadyposteriormentedividirambosmiembrosdelaigualdaddemaneraqueconello encontramos que 75x = . Cuando tenemos ecuaciones lineales con dos incgnitas el procedimiento para encontrar los valores de las dos incgnitascambiapuesconunasolaecuacinnonosbastaparaconocerambosvalores.Debemosentonces tenerunsistemadedosecuacioneslinealescondosincgnitasparapoderencontrarlosvaloresdecada incgnita que satisfacen a la vez ambas ecuaciones. En general podemos decir que Unasolucincomnalasdosecuaciones,esunparordenadode nmerosrealestalquealsustituirestosnmerosencadaecuacindel sistemaenlugardelasincgnitasx yy seobtienendosidentidades numricas. Cmo podemos resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas? Cadaunadelasecuacionesqueformanunsistemalinealdedos ecuaciones con dos incgnitas es una recta que podemos representar en el plano. El mtodo grfico para resolver este tipo de sistemas consiste, portanto,enrepresentarenelplanoambasrectasycomprobarsise cortan y, si es as, dnde. El punto de interseccin de las rectas corresponde a la solucin del sistema. En el caso de la grfica de arriba la solucin del sistema (punto de interseccin es1 x =y1 y = . Nota que estos valores satisfacen al mismo tiempo ambasecuacionespuessisustituimosestosvaloresenlasecuacionesobtenemosunpardeidentidades numrica. Para poder emplear el mtodo grfico debemos ser muy precisos al momento de hacer los trazosde las rectas querepresentana las ecuacionesy determinar de manera muy certera supunto deinterseccin; sin embargo, nosiemprecontamosconlosinstrumentosapropiadosparalograrunabuenagrfica.Porfortuna,tambin existen procedimientos basados en manipulaciones algebraicas que permiten transformar las dos ecuaciones del sistema en una ecuacin con una sola incgnita, denominados comnmente mtodos analticos.Las ecuaciones algebraicas en las que las incgnitas son de primer grado se denominan comnmenteecuaciones lineales, debido a que su representacin grfica es una lnea recta. Por ejemplo, es una ecuacin lineal de una incgnita debido a que el exponente de la nica incgnita es 1, es ecuacin lineal de dos incgnitas debido a que el exponente de ambas incgnitas es 1. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es un par de ecuaciones del tipo: en donde, son nmeros reales y en cada una de las ecuaciones del sistema, por lo menos uno de los coeficientes de las incgnitas es diferente de 0.Desarrollo de Habilidades Matemticas 2do Grado de Secundaria Cuadernillo de apoyo 2012 Secretara de Educacin de Guanajuato Pgina 39 Mtodos analticos de solucin de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas A continuacin te presentamos lo mtodos analticos de solucin de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas. Es preciso mencionar que en todos ellos denotaremos siempre a la primera ecuacin por 1Ey a lasegundaecuacinpor 2E yqueloqueestamosbuscandoesunaparejadenmerosquesatisfaganambas ecuaciones a la vez. 1. Mtodo de igualacin Esteprocedimientoconsisteenseleccionarunaincgnitaydespejarladelasdosecuacionesdelsistemapara despus igualar las dos expresiones obtenidas de forma que se obtenga una ecuacin lineal con una incgnita. Enseguidaseresuelvelaecuacinobtenidaempleandolaspropiedadesdelaigualdadysesustituyeelvalor obtenido en cualquiera de las ecuaciones donde quedo despejada la incgnita seleccionada al principio. Paso