DESARROLLO DE ALGORITMOS COMPUTACIONALES BASADOS …
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1 DESARROLLO DE ALGORITMOS COMPUTACIONALES BASADOS EN EL MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN PARA LA SIMULACIÓN DEL FENÓMENO DE CAVITACIÓN. Autor: Héctor Darío Bracamonte Micán 201111731 Asesor: Andrés González Mancera-Ph.D. Universidad de Los andes Departamento de Ingeniería Mecánica Bogotá, Colombia 2015
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DESARROLLO DE ALGORITMOS COMPUTACIONALES BASADOS EN EL
MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN PARA LA SIMULACIÓN DEL FENÓMENO
DE CAVITACIÓN.
Autor:
Héctor Darío Bracamonte Micán
201111731
Asesor:
Andrés González Mancera-Ph.D.
Universidad de Los andes
Departamento de Ingeniería Mecánica
Bogotá, Colombia
2015
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AGRADECIMIENTOS
Le agradezco a mi familia por todo el apoyo que me brindaron y a mis amigos y
profesor asesor porque me corrigieron y retroalimentaron a lo largo del proceso.
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TABLA DE CONTENIDO
1. RESUMEN ............................................................................................................ 4
2. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 5
3. OBJETIVOS ......................................................................................................... 9
3.1 GENERAL ................................................................................................................ 9
3.2 ESPECÍFICOS ......................................................................................................... 9
4. MARCO TEORICO ............................................................................................. 10
4.1 CAVITACIÓN .............................................................................................................. 10
4.2 CAVITACIÓN EN LÍQUIDO PURO Y CAVITACIÓN CON NUCLEACIÓN. ............. 12
4.3 LATTICE GAS AUTOMATA ...................................................................................... 14
4.4 MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN ..................................................................... 16 4.4.1 ECUACIÓN DE BOLTZMANN .................................................................................................. 16 4.4.2 OPERADOR DE COLISIÓN BGK ............................................................................................ 20 4.4.3 MODELO D2Q9 .......................................................................................................................... 20 4.4.4 VISCOSIDAD CINEMÁTICA ..................................................................................................... 22 4.4.5 SINGLE-COMPONENT MULTIPHASE ................................................................................... 23 4.4.6 CONDICIONES DE FRONTERA .............................................................................................. 27
4.4.6.1 Condición de Frontera “Bounce-Back” ............................................................................. 27 4.4.6.2 Condición de Frontera Periódica....................................................................................... 28
4.4.7 UNIDADES DE LATTICE ........................................................................................................... 29
5. MODELOS Y METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN ........................................... 32
5.1 MODELO HOMOGÉNEO ........................................................................................... 32
5.2 MODELO HETEROGÉNEO ....................................................................................... 32
5.3 METODOLOGÍA ......................................................................................................... 33
6. RESULTADOS ................................................................................................... 34
6.1 SEGREGACIÓN .................................................................................................... 34
6.2 LIQUIDO A TENSIÓN ........................................................................................... 36
6.3 FLUJO EN VENTURI. ........................................................................................... 39
7. CONCLUSIONES ............................................................................................... 42
8. REFERENCIAS ........................................................................................................ 44
9. ANEXOS ............................................................................................................. 46
9.1 SEGREGACIÓN ............................................................................................................... 46
9.2 LIQUIDO A TENSIÓN ...................................................................................................... 49
9.3 FLUJO EN VENTURI. .................................................................................................. 53
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1. RESUMEN
Éste proyecto muestra los resultados, procedimientos e implementaciones del
método de Lattice Boltzmann para la simulación de cavitación por medio del
lenguaje de programación de C++ con base en la librería Palabos. El trabajo se
centró en el modelo D2Q9, el cual describe la propagación e interacción entre las
partículas en 2 dimensiones con 9 posibles direcciones de movimiento, incluyendo
una que hace referencia a la posición de reposo. Además, para la implementación
de cambio de fase se empleó el modelo de “Single Component Multiphase” (SCMP)
que permite la interacción de una fase líquida y una fase de vapor.
Como resultado de este proyecto, se puede observar la generación de una segunda
fase tras la exposición de un aumento de tensión en un líquido puro. Además, cómo
varía el origen y desarrollo de la cavitación dependiendo del radio de la burbuja y
de las condiciones de densidad y presión del medio al que es sometido. Finalmente,
cómo se desarrolla la cavitación tras el paso de un obstáculo con núcleos de vapor
pre-existentes.
El producto final de este trabajo es una biblioteca documentada con los códigos
empleados para volver a reproducir los resultados obtenidos, las imágenes
obtenidas al ejecutar el código y las bibliotecas utilizadas de C++ que se ejecutan
por medio de compiladores.
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2. INTRODUCCIÓN
El estudio de los fluidos, en la actualidad, es muy importante ya que proporciona
herramientas para el desarrollo de nuevas tecnologías que permiten incrementar la
calidad de vida de las sociedades. Gracias a los avances tecnológicos, existen
elementos computacionales, como las herramientas proporcionadas por la
Dinámica Computacional de Fluidos (CFD), que ayudan a un mayor entendimiento
y predicción de los comportamientos de los fluidos. Estas herramientas informáticas
son muy valoradas a nivel industrial y académico ya que permiten la simulación de
fluidos obteniendo resultados similares a los experimentales y, de esa forma, se
reducen costos al no ser necesaria la compra de los equipos y maquinaria para
hacer el estudio del caso físicamente. Adicionalmente, permiten analizar diversos
fenómenos físicos que ocurren durante la interacción del fluido con su entorno,
como el fenómeno denominado cavitación. Éste fenómeno generalmente es un
obstáculo a nivel industrial porque erosiona partes del material de la maquinaria con
que entra en contacto, disminuye la eficiencia de la máquina, deteriora el
mecanismo y causa ruido provocando vibraciones y oscilación en el sistema. Sin
embargo, nuevas tendencias tecnológicas están empezando a emplear la cavitación
a su favor ya que se puede obtener una gran cantidad de energía de este fenómeno.
Toca tener en cuenta que la cavitación es algo que no siempre se puede evitar, pero
si se puede controlar. Por tal razón, es importante tener herramientas de fácil
alcance, como las herramientas computacionales, que permitan obtener un mejor
control y entendimiento de este fenómeno.
Primero que todo, se tiene que tener claro qué es la cavitación. Éste fenómeno es
el proceso de formación de una fase gaseosa, en forma de burbujas, dentro de una
fase líquida. Eso ocurre por una reducción de presión que genera una disminución
del punto de ebullición del líquido tal que llega a fase gaseosa a una temperatura
constante. Ese gas queda atrapado en burbujas dentro de la fase líquida, que al
colapsar, provocan ondas de choque de alta presión en el fluido erosionando el
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material que entre en contacto con éstas. Adicionalmente, existen dos escenarios
que pueden causar esa reducción de presión. El primero se presenta por un fluido
en movimiento, el cual se denomina cavitación hidrodinámica. Mientras que el
segundo, se presenta cuando un fluido esta estático y entra en contacto con un
campo acústico, lo que genera una oscilación de la presión dentro del reservorio del
líquido; se denomina cavitación acústica.
Hoy en día, los estudios computacionales de los fluidos, específicamente de la
cavitación, han sido relevantes por el desarrollo de métodos y solucionadores
computacionales. Varios modelos de CFD para flujos que modelan cavitación se
basan en supuestos semi-empíricos de formas de cavitación y flujos de líquidos
alrededor de cuerpos con cavitación. Dentro de CFD, existen varios grupos de
métodos para el análisis de turbulencia, que proporcionan formas para el estudio de
la cavitación, entre los cuales está Reynolds-Averaged Navier–Stokes (RANS) [1].
Adicionalmente, hay que tener presente que existen nuevos métodos que se han
estado desarrollando en el campo de los fluidos pero que todavía no son tan
populares, como el Método de Lattice-Boltzmann (LBM).
El método de RANS es muy importante en aplicaciones científicas e industriales.
Éste método es uno de los más populares al momento de tratarse de solucionar
problemas de fluidos, específicamente en problemas de turbulencia, ya que permite
dar una solución aproximada de la ecuación de Navier-Stokes a nivel macroscópico
por medio de la discretización del problema mediante diversos métodos, como los
“Big Three” (Finite Volume Method, Finite Difference Method, Finite Element
Method) y se especializa en flujos turbulentos. RANS permite una rápida solución
computacional de flujos y patrones de dispersión del fluido incluso en medios
complejos. Sin embargo, los solucionadores de RANS generalmente no son lo
suficientemente precisos [1] para fenómenos tales como la cavitación, suelen tener
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problemas con geometrías complejas y requieren de un gran costo computacional
para simular amplios dominios computacionales
Por otro lado, el método de Lattice Boltzmann es una herramienta numérica que
emplea la ecuación de Boltzmann, análoga a la ecuación de Navier-Stokes, pero
éste analiza los fenómenos desde las interacciones entre partículas a nivel
mesoscópico, cuyas ecuaciones son discretizadas por medio de métodos
numéricos tradicionales como el método de diferencias finitas. El LBM al solucionar
el sistema a nivel mesoscópico emplea funciones de probabilidad que describen la
distribución de las partículas, ese término es denominado distribución de partícula
única (single particle distribution). Es importante aclara que éste método es
relativamente nuevo y en cuanto a problemas relacionados con cavitación, no se
han realizado muchos trabajos. El trabajo más destacado ha sido realizado por
Michael Sukop y Daniel Or [2], quienes simularon con el LBM cavitación en un
líquido puro sujeto a tención y la evolución de cavitación a partir de una burbuja
preexistente. La ventaja de este método radica en que es de fácil implementación,
asimismo logra representar fenómenos físicos macroscópicos complejos
simplificando modelos cinéticos al incorporar la física de proceso mesoscópicos, de
tal forma que las propiedades promedio macroscópicas obedecen las ecuaciones
macroscópicas deseadas, por lo que no tiene que solucionar la ecuación de Navier-
Stokes directamente. Además, es computacionalmente más eficiente, la orientación
en la malla computacional tiene poca influencia en la solución ya que es un modelo
isotrópico de segundo orden [3] y permite estudiar desde flujos multi-fásicos hasta
reacciones químicas del fluido con sus alrededores. Sin embargo, la desventaja de
este método es que está limitado a flujos con poco grado de compresibilidad y no
hay mucho desarrollo en el ámbito del modelamiento de problemas que involucran
cavitación.
Al comparar los métodos expuestos, se concluye que el método de Lattice
Boltzmann es una buena opción para trabajar con la cavitación ya que presenta
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enfoque interesante para abordar la simulación de fluidos, como el análisis de la
interacción entre partículas para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, y
hasta el día de hoy, es uno de los métodos que mejor representa la dinámica de
fluidos multi-fásicos. Adicionalmente, en comparación con el método de RANS, el
LBM presenta mayor potencial de desarrollo que los otros métodos, puede manejar
geometrías complejas y presenta menor costo computacional.
En ese orden de ideas, el principal objetivo de este trabajo radica en plantear y
modelar la cavitación de un fluido por medio de la implementación del método de
Lattice Boltzmann. Por medio de este trabajo, además de brindar una forma poco
convencional de modelar la cavitación, busca generar las bases necesarias para
que se pueda emplear este documento como guía para seguir desarrollando este
método. En este trabajo se enfocará en geometrías sencillas en 2-D. El
procedimiento a seguir consiste en la realización del código y posteriormente se
realizará la adecuada documentación para que sea utilizado como base para
posteriores trabajos.
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3. OBJETIVOS
3.1 GENERAL
• Desarrollar algoritmos computacionales basados en el Método de Lattice
Boltzmann para simular el fenómeno de cavitación.
3.2 ESPECÍFICOS
• Comprender teórica y matemática de la cavitación con el fin de entender el
fenómeno para identificar la dinámica de fluidos involucrada en el problema.
• Comprender el método de Lattice Boltzmann con el fin de identificar
parámetros necesarios del método para su aplicación.
• Implementar algoritmos computacionales empleando LBM, para modelar
cavitación en 2 dimensiones y comparar resultados obtenidos en trabajos
previos.
• Documentar el trabajo realizado para que otros usuarios puedan emplear el
código desarrollado en futuras aplicaciones.
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4. MARCO TEORICO
4.1 CAVITACIÓN
La cavitación resulta un fenómeno poco deseable en la industria ya que produce
ciertos efectos negativos como: erosión, desgaste, ruido, vibraciones y reducción
de la eficiencia en la máquina. Sin embargo, existen nuevas tendencias tecnológicas
que buscan inducir la cavitación para propósitos específicos como: calentar agua,
reducir el coeficiente de arrastre para alcanzar muy altas velocidades gracias a la
super-cavitación y en la industria biomédica se están realizando investigaciones
para emplear la cavitación como un método para combatir el cáncer por medio de
la inducción de la cavitación por ultrasonido [2].
La cavitación es un fenómeno que envuelve la aparición de una segunda fase en
forma de vapor dentro de un fluido inicialmente en fase líquida, a una temperatura
constante, por la presencia de zonas de presión menores a la presión de vapor (𝑃𝑣).
Esas zonas de presión baja, tensionan el líquido hasta que ocurre un cambio de
fase y aparece la fase gaseosa en cavidades dentro del líquido. Estas cavidades
implosionan cuando pasan a una zona de mayor presión alcanzando una
temperatura de varios miles de kelvin y una presión de miles de atmósferas en el
punto del colapso [2]. En la Ilustración 1 se logra observar la diferencia entre la
ebullición (presión constante y aumenta la temperatura) y la cavitación (temperatura
constante y disminuye la presión) que son los dos procesos por los que un líquido
cambia a fase gaseosa. Además, para la cavitación existe un “retraso térmico” (𝑇𝑓 −
𝑇𝑓′) el cual consiste en que la cavitación se da a una temperatura un poco menor
(𝑇𝑓′) a la temperatura ambiente (𝑇𝑓) dada por la transferencia de calor necesaria para
la vaporización [3].
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Ilustración 1. Diagrama de fase Cavitación y Ebullición [3]
En el contexto de la cavitación, existen dos escenarios generales en donde éste
fenómeno es generado. El primer escenario ocurre cuando la cavitación se origina
en un líquido estático por medio de la fluctuación de un campo de presiones
llegando hasta una presión tan baja que produce el cambio de fase. La fluctuación
de ese campo es inducida por ondas superficiales. Este escenario se denomina
cavitación acústica. Por otro lado, en el segundo escenario, la cavitación sucede
cuando el líquido está en movimiento y éste pasa por una zona de baja presión
inducida por una geometría o condiciones por las zonas en donde el líquido esté
transitando. Este escenario es denominado cavitación hidrodinámica [3].
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4.2 CAVITACIÓN EN LÍQUIDO PURO Y CAVITACIÓN CON NUCLEACIÓN.
La cavitación puede generarse en un líquido puro (líquido homogéneo sin
impurezas) y en un líquido con burbujas preexistentes (líquido con nucleación
previa). Cuando el fenómeno ocurre en un líquido homogéneo, la densidad del fluido
va a seguir la ecuación de estado (EOS) con base en la presión que esté sometido.
El líquido, al llegar al punto espinodal, que es punto mínimo de la concavidad de la
EOS, la densidad se vuelve inestable y el sistema va a tender a cambiar de fase
hasta que se estabilice en una fase de vapor. La Ilustración 2 muestra la EOS y el
punto espinodal. Por otro lado, la cavitación en un líquido homogéneo resulta ser
más difícil de encontrarse físicamente debido a que el líquido, al estar en contacto
con imperfecciones entre las superficies y gases disueltos, genera burbujas, lo que
reduce la magnitud de la presión necesaria para que haya cambio de fase.
Ilustración 2. EOS del Agua Mostrando el Punto Espinodal para Cavitación de Líquido Puro [4]
Por otro lado, la cavitación con nucleación presenta burbujas preexistentes que
permiten disminuir la energía necesaria para que el líquido cambie de fase
requiriendo un menor cambio de presión. En 2D, la energía necesaria para la
creación de una burbuja es la suma de la energía interfacial (depende de la tensión
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superficial 𝜎 y del radio 𝑟 de la burbuja) y el trabajo que realiza la presión negativa
(esta presión ∆𝑃 es relativa a la presión de vapor) del medio sobre el área de la
burbuja. La Ecuación 1 muestra la relación mencionada anteriormente.
∆𝐸 = 2𝜋𝜎 + 𝜋𝑟2∆𝑃
Ecuación 1. Energía Necesaria para la Creación de una Burbuja.
Adicionalmente, para que la burbuja preexistente en el líquido sea una semilla de
cavitación debe superar una energía máxima ∆𝐸𝑚𝑎𝑥 y un radio crítico 𝑟∗, cuyas
relaciones con la tensión superficial y el cambio de presión están dadas por la
Ecuación 2 y la Ecuación 3. Si el radio inicial de la burbuja es menor al radio crítico, la
burbuja se condensará, por lo que no originará cavitación. Por el contrario, si el radio
es superior al radio crítico, la burbuja, en este caso, si será una semilla de cavitación.
En la Ilustración 3 puede observarse la relación entre la energía y el radio, así como
sus valores máximos para que una burbuja sea una semilla de cavitación para
diferentes presiones iniciales.
𝑟∗ = −𝜎
∆𝑃
Ecuación 2. Radio Crítico
∆𝐸𝑚𝑎𝑥 = −𝜋𝜎2
∆𝑃
Ecuación 3. Energía Máxima
14
Ilustración 3. Barrera Energética para Diferentes Presiones Iniciales del Líquido [4].
4.3 LATTICE GAS AUTOMATA
Lattice Gas Automata (LGA) es el precursor del método de Lattice Boltzmann, el
cual trata con un grupo de partículas ubicadas en nodos de una Lattice a nivel
microscópico. La Lattice es un arreglo de formas, como un rectángulo, triángulo o
hexágono; en el caso de dos dimensiones. La Ilustración 4 muestra una Lattice
cuadrada.
Ilustración 4. Lattice cuadrada que relaciona la partícula P con las partículas aledañas. Modelo HPP (Hardy,
Pomeau y Pazzis)
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Las partículas, en la Lattice, colisionan y se propagan, en cada iteración, con
partículas aledañas conservando masa y momentum. A cada dirección propuesta
por el modelo que vincula a la partícula con los nodos cercanos, se le asigna una
velocidad. Las partículas, al momento de una colisión, cambian sus velocidades
conservando el momentum total en un nodo. Posteriormente, las partículas se
propagan de acuerdo a la nueva velocidad en la dirección respectiva. Estos
modelos, como el modelo HPP en la Ilustración 4 (el nombre de éste modelo fue
otorgado con base en las personas que propusieron el modelo), fueron propuestos
en 1973 por Hardy, Pomeau y Pazzis; para recuperar la física macroscópica
propuesta por la ecuación de Navier-Stokes, pero no tuvieron éxito [5].
En 1986 propusieron un modelo triangular llamado FHP (Frisch, Hasslacher and
Pomeau) el cual proporciona la suficiente simetría [6], para asegurar que la Lattice
se conservara isotrópica con la conservación de masa y momentum. El modelo
empleado puede observarse en la Ilustración 5 [5].
Ilustración 5. Lattice triangular con simetría hexagonal. Modelo FHP (Frisch, Hasslacher and Pomeau)
El modelo del LGA es un modelo que basa su planteamiento ecuación cinética,
Ecuación 4, en donde 𝑛𝑎 es una condición booleana (cierto o falso) en una dirección
𝑎 impuesta por el modelo con cierta velocidad 𝑒𝑎 y ∆𝑎 es una función de colisión [5].
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𝑛𝑎(𝑥 + 𝑒𝑎∆𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑛𝑎(𝑥, 𝑡) + ∆𝑎
Ecuación 4. Ecuación cinética
En este modelo las propiedades macroscópicas de densidad y momentum son
calculadas con la sumatoria de las propiedades microscópicas de la siguiente
manera:
𝜌(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑛𝑎
𝑎
(𝑥, 𝑡)
Ecuación 5. Densidad Macroscópica
𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑒𝑎𝑛𝑎
𝑎
(𝑥, 𝑡)
Ecuación 6. Momentum macroscópico
Sin embargo, las simulaciones generadas con los modelos de LGA eran ruidosas
por su naturaleza booleana. Además, los procesos numéricos involucraban
probabilidades, lo que reduce la eficiencia del LGA. Lo anterior llevó al nacimiento
del LBM [7].
4.4 MÉTODO DE LATTICE BOLTZMANN
4.4.1 ECUACIÓN DE BOLTZMANN
En 1988 [8], se generaron los primeros modelos del método de Lattice Boltzmann
(LBM) en donde reemplazaron el parámetro booleano 𝑛𝑎 por funciones de
distribución Maxwell-Boltzmann 𝑓𝑎 que resolvieron el problema que presentaba el
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LGA pero seguían presentando algunos problemas del LGA como la carencia de la
invariancia Galileana. Aquellos errores que venían del LGA fueron resueltos en
modelos más resientes del LBM [9]. En este método, ya no se trabaja con una
partícula, sino que se trabaja con un conjunto de estas, por lo tanto ya no trabaja a
nivel microscópico, sino que trabaja a nivel mesoscópico. Las ecuaciones del LGA
se reescriben de la siguiente manera:
𝑓𝑎(𝑥 + 𝑒𝑎∆𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑓𝑎(𝑥, 𝑡) + Ω(𝑓)
Ecuación 7. Ecuación de Boltzmann
𝜌 = ∑ 𝑓𝑎
𝑎
Ecuación 8. Densidad Macroscópica en LBM
𝑢 =1
𝜌∑ 𝑓𝑎𝑒𝑎
𝑎
Ecuación 9. Velocidad Macroscópica en LBM.
En la Ecuación 7, el término 𝑓𝑎(𝑥 + 𝑒𝑎∆𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑓𝑎(𝑥, 𝑡) es la parte de
propagación. Mientras que el término Ω(𝑓) hace referencia a la función de colisión
que se resolverá de diversas maneras dependiendo del modelo que se utilice [10].
Para lograr comprender el LBM es necesario entender las funciones de distribución
propuestas por el método [11] [12]. Las funciones de distribución 𝑓(𝑒𝑎) son descritas
como una cantidad 𝑁 de partículas de gas en una zona, con cierta velocidad en
dirección x entre 𝑒𝑥 y 𝑒𝑥 + 𝑑𝑒𝑥 correspondiente a 𝑁𝑓1(𝑒𝑥)𝑑𝑒𝑥 y la fracción de
partículas sería 𝑓1(𝑒𝑥)𝑑𝑒𝑥. La función de distribución 𝑓1 hace referencia a la función
en un solo componente del vector de velocidad y la suma de todas las fracciones
de partículas debe ser igual a 1.
18
∫ 𝑓1(𝑒𝑥)𝑑𝑒𝑥 = 1∞
−∞
Ecuación 10. Suma Fracciones un Componente de Velocidad
Al analizar un sistema en tres dimensiones, se tiene una magnitud de velocidad que
corresponde a:
𝑒2 = 𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦
2 + 𝑒𝑧2
Ecuación 11. Magnitud de Velocidad
Ahora, se toma en cuenta la probabilidad de velocidad entre las direcciones 𝑒𝑥 y
𝑒𝑥 + 𝑑𝑒𝑥, 𝑒𝑦 y 𝑒𝑦 + 𝑑𝑒𝑦, 𝑒𝑧 y 𝑒𝑧 + 𝑑𝑒𝑧.
𝑁𝑓1(𝑒𝑥)𝑑𝑒𝑥𝑓1(𝑒𝑦)𝑑𝑒𝑦𝑓1(𝑒𝑧)𝑑𝑒𝑧 = 𝑁𝑓1(𝑒𝑥)𝑓1(𝑒𝑦)𝑓1(𝑒𝑧)𝑑𝑒𝑥𝑑𝑒𝑦𝑑𝑒𝑧
Ecuación 12. Probabilidad en Todas las Direcciones
Como cualquier dirección es tan buena como las otras, la función de distribución
solo dependerá del total de velocidad de la partícula. Con base en lo anterior,
Maxwell propuso lo siguiente:
𝑓1(𝑒𝑥)𝑓1(𝑒𝑦)𝑓1(𝑒𝑧) = 𝐹𝑒
Ecuación 13. Función de Distribución con base en la Velocidad Total de la Partícula.
En donde F es una función desconocida. Maxwell emplea la siguiente función de
distribución con base en un argumento de simetría:
𝑓1(𝑒𝑥) = 𝐴𝑒𝑥𝑝−𝐵𝑒𝑥2
Ecuación 14. Función de distribución en una Dirección.
Para encontrar la función de distribución de la esfera propuesta por las velocidades
𝑒𝑥, 𝑒𝑦, 𝑒𝑧 en la Ecuación 11, se tiene en cuenta el área superficial, que en este caso
corresponde a 4𝜋𝑒2. Finalmente, la función de distribución de velocidad es:
𝑓(𝑒)𝑑𝑒 = 4𝜋𝑒2𝐴3𝑒𝑥𝑝−𝐵𝑒2𝑑𝑒
19
Ecuación 15. Función de distribución de Velocidad
Ahora la suma de las fracciones cambia de la siguiente forma:
∫ 𝑓(𝑒)𝑑𝑒 = 1∞
0
Ecuación 16. Suma Fracciones total
Al resolver la integral anterior, se obtiene que 𝐴 = √𝐵/𝜋 . Posteriormente, se
despeja el valor B empleando la ecuación de la energía cinética promedio por
partícula, en donde 𝑚 es la masa de la partícula.
1
2𝑚𝑒2
= ∫
1
2𝑚𝑒2𝑓(𝑒)𝑑𝑒
∞
0
=3𝑚
4𝐵
Ecuación 17. Energía Cinética Promedio por Partícula
Después, se sustituye el valor para la energía cinética promedio en términos de
temperatura del gas (1
2𝑚𝑒2
=3
2𝑘𝑇 ) y se encuentra el valor de B:
𝐵 =𝑚
2𝑘𝑇
Ecuación 18. Constante B en términos de la Temperatura del Gas
Finalmente, se obtiene que la función de distribución:
𝑓(𝑒) = 4𝜋 (𝑚
2𝜋𝑘𝑇)
32
𝑒2𝑒𝑥𝑝−𝑚𝑒2
2𝑘𝑇
Ecuación 19. Función de Distribución.
Ésta función, indica los rangos y mayores probabilidades que tiene una partícula
que vaya a una velocidad aleatoria limitada por los límites de ésta función.
20
4.4.2 OPERADOR DE COLISIÓN BGK
Existen tipos diferentes de operadores de colisión que reemplazan la función de
colisión. El operador más sencillo, propuesto por Bhatnagar, Gross y Krook (BGK)
[13], sustituye la función de colisión por un término que contiene un tiempo de
relajación 𝜏 y una función de distribución de equilibrio 𝑓𝑒𝑞. El tiempo de relajación
representa el tiempo que la colisión toma para volver al equilibrio [4].
Ω(𝑓) = −𝑓 − 𝑓𝑒𝑞
𝜏
Ecuación 20. Operador de Colisión BGK
La ecuación de LB empleando un operador de colisión, como el propuesto en el
BGK, queda expresado de la siguiente manera:
𝑓𝑎(𝑥 + 𝑒𝑎∆𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑓𝑎(𝑥, 𝑡) −𝑓 − 𝑓𝑒𝑞
𝜏
Ecuación 21. Ecuación de Lattice Boltzmann con BGK
Es importante tener en cuenta que el operador BGK es uno de los modelos más
simples que permitió aumentar la eficiencia del método con respecto al LGA. Sin
embargo, presenta problemas de estabilidad y límites relacionados con la
viscosidad empleada. Por lo tanto, dependiendo de los parámetros de la simulación,
resulta mejor emplear otro operador de colisión como el MRT (Multi-Realxation
Time) que proporciona rangos más amplios de operación de las viscosidades y
mayor estabilidad que el operador BGK [14].
4.4.3 MODELO D2Q9
21
El nombre de este modelo hace referencia a 2 dimensiones (2D) con 9 posibles
direcciones de movimiento de la partícula. Este modelo simplifica el planteamiento
original del método de Boltzmann al reducir el número de las posibles posiciones de
una partícula en el espacio y momentum microscópico. De igual forma, el tiempo es
discretizado en forma de pasos de tiempo.
El modelo plantea velocidades y pesos microscópicos específicos en cada una de
las nueve direcciones propuestas por el modelo en una Lattice cuadrada. La
Ilustración 6 muestra el bosquejo que sigue el modelo D2Q9.
Ilustración 6. Modelo D2Q9. Las convenciones usadas son: a (x,y); en donde a es el número de la posición, (x,y) la
coordenada de la posición. 𝑒𝑎 es la velocidad en esa dirección. 1 lu hace referencia a una unidad de Lattice.
El término 𝑒𝑎 hace referencia a la velocidad microscópica discretizada, 𝑎 es la
posición que va desde 0 hasta 8, en donde 0 corresponde a la partícula en reposo.
Además, la función de equilibrio 𝑓𝑒𝑞 expuesta en la Ecuación 20 es representada en
la Ecuación 22 para cada posición propuesta por el modelo D2Q9 [15]. En ésta, 𝑤𝑎
22
es un peso referente a la posición, en donde si 𝑎 = 0 el peso será de 4/9, si 𝑎 =
1,2,3,4 el peso será de 1/9 y si 𝑎 = 5,6,7,8 el peso será de 1/9. 𝑢 Es la velocidad
macroscópica y 𝑐 es la velocidad del sonido en la Lattice [10].
𝑓𝑎𝑒𝑞(𝑋) = 𝑤𝑎𝜌(𝑋) [1 + 3
𝑒𝑎𝑢
𝑐2+
9
2
(𝑒𝑎𝑢)2
𝑐4−
3
2
𝑢2
𝑐2]
Ecuación 22. Función de Distribución de Equilibrio.
Finalmente, se recalca que el modelo no emplea unidades reales sino unidades de
Lattice. Estas unidades pueden ser relacionadas con unidades reales realizando
operaciones matemáticas sencillas, las cuales serán explicadas en el numeral 5.4.7.
4.4.4 VISCOSIDAD CINEMÁTICA
La ecuación de Lattice Boltzmann para el modelo D2Q9 en un flujo incompresible
lleva a la ecuación de Navier-Stokes. Con base en esto, la viscosidad cinemática
está relacionada con el tiempo de relajación de la siguiente manera [15]:
𝜈 = 𝑐𝑠2 (𝜏 −
1
2) 𝛿𝑡
Ecuación 23. Viscosidad Cinemática
En donde 𝐶𝑠 es la velocidad del sonido en la Lattice cuyo valor corresponde a 1
√3
(𝐶𝑠 =1
√3) y 𝛿𝑡 hace referencia a el paso de tiempo. Hay que tener presente que a
medida que el valor 𝜏 es más cercano a 1/2 se empiezan a presentar problemas
numéricos [4]. El valor más seguro de 𝜏 es de 1 lo cual permite obtener una
viscosidad cinemática de 1
6𝑙𝑢2𝑡𝑠−1 .
23
4.4.5 SINGLE-COMPONENT MULTIPHASE
El termino multifase indica un fenómeno que afecta al fluido provocando que éste
se separe en fases diferentes por medio de cambios de presión, geometría,
temperatura, etc. El LBM le resulta más sencillo simular cambios de fase que varios
software convencionales CFD gracias a la mecánica estadística y termodinámica
que contiene este método de fondo.
Existen varios modelos que permiten simular cambios de fase. Uno de los más
conocidos es el modelo de Shan-Chen el cual plantea la interacción entre las
densidades de las partículas más cercanas por medio de fuerzas atractivas de largo
rango [16]. Estas fuerzas permiten identificar la interacción entre las fases existentes
en el fluido.
La fuerza de atracción 𝐹 según el modelo D2Q9 es de la siguiente manera:
𝐹(𝑋, 𝑡) = −𝐺𝜓(𝑋, 𝑡) ∑ 𝑤𝑎𝜓(𝑋 + 𝑒𝑎∆𝑡, 𝑡)𝑒𝑎
8
𝑎=1
Ecuación 24. Fuerza de Atracción D2Q9
En donde 𝐺 es una fuerza de interacción que está relacionada con la energía
necesaria para el cambio de fase, 𝑤𝑎 es el peso del modelo de LBM y 𝜓 es un
potencial de interacción que se va a ajustar a la ecuación de estado.
24
Cuando 𝐺 es negativo, la fuerza es considerada como una fuerza de atracción. La
velocidad se ve afectada por la adición de la fuerza y realiza un cambio ∆𝑢, como
se muestra en la Ecuación 25, que afecta a la velocidad de equilibrio como se expresa
en la Ecuación 26. La velocidad de equilibrio es la que es usada para calcular la las
funciones de distribución de equilibrio.
∆𝑢 =𝜏𝐹
𝜌
Ecuación 25. Cambio de la velocidad por la fuerza
𝑢𝑒𝑞 = 𝑢 + ∆𝑢
Ecuación 26. Cambio realizado en la velocidad para calcular la función de distribución de equilibrio.
Finalmente, la velocidad macroscópica 𝑈 se le incorpora la fuerza atractiva como
una fuerza de cuerpo [16].
𝑈(𝑋, 𝑡) = 𝑢(𝑋, 𝑡)𝜌 +1
2𝐹
Ecuación 27. Velocidad Macroscópica afectada por la Fuerza de Atracción
Al incorporar el término de fuerza en la ecuación de estado isotérmica, ésta se
expresa de la siguiente manera [4]:
𝑃 = 𝜌𝑅𝑇 +𝐺𝑅𝑇
2[𝜓(𝜌)]2
Ecuación 28. Ecuación de Estado en Unidades de Lattice
En el modelo de Single-component Multiphase (SCMP), se utiliza 𝑅𝑇 = 1/3, lo que
simplifica la ecuación de estado.
25
𝑃 =𝜌
3+
𝐺
6[𝜓(𝜌)]2
Ecuación 29. Ecuación de Estado Simplificada en Unidades de Lattice.
La ecuación de estado varía dependiendo del potencial de interacción que se
seleccione. En este caso se escogió el potencial de interacción de Shan-Chen.
𝜓(𝜌) = 𝜓0𝑒(
−𝜌0𝜌
)
Ecuación 30. Potencial de Interacción de Shan-Chen (masa efectiva).
El potencial de interacción hace que la ecuación de estado sea de carácter no lineal,
lo que permite dos fases coexistan después de superar un valor crítico. En la Ecuación
30 los parámetros 𝜓0 y 𝜌0 son constantes arbitrarias que se seleccionaron con base
en el trabajo realizado por Michael Sukop y Dani Or en el 2005 [10]. El valor de estas
constantes es 𝜓0 = 4 y 𝜌0 = 200 𝑚𝑢 𝑙𝑢−2.
Gráfica 1. Presión contra Densidad en Unidades de Lattice.
-50
0
50
100
150
200
250
300
0 200 400 600 800 1000 1200
Pre
sió
n [
mu
ts^
-2]
Densidad [mu lu^-2]
Presión Vs Densidad
G=-48
G=-72
G=-92.4
G=-120
G=-160
26
Cuando 𝐺 es menor que un valor crítico 𝐺𝑐 ( 𝐺𝑐 = −92.4 para éste caso), la función
se vuelve no monótona y hay cambio de fase cuyas densidades del sistema siguen
la ecuación de estado planteada en la Ecuación 29. Cuando el valor inicial de la
densidad del sistema analizado se encuentra dentro de la región inestable, el fluido
tenderá a estabilizarse en los límites estables de líquido y de vapor. En la Ilustración
7 puede observarse un diagrama de fase que bosqueja las curvas de la ecuación
de estado con respecto a la presión y el volumen específico (1/𝜌).
Ilustración 7. Diagrama de Fase Isotérmico Presión Vs Volumen Específico (1/𝜌)
27
4.4.6 CONDICIONES DE FRONTERA
Las condiciones de frontera (BC) en el LBM presentan dificultades ya que no existe
una intuición física de la función de distribución de velocidades en las fronteras
porque normalmente se tiene información macroscópica en las fronteras del
sistema. Sin embargo, varios autores han propuesto condiciones de frontera
microscópicas adaptando las condiciones macroscópicas. Las BC son muy
importantes ya que de éstas depende la precisión numérica y la estabilidad [17].
4.4.6.1 Condición de Frontera “Bounce-Back”
La condición de Bounce-Back plantea la interacción entre nodos líquidos y nodos
sólidos. Por lo tanto, cuando las funciones de distribución se encuentran con un
nodo sólido, éstas son reflejadas o “rebotan” de nuevo en el dominio. Con base en
lo anterior, existen dos formas en cómo se reflejan las distribuciones. La primera
forma se denomina “Full-Way Bounce-Back” y el segundo “Half-Way Bounce Back”
[18].
En el Full-Way Bounce-Back, no hay colisión en los nodos sólidos, pero en aquellos
nodos, la dirección de las funciones de distribución se invierte y se propaga en la
dirección opuesta si realizar el paso de colisión. En la segunda forma, las funciones
de distribución, que durante el paso de propagación dejarían el dominio, son
retenidas en el nodo y son copiadas en la dirección opuesta efectuando el paso de
colisión. Puede decirse que en el Half-Way Bounce-Back, el paso de propagación
se ve afectado por la colisión realizada en el nodo de la frontera, mientras que en el
Full-Way Bounce-Back, mantiene la misma propagación pero modifica el paso de
colisión [17].
28
Ilustración 8. Funciones de Distribución en Bounce-Back
4.4.6.2 Condición de Frontera Periódica
En la condición de frontera periódica se propone que lo que sale de una frontera
será lo mismo que lo que entre en la frontera opuesta. En 2D puede imaginarse un
rectángulo, que al indicarle condición de frontera periódica en la dirección horizontal,
las fronteras de la izquierda y de la derecha se van a unir, permitiendo que el
dominio sea continuo. Puede observarse en la Ilustración 9 un boceto de cómo se
podría representar el dominio descrito anteriormente.
29
Ilustración 9. Condición de Frontera Periódica [4].
4.4.7 UNIDADES DE LATTICE
Los parámetros físicos se transforman en unidades de Lattice por medio de
relacionar los parámetros de espacio y tiempo discretizados (paso te tiempo y
espaciamiento de la malla) [18]. A continuación se muestra cómo pasar las unidades
reales a unidades de Lattice. Primero, se supone que el sistema analizado es un
flujo a través de un tubo en 2D con un diámetro de 50cm y el ancho del tubo es igual
al diámetro (𝐿 = 50𝑐𝑚). Ese tubo tendrá 101 nodos en la dirección X y Y (𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 =
1001 ) y el espacio entre los nodos será de 𝛿𝑦𝐿 = 𝛿𝑥𝐿 = 1 𝑙𝑢, por lo tando la longitud
en unidades de Lattice será de 1000 𝑙𝑢. De ahora en adelante, los subíndices F
serán para referirse a unidades físicas, mientras que los subíndices L se emplearán
para referirse a unidades de Lattice. Con base en lo anterior, la relación entre las
unidades físicas y de Lattice de longitud es la siguiente:
𝛿𝑦𝐹 =𝐿𝐹
𝐿𝐿=
𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎𝑠 [𝑚]
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 [𝑙𝑢]
30
Con los datos mencionados se obtiene la siguiente relación:
𝛿𝑥𝐹 =𝐿𝐹
𝐿𝐿=
0.5
1000= 5 ∗ 10−4
𝑚
𝑙𝑢
Ahora, se encontrará la viscosidad cinemática en unidades de Lattice con la Ecuación
23 (𝜈 = 𝑐𝑠2 (𝜏 −
1
2) 𝛿𝑡). Para esto se supondrá un valor de 𝜏 = 1 y el paso de tiempo
será 𝛿𝑡 = 1 𝑡𝑠.
𝑣𝐿 =1
3∗ (1 − 0.5) ∗ 1 = 0.1667
𝑙𝑢2
𝑡𝑠
La relación de la viscosidad cinemática en unidades de Lattice y la viscosidad en
unidades físicas es de la siguiente manera:
𝑣𝐿
𝛿𝑥𝐹2
𝛿𝑡𝐹= 𝑣𝐹
La viscosidad cinemática del fluido puede despejarse con el número de Reynolds.
Para esto se supone que el flujo del líquido dentro de la tubería tiene una velocidad
horizontal 𝑈𝐹 = 0.5𝑚
𝑠 y un número de Reynolds de 200.
𝑅𝑒 =𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∗ 𝑈𝐹
𝑣𝐹
𝑣𝐹 =𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∗ 𝑈𝐹
𝑅𝑒=
0.5 ∗ 0.5
200= 1.25 ∗ 10−3
𝑚2
𝑠
Ahora se halla el paso de tiempo físico:
𝛿𝑡𝐹 = 𝑣𝐿
𝛿𝑥𝐹2
𝑣𝐹= 3.334 ∗ 10−5 𝑠
La relación para encontrar la velocidad a la entrada en unidades de Lattice es la
siguiente:
31
𝑈𝐿 = 𝑈𝐹 ∗𝛿𝑡𝐹
𝛿𝑥𝐹= 0.03334
𝑙𝑢
𝑡𝑠
Las unidades de Lattice empleadas para la densidad son 𝑚𝑢/𝑙𝑢2 y para la presión
𝑚𝑢/𝑡𝑠2. La unidad 𝑚𝑢 hace referencia a la unidad de masa en Lattice. La densidad
en unidades de Lattice es seleccionada con base en una densidad de referencia [5].
𝜌𝐹 = 𝜌𝑟𝑒𝑓 ∗ 𝜌𝐿
Finalmente, se verifica el número de Reynolds y el numero Mach.
𝑅𝑒𝐿 =𝑈𝐿 ∗ 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐿
𝑣𝑙=
0.03334 ∗ 1000
0.1667= 200
𝑀𝑎𝐿 =𝑈𝐿
(𝐶𝑠)𝐿= 0.03334 ∗ √3 = 0.05775
De lo anterior se puede notar que la transformada a unidades de Lattice estuvo bien
realizada debido a que el número de Reynolds es el mismo cuando es despejado
con las unidades de Lattice y las unidades normales. Por otro lado, el número de
Mach debe ser mucho menor que 1( 𝑀𝑎𝐿 ≪ 1) ya que si el valor del número de
Mach es muy cercano a 1 la simulación se vuelve inestable. Para reducir el número
de Mach puede aumentarse el número de nodo de la malla a lo ancho de la tubería
o disminuir el parámetro de relajación hasta un número cercano y mayor a ½ para
que la viscosidad cinemática en Lattice no sea cero [5].
32
5. MODELOS Y METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN
5.1 MODELO HOMOGÉNEO
Los modelos homogéneos permiten una técnica simple para flujos multifásicos.
Estos modelos proponen promedios adecuados de las propiedades del dominio de
simulación. En el fluido mesclado, que contiene las fases de vapor (en forma de
burbujas) y líquido, se trata como un pseudofluido que obedece la ecuación del flujo
de único componente (single-component). Para estos modelos han implementado
aproximaciones isentrópicas lo que consigue expresar el estado termodinámico de
la ecuación de estado en términos de las densidades de los estados del fluido [19].
Estos modelos homogéneos son efectivos para sistemas grandes y para resolver
escalas espaciales pequeñas, lo que implica que la distancia entre las burbujas no
es necesaria. Además, los modelos homogéneos son lo suficientemente precisos
para simular gran variedad de procesos. Sin embargo, no logran capturar todas las
características de flujos complejos y puede presentar discrepancias con los
resultados experimentales [20].
5.2 MODELO HETEROGÉNEO
El modelo heterogéneo utiliza simulación numérica directa con base en técnicas
desarrolladas para flujos de superficie libre y emplean método que rastrean la
interacción entre las interfaces. Estos métodos son bastante precisos y son
limitados únicamente por errores numéricos. Estos métodos permiten calcular
arrastre, tensión superficial y fuerzas viscosas. La ventaja del modelo heterogéneo
frente al modelo homogéneo radica en que el homogéneo no es capaz de resolver
estructuras de ondas finas y perturbaciones superficiales pequeñas [20].
33
Finalmente, cabe aclarar que el método de Lattice Boltzmann emplea un modelo de
tipo homogéneo.
5.3 METODOLOGÍA
Para las simulaciones se empleó la librería “Palabos”. Esta librería es un marco para
propósitos generales de la dinámica computacional de fluidos que emplea como
base el método de Lattice Bolzmann. El lenguaje de programación que se emplea
es C++. Es necesario un compilador para poder abrir la librería y correr las
simulaciones [21], para este trabajo se empleó el compilador del software
CODEBLOCKS.
El código de los resultados entregados está disponible en Anexos con una
explicación del código.
34
6. RESULTADOS
6.1 SEGREGACIÓN
Este resultado simula la aparición de una segunda fase líquida dentro de una fase
gaseosa. La malla empleada fue de 200x200 𝑙𝑢2y la condición de frontera asignada,
en todos los extremos de la simulación, fue periódica. Además, los parámetros del
SCMP se escogieron con base en trabajo de Sukop y Dani Or [10] [4], dichos valores
corresponden a: 𝜌𝑜 = 200, 𝜓0 = 4 y 𝐺 = −120. Adicionalmente se utiliza un valor de
𝜏 = 1.
Esta simulación se inicializa con un término que indica una condición aleatoria de
densidades para que pueda observarse el cambio de fase. El valor inicial de la
densidad fue de 𝜌𝑜 = 200 𝑚𝑢 𝑙𝑢−2, el cual se le sumó el parámetro aleatorio de la
siguiente manera:
𝜌 = 𝜌𝑜 +𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜∗ 𝐶
De lo anterior, 𝐶 representa el valor de una constante que puede tomar cualquier
valor real sin ningún significado físico. Por otro lado, la división entre el número
aleatorio y el máximo número aleatorio, implica que el parámetro aleatorio que se le
está asignando a la función de densidad, para inicializar el problema, puede
observarse como un porcentaje desde 0 hasta 100% del valor de la constante que
se le establezca. La magnitud de la constante escogida, va a influir en el tiempo de
duración para que la simulación reduzca su área superficial hasta que termine en
una sola burbuja.
35
Se halló que, al incrementar el valor de la constante, el tiempo que le tomaba la
simulación, para que el dominio convergiera en una sola burbuja, se reducía. Por
ejemplo, para un valor de la constante de 1, el resultado se demora
aproximadamente 86000 ts. Por consiguiente, para lograr un tiempo de simulación
similar al de los resultados obtenidos por Sukop y Dani, se puede incrementar el
valor de la constante hasta un valor de 40. Para ese último valor, el tiempo de
simulación fue muy cercano al del trabajo de referencia. En la Ilustración 10 se
observan imágenes de la simulación obtenida en diferentes pasos de tiempo,
mientras que en la Ilustración 11 se muestra el resultado de Sukop y Dani Or.
Ilustración 10. Los resultados obtenidos con constante de 40, corresponden a los tiempos: 0, 100, 200, 400, 800, 1600, 3200, 6400, 12800, 25600 ts.
36
Ilustración 11. Los resultados obtenidos de Sukop, corresponden a los tiempos: 0, 100, 200, 400, 800, 1600, 3200, 6400, 12800, 25600 ts [4].
En resumidas cuentas, entre mayor sea el valor de la constante del valor aleatorio
más rápida va a ser la simulación ya que van a haber más partículas de líquido
(color rojo) que de vapor (color azul), por lo que el líquido no se desplazará tanto
para minimizar su área superficial.
Se logra observar en esta simulación la condensación y evaporación de varias
burbujas, además se logra ver una tendencia del sistema a minimizar su área
superficial en consecuencia a la minimización de la energía libre [4].
6.2 LIQUIDO A TENSIÓN
En este resultado se simuló cavitación en un líquido puro por medio de someter al
dominio a tensión. Los parámetros del SCMP se mantienen iguales (𝜌0 = 200, 𝜓0 =
4 y 𝐺 = −120) con un dominio de 200x200 𝑙𝑢2 y se utiliza un 𝜏 = 1.
Se asignaron condiciones de frontera periódicas en las fronteras verticales
(izquierda y derecha), mientras que en las fronteras horizontales (arriba y abajo) se
utilizaron fronteras con velocidad hacia afuera del dominio para que generara
37
tensión en el líquido y se diera cambio de fase. La velocidad asignada fue de 𝑣 =
0.05 𝑙𝑢 𝑡𝑠−1 en la dirección-Y hacia afuera del domino. Se obtuvo el siguiente
resultado:
Ilustración 12. Resultado obtenido de la Simulación de Cavitación Homogénea. Color rojo es líquido y el color azul es el vapor.
Los resultados obtenidos se compararon con los resultados que obtuvieron Dani y
Sukop [4] y se logró identificar que el comportamiento de las densidades no fue
exactamente el mismo, debido a que en la simulación que se realizó, no se logró
asignar adecuadamente la densidad en las condiciones de frontera superior e
inferior del dominio. La razón por la que so se consiguió implementar la densidad
de líquido en las condiciones de frontera mencionadas, se debe a que se
implementó la condición de velocidad en los nodos frontera superior e inferior que
se encontraban dentro del dominio, el inconveniente que presentó fue que impedía
asignarle otra densidad en esos nodos. Una posible solución al problema es asignar
la condición de velocidad como una frontera externa del dominio para que todo el
fluido mantenga la misma densidad y se logren los mismos resultados que obtuvo
Sukop. Aunque la solución propuesta no se logró implementar por el tiempo limitado
que se tuvo, con los resultados obtenidos se puede apreciar que la densidad en
ambos resultados se estabiliza en valores cercanos.
38
Ilustración 13. Resultado de Sukop y Dani Or en donde muestra el comportamiento de la densidad en la simulación de cavitación en líquido puro [10].
Ilustración 14. Resultados obtenidos que muestran el comportamiento de la densidad en cada paso de tiempo.
Se puede observar que las densidades en ambos casos se estabilizan en valores
cercanos. El valor de la densidad del gas y del líquido estable, en la simulación
0
100
200
300
400
500
600
700
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Den
sid
ad [
mu
lu^
-2]
Time Step
39
realizada, es de 521 y 79 𝑚𝑢 𝑙𝑢−2 respectivamente. Mientras que el valor de en la
simulación realizada por Sukop y Dani Or, los valores fueron de 524 y 85 𝑚𝑢 𝑙𝑢−2.
6.3 FLUJO EN VENTURI.
Finalmente, se simuló la cavitación hidrodinámica en un tubo de Venturi. Para esto
se asignaron los siguientes parámetros: 𝜌0 = 200, 𝜓0 = 4, 𝜏 = 1 y 𝐺 = −120; con
un dominio de 1600x100 𝑙𝑢2.
Con respecto a las condiciones de frontera, se estableció condición de frontera
periódica en las fronteras: derecha e izquierda, mientras que el resto de fronteras
corresponde al tubo (sólido), por lo tanto son condiciones de Bounce-Back.
Adicionalmente, en la frontera de la izquierda se agregó una condición de velocidad
hacia la derecha, para que el flujo se mantenga en movimiento.
Se realizaron dos simulaciones con dos diferentes velocidades en la entrada
(frontera de la izquierda), la primera no generó cavitación, pero la segunda se logra
apreciar el cambio de fase.
La primera velocidad implementada fue de 0.5 𝑙𝑢 𝑡𝑠−1 y se simuló por un tiempo de
20000 ts. Esa velocidad no generó cambio de fase. Puede observarse en las
siguientes ilustraciones.
40
Ilustración 15. Densidad de la Simulación de Venturi sin Cavitación
Ilustración 16. Velocidad de la Simulación de Venturi sin Cavitación
De la Ilustración 15 y Ilustración 16, se logra observar que la densidad del líquido no
baja de 500, lo que quiere decir que se mantiene en fase líquida. Además, debido a
que no se presentó turbulencia, la simulación no presentó problemas de
convergencia y tanto la densidad como la velocidad se lograron estabilizar después
de aproximadamente 12000 iteraciones.
Por otro lado, se incrementó la velocidad de la entrada a 0.7 𝑙𝑢 𝑡𝑠−1. En este caso,
ya se logra observar una densidad que es equivalente a la densidad del vapor
obtenida en la simulación de cavitación en líquido puro.
41
Ilustración 17. Densidad de la Simulación de Venturi Con Cavitación
Ilustración 18. Ampliación de Escala Ilustración 17
Ilustración 19. Velocidad de la Simulación de Venturi Con Cavitación
De la Ilustración 18, puede observarse que, para esa velocidad, empieza a existir una
fase de vapor a la salida del cuello del Venturi. Sin embargo, esta simulación ya
empieza a presentar niveles considerables de turbulencia en el fluido, por lo que la
simulación diverge después de 11000 ts y no alcanza a estabilizarse la simulación.
Una solución a este inconveniente es emplear otro operador de colisión que no sea
el BGK. Una buena opción es implementar el modelo que proporciona el MRT
(multiple-relaxation-time), el cual ya no presenta un parámetro de relajación, sino
que presenta una matriz diagonalizable de parámetros de relajación lo que
proporciona mayor estabilidad con flujos turbulentos [22]. La solución no se logró
implementar por el limitado tiempo con el que se contaba.
42
7. CONCLUSIONES
Los modelos empleados para las simulaciones fueron el modelo D2Q9 para simular
el flujo en 2 dimensiones, el modelo BGK para la función de colisión y el modelo
SCMP para simular el cambio de fase. Además, se comprendió el método de Lattice
Boltzmann, por medio del estudio de varios artículos y trabajos realizados años
atrás, que exponen la evolución y derivación del método, condiciones de frontera,
modelos de colisión, modelos para simulación de flujos multifásicos y modelos para
representar las direcciones y velocidades de las partículas.
Las simulaciones se realizaron con base en la librería de Palabos, cuyo lenguaje de
programación es C++. De los tres resultados obtenidos se logra concluir lo siguiente:
En el resultado obtenido por la simulación “Segregación”, ejecutado en un
medio cuadrado con fronteras periódicas, se observa que el método de
Lattice Boltzmann permite simular de una manera no muy complicada los
cambios de fase al iniciar el problema en un valor inestable de la densidad
según la ecuación de estado dada por el modelo escogido. Los resultados
obtenidos concuerdan en gran medida con un trabajo realizado
anteriormente [4]. Es importante tener en cuenta el parámetro de
inicialización aleatorio para la densidad ya que de éste depende el tiempo
que demore la simulación hasta que llegue a la menor área superficial
posible.
El resultado de la simulación de cavitación en un líquido puro sometido a
tensión se realizó con dos fronteras periódicas y dos fronteras con velocidad
hacia afuera del dominio. En éste resultado se logró observar cómo el líquido
cambiaba de fase a medida que pasa el tiempo. Se logró identificar las
densidades estables del líquido y del vapor; lo que coincide con la referencia
comparada [10]. Asimismo, hay que tener cuidado con las condiciones de
43
frontera asignadas al problema debido a que tienen un gran impacto en la
simulación y con respecto a la librería que se empleó, pueden haber
complicaciones al momento de asignarlas.
El resultado del flujo de líquido a través del Venturi se realizó con dos
fronteras periódicas, una condición de velocidad a la entrada del tubo de
Venturi y condición de Bounce-Back para los nodos sólidos. En éste, se logró
realizar dos flujos, en el cual, en uno de éstos se consigue observar una fase
de vapor. Por otro lado, es de gran importancia saber el régimen del flujo que
se está manejando ya que dependiendo del modelo de colisión que se esté
manejando el sistema puede divergir. En el caso de la simulación realizada
con cavitación, es una buena alternativa emplear el modelo MRT para evitar
que no diverga.
Para finalizar, se puede afirmar que el método de Lattice Boltzmann es un método
que posee muchas alternativas de desarrollo para el futuro y vale la pena seguir
trabajando con éste.
44
8. REFERENCIAS
[1] E. Amromin, "Development and Validation of Computational Fluid Dynamics Models for
Initial Stages of Cavitation," ASME, 2014.
[2] D. Liuzzi, Two-Phase Cavitation Modelling, Rome: UNIVERSITY OF ROME - LA SAPIENZA -,
2012.
[3] . J.-P. Franc and . J.-M. Michel, Fundamentals of Cavitation, Netherlands: Springer, 2005.
[4] M. Sukop and D. Thorne, Jr, Lattice Boltzmann modelling An Introduction for Geoscientists
and Engineers, Berlin: Springer, 2006.
[5] N. R. Koosukuntla, "Towards Development of a Multiphase Simulation Model Using Lattice
Boltzmann Method (LBM)," The University of Toledo, Toledo, 2011.
[6] U. Frisch, B. Hasslacher and Y. Pomeau, "Lattice-Gas Automata for the Navier-Stokes
Equation," Physical Review Letters, 1986, pp. 1505-1508.
[7] J. G. Zhou, "Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows," United Kingdom, Springer,
2013, pp. 1-4.
[8] G. R. McNamara and G. Zanetti , "Use of the Boltzmann Equation to Simulate Lattice-Gas
Automata," PHYSICAL REVIEW LETTERS, 1988, pp. 2332-2335.
[9] D. A. Wolf-Gladrow, "Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models - An
Introduction," Springer, 2005.
[10] M. Sukop and D. Or, "Lattice Boltzmann method for homogeneous and heterogeneous
cavitation," Connecticut, 2005.
[11] [Online]. Available: http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/kinetic_theory.html.
[12] A. A. Mohamad, "Lattice Boltzmann Method Fundamentals and Engineering Applications,"
Springer, 2011.
[13] S. Chen and G. Doolen, "LATTICE BOLTZMANN METHOD FOR FLUID FLOWS," Annual Review
of Fluid Mechanics, pp. 329-360.
[14] A. KUZMIN and A. MOHAMAD, "MULTI-RELAXATION TIME LATTICE BOLTZMANN MODEL,"
Calgary, World Scientific Publishing Company, 2008, pp. 875-901.
[15] D. Yu, R. Mei, L.-S. Luo and W. Shyy, "Viscous flow computations with the method of lattice
Boltzmann equation," PERGAMON, 2003.
45
[16] A. L. Kupershtokh, D. A. Medvedev and D. I. Karpov, "On equations of state in a lattice
Boltzmann method," Computers and Mathematics with Applications, 2009.
[17] [Online]. Available: http://wiki.palabos.org/models:bc.
[18] E. Amromin, "Development and Validation of Computational Fluid Dynamics Models for
Initial Stages of Cavitation," Federal Way, WA.
[19] R. Samulyak and Y. Prykarpatskyy, "Richtmyer–Meshkov instability in liquid metal flows:
influence of cavitation and magnetic fields," ELSEVIER, USA, 2004.
[20] R. Samulyak, Y. Prykarpatskyy, T. Lu, J. Glimm, Z. Xu and M.-N. Kim, "Comparison of
heterogeneous and homogenized numerical models of cavitation".
[21] "Palabos," [Online]. Available:
http://www.palabos.org/documentation/userguide/introduction.html#what-is-palabos.
[22] [Online]. Available: http://wiki.palabos.org/models:lbmodels.
[23] D. J. Bespalko, "Validation of the Lattice Boltzmann Method for Direct Numerical Simulation
of Wall-Bounded Turbulent Flows," Ontario, 2011.
46
9. ANEXOS
9.1 SEGREGACIÓN
De la línea 2 a la línea 13 se importan las librerías que se van a emplear, se asigna
la carpeta en donde se van a guardar las imágenes de la simulación y se define el
descriptor que se va a usar.
47
De la línea 18 a la línea 63 se crea una clase para definir las condiciones iniciales
del problema empleando una función rand (aleatoria) que permitirá originar
densidades iniciales diferentes en el dominio de simulación para que haya cambio
de fase.
De la línea 67 a la 75 se crea una clase que inicializa las condiciones iniciales.
De la línea 88 a la 93 se crea una clase que permite crear imágenes de tipo VTK.
48
Finalmente de la línea 96 a la 163 se crea la clase main que ejecuta las clases
anteriores. De la línea 102 a la 112 se definen los parámetros de la simulación. En
las líneas 114 y 115 se define el modelo de colisión que se va a emplear. En la línea
117 se define las condiciones de frontera periódica para todas las fronteras. En las
49
líneas 120 y 121 se establece un tipo de frontera en dos dimensiones. De la línea
124 a la 130 se especifica el modelo de cambio de fase SCMP Shan-Chen. En la
línea 132 se ejecutan las condiciones iniciales. Finalmente, de la línea 135 a la 160
se crea el output (lo que entrega) la simulación en cada paso de tiempo, como por
ejemplo las imágenes, el valor de las densidades máximo y mínimo de la simulación
en el paso de tiempo actual, entre otros.
9.2 LIQUIDO A TENSIÓN
De la línea 1 a la línea 12 se importan las librerías necesarias para el desarrollo del
código, se asigna la carpeta en donde se van a guardar las imágenes de la
simulación y se define el descriptor que se va a usar.
50
De la línea 17 a la línea 62 se crea una clase para definir las condiciones iniciales
del problema definiendo una densidad inicial que cumpla con la fase líquida
correspondiente al modelo de cambio de fase utilizado. Lo anterior permitirá originar
una densidad de fase líquida homogénea en el dominio (sin fases de vapor dentro
del líquido).
51
De la línea 66 a la 91 se definen las ubicaciones de las fronteras, se impone una
velocidad de salida en las fronteras superior e inferior y se inicializa las condiciones
iniciales.
De la línea 94 a la 99 se crea una clase que permite crear imágenes de tipo VTK
que mostrarán la densidad en el dominio de la simulación.
52
Por último, de la línea 102 a la 173 se crea la clase main que ejecuta las clases
anteriores. De la línea 109 a la 119 se definen los parámetros de la simulación. En
las líneas 121 y 122 se define el modelo de colisión que se va a emplear. En las
53
líneas 125 y 126 se define las condiciones de frontera periódica para las fronteras
ubicadas en la izquierda y en la derecha. En las líneas 128 y 129 se establece un
tipo de frontera en dos dimensiones. De la línea 131 a la 140 se especifica el modelo
de cambio de fase SCMP Shan-Chen. En la línea 142 se ejecutan las condiciones
iniciales. En último lugar, de la línea 145 a la 172 se crea el output (lo que entrega)
la simulación en cada paso de tiempo, como por ejemplo las imágenes, el paso de
tiempo, el valor de las densidades máximo y mínimo de la simulación en el paso de
tiempo actual, entre otros.
9.3 FLUJO EN VENTURI.
De la línea 2 a la línea 19 se importan las librerías que se emplearán para el
desarrollo del código y se define el descriptor que se va a usar.
54
De la línea 24 a la 46 se define una clase para describir la geometría del obstáculo
que entrará en contacto el fluido.
55
De la línea 50 a la línea 84 se crea una clase para definir las condiciones iniciales
del problema definiendo una densidad inicial que cumpla con la fase líquida
correspondiente al modelo de cambio de fase utilizado. Lo anterior permitirá originar
una densidad de fase líquida homogénea en el dominio (sin fases de vapor dentro
del líquido).
56
De la línea 87 a la 120 se definen las ubicaciones de las fronteras, se impone una
velocidad de salida en las fronteras superior e inferior y se inicializa la Lattice.
De la línea 122 a la 139 se crea una clase que permite crear imágenes de tipo
VTK y GIF que mostrarán la densidad y velocidades en el dominio de la
simulación.
57
58
Por último, de la línea 139 a la 206 se crea la clase main que ejecuta las clases
anteriores. De la línea 145 a la 157 se definen los parámetros de la simulación. En
las líneas 160 y 161 se define el modelo de colisión que se va a emplear. En las
líneas 163 y 164 se establece un tipo de frontera en dos dimensiones. En la línea
166 se incorpora la condición de velocidad a la entrada y el obstáculo. En la línea
164 se define las condiciones de frontera periódica para las fronteras ubicadas en
la izquierda y en la derecha. De la línea 170 a la 171 se inicializa las condiciones
iniciales. De la línea 174 a la 178 se especifica el modelo de cambio de fase SCMP
Shan-Chen. En la línea 180 se inicializa el código. En último lugar, de la línea 182
a la 205 se crea el output (lo que entrega) la simulación en cada paso de tiempo,
como por ejemplo las imágenes (VTK y GIF), el paso de tiempo, el valor de las
densidades máximo y mínimo de la simulación en el paso de tiempo actual, entre
otros.
