TRABAJO COLABORATIVO

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR:JAIME RODRIGEZ ROJAS

CODIGO:GRUPO

TUTOR:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

Septiembre de 2014

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN Pág. 2

OBJETIVOS Pág. 3

DESARROLLO ACTIVIDAD Pág. 4

BIBLIOGRAFÍA Pág. 23

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo colaborativo pretende lograr la apropiación de conocimientos de los contenidos temáticos de la unidad 1 del curso de Algebra lineal, mediante la solución práctica de ejercicios y problemas sobre vectores, matrices y determinantes y de esta forma se pretende lograr el desarrollo de competencias en los contenidos y conceptos estudiados en los capítulos de la primera unidad, para alcanzar la transferencia de conocimientos mediante el aprendizaje significativo.

A continuación se encuentra el desarrollo y solución a ejercicios de vectores polares, matrices según el método de Gauss Jordan, el determinante de una matriz y solución de matriz inversa.

OBJETIVOS

Lograr la transferencia de conocimientos y competencias relativas a los conceptos básicos teórico-práctico de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio, análisis y solución de problemas y ejercicios propuestos.

Realizar la apropiación y comprensión grupal de los fundamentos conceptuales de los determinantes y los principios de espacio vectorial y su aplicabilidad a un problema real en el entorno profesional, mediante la investigación, análisis y estudio de fuentes bibliográficas textuales y recursos multimedia relacionados con los temas contenidos en la unidad1 y su aplicación en diferentes áreas del conocimiento.

Reconocer la importancia del dominio básico del Algebra lineal, como disciplina imprescindible para nuestra formación en cualquier área científica, ya que nos permite desarrollar competencias en el campo de la investigación y desarrollo motriz.

PARTE 1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN (VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES)

1. Resolver el siguiente problema, graficando la situación presentada.

Un helicóptero vuela 220 km rumbo al oeste desde la zona A hasta la zona B y después 150 km en la dirección de 60 grados al noroeste de la zona B hasta la zona C. a) En línea recta, que tan lejos está la zona C de la zona A. b) Respecto de la zona A ¿en qué dirección está la zona C?

Solución:

Para hallar la distancia de BX resolvemos

cos60°=BX150

BX=150cos60°

BX=150(0,5 )BX=75Km

Hallamos la distancia de R en X:

RX=BX+220KmRX=75Km+220KmRX=295Km

Hallamos la distancia de C en Y

Sen60°=CY150

CY=150⋅Sen60°

CY=150( 0 ,87 )CY=130Km

Por teorema de Pitágoras hallamos la distancia de A a C

R2=(CY )2+(RX )2

R2=(130Km)2+ (295Km )2

R2=16900Km2+87025Km2

R2=103925Km2

R=√103925Km2

R=322,37Km

Para hallar la distancia de C con respecto a A, resolvemos:

Tg β=CYRX

Tg β=130Km295Km

Tg β=0 ,46β=arctg(0 ,46 )β=24 ,700

La zona C se encuentra a 322,37 km de distancia de la zona A en una dirección de 24,70° al noroeste.

2. En 4 semanas, las dos compañías, Alvarez y McGinnis, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME):

1ª semana: Alvarez: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua. McGinnis: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua. 2ª semana: Alvarez: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua 3ª semana: Alvarez: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua.

Actividades Representa los datos para saber el consumo de las dos compañías. Compara los consumos respondiendo la siguiente pregunta: ¿Qué cantidad

de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? ¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana?

¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 7 compañías como Alvarez, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Alvarez?

Consideremos que la Compañía Alvarez recibe materia prima de dos proveedores (ALFA Ltda. y Malt S.A.) Cuál de los dos proveedores es mejor?

ALFA Ltda. Malt S.A.Levadura 50 55

Malta 136 127Agua 80 79

Halla a la inversa de la matriz de consumo de la compañía McGinnis por Gauss Jordán y luego por Determinantes y compara los resultados adquiridos.

Solución:

Teniendo en cuenta que:

X = Semana 1 A = Levadura

Y = Semana 2 B = Malta

Z = Semana 3 C = Agua

La representación gráfica para cada compañía quedaría, lo podemos presentar por medio de un arreglo de la información como se muestra a continuación

Alvarez

X Y ZA 8 10 7B 4 6 8C 12 5 5

McGinnisX Y Z

A 6 9 7B 3 5 0C 12 4 5

Para saber la cantidad de materia prima se necesita para ambas compañía en cada semana se hace una suma de matrices donde la empresa Alvarez es la matriz A y la empresa McGinnis es la empresa B

A+B

[8 10 74 6 812 5 5 ]+[6 9 7

3 5 012 4 5 ]

[8+6 10+9 7+74+3 6+5 8+012+12 5+4 5+5 ]

[14 19 147 11 824 9 10 ]

Para saber la diferencia de consumo de ambas compañías por semana se hace una resta entre la matriz A y la matriz B

A−B

[8 10 74 6 812 5 5 ]−[6 9 7

3 5 012 4 5 ]

[8−6 10−9 7−74−3 6−5 8−012−12 5−4 5−5 ]

[2 1 01 1 80 1 0 ]

Para determinar el consumo de 7 compañías como a Alvarez por semana multiplicamos la primera columna de la matriz A por 7

7⋅[8412][722884 ]Matriz inversa de la compañía Alvarez por Gauss – Jordan

A=[ 8 10 74 6 812 5 5 ]⇒[ 8 10 7

4 6 812 5 5

|1 0 00 1 00 0 1 ]

Divido la fila 1 sobre 8

[ 1 10/8 7 /84 6 812 5 5

|1 /8 0 00 1 00 0 1 ]

Resto la fila 2 de la fila 1 multiplicada por 4 y resto la fila 3 de la fila 1 multiplicada por 12

[1 10/8 7 /80 1 36/80 −10 −44 /8

|1 /8 0 0

−1/2 1 0−12/8 0 1 ]

sumamos la fila 3 de la fila 2 multiplicada por 10

[1 10/8 7/80 1 36/80 0 316/8

|1/8 0 0

−1/2 1 0−22/8 10 1 ]

Dividimos la fila 3 por 316/8

[1 10/8 7/80 1 36/80 0 1

|1/8 0 0

−1/2 1 0−22/316 80/316 316/8 ]

Restamos la fila 2 de la fila 3 multiplicada por 36/8

[1 10/8 7/80 1 00 0 1

|1/8 0 0

−59/316 −11 /79 −711/ 4−22/316 80 /316 316/8 ]

Restamos la fila 1 de la fila 3 multiplicada por 7/8

[1 10/8 00 1 00 0 1

|81 /1264 −35 /158 −553/2−59/316 −11/79 −711/4−22/316 80/316 316/8 ]

Resto la fila 1 de la fila 2 multiplicada por 10/8

[1 0 00 1 00 0 1

|47/158 35 /632 −1638/8−59/316 −11/79 −711/4−22/316 80 /316 316/8 ]

Se halla el determinante

8(6x5-5x8)-4(10x5-5x7)+12(10x8-6x7) = 316

PARTE 2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN (SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS)

1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere20 kg del A, 30 kg del B, Y 50 kg del C. Una unidad III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B Y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? Resolver el problema a través de Gauss Jordan para hallar el valor de las variables establecidas.

Solución:Llamemos

X = Fertilizante tipo IY = Fertilizante tipo IIZ = Fertilizante tipo III

Como cada tipo de fertilizante tiene una cantidad de compuestos A, B y C entonces tenemos:

A B CX 10 30 60Y 20 30 50

Z 50 0 50

Como se sabe que

Del compuesto A se tienen 1600 Del compuesto B se tienen 1200 Del compuesto C se tienen 3200

Establecemos el sistema de ecuaciones

10 x+20 y+50 z=160030 x+30 y+0 z=120060 x+50 y+50 z=3200

Reescribimos el sistema de ecuaciones en forma de una matriz y lo resolvemos por el método de gauss – jordan

(10 20 5030 30 060 50 50

160012003200 )

Dividimos la primera fila por 10

( 1 2 530 30 060 50 50

16012003200 )

De la fila 2 restamos la fila multiplicados por 30 y de la fila 3 restamos la fila 1 multiplicada por 60

(1 2 50 −30 −1500 −70 −250

160−3600−6400 )

Dividimos la fila 2 por -30

(1 2 50 1 50 −70 −250

160120−6400)

De la fila 1 restamos la fila 2 multiplicada por 2 y de la fila 3 restamos la fila 3 multiplicada por -70

(1 2 −50 1 50 0 100

−801202000)

Dividimos la fila por 100

(1 2 −50 1 50 0 1

−8012020 )

De la fila 1 restamos la fila 3 multiplicada por -5 y de la fila 2 restamos la fila 3 multiplicada por 5

(1 0 00 1 00 0 1

202020 )

Lo que nos por resultado que de cada tipo de fertilizante se deben fabricar 20 unidades para consumir la totalidad de los compuestos.

2. De la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-2,0,1), B(1,2,3).

Solución:

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2,0,1) y B(1,2,3).

Las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son :

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados

V=PQ

Y este vector AB esta dado por la diferencia de B menos A en X, Y y Z.

V=AB= (1−(−2 ))i¿

+(2−0 ) j¿

+(3−1 ) k¿

V=AB= (1+2 )i¿

+(2−0 ) j¿

+(3−1 ) k¿

V=AB=3i¿

+2 j¿

+2k¿

Por lo tanto podemos definir que:

a=3b=2c=2

Con los anteriores valores la ecuación simétrica de la recta que contiene los puntos A(-2, 0, 1) y B(1,2,3)

x−13

= y−22

= z−32

Tendiendo la ecuación de la recta paralela podemos hallar la ecuación de la

recta que pasa por el punto P(1, -1, 1)

Con la ecuación de la recta paralela podemos determinar que :

A = 3B = 2C = 2

Y con esto hallamos el vector director que nos permitirá hallar la ecuación de la recta solicitada

( x , y , z )=(1 ,−1,1 )+λ (3,2,2 )x=1+3 λy=−1+2λz=1+2 λ

Despejamos λ y de esta forma hallamos la ecuación de la recta solicitada

x−13

= y+12

= z−12

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene a los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3).

Solución:

Ecuaciones paramétricas que definen una recta cualquiera

x=x1+aty= y1+btz=z1+ct

Y las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son :

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados

V=PQ

Y este vector PQ esta dado por la diferencia de Q menos P en X, Y y Z.

V=PQ= (−1−7 )i¿

+(5− (−1 ) ) j¿

+ (3−1 ) k¿

V=PQ=−8 i¿

+6 j¿

+2k¿

Por lo tanto podemos definir que:

a=−8b=6c=2

Con los anteriores valores las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3) :

x=−1−8 ty=5+6 tz=3+2 t

Y las ecuaciones simétricas son:

x+1−8

= y−56

= z−32

4. Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P=(-8,5,0), Q=(5, -4,-8) y R= (-3, -5,1)

Solución:

Para calcular la ecuación del plano podemos utilizar la formula:

|x−x1 y− y1 z−z1x2−x1 y2− y1 z2−z1x3−x1 y3− y1 z1−z1

|=0

Reemplazamos los valores de los puntos dados:

|x−(−8 ) y−5 z−05−(−8 ) −4−5 −8−0

−3−(−8 ) −5−5 1−0|=0

|x+8 y−5 z−05+8 −9 −8

−3+8 −10 1|=0

|x+8 y−5 z−013 −9 −85 −10 1

|=0

Resolviendo el determinante por producto cruz y aplicando la ley de los cofactores tenemos la ecuación del plano.

( x+8 )((−9 )⋅1−(−8 )⋅(−10 ))−( y−5 )(13⋅1−(−8 )⋅5)+( z−0 )(13⋅(−10 )−(−9 )⋅5)=0( x+8 )(−9−80 )−( y−5 )(13+40 )+( z−0)(−130+45 )=0( x+8 )(−89)−( y−5 )(53)+( z−0 )(−85 )=0−89 x−712−(53 y−265 )+(−85 z )=0−89 x−712−53 y+265−85 z=0−89 x−53 y−85 z−447=0

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos : π1=x−5 y−8 z=10 π2=−2x−5 y−7 z=9

Solución:

Teniendo los planosπ1=x−5 y−8 z=10

π2=−2x−5 y−7 z=9

Debemos hallar los puntos de intersección entre ellos, como sabemos, los puntos de intersección entre dos planos es una recta, entonces vamos a hallar la ecuación simétrica de esa recta que por teoría define los puntos de intersección de dos planos.

La ecuación simétrica de una recta esta definida como :

x−aa1

= y−ba2

= z−ca3

Para determinar la ecuación simétrica que me define los puntos de

intersección, vamos a encontrar X en función de Y y X en función de Z con

las ecuaciones de los planos dados.

Para hallar X en función de Z, multiplicamos por -1 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2

(−1)⋅π1+π 2(−x+5 y+8 z )+ (−2x−5 y−7 z )=−10+9−x+5 y+8 z−2x−5 y−7 z=−1−3 x+ z=−1−3 x=−1−z−3 x=−(1+z )

x=−(1+z )−3

x=1+z3

Para hallar X en función de Y, multiplicamos por -7 al plano 1 y se lo

sumamos al plano 2 multiplicado por 8.

(−7 )⋅π1+(8) π(−7 ) ( x−5 y−8 z )+(8 ) (−2 x−5 y−7 z )=−70+72(−7 x+35 y+72 z )+(−16 x−40 y−72 z )=2−7 x+35 y+72 z−16 x−40 y−72 z=2−23 x−5 y=2−23 x=2+5 y

x=2+5 y−23

Ahora igualamos para obtener la ecuación simétrica de la recta que forma la

intersección de los dos planos dados

x=1+z3

=2+5 y−23

PARTE 3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN (ESPACIOS VECTORIALES)

1. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5,1) y u2 = (-3, -2). Demuestre que S genera a R2.

SoluciónSegún la definición cualquier conjunto contenido en un determinado especio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinación lineal del conjunto original.

Por lo tanto:

S = { u1, u2}

U1 = (5, 2)

U2 = (-3, -2)

S = {(5, 2), (-3, -2)}

V = (x, y)

(x, y) = k1(5, 2) + k2(-3, -2)

V = k1(5, 2) + k2(-3, -2)

Se puede demostrar que S es generador de R2 ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal.

2. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (-1, 2, -3,5), v2 = (0, 1, 2, 1), v3 = (2, 0, 1, -2). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.

SoluciónDado un conjunto de vectores S={ V1, V2, …, Vk } en un espacio vectorial V se dice que S es linealmente independiente si la ecuación C1V1 + C2V2 + … + CkVk = 0

Por lo tanto

V={V 1 ,V 2 ,V 3}DondeV 1=(−1,2 ,−3,5 )V 2=(0,1,2,1)V 3=(2,0,1 ,−2)por lo tan toV={(−1,2 ,−3,5 ) ,(0,1,2,1) ,(2,0,1 ,−2 )}

Planteamos la ecuasión vectorialC1V 1+C2V 2+C3V 3=0

Como demos det ermin ar que tenga una solución trivial ; entonces comenzamos a resolver

C1(−1,2 ,−3,5 )+C2(0,1,2,1 )+C 3(2,0,1 ,−2 )=(0,0,0,0 )

−C1+0C 2+2C3=02C1+C2+0C3=0−3C1+2C2+C3=05C1+C2−2C 3=0

Planteamos la matriz y realizamos e lim inación por el método de Gauss−Jordan

[−1 0 2 02 1 0 0−3 2 1 05 1 −2 0

]A la fila 1 la dividimos por -1

[ 1 0 −2 02 1 0 0

−3 2 1 05 1 −2 0

]Si a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicado por -2, a la fila 3 le sumo la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por -5 la matriz reducida quedaría

[1 0 −2 00 1 4 00 2 −5 00 1 8 0

]Para poder tener una solución debemos seguir reduciendo la matriz entonces hacemos nuevamente las siguientes operaciones: a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por -2 y a la fila 4 le sumo la fila 2 multiplicado por -1

[1 0 −2 00 1 4 00 0 −13 00 0 4 0

]

A la fila 3 la divido por -13

[1 0 −2 00 1 4 00 0 1 00 0 4 0

]A la fila 4 le sumo la fila 3 multiplicada por -4

[1 0 −2 00 1 4 00 0 1 00 0 0 0

]A la fila 2 le sumo la fila 3 multiplicada por -4 y a la fila 1 le sumo la fila 3 multiplicada por 2

[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

]Con lo anterior se deduce que

C1 = 0C2 = 0C3 = 0

Por lo tanto C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 es una solución trivial por lo que se pudo de demostrar que los vectores V son linealmente independientes

3. Dada la matriz

[1 1 53 2 42 5 1 ]

Hallar el rango de dicha matriz.

Solución

[1 1 53 2 42 5 1 ]

A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3

[1 1 50 −1 −110 3 −9 ]

Dividimos la fila 2 por -1

[1 1 50 1 110 3 −9 ]

A la fila 1 le restamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por 3

[1 0 −60 1 110 0 −42 ]

Dividimos la fila 3 por -42

[1 0 −60 1 110 0 1 ]

A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por -6 y a la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 11

[1 0 00 1 00 0 1 ]

Al simplificar la matriz nos muestra que hay 3 fila no nulas por lo que se determina que el rango de la matriz es de 3.

4. Dados los vectores u = -6iˆ + 9 ˆj y v = -iˆ + 9 ˆj es correcto afirmar que el vector w = -11iˆ - 9 ˆj es una combinación lineal de u y v ? Justifique su respuesta.

Solución:

La forma de comprobar que W es una combinación lineal de U y de V es hallando escalares tales que

C1U+C2V =W

Para esto hallamos la matriz y la reducimos por el método de gauss – jordan

[−6 −19 9

⋮−11−9 ]

Dividimos la primera fila por -6

[1 1/69 9

⋮11/6−9 ]

De la fila 2 restamos la fila 1 multiplicada por 9

[1 1 /60 45/6

⋮11/6−153/6]

Dividimos la fila 2 por 45/6

[1 1/60 1

⋮11/6−153/45 ]

De la fila 1restamos la fila 2 multiplicada por 1/6

[1 00 1

⋮108/45−153/45 ]

Como se puede comprobar que el sistema es consistente se puede afirmar que el vector W es una combinación lineal de los vectores U y V.

BIBLIOGRAFIA

Zúñiga, C.A. (2010). Algebra lineal (1a. ed.). Bogotá: Copyright UNAD

Zúñiga, C.A (s.f.). Guía: Trabajo colaborativo1. Algebra lineal. Recuperado el 2 de octubre de 2012, del Sitio web del campus virtual de la Universidad nacional abierta y a distancia UNAD: http://66.165.175.248/campus08/file.php/3/2012-2/TRABAJOS/TRABAJO_COLABORATIVO_1.pdf

Normas Apa. (s.f.). Recuperado el 21 agosto de 2012, de http://www.slideshare.net/rchoquel/normas-apa-1430826

Multiplicación de matrices. (s.f.). Recuperado el 5 de octubre de 2012 de http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

Calculo del determinante. (s.f.). Recuperado el 4 de octubre de 2012 de http://www.youtube.com/watch?v=ZuaIjvBPTBc