DERIVADAS - UNIDAD IV

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DERIVADAS - UNIDAD IV

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  • UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIN DE ESTUDIANTES

    UNIDAD 4

    DERIVADAS

    Estoy bien, estudio bien

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    DERIVADAS

    PRESENTACIN DE LA UNIDAD

    Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante conozca y aplique los

    conceptos bsicos referentes a las derivadas, creando conciencia de la importancia que

    en la actualidad tiene este concepto en las matemticas y en la vida cotidiana.

    OBJETIVOS PROBLEMAS

    Manejar, entender y aplicar la nocin de derivada en distintos campos de la vida

    cotidiana.

    EVALUACIN DIAGNSTICA

    Cul es el concepto de Derivada?

    Cmo puede aportar la Derivada en la vida cotidiana?

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    REFERENTES TERICOS

    DERIVADA Y SUS APLICACIONES

    En 1604, en la cumbre de su carrera cientfica, Galileo lleg a la conclusin de que para un

    movimiento rectilneo en el que la velocidad aumenta proporcionalmente a la distancia

    recorrida, la ley del movimiento deba ser precisamente aquella que l haba descubierto

    en la investigacin de la cada de los cuerpos. Entre 1695 y 1700.Ninguno de los nmeros

    mensuales de las actas Eruditorum de Leipzig se public sin artculos de Leibniz, de los

    hermanos Bernoulli o del Marqus L`Hpital que trataban, con notacin ligeramente

    distintas de la de hoy da en uso, problemas ms variados de clculo diferencial clculo

    integral y del clculo de variaciones. As en el espacio de casi precisamente un siglo el

    clculo infinitesimal o como se le suele llamar ahora en ingles Calculus, el instrumento

    de calcular por excelencia, fue forjado; y casi tres siglos de uso constante no han agotado

    este instrumento incomparable.

    NICHOLAS BOURBAKI

    Si bien el concepto de funcin es fundamental, que es importante el uso de los lmites y la

    continuidad y que el estudio de las cotas superiores es esencial, todo lo que hemos visto

    hasta ahora es un preparacin para las ideas brillantes que vienen en adelante y que son

    el arma fundamental del clculo infinitesimal, definiremos primero las definiciones

    matemticas precisa y discutiremos su significado en trminos de problemas matemticos

    PRINCIPIO GEOMETRICO DE LA DERIVADA:

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    Recordemos inicialmente que:

    La recta secante toca la curva en dos puntos

    La recta tangente toca la curva en un punto

    Euclides: En sus estudios geomtricos, este sabio de la antigedad, consideraba la

    tangente como la recta que tocaba a una curva circular en un punto. El problema era que

    se limitaba a crculos y no consideraba otro tipo de curvas.

    La tangente a un crculo en un punto dado, se construye definiendo un punto P sobre la

    curva, as se forma el segmento OP, entonces la recta perpendicular al segmento OP, se le

    llama recta tangente a la curva en el punto P.

    Arqumedes: Otro de los sabios de la antigedad que se intereso por determinar .Como se

    puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado? Los

    intentos fueron parciales.

    En la edad media con la aparicin de la Geometra analtica, cuyo gestor Renato Descartes

    (1.596 1.659) se pudo obtener la tangente de cierta curva como la parbola y la elipse,

    pero dichos mtodos fueron muy limitados y vagos como para poder aplicarlos en forma

    general. La solucin dada inicialmente se atribuye a Leibniz, quien trabajo en la

    determinacin de la recta tangente de una curva en un punto determinado.

    El proceso que vamos a analizar se centra en determinar la pendiente de la recta tangente

    en un punto dado de cualquier curva que es la grafica de la funcin y = f(x), la grafica

    siguiente nos ilustra dicho anlisis.

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    Como se observa en la grafica, se presenta una recta secante que pasa por los puntos P y

    Q. Para hallar la recta tangente, hacemos que el punto P quede fijo y el punto Q se

    desplace por la curva hasta llegar a P. Cuando P y Q coinciden, se obtiene la recta

    tangente en el punto P. Para que esto ocurra, x se va reduciendo; tendiendo a cero.

    Por la definicin dependiente:

    Segn la grafica y , y , de

    donde obtenemos que

    , as para obtener la pendiente en el punto P, se debe

    hacer que x 0 y aplicar el lmite al cociente, por lo que obtenemos que la pendiente de

    la recta en un punto de una curva es:

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    Ejemplo:

    Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31)

    Solucin:

    Para hallar la pendiente solo se requiere calcular m, lo cual se puede hacer aplicando la

    expresin dada anteriormente:

    , luego como , entonces , es decir que la

    pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31) es 10.

    PRINCIPIO FSICO DE LA DERIVADA:

    Desde pocas antiguas, los cientficos se han preocupado por analizar la naturaleza y

    especficamente el movimiento. Por ejemplo Keppler se preocupo por el movimiento de

    los planetas. Galileo y Newton, se preocuparon por el movimiento de los cuerpos. Todos

    ellos tuvieron que ver con el concepto de la Velocidad.

    Inicialmente se trabajaba lo que se denomina la velocidad promedio, que se determina

    conociendo dos puntos de la distancia y el tiempo en recorrer dicha distancia

    O

    Nuestra situacin se centra en determinar la velocidad en un instante dado; es decir,

    cuando el cambio en el tiempo sea lo ms cercano posible a cero.

    La grafica nos ilustra que cuando h (cambio del tiempo) se hace muy pequeo, los dos

    puntos se acercan de tal manera que coinciden y as se obtiene la velocidad en un punto

    determinado, lo que se conoce como la velocidad instantnea. El trmino h es anlogo a

    x en el anlisis de la pendiente

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    As la velocidad instantnea ser:

    Donde:

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    Ejemplo:

    Un objeto cae libremente por efecto de la gravedad, la funcin que determina el

    movimiento est dada por: Cual ser la velocidad a los 3 seg Del inicio de la

    cada?

    Solucin:

    , luego cuando han transcurrido 3 seg la velocidad en ese

    instante es

    DEFINICIN:

    La funcin es derivable en a si

    En este caso el lmite se designa por y recibe el nombre de derivada de en a

    (Decimos tambin que es derivable si es derivable en a para todo a en el dominio de

    .

    Ntese que el smbolo hace referencia a una notacin funcional donde para

    cualquier funcin designamos por como la funcin cuyo dominio es el conjunto de

    todos los nmeros tales que es derivable en y cuyo valor tal numero es

    La funcion recibe el nombre de derivada de

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    De acuerdo a nuestra definicin de derivada podemos decir que:

    Se define la tangente a la grafica de en como la recta que pasa por y

    tiene como pendiente . Esto quiere decir que la tangente en solo esta

    definida si es diferenciable en .

    Se define la velocidad instantanea de una particula en que se mueve a lo largo de una

    curva como la derivada de la funcion s en el punto , esto es . La derivada de

    en se puede denotar con cualquiera de las siguientes expresiones

    DEFINICION:

    La funcin f(x) es diferenciable en c (a, b), si f(c) existe; adems, y = f(x) es diferenciable

    en el intervalo (a, b), siempre y cuando f(x) sea diferenciable en todos los puntos del

    intervalo dado.

    TEOREMA:

    Si es diferenciable en un punto a, entonces es continua en a

    DEMOSTRACION:

    Esto es y por lo tanto

    Observacin:

    El reciproco de la anterior definicin NO siempre se cumple; es decir, si una funcin es

    continua NO necesariamente es derivable.

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    EJEMPLO:

    Verificar si la funcin es contina y derivable en siendo definida de la

    siguiente manera

    Solucin:

    Recordemos que para que una funcin sea continua en un punto se deben cumplir las

    siguientes condiciones

    1. La existencia de

    2.

    3.

    1 paso: se verifican las tres condiciones de continuidad esto es

    existe debido a que es decir cumple la

    condicin (1) de continuidad

    Entonces cumple la condicin 2 de continuidad

    As que cumple la condicin 3 de continuidad.

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    2 paso: Ahora se verifica la condicin de derivada en un intervalo cercano a 2 por la

    derecha y por la izquierda, si el resultado es igual por los caminos podemos decir

    que la funcin es derivable en ese punto, de lo contrario afirmaremos que la funcin

    no es derivable e