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DERIVADAS PARCIALES Funciones de dos o más Variables Existen magnitudes que dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artículo depende del costo de los materiales y de la mano de obra, la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión, la concentración de una sustancia en cualquier punto de la vena luego de haber suministrado una inyección depende del tiempo, la velocidad de la sangre y la distancia en que se encuentra el punto de la inyección, Las funciones de dos variables se simbolizan f: R2 R y se representan generalmente z = f(x; y)

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejercicios 38 Evalué las siguientes funciones para los valores dados de las variables independientes

1. z = x2+4xy+y2; x=1, y=-1 z = (1)2+4(1) (-1)+(-1)2 z = 1 - 4 + 1 z = -2

2. z = 4x2y-3xy3; x=2, y=2 z = 4(2)2(2)-3(2)(2)3 z = 32-48 z = -16

3.

; x=4, y=-3

2. C(x1,x2)=600+4x1+6x2; x1=400, x2=50 C(x1,x2)=600+4(400)+6(50) C(x1,x2)=600+1600+300 C(x1,x2)=2500

3.

encuentre

q(40,35)

4. encuentre z(3.-3)

Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y), de números reales, D R2. Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y).

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2

5. z=3x + 4y; x=-1, y=2

6. z=2x3y-xy2; x=-1, y=1

7.

; x=3, y=2

8. C(x1,x2)=500+5x1- 7x2; C(200, 300)

9.

, encuentre q(50,

10)

10.

11.

con(1, 3, 1)

12.

con (2, 3,

1, -1)

Problemas 26

1. El costo (en dólares) de una pequeña compañía de muebles por fabricar una unidad

de varios artículos distinto de maderas está dado por C(x, y)= 5 + 5x +22y

, donde x representa el número de píes de tablas utilizados y y expresa el número de horas de trabajo necesarias para ensamblado y acabado. Si para hacer un librero se necesitan 20 píes de tabla y 2.5 horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación. Por datos x=20 y y=2.5 remplazando

C(20 ,2.5)= 5 + 5(20) +22(2.5) C(20 ,2.5)= 5 + 100 +55 C(20, 2.5)=160 dólares

El costo de fabricación de un librero será de 160 dólares

2. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se

determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas

, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.

a. Encuentre Q si K=10 000 dólares y L=625 horas. Remplazando

Cuando el capital invertido es 10 000 dólares y se trabajan 625 horas las unidades producidas serán 37 500

b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se reducen a la mitad? Entonces K=5 000 dólares y L=312.5 horas. Remplazando

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Cuando el capital invertido y las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción también se reduce a la mitad.

c. Si se mantiene la inversión de capital en 10 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L.

La ecuación sería

3. Suponga que la función de utilidad de dos bienes X y Y estás dada por U=XY2.

a. Determinar la utilidad si un consumidor adquiere 9 unidades de X y 6 de Y. b. Si el consumidor compra 9 unidades de Y, ¿cuántas unidades de X se deben

comprar para mantener el mismo nivel de utilidad. c. Si el consumidor compra 81 unidades de X, ¿cuántas unidades de Y se deben

comprar para mantener el mismo nivel de utilidad.

4. En economía la cantidad Q de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc.) más económica que pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaños de lote de Wilson:

Q= f(K, M, h)=

, donde K es el costo del pedido, M el número de artículos vendidos por semana y h el costo de almacenamiento por artículo (servicios, impuestos, seguridad, etc.). Encuentre f(200, 625, 1). Interprete la respuesta.

5. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas

, donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo. a. Encuentre Q si K=64 000 dólares y L= 512 horas. b. ¿Qué pasa sí la inversión y las horas trabajadas se duplican?

HORAS TRABAJADAS (L)

UN

IDA

DE

S P

RO

DU

CID

AS

(Q

)

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c. Si la inversión de capital se mantiene en 64 000 dólares, trace la gráfica de Q como función de L.

6. Suponga que el número de unidades producidas de una mercancía, z, está dada por z=20xy, donde x es el número de máquinas que funcionan de manera apropiada y y el número promedio de horas de trabajo por máquina. Encuentre la producción para una semana en la que: a. 12 máquinas funciona de manera adecuada y el número promedio de horas de

trabajo por máquina es 30 b. ¿Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 10

máquinas que funcionan de manera adecuada para producir 7200 unidades de mercancía?

c. ¿Cuántas máquinas en buen estado se deben tener para producir 7200 unidades trabajando en promedio 24 horas?

7. La Kirk Kelly Kandy Company elabora dos tipos de dulces, Kisses y Kreams. La

ganancia, en dólares, para la empresa está dada por

P(x, y) = 100x + 64y – 0.01x2 – 0.25y2

, donde x es la cantidad de libras de Kisses y y el numero de libras de Kreams vendidos por semana. a. ¿Cuál es la ganancia si se venden 20 libras de Kisses y 10 libras de Kreams? b. ¿Cuántas libras de Kisses se deben vender si se mantiene la venta de 10 libras de

Kreams y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares? c. ¿Cuántas libras de Kreams se deben vender si se mantiene la venta de 20 libras

de Kisses y se desea obtener ganancias de 3 000 dólares?

Diferenciación Parcial

Suponga que dejamos variar sólo a x, dejando a y fija, digamos y=b, en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber g(x)=f(x, b). Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b). De forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

En general, si z=f(x, y) la derivada parcial de z respecto a x se expresa como

y la

derivada parcial de z respecto a y se expresa como

. Obsérvese que

representa la

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.

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derivada de una función de una variable, x, y

representa la derivada parcial de una

función de dos o más variables. Las notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z=f(x, y) respecto a x son:

Si x permanece constante en la función z=f(x, y) y se toma la derivada respecto a y, tenemos la derivada parcial de z respecto a y, que se denota

Ejercicios 39 Para cada función hallar las derivadas parciales por cada variable

2. z= x4+3y3

3. z= 3xy +y2

4. z=(x3+2y2)3

5. C(x,y)=600-4x + 10x2y

6.

7.

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6

8. z=5x2-2y

9. z= x5-6x+4y3-y2

10.

11. C(x, y)=1000-4xy+xy2

12.

13.

Ejercicios 40 Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas

1. f(x, y)=4x3 – 5xy + y2, respecto a x en el punto(1, -2)

b.

c. , como x=1 y y=-2 remplazamos

d.

2.

, respecto a y en el punto (2,

-1)

, como x=2 y y=-1 remplazando y resolviendo

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3. , respecto a x en el

punto (1, 1)

, como x=1 y y=1, remplazando y resolviendo

1. , respecto a y en el punto (0, 1)

, como x=0 y y=1, remplazando y resolviendo

1. Si z=2x + 3y, demuestre que 3zx – 2zy =0

2. Si , demuestre que xzx + yzy = 0

3. Si , demuestre que xzx + yzy = 2z

4. Si z= x3 + y3, demuestre que xzx + yzy = 3z

5. Si , demuestre que xzx - yzy =

6. Si

, demuestre que

xzy – yzx =

Costo Conjunto y Costo Marginal

Problemas 27 1. El costo (en dólares) de fabricar un artículo está dado por

C(x, y)= 30 + 3x + 5y , donde x es el costo de una hora de mano de obra y y es el costo de una libra de material. Si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por

Suponga que una empresa fabrica dos bienes de consumo utilizando las mismas materias primas en distintas proporciones. En este caso, la función de costo de conjunto tiene la forma C=Q(x, y) donde x y y representan la las cantidades de cada bien y C expresa el costo total de ambos bienes. Entonces es el costo marginal respecto al producto x y es el costo marginal respecto al producto y.

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libra. Calcule el costo marginal respecto a la mano de obra y al costo de material e intérprete los resultados. Respecto a la mano de obra hallamos

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 3 dólares por cada 1 dólar que se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante. Respecto a la mano de obra hallamos

Por tanto, si el costo de la mano de obra es de $4 por hora y el de material $3 por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en 5 dólares por cada 1 dólar que se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante.

2. El costo total de producir un artículo es

C(x, y)= 30 + 10x2 + 20y – xy

, donde x es la tarifa por hora de la mano de obra y y el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra ¿Cómo afectará el costo total un incremento de a. $1 por libra de materia prima?

Hallamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima

Remplazando

Si se incrementa la materia prima en $7 el costo de producción se incrementa en $5

b. $1 por hora en los costos de mano de obra?

Remplazando

Si se incrementa la mano de obra en $16 el costo se incrementa en $294

3. La función costo conjunto para dos productos es C(x, y)= 50 + x2 + 8xy + y3

a. Calcule el costo marginal respecto a x y respecto a y en (5, 3). b. Intérprete los resultados.

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4. El costo total de producir un artículo es

C(x, y)= 40 + 4x + 6y +

, donde x es el costo por libra de las materias primas y y representa el costo por hora de la mano de obra. ¿De qué manera afectará el costo total un aumento de a. $1 por libra de materia prima? b. $1 por hora en los costos de mano de obra?

5. El costo conjunto (en dólares) de los producto X y Y esta dado por

C(x, y)= 40 + 3x2+y2+xy

, donde x expresa la cantidad del producto X y y la cantidad del producto Y. a. Calcule el costo marginal respecto a x si se producen 20 unidades del producto

X y 15 del producto Y. b. Calcule el costo marginal respecto a y si se producen 20 unidades del producto

X y 15 del producto Y. c. Interprete los resultados.

6. Si la función costo conjunto para dos procductos es

C(x, y)=

a. Encuentre la función costo marginal respecto a x. b. Encuentre la función costo marginal respecto a y.

Productividad Marginal

Problemas 28 1. Dadas las funciones de producción P(K, L), calcule e intérprete las productividades

marginales para los valores dados de L y K. L esta dado en miles de horas

La producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modificar. Los dos factores más importantes son la mano de obra y el capital invertido. Consideremos L el número de unidades de mano de obra empleada y K el monto de capital invertido, entonces el número de unidades del producto producidas en un mes (la producción total) P se denota P = f(L, K) esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos de factores de insumos de producción La derivada parcial se denomina productividad marginal de la mano de obra y productividad marginal del capital.

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trabajadas por semana, K en millones de pesos y P miles de artículos producidos por semana a. P(L, K)= 7L + 5K + 2LK – L2 – 2K2; L=3 y K=10

La productividad marginal de mano de obra se obtiene por , derivando P(L,

K)

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P se incrementa en 21 por cada incremento unitario en L. Es decir por cada unidad de hora trabajada que se incremente (1 000) semanal la producción se incrementa en 21 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital K fija. La productividad marginal de capital se obtiene por , derivando P(L, K)

Si se labora 3 mil horas de trabajo a la semana y se invierten 10 millones de pesos entonces el número de unidades producidas P disminuye 29 por cada incremento unitario en K. Es decir por cada millón de pesos adicional que se incremente el monto de capital la producción disminuye en 29 unidades manteniendo el número de horas laboradas L fija.

b. P(L, K)= 18L – 5L2 + 3LK+7K - K2; L=4 y K=8 c. P(L, K)= 50L + 3L2 – 4L3 + 2LK2 – 3L2K – 2K3; L=2 y K=5 b. P(L, K)= 25L + 2L2 – 3L3 + 5LK2 – 7L2K+ 2K2 – K3; L=3 y K=10

Funciones de Demanda

Problemas 29

1. La función demanda par dos productos están dadas por

q1=300 – 8p1 - 4p2 q2=400 – 5p1 - 10p2

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=8

Suponga que dos productos se venden a los precios p1 y p2 (ambos en dólares), la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, Si q1 representa la demanda del primer producto entonces q1=f(p1,p2) es la función demanda de dicho producto y si q2 representa la demanda del segundo producto entonces q2=g(p1,p2), por lo tanto las derivadas parciales de q1 y q2 se conocen como funciones de demanda marginal

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q1=300 – 8(10) – 4(8)=188 q2=400 – 5(10) – 10(8)=270

A los precios dados la demanda del producto 2 es mayor b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 1 la demanda del producto 1 disminuye en 8 unidades, manteniendo constante el precio del producto 2

c. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 2 disminuye en 10 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1 c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2

Por cada $1 que se incremente el precio del producto 2 la demanda del producto 1 disminuye en 4 unidades, manteniendo constante el precio del producto 1

2. La función demanda par dos productos están dadas por

q1=900 – 9p1 + 2p2 q2=1200 + 6p1 - 10p2

a. Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p1= 10 y del segundo p2=12

b. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p1

c. Encuentre la demanda marginal de q1 respecto al precio p2 d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p2

d. Encuentre la demanda marginal de q2 respecto al precio p1

3. Dadas las funciones qA, qB, pA y pB las demandas y los precios (en dólares) de dos productos A y B calcule las demandas marginales: de qA respecto al precio pA, qA respecto al precio pB, qB respecto al precio pB y qB respecto al precio pA

a. qA=400 – 3pA - 2pB y qB=250 - 5pA - 6pB b. qA=600 – 4pA + 6pB y qB=1200 + 8pA - 4pB

c.

d.

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