UNIVERSIDAD GALILEOMATEMÁTICA III

LIC. CÉSAR SANTOS

LA DERIVADA

DEFINICIÓN Y TEOREMAS

DEFINICIÓN DE DERIVADA

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

DEFINICIÓN DE DERIVADA

Es una operación que se emplea con el fin de determinar cuánto varia una función cuando su variable cambia de un valor a otro.

Es decir, La Derivada, mide la variación de “f(x)” por cada unidad de cambio de “x”

Cuya definición matemática es:

LA DERIVADA

h

xfhxfLímxfh

)()()('

0

Esto indica que para que exista la derivada de una función en un punto determinado, la función debe tener un Límite en dicho punto

:Símbolos 𝑓 ′=𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑓 𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥

Δ 𝑦Δ𝑥

=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒 𝑥

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

1. En Física: Para determinar la variación de posición (velocidad) de un cuerpo que posee aceleración variable.

2. En Economía: Para calcular el “costo marginal” de producción respecto al número de productos a producir.

dq

dCTCMMarginalCosto )(

:Donde )( costofuncióntotalCostoCT productosdecantidadq

El resultado de calcular el Costo Marginal sirve para determinar el Costo Medio, que es el costo de cada unidad producida:

q

CMCMeMedioCosto )(

LA DERIVADA

Intuitivamente, la derivada es una operación que degrada a una función cualquiera, es decir aminora en una unidad el orden de la función, lo que geométricamente representa a la curva tangente a dicha función.

52)( 2 xxxf:Ejemploh

xfhxfLímxfh

)()()('

0

5)(2)()(. 2 hxhxhxfi :límiteelendoreemplazan

h

xxhxhxLímxfh

525)(2)()('

22

0

h

xxhxhxhxLímxfh

525222)('

222

0

h

hhxhLímh

2

0

22

)22()('0

hxLímxfh

22)(' xxf

:Entonces 52)( 2 xxxf 22)(' xxf

TEOREMAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN REPRESENTACIÓN DERIVADA

CONSTANTE

IDENTIDAD

POTENCIA

EJEMPLOS DE FUNCIONES CONSTANTES

EJEMPLOS

Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan aplicando los teoremas

(regla) para resolverlos.

xxf 3)(

3dxdf

3)(

3xxf

512

)( x

xf

26)( xxf

2xdxdf

xdxdf

2

52

dxdf

EJEMPLOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS