Derivación por fórmulas 03

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Fórmulas de derivación G. Edgar Mata Ortiz

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𝝏𝒚

𝝏𝒙

Fórmula para el producto de dos funciones

Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a derivar es un producto cuya obtención sería muy laboriosa o incluso imposible de obtener.

En lugar de efectuar la multiplicación indicada, se aplica la fórmula:

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Fórmula para el producto de dos funciones

La fórmula se lee:

La derivada de 𝒖 por 𝒗 es igual a:

𝒖 por la derivada de 𝒗 más

𝒗 por la derivada de 𝒖

Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Derivar

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

La fórmula es:

Es conveniente identificar claramente cuál de las funciones se identificará como 𝒖 y cuál como 𝒗

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Derivar

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑢 = 3𝑥3 + 1𝑑𝑢

𝑑𝑥= 9𝑥2

𝑣 = −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 4 −4𝑥2 − 3 3 −8𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= −32𝑥 −4𝑥2 − 3 𝟑

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

La función 𝒖 y

su derivada se

identifican con

color rojo.

La función 𝒗 y

su derivada se

identifican con

color azul

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fórmula.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (3𝑥3+1) −32𝑥 −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)

𝑢 = 3𝑥3 + 1𝑑𝑢

𝑑𝑥= 9𝑥2

𝑣 = −4𝑥2 − 3 4 𝑑𝑣

𝑑𝑥= −32𝑥 −4𝑥2 − 3 3

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Se ordenan los factores de la derivada para facilitar el proceso algebraico (propiedad conmutativa).

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟒(9𝑥2)

Se observa que puede tomarse factor común

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Se obtiene factor común.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟒(9𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑[−32𝑥(3𝑥3 + 1) + −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟏(9𝑥2)]

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

El paréntesis rectangular se emplea solamente para

visualizar, con mayor claridad, los factores que

quedan después de extraer el factor común.

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Existe otro factor común.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟒(9𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑[−32𝑥(3𝑥3 + 1) + −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑

𝟏(9𝑥2)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥2 − 3 3[−32𝒙(3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙2)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙1)]

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−96𝑥3 − 32 − 36𝑥3 − 27𝑥]

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

La expresión algebraica dentro del paréntesis

rectangular se puede simplificar reduciendo términos

semejantes.

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙)]

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3 −𝟗𝟔𝒙𝟑 − 32 − 𝟑𝟔𝒙𝟑 − 27𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−𝟏𝟑𝟐𝒙𝟑 − 27𝑥 − 32]

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

Esta última expresión es el resultado.

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.

𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−132𝑥3 − 27𝑥 − 32]

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

Si observamos el procedimiento podemos darnos

cuenta que, en realidad, la derivada se obtiene

fácilmente, el resto son operaciones algebraicas

destinadas a simplificar el resultado.

𝝏𝒚

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